4. Los Poliedros en El Timeo de Platón

Aunque lo aseguren las fuentes mencionadas, la crítica histórica considera improbable que Pitágoras hubiera planteado la cosmogonía descrita (Heat, 1956, 1981), ya que, por una parte, fue Empédocles de Agrigento el primero que distinguió explícitamente los cuatro elementos primarios (fuego, tierra, aire y agua), y por otra, según parece, los primeros pitagóricos habrían reconocido sólo el  tetraedro, el cubo y el dodecaedro, atribuyéndose el octaedro y el icosaedro a Teeteto (Heat, 1981), brillante matemático de La Academia (realizó importantes aportaciones sobre los irracionales) y amigo de Platón, que le honró dando nombre a uno de sus Diálogos, Teeteto (Sobre la Ciencia).

Fragmento de La Escuela de Atenas de la Estancia de la Signatura del Vaticano, que representa a Platón con El Timeo, Diálogo donde expone su visión cosmológica.

Los poliedros regulares se llaman, a veces, «Cuerpos Platónicos» por el papel prominente que juegan en el famoso Dialogo de Platón sobre la Naturaleza, Timeo (Platón, 1969; 53a/54b/55d), que es, sin duda, el más profundamente pitagórico de su obra. En él expone, de forma mística (Vera, 1970), la asociación que presuntamente habría hecho Pitágoras entre el tetraedro, el cubo, el octaedro y el icosaedro y los cuatro elementos naturales primarios, que Empédocles había vinculado con la constitución de toda la materia; mientras que la veneración pitagórica por el dodecaedro conduce a Platón, fascinado por todo lo pitagórico, a considerar a este sólido como la quintaesencia, el quinto elemento,la sustancia de los cuerpos celestiales, el símbolo místico del Cosmos.

En El Timeo la belleza es un elemento esencial de los poliedros: «Hace falta explicar qué propiedades deberían tener los cuerpos más bellos,...» (Timeo 54b). Pero para Platón, con su inveterado idealismo, la belleza de los sólidos regulares no reside realmente en su apariencia física, sino que permanece oculta en el ámbito ideal del pensamiento matemático. Tal belleza anida en que puede demostrar mediante un razonamiento apriorístico (independiente de la investigación empírica) que existen cinco y sólo cinco representaciones de la idea de poliedro regular. La belleza de los poliedros regulares se basa en su significación filosófica. La interacción entre el concepto general de regularidad y su realización en exactamente cinco sólidos sólo puede aprehenderse a través de la Matemática. La participación de objetos especiales en una idea general subyace en la matriz de la filosofía platónica. De los ejemplos pitagóricos (tetraedro, cubo y dodecaedro), Platón asciende (con el concurso de Teeteto) al concepto general de poliedro y regresa a lo particular, añadiendo el octaedro y el icosaedro, completando así la lista. Se trata de un prototipo matemático del procedimiento dialéctico establecido en La República (51b) y un magnífico ejemplo de la concepción platónica de la forma y la participación: «cada uno de los cinco sólidos participa en la idea de sólido regular, e inversamente, esta idea se plasma exactamente en cinco casos particulares».

Platón construye, con base en Pitágoras y con el auxilio de Teeteto, una de las primeras teorías matemáticas completas: una definición general junto con una completa clasificación de los objetos que la satisfacen. La definición es: un sólido es regular si «tiene la propiedad de dividir en partes iguales y semejantes la superficie de la esfera en que está inscrito» (Timeo 55a). A continuación Platón estudia la generación y composición de los poliedros mediante elementos geométricos que son triángulos rectángulos con la hipotenusa doble de un cateto para el caso del tetraedro, octaedro e icosaedro y triángulos rectángulos isósceles para el caso del cubo (Fowler1999). El dodecaedro es mencionado sólo al final del pasaje con una críptica sentencia de corte pitagórico: «Quedaba aún una sola y única combinación; el Dios se sirvió de ella para el Todo cuando esbozó su disposición final» (Timeo 55c). Enseguida Platón argumenta la identificación de cada poliedro (de acuerdo con sus cualidades) con cada uno de los elementos primarios para concluir (Timeo 55d):

«A la tierra le atribuimos la figura cúbica, porque la tierra es el [elemento] más difícil de mover, el más tenaz, el de las bases más sólidas, ..., la figura sólida de la pirámide [tetraedro] es el elemento y el germen del fuego; la segunda en orden de nacimiento [octaedro] es el elemento del aire, y la tercera [icosaedro], el del agua».

Página  del Timeo de Platón, traducido al latín, en el siglo V, por el helenista hispanorromano Calcidius. Manuscrito de la ColecciónVaticana (Reg. lat. 1308 fols. 21 verso-22 recto medbio01 NAN.10).

Para Platón (bajo una aureola de Filosofía pitagórica), el hacedor del universo creó el orden a partir del caos primigenio de los elementos por medio de las formas y los números esenciales de los poliedros, en una acción que culmina ese ordenamiento en la disposición armónica de los cinco elementos en el universo físico (Timeo 57b):

«Y por lo que respecta a las relaciones numéricas que se hallan en su número, en sus movimientos y en sus demás propiedades, hay que considerar siempre que el Dios [...] las ha realizado en todo de manera exacta, y así ha armonizado matemáticamente los elementos».

He aquí una bella analogía que concede a los cinco poliedros regulares el poder de dar forma al mundo material. Para Lawlor (1993) subyace en Platón una Geometría Sagrada que actúa como metáfora del orden universal.

El Timeo es un Diálogo de raíz pitagórica donde Platón expone su cosmogonía. Platón describe con abundancia de detalles cuáles son las formas fundamentales inteligibles que imponiéndose a una materia primitivamente informe, han presidido la concepción y realización del orden cósmico, en la génesis de todo cuanto nos rodea en la naturaleza, bajo la acción demiúrgica del Dios geómetra soberano, que dispuso los cuatro elementos en la forma y número que exige la necesaria y bella armonía matemática (53c-53d).

Según Platón (Timeo, 54a-55c), cuatro de los poliedros regulares –tetraedro, octaedro, icosaedro y cubo– que son las formas geométricas más bellas, son, respectivamente, los átomos de los elementos –fuego, aire, agua y tierra–. Pero los elementos primigenios originales constituyentes del mundo material no son propiamente estos poliedros, sino sus componentes geométricos, formados por dos clases de triángulos rectángulos –los triángulos más bellos–; uno es medio cuadrado, es decir, isósceles, que compone el cuadrado cara del cubo y otro es medio triángulo equilátero, y por tanto escaleno, que compone las caras triangulares equiláteras de los otros tres poliedros.