La primera es la de figuras homólogas. Dos figuras son homólogas si una de ellas procede de la otra mediante una sucesión de proyecciones y secciones. Se trata luego de encontrar para cualquier figura su homóloga más sencilla, estudiar en ella las propiedades invariantes mediante sección y proyección, y llegar de este modo a propiedades de la figura originaria.

La segunda es el principio de continuidad: si una figura deriva de otra mediante un cambio continuo, toda propiedad de la primera vale para la segunda. Veremos cómo este principio proporciona un corolario del teorema de Pascal. Este teorema afirma que los puntos de intersección de los pares de lados opuestos de un hexágono inscrito en una cónica están en línea recta. Si la cónica está formada por dos rectas, el teorema de Pascal se convierte en otro ya conocido por Pappus de Alejandría. Según el orden en que se tomen los puntos, el teorema da lugar a configuraciones distintas (ver Figuras 1 y 2).

Pues bien, si en la Figura 2 movemos los vértices del hexágono de modo que B se superponga con A, D con C y E con F, tenemos el siguiente resultado: en todo triángulo inscrito en una cónica, los puntos en los que las tangentes en los vértices cortan a los lados opuestos están en línea recta (ver Figura 3).

Aunque sirvió para llegar a resultados correctos, el principio de continuidad provocó reticencias entre algunos matemáticos, que lo consideraban una inducción un tanto atrevida. El mismo Cauchy se permitió hacer sobre él algunos comentarios jocosos.

La tercera idea es el principio de dualidad, fundado en la correspondencia entre polo y polar relativa a una cónica: si una afirmación sobre figuras planas es cierta, e intercambiamos en ella las palabras “punto” y “recta”, así como las relaciones de incidencia (punto perteneciente a una recta por recta conteniendo un punto) la nueva proposición también lo es. Joseph Gergonne (1771-1859) aclaró que el punto de vista de Poncelet requiere la mediación de una cónica, mientras que el principio de dualidad es general, aplicable a todo teorema que no mente propiedades métricas. Aplicando el principio de dualidad al teorema de Pascal, descubrió Brianchon este otro teorema: las líneas que unen los vértices opuestos de un hexágono circunscrito a una cónica, pasan por un mismo punto (Figura 4).

En la famosa polémica que enfrentó a los geómetras sintéticos con los analíticos, Poncelet se alineó claramente con los primeros. Reconoció en alguna ocasión que los resultados de la geometría sintética son más una consecuencia de la casualidad y la perspicacia del investigador que de la aplicación de un procedimiento general, y que en este sentido era superior la geometría analítica. Con todo, fue un acérrimo partidario de la primera, y las técnicas por él ideadas pudieron rivalizar en potencia y generalidad con las de la segunda. Esta discusión carece actualmente de sentido. Quizás en cuanto a la potencia de sus métodos, el tiempo ha dado la razón a los analíticos, pero nadie discute por eso la belleza de los métodos sintéticos, que tampoco han quedado en desuso y siguen proporcionando hermosos resultados. Hoy cada geómetra sigue el camino que le indican sus gustos y sus aficiones, nadie se mete con nadie, y de este modo todo el mundo está contento.