Como científico es autor de una obra extraordinariamente extensa realizada, según todas las apariencias, con facilidad asombrosa. Escribió unos 500 artículos y sus Obras Completas ocupan once volúmenes, aun sin incluir los tres tomos de los Métodos nuevos de la Mecánica Celeste: como Euler y Bach, no como Riemann y Beethoven. Escribía mucho, con gran facilidad, y de él se ha dicho, como antes de Cauchy, que dio lugar a que se impusieran limitaciones al número de páginas de las notas que podían publicar los académicos. Tuvo en cambio, como después Lebesgue, muy pocos discípulos. Y fama, sobre todo en ciertas épocas, de leer muy poco a sus colegas.

Vamos a exponer brevemente, más o menos en orden cronológico, algunas de sus  aportaciones más importantes a la matemática.

FUNCIONES DE UNA VARIABLE COMPLEJA. FUNCIONES AUTOMORFAS

Con su paso por Caen y la famosa historia del pie apoyado en el estribo del autobús está asociado el arranque de sus trascendentales aportaciones a esta teoría.  Poincaré demostró que para todo grupo de transformaciones de la forma (az + b) / (cz + d), con ad - bc = 0 de un dominio D del plano complejo que tiene la propiedad de ser “propiamente discontinuo” existe lo que se llama un “dominio fundamental”, cuya frontera está formada por segmentos o arcos de círculo, y cuyas  transformadas mediante los elementos del grupo recubren el dominio D sin que haya solapamiento. D puede ser el semiplano superior o el interior de un círculo, pero puede igualmente poseer una frontera que sea un conjunto perfecto no denso, o una curva sin tangente en ningún punto. En la demostración de Poincaré se usa de manera muy inteligente y original la geometría no euclídea, de la que había hablado bastante mal poco antes, privilegio de los grandes matemáticos...Aquí tuvo lugar una dura lucha con Klein, que se suele decir tuvo como consecuencia un hundimiento psicológico del que Klein nunca se recuperó del todo.

Estudia las funciones automorfas (cocientes de funciones thetafuchsianas, relacionadas con ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden) con coeficientes racionales P y Q estudiadas por Fuchs, de ahí su nombre. Poincaré aplicó estas funciones fuchsianas a la representación paramétrica de curvas algebraicas P(x, y) = O y a la expresión mediante ellas de las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales lineales de orden n con coeficientes funciones algebraicas. Estos resultados fueron probados (o “probados”) usando el que después sería el muy conocido método de continuación, para el que entonces (hacia 1880) no se disponía de bases topológicas sólidas, que aportaron los trabajos de Brouwer, en particular su teoría del grado topológico (en dimensión finita), de hacia 1912.

Consecuencia de lo anterior fue el teorema general de “uniformización”, a partir de la parametrización de curvas algebraicas. Este teorema equivale, bajo ciertas condiciones, a la existencia de una representación conforme de una superficie de Riemann. También aquí hubo problemas con el rigor, no sólo por su parte sino también por la de Koebe, hasta que en 1907 se llegó a una demostración aceptable.

ECUACIONES DIFERENCIALES. TEORIA CUALITATIVA

Poincaré trabajó a lo largo de toda su vida sobre las ecuaciones diferenciales ordinarias y sus aplicaciones, muy especialmente a la Mecánica Celeste. Además de todo lo relativo a las ecuaciones en el campo complejo, de lo que algo se ha dicho arriba, le debemos lo que se llama “teoría cualitativa”, que ha sido, según Dieudonné, “uno de los pocos ejemplos de teoría matemática que surge aparentemente de la nada y casi inmediatamente alcanza la perfección en manos de su creador”.

Entre 1880 y 1886 publicó una serie de artículos fundamentales sobre la cuestión. En ellos estudia ecuaciones de la forma dy/dx = P/Q, donde P y Q son polinomios reales generales, procurando describir el comportamiento, las “propiedades cualitativas”, de todas sus soluciones. Para ello, y a fin de evitar dificultades con las “ramas infinitas”, proyectaba las trayectorias desde el centro de una esfera situada fuera del plano, iniciando de este modo el estudio de las curvas integrales de un campo de vectores sobre una variedad compacta.

En este estudio desempeñan un papel muy importante las soluciones de equilibrio (o puntos críticos), es decir, las soluciones del sistema estacionario P = Q = 0, que se clasifican en nodos, puntos de silla, centros y focos (o “espirales”). Demuestra el famoso teorema según el cual se tiene N + F - C = 2 - 2p, donde N es el números de nodo, E el de focos, C el de puntos de silla y p el género de la superficie (que es p=0 para la esfera o el plano y p=1 para el toro); nótese el parecido con el teorema de Euler para los poliedros de que se habla más abajo. Estudia asimismo las ecuaciones de orden superior, es decir ecuaciones en variedades de dimensión > 2, donde usa el índice de Kronecker para establecer resultados que hacen intervenir conceptos de la topología algebraica, como por ejemplo los números de Betti.

En el curso de estos estudios introduce diversos métodos y conceptos nuevos que han perdurado hasta hoy, entre ellos el de las llamadas “secciones de Poincaré” y el “operador de Poincaré” asociado; recordemos también resultados relativos a la existencia y propiedades de los llamados ciclos límite (soluciones periódicas “atractivas”), alguno tan famoso como el teorema de Poincaré-Bendixon. (Uno de los famosos 23 problemas de Hilbert -el 16- se refiere precisamente al número de ciclos límite, y sobre él se sigue trabajando a fondo hoy).

MECANICA CELESTE

En 1878 Hill había encontrado una solución periódica para el problema de tres cuerpos cuando la masa de dos de ellos es despreciable con respecto al otro. En 1883 Poincaré prueba, usando el índice de Kronecker, la existencia de todo un continuo de ellas.

La convocatoria en 1885 de un premio para conmemorar el sesenta aniversario del Rey de Suecia Oscar II ayudó tal vez a que Poincaré se concentrara aún más en el problema de n cuerpos y cuestiones anejas. Estudia de nuevo el problema de tres cuerpos cuando una de las masas es nula y la otra (m) muy pequeña. Partiendo de la existencia de una solución periódica “trivial” para m=0, utiliza un método de “perturbación” a fin de obtener nuevas soluciones próximas para m pequeña, soluciones que obtiene en la forma de series de potencias en m con coeficientes funciones del tiempo. No es evidente que las series obtenidas de esta manera por otros autores-Euler, Lagrange, Lindstedt- fueran uniformemente convergentes y Poincaré muestra que, aunque no es así, son “asintóticas” y pueden resultar útiles en los cálculos. Empieza también a estudiar el problema de la estabilidad, y uno de los resultados más notables es su “teorema de recurrencia”, obteniendo una infinidad de soluciones estables en cierto sentido, y también soluciones inestables, pero que se presentan con “probabilidad nula”, en lo que es una de las primeras apariciones en análisis de lo que hoy llamamos conjuntos de medida cero.

El premio le fue otorgado en 1889 por un muy distinguido jurado que formaron Mittag-Leffler, Hermite y Weierstrass, a los que la lectura de su larga memoria causó dificultades más que considerables. Pero cuando se estaba imprimiendo para su publicación en Acta Mathematica se descubrió un error de importancia, lo que provocó la detención del proceso hasta que Poincaré (que aceptó pagar los gastos ocasionados) dio en noviembre de 1890 una versión corregida. La dificultad surgida tenía que ver con él complicadísimo problema que se presenta al estudiar las soluciones próximas a las soluciones periódicas inestables, lo que da lugar a las soluciones “asintóticas” y “doblemente asintóticas”, a la intersección extraordinariamente intrincada entre las variedades “estable” e “inestable”: este es uno de los primeros antecedentes del “caos determinista”, hoy tan de moda:

“…puede suceder que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales den lugar a otras muy grandes en los fenómenos finales: un error pequeño en las primeras daría lugar a un error enorme en las últimas. La predicción se hace imposible y estamos ante el fenómeno fortuito”.

Estos problemas han sido objeto de estudio intenso durante muchos años, cristalizando en lo que ha llamado Teoría KAM (de Kolmogorov-Arnold-Moser), una de las más profundas de la matemática contemporánea.

En 1885 escribe un artículo fundamental acerca de las figuras de equilibrio que puede adoptar un fluido en rotación sometido únicamente a la fuerza de la gravedad, un problema evidentemente relacionado con la forma (más o menos achatada) de la Tierra y otras cuestiones relativas al Sistema Solar. McLaurin había encontrado elipsoides de revolución a los que Jacobi añadió-después de una presunta demostración de Laplace de que no había otras figuras “casi-esféricas” de equilibrio-una familia de elipsoides con ejes desiguales, y Tait y Thompson (Lord Kelvin) formas anulares; en este último caso las demostraciones no eran del todo rigurosas. Poincaré, desarrollando en parte algunas ideas de Liouville, prueba su existencia y encuentra nuevas series de figuras “periformes”, poniendo también en evidencia un fenómeno de “bifurcación”, es decir, de figuras que pertenecen a dos o más series distintas; hay también un fenómeno de “intercambio de estabilidad”. De aquí surgió una larga discusión sobre el origen de la Luna, en la que tuvo un papel destacado Darwin (hijo) y que no fue zanjada hasta 1915 por J.Jeans.