En realidad, había sido un año antes cuando Lie tuvo su primera idea innovadora en Matemáticas. Se le ocurrió durante la noche, por lo que, entusiasmado, salió corriendo a ver a su amigo Motzfeldt, despertándolo y diciéndole: ¡Lo he encontrado. Es muy sencillo! Puede decirse que fue a partir de ese momento cuando Lie decidió estudiar Matemáticas.

En 1869, Lie publicó su primer trabajo, que por cierto tuvo que pagar de su bolsillo, basado en la idea de Plücker de considerar unas nuevas geometrías que usaban líneas y curvas como los elementos de un espacio dado, en lugar de los puntos habituales. Posteriormente, Lie escribió una exposición más detallada, con ideas innovadoras para la época, como por ejemplo la introducción del concepto de invariante en Análisis y Geometría Diferencial, que no fue aceptada por algunos matemáticos de su tiempo. De hecho, la Academia de Ciencias de Christiania tuvo sus dudas a la hora de publicar ese trabajo. Lie no tuvo reparos en intentar arreglar esta situación, no dudando en escribir cartas a dos matemáticos prusianos, C. T. Reye y A. Clebsch, pidiéndoles que se le reconocieran sus ideas.

Fue de hecho su amigo Motzfeldt el que le animó a perseverar, consiguiendo por fin Lie publicar su artículo a finales de 1869, en el Crelle's Journal. Ese artículo le sirvió para obtener una beca del Estado que le permitió viajar primero a Göttingen y después a Berlín, donde conoció a matemáticos importantes, como L. Kronecker, E. E. Kummer  y K. Weierstrass. Fue precisamente en Berlín donde Lie empezó a confiar en sus propias habilidades matemáticas. De hecho, recibió alabanzas por su trabajo tanto de Kummer como de otros matemáticos que antes le habían ignorado, entre ellos los anteriormente citados Reye y Clebsch. Al respecto, Lie escribió a su amigo Motzfeldt, que seguía en Christiania, diciéndole: desde 1864 a 1868, realmente subestimé mi propia capacidad mental.

Un hecho importante para Lie en esa época fue conocer a un alumno de Plücker llamado Félix Klein. Entre ambos surgió una amistad (que duraría hasta la muerte de Lie), que les llevó a trabajar juntos y a intercambiar ideas de una forma igual de fructífera para los dos.

En la primavera de 1870, Lie y Klein decidieron viajar a París y a Inglaterra, por lo que Klein pidió cartas de recomendación para ambos al Ministerio de Educación de Berlín, pero la respuesta fue negativa. De todos modos se fueron juntos a París, donde conocieron a C. Jordan, G. Darboux y a M. Chasles , entre otros. Fue precisamente allí donde Lie descubrió la célebre transformación que lleva su nombre y que establece una relación entre las rectas y las esferas del espacio, por una parte, y entre las líneas asintóticas y las líneas de curvatura de la superficie, por otra.

En esta estancia en París, Lie y Klein empezaron a interesarse por los trabajos de E. Galois, de Ch. Hermite y sobre todo, por la virtuosidad de la escuela de geometría de M. Chasles. En esa época, Klein y Lie publicaron sus tres volúmenes Gesemmelte Mathematische Abhandlungen.

Aunque en ese momento ambos decidieron viajar a Inglaterra, tuvieron que abandonar esa idea al declararse la guerra franco-alemana en 1870. Klein, por ser de procedencia alemana, tuvo que volver de inmediato a Berlín, mientras que Lie prefirió quedarse en Francia (pudo hacerlo por ser noruego) ya que las discusiones matemáticas que allí encontraba le resultaban estimulantes. Sin embargo, cuando en agosto de ese año el ejército alemán atacó a parte del ejército francés en Metz, Lie decidió que era tiempo de partir y salir hacia Italia, para lo que planeó atravesar Francia a pie. Desgraciadamente, los franceses lo interceptaron en el bosque de Fontainebleau y lo arrestaron al pensar que las notas matemáticas que llevaba eran altos secretos codificados. Lie pasó cuatro semanas en la prisión de dicha localidad, de la que salió gracias a la mediación apurada de Darboux, que consiguió convencer a las autoridades francesas de que las cartas en alemán que Lie tenía en su poder eran inofensivas y trataban sólo de matemáticas. Lie huyó entonces a Italia, desde donde regresó a Christiania pasando por Suiza y Alemania, con el fin de encontrarse de nuevo con Klein.

En 1871, la Universidad de Christiania le otorgó una beca de investigación para la obtención del doctorado en ciencias. Durante ese tiempo fue profesor asistente de esta misma Universidad y también del Nissen's Private Latin School, por lo que dio clases en dos de los centros en los que antes había estado como alumno. Se doctoró en julio de 1872 con un trabajo sobre una clase de transformaciones geométricas (en noruego). Esta memoria  consistía en las ideas de sus primeros resultados publicados en el Crelle's Journal y además en el trabajo sobre transformaciones de contacto, un caso especial de transformaciones que también había descubierto en París.

Tras obtener su tesis, Lie enseñó durante un año en la Universidad de Lund, en Suecia (por entonces Noruega estaba bajo soberanía sueca), obteniendo posteriormente una cátedra que el Parlamento noruego había creado pensando en él en 1872, en la Universidad de Christiania. Es en ese momento, cuando puede entregarse de lleno al desarrollo de sus ideas, siendo constante su producción de memorias en este período: sobre geometría, análisis, ecuaciones en derivadas parciales, etc, notándose en todos estos trabajos la influencia que ejerció sobre él el geómetra francés G. Monge. Otros hechos que sucedieron en los dos primeros años de su cátedra fueron la muerte de su padre, en 1873, en Moss, y  su boda, en agosto de 1874, con Anna Sophie Birch, una pariente lejana de su célebre compatriota Abel, con la que tuvo dos hijas, Marie (1877) y Dagny (1880) y un hijo, Herman (1884).

Fruto de su trabajo en esos años es la teoría a la cual Lie debe su gloria fundamentalmente: la teoría de los grupos de transformaciones, publicada en 1874, en el Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. En este sentido, Lie  es, dicho por él mismo, el continuador de Galois. Éste último había demostrado que la noción de grupo de permutaciones ofrecía la clave de toda la teoría de resolución de ecuaciones algebraicas. Lie deseaba conseguir una teoría semejante  para las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, es decir, relacionar la teoría de grupos con las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

Así, a finales de 1873, Lie utilizó las transformaciones de contacto para asociar a cada ecuación diferencial en derivadas parciales una familia finita de transformaciones, que resultó ser cerrada, por lo que Lie la llamó grupo infinitesimal. Estas familias eran las que hoy en día se conocen con el nombre de álgebras de Lie (de dimensión finita). En realidad, el concepto de grupo de Lie no surgiría hasta algún tiempo después. Lie se había entregado a toda esta tarea desde principios de ese año, edificando de esa forma su denso trabajo de teoremas fundamentales. Al respecto, el propio Lie escribe, en un trabajo de 1874 sobre ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, lo siguiente: mis más tempranos trabajos iban dirigidos, si es que podían, a encontrar la nueva teoría de grupos de transformaciones.

En 1872, por otra parte, se habían cumplido 40 años de la muerte del también matemático y compatriota de Lie,  N. H. Abel (véase también Great Norwegians en www.mnc.net/norway/Page2.htm). A pesar de que la carrera de éste había sido corta, sus obras completas no se habían publicado aún. En esta tesitura, Lie y Sylow prepararon entre 1873 y 1881 una edición de las Oeuvres de Abel en dos volúmenes, que aparecieron en Christiania en 1881. La aparición de esta obra va a dar lugar, indirectamente y trece años después, a otro hecho importante en la vida de Lie: la publicación de su principal obra.