Los Elementos de Geometría

Legendre mostró su apoyo a una de las consignas de la Revolución, la de difundir el saber entre grandes capas de la población escribiendo tratados didácticos que tengan la virtud, además de divulgar la ciencia pasada, de incorporar los conocimientos más recientes. Un magnífico ejemplo de su labor de "divulgación" de las matemáticas fue sus "Elementos de Geometría", destinado a los estudiantes de Bachillerato. Este libro de texto dominó la enseñanza de la geometría elemental durante más de cien años y tuvo numerosas ediciones y traducciones. El texto base del libro era una vuelta parcial a la demostración y al rigor que presentaban los Elementos de Euclides, pero con una cuidada presentación para facilitar la comprensión de las ideas clásicas de Euclides a los estudiantes de su época.

Portada de la décimo primera edición de los “Eléments de Geométrie” de A. M. Legendre (1794)

Al plantearse facilitar la comprensión de las ideas clásicas de Euclides a los estudiantes de su época, Legendre se enfrentó, desde la primera edición en 1794, de sus Eléments de Geométrie, al problema histórico del POSTULADO DE LAS PARALELAS. Con afán didáctico y al mismo tiempo investigador, buscó durante más de cuarenta años, una demostración del quinto postulado, que por una parte fuese rigurosa desde el punto de vista matemático, y por otra, fuese comprensible a sus estudiantes lectores. Sus varios intentos aparecieron en las trece ediciones de su libro desde 1794 hasta 1823. El año mismo de su muerte, en 1833, publicó una monografía sobre el tema donde da por cerrada la cuestión afirmando haberlo demostrado. Legendre murió sin conocer los resultados sobre la geometría no euclídea de Lobachevski y Janos Bolyai.

La Teoría del Potencial

En 1781, el joven Legendre se interesa por el problema de la atracción ejercida por los planetas, intentando proseguir los trabajos realizados por Maclaurin, D´Alembert y Lagrange. Legendre introdujo los polinomios que llevan su nombre en 1785, en uno de sus primeros estudios sobre la teoría del potencial y la determinación de la magnitud de la atracción gravitatoria ejercida por una masa, la tierra, con forma de elipsoide, sobre una partícula.

En diversos artículos posteriores y entrelazando sus investigaciones con Laplace, Legendre ira deduciendo las propiedades de esas nuevas funciones. Estos trabajos abrieron un nuevo campo de la matemática. Aquí como en muchas otras ocasiones, Legendre introdujo unos instrumentos matemáticos, los polinomios que llevan su nombre y los polinomios asociados de Legendre, cuya utilidad y aplicación él no llego a vislumbrar.

Las Funciones elípticas

Se trata sin duda de uno de los dos grandes temas de trabajo de Legendre, junto con la Teoría de Números. Desde que publicó dos memorias en el volumen del año 1786 de la Real Academia de Ciencias hasta el final de su vida es decir durante más de cuarenta años, Legendre se ha dedicado con pasión y perseverancia al estudio de las integrales elípticas que aparecían tantas veces en la matemática y sus aplicaciones. En esos cuarenta años fue descubriendo nuevos resultados, nuevas propiedades, nuevas utilizaciones de las integrales. Suficientes para publicar tres volúmenes en 1811, 1816 y 1817 sobre cálculo integral "Ejercicios de cálculo integral". En ellos, además de estudiar unas integrales funcionales que llamó integrales Eulerianas, vuelve sobre las integrales elípticas y sobre sus aplicaciones a diferentes problemas de geometría, y de mecánica.

En 1825 y 1826 logra reunir de nuevo todos sus resultados con los desarrollos y perfeccionamiento que había conseguido con su incansable trabajo y publicar su "Tratado de funciones elípticas y de las integrales Eulerianas". Para el matemático el trabajo sobre las integrales elípticas se había completado.

Sin embargo, un año después, en Agosto de 1827, Legendre recibió una carta de un joven matemático alemán Karl Jacobi, prácticamente desconocido en París que le sugirió la inversión de las integrales elípticas y le informó de unas investigaciones paralelas a las suyas del matemático noruego Abel.

A raíz de su correspondencia con los dos jóvenes investigadores, Legendre quiso divulgar los resultados obtenidos por lo que él llego a considerar sus discípulos más queridos y añadió un tercer volumen a su "Tratado de funciones elípticas" que completa los dos aparecidos en 1825 y 1826. Este tercer volumen estaba compuesto de tres suplementos que fueron escritos a lo largo de los años 1828 a 1832, donde Legendre presentaba los importantes resultados de Abel y Jacobi. El viejo matemático terminó su tercer suplemento el 4 de marzo de 1832, menos de un año antes de su muerte.

La idea de la inversión de las integrales elípticas demostró ser la clave para todo su desarrollo posterior. Al ampliar su estudio al campo complejo fueron apareciendo sus propiedades características, su doble periodo y muchas otras que necesitan para su comprensión de un mayor formalismo matemático. A partir de los resultados de Abel y Jacobi, se abrió efectivamente, como vislumbraba Legendre, un campo de investigación que avanzaría en los años siguientes con los trabajos de Liouville, de C. Hermite, de K. Weierstrass y de otros.

Teoría de Números

Un Legendre viejo y enfermo escribe el 9 de Febrero 1828, a su joven discípulo Jacobi que le ha comunicado ciertos resultados que ha podido obtener sobre la teoría de números:

"Le podría indicar, en esta parte, temas de investigación que presentan una dificultad digna de Ud.; pero prefiero darle el consejo de no dedicar demasiado tiempo a investigaciones de este tipo. Son muy difíciles y muchas veces, no conducen a ningún resultado"

Sin embargo, Legendre desde luego no se aplicó su propio consejo. El tercer tema, junto a la TEORÍA DE LAS PARALELAS y las FUNCIONES ELÍPTICAS, al que dedicó "durante los cincuenta últimos años de su vida, todo el tiempo libre que le dejaban sus ocupaciones diarias" según palabras de su biógrafo oficial, E. de Beaumont es el estudio de las propiedades de los números, la llamada Teoría de Números.

Ya en 1785, Legendre publica  su primer trabajo sobre propiedades de los números en su memoria "Recherches d´analyse indeterminée". Es en este trabajo que Legendre presenta por primera vez lo que a su juicio es la primera demostración de la LEY DE RECIPROCIDAD CUADRÁTICA, una de las leyes de mayor trascendencia para la teoría de números. Esta demostración será posteriormente refutada por Gauss que se declaró entonces el "padre" verdadero de la ley.

Portada de la segunda edición del “Essai sur la Théorie des Nombres” de A. M. Legendre (1798)

Seguirá trabajando sobre el tema y en 1798 publica por primera vez en la historia de las matemáticas un tratado totalmente dedicado a la teoría de números: "Ensayo sobre la teoría de los números". Diez años más tarde, hace una nueva edición de su Ensayo, reformando según su costumbre el texto. Descontento de sus publicación, añade dos suplementos en 1816 y 1825 donde recoge sus investigaciones sobre el teorema de Fermat.

Por fin, al final de su vida, se decide a reunir los últimos resultados sobre las propiedades de los números y publica la "Teoría de Números", que representa para Legendre su "testamento" sobre estas cuestiones.

A modo de epílogo

Matemático de calidad, poco perturbado por los acontecimientos de su época, Legendre ha analizado algunos de los problemas claves de su tiempo pero se ha dejado a menudo adelantar por espíritus más brillantes. Gran analista, experto utilizador de los desarrollos en serie, se queda mucho más cerca de los razonamientos de sus maestros Euler y Lagrange que de los de un joven Abel o un escueto Gauss.