LEMA 1: Dados dos segmentos a y b, encontrar otros dos x e y tales que:


Jayyam resuelve este problema igual que Menecmo, cortando dos parábolas.

LEMA 2: Sean dos paralelepípedos de bases cuadradas de lados a y b. La altura del primero es h. Queremos calcular la altura del segundo (lo cual significa fabricar un segmento igual a dicha altura) para que ambos tengan idéntico volumen (figura 1).


La proposición 11 del libro VI de los Elementos de Euclides permite dibujar un segmento de longitud m tal que a/b=b/m. Con la proposición 12 del mismo libro construimos un segmento k cuarto proporcional de m, a y h, esto es, tal que m/a=h/k. Este segmento es la altura buscada. En efecto, por la proposición 34 del libro XI:

LEMA 3: Conocemos ahora la altura del segundo paralelepípedo y queremos saber el lado de su base. Buscamos un segmento m cuarta proporcional de las tres longitudes conocidas k/n=a/m: Mediante la proposición 13 del libro VI fabricamos otro segmento b media proporcional entre a y m: a/b=b/m. La misma cadena de igualdades utilizada más arriba demuestra que este segmento es el lado buscado.

1. Ecuación x³=c. Según el lema 1 podemos encontrar dos segmentos x e y tales que 1/x=x/y=y/c. Ahora bien, según la primera igualdad, x²=y.  Entonces:

Ambas curvas se cortan en O y en otro punto P. En adelante nos fijaremos en los segmentos OX=x y OY=y que el punto de encuentro de las cónicas proyecta sobre rectas relacionadas con ellas (en este caso, el eje de la parábola y el diámetro de la circunferencia perpendicular a él).

Por la proposición 33 del libro III y el corolario de la proposición 8 del libro VI de los Elementos, los triángulos rojo y verde son semejantes:

Y por ser P un punto de la parábola:

Combinamos las do proporciones y tenemos lo siguiente:

de donde se deduce que OX³=OA²HX. El segmento OX=x es la solución:

Ecuación x³+cx=bx. Los segmentos OA y OH y la parábola son los de antes. Tangente en O a su eje, dibujamos una hipérbola de lado recto OH (figura 3).