Galois y las matemáticas

En el renacimiento italiano se encuentra la fórmula para resolver la ecuación general de cuarto grado. Es una expresión en las que solamente intervienen los coeficientes de la ecuación y raíces hasta de exponente cuarto. Este resultado corrobora lo que sucede con las ecuaciones de grado 2 y 3 (en cuya solución general hay raíces de exponentes 2 y 3)

Acababa el siglo XVIII cuando Gauss (1777-1855) presentó en 1799 su tesis doctoral en la que aparecía el ‘teorema fundamental del álgebra’ que establece de forma rigurosa que toda ecuación polinómica con coeficientes reales se puede descomponer de forma única como producto de factores de primero y segundo grados, y en consecuencia que toda ecuación de ese tipo tiene al menos una raíz (real o imaginaria). Este era un resultado general pero que no establecía el método efectivo de hallar esas raíces.

Vistos los datos anteriores era una hipótesis razonable pensar que una ecuación de quinto grado tendría cinco soluciones reales o imaginarias, diferentes o repetidas; pero no se había encontrado la fórmula para encontrarlas, aunque, caso de que la hubiera, también era razonable suponer que contendría raíces de grado cinco. Y, generalizando un poco, que las de grado seis se resolverían con raíces sextas, las de grado siete con raíces de ese mismo grado y así sucesivamente. Era cuestión de ponerse a trabajar para encontrar la solución de la ecuación de quinto grado y después seguir. Se dedicaron a ello muchos grandes matemáticos de la época, como Lagrange (1736-1813), Cauchy (1789-1857) y sobre todo Ruffini (1765-1822) que fue el que más avanzó hacia el resultado final, aunque no llegó a completarlo. Esa sería la labor de Abel (1802-29) que el año 1823 (cuando tenía 21 años) obtuvo el resultado definitivo: la ecuación general de quinto grado no era resoluble por radicales, ni de índice cinco ni de ningún otro. Con eso se daba un paso importante al cerrar el problema de la búsqueda de fórmulas de resolución. Todavía quedaban otros aspectos importantes por abordar, en particular las condiciones que debían cumplir ecuaciones particulares para que sí se pudieran resolver.

La forma en que Abel ‘resolvió’ el problema de la resolución de la ecuación general de quinto grado demostrando su imposibilidad es la primera vez en la historia que un problema tenía este final, y sería el inicio de una larga lista de imposibilidades (con la destacada de la indecibilidad del lenguaje aritmético, establecido por Gödel en 1931). Hasta ese momento cuando un problema no se sabía resolver se consideraba que es que no se seguía el camino apropiado o que no se tenían los instrumentos necesarios para resolverlo, pero se tenía el convencimiento de que antes o después se lograría resolver.

La contribución genial de Galois a la teoría de resolución de ecuaciones fue la determinación de las condiciones en las que una ecuación es resoluble por radicales, lo que da como consecuencia que para todo n > 4 haya ecuaciones polinómicas que no son resolubles por radicales.

En esencia el resultado de Galois sobre resolubilidad por radicales de una ecuación tiene que ver con una serie de subgrupos (de un tipo especial llamados normales) del grupo de permutaciones, cada uno subgrupo del anterior, asociados a lo que llama Galois resolventes de la ecuación. Y este resultado es que una ecuación es resoluble por radicales si y solo si los índices de todas las etapas de esa sucesión de subgrupos son números primos. Eso es lo que pasa en todas las ecuaciones de grado 4, puesto que el orden de S(4) es 24, y nos lleva a una serie de subgrupos de índices 3,2,2 y 2, todos primos. En el caso de la ecuación general de grado n > 4, S(n) tiene n! elementos y nos lleva a una serie de dos subgrupos de índices 2 y n!/2, y este último número nunca es primo, luego la ecuación general de grado n > 4 no es resoluble por radicales.

Basten las pocas líneas anteriores para mostrar la aportación de Galois a la teoría de resolución de ecuaciones, que fue de tal calibre que acabó con el propio objeto del álgebra, pasando a partir de sus resultados a poner el acento en el estudio de las estructuras algebraicas. Así comienza lo que aún hoy se conoce como ‘matemáticas modernas’, de las que la ‘Teoría de Galois’ sigue siendo una parte plenamente vigente.

Fue tan avanzado que sus resultados, que redacta la noche anterior al duelo y encarga a su amigo A. Chevalier que publique, nadie los entiende durante un tiempo. Tendrían que pasar doce años para que vuelvan a ver la luz, cuando Liouville en 1843 anuncia en la Academia, que tan poco caso le hizo unos años antes, que había encontrado entre los papeles de Galois una solución concisa, pero tan exacta como profunda de este bello problema: ‘Dada una ecuación de grado primo, decidir si es o no es resoluble por radicales’. Y tres años más tarde, el mismo Liouville publica en la revista que dirige (‘Journal de mathématiques pures et appliquées’) una reedición de los artículos de Galois junto con sus dos memorias inéditas. Aunque tardía, su repercusión y su influencia fueron inmensas en las matemáticas desde la  segunda mitad del siglo XIX hasta nuestros días.