Fibonacci, Leonardo de Pisa (1180-1250) - Página 3 |
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| Escrito por Ricardo Moreno (Universidad Complutense de Madrid) | ||||||||
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El Liber quadratorum
Esta obra, que hasta 1862 se creyó perdida, fue escrita en 1225. Los problemas planteados en este libro están en la línea de Diofanto, pero en la manera de resolverlos está el sello personal de Leonardo. Si el matemático de Alejandría se contenta con soluciones racionales, el de Pisa quiere conseguirlas enteras. Uno de estos problemas consiste en encontrar un número cuyo cuadrado, al sumarle y restarle un mismo número, vuelva a dar cuadrados. En términos modernos, se trata de resolver las ecuaciones diofánticas x2+t=y2 y x2-t=z2. Ahora bien, estas ecuaciones, combinadas entre sí, llevan a esta otra, 2t=y2-z2=(y-z)(y+z), a la vista de la cual es evidente que los dos factores del segundo miembro (por ser ambos de la misma paridad y su producto múltiplo de dos) han de ser pares. En consecuencia y-z=2h, 2t=(y+z)2h e y+z=t/h. La primera y la tercera ecuación permiten calcular z e y: y = h + t/2h, z = h - t/2h. Si ambas expresiones son sustituidas en las ecuaciones originales, dan lugar a x2+t=(t/2h)2+t+h2 y x2-t=(t/2h)2-t+h2, las cuales a su vez, sumadas miembro a miembro, proporcionan esta otra x2=(t/2h)2+h2. Esto significa que x, t/2h y h forman lo que se conoce como una terna pitagórica. Si son números enteros, han de existir (se sabe desde muy antiguo) dos enteros m y n, primos entre sí y de distinta paridad, tales que x=m2+n2, t/2h=m2-n2 y h=2mn.
Eliminando la h se tiene que x=m2+n2 y t=4mn(m2-n2). Dando valores a m y n, se encuentran todas las soluciones que se quieran:
 A los posibles de valores de t los llama Leonardo, con una terminología ya en desuso, congruentes. El número congruente más pequeño es veinticuatro, lo cual explica por qué el primer problema planteado en el torneo carece de soluciones enteras. Es cosa sencilla demostrar algo que la tabla anterior hace evidente: todos los números congruentes son múltiplos del más pequeño de ellos.
El Liber abaci
El Liber abaci, publicado en 1202, es sin duda la obra más conocida de Leonardo. Su título es equívoco, pues precisamente frente a los abacistas (que empleaban el ábaco y la vieja notación romana) demuestra las ventajas de las cifras hindúes. En el Liber abaci se habla del uso de las cifras y del cálculo con los números enteros, se enseña la descomposición de un número en factores primos, se demuestran los criterios de divisibilidad y se proporcionan las pruebas del 9, del 11 y del 7.
También trata sobre la contabilidad mercantil, la regla de compañía y al cambio de monedas. Aparecen en él además problemas de álgebra de primer grado, que Leonardo resuelve por medio de la regla de los dos errores que había aprendido de los árabes. Pero de todos los problemas propuestos en el Liber abaci hay uno que sobresale por su enorme longevidad. Son muchos los matemáticos que han trabajado sobre él y que siguen trabajando, y es rara la revista matemática que no le haya dedicado alguna vez un artículo. El problema es el siguiente: ¿Cuántas parejas de conejos tendremos a fin de año si comenzamos con una pareja que produce cada mes otra pareja que procrea a su vez a los dos meses de vida? Como se ve en la tabla siguiente, el número de parejas que hay al terminar cada mes es una sucesión en la que cada término es la suma de sus dos precedentes.  Leonardo no llegó a sospechar las curiosas propiedades de esta sucesión, ni que habría de ser objeto de estudio por parte de muchos matemáticos posteriores. Girard, Simpson y Lagrange son algunos de ellos.
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