En geometría, algo sabemos tanto de su contribución decisiva a la teoría clásica de la proporción (Aristóteles, Segundos Analíticos, 14a 17-25; Euclides, Elementos, V, escolio 1; Proclo, In I Euclidis Comm., 55.18-23), como de la prueba de dos teoremas avistados por Demócrito: el volumen de una pirámide es un tercio del volumen de un prisma de su misma base y altura; el volumen de un cono es un tercio del volumen de un cilindro de su misma base y altura (Arquímedes, prefacios de Sobre la esfera y el cilindro y del Método).

Eudoxo avanza una teoría general que vendrá a sustituir las teorías previas sobre razones y proporciones (cf. [3], [5], [8]): la aritmética, incapaz de hacerse cargo de las magnitudes no conmensurables descubiertas en el s. V; o la antiferética, aplicable a construcciones geométricas y a la determinación de casos de no conmensurabilidad –en la línea de las investigaciones de Teodoro y Teeteto (cf. Platón, Teeteto, 147d-148b)–, pero sólo capaz de habilitar pruebas por separado para las magnitudes conmensurables y las inconmensurables y para sus diversos campos de aplicación –números, líneas, áreas– (cf. [5]); [10], en cambio, discrepa de esta limitación). Las magnitudes que considera Eudoxo son todas aquellas que, siendo homogéneas, pueden guardar razón entre sí y satisfacer la condición: si A < B, hay un número (entero positivo) n tal que nA > B -condición explicitada con distintos matices por Euclides y por Arquímedes-. La relación de proporción -es decir, la relación de guardar la misma razón- no es una relación diádica de igualdad entre razones, sino una relación tetrádica entre magnitudes, representable como ‘A:B :: C:D’, que obedece al siguiente criterio. Sean m, n números (enteros positivos) cualesquiera. Entonces, A:B :: C:D si y sólo si (i) siempre que mA > nB, también mC > nD; (ii) siempre que mA = nB, mC = nD; y (iii) siempre que mA < nB, mC < nD. También podría haber deducido Eudoxo unas propiedades como: Si A:B :: C:D, entonces [a] A:C :: B:D, alternancia; [b] B:A :: D:C, inversión; [c] (A+B):B :: (C+D):D, composición; [d] (A-B):B :: (C-D):D, separación. Esta base teórica fue luego reconstruida, desarrollada e instituida por la teoría de la proporción del libro V de los Elementos de Euclides. Siglos más tarde, asistiremos a una asociación del criterio de proporcionalidad de Eudoxo con la idea de cortadura de Dedekind³, aunque las magnitudes consideradas por Eudoxo sean, en su conjunto, irreducibles a los números -en el sentido griego antiguo-, y esta matemática griega ignore la teoría de los números reales.

Las pruebas de los teoremas sobre el volumen de la pirámide y del cono envuelven, a su vez, el uso de un método de “convergencia” que descansa en la teoría de la proporción y en ciertos supuestos implícitos. De unos supuestos parecidos ya da fe Aristóteles:

quizás al tanto de las pruebas de Eudoxo. El supuesto (2) será formulado y sentado como un lema de bisección por Euclides (Elem., X, 1); de la expresión precisa de (1) se ocupará, a su vez, Arquímedes (pref. de La cuadratura de la parábola, Sobre la esfera..., Sobre las espirales). El método nace sabedor de los infructuosos esfuerzos de Brisón y de Antifonte por cuadrar el círculo, si bien pudo inspirarse en su heurística aproximativa. Se aplica a la determinación de áreas y volúmenes por equivalencia o proporción con unas magnitudes poligonales dadas. La idea eudoxiana es determinar la magnitud de una figura curvilínea, F, mediante la construcción de una serie monótona de polígonos inscritos –a la que posteriormente se añadirá a veces la construcción de otra decreciente de polígonos circunscritos–, que convergen en una magnitud equivalente o proporcional a la de F en el supuesto de que, a tenor de (2), sus diferencias pueden hacerse menores que cualquier magnitud finita dada. Entonces, al amparo tácito de un principio de tricotomía, obra la reducción al absurdo de las hipótesis de que la magnitud de la figura curvilínea sea mayor, o sea menor, que la poligonal construida. Este recurso permite una demostración efectiva y finitista de su equivalencia o proporción –pero no justifica la romántica presunción de una especie de “horror” griego al infinito⁴ –.