La referencia acerca de la enseñanza de Euclides en Alejandría procede de Papo (Collectio, VII 35): cuenta que, hacia 250, Apolonio había conocido a unos discípulos de Euclides en Alejandría. Ambas referencias cuadran con otras indicaciones. En cambio, sólo descansa en sí mismo el tópico de que Euclides hubiera visitado la Academia platónica.

Euclides deviene con el tiempo un personaje de historias y leyendas, a veces presa de malentendidos. Las historias de los polígrafos griegos tienden a moralizar en un tono neoplatónico edificante y severo. Según Estobeo, cuando uno de sus oyentes, nada más escuchar la demostración de un teorema, le había preguntado por la ganancia que cabía obtener de cosas de este género, Euclides, volviéndose hacia un sirviente, había ordenado: «Dale tres óbolos, pues necesita sacar provecho de lo que aprende». También se decía que, en otra ocasión, al preguntarle el rey Tolomeo I por una vía de acceso a los conocimientos geométricos más fácil y simple que las demostraciones de los Elementos, Euclides había respondido: «No hay camino de reyes en geometría». Algunos matemáticos de ayer (G.H. Hardy) y de hoy (E.C. Zeman) todavía se imaginan a Euclides como un digno y envarado colega, un tipo pedante. Es una impresión que no concuerda con la que sugiere Papo cuando alaba su talante «comprensivo y afable» (Collect., VII 35). Pero los polígrafos árabes inventaron leyendas más audaces: Euclides habría sido hijo de Naucrates, nieto de Zemarco -y tal vez de Berenice-; habría nacido en Tiro y residido en Damasco, sin renegar de su ascendencia helénica; en fin, sus Elementos no hacían sino refundir el trabajo de un tal Apolonio, carpintero por más señas (Casiri, Biblioteca Arabico-Hispana Escurialensis, I 339). Luego, en los ss. XV-XVI, llegó la hora de los malentendidos con algún comentador y algún editor de los Elementos: hubo quien dio a su autor la falsa identidad de Euclides de Megara, un filósofo socrático coetáneo de Platón, y hubo quien insistió en agregar a la obra dos libros espurios: el XIV, debido seguramente al alejandrino Hipsicles, y el XV, mucho más tardío y de menor calidad aún, atribuible al bizantino Damacio. Ahora bien, la neblina que envuelve al personaje sigue dando que hablar en nuestros días. Hay quien ha pensado, e.g. Itard [2], que la única salida viable ante la incertidumbre creada por su vaga cronología y por la composición un tanto irregular y heterogénea de sus Elementos, es plantear una especie de “cuestión euclídea”, a saber: ¿no será “Euclides” un nombre colectivo -digamos, un temprano Bourbaki en la antigua Alejandría-? O, más probablemente, ¿no serán los Elementos obra de una escuela? Nada de esto es imposible. Pero tales propuestas carecen de base documental y, por añadidura, desvían el interesante problema de la composición de los Elementos de su significación y su explicación históricas internas.

Los problemas en torno a la personalidad de Euclides se extienden a la autoría de los escritos que nos han llegado bajo su nombre. Hoy suponemos que escribió por lo menos una decena de obras, pero sólo contamos con dos acreditadas: los Elementos y los Datos -e incluso en el caso de los Elementos, en especial, hemos de atenernos a ediciones y variantes posteriores del original, una historia apasionante (cf. [4], introd.) todavía en revisión–.

Los Elementos, en la edición estándar [3], constan de 140 asunciones básicas (130 definiciones, 5 postulados, 5 nociones comunes), 465 proposiciones derivadas (93 problemas, 372 teoremas), y unos pocos resultados auxiliares (19 porismas, 16 lemas). Cubren diversos campos de la matemática griega: la geometría plana (libros I-IV); la teoría de la proporción (V-VI); la teoría aritmética (VII-IX); la conceptualización de la conmensurabilidad e inconmensurabilidad, y la clasificación de rectas expresables y no expresables en términos de razones (X); la geometría del espacio (XI-XIII).

"Los seis libros primos de la Geometría de Euclides" (Sevilla, 1576). Primera edición española de los Elementos de Euclides

Dentro de ellos hay núcleos de especial relieve como el tema de las paralelas en geometría, o el estudio de los primos relativos en aritmética, o el desarrollo sistemático de la proporción como una relación tetrádica entre magnitudes en el marco de una teoría que reelabora el legado de Eudoxo:

«Se dice que guardan razón entre sí las magnitudes que, al multiplicarse, pueden exceder una a otra» (V definición 4; cf. la condición o postulado de Eudoxo),
«Se dice que una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda que una tercera con una cuarta, cuando cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera excedan a la par, sean iguales a la par o resulten inferiores a la par que cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta, respectivamente y tomados en el orden correspondiente» (V def. 5; cf. el criterio de proporcionalidad de Eudoxo).

La teoría incluye además otros supuestos precisos: (i) un criterio de no proporcionalidad, fundado en la relación de guardar mayor razón (def. 7), que a su vez depara un orden de las magnitudes consideradas; (ii) la existencia de un cuarto término proporcional (tácita en V 18, luego probada para un caso particular en VI 12). Por añadidura, sienta las bases del método de convergencia al establecer, a partir de V def. 4, el lema de bisección:

Tampoco faltan, desde luego, resultados célebres o notables: e.g. las pruebas del afamado “teorema de Pitágoras” (I 47, V 31); un algoritmo antiferético para hallar la medida común máxima de dos números (VII 1, 2); una primicia de la descomposición única de un número en sus factores primos (IX, 4); la prueba de la no finitud de los números primos (IX 20); o, en fin, la demostración de que dos magnitudes conmensurables guardan entre sí la misma razón que un número con un número (X 5) -siendo números los enteros positivos-; amén de resultados y ejercicios sobre áreas y volúmenes, inscripciones y circunscripciones, etc., que durante más de 2000 años han familiarizado con la matemática elemental y su rigor demostrativo a generaciones y generaciones de escolares.