Siendo como era profesor en una Escuela Técnica, Dedekind no tuvo discípulos, no creó escuela. Pero además de la influencia de sus escritos, magníficamente presentados, estuvo su colaboración con grandes matemáticos como el citado Heinrich Weber, como Frobenius, etc. Años después de su artículo conjunto, Weber publicó un manual de álgebra que sería obra de referencia obligada durante tres décadas. La correspondencia con Frobenius, publicada hace poco, desempeñó un papel importante en el desarrollo de la teoría de caracteres de grupos. Las indicaciones de Dedekind fueron importantes para orientar a Frobenius, y también lo fue el trabajo de aquél sobre números hipercomplejos publicado en 1885. En una de las cartas escribe Frobenius:

Y por supuesto está la famosísima correspondencia con Cantor, sobre todo de 1872 a 1882, en la que éste iba desarrollando sus geniales ideas nuevas y las sometía al riguroso análisis de su colega.  Es a Dedekind a quien Cantor dirige la conocida frase “lo veo pero no lo creo” (añadiendo “mientras no me dé Ud. su aprobación”) en referencia a la equipotencia de los continuos de cualquier número de dimensiones.

El trabajo de Dedekind sobre fundamentos del número estaba íntimamente ligado con su investigación en álgebra y teoría de números. Este tipo de interacción es distintiva de su obra, y precisamente es lo que le condujo a dar con nociones fundamentales que tenían a la vez la generalidad necesaria para reconstruir todo el edificio de la matemática pura. Igual que veía el álgebra en términos de estructuras (esencialmente cuerpos o subestructuras de cuerpos) y morfismos, acabó reduciendo el concepto de número a conjuntos y aplicaciones. Nacía así, en paralelo con las novedosas contribuciones de Cantor, el enfoque conjuntista de los fundamentos. Lo característico y muy original de Cantor fue su fantástico viaje de exploración de lo que él llamaba transfinito; pero en lo relativo a reformular la matemática dentro del enfoque conjuntista, Dedekind fue más lejos y además se anticipó.

El primer paso fundamental en esa dirección lo dio Dedekind en 1858, cuando ideó la definición de los números reales mediante cortaduras, insatisfecho porque hasta entonces la teoría de límites se apoyaba en evidencias geométricas. Dedekind advirtió que las propiedades de orden denso de los números racionales hacían posible utilizar el fenómeno de las cortaduras para definir los reales. Una cortadura es una partición de Q en dos subconjuntos disjuntos (A₁, A₂) tal que cada número de A₁ es menor que todo número de A₂. El conjunto de los números reales es (en esencia) el conjunto de todas las cortaduras sobre Q, y Dedekind demostraba rigurosamente que dicho conjunto es continuo. De este modo, podía demostrar con rigor que toda sucesión estrictamente creciente y acotada de reales tiene por límite un número real. Con ánimo polémico, Dedekind escribió que hasta ese momento nadie había dado los medios para demostrar que √2 · √3 = √6.

De nuevo, su trabajo quedó muchos años sin publicar, y la razón –si creemos a su autor– fue que no era original, sino que cualquier buen matemático que decidiera prestar su atención al tema llegaría a algo similar. Sólo en 1872, teniendo que escribir algo para un volumen de homenaje a su padre, Dedekind sacó sus notas del cajón y publicó “Continuidad y números irracionales”, un artículo magistral. Se debe notar que aquí R queda caracterizado, al pie de la letra, como un cuerpo de números dotado de un orden lineal continuo (el orden denso del cuerpo Q era analizado también con toda precisión, pero sin usar el término “denso”).

El descubrimiento de que los números reales eran reducibles a los números racionales, empleando sólo teoría de conjuntos, debió tener un efecto muy poderoso sobre Dedekind. Como muchos de sus contemporáneos, Dedekind creía (ingenuamente) que la teoría de conjuntos no era más que una parte de la lógica elemental. (Este punto de vista exigía recurrir implícita o explícitamente al principio de comprehensión, presunto axioma lógico que años después se demostró contradictorio gracias precisamente a las paradojas.) Al pensar de esa manera llegó al convencimiento de que –como escribió en 1888– “la aritmética”, pero también “el álgebra y el análisis”, son “sólo una parte de la lógica”. Nacía así, hacia 1872, el programa logicista en fundamentos de la matemática. Pero para establecerlo era necesario dar una teoría totalmente rigurosa de los números naturales, basada sólo en la teoría de conjuntos y aplicaciones.

¿Qué son y para qué sirven los números? de R. Dedekind (1888)

En su libro, Dedekind axiomatizaba la aritmética de los naturales ofreciendo una caracterización de la estructura del conjunto de los números naturales. La idea es que N es un conjunto dotado de una aplicación inyectiva Φ (la función sucesor) y con un elemento distinguido 1, tal que: (a) Φ(N) ⊂ N, lo que le hace infinito; (b) 1 ∉ Φ(N), es decir, no es un sucesor; y (c) N es la Φ-cadena de {1}, lo que intuitivamente significa que es el más pequeño conjunto que satisface (a) y (b) y es cerrado bajo Φ. Estas condiciones son equivalentes a los famosos axiomas de Peano, propuestos por éste un año más tarde. En concreto, la condición (c) de ser una cadena permite deducir el axioma de inducción. Pero lo cierto es que Dedekind era más general y más riguroso que Peano, como muestra por ejemplo el hecho de que desarrolló una teoría general de las definiciones recursivas.

Para preparar esa definición de los naturales, Dedekind empezaba su libro presentando una teoría elemental pero general de conjuntos, en la que encontramos algunos de los axiomas de Zermelo. Estudiaba luego la teoría de aplicaciones, por primera vez en la historia, y finalmente desarrollaba una teoría general de cadenas que tuvo mucha importancia en el desarrollo de la teoría de conjuntos. Sólo a partir de la sección 6 limitaba sus consideraciones con vistas a la aritmética finita, y en algún lugar sugería que era fácil generalizar sus ideas al caso transfinito. Ahora bien, hay un punto (afortunadamente sólo uno) donde su enfoque no resultó aceptable a la vista de las antinomias: el intento de demostrar que existe un conjunto infinito. Las paradojas arruinaron la interpretación logicista de esos resultados, pero no el desarrollo teórico mismo, que fue reincorporado dentro de la teoría axiomática de conjuntos. (Por cierto, Zermelo solía denominar “axioma de Dedekind” al axioma del infinito, ya que las ideas esenciales y la necesidad de un principio así se encuentran en su trabajo.)

Para quienes entendieron esa obra de Dedekind, y comprendieron sus conexiones con el álgebra y el análisis, los conjuntos y las aplicaciones se convertían en las piedras básicas con las que se construía todo el edificio de la nueva matemática estructural. Una de estas personas fue Hilbert, que –como hemos descubierto recientemente– fue partidario del logicismo de Dedekind hasta 1900 o algo más. Precisamente Hilbert escribió que el enfoque de Dedekind, con su idea de fundar lo finito en lo infinito, resultaba “deslumbrante y cautivador”.

Dedekind fue un hombre de vida retirada, modesto, recto y exigente, aunque con sentido del humor. Soltero, vivió una existencia provinciana y cerrada junto a su madre y su hermana, rehusando incluso alguna cátedra universitaria por no alejarse de la familia. Eso sí, parece haber disfrutado mucho de la música (tocaba bien el cello y el piano), de la lectura (junto a su hermana, escritora de éxito), y de la naturaleza. Felix Klein, hombre de mundo, amante del poder y las grandes empresas, escribió de él:

Quizá, más que nada de esto, de lo que careció es de ambición y, sin duda, de espíritu aventurero.