Hacia 1856 nuestro hombre encontró el que sería su principal campo de trabajo. Escucha las lecciones de Dirichlet sobre teoría de números, famosas por haber puesto el contenido de las Disquisitiones arithmeticae de Gauss al alcance del “gran público” matemático, y las discute minuciosamente con su maestro. Pero sobre todo estudia los trabajos de Abel y Galois, a resultas de lo cual imparte un curso sobre álgebra superior y teoría de Galois, aparentemente el primero de este tipo en Alemania. El primero, y el más avanzado por mucho tiempo: se conserva un manuscrito (redactado probablemente hacia 1858, después de concluidas las lecciones) y de él se ha dicho que constituye “el primer tratamiento moderno del tema”. Concibe la teoría directamente en términos de extensiones de cuerpos, estudia cuidadosamente las relaciones entre dichas extensiones y los grupos de las ecuaciones, y además –a diferencia de sus contemporáneos– pone en segundo plano el estudio de las soluciones de ecuaciones.

Pero Dedekind no llegó a publicar ese manuscrito cuidadosamente redactado, y de hecho tardó mucho (demasiado) en publicar contribuciones importantes. En 1858 se desplaza a Zurich como profesor del Politécnico (la famosa ETH posterior), año y lugar donde por cierto concibió su célebre definición de los reales mediante cortaduras. En 1862 vuelve a Braunschweig, y durante unos años parece abandonar la investigación para dedicarse a publicar trabajos de sus grandes maestros: las Vorlesungen über Zahlentheorie de Dirichlet (1863) y algunos trabajos de Riemann (en 1868 los célebres trabajos de habilitación, sobre geometría y sobre teoría de funciones reales, con la definición de la integral; en 1876 las obras completas editadas por él y Heinrich Weber).

Segunda edición (1871) por R. Dedekind de las “Vorlesungen über Zahlentheorie de Dirichlet, que incluye un apéndice “sobre la teoría de los números enteros algebraicos”

La razón de no publicar venía en buena medida de lo exigente que era Dedekind a la hora de juzgar sus logros, cosa quizá normal en alguien que había conocido en persona a Gauss y Riemann (!). Su largo trabajo sobre números algebraicos, hacia 1860, no le había permitido elaborar una teoría perfectamente general, y eso al parecer le desencantó. Por fin, ya a los 40 años, publica la segunda edición de las Vorlesungen de Dirichlet (1871), y dentro de ella –curioso lugar en una época ya de artículos especializados– un apéndice “sobre la teoría de los números enteros algebraicos”. Se ha llegado a decir que este trabajo dio forma a la teoría de números moderna. Aparecían aquí diversas estructuras algebraicas, estudiadas empleando homomorfismos, isomorfismos, clases de equivalencia: las estructuras de cuerpo, anillo –sin este nombre–, módulo, ideal (siempre dentro del contexto particular de los números complejos). La teoría de los enteros algebraicos se convertía en una teoría de ideales en anillos de enteros, y mediante esta transformación Dedekind lograba la generalidad deseada.

Un ideal (en un anillo de números) es un conjunto de infinitos números enteros del anillo, cerrado para la suma y también para la multiplicación por números cualquiera del anillo. El replanteamiento que propuso Dedekind significaba introducir “a todo trapo” el lenguaje conjuntista en este campo de la matemática. La recepción de su trabajo fue lenta, sin duda porque se trataba de un cambio muy radical. Este punto es difícil de juzgar hoy para nosotros, acostumbrados como estamos desde muy pronto al lenguaje conjuntista. Pero en aquella época el álgebra era todavía la teoría de las ecuaciones, y el estudio de los enteros algebraicos consistía en estudiar propiedades y relaciones de números concretos. Dedekind pasaba a analizar las propiedades de la multiplicación de ideales, y esto representaba para sus contemporáneos una abstracción sumamente difícil. Se puede decir que sólo hacia 1890 encontró continuadores.

Entretanto, Dedekind había publicado otras dos versiones de la teoría de ideales, en sendas reediciones del libro de Dirichlet (1879 y 1893). Estas nuevas versiones introducían cambios muy importantes, guiados por un ideal de pureza de método. Dado que el punto de partida de la teoría eran definiciones de estructuras conjuntistas, el método de trabajo debía basarse en el manejo lo más directo posible de conjuntos y morfismos. Dedekind era, en cierto sentido, más un sistemático que un matemático orientado a la resolución de problemas. En su afán de pureza, y de acuerdo con el espíritu “aritmetizador” de la época, llegó a sugerir en algún momento que el álgebra debía olvidarse de los polinomios. Pero ese mismo afán le llevó a desarrollar métodos que tenían un gran potencial de generalización; de ahí la famosa frase que Emmy Noether solía repetir a sus colaboradores: “ya está todo en Dedekind” (es steht alles schon bei Dedekind).

La versión de 1893 incluía un nuevo tratamiento de la teoría de Galois, muy abstracto para la época, en términos de grupos de automorfismos del cuerpo correspondiente. Resultados como el teorema sobre independencia lineal de los automorfismos prefiguran el modo de trabajo del álgebra abstracta de los años 1920 (Artin, Noether). Sin embargo, los matemáticos de su momento se quejaban de tanta abstracción. Frobenius, que conocía bien a Dedekind y su trabajo, bromeaba diciendo que iba demasiado lejos y que sus morfismos eran “demasiado incorpóreos” (recuérdese que fue Dedekind quien introdujo el término “cuerpo”). Les parecía que con medios más tradicionales se podían desarrollar los resultados de un modo más económico y elegante, y así lo hizo por ejemplo Hilbert en su célebre Zahlbericht de 1897. Dedekind respondía que si elaboraran todo desde el principio y justificaran todos los pasos, el desarrollo al modo habitual resultaría más largo y complejo que el suyo. Pero su enfoque purista y abstracto tardó en imponerse.

En 1882, Dedekind publicó junto a su buen amigo Heinrich Weber (entonces profesor en Königsberg, con el joven Hilbert entre sus alumnos) un trabajo fundamental sobre curvas algebraicas bajo el título “Teoría de las funciones algebraicas de una variable” (Journal für die reine und angew. Mathematik). Se establecía aquí un paralelismo muy notable con la teoría de ideales, y por esta vía puramente algebraica se llegaba a dar una definición de los puntos en una superficie de Riemann y se alcanzaba a demostrar el teorema de Riemann-Roch. El cambio con respecto al tratamiento habitual de estas cuestiones era de nuevo inmenso, los autores describían su método como “simple pero a la vez riguroso y plenamente general”. El tipo de paralelismo estructural que aquí se plantea sería premonitorio de la matemática del siglo XX. Se abría el camino a la geometría algebraica, que también recibió por entonces estímulos de Kronecker, el gran “contrincante” de Dedekind.

A propósito de Kronecker, famoso por su enfrentamiento con Cantor, no está de más recordar que fue todavía más beligerante con Dedekind. (Si éste se lo tomó relajadamente, la razón hay que buscarla en las grandes diferencias entre su personalidad y la del genial pero inestable Cantor.) Kronecker y Dedekind compartían casi todo: campos de trabajo –teoría de números, álgebra, curvas algebraicas–, interés por los fundamentos y capacidad para ir a fondo en ambas direcciones. Pero había buenas razones para su enfrentamiento, no casual sino sintomático de dificultades que ya no desaparecerían. Se trataba del enfrentamiento entre los métodos y concepciones de la matemática moderna, conjuntista y estructural, por un lado, y por otro los métodos y concepciones de la matemática constructivista (que en cierta medida seguía más apegada a los modos de hacer tradicionales). Kronecker fue, en efecto, un antecesor muy coherente de Brouwer, Weyl, Lorenzen o Bishop, partidario de que todos los objetos matemáticos fueran definidos o construidos explícitamente a partir de los números naturales, sin recurrir al artificio de los conjuntos infinitos. Nada más lejano del punto de vista de Dedekind, quien creía, con cierta ingenuidad, que recurrir a conjuntos infinitos eran simplemente hacer uso de la lógica y del pensamiento racional.