Primer congreso Bourbaki (Julio 1935): de izquierda a derecha, de pie, H. Cartan, R. de Possel, J. Dieudonné, A. Weil, un técnico del laboratorio universitario; sentados, Mirlés, Cl. Chevalley, S. Mandelbrojt.

Aunque el tratado pretendía exponer las matemáticas de modo sistemático desde el principio, el orden de publicación de los capítulos no fue el lógico, sino el fruto de las circunstancias. En la publicación tuvo mucha importancia un judío mexicano, Enrique Freymann, que convenció a su editorial, la parisina Hermann (que, afortunadamente, no tuvo que arrepentirse, porque los libros se vendieron mucho mejor de lo que era de esperar). Comenzó en serio en los años cuarenta, después del final de la guerra, y tuvo sus mejores momentos, en cuanto a intensidad de publicación e influencia, quizá en los sesenta. A partir de ahí la actividad fue disminuyendo, y aunque no ha habido una declaración oficial de cierre, desde hace muchos años no se ha publicado ningún libro nuevo, limitándose la actividad a reediciones y traducciones al inglés. Todo hace pensar que no habrá nuevos capítulos, aunque se dice que hay redacciones inéditas. Incluso se ha publicado algún "fascículo de resultados" de un libro, pero no los capítulos correspondientes.

Una de las principales preocupaciones de Bourbaki fue, ya desde el comienzo, contrarrestar la aparente tendencia de la ciencia matemática a la dispersión en disciplinas más o menos aisladas. De ahí el nada inocente singular de "matemática" en el título. y la principal inspiración a que agarrarse a la hora de llevarlo a cabo, la línea estructural de la matemática alemana, presente sobre todo en el álgebra abstracta. Porque además los Bourbaki también estaban de acuerdo en la relativa crisis de la matemática francesa, con maestros (salvo E. Cartan) anquilosados y muchos jóvenes muertos en las trincheras del 14-18. Un primer faro fue Hilbert, a quien consideran padre la axiomática moderna con sus Fundamentos de la geometría(1899). Según escribe Dieudonné:

"Más que por sus geniales descubrimientos, es quizá por el sesgo de su espíritu que Hilbert ha ejercido la más profunda influencia en el medio matemático: él enseñó a los matemáticos a pensar axiomáticamente, es decir, a tratar de reducir cada teoría a su esquema lógico más estricto, desembarazado de la técnica contingente del cálculo".

Esta influencia se encarnó a su vez en la escuela alemana de álgebra, de tendencia abstracta e influida más o menos directamente por Hilbert, de la que fueron representantes principales E. Artin, E. Noether y otros, y cuyas aportaciones se condensaron en un libro particularmente oportuno y afortunado, el Algebra moderna, que publicó en 1931 el jovencísimo B.L.van der Waerden recogiendo los cursos de los anteriores, y que cambió la concepción de la materia en cuanto a las ideas principales y las relaciones entre ellas.

Pero hay también otra influencia, que es la de Dedekind, muy próximo a Cantor. Dedekind pareció inclinarse hacia una presentación de la matemática en términos de conjuntos y aplicaciones, aun sin adoptar siempre la forma axiomática en la exposición, y su teoría de ideales fue uno de los modelos del desarrollo posterior. También lo fue el cuidado por las aspectos organizativos, y la atención dedicada a las notaciones y la terminología. En cambio, ni Cantor ni Poincaré pesaron demasiado, aunque más el último.

Los Bourbaki emplearon dos instrumentos fundamentales para llevar a cabo sus fines, la axiomática y las estructuras, tal y como exponen en alguno de sus textos programáticos, el principal de los cuales es quizá "La arquitectura de las matemáticas" (véase la Bibliografía del final). Para ellos la axiomática, en su versión moderna, permite la unificación de la ciencia matemática ayudando a mostrar las relaciones y conexiones entre las distintas disciplinas:

"Lo que se propone como fin principal la axiomática es precisamente lo que el formalismo lógico, por sí sólo, es incapaz de suministrar: la inteligibilidad profunda de las matemáticas...el método axiomático enseña a buscar las razones profundas de este descubrimiento, a encontrar las ideas comunes sepultadas bajo el aparato exterior de los detalles propios de cada una de las teorías consideradas, a discernir estas ideas y llevarlas a la luz".