Los escritos de Arquímedes fueron múltiples y variados. Aparte de la cuestión de autoría, en parte facilitada por su dialecto dorio original y en parte complicada por el amplio eco de su nombre en la Edad Media [6], un problema crucial es la cronología de las obras acreditadas y conservadas (cf. [8] y [13]).

Este punto tiene gran importancia para determinar la posible evolución del pensamiento matemático de Arquímedes, desde una primera filiación más bien eudoxiana hasta su propia madurez post-euclídea –sus relaciones con los Elementos y el Euclides alejandrino distan de estar claras–. Las obras conocidas suelen clasificarse dentro de tres grupos más o menos característicos (añadiré a cada título su probable número de orden cronológico, a la luz del estado actual de la discusión al respecto):

(A) Escritos matemáticos dirigidos a la demostración de proposiciones sobre áreas y volúmenes de figuras limitadas por líneas o superficies curvas: Sobre la medida del círculo (1), Sobre la cuadratura de la parábola (3), Sobre la esfera y el cilindro (6), Sobre espirales (7), Sobre conoides y esferoides (8).

(B) Obras que proceden al planteamiento y la resolución geométrica de problemas de estática e hidrostática, o se sirven de consideraciones mecánicas en el tratamiento de cuestiones geométricas: Sobre el equilibrio de planos I, II (4), Sobre los cuerpos flotantes I, II (5), Método (9).

(C) Trabajos con un aire de miscelánea matemática: Arenario (2), El problema de los bueyes (¿?), Stomachion (fragmentado, ¿?).

Por lo demás, no faltan otras muchas recensiones, atribuciones dudosas y referencias a obras perdidas sobre temas aritméticos -sistemas de numeración-, geométricos -poliedros semirregulares-, astronómicos -técnicas de construcción de planetarios-, ópticos -espejos y fenómenos de refracción- o, en fin, mecánicos -“balanzas”, estudios de centros de gravedad y de condiciones de equilibrio-, hasta cubrir una lista total de unos 30 títulos. Alguna de las obras acreditadas ha cobrado una especie de historia propia, en especial el Método (la carta a Eratóstenes sobre el método relativo a las proposiciones mecánicas). La inesperada aparición, en 1906, del palimpsesto bizantino -originario del s. X- que lo contenía, provocó una reedición en 1913 de las obras acreditadas de Arquímedes; y ahora, tanto su reciente reaparición -en una subasta de Christie’s en 1998-, como su tratamiento digitalizado están motivando una nueva edición crítica en curso, con repercusiones no sólo eruditas sino hermenéuticas (cf. [10]).

La interpretación del sentido y de la significación de su forma de hacer matemáticas es seguramente la cuestión más interesante y debatida sobre Arquímedes. Por fortuna, es una rara avis entre los antiguos matemáticos a la hora de explicitar sus supuestos y procedimientos. Para empezar, da a entender una suerte de realismo matemático de las propiedades inmanentes en los objetos geométricos (“figuras”), cuando trata de explicar su descubrimiento de ciertas relaciones entre el cono y la esfera:
«Estas propiedades ya eran inherentes por naturaleza a tales figuras, pero las ignoraban quienes se habían dedicado antes que nosotros a la geometría porque nadie había reparado en la simetría que hay entre esas figuras» (Prefacio de Sobre la esfera y el cilindro, I).

Puede que esta sensibilidad hacia la simetría sea una de las claves de su olfato geométrico y físico-matemático. De hecho, la idea de simetría también desempeña un papel notable en su concepción del equilibrio en estática. Pero no faltan ocasiones en la que se muestra más bien indiferente o ecléctico, e. g. al adoptar dos modelos distintos de referencia, uno cosmológico de líneas convergentes (Sobre los cuerpos flotantes, I), el otro geométrico de verticales paralelas (ibd., II), en sus estudios de hidrostática. En todo caso, resaltan una libertad de movimientos, una lucidez teórica y metódica, y un interés por la investigación monográfica avanzada que dan a su trabajo matemático un aire moderno de originalidad y autonomía. Este aire moderno es uno de los problemas subyacentes en la comprensión de la forma de hacer matemáticas de Arquímedes.

El Método, su comunicación a Eratóstenes sobre el uso de nociones mecánicas en la investigación y la prueba plausible -no demostración canónica- de resultados geométricos, es casi un paradigma a ese respecto. En algunas sugerencias de los experimentos mentales de equilibrio allí expuestos -e.g. en la consideración de líneas como palancas y, más aún, en el supuesto de que las figuras se componen o llenan de sus cuerdas (o, para el caso, los sólidos de sus secciones)-, se han querido ver no sólo violaciones de la norma geométrica clásica, sino un preludio físico-matemático moderno y, más aún, el uso de infinitesimales hasta, en definitiva, el origen del cálculo integral e incluso la idea de límite (tópicos reiterados a partir de la entusiasta interpretación de [12]). Con todo y por mucho que se insista en el talento creador de Arquímedes, no son menos ciertas la integración de su obra en la doble tradición matemática griega, -calculística y métrica por un lado, deductiva y “axiomatiforme” por otro-, y sus contribuciones al desarrollo de la prueba dentro del marco finitista clásico, según muestra su tratamiento alternativo de algún problema del Método en Sobre la cuadratura de la parábola. La contribución más notable en este sentido es su refinamiento de la base teórica del método de convergencia avanzada por Eudoxo y sentada por Euclides, al adoptar como lema en el prefacio de Sobre la cuadratura:

«El exceso de la mayor de dos áreas desiguales sobre la menor [es una magnitud que] puede sobrepasar, si es añadida a sí misma [cuantas veces sea preciso], cualquier área finita dada»

y como asunción 5ª en Sobre la esfera y el cilindro (cf. el prefacio de Sobre las espirales):

«De dos líneas o superficies o sólidos desiguales, la mayor excede a la menor en una magnitud que, añadida a sí misma, puede exceder cualquier magnitud dada entre las consideradas».

Estas precisiones añaden a la consideración euclídea de la multiplicación o la aditividad (Elem. V, deff. 3-4), el caso de los excesos o las diferencias, y envuelven dos condiciones al respecto: (1) la diferencia entre magnitudes es una magnitud, y (2) es una magnitud del mismo tipo o de la misma dimensión que las consideradas.