Nada tenemos acerca de su formación como no sean conjeturas. Puede que, bajo la tutela de su padre, estudiara astronomía: no solo estaba bien informado -es nuestra primera fuente sobre la concepción heliocéntrica de Aristarco-, sino que construyó un planetario o una esfera celeste móvil donde estaban representadas las constelaciones -formó parte del botín romano (Cicerón, De re pub., I, xiv, 21-22)-, además de escribir una obra hoy perdida sobre este tipo de aparatos; el citado Arenario da ya muestras de su interés por las mediciones angulares. Puede también que la astronomía lo condujera inicialmente hasta Eudoxo, aunque luego le interesasen de él en especial sus contribuciones matemáticas y en particular los supuestos implícitos en su método de convergencia. Se dice, cómo no, que viajó a Egipto y, más aún, que dejó allí la impronta de su ingenio con la invención de una coclías, “rosca o tornillo de Arquímedes” -sabemos que los romanos emplearon una coclías de roble en una mina de Sotiel Coronada (Huelva) para la extracción de agua-. En la misma onda, cabe suponer que hiciera la “obligada visita” a Alejandría. Lo cierto, en todo caso, es su comunicación personal y su correspondencia científica con algunos matemáticos alejandrinos distinguidos por su competencia matemática, Conon de Samos, o por su valía intelectual, Eratóstenes de Cirene, o por alguna otra razón que hoy se nos escapa, Dositeo de Pelusio. Pero sus relaciones con la comunidad alejandrina, tal vez investida de una ortodoxia post-euclídea, no dejaron de ser un tanto problemáticas: Arquímedes parece impacientarse en ocasiones, como Apolonio, ante unos investigadores y becarios -digamos- del Museo de Alejandría que han sustituido la investigación original por el celo escolar en las demostraciones de lo ya sabido. Aparte de esos eventuales viajes, se supone que Arquímedes residió siempre en Siracusa donde -según las leyendas- gozó de gran popularidad gracias a alguna extravagancia y a no pocas maravillas. Por ejemplo, se cuenta que, tras advertir en el baño la existencia de plata mezclada con oro en una corona real, corrió desnudo a la calle gritando: «¡Eureka! [héureka, lo descubrí]» (Vitrubio, De archit. IX, c. 3); no consta si se refería a un fraude del artífice de la corona real, o al principio de la densidad relativa de los cuerpos: un sólido sumergido en un fluido menos denso que él experimenta un empuje vertical hacia arriba de intensidad igual al peso del volumen del fluido desalojado, cf. Sobre los cuerpos flotantes, I). Por otro lado, entre sus maravillas, se recuerda el arrastre por la playa, sin apenas esfuerzo y mediante un juego combinado de poleas, de una pesada embarcación de transporte de tres mástiles con toda su carga (Plutarco, Vidas. Marcelo, c. xiv). A esta exhibición se asocia la frase de Arquímedes:

«Si hubiera otro mundo, desde él podría mover éste» (Plutarco, ibd.) o, según otra versión, «Dadme un punto de apoyo y moveré la tierra» (Papo, Collect. VIII 11).

Lo cierto es su estudio de los centros de gravedad y las condiciones de equilibrio de la palanca (Sobre el equilibrio de los planos). Pero sus invenciones más célebres fueron las que ingenió para defender Siracusa del asalto romano: toda suerte de ballestas y catapultas; máquinas con cabrestantes y con brazos articulados, capaces de atrapar y levantar en el aire o estrellar contra las rocas las naves enemigas; espejos parabólicos ustorios, capaces de concentrar los rayos solares sobre esas mismas naves hasta el punto de incendiarlas (Plutarco, ibd., c. xv). La leyenda, en este caso sin un respaldo científico acreditado, ha sido pródiga en especulaciones y discusiones posteriores.

Pero la producción teórica de Arquímedes, desde el punto de vista de la historia de la ciencia, aún es más impresionante. No sólo por sus primicias físico-matemáticas, como la fundación de la estática y la hidrostática, sino sobre todo por su inteligencia matemática y sus contribuciones en geometría superior, más allá de los Elementos. Un vivo debate en torno a su biografía se centra justamente en las relaciones entre estas dos dimensiones de su obra: la ingeniería y la ciencia, la inventiva técnica y la investigación teórica.

Según Plutarco, un autor de la 2ª mitad del s. I que se dejaba llevar del neoplatonismo circundante, Arquímedes valoraba sus contribuciones teóricas muy por encima de sus invenciones prácticas: sus máquinas no pasaban de ser divertimentos o concesiones a las demandas regias (Marcelo, xiv). Hoy Schneider [14] tiende a pensar lo contrario y, entre otras consideraciones, vindica un interés primigenio de Arquímedes por las artes técnicas antes de plantearse cuestiones naturales y mecánicas y dedicarse a las matemáticas. Puede que el propio Arquímedes hubiera querido decir una última palabra si fuese cierto, como aseguran Cicerón (Tusc. Disputationes, V, xxiii 64-66) y Plutarco (Marcelo, xvii), el encargo a sus deudos de grabar sobre su tumba un resultado geométrico del que se sentía especialmente orgulloso: la figura de un cilindro que circunscribe una esfera y la razón por la que el volumen del cilindro excede al de la esfera, siendo aquél una vez y media ésta (Sobre la esfera..., I, 34 corolario; cf. Método, 2 [3, p. 47]).