Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna

La obra Sobre los tamaños y las distancias del Sol y la Luna, según cuenta Pappus,se encontraba en una colección de textos, llamada Pequeña Astronomía, juntamente con las obras: Sobre la esfera en movimiento de Autólico de Pitania (aprox. 320 a.C.), la Optica y los Fenómenos de Euclides, las Sphaerics y De diebus et noctibus de Teodosio (aprox. 107-43 a.C.) y otros [Pappus, 1982, T. 2, p. 369].

La colección Pequeña Astronomía constituía un curso de introducción a la gran astronomía que, de hecho, estaba representada por la obra Almagesto de Ptolomeo. Todos estos textos se encontraban escritos en griego, así como en árabe. Una traducción del griego al árabe la hizo Luqa al-Balabakki que murió en 912. Más tarde, Nasir al-din al-Tusi (1201-1274) hizo una recensión de todos los libros de Pequeña Astronomía. La primera edición de la obra fue una traducción latina de George Valla en 1488 (una segunda edición en Venecia,1498) y, a partir de esta fecha, se sucedieron diversas traducciones, la latina de Commandino (1572) (ver Figura 1), una edición griega de John Wallis (Oxford,1688), una edición greco-latina de Fortia d'Urban (Paris, 1810), seguida por una traducción francesa del mismo autor, en 1823 y en Oxford, en 1913, una edición griega con la traducción inglesa de Thomas Heath.

FIGURA 1. Portada de Commandino.

Para nuestra traducción (ver Figura 2) hemos utilizado la edición latina de Commandino y la edición greco-inglesa de Heath, ya que esta traducción inglesa está hecha a partir de un manuscrito griego del Vaticano, del texto de Wallis y de la traducción francesa de Fortia d'Urban. El texto griego que aparece en el mismo libro de Heath ha sido utilizado por el profesor Joaquín Ritoré para revisar esta traducción al castellano. Para ilustrar las proposiciones se han reproducido las figuras que aparecen en la edición latina de Commandino que, en algunos casos, presenta letras distintas del texto griego publicado en Heath. Para la traducción de los comentarios de Pappus de su Colección Matemática (Capítulo XXXVII del libro VI) hemos utilizado la traducción francesa de Paul ver Eecke de 1982, revisándola con el texto latino de Commandino y con la traducción inglesa de Heath.

FIGURA 2. Portada de nuestra traducción.

Una valoración integral de esta obra de astronomía ha de considerar la estrecha relación que tuvieron los inicios de la astronomía con los orígenes de la trigonometría, aspecto, éste, que contribuye a su mejor comprensión. En el texto, Aristarco se plantea problemas de geometría plana cortando las esferas del Sol y de la Luna en círculos máximos. Para resolver los problemas geométricos, recurre a relaciones, consideradas hoy como trigonométricas, entre ángulos y lados de un triángulo. Los ángulos los expresa como fracciones de ángulo recto y escribe las razones trigonométricas como razones entre los lados de los triángulos; así puede determinar las cotas superiores e inferiores del valor que busca. Las proposiciones geométricas que Aristarco emplea se encuentran mayoritariamente en los Elementos de Euclides. La teoría de proporciones de Eudoxo del libro V de los Elementos es utilizada constantemente y sus propiedades de invertir, alternar, componer y multiplicar son aplicadas tanto para proporciones de igualdad como de desigualdad. Aristarco se basa también implícitamente en otras relaciones, que para nosotros son trigonométricas, como si las conociese o las considerase triviales.

Aristarco parte de seis hipótesis sobre los tamaños y las distancias a los astros, y a través de dieciocho proposiciones, demuestra tres tesis. Las hipótesis de las que parte se pueden agrupar en dos bloques: uno, para las tres primeras que son descriptivas y otro, para las tres restantes que son además cuantitativas. El contenido de las tres primeras podríamos enunciarlo así: la primera afirma que La Luna recibe su luz del Sol, la segunda explica que La Tierra representa el centro de la esfera en la que se mueve la Luna, y la tercera nos describe que el círculo máximo que delimita las partes de oscuridad y claridad en la Luna está en el campo de visión de nuestro ojo. Estas hipótesis, pues, no aportan ningún ángulo, ninguna medida, sino que describen las posiciones de los astros. Las otras tres hipótesis proporcionan medidas obtenidas probablemente por observación. Así, la cuarta implica que cuando la Luna forma ángulo recto con el Sol y la Tierra, el ángulo de visión de la Luna desde la Tierra es de 87º, ya que el otro ángulo del triángulo rectángulo mide una treintava parte (1/30) de un cuadrante (90º), es decir 3º; la quinta nos proporciona el tamaño de la sombra de la Tierra que es dos veces la Luna, y la sexta y última nos explica que la Luna es vista desde la Tierra, formando un cono, con un ángulo de 2º, que es una quinceava parte de un signo del zodíaco (30º).

Las tres tesis, que enuncia al principio del libro, son: la primera, la distancia desde la Tierra al Sol es mayor que dieciocho veces, pero menor que veinte veces, la distancia desde la Tierra a la Luna; la segunda, el diámetro del Sol está en la misma razón que el diámetro de la Luna, y la tercera, el diámetro del Sol tiene con respecto al diámetro de la Tierra una razón mayor que la de 19 a 3, pero menor que la de 43 a 6. Estas tres tesis las demuestra en las proposiciones nº 7, nº 9 y nº 15, respectivamente.

La proposición nº 7 afirma que  la distancia desde la Tierra al Sol es mayor que dieciocho veces, pero menor que veinte veces la distancia desde la Tierra a la Luna.

FIGURA 3. Ilustración de la proposición nº 7 (Aristarco de Samos, 2007, 112)

Aristarco construye un triángulo rectángulo con vértices en los centros de la Tierra (B), de la Luna (C) y del Sol (A) con ángulos dados o sea conocidos por observación. Como la Luna se nos muestra partida en dos, el ángulo BCA es recto, el ángulo ABC es de 87º (por observación) y el CAB es de 3º. De hecho, demuestra que:
1/18 > sin 3º = CB :  AB > 1/20, siendo CB  la distancia Luna-Tierra, AB la distancia Sol-Tierra y interpretando aquí la razón de las distancias como el seno del ángulo complementario al comprendido entre ellas.

Con este planteamiento, hemos de destacar las cuatro estrategias matemáticas necesarias para el desarrollo de la demostración de la primera desigualdad: el paso del análisis del problema del triángulo Sol-Tierra-Luna a un triángulo semejante; la utilización de la relación, como si fuera trivial, entre las tangentes (expresión actual) y los ángulos (tg α : tg β > α : β, con α, β ángulos del primer cuadrante); el establecimiento de una proporción entre los segmentos que determina la bisectriz de un ángulo y los lados del triángulo (aplicando la proposición VI.3 de los Elementos) y, la última, la aproximación de √2 por 7:5. Al final traslada el resultado obtenido en el triángulo semejante, al triángulo ABC inicial, Sol-Tierra-Luna y concluye que AB > 18 CB.

Para la segunda desigualdad, Aristarco trabaja también con el triángulo semejante anterior y construye otra circunferencia tomando la hipotenusa como diámetro. Utiliza el lado de un hexágono inscrito en la circunferencia para relacionar su arco de circunferencia con el de la cuerda determinada por el lado opuesto al ángulo de 3º. En este caso tiene en cuenta que el ángulo inscrito vale la mitad del arco que abarca y así puede establecer una proporción de desigualdad entre los arcos de circunferencia y las cuerdas. Destaquemos que otra vez está suponiendo cierta una relación trigonométrica entre los ángulos y sus senos (α : β > sin α : sin β, con α, β ángulos del primer cuadrante). Nuevamente traslada el resultado obtenido en el triángulo semejante, al triángulo ABC inicial, Sol-Tierra-Luna y concluye que AB < 20 CB.

Aristarco explica en la segunda tesis que el diámetro del Sol está en la misma razón que el diámetro de la Luna. Esta tesis la demuestra en la proposición nº 9: el diámetro del Sol es mayor que dieciocho veces el diámetro de la Luna, pero menor que veinte veces éste. La demostración se basa en el resultado de las distancias demostrado en la proposición anterior. Dibuja un cono con nuestro ojo en el vértice, cuya base es el círculo máximo del Sol obtenido cortando por un plano su esfera. Entre nuestro ojo y el círculo del Sol, se encuentra el círculo de la Luna, también obtenido cortando su esfera por un plano. A continuación, establece una proporción entre, por un lado, las distancias de la Tierra al centro del Sol y de la Tierra al de la Luna y, por otro, los radios del Sol y de la Luna. Mediante la construcción de dos triángulos semejantes obtenidos cortando el cono por un plano, toma como lados de los triángulos las distancias y los radios. Entonces puede establecer esta proporción por Euclides (VI.4): “En los triángulos de ángulos iguales, los lados que comprenden los ángulos iguales son proporcionales” [Euclides, 1994, p. 62]. Por lo tanto, la relación entre las distancias del apartado anterior es la misma que entre los radios y en consecuencia, la misma que entre los diámetros.

Aristarco demuestra su tercera tesis en la proposición nº 15, que relaciona el Sol con la Tierra: el diámetro del Sol tiene con respecto al diámetro de la Tierra una razón mayor que la de 19 a 3, pero menor que la de 43 a 6. Para ello, utiliza la razón entre las distancias de la proposición nº 7, las hipótesis nº 5 y 6, sobre el tamaño de la sombra de la Tierra y sobre el ángulo de 2º del cono que subtiende la Luna, respectivamente.

El texto constituye una colección coherente de proposiciones, con una descripción correlativa de las ideas que quiere mostrar, teniendo siempre presente sus objetivos, es decir, calcular los tamaños y las distancias de los astros. Las proposiciones constituyen ejercicios matemáticos con operaciones entre razones y con construcciones singulares de figuras que nos muestran la gran calidad de este matemático. Es un texto rico y bien estructurado y, a nuestro entender, sus demostraciones son impecables en cuanto al rigor.

Sin embargo, su rigor en el razonamiento no fue acompañado de observaciones correctas, así observó un ángulo de 87º, cuando en realidad es casi de 90º. De hecho Pappus en su comentario señala que Aristarco deduce las relaciones anteriores de sus suposiciones y observaciones y afirma que al cambiar las suposiciones también cambiaron las medidas obtenidas.