Agnesi, María Gaetana (1718-1799) - Página 4 |
 |
 |
 |
| Escrito por María Molero Aparicio (Liceo Español de París) y Adela Salvador Alcaide (U. P. Madrid, E. T. S. I. C | ||||||
Página 4 de 4
Bibliografía
Nota: La curva de Agnesi Para definir la curva se considera la circunferencia de centro (0, a/2) y radio a/2. Sea AB = a un diámetro de dicha circunferencia, r la recta que contiene al diámetro AB, u la recta perpendicular a r que pasa por A, t la recta perpendicular a r que pasa por B, M un punto que recorre la circunferencia y s la recta que pasa por M y A. Sea N el punto de intersección de las rectas s y t. Entonces: La curva de Agnesi es el lugar geométrico de los puntos P que están a igual distancia de la recta u que el punto M, y a la misma distancia de la recta r que el punto N, cuando M recorre la circunferencia.  Por tanto, si P tiene como coordenadas P(x, y), su abscisa x coincide con la del punto N(x, a) y su ordenada con la del punto M. Teniendo esto en cuenta es sencillo deducir que la ecuación cartesiana de la curva es:
Es una función par, creciente para x<0 y decreciente para x>0, por lo que tiene un máximo en el punto (0, a). Tiene a y=0 como asíntota horizontal. Es una curva de longitud infinita, pero cuya área bajo la curva es finita y vale a2π.
Ecuaciones paramétricas: Si α es el ángulo MAB, entonces x = a· tg α e y = AM· cos α, luego y2 = AM2 · cos2 α. Aplicando el teorema del cateto al triángulo rectángulo AMB se tiene que AM2 = ay, por tanto y2 = ay · cos2 α, y si y es distinto de cero: y = a · cos2 α. (Para y = 0, como cos α = 0, también se verifica la ecuación). Luego las ecuaciones paramétricas son:
y llamando t = tg α se obtiene: x = at; y = a/(1+t2). |
| © Real Sociedad Matemática Española. Aviso legal. Desarrollo web |