Al principio de su instrucción, Abel se mostraría como un estudiante indiferente, más bien mediocre y sin que incluso las matemáticas le despertaran atracción alguna. Era notorio su malestar en esa escuela. No obstante, un inesperado cambio se produjo a raíz de la muerte de un condiscípulo ante los malos tratos de un maestro brutal que se excedía con castigos corporales a sus alumnos. El maestro fue entonces relevado (1818) por un joven matemático de mayor competencia, Bernt Holmboe (1795-1850), quien incentivó a sus alumnos a resolver por sí mismos problemas de álgebra y de geometría, escogiendo pronto algunos especiales para Abel, a la vista de su pasmoso avance de aptitud.

Desde aquel momento Abel se consagra a las matemáticas con la pasión más ardiente, adquiriendo velozmente un pleno conocimiento de las elementales. Con Holmboe, Abel se familiarizó con resultados superiores conocidos en su época, afanándose en las tres obras de L. Euler 1707-1803 sobre el cálculo, de I. Newton (1642-1727), de C.F. Gauss (1777-1855), de J.L. Lagrange (1736-1813) y otras clásicas de grandes maestros. Investigó por su cuenta y años más tarde al inquirirle cómo se situó tan rápido en primera fila, replicó “estudiando a los maestros, no a sus discípulos” [2].

A la sazón, el padre de Abel fallecía en 1820, sumiendo a la familia en situación trágica. En 1821 Abel logra ser matriculado en la Universidad de Oslo y ante una solicitud de Holmboe, muy convencido de que aquel frágil estudiante de tez cetrina con atuendo descuidado, era uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, se le concede alojamiento gratuito y algún dinero para pequeños gastos. Sería graduado en 1822.

Una familiar acogida la había encontrado Abel en la casa del catedrático de Astronomía de Oslo (estudioso del magnetismo terrestre) Ch. Hansteen, cuya esposa lo cuidó como si fuese su propio hijo. En la revista Magazin for Naturvidenskaben que se imprimió en Noruega en 1823, se publicaron algunos breves trabajos de Abel, entre ellos uno en el que aparece por primera vez el planteamiento y la solución de una ecuación integral.

En su último año de escuela, Abel se mostraría muy interesado en un importante problema del álgebra, infructuosamente afrontado desde el siglo XVI y que a pesar de los denodados esfuerzos de Lagrange y otros matemáticos, figuraba entre los grandes problemas abiertos. En términos concretos, se trataba de hallar la solución mediante radicales de la ecuación algebraica general de quinto grado ax⁵ + bx⁴ + cx³ + dx² + ex + f = 0 (llamada quíntica). Debido a sus minuciosas lecturas, Abel estaba enterado no sólo de las fórmulas de Cardano y de Bombelli para las ecuaciones cúbica y cuártica, sino que conocía muy bien la problemática pendiente. Ya desde fines de 1823, Abel llegaría a la conclusión de que resultaba imposible la resolución algebraica de la quíntica. Su primera prueba se publicó en 1824 [10,I]. Cometería un error y convencido de ello, estableció con éxito un teorema en que “si la ecuación es resoluble mediante radicales, las expresiones de las raíces pueden darse en tal forma que los radicales en ellas sean funciones racionales de las raíces de la ecuación dada y ciertas raíces de la unidad”, resultado que usaría luego para ratificar aquella imposibilidad para la quíntica (J. Crelle, 1826).

Por otra parte, Paolo Ruffini (1765-1822) estimulado por las reflexiones profundas al respecto de su maestro Lagrange [9,II], si bien demostró que no existe ninguna resolvente para las de grado < 5, creyó probar en 1813 (basándose en el resultado citado que probaría luego Abel) la imposibilidad de resolución algebraica para grado > 4. Ello confiere sin duda a Abel, el primer triunfo del problema multisecular.

Una vez abandonada la escuela, Abel creyó en principio, como dijimos, haber resuelto el problema de la quíntica; pero a la vista de que ni Holmboe ni ninguno de los mejores matemáticos de Noruega (Hansteen, Rasmussen, ...) pudieron comprobar la veracidad de su conjetura, envió a través de Holmboe la presunta resolución al matemático profesor F. Degen en Copenhague, para que la presentase a la Real Sociedad de Ciencias de Dinamarca. Degen le contestó requiriéndole algún ejemplo numérico, y sin comprometerse a dar su opinión. Esa respuesta contenía una advertencia de que “estudiara las integrales elípticas”. Al buscar ejemplos, hallaría el mentado error, que fue corregido más tarde, para probar la imposibilidad; este trabajo también contenía un error (al clasificar funciones), si bien, por fortuna, no esencial para el argumento [9, II].

Más tarde se le concedió a Abel una modesta beca para visitar a Degen en Copenhague. Allí conoció también a Cristina Kemp, que un tiempo después sería su novia. Otro nuevo estipendio le fue dado por el Gobierno noruego, con recursos suficientes para visitar los centros matemáticos más importantes del continente (en Alemania y Francia). Por esa dotación tuvo que aguardar más de año y medio, tiempo que dedicó a estudiar francés y alemán, sin abandonar su perseverante entrega a las matemáticas. En agosto de 1825 emprendió el viaje al extranjero, aunque antes de partir editó una breve memoria en la que se exhibía la idea de la inversión de las elípticas. ¡Cuán enorme sería el desengaño que tuvo en su visita a Alemania, al enterarse de que, sin siquiera leerla, Gauss tildara de “monstruosidad” el folleto que Abel le había enviado con su resultado! Eso le indujo tal antipatía, que en una ocasión diría “Gauss, como el zorro, borra con la cola la senda que sigue, para no dejar pista alguna de sus trabajos” [2]. La prodigiosa inventiva de Abel se refleja en sus trabajos. En su memoria sobre el problema anterior, destacó que se debían indagar las condiciones para poder resolver algebraicamente ecuaciones de cualquier grado, preludio de un paréntesis que solventó más tarde E. Galois (1811-1832) para sentar las bases de su teoría de ecuaciones mediante la de grupos [7], mostrando que a cada ecuación corresponde un grupo de sustituciones. Abel investigó la estructura de los grupos conmutativos y mostró que son producto de grupos cíclicos. No obstante, no destacaría en su trabajo el concepto de grupo (ni, claro está, la noción explícita de subgrupo normal). Se les reconoce a Galois y a Abel, la creación del álgebra moderna.