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175. Los Oscars® de las matemáticas (y II)
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Escrito por Alfonso Jesús Población Sáez   
Miércoles 09 de Noviembre de 2022

Las matemáticas han motivado procedimientos que, una vez implementados informáticamente, han generado potentes herramientas gráficas que han posibilitado la creación de animaciones espectaculares, logrando no sólo el favor del público. Los premios no se han hecho esperar.

En la reseña pasada recordamos que PIXAR fue el primer estudio en realizar una película íntegramente con CGI (Computer Generated Images), Toy Story (Toy Story, John Lasseter, EE. UU., 1995). Partiendo de unos guiones gráficos elaborados por dibujantes al estilo clásico, posteriormente se digitalizaron con el software Avid Media Composer. En promedio se emplearon tres horas para concretar cada una de las 1560 tomas que constituyen la edición definitiva del largometraje, para las que se utilizaron 400 modelos matemáticos que tuvieron que instalarse en cada ordenador. Esta comenzó con el diseño tridimensional de los personajes con el programa informático Modeling Environment (Menv, en siglas). Cada toma era trabajada eventualmente por ocho equipos diferentes. El diseño de cada personaje se realizaba creando una escultura a escala en arcilla, que era digitalizada después mediante el software adecuado (como Polhemus 3 Space Digitizer, por ejemplo, que facilita su manejo tridimensional). Posteriormente, se diseñaron y configuraron los controles de articulación y movimiento de los personajes, a partir de las grabaciones de voz de los actores del reparto. El vaquero Woody resultó ser el más complejo, empleándose 723 controles de movimiento, de los que 212 eran exclusivamente para su rostro y 58 adicionales para su boca. Para sincronizar las voces de los actores con las bocas de los personajes, y que casaran con las expresiones faciales los animadores emplearon una semana.

La fase siguiente, el sombreado, utilizó los programas Amazon, Adobe Photoshop y Unwrap, este último desarrollado por los ingenieros de Pixar, mientras que los efectos de iluminación se produjeron de forma similar a un filme con imágenes reales. Finalmente se realizó la renderización y edición con ayuda de software de RenderMan, Avid Technology y Sun, respectivamente. En total, se invirtieron 800000 horas por máquina para producir la película, y un promedio de 2 a 15 horas para renderizar cada toma. El metraje final se envió a Skywalker Sound, en donde se mezclaron los efectos de sonido con la banda sonora. En opinión de su director, John Lasseter, “En la animación computarizada, es fácil lograr que las cosas se muevan, pero es el trabajo minucioso el que hace que parezca real. Cada hoja de césped tuvo que ser creada desde cero. Además, todo ese universo debe parecer realista, y para ello, las puertas tiene que aparecer con golpes y el suelo ha de verse desgastado.”​

Estas nuevas técnicas de animación no han sustituido otras más tradicionales (se siguen produciendo películas al modo tradicional, otras con plastilina y stop motion, etc.), pero sí han captado la atención de los estudios de animación, al punto de que raro es aquel que no los utiliza en alguna de sus producciones. La segunda película, según los historiadores, íntegramente realizada mediante CGI fue HormigaZ (AntZ, Eric Darnell y Tim Johnson, EE. UU., 1998), producida por otro estudio diferente, DreamWorks Animation. Tras el éxito de Toy Story, nadie se quería quedar atrás, y DreamWorks contrató a la empresa Pacific Data Images (PDI) en Palo Alto, California, para tratar al menos de emular a Pixar.

Los Oscars® de las matemáticas (y II)

Dos fueron los retos no llevados a cabo nunca anteriormente que se plantearon para su película: recrear una escena con más de 10.000 caracteres animados individualmente en varias escenas de multitudes, y simular las propiedades del agua (crear un agua digital, en una inundación). Los fluidos y los gases, debido a su impredecible movimiento y evolución, son difíciles de reproducir verosímilmente en un ordenador. Hasta ese momento, el rodaje en el cine de escenas catastróficas que involucran los elementos de la Naturaleza (inundaciones, vadeo de ríos, salto de cascadas, naufragios, incendios, personas abrasándose, huracanes, etc.), siempre se había realizado mediante el diseño y la construcción de maquetas en las que se recreaba la situación, a veces a escala diferente (que posteriormente se magnificaba o reducía, dependiendo de la situación), a veces a escala real. En cualquier caso, el coste de producción de estas simulaciones era alto (y el riesgo a los accidentes), y en determinados casos (los primeros mencionados, sobre todo) el truco puede notarse en la visualización, lo que perjudica notablemente el resultado final (recuérdense películas como Superman (Richard Donner, EE. UU., 1978), o la pobre impresión que transmiten los hoy artesanos efectos animatrónicos de Ray Harryhausen).

Gracias a la informática, y al software desarrollado (detrás del que están ineludiblemente las matemáticas) se han mejorado enormemente los efectos especiales. El segundo de los retos mencionados (la simulación de una inundación) se consiguió recurriendo a las ecuaciones de Navier-Stokes, formuladas independientemente por Claude-Louis Navier en 1822 y George Gabriel Stokes en 1842. Estas ecuaciones modelizan el movimiento de los fluidos incompresibles (aquellos cuya densidad permanece constante con el tiempo y se oponen a la compresión, es decir, ni la masa ni el volumen pueden modificarse; aunque todos los fluidos son compresibles en mayor o menor medida, para simplificar las ecuaciones, se suele considerar que todos los líquidos son incompresibles).

Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido, resultando un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales (ver imagen).

Los Oscars® de las matemáticas (y II)

Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas, el flujo alrededor de vehículos, aeronaves o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos. El problema es que no se conoce una solución general para este conjunto de ecuaciones (ni siquiera una débil), y salvo para ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica. Por ello en muchas ocasiones hay que recurrir al análisis numérico para determinar una solución aproximada, o sencillamente como realizó Nick Foster, ingeniero de software de AntZ, obviar algunos de los sumandos que aparecen en el sistema de ecuaciones ya que el espectador no va a percibir la diferencia visualmente. No es exactamente agua, pero se le parece mucho.

Los Oscars® de las matemáticas (y II)

Obviamente esta simplificación no puede hacerse al azar, ya que las características básicas del fluido deben ponerse de manifiesto. En el caso del agua, uno de los elementos visuales clave que debe permanecer es el de la rotación, o como se conoce en términos de la mecánica de fluidos, la vorticidad. Esta magnitud trata precisamente de cuantificar el grado de rotación de un fluido. En una corriente, bien sea de un líquido o de un gas, la vorticidad aparece siempre que el vector velocidad no sea constante a lo largo del recorrido, tanto por cambios en su módulo como en la dirección que sigue. Matemáticamente para modelizar ese giro dentro de un campo vectorial, se utiliza un operador clásico: el rotacional. El rotacional suele manejarse como el producto vectorial del gradiente por el campo (en el caso de fluidos, la vorticidad se designa por tanto por la expresión Los Oscars® de las matemáticas (y II), donde Los Oscars® de las matemáticas (y II) es el campo vectorial que designa el movimiento). La ecuación que permite estudiar las variaciones de la vorticidad se obtiene aplicando el rotacional en las ecuaciones de Navier-Stokes. Todas estas consideraciones y conceptos físico-matemáticos, en absoluto elementales, fueron utilizadas en el ordenador para diseñar la inundación de AntZ. Los Oscars® de las matemáticas (y II)El resultado es realmente creíble: lo que vemos parece agua. Y gracias a ello, Nick Foster logró el Oscar® en 1998 (gala 78 delos premios) en la categoría de premios científicos y técnicos.

PDI/DreamWorks cuenta con una plantilla de 15 programadores que dan soporte a aproximadamente 200 animadores gráficos. Lo habitual es que los programadores utilicen software comercial en su trabajo; DreamWorks en cambio usa herramientas escritas y desarrolladas por sus propios programadores, para modelar, deformar modelos, renderizar, deformar personajes, y todo tipo de efectos especiales. Y para efectuar cálculo matemático complejos recurren a Maple, según explica Shawn Neely, director senior de I+D de PDI/DreamWorks Neely. Entre las necesidades constantes de los animadores gráficos se encuentra el proceso de sombreado de los objetos que aparecen en la película. Cuando uno hace un dibujo, sabe perfectamente el nivel de sombra que debe dar a la imagen, y si no queda a su gusto, lo modifica manualmente. Sin embargo, hacerlo con el ordenador requiere de muchos cálculos, de muchas pruebas hasta decidir que el resultado es el deseado, que es realista. Esas pruebas (y esos cálculos, por tanto) no pueden hacerse a mano, porque son una cantidad muy grande, además de los posibles errores que una persona puede cometer. Un programa de cálculo de cierta potencia, como Maple en el caso de DreamWorks, es necesario. Shawn Neely lo explicaba mediante un ejemplo concreto:

Por ejemplo, ahora estoy trabajando en un renderizador de volumen para un nuevo proyecto, en este caso, técnicas para proporcionar algo que parezca niebla. Los modelos tradicionales dan como resultado una salida que es simple y uniforme: obtienes niebla que aumenta en densidad a medida que la cámara se va alejando. Deseábamos algo que produjera efectos más sutiles: mechones, texturas, el tipo de detalle que diferencia lo extraordinario de lo ordinario. Queríamos hacer una integración directa y eficiente de estos efectos, de modo que tomamos un rayo en el espacio y calculamos la densidad de la niebla en función de los puntos extremos. Usé Maple para ayudarme a resolver algunos de estos problemas, y también resolví algunos casos límite relacionados con la aplicación”.

Otro de los usos de Maple es “para generar expresiones en una forma que podemos compilar rápidamente en código C, y luego usamos nuestros propios programas para hacer la visualización". Por otra parte, según Neely, una de las cosas que ha consolidado el uso de Maple por parte de PDI/DreamWorks a largo plazo es el compromiso de Maplesoft con Linux en PC: “Hemos estado usando máquinas SGI que ejecutan Irix, por lo que nuestro desarrollo está basado en Unix", dice.Los Oscars® de las matemáticas (y II) "Nos gustaría seguir así; y como nuestra ruta de migración actual es incorporar más PC, Maple bajo Linux en PC tiene sentido. Otros paquetes no están disponibles o sólo están disponibles bajo Windows".

La implementación de las matemáticas ha facilitado que el rodaje actual de este tipo de escenas sea más rápido, más eficiente (no hace falta ser un excelente y paciente dibujante), más económico, y con una imagen final más nítida y realista. No sólo en películas de animación. Muchos de los efectos de las películas de superhéroes de la factoría Marvel han incorporado este tipo de herramientas con unos resultados espectaculares (de hecho, uno de los méritos de los actores que participan en estas películas es mostrar naturalidad ante objetos y situaciones que no existen, que se han añadido en la sala de montaje, cuando en la mayor parte de los casos en todo el rodaje no han salido de una habitación).

Desde aquellos años, otras películas han logrado el Oscar® u otros galardones, gracias al software y las ideas generadas por las matemáticas. Un último botón como nueva muestra: el cortometraje animado Bunny (Chris Wedge, EE. UU., 1998) también lo obtuvo en 1999. En este caso, lo produjo Blue Sky Studios, tercera compañía norteamericana destacada en animación en 3D. En este enlace puede visualizarse.

 

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