1. Introducción

Esta es la cuarta entrega de la serie Modelos computacionales de ritmo y métrica. En la columna anterior [Góm22b] estudiamos las palabras de Christoffel y su relación con la teoría del ritmo; en particular, vimos cómo convertir palabras de Christoffel en ritmos y las operaciones que se podían hacer sobre estos ritmos. En la segunda entrega [Góm22a] examinamos los métodos de generación y recuento de ritmos, sobre todo los ritmos aksak. Y, finalmente, en esta columna vamos a estudiar las sucesiones de Farey y su relación con la teoría del ritmo.

2. Sucesiones de Farey

Las sucesiones de Farey son representaciones elegantes y útiles de las duraciones relativas en subdivisiones métricas. Una sucesión de Farey de orden n, F_n, es la sucesión de fracciones reducidas que se encuentran en el intervalo [0,1]. En la figura de abajo se ven las sucesiones de Farey desde orden 1 hasta orden 8. Las fracciones se suelen presentar en orden creciente. La primera fracción es siempre y la última . Existen calculadores en línea de las sucesiones de Farey; véase, por ejemplo, Think Calculator [Cal22].

Las sucesiones de Farey presentan una estructura recursiva. En efecto, la sucesión F_n es igual a la sucesión F_n más los dos términos y (este hecho es relativamente fácil de probar). Podemos escribir, pues:

Otras propiedades que cumplen las sucesiones de Farey son:

• Si y son dos términos consecutivos de una sucesión de Farey, entonces se cumple que bc - ad = 1;
• Si ,, son tres términos consecutivos de una sucesión de Farey, entonces se tiene que = ; la fracción c∕d se dice que es la mediante de las fracciones a∕b y e∕f;
• Si n > 1, entonces no hay dos términos consecutivos con el mismo denominador.

Sea |F_n| el cardinal de la sucesión de Farey de orden n y φ(n) la función de Euler, la cual da el número de primos relativos con n. Entonces, se cumple la bonita relación:

En la tabla siguiente se muestras los primeros valores para |F_n|:

Las sucesiones de Farey son simétricas en el sentido en que la subsucesión que de hasta es la imagen especular de la subsucesión que va desde hasta . En la figura siguiente se ilustra este hecho con la sucesión F₅ (la sucesión se presenta en orden decreciente esta vez).

3. Ritmo y sucesiones de Farey

Dado que las sucesiones de Farey de orden n representan todas las fracciones irreducibles en el intervalo [0,1], basta con identificar dicho intervalo con el pulso y entonces tendremos representadas todas las divisiones del pulso. Por ejemplo, F₂ = genera la subdivisión en corcheas de una negra. Por otro lado, los tresillos corresponden al conjunto . F₃ es la unión de las corcheas y los tresillos: F₃ = . La figura de abajo ilustra estos hechos.

Se sigue de este razonamiento que las sucesiones de Farey de orden n contiene todos los ataques de los polirritmos en orden creciente para un pulso dado.

Sin embargo, es posible librarse de la restricción de tener que considerar un solo pulso. Una sucesión de Farey puede representar las duraciones de una frase rítmica o de una pieza entera de hecho. Para hacer esto es necesario aumentar el orden de la sucesión (en un modo relacionado con la duración mínima de la pieza en cuestión) y quitar aquellas fracciones que no se correspondan con un ataque en la pieza. Boenn [Boe18] llama a estas sucesiones sucesiones de Farey filtradas.

Otra restricción que se puede eliminar es la del rango de F_n, que hasta ahora es el intervalo [0,1]. La manera de hacerlo es escalar la sucesión original F_n al nuevo rango. Sea [x,y] un intervalo con x < y. Se designa por F_n[x,y] a la sucesión de Farey en [x,y] obtenida escalando F_n en dicho intervalo. Como ejemplo, consideremos F₄, que es:

Las sucesiones F₄[0,1∕2] y F₄[1∕2,1] son entonces:

	F4[0,1∕2] =
	F4[1∕2,1] =

Es posible ahora considerar la unión de estas dos sucesiones de Farey (el término 1∕2 aparece solo una vez):

F4[0,1∕2] ∪ F4[1∕2,1]	= ∪
	=

Nótese que F₄[0,1∕2] ∪ F₄[1∕2,1 ⊂ F₈. Por completitud, F₈ es:

Este método de generar nuevas sucesiones a partir de sucesiones de Farey se llama concatenación.

Las sucesiones de Farey son particularmente adecuadas para estudiar los polirritmos. Boenn [Boe18] en su libro estudia la música de varios compositores a través de estas sucesiones, compositores como de Stravinsky (analiza La consagración de la primavera), Messian o Ockeghem (analiza su famosa misa Missa prolationem). En la tabla de abajo se muestran patrones polirrítmicos (dados en notación SNMR) y sus correspondientes sucesiones de Farey filtradas.

4. Notación SNMR

Cuadro con la notación SNMR:

Bibliografía