191. (Marzo 2021) Más magia poliédrica |
Escrito por Pedro Alegría (Universidad del País Vasco) | ||||||||||||||||||||||||
Lunes 01 de Marzo de 2021 | ||||||||||||||||||||||||
Como lo prometido es deuda, vamos a continuar desarrollando las propiedades mágicas de los sólidos platónicos. Pero, antes de dedicarnos exclusivamente a la magia, comentaré algunas curiosidades matemáticas, no menos mágicas que las que aquí nos ocupan. Esta vez hablaremos de dualidad, una propiedad que permitirá agrupar los cinco poliedros de dos en dos (como hay cinco, uno de ellos se emparejará consigo mismo, adivina cuál). Para comprender este concepto, nos fijaremos nuevamente en la tabla donde se clasifican los cinco poliedros regulares según su número de caras (C), vértices (V) y aristas (A):
Se puede observar que el hexaedro y el octaedro, así como el dodecaedro y el icosaedro, tienen el mismo número de aristas pero han intercambiado el número de caras de uno con el de vértices del otro. Por eso se dice que son duales. Gráficamente, esta característica hace que, dado cualquier poliedro regular, se puede construir su poliedro dual —también llamado poliedro conjugado— uniendo los centros de cada dos caras contiguas, lo que hace que el número de caras del primer poliedro coincida con el número de vértices del segundo, y recíprocamente. Esta imagen realizada con GeoGebra en el IES Mar de Alborán ilustra la idea: El tetraedro, ya que es dual de sí mismo, será protagonista del primer juego que vamos a proponer. Este juego aparece, ¡cómo no!, en la ingente colección de Martin Gardner, concretamente en el capítulo 19 del libro «6th book of mathematical diversions», publicado por primera vez en 1971. Haré unas pequeñas correcciones en la traducción para que la explicación sea más completa y precisa. Una extraña y poco conocida propiedad del tetraedro regular —y que no comparte con ningún otro sólido platónico— está relacionada con un truco de magia que puede presentarse como demostración de la habilidad para percibir vibraciones de color con los dedos.
Para adivinar el color, hace falta que, previamente, hayas dejado una pequeña marca, que pase desapercibida, en la esquina de una cara del vértice superior del tetraedro, y, al colocarlo sobre el triángulo negro, hacer que la marca quede en la cara que da hacia el tablero. La posición final de la marca permitirá deducir el último color en que se había posado el tetraedro, como se ilustra en el gráfico siguiente: ¿Cuál es esa extraña y poco conocida propiedad? La respuesta se ilustra en la siguiente imagen, en la que se representa en gris la cara del tetraedro que contiene la marca y las distintas posiciones que ocupa durante el recorrido por el tablero a partir de las indicaciones descritas en el juego. Se observa rápidamente que, cuando el tetraedro descansa en alguno de los triángulos amarillos, la cara que está marcada es la que forma la base y está apoyada en dicho triángulo; el resto de la figura consiste en hexágonos formados por seis triángulos y el tetraedro va basculando para ocupar alternativamente los tres colores, siempre en el mismo orden. Si ahora nos fijamos en el recorrido de la marca que hemos realizado, llegamos a esta otra figura: Ya comprendemos que, en los triángulos amarillos, la marca no se ve porque está en la cara inferior. Si recorremos cada hexágono en el sentido de las agujas del reloj, la marca va pasando sucesivamente del vértice superior (triángulo azul) a la cara derecha del vértice inferior (triángulo verde) y a la cara izquierda del vértice inferior (triángulo rojo). De forma análoga a la adaptación que mostramos en la entrega anterior, sería posible realizar el juego con el Pyraminx, versión tetraédrica del cubo de Rubik. Dejo a que desarrolles tu ingenio para adaptar el juego con un tetraedro de colores.
Para el siguiente juego nos pasamos al octaedro pero no dejamos de seguir a Martin Gardner, esta vez en el libro titulado «The second book of mathematical puzzles and diversions» (publicado la primera vez por Simon and Schuster en 1961). En el primer capítulo del libro, dedicado a los cinco sólidos platónicos, Martin Gardner propone una variante del clásico juego de las tarjetas binarias, que ya hemos tratado aquí en numerosas ocasiones (desde febrero de 2005 hasta abril de 2019), esta vez utilizando un dado octaédrico. Para recordar el juego, es necesario que construyas un dado octaédrico. Seguro que encontrarás muchos tutoriales que indican la manera de hacerlo pero yo voy a proponer un método en el que no se necesita pegamento para unir las caras, de modo que se podrá armar y desarmar en cualquier momento. En realidad, el método fue propuesto también por Charles Trigg en el artículo titulado «Collapsible models of the regular octahedron», publicado en el número 65 de la revista "The Mathematics Teacher", en octubre de 1972. Como se trata de un dado, las caras deben estar numeradas así que recorta la figura adjunta y, después de doblar cuidadosamente por todas las aristas, introduce las pestañas sombreadas para dar solidez a la figura. Una vez construido, observarás que el dado conserva la propiedad fundamental del dado usual cúbico pues, a pesar de tener ocho caras en lugar de seis, la suma de los valores de dos caras opuestas es igual a 7 (por eso ha sido necesario colocar el cero en una de las caras y no el ocho, como sería lo más natural). Por cierto, Gardner plantea el problema de disponer los números del 1 al 8 en las caras del octaedro de modo que la suma de los valores de las cuatro caras que convergen en un mismo vértice sea constante. ¿Te animas a resolverlo? De propina, trata de probar que el octaedro es el único entre los demás poliedros regulares que tiene esta propiedad. Volvamos con el juego una vez construido el dado octaédrico de la figura anterior.
Según las respuestas recibidas, podrás anunciar inmediatamente el número pensado. La solución es la misma que la de la versión original: si la primera respuesta es "sí", memoriza el número 1; si la segunda respuesta es "sí", memoriza el número 2; si la tercera respuesta es "sí", memoriza el número 4. Suma los valores memorizados y obtendrás el número pensado. La explicación se basa, como de costumbre, en el sistema binario: los cuatro primeros números mostrados (1, 3, 5 y 7) son los que tienen un 1 como última cifra en su representación binaria; los cuatro números mostrados la segunda vez (2, 3, 6 y 7) tienen un 1 como penúltima cifra en su representación binaria; y los cuatro últimos (4, 5, 6, y 7) tienen un uno como primera cifra. La suma de los valores indicados permite recuperar el número en su representación decimal. Comentarios finales:
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