En nuestra última aparición por este rincón —que fue el año pasado aunque sólo haya pasado un mes—, comentamos algunos tipos de mezclas, que son en realidad permutaciones del conjunto de cartas, sobre las que podemos predecir el orden final de las cartas o, al menos, la posición relativa entre ellas. En esta ocasión, nos dedicaremos a estudiar con más detalle algunas de estas propiedades.

Entre la gran cantidad de maneras de ordenar un conjunto de cartas, hay dos que gustan o deben gustar a los amantes de las simetrías: el orden cíclico y el orden especular. Veamos en qué consisten con un caso sencillo: si tenemos dos conjuntos idénticos de 5 números, digamos {1, 2, 3, 4, 5} y {1, 2, 3, 4, 5}, formamos cualquier permutación del primer conjunto y colocamos a continuación la misma permutación del segundo conjunto, el resultado  es un conjunto de 10 números en orden cíclico. Sin embargo, si invertimos el orden de la segunda permutación, el conjunto total tendrá orden especular.

Por ejemplo, el conjunto {1, 3, 2, 5, 4, 1, 3, 2, 5, 4} tiene orden cíclico pero el conjunto  {1, 3, 2, 5, 4, 4, 5, 2, 3, 1} tiene orden especular. La primera ordenación se llama cíclica porque el ciclo 13254 se repite y tiene la propiedad de que, al cortar por cualquier lugar y completar el corte, el conjunto sigue estando compuesto por dos grupos iguales con la misma permutación. La segunda ordenación se llama especular porque se comporta como si se colocara un espejo entre ambos. Ahora ya no se puede cortar por cualquier lugar pues se perdería dicha propiedad.

Es relativamente sencillo descubrir diversas propiedades de invariancia entre estas dos ordenaciones cuando se realizan ciertas mezclas pero, antes de señalar algunas de ellas, prefiero que las descubras a partir del juego que proponemos a continuación.

Ya hemos mencionado en este rincón al prolífico mago canadiense Stewart James (por ejemplo, en el número 99 de noviembre de 2012). En uno de sus recordados artículos para la revista «Scientific American», Martin Gardner se refirió a él como «un mago que ha inventado más juegos de magia matemática con cartas de alta calidad que cualquier otro». Alrededor de 1928, ideó un juego que tituló "Murder By Suggestion", que fue publicado casi inmediatamente, en marzo de 1980, en la revista New Pentagram (en la imagen adjunta se muestra la portada de dicho número), que fue seleccionado posteriormente en la monumental recopilación The James File (2000), así como en la posterior selección The Essential Stewart James (2007), ambos escritos por Allan Slaight, y que ha sido adaptado por varios autores, como Werner Miller (también asiduo a este rincón) y Shane Causer. Describiremos aquí esta última versión que el autor titula "Finding a Mate", como aparece en su libro «Automata: beyond self-working magic» (2005).

Antes de empezar con el juego, busca una baraja y aparta las cartas del as al siete de dos palos cualesquiera. Puedes descartar el resto pues no las usaremos más. Miento, busca también un comodín o la dama de corazones o cualquier otra carta que se distinga de las catorce elegidas.

COMENTARIOS FINALES:

• El orden indicado en la descripción no es importante: basta que el segundo grupo esté en el mismo orden que el primero. Un método habitual para conseguir que un grupo de cartas quede en orden cíclico es romper todas las cartas por la mitad en bloque y colocar una mitad sobre la otra. Ya hemos aplicado esta drástica solución en algún lugar, como en el número 84 de junio de 2011, con el juego "Las cartas rotas" y puede ser una opción para este juego lo que ahorraría la ordenación de los dos grupos de cartas. Esto significa que tampoco tienen que estar separadas las rojas y las negras, lo importante son los valores de las cartas.

• En el juego original, Stewart James utilizaba dos grupos de 14 cartas en orden cíclico de manera que la suma de los valores de las dos cartas adyacentes al comodín fuera el resultado de una predicción inicial. Para conseguirlo, basta observar qué cartas son las que se colocan junto al comodín cada vez que se realizan los repartos indicados en la descripción del juego.

• Como había prometido al principio, plantearé algunas características invariantes del orden especular y el orden cíclico respecto a ciertas mezclas. Estas mezclas son la mezcla Klondike y Monge (de las que ya hablamos el mes pasado) y la mezcla antifaro (que consiste simplemente en repartir las cartas sobre la mesa en dos montones —como en el juego anterior— y recoger uno sobre el otro). Te dejo como tarea la interpretación y comprobación de estas propiedades y la aplicación en algún juego de magia que se te ocurra con ellas:

  +	CORTE	ANTIFARO	KLONDIKE	MONGE
  CÍCLICO	cíclico		especular
  ESPECULAR		especular	cartas en parejas	cíclico

• Las secuencias cíclicas son también fuente de juegos matemáticos sorprendentes (como, por ejemplo, en el número 30 de este rincón correspondiente a julio de 2006) y aparecen con mucha frecuencia; sin ir más lejos, la representación decimal de las fracciones es siempre cíclica, desde los números enteros cuya parte decimal contiene un ciclo infinito de ceros hasta ejemplos más complejos como los primos generadores, que forman la sucesión A001913 como aparece en la On-line Encyclopedia of Integer Sequences. ¿Te imaginas encontrar la parte cíclica del número 1/223? Tiene 222 cifras.