Un concepto muy importante en Matemáticas es el de invariancia. De hecho, existe toda una teoría matemática de invariantes, mejor dicho, al menos dos: la teoría de invariantes algebraicos y la de invariantes geométricos. Como es un campo demasiado especializado para darle cabida en este rincón, nos conformaremos con la idea elemental que sustenta dicho concepto y que todos entendemos: un objeto o estructura es invariante bajo cierta operación o transformación matemática cuando no cambia después de dicha operación. Por ejemplo, el círculo es un invariante bajo la operación de giro alrededor de su centro, independientemente del ángulo de giro. Se comprende también que el concepto es un poco más general que el de punto fijo (que citamos en el número 175 de octubre de 2019) porque, salvo el centro, todos los puntos del círculo han cambiado de posición pero, visto el círculo en su conjunto, ha quedado inalterado.
La teoría de invariantes proporciona también un gran campo de experimentación en la magia. Desde conceptos tan comunes y ampliamente conocidos, como el hecho de que la suma de las caras opuestas de un dado es siempre igual a siete o que la diferencia entre cualquier número natural y la suma de sus cifras es siempre múltiplo de nueve, hasta ideas mucho más sutiles y elaboradas, como las presentes en los principios de Rusduck, de Hummer, de Gilbreath, de Kruskal, ..., todos ellos aplicados a las mezclas de cartas, podemos encontrar multitud de juegos que se basan en propiedades de invariancia, el éxito de los cuales se fundamenta en la habilidad del mago para ocultar la presencia de dichas propiedades.
Como ya empieza a ser habitual, el descubrimiento de nuevas ideas por parte del mundo de las matemáticas junto con la aplicación y desarrollo de dichas ideas por parte del mundo de la magia permite convertir teoremas en juegos de magia y, en esta ocasión, ofreceremos una nueva muestra de ello con un ejemplo de invariantes relacionados con mezclas de cartas.
Podemos señalar como punto de partida el artículo académico titulado «The Mathematics of the Flip and Horseshoe Shuffles», firmado por Steve Butler, Persi Diaconis y el recientemente fallecido Ronald Graham, y publicado en la revista The American Mathematical Monthly el año 2016. En ese trabajo ya aparece la primera descripción de un juego de magia basado en la bautizada mezcla herradura, y una versión más elaborada se encuentra en el artículo de Steve Butler titulado «A card trick inspired by perfect shuffling», presentado en la décimotercera edición del Gathering for Gardner de 2018 que, como cualquier aficionado debe saber, constituye el encuentro bianual más importante de aficionados a la magia y a la matemática reunidos para homenajear la figura de Martin Gardner.
Para realizar el juego que proponen los autores se necesitan ocho cartas, del as al ocho de cualquier palo. Con las cartas en la mano, sigue las instrucciones que daremos a continuación.
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Ordena las cartas del modo indicado en la imagen:
Aunque parezca extraña esta disposición, en realidad están ordenadas si pensamos el ocho como si fuera el cero, no sólo porque se escribe con dos ceritos, sino por su representación en el sistema binario:
Decimal
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Binario
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8 1 2 3 4 5 6 7
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1000 001 010 011 100 101 110 111
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De ahora en adelante nos olvidaremos de la primera cifra del ocho y lo representaremos como 000.
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Forma un paquete con las cartas así ordenadas y realiza sucesivamente —en el orden que quieras y las veces que te apetezca— las siguientes mezclas:
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Mezcla herradura: repartir las cartas sobre la mesa, de una en una y formando dos montones, uno a la izquierda y otro a la derecha. Al terminar, girar en bloque las cartas de uno de los montones y colocarlo sobre el otro montón.
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Mezcla Monge (explicada en el número 43 de este rincón, en octubre de 2007): con las cartas en una mano, ir pasándolas a la otra mano, una por una, intercambiando el orden de cada carta, es decir, la segunda carta se coloca sobre la primera, la tercera bajo las dos primeras, la cuarta sobre las tres primeras, la siguiente debajo, la siguiente encima, hasta haber pasado todas las cartas.
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Mezcla lechera, también llamada Klondike o Alfa (explicada en el número 122 de este rincón, en diciembre de 2014): arrastrar juntas las cartas superior e inferior del paquete y dejarlas sobre la mesa, repetir la operación con el paquete restante y dejar las dos cartas sobre las anteriores hasta que queden en la mano dos cartas, las cuales se dejan sobre las demás.
Como la primera de las mezclas hace que algunas cartas queden giradas, en las siguientes no importa que las cartas estén cara arriba o cara abajo. Lo único importante es que las mezclas se realicen correctamente.
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Intercaladas entre las mezclas, puedes realizar —las veces que quieras y en el orden que te apetezca— cualquiera de las siguientes acciones relacionadas con los posibles divisores de ocho:
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Repartir sobre la mesa todas las cartas, una a una, y recoger todo el paquete.
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Repartir sobre la mesa todas las cartas, de dos en dos, y recoger todo el paquete.
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Repartir sobre la mesa todas las cartas, de cuatro en cuatro, y recoger todo el paquete.
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Repartir sobre la mesa todas las cartas, de ocho en ocho, y recoger todo el paquete. En realidad, esto no será necesario: echar las ocho cartas y recogerlas sólo alarga el proceso pero no produce cambios. Hemos incluido esta opción porque el ocho también es divisor de sí mismo.
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Una vez que las cartas están bien mezcladas (observa que el número de posibles configuraciones de las ocho cartas es igual a 8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40320), repártelas sobre la mesa formando una estructura de cuatro filas y dos columnas, en este orden (orden al que nos referiremos en lo sucesivo):
Si alguna de las cartas ha quedado cara arriba (que es lo más probable), vuélvela cara abajo para que yo no pueda saber la posición de ninguna de ellas.
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Como comprenderás, es imposible saber qué lugar ocupa cada carta así que necesitaré algo de información. Por ejemplo, vuelve cara arriba la primera carta (sí, la superior izquierda). Su valor me indicará el valor de la sexta carta, mediante esta tabla:
PRIMERA
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SEXTA
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1 2 3 4 5 6 7 8
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4 7 6 1 8 3 2 5
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Necesitaré una pista más para determinar la posición del resto de cartas. Gira la segunda carta: su valor indicará el valor de la carta en la quinta posición a partir de la misma tabla anterior. Pero también puedo saber las cuatro cartas restantes. Para ello, busca en la siguiente tabla la combinación de la primera y segunda cartas para determinar los valores de la tercera y cuarta cartas pero también, a partir de la combinación de la quinta y sexta cartas, adivinaré los valores de la séptima y octava cartas. Como hay varias combinaciones posibles, la tabla es un poco más larga (aunque se podría reducir a la mitad teniendo en cuenta las simetrías):
1ª - 2ª
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3ª - 4ª
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1 - 3 1 - 5 1 - 6 1 - 8 2 - 3 2 - 5 2 - 6 2 - 8 3 - 1 3 - 2 3 - 4 3 - 7 4 - 3 4 - 5 4 - 6 4 - 8 5 - 1 5 - 2 5 - 4 5 - 7 6 - 1 6 - 2 6 - 4 6 - 7 7 - 3 7 - 5 7 - 6 7 - 8 8 - 1 8 - 2 8 - 4 8 - 7
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5 - 7 6 - 2 8 - 7 3 - 2 8 - 1 3 - 4 5 - 1 6 - 4 7 - 5 1 - 8 2 - 5 4 - 8 5 - 2 6 - 7 8 - 2 3 - 7 2 - 6 4 - 3 7 - 6 1 - 3 7 - 8 1 - 5 2 - 8 4 - 5 8 - 4 3 - 1 5 - 4 6 - 1 2 - 3 4 - 6 7 - 3 1 - 6
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¿He acertado todas las cartas? Pues no he sido yo, sino la magia de las matemáticas. Es más, si no he acertado, ha tenido que haber una equivocación en alguna de las mezclas realizadas.
EXPLICACIONES:
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Como apunta Steve Butler en su artículo «A card trick inspired by perfect shuffling», de las 40320 posibles ordenaciones de las ocho cartas, las mezclas y manipulaciones anteriores sólo conducen a 32 posibilidades. Todas ellas tienen un par de propiedades invariantes que permiten realizar el juego con éxito, precisamente las propiedades que se resumen en las dos tablas anteriores.
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En el paso 5 de la descripción del juego se puede girar cualquier carta de las ocho que están sobre la mesa. Su valor indicará, utilizando la misma tabla de antes, el valor de la carta que ocupa la posición simétrica dada por los siguientes emparejamientos: primera con sexta, segunda con quinta, tercera con octava, cuarta con séptima. Para descubrir la razón, volvamos a representar las parejas de números en el sistema binario.
Decimal
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Binario
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1 4
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001 100
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2 7
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010 111
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3 6
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011 110
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5 8
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101 000
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Resulta que la segunda cifra en ambos números es la misma y las otras dos cifras son distintas. Por tanto, adivinar una de ellas conocida la otra consiste en representar en base dos la carta, cambiar la primera y tercera cifras y pasar al sistema decimal el número obtenido. Un método más sencillo sería: si la carta descubierta es impar, su pareja será tres unidades mayor (si es un siete, se usa la aritmética de congruencias módulo 8: 7 + 3 = 10, que corresponde al 2); si es par, su pareja es tres unidades menor (con la misma salvedad para el 2 pues 2 - 3 = -1, que corresponde al 7).
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En el paso 6 no es necesario tampoco que se vuelva la carta de la posición número 2. Basta con cualquiera de las dos cartas que quedan cara abajo en el cuadrado formado por las dos cartas que ya estaban giradas. Con el razonamiento anterior se conoce la cuarta carta de dicho cuadrado. Para determinar el resto, se utiliza la misma tabla anterior, donde cada pareja de la misma fila determina la otra pareja de su misma fila en el orden indicado por la tabla. La correspondencia que se establece entre dichas parejas también se debe a una relación entre sus representaciones en base dos, la cual está explicada en el artículo citado de Steve Butler.
OBSERVACIONES FINALES:
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Parece un poco sorprendente el nombre de mezcla herradura aplicado al proceso antes descrito. Los autores apuntan a que se trata de la versión discreta del llamado mapa de herradura, que consiste en "estirar" el cuadrado unidad y "doblarlo" sobre sí mismo. Este tipo de mapas forma una familia de cuyo estudio se ocupa la teoría matemática del caos.
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Esta nueva mezcla tiene algunas propiedades interesantes, estudiadas por Jeremy Rayner en su artículo «Flipping perfect shuffles», publicado en el primer número de la revista Metagrobologist Magazine (octubre de 2014). Por ejemplo, cuatro mezclas idénticas con las ocho cartas utilizadas en el juego hacen que el paquete recupere el orden inicial. Esta propiedad es más general, con 2n cartas sólo hacen falta n + 1 mezclas herradura para reordenar de nuevo todas las cartas. Los valores son más caóticos para otros valores: por ejemplo, con seis cartas se necesitan 10 mezclas para volver al orden inicial. Seguramente, esto se deba precisamente a la relación entre la representación binaria de los números y su evolución a lo largo de las mezclas.
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(Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)
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