[Imagen de John Hendricks extraída de la página www.magic-squares.net].

¡Han pasado más de 16 (número cuadrado) años desde que nos asomamos a este rincón por primera vez y estamos empezando a redactar el artículo que corresponderá a la entrada 186 (número libre de cuadrados) de la saga! Allá por marzo de 2004 empezaba esta aventura escribiendo sobre el principio de paridad (o principio de los dobleces) aplicado a los cuadrados, figuras que han ido apareciendo regularmente durante este periodo (puedes repasar, por ejemplo, los artículos de agosto de 2004, septiembre de 2004, julio de 2007 y abril de 2008). Nunca hemos profundizado en el estudio de los cuadrados mágicos y tampoco lo haremos en esta ocasión pues no nos parece el lugar adecuado. Ahora bien, si quieres leer algo relacionado con el tema, en el artículo titulado "La magia de los cuadrados mágicos" —que apareció en 2009 en la revista SIGMA— encontrarás alguna información adicional.

Esto no quiere decir que vayamos a desperdiciar cualquier ocasión de describir y comentar los juegos de magia que puedan crearse a partir de los cuadrados mágicos, siempre que estén basados en propiedades matemáticas y no solo en sutilezas y técnicas reservadas a la magia, en cuyo caso es aconsejable mantener el secreto con el que conseguir la sorpresa que toda representación de magia lleva emparejada.

De hecho, esta vez iremos un poco más lejos: el juego que vamos a presentar está basado en ciertas propiedades mágicas de un cubo. Los cubos mágicos no son tan populares como los cuadrados mágicos, quizá por la dificultad de representarlos gráficamente. Tampoco tienen esa larga tradición que hace tan atractivos a los cuadrados mágicos, pues se dice que aparecen por primera vez en una carta de Pierre de Fermat a Marin Mersenne escrita en 1640, en la que incluía un cubo mágico de dimensiones 4 x 4 x 4 y suma constante igual a 130. Sin embargo, podemos encontrar algunos problemas interesantes y otros que están todavía sin resolver. La propia definición de cubo mágico ya presenta dificultades: lo normal es que sea constante la suma de los números de todas las filas y todas las columnas pero, ¿tiene que ser constante la suma de las diagonales de cada cara así como la de las diagonales que atraviesan el cubo? En la siguiente imagen (que aparece en WolframMathWorld) mostramos un ejemplo de la cantidad de líneas diagonales que se pueden considerar en un cubo.

La idea que mostraremos a continuación es mucho más sencilla y el origen del juego más reciente: en 2019 se ha publicado la traducción (del alemán al inglés) del libro titulado "The math behind the magic", escrito por el matemático Ehrhard Behrends, a quien ya citamos en la anterior entrega de este rincón. El libro, como puedes imaginar, conjuga de forma precisa y didáctica distintos juegos de magia matemática y su fundamento teórico. Realiza un recorrido muy variado y completo sobre temas populares, como mezclas de cartas, propiedades de simetría, entretenimientos numéricos, decodificación de mensajes, etc., pero, sobre todo, plantea algunas generalizaciones que no son tan clásicas. Describe, cómo no, el juego del triángulo de colores sobre el que escribimos en la entrega anterior (septiembre de 2020) y extiende a tres dimensiones un juego clásico de predicción en un cuadrado a un resultado análogo sobre un cubo. Lo que sigue es la adaptación del juego que allí aparece y con el que celebramos, como ya hemos apuntado al principio, la edición 186 de este rincón.

OBSERVACIONES FINALES:

• En el libro de Ehrhard Behrends encontrarás la explicación del juego y la forma de construir tu propio cubo con cualquier suma prefijada. La idea básica con cuadrados en lugar de cubos se explica en el artículo ya citado "La magia de los cuadrados mágicos" y su historia está descrita en el artículo "How to construct a forcing matrix" de Doug Dyment.

• En la página Magic Hyper Cube Generator se muestra un código java con el que generar diferentes hipercubos mágicos en varias dimensiones. En el caso de dimensión tres, no siempre es posible encontrar cubos mágicos perfectos (se puede disfrutar en la página de Walter Trump el apasionante desarrollo cronológico de los distintos descubrimientos realizados hasta la actualidad). En el artículo "An algorithm for making magic cubes", Marián Trenkler proporciona fórmulas simples para construir cubos mágicos.