Fieles a la cita, una nueva edición de este esperado cuestionario matemático-cinéfilo. Desde esta sección os deseamos unas vacaciones estupendas, allá donde cada uno haya decidido disfrutarlas.

A ver si este año lo resumo en menos palabras. Se trata de averiguar el título de una película (o películas), oculta entre las pistas (diálogos, imágenes, problemas, etc.), además de responder una serie de cuestiones planteadas (unas de tipo matemático o científico, las de color rojo; otras de tipo cultural, las azules). Cada cuestión tiene una valoración que se indica al final. Quien mayor puntuación alcance será el ganador, al que la dirección de DivulgaMAT le hará llegar algún obsequio (suele haber obsequio para más de un concursante).

Se intenta (no siempre se logra) plantear cuestiones de todos los niveles (sencillas, medias, difíciles), pero como nadie sabe a que categoría pertenece cada una (además de que la dificultad de algo siempre es un concepto subjetivo), ninguna a priori debería evitarse.

CONCURSO

¿Está ya todo inventado? En el cine, en la literatura (incluso en la filosofía), ¿estamos repitiendo esquemas y argumentos que otros concibieron? Muchos autores se esconden en el hecho de que, salvo unos pocos especialistas, el público no ha leído o visto todo lo escrito o filmado, y pasan por novedosas obras que no son sino vueltas de tuerca de algo ya planteado en el pasado. Incluso, en el cine, no se cortan un pelo y proponen lo mismo, “actualizado” dicen, simplemente porque las posibilidades técnicas dan hoy más juego, o porque trasladan una historia a la sociedad actual (remakes, los llaman). Y siendo así, ¿son mejores, peores, iguales? Evidentemente, como hay gustos para todo, habrá quien tenga las más variopintas opiniones. Lo que es evidente es que en ciencia, en matemáticas en particular, detectar las repeticiones es seguramente más sencillo para los especialistas en los diferentes temas, aunque también ha habido “pufos” sonados. Y como nadie está libre, y menos cuando tiene otros muchos quehaceres, el que esto escribe desde luego declara que los ejercicios que se proponen en esta y pasadas convocatorias, no son originales, sino variaciones de otros (la verdad es que cuando ponemos exámenes tampoco se puede decir que seamos muy originales, aunque a los alumnos les parezca lo contrario), aunque eso sí, tratando de que estén lo suficientemente disfrazados como para que los potenciales concursantes no puedan encontrar su solución con facilidad en la red de redes o en libros (si no el concurso no tendría mucho aliciente, sería una simple búsqueda, que con el tiempo suficiente acabaría localizándose).

En fin, vayamos al asunto. La enigmática película que buscamos este año tiene ya sus años (recordad que pretendemos “descubrir” a los concursantes            producciones interesantes, quizá olvidadas), pero el caso es que muchos elementos que en ella aparecen se siguen repitiendo, y apareciendo una y mil veces. ¿Qué haría un joven actual si desea quedar bien con una chica que le mola (invitarla a cenar, por ejemplo), y no dispone de demasiado dinero? Por supuesto, hablamos de conductas legales y “moralmente” aceptables. No, no tiene un Sr. Grey a mano que le preste nada, además que un tal sujeto, seguramente le levantaría a la chica, a la madre, y a lo que se le pusiera por delante, y sería peor el remedio que la enfermedad.

Bueno pues a nuestro joven protagonista (y un tanto superficial, la verdad, entre otros adjetivos “súper” que se le pueden adjudicar, y que cada uno piense lo que quiera), se le ocurre apostar sus escasos bienes a ver si se multiplican. No sé si el juego que elige os parecerá el más adecuado, pero el caso es que se presenta con su duro (para los muy jóvenes, un duro eran 5 pesetas hace algún tiempo, pero vamos que si quieren pueden pensar en 5 dólares, o 5 euros, o 5 lo que quieran, pongamos “unidades monetarias”, u.m., en lo sucesivo), “a ver si se convierte en cuatro”, comenta,  y lo apuesta al “3 encarnado”, sin demasiada fortuna la verdad, a pesar de sus poco ortodoxos métodos para atraer la suerte (C – 1), (M – 1), (C – 2).

Por si aún no está claro dónde apuesta su dinero, digamos que en uno de los elementos integrantes del juego se dibuja un

TTPRATIKAAAGCIOOHNNEO

(C – 3). Si uno es suficientemente sagaz, con lo dicho ya casi se podría aventurar en qué película se basa este concurso, y de algún modo, descifrando la secuencia de letras anterior, se pueden también encontrar algunos datos sobre la misma (incluyendo una pista sobre el título). (C – 4). En la imagen de la izquierda podemos ver una conocida manualidad denominada hilorama. Si deseáramos hacer uno similar a partir del objeto descrito anteriormente, con un diámetro de 40 cm., y con un único ovillo, ¿de cuántos metros debería de ser? (M – 2), (C – 5), (M – 3).

Volviendo al joven BB (creo que no lo dije: lo llamaremos en adelante BB porque así se llama en la película), lo vemos en el fotograma de la derecha. ¡Ah, perdón! parece que se ha movido tan rápido que ya no aparece. Está nervioso, porque pasa el tiempo y sigue sin un céntimo. Incluso se ve algo que ha dejado por ahí tirado de un modo poco cívico, por cierto.

Casualmente, en uno de los bolsos de su chaqueta, BB encuentra 1 u.m. A pesar de su experiencia anterior, vuelve a probar fortuna. Pero antes de olvidarnos de la foto anterior, suponiendo que BB tuviera una altura de 1.65 metros, ¿que altura debería tener el espejo para que pudiera reflejarse entero? ¿A qué distancia debe situarse? (M – 4), (C – 6). (M – 5), (M – 6).

Y repite al mismo número de antes que lleva saliendo a lo largo de la tarde media docena de veces en una hora (M – 7), (M – 8). El caso es que esta vez, apostando a ese mismo número su 1 u.m. gana; de nuevo apuesta todo lo ganado al mismo número, y vuelve a ganar. A continuación, cambia de número, pero apuesta todo lo acumulado, y vuelve a ganar (la verdad es que tiene ayuda, y no, no son Los Pelayo) (M – 9). Él desea seguir la racha, pero su “ayudante” le advierte de que si sigue lo perderá todo (M – 10), (M – 11).

Volviendo al asunto de que los guionistas repiten esquemas, hace algunos años fue muy popular la frase “En ocasiones veo muertos”. Al parecer ese don (ya sabéis que no soy muy partidario de dar rienda suelta a determinadas sandeces seudocientíficas, pero es que en esta ocasión la película es de género fantástico, y en muchas ocasiones la ciencia ficción, el fantástico, el terror, han posibilitado obras y reflexiones de interés, porque se suscitan preguntas, se investigan hechos,...; el problema es el negocio que quieren seguir teniendo algunos cuando la ciencia explica los fenómenos y se les acaba el “chollo”), y las ayudas que buscan los habitantes “del más allá”, llevan tiempo siendo utilizadas por lo que se ve (C – 7). Por otro lado, quizá a alguien le suene esta escalera de la imagen. Ha sido toda una revelación durante este año. El cine ha utilizado, quizá por su plasticidad o su belleza, también muchas veces escaleras de este tipo, fotografiándolas desde los más imaginativos ángulos (C – 8). En la película que buscamos, también aparece una escalera que salva un desnivel de unos 20 metros de altura, pero las longitudes de las circunferencias en el inicio y en la base, son diferentes, 12 y 4 metros, respectivamente. Muchos son los escalones que BB debe bajar, pero lo que nos contentamos con saber es la longitud de dicha escalera, sabiendo que da cuatro vueltas completas de principio a fin (M – 12).

Al llegar abajo BB descubre algo por lo que pasarán Francisco Rabal y Manolo Escobar en años posteriores (quizá para el segundo, con no muy buen recuerdo) aunque con algún que otro detalle distinto, pero básicamente con la misma idea. Desgraciadamente, BB es descubierto, lo que le impedirá salir de allí si antes no hace algo (C – 9).

Un poco antes, BB conoce a otra joven, mucho más atractiva y menos interesada que la primera, a la que debe proteger de una amenaza que la acecha. Aunque, en principio no la hace demasiada gracia el joven BB, la mención de éste de conocer a un familiar suyo, la hace tratar de colaborar con él. Aunque a la típica ama de llaves, este joven no parece hacerle mucha gracia (¡ay, Sra. Danvers, qué escuela creó!), el caso es que BB y la joven buscan pistas que le hagan averiguar qué le sucedió a su conocido común. Y en éstas están cuando:

- ¿Y esa habitación?

- Una especie de pequeño museo en el que mi tío guardaba todas las piezas de valor halladas por él. Usted que es aficionado a la arqueología sabrá reconocer el valor de todo esto.

- Ya lo creo. Es magnífico. Realmente el profesor tenía una buena colección. ¿Cuántas hay aquí?

- Días antes de morir hizo un recuento. Siendo como era amante de los acertijos y misterios, no indicó una cantidad exacta, pero comentó que si sumaba los cuadrados de los tres dígitos que forman la cantidad total, sabría exactamente la mitad del número total.

- ¿Y lo averiguó?

- No me dio tiempo. Cuando estaba pensándolo, me entró como un sopor, como si alguien quisiera entrar en mis pensamientos. Y me fui a dormir.

- Bueno, tampoco importa mucho. Sólo era por curiosidad. (M – 13).

En la imagen vemos una de las piezas que hay en la habitación. ¿Sugiere algo? (C – 10).

En otro momento de la película (en realidad, de principio a fin), van apareciendo unos pintorescos personajes que resulta que trabajan en el oculto lugar al que BB accede desde la escalera de antes. Utilizan tres materias primas para falsificar monedas (tienen que sobrevivir, que la cosa estaba muy fea, y al gobierno de entonces no le hacían mucha gracia las ayudas sociales, aunque, proponía algunas, de maquillaje fundamentalmente, todo hay que decirlo), que hacen esencialmente mediante dos procesos: la confección de la propia moneda y la elaboración de un aditivo que las hace envejecer y parecer antiguas. Para obtener un kilo de aleación para las monedas precisan 2/5 de kilogramo de material 1 y 3/5 de kilo de material 3. Un kilo de aditivo es una mezcla de ½ kilo de material 1, 1/5 de kilo de material 2 y 3/10 de kilo de material 3. Los beneficios que obtienen son de 40 u.m. por kilo de moneda y 30 u.m. por kilo de aditivo. BB averigua que la disponibilidad de materias primas en el momento que los descubre es de 20 kilos de material 1, 5 kilos de material 2 y 21 kilos de material 3. Por un momento, BB piensa en cuántos kilos de cada elemento (monedas y aditivo) deben fabricar para obtener el máximo beneficio, pero como se aturde un poco con las cuentas (bueno, se aturde con casi todo), lo deja para mejor ocasión (M – 14).

El lugar es bastante tétrico (con cadáveres, esqueletos, ratas, y toda la parafernalia típica, aunque la verdad no da mucho miedo). Ocultándose de sus perseguidores, BB escapa por laberínticos pasadizos. El jefe de la cuadrilla reparte a sus secuaces por distintas zonas que controlan diversas estancias. Una de ellas, es la de la imagen, una sala central circundada por otras cuatro etiquetadas como A, B, C y D. Hay cuatro puertas: x, y, z, u. En dos horas, el vigilante ha pasado 7 veces por la puerta x, 4 por la puerta y, 6 por la puerta z, y tres o cuatro, no se acuerda demasiado bien, por la puerta u. ¿Dónde se encuentra después de hacer ese recorrido? ¿Cuántas veces ha pasado por la puerta u?  (M – 15).

La verdad es que, creo que ya está muy claro de qué película se trata, pero quizá no esté de más dar alguna pistilla sobre la novela en la que se basa, novela que, curiosamente, no escribió su autor. Sí, “negros” han existido también siempre (en la acepción literaria en la que estamos, no tergiversemos las cosas, que no quiero dimitir por decir algo no apropiado, ahora que está de moda), pero no es el caso. Su autor hizo un relato, que le pidieron ampliar, a lo que se negó rotundamente (tenía otras “ocupaciones” más divertidas, menudo pieza era, según dicen; ¿quizá por eso tuvo luego un cargo relevante en su ciudad? Vale, que la volvemos a liar).

En la imagen se muestra otro fotograma de la película en la que aparece un mensaje en clave. Como no podía ser de otro modo, un experto criptógrafo tocayo mío es el que acaba descifrando el contenido que se encontraba escrito en una pared de la esquina de una casa de un típico barrio de la ciudad en que acontece la acción. No vamos a pedir al lector que lo descifre, dado que, según se dice, responde a un antiguo alfabeto asirio (que es de suponer que es mentira, obviamente), pero sí que descifre este otro mensaje, cifrado mediante un conocido método de sustitución polialfabética, muy utilizado en el siglo XVI (que quedó obsoleto cuando se descubrieron procedimientos que rompieron esa cifra). En este caso lo que esconde el mensaje es el nombre de un personaje de la película (son tres palabras), con el que quizá algunos se topen este verano (M – 16):

OIWYNRAYEWXAV

En otro momento, al inicio de la película, BB se encuentra rodeado de un montón de gente, en una mesa para el solito (privilegios que tiene) escuchando y disfrutando de un espectáculo. Suponiendo que en ese lugar haya n personas, y que

i) cada dos personas que se conocen entre sí, no tienen otras amistades comunes.

ii) cada dos personas que no se conocen entre sí, tienen exactamente dos amistades comunes en la sala.

Demostrar que, con estos supuestos, todas las personas presentes en el local tienen amistad con el mismo número de personas. (M – 17).

Cuestiones

M – 1.- ¿Se trata de una decisión acertada? Demostrar que independientemente de que haga apuestas sencillas o combinadas, las expectativas de ganar en este juego, en cualquier caso, son idénticas.
M – 2.- Calcular la longitud del ovillo.
M – 3.- Estas estructuras sirven para resolver un tipo de problemas matemáticos muy concretos. Enuncia y resuelve alguno ayudándote de alguna de estas construcciones. ¿Cuál es el nombre de la teoría matemática que las estudia? Indicación: no sirve teoría de grafos como respuesta; nos referimos a algo más concreto.
M – 4.- Justificar las afirmaciones realizadas en la respuesta.
M – 5.- Por cierto, las dimensiones del espejo de la fotografía en metros son las raíces del polinomio 19x² – 43x + 17. El caso es que queremos averiguar el perímetro del espejo y su superficie, pero sin calcular dichas raíces, que quedan muy feas. Además no queremos expresiones decimales, que también resultan un poco molestas, sino su valor exacto. Aunque, sí nos gustaría saber, ya que estamos, si su expresión decimal (la del perímetro y el área) es periódica o no, y si lo es, cuál es el valor de ese periodo.
M – 6.- Análogamente, las raíces del polinomio x³ – 70x² + 1629x – 12600 son las medidas de las dimensiones de la habitación rectangular en la que están, medidas en metros. Calcular la superficie total y el volumen de la habitación (cuando las puertas y ventanas de la habitación están cerradas, claro), a ser posible, también sin hallar dichas raíces, por mucho que os corroa la curiosidad, que ya sabéis que hizo algo raro con alguien o algo que también aparece en la película, y que, como no, era negro.
M – 7.- Suponiendo que en cada jugada se tarden 5 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que salga el mismo número esa media docena de veces? ¿Puede afirmarse que pasa “algo raro”?
M – 8.- ¿Es más o menos probable que la banca gane en esa hora tres veces?
M – 9.- Dar una estimación del dinero ganado. ¿Tiene suficiente para invitar a cenar a dos personas?
M – 10.- Existen varias estrategias que los jugadores utilizan para tratar de ganar en este juego. Cita al menos tres diferentes, y justifica, si es posible, si matemáticamente son aceptables.
M – 11.- La sala en la que se encuentra BB es rectangular. Desde el punto en que encuentra, la distancia a tres de los vértices de la sala son, respectivamente, 5 m., 10 m. y 14 m. ¿A qué distancia se encuentra del cuarto vértice? ¿Es posible conocer las dimensiones de la sala?
M – 12.- Razonar cuál es la longitud de la escalera.
M – 13.- Pero seguro que el ávido lector sí es capaz de saber cuántas estatuas había en la habitación.
M – 14.- ¿Qué cantidades de cada elemento deben fabricar para que el beneficio sea máximo?
M - 15.- Responder razonadamente a las cuestiones planteadas.
M – 16.- ¿Qué se esconde tras este mensaje? ¿Con que sistema se ha cifrado? ¿Cómo lo has descifrado?
M – 17.- Demostrar lo indicado.

C – 1.- ¿A que juego de azar apuesta su moneda?
C – 2.- ¿A qué método no ortodoxo nos referimos?
C – 3.- ¿Qué significa? ¿Puedes justificar de algún modo su complicado nombre?
C – 4.- ¿A qué obedece esa disposición de las letras? ¿Con qué clásico método de encriptación de mensajes se ha realizado?
C – 5.- ¿Qué nombre más técnico, más matemático, reciben los objetos construidos en los hiloramas?
C – 6.- ¿Podrías indicar media docena de películas, y otra media docena de obras literarias en las que un espejo sea un elemento relevante (sin incluir la que nos ocupa)?
C – 7.- Origen de esa frase, y relación con la película que buscamos.
C – 8.- Citar otra media docena de películas en las que aparezcan, escaleras helicoidales, espirales, etc., sin contar la que buscamos, pero incluyendo la de la imagen, aunque no se haya visto en salas de cine.
C – 9.- Tratar de explicar todas las afirmaciones hechas.
C – 10.- Confiamos que el lector conozca y/o recuerde el latín que ya no se estudia, al menos por todos los alumnos de Secundaria. Yo sí lo hice, y aunque en su momento no me ilusionaba mucho la idea, hoy reconozco que fue interesante y enriquecedor. Claro que un buen profesor hace mucho.

Y la cuestión final : ¿Cuál es el título de la película? ¿Qué te ha parecido?

Baremo: Todas las cuestiones se valorarán con 10 puntos, tanto las azules como las rojas, excepto las cuestiones numeradas como M – 12, M – 13 y M – 17, que se valorarán con 20 puntos. En total, 300 puntos, creo. La última cuestión, la más importante, la del título de la película en la que se basa el juego, no tiene puntuación, dado que en otras cuestiones previas ya se va de algún modo viendo y valorando su respuesta.

Todo comentario, sugerencia, queja, etc., será bien recibido. Si no salen algunas cosas, no importa; lo que cuenta es tratar de pasar un buen rato, disfrutar de películas (que el verano da para mucho), y mantener las neuronas  un poco activas.

P.D.: Espero que no haya ningún error en las cuestiones. Se han repasado varias veces, pero algunas, al ser inventadas o retocadas de otros enunciados, podrían tener alguna errata. Sed benévolos con vuestros calificativos si tal cosa sucediera.

El plazo para enviar las respuestas, es como en años precedentes, hasta las 00:00 del 1 de Septiembre, o las 23:59 del lunes 31 de agosto de 2015, si alguien tiene manía a los ceros, a la dirección Esta dirección electrónica esta protegida contra spambots. Es necesario activar Javascript para visualizarla , indicando en el asunto Verano 2015.

¡¡¡¡Buen Verano Cinematemático!!!!