Sin duda, uno de los personajes más destacados de la magia del siglo XX ha sido el escocés Alex Elmsley (1929-2006), cuyo nombre es conocido por la gran mayoría de quienes hacen magia con cartas. Sin embargo, casi nadie sabe que Elmsley estudió Física y Matemáticas en la Universidad de Cambridge y que trabajó casi toda su vida como ingeniero en computación. Es muy recomendable leer la nota necrológica que le dedicó John Derris pero también son jugosas las observaciones y anécdotas sobre su persona que relatan Persi Diaconis y Ron Graham en el libro "Magical Mathematics: the mathematical ideas that animate great magic tricks".

A este personaje se deben gran parte de las propiedades matemáticas que posee la llamada mezcla faro o mezcla perfecta, la primera de las cuales se publicó en el volumen 11 (año 1957) de la revista The Pentagram, bajo el título "The mathematics of the weave shuffle". ¿Que no hemos hablado de la mezcla faro en este rincón? Habrá que arreglarlo cuanto antes. Como iba diciendo, Alex Elmsley dio consistencia matemática a las propiedades de la mezcla faro que se conocían experimentalmente a partir de tablas construidas por Fred Black y se habían publicado en el libro "Expert card technique", de Jean Hugard y Fred Braue, en 1944.

La mayor parte de las aportaciones a la magia de nuestro personaje se encuentran compiladas en los dos tomos del libro "The collected works of Alex Elmsley", escrito por Stephen Minch en 1991 y 1994, y traducido por la editorial Páginas bajo el título "Obras completas de Alex Elmsley", también en dos tomos. A lo largo de sus páginas se intercalan técnicas específicas para multitud de juegos de cartas con estudios detallados de principios matemáticos en los que se basan muchas otras de sus creaciones.

En esta ocasión, nos vamos a detener en un juego precioso que ilustra muy bien la relación entre la magia y la computación -las dos disciplinas en las que Alex era experto- pues utiliza el sistema de numeración en base ocho para crear un juego de adivinación bastante sorprendente. El juego aparece en el segundo tomo de sus obras completas bajo el título "El lápiz octal". A pesar de encontrarse en la parte superior de la pila de mis libros de cabecera, he conocido el juego a través del colega y amigo Fernando Blasco, otro apasionado de la magia matemática.

Aquí describiré únicamente la primera versión de dicho juego pero te recomiendo el libro si quieres aprender las diversas modificaciones y otras variaciones que allí se desarrollan con todo detalle.

Antes de pasar a describir el juego, necesitas preparar un "lápiz octal", es decir uno de esos cuya sección transversal es un octógono (al final daremos algunas alternativas debido a que no es fácil encontrar lápices de este tipo). En cada una de las caras del lápiz debes tener impresos los números que se muestran en la imagen adjunta, teniendo en cuenta que los que están en cursiva deben ser de color rojo y los demás de color negro.

En la siguiente tabla se muestran más claramente los números:

Una vez preparado, sigue las siguientes instrucciones.

¿Adivinas cómo se puede hacer? En efecto, la pista está en el propio título del juego: no se llama lápiz octal porque tiene ocho caras, sino porque necesitas conocer el sistema de numeración en base ocho. En la siguiente tabla, escribimos los primeros números naturales en tres sistemas de numeración: decimal, octal y binario.

Con esta tabla en mente, hay una forma muy sencilla de convertir cualquier número del sistema binario al octal. En primer lugar, se separan las cifras del número en grupos de tres, empezando por el final. Cada grupo de tres cifras equivale a un número decimal comprendido entre cero y siete. Dicho número será la correspondiente cifra en el sistema de numeración octal y el conjunto de todas las cifras será el equivalente en el sistema octal del número en binario.

Por ejemplo, dado el número en binario 10110111001, lo descomponemos en cuatro bloques 10 110 111 001 y realizamos la correspondencia de binario a decimal en cada bloque: 10 → 2, 110 → 6, 111 → 7, 001 → 1. Por tanto, la representación octal del número anterior es 2671.

Aquí viene la genialidad de Alex Elmsley: la disposición de los números y sus colores en el lápiz, junto con el añadido de la mentira en uno de los colores, representa la codificación en el sistema octal de cada número. La secuencia de negros y rojos indicada por el espectador se traduce en una secuencia de unos y ceros, bajo la clave NEGRO = 1, ROJO = 0. Cada bloque de tres cifras equivale a una cifra en el sistema octal, como hemos indicado un poco más arriba. Así que los dos bloques representan un número de dos cifras, precisamente el número elegido por el espectador.

Veamos el mismo ejemplo del número 61: el espectador nombra la secuencia NEGRO, NEGRO, ROJO, ROJO, ROJO, NEGRO. El mago traduce dicha secuencia en el número 110 001. El primer bloque de tres cifras equivale al número 6 y el segundo bloque equivale al número 1. El número pensado es 61.

Ahora que conoces el sistema, podrás construir fácilmente tablas similares con otros números, siempre que sus cifras no contengan ochos ni nueves. Ilustraré el método con un ejemplo:
Partimos del número 47; convertimos cada cifra al sistema binario para obtener 100 111; construimos la tabla de los seis números que consisten en cambiar una sola de las cifras y tenemos la secuencia 000 111, 110 111, 101 111, 100 011, 100 101, 100 110. Pasamos al sistema octal dichos números y resulta 07, 67, 57, 43, 45, 46. Dibujamos cada número según el color elegido a partir del número inicial 100 111, es decir 07 = 1, 67 = 0, 57 = 0, 43 = 1, 45 = 1, 46 = 1. Si la correspondencia es la anterior NEGRO = 1, ROJO = 0, la fila de números sería 07, 67, 57, 43, 45, 46.

Como ya anunciaba, hay varias alternativas al uso de un lápiz en forma de prisma octagonal. La primera de ellas es fabricar el prisma con cartulina, un ejercicio instructivo y entretenido (puedes encontrar un modelo en esta página). Otra opción es la que ofrecieron los responsables de Divermates en la jornada Gathering for Gardner celebrada el pasado año en la Universidad Complutense de Madrid: imprimir la tabla anterior en una pegatina que luego se colocaba en un cilindro hueco. Seguro que se te ocurren otras formas de construir este fantástico juego.

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