La botella de Klein es un libro de cuentos del escritor argentino Enrique Anderson Imbert (1910-2000).

La botella de Klein. Topología de la novela es el primero de los cuentos que componen la antología, y comienza así

Yo había dejado descansar los remos y el bote seguía su impulso cuando, en el silencio de la madrugada, algo golpeó contra la quilla. Metí la mano en el mar y pesqué una botella.

¿Botella?

Botella por el vidrio y por el tamaño, no por su forma, que según lo que yo palpaba debía de ser grotesca. Al principio no pude verla porque los párpados de la neblina me cegaban pero el tacto terminó por aguzarme la vista. Los ojos se hicieron tan táctiles como las manos, las manos tan videntes como los ojos y gracias a la vislumbre del amanecer reconocí la botella: yo acababa de pescar la Botella de Klein que horas antes me había regocijado en la ilustración de un libro de matemáticas. El cuello, sin gollete, se curvaba y volvía a sumirse en la botella como si, pornográficamente, quisiera penetrar en su trasero. Absurdo. Y el trasero de la botella, a su vez, se abría penetrado desde dentro por el cuello, excepto que no había ningún adentro. Absurdo. La Botella de Klein carecía de agujero y, no obstante, enloquecida frente al espacio, se escapaba por el interior de sí misma. Absurdo.

El narrador intenta llenar la botella con agua, pero se le resbala de las manos, aparentemente se aleja flotando, y finalmente le engulle:

Comprendí que no la veía más, no por estar lejos, sino porque yo, sin saber cómo, me había dejado embotellar y estaba flotando simultáneamente por los adentros y las afueras de la Botella de Klein, botella que no tiene ni afueras ni adentros. Absurdo, absurdo, absurdo.

El náufrago llega a una isla, y desde su playa a una ciudad con edificios idénticos multiplicándose sin fin: es una ciudad-biblioteca, cuyos habitantes son los protagonistas de los libros que la forman. Odiseo sale a su encuentro y conversa con él.

El narrador imparte –dirigiéndose a Odiseo– una auténtica lección de homotopía:

Una naranja, una moneda, un dado parecen muy diferentes y sin embargo son iguales en virtud de que sus superficies no se rompen con ningún agujero. Un anillo y un túnel, por diferentes que sean, se parecen en que ambos tienen un agujero solo. Con la arcilla blanda de una jarra de dos asas uno podría formar el número 8 siempre que, al deformarla y transformarla, no la desgarrásemos. Mientras conservemos sus dos agujeros el 8 tiene las dos asas de la jarra. Todo es cuestión de mantener la buena contabilidad de agujeros.

Después, explica a Odiseo cómo la topología puede ayudarle a relatar de otro modo La Odisea.

– Odiseo: yo he de escribir una novela que, sin romperlas, comprima, amase, contorsione y estire las formas de la Odisea. Tomo una cinta…

Por si mi pensamiento no bastaba me ayudé con las manos y me desprendí del cinturón:

–Tomo una cinta y ¿ves? La tuerzo con una media vuelta antes de pegar sus extremos. Ahora la cinta…

Debo decir aquí que en ese momento vi la Cinta de Möbius tan patente como había visto la Botella de Klein, iguales ambas a las ilustraciones de mi libro de matemáticas:

–Ahora la cinta tiene un solo borde, un solo lado. Pongo el dedo en la superficie interior y lo deslizo tocando siempre el mismo lado: llega un momento ¿ves? en el que el dedo ya no está adentro, sino que continúa por fuera.  Si la corto a todo lo largo y por el medio, tal cinta, que sólo tenía un lado, no se dividirá en dos cinturones separables, sino que crecerá en un gran cinturón con dos lados y si en vez de cortarla por el medio la corto siguiendo una línea paralela al borde, a una distancia de un tercio del ancho de la cinta, la tijera dará dos vueltas alrededor de la cinta, en un corte continuo, y saldrán, sí, dos cinturones, pero uno dentro del otro, uno con dos lados y el otro, nuevamente, con un solo lado… Y sin con este último repito la operación… ¡oh!... […]

–¡Oh, qué novela, qué novela me saldría si con el ejemplo de la Topología yo continuara los juegos espaciales de la Odisea!

El narrador ha explicado con soltura las propiedades más conocidas de la banda de Möbius (ver [2] para más detalles.

Al cortar una banda de Möbius a lo largo de una circunferencia situada a mitad de altura, se obtiene una única cinta con dos caras (un cilindro).

Al cortar una banda de Möbius a lo largo de una circunferencia situada a altura de un tercio, se obtienen dos cintas enlazadas: una banda de Möbius y un cilindro.

El narrador describe con verdadera pasión esa novela tan especial que desearía escribir:

–Mi novela –seguí– sería una novela consciente de ser novela. El espacio interior de mi narración quedaría configurado en inesperados laberintos. Una novela dentro de la cual se reproduce otra; y de ésta se desprende otra, y otra… […] Con arte combinatorio yo mostraría formas que no se alteran a pesar de la distorsión de los conjuntos porque conservan una propiedad común: la de ciertos agujeros permanentes.

Odiseo, aburrido, regresa a su casa-libro… el narrador retorna a su barca y se duerme.

¿Y la botella de Klein? Está presente en toda la historia –su sombra, su forma, etc. – y, además,  la botella de Klein se puede construir adjuntando dos bandas de Möbius mediante la aplicación identidad que identifica sus bordes…

La circunferencia frontera (el único borde) de la banda de Möbius A se pega con la circunferencia frontera de la banda de Möbius B: se obtiene así una botella de Klein.

Más información:

[1] Enrique Anderson Imbert, La botella de Klein, P.E.N. Club Internacional, Centro Argentino, 1975.

[2] Marta Macho Stadler, Listing, Möbius y su famosa banda, Un Paseo por la Geometría 2008/2009 (2009) 59-78.