92. (Enero 2015) ¿Quién ha matado al duque de Densmore?, de Claude Berge |
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| Escrito por Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco) |
| Viernes 02 de Enero de 2015 |
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Qui a tué le duc de Densmore? es un relato policíaco escrito por el miembro del grupo OuLiPo y matemático –especialista en teoría de grafos– Claude Berge (1926-2002). El detective Ralston y el inspector Vaughan (Scotland Yard) llegan a la isla de White: desde hace un año no se tienen noticias de Jeremy Morse –el duque de Densmore– y de su mayordomo Stewart. Son los únicos habitantes de la isla; los pescadores que solían verlos con frecuencia comentan a los policías que no se habían preocupado por la ausencia, al pensar que estaban de viaje. Al llegar, los policías observan que una de las torres del castillo está completamente destruida; una fuerte explosión la ha derribado y, entre el mobiliario carbonizado, encuentran los cadáveres del duque, del mayordomo y de Arquímedes –el cocodrilo, mascota de Jeremy Morse–. La investigación lleva a los agentes de Scotland Yard a deducir que una carga explosiva se había conectado a un interruptor de uno de los laberintos del castillo. Además, en la habitación del duque encuentran un cuaderno en el que estaban anotados los nombres de las personas que habían pasado una temporada en la isla: sólo ocho mujeres habían visitado al solitario duque; los pescadores corroboran este punto, al no haber visto a nadie más en el único embarcadero que conducía a la isla de White. Estas ocho mujeres son:
El detective interroga a cada una de ellas sobre su estancia en el castillo de la isla de White. Ellas relatan como conocieron al duque, y algunas de las vivencias durante su visita. Al haber pasado un año, no recuerdan las fechas exactas, pero no han olvidado con que otras mujeres se cruzaron en la isla:
Se sabe además que cada una de ellas sólo realizó una estancia en la isla –hecho de nuevo corroborado por los pescadores de la zona–. Tras las entrevistas, y teniendo en cuenta que la preparación de una tal bomba requería numerosos preparativos –el culpable había tenido que pasar forzosamente bastante tiempo en la isla–, que parecía haber sido una acción individual y que sólo el mayordomo poseía las llaves del ala del castillo en la que se había producido la explosión –y la puerta estaba cerrada con llave–, el detective Ralston concluye que el asesino era obligatoriamente Stewar y que había muerto accidentalmente. La culpa, como siempre ¡del mayordomo! Semanas más tarde, Ralston se encuentra casualmente con Cedric Turner-Smith –profesor en Merton College y especialista en matemáticas finitas–, un amigo que le había ayudado tiempos atrás a resolver un caso. El detective le comenta este singular caso, le habla de sus interrogatorios y de sus conclusiones. El profesor dibuja un grafo –no dirigido– resumiendo toda la información: explica al detective que cada vértice corresponde a una de las mujeres –etiqueta cada uno de ellos con la inicial de una mujer: A por Ann, B por Betty, C por Cynthia, D por Diana, E por Emily, F por Felicia, G por Georgia y H por Helen– y une dos de los vértices mediante una arista si las dos mujeres recuerdan haberse encontrado en la isla.
Tras observarlo, Turner-Smith afirma con contundencia que el mayordomo es inocente y que además conoce la identidad de la culpable. ¿Cómo lo ha deducido? Si ninguna de las mujeres se ha escondido del resto del grupo y ninguna de ellas miente, su presencia en la isla se puede representar mediante intervalos dibujados sobre un eje temporal: si dos intervalos se superponen, eso significa que esas dos mujeres se han encontrado. El grafo dibujado es el grafo de intervalos correspondiente a las estancias de las ocho mujeres: cada vértice corresponde a un intervalo de tiempo –el tiempo que permaneció en la isla la mujer etiquetada– y una arista une dos vértices si los correspondientes intervalos temporales se cruzan. El profesor comenta al detective que este tipo de grafos son conocidos desde 1957 gracias al matemático György Hajós, y que, para averiguar la verdad, se ha basado en dos de sus propiedades: PROPIEDAD 1: Un grafo de intervalos siempre está triangulado –también se dice que los grafos de intervalos son cordales–, es decir, cada bucle de longitud mayor o igual que cuatro contiene al menos una cuerda –una cuerda es una arista que une los vértices de un bucle, pero que no pertenece al bucle–. No vamos a hacer la prueba de este hecho –puede encontrarse en cualquier manual que hable de grafos de intervalos–, pero vamos a explicarlo sobre el grafo de esta novela. Como comenta Turner-Smith, en el grafo que ha dibujado existen dos cuadriláteros problemáticos: i) ACHG:
ii) y ABHG:
¿Por qué son problemáticos? Miremos, por ejemplo, el segundo, reflexionando en los intervalos temporales que representa. Si A y B han coincidido, B y H, H y G y finalmente A y G, necesariamente, B y H también han tenido que compartir un intervalo de tiempo (en este caso, en la isla).
Es decir, el grafo debería tener una arista uniendo B y G:
Pero esta arista no existe… Si los cuadriláteros ACHG y ABHG no son posibles, eso significa que alguna de las mujeres involucradas ha falseado su declaración, es decir, alguna entre Ann, Cynthia, Helen o Georgia –para ACHG– miente y alguna entre Ann, Betty, Helen o Georgia –para ABHG– no ha dicho la verdad. Como sólo hay una culpable, la mentirosa debe encontrarse entre Ann, Helen o Georgia. PROPIEDAD 2: En un grafo de intervalos no puede encontrarse un triangulo inscrito en un hexágono. En nuestro caso, el único hexágono existente es ABCDEF.
Si analizamos el significado de este subgrafo en términos de intervalos de tiempo, vemos que si Ann, Betty, Cynthia, Diana, Emily y Felicia han coincido, según ellas confiesan, necesariamente Ann y Diana también han tenido que compartir tiempo de estancia en la isla.
Es decir, el verdadero grafo debería ser éste:
Eso significa que una de estas mujeres ha mentido: Ann, Betty, Cynthia, Diana, Emily o Felicia. Teniendo en cuenta estas dos propiedades de grafos de intervalos, se deduce –como bien comenta el profesor en la novela– que Ann es, sin ninguna duda, la culpable. Cuando el detective va a su casa a interrogarla, ve que se ha suicidado; una nota dejada en una mesa explica su historia: sumida en la ruina, chantajeaba al duque –le había engañado haciéndole creer que había matado a una persona en un atropello durante una borrachera–, el duque pretendía denunciarla, y ella le mata para silenciarle… Al regresar al castillo para cerrar la investigación, encuentran la libreta del mayordomo en la que anotaba las visitas, con fecha de estancia y habitación asignada a cada mujer. Los días de las visitas de cada una de ellas son:
Es decir, sus intervalos de coincidencia son:
Y así, el verdadero grafo de intervalos es:
Las mentiras de Ann suponían una coincidencia de este tipo:
Y esta situación es imposible con una única estancia de Ann en la isla. De hecho, en su declaración, Ann dice haber visto a Diana –pero Diana no habla de haber coincidido con ella, por eso Turner-Smith no traza la arista entre los vértices A y D– y Ann miente al decir que no ha visto a Helen –aunque es cierto que Helen no ha visto a Ann–: en ambos casos ella estaba escondida preparando su perverso plan… ¡Una interesante aplicación de la teoría de grafos! Más información:
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