Problemas de segundo grado

Este problema de segundo grado aparece en el Lilavati:

De un enjambre de abejas, un número igual a la raíz cuadrada de la mitad de su número total fue a libar a las flores. Después, un número de abejas igual a ocho novenas partes del enjambre total fue a libar al mismo lugar. Después fue un zángano, se introdujo en una de las flores y quedó atrapado dentro de ella. A su zumbido, su consorte llegó desde el exterior. ¿Cuántas abejas tenía el enjambre?

Del enunciado se desprende que todas las abejas fueron a libar a las flores y que la pareja del zángano fue la última en llegar. Entonces, si x es el número de abejas del enjambre, el problema se traduce a la ecuación:

Se puede considerar como incógnita a √x o, aun mejor, hacer x = 2z², y entonces la nueva ecuación es 2z² - 9z - 18 = 0. Su solución es 6, y el número de abejas es 72.

Este otro problema, también de segundo grado procede en cambio del Vija-Ganita:

En un bosque, un número de monos igual al cuadrado de la octava parte del total del número de monos está jugando ruidosamente. Los doce monos restantes, en una actitud más comedida, están en una colina cercana, molestos por los gritos que vienen del bosque. ¿Cuál es el número total de monos de la manada?

El número x de monos es solución de la ecuación:

A diferencia de la ecuación anterior, las dos soluciones x = 16 y x = 48 son igualmente admisibles.

Problemas diofánticos

De entre los problemas indeterminados del Lilavati, destacaremos el siguiente: buscar cuatro números cuya suma coincida con la de sus cuadrados. Esto equivale a resolver la ecuación:

x + y + z + u = x² + y² + z² + u²

Claramente carece de soluciones enteras, y habrá que conformarse con racionales. Bhaskhara da la solución x = 1/3, y = 2/3, z = 1 y u = 4/3.

Este otro problema diofántico es del Vija-Ganita:

Un hombre tiene 5 rubíes, 8 zafiros, 7 perlas y 90 monedas. Otro tiene 7 rubíes, 9 zafiros, 6 perlas y 62 monedas. Sabiendo que ambos son igualmente ricos, calcular los precios de cada clase de gema.

Si x es el precio de cada rubí, y el de cada zafiro, y z el de cada perla, el problema da lugar a la ecuación:

5x + 8y + 7z + 90 = 7x + 9y + 6z + 62

que convenientemente simplificada, se convierte es esta otra:

2x + y - z = 28

Bhaskhara  supone z = 1, y la ecuación se convierte en 2x + y = 29, que proporciona las soluciones x = 14, y = 1 y z = 1, y también x = 13, y = 3 y z = 1.

Un problema de tercer grado

Entre los problemas diofánticos del Vija-Ganita tiene un enorme interés este de tercer grado. Se trata de encontrar dos números tales que la suma de sus cubos sea un cuadrado y la de sus cuadrados sea un cubo. Bhaskhara supone los números de la forma x = z² e y = 2z². Esto garantiza ya la primera condición:

x³ + y³ = z⁶ + 8z⁶ = 9z⁶ = (3z³)²

Ahora hay que escoger z de modo que se cumpla la segunda:

x² + y² = z⁴ + 4z⁴ = 5z⁴

El número más pequeño que convierte al último miembro en un cubo es z = 25, de manera que x = 625 e y = 1250 son los números buscados:

625² + 1250² = 390625 + 1562500 = 1953125 = 125³
625³ + 1250³ = 244140625 + 1953125000 = 2197265625 = 46875²

Sobre un triángulo racional

Bhaskhara planteó el problema de encontrar un triángulo rectángulo de lados racionales cuya superficie fuera numéricamente igual a la longitud de su hipotenusa. Para empezar, las longitudes de los lados del tal triángulo no pueden ser números enteros. En efecto, si la hipotenusa mide a y los catetos b y c, han de suceder estas dos cosas:

a² = b² + c²
2a = bc

Ambas llevan a que b² = 4(b/c)² + 4. Si b = c, b = √8, que no es un número entero. Si b ≠ c, b² no es entero y tampoco b. Bhaskhara parte del triángulo de lados 3, 4 y 5, y postuló que el buscado por él tenía por lados 3x, 4x y 5x. Esto lleva a la ecuación 6x² = 5x, cuya solución es x = 5/6.  Los lados miden entonces 5/2, 10/3 y 25/6.

La culebra y el pavo real

Uno de los problemas geométricos más populares del Lilavati es el siguiente: Un pavo real está posado en lo alto de un poste, en cuya base una culebra tiene su escondrijo. Localiza a la culebra a una distancia del pie del poste igual a tres veces su  altura, se lanza sobre ella mientras ésta intenta ganar su nido, y la apresa cuando ambos han recorrido la misma distancia. ¿A qué distancia del agujero tuvo lugar la captura?

Bhaskhara resuelve el problema de la siguiente manera: si OA es el poste y la culebra es avistada en el punto C, entonces OA = h y OC = 3h (ver figura). Si la captura tiene lugar en un punto B a una distancia x de su base, entonces:

h² + x² = (3h - x)²

Unos cálculos sencillísimos llevan a que x = 4h/3.