El método de pulverización para resolver ecuaciones diofánticas

Los matemáticos hindúes resolvieron las ecuaciones diofánticas lineales según un procedimiento llamado kuttaka, palabra sánscrita que se podría traducir por pulverización.  Vamos a describir el método a través del siguiente ejemplo:

29x + 4 = 8y

Dividimos el coeficiente mayor entre el menor: 29 = 8 x 3 + 5, y hacemos el cambio y = 3x + u, lo que da lugar a una nueva ecuación 5x + 4 = 8u.

Volvemos a dividir el coeficiente mayor entre el menor: 8 = 5 x 1 + 3, y hacemos x = u + v, y tenemos una tercera ecuación 5v + 4 = 3u.

La tercera división es 5 = 3 x 1 + 2, hacemos u = v + w, y tenemos una cuarta ecuación 2v + 4 = 3w.

La cuarta división es 3 = 2 x 1 + 1. Hacemos v = w + t, y tenemos una quinta ecuación 2t + 4 = w.

El coeficiente de una de las incógnitas es 1, entonces damos la otra un cierto valor y hacemos el camino inverso: si t = 0, entonces w = 4, v = 4, u = 8, x = 12 e y = 44. Si se necesita la solución más pequeña posible, se divide 12 por 8 (el coeficiente de la y) y 44 por 29 (el coeficiente de la x), divisiones que dan lugar a los restos 4 y 15. Estos restos son la solución buscada. En cuanto tenemos una solución particular, es fácil comprobar que las demás proceden de la siguiente fórmula:

x = 4 + 8m

y = 15 + 29m

Sobre progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números cada uno de los cuales se deduce del anterior sumándole un numero fijo d llamado diferencia de la progresión. Entonces, si  {a₁, a₂, a₃, ..., a_n} es una progresión, a₂ = a₁ + d, y en general a_p = a₁ + (p-1)d.

Aryabhata tiene algunas consideraciones sobre progresiones aritméticas. En primer lugar, explica cómo sumar m términos consecutivos, multiplicando el número de sumandos por el término central (dando así por sentado que el número de sumandos es impar), y para calcularlo proporciona la siguiente regla:

El número de términos menos uno se divide por dos, se suma el número de términos que preceden, se multiplica el resultado por la diferencia, y al producto se le suma el primer elemento de la progresión.

Si los términos a sumar son a_p+1, a_p+2, ..., a_p+m, el “número de términos que preceden” es p, el elemento central se calcula como sigue:

También explica como calcular el número total de términos cuando se conoce el primero, la suma de todos ellos y la diferencia de la progresión:

Multiplica la suma por ocho veces la diferencia, suma el cuadrado de la distancia entre el doble del primer miembro y la diferencia, haz la raíz cuadrada, resta dos veces el primer término, divide el resultado por la diferencia, suma uno y divide por dos.

En efecto, por lo que se ha visto antes, la suma de todos los elementos de la progresión es (porque ahora m = n y p = 0):

El número n es solución de la ecuación cuadrática:

dn² + (2a₁ - d)n - 2S = 0

Resolviéndola, tenemos la regla de Aryabhata:

La trigonometría del Aryabhatiya

La trigonometría griega trabajaba con las cuerdas de los arcos. La idea del seno, la semicuerda del ángulo doble, es de origen hindú. En el Aryabhatiya se da una tabla de los senos de 24 ángulos, cada uno de los cuales excede al anterior en (3 + 3/4)º. Pero no se utilizaba, como se hace hoy, una circunferencia de radio uno, de manera que su concepto de seno no es idéntico al nuestro, de manera que si R es el radio de la circunferencia, el seno hindú de un ángulo es el seno actual multiplicado por R.

Aryabhata toma como unidad de longitud el minuto de arco. Como da al número  el valor de 3.1416, el radio es:

La longitud del radio es aproximadamente 3438 veces la del arco de un minuto. Como valor del seno del ángulo más pequeño de su tabla toma 225, la longitud del arco. El error cometido es insignificante:

Para el cálculo de los demás senos, se sirve de la siguiente fórmula (en la cual α = (3 + 3/4)º):

De este modo:

Y así va completando su tabla.