Conceptos de Matemáticas

Objetivo:
Los alumnos conocerán las teselas de Richert-Penrose que pueden teselar un plano no-periódico, sin simetría traslacional.

Requisitos previos
Trabajo previo” con mosaicos (“Mosaicos”, “Qué son los cuadriláteros”, “Mosaicos con cuadriláteros” y “Mosaicos planos”). Conocer conceptos de simetría (“¿Qué es la simetría?”, “Simetría múltiple”, “Simetría rotacional” y “Simetría traslacional en mosaicos”). Conocimiento de mosaicos no-periódicos (“Mosaicos de Kepler”).

Tiempo necesario
Una clase de 45-60 minutos.

Materiales
Dos Kits Creador del Sistema Zome para 25-30 alumnos.

Procedimiento
Divide la clase en equipos de 3-4 alumnos y reparte el mismo número de piezas del Sistema Zome a cada equipo. Cada equipo debe comenzar construyendo una figura estrellada plana utilizando 5 varillas azules de la misma longitud. Se formará una estrella con brazos separados por ángulos de 72º. ¿Se pueden transformar estas formas de V en rombos? ¿Cómo podemos extender la figura de esta forma? ¿A qué se parecerá el mosaico? ¿Podemos continuar? ¿Qué figuras tenemos? ¿Son iguales? ¿Qué ángulos tiene cada una? ¿Qué tipo de simetría tiene este mosaico? ¿Hay alguna forma de calcular los ángulos sin medirlos?
A continuación, haz que los equipos rellenen los diez huecos del ecuador de un nodo tal como muestra la segunda imagen. ¿Pueden transformarse todos las V en rombos? ¿Podemos continuar? ¿Por cuánto tiempo?¿Cuántas figuras son necesarias? ¿Qué tipo de simetría presenta este mosaico? ¿Este mosaico tiene más de  un tipo de vértice? ¿Cuántos? ¿Cuántos vértices distintos pueden formarse con estos dos rombos, es decir, cuántas combinaciones de rombos alargados y chatos existen alrededor del nodo central?
Un ejemplo de vértice se muestra en la figura:

¿Puede construirse un mosaico sin ningún tipo de simetría, vértices aleatorios? Termina la lección intentando identificar cuántos hay.
Las propiedades de los mosaicos que hemos visto esta lección se descubrieron de forma independiente por el artista americano Clark Richert y por el matemático británico Roger Penrose a finales de los 60- primeros de los 70.

Evaluación
Estudia los mosaicos creados por los equipos y revisa sus cuadernos. Para alcanzar el objetivo de la lección, los alumnos deben averiguar de cuántas maneras pueden combinarse los rombos alargados y los chatos alrededor de un nodo. Superan ampliamente ese objetivo si saben si un mosaico de Richert-Penrose es siempre no-periódico o si puede hacerse periódico.

Estándares del NCTM
El estudio de la geometría de dimensión 1, 2 y 3 en distintas situaciones (Estándar NCTM 12).

Posibilidades de ampliación
Trabajo con mosaicos más complejos de 3 dimensiones ( “Triángulos tridimensionales”, “Teselas triangulares tridimensionales”, “Sólidos platónicos I” y “Sólidos platónicos II”).