Vamos a incluir la solución original del ganador del concurso:

De: Alberto Castaño Domínguez
Asunto: Concursos de verano de Divulgamat (matemagia)

El "truco" que presentas es un sistema de ecuaciones de nueve incógnitas (cada cifra del número) y nueve ecuaciones. Su matriz principal está formada por la diagonal principal y la diagonal inmediatamente superior a la anterior llenas de unos, y el resto cero. Esta matriz, cuando es de orden impar tiene determinante distinto de cero, luego el sistema planteado es compatible y determinado, es decir, existe una única solución, que forma el número de teléfono.

Cuando el orden de la matriz es par, el determinante es cero, por lo que no sabemos la solución, al ser compatible indeterminado o incompatible. Por eso no funciona con las cifras del DNI.

Para que funcionara, podríamos pedir en vez de la suma de dos cifras consecutivas, la de tres cifras consecutivas. Entonces, la matriz principal del sistema tendría la diagonal, la inmediatamente superior y la superior a esta última llenas de unos, y el resto lleno de ceros. En este caso, el determinante de la matriz es distinto de cero siempre, luego el sistema es compatible determinado y podemos averiguar la solución, que son las cifras que formarían el DNI a averiguar.