81. 30. Cita a ciegas

Visionamos un nuevo corto disponible en la red, detallamos en castellano sus diálogos y analizamos matemáticamente su contenido. Y proseguimos con la serie natural de títulos de películas en castellano, además de resolver las cuestiones planteadas el mes pasado. En la dirección http://www.oldeenglish.org/podcast/blind-date encontramos este sketch (también está en YouTube) titulado BLIND DATE (Cita a Ciegas)  relacionado con las matemáticas. Sus autores son el grupo cómico neoyorquino Olde English (integrado por Caleb Bark, Ben Popik, David Segal, Adam Conover, y Raphael Bob-Waksberg) que han realizado hasta el momento más de un centenar de vídeos de este tipo y participado con éxito en varios festivales. Cita a ciegas dura dos minutos cuarenta segundos y puede servir como introducción a algunas cuestiones matemáticas para alumnos de Secundaria. (Si alguno está interesado en el guión en inglés, se lo puedo facilitar. No lo busquéis en la red, que no está, al menos yo no lo he encontrado). Veamos primero su trascripción en castellano: CITA A CIEGAS (Aparecen el número e, que aquí es una chica, y el número π. Es de suponer que están en un bar, y β* es el camarero). π: ¡Hola! e: ¡Oh, hola! ¿Eres π? π: Si. Tú debes ser e. e: Correcto. π: Esta tarde tienes un aire trascendente. e: Si, lo tengo a menudo. ¡He oído un montón de cosas sobre ti! π: ¡Confío que fueran buenas! Ja, ja, ja. ¿A qué te dedicas? e: Soy la base del logaritmo neperiano. π: Oh, suena divertido. e: Así es la vida π: ¿Así que te gusta la Naturaleza? e: ¿Perdona? π: Oh, nada, nada, una estupidez. β*: ¿Habéis pensado que vais a tomar? π: Disculpe. ¿Qué quieres? (Dirigiéndose a e) e: No, pide tú. β* (Observando su indecisión. Piensa que está molestando): Quizá deba irme. π: No, está bien. Tomaré un chapuzón de Fibonacci en fórmula cuadrática. β*: ¿Y para tí? e: Algún teorema de Pitágoras. β*: OK, Marchando. π: ¿Eso es todo lo que vas a probar, un teorema de Pitágoras? Estás sólo en un 2.7. ¡Podrías poner un poco más de carne en tus huesos!. ¡Je, je, je! (Se da cuenta de que ha sido grosero) Lo siento. e: No me encuentro a gusto con alguien que me redondea a la décima más cercana. π: De acuerdo. Lo siento. e: No suelo ir a citas a ciegas. π: Oh, yo tampoco. e: La última vez fue tan, …, acabó mal. π: ¿Qué quieres decir con “mal”? e: Nunca he contado esto a nadie antes. π: Puedes confiar en mí e: Bien, … β*: Vuestras ecuaciones están listas. p: Bien. Gracias. e: Gracias. β* (Volviendo a notar que estorba): Vale, os veré después. π: Estabas diciendo …. (En ese momento e oye una voz que grita su nombre: ¡e!, ¡e!, ¡e!) e: ¿Quién es? π: ¿Quién es qué? i: Has sido una mala constante matemática, ¿verdad? e: ¿El uno negativo? No, no puede ser. Te saqué la raíz cuadrada. i: Y aquí estoy aún. e: No, tu eres imaginario. Tú no existes. π: (Desconcertado) ¿A quién estás hablando? i: Si no existiera, ¿podría hacer esto? (Pega una patada a las ecuaciones del mostrador y una x va a parar a un ojo de π) e: ¡Oh, Dios mio! Lo siento mucho. π: ¿Porque hiciste eso? e: Yo no fui. Fue “i”. ATENCION: Para entender la broma hay que verla en inglés. La pobre número e dice: “It wasn’t me. “I” did it”. Textualmente es “No fui yo. Yo lo hice”, contradicción que π no entiende. Es un juego de palabras. El número “i” (la letra i) se dice en inglés como “yo”. Ella quiere decir “lo hizo i”, pero π entiende “yo lo hice”. π: ¿Qué? (El número i se ríe a carcajadas) e: Quiero decir que yo no lo hice. “i” lo hizo. (Otra vez lo mismo. π entiende “Quiero decir que yo no lo hice. Yo lo hice”).  Lo siento. Debo irme. π: No. ¡Espera! e: π, no te convengo. Llevo a malos cálculos. π: Está bien. Lo que sea lo podemos afrontar juntos. e: Soy irracional. No puedo probar que sea normal. π: ¡No me importa! i: No le escuches. ¡Es Griego! e: ¡Oh, Sal de mi cabeza! (π cree que se lo dice a él, y se queda triste. Aparece β*) π: Espera, yo, …. Te amo. β*: ¿De verdad? π: Quería decir que amo la Geometría plana euclidea. OJO: Nuevo chiste con la pronunciación. Para salir del paso π dice “I mean, I love eu...clidean plane geometry” para disfrazar el “you”, como “eu…clideo”. β*: ¡Oh! Los protagonistas, e, π, i, son probablemente los tres números más importantes de la matemática (junto al cero y a la unidad). Como indica el diálogo, e es la base de los logaritmos naturales o neperianos, y por tanto de la función exponencial. Puede por ello decirse que está presente en todas partes (en la vida cotidiana la función exponencial aparece por doquier, desde la modelización de un cable suspendido sólo sujeto en los extremos (la cuerda de tender la ropa, pero también la catenaria del ferrocarril) hasta el cálculo de los intereses que el banco nos debe abonar en nuestra cuenta corriente al vencimiento de nuestras imposiciones a plazo fijo) siendo la constante más utilizada dentro del Cálculo Infinitesimal. Si nos pusiéramos a enumerar todas las expresiones en las que está presente, probablemente llenaríamos libros y libros. ¿Y qué decir de π? La constante más importante de la Geometría, relación entre el diámetro y la longitud de una circunferencia. Tanto π como e son números trascendentes e irracionales (es decir con infinitas cifras decimales no periódicas). Finalmente, la unidad imaginaria, i, se define como la raíz cuadrada de (-1) (solución por tanto de la ecuación x2 + 1 = 0). El único “desconocido” es  β*. El diálogo incluye algunas de las características mencionadas. Se supone que π  y e han quedado sin conocerse para tomar algo. Como solía ser habitual, el chico trata de tomar la iniciativa con una conversación intrascendente: habla del aire trascendente de e (¡como si él no lo tuviera!), la pregunta a qué se dedica, y que aparece mucho en la Naturaleza. Los cócteles que se piden son unas ecuaciones que hacen referencia a Fibonacci y a Pitágoras. π hace un chiste fácil sobre la delgadez de e truncando su expresión al primer decimal. De pronto surge el problema que arrastra e: como John Nash, padece esquizofrenia paranoide y oye la voz de alguien con quien parece que tuvo un “rollo” previo, el (-1), al que extrajo la raíz cuadrada. A mi entender cuando dice “Tú no existes”, debería de haber dicho “Tú no eres real”, que parece igual, pero no es lo mismo. Una de las preguntas que podríamos hacer a nuestros alumnos, aparte de que averigüen el origen histórico de estas constantes (ya se sabe desde Napier a Euler) o los lugares en los que aparecen, es que argumenten si ven lícita la posible relación entre los protagonistas de esta historia. Quizá algunos piensen que no conviene relacionarse con una chica con alucinaciones, pero no, la cosa no va por ahí. El inconveniente es que estas constantes tienen vínculos familiares. No, no me ha dado demasiado el sol como al protagonista de Pi, fe en el Caos. Resulta que eπi + 1 = 0 es decir, que tanto π como e como i, y el 0 y el 1 están relacionados. Si se prefiere, sólo con los protagonistas del vídeo, eπi = - 1 La fórmula o relación de Euler, establece que: eix = cos x + i sen x para todo número real x. La fórmula puede interpretarse gráficamente en una circunferencia de radio unidad en el plano complejo, representada por la función eix al variar x sobre los números reales. Así, x es el ángulo de una recta que conecta el origen del plano y un punto sobre la circunferencia unidad, con el eje positivo real, medido en sentido contrario a las agujas del reloj y en radianes. La fórmula sólo es válida si también el seno y el coseno tienen sus argumentos en radianes. Esta fórmula fue demostrada por primera vez por Roger Cotes en 1714, y luego redescubierta y popularizada por Euler en 1748. Es interesante notar que ninguno de los descubridores vio la interpretación gráfica señalada anteriormente: la visión de los números complejos como puntos en el plano surgió unos cincuenta años más tarde. El caso particular en el que x = π es el que nos lleva a la expresión indicada anteriormente para las tres constantes protagonistas. De esa identidad se sigue otra relación entre ellas: loge(- 1) = i π Nuestro compañero Alberto Bagazgoitia ha escrito un espléndido artículo en el último número de la revista SIGMA titulado La Belleza en Matemáticas que tiene también los mismos protagonistas y la citada ecuación. Podéis disfrutar de él pinchando en el enlace. Los “Deberes” de este mes 1º) ¿Conoces alguna otra expresión, fórmula, teorema, etc., en que aparezcan relacionados los protagonistas del corto, e, π, i? 2º) ¿Quién es mayor eπ o πe? No vale ir a la calculadora o al ordenador. Hay que argumentar la razón matemáticamente. 3º) Sabemos que e y π son irracionales y trascendentes (es decir no son solución de ninguna ecuación con coeficientes racionales), pero ¿cómo son eπ, πe, e + π. πe? Solución a las Series Lógicas planteadas el mes pasado Serie de los puntos 1.- B. El tercer cuadro es la “suma” de los dos anteriores. 2.- A. El tercer cuadro es la parte común (la intersección) de los dos anteriores. 3.- B. El tercer cuadro es la “diferencia” de los dos anteriores. 4.- C. El tercer cuadro es lo que les falta a los dos anteriores para rellenar las nueve casillas. Serie de las imágenes 1.- C. Los dos números de cada cuadro comienzan con la misma inicial. 2.- B. Son los puntos de un dado. 3.- B. Iniciales de cuatro días consecutivos de la semana. 4.- C. El cuadrado va girando noventa grados en sentido anti horario. Finalmente el símbolo que corresponde poner en la casilla vacía es una equis (X). Siguiendo las hileras horizontales, la secuencia es así: triángulo, triángulo y cruz, triángulo, cruz y onda, triángulo, cruz, onda y equis, etc. Y nuestra serie natural de títulos de películas prosigue con la siguiente decena: 51. Europa 51 (Europa ´51, Roberto Rosellini, Italia, 1952). Negocios sucios (Fórmula 51) (The 51st state,  Ronny Yu, EE. UU., Reino Unido y Canadá. 2001). 52. Bombarderos B-52 (Bombers B-52, Gordon Douglas, EE. UU., 1957). Cincuenta y dos domingos (Lorenzo Soler, España, 1965). 52 vive o muere (52 Pick-Up, John Frankenheimer, EE. UU., 1986). 53. Dos setenta setenta cincuenta y tres, último trabajo (Antonio José Betancor, España, 1972). 53 (Luis Antonio Pérez Paadin, España, 2001). 53 días de invierno (Judith Colell, España, 2006). 54. Coche 54, ¿dónde estás? (Car 54, where are you?, Bill Fishman, EE. UU., 1994) 54 (Studio 54, Mark Christopher, EE. UU., 1998) Calle 54 (Fernando Trueba, España, 2000). 55. 55 días en Pekín (55 Days at Peking, Nicholas Ray, EE. UU., 1963). 56. Nasser 56 (Nasser 56, Mohamed Fardel, Egipto, 1996). 57. Pasajero 57 (Passenger 57, Kevin Hooks, EE. UU., 1992) 58. Cuba '58 (Jorge Fraga, José Miguel García Ascot, Cuba, 1962). Bailen 58 (Patricio Serna, Méjico, 2002). 59. Psyche 59 (Psyche 59,  Alexander Singer, Reino Unido, 1964). 60. Sesenta Horas En El Cielo (Raymond Chevalier, España, 1935). Sesenta Segundos De Vida (The Red Beret, Terence Young , 1953). Sinfonia 60 (Carlos Soler Viñas, España, 1960). Los Felices Sesenta (Jaime Camino, España, 1964). Maphta-60 (Ernesto Tolosa Playan, España, 1976). Maet-60 (Ernesto Tolosa, España, 1976). Es Peligroso Casarse A Los 60 (Mariano Ozores, España, 1980). Aquel verano del 60 (Sapore Di Mare, Carlo Vanzina, Italia, 1983) Hairspray, Fiebre De Los 60 (Hairspray, John Waters, EE. UU., 1988). Sesenta Segundos (Gone In 60 Seconds, Dominic Sena, EE. UU., 2000). 60 Años (Xavi Sala, España, 2003). ¿En qué número ya no encontraremos títulos de películas en castellano? Se admiten apuestas...

Sábado, 01 de Marzo de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

82. 31. El año pasado en Marienbad y el juego del Nim

Nos acercamos este mes a una película de culto cuya fama fue traspasada a un sencillo juego de estrategia. Se dan algunas noticias sobre estrenos y proyectos relacionados con las matemáticas, y seguimos con la lista de películas en cuyo título aparece la sucesión de los naturales (¡¡ llegamos ya al 70 !!). Como es menester primero una pequeña ficha técnica y artística sobre la película: T. Original: L'annèe dernière à Marienbad. Nacionalidad : Francia/Italia, 1961. Director: Alain Resnais. Guión : Alain Robbe-Grillet. Fotografía: Sacha Vierny. Música: Francis Seyrig. Montaje: Henri Colpi y Jasmine Chesney. Duración: 93 minutos. Galardones: León de Oro  a Alain Resnais en el festival de cine de Venecia de 1961; Primer premio de la crítica del Sindicato francés de críticos en 1962; Nominado al Oscar al mejor guión y puesta en escena en la Ceremonia de 1963. Intérpretes: Delphine Seyrig (A), Sacha Pitoeff (M), Giorgio Albertazzi (X), Françoise Bertin, Luce Garcia-Ville, Pierre Barbaud, Hélène Kornel, François Spira, Karin Toeche-Mittler, Wilhelm von Deek. Argumento: En un barroco hotel, un extraño, X, intenta persuadir a una mujer casada, A, de que abandone a su marido, M, y se fuge con él. Se basa en una promesa que ella le hizo cuando se conocieron el año anterior, en Marienbad, pero la mujer parece no recordar aquel encuentro. El año pasado en Marienbad no es una película sencilla, de hecho ha sido objeto de todo tipo de interpretaciones, a cual más sorprendente. Una de ellas, debida a Gaston Bounoure, es matemática (obsérvese que los protagonistas de la película no tienen nombre, sino que se designan por letras, A, M y X),  en la que el trío protagonista son las componentes de otras tantas ecuaciones irresolubles (otras son psicoanalíticas, surrealistas, temporal-filosóficas, literarias, oníricas, etc.). Sin embargo ninguna de ellas deja clara la cuestión principal: ¿De qué trata esta película? Cuando se ve la película por primera vez (si es que se logra terminar, y en tal caso, es casi seguro que a la mayor parte de los espectadores no le queden ganas de volver a verla jamás), uno no sabe a que atenerse. Empieza con una voz en off describiendo las estancias de Marienbad, aunque en seguida nos percatamos que nada tiene que ver lo que se dice con lo que se oye. Esa será una constante de toda la película, la cámara va por un lado y el argumento por otro completamente diferente que aparentemente no tiene nada que ver (encontraremos también escenas en las que los actores permanecen inmóviles, como ausentes en el tiempo, otras veces el contraplano que sigue a un plano parece de otra película porque ni sigue la acción ni parece tener nada que ver, o cuando la banda sonora se superpone haciendo ininteligibles los diálogos o toca piezas musicales completamente caóticas). Advertido el personal, lo único que parece coherente es que X acosa constantemente a A, recordándola que la conoció hace justo un año en Marienbad (lo cual no deja de ser paradójico, ya que una de las escasas conclusiones que se sacan de la película es que en las peripecias de los protagonistas no existe el tiempo) y que vivieron una aventura amorosa. Sin embargo A no lo recuerda (o no quiere recordarlo). M parece ser la actual pareja de A, aunque su trato es muy frío. ¿Y que tiene que ver todo esto con nuestra habitual sección matemática aparte de lo comentado inicialmente? Resulta que M (cuya conducta parece por momentos absolutamente irracional) propone a diferentes personajes, incluso al misterioso X, jugar a algunos juegos a los que sorprendentemente gana siempre. Uno de ellos es el Nim. Tanta popularidad le dio la película al juego que en muchos lugares se le conoce aún hoy en día precisamente como Marienbad. Gracias a YouTube podemos ver la escena con todo detalle; de hecho prácticamente podemos bajarnos la película al completo. Uno de los enlaces en los que aparece la citada escena (subtitulada en inglés) es la siguiente (no hace falta ver el archivo al completo; basta el primer minuto y veinte segundos): http://www.youtube.com/watch?v=Ytr1LnTz5Bo Por si alguien anda un poco mal del francés o el inglés, la transcripción es la siguiente: M: Sugiero que juguemos a otro juego. Conozco uno al que siempre gano. X: Si no puedes perder, no es un juego. M: Puedo perder, pero siempre gano. X: Juguemos. M: Juegan dos personas. Las cartas se colocan del siguiente modo. (Las va colocando sobre la mesa). Siete. Cinco Tres. Uno. (Hace tres filas con ese número de cartas, en forma triangular, como muestra la figura, en clara referencia al triángulo amoroso que sustenta el argumento de la película). Cada jugador retira tantas cartas como desee, pero de una única fila en cada turno. El jugador que retira la última carta es el perdedor. ¿Querría empezar? Probablemente la mayor parte de los que leáis estas líneas conozcáis este juego o hayáis jugado alguna vez a él (con cartas, palillos, cerillas, monedas, etc., cualquier objeto sirve). Lo que quizá sea menos conocido es que el juego tiene un ganador predeterminado de antemano, el segundo en jugar (M parece muy cortés dejando empezar a su adversario, pero de cortesía nada). Dicho de otro modo, si el segundo jugador utiliza la estrategia óptima, ganará haga lo que haga el primer jugador. En realidad lo mismo sucede con otros juegos en los que no interviene el azar, como las damas, el ajedrez o las tres en raya, sólo que cuando la complejidad de movimientos y posibilidades es grande (caso del ajedrez) se desconoce por el momento la estrategia a seguir ni quien de los dos jugadores es el que tiene que ganar; a lo más se pueden describir unos principios de partida (las famosas aperturas) que nos permiten obtener posiciones ventajosas. 1 1 3 11 5 101 7 111   224 Escribamos los números de la disposición inicial en el sistema binario y sumémosles como si estuvieran en expresión decimal (ver tabla; también se puede sumar en binario, pero seguramente así lo entienda todo el mundo). Si la suma de cada columna es un número par o cero, como en este caso, la disposición es siempre ganadora para el segundo jugador (de no ser que juegue mal). La pregunta de este mes es: Cuestión: ¿Cuál es la estrategia entonces a seguir por el segundo jugador? ¿Que debe de hacer ante las jugadas de su adversario? Es evidente de lo que se ha dicho que lo que debe hacer es procurar que la suma de cada columna en binario sea par, pero lo que se pide no es algo tan complicado, sino una estrategia fácil, que pueda utilizar un niño que no sabe nada de números binarios ni nada de eso. Para los amantes de la informática, un ejercicio sencillo y útil es hacer un programilla que utilice esa estrategia para ganar siempre (obsérvese que el comportamiento es el mismo que el de la función booleana XOR). Quizá sirva de pista la partida jugada por los protagonistas de la película. Parten de la situación (1, 3, 5, 7). X retira una carta de la fila de siete, es decir, (1, 3, 5, 6). M (el segundo jugador, el que siempre gana si utiliza correctamente la estrategia), toma una carta de la fila de cinco, o sea (1, 3, 4, 6). Los siguientes movimientos son: X (1, 3, 4, 0), M(1, 3, 2, 0), X (1, 3, 1, 0), M(1, 1, 1, 0), (Aquí X ya se da cuenta de que ha perdido), X(0, 1, 1, 0), M(0, 0, 1, 0) y M gana. NOTICIAS I) El mes pasado se anunció que Alejandro Amenabar comenzó el rodaje en Malta de una película, Ágora, sobre la vida de Hipatia de Alejandria, con Rachel Weisz como protagonista principal. Estará acompañada por el joven actor británico Max Minghella, Oscar Isaac, Ashraf Barhom, Michael Lonsdale, Rupert Evans y Homayoun Ershadi. Lo poco que se ha filtrado del argumento es lo siguiente: Egipto, s. IV, está bajo el Imperio Romano. Las violentas revueltas religiosas en las calles de Alejandría alcanzan a su legendaria Biblioteca. Atrapada tras sus muros, la brillante astrónoma Hipatia (Rachel Weisz) lucha por salvar la sabiduría del mundo antiguo, sin percibir que su joven esclavo, Davo (Max Minghella), se debate entre el amor que le profesa en secreto y la libertad que podría alcanzar uniéndose al imparable ascenso de los cristianos. Alejandro Amenábar declaró en un comunicado: "Perdidos entre libros de Historia y Astronomía durante estos tres años, Fernando Bovaira -productor de la cinta-, Mateo Gil -guionista- y yo hemos acabado atrapados en el Egipto de hace 1.600 años. Es sorprendente comprobar cómo un mundo tan legendario -la Biblioteca de Alejandría, la Vía Canópica, el Faro- parece haber sido condenado al olvido, sobre todo por el cine". Y añade, "El empeño de todo el equipo es devolverle la vida con un enfoque hiperrealista, conseguir que los espectadores vean, sientan y huelan una civilización remota como si fuera su propia realidad". De Hipatia sabemos que fue hija del matemático Teón, que se preocupó de darla una buena formación tanto física como educativa ya que quería que fuera perfecta. Al parecer lo logró ya que tanto la belleza como el talento de Hipatia llegaron a ser legendarios. Hipatia cultivó fundamentalmente la filosofía, la astronomía y las matemáticas. De todas las partes del mundo llegaban alumnos interesados en recibir sus clases. Entre sus contribuciones científicas destaca la construcción de algunos aparatos como un aparato para medir líquidos (aerómetro), un planisferio, un aparato para medir el nivel del agua, otro para destilarla, y un astrolabio para localizar la altura de los astros sobre el horizonte. Desde el punto de vista matemático escribió dos tratados: Sobre el Comentario a la Aritmética de Diofanto (obra de trece tomos sobre las ecuaciones diofanticas en el que se recogen tanto la resolución de las ecuaciones lineales y las ternas pitagóricas, como la resolución de muchos problemas concretos), y Sobre la Geometria de las Cónicas de Apolonio. También es conocida su negativa a convertirse al cristianismo ya que rechazaba de plano cualquier tipo de imposición, lo que  provocó su brutal linchamiento a manos de un grupo de fanáticos cristianos. Su persona y su obra ha pasado por ello a ser con todo merecimiento un símbolo para reivindicar la igualdad de derechos femenina, para intentar salvar la sabiduría del mundo antiguo, y para defender la libertad de ideas, en particular para denunciar la intransigencia de cualquier credo religioso. Es un símbolo por tanto de plena actualidad en cualquiera de esas tres reivindicaciones. Es de agradecer esta nueva incursión del cine en el mundo de las matemáticas, aunque de todo lo dicho mucho nos tememos que la película se centrará, como siempre, en aspectos históricos, afectivos, religiosos y otros, más que en los científicos y en particular en los matemáticos. Sin embargo confiamos en el probado talento de Amenábar y su guionista habitual Mateo Gil para que tenga en cuenta las contribuciones a las matemáticas del personaje. Como película estamos seguros que será sin duda de la calidad a la que nos tiene malacostumbrados. En relación con Hipatia me gustaría también apuntar la excelente exposición sobre Mujeres Matemáticas que hasta el 18 de mayo puede disfrutarse en la Casa de las Ciencias de Logroño. Se trata de una producción del Museo de la Ciencia y el Agua de Murcia realizada por un grupo de profesores de la Comarca del Mar Menor. Además de presentar paneles sobre la vida y obra de catorce mujeres matemáticas, la muestra plantea al visitante una serie de juegos y actividades matemáticas (doce actividades más otras cuatro relacionadas con las biografías expuestas) que logran acercar de una manera lúdica y educativa nuestra disciplina al visitante de cualquier edad. II) El 11 de abril se estrenó 21, Blackjack (21, Robert Luketic, EE. UU., 2008) en la que un profesor de matemáticas (Kevin Spacey), un genio en Estadística, ha conseguido averiguar un procedimiento para ganar siempre en el casino. Junto a un grupo de universitarios se dedica a hacer saltar la banca. El asunto no es nuevo (ya el autista Dustin Hoffmann en RainMan lo hacía memorizando el orden de las cartas tras varias rondas) y está basado en hechos reales (una familia española ha escrito tratados y todo sobre el tema). El mes que viene trataremos de contar cuánta matemática hay detrás de esta producción, si es que hay algo destacable. III) En la revista digital MAT2, publicada por el Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Barcelona. podéis leer un nuevo artículo sobre el cine y las matemáticas titulado Algunos momentos matemáticos del cine. También en el último número de la revista UNO, Revista de Didáctica de las Matemáticas nº 48, pp, 122-124. Abril 2008 encontrarweis una nueva reseña de La habitación de Fermat. Cuestiones planteadas el mes pasado Una de ellas era averiguar quien era mayor, EPI (eπ) ) o PIE (πe). Tomemos la función f(x) = x1/x,  x > 0 y calculemos sus extremos. La expresión de su derivada primera es f´(x) = (-1/x2) (ln x-1) x1/x que se anula sólo si x = e. Por otro lado f(x) tiende a 1 cuando x tiende a infinito y a la derecha del cero la función vale cero. Se comprueba fácilmente que en x = e hay un máximo relativo (que por lo dicho, es en realidad, máximo absoluto). Entonces π1/π < e1/e Elevando ambos miembros de la desigualdad a πe (la desigualdad no cambia de sentido ya que la función potencial es creciente), se tiene finalmente que πe <eπ Por otra parte se sabe (está demostrado) que eπ es irracional pero se desconoce si πe es trascendente o no. También se desconoce si e+π y πe son racionales o irracionales. La sucesión natural de títulos de películas continúa ….. 61: 61 (61, Billy Cristal, EE. UU., 2001). Autopista 61 (Highway 61, Bruce McDonald, EE.UU., 1991) 62: Cita De Sangre -Horacio 62 (Horace 62, Andre Versini, Francia/Italia, 1961). 63: Eva 63 (Pedro Lazaga, España, 1963) En 1965 la Semana Internacional de Cine de Valladolid premió el documental Skopje '63 (Milorad Goncin, Yugoslavia, 1963) que no me consta que se haya distribuido comercialmente después en nuestro país. 64: Sesenta y Cuatro Asa (Montserrat Areu y Francisco Comas, España, 1975). El 64 (Sol Picó y Octavio Masià, España, 2002). 65: Estambul 65 (Antonio Isasi Isasmendi, España, 1965). Curso del 65 (Heaven help us. Michael Dinner, EE. UU., 1984) Tu Vida en 65 minutos (Maria Ripoll , España, 2006). 66: La Novia 66 (The Lottery Bride, Paul L. Stein, EE. UU., 1930) Avenida Roma, 66 (Juan Xiol, España, 1958) Tarzan 66 (Tarzan And The Valley Of Gold, Robert Day, EE.UU., 1966) Buffalo 66 (Vincent Gallo, EE. UU., 1998) 67: Consigna: Tánger 67 (Sergio Sollima, España, Italia, Alemania, 1967) Operación 67 (Rene Cardona Jr, Rene Cardona, Méjico, 1967) Operación Atlantide 67 (Ismael Palacio, España, 1967). Don Juan 67 (Carlos Velo Cobelas, Méjico, 1967). 68: Sesenta y Ocho (Sixty Eight, Steven Kovacs, 1988). Novios 68 (Pedro Lazaga, España, 1967). Destino: Estambul 68 (Occhio Per Occhio, Dente Per Dente, Miguel Iglesias, España, Italia, 1968). 69: Como se podría suponer a priori, para esta cifra abundan los títulos dentro de un género específico. Confio que ninguno de ellos dañe la sensibilidad de nadie. Matrimonio 69 (How Sweet It Is, Jerry Paris, EE. UU., 1968). Sesenta y Nueve Posiciones (Les 69 Positions, Mario Chabert, Francia,  1968). Agente 69 Jensen (Agent 69 Jensen I Skorpionens Tegn, Werner Hedman, Dinamarca, 1977). Agente 69 Jensen contra Sagitario (I Skyttens Tegn, Werner Hedmann, Dinamarca, 1977). Las Sesenta y Nueve penetraciones de Marika (Marika 69 Possitions, Allan Wood Cotton, EE. UU., 1986). Límite 69 Horas (Takin' It To The Limit 2, Bruce Seven Bionca, EE. UU., 1994). Pasajera 69 II (Passenger 69 II, Phil M. Noir, EE. UU., 1995). 70: Frankenstein 1970 (Frankenstein'70, Howard W. Koch, EE. UU., 1958) Bocaccio 70 (Vittorio Fellini, Federico De Sica Luchino Monicelli, Mario Visconti, Italia/Francia, 1961) Casanova 70 (Mario Monicelli, Italia, 1965). Setenta veces siete (Leopoldo Torre Nilson, Brasil/España, 1968) Verano 70 (Pedro Lazaga, España, 1970).

Martes, 01 de Abril de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

83. 32. 21 Blackjack

Atentos a los últimos estrenos, nos acercamos a esta típica historia de casinos, comprobamos la incultura periodística una vez más, y seguimos citando películas con numeros. T. Original: 21. Nacionalidad : EE. UU., 2008. Director: Robert Luketic. Guión : Peter Steinfeld y Allan Loeb, basado en el libro Bringing Down the House: The Inside Story of Six M.I.T. Students Who Took Vegas for Millions, de Ben Mezrich. Fotografía: Russell Carpenter. Música: David Sardy. Montaje: Elliot Graham. Duración: 123 minutos. Intérpretes: Jim Sturgess (Ben Campbell), Kevin Spacey (Prof. Micky Rosa), Kate Bosworth (Jill Taylor), Aaron Yoo (Choi), Liza Lapira (Kianna), Jacob Pitts (Jimmy Fisher),  Laurence Fishburne (Cole Williams), Jack McGee (Terry), Josh Gad (Miles Connoly), Sam Golzari (Cam), Helen Carey (Ellen Campbell), Jack Gilpin (Bob Phillips). Argumento: Ben Campbell es un joven estudiante del MIT (Boston) cuyo mayor deseo desde que era niño es estudiar medicina en Harvard. Cuando cumple todos los requisitos académicos se encuentra ante una matrícula de 300.000 dólares que no puede pagar por lo que solicita una beca. Consciente de la dificultad de obtenerla, busca algún medio de obtener esa cantidad. Una tarde, su profesor de matemáticas, le propone entrar a formar parte de un equipo de cinco universitarios que, como él, tienen un alto grado de inteligencia. Su objetivo: desarrollar y aprender un sistema basado en el conteo de cartas para ganar grandes sumas de dinero en los casino de Las Vegas jugando al blackjack. Trailer en castellano Con semejante argumento, alguien que haya visto unas cuantas películas norteamericanas puede imaginarse lo que le espera sin mucho riesgo de equivocarse: los protagonistas (los buenos) se preparan para ganar mucho dinero a los malos (los infames casinos que se aprovechan de los pobres ludópatas o de los prepotentes ricachos y que además tendrán un grupo de gorilas dispuestos a cargarse a todo el que intente robarles o pasarse de listo), todo ello bajo el incomparable (¿?) marco de Las Vegas, orgullo nacional yanqui (a falta de otros), aderezado por artificiales (pero muy atrayentes) go-gos decorativas y unas imágenes sugerentes estilo video-clip con canciones pegadizas ad hoc. Por el camino seguro que aparece algún traidorzuelo no esperado que complica un poco el asunto, aunque finalmente los buenos se acabarán saliendo con la suya merced a un rebuscado golpe de efecto que nadie se espera y que te ayuda a salir del cine con la sonrisa en los labios pensando por unos segundos en lo guay que sería ser el protagonista. En resumidas cuentas, cine comercialón para pasar un rato entretenido y olvidarse a los cinco minutos. ¡Por favor, que ya lo hemos padecido miles de veces! ¿Por qué se gastan el dinero en hacer siempre lo mismo? La razón por la que traemos a esta sección tan previsible película es la presencia en la misma de al menos un par de matemáticos. Porque por si no lo sabían, una de las salidas profesionales más inteligentes para un licenciado brillante en matemáticas es la de tahúr contador de cartas (ocupación que creo que no aparece en el informe recientemente elaborado por la RSME-ANECA y que al parecer, si hacemos caso a la película,  habría que añadir lo antes posible). Bromas aparte, el argumento, convenientemente adaptado a la pantalla (o sea que todo parecido con la realidad es pura coincidencia) está basado en un caso real, que además no es único. Pero vayamos por partes. Referencias Matemáticas. Además del empleo de palabras y expresiones frecuentemente utilizadas en matemáticas, hay tres escenas/diálogos destacables: 1.- El método de Newton-Raphson. El profesor Micky Rosa explica este método de punto fijo. Pregunta a sus alumnos si se les ocurre alguna aplicación de este método. Miles, uno de los amigos de Ben responde que en la resolución de ecuaciones no lineales, respuesta que no complace por trivial al sarcástico docente, ya que la asignatura se denomina precisamente Ecuaciones no lineales. Se dice entonces que “Newton lo robó a Raphson”, lo cual es mucho decir por lo que explicaremos a continuación. Existen pocos datos biográficos sobre la vida de Joseph Raphson. A los 43 años, siendo aún alumno, fue sorprendentemente nombrado miembro de la Royal Society, un año antes de graduarse. La razón: la publicación en 1690 del libro Analysis aequationum universalis, en el que expone el método de Newton para aproximar las raíces de una ecuación. El tratado sobre Fluxiones de Newton describe el mismo método aunque sólo lo aplica a polinomios. Está probado que Newton lo escribió en 1671, aunque no fue publicado hasta 1736, por lo que Raphson lo difundió 50 años antes que Newton. El eterno dilema de que cuenta, el descubrimiento o su difusión (y ya se sabe que Newton no era precisamente muy aficionado a dar a conocer sus descubrimientos). Por eso en muchos textos aparece como método de Newton-Raphson. La relación de Newton con Raphson es en cualquier caso un tanto particular. Raphson tradujo muchos de los manuscritos en latín de Newton al inglés. Era una de las pocas personas al que Newton dejaba ver sus trabajos, por lo que siendo mal pensado la frase de la película podría ser completamente al revés. 2.- La paradoja de Monty-Hall. Ya hemos mencionado aquí en otras ocasiones este conocido engaña-concursantes televisivo (ver reseña del mes de Abril de 2006, Todo es número): cambiar nuestra opción inicial después de habernos sido mostrada una puerta sin premio entre tres, aumenta las posibilidades de ganar el premio que se encuentra detrás de una de dichas puertas. Un claro ejemplo de aplicación de probabilidad condicionada y teorema de Bayes que sirve al profesor Micky Rosa para convencerse de la inteligencia de Ben y reclutarle para su equipo. Una memez, ya que cualquiera puede leer esa conocida y sobradamente difundida cuestión en libros (la conocida novela El curioso incidente del perro a medianoche, de Mark Haddon, sin ir más lejos)  o artículos de matemática recreativa (o aquí, en esta sección de DivulgaMAT). 3.- La acusación de plagio a Cauchy. Después de una explicación del profesor Rosa acerca de la convergencia de series infinitas, un magullado Ben pregunta sobre la falta de ética de los profesores con sus alumnos, como la que tuvo Cauchy (desde luego el mejor representante para hablar de convergencia de series) con un tal Vladimir Stubnitski del que, según dice Micky en la película, se apropió de sus trabajos. Por más que he buscado, no he localizado nada relativo a este asunto (si alguno de los lectores supiera algo, que nos haga llegar el dato). Lo que sí aparece en las biografías de Cauchy es que su carácter y sus férreas convicciones políticas y religiosas le granjearon más de un enemigo y de un altercado entre sus colegas. Uno de los más sonados en relación al apartado que nos ocupa es la disputa con Jean Marie Constant Duhamel (1797 – 1872) acerca de la prioridad sobre un resultado de choques inelásticos. Duhamel aseguraba haber sido el primero en dar el resultado en 1832. El pleito fue aclarado finalmente por Jean Victor Poncelet mostrando el error de Cauchy que nunca se dignó a admitir. Sobre las otras referencias mínimas de las que hablaba al comienzo del párrafo, nos encontramos con la sucesión de Fibonacci (en la celebración del vigésimo primer  cumpleaños de Ben con sus amigos, se cita la coincidencia de cumplir un número de años de la citada sucesión; además es el número que hay que obtener en el Blackjack que da título a la película), se alude varias veces a lo aconsejable que resulta realizar en determinados momentos un cambio de variable, las veloces operaciones (sumas y porcentajes) que Ben realiza a los clientes de la tienda en la que trabaja sin necesidad de calculadora alguna, la mención de la convergencia de una serie infinita en otro momento de una clase de Micky, la descripción del desarrollo de un número en fracción continua escrito en una de las pizarras y la frecuente y obvia (dada la temática del argumento) mención al azar y las probabilidades. El Blackjack El blackjack es un juego de cartas que consiste en obtener 21 mediante la suma de los valores de las cartas. Las cartas numéricas suman su valor, las figuras suman 10 y el as puede tomarse como 11 o 1 si el primero hace al jugador pasarse de 21 en la jugada total. Si se consigue 21 con sólo dos cartas se considera blackjack (en la primera escena de la película aparece un As y una K; eso es un blakjack. Vedse también el cartel de la película) y gana automáticamente. Se juega en una mesa semicircular con capacidad normalmente para 7 jugadores, cada uno de los cuales dispone de un casillero marcado en el tapete para realizar su apuesta antes de cada mano. El blackjack es originario de Francia, aunque es en Estados Unidos donde adquirió auge como juego de casino. Este juego ha sido analizado minuciosamente. El pionero fue, en la década de los sesenta del siglo pasado, Edward O. Thorp, un matemático empleado de IBM que simuló en ordenador millones de manos jugadas, llegando a la conclusión de que cada mano particular tiene una forma única de jugarse correctamente. Al conjunto de éstas formas únicas de jugar se le denomina estrategia básica, y su aplicación rigurosa permite recortar la ventaja del casino sobre el jugador. Sin esta estrategia básica, el juego en sí posee una ventaja para el casino de aproximadamente el 5%. pero “jugando bien”, de acuerdo con la citada estrategia esta ventaja se reduce a 0.5%. Thorp llegó también a la conclusión de que las cartas altas favorecen al jugador (ver la película), ya que son la base para obtener una buena jugada al doblar, o para hacer un blackjack que se paga 3 a 2, mientras que las cartas pequeñas favorecen al croupier, ya que le permiten hacer buenas las manos comprometidas (12, 13, 14, 15 o 16). Estas nociones básicas dieron lugar al denominado conteo de cartas, técnica que consiste en no perder de vista las cartas jugadas, para establecer si entre las que quedan por jugar hay más cantidad de cartas altas o bajas, y apostar en consecuencia. Ha habido contadores de cartas míticos, que obtuvieron grandes fortunas con esta técnica en los casinos. Ken Uston ha sido considerado por muchos expertos, el mejor contador de la historia. Los contadores de cartas no están bien vistos en los casinos, y si el casino detecta, o simplemente sospecha que un jugador está contando, le invitarán a cambiar de juego, o sencillamente lo expulsarán del casino amparándose en el derecho de admisión. Basada en hechos reales El libro y la película están basados en un grupo de estudiantes del MIT (Instituto Tecnológico de Massachusetts) denominado el equipo del MIT. Parece ser que todo comenzó a partir de un curso encuadrado dentro de un programa que la Universidad llama “Actividades Independientes” en el que los alumnos proponen temas y a veces hasta organizan y buscan los conferenciantes con el soporte económico de la Universidad después de que ésta examine y apruebe los contenidos propuestos. Uno de estos cursos llevaba por título “Como apostar cuando es conveniente”, impartido en enero de 1979.  Algunos alumnos, dispuestos a probar si lo aprendido era realmente válido, viajaron hasta los casinos de Atlantic City, donde fracasaron estrepitosamente. La mayor parte de ellos se olvidó del asunto terminando sus estudios en mayo, pero dos de ellos mantuvieron un gran interés por los métodos de conteo de cartas, y decidieron impartir ellos mismos el curso al año siguiente. Reclutando a los mejores alumnos que asistieron al curso, deciden volver a intentarlo después de un concienzudo entrenamiento. Esta vez logran cuadruplicar su capital, lo que les anima a continuar impartiendo el curso al año siguiente. En mayo de 1980, uno de estos graduados escucha casualmente en un restaurante chino una conversación sobre el Blackjack a Bill Kaplan, otro alumno recién graduado que ha formado un equipo de jugadores que basa sus métodos en el análisis estadístico del juego. Deciden unirse aunque Kaplan, después de observar al otro grupo, impone unas condiciones de entrenamiento más estrictas, unos concienzudos análisis de los casinos a visitar y un fuerte autocontrol de las emociones de los jugadores. Llegan a tener hasta 80 jugadores entrenados y jugando simultáneamente en diferentes países. Nunca antes las casas de juego habían tenido que afrontar una organización de tal magnitud. Cuando se fichaba a algún jugador, éste era reemplazado por otro estudiante del MIT que no fuera conocido. Sus hazañas se prolongan desde 1980 hasta 1993 cuando un grupo de detectives contratados por los casinos, después de varios años de investigación, se percatan que bastantes de los fichados viven en torno a Cambridge y Boston. A partir de los álbumes de fotografías de matriculados en la universidad van identificando a más miembros del grupo y añadiéndoles a su base de datos. Contrariamente a lo que nos ponen en las películas, con palizas y matones, no pueden procesarlos porque contar cartas no es ilegal, aunque se les prohíbe la entrada en todos los casinos, se difunden sus rostros y se les aconseja no seguir con sus prácticas. Antes de su fin, el grupo se escindió en dos, los Anfibios y los Reptiles cada uno con sus propios líderes. Surge una disputa sobre cual de los dos ha ganado más dinero, aunque se respetan mutuamente. Las historias, algunas ciertas, otras inventadas, surgen por doquier, dando lugar a libros sobre su historia, sus procedimientos, ellos fundan empresas, mantiene páginas en internet, etc. En definitiva, que morirse de hambre en el futuro, parece que no les va a ocurrir. Si alguien tiene curiosidad, puede visitar las páginas del grupo de los Reptiles: http://www.blackjackinstitute.com/store/ o la de los Anfibios: http://www.blackjackscience.com/ En la foto de la derecha aparece Jeffery Ma, graduado en 1994 en Ingeniería Mecánica, uno de los “pioneros” del grupo en una reciente entrevista para la televisión. El personaje principal de la película, Ben Campbell, se basa en él. El profesor Micky Rosa, inventado, es una mezcla de dos personajes reales, J.P. Massar y Johnny Chang. Tanto Jeff Ma, como Bill Kaplan y Henry Houh, otro miembro real del equipo del MIT, aparecen en breves escenas en la película. La primera versión En realidad, 21 Blackjack es una nueva versión (un remake, para los cinéfilos ávidos de absurdos y pedantes neologismos) de The Last Casino (Pierre Gill, Canadá, 2004) una producción para televisión no estrenada en nuestro país, en la que un profesor recluta a tres alumnos (el presupuesto de este tipo de productos no suele dar para más) para enseñarles las estrategias y los trucos necesarios para contar cartas. Sus intérpretes son totalmente desconocidos para nosotros, Charles Martin Smith (Profesor Barnes), Katharine Isabelle (Elyse), Kris Lemche (Scott), Julian Richings (Orr), Albert Chung (George), Normand D'Amour (Wilson), entre otros. Es una versión no autorizada del mismo libro que filmaron sin pedir permiso alguno ni pagar derechos de autor, por lo que sólo ha sido exhibida de momento en la televisión canadiense. También se explica la historia real del equipo del MIT en uno de los episodios de la serie documental Breaking Vegas, producida por el canal norteamericano The History Channel. La serie cuenta las peripecias de algunos de los más conocidos jugadores que han hecho fortuna en Las Vegas, algunos con métodos legales, otros con trampas. La serie fue producida precisamente a partir del éxito de audiencia que tuvo el documental de dos horas Breaking Vegas: The True Story of the MIT Blackjack Team escrito y dirigido por Bruce David Klein y producido por Atlas Media Corp. El episodio titulado Professor Blackjack cuenta la historia del profesor del MIT Edward O. Thorp, y el método que utilizó basado en el llamado criterio Kelly para contar cartas. Curiosidades 1.- Aunque la mayor parte de los integrantes del equipo del MIT reales eran norteamericanos de procedencia asiática, los ejecutivos del estudio decidieron cambiarles de raza y sólo aceptaron que dos de ellos (el cleptómano y la que hace de perdedora en las partidas) fueran asiáticos. Esto ha provocado cierta indignación y controversia en los colectivos norteamericanos de esas etnias llegando a acusar de traidor a Jeff Ma por colaborar en el rodaje (como se dijo arriba, hace un cameo en una escena y ha asesorado la producción). 2.- Como sucediera en El indomable Will Hunting, el MIT no permitió rodar en sus instalaciones ni en el campus, así que las escenas de exteriores tuvieron lugar en la Universidad de Harvard y en el Centro Científico del campus de Boston, Massachusetts. Si revisáis la citada El indomable Will Hunting identificareis muchos de esos lugares. 3.- La repetida frase “A ganar, a ganar, pollo para cenar” (Winner, winner, chicken dinner!) que resulta un tanto ridícula (al menos a mi me lo pareció) se basa en lo siguiente: hace tiempo los casinos de Las Vegas ofrecían un pincho consistente en tres trocitos de pollo con una patata por 1.79 dólares. Como la ganancia mínima en las mesas era de 2 dólares, cuando alguien la lograba, se le decía esta frase indicándole que ya tenía al menos suficiente para cenar. En otros contextos se usa también como insulto. Comentario Final Una ultima cosa. Bueno, dos. La moda de Rodolfo Chiquilicuatre ha traspasado fronteras, y la caracterización final de Micky Rosa al final de la película, ¿no me digan que no se da un aire? Esperemos que el tal Rodolfo tenga más suerte y no se confíe del aparente éxito mediático como le pasa al citado profesor. ¿Se han fijado en la versión española del cartel de la película (la del inicio del artículo)? Compárese con la original. En la carta de la J (el Jack, o sea la Sota en nuestra baraja), han puesto al profesor Micky Rosa. Obsérvese el juego de palabras: Black Jack, con las palabras separadas (hay una película española llamada El Tuno Negro también). O sea que sólo echando un vistazo a la cartelera ya sabemos todavía más de lo que deberíamos. Noticia aparecida en el diario 20 minutos el 29/04 “Amenábar ya tiene set para Agora.- Ágora, el nuevo filme de Alejandro Amenábar, ambientado en Egipto, ya tiene muy avanzados sus decorados. El director español ubica su historia en el siglo IV. Ya se ha difundido una imagen del plató de rodaje en Delimara (Malta). Según confirma TimesofMalta.com la actriz Rachel Weisz interpretará a la astróloga Hypatia de Alejandria, que lucha por salvar la sabiduría del mundo antiguo en una sociedad ocupada por los romanos. Su esclavo Davus, Max Minghella, duda entre permanecer a su lado, ya que la ama, o disfrutar de su libertad tras su conversión al cristianismo”. ¿¿¿Hypatia ASTRÓLOGA??? Yendo a la citada página nos encontramos “In the movie, Oscar-winning actress Rachel Weisz plays astrologer-philosopher Hypatia of Alexandria who fights to save the collected wisdom ....” ¡Periodistas, enterense,  no sea que W. Shakespeare resulte un jugador del Manchester pasado mañana! Del 71 al 80. Aunque al inicio de esta sección elegimos como norma la obligatoriedad de que la película tuviera el número en el título en castellano y se hubiera estrenado en España, ha llegado un punto en el que nuestra lista se acaba (de hecho, ya hemos hecho alguna trampilla en algún título anterior. ¿Cuál?), vamos a flexibilizar las condiciones: No hace falta que la película se haya estrenado comercialmente en España. Bastará con que tenga el número en su título original. ¿Llegaremos mucho más allá? Como en anteriores ocasiones, agradecemos el esfuerzo de nuestro compañero Julio Zárate que puntualmente nos manda su selección cada mes, a la que añadimos la nuestra. 71: Calcutta 71 (Mrinal Sen, India, 1971). El club 71 (Red 71, Patrick Roddy, EE. UU., 2008). 72: Setenta y dos horas para pecar (Giovani, belle, probabilmente ricche, Michele Massimo Tarantini, Italia, 1982). La Hija De Fu-Manchu - 72 (La Escuadlilla Amalilla, España, 1990). 73: Winchester 73 (Winchester 73, Anthony Mann, EE. UU., 1950). Dracula 73 (Dracula A..D. 72, Alan Gibson, Reino Unido, 1972). Torremolinos 73 (Pablo Berger, España, 2003). 74: Attilas '74 (Mihalis Kakogiannis, Grecia, 1975). Documental. 75: Setenta y cinco minutos de angustia (The man who cried wolf, Lewis R. Foster, EE. UU., 1937) 75 centilitres de prière (Jacques Maillot, Francia, 1995). Cortometraje. 75 Degrees in July (Hyatt Bass, EE. UU., 2000). 76: Deadwood '76 (James Landis, EE. UU., 1965). Brasil 76 (Jose A. Rivero , España, 1977). Verano del 76 (The Spirit Of '76, Lucas Reiner, EE. UU., 1990). Crisis 76 (Aundre Johnson, EE. UU., 2004). Cortometraje. 77: Aeropuerto 77 (Airport '77, Jerry Jameson, EE. UU., 1977). Forajidos 77 (Il Grande Racket, Enzo G. Castellari, Italia, 1977). Ifigenia '77 (Juan Guerrero Zamora, España, 1977). 78: Aeropuerto 78-Vuelo Supersonico (Death Flight, David Lowell Rich , 1975). Panico A 40.000 Pies (Aeropuerto 78) (Myday: 40.000 Feet, Robert Butler , 1978). Paragraf 78 (Mikhail Khleborodov, Rusia, 2007). 79: 79 primaveras (Santiago Álvarez, Cuba, 1969). Cortometraje. Concorde Affaire '79 (Ruggero Deodato, Italia, 1979). 80: La Vuelta Al Mundo En 80 Minutos (Around the world in 80 minutes with Douglas Fairbanks, Douglas Fleming, Victor Fairbanks, 1931). La vuelta al mundo en 80 dias (Around the world in eighty days, Michael Anderson, EE. UU., 1956). La Vuelta Al Mundo En 80 Dias Por El Gato Con Botas (Puss'n Boots' Around The World, Hiroshi Shitara, Japón, 1976). Aeropuerto 80 (Airport 80 - The Concorde, David Lowell Rich, EE. UU., 1979). Star 80 (Star 80, Bob Fosse , EE. UU., 1983). Vuelta al mundo en 80 dias (Around The World In 80 Days, Frank Coraci, Reino Unido, 2004).

Jueves, 01 de Mayo de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

84. 33. CONCURSO DEL VERANO DE 2008

Como viene siendo habitual, terminamos el curso con nuestro tradicional concurso del verano. También os mostramos la dirección en la que ver un corto presentado en un Festival de Cine y Matemáticas celebrado en Alemania en Mayo del que ya hablaremos con más profundidad, y proseguimos los títulos numéricos. ¡Feliz Verano! Parece mentira pero se acaba un nuevo curso escolar, justo ahora que han ido surgiendo muchas noticias relacionadas con el Cine y las Matemáticas. Bueno, las dejaremos para Octubre. Como al parecer los concursos de otros años os han resultado difíciles a juzgar por las escasas respuestas que habéis mandado, y lo que es más extraño, las respuestas a las cuestiones matemáticas han sido más acertadas que las relativas al cine, esta vez, vamos a tratar de ponerlo más fácil. Se describen cuatro escenas de una misma película cuyo protagonista ha sido noticia el pasado mes de mayo. Al final de la descripción de cada una están las cuestiones, todas ellas valoradas con 10 puntos, independientemente de su dificultad. ¿Logrará alguno alcanzar los 120 puntos? Los obsequios prometen ser suculentos, así que, animo. Tenéis todo un verano por delante para dedicarle un ratillo. Y os recordamos que a veces el ingenio es más práctico que las matemáticas propiamente dichas, si no que se lo digan al protagonista, un truhán de los que ya no quedan.   I.- ¿Por donde pisar? Nos encontramos en 1936 en una frondosa selva de América del Sur. Nuestro protagonista junto a dos asustados y nerviosos acompañantes, se adentra en una lóbrega cueva. Buscan algo. La caverna está repleta de peligros: animales venenosos, trampas mortales, profundas simas ocultas por la oscuridad y las telas de araña, ,..., de ello dan fe los numerosos cadáveres que van encontrando a su paso. Después de sortear con éxito estos “pequeños inconvenientes”, llega a una especie de santuario en el que se encuentra el objeto buscado. El suelo aparece embaldosado con piedras blancas y negras, alternándose como en un damero. La oscuridad impide ver claramente las piedras pero al acercar la antorcha, nuestro protagonista consigue vislumbrar unos extraños signos grabados en cada una. Él sabe perfectamente que corresponden a cifras en el sistema de numeración de la antiquísima civilización que utilizó aquel lugar como refugio de su más preciado objeto. Contando como puede, descubre que las piedras forman un cuadrado perfecto de ocho filas por ocho columnas. El paso del tiempo ha ocultado algunos signos y otros no los alcanza a ver. Sin dudarlo, deduce que el cuadrado debe ser mágico. En una de las paredes de la cueva ve grabados varios polígonos regulares y una inscripción cuya traducción sería algo así como “Sólo puedes repetir uno”. Nuestro hombre se arrodilla entre las piedras que indican el número 17 y el 40, saca un papel y un lápiz de su chaqueta y escribe los números del 1 al 64. Entonces misteriosamente, traza dos líneas, parecen las diagonales, vuelve a anotar algo y gira el papel varias veces a la vez que observa las piedras. Al cabo de un instante, toca con el extremo no prendido de la antorcha la piedra blanca que marca el 40. Es sólida. A continuación pone el pie sobre la piedra negra, e instantáneamente se percibe el fino silbido de un pequeño dardo, seguramente envenenado, que por suerte se clava en la antorcha que sujeta: “Espera aquí”, indica a su aterrorizado acompañante. “Si insiste, señor”, balbucea éste. El héroe comienza un lento camino entre las piedras, adoptando por momentos posturas inverosímiles y no perdiendo de vista los números garabateados sobre el papel. A la vez, antes de cada movimiento, mueve la antorcha de arriba hacia abajo observando la llama. Al llegar a la mitad, ve algo sobre el suelo y se agacha para observarlo. Es un pájaro muerto atravesado por finísimos dardos. En la piedra en la que yace se ve el número 38. Esto es de gran ayuda para nuestro personaje, y le advierte del sumo cuidado que debe poner. Su acompañante lo observa aterrorizado. Finalmente alcanza la ultima línea de piedras. Ha llegado a su objetivo ..... Cuestiones: 1.- Nombre del protagonista y de la película. ¿Qué objeto busca el protagonista? 2.- Reproducir el cuadrado mágico completo. Fijarse bien en todos y cada uno de los movimientos del protagonista. 3.- Una vez reconstruido el cuadrado, ¿qué camino ha tomado? 4.- Si no has sido capaz de reconstruir el cuadrado mágico, esta cuestión puede ayudar (o confundir quien sabe). Colocar en ese tablero de ajedrez catorce alfiles sin que ninguno amenace a ninguno. Algunos de ellos están en las casillas en las que van los números 8, 9, 17, 40, 41, 48, 49 y 64.   II.- ¿Sólo tres? Dos agentes del servicio de inteligencia del ejército esperan que nuestro personaje, profesor de Universidad, termine de impartir una clase para interrogarlo sobre un delicado asunto. 1er Agente: Usted estudió con el profesor Ravenwood en la Universidad de Chicago, ¿no? X: No nos hemos visto en diez años. Tuvimos algunas discrepancias ... 2º Agente: ¿Sabe donde se encuentra ahora? X: Sólo rumores. Oí que estaba en algún lugar de Asia. Los militares intercambian una mirada desaprobadora. Se resisten a hablar. Finalmente, se deciden a ser más explícitos. 1er Agente: Debe entender que todo esto es estrictamente confidencial. X: Comprendo. 1er Agente: Ayer interceptamos un comunicado nazi de El Cairo a Berlín. No sabemos muy bien cómo interpretarlo. El agente saca una hoja de su cartera y se la pasa a nuestro personaje. 2º Agente: Sabemos que Ravenwood mantiene correspondencia sobre sus tres temas de investigación con dieciséis colaboradores. Cada uno está especializado solamente en uno de esos temas. Están repartidos por todo el mundo, y todos están al tanto de los progresos de los demás. Este es uno de ellos. 1er Agente: Como ve el asunto del que trata esta carta es peligroso, y al parecer nuestros enemigos también están interesados. Pensábamos que quizá usted sería uno de los al menos tres colaboradores que trabajan en él. X: Sólo puedo decirles que no creo que Ravenwood colabore con los nazis. Nunca ha simpatizado con ellos. Siento no poder serles de mayor ayuda. Al cabo de un instante, añade: En cualquier caso, me parece que no han echado bien las cuentas, ¿de dónde han sacado lo de los tres colaboradores en ese tema? Lo único que pueden asegurar es que al menos tres se escriben sobre el mismo asunto, que no tiene porqué ser el que a ustedes les preocupa. ¡Reorganicen el palomar! Cuestión: 5.- ¿Están realmente confundidos los agentes? ¿Qué explicación tiene las palabras de nuestro protagonista?   III.- La conjunción solar En otro momento de la película, el protagonista se desplaza a una excavación arqueológica en el desierto egipcio. Se advierte cierto nerviosismo entre los promotores. Buscan un objeto muy importante pero no encuentran indicio alguno del mismo y los retrasos, además de incrementar los gastos considerablemente, minan su ya de por sí escasa paciencia. Se perfora por todas partes, aleatoriamente, dejando montones de arena al lado de agujeros inservibles. Nuestro personaje, camuflado entre el resto de obreros, busca por su cuenta. Los empleados que ha contratado parece que han encontrado algo. Nuestro héroe se acerca al lugar, llevando una recia vara de madera de unos 2 metros de altura. Echa un vistazo dentro de un agujero. En su interior parece vislumbrarse una habitación de una antigua edificación. Sin perder un momento se descuelga dentro mediante una cuerda. Al llegar al fondo, una vez adaptado su cristalino al rayo de luz que penetra a través del agujero por el que ha entrado (agujero que por simplicidad en lo que sigue, reduciremos a un punto), descubre que se encuentra en una espaciosa sala con paredes hermosamente decoradas. En el suelo, a sus pies, descubre una maqueta de la antigua ciudad que se erigía en el lugar, ahora desaparecida. Observa minuciosamente una lápida en la que aparecen descritas algunas medidas. Consulta sus cálculos en el cuadernillo que siempre lleva consigo, donde anota los datos que considera relevantes. Al instante se da cuenta de que la luz solar que entra, en su desplazamiento, va siguiendo una hilera de mosaicos dispuestos convenientemente. No puede perder un instante en tomar medida alguna, puesto que en pocos minutos la luz dejará de entrar por el agujero. Coloca entonces un objeto circular (que ha conseguido en otro momento de la película gracias a una antigua amiga) en un extremo de la vara y la dispone verticalmente. Este objeto tiene un pequeño orificio a través del cual el rayo de luz precisa con mayor exactitud los sitios que ilumina. Ajusta la vara para que el rayo de luz al pasar por el agujero ilumine el final de la estancia. Esto lo consigue cuando la distancia entre el extremo superior de la vara (con el objeto puesto) y el punto iluminado sobre el suelo sea exactamente la mitad de la longitud de la habitación. El rayo de luz avanza hacia sus pies (el sol va elevándose en el cielo). Y llega el momento que todo investigador desea sentir alguna vez. La concentración es máxima; el placer inmenso. En la miniatura, un pequeño edificio es iluminado por el haz, y por algún antiguo artificio, probablemente un minúsculo diamante, un intenso destello azulado refulge de un punto concreto. Todo indica que allí se encuentra enterrado lo que tantas personas han buscado a lo largo de los siglos. Volviendo la mirada hacia el agujero por el que entra la luz, el protagonista se percata que el segmento que une el extremo superior de la vara que mantiene vertical con el punto del destello, es paralelo al que va del agujero por donde entra la luz al punto donde apoya la vara en el suelo. Antes de irse, rompe la vara en dos trozos; nadie debe averiguar lo que sabe. Cuando vuelve a subir por donde entró, despliega una cinta métrica para medir la altura a la que se encuentra la abertura por la que entra la luz: 7/8 de la longitud de la sala. Una vez anotado el dato,  esbozado un dibujo esquemático, y apenas un par de cálculos, murmura: - ¡Qué idiota! ¿Cómo no me he dado cuenta antes? ¡Tenía que ser p ! Cuestiones: 6.- Nombre de la antigua ciudad donde se encuentra la excavación (según la película). 7.- Longitud exacta de la vara del protagonista (con el medallón colocado). En modo exacto, por favor. 8.- Punto en el que se encuentra enterrado el misterioso objeto (modo exacto). Por cierto, ¿cuál es ese preciado objeto? 9.- ¿Porqué exclama el protagonista esa frase? Ya sólo le queda buscar ese punto en la realidad. Por si aún estás un tanto despistado, ahí va un fotograma en el que se le ve tratando de localizar el punto exacto en la realidad:   IV.- Sueños Viperinos La fobia que nuestro personaje siente hacia las serpientes hace que después de su paso por un pozo repleto de ellas no se las pueda quitar de la cabeza ni en sueños. En su onírica aventura junto a su compañera vuelve a encontrarse rodeado de todo tipo de ofidios. Uno de ellos muerde a la chica en la mano provocando en ella un pánico intenso. Ella: ¡Me ha mordido! ¡Moriré sin remedio! Él: Tranquila. No es venenosa. Ella: ¿Cómo lo sabes? Él: Observé el número que tiene tatuado en su piel: 27259432287156. Sólo las que llevan un cuadrado perfecto son peligrosas. Ella: ¿Y cómo sabes que esa cifra tan larga no es un cuadrado perfecto? Es obvio decir que nuestros héroes no tienen a mano ni ordenador portátil, ni una vulgar calculadora de bolsillo (recordemos por otro lado que la acción acontece en 1936) en tales circunstancias. La explicación del protagonista empieza así: Él: Si observas las terminaciones de los cuadrados de los primeros números, podrás percatarte que las terminaciones de los cuadrados perfectos sólo pueden ser el 0, el 1, el 4, el 5, el 6 o el 9. Si un número acaba en cualquier otro dígito no puede ser un cuadrado. Ella: ¡Pero esta acaba en 6!, interrumpió la aterrada joven. Él: Tranquila. Déjame continuar .... Cuestiones: 10.- ¿Cómo prosigue el razonamiento del protagonista? 11.- Esta cuestión está tomada de una célebre revista dedicada a los juegos, el ingenio y el humor que se publicaba allá por los años ochenta del siglo pasado. ¿Cuál? 12.- En noviembre de 2004, apareció un personaje basado en el protagonista de esta película, que resultó un éxito sin precedentes en el mundillo de los cortos de animación en España, ganando más de 65 premios nacionales e internacionales, entre los que destaca entre otros un Goya al mejor corto de animación. ¿A que personaje nos referimos?¿A qué otro célebre personaje homenajea también?   Un corto entretenido Su título es Dados (Dice), está realizado por el japonés Hitoshi Akayama  y dura unos 2 minutos (1:57). http://motion-design.jp/movie/dice.wmv Está realizado íntegramente por ordenador, y uno de los objetivos del autor era compaginar la imagen de un dado rodando de un modo entretenido rítmica y visualmente. Partiendo de un único dado (que puede simbolizar cada persona saliendo al mundo exterior, a la sociedad), se produce una reacción en cadena que nos lleva de una escena a otra sin ninguna ruptura ni falta de continuidad en su movimiento. Los datos (posición del dado, su periódico giro y los solapamientos con los demás) han sido cuidadosamente sincronizados a la banda sonora mediante un software específico. Después de tantas interacciones, uno queda (ante un problema, o sencillamente al final de su existencia) tan solo como empezó en su peregrinaje. ¡ A ver si podéis contar cuántos dados aparecen !   Del 81 al 90. 81. Terremoto 81 (Earthquake 7.9, Kenjiro Ohmori, Japón, 1980). Batch '81 (Mike De Leon, Filipinas, 1982). Dancer, Texas Población 81 (Dancer, Texas Pop 81, Tim Mccanlies, EE. UU.,1998). 82. Gol... y al mundial 82 (Fernando García de la Vega, España, 1981).         Sportloto-82 (Leonid Gaidai, Rusia, 1982). Olivetti 82 (Rudi Van Den Bossche, Bélgica, 2001). 83. Missione mortale Molo 83 (Sergio Bergonzelli, Italia, 1965). Gypsy 83 (Todd Stephens, EE. UU., 2001). 84. La carta final (84 Charing Cross Road, David Hugh Jones, EE. UU., 1987). 84C MoPic (Patrick Sheane Duncan, EE. UU., 1989). 85. Vuelo a las estrellas (Airport 85, Jerry Jameson, EE. UU. 1983). Fanática (Swimfan 85, John Polson, EE. UU., 2001). 86. El Disparatado Super Agente 86 (The Nude Bomb, Clive Donner, EE. UU., 1980). Campus '86 (Albert Pyun, EE. UU., 1986). 87. El Turbulento Distrito 87 (Fuzz, Richard A. Colla, EE. UU., 1972). Subject 87 (Brandon Slagle, EE. UU., 2007). 88. D III 88 (Herbert Maisch, Alemania, 1939). Frankenstein '88 (Jean-Claude Lord, EE. UU., 1986). 88 Minutos (88 Minutes, Jon Avnet, EE. UU., 2007). 89. Winter '89 (Daniel Daniel, Holanda, 1998). 90. Liberxina 90 (Carlos Durán, España, 1970). Vuelo 90: Desastre en el Potomac (Flight 90: Disaster On The Potomac, Robert Michael Lewis, EE. UU., 1984). Frankenstein 90 (Alain Jessua, Francia, 1984). 90 Days (Giles Walker, Canada, 1985). 90 Millas (Francisco Rodríguez Gordillo, España, 2005).

Domingo, 01 de Junio de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

85. 34. La chica matemática

De vuelta a un nuevo curso, resolvemos las cuestiones propuestas en el concurso del verano, damos noticia de su ganador, y presentamos una serie de cortometrajes pensados para ¿enseñar? conceptos  teóricamente difíciles de asimilar por los alumnos (norteamericanos) Si históricamente la vida de los científicos no ha sido demasiado comprendida ni valorada (no así sus descubrimientos que TODOS utilizan), ¿qué decir de la de los matemáticos? Y peor aún, ¿qué decir de la de las matemáticas? Parece (obsérvese que el uso de este verbo no es accidental) que en la actualidad en algunos sectores hay una mayor sensibilidad hacia la mujer (no así en la sociedad en general; desgraciadamente deplorables conductas siguen llenando los informativos diariamente) y al menos vamos conociendo que existen mujeres matemáticas, que existieron siempre, y que sus trabajos han sido y son tan importantes y necesarios como los del resto de colegas. En el cine, en pocos meses podremos disfrutar (confiemos) del estreno de Ágora, la nueva película de Alejandro Aménabar, que se ha presentado como una recreación de la vida de Hypatia de Alejandria, considerada como la primera mujer científica y filósofa de la Historia, y también un símbolo de lucha contra la intolerancia fanática. Pero el titular de la reseña no va por ahí. En el año 2004 los artistas y diseñadores gráficos Lou Crockett y Jesai Jayhmes, y el matemático Veselin Jungic presentaron en los EE. UU. un cortometraje de animación con una nueva súper-heroína: Math Girl. Math Girl es una estudiante normal que se transforma, cuando la ocasión lo requiere, en una experta matemática. Esa mutación es siempre precedida por la invocación de un matemático famoso. Vive en Calculópolis y protege a sus habitantes de la incultura matemática. En esta tarea le ayudan un compañero y amigo llamado Pat Thagoras (una americanización de Pitágoras bastante cutre) y el alcalde de la ciudad, un venerable hombre llamado Big Math (el gran matemático). El mayor peligro lo constituye el malvado Zero! (léase Cero factorial), que pretende apoderarse de la ciudad aprovechándose de la ignorancia matemática de sus habitantes. Según sus creadores dos han sido los objetivos perseguidos por estos cortometrajes: utilizar un medio de la cultura juvenil para dar una nueva visión (o uso) de algunos conceptos matemáticos conocidos, y al mismo tiempo enriquecer el propio medio (el de los súper-héroes) introduciendo las matemáticas como argumento. Van dirigidos a alumnos de último año de instituto (allí se llaman alumnos de grado 12 o seniors) y a los que cursen un primer año de Cálculo de una carrera universitaria. Por el momento se han realizado tres episodios: Episodio 1.- Las diferenciales atraen (Differentials Attract, 2004). Trata de ilustrar el uso de las aproximaciones lineales y el concepto de diferencial de una función. Ha sido producido por el Learning and Instructional Development Centre (LIDC) de la Universidad Simon Fraser en Burnaby, Canadá. Puede verse en http://es.youtube.com/watch?v=VgMSgJdr4k0. Episodio 2.- La discontinuidad de Zero! (Zero!´s Dis-Continuity, 2006). Basa su argumento en el límite . El capítulo fue producido por el Interdisciplinary Research in Mathematics and Computational Sciences Centre (IRMACS) de la Universidad Simon Fraser. En http://es.youtube.com/watch?v=Ceui-CIQZe4 lo tenéis. Episodio 3.- ¡Racionaliza Esto! (Rationalize This!, 2007). En el día dedicado a Pi, Zero! envía a la ciudad un ejército de ceros para convertir el valor de pi en 3.14. Nuestros héroes emplearán la fórmula de Bailey-Borwein-Plouffe para evitarlo. De nuevo el IRMACS ha financiado y producido el corto. La dirección en la que se encuentra es http://es.youtube.com/watch?v=mTomRm23KKs. Los tres episodios están en inglés, y si os parece de aquí a diciembre transcribimos su contenido en castellano y lo comentamos. Comenzamos con el primer capítulo: Episodio 1.- Las Diferenciales atraen (Differentials Attract, 2004) (Duración:  4:41) Math Girl: ¡Hola! Soy Math Girl, uno de los protectores de Calculópolis. (En el cartel junto a MathGirl, se lee: “Bienvenidos a Calculópolis. Población: √1764”). Ayudo a los Calculopolitas que necesiten encontrar razones de cambio instantáneas o estimar aproximaciones de alguna función desagradable. Pero algunas personas no me entienden y me toman por un malhechor. Nuevo Escenario: La habitación donde Math Girl resuelve problemas. Estos son los dos padres del Cálculo: Newton y Leibniz. Pero esa es una larga historia. Mejor os contaré cómo utilicé el Cálculo para salvar a mi amigo Pat. Este es mi aproximador lineal, pero si lo preferís podéis pensar que es un segmento de una recta. Es divertido utilizarlo porque sólo necesitáis multiplicar, sumar y un poquito de Cálculo  para alcanzar  algunos lugares extraños. No siempre se precisa llegar exactamente donde se desea porque a veces “lo bastante cerca es lo bastante bueno”. Una vez me encontraba aquí, en mi cuarto de resolver problemas, cuando Pat: ¡Socorro! ¡Socorro! Math Girl: ¡Parece Pat Thagoras! ¡Está colgado de la montaña de la raíz cuadrada! Pat: ¡Socorro! ¡Socorro! Math Girl: Los números que no son cuadrados perfectos pueden hacer que algunos lugares de la montaña de la raíz cuadrada sean difíciles de atravesar. Utilizaré mi aproximador lineal. ¡Invoco al poder de …. Descartes, el creador de los ejes de coordenadas XY! Pat: ¡Date prisa! ¡Me caigo! Math Girl: ¡Observad! La coordenada x de Pat es 37. Como la derivada primera de y = √x es y’ = 1/(2√x), mi aproximador lineal  salta fácilmente de un cuadrado perfecto a otro cuadrado perfecto. Treinta y seis es el más cercano a las coordenadas de Pat. ¿Será lo bastante cercano para salvarlo? ¡Veamos! Pat: ¡Vamos, que me caigo! Math Girl: Ya casi estoy, Pat. Echemos un vistazo más cerca. Si mi aproximador lineal está en el punto (36, √36), que es igual a (36, 6), coincidiría con la recta tangente a la función y=√x en ese punto.  La distancia entre nosotros será muy pequeña, cercana a la diferencial ¡Mi brazo es lo bastante largo! ¡Te salvaré! ¡Agarrate a mi mano! Pat: Gracias, Math Girl. Mi profesor de Matemáticas tenía razón. Las Matemáticas son útiles. Creo que debería espabilarme y prestar más atención en clase de matemáticas. Math Girl: ¡Ya! Lo bastante cerca, ¿porqué es lo bastante bueno? Pat (dubitativo): ¡Mmm! ¿Te apetece ir a comer algo? El episodio fue presentado el 8 de Diciembre de 2004 ante una audiencia de 500 estudiantes de primer año de Cálculo..El coste de este episodio fue de 8000 dólares. Según sus creadores, uno de sus propósitos (además de conectar con los alumnos de Secundaria mediante un icono cercano a ellos) era mantener todo lo relacionado con las matemáticas a un nivel tan sencillo como fuera posible.  Esto, por ejemplo, lleva a repetir varias veces a lo largo del capítulo una frase llamativa que diera la idea de lo que es una aproximación (“Lo bastante cerca es a veces  lo bastante bueno”), evitar el lenguaje  matemático engorroso cuando fuera posible, materializar objetos matemáticos (La montaña de la Raíz Cuadrada, aproximador lineal) “No pretendemos enseñarles matemáticas, ni que vayan a aprender lo que es una aproximación lineal viendo un dibujo animado de cuatro minutos, pero esperamos que se sientan motivados viendo lo que hay detrás de la historia, y que relacionen la idea con escenarios reales”, argumenta el profesor Jungic. La metodología que propone seguir en una clase de cincuenta minutos es la siguiente: proyectar el vídeo al inicio, explicar después durante cuarenta minutos las matemáticas necesarias para entender las aproximaciones lineales y la diferencial, y dejar los últimos cinco minutos para volver a visionar el corto. No sé qué opinión tendrán los lectores de DivulgaMAT después de ver el episodio (¡nos lo podéis contar!). A mí me parece buena la idea, pero bastante pobre el resultado, tanto desde el punto de vista visual (los dibujos no están animados para nada, son instantáneas fijas “pegadas” entre sí; es una técnica como otra cualquiera pero me parece poco dinámica), argumental (la historia me parece no sólo infantil, sino ñoña por momentos) como matemático (una cosa es popularizar y motivar y otra trivializar). Es llamativo el hecho de que los norteamericanos siempre echen mano de súper-héroes como los iconos más plausibles de enganchar a la gente joven; transmite una sensación de poco bagaje cultural. Hay por otra parte un error que ya se ha corregido en la transcripción: en la imagen aparece el punto (6,√36) y ese punto no está desde luego en la gráfica de y =√x. El mayor provecho que se puede sacar es seguramente en la clase de inglés. Hablando de chicas matemáticas del cine, ¿conocéis alguna actriz, directora, etc. con estudios matemáticos? Pues si, alguna hay. El mes que viene lo contaremos .... Respuestas al Concurso del verano I.- ¿Por donde pisar? 1.- Quizá el nombre del protagonista y la película no estén claros hasta no revisar todas las cuestiones, pero una vez leídas es obvio que estamos ante En busca del Arca perdida (Raiders of the Lost Ark, Steven Spielberg, EE. UU., 1981) y su protagonista, el profesor Indiana Jones. El objeto que busca en este caso es un pequeño ídolo. 2.- De los números que aparecen, es imposible reconstruir de modo único el cuadrado mágico (sabemos que la suma de filas, columnas y diagonales principales debe ser el mismo valor, la llamada constante mágica, que resulta ser 260, (la suma de los naturales del 1 al 64 es (64 x 65) /2 = 2080, suma que hay que repartir entre ocho filas, o sea, que cada fila resulta sumar 260). La clave está en el párrafo siguiente: “Nuestro hombre se arrodilla entre las piedras que indican el número 17 y el 40, saca un papel y un lápiz de su chaqueta y escribe los números del 1 al 64. Entonces misteriosamente, traza dos líneas, parecen las diagonales, vuelve a anotar algo y gira el papel varias veces a la vez que observa las piedras.” Está describiendo uno de los conocidos procedimientos para componer cuadrados mágicos de orden par. Luego sólo tiene que casar los números 17 y 40 a sus pies. Así nos queda el cuadrado: Otra pista para encontrar el cuadrado, aparece en la cuestión cuarta, en la que se indican los números de las casillas en las que van ocho de los catorce alfiles que se pueden disponer en el tablero sin que ninguno amenace a los demás.  Hay varias formas, pero probablemente la más sencilla, sea la que se muestra. Como se especifican cuatro de los números que aparecen en el enunciado inicial (8, 17 y 40), cavilando un poco, podríamos obtener toda la primera fila del cuadrado mágico, y a partir de ahí recomponer el resto. Finalmente la tercera cuestión nos pregunta por el camino seguro que ha tomado el protagonista para llegar a alcanzar el ídolo. Para ello se dice que “en una de las paredes de la cueva ve grabados varios polígonos regulares y una inscripción: Sólo puedes repetir uno”. Se trata de elegir una ruta con números figurados o poligonales: triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales, etc., pudiendo repetir uno sólo. Se dice también que empieza en el 40, que es un número octogonal. De ahí puede elegir el 47, 26 o 34. El 34 es heptagonal, y así sucesivamente hasta completar el trayecto marcado en rojo en el gráfico siguiente. En la sexta fila, aparece la posibilidad de tomar el 38 o el 11, y para eso se da la pista del pájaro muerto. Obsérvese que el recorrido final tiene un número cuadrado (25), uno pentagonal (22), uno hexagonal (45), dos heptagonales (34 y 18), uno octogonal (40), uno decagonal (52) y uno undecagonal (11). II.- ¿Sólo tres? 5.- Se trata de una cuestión sobre el “principio del palomar”, como señala en el diálogo nuestro protagonista. Con los datos aportados (diecisiete personas manteniendo correspondencia con todas las demás sobre tres posibles asuntos de forma que cada par de personas sólo trate uno de los temas), demostremos que al menos hay tres personas que se escriben sobre un mismo tema (que no tiene porqué ser el que interesa a los agentes). Elijamos una persona de las diecisiete; llamémosla A. Mantiene correspondencia con las dieciséis restantes. Cómo sólo hay tres temas, al menos con seis de ellas se escribe sobre el mismo tema, por ejemplo el tema 1. Si alguna de estas seis se escribe con otra sobre el tema 1, entonces ya hay tres que se escriben sobre el mismo tema, y estaría probada la afirmación. Supongamos que estas seis personas se escriben sobre los temas 2 y 3. Si B es una de estas seis, entonces por el principio del palomar, debe escribirse al menos con tres de las otras cinco sobre uno de los dos temas, por ejemplo el 2. Tenemos entonces dos posibilidades para estas últimas tres personas. Si alguna se escribe con otra sobre el tema 2, ya hemos encontrado tres personas que se escriben sobre un mismo tema, el 2. Si por el contrario, ninguna de las tres se escribe con las otras dos sobre el tema 2, entonces las tres deben escribirse entre sí sobre el tema 3, quedando probada la afirmación. III.- La conjunción solar El esquema que sigue la escena descrita es el que vemos en la imagen: El punto E es el punto por el que entra la luz a la sala, FG es la vara que el protagonista mantiene vertical y el haz de luz se desplaza desde el punto B hasta el punto H que es donde se esconde el Arca. Necesitamos por tanto la distancia BH para localizar ese lugar. Tal y como se nos detalla en el enunciado, Indy mide la longitud de la sala, AB, pero no se nos dice. Lo que si se especifica es que FB = ½ AB, que AE = 7/8 AB y que EG y FH son paralelos. Designemos por x = BH. Como los triángulos BFH y BEG son semejantes, aplicando el teorema de Tales, se tiene que Por otro lado, los triángulos rectángulos BFG  y  BEA también son semejantes, por lo que de nuevo por el teorema de Tales, Despejando BG de la segunda igualdad y sustituyéndola en la primera se tiene que Despejando x y reemplazando BE2 por AB2(1 + 49/64) (teorema de Pitágoras), se tiene que Recuérdese que una de las aproximaciones racionales más antiguas y más precisas (6 decimales correctos) de π es 355/113 atribuida al astrónomo chino Tsu Ch’ung-Chih que vivió hacia el siglo quinto de nuestra era. Esta fracción es 3 + (16/113). Esa es la razón de la exclamación de Indiana, que acaba de descubrirla en esta construcción del Antiguo Egipto (un anacronismo del que pocos se percatarían). La medida de la vara unida al medallón de Ra, FG, se calcula fácilmente, de nuevo por semejanza de triángulos: de donde  FG = 4AB2 / 7BC. Por el teorema de Pitágoras,  BE2 = AB2 (1 + 49/64), por lo que No se conoce la medida de la habitación, AB, aunque se dice que la vara mide unos 2 metros. El medallón no será demasiado grande, por lo que si imponemos que FG > 2, llegamos a que AB debe ser un poco más de 4.65, por ejemplo, 5 metros,  y entonces FG será 2.15 m. Se da por válida cualquier solución razonable según los datos del enunciado, es decir, un poco más de 2 metros. A estas alturas es claro que el personaje se encuentra en la antigua ciudad de TANIS (cuestión sexta) y está buscando el mítico ARCA DE LA ALIANZA (parte de la cuestión octava). IV.- Sueños Viperinos 10.- Uno de los concursantes, Alberto Castaño Domínguez, nos aporta una posible continuación del diálogo que resuelve la cuestión: Él: Tranquila. Déjame continuar. Esas terminaciones no son más que el resto que obtenemos al dividir los números por diez... Ella: ¡Estoy yo ahora como para que me des clases! Él: Si no me interrumpieras ya habríamos acabado. A ver, imagínate ahora que en lugar de dividir por 10, dividimos por 7. Ella: ¿Por siete? Él: Exactamente. Entonces, los restos que nos salen son 0,1,2 y 4, y si dividimos el número que lleva la serpiente entre 7, obtenemos como resto 6. En conclusión, la serpiente que te ha picado no es venenosa. Ella: ¡Vaya! No sabía yo que la aritmética modular salvara vidas... En efecto, a falta de probar que si un número es cuadrado perfecto entonces su resto al ser dividido por 7 debe ser uno de esos (el reciproco es obviamente falso; por ejemplo 249 ≡ 4 mod 7, y no es un cuadrado perfecto), es una posibilidad, aunque un tanto lenta porque dividir por 7 un número de 14 dígitos, no es inmediato precisamente, pero es la única que se nos ocurre. 11.- La revista citada era CACUMEN, revista lúdica de cavilaciones, cuyo primer número apareció en febrero de 1983. Después (enero de 1985) pasó a tener el subtitulo Ingenio, Juegos y Humor, hasta que después de 47 números, en diciembre de 1986, dejó de editarse. 12.- La respuesta es Tadeo Jones, un aventurero mucho más creíble y entretenido que el personaje original. En YouTube podéis ver el primer corto, y algunos fragmentos del segundo, Tadeo Jones y el sótano maldito, también galardonado con el Goya 2008 entre otros premios. Ganadores del Concurso Alberto Castaño Domínguez .- 90 puntos Elías Villalonga Fernández.- 80 puntos Del 91 al 100 Finalizamos esta sección que surgió como curiosidad, descubriendo que nuestra pretensión de probar que existen títulos para cada número entero del 1 al 100 no se cumple: no hemos encontrado ni para el 94 ni para el 97(no vale trocear los números, es decir, 1997 Rescate en Nueva York no serviría como ejemplo del 97; sería de 1997). Por supuesto que aún aparecen muchísimos números en títulos (101, 1984, 2001, 20000, etc.) pero creo que es suficiente con la primera centena. 91: Cero noventa y uno, policía al habla (José María Forqué, España, 1960) 92: La Casa de la Calle 92 (The House On 92nd Street, Henry Hathaway, EE. UU., 1945). 93: United 93 (United 93, Paul Greengrass, Reino Unido, 2006) 95: Héroes del 95 (Raúl Alfonso, España, 1947). 96: El Noventa y Seis de Caballería (La Garnison Amoureuse, Max de Vaucorbeil, Francia, 1933). 98: Payaso del 98 (Juan Antonio Martín Cuadrado, España, 1977). Cortometraje. 99: Calle River, 99 (99 River Street, Phil Karlson, EE. UU., 1953) Noventa y Nueve Mujeres (Jesús Franco, España/Alemania/Italia/Reino Unido, 1969) Noventa y nueve, cuarenta y cuatro por ciento muerto (Ninety nine and 44 /100 % dead, John Frankenheimer, EE. UU., 1974). Noventa y Nueve Punto Nueve (Agustín Villaronga, España, 1997) 100: Cien Dias (Hundert Tage Campo Di Maggio, Franz Wenzler, Italia, 1935) El Caballero de los Cien Rostros (Il Cavaliere Dai Cento Volti, Pino Mercanti, Italia, 1960). Cinco Marinos Contra Cien Chicas (Cinque Marines Per Centro Ragazze, Mario Mattoli, Italia, 1961). Los Cien Caballeros (Vittorio Cottafavi, España, 1965). Los Cien Rifles (100 Rifles, Tom Gries, EE. UU., 1968). Cien Años de Folies Bergere (Cent Ans De Folies Bergere, Andre Hunnebelle, Francia, 1971). Cien Maneras de Amar (I Will... I Will... For Now, Norman Panama, EE. UU., 1975) La Noche de Los Cien Pájaros (Rafael Romero-Marchent, España, 1976) Dentro De Cien Años Todos Calvos (Nous Irons Tous Au Paradis, Yves Robert, Francia, 1977). Mamá Cumple Cien Años (Carlos Saura, España, 1979). Las Cien Monedas del Rey (Joan Guitart, España, 1981) Cien Maneras de acabar con el Amor (Vicente Pérez Herrero, España, 2005).

Miércoles, 01 de Octubre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

86. 35. Aquellos Maravillosos Años (I)

Comenzamos este mes con la revisión matemática de esta popular y galardonada serie norteamericana, germen, inspiración o otra cosa peor de otra española no menos popular... Una de las características positivas de internet es la posibilidad de poder comunicarnos con (casi) cualquier persona de (casi) cualquier parte del mundo. Si además se es responsable de una página web, una sección de un portal,  un blog, etc., es seguro que habrá personas interesadas en el tema del que trates, que son completamente desconocidas y que de otro modo nunca hubieras coincidido con ellas, que te envíen sus impresiones, comentarios, informaciones que desconocías, etc. El caso de esta sección dedicada al Cine y las Matemáticas no es una excepción, y sois muchos los compañeros, amigos, alumnos, o simplemente personas que un día curiosearon por aquí a los que debo agradecer sus colaboraciones, que han enriquecido siempre el contenido de estas reseñas. Hace ya bastante tiempo, el profesor José Manuel Ramos González (que por cierto tiene una espléndida y muy completa página web dedicada al escritor Guy de Maupassant) me envió muy amablemente dos capítulos de la popular serie The Wonder Years (aquí en nuestro país Aquellos Maravillosos Años) dedicados a las matemáticas en mayor o menor medida. La serie, producida por la cadena norteamericana ABC, estuvo seis temporadas en antena en los EE. UU. (de 1988 a 1993), consta en total de 115 episodios de unos 30 minutos cada uno, y tuvo también bastante aceptación a nivel internacional. En España se emitió de 1990 a 1994. Cono probablemente  todo el mundo sabe, se trata de un relato nostálgico de la infancia y la adolescencia visto a través de los ojos de Kevin Arnold (Fred Savage), un adolescente norteamericano de clase media que asiste a una escuela secundaria, a finales de los 1960s y principios de los 1970s. En el segundo episodio de la tercera temporada (el nº 25 si contamos desde el primer capítulo), titulado La clase de Matemáticas (Math Class) se presenta al Sr. Collins (Steven Gilborn), el que a partir de ese instante será el profesor de matemáticas en otros tres capítulos de la serie. Como marca el tópico, su aparición es estelar (al menos para Kevin). Hagamos un recorrido resumido del capítulo: Kevin y sus compañeros vuelven a clase después del verano. Kevin (voz en off, narrando): La transición del verano al otoño era delicada. Éramos como los astronautas que volvían del espacio (se intercalan imágenes reales de una misión espacial de aquellos años). Teníamos que entrar en la atmósfera del colegio con cautela para que el cambio repentino de presión no nos matara.  (Imágenes de los pasillos del instituto: el protagonista se va saludando con todos los amigos que no ha visto en verano). No obstante el camino de 8º parecía que iba a ser un suave aterrizaje [..] Ahora ya no éramos los últimos del escalafón: éramos hombres para los chicos de 7º. Y lo que era más importante: éramos hombres para las chicas de 7º. En Sociales, nos hablaron de Woodstock (aparece una profesora hippie muy entusiasmada; mientras suena música ad hoc). En Gimnasia se nos dio a conocer lo obvio (el profesor se lesiona simplemente agarrando la soga por la que van a subir). En Francés la señorita nos mostró diapositivas de su viaje a París (aparece intercalada una fotografía de la maestra con un ligue mucho más joven que ella). Todo parecía ir de maravilla, todos los sistemas funcionaban, ...., hasta la 4ª hora. (Los alumnos están en el aula distraídos; no se percatan de que hay un profesor nuevo en clase) Profesor: Abran los libros de texto por la lección uno, página 16. Empezaremos con la introducción a las variables. Kevin: ¿Quién es ese? Profesor: Yo soy el Sr. Collins. (empieza a escribir en el encerado; es zurdo). Si tomamos un símbolo como x (aún no se ha sentado ni la mitad de la clase) para representar el número indeterminado de elementos que hay en el conjunto en un diagrama de Venn, S es el símbolo que sustituye a la variable.... Kevin (narrando): ¡Menuda presentación!  Nunca habíamos visto a nadie como él. Era una máquina matemática. Todo matemáticas. Todo el tiempo. Allí estaban las marcas de tiza que lo demostraban. Mr. Collins: Si la unión de los conjuntos S y T es , ¿cuál es la intersección? (Ver imagen) Kevin (narrando): Enfrentados a esa fuerza implacable, aceptamos el reto. Cada uno a su manera. Alumna: Sr. Collins, ¿cómo aprendió a hacer esos círculos tan bonitos? Mr. Collins: No es necesario dibujar círculos perfectos para solucionar estos problemas correctamente. Eso no afecta para nada a la nota. Kevin (narrando): Pero nada le distraía. Alumno: ¿Todas estas cosas sirven para calcular el promedio de carrera de un jugador de béisbol? Mr. Collins: No, eso sería simple Aritmética. [...] La respuesta es el conjunto formado por . Al ir a entregar el examen, confiesa al profesor: Kevin: No hace falta que lo mire. No he contestado ninguna pregunta. No entiendo las matemáticas. No lo consigo. No tengo ni idea de lo que estoy haciendo. Mr. Collins: Bien. Ahora está listo para empezar. (Hace una bola de papel con el examen y lo tira a la papelera) Kevin: Un momento. Ya se lo he dicho. Es inútil. Mr. Collins: Dentro de dos semanas habrá otro examen (sonríe y se va). Kevin (ante el libro de matemáticas, en casa, estudiando): Me sentía perdido. Me sentía confuso. Me sentía solo, Entra entonces su padre en la habitación, y al verlo un tanto compungido, siendo ahora la reacción del chico más educada, se sienta con él y le trata de ayudar. En la siguiente escena el profesor Collins explica propiedades de los números reales. Concretamente: Mr. Collins: La propiedad multiplicativa inversa nos dice que por cada número real a distinto de cero, existe un número real 1/a de modo que a x (1/a) = 1. Kevin (narrando): Hay momentos en la vida en que crees que estás perdido, en que cada paso que das parece equivocado..... Mr. Collins: Kevin, ¿puedes simplificar el cociente? (ver imagen; la expresión completa es Kevin: 1/5. Mr. Collins: No. Prueba otra vez. Kevin (narrando): .... Y entonces, sólo por un momento, ves la luz. Kevin: - 1/5. Mr. Collins: Correcto.  También se puede simplificar utilizando el valor absoluto de los factores .... Kevin (narrando): Y así empecé la larga escalada hacia la luz. Sólo que aquella vez, no estaba solo. (Imagen final con Kevin y su padre trabajando juntos) Comentarios y Curiosidades En los EE. UU. el sistema educativo en lo que a primaria y secundaria se refiere consta de tres niveles: la escuela elemental (Elementary School) que comprende los grados 1º al 5º, el grado medio (Middle School) con los grados 6º al 8º, y los grados 9º al 12º (High School) antes de acceder a los estudios universitarios (de éstos cada uno tiene un nombre: el 9º es el Freshman Year (los novatos), el 10º es el Sophomore Year, 11º el Junior Year, y el de la graduación, el 12º, llamado Senior Year High Shool). Kevin está en este capítulo en el último año antes de pasar a una High School, de ahí que comente que se sienten como “los mayores” del colegio. La correspondencia con nuestro actual sistema educativo sería la de 2º de la ESO, o sea justo antes de pasar al instituto de hace unos años, unos 12 o 13 años, el antiguo 8º de EGB. Por eso en el doblaje (realizado cuando aún había EGB) lo han mantenido como 8º. El examen. Con un poco de paciencia, podemos ver las preguntas que el Sr. Collins propone a sus alumnos. En las escenas de clase hemos asistido a la descripción de algunas ideas sobre teoría de conjuntos (la inclusión, la unión y la intersección), y sobre los números reales. En el primer ejercicio se pide indicar cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: a.- ((22 - 8) - 3) + 4 = 22 - (8 - (3 + 4)) b.- ((54 * 9) * 3 - 2 ≠ 54 * ( 9 * (3 - 2)) c.-  (((4 * 3) - 4) + 3) * 6 ≥ (4 * 3) - ((4 - 3)*6) d.- 9 ((3/4 + ½ - ¼)) = 4 - 4 Es un ejercicio estándar de cálculo de operaciones, en el que llama la atención el exceso de paréntesis empleados en algunas de esas expresiones. Las tres primeras claramente tratan de que el alumno compruebe si la forma de agrupar las operaciones incide en el resultado (obviamente sí siempre que haya restas como en estos casos), junto a la utilización de los operadores igual, distinto y mayor o igual. La cuarta afirmación “mosquea” un poco porque no tiene demasiado sentido (salvo que esté mal copiada; la calidad, la rapidez y la parada de la imagen no permiten asegurar al cien por cien que esa sea la igualdad que aparece). El primer miembro sería nulo si fuera (3/4 - ½ - ¼), pero parece absurdo (al menos a mí me lo parece) indicar el segundo miembro como 4 - 4. Una vez efectuadas las operaciones se verifica que son falsas la primera y la última, y son ciertas las otras dos (15≠ 21, 1456 ≠ 486, 66 ≥ 6 y 9 ≠ 0). El segundo ejercicio es una cuestión sobre conjuntos (ver imagen previa con la intersección de tres conjuntos). Se trata de “describir el diagrama de Venn adjunto a través de los conjuntos de los conjuntos X, Y, Z, X ∩ Y, X ∪ Y”, y un sexto que no se ve en la imagen. La tercera cuestión es la simplificación de un polinomio (que no se percibe con nitidez) en las variables x, y,  y utilizar el resultado para establecer una propiedad de los números reales. El siguiente ejercicio es “unir la expresión con el axioma que describe”: 1.- a (b + c) = ab + ac      a.- Conmutativa 2.- a + b = b + a              b.- Asociativa 3.- (ab) c = a (bc)             c.- Distributiva Finalmente el quinto ejercicio (queda una segunda hoja que no se ve en ningún momento) es sumar dos polinomios que tampoco se aprecian en su totalidad. De todo ello se deduce que en efecto, los realizadores del capítulo han utilizado unas cuestiones acordes con el curso en el que el protagonista está. Paradójicamente, el actor que encarna al Sr. Collins, Steven Gilborn, fue profesor de verdad en el MIT (Instituto Tecnológico de Massachusetts), en Stanford, en la Universidad de California en Berkeley y en la Universidad de Columbia, pero de Humanidades. Nació en 1936, y dejó la enseñanza para pasarse al medio televisivo en el año 1983. Desde entonces ha interpretado papeles en más de un centenar de series y telefilmes, el último este mismo año 2008. Probablemente los que vieron la serie recordarán junto a su protagonista a la compañera por la que “bebe los vientos”. De hecho la imagen promocional de la serie (la primera foto que aparece en esta reseña) es casi siempre la de ambos. Ella es Danica McKellar e interpreta en la serie el papel de Winnie Cooper. Pues bien, esta chica hija de emigrantes escocés y portuguesa, nacida en 1975 en La Jolla (California), al finalizar la serie se graduó con un Summa cum Laude en la prestigiosa UCLA (Universidad de California, Los Ángeles) de lo que aquí sería la licenciatura en Ciencias Matemáticas e incluso tiene probada y registrada la demostración de un teorema, el bautizado como teorema de Chayes-McKellar-Winn, sobre magnetismo en espacios de dos dimensiones enteras. Apareció publicada en un artículo del Journal of Physics A: Mathematics & General de Gran Bretaña, Los nombres que aparecen son los del profesor Lincoln Chayes y los graduados Brandy Winn y nuestra protagonista, Danica McKellar. El que quiera echarle un vistazo, no tiene más que seguir el enlace: Percolation and Gibbs states multiplicity ferromagnetic Ashkin-Teller models on Z2. Aunque no ha dejado su trabajo como actriz, incluso ha dirigido un galardonado cortometraje,  Speechless (2001), tampoco se ha olvidado de las matemáticas y lleva escritos dos libros por el momento, Math doesn’t Suck (cuya portada podéis ver en la imagen) y Play my Math. El primero fue un éxito de ventas en los EE. UU.; en la próxima reseña hablaremos con más profundidad de ambos, si bien afirmaciones como “dirigido a chicas de grado medio” nos alertan negativamente sobre lo que podemos encontrar. CONTINUARÁ .... Como no queremos aburrir al personal, la extensión que ya llevamos en esta ocasión aconseja dejar también para el próximo mes el segundo capítulo de las aventuras matemáticas de Math Girl.

Sábado, 01 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

87. 36. Aquellos Maravillosos Años (II)

Este mes la reseña es más literaria que cinematográfica. Echamos un vistazo a uno de los libros de Danica McKellar, y comentamos otro episodio de esta serie con algo de matemáticas. El mes pasado nos habíamos quedado con Danica McKellar, la protagonista femenina de la serie, y sus dos libros, Math doesn’t Suck y Play my Math. Como ya comentamos, Danica se tomó un descanso en su carrera de actriz y se licenció en la UCLA en Ciencias Matemáticas. Antes de terminar, realizó un interesante trabajo de investigación en el que obtuvo junto a su tutor y a otro compañero la prueba de un teorema que lleva su nombre, fruto de lo cual ostenta por el momento el privilegio de ser el único no graduado invitado a dar una conferencia en el Congreso bianual de Mecánica Estadística de la Universidad de Rutgers. El New York Times la ha bautizado como la “superestrella matemática”. Con este bagaje y unos libros con títulos tan llamativos, me picaba la curiosidad averiguar cuál sería su contenido habida cuenta de que han sido éxitos de ventas en Estados Unidos y son altamente recomendados por algunas “personalidades”. Yo pensaba que, a mis años, nada me podría ya sorprender demasiado. Estaba equivocado, y un tanto conmocionado aún, dedico parte de la reseña de este mes a compartir mis sobresaltos con vosotros, sobre todo por verificar a través de los e-mails si estoy en lo cierto, o simplemente estoy un poco “carca”. Si uno mira en un diccionario o un traductor inglés/español comprobará que suck es literalmente chupar, libar, absorber, mamar. En inglés existen palabras tabú, que se evita usarlas en según que contextos. Esta es una de ellas y supongo que a casi nadie debo aclararle mucho más (hay un género cinematográfico en el que este vocablo se utiliza abundantemente). En uno de los blogs de la actriz, algunos padres de estudiantes critican precisamente a la autora el empleo de esta palabra en el título, manifestando que provoca rechazo en muchos por lo que pudiera contener el interior, y sólo después de conocer las reseñas y recomendaciones se decidieron a comprárselo a sus hijas. No, no hay errata alguna, el libro está orientado completamente a las chicas. Ya lo deja entrever el subtitulo: how to survive middle school math without losing your mind or breaking a nail (como sobrevivir a las matemáticas de la escuela media sin perder la cabeza ni romperte una uña). Visto el significado en un principio se me ocurrió que una buena traducción podría ser “Las matemáticas no vampirizan”, aunque parece un poco retorcido. Leyendo un párrafo de la introducción, me he decidido por Las matemáticas no descolocan: Let's get a few things straight: Acne sucks. Mean people suck. Finding out that your boyfriend kissed another girl? That would totally suck. Too much homework, broken promises, detention, divorce, insecurities: suck, suck, suck, suck, suck. (Empecemos por dejar las cosas claras: el acné descoloca. La gente mezquina descoloca. ¿Descubrir a tu novio besándose con otra chica? Eso descoloca totalmente. Demasiados deberes, las promesas rotas, una detención, el divorcio, las inseguridades: descolocan, descolocan, descolocan). El libro sigue el esquema de los manuales de auto ayuda: mucho consejo, mucho testimonio personal, muchos ejercicios resueltos paso a paso pero de escasa dificultad y muy similares, y mucha parida. En la publicidad de las tapas del libro se hacen comentarios del siguiente tipo: [Danica] ayuda a demostrar que las matemáticas pueden ser fáciles, relevantes, e incluso glamurosas. Gracias a su entrenamiento, incluso el estudiante más frustrado logrará “llegar” a las fracciones, decimales, porcentajes, proporciones, “despejar las x” y más, conceptos que, si no han sido totalmente comprendidos en la escuela media, está probado que causarán continuos problemas en los estudios de secundaria y posteriores. Cada capítulo incluye: Instrucciones fáciles de seguir, paso a paso. Pistas y trucos para ahorrar tiempo en los deberes escolares y en los tests de clase. Problemas prácticos que iluminen los conceptos con soluciones detalladas. Ejemplos del mundo real, desde comprender porcentajes que te conviertan en un despierto comprador hasta entender las proporciones que maneja el más experto chef. Y como características especiales: Una “guía liquida-dificultades” única que ayuda al estudiante a “no atascarse” y a superar los más grandes desafíos. Historias reales de la vida personal de Danica desde aterrada estudiante de matemáticas hasta segura actriz, con todo lo que lleva consigo. Un horóscopo matemático, tests matemáticos de personalidad, testimonios reales, y  mucho más. Asegurate de que al final del libro se encuentra la “Guía liquida-dificultades” especial que resuelve los dilemas más frustrantes: “Las Matemáticas me llevaron al borde de la muerte” “Cuando era hora de hacer matemáticas, temblaba de miedo y lo evitaba a toda costa” “Me sentía confundido y perdido durante las clases” “Creía entender algo, pero entonces aparecía “respuesta equivocada” en mis deberes” “En los exámenes me helaba y no podía recordar nada” Si tienes problemas similares a éstos, LAS MATEMÁTICAS NO DESCOLOCAN es la respuesta. En la introducción, la autora trata de motivar al personal sobre las bondades de las matemáticas con estas palabras: Pero las matemáticas son algo bueno. He aquí algunas razones: las matemáticas dan confianza, te dan soltura para ajustar los moldes de las galletas, te ayudan a entender los marcadores deportivos, en la planificación y el gasto en las fiestas y las vacaciones, te permiten decidir si una oferta lo es o no. Te hacen sentir bien cuando recorres una habitación, te preparan para los mejores empleos y te ayudan a pensar con lógica. La inteligencia es algo real, es duradera y nadie puede privarte de ella. Jamás. Y fijaos en mí, nada puede reemplazar la confianza que proporciona el desarrollo de la inteligencia, ni la belleza, la fama o cualquier otra cosa “superficial”. Y después de un par de páginas en este tono, termina así: We're in this together, and remember: Smart is sexy! (Estamos en esto juntos, y recuerda: ¡el ingenio es sexy!). Si echamos un ojo al índice, después de los habituales agradecimientos, aparece la citada introducción titulada Las matemáticas utilizadas para descolocar totalmente y una colección de preguntas y respuestas (FAQS) sobre cómo utilizar el libro. Divide a continuación el contenido en cinco partes: 1ª Parte: Los factores y los múltiplos no descolocan. Capítulo 1:      Cómo hacer una buen negocio en eBay Números primos y factorización de primos. Capitulo 2:      ¿Aún estás loca por él? Encontrando el factor común máximo (GCF) Capitulo 3:      Nunca tendrás demasiados zapatos Múltiplos y mínimo común múltiplo (LCM) Cuestionario 1: ¿Tienes fobia a las matemáticas? 2ª Parte: Las fracciones no descolocan Capítulo 4:      Todo lo que siempre quisiste saber sobre las pizzas pero temías preguntar. Introducción a las fracciones y los números mixtos. Capítulo 5:      ¿Cuantos cafés helados pueden los actores beber? Multiplicando y dividiendo fracciones ... y Recíprocos. Capítulo 6:      Cuando plantearse seriamente parar de avasallar el frigorífico. Fracciones equivalentes y reducidas. Capítulo 7:      ¿Está tratando tu hermana de quedarse con lo que te pertenece? Comparando fracciones Capítulo 8:      ¿Cuánto tienes en común con tu mejor amiga? Común denominador ....... y sumas y restas de fracciones. Capítulo 9:      Eligiendo el collar perfecto Fracciones complejas Cuestionario 2: ¿Tienes problemas de concentración, o eres una súper estrella? 3ª Parte:  Los decimales no descolocan Capítulo 10:    Que debería saber un experto comprador Todo sobre los decimales Capítulo 11:    Porqué la calculadora puede resultar ser un novio terrible Convirtiendo fracciones y números mixtos a decimales Capítulo 12:    Como entretenerte mientras cuidas de un pequeño diablillo. Conversión de decimales a fracciones ¿Cuál es tu horóscopo matemático? Descubre qué estrellas te guían respecto a las matemáticas 4ª Parte: Los porcentajes se unen a la fiesta .... y tampoco descolocan. Capítulo 13:    La venta del siglo Pasar porcentajes a decimales y a fracciones, y viceversa. Capítulo 14:    Una “performance” coreografiada Mezclando fracciones, decimales y porcentajes. 5ª Parte: Los problemas de enunciado no nos descolocan Capítulo 15:    El lenguaje universal del amor .... y las matemáticas. Introducción a los problemas de enunciado Capítulo 16:    ¿Ella nunca cuelga el teléfono? Ratios Capítulo 17:    Las ventajas de un cansino sureño Tarifas y precios unitarios Capítulo 18:    ¡Un director de cine extraordinario! Proporciones Capítulo 19:    ¿Bebes suficiente agua? Conversión de unidades Cuestionario nº 3: ¿Cuál es tu método de estudio? Capítulo 20:    ¿Quién es ese guapo estudiante extranjero que ha venido nuevo de intercambio? Introducción a “Despejar la x” Capítulo 21:     Romeo y Julieta Introducción a “Despejar la x” en problemas de enunciado. Finalmente, a modo de apéndices, nos encontramos Guía para resolver problemas. ¡Donde mirar cuando no sepas que hacer! Manual de recursos de la chica inteligente. Tablas de multiplicación. Solucionario. Índice. Sobre la autora. Desde luego algunos de los títulos de los capítulos son un tanto llamativos. ¿Serán sólo para llamar la atención? Echemos un vistazo al primer capítulo. Reproduzco también las ilustraciones y utilizo texto sin cursiva para facilitar su lectura. Capítulo 1º: Cómo hacer una buen negocio en eBay ¿Has hecho alguna vez una pulsera de amistad? Yo solía hacerlas continuamente. Disfrutaba yendo a la tienda a elegir preciosas bolitas y luego unirlas en cadena. Hace tiempo que no hago ninguna pero tengo una amiga que gana un montón de dinero con sus propios diseños vendiéndolos en eBay. Hagamos una. Con unas bolitas de tamaño medio, puedes construir una pulsera con unas 24. Supongamos que tenemos 16 de ónice y 8 de jade. ¡Esta pulsera va a quedar preciosa! A continuación diseñemos un modelo. Dividamos las bolas en grupos pares de modo que podamos ver que opciones tenemos. Podemos separar las 8 bolitas de jade en 2 grupos de cuatro bolas (NOTA: aquí aparecen dibujitos de bolitas ilustrando los diferentes casos que me niego a reproducir por no aportar nada y ocupar mucho espacio), 4 grupos de 2 bolas, o 8 grupos de 1 única bola. Las 16 bolas de ónice podemos separarlas en 2 grupos de 8 bolas, 4 grupos de 4, 8 grupos de 2, o 16 grupos de 1 sola bola. Al tener grupos pares, hay sólo estas opciones (si contamos el número de bolas de cada grupo, esto nos indica cuáles son los factores). ¿A que se llama? Factor Un factor de un número es aquel número entero que divide al número (sin dejar resto). Por ejemplo los factores de 16 son 1, 2, 4, 8 y 16. Los factores de 3 son 3 y 1. El propio número y el 1 son siempre factores de un número. Basándonos en los agrupamientos que hemos hecho, veamos algunos de los diferentes modelos que podríamos utilizar para diseñar la pulsera. Daos cuenta de que no tenemos 5 grupos pares de bolas si quisiéramos utilizar las 16 de ónice (¡Inténtalo!). Siempre habrá un grupo con insuficientes bolitas o con demasiadas. Esto sucede porque 5 no divide a 16; en otras palabras 5 no es un factor de 16. ¿Qué tienes que decir? “Las matemáticas mantienen tu cerebro cargado. Y la gente inteligente puede hacer mucho más con sus vidas que la gente que no ejercita su cerebro” (Geena, 12 años) “Las chicas inteligentes se conocen a si mismas y se cuidan. Tienen moral y valores y los utilizan. Piensan antes de actuar y siempre intentan aprender más. Admiro a las chicas inteligentes” (Marimar, 18 años). Probablemente hayas aprendido lo que son factores y números primos en la escuela, pero yo haré un repaso aquí, porque las ideas que subyacen serán muy útiles para las cosas que hagamos en este libro. Números Primos ...  y Monos Algunas cantidades de bolas no pueden ser divididas. Montones de números pequeños como 2, 3, 5, 7. Los únicos factores que tienen son el 1 y ellos mismos. Hay números más grandes* como éstos, como el 53 o el 101. Es difícil de creer que no haya forma de dividir el 101, pero así es. Me gusta considerar a estas cifras como menos “evolucionados” que la mayor parte de los números. No tienen un montón de enteros por encima de ellos, no sé si sabes lo que quiero decir. No son complicados. Son “primitivos”, como los monos (los monos son una especie de primates). Y quizá es por esa menor evolución por lo que se llaman primos. * ¿Sabías que no existe el primo número primo más grande? En efecto, eso significa que si tu crees conocer ese número, por grande que sea, siempre se podrá encontrar uno mayor. Para averiguar más sobre números primos, introduce en Google “Números primos”, “chavales” y “matemáticas”.(En el texto original aparece “kids” como segundo criterio de búsqueda; lo he traducido por chavales intentando incluir tanto a chicos como chicas, ya que kids se refiere indistintamente a ambos). ¿A que se llama? Número Primo Un número primo es aquel que no tiene factores excepto el 1 y él mismo. En otras palabras, ningún número lo divide. Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29. ¡Pero hay muchos más! Por razones técnicas que son mucho más importantes en niveles más altos del que este libro cubre, 1 no se considera número primo. No es gran cosa, sólo una definición. Factor Primo Has descubierto un factor primo de un número si es primo y divide al número. Por ejemplo, 3 es un factor primo de 12 porque 3 es primo y es un factor de 12. Por otra parte, 4 es un factor de 12 pero como no es primo (4 puede dividirse por 2), 4 no es un factor primo de 12. Factorizando Factorizar un número quiere decir encontrar sus factores. ¿Bastante simple, no? A lo que realmente nos lleva es a “descubrir por lo que tu puedes dividir a un número”. Por ejemplo, los factores de 6 son 1, 2, 3 y 6, porque estos son los números que dividen a 6. ¿Cuántos lápices de labios necesita una famosa? Los bolsos de regalo que dan a las invitadas a algunas galas de Hollywood son extravagantes. A menudo incluyen múltiples kits de maquillaje de las líneas más actuales. Suponte que estás encargada de preparar los bolsos de regalo de un evento, y tienes 18 pintalabios que tienes que incluir en algunos de los bolsos. Podrías distribuirlos –o factorizarlos- así:  18 = 9 x 2 (2 bolsos con 9 pintalabios o 9 bolsos con 2 pintalabios). O así: 18 = 6 x 3 (3 bolsos con 6 pintalabios en cada uno, o 6 bolsos con 3 pintalabios). Desde luego podrías poner también un único pintalabios en 18 bolsos distintos o colocar los 18 en un único bolso y llevártelo a casa. Eso correspondería a la factorización 18 = 18 x 1. Como viste en el ejemplo de las pulseras, y ahora aquí, cualquier factorización indica cómo dividir las cosas íntegramente. Hay pocos modos de factorizar un número. Si precisas todos los factores de un número, puedes crear una larga lista de todos los números que lo dividen. Por ejemplo, si quieres factorizar el 16, escribirías 1, 2, 4, 8 y 16 porque esos son los números que lo dividen. O si factorizaras el 18, escribirías 1, 2, 3, 6, 9 y 18. Árboles de Factorización En mi opinión, la mejor herramienta para factorizar números, especialmente si quieres encontrar sus factores primos es lo que se llama un “árbol de factorización” Como lo monos balanceándose en las ramas más bajas de los árboles, los números primos se descuelgan de las ramas más bajas de los árboles de factorización. Supongamos que quieres factorizar el número 30. Dibuja dos pequeñas ramas que salgan del número y pregúntate: “¿Cuáles son los dos números que multiplicados entre sí nos dan 30?” ¿Qué tal el 15 y el 2? Mira a ambos y hazte la misma pregunta. El 15 podemos separarle en 3 y 5, pero para el 2 no hay ningún otro número que lo divida excepto el 1 y él mismo, lo cual indica que debe ser número primo. Sí, como un mono. Encierra en un círculo los “monos” para tenerlos controlados. ¿Y que pasa con el 3 y el 5? Cada uno de ellos es primo también de modo que los rodeamos con un círculo. Y así tenemos factorizado el 30 en sus factores primos 2, 3 y 5. Voilá! RECUERDA. No importa como comiences un árbol de factorización para un número concreto, siempre obtendrás al final los mismos factores primos (¡si lo has hecho correctamente!). Con esto os podéis hacer una idea. Cuando algunos pedagogos comentaban que los libros de texto resultaban demasiado serios y poco atractivos para los chi@s de estas edades, sinceramente, no creo que estuvieran pensando en proponer ejemplos como éste. La idea, sin ser del todo mala, patina completamente en cuanto a la elección de situaciones, totalmente sexistas (y no sólo eso, sino que además parecen destinadas exclusivamente a chicas telojuroporSnoopy) y de aplicaciones frívolas e inútiles. En nuestro país existen colectivos muy implicados en la coeducación que realizan un esfuerzo notable por fomentar la igualdad entre sexos y que muestran comportamientos, actitudes y expresiones que nos pasan desapercibidos pero que están ahí y se deben corregir (no se olvide el grave problema de maltratos que soportamos). A lo que se ve en los EE.UU. no son sensibles a estas cosas. De lo que a buen seguro debemos aprender es de la llamativa campaña de marketing y publicidad que se han montado en torno a la actriz. No hay más que darse un garbeo por sus páginas web (hasta tres diferentes) o a los videos colgados en YouTube para percatarse de que ahí sí saben lo que hacen. El que desee ampliar datos puede mirar la página del libro http://www.mathdoesntsuck.com, la de la secuela, http://www.kissmymath.com/, o la página personal de la actriz http://www.danicamckellar.com/mathematics.html. Vamos con lo nuestro que es el cine y la televisión. La segunda ocasión en la que encontramos matemáticas en Aquellos maravillosos años es en el siguiente capítulo: Matemáticas Avanzadas (Math Class Squared).- Noveno episodio de la tercera temporada, 1989, dirigido por Daniel Stern. Cada episodio trata de centrarse en algún tema concreto. En este caso comienza hablando de la necesidad que tienen los niños de tener héroes de referencia (la cámara va mostrando imágenes de astronautas, jugadores de béisbol, presidentes norteamericanos, en fin, la consabida fauna USAmericana). Pero a veces no es fácil encontrarlos. (Imagen del profesor de matemáticas dando clase). Concretamente está explicando la resolución de ecuaciones con radicales a partir del siguiente ejemplo: √x = x – 2. Como apreciamos en la imagen, a pesar de que no es demasiado nítida, deja en un miembro el término que contiene la raíz e iguala ambos miembros al cuadrado, lo usual. Una vez planteada la ecuación de segundo grado, x2 – 5x + 4 = 0, en lugar de resolverla deja indicado cómo terminaría en forma general, es decir, (x – α)(x –β) = 0, se supone que para que lo acaben los alumnos aunque en el episodio no se hace ninguna referencia más. Un alumno pregunta al maestro si este tipo de ecuaciones tienen que estudiarlas para el examen, resoplando toda la clase ante la obvia respuesta. Después del episodio comentado el mes pasado, Kevin va mejor en esta asignatura aunque no pasa de la C (recordemos que las calificaciones estadounidenses se designan por letras; A (sobresaliente), B (notable), C (bien), D (aprobado), F (suspenso), a grandes rasgos ya que hay algunas matizaciones que sería un tanto prolijo describir con detalle), es decir un poco más del aprobadillo, un seis, aproximadamente. Casualmente escucha a algunos compañeros que han conseguido el libro del profesor, lugar del que saca las cuestiones de los exámenes. Al descubrirlos le proponen que se una al grupo, pero él, dignamente, rechaza la propuesta. Sin embargo al recoger las calificaciones del siguiente examen, a pesar de haber respondido correctamente más preguntas que en el examen precedente, su nota es más baja, una D. La razón se la da su compañero: Collins puntúa de acuerdo a las notas de toda la clase haciendo un promedio (mediante una parábola comentan) y al haber tres alumnos (los tramposos) que han sacado sobresaliente, han elevado dicho promedio y por eso su nota es más baja. Indignado, pero sin querer ser un chivato, le plantea a Collins la cuestión de lo justo o injusto de ese sistema de calificaciones, dejando caer la posibilidad de que se pueda trampear esa media. Pero el profesor no le hace demasiado caso. A Kevin se le cae el mito. Para colmo, el nuevo profesor de educación física les lanza la siguiente arenga: “La moralidad es un lujo en el combate. Lo justo es cosa de niñas (¡y dale con las expresiones sexistas!). Las leyes de supervivencia son: sagacidad e ingenio: matar o morir”. Finalmente, Kevin se deja vencer y acepta entrar en el grupo tramposo. Genial. Sus notas pasan de la C a la A. Y Collins se da cuenta de que algo está sucediendo. Como primera medida traslada a Kevin al aula de Matemáticas Avanzadas. No obstante, lo que explica el maestro en la pizarra no parece demasiado avanzado: resuelve la ecuación: (5-x) / [5x(x-3)] = 1 / 5 “Necesitamos quitar denominadores; para ello se multiplican ambos lados de la ecuación por 5x (x–3)”. Escribe lo que queda: 5 – x = x – 3, y lo deja ahí. Allí el pobre no se entera de nada. Acaba desesperado y hasta sueña con problemas: Si x hombres van en un tren a 100 Kilómetros por hora, ¿Cuántos semáforos van a pasar antes de llegar a la dimensión desconocida? En el siguiente examen, el profesor ha cambiado de libro y los tramposos discuten entre ellos porque han suspendido y le echan la culpa al “listo” que consiguió el libro del profesor. Kevin vuelve al aula de su nivel, pero sus notas están en la D. La moraleja es clara: si hubiera continuado por el camino que llevaba, probablemente estaría en la B. Pero también aparece una moraleja matemática que se reitera en varias ocasiones en el capítulo: “Cada problema contiene su solución”. Es curioso observar que los guionistas se copian bastante unos a otros. En el segundo capítulo de la primera temporada de los Simpson, Bart el genio, (también de 1989), se reproduce el argumento descrito prácticamente tal cual. ¡Hasta el problema, imaginado en este caso, es de trenes! (Recordemos: A las 7:30 un tren expreso que viaja a 96 Km. por hora (en la versión original, 60 millas por hora), deja Santa Fe con dirección a Phoenix a 836 Km. de distancia (520 millas en la V.O.). Al mismo tiempo, un tren de cercanías que viaja a 48 Km. por hora (en la versión original 30 millas por hora) y transporta 40 pasajeros, deja Phoenix con dirección a Santa Fe. Tiene 8 vagones, y siempre hay el mismo número de pasajeros en cada vagón. Una hora más tarde un número de pasajeros igual a la mitad de minutos que pasan de la hora, se bajan; pero la misma cantidad 3 veces más 6 suben. En la segunda estación la mitad de los pasajeros más dos se bajan, pero en la primera estación se habían subido el doble de pasajeros. En ese momento el revisor le pide el billete que no tiene, por lo que le lleva a su jefe. Bart, aterrado, quiere pagarlo y le pregunta cuánto cuesta. El doble de la tarifa de Tucson a Flagstaff menos 2/3 de la tarifa de Alburquerque a El Paso.  Y ya sin poder soportarlo más, los trenes chocan, y Bart vuelve a la dura realidad). Conclusión: el cine y la televisión necesitan nuevas ideas matemáticas para incluir en sus argumentos. ¡Animaos! Para finalizar una cuestión: Fred Savage, el protagonista masculino de la serie Aquellos Maravillosos Años aparece también en al menos dos títulos distintos en los que hay cuestiones matemáticas. ¿Cuáles? ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ FELICES  FIESTAS  A  TOD@S ! ! ! !.

Lunes, 01 de Diciembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

88. 37. La chica matemática (2)

Un nuevo año suele ser un buen momento para proponerse nuevas metas, gracias a la recarga de energías que proporciona el turrón y al cargo de conciencia de no haber hecho nada en vacaciones. Nosotros, algo más modestos, nos conformamos de momento con seguir con la tarea iniciada y terminar lo que estaba pendiente. Retomamos así a Math Girl, la chica matemática, heroína concebida motivar a los alumnos USAmericanos en conceptos  teóricamente difíciles de asimilar (para ellos). El segundo capítulo de la trilogía puede verse en versión original en http://es.youtube.com/watch?v=Ceui-CIQZe4. Basa su argumento en el límite . El capítulo fue producido por el Interdisciplinary Research in Mathematics and Computational Sciences Centre (IRMACS) de la Universidad Simon Fraser. Después de verlo, lo comentamos. Episodio 2.- La discontinuidad de Cero Factorial (Zero!’s Dis-Continuity, 2006). (Duración: 5:14). Tras los títulos aparece un rótulo que reza: Población de Calculópolis: Math Girl se encuentra tomando un refresco en una mesa de la terraza del Café Cauchy. Su amigo Pat pasa por allí. Math Girl: ¡Hola Pat! ¿Dónde vas? Pat: Voy a ver si cojo sitio para ver la Olimpiada Matemática Internacional. Math Girl: ¡Espera, Pat, estoy recibiendo una señal de alarma en mi teléfono- televisión! ¡Mira! ¡Es BigMath, el regidor de Calculópolis! Pat: ¡Oh, no! ¡Ahora no! BigMath: Math Girl, en el nombre de Gauss, necesitamos tu ayuda inmediatamente. Son mis chicos, los gemelos, en el parque de diversión de las funciones salvajes. ¡Socorro! Zero!: Apartaré a los chicos del poder y gobernaré yo mismo en Calculópolis con mi invención malvada más reciente, la montaña rusa sent/t. El genio total que hará que los gemelos no puedan resistir la vuelta estremecedora. ¡Idiotas! Deberían haber estado más tiempo en clase. Parece (la montaña rusa) bonita y suficientemente suave como le gusta a la gente de Calculopolis. Pero, ¡sorpresa, sorpresa! Hay un agujero en su parte superior. No saben que la división por cero no está permitida. ¡Ah, Ah, Ah! Aprenden la lección cuando se hunden en su destino. Math Girl y Pat: ¡Invocamos el poder de Newton y Leibniz, los creadores del Cálculo! Math Girl: ¡Pobres niños, no es culpa suya! Ellos no saben que cero entre cero es una indeterminación. Tenemos que salvarlos. Pat: ¿Qué podemos hacer? BigMath: Date prisa, Math Girl, Zero! ha puesto en marcha la montaña rusa sent/t. Los niños llegarán al agujero en 4.5 minutos. Math Girl: Tengo un plan. ¡Taparemos el agujero! Como el limite de sent/t cuando t tiende a cero es igual a 1, se trata de una discontinuidad evitable. Pat: ¡Eso es brillante, Math Girl! Gemelos: ¡Esta parte es tan divertida! Confiemos que no descubran que nos hemos pirado la clase. No se da cuenta (se refieren a BigMath) de lo que hacemos porque está demasiado ocupado regulando cómo cuidarnos. Math Girl: Asegúrate de que pones en marcha el mecanismo epsilon-delta. Pat: Roger, ¿es bueno que sepas Cálculo, verdad? Math Girl: Mi aparato epsilon-delta me dice que si el tiempo es menor que 1.0024, entonces la distancia vertical entre el carrito y el agujero es menor que 0.15. Deprisa, necesitamos coger el trozo perdido de nuestra recta real de recambio. Pat: ¡Hagamos rock and roll! Gemelo 1: Hey,  hermanita, ¿ves ese agujero? ¿No ves que no hay nada allí? Gemelo 2: ¡Tienes razón! Zero!: ¿Cómo osáis eliminar mi discontinuidad? ¡Volved con Math Girl! ¡Os las veréis con lo último de Zero!! BigMath: Gracias, Math Girl y Pat. Vuestro súper conocimiento del Cálculo ha salvado a mis gemelos y ha neutralizado el malvado plan de Zero! ¡Niños, yo estaré ocupado cuidando de Calculópolis, pero lo sois todo para mí! Si hubierais estado en clase y prestado más atención …. Gemelos: … hubiéramos sabido que no es posible dividir por cero. Lo sentimos, papá. No deberíamos haberlo hecho. Math Girl, ¿podemos dar una vuelta en tu bicicleta de aire? Math Girl: ¡Desde luego! Pat: Os llevaremos de vuelta a la clase de matemáticas. Comentarios y Discusión Al igual que sucediera en el primer episodio, se nos facilita el número de habitantes de Calculópolis, observando que ha aumentado considerablemente (55000 millones frente a los escasos 42 del capítulo previo). En realidad lo único que parece pretenderse (se me ocurre a mí, no lo he visto escrito en ninguna parte) es incluir números o fechas de unas características concretas. En este caso aparecen el número trascendente π, el 10 (base de nuestro sistema de numeración), las funciones exponencial, logarítmica (ln 2), raíz cuadrada y potencial cuadrática, el irracional √2, el año de producción del episodio (2006), el año de nacimiento de Gauss (1777; a este matemático alude BigMath en su primer comentario), y además del 2 el número primo 229 (2006 – 1777). No se me ocurre otra explicación acerca de esta cantidad. Respecto a matemáticos ilustres, se mencionan aparte del citado, a Cauchy (dando nombre a un Café), y Newton y Leibniz, (designados como los creadores del Cálculo; quizá sea mucho decir, sin restarles mérito alguno por supuesto, pero el propio Newton reconoce la labor de sus predecesores en este asunto en la famosa frase que todos recordaréis. Lo digo porque tratándose de un cartoon didáctico, la afirmación no resulta demasiado rigurosa). Obviamente se invoca a éstos puesto que el asunto a resolver se enmarca tradicionalmente dentro de esta rama de las Matemáticas. Un nuevo personaje aparece en este episodio: el malvado Cero Factorial (0!). Ciertamente a cualquier estudiante o persona que se acerque a las matemáticas, le choca el convenio 0! = 1 conocida la definición del factorial. Recordemos que el factorial de un número natural n es el número que resulta de multiplicar n por todos los números naturales menores que él (esto es, n! = n(n–1)(n–2) …. 3 · 2 · 1). Su utilización es imprescindible en combinatoria y probabilidades. ¿La razón? El factorial de n expresa el número de formas distintas en que pueden colocarse n objetos (recuérdese también que esto es calcular el número de permutaciones que pueden realizarse con esos objetos). Pero, ¿por qué 0! = 1? De lo dicho, no parece que tenga mucho sentido plantear el factorial de cero, puesto que no hay ningún número natural menor que cero (según qué autores el cero no se considera natural, sino entero; a mí siempre me definieron al uno como el primer natural, y así lo considero y explico, ya que, a mi entender y valga la redundancia es lo más “natural”). Muchas expresiones en las que aparecen los factoriales se definen de manera recurrente, es decir, teniendo en cuenta los valores previos. Por ejemplo, n! = n (n–1)! Al ir a calcular 1! nos aparece 0! (salvo que tomemos la expresión para n > 1). Si no convenimos que 0! = 1, no obtenemos el 1! Y sin este tampoco podemos calcular 2!, etc., etc. Por tanto parece razonable utilizar ese convenio que pone en marcha todo el proceso. Esto se entiende perfectamente cuando queremos introducir estas fórmulas en un lenguaje de programación. Martin Gardner, dedica el cuarto capítulo de su Mathematical Magic Show (Festival Mágico-matemático, en castellano, editado por Alianza Editorial) a comentar algunas curiosidades factoriales. De allí os propongo la siguiente cuestión que me ha resultado llamativa: Platón, en el Libro V de sus Leyes, propone que 7! (= 5040) es el número ideal de habitantes de una población, ya que ese número admite 60 divisores diferentes, cantidad interesante desde el punto de vista de posibles repartos, divisiones, etc. Sin embargo no es el número de cuatro cifras con mayor número de divisores. ¿Cuál sería ese número? ¿Y con cinco cifras? La forma razonable que se me ocurre para dar respuesta a estas cuestiones pasa por hacer un pequeño programita que nos de la respuesta, pero si a alguien se le ocurre otro modo menos pedestre, que nos lo cuente. Otra expresión curiosa y útil con los factoriales es la conocida como fórmula de Stirling (en honor al matemático escocés James Stirling, 1692 – 1770, aunque al parecer fue Abraham de Moivre el primero en publicarla, en 1730, en su forma casi definitiva, con demostración incluida. Stirling publica algunos meses después una mejora de la fórmula con un desarrollo asintótico con cinco términos. De Moivre y Stirling eran buenos amigos, y conocer las contribuciones exactas de cada uno no es fácil.): Mucho cuidado con el símbolo de aproximación que probablemente más de uno meterá la pata. Las dos expresiones que aparecen separados por ese símbolo son valores que tienden a infinito cuando n tiende a infinito. Esa aproximación simplemente indica que ambos infinitos son equivalentes, es decir que lo cual es extremadamente útil en el cálculo de algunos límites en los que interviene el factorial. Pero ese comportamiento similar “cuando n es lo suficientemente grande” como se indica en muchos sitios, no implica que aproxime como desearíamos el factorial de un número concreto. La fórmula de Stirling también se escribe como ln n! ~ n ln n – n (es fácil ver que es la misma expresión que la mostrada arriba tras tomar exponenciales) El factorial de n puede generalizarse a cualquier número real positivo mediante la Función Gamma La notación Γ fue ideada por Adrien-Marie Legendre (1752 – 1833). La función Gamma aparece en funciones de distribución de probabilidad, por lo que es bastante usada tanto en probabilidad y estadística como en combinatoria. Entre sus propiedades citaremos que verifica la ecuación funcional  Γ(n+1) = n Γ(n) (obsérvese que esta propiedad es precisamente la que define el factorial para valores naturales) y que está estrechamente relacionada con otra función esencial del Análisis Matemático, la función zeta de Riemann, ζ(s): donde , para s > 1, es dicha función zeta. A la derecha podéis ver el aspecto que presenta la función gamma en el plano complejo. Por otro lado, el sabotaje que ha preparado Cero Factorial en la montaña rusa es la supresión del valor en  t = 0 de la función Cuando se trabaja o estudia en cursos universitarios, uno ya está habituado a considerar como infinitésimos equivalentes el sen x y x en un entorno de x = 0. Quizá sea pertinente recordar cómo se llega a dicha equivalencia utilizando únicamente argumentos trigonométricos: Consideremos la circunferencia de radio unidad (en la gráfica OM = OA = 1). Sea x el ángulo MOB, donde 0 < x < π/2. En la gráfica se observa que Área triángulo MOA < área sector MOA < área triángulo COA Calculemos estos datos Área triángulo MOA = ½ OA · MB = ½ sen x. Área sector MOA = ½ OA · arco(AM) = x/2. Área triángulo COA = ½ OA · AC = ½ tan x. Rescribiendo la desigualdad, tenemos sen x < x < tan x. Si dividimos por sen x la desigualdad, se tiene que Tomando inversos, Dichas desigualdades se han obtenido para  x > 0. Cambiando x por (–x), y teniendo en cuenta la paridad del seno y el coseno (es decir, que sen (–x) = – sen x, cos (–x) = cos x), se concluye que las desigualdades anteriores también son ciertas para x < 0. (Pregunta: ¿Por qué era necesario comprobar esto?). Tomando límites cuando x tiende a cero en dichas desigualdades, se concluye que el límite buscado es 1. Por lo tanto, la discontinuidad es evitable, y se soluciona el problema de la montaña rusa, volviendo a definir correctamente f(0). Uno puede pensar que Cero Factorial anda un tanto escaso de recursos, pero preparar una discontinuidad de otro tipo en la función le llevaría más trabajo (tendría que romperla, y eso se notaría antes de poner en marcha la atracción). De todos modos parece una situación un poco siniestra para ser mostrada como recurso didáctico, ¿no os parece? Los pobres niños sólo se han pirado una clase un día. En fin, no afinemos más que podemos llegar a peores conclusiones aún. Finalmente, MathGirl emplea un artilugio que he traducido por “mecanismo epsilon-delta” (epsilon delta device en la versión original) para aplicar la definición de límite. Recordemos que esta definición indica que “ Para cada ε>0, existe un δ>0 tal que si  0 < |t| <  δ, entonces |sen t / t – 1| < ε ” En el episodio ni siquiera tienen que encontrar el δ que hace falta en función de un ε dado para verificar la condición de límite. Simplemente si t < 1.0024, entonces |sen 1.0024 / 1.0024 – 1| < 0.15. Vamos, que una simple calculadora también lo haría. Ya veremos si en otros capítulos tiene alguna otra característica más relevante. Aprovechando la inclusión de esta función en el argumento del dibujo animado, y dado que teóricamente está orientado a alumnos universitarios, se me ocurre que podrían haberle sacado un poco más de partido, planteando por ejemplo alguna historia relacionada con la integral impropia obteniendo ese valor (hay que pasar a argumentos de integración de Lebesgue), o probar que no es de Lebesgue, etc. La integral de Lebesgue (Henri Lebesgue (1875 – 1941) es una extensión de la clásica integral de Riemann, que permite integrar funciones más generales, y hacerlo en mayor variedad de conjuntos que los intervalos cerrados y acotados [a, b] de la recta real (en conjuntos medibles; aquí entronca con la teoría de la medida, aunque esta integral puede estudiarse perfectamente sin salirse del terreno del Análisis clásico). En la integral de Lebesgue se verifican más resultados de convergencia que en la integral de Riemann. El más importante es seguramente el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue que no se cumple en integrales de Riemann. En fin, otra vez, será.

Jueves, 01 de Enero de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

89. 38. Un poco de Álgebra Homológica

Conviene de vez en cuando volver a echar un vistazo a algunas películas del pasado. A veces encontramos algunas sorpresas. Pero también en algunas muy recientes sigue apareciendo algún que otro matemático. En esta ocasión recordaremos Ahora me toca a mí (It´s my turn, Claudia Weil, EE. UU., 1980), que desde luego no pasará a la posteridad como una de las mejores películas de la historia, cinematográficamente hablando, pero sí merece un lugar muy destacado en cuanto a las matemáticas que encierra. La película no es muy conocida, ha sido pocas veces emitida por televisión, es difícil de localizar, y en conjunto, como acabo de comentar, es más bien mediocre, pero es la única en la que se enuncia completamente un teorema y se demuestra con todo detalle, al punto de haber sido referenciada por textos específicos de álgebra homológica. Jill Clayburgh interpreta a Kate Gunzinger, una profesora universitaria de matemáticas un tanto despistada y avasallada por casi todo el mundo que decide en un momento dado tomar sus propias decisiones harta de tener que ceder siempre (de ahí el título de la película). Vayamos con las escenas que nos interesan. Paralelamente a los títulos de crédito y al padecimiento de una de las bandas sonoras más machaconas y omnipresentes que jamás hayamos oído, Kate se dirige a una de sus clases en la Universidad. Se le caen algunas cosas al suelo, vuelve sobre sus pasos como si se le hubiera olvidado algo..., detalles que definen a una persona bastante insegura y serán constantes a lo largo de todo el metraje. En la siguiente escena aparece en un aula explicando la demostración del conocido como lema de la serpiente de álgebra homológica en una pizarra frente a un reducido grupo de alumnos. Uno de ellos, Stanley Cooperman, el listillo de la clase, no hará otra cosa que levantar la mano para mostrar su desacuerdo (y hacerse notar) e interrumpirla sin dejarla prácticamente hablar con comentarios fuera de lugar. Reproduzco el diálogo que mantienen en la versión doblada al castellano (en el libro Las matemáticas en el cine, Proyecto Sur de Ediciones 2006, aparece también la versión original en inglés del mismo): Kate: Dejadme mostraros cómo construir la aplicación S que es lo más divertido del lema. Supongamos que tenemos un elemento en el Ker γ, es decir, un elemento en C, de modo que γ lo lleva a cero en C’. Podemos volver a B vía la aplicación g que es suprayectiva. En ese momento se produce la primera interrupción de Cooperman (en la foto el alumno que se ve de espalda). Cooperman: ¡Un momento, un momento! No es la única solución. Kate prosigue su explicación como puede. Kate: Lo es, Sr. Cooperman, (enlazando con la explicación anterior)…hasta llegar a un elemento en la imagen de f, ¿de acuerdo? Entonces volvemos a un punto fijo b aquí (señala a B). Tomando β de b, llegamos a cero en C’ por la conmutatividad del diagrama. Está por tanto en el núcleo de la aplicación g’ (el alumno hace gestos negativos con la cabeza), y por ello en la imagen de f ’ por la exactitud de la sucesión inferior ... Cooperman: ¡No! Kate: ...podemos retroceder... Cooperman: ¡No! Kate: ...a un elemento de A’... Cooperman: ¡No está bien definido! Kate: Está bien definido gracias a la imagen de α. Y define un elemento en Coker α. Esta es la serpiente (dibuja una flecha en el diagrama, desde Ker γ hasta Coker α). Y el lunes, si les parece bien, apagaremos la teoría de grupos y las consiguientes objeciones del Sr. Cooperman (levanta la pizarra, los alumnos se van y se queda sola con Cooperman recogiendo sus libros y ella limpiándose las manos y colocándose unas pulseras en sus manos). Cooperman: Todo esto no son más que chorradas; parecen mapas de carreteras. ¿Cuándo vamos a hacer algo interesante, como su particular teoría de grupos? ¿Algún progreso en su nuevo proyecto? Kate: (sonriendo forzadamente) No; estoy estancada. Cooperman: Quizá con su método no sea posible llegar a una solución definitiva. Kate: (un tanto perpleja) ¿Usted cree? Cooperman: Yo lo estoy intentando desde un ángulo totalmente nuevo. Y si da resultado, ....., seré famoso. Kate: Eso sería fantástico, me escalofría pensarlo. Yo sería famosa por haberle enseñado (cada uno sale por una puerta diferente del aula) ¡Gilipollas! (en voz baja). Si la película fuera española y ese fuera el diálogo, estaríamos de acuerdo con Cooperman, ya que en el doblaje se han omitido unas cuantas palabras clave en la demostración del resultado. Sin embargo en la versión original está perfecta y claramente descrito. Describamos el resultado desde el principio y su correspondiente demostración: Lema: Se considera el siguiente diagrama conmutativo en una categoría abeliana donde las filas son sucesiones exactas. Existe entonces una sucesión exacta 0 → Ker α → Ker β → Ker γ → Coker α → Coker β → Coker γ → 0. Notas: 1.- La categoría de la que se habla en la película es la de grupos abelianos, pero el resultado es igualmente válido para módulos sobre un anillo, o para espacios vectoriales sobre un cuerpo. 2.- Recordemos (aparece también en la pizarra de la película en un margen) que una sucesión 0 → A  B  C → 0 es exacta si, y sólo si, la imagen de cada una de las cuatro aplicaciones coincide con el núcleo de la siguiente. De esta condición se deduce que la sucesión es exacta, si y sólo si, f es inyectiva, g es suprayectiva y g induce un isomorfismo de Coker(f) = B/f(A) sobre C. Las aplicaciones entre los núcleos y los conúcleos se inducen de manera natural de las aplicaciones horizontales gracias a la conmutatividad del diagrama. La exactitud de esas dos sucesiones inducidas se sigue de forma directa de la exactitud de las filas del diagrama original. El punto importante del lema es cómo conectar el Ker γ con el Coker α (a esa aplicación la llamaremos S). Repasemos la demostración. Sea x∈Ker γ ⊆ C. Como g es suprayectiva, existe un b∈B tal que g(b) = x. Por la conmutatividad del diagrama (g’ · β = γ · g), g’(β(b)) = γ(g(b)) = γ(x) = 0 (porque x∈Ker γ), o sea que β(b)∈Ker g’. Como la sucesión inferior es exacta, Ker g’ = Im(f ’), es decir, existe y∈A’ tal que f ’(y) = β(b). Se define entonces S(x) = y + Im α. Queda para el lector interesado la prueba que tanto demanda el alumno Cooperman, es decir que S está bien definida (o sea que S(x) sólo depende de x y no de las elecciones de b y de z), y las demostraciones de que S es un homomorfismo y que la sucesión resultante es exacta. En ningún caso es demasiado complicado; basta tener un poco de paciencia para escribirlo todo correctamente. Hace años el álgebra homológica no era una materia atractiva: demasiado formalismo, aburrida y poco útil para todos aquellos que no se dedicaran a la topología algebraica. Hacia 1958 esta actitud cambió cuando Serrre la utilizó para la caracterización de anillos regulares locales y utilizó este criterio para demostrar que cualquier localización de uno de estos anillos es asimismo regular (hasta entonces sólo se conocían casos particulares). Casi a la vez se logró demostrar (Auslander y Buchsbaum) que todo anillo regular local es un dominio de factorización única. Con el tiempo, al ampliarse el campo de aplicación del álgebra homológica, ésta se ha ido convirtiendo en una parte necesaria dentro de la formación de los licenciados en matemáticas, aunque su enseñanza sigue siendo dificultosa para el profesor por la pesadez de sus definiciones y la escasez de sus aplicaciones. Esta situación es la que trata de reflejar esta escena de la película que, justo es reconocerlo, está perfectamente documentada. Charles A. Weibel, profesor de la Universidad de Rutgers en su libro An Introduction To Homological Algebra, cuya segunda edición fue publicada en octubre de 1995 por Cambridge University Press, afirma al describir en el libro este resultado que “no se incluye la demostración del teorema de la serpiente porque lo mejor es visualizarla. De hecho, una prueba bastante clara es la mostrada por Jill Clayburgh al inicio de la película “Ahora me toca a mí”. En internet, dicha secuencia puede verse (en inglés) en el enlace www.math.harvard.edu/~Knill/... En los EE. UU. se comercializan gorras, jarras, camisetas, relojes, pins y demás merchandising con dibujos relativos a teoremas varios (no deja de ser un modo de recordarlos). A modo de ejemplo véanse los modelos para el lema de la serpiente y el de la mariposa de Zassenhaus, ambos de álgebra homológica: Al llegar a casa, Kate le cuenta a su compañero Homer (Charles Grodin) el incidente con el alumno. Él es un arquitecto muy atareado tanto con su trabajo como con sus deberes de custodia temporal de sus hijos (está divorciado), y no le hace mucho caso. En la cama, un poco más relajados, Kate garabatea demostraciones matemáticas en la parte de atrás del sobre de una carta (esto de resolver o pensar problemas de matemáticas en cualquier espacio libre del papel que se encuentre más a mano, por pequeño que sea en lugar de ir a buscar un folio en condiciones, seguramente os resultará familiar). Su compañero le sugiere que lo deje, a lo que ella, pensando en lo suyo, le contesta que alcanzaría una consideración similar a Euclides o Newton si lograra resolver el problema que se trae entre manos. (Nada menos que el de la clasificación de los grupos simples). Ella misma añade a continuación: “¡Claro que Newton hizo sus descubrimientos a los 22 años!”. (Tema muy discutido y un tanto polémico: son muchos los que piensan que, salvo raras excepciones, ningún matemático descubrirá nada relevante pasados los treinta años de edad. Las medallas Fields sólo se conceden a menores de 40 años) Lo cierto es que Kate tiene además dos problemas añadidos: decidir si aceptar un trabajo administrativo en Nueva York mejor pagado que sus clases, y asistir a la boda de su padre con una mujer que no le cae nada bien. Finalmente se desplaza allí para cumplir con ambos cometidos. A la salida de la entrevista de trabajo, charla con los matemáticos que le han informado sobre el mismo. Uno de ellos le confiesa la admiración que siente por su tesis doctoral y la pregunta si ha avanzado algo en sus investigaciones. Conocida la respuesta, este profesor la confiesa, “me volví loco con la teoría de grupos”, y a continuación le dejan bien claro que si acepta el trabajo que la proponen, no pueden garantizarla tener tiempo para proseguir con sus investigaciones. Horas después, Kate asiste a una cena familiar previa a la celebración de la boda de su padre, en la que se presentan los familiares y amigos más allegados. Llega tarde, y para no variar, tropezándose y metiendo la pata en algunos momentos. Su padre la presenta a los demás con orgullo como uno de los mejores expedientes de su promoción: “Consiguió matrícula de honor en todos los exámenes preuniversitarios excepto en geometría plana. Su tesis tenía que ver con los conjuntos esporádicos”. (De nuevo una traducción incorrecta: el original dice claramente “grupos esporádicos”). A renglón seguido, Jerome (Charles Kimbrough), un psiquiatra bastante repelente, se interesa, más por morbo que por otra cosa, por la razón por la que no tuvo matrícula en geometría plana. Kate responde: “En el problema había que calcular el área de un patio alrededor de una piscina y apliqué el método correcto, pero coloqué el patio dentro de la piscina (Risas de ella y sonrisita forzada de Jerome). Eso no me ocurriría ahora. Vivo con un arquitecto”. Como en otrtas ocasiones vuelve a aparecer el manido tópico que coloca a los matemáticos como buscadores de la solución perfecta que no sirve para nada. De vuelta a casa, después de un romántico fin de semana con el hijo de su madrastra (un joven Michael Douglas), un destacado jugador de béisbol retirado por una lesión, se encuentra con Homer, que lleva a sus hijos a casa de su ex mujer. Uno de ellos al ver a Kate le dice, “El número primo, ¿no es aquel que sólo puede ser dividido por sí mismo y por la unidad?” Kate le va preguntando sucesivamente si el 2 y el 3 lo son, respondiendo el niño afirmativamente. Al llegar al 4, el niño lo niega porque “es 2 por 2”. Todo ello, mientras su padre va arrastrándolo hacia el coche. Finalmente, al día siguiente, el pesado alumno Cooperman asalta a Kate nada más aparecer por el campus Cooperman: ¿Ha hecho algún progreso? Kate: Creo que me equivoqué en cuanto al enfoque. Tengo unas ideas nuevas sobre el proyecto. Cooperman: ¿Se refiere a la transición del punto cero al punto G? Kate: Sí, en el caso más sencillo. Cooperman: Sí, quizá funcione. Es posible que la clasificación desaparezca. Enseguida llegará al cociente. Es inmediato. (muy alterado) Demuéstremelo. Kate (con prudencia): Es sólo el principio. Lo difícil será demostrarlo. Dejando aparte, lo críptico de estas últimas afirmaciones, lo curioso es que en el año de producción de la película, 1980, el problema del que hablan de la clasificación de grupos simples no estaba resuelto, pero al poco, en 1985, se consiguió, mucho antes de lo que se esperaba. El asesoramiento matemático de la película corrió a cargo de Benedict H. Gross (no aparece en los títulos de crédito), profesor de la Universidad de Harvard, especialista en teoría de números, responsable junto a Don Zagier del teorema de Gross-Zagier acerca de L-funciones sobre curvas elípticas. Así pues su labor de documentación no sólo fue excelente sino premonitoria. El teorema de clasificación establece cinco tipos diferentes para cualquier grupo simple finito, entre los que están los grupos cíclicos de orden primo, algunas clases de grupos de Lie y los grupos esporádicos (de los que existen 26 variedades), de los que habla la película. Este teorema contiene unos 100 teoremas individuales y su demostración completa ocupa 15.000 páginas por lo que se le conoce también como el teorema enorme. Y no son nada gratuitas las afirmaciones de los protagonistas sobre la importancia de su deducción, ya que el papel que desempeñan los grupos simples en teoría de grupos, es similar al de los números primos en teoría de números. Cualquier número natural tiene una factorización única en producto de números primos; cada grupo finito puede representarse como producto de un subgrupo normal por un grupo cociente. Así, es posible construir grupos finitos a partir de grupos simples. Por eso el objetivo prioritario de la teoría de grupos finitos fue durante mucho tiempo el dar una clasificación completa de los grupos simples. Puede parecer extraño que una rama tan abstracta de las matemáticas haya sido elegida como referencia en una película, pero no es un caso único. En Antonia (Antonia´s Line, Marleen Gorris, Holanda, 1995) también el álgebra nomológica es la protagonista de una escena, y curiosamente, también la película está dirigida por una mujer, y también la protagonista que estudia esa materia es del sexo femenino. ¿Hay mas mujeres que hombres dedicándose a esa rama? ¿Simples casualidades? Hala, este mes hemos dado con nuevos enigmas para que los “amantes del misterio” investiguen y rellenen folios y programas radiofónicos y televisivos. Asuntos más recientes Hace unos días se ha estrenado Revolutionary Road, (Sam Mendes, EE.UU. y Reino Unido, 2009) presentada como el retorno de la archifamosa pareja Di Caprio-Winslet. En este caso, la película tiene pinta interesante (aún no la he visto), al menos no tan almibarada como la del Titanic. Uno de los protagonistas esenciales es John Givings (interpretado por Michael Shannon, el de la foto) que encarna a un matemático un tanto desequilibrado (¡cómo no!) pero que es el único (y por ello el público se identifica mucho con su personaje) que se muestra sincero con la pareja protagonista y que les hace ser conscientes de la verdadera realidad de entre todos los hipócritas aduladores que forman parte de su vida. No hace mucho, en El buen alemán (The Good German, Steven Soderbergh, EE. UU., 2006), otro matemático no menos atormentado, era el origen de parte de la intriga que surgía en el Berlín de finales de la II Guerra Mundial. Pero en ninguno de los casos aparece matemática alguna, sólo un personaje que personifique un determinado rol. Estos comportamientos distan mucho de la información que aparece en un reciente informe realizado en los EE. UU publicado en enero en el Wall Street Journal. en la que se considera la profesión de matemático como la mejor de entre una lista de unos doscientos oficios y ocupaciones. En el enlace podéis leerlo. Recordaros finalmente que cualquier petición, sugerencia, crítica o comentario a esta sección podéis hacérmelo llegar a la dirección electrónica que aparece abajo y con mucho gusto trataré de darle cumplida respuesta.

Domingo, 01 de Febrero de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

90. 39. La chica matemática (3)

Terminamos con la, por el momento, trilogía de Math Girl, aprovechando que el día de Pi (14 de Marzo) está cerca. Además nos introduce una formula que puede resultar curiosa y desconcertante. Finalmente os recomendamos una web desde la que podéis ver los capítulos de una educativa serie: DIGITS. El capítulo se encuentra en versión original en http://www.youtube.com/watch?v=mTomRm23KKs&feature=related. La sinopsis del argumento es la siguiente: En Calculopolis se preparan para celebrar el día dedicado a Pi inaugurando una fuente que vierta continuamente dígitos de Pi. El malvado Cero Factorial tratará de sabotear tan loable artilugio. Como el capítulo anterior, la producción corre a cargo del Interdisciplinary Research in Mathematics and Computational Sciences Centre (IRMACS) de la Universidad Simon Fraser. Lo vemos y después lo comentamos. Episodio 3.- ¡Racionaliza Esto! (Rationalize This!, 2007). (Duración: 6:33). Big Math: ¡Hola, Math Girl! ¡ Hola, Pat! Math Girl: ¡Hola, Big Math! Habrás recibido nuestro mensaje hace un instante. ¿Qué sucede? Big Math: En menos de una hora, tendré que inaugurar la fuente de PI como parte del Memorial dedicado al Matemático Desconocido. Todos los habitantes de Calculópolis están preparados para el gran momento. Pero estoy muy preocupado puesto que no he visto a ningún cero internacional. Puede que intenten sabotear la celebración de algún modo. No confío en ellos y nadie sabe dónde están. Math Girl, ¿podrías localizarlos? Math Girl: Creo suponer quien está en el núcleo de todas estas transformaciones. Echaremos un vistazo para tratar de localizarlo. Pat: ¡Debemos darnos prisa, Math Girl! No quisiera perderme el momento en el que los dígitos de Pi salgan de la fuente. Math Girl y Pat: ¡Invocamos el poder de Newton y Leibniz, los creadores del Cálculo! Ambos aparecen ante la entrada de un lugar en el que tiene lugar un mitin: Math Girl: Pat, ¡Mira la entrada! ¡Mira las paredes! Cero!: ¡Por vosotros, amados ceros! ¡Vuestro momento ha llegado! ¡La Historia tendrá que ser re-escrita desde hoy! ¡Y es sólo el principio! Convertiremos Pi en 3.14. ¿Irracional o demostrar que es irracional? Los Caulculopolitas esperan un nuevo monumento que les suministre una cadena sin fin de dígitos de Pi, pero, sorpresa, sorpresa. Después de 3.14 no verán más que a vosotros, mis queridos hermanos ceros. Habéis tenido que esperar mucho tiempo para encontrar vuestro lugar en el nuevo orden de Pi, pero sed pacientes. Los hermanos ceros prevalecerán y ¡convertirán Pi en racional! MathGirl: Esta máquina que ves parece controlar ese ejército de ceros. Mira estos dos botones. Seguro que uno de ellos los detiene pero ¿cuál? Pat: ¡Espera! Mira lo que había en el suelo cuando entramos. Se le debió de caer del bolsillo a algún cero después de escribirlo. Dice: El bit quinto trillonésimo de Pi para abortar. ¡Vaya! Calcular ese número de dígitos nos llevará toda la vida. MathGirl: No necesitamos calcular todo eso. Mi dispositivo BBP puede resolverlo fácilmente. ¡En el nombre de Bailey, Borwein y Plouffe, necesito el bit quinto trillonésimo de Pi, y lo necesito rápido! Pat: Ahora recuerdo. La fórmula BBP proporciona el cálculo del enésimo dígito de Pi sin tener que calcular los dígitos precedentes. MathGirl, eres increíble. MathGirl: Mira, Pat. El dispositivo BBP me da cero como respuesta. Pat: ¡Excelente! Presiona el botón del cero. MathGirl: No, espera. Seguro que es un engaño. Ya sabes como piensa ese retorcido Cero. Tenemos que pensarlo bien, especialmente viendo ese ejército de ceros. Debemos presionar el uno. Pat: O.K., MathGirl. Lo que tu digas. MathGirl: ¡Mira! ¡Lo logramos! Cero!: MathGirl, ¿cómo lo averiguaste? ¡Has detenido mi amado ejército de ceros completamente! ¡Has destruido mis planes otra vez! ¡Sabes que nunca abandonaré! ¡Nunca! Conseguiré vengarme, MathGirl. ¡Volveré! BigMath: Lo has logrado de nuevo, MathGirl. Ahora podremos relajarnos y disfrutar de este hermoso día de Pi.. MathGirl (a nosotros): Sed bienvenidos. Disfrutamos resolviendo problemas como éste. Después de todo, las Matemáticas son hermosas, excitantes y divertidas. Comentarios y aclaraciones De todos es sabido que los norteamericanos tienen algunas costumbres peculiares. Una de ellas es la celebración de dos días dedicados al número PI (No os estoy tomando el pelo; podéis mirar en la red). Uno es el día de PI, el 14 de Marzo (por aquello de 3.14, donde el primer dígito indica el mes y los dos siguientes el día. Y la fiesta da comienzo a las 1:59:26 pm., por lo de 3.1415926) y el día de la aproximación de PI, el 22 de Julio (por lo de 22/7, una de las aproximaciones más antiguas de Pi). A veces también se celebra en otras fechas: El 10 de Noviembre: El día 314 del año (el 9 de Noviembre en años bisiestos). El 21 de Diciembre a la 1:13 pm. : El día 355 del año (el 20 de Diciembre si el año es bisiesto) y el 113 de la hora es la conocida aproximación china 355/113 con seis decimales correctos al número Pi. El primer día de PI tuvo lugar en el San Francisco Exploratorium en 1988. La celebración  consistió en un desfile del personal del centro alrededor de uno de sus espacios circulares a los que se sumó abundante público. Después se procedió a la degustación de pasteles y tartas de fruta (recuérdese la similar pronunciación en inglés de Pi y pie (tarta)). El Exploratorium es un museo de la ciencia público, situado en el distrito de Marina dentro del Palacio de Bellas Artes de San Francisco, California. Es uno de los museos más populares de San Francisco, que alcanza el medio millón de visitas al año. Lo fundó en 1969 el físico Frank Oppenheimer. El Exploratorium está dedicado a la enseñanza de la ciencia a través de exposiciones con abundante material manipulativo en las que el visitante tiene que realizar actividades por si mismo. Muchos de los materiales que presenta han sido creados por artistas no sólo por científicos y educadores. Desde 1997 ha recibido el Webby Award al mejor lugar de divulgación de la Ciencia en cinco ocasiones. El alma mater de esta celebración fue Larry Shaw, un físico hoy ya jubilado, conocido como “El Príncipe de Pi”, aunque aún tiene moral para participar en estas celebraciones año tras año. Después la idea se fue extendiendo, y otras instituciones se sumaron al evento: el MIT (Massachusetts Institute of Technology), una de las universidades privadas más punteras en investigación del mundo, es una de ellas. Algunos han aprovechado ese día para hacerse notar: el 14 de marzo de 2004, Daniel Tammet calculó y recitó 22514 dígitos de Pi. En la penosa película Nunca me han besado (Never been kissed, Raja Gosnell, EE. UU, 1999), se muestra una de estas fiestas de Pi acompañadas de unos diálogos tan inclasificables como el siguiente. Unos chavales les dicen a un grupo de chicas a las que les gustan las matemáticas: “¿Porqué no jugueteáis con las calculadoras y calculáis cuántas vidas os quedan para ser tías guais?”. La hermandad a la que pertenecen se llama “los denominadores”. Eso sí, aparecen muchas, muchas tartas con las que tratan de sacar un  dinerillo para su fiesta de graduación. Si alguien quiere echar un vistazo a cómo será la celebración de este año, puede pinchar directamente en este enlace. Este año se cumpliría además el 130 cumpleaños de Albert Einstein, que nació ese mismo día, y con toda seguridad harán alguna actividad conjunta. De mayor interés desde el punto de vista matemático es la fórmula de Bailey–Borwein–Plouffe mencionada en el cartoon. (MathGirl usa su máquina BBP). Se trata de un algoritmo que calcula el enésimo dígito hexadecimal (o binario) de Pi sin tener que calcular los anteriores. Su expresión fue dada por Simon Plouffe en 1995 y los otros nombre se añaden ya que el artículo en el que se publicó iba firmado por David H. Bailey, Peter Borwein y Plouffe. En el enlace lo tenéis y es muy interesante para los que trabajen en teoría de números y computación. A los demás no les aburriré contándoles lo que viene en el artículo; simplemente expongo la fórmula BBP: expresión que, haciendo la suma de las fracciones, se expresa como cociente de dos polinomios del siguiente modo: Simon Plouffe trabaja en el Centro de Matemáticas Experimentales y Constructivas, un instituto de investigación de la Universidad Simon Fraser en British Columbia. En la imagen podéis ver el logo del Centro e intentar averiguar que significa. (En el enlace aparece la explicación). Es coautor con Neil J. A. Sloane de la famosa Enciclopedia de Sucesiones Enteras. También fue uno de los records en recitar de memoria los dígitos de Pi (llegó a los 4096 dígitos), como lo atestigua la edición francesa del libro Guinness de los Records de 1977. Hacia 1996 era capaz de memorizar 4400 dígitos de PI aunque nunca ha pretendido superar su propio record: ha preferido mantenerlo en 4096 porque según sus palabras, “es un número redondo” (4096 = 2^12). Sobre la razón de tal ocupación, explica, “era joven y no tenía demasiado que hacer, así que me dediqué a ello. Me gustan los números y Pi me fascina”. Aunque parezca una pérdida de tiempo, ejercitar la mente para memorizar y reconocer números ha ayudado mucho a Plouffe (en la foto) en su trabajo de investigación matemática, que en muchas ocasiones precisa buscar relaciones entre diferentes sucesiones y series numéricas. En la actualidad trabaja en el diseño de un sistema automatizado para identificar patrones numéricos, similar al que realiza el cerebro humano. En varias ocasiones ha explicado cuál fue su método para memorizar tantos dígitos de Pi: manejaba bloques de cien dígitos. Comenzaba escribiendo uno de esos bloques cinco o seis veces en un papel. Después intentaba recitarlos mentalmente. Periódicamente se aislaba en una habitación oscura, sin ruidos, ni objeto alguno (“Como un monje”, comenta). Cuando comprobaba que sabía el bloque, repetía el proceso con el siguiente. Al llegar a 4400 dígitos decidió parar. “Podría haber seguido indefinidamente, pero llegó a aburrirme”. Dos años después de su gesta, en 1977, la persona que tenia el record previo, memorizó 5050 dígitos. “Sabía que le podía superar”, dice Plouffe, “pero ya tenía suficiente”. En su página personal, http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/, hay un montón de artículos interesantes (y curiosos) sobre esta `peculiar afición, y sobre todo, sobre teoría de números. También podéis entreteneros un rato en la página denominada La inutilidad de PI y sus irracionales amigos. Desconozco en que cifra se encuentra este record actualmente, pero como referencia el 5 de octubre de 2006 se publicó que Akira Haraguchi, un psiquiatra japonés y ejecutivo de varias empresas de 60 años, necesitó 16 horas para recitar de memoria los primeros 100.000 dígitos de Pi, batiendo su propio record de 83.431 cifras establecido en 1995. Cada una o dos horas, se tomaba un pequeño descanso de 5 minutos en los que comía unas bolitas de arroz. Todo fue registrado en video para posteriormente ser enviado al libro Guinness para su autentificación. Para los más marchosos, hay un video clip musical de "Weird Al" Yankovic, (humorista y cantante estadounidense, famoso por sus sarcásticas canciones sobre la cultura popular que parodian canciones específicas de artistas musicales contemporáneos), con una canción titulada White & Nerdy, en la que el protagonista es el freaky de la imagen de la derecha. Volveréis a comprobar, si tenéis la paciencia de verlo, cómo se cataloga en según que sectores sociales a matemáticos, ajedrecistas, informáticos, físicos, etc. En 2002, matemáticos de la Universidad de Tokio ayudados por un superordenador establecieron un nuevo record mundial de dígitos de Pi en 1.24 trillones de decimales. Volviendo al contenido del capítulo de Math Girl propiamente dicho, no hay mucho que decir salvo que todo es como de encefalograma plano. Los Calculopolitas pretenden inaugurar una fuente que esté suministrando continuamente los dígitos de Pi, lo cual la convierte en una inutilidad total que perfectamente podría dar dígitos al azar, porque salvo en el momento de la inauguración, nadie reconocería a Pi. O a lo mejor tiene un botoncito para que manen los dígitos a gusto del caminante (es decir, con un chorro finito) en cuyo caso basta almacenar unos cientos de dígitos. Por otro lado, la máquina que controla al ejercito de ceros sólo tiene dos posiciones para detenerla (son dígitos binarios, es decir, cero o uno). ¿Y para eso necesitan calcular el bit quinto trillonésimo? ¿Y el malvado cero factorial se asombra de que ha podido parar la máquina? En fin, demencial total. Seguimos defendiendo que cualquier medio es interesante y útil para divulgar aspectos matemáticos y científicos, pero por favor, con unos guiones un poco más trabajados. Para finalizar, os recomiendo que echéis un vistazo a la web DIGITOS del profesor Xavier Berenguer, en la que podéis disfrutar de la mayor parte de los episodios de la serie divulgativa DIGITS, Del Número al Bit, de la que ya hemos hablado ampliamente en otra reseña (Noviembre de 2007). Además para los no catalano-hablantes, Xavier se ha tomado la molestia de escribir el contenido en castellano de esos episodios. En su página hay además otras interesantes propuestas audiovisuales que incluyen animaciones en 3D, CD Roms, etc.

Lunes, 09 de Marzo de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico