71. 20. Aritmética modular para Sawyer, Locke y demás Perdidos

De cómo un conjunto de números aparecido en la serie Perdidos permite introducir a los alumnos en la interpolación polinómica (ver mes pasado) y la aritmética modular. Después la guía habitual de la serie Numb3rs, ahora incrementada por su recuperación en Antena 3 los jueves. Solución a la cuestión planteada a propósito de los números de Lost Recordemos la cuestión planteada hace dos meses: el polinomio interpolador con nodos los números naturales del 1 al 6 e imágenes los valores 4, 8, 15, 16, 23, 42, respectivamente, es decir el polinomio P(x) =  (– 9 x5 + 170 x4 – 1175 x3 + 3670 x2 – 4896 x + 2400) toma valores enteros (P(x) ∈ Z) para cualquier x∈Z (para los no habituados, Z designa al conjunto de los números enteros). Se pide probar (o refutar) esta afirmación. De la media docena de mensajes recibidos (es un alivio saber que hay alguien por ahí), describo la enviada por Alberto Castaño Domínguez, lector habitual de esta y otras secciones de DivulgaMAT, por ser la más concisa y elegante (al menos bajo mi punto de vista). A su razonamiento añado algunos comentarios que intentan acercar la prueba a la inmensa mayoría. Utiliza (como debe ser en un ejercicio de este tipo) congruencias. Supongo que todos conocéis qué es eso. Por si acaso, hagamos un pequeño repaso. Hay muchas situaciones, aplicaciones, problemas, en los que únicamente se está interesado en conocer el resto de la división de dos números enteros. Estas cuestiones las estudia la aritmética modular, y el concepto básico inicial que emplea es el de números congruentes. Dos números a y b son congruentes módulo m si al dividir ambos por ese valor m producen el mismo resto. Se representa así:  a ≡ b mod m. Por ejemplo, 23 ≡  15  mod 4, porque al dividir 23 entre 4 y 15 entre 4 el resto es el mismo, 3. Es fácil probar que a ≡ b mod m, si y sólo si, a-b es un múltiplo de m En matemáticas esto se escribe diciendo que  m|(a-b) (se lee, m divide a a−b, es decir, que a−b dividido entre m tiene resto cero). Diariamente utilizamos las congruencias en muchas ocasiones. Por ejemplo leyendo la hora de los relojes: las 23 horas son las 11 de la noche. El reloj sólo tiene 12 horas, sólo utiliza 12 números, y después de recorrerlos todos, las 13 horas equivale a la 1 de la tarde (o sea 23 ≡ 11 mod 12). La letra del NIF se calcula mediante congruencias. En informática para asignar localizaciones de memoria de un ordenador a los datos que componen un fichero (por ejemplo para asignar claves a los usuarios de tarjetas de crédito, o para localizar los datos de los alumnos de un colegio), se utilizan congruencias. Volvamos a nuestro polinomio. Escribamos su expresión del siguiente modo: −40 P(x)  = 9 x5 - 170 x4 + 1175 x3 - 3670 x2 + 4896 x − 2400 El problema es equivalente a demostrar que el segundo miembro de la igualdad toma siempre valores múltiplos de 40 para cualquier x entero que pongamos. Para que un número sea múltiplo de 40, debe ser múltiplo de 8 y de 5. Pues probemos esto último. Podemos simplificar un poco los coeficientes. 170 = 21 x 8 + 2. O sea que al dividir 170 entre 8 nos da el mismo resto que al dividir 2 entre 8 (es decir, 170 ≡ 2  mod 8), por lo que ¿para qué vamos a trabajar con números grandes? En lugar de 170 pongamos 2 que para lo que queremos ver, da igual. De este modo, repasando todos los coeficientes, tenemos que 9 ≡ 1  mod 8 170 ≡ 2  mod 8 1175 ≡ 7 ≡ − 1   mod 8 3670 ≡ 6 ≡ − 2   mod 8 4896 ≡ 0  mod 8 (o sea 4896 es un múltiplo de 8) 2400 ≡ 0  mod 8  (2400 es un múltiplo de 8, es decir 8 divide a 2400) Entonces en vez de trabajar con el polinomio inicial, podemos trabajar con uno más sencillo: Q(x) = x5 − 2x4 − x3 + 2x2 =  x2 (x3 − 2x2 − x + 2) Finalmente se trata de comprobar que al sustituir x por cualquiera de los ocho valores con los que trabajamos módulo 8, obtenemos un múltiplo de 8. Es decir, Q(0) = 0, Q(1) = 0, Q(2) = 0, Q(3) = 72, Q(4) = 480, Q(5) = 1800, Q(6) = 5040, Q(7) = 11760 Todos ellos dan resto cero al dividirlos por 8 (son múltiplos de 8): 72 = 23·32, 480 = 25·3·5, 1800 = 23·32·52, 5040 = 24·32·5·7, 11760 = 24·3·5·72 Cualquier entero que sustituyamos a continuación sería congruente con estos valores (es decir Q(8) ≡Q(0), Q(9) ≡Q(1), etc.). Por tanto hemos probado que para cualquier entero que utilicemos, el resultado es múltiplo de 8. Utilizamos el mismo razonamiento para demostrar que P(x) es múltiplo de 5 para cualquier x entero que pongamos. Calculemos los coeficientes de P(x) módulo 5: 9 ≡ 4 ≡ − 1  mod 5 170 ≡ 0  mod 5 1175 ≡ 0 mod 5 3670 ≡ 0   mod 5 4896 ≡ 1  mod 5 2400 ≡ 0  mod 5 Ahora el polinomio módulo 5 es  R(x) = −x5 + x R(0) = 0, R(1) = 0, R(2) = −30, R(3) = −240, R(4) = −1020 Todos ellos como veis múltiplos de 5. Por tanto  9 x5 − 170 x4 + 1175 x3 − 3670 x2 + 4896 x − 2400 es múltiplo de 40 siempre (al serlo de 5 y de 8) y por eso toma valores enteros para cualquier entero x que sustituyamos en su expresión. Veo por ahí alguien que levanta la mano y pregunta que porqué no hemos hecho la cuenta una única vez buscando las congruencias directamente con 40 en vez de con 5 y con 8 y así trabajar con un único polinomio. En efecto, se puede hacer, pero piensa un poco. Con el polinomio obtenido debemos después calcular ¡40 valores! Mientras que así, aunque trabajemos con dos polinomios (muy sencillos por otro lado), sólo hemos precisado calcular 13 imágenes. Por muy supersticioso que uno sea, el ahorro de trabajo compensa.  ¿Alguna otra pregunta? No. Pues continuemos…… NOTICIAS 1.- Alex de la Iglesia ha comenzado el rodaje de la película Los crímenes de Oxford, basada en la novela homónima de nuestro compañero y colaborador de DivulgaMAT, Guillermo Martínez. En http://blasfemandoenelvrticedeluniverso.blogspot.com podéis ir leyendo cómo se va desarrollando el rodaje diariamente junto a las reflexiones del director. Entre los actores se encuentran Elijah Word, Sir John Hurt (que encarna al matemático Arthur Seldon), Leonor Watling y Tom Frederic, entre otros. 2.- Desde el jueves 18 de Enero Antena 3 Televisión ha decidido emitir los capítulos de la primera temporada de Numb3rs que no habían programado en un horario más “normal” (23:00). El 18 de Enero pusieron el capítulo 1.8.- Crisis de Identidad y el 25 de Enero el 1.9.- El francotirador. Si todo va como debe ser, el jueves 1 de febrero emitirán el episodio 1.10.- Una bomba sucia, el 8 de febrero el 1.11.- El sacrificio, el 15 el episodio 1.12.- Más allá del ruido y el 22 el 1.13.- La caza del hombre. Sus reseñas las tenéis en el artículo del mes de Abril de 2006. Recordemos que en la primera tanda no emitieron el episodio 1.4.- Fallo de Estructura (que podría aparecer en cualquier momento, o no). Guía de Numb3rs.- Episodios previstos por el canal Calle 13 para este mes Episodio 2.18.- Todo es justo  (All´s Fair). Fechas de emisión: Lunes 5 de Febrero (22:20), Martes 6 de Febrero (17:45), Sábado 17 de  Febrero (21:30), Domingo 18 (15:30). Argumento: Saida es una ciudadana iraquí que va a realizar un documental en los Estados Unidos. Mientras hablaba por un teléfono móvil, es raptada y asesinada el día anterior a mantener una importante entrevista. Previamente había recibido algunas amenazas de muerte. El agente Kareem Allawi se une al equipo de Don para investigar el caso. Mientras, Charlie cena con una antigua amiga, Susan Berry, que se encuentra en Los Ángeles en la promoción de un libro. Ambos parecen llevarse muy bien …. Aspectos Matemáticos: Probabilidad y Regresión Logística, juegos con información incompleta,  Sudokus y Cuadrados Latinos. En este capítulo, el agente Don trata de resolver un crimen en el que el testimonio de varios testigos parece ser falso. Varios testigos indican que tres sospechosos tienen aproximadamente la misma estatura, pero esos valores no concuerdan con el sexo de los mismos. Entonces pregunta a su hermano si hay algún procedimiento matemático que ayude a determinar que declaraciones de los testigos son las correctas. Su hermano propone utilizar una regresión logística. Se trata de un modelo útil cuando se trata de predecir el valor de una variable que sólo admite dos posibilidades (dicotómica). La función de regresión proporciona la probabilidad de que se verifique un suceso y su expresión más común es con α, β, γ constantes. Es un modelo que se utiliza mucho en ciencias de la salud (presencia o ausencia de enfermedad o infección en un individuo), en biología, sociología, etc. La anterior expresión responde a un modelo en una sola variable (volviendo al ejemplo médico, se utiliza un único factor de riesgo como dato), aunque pueden manejarse más variables (xj, j= 1, ..., m), en cuyo caso hablamos de regresión logística múltiple. En otro momento Charlie vuelve a echar mano de la teoría de juegos para analizar las motivaciones y estrategias que determinan que personas pudieran ser las más proclives a cometer un acto terrorista. Utilizando los datos que conocen de cada sospechoso, los hermanos asignan a cada uno una probabilidad de llegar a cometer un crimen. En esta ocasión el modelo a utilizar es el mismo que se emplearía en un juego en el que parte de la información es desconocida o se ha perdido. A pesar de ello, un análisis de la situación puede llevarnos a adoptar decisiones realistas. La utilización de modelos de tipología social se remonta a Auguste Cournot hacia 1838. Los mayores avances en este tipo de modelos fueron logrados posteriormente por John Nash (el de la “mente maravillosa”) y por John Harsanyi (1920-2000). Mientras que Nash basaba sus trabajos en la suposición de que los jugadores conocen las preferencias de los demás, Harsanyi empleó modelos con información incompleta. Éste obtuvo también el premio Nobel de economía en 1994 por el desarrollo de este tipo de situaciones. En un juego con información incompleta, un juego Bayesiano, la cuestión es cómo diseñar y manejar un modelo desconociendo las estrategias de los oponentes. Es una situación similar a la de Charlie y Don en la búsqueda de un terrorista. Harsanyi creía que los jugadores tienen ciertas preferencias y por ello hay una probabilidad subjetiva que podría asignárseles. En el caso del episodio, los terroristas podrían estar sólo interesados en el dinero o quizá actúen movidos por una meta. A modo de ejemplo, pensad en el siguiente juego: dos jugadores lanzan al aire una moneda. Si coincide el resultado (dos caras o dos cruces) gana el jugador A; si no coinciden, gana B. Pero cada jugador decide aleatoriamente si muestra el resultado (juega) o no. ¿Cuál de los dos creéis que tiene ventaja? En otra escena Alan, Charlie y Larry están haciendo un sudoku. Todo el mundo a estas alturas sabe en qué consiste este pasatiempo. Los primeros sudokus aparecieron en mayo de 1979 en la revista Dell Péncil Puzzles and Word Games con el nombre de Number Place. Parece ser que fue el arquitecto jubilado Howard Garns, fallecido en 1989, el autor de este entretenimiento. En 1984 llegó a Japón que lo rebautizó como Sudoku, una especie de acrónimo de la frase “las cifras deben quedar solteras”. Su difusión mundial  se debe a otro jubilado, el juez neozelandés Wayne Gould, residente en Hong-Kong, que escribió un programa informático que genera sudokus automáticamente. Después, ya sabemos, el boom gracias a los periódicos de medio mundo. El precursor del sudoku es el llamado cuadrado latino. Un cuadrado latino de lado n es una matriz de n2 casillas en las que hay que disponer n símbolos de modo que nunca aparezca dos veces el mismo símbolo en una misma fila o columna. Su origen se remonta a la Edad Media, si bien fue Leonhard Euler (1707-1783) el que lo denominó de esta manera y lo analizó. De lado 3 existen únicamente 12 cuadrados latinos, de lado 4 hay 576, y de lado 9, 5.524.751.496.156.892.842.531.225.600. Si eliminamos simetrías, giros y permutaciones de líneas y columnas, el número de cuadrados latinos de lado 9 decrece hasta los 377.597.570.964.258.816, como demostraron Stanley E. Bammel y Jerome Rothstein en 1975. En el sudoku se disponen los dígitos del 1 al 9, por lo que existen menos sudokus que cuadrados latinos. Gracias a los ordenadores se ha establecido que el número total es de 6.670.903.752.021.072.936.960, resultado obtenido por Bertram Felgenhauer de la Universidad Técnica de Dresde, y Frazer Jarvis de la Universidad de Sheffield, comprobando varias veces ese número. En el capítulo Charlie redondea el número diciendo que son 6.7 sextillones (6.67 x 1021). El número es inmenso y difícil imaginarnos su magnitud. Plantearos la siguiente pregunta: ¿Cuál de los siguientes valores creéis que se acerca más a ese número? 1.- El número de segundos que hay en un año. 2.- El número de segundos que hay en 100 años. 3.- El número de seres humanos sobre la Tierra. 4.- La masa terrestre en toneladas métricas. 5.- El número de estrellas del Universo conocido. Parece poco probable que alguien pueda escribirlos todos. En realidad escribiendo uno por minuto, sin parar en 100 años, no lograría escribir un 1% del total. ¡Vamos que ni lo intenten! Por cierto el que aparece en la ilustración dicen que es de los difíciles. Episodio 2.19 – La materia oscura  (Dark Matter) Fechas de emisión: Lunes, 12 de Febrero (22:20), Martes 13 de Febrero (17:45), Sábado 24 de Febrero (21:30), Domingo 25 (15:30). Argumento: En un instituto de Secundaria se producen varios disparos, muriendo varias personas. El equipo de Don tratará de encontrar a los asesinos cuyo comportamiento parece obedecer a las reglas de unos juegos de ordenador. Charlie, que había jurado no volver a pisar un instituto desde que se graduó, tendrá que echar una mano. Aspectos Matemáticos:  Chips de radio frecuencia (RFID) La única referencia relacionada ligeramente con las matemáticas del capítulo es el de la localización de los estudiantes mediante unos chips RFID implementados en sus tarjetas de identificación escolares. Describamos brevemente en qué consisten. Las siglas anteriores corresponden a identificadores por radio-frecuencias (Radio Frequency Identification). Existen básicamente dos tipos de chips de estas características: los activos y los pasivos. Son dispositivos pequeños, del tamaño de una pegatina, que se adhieren a objetos, animales o personas. En el sistema activo el chip incorpora una radio minúscula con sus pilas y su antena. Un administrador del sistema (normalmente unas antenas más potentes que hacen la función de transmisor-receptor) envía en un momento dado una señal al chip (que para ahorrar batería está normalmente apagado) y éste manda datos que el fabricante ha implementado en el aparato (tales como lugar de fabricación, número de serie y otros tipos de identificadores) a través de su propia antena. El administrador recoge estos datos, los registra y almacena. Los chips de este tipo tienen un tamaño aproximado de una moneda y sus rangos prácticos de alcance pueden llegar a los diez metros, siendo la duración de su batería de hasta varios años. En el capítulo cada alumno tiene uno de estos chips en su tarjeta de estudiante en los que además se incluyen sus datos personales. En varios lugares del instituto hay antenas que envían señales a estos chips cada cierto tiempo. Cuando un alumno se encuentra dentro de la zona de influencia de estas antenas administradoras, el chip RFID se enciende y manda sus datos que son almacenados. El elevado número de alumnos y la frecuencia con que se mandan datos (que puede ser cada segundo) constituyen una cantidad impresionante de datos que es sin embargo fácilmente clasificada y analizada por un programa informático. Esto permite conocer donde se encuentra cada estudiante en todo momento dentro de un rango de influencia concreto. Los receptores pasivos no tienen un sistema propio de energía sino que son “alimentados” por la señal transmitida por el transmisor-receptor. Esta señal es una onda electromagnética con capacidad suficiente para activar el circuito del chip que es alterada por la información que contiene y rebotada al receptor.  Estos chips son más baratos (aproximadamente la décima parte del valor de los “activos”). Es previsible que en un futuro no muy lejano todos los objetos tengan un chip de éstos. Es decir, pantalones, zapatos, libros, etc., tendrán un chip en el que constará donde se compró el artículo, cuando y quien lo hizo. Imaginaos: uno entra en una tienda y una voz sintetizada que comience a decir, “Hola, fulanito de tal. Esos pantalones que llevas los compraste hace tres años y va siendo hora de que los cambies. En la planta cuarta está la sección de caballero en la que encontrarás…., y bla, bla, bla”. ¡Qué horror!, ¿verdad? Vayamos a las matemáticas. Supongamos un objeto en el suelo situado en unas coordenadas (x, y). Supongamos que el objeto comienza a moverse. Sus coordenadas camban con el tiempo. Después de t segundos el objeto se encuentra en un punto (x(t), y(t)). Por ejemplo si su posición en el instante t viniera dada por (3t-2, 2t+5), entonces el objeto se está moviendo a lo largo de una línea recta. Al comienzo estaría en el punto (-2, 5) y al cabo de 4 segundos estaría en (10, 13). El camino que recorre el objeto se denomina trayectoria. La descripción de su posición en función del tiempo se llama dar una parametrización. Charlie en el episodio que nos ocupa trata de parametrizar la trayectoria de cada alumno a lo largo del instituto durante los disparos. Utiliza para ello los datos obtenidos por los chips de los carnés de los estudiantes: fija un sistema de coordenadas para cada habitación a partir de un plano del instituto (coloca el origen en un lugar central de cada sala, designa dos pasillos como ejes X, Y), después elige un estudiante cualquiera y toma sus datos del chip desde el receptor que esté más próximo a él en cada momento. Con estos datos, un ordenador calcula las coordenadas del estudiante, lo que da una parametrización de su trayectoria. De forma similar lo hace con el resto de alumnos presentes en cada habitación y posteriormente utiliza un programa de animación que le muestre gráficamente los movimientos de todos los estudiantes a la vez durante el tiempo que duraron los disparos. Con ello trata de localizar y describir los movimientos de los “pistoleros”. En http://es.wikiedia.org/wiki/RFID podéis ampliar la información relativa a este tipo de dispositivos. Episodio 2.20 – Disparos y Rosas  (Guns and Roses) Fechas de emisión: Lunes 19 de Febrero (22:20), Martes 20 de Febrero (17:45), Sábado 3 de Marzo (21:30), Domingo 4 de Marzo  (15:30). Argumento: Una agente del ATF (Siglas correspondientes a Alcohol, Tobacco and Firearms, es decir, se trata de una organización Norteamericana que depende del Departamento del Tesoro, dedicada a estos asuntos, Alcohol, Tabaco y Armas de fuego), Nikki Amstead, aparece muerta en su domicilio en lo que parece ser un suicidio. Su compañero Eric Turner le pide a Don que le ayude a investigar el caso. A Don no parece hacerle demasiada gracia. Conocía a la fallecida demasiado bien… Aspectos Matemáticos: Biomatemáticas: Análisis de ondas sonoras (sónar) y alineación de pruebas de ADN. Producto matricial. Cuando la agente aparece muerta, el sonido del disparo fue registrado por varios instrumentos creando lo que se conoce como “huella acústica” de la habitación y sus ocupantes. De forma análoga a como los murciélagos y otros animales emplean su sónar natural, Charlie será capaz de descubrir a partir de esas grabaciones que algo (o alguien) falta en la habitación. El fundamento del sónar de los submarinos (y los de los animales mencionados) se basa en la medición del tiempo que un sonido tarda desde que se envía hasta que vuelve rebotado. Lo que los humanos hemos desarrollado es muy simple (no es más que estimar la distancia de acuerdo a la velocidad según el medio en el que se emita el sonido, dividiendo el resultado a la mitad ya que el sonido va y viene, y aplicar ciertos valores de corrección) en los animales es mucho más sutil. Los murciélagos emiten ultrasonidos de una duración de uno o dos milisegundos cada uno en una proporción que puede variar de 20 a 60 ultrasonidos ¡por segundo! A una frecuencia que varía entre los 20 – 100 Kilohertzios (un kilohertzio, 1 KHz,  es mil ciclos por segundo). Aunque las comparaciones ya sabemos como son, en este caso es bastante significativa: el ser humano sólo percibe frecuencias entre 20 Hertzios y 20 Kilohertzios, y la frecuencia de la voz humana es de 1 KHz. Además cada especie de murciélago tiene su propia “firma vocal”; de hecho algunos naturalistas son capaces de reconocer la especie de murciélago simplemente oyendo sus chillidos. Otro aspecto relacionado con el eco es el efecto Doppler. Es la variación aparente de la frecuencia de una onda al ser detectada por un observador en movimiento relativo frente al emisor. Christian Andreas Doppler (1803-1853), físico y matemático austriaco, propuso este efecto en 1842. El ejemplo clásico es el del paso de un tren o una ambulancia a nuestro lado: el sonido de la sirena que oímos parece distorsionado según lo lejos o cerca que estemos de dicha sirena. Incluso los murciélagos con sus ultrasonidos perciben este efecto. Cuando un murciélago lanza ultrasonidos para averiguar la distancia a la que está un insecto (para zampárselo), el eco que le retorna está a una frecuencia más alta que la que utilizó al enviarlo si el bicho se está acercando; al contrario si éste trata de escapar. Tal y como se van obteniendo nuevas pruebas, a Charlie cada vez le parece menos verosímil la hipótesis del suicidio. Para aclarar las cosas un poco más, decide utilizar lo que él denomina “test de estrés de Holmes-Rahe modificado”. Este test “mide” el nivel de estrés de una persona a partir de valores obtenidos en situaciones concretas. El resultado es un número. Cuanto más alto es, mayor estrés soporta la persona en su vida. Para explicar cómo funciona alude a las puntuaciones que se dan en los torneos de monopatín: la puntuación dada por los jueces mide la dificultad del salto, la puesta en escena del mismo, etc. Este sistema de puntuación se utiliza también con algunas variaciones en deportes olímpicos como la gimnasia o los saltos de trampolín. Con un ejemplo lo entenderemos mejor. Supongamos que un atleta va a realizar seis ejercicios baremados con un orden de dificultad de 2.3, 3.1, 3.9, 3.6, 2.8 y 3.2, respectivamente. Hay tres jueces que dan las siguientes puntuaciones a cada ejercicio: Juez 1: 5.1, 4.2, 3.9, 5.0, 5.8, 5.2 Juez 2: 5.2, 3.8, 4.0, 4.8, 5.7, 5.4 Juez 3: 4.9, 4.0, 4.2, 4.9, 5.6, 5.6 La nota final de cada juez vendrá dada por el producto de sus puntuaciones por el nivel de dificultad del ejercicio evaluado. Y hacer estas sumas y productos resulta un tanto engorroso. Para facilitar la labor se utiliza el producto matricial. Colocamos los niveles de dificultad en una matriz 1 x 6 (un vector en este caso) y las puntuaciones de los jueces en una matriz 6 x 3 del siguiente modo: Así obtenemos de forma sencilla (en las competiciones reales, lo hace el ordenador o la calculadora) las puntuaciones totales de cada juez. Todo se basa en una eficaz disposición de los datos. Un ejemplo curioso para mostrar a los alumnos una aplicación de las matrices. Volviendo al test de estrés. Se pide al paciente que rellene un formulario en el que aparece una lista de incidencias (muerte del cónyuge, separación matrimonial, pérdida de trabajo, etc.) y que marque con una cruz aquellos que han sucedido en su vida en el último año. El modelo de Holmes-Rahe da a cada uno de ellos un baremo (similar al orden de dificultad del ejemplo de las puntuaciones deportivas). Una vez relleno (suelen incluir unas 40 incidencias con la posibilidad de añadir otras que no aparezcan) un producto matricial como el anterior nos da un valor final. Si es mayor de cierto umbral, el paciente tiene una predisposición a enfermar por estrés. Si el puntaje es menor que otro valor (que suele ser la mitad del umbral anterior) las posibilidades de enfermar son escasas. Además de recoger los sonidos efectuados antes de la muerte de la víctima, el equipo del FBI toma diferentes muestras de ADN de la habitación. Analizando estas muestras, Charlie tratará de obtener algún dato sobre los familiares del sospechoso. Aunque las muestras de ADN no permiten identificar a una persona en concreto, si que se pueden deducir algunos rasgos como enfermedades congénitas, color del pelo, si tiene pecas, etc. Existen empresas que han conformado índices estadísticos de la información que las cadenas de ADN suministran. Charlie emplea una técnica denominada alineación de secuencias de ADN. Consiste en comparar dos de ellas atendiendo a sus componentes. Es conocido (y si no lo recordamos ahora) que el ADN se compone de cuatro nucleótidos que contienen las bases adenina (A), guanina (G), citosina (C)  y tiamina (T). En estado natural, los pares de bases se forman sólo entre A y T,  y G y C en forma de doble hélice; por tanto, la secuencia de las bases de una de las dos cadenas se puede deducir de la otra. Dadas dos cadenas de ADN se trata de casar el máximo número de bases posible (sin reordenarlas obviamente). La tarea no es trivial: el ADN del ser humano contiene unos 3 x 109 pares de nucleótidos. Este procedimiento es útil para observar la evolución de una especie comparando las secuencias de ADN de generaciones sucesivas. La manera de decidir el probable alineamiento de un par de secuencias de ADN es mediante algoritmos como los de Needleman-Wunsch o Smith-Waterman. Suelen ser variantes del más conocido algoritmo de Dijkstra. En este enlace puede ampliarse esta información un poco más. El estudio de las matemáticas aplicadas a la Biología conforman una disciplina conocida como Biomatemáticas. Episodio 2.21 – Disparos a discreción   (Rampage) Fechas de emisión: Lunes 26 de Febrero (22:20), Martes 27 de Febrero (17:45), Sábado 10 de Marzo (21:30), Domingo 11 de Marzo (15:30). Argumento: Un individuo entra en las oficinas del FBI disparando a diestro y siniestro. Los agentes tratarán de determinar los motivos que le indujeron a comportarse así y su posible relación con un peligroso traficante de armas que se encuentra a la espera de juicio. Charlie está un tanto asustado porque casi le alcanzan los disparos y no quiere ni oír hablar de volver a las dependencias del FBI, lo cual dificulta la resolución del caso. Aspectos Matemáticos: Movimiento browniano, Hipercubos. Lo primero que piensa Charlie sobre el comportamiento del sujeto es que se ajusta a un movimiento browniano. El movimiento browniano es el movimiento aleatorio que se observa en algunas partículas que se hallan en un medio fluido (por ejemplo, polen en una gota de agua). Recibe su nombre en honor a Robert Brown que lo describe en 1827. En 1785, el mismo fenómeno había sido descrito por Jan Ingenhousz sobre partículas de carbón en alcohol. En 1900, Louis Bachelier describió por primera vez el movimiento browniano matemáticamente. Posteriormente, en 1923, Norbert Wiener y Paul Lévy elaboraron el modelo que sigue una partícula que en cada instante se desplaza de manera independiente de su pasado, como si la partícula “olvidara” de dónde viene y decidiese continuamente, y mediante un procedimiento aleatorio, hacia dónde ir. Es pues un movimiento que, a pesar de ser continuo, cambia en todo punto de dirección y de velocidad; tiene trayectoria continua, pero no tiene tangente en ningún punto. En 1945 Albert Einstein dedicó uno de sus artículos a este asunto. El movimiento aleatorio de estas partículas se debe a que su superficie es bombardeada incesantemente por las moléculas del fluido sometidas a una agitación térmica. Este bombardeo a escala atómica no es siempre completamente uniforme y sufre variaciones estadísticas importantes. Así la presión ejercida sobre los lados puede variar ligeramente con el tiempo provocando el movimiento observado cuyo aspecto parece completamente errático. Matemáticamente se modeliza utilizando un proceso iterativo en el que cada paso está determinado por una distribución normal de probabilidad de media nula y desviación estandar que varía dependiendo del modelo. En la vida cotidiana podemos observar este fenómeno fácilmente. ¿Quién no se ha fijado en las partículas de polvo que hay en el aire cuando un rayo de sol entra por la ventana de nuestra casa? Si a continuación golpeamos la superficie de un sofá o de un cojín, observaremos como esas partículas de polvo se mueven en todas las direcciones de un modo aparentemente caótico. Ese mismo efecto lo observamos cuando miramos en la oscuridad del cine al foco de proyección. O al fijarnos en la bocanada de humo de un fumador. Son ejemplos en los que el fluido es el aire atmosférico. Cuando tenemos que hacer la suspensión de un medicamento en agua, echamos el contenido del mismo en un vaso y vemos como, una vez que entra en contacto con el agua, esas partículas se mueven sin parar, de un modo zigzagueante y en todas las direcciones. También la difusión y la ósmosis son fenómenos basados en el movimiento browniano. El movimiento browniano está muy ligado a las caminatas aleatorias de las que hablábamos en el episodio del mes pasado Juegos Mentales, y a los fractales. Una actividad sencilla de llevar a cabo con alumnos sobre el movimiento Browniano es el conocido juego del Caos. Una versión de este juego es la siguiente: se dibujan los vértices de un triángulo equilátero; a continuación se elige un punto al azar que será el punto inicial de nuestro experimento. Se calcula el punto medio entre este punto inicial y uno de los vértices del triángulo elegido también al azar. Se traza el segmento que une el punto inicial con este punto medio. Este punto pasa a ser el nuevo valor inicial. A continuación se hace lo mismo, se elige un vértice del triángulo, se calcula el punto medio entre éste y el nuevo valor inicial, se traza el segmento correspondiente y así sucesivamente. Tras unas cuantas iteraciones, compárense los gráficos de varios alumnos. ¿Se trata de verdad de un proceso aleatorio? Una vez que Charlie analice los movimientos del sujeto, concluirá que de azar nada: da la impresión de que trata de evitar a una de las personas que hay en la sala. Pero no fusilemos todo el argumento, …. En otro instante los hermanos discuten sobre acotación de desigualdades como un procedimiento para intentar localizar a un sospechoso. Conocida la posición del individuo en un momento dado, se trata de acotar la zona cercana de influencia a la que éste podría desplazarse. Su conversación es interrumpida, pero desde el punto de vista matemático, se utilizan diagramas de Venn (círculos en dos dimensiones, y esferas en tres) en muchas ocasiones para acotar o estrechar las posibilidades de búsqueda de algo o alguien. Finalmente hay una conversación entre Charlie y Amita, su alumna doctorando, sobre la cuarta dimensión. En concreto de refieren a un Hipercubo (también conocido como Tesseract). En realidad no son lo mismo. Un hipercubo es el nombre con el que se conoce cualquier objeto de más de tres dimensiones, mientras que tesseract sería el equivalente en cuatro dimensiones de un cubo. O sea un tesseract es un hipercubo de cuatro dimensiones. En el siguiente enlace podéis tratar de imaginar cómo sería mediante la explicación y posterior descarga de un fichero ejecutable. Tenéis que buscar el artículo titulado Hipercubo tetradimensional (hacia el final de la página). Existen multitud de referencias en el Arte y la Literatura a los hipercubos (daría para varios artículos). En Planilandia, la famosa novela de Edwin A. Abbott, el narrador imagina uno de estos hipercubos. En la sección de reseñas de libros de DivulgaMAT podéis ver la de esta novela. Recientemente ha sido reeditada, pero por si no la encontráis o no queréis esperar, picando en el título podéis descargárosla íntegra en formato pdf. Por añadir un ejemplo artístico, en Crucifixión (Corpus Hypercubus), de Salvador Dalí, 1954, Jesucristo aparece sobre el desarrollo de un hipercubo (si el desarrollo de un cubo de 3 dimensiones se despliega en una cruz de 6 cuadrados, el tesseract despliega sus 8 cubos tridimensionales en una cruz, la que dibuja Dalí). La película Cube 2: Hypercube (secuela horrible de la original, sólo superada (en mala) por la siguiente Cube Zero que dicen que es una precuela), los personajes están atrapados en un hipercubo aunque si no nos lo dicen ni nos enteramos.

Jueves, 01 de Febrero de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

72. 21. Planilandia (I)

Marzo, un hermoso mes en el que nos adentramos en el curioso mundo descrito por Edwin Abbott, apuntamos algunas noticias breves y acabamos con la reseña de los últimos tres episodios de la segunda temporada de Numb3rs. El personaje que veis a la izquierda es el escritor, profesor y teólogo inglés Edwin Abbott Abbott (1838 – 1926), autor, como la mayor parte de vosotros sabréis, de una novela curiosa: Planilandia, un romance de muchas dimensiones (Flatland, a romance on many dimensions, 1884). Se trata de un cuento en el que se describen las aventuras de un cuadrado en Linealandia y en Espaciolandia, lugares a los que llega en un intento de salvar su querida Planilandia de la destrucción total. La novela está escrita bajo el seudónimo A Square, es decir, traduciendo textualmente, Un Cuadrado, aunque posteriormente veremos que lo más correcto sería decir, Cuadrado A. Se ha especulado mucho sobre este seudónimo, aunque lo más probable es que sea un anagrama del propio autor: al apellidarse Abbott Abbott (sus padres eran primos carnales), la gente bromeaba llamándole A Square, es decir A al cuadrado. El relato, además de tratar de popularizar algunas nociones de geometría elemental, satiriza de un modo inteligente y cruel en ocasiones los valores sociales, morales, y religiosos de la sociedad británica de la época victoriana. Un resumen y crítica de la historia original la podéis leer en http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&task=view&id=3470&Itemid=46. Por otro lado, la novela completa en su versión original en inglés está disponible aquí, mientras que la versión en castellano, está en este otro enlace. ¿Y que hace este señor y su novela en esta sección?, os preguntareis. La razón en clara: hacer un repaso de las versiones cinematográficas de esta novela. Y es que aunque del contenido del libro pudiera pensarse que es uno de los argumentos menos propicios para realizar una película, existen al menos cuatro, dos de ellas muy recientes: 1.- Flatland (EE. UU., 1965). Película de animación dirigida por Eric Martin. El actor Dudley Moore es el cuadrado narrador de la historia. 2.- Flatland (1982). Cortometraje dirigido por el matemático Michelle Emmer. 3.- Flatland: the Film (EE. UU., 2006). Película independiente de animación dirigida por Ladd Ehlinger Jr. Guión: Tom Whalen. Música: Mark Slater. Las voces han sido grabadas desinteresadamente por personas conocidas (locutores de radio, profesores, etc.) del lugar de residencia del director, Hunstville, Alabama. Él mismo comercializa y distribuye la película. Duración: 83 minutos. 4.- Flatland: the Movie (EE. UU., 2007). Película de animación dirigida por Jeffrey Travis. Las voces de los protagonistas son Kristen Bell (Hex), Martin Sheen (Arthur Square), Tony Hale (King of Pointland), Joe Estevez (Abbott Square), Curtis Luciani (King of Lineland), Shannon McCormick (Octagon Doctor), Garry Peters (Pantocyclus), Lee Eddy (Helios). Duración: 95 minutos. Este mes nos centraremos en la tercera de ellas. El director ha mantenido las ideas básicas del libro original, si bien en algunos momentos actualiza el argumento a nuestros días. Por ejemplo, aparece un presidente megalómano que se inventa una serie de pretextos no comprobados para declarar la guerra a un país que en absoluto los amenaza (¿les suena? Recordemos en cualquier caso que la película es norteamericana). La estética de los personajes de Planilandia es la del clásico comecocos (con formas poligonales, claro). En la imagen observamos al protagonista (el cuadrado) junto a su hijo (el hexágono más pequeño). Planilandia es un lugar rígido en el que el pensamiento individual no está bien visto: todo el mundo conoce su función y sus limitaciones, y no debe intentar sobrepasarlas. El aspecto físico de los habitantes de Planilandia determina su estatus social: cuantos más lados tiene la figura de un individuo, más alto es su rango, lo cual significa que pertenece a una clase social con mayor poder económico y político. Así, lo más bajo de la estructura social masculina son los triángulos que constituyen las fuerzas del orden (ejército, policía, etc.). La clase dirigente (reyes, gobernantes, políticos, etc.) se representa mediante círculos. Los niños nacen con una forma irregular y durante su crecimiento son sometidos a un proceso de reconfiguración en el que alcanzarán su forma definitiva. Este proceso incluye una operación practicada por una herramienta similar a un cascanueces de tamaño enorme, operación siempre dolorosa y cuyo resultado no siempre alcanza su propósito (en realidad casi nunca). Los niños que fallecen en el proceso se eliminan. En la imagen, el Presidente del país (círculo con la corona) observa el cuerpo inerte de su hijo (círculo menor con corona pequeña). Las mujeres no tienen forma definida. Son rectas que emiten un grito según se mueven para avisar de su condición ya que los miembros masculinos sólo pueden visualizarlas como un punto, y no las ven llegar (recordemos que el libro muestra despiadadamente la sociedad de la época; eso incluye una acentuada misoginia, de la que no queda claro si se describe como sátira o simplemente el autor asume que “debe ser así”). Todos los ciudadanos de Planilandia tienen un contorno blanco. Tener uno de diferente color, denominado “cromatismo” es ilegal y se califica como sedición por el Presidente del país. Su furia contra éstos es tal que ordena el asesinato del solitario legislador del Senado (en la imagen, un triángulo-soldado acaba con él). Precisamente uno de las causas por las que declara la guerra a otro país es porque en él está permitido el cromatismo. La presión social ejercida contra el Cuadrado A es dura y es debida a que su hermano, un activista político llamado Cuadrado B, es sorprendido en una manifestación y encarcelado por orden presidencial. Es entonces cuando en Cuadrado A se despierta el interés por conocer otros conceptos de mundos desconocidos. Un sueño lo transporta a Linealandia, donde se enfrenta al Rey Línea que no admite la existencia de otro mundo que no sea el suyo unidimensional (se presenta al rey Línea con dos voces diferentes, una para cada uno de sus extremos). En la siguiente imagen vemos a Cuadrado A en Linealandia, donde acaba concluyendo que sus habitantes son tan estúpidos como los de Planilandia. Es entonces cuando Cuadrado A recibe la inesperada visita de Esfera A, personaje que aparece desde algún lugar desconocido llamado Espaciolandia. En la siguiente imagen podemos ver el primer encuentro entre la esfera y nuestro cuadrado protagonista. Los dos viajan a Espaciolandia donde Cuadrado A aprenderá y vivirá aventuras que es mejor no desvelar para no fusilar toda la película. Como vemos en estas instantáneas una de las notas predominantes de la película es el uso del color. El director ha jugado con diferentes tonalidades según el país en el que se desarrolle la acción: del oscuro y misterioso monocromo predominante en Linealandia a la locura chillona y multicolor de Espaciolandia. Otro acierto de Ehlinger es la inclusión de rótulos explicativos en determinadas escenas con detalles que el espectador no debe pasar por alto para entender la trama posterior. Hay que advertir que no es en absoluto una película para niños. Hay escenas bastante duras a pesar de estar representadas por figuras planas: el asesinato del Senador reducido a trocitos, la puesta en escena de la desnuda celda a la que Cuadrado B va a parar, la muerte de Cuadrado A por efecto de la gravedad de Espaciolandia, la reconfiguración de los niños, etc, escenas además intensificadas por el fuerte acompañamiento musical que conllevan. Por otro lado temas como el racismo, las desigualdades sociales, el maltrato a las mujeres, la manipulación política, no parecen asuntos demasiado apropiados para jóvenes espectadores, ni siquiera para aquellos adultos cuya pretensión no vaya más allá de pasar un rato. La película no se ha comercializado por los cauces habituales. El autor ha pretendido controlar personalmente no sólo su edición sino también su distribución.  En http://flatlandthefilm.com/index.html puede verse el trailer de la película y la forma de conseguirla en DVD en una edición especial limitada y firmada por el propio director (por supuesto en su versión original, en inglés). Como afirma su realizador, se trata de una película independiente, financiada totalmente por él, que debe mostrar que tiene un mercado antes de que una distribuidora la promocione. Sin una estrella o un gran nombre detrás, la única posibilidad de que un producto como éste sea conocido es llevarla a festivales como Sundance o Cannes y allí reciba las críticas oportunas. Pero introducirla en el circuito de los festivales requiere dinero, cantidad que el autor reconoce no tener ya, por lo que ha optado por venderla de este modo para conseguir esa financiación. Su precio es de $20.00 que incluyen empaquetado y envío, pero tranquilos, de momento no hay DVD compatible para los reproductores europeos, aunque se anuncia que estará pronto. Podemos sin embargo “matar el gusanillo” con el trailer. Su traducción para los que no dominen mucho el idioma de Shakespeare es la siguiente: Imagina un mundo con sólo dos dimensiones // Sin altura, sólo longitud y anchura// ¿Qué podría vivir en un mundo bidimensional? // ¿Qué podría vivir en esta …. Planilandia? ¿Qué sucedería si alguien atacara este mundo desde un mundo tridimensional? De la aclamada novela de ciencia ficción de Edwin Abbott,…. Planilandia. // ¡Oh, es sólo una pequeña guerra! Y finalmente veamos una escena más de la película: Reflejos en Planilandia. La traducción de ésta sería más o menos como sigue (está algo resumida para no extenderme demasiado): La escena comienza con el Cuadrado A girando sobre si mismo para entrar en Espaciolandia Cuadrado: ¿Qué me estás haciendo? ¿Qué sucede? Esfera: Ya no estás en Planilandia. ¡Es la Realidad! ¿Mareado?¿Puedes ponerte en pie? Descansa un momento … Cuadrado: Me encuentro algo extraño ¿Qué es? Esfera: Es que no estás acostumbrado a la gravedad, algo que tenemos en Espaciolandia. Nada de lo que debas preocuparte.. Cuadrado: ¡Es todo tan… perfecto! Todo lo que veo parece divinamente perfecto, maravilloso y sabio. Esfera: Eres libre de pensar lo que quieras, pero antes, echemos un vistazo a lo siguiente… Cuadrado: ¡Oh, mira!¡Es un habitante de Planilandia! ¡Puedo ver su interior! Esfera: También puedes verte a ti mismo… Cuadrado: ¿A mi mismo?¿Cómo? ¡Estoy dentro de mi mismo! Esfera: En 3-D tenemos instrumentos que lo permiten (le muestra un espejo). Cuadrado: ¡Soy yo! Esfera: No, es tu reflejo. Cuadrado: Gracias. Gracias por mostrarme. ¡Ahora lo veo todo! ¡Ahora lo entiendo todo! Continuará ….. NOTICIAS  BREVES 1.- La revista digital de divulgación científica Tecnociencia (hasta el Noviembre pasado también se editaba en papel) ha publicado el pasado mes de Febrero una crítica del libro “Las matemáticas en el cine” que podéis leer aquí. Independientemente de que compartáis o no la misma (que espero que sí) os recomiendo que leáis esta publicación ya que suele contener artículos de interés muy bien orientados. 2.- Como no podía ser de otro modo, Antena 3 TV volvió a eliminar Numb3rs después de emitir dos capítulos. El Canal Calle 13 finaliza el 19 de marzo la segunda temporada de la serie. Sin embargo el lunes siguiente, 26, vuelve a emitir el episodio 2.01, es decir el primero de esa segunda temporada. Como los cuatro primeros episodios no fueron reseñados en estas páginas, lo haremos con ocasión de su emisión. Por otro lado vuelve también a emitir la Primera temporada con el siguiente horario: episodio 1.01 (lunes 5, 22:20; martes 6, 18:00), episodio 1.02 (lunes 12, 22:20; martes 13, 18:00), episodio 1.03 (lunes 19, 22:20; martes 20, 18:00), episodio 1.04 (lunes 26, 22:20; martes 27, 18:00). Esto provoca un ligero cambio de horario en los episodios de la segunda temporada de este mes que podéis ver en los resúmenes que van a continuación. Guía de Numb3rs.- Episodios previstos por el canal Calle 13 para este mes Episodio 2.22 – Objetivo Impreciso (Backscatter) Fechas de emisión: Lunes 5 de Marzo (21:30), Martes 6 de Marzo (17:10), Sábado 17 de Marzo (21:30), Domingo 22 de Marzo (15:15). Argumento: El equipo investiga un fraude bancario en el que alguien ha “limpiado” las cuentas corrientes de muchos clientes del Banco (incluyendo la de Don). Además dos empleados han sido secuestrados. Aspectos Matemáticos: Análisis de Backscattering, Interpretación de gráficas de funciones, Funciones explícitas e implícitas, Progresiones geométricas y crecimiento exponencial, Códigos de César. Para entender minimamente algunas de las cosas que aparecen o se dicen en este episodio, debemos conocer algunos conceptos informáticos. Cuando nos conectamos a Internet (desde nuestro domicilio, en el trabajo, en una biblioteca o desde donde sea) lo más habitual es que utilicemos una dirección IP (siglas de Internet Protocol). Una dirección IP es un número que identifica de un modo lógico y jerárquico nuestro ordenador dentro de una red que emplea ese mismo valor. (Aclaremos que ese número no es el número hexadecimal fijo que tenemos asignado a nuestra tarjeta de red por el fabricante; de hecho la dirección IP puede cambiar). A través de Internet, los ordenadores se conectan entre sí mediante sus respectivas direcciones IP. Sin embargo, los seres humanos utilizamos otra notación más fácil de recordar, como los nombres de dominio; la traducción entre unos y otros se realiza mediante los servidores de nombres de dominio DNS (Domain Name System), bases de datos que almacenan esa información. Los sitios de Internet generalmente tienen una dirección IP fija, es decir, no cambia con el tiempo. Los servidores de correo, DNS, FTP públicos, y servidores de páginas web necesariamente deben contar con una dirección IP fija o estática, ya que así podemos localizarlos en la red. Los usuarios sin embargo solemos tener direcciones IP dinámicas. Como este nombre indica, se trata de unas direcciones con una duración máxima determinada. Normalmente cada vez que el usuario se reconecta a la red, utiliza una dirección IP diferente. El mecanismo (protocolo) que asigna estas nuevas direcciones se denomina DHCP (Dynamic Host Configuration Protocol). ¿Por qué aparecen estas IP si con las otras nos vale? Sencillo. Porque las IP fijas son más fáciles de vulnerar por hackers o cualquiera que domine un poco el tema y nos puede preparar una buena faena como pasa en el episodio que nos ocupa.  Por otro lado las IP fijas son más caras de mantener para las empresas que nos suministran la conexión, ya que aunque no estemos conectados a la red, deben mantener la dirección IP en perfecto estado de uso. Un router es un dispositivo hardware o software de interconexión de redes de computadoras que opera en la capa tres (nivel de red). Este dispositivo interconecta segmentos de red o redes enteras. Hace pasar paquetes de datos entre redes tomando como base la información de la capa de red. El router toma decisiones lógicas con respecto a la mejor ruta para el envío de datos a través de una red interconectada y luego dirige los paquetes hacia el segmento y el puerto de salida adecuados. Sus decisiones se basan en diversos parámetros. Una de las más importantes es decidir la dirección de la red hacia la que va destinado el paquete (En el caso del protocolo IP esta sería la dirección IP). Otras decisiones son la carga de tráfico de red en las distintas interfaces de red del router y establecer la velocidad de cada uno de ellos, dependiendo del protocolo que se utilice. Don y su equipo logran bloquear los ataques de un grupo de hackers de Internet relacionados con la Mafia Rusa (como a estas alturas conocerán por otras películas, son un grupo de criminales de diferentes etnias, principalmente judíos y chechenos, que aparecen con la desintegración de la antigua Unión Soviética en 1991; sus métodos son similares a la conocida Mafia italiana, de ahí su nombre). Sin embargo, el grupo se rehace y Charlie deberá tratar de averiguar el modo mediante el que realizan sus ataques en la red antes de que la cosa sea incontrolable. Utilizan una técnica llamada en inglés Backscatter Análisis del que no conozco traducción al castellano. Consiste en lo siguiente: Internet es básicamente un sistema de intercambio que funciona de un modo similar al de la distribución de las cartas de las agencias de correos. Cuando un hacker ataca, burla los protocolos que se ponen en marcha para localizar la dirección IP desde la que actuó (desvía las búsquedas a otros routers mediante diferentes mensajes). Sin embargo, al actuar estos mensajes en tiempo real, un ordenador podría reproducir a través de un complejo proceso toda esta actividad y finalmente localizar de donde partió el ataque. Los ataques que se producen son de los llamados de “negación de servicio” (Denial-of-Service attack, DoS attack). Consisten en inutilizar las páginas que una empresa o un usuario ha colgado en la red. Es un delito que viola las normas y leyes por las que se rige la Red. Básicamente emplean dos métodos: 1.- Forzar al ordenador a ser reseteado continuamente, o consumir sus recursos de manera que no pueda suministrar la información que se pretende. 2.- Obstruir los medios de comunicación entre los usuarios y la víctima para que no puedan comunicarse. Existen muchos más tipos de ataque, en los que puede que entremos al hablar de otras películas. Los lectores interesados en este tema pueden ver animaciones didácticas de diferentes técnicas de Backscattering en la dirección: http://www.caida.org/publications/animations/ aunque, aviso, están en inglés. Charlie cuenta a sus alumnos en una escena los fundamentos de este tipo de análisis. En un momento dado descubre lo que parece un mensaje cifrado. Ya hemos hablado en otras ocasiones de la criptografía y el criptoanálisis. En el caso del episodio se trata de una sencilla sustitución de letras por números (un código de César de lo más elemental con el mensaje WE R WAITING FOR U). Volviendo a los análisis de Backscattering, Charlie presenta algunas gráficas de funciones que trata de interpretar. Alguna de ellas está en la llamada escala logarítmica. Se llama escala logarítmica aquella en la que en vez de indicar en los ejes de coordenadas el valor de las variables se señala su logaritmo. Se suelen utilizar cuando alguna de las variables (o las dos) toma valores muy altos o muy bajos. Por ejemplo, si una magnitud toma valores en potencias de diez (10, 100, 1000, 10000, ...) representar estos valores en un eje resultará bastante engorroso. En cambio si tomamos logaritmos decimales, el 10 se describirá como un 1 (log1010=1), el 100 como un 2 (log10100 =2), el 1000 como un 3 (log101000=3), y así sucesivamente. En el gráfico adjunto, las funciones y = x, y=x2, y=x3 aparecen dibujadas en escala logarítmica. Algunos ejemplos de uso de escalas logarítmicas son la escala Richter para medir la intensidad de un terremoto, la potencia eléctrica o acústica de un fenómeno, la entropía en termodinámica, en teoría de la información, o la frecuencia de las notas musicales. Si echamos un vistazo al pentagrama adjunto, la diferencia en la altura del sonido es proporcional al logaritmo de la frecuencia (de un Do grave al Do siguiente más agudo la frecuencia se dobla. Es decir: que la sucesión de frecuencias de las notas Do están en progresión geométrica). Hablando de progresiones geométricas uno de los procedimientos más habituales de los hackers para atacar los ordenadores también mencionado en el capítulo es el de la cadena de mensajes. Es probable que nos hayan mandado alguna vez (también por correo ordinario) mensajes o cartas en los que se nos dice que tendremos mucha suerte (o cosas similares) reenviamos ese mensaje a otras siete, diez, …, n amigos o conocidos. En internet el colapso que pueden provocar estas cadenas es mayor dada la facilidad y rapidez con que podemos enviar los mensajes. Comprobar los efectos es matemáticamente sencillo: si cada persona que recibe el mensaje lo envía a cinco amigos, véase el número de mensajes al cabo de diez envíos en un tiempo mínimo. ¿Cuántos envíos harán falta para llegar a la población de una ciudad de 3 millones de habitantes? No demasiados, ¿verdad?. Bien pues quede claro que estos comportamientos son ilegales y están perseguidos por la ley (en Estados Unidos al menos; aquí en España no deben estarlo porque el que esto suscribe recibe al menos uno de estos mensajes cada mes). Otro ejemplo de crecimiento exponencial también fraudulento es el ya comentado en otra ocasión (episodio 1.8, reseña Abril 2006) esquema de venta piramidal. En otro momento del episodio Charlie se encuentra dando clase de Cálculo Infinitesimal a sus alumnos. Habla de funciones explícitas e implícitas presentando éstas como más frecuentes que las primeras en las aplicaciones de la vida real. ¿Por qué utilizar las segundas cuando es mucho más sencillo manejar las primeras? Respuesta obvia: porque no siempre es posible despejar unas variables en función de otras. Un ejemplo sencillo: intenten despejar x o y, cualquiera de las dos, en función de la otra en la ecuación x4 + xy + y4 = 3. Es de suponer que a continuación hablara del teorema de la función implícita, pero dos miembros de la mafia rusa entran en el aula, se sientan en la fila de atrás y no le permiten continuar la clase. Por otro lado, aunque podamos despejar unas variables en función de las demás, en muchas ocasiones el resultado es inmanejable. Todos los que hemos dado alguna vez Cálculo conocemos de sobra ejemplos. Simplemente citaré las expresiones de circunferencias, elipses, curvas mecánicas (cicloide, epicicloide, etc.) e inténtese calcular áreas, longitudes, volúmenes con la y en función de x. Episodio 2.23 – Corrientes Subterráneas (Undercurrents) Fechas de emisión: Lunes 12 de Marzo (21:30), Martes 13 de Marzo (17:10), Sábado 24 de Marzo (21:30), Domingo 25 de Marzo (15:30). Argumento: En esta ocasión la investigación es acerca de unas mujeres asiáticas que han aparecido muertas al parecer por gripe aviar. Todas ellas estaban también contra su voluntad involucradas en redes de tráfico sexual. Megan charla con un periodista que conocía a una de las mujeres que le propone contarla lo que sabe a cambio de una exclusiva sobre el caso. Aspectos Matemáticos (y esta vez, y sin que sirva de precedente, también seudo-matemáticos): Campos vectoriales, Dinámica de Fluidos, I Ching. Como en otros capítulos de la primera temporada, se intenta averiguar el punto de origen en el que aparece el cuerpo de una mujer muerta, sólo que en este caso, al ser lanzada al mar, se tiene que tener en cuenta el comportamiento de las olas a través de conceptos de dinámica de fluidos y de análisis vectorial. Charlie compone unas ecuaciones y unos diagramas de flujo según el acercamiento a la costa de unas pequeñas boyas lanzadas al mar en diferentes lugares. Así trata de definir un campo vectorial (funciones vectoriales de Rn en Rm) que le de una pista sobre cómo ha sido arrastrado el cadáver a la costa e inferir el punto desde el que partió. Las funciones de varias variables (campos escalares y vectoriales en una terminología más de la Física) aparecen en múltiples estudios: meteorología (las líneas isóbaras no son más que curvas de nivel asociadas a diferentes campos escalares), topografía (los mapas topográficos son nuevamente ejemplos de diversas curvas de nivel en los que sabiendo algo de matemáticas se puede determinar fácilmente la ruta a seguir para desde un punto cualquiera llegar lo más rápidamente posible a una cima o un valle), etc. También aparecen funciones vectoriales en el análisis que hace Charlie del algoritmo (secreto) utilizado en el puerto de Los Ángeles para etiquetar los containers con sustancias peligrosas. Al observar el cuerpo de la mujer, el inefable Larry “Bizcochito” (no sé si es el doblaje o qué, pero me resulta insufrible) descubre unos hexagramas tatuados en su pie. Explicaré brevemente qué es esto tratando de dejar de lado en la medida de lo posible toda la parafernalia paranormal que se ha montado en torno a ellos. El I Ching (traducido por El libro de los cambios) dicen que es el texto chino clásico más antiguo que se conoce, de unos 5000 años de antigüedad (mes arriba, mes abajo). Desde remotos tiempos ha sido utilizado para la adivinación y como obra moral, filosófica y cosmológica. Se basa en 64 hexagramas simbólicos, cada uno compuesto a su vez por un par de trigramas que están formados por tres líneas paralelas. Las líneas pueden ser continuas (representando el yang o principio activo) o discontinuas (representando el yin o principio pasivo) siguiendo la cosmología primitiva china, que explicaba todos los fenómenos en términos de alternancia del yin y el yang. Existen ocho trigramas básicos, cada uno denominado según un fenómeno natural, y en los 64 hexagramas se agotan todas las posibles combinaciones de las seis líneas (única operación matemática verificable que podemos hacer a propósito del tema). El libro se consulta dividiendo y contando 50 tallos de la milenrama, supuesta planta mágica, o echando unas monedas al aire, lo que dará como resultado una serie de números que indican las líneas para el hexagrama resultante. Los números determinan si cada línea es yin o yang y si es estática o se encuentra en movimiento (a punto de cambiar a la posición opuesta). Así pues, los hexagramas se conciben como dentro de un cambio mutuo y perpetuo siguiendo el orden cíclico del universo. Los hexagramas evolucionaron como símbolos de la buenaventura. Según cuenta la leyenda, el dios emperador mítico Fuxi (2400 A.C.) descubrió los ocho trigramas en el caparazón de una tortuga sagrada (los primeros adivinadores chinos predecían el futuro agujereando huesos o caparazones de tortugas (¡pobrecillas!) y examinando las grietas resultantes que puede que inspiraran las líneas del Yijing). El significado de cada hexagrama se explica en pasajes poéticos enigmáticos y en otros diversos comentarios filosóficos. Las partes más antiguas del libro se remontan a la primitiva dinastía Zhou. Se cree por efecto de la tradición que fue Wen Wang (1150 A.C.) el que añadió a los hexagramas originales adivinatorios un carácter moral. Confucio, sus seguidores y algún que otro listillo no determinado puede que añadieran más comentarios filosóficos ya que se tiene constancia de que se guiaban por este libro. El tatuaje de la infortunada del episodio tiene esta pinta: Charlie emplea mucho tiempo tratando de encontrar una interpretación a estos hexagramas, pero finalmente será su alumna favorita Amita quien le explique que significan Influencia, Espera, Abundancia, Fuerza y Verdad Interna, respectivamente. No es mi intención fusilar el argumento completo, pero no me resisto a indicar que cada hexagrama tiene asociado un número (en este caso, 31-05-55-01-61) que finalmente tendrán algo que ver con la solución del caso (como se ve no son las medidas de la difunta, o sea que por ahí no va la cosa). Bajando un poco de la nube en la que nos encontramos, curiosamente el I Ching sirvió para establecer las bases de un importante concepto que ha revolucionado nuestra vida: el sistema binario. En 1666, Gottfried Wilhelm Leibniz escribió Sobre el arte de la Combinatoria. En este tratado defendía la implantación de un lenguaje diferente al hablado o al escrito, enteramente lógico y matemático. “Será difícil concebir un lenguaje así”, argumentaba, “pero una vez logrado, será fácil comprenderlo sin necesidad de ningún diccionario”. La idea fue ignorada tanto por la comunidad científica de la época como por él mismo durante unos diez años, …., hasta que cayó en sus manos un libro sobre I Ching. En él vio una confirmación de sus teorías sobre la dualidad, una serie de posibilidades si/no, on/off en la forma de masculino/femenino, luz/oscuridad, etc. que conforman la complejas interacciones que suceden en la vida. “Si la vida misma puede reducirse a una serie de posibilidades duales”, razonó, “igualmente le sucederá al pensamiento y a la lógica”. Animado por estos pensamientos, Leibniz trató de refinar su rudimentario sistema aunque no pudiera encontrarle una aplicación práctica concreta (¡que sorpresa, si viviera hoy!). En la imagen, una calculadora mecánica construida por Leibniz para números en sistema decimal. Aunque pensó en crear otra máquina para números binarios, las largas cadenas de ceros y unos que surgían al pasar los números de notación decimal a binario le desanimaron profundamente. Hacia el final de su vida se “le fue un poco la olla” hacia temas místico-religiosos (como le pasó a Newton) y afirmó que los números binarios representan la Creación. El número 1 sería Dios y el 0 el Vacío, la Nada. Episodio 2.24 – Inyección Letal (Hot Shot) Fechas de emisión: Lunes 19 de Marzo (21:30), Martes 20 de Marzo (17:10), Sábado 31 de Marzo (21:30), Domingo 1 de Abril (15:30). Argumento: Don y su equipo buscan en esta ocasión a un asesino en serie que droga a mujeres, las mata y después las viste y las maquilla cuidadosamente antes de volver a colocarlas en sus automóviles como si nada las hubiera pasado. Charlie entretanto se obsesiona con un robo ocurrido en una tienda de comestibles estando su padre dentro. Aspectos Matemáticos: Grafos dirigidos, Histogramas, Modelos parabólicos. Para tratar de encontrar al asesino, Charlie sugiere hacer un estudio de los hábitos de sus víctimas. Así tratará de averiguar donde le pudieron conocer. Para ello representa toda esa información mediante un grafo dirigido. Un grafo dirigido o dígrafo, G = y E = . La dirección de cada arco se representa mediante una flecha. A partir de esta definición se dan otras muchas (indicaré las básicas): Dos aristas de un grafo son adyacentes si tienen un vértice en común. De forma similar, dos vértices son llamados adyacentes si existe una arista que los une. Una arista es incidente a un vértice si ésta lo une a otro. Si un grafo sólo tiene un vértice y ninguna arista, se le denomina trivial. Un grafo ó dígrafo es ponderado cuando a cada arista se le asocia un valor (coste, peso, longitud, etc. según lo que modele). Normalmente los vértices y las aristas de un grafo, por su naturaleza como elementos de un conjunto, son distinguibles. Este tipo de grafos son llamados etiquetados. Pueden también etiquetarse sólo los vértices o las aristas. Una arista forma un bucle cuando coinciden el vértice inicio y el fin. Dos aristas son paralelas cuando son incidentes con los mismos vértices. Un grafo sin aristas paralelas ni bucles se llama grafo simple. Un camino es simple cuando no pasa dos veces por la misma arista. Un circuito es un camino simple cerrado, es decir, un camino sin aristas repetidas en el coinciden los vértices inicial y final. Si en un camino cerrado sólo coinciden los vértices inicial y final, tenemos un ciclo. Cuando en un grafo sin vértices aislados podemos establecer un camino simple que pasa por todas las aristas sólo una vez, hablamos de camino euleriano. Uno puede entretenerse un rato analizando cuál de estas definiciones cumple el grafo del dibujo. El grafo de la figura puede representar los movimientos de tres de las víctimas en un día: la víctima 1 va de la tienda C a la B y luego a la A; la víctima 2 sale de la tienda C a la E y después va a la A; la víctima 3 sale de la tienda E hacia la D, luego a la C y vuelve a la D. En el episodio Charlie contempla los movimientos de las víctimas dentro de una misma habitación (una cocina) respecto a la mesa, el fregadero y el frigorífico. Cualquier modificación de los recorridos es una posible pista para descubrir al asesino. Otro procedimiento que el matemático utiliza para predecir un cambio en el comportamiento de las víctimas es el denominado estimación de densidad basada en núcleos (KDE, Kernel Density Estimation, Bowman y Azzalini, 1997). Matemáticamente se trata de lo siguiente: tenemos una variable aleatoria que desconocemos y pretendemos estimar a través de otras. Para ello se utiliza una serie de posibles predictores y una medida para determinar cual de todos ellos se ajusta mejor a esa variable desconocida. Esos predoctores se localizan, por ejemplo, a través de una muestra aleatoria, es decir, una sucesión de variables aleatorias independientes con la misma distribución que la buscada.  Suele entonces ocurrir que la sucesión de variables aleatorias no tenga la regularidad de la que buscamos (no sea derivable, continua, etc.). Entonces se hace una mejora llamada estimación de núcleos. Es evidente que para un neófito en Estadística todo esto suena “a chino”. Sólo tratamos de constatar que en el guión desarrollado en el capítulo se han preocupado de describir conceptos y técnicas reales. Uno de los conceptos que utiliza el KDE y sí es asequible es el histograma de frecuencias. Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras, donde la superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados. En el eje vertical se representan las frecuencias, y en el eje horizontal los valores de las variables, normalmente señalando las marcas de clase, es decir, la mitad del intervalo en el que están agrupados los datos. Se utiliza cuando se estudia una variable continua, como franjas de edades o altura de una muestra, y, por comodidad, sus valores se agrupan en clases, es decir, valores contiguos. En los casos en los que los datos son cualitativos (no-numéricos), como sexo, grado de acuerdo o nivel de estudios, es preferible un diagrama de sectores. Los histogramas son más frecuentes en ciencias sociales, humanas y económicas que en ciencias naturales y exactas. Un histograma de frecuencias relativas es un histograma basado en porcentajes. Recordemos que la muerte de las víctimas fue debida a una combinación de drogas que les fueron inyectadas. El FBI trata de determinar la hora a la que esas personas fueron inyectadas para comprobar si el sospechoso podría estar en ese momento allí. Don cree que las víctimas fueron inyectadas al menos 13 horas antes de que encontraran sus cuerpos. Charlie sugiere entonces que la cantidad de droga aún en sus cuerpos podría servirles para conocer cuando se produjo la inyección. Cada víctima tiene 12.5 mg de morfina en sangre y 1.0 mg de diazepam (droga de eliminación lenta indicada para tratar la ansiedad, trastornos psicosomáticos, tortícolis, espasmos musculares). Charlie recopila entonces de un estudio farmacéutico una tabla de datos que muestra en una población de 50 personas cómo sus cuerpos absorben la morfina al cabo de 13 horas partiendo de una dosis de 20 mg. Y realiza un histograma de frecuencias que posteriormente analiza. Finalmente, otro tema que se toca es el de las trayectorias parabólicas. Larry, el físico amigo de Charlie, aparece como casi siempre haciendo el tonto. En este caso está en su despacho tirando uvas con una cuchara que utiliza como catapulta para practicar para una pelea de comida que tradicionalmente hacen en el Departamento de Física (¡infantilidad a tope!). Se remonta a Galileo para recordar cómo la trayectoria que sigue un proyectil es una parábola y hace diferentes pruebas teniendo en cuenta diversas variables: los obstáculos que puede haber entremedias, la fuerza con que golpea la cuchara, hasta dónde se pretende llegar con el lanzamiento, el ángulo de lanzamiento, etc. Episodio 2.01 – Juicio de Valor (Judgement Call) Fechas de emisión: Lunes 26 de Marzo (21:30), Martes 27 de Marzo (17:10). Argumento: Don y Charlie investigan el asesinato de la mujer de un juez. No está claro si el objetivo era ella o su marido que estaba juzgando un caso sobre la pena de muerte para el líder de una banda. Aspectos Matemáticos: Scatterplot, Probabilidad Condicional y Fórmula de Bayes,.Aguja de bufón. En el episodio Charlie muestra a los agentes del FBI una gráfica conocida como scatterplot. Un scatterplot se utiliza para compara dos conjuntos de datos y ver si tienen alguna relación o hay una correlación entre ellos. Da una buena visión de conjunto de la relación entre las dos variables. Veamos algunos ejemplos: 1.- Las variables son la temperatura de un lugar y el número de aparatos de aire  acondicionado que se han vendido allí. Al aumentar la temperatura, es esperable un aumento de las ventas. Es un ejemplo de correlación positiva. 2.- Temperatura y número de estufas vendidas. Es esperable  que al aumentar la temperatura las ventas de esos aparatos desciendan. Correlación Negativa. 3.- Temperatura y número de lavavajillas vendidos. Aparentemente no existe  relación alguna entre estas dos variables, por lo que no hay correlación. Examinando los ficheros de sospechosos del caso y mediante un scatterplot, los agentes son capaces de seleccionar aquellos que verifican los criterios que manejan sin tener que investigar cada uno individualmente. Del mismo aplican una serie de filtros (programas de ordenador que seleccionan la información) muchos de los cuales se basan en la aplicación de probabilidades condicionales. Dado el tipo de crimen que investigan, Don estrecha su investigación en torno a cuatro sospechosos. Se tienen una serie de datos aportados por los testigos, como color del pelo, estatura y peso del criminal. Atendiendo a estas características en los sospechosos, calculan la probabilidad (condicional) asociada a cada uno. Supongamos que el FBI tiene una lista de criminales almacenada en sus ordenadores. Supongamos que hay 10 tipos de criminales (ladrones, violadores, asesinos en serie, traficantes de drogas, etc.). Supongamos que para cada uno de estos tipos existen 10 posibles ciudades en las que el sujeto esté viviendo y que para cada una de estas ciudades hay informes sobre 10 criminales. En estas condiciones debemos revisar 103 informes. Tenemos tres niveles: tipo de criminal, ciudad, individuo, con 10 posibilidades para cada uno. Si hubiera N niveles, tendríamos un total de 10N criminales. Por tanto, de algún modo, el número de criminales es una función exponencial del número de niveles. A esta conclusión llega Jessie, la agente que trata de ayudar a Charlie a organizar los datos. Utiliza erróneamente el término “exponencial” como sinónimo de “muy grande”, una equivocación muy común entre los no matemáticos. Charlie la corrige con una definición técnica e innecesaria de crecimiento exponencial. Su error era suponer que el número de niveles se incrementa, es variable, cuando no es así. Sin duda hay un número fijo de niveles con los que el FBI clasifica sus datos, pero cada uno de estos no tiene porque tener exactamente 10 subniveles, puede ser un número menor o mayor, pero no tiene porqué ser necesariamente una potencia de 10. Pero vayamos a lo que interesa: hay un montón de informes que contiene mucha información, alguna será útil para el caso, pero otra no. ¿Cómo puede uno organizar esta enorme cantidad de información de manera eficaz para que nos proporcione los sospechosos adecuados? En primer lugar precisemos que los ordenadores son útiles si pueden comparar automáticamente ítems de información asociada a cada criminal. El primer paso será buscar información numérica para que el ordenador pueda confrontarla fácilmente, es decir necesitamos una “cuantificación” de datos. Por ejemplo el registro de un criminal puede contener una lista de delitos: 5 atracos, 2 asesinatos, 4 robos. Otro dato útil es pasar estos datos a porcentajes, o sea que porcentaje tiene cada uno de atracos, asesinatos, robos. Estos porcentajes pueden darnos la probabilidad de cometer un determinado tipo de delito. Si nos centramos en un sospechoso concreto, así sabemos las posibilidades que tiene de cometer un asesinato frente a las de un robo. Sin embargo esto no es útil para elegir un sospechoso entre muchos, que es lo que Jesse y Charlie pretenden. Lo que necesitan es la probabilidad de que un asesinato concreto pueda ser cometido por un sospechoso concreto. Es lo que Charlie denomina teoría de la decisión reversa (RDT, reverse decision theory), y es la que emplea análisis bayesiano (nombre dado en honor al matemático Thomas Bayes, 1702 – 1761). Para entenderlo, al menos superficialmente, veamos un ejemplo. Supongamos que E es el suceso “se ha cometido un asesinato”. Designemos por p(E) la probabilidad de que este suceso tenga lugar. Si en la ciudad X en una semana de cada cuatro crímenes, tres son asesinatos, entonces podemos escribir que p(E) =3/4 = 0.75. Si indicamos por S el suceso “Smith ha cometido un delito”, la probabilidad condicionada p(E|S) será la probabilidad de que el delito sea un asesinato sabiendo que ha sido Smith el que lo ha provocado. Si solamente el 2% de los delitos de Smith fueran asesinatos, entonces p(E|S) = 0.02. En el episodio sabemos a ciencia cierta que se ha cometido un asesinato. Queremos conocer la probabilidad de que haya sido Smith el que lo haya hecho, es decir, buscamos la probabilidad p(S|E), es decir lo opuesto a lo anterior. Aquí es donde se aplica la fórmula de Bayes: Hacia el final del capítulo, Charlie menciona que uno de los misterios de las matemáticas es la aparición del número “pi” en los más insospechados lugares. Recuerda que pi es la relación que guarda la longitud de una circunferencia con su diámetro, que es constante sea cual sea el tamaño del dicha circunferencia, hecho conocido desde tiempos de los Griegos. La primera demostración correcta la dio Eudoxo, un contemporáneo de Euclides. También menciona el problema de la aguja de Bufón, problema en el que también aparece pi. Se trata de lanzar una aguja sobre un papel en el que se han trazado rectas paralelas distanciadas entre sí de manera uniforme. Se puede demostrar que si la distancia entre las rectas es igual a la longitud de la aguja, la probabilidad de que la aguja cruce alguna de las líneas es 2/pi. Se podría incluir algunas cosas más sobre éste y otros aspectos del capítulo pero esto va creciendo demasiado y no pretendo aburrir más al personal. Únicamente comentar para finalizar que uno de los filtros más empleados en la actualidad basados en ideas bayesianas son los filtros de spam (mensajes basura, con virus o sin interés para el usuario) del correo electrónico. Comparando las palabras que aparecen frecuentemente en los correos con spam con los que no son spam, el filtro puede determinar con una probabilidad alta qué mensajes son de uno y otro tipo. Existe un artículo muy interesante sobre estas técnicas en http://www.paulgraham.com/spam.html, en inglés, claro.

Jueves, 01 de Marzo de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

73. 22. Planilandia (II)

Seguimos dando una vuelta por las versiones animadas que se han realizado sobre la obra de Edwin A. Abbott, y sobre todo, visionando algunas escenas. Uno de los cortos nos lleva a la película ¿Y tú que sabes? estrenada el año pasado. Acabamos con los resúmenes de los capítulos de la segunda temporada de Numb3rs, hasta que alguna cadena de televisión estrene la tercera o algún lector interesado pida alguna información sobre la misma. El mes pasado nos acercábamos a Flatland: the film. Un amigo de esta sección me ha comentado en un correo que, aún sin haber visto la película, le cuesta creer que haya escenas que yo califiqué de “duras”. Bien, en el siguiente enlace podéis ver la ejecución de un opositor al régimen. Al finalizar el máximo mandatario se pregunta si será recordado como el fiel guardián de la República o como un asesino de inocentes. Que cada uno juzgue por si mismo si es o no violenta. También en You Tube puede verse un cortometraje del personaje conocido como Doctor Quantum, titulado el Dr. Quantum visita Planilandia. Es curioso, y puede ser exportable a las aulas (de paso los alumnos pueden practicar un poco de inglés que no les vendrá tampoco mal). Para aquellos que no estén muy entrenados en la lengua de la Gran Bretaña, ahí va nuestra castellana versión. Después de entrar en una especie de túnel y de un par de piruetas acrobáticas, el doctor empieza: Dr. Q.: Bienvenidos a Planilandia. Un mundo de dos dimensiones únicamente. Sólo hacia delante y hacia atrás, izquierda y derecha. En este mundo no existe arriba ni abajo. Habitantes de Planilandia: ¿Dónde está Dotty1? No está en la fila. ¿Qué diablos es esa cosa? Dr. Q.: En este mundo los seres bidimensionales no tienen idea de los objetos tridimensionales. Estos dos planilandeses no saben de cubos, esferas, tetraedros ni de mi. Desde la perspectiva 2-D, mi dedo 3-D aparece de forma similar a esto …. Habitantes: ¡Oh, Dios mio! ¿Qué demonios es eso? Dr. Q.: ¡Hola, pequeño círculo! (Grita asustado) ¿Miedo a lo desconocido? ¿Qué debería decir? Es imposible. Si vemos sólo lo que conocemos, ¿cómo alguien puede ver algo nuevo? Lo desconocido. ¿Cómo salir jamás de nuestra caja? ¡Hola, pequeño círculo! ¡No tengas miedo! Círculo: ¿Quién dice eso? ¿Dónde estás? Dr. Q.: Eso sólo explica parte del truco. Estoy en otra dimensión, en otro espacio. ¡Estoy por encima de ti! Círculo: ¡Nunca, nunca uses esa palabra! Dr. Q. : ¿Qué palabra? Círculo: La palabra que empieza por E2. Dr. Q.: ¿Encima? (el círculo grita). Círculo: ¡Esta prohibida! Dr. Q.: ¿Qué crees que significa? Círculo: No lo sé. Y no quiero saberlo. Podrías ser duramente castigado si usas esa palabra. ¿Eres un fantasma? Dr. Q.: (Riéndose) Espero que no. Tengo una perspectiva diferente a la tuya. Puedo ver cosas de un modo que tú no puedes. Círculo: ¡Oh! ¿Cómo qué? Dr. Q.: Tú tienes bien guardada tu caja fuerte. Dentro de ella tienes doce monedas, un testamento y un pasaporte. Círculo: (sorprendido) ¿Cómo lo sabes? ¿Dónde estás? ¿Eres un Dios? Dr. Q.: ¡No más que tú! Verás, como estoy por encima de ti (el círculo vuelve a gritar al oir la palabra), en la tercera dimensión, puedo ver dentro de las cosas de tu mundo. Círculo: ¡Tercera Dimensión! ¡Eres un fantasma tonto! ¡Sólo hay dos! ¡Mira! (Comienza a moverse a los lados). Dr. Q.: Si pudiera tocar el interior de tu estómago, ¿cómo lo haría? Círculo: Tendrías que cortar mi piel. Si no es imposible. (Le toca, le hace cosquillas) ¡Para! ¡Para! Dr. Q.: ¿Preparado para más? Círculo: ¿Más qué? Dr. Q. : Dimensiones, direcciones. Círculo: ¡Oh, no! ¡Pero si no hay más! (Duda) ¿Más? ¿Qué me ocurriría?¿En que me convertiría? Dr. Q.: ¡Adquirirás conocimiento! Círculo: ¡De acuerdo! Dr. Q.: ¡Excelente! (Toma el círculo y lo levanta a la 3-D) Círculo.: ¡Oh! ¡Nunca lo imaginé! Voz en off: ¿No es divertido? Lo que más tememos es lo que nos lleva a los mayores descubrimientos. 1.- Dot en inglés es punto, así que Dotty será un niño punto, un puntito, que se ha escapado como suelen hacer los niños. 2.- En el diálogo en inglés la frase es The A-word, porque la palabra es Above. Al traducirlo he puesto la palabra que empieza por E, para poder decir luego Encima. Cosas de los idiomas. Este dibujo animado, el Dr. Quantum, es el alter ego del Dr. Fred Alan Wolf, doctor en Física Cuántica por  la Universidad de California desde 1963. Desde hace años populariza la ciencia (sobre todo su especialidad, la Física Cuántica) a través del programa de televisión The Know Zone (algo así como La Zona del Saber) de Discovery Channel. Ha publicado once libros (como el que veis a la derecha), artículos en revistas, programas de radio y televisión. Según se dice en sus biografías su fascinación por el mundo de la Física comenzó siendo niño cuando oyó en un noticiario el enorme poder de la primera explosión atómica. Ese interés aumentó dedicándose al estudio de las matemáticas y de la física. Después de doctorarse, comenzó sus investigaciones sobre el comportamiento de las partículas atmosféricas tras una explosión nuclear integrándose en el Proyecto Orión (proyecto dedicado a investigar la propulsión nuclear en la exploración espacial). Ha obtenido diversos premios por sus trabajos de divulgación de la física y ha sido traducido a varios idiomas, incluido el español. Esto en cuanto a la parte científica, porque también es de los que se ha dedicado a profundizar en las relaciones entre el conocimiento humano, la psicología, la fisiología, lo místico y lo espiritual (es decir, planteamientos que podríamos calificar de "magufos". NOTA: Magufo designa a quien ejerce o "investiga" una pseudociencia). Desde luego lo que es envidiable es el empeño divulgativo de personas como ésta y la disponibilidad de los medios de comunicación para llevar a cabo esta tarea. ¿Por qué aquí no sucede? Quizá haya que introducir algún que otro engañabobos acientífico o chismes rosas de los investigadores para tener alguna aceptación, y aprovechar para meter entre col y col, lechuga. (En España, el galardonado Eduardo Punset también ha coqueteado en su programa Redes alguna vez con este tipo de patrañas místico-morales). Quizá recordéis a este respecto la película documental  ¿Y tú que sabes? (What the bleep do we know?, Dirigida por Mark Vicente, Betsy Chase i William Arntz, EE. UU., 2004). Confieso que aún no la he visto, aunque tengo referencias, no todas demasiado positivas. Me parece de interés el siguiente artículo para aquellos que deseen conocer más sobre esta producción o hayan visto la película. Os muestro los carteles de la versión original y la española para que observéis el habitual uso comercial que últimamente se hace de los símbolos matemáticos (se intenta captar la atención de personas medianamente cultas para dar a entender que conocer algo de esos símbolos da alguna prestancia especial o una distinción de clase). La traducción del título también intenta “picar” al espectador, porque lo correcto hubiera sido ¿Qué sabemos?, pero es menos llamativo. La interrogación What the bleep aparece también en el vídeo de Planilandia (sus habitantes exclaman What the bleep is that thing? al poner el Dr. Quantum el dedo sobre su universo). Podría hablarse del movimiento What the bleep, del que podéis averiguar más pinchando en el enlace (han creado incluso una simbología propia, What tHe βL∈∈P!?) Más Planilandia el mes que viene ….   Guía de Numb3rs.- Episodios previstos por el canal Calle 13 para este mes Acabamos con los resúmenes de los tres episodios de Numb3rs que Canal 13 ya emitió y no reseñé aprovechando que este mes los repiten. Episodio 2.02.- Para bien o para mal (Bettor or Worse) Argumento: Una mujer irrumpe en una joyería pidiendo ver al dueño. Le da una nota y le amenaza diciéndole que o la ayuda o su esposa e hija morirán. Después de hacer lo que dice la nota, la mujer le asegura que verá a su familia al cabo de 24 horas siempre y cuando ni la policía ni el FBI intervengan. Pero un guarda de seguridad la dispara y la mujer muere. El pánico se apodera del hombre. Aspectos Matemáticos: Números seudo aleatorios, Autómatas Celulares, Sucesiones de Farey. En la reseña del mes de Enero, ya hablamos de los números aleatorios y seudo aleatorios (episodio 2.13, Doble o Nada). En este capítulo, el agente Don Eppes necesita asignar unos códigos aleatorios de dos dígitos a 40 miembros de su equipo del FBI, Los números son elegidos del 00 al 99. Charlie le recuerda la diferencia entre estos dos tipos de números, y se pone a componer una fórmula que genere números seudo aleatorios. Para poner en marcha este tipo de funciones, se precisa de un valor inicial o semilla. Como establece esa fórmula a partir de unos valores concretos, no está del todo seguro de si funcionará correctamente (es decir, si no repetirá números para agentes distintos). Concretamente la función que diseña es la siguiente: siendo x0 el valor inicial, itera la expresión (41x0 + 35) /101 y toma los dos primeros dígitos de la parte decimal del número resultante. Por ejemplo, si x0 = 29, x1 = 1224/101 = 12.1188…, luego toma el valor 11 (léase bien las condiciones: se prescinde de la parte entera del número). Un ejercicio entretenido es tratar de obtener los 40 valores necesarios a partir de la fórmula anterior, a partir de diferentes valores iniciales. Podremos quizá entonces resolver la siguiente cuestión: ¿es útil la fórmula propuesta por Charlie? Si no es así, indicar la razón. Espero vuestras respuestas. En esta capítulo el matemático utiliza los llamados autómatas celulares para tratar de visualizar un mensaje que cambia cada vez que es reenviado. Aunque no existe una definición formal universalmente aceptada del concepto de autómata celular, básicamente consiste en un conjunto de datos que forman una estructura, y un número finito de reglas que se pueden aplicar a cada elemento de esa estructura. La lista de reglas suele basarse en modelos biológicos, que fue la primera aplicación para la que fueron concebidos los autómatas. Aunque John von Neumann fue su precursor a finales de los años cuarenta del pasado siglo, son Konrad Zuse y Stanislaw Ulam los que desarrollan la idea más ampliamente, y más recientemente Stephen Wolfram. El interés que ha despertado esta técnica radica en la sencillez y en la simplicidad que caracteriza la construcción de los modelos. Suele emplearse un retículo bidimensional (en más dimensiones un espacio n-dimensional) dividido en un número de sub-espacios homogéneos, conocidos como celdas (o sea se realiza una teselación homogénea del plano; para entendernos una cuadrícula similar a la de una página de un cuaderno). Cada celda (cuadrícula) puede estar en un estado de entre un conjunto finito que se representa mediante diferentes colores. La asignación de un estado a cada celda se le llama establecer una configuración.  Los conjuntos contiguos de celdas se llaman vecindades, que vienen determinadas por sus posiciones relativas respecto a cada celda. Finalmente se establece una Regla de Evolución,  una función que define cómo cambia de estado cada celda dependiendo del estado inmediatamente anterior de su vecindad. Esas reglas se aplican siguiendo un Reloj Virtual de Cómputo conectado a cada celda del autómata. Un ejemplo muy conocido es el Juego de la Vida de J. H. Conway popularizado en 1970 por Martin Gardner. El modelo que Charlie emplea en el episodio es un autómata de dimensión uno. Supongamos que el primer mensaje que recibe se representa mediante el gráfico que vemos dibujado. Charlie descubre que el mensaje evoluciona según las siguientes reglas: En cada nueva etapa, una celda estará viva si exactamente una de sus vecinas lo está. En cada nueva etapa, una celda estará muerta si ninguna, o dos de sus vecinas, están vivas. Las celdas vivas son las sombreadas y las muertas las que están en blanco. Siguiendo estas reglas, ¿cuál será la siguiente configuración a la representada? Veamos. La primera celda tiene una contigua viva, por lo que en el siguiente paso, estará viva. La segunda celda tiene muertas sus dos celdas vecinas por lo que en el paso siguiente, estará muerta. La tercera celda está entre dos celdas vivas, por lo que en el próximo paso, estará muerta.. Es sencillo ver que las dos últimas estarán vivas. De este modo, el nuevo estado del mensaje será el que aparece en la imagen de la derecha. El proceso se itera las veces que se precisen, obviamente, después de implementadas las reglas en el ordenador. Otras dos referencias que aparecen en el capítulo son las sucesiones de Farey (“Buscamos fracciones. Concretamente, una sucesión de Farey”, es la referencia exacta de Charlie en el guión). Una sucesión de Farey de orden n es la formada por todas las fracciones propias (es decir, menores o iguales que 1) con denominador menor o igual que n ordenadas de menor a mayor. Cada sucesión de Farey comienza en el 0, representado por la fracción 0/1, y termina en el 1, representado por la fracción 1/1, aunque algunos autores suelen omitir ambos términos. Los primeros términos de la sucesión de Farey, denotada por Fn, son: F1 = F2 = F3 = F4 = F5 = F6 = Dos propiedades inmediatas de estas sucesiones (el lector podrá probarlas sin demasiada dificultad) son: Cualquier par de fracciones consecutivas a/b y c/d, verifican que bc - ad = 1. Tres fracciones consecutivas cualesquiera a/b, c/d, y e/f, verifican que c/d = (a + e)/(b + f) Relacionados con las sucesiones de Farey están las fracciones continuas, el llamado árbol de Stern-Brocot,  y los círculos de Ford, que no describiremos por ahora. Estas sucesiones reciben el nombre del geólogo británico John Farey (1766-1826), que publicó una carta sobre ellas en un número de la revista Philosophical Magazine en 1816. En ella Farey conjeturó la segunda de las propiedades descrita anteriormente aunque, por lo que se sabe, no llegó a probarla. La carta de Farey fue leída por Cauchy que probó la afirmación de Farey en su libro Exercises de mathématique. Lo curioso es que al parecer fue el desconocido matemático C.Haros, el primero que publicó un resultado semejante en el año 1812, circunstancia desconocida tanto por Farey como por Cauchy. Una vez más, un accidente histórico ligó el nombre de Farey con este tipo de sucesiones en lugar del nombre de su descubridor original. Episodio 2.03 – Obsesión (Obsesión) Argumento: Un hombre irrumpe en la casa de una cantante pop, Skylar Wyatt, que está casada con un actor. Ella ha estado recibiendo cartas amenazadoras desde hace algún tiempo pero no se las tomó demasiado en serio hasta ahora. Megan intenta localizar al asaltante a partir de su descripción física. Posteriormente un fotógrafo aparece muerto. Los hermanos Eppes tratarán de esclarecer ambas situaciones. Aspectos Matemáticos: El problema de la Galería de Arte, Trigonometría, Conceptos de geometría esférica elemental (latitud, longitud, etc.). Ninguna de las cámaras de seguridad de la casa asaltada ha logrado captar una sola imagen del intruso. Esta circunstancia lleva a Charlie a analizar la situación de las cámaras a lo largo de la casa, lo que nos lleva a un famoso problema, conocido como el problema de la Galería de Arte, propuesto en 1973 por el matemático Victor Klee. Aunque su descripción es sencilla, hubo que recurrir a técnicas de geometría computacional para dar una solución general del mismo. El enunciado es el siguiente: ¿Cual es el número mínimo de vigilantes en un museo o una galería de arte que garanticen que todos los lugares de la sala estén controlados al menos por uno de ellos en todo momento? A un nivel elemental, el problema puede resolverse probando, experimentando. Pero al ir variando la forma de la sala o la capacidad de los vigilantes el problema puede transformarse en un asunto realmente complicado. La solución viene dada por el teorema de Chvatal, que establece que se precisa un número máximo de [n/3] cámaras (atentos a la notación: el corchete indica la parte entera de n/3), siendo n el número de vértices que tenga la sala. Se supone que cada cámara puede orientarse para controlar cualquier dirección (en cada instante sólo controla, obviamente una dirección concreta) y que no puede ver a través de las paredes (parece de Perogrullo pero no lo es: esto reduce el ángulo de movilidad de la cámara). Veamos algunos casos concretos. Supongamos que tenemos tres salas con las siguientes formas. Los polígonos tiene respectivamente 4, 6 y 8 lados. Según el teorema, cada caso necesitaría, respectivamente, un número máximo de guardias igual a [4/3], [6/3] y [8/3], es decir, 1, 2 y 2 vigilantes, respectivamente. Sin embargo, cualquiera entiende que con un único vigilante en cada sala es suficiente para controlar cada punto de la misma. Esto sucede siempre que la forma de la sala sea convexa, es decir, que podamos unir dos puntos cualesquiera de la sala por un segmento totalmente contenido en ella. Pero hay salas que pueden no ser convexas, o que tengan columnas que impidan la visión, etc. Véanse otras posibles salas más abajo. Además el teorema indica el número máximo de vigilantes pero no dice dónde deben colocarse para actuar de la forma más eficaz. Václav Chvatal resolvió el problema siendo aún alumno de la universidad de Montreal. Posteriormente, Steve Fisk, estudiando el trabajo de Chvatal, encontró una demostración más sencilla y completa ¡mientras dormía en un viaje en autobús por Afganistán! Para el lector que quiera entretenerse o para aquellos que sean dueños de una tienda de todo a cien, traten de descubrir cuántos y donde deben colocarse los vigilantes o las cámaras de seguridad en los siguientes casos: En otro momento del capítulo, Charlie observa unas fotografías que muestran un aro de baloncesto y la sombra que el Sol proyecta del mismo. Utilizando razones trigonométricas y algo de geometría esférica es capaz de determinar el ángulo de elevación del Sol, de ahí la hora en que fueron tomadas las fotos, y lo más importante para resolver el caso, desde donde. Es de suponer que quienes estén leyendo estas reseñas estén suficientemente familiarizados con la trigonometría, dado que es un tema básico en todos los planes de estudio de las ESO y el Bachillerato. Es probable además que conozcan que es una herramienta fundamental para calcular datos de lugares inaccesibles (seguramente les sonará aquello de la medida de la altura de las pirámides, o de ciertas montañas, etc.). En todo caso en la red pueden sino ponerse al día. Una actividad muy recomendable y entretenida en relación al episodio y a la trigonometría es la construcción de un reloj de sol. Episodio 2.04 – Riesgo Calculado (Calculated Risk) Argumento: Don alberga en su casa a Daniel, un joven testigo, ya que el plan de protección no se hace cargo de su custodia. La madre de Daniel, una mujer de negocios de una compañía eléctrica, ha sido asesinada. Aspectos Matemáticos: Probabilidad Condicional, Árboles de probabilidad condicional, Interés compuesto. Es probable que nuestros alumnos tengan cierta idea de cómo calcular la probabilidad de que un suceso simple suceda. Por ejemplo la probabilidad de sacar un as de un mazo de cartas, o la de extraer una bola de cierto color de un conjunto multicolor. Sin embargo cuando encadenamos varios sucesos, y su resultado influye en los posteriores, es necesario utilizar el concepto un poco más elaborado de probabilidad condicional, que por otro lado modeliza una cantidad mayor de situaciones de la vida cotidiana. En la industria médica, por ejemplo, verificar si una medicina es efectiva o inocua depende de muchos factores como la salud del paciente o si se ha administrado correctamente. Las compañías farmacéuticas tratan de controlar estas variables haciendo tests. Y obviamente aquí no cabe el método de ensayo-error, porque nos podemos ir quedando sin elementos en el espacio muestral. En el capítulo Charlie tratará de reducir una enorme cantidad de variables mediante la “poda” de un diagrama de árbol. Aunque esto requiere la utilización de complejos algoritmos avanzados, la idea básica se fundamenta en los conceptos de sucesos dependientes y probabilidad condicional. El manejo y análisis de este tipo de estructuras es llevado a cabo, normalmente, por informáticos, que sí, necesitan matemáticas para su trabajo, pero los matemáticos como Charlie no suelen dedicarse a estos menesteres. Por otro lado, la mujer asesinada había hecho varias inversiones de dinero que los hermanos proceden a investigar. A lo largo del tiempo, el precio de la mayor parte de los bienes de consumo que contratamos se incrementa (el precio del gas, de la electricidad, etc.). Las personas que invierten en bolsa u otros productos bancarios suelen asesorarse antes de decidirse por tal o cual empresa o producto financiero, aunque nadie (en teoría) puede asegurar ningún comportamiento futuro. No obstante hay mucha gente que invierte en productos futuros (planes de pensiones) como la mujer del capítulo. Las empresas también tratan de ajustar sus activos para poder hacer frente a los costes que tendrán en el futuro. El invertir en futuribles no deja de ser un riesgo: si los precios (o las acciones) bajan, perdemos dinero. Una herramienta para hacer “predicciones financieras” es el concepto de interés compuesto, que viene dado por la expresión  A = P ( 1 + r/n )nt, donde A es el dinero que obtendremos al cabo de un tiempo, P la cantidad invertida inicialmente, r el interés al que imponemos nuestro capital (escrito en forma decimal), n el número de periodos al año y t el tiempo en años. Por ejemplo, 1000 euros invertidos al 7% en periodos de cuatro meses durante 8 años, nos ha producido en ese tiempo 1742.21 euros. Como dije antes, muchas personas se afanan en localizar la mejor opción para su dinero, de ahí las continuas ofertas de los bancos. Personalmente es un tema que no sólo me aburre sino que me repele bastante, quizá porque uno nunca ha tenido aspiraciones de ser millonario, o quizá porque lo poco que uno sabe de los números (y de las entidades bancarias) me han llevado al convencimiento de que NADIE con un sueldo normalito (es decir, que no sea ya millonario) va a lograr incrementar su capital sustancialmente si no es robando o porque le toque la lotería. Calculen sino, cuanto debe uno invertir para que desde los 23 años hasta los 65 si alguien le ofreciera ingresar sus ganancias cada 2 semanas (algo imposible a todas luces) pudiera tener, digamos por ejemplo, 1 millón de euros al término de ese tiempo. Los números no mienten, y desde luego hay entretenimientos más saludables que pulular de banco en banco (claro que de eso se valen también estos señores, de despreocupados como yo). Os recuerdo que cualquier comentario, duda, aclaración o crítica podéis hacérmela llegar a alfonso@mat.uva.es.

Domingo, 01 de Abril de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

74. 23. Planilandia (y III)

Finalizamos este mes la descripción de las películas sobre la obra  de Edwin A. Abbott con una de las primeras versiones y otra aún no estrenada comercialmente aunque lo hará en breve. En 1982, el cineasta y matemático Michelle Emmer dirigió el cortometraje Flatland. Personalmente no he logrado verlo y en la red apenas hay información sobre el mismo. Sin embargo el propio Emmer en su libro Mathematics, Art,  Technology and Cinema (Springer-Verlag, 2003), dedica un capítulo a explicar algunos aspectos sobre su realización. Describimos algunos de los más relevantes o llamativos. El autor comienza haciendo el siguiente símil: el funcionamiento de una cámara es como el de un operador geométrico que transforma objetos tridimensionales en objetos planos. (R3→R2). La película (un objeto 2D) es posteriormente proyectada mediante una fuente de luz sobre una pantalla o en una pantalla de televisión (también objetos 2D) (R2→R2). Por tanto a priori una cámara debería ser un instrumento adecuado para representar la historia de Planilandia, una historia sobre mundos de diferentes dimensiones. La historia que se plantea contar es básicamente la siguiente: partimos de un mundo en dos dimensiones hasta que el cuadrado protagonista se encuentra con la esfera y descubre un mundo tridimensional. Ambos acaban finalmente soñando con un mundo de cuatro dimensiones. Entre los problemas que hubo que solventar (recordemos que no se trata de una superproducción en la que se dispone de mucho dinero ni en aquellos años los realizadores disponían de unos medios tan sofisticados como los actuales (ordenadores, etc.)), Emmer indica los siguientes: 1.- Cómo hacer la película. Se descartó desde el principio la animación en beneficio de objetos reales de dos y tres dimensiones; hacia el final se realiza una simulación de un cubo y una esfera tetradimensionales. 2.- Cómo trasladar los dibujos de Abbott a imágenes buscando modelos para los colores y las formas que siguieran los patrones de principios del siglo XX (recuérdese que el libro se publicó en 1884). 3.- En el libro hay un momento en el que a los habitantes de Flatland les entra la moda del color, y comienzan a pintar todos los objetos. Por tanto previamente ellos y los objetos con los que conviven (casas, árboles, etc.) no deberían tener color. Por otro lado el texto indica que los personajes masculinos deben ser polígonos regulares y los femeninos, segmentos. 4.- Sin embargo Emmer pretendía realizar una película a color y no a blanco y negro. Los habitantes de Planilandia se reconocen entre sí porque sus lados emiten un resplandor. Así pues la luz parecía la clave para conformar a los habitantes de Planilandia. Deberían ser luminosos pero sin color. Se decidieron por un material transparente que permitiera tener bordes que reflejaran la luz, que brillaran. Las casas y los árboles, por el contrario deberían ser de un material oscuro y opaco. La búsqueda de tal material llevó al equipo técnico varios meses. 5.- Los habitantes (segmentos, triángulos, cuadrados, polígonos y círculos) tendrían que ser pequeños porque en algunas escenas, incluida la batalla, aparecían hasta un centenar de personajes. El propio escritor sugiere en su novela que para entenderla bien se piense en objetos que se mueven sobre una mesa. Es difícil sin embargo bajar la cámara a la altura de los habitantes de Planilandia para observar cómo se perciben unos a otros, y además sin que el espectador vea las paredes de la habitación donde se realiza la filmación. Era necesario “inventarse” una superficie plana que permitiera visualizar a nivel del borde pero que no dejara ver el fondo. La solución adoptada consistió en curvar el frente de la mesa hacia abajo, lugar donde se situó la cámara, y curvar a su vez la parte trasera de la mesa hacia arriba para simular un efecto de profundidad infinita. Sin embargo al hacer esto, como la mesa era iluminada desde arriba, el reflejo en la parte curva era más intenso que siendo plana. Además esas partes curvas eran captadas por la cámara de un modo extraño, diferente al resto. Esto desembocó en un problema geométrico: encontrar la curvatura ideal para el frente y el fondo de la mesa de manera que la luminosidad fuese igual o al menos similar. El material empleado, aunque pueda parecer increíble a la vista de los resultados obtenidos finalmente, fue formica negra. Una iluminación difusa desde cierta altura creaba el efecto de un color de fondo transparente azulado sobre el que los personajes se movían. Daba la impresión de que los objetos se movían en un espacio vacío, inmaterial. Tras varios experimentos, el material elegido para construir los personajes fue Perspex, aunque fue costoso para los técnicos cortar este material en trozos pequeños a partir de largas planchas. En un pequeño estudio se montó la mesa curvada, se fijó la cámara a dicha mesa mediante raíles y las luces se colocaron por encima de la mesa. Para obtener un movimiento correcto y fluido de los personajes (en animación cada fotograma es una imagen distinta de las demás y cada segundo de película contiene 24 fotogramas) fue necesario dibujar el itinerario de cada uno y su velocidad. Cada uno tiene una forma particular de moverse. Una vez determinados los aspectos técnicos relacionados con los personajes, fue preciso construir la historia. Primero se hizo el guión y luego el storyboard. Se procuró ser fiel al texto original de Abbott donde fue posible. Los párrafos complicados o muy difíciles de poner en escena fueron suprimidos. A pesar de todo, una gran duda quedaba en el aire: ¿cómo rodar el encuentro entre el cuadrado y la esfera y entre éstos y el cubo en cuatro dimensiones? A principios de los años ochenta, Thomas Banchoff había hecho una película en 16 mm. sobre el hipercubo. Su sugerencia fue crear los gráficos animados por ordenador. Por eso los dos últimos minutos de la película están realizados mediante ordenador. La diferencia es apreciable, pero sirve para acentuar la distancia entre el mundo plano del cuadrado y la realidad virtual. Esa escena final permite además la reflexión final de la película sobre el significado de la Ciencia, la libertad y las elecciones que cada uno de nosotros toma en la vida. Ese final constituyó el mejor posible para la historia en aquel momento, un final que el realizador confiesa no haber sabido cómo llevarlo a cabo de no haber contado con la ayuda de Banchoff. Una última curiosidad: la música del cortometraje corrió a cargo del gran Ennio Morricone. Podría parecer que ya son suficientes versiones sobre esta novelita. Pues bien, para este próximo mes de Junio de 2007 está previsto que acabe la postproducción de otra película norteamericana titulada Flatland the movie. Pinchando en el pentágono podemos ver el trailer de la película (está en inglés pero se entiende, creo, bastante bien). El argumento de esta película tiene algunas diferencias con el original que venimos comentando. En este caso los protagonistas son Arthur, un cuadrado y Hex, su curiosa nieta de seis lados. Un día llega un enigmático visitante de Spaceland que hará comprender a nuestros protagonistas la verdadera realidad de la tercera dimensión poniendo sus vidas en peligro al amenazar el orden establecido por los malignos Círculos que han estado gobernando Flatland durante miles de años. El proyecto de la película fue anunciado oficialmente el 22 de Enero de 2006 como un cortometraje de 30 minutos de duración en el que estarían incluidos drama, acción y algunas lecciones de geometría. El mensaje que pretende llevar al público es tomar conciencia de las limitaciones que tenemos acerca de nuestra percepción de la realidad y tratar de hacernos pensar en la existencia de dimensiones mayores de tres. Realizar la película era el sueño desde la infancia del trio Jeffrey Travis, Dano Johnson y Seth Caplan, admiradores de la novela de Abbott. Travis se encargaría de la dirección, Caplan la produciría y Johnson sería el director de animación. En principio la producción se esperaba que estuviera terminada en seis meses. La película sería parte de un DVD educativo para su utilización en enseñanza secundaria y también sería emitida por televisión. El 25 de Julio de 2006 se anuncia que el conocido actor Martin Sheen interpretará el papel de Arthur. Sus responsables afirmaron estar encantados ya que era la persona en quien habían pensado desde un principio “por su gran talento y la pasión que imprime a sus trabajos” (quizá más por el hecho de tener un famoso que respalde una película independiente de bajo presupuesto, aunque por supuesto esto no lo dijeron). El 14 de Agosto recibieron otra buena noticia: la conocida (en los EE. UU.) actriz de un show televisivo Kristen Bell encarnaría el papel de Hex. El conocido Michael York también se ha sumado al proyecto poniendo la voz a Spherius, la esfera tridimensional. El 15 de septiembre el matemático John Benson, ganador de un premio a la excelencia en la enseñanza de las matemáticas junto al productor Seth Caplan presentaron las primeras escenas ante el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) en una conferencia en Chicago. El 12 de octubre se anuncia la participación de la organización Hollywood Math and Science Film Consulting. La citada organización fue fundada por los profesores de la Universidad de Oxford Lizzie Burns, doctora en bioquímica, y Jonathan D. Farley,  doctor en matemáticas. Presta servicio a aquellas productoras, guionistas o cineastas que deseen que los detalles técnicos y el lenguaje relacionados con las matemáticas, la medicina o la ciencia en general presentes en las películas sea real, sin errores. Tienen un equipo de matemáticos, físicos y otros científicos que garantizan sus decisiones y poseen también contactos en la Academia de las Artes y las Ciencias de Hollywood. No desean eliminar los componentes fantásticos de las películas, pero sí describir la ciencia como es. Algunos de sus trabajos han sido en los guiones de las series Numb3rs, Médium y recientemente en los documentales de Wired Science. En el caso de Flatland the movie su trabajo ha consistido en el asesoramiento en la redacción del guión de la película y el desarrollo de unas practicas de trabajo para alumnos y profesores como suplemento a la película. El resto del personal técnico acreditado de esta empresa son la doctora Sarah Greenwald, (premio en el 2005 por sus esfuerzos en divulgación, es la responsable de la página web que explica los aspectos científicos de la serie de animación Los Simpson), el doctor en medicina Wayne Grody (profesor en los departamentos de medicina de laboratorio, medicina patológica, y en Genética de la Universidad de California,  además de director del laboratorio de patología molecular del Centro Médico de la UCLA), el doctor en matemáticas por la Universidad de Harvard Anthony Harbin, entre otros. Como vemos en los EE. UU. no resulta “extraño”, ni “raro” ni una pérdida de tiempo o de talento que prestigiosos científicos se dediquen a la divulgación. Quizá eso tenga algo que ver con que las Universidades norteamericanas copen los primeros puestos en investigación, o quizá no, pero es un dato. En todo caso podríamos, por si acaso, hacer algo más al respecto por estos lares. De todos modos es, no probable sino seguro, que ni nuestra excelente y excelsa comunidad científica, ni los responsables en educación, ni los medios de comunicación de nuestro país nunca leerán éste u otros comentarios similares de otros medios, lugares o personas. Y es que ya se sabe, para unos, trivialidades las menos, por favor; para otros, primero hay que enterarse de que van todas estas cosas y cuesta mucho esfuerzo y tiempo, y probablemente no lleguen a tiempo de las próximas elecciones; y los otros rentabilizan más los asuntos frívolos y de casqueria.  O sea que como dice el dicho, el que quiera saber, que vaya a Salamanca…..

Martes, 01 de Mayo de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

75. 24. CONCURSO DEL VERANO DE 2007

El curso 2006-2007 llega a su fin en lo que al periodo lectivo se refiere. Tod@s ansiamos la llegada del verano para descansar mente y cuerpo (algunos lo harán menos porque ya se relajaron bastante durante el curso y les toca hincar codos; a otros aún nos queda la ardua y penosa tarea de examinar, corregir, evaluar y repartir alegrías y disgustos). Pero ¿qué sería del verano sin el tradicional concurso cinematomatemático? Pues nada, seguid leyendo. Y es que ya llevamos así como quien no quiere la cosa la tercera edición de este concurso. En las dos convocatorias anteriores, curiosamente, acertasteis más cuestiones matemáticas que cinematográficas, lo cual nos lleva a pensar que, una de tres, o los que leéis estas reseñas preferís las “tracas” al cine (lo cual no deja de ser motivo de sorpresa pero también de satisfacción), o no tenéis mucha idea de cine (os puede ayudar cualquier amigo que escriba crítica de cine en algún sitio que los hay a cientos) o que las preguntas son dificilillas (claro, con toda la información que hay por la Red, hay que liarlo un poco). Pues venga, a ver si este año, la cosa mejora. Pero antes, algunas noticias breves. En la siguiente dirección, http://www.math.harvard.edu/~knill/mathmovies/index.html se incluyen escenas matemáticas de algunas películas. Aunque están en inglés (el autor de la página es norteamericano), la calidad de imagen no es demasiado buena y en algunas el sonido es también deficiente, puede resultar interesante visionarlas, sobre todo aquellas que no se han estrenado en nuestro país. Si además se echa un vistazo al libro Las matemática en el cine de la editorial Proyecto Sur, se pueden entender aceptablemente. Algunas de ellas sin embargo no se sabe muy bien qué pintan ya que la única referencia matemática es la cita de un número. Por otra parte, se ha anunciado  para el próximo 20 de junio la salida al mercado de la segunda temporada de Numb3rs en DVD para todos aquellos que no la hayáis podido seguir en el canal de pago Calle 13, la cadena que la ha venido emitiendo este año. Son 8 discos con los 24 capítulos de la serie en formato panorámico. Su precio, 59.95 €. Colateralmente a las matemáticas, aún en algunos cines se puede ver la película El  número 23 (Joel Schumacher, EE. UU. 2006), con la apofenia como tema de fondo (asunto ya tratado en otros films, como Pi o la serie Perdidos; ver reseña del mes de Diciembre de 2006). A raiz de su estreno han aparecido mogollón de páginas en las que se cuentan diferentes Curiosidades sobre el número 23. Una de ellas es la del enlace. Personalmente no tengo ninguna intención de verla porque me niego a ver nada que tenga que ver con el actor protagonista al que no aguanto ni en foto, pero si alguno cree  que está bien y es de algún interés matemático, escribidme un mensaje y me lo contáis.   El Concurso Cuadrados Mágicos Es probable que conozcáis de sobra el  grabado Melancolía I, de Durero, realizado en 1514. Aparecen en él diversos elementos relacionados con las matemáticas y la física. Hay en la red multitud de explicaciones e interpretaciones de esta obra. Sin entretenernos demasiado citemos una frase relacionada con la temática del grabado atribuida a Martín Lucero: “las matemáticas hacen melancólicos a los hombres, igual que la medicina los hace enfermos o la teología pecadores”. En la esquina superior derecha, debajo de la campana y sobre la cabeza del personaje principal aparece un cuadrado mágico que además nos da la fecha de realización de la obra. Como también sabréis existen 880 cuadrados mágicos diferentes de orden cuatro, siendo éste el más célebre debido a su presencia en este grabado. Pero este cuadrado también ha hecho su aparición en el cine. Las primeras cuestiones son: I.- Citar al menos dos películas distintas en las que éste u otro cuadrado mágico aparezca. Como pista adicional indicaremos que la nacionalidad de al menos dos de ellas es europea. II.- Indicar un lugar de la geografía española en la que aparezca algún cuadrado mágico y explicar si es posible el objeto de su presencia. El fotograma misterioso A continuación se puede ver una imagen de una película en la que si uno se fija un poco aparece una pizarra con expresiones matemáticas. Dos cuestiones más: III.- ¿De qué película se trata? ¿Tiene su argumento algo que ver con las matemáticas? En su defecto (esto se valora sólo con la mitad de la puntuación), nombre de alguno de los dos actores que aparecen. IV.- ¿Tienen esas expresiones algún sentido, responden a alguna cuestión matemática concreta? Si es así, indicar cuál. Un símbolo “extraño” Sobre las cuatro bandas horizontales de la imagen se puede ver una figura que aparece en algunas películas. Se trata de una insignia. Se pregunta lo siguiente: V.- Película o películas en las que aparece. VI.- Encontrar funciones cuya representación gráfica componga lo más fielmente posible la citada imagen. VII.- Si se inscribe esa figura dentro de una circunferencia de radio r que pase por sus tres vértices, ¿qué superficie del círculo encerraría esa insignia? Cada una de las cuestiones planteadas se valorará sobre 10 puntos. El concursante que logre mayor puntuación ganará alguno de los fantásticos libros que DivulgaMAT gentilmente proporciona como premio a vuestros conocimientos y esfuerzo. Como siempre, las respuestas deben enviarse a la dirección alfonso@mat.uva.es antes del viernes 21 de Septiembre de 2007, indicando en el título del mensaje “Verano 2007”. Ánimo a tod@s. Disfrutad de un buen verano. Y ya sabéis que en Octubre nos volvemos a ver, si os parece bien.

Domingo, 01 de Julio de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

76. 25. BALANCE VERANIEGO

XIII Jornadas de Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas La Federación Española de Profesores de Matemáticas (FESPM) y la Sociedad Andaluza de Educación Matemática  THALES organizaron en Granada las XIII JAEM del 4 al 7 de julio de 2007. En su amplio programa aparecieron propuestas que relacionan las Matemáticas y el Cine. Concretamente en una de las exposiciones del Zoco, Abel José Martín Álvarez  y Marta Martín Sierra presentaron una colección de láminas de carteles y fotogramas de películas con alguna referencia matemática. Su objetivo, según sus propias palabras es “utilizar el cine como medio de popularización y divulgación, cuidando los procedimientos y la forma de mezclarlos, para que al alumnado le guste, le siente bien, y le permita hacer una mejor digestión de los conceptos y la abstracción matemática, con la intención de que sea para todo y para todos”. Su valoración ha resultado altamente positiva ya que la exposición tuvo una gran aceptación entre los asistentes. Muchos hicieron fotografías de los posters o incluso se hicieron fotografías con el zoco de fondo. Reconocían las películas, se comentaban y se reflexionaba sobre su contenido matemático. También se echaban en falta algunos títulos, comentándose la conveniencia de incorporarlas al trabajo. Uno de las partes que más llamó la atención fue la dedicada a Los Simpsons, serie que incluye unos cuantos matemáticos entre sus guionistas como ya hemos comentado en otras ocasiones. Algunos particulares y miembros de Sociedades de Profesores se interesaron por disponer de la exposición para presentarla en los Centros de varias provincias. Dado el coste económico y las dificultades logísticas que acarrearía esta iniciativa, sus creadores propusieron  de momento la colocación de la exposición al completo en la Red para que el que lo desee pueda hacer un recorrido virtual por la misma. Abel Martín es profesor del IES Pérez de Ayala de Oviedo y mantiene el portal aula matemática, en el que se pueden encontrar diferentes propuestas relacionadas con las matemáticas enfocadas en la mayor parte de los casos a la labor docente. Una de estas secciones es Las matemáticas y el cine en la que están haciendo un esfuerzo increíble de recopilación de imágenes y de descripción de escenas de películas en las que las matemáticas están presentes. Es en esta sección en la que aparece la exposición completa que han llevado a las JAEM. Por otro lado, en las mismas JAEM el grupo Alquerque presentó una ponencia titulada ¡Divulga Matemáticas! que podéis leer aquí, que examina a fondo las diferentes experiencias divulgativas que se han llevado o se llevan a cabo respecto a las matemáticas. Uno de sus apartados analiza el cine, la televisión y el teatro. Curso de Verano en Avilés Del 9 al 13 de julio tuvo lugar en el Edificio de Servicios Universitarios de Avilés la segunda edición del Curso Una Mirada a las Matemáticas a través del Cine, organizado por Luis José Rodríguez Muñiz, profesor titular del Departamento de Estadística e Investigación Operativa y Didáctica Matemática de la Universidad de Oviedo. Se trata de un curso homologable por 4,5 créditos de libre configuración en enseñanzas regladas y por 3 créditos de Formación Permanente para profesorado en activo no universitario del Principado de Asturias. El número de plazas estaba limitado a 50 y los alumnos debían contestar satisfactoriamente a un cuestionario relacionado con las charlas y las películas proyectadas durante la semana, junto a la presentación de un trabajo final. Las sesiones eran de nueve de la mañana a tres de la tarde y tenían un esquema similar: conferencia, película y análisis posterior de la misma. La semana se distribuyó del siguiente modo: Conferencia Números y Geometría, Visionado pautado de la película Pi, fe en el caos y Análisis de la misma, abordando entre otros aspectos la sucesión de Fibonacci, el número Pi y la teoría de números, a cargo del profesor Ignacio Martínez López de la Universidad de Oviedo; la segunda jornada versó sobre la teoría de grafos, se realizó un visionado pautado de El Indomable Will Hunting, comentándose posteriormente los apuntes históricos sobre las matemáticas que en ella aparecen por parte del profesor Luis José Rodríguez Muñiz; la tercera jornada se centró en la lógica matemática, proyectando y analizándose la película Alicia en el país de las maravillas por la profesora Susana Irene Díaz Rodríguez; el jueves 12 se dedicó a la didáctica de las matemáticas, con la proyección de El amor tiene dos caras, a cargo del profesor Eduardo Zurbano Fernández; finalmente, el que esto escribe hizo un análisis general de cómo han sido vistas las matemáticas por el cine comercial (conferencia titulada Incursiones Matemáticas por el cine) en la que se proyectó un montaje de cuarenta y cinco minutos de duración con escenas de contenido matemático de una veintena de películas diferentes. A continuación mostré una forma de introducir el cine en el aula: a partir de unas escenas de películas se propone trabajar temas como el concepto de paralelismo, las geometrías no euclídeas (en particular la hiperbólica), el último teorema de Fermat y el algoritmo de la curva elíptica en la factorización de números primos de muchos dígitos, tratando de transmitir la idea de que no sólo podemos abordar temas elementales a través del cine, sino también aspectos de nivel superior. Finalmente tuvo lugar una mesa redonda en la que participamos Félix Mendez (periodista especializado en temas científicos del periódico La Nueva España de Avilés), Luis Rodríguez Muñiz (organizador del curso que hizo las veces de moderador), la profesora María José García Salgado (profesora del Departamento de Ciencias Jurídicas Básicas con una amplia experiencia en la utilización del cine en la enseñanza del Derecho: lleva varios cursos impartiendo la asignatura Derecho y Cine) e Ignacio Martínez López (ponente del curso y profesor del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Oviedo). Los medios de comunicación de Avilés se hicieron eco de este y otros cursos universitarios, y diariamente aparecían reseñas del día anterior en los dos periódicos locales: La Nueva España de Avilés (www.lne.es) y La Voz de Avilés  (www.elcomerciodigital.com/aviles/). Aquí están algunos enlaces relativos al curso en el primero de los periódicos citados: Presentación del curso, Entrevista a Irene Díaz, Mesa Redonda. Si alguno de los participantes en el curso quiere dejarnos sus impresiones sobre el mismo, puede enviarlas a la dirección de siempre. Diálogos de Cine Durante este fresquito estío, han seguido llegando mensajes y sugerencias de amigos y compañeros a los que agradecemos sus colaboraciones que enriquecen esta sección. Julio Zárate, desde Burgos, nos enviaba al siguiente diálogo entre Jack Lemmon (C.C. Baxter) y Shirley MacLaine), del clásico El Apartamento (The Apartment, Billy Wilder, EE. UU., 1960): Fran Kubelik: Se ha resfriado, ¡eh!. C.C. Baxter: Si, lamentaría pegárselo. Fran Kubelik: Yo nunca me resfrío. C.C. Baxter: ¿De veras?. He estado leyendo una estadística sobre accidentes y enfermedades. El ciudadano neoyorkino entre los 20 y los 50 tiene dos resfriados y medio por año. Fran Kubelik:  ¡Qué gran responsabilidad la mía! C.C. Baxter: ¿Por qué?. Fran Kubelik: Porque como yo no me resfrío, para que no fallen las estadísticas otro infeliz ha de tener cinco resfriados. Un nuevo ejemplo bastante claro de lo que entiende la gente (¡y muchos periodistas!) de porcentajes y estadísticas. Desde aquí os proponemos que nos enviéis diálogos semejantes que hayáis visto en películas y nos las comentéis. Julio también nos mandaba títulos de películas en las que aparezca algo relacionado con las matemáticas. ¿Existirán títulos para cada número del uno al cien, por ejemplo? A modo de ejemplo, con los diez primeros: 1, 2, 3: Uno, dos, tres (One, two, three; Billy Wilder, EE. UU., 1961) 4: Los cuatro jinetes del Apocalipsis (The Four Horsemen of the Apocalypse, Vincente Minnelli, EE. UU., 1962) 5: Cinco tumbas al Cairo (Five graves to Cairo, Billy Wilder, EE. UU., 1943) 6: La Mitad de Seis Peniques (Half a Sixpence, George Sydney, EE. UU., 1967) 7: Los siete magníficos (The Magnificent Seven, John Sturges, EE. UU., 1960) 8: Ocho y medio (8½, Federico Fellini, Italia, 1963) 9: Nueve semanas y media (Nine 1/2 Weeks, Adrian Lyne, EE. UU., 1986) 10: Los diez Mandamientos (The Ten Commandments, Cecil B. de Mille, 1956). ¿Os fijáis que Billy Wilder aporta bastantes? Y en versión original dos más que se pierden en la título dado en español: Stalag 17 (aquí llamada Traidor en el infierno), The Seven Year Itch (La tentación vive arriba). ¿Y que la fracción ½ también parece popular? (Conste que son las primeras que me han venido a la cabeza). ¡A ver quien llega a la centena! Por cierto Julio Zárate es también coautor junto a José Chamoso de uno de los paseos matemáticos editados por Nivola, Matemáticas en la prensa. Avance Próximos Estrenos Tenemos a la vista dos estrenos de películas relacionadas con las matemáticas y/o los matemáticos. La Habitación de Fermat (Fermat´s Room, Luis Piedrahita y Rodrigo Sopeña, España, 2007): Cuatro matemáticos que no se conocen entre sí son invitados por un misterioso anfitrión con el reto de resolver un gran enigma. El problema es que si no lo hacen a tiempo, acabarán aplastados ya que las paredes van estrechando la habitación en la que se encuentran. ¿Qué relación los ha unido?¿Quién puede desear acabar con ellos? En el reparto se encuentran Federico Luppi, Santi Millán, Lluís Homar, Alejo Sauras y Elena Ballesteros. Es el debut de estos guionistas/realizadores, con una amplia trayectoria en el mundo de la televisión. La premiere mundial de La habitación de Fermat será el próximo 7 de octubre en el Festival Internacional de Cinema de Catalunya, Sitges 2007. Su estreno comercial se anuncia para el 16 de noviembre de 2007. Por cierto, ¿No os suena ya todo esto al argumento de otras películas? Para ir abriendo boca, ahí tenéis el Trailer de La habitación de Fermat Los crímenes de Oxford (The Oxford Murders, Alex de la Iglesia). En reseñas precedentes ya os hemos venido informando del rodaje de esta película basada en la novela de nuestro compañero y colaborador de DivulgaMAT, Guillermo Martínez. El estreno se ha fijado para el 18 de Enero simultáneamente en inglés y castellano. Por ahora tenemos fotos del rodaje y el póster probable de la película. RESPUESTA A LAS CUESTIONES DEL CONCURSO DEL VERANO 2007 Cuadrados Mágicos I.- Dos películas en las que aparece un cuadrado mágico en alguna escena son Las aventuras del Barón de Münchhausen (Münchhausen, Josef von Baky, Alemania, 1943) con Hans Albers en el papel protagonista y Brigitte Horney como la emperatriz Catalina la Grande. Fue el cuarto largometraje alemán rodado en color, rodada con efectos asombrosos para la época en los estudios UFA, capricho (se derrochó de todo estando el país inmerso en plena guerra sufriendo la población grandes privaciones) Josef Goebbels para conmemorar el 25 Aniversario de la UFA. Ha restaurada en 1995por la Fundación Murnau. Sobre este personaje se han realizado muchas adaptaciones al cine (1911, 1943, 1961, 1979, 1988), y versiones televisivas. En la imagen se ve al mentiroso Barón con el mago Cagliostro. Al fondo se observa el cuadrado mágico de orden cuatro: 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 El mismo que aparece en la obra Melancolía de Durero. La segunda película era más sencilla de localizar (al menos si se ha leído el libro Las Matemáticas en el Cine con cierto detalle; ver página 291). Se trata de Bianca (Nanni Moretti, Italia, 1983). Aunque la fotografía no tiene una excesiva calidad, ahí va como prueba: En este caso el cuadrado que aparece, también de orden cuatro y con la fecha del grabado de Durero, 1514, en la fila inferior, es 13 2 3 16 11 8 5 10 6 9 12 7 4 15 14 1 II.- Como nos explica el ganador del concurso, “un cuadrado mágico muy famoso se encuentra en la fachada de la Pasión del templo de la Sagrada Familia en Barcelona. La constante de este cuadrado es 33, la edad de Cristo al morir” Es muy similar al cuadrado mágico de Melancolía, pero dos de los números del cuadrado (el 12 y el 16) están disminuidos en dos unidades (10 y 14) con lo que aparecen repeticiones y se rebajar la constante mágica en una unidad. Obsérvese además al comparar uno y otro que se han invertido las filas de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha (vamos que en el fondo es el mismo cuadrado de la obra de Durero). Es obra, como toda la fachada del escultor Josep María Subirachs. Desde 1987, año en que asume el encargo de diseñar y esculpir esta fachada, vive y trabaja en una modesta vivienda situada en el interior del propio templo de la Sagrada Familia, a imagen y semejanza de su admirado Antonio Gaudí. El fotograma misterioso III. y IV- Esta sí era difícil. Se trata de la película Inquietud (Inquietude, Manoel de Oliveira, Portugal/Francia/España/Suiza, 1998). En ella tres historias de diferente naturaleza se hilvanan ingeniosamente. Es una escena de la  primera en la que un padre incita a su hijo al suicidio para escapar de la decrepitud. La película no trata de matemáticas y las expresiones del encerado no parecen responder a nada conjunto sino más bien son cosas sueltas (una suma, una función, una integral). Un símbolo “extraño” V.- Se trata de un logo de la saga Star Trek. El reproducido era concretamente de la serie de televisión Star Trek: the next generation, ya que su diseño ha ido cambiando con el tiempo. VI.- Aunque podría mejorarse, una aproximación rápida seria construir dos funciones por interpolación. La externa formada por dos trozos de parábola simétricos, uno de las cuales pase que pase por los puntos (-4, 0), (-2.5, 7) y (0, 13.5). Para la interna (de color morado en el dibujo), puede utilizarse un polinomio cúbico de Hermite con los datos siguientes: Punto (-4, 0) con pendiente √3 Punto (0.8, 6) con pendiente 0 Punto (4, 0) con pendiente -√3 El área encerrada por ambas curvas (es una sencilla integral polinómica) resulta para estos datos de 1846/45 - 208√3/75 que es aproximadamente 36.2186. Como la altura máxima que se ha dado es de 13.5, si se desea que sea de otro tamaño basta con aplicar la proporción adecuada. VII.- La circunferencia circunscrita a los vértices dados es x2 + (y-665/108)2 = 628849/11664, siendo su superficie π r2 = π (628849/11664) ≈ 169.37476. El trozo de círculo ocupado por la insignia será la diferencia entre este valor y el del apartado anterior. El ganador del concurso ha sido Alberto Castaño Domínguez. ¡¡¡ ENHORABUENA ¡!!

Lunes, 01 de Octubre de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

77. 26. Recursos Didácticos

Este mes centraremos nuestra atención en una serie de divulgación reciente, Digits. Del Número al Bit, daremos cumplida noticia de algunos eventos que tendrán lugar en breve relacionados con el cine y las matemáticas en nuestro país, y añadiremos más diálogos matemáticos y títulos con número a las respectivas secciones inauguradas en Octubre. El cine no sólo contempla la producción de películas comerciales de ficción. Últimamente el género documental ha suscitado el interés de muchos espectadores, sobre todo cuando los temas son lo suficientemente atractivos o inciden en asuntos con cierta carga de polémica (películas de Michael Moore, sobre el 11-S, o la reciente Una verdad incómoda sobre el cambio climático). Sin embargo por muy verosímiles que puedan parecer siempre han ido ligadas a la controversia, desde el pionero Nanuk el esquimal (Nanook of the north, Robert Flaherty, EE. UU., 1922), pasando por Las Hurdes, tierra sin pan (Luis Buñuel, España, 1932) hasta las series naturalistas de Jacques Cousteau o Félix Rodríguez de la Fuente. Mucho se ha debatido por los expertos sobre si todo documental es falso o no, o si lo es consciente o inconscientemente por parte del realizador. Quizá sea pertinente recordar también los casos del cine de propaganda bélica o el de clara intoxicación cultural manejado normalmente por intereses políticos partidistas para convencernos de sus bondades. Probablemente los documentales relacionados con las matemáticas no llenen las salas cinematográficas ni eleven el share televisivo a niveles demasiado altos, pero una cosa es segura: la manipulación a la que nos puedan someter es limitada. Limitada a nuestros propios conocimientos. Dígits, Del número al bit, es una coproducción de la Televisió de Catalunya, Lavínia TV, La Productora y Docu.net, de 50 capítulos de 5 minutos cada uno. Con imágenes procedentes de  fondos documentales, recreaciones infográficas, filmaciones e Internet, la serie describe ideas, personajes y experiencias del pasado y el presente de la numerización de la información y las comunicaciones. Con un vocabulario sencillo y un ritmo ágil, Dígits se dirige a cualquiera que esté interesado en este fenómeno de nuestro tiempo y en sus diversas aplicaciones. Su breve duración, que limita su profundidad, es sin embargo muy acertada para llegar a un público amplio, al que casi no le da tiempo a cambiar de canal. Su gran inconveniente, sin querer entrar en absurdas polémicas recientes, es que está en catalán (recuperar, conservar y difundir un idioma es un hecho cultural enriquecedor y necesario; pretender que todo el mundo mundial lo hable y domine, es sencillamente, insensato; obligar a hacerlo, es, perdónenme los más sensibles al tema, puedo estar equivocado, de una soberbia que no deseo calificar. Cada cual debe ser libre de decidir que idiomas aprender, aunque no por ello impedirle el acceso a la información). Estaría bien doblarla, o mejor, para respetar más el original, subtitularla. En todo caso, la dicción es pausada y clara, lo que permite a un no catalán parlante entender aceptablemente bien su contenido. La serie ha sido emitida de octubre a diciembre de 2006 por el canal 33 de la Televisió de Catalunya (TVC) y repuesta de enero a marzo de 2007 por el canal 33 TDT de la misma cadena. Sus responsables han creado también un portal (www.digits.cat) sobre los números, las medidas, los cálculos, los instrumentos de cálculo y, en particular, los ordenadores. En ella se incluye el texto y algunos fotogramas de cada capítulo (en total, más de 500 imágenes). Cada imagen se acompaña de unas Notas, con enlaces recomendados e información complementaria, y de una o varias Colaboraciones, que son comentarios sobre la persona, la obra o el concepto representado. Además, los vídeos de todos los capítulos pueden verse en línea en la web www.edu3.cat, una iniciativa de la Generalitat de Catalunya, y algunos en YouTube: Cálculos Griegos, Constantes Universales, Potencias de Diez, Animación Digital, Tres dimensiones, Realidad Virtual, Medir el Espacio, Música Digital y Números Cualificados. El resto de capítulos de la serie la integran los siguientes títulos: Números Notables, Cálculos Vistosos, Telefonía, El Ciberespacio, Medir el Tiempo, El profeta de los Números, Autómatas de Ficción, Cifrar mensajes, La máquina soñada, El ordenador personal, Piedras, símbolos y Bolas, Programar Ordenadores, Calculadoras, Medir el Espacio, Música Visual, Cálculos Electrónicos, Inteligencia Artificial, El chip minúsculo, El código Digital, El Número de Oro, Interactividad, Efectos Especiales, Cálculos Lógicos, Aventuras Virtuales, Visiones del pasado, Cálculos de Navegantes, Videojuegos, Números Enormes, etc. Describo a continuación, a modo de ejemplo, el contenido de algunos de estos capítulos y el enlace a YouTube donde se pueden visualizar (basta pinchar en el título, salvo el de La máquina soñada). La máquina soñada Mucho antes de la aparición de los ordenadores, un científico inglés diseñó una máquina que, sobre el papel, era como un ordenador. El capítulo se dedica a este invento que no llegaría a fabricarse nunca. Durante el siglo XIX, los astrónomos, navegantes y contables realizaban sus cálculos mediante el uso de tablas numéricas, que elaboradas manualmente, solían contener errores. Charles Babbage era una matemático inglés que iba a aplicar sus conocimientos a la  resolución de problemas prácticos. Dedicó toda su vida a diseñar máquinas para calcular automáticamente esas tablas numéricas y evitar así las equivocaciones. Su primer proyecto fue la “máquina de diferencias”, basada en un conocido procedimiento para trabajar con polinomios. Las sucesivas diferencias constantes de los polinomios se podían utilizar para aproximar valores en lugar de efectuar multiplicaciones. Babagge pensaba que la máquina que funcionaba de este modo podría calcular un polinomio cada dos segundos. Después de muchas pruebas y modificaciones, el proyecto fue abandonado. Seguidamente, Babbage inició un proyecto más ambicioso, la "máquina analítica", capaz de realizar una variedad de cálculos más amplia. Esta nueva máquina tenía cinco componentes principales: el "almacén", donde se guardaban los datos; el "molino", que los procesaba; el "control", que lo gobernaba todo; "la entrada", a través de la cual se introducían los datos del problema, y la "salida", por donde se producían los resultados del cálculo.          Tenía unos 30 metros de largo por 10 de ancho y funcionaba mediante vapor. Pero este ingenio tampoco se hizo realidad. La tecnología del momento no permitió su construcción. En cualquier caso su diseño fue un hecho extraordinario, ya que contenía los mismos componentes esenciales que el ordenador moderno. Cálculos Griegos El legado de la Antigua Grecia es impresionante: arquitectura, escultura, filosofía. También las matemáticas. El capítulo expone las relaciones de personajes como Tales, Pitágoras, Euclides o Arquímedes. Tales creía que todo tenia un origen común, que todo provenía de un único principio:  el agua. Para Tales, las causas de los fenómenos de la naturaleza debían de buscarse en la misma naturaleza, y no entre los dioses y los mitos. Esta nueva manera de pensar va a inundar todo el saber, incluida la matemática. El primer gran matemático va a ser Pitágoras, que pensaba que el origen de todo eran los números. Por eso buscaba armonías numéricas para todo, lo que le llevaría a formular su famoso teorema. Aristarco, Eratóstenes o Aristóteles van ser otros matemáticos de aquellos tiempos. Todos trabajaban también en astronomía y en filosofía, ya que había pocas divisiones entre los conocimientos. El más influyente de todos va ser Euclides, que escribió los "Elementos", una obra que incluía centenares de demostraciones a partir de unos principios básicos, los axiomas. Otro matemático destacado fue Arquímedes, también interesado por la física y las aplicaciones sus principios a la construcción de máquinas. Las ideas matemáticas de Arquímedes se ponen de manifiesto en la obra "El Palimpsesto", que contiene, por ejemplo, un método para calcular la relación entre el perímetro de un círculo y su diámetro. De este cálculo se deduce el valor del número pi. El libro también analiza el concepto de número infinitamente pequeño, el infinitésimo. Al cabo de varios siglos, Newton y Leibniz lo volverán a descubrir, y la física va cambiará para siempre. En la Antigua Grecia, el sistema para hacer operaciones con los números y representarlos se  basaba en el alfabeto. Las primeras letras representaban las unidades, las nueve letras siguientes las decenas, y las nueve ultimas las centenas. Números Cualificados El capítulo repasa diferentes tipos de números dependiendo, por ejemplo, del resultado de realizar sucesivas sumas o divisiones. Los matemáticos clasifican los números en naturales, enteros, fraccionarios, racionales... Pero también los da otros adjetivos: perfectos, amigos, capicúas, triangulares, cuadrados, cúbicos, mágicos, felices, primos... Un número es perfecto si la suma sus divisores resulta él mismo. Uno de estos números es el 6, ya que sus divisores, 1, 2 y 3, suman, justamente, 6.  Los números amigos son aquellos en que la suma de los divisores de uno equivalen a la suma de los divisores del otro. Por ejemplo, 220 y 284 son amigos. Los capicúas, o números palindrómicos, son aquellos que se leen igual tanto si se comienza por la derecha como por la izquierda. También están los números asociados a figuras geométricas planas como los polígonos. Por  ejemplo, los números triangulares, cuadrados, pentagonales o hexagonales. También hay números asociados a figuras de tres dimensiones, como los números cúbicos y los piramidales. En la obra de Durero "Melancolía" aparece un cuadrado mágico, es decir, una cuadricula con números ordenados por filas, columnas y diagonales que suman siempre la misma cantidad, la constante mágica. En la Sagrada Familia de Barcelona hay un cuadrado mágico que tiene como constante el número 33. Un número es feliz cuando la suma reiterada de los cuadrados de sus dígitos acaba siendo 1. Son números felices el 7, el 10, el 13, el 19... Los números más interesantes para los estudiosos son los primos. Un número es primo cuando sólo es divisible por sí mismo y la unidad. Por ejemplo, el 29, ya que sólo se puede dividir por 1 y por 29. Hoy en día los números primos se utilizan para encriptar los mensajes que circulan por internet para garantizar su confidencialidad. Próximos Acontecimientos Cinefilo-Matemáticos Como seguramente sabréis, nos encontramos en pleno Año de la Ciencia. La Facultad de Ciencias Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid ha organizado unas actividades entre las que se encuentran algunas dedicadas al cine y las matemáticas. Concretamente el 5 y el 16 de Noviembre, de 11:00 a 13:00, se proyectarán las películas Enigma y La verdad Oculta, presentadas por las profesoras Dña. Mercedes Sánchez  y Dña. Yolanda Ortega Mallén, en el Aula Rey Pastor de la Facultad de Ciencias Matemáticas de la UCM, Plaza de la Ciencias, nº 3 Ciudad Universitaria, con un aforo de 400 personas. El día 14 de Noviembre en el Aula Miguel de Guzmán tendrá lugar la Conferencia impartida por el profesor Alfonso Jesús Población Sáez sobre Las Matemáticas en el Cine, de 18:00 a 20:00. Esta conferencia podrá seguirse por internet. Más información en la página de la UCM. El 20 de Noviembre también impartiré una conferencia dentro del Seminario Investigación Científica: Creación y Búsqueda de Recursos para el Aula, en el CAP de Retiro (Madrid). Y finalmente, el 27 de Noviembre, a las 18:00, dentro del ciclo de Conferencias-Taller de Matemáticas Las Matemáticas, Base de Cultura, en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Oviedo, dedicaremos la jornada también al Cine y las Matemáticas. Como veis, el Cine y las Matemáticas van a cobrar un especial protagonismo este mes de Noviembre, de todo lo cual os tendremos puntualmente informados el próximo mes. Títulos Numéricos Este mes tocan los diez números siguientes. 11: La cuadrilla de los once (Ocean´s Eleven, Lewis Milestone, EE. UU., 1960) 12: Doce del patíbulo (The Dirty Dozen, Robert Aldrich, 1957); Doce Hombres sin piedad (Twelve Angry Men, Sidney Lumet, 1957) 13: Trece días (Thirteen Days, Roger Donaldson, EE. UU., 2000) (También Viernes 13, 13 Rue Madeleine, El guerrero número 13, etc. El número 13 ha dado lugar a muchos títulos) 14: 14 Kilómetros (Gerardo Olivares, España, 2007) (La ganadora de este año de la 52 SEMINCI de Valladolid) 15: 15 días contigo (Jesús Ponce, España, 2005) 16: Dulces dieciséis (Sweet Sixteen, Ken Loach, Reino Unido, Alemania, España, 2002) 17: El número 17 (Number Seventeen, Alfred Hitchcock, Reino Unido, 1932) 18: Tenemos 18 años (Jesús Franco, España, 1959) 19: Diecinueve (Nainteîn, Kensho Yamashita, Japón, 1987) 20: Los violentos años veinte (The roaring twenties, Raoul Walsh, EE. UU., 1939) ¿Os animáis a seguir? Diálogos de Cine Nuestro compañero Julio Zárate (un saludo desde aquí), nos envió un nuevo diálogo, en este caso de la anarco-comedia Torapia (Karra Elejalde, España, 2004): [Basilio (Karra Elejalde), el ladrón protagonista, se cuela en una iglesia con un pincho moruno en la mano para montar un escándalo que obligue a la policía a llevarle al psiquiátrico San Quintín]. Basilio: ¡Otra vez no, a San Quintín, no! Poli asturiano: ¿Cómo que no? ¡Usté tá locu! Basilio: Si, un poco…, manías, rarezas… noto por dentro que me estoy desquiciando un poco (Le suelta un rotundo eructo). ¡Este pincho estaba malo! A cualquiera le puede pasar. Asúmalo. Poli asturiano: ¿Yo? ¿Qué lo asume yo? ¡Nada de asumar! En cuanto a lo primero, yo no asumo, ¡yo arresto! Y en cuanto a lo segundo, no suministrote una hostia y divídote en cuatro porque se nos multiplicarían los problemas. A ver si vamos a acabar aquí todos quebraus. ¿Entendiste la ecuación, Aristóteles? ¡Hala! ¡Al furgón!... ¡Que no se por qué no métote un tres catorce que íbate parecer pi! ¡A San Quintín!

Jueves, 01 de Noviembre de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

78. 27. La habitación de Fermat

Repasamos algunos aspectos de esta película tanto desde el punto de vista cinematográfico como exclusivamente matemático, y alguna que otra intervención televisiva poco afortunada. Además la tercera temporada de Numb3rs echó a rodar en Canal 13. El pasado 16 de Noviembre se estrenó La habitación de Fermat en salas comerciales (recordemos que ya se había pasado en el festival de Sitges, y hubo algún que otro pre-estreno en algunas ciudades, por ejemplo, en la clausura de las XIV Jornadas de emprendedores en la Escuela de Empresariales de la Universidad de Valladolid en el que participaron sus realizadores). Habitualmente cuando se produce un estreno, los medios de comunicación (prensa, radio, televisión) procuran no chafar nada del argumento para que los potenciales espectadores vayan a verla; las revistas especializadas suelen realizar una crítica más razonada del producto. Desde aquí procuraremos no desvelar “el meollo” del asunto, aunque sí revelaremos los enigmas matemáticos que aparecen en la película. Los que la hayan visto descubrirán en las líneas que siguen muchas de las claves del argumento, que sin embargo, pasarán desapercibidas para el resto. Ficha Técnica: Nacionalidad: España, 2007. Guión y Dirección: Luis Piedrahita y Rodrigo Sopeña. Fotografía: Miguel Ángel Amoedo, en Color. Montaje: Jorge Macaya. Música: Federico Jusid. Producción: Adolfo Blanco, César Benítez, José María Irisarri, Manuel Monzón Fueyo. Duración: 90 min. Ficha artística: Intérpretes: Lluís Homar (Hilbert), Alejo Sauras (Galois), Elena Ballesteros (Oliva), Santi Millán (Pascal),  Federico Luppi (Fermat), Helena Carrión (Bibliotecaria). La película comienza con un fundido en negro y la voz de uno de los protagonistas (Alejo Sauras) que advierte directamente al espectador: “¿Sabéis lo que son los números primos? Si no lo sabéis, mejor que os vayáis de aquí” Vemos entonces a un joven, al parecer famoso, rodeado por varias chicas que coquetean con él. Les explica el enunciado de la conjetura de Goldbach (a saber, todo número par mayor que dos puede expresarse como suma de dos números primos). Y les pone varios ejemplos: 18 = 7 + 11          24 = 5 + 19          100 = 83 + 17          1000 = 521 + 479 y fardando aún mas, a partir de la matrícula de su deportivo, les suelta que 7112 = 5119 + 1993, sin mostrar aparentemente ningún esfuerzo mental para dar dicha descomposición. Se trata de un estudiante de matemáticas de 21 años que está de moda al afirmar haber encontrado una demostración a dicha conjetura, a la que define como “el problema más difícil de la historia de las matemáticas”. Desde luego al elemento no le hace falta abuela ni nadie que le dore la píldora, se basta el solito. Más bien le hace falta una cura de humildad. Tendrá ocasión de recibirla. La primera sorpresa es que, días antes de llegar la fecha a la que va a comunicar al mundo su sublime descubrimiento, asaltan su cuarto, revuelven todo y le roban tal demostración, lo cual parece desesperarle bastante. El espectador debería pensar entonces (al menos eso pensé yo) que no debe ser para tanto: si tiene tal prueba, sólo será un retraso porque será capaz de volver a escribirla, al menos de indicar las líneas maestras de su razonamiento, y tras la denuncia, nadie podría quitarle la autoría del descubrimiento. Cuatro meses después nos encontramos a otro matemático jugando al ajedrez con su médico, que parece preocupado por su salud. Éste comenta su afición a los enigmas, preguntándole: ¿Qué tienen en común Georg Cantor, Yutaka Taniyama y Kurt Gödel? El matemático, quizá algo desconcertado al comprobar que su amigo conoce nombres muy específicos (algo no muy habitual entre los no especialistas) responde algo obvio: los tres fueron eminentes matemáticos, de gran inteligencia. Pero los tiros iban por otro lado: los tres enloquecieron y se suicidaron. El matemático reconoce entonces haber pensado alguna vez en ello. Tanto el joven como este último han recibido una carta-invitación a una atrayente velada en la que se anuncia que tendrá lugar un gran descubrimiento. Pero sólo pueden asistir aquellos que sean capaces de resolver la siguiente cuestión: ¿Qué patrón sigue la siguiente secuencia de números   5 – 4 – 2 – 9 – 8 – 6 – 7 – 3 – 1? Conocemos al tercer protagonista a través de la resolución de este acertijo. Se trata de un hombre de mediana edad, al parecer también matemático, aunque menos lúcido que los otros dos ya que no logra resolver satisfactoriamente la cuestión hasta el último momento (es decir, a punto de acabar el plazo que les dan para enviar la solución) y de manera un tanto casual. Lo hace en una biblioteca, rodeado de libros, dando la impresión de haber estado buscando esa cuestión u otra similar escrita en alguna parte. Eso un matemático rara vez lo hará, siempre intentará resolverlo por sí mismo, salvo que esté ya muy desesperado y le interese mucho asistir a la reunión. Reunión, por cierto a la que convoca un tal Fermat. Un pequeño comentario sobre la cuestión anterior. En las reseñas de Diciembre de 2006 y Enero de 2007 ya se comentó lo ocioso y tramposo que resulta buscar la relación que cumple una sucesión de números puesto que existen, por ejemplo, infinitos polinomios interpoladores de los datos dados y nadie podría afirmar que uno es más valido que otro. En este caso son nueve dígitos que siempre verificarán un único polinomio de grado menor o igual que ocho. En este caso (-1/6720) (13 x8 + 596 x7 - 11410 x6 + 118328 x5 - 720517 x4 + 2605764 x3 - 5376540 x2 + 5668592 x - 2251200) y nadie podría decir que este no es el patrón que siguen (para los no matemáticos: este polinomio devuelve los números anteriores cuando se va sustituyendo la x sucesivamente por 1, 2, 3, hasta 9). Pero claro, hasta a un matemático le parecería “rara” una solución como ésta. Que la solución no tiene nada que ver con operaciones matemáticas, o dicho de otro modo, que hay gato encerrado, se podría deducir de que, casualmente, los dígitos que aparecen son todos (excepto el cero) y no se repite ninguno, pero en fin, cada uno tendrá sus propios mecanismos de razonamiento. Diez días después cuatro personas (de la cuarta no tenemos aún referencias) son citadas en la carretera 141, kilómetro 18, un lugar apartado en el campo, al pie de un embalse. El primero en llegar será precisamente el último del que hemos hablado, al que el misterioso Fermat ha rebautizado con el nombre de Pascal. Al poco aparece un motorista, una mujer, cuyo seudónimo será el de Oliva, y de primeras algo distante. Por el camino, los otros dos protagonistas que ya conocemos (nombrados por el enigmático Fermat como Galois, el joven y Hilbert, el mayor),  se han encontrado y presentado entre ellos, al averiarse el automóvil del segundo. La coincidencia de ir al mismo destino la define Hilbert así: “Cuanto más estudio la lógica, más valoro la casualidad”. Reunidos los cuatro, a la hora exacta reciben una señal luminosa de un coche en la otra orilla del lago. Sin mayores dificultades descubren cómo acceder allí: remando y gracias a “Pitágoras”. Hilbert (que recordemos es muy aficionado a los enigmas de matemática recreativa) apunta que la situación le recuerda al famoso problema en el que un pastor, un lobo, una oveja y una col deben pasar al otro lado de un río, pero sólo pueden hacerlo de dos en dos, y que nunca pueden coincidir ni en las orillas ni en la barca lobo y oveja, ni oveja y col. Los comentarios de Pascal (¿porqué un pastor tiene que llevar un lobo?) y Oliva (¿quién de nosotros es el pastor, el lobo, la oveja y la col?) nos siguen definiendo sus personalidades. Ya de noche llegan al lugar, un viejo almacén de grano. Hilbert va quejándose del poco estilo de Fermat: en ese tipo de reuniones se suele estar en un lugar confortable, con una buena biblioteca, etc. Al entrar en el lugar, curiosamente como apunta Oliva, descubren que efectivamente las condiciones son como las acababa de describir Hilbert. Después de asentarse y lucubrar sobre el misterioso Fermat (y criticar su falta de formalidad por hacerles esperar), éste aparece. Interpelado por el enigma que les convoca, los frena cortésmente: “El verdadero enigma es cómo cuatro personas juntas aún no han tomado nada para cenar”. A los postres, frente a unas naranjas, tampoco desaprovecha Hilbert la ocasión de mencionar el conocido problema de empaquetamiento de esferas propuesto por Kepler, que recientemente fue demostrado después de varios siglos de conjetura. En la charla posterior, Fermat pregunta a los demás qué les gustaría poder hacer. A Oliva (y posteriormente Galois, que no pierde ocasión de intentar ligarse a cualquier cosa con faldas) poder volar, mientras que Hilbert responde que ser invisible. Esta respuesta no le gusta nada a Fermat, ya que, según él, ese es un deseo que sólo sirve para hacer maldades. Al poco, Fermat recibe una llamada en su teléfono móvil (a los demás no se les permitió llevarlo; este hecho permite una broma de Pascal: (a Galois) “podrías haber averiguado que Fermat es un asesino” Todos lo miran con estupor. “Es que es el único que tiene un móvil”) y expone las razones por las que debe ausentarse de inmediato de la reunión. Al poco de irse, los cuatro protagonistas descubren lo que sabemos por el trailer y la campaña publicitaria de la película: se quedan encerrados en la habitación, y para sobrevivir deben resolver una serie de enigmas que les son planteados a través de una PDA. Si fallan o responden en un tiempo superior al asignado, las paredes comienzan a moverse estrechándose. Y según su estimación, en menos de una hora (y aunque no lo he comprobado, da la impresión de que esto va a suceder en tiempo real de la película, como en Solo ante el peligro). A la vez, se preguntan las razones por las que Fermat se ha comportado así, precisamente con ellos. Un repaso a los enigmas planteados en la habitación A continuación describimos los acertijos que se les plantean a nuestros protagonistas y la solución que dan. La explicación completa, que la razone el lector, si tan sencilla es, según la mayor parte de los medios de comunicación que ha reseñado la película. 1.- Tres cajas opacas de caramelos aparecen etiquetadas en tres tipos: anís, menta y mezcla de ambas clases. Ninguno de estos rótulos está colocado en la caja correspondiente. ¿Cuántos caramelos debemos extraer de las cajas para colocar correctamente las etiquetas? Solución: un solo caramelo de la caja donde pone mezcla. 2.- Aparecen un montón de unos y ceros en la PDA. ¿Qué representan? Oliva comienza a contar el número de dígitos que aparecen. Mientras Galois coloca sobre una mesa un grupo de fichas, identificando una de sus caras con los unos y la contraria con los ceros. Cuando Oliva da el número de dígitos, 169, Galois ve clara la disposición: prueba con un cuadrado ya que 169 = 13 x 13. Mientras tanto Hilbert, Pascal y Oliva están calculando el tiempo que les queda antes de ser aplastados: las paredes se desplazan aproximadamente 9 ó 10 centímetros por minuto. La habitación tiene aproximadamente unos 50 metros (eso se dice en la película, pero señores guionistas, esos son metros cuadrados porque es una superficie; se puede argumentar que en el lenguaje coloquial, la gente dice sólo metros, pero ya que está en nuestra mano, hagámoslo bien). Finalmente establecen que les queda menos de una hora, ¿están en lo cierto? Después de disponer todas las fichas, aparece la forma de una cara, aunque al poner esto en la PDA no aparece como “correcto”. Oliva, vuelve a encontrar rápidamente la respuesta precisa: calavera. 3.- En el interior de una habitación hay una bombilla. Fuera hay tres interruptores, y sólo uno de ellos enciende la bombilla. Nosotros estamos fuera y sólo podemos entrar una vez a la habitación. ¿Cómo averiguar el interruptor que enciende la bombilla? Los hombres están tratando de parar el movimiento de las paredes por la fuerza bruta. Sólo Oliva se preocupa de las cuestiones de la PDA (¿machismo de ellos, mayor inteligencia de ella, o ambas cosas?). El movimiento de las paredes está a punto de aplastar las lámparas y dejarlos a oscuras. Pascal, el más práctico, asegura que el mecanismo que mueve las paredes (es también inventor y sabe de estas cosas) es el de unas prensas hidráulicas, imposible de detener si no es con otra prensa similar. Accidentalmente, Hilbert se quema los dedos al tocar una de las lámparas. Esto da la pista a Oliva para resolver el enigma. ¿Cuál es dicha solución? 4.- ¿Cómo medir exactamente 9 minutos con dos relojes de arena de 4 y 7 minutos? De nuevo Oliva en acción (ver foto). Veamos cómo lo explica ella misma: Ponemos los dos relojes a la vez, el de 4 y el de 7. Cuando se termina la arena del de 4, han pasado 4 minutos. Le volvemos a dar la vuelta. Tres minutos después se acaba la arena del de 7. Le volvemos a dar la vuelta. Cuando se acaba la arena del de 4 por segunda vez han pasado 8 minutos. El de 7 ha cronometrado un minuto; le volvemos a dar la vuelta y ya tenemos los 9 minutos que nos piden. 5.- El conocido problema de la lechera y sus hijas, planteado aquí con otros personajes (un profesor y su alumno). Dos lecheras vecinas se encuentran en la calle. Una le pregunta a la otra por las edades de sus tres hijas, y la primera le indica: “El producto de las edades de mis tres hijas es 36 y su suma es el número del portal”. La vecina echa cálculos y al cabo de un rato le indica que le falta un dato. Tras repasar las cuentas, le dice, “En efecto. Mi hija mayor toca el piano” ¿Cuáles son las edades de las hijas? Galois les indica que se trata de un problema clásico (en efecto; lo raro es que Oliva y Pascal no lo conozcan) y da la solución inmediatamente: 9, 2 y 2. 6.- Un prisionero está en una celda guardada por dos carceleros que custodian sendas puertas. Una de estas puertas conduce a la libertad. Uno de los carceleros siempre dice la verdad y el otro siempre miente. Al prisionero se le permite hacer una única pregunta a uno de los dos guardianes. ¿Qué debe preguntar para salir de su encierro? En esta ocasión la solución la da Pascal: “¿Qué puerta me diría tu compañero que es la buena?” 7.- El último vuelve a ser una cuestión de edades: Una madre es 21 años mayor que su hijo. Al cabo de 6 años la edad de la madre será cinco veces la que tenga el hijo. ¿Qué está haciendo el padre? Hilbert, que hasta el momento no había aportado más que comentarios, resuelve éste. Según las condiciones del enunciado el hijo resulta tener  -3/4 (aparentemente una edad absurda, pero es necesario interpretarla), es decir, -9 meses, por lo que ya se sabe que hace el padre en esos momentos. Resolución Final Que no, que no vamos a desvelar qué ocurre. Pero hacia el final de la película, Fermat realiza su único comentario relacionado con las matemáticas. Conduce un coche y no lleva puesto el cinturón de seguridad. Un policía lo acompaña haciendo la siguiente observación: “El 28% de los conductores muere por no llevar puesto el cinturón de seguridad”. Fermat responde sonriendo, “o sea que el 72% restante muere con el cinturón puesto”, comentario que no hace ni pizca de gracia al agente (probablemente por no entenderlo), aunque su apreciación no puede resultar más profética. La sección crítica Antes de ver la película me temía lo peor: prácticamente todos los medios se referían a otras películas para encuadrar ésta. Que si la escena de la trituradora de la Guerra de las Galaxias, las novelas y películas de Agatha Christie, el Cube español, que si un capítulo de En los límites de la realidad, que si Saw, La huella, etc., con lo cual uno pensaba, ¿qué es esto entonces? ¿un pastiche patrio de todas ellas? Encima viendo cómo el cine (y sobre todo el cine español) ha reflejado a los matemáticos y a las matemáticas (perdón por la auto referencia, pero es pertinente, ver el libro Las matemáticas en el cine), pues nada cuatro freakies tarados resolviendo las típicas cuestiones escolares calcadas entre sí y provocando aún más rechazo en los espectadores por nuestra querida materia. Pero no. Aunque ciertamente mantiene ciertas similitudes con las referencias citadas, sobre todo con Cube, la película tiene identidad propia, y los matemáticos son caracteres bastante normales, como son la mayor parte de los reales. Galois, el primero en aparecer, es una joven promesa  (“Mi único mérito es ser joven”, afirma en uno de los instantes cruciales del film), que como se estila hoy en día en nuestra culturilla del pelotazo, quiere triunfar lo antes posible y con el menor esfuerzo posible. No repara en autopromocionarse en los medios de comunicación aún mintiendo; para él el fin justifica los medios, y tiene un ego de lo más subido (ligón, coche deportivo, mira por encima del hombro a todo bicho viviente, y no se detiene ante nada). La referencia a Galois es de lo más adecuada, no sólo por la edad, sino por su forma de vivir: contestatario y revolucionario de la época, que no dudó en poner su vida en juego en una bravata también por una mujer. Pascal, como ya hemos dicho, es un personaje más adulto, más introvertido, práctico, desconfiado (quizá por auto culparse: cree que una pasada negligencia es la responsable de la situación en la que están), realista y el más sincero de todos. Desde el punto de vista matemático parece el más torpe, mejor dicho, el más consciente de sus limitaciones: no es un genio y aunque inteligente, no posee la clarividencia de otros. Hilbert es el típico sexagenario que cree sentirse fuera de lugar por su edad y que trata de compensar ese inconveniente haciéndose el gracioso (trata de caer simpático con bromas, chistes y apariencia optimista, dando ánimos a los demás en los momentos más difíciles). Finalmente se descubre su verdadera personalidad (¡cómo le va a superar un niñato como Galois!). En cuanto a Oliva, siempre me intrigó de dónde demonios provenía su nombre ya que no responde a ninguna de las mujeres matemáticas más conocidas. En la película se aclara que es por Oliva Sabuco. Esta mujer, muy adelantada a su época, escribió un monumental tratado filosófico, de medicina, psicología y política (filosofía natural), pero nada que la relacione con las matemáticas. Además se desconoce la fecha de su fallecimiento por lo que lo de morir a los 26 años es una invención de los guionistas. Es una mujer reservada, que sabe más de lo que cuenta, siempre a la expectativa de cualquier comentario, gesto o actitud de sus compañeros. Es la más centrada en la resolución de los enigmas y ella misma todo un enigma. Lo que quiere lo consigue, pero a diferencia de Galois, sin  que se note, como define su última mirada a Pascal, el que le falta en su colección de amantes. Fermat aparece como un hombre de lo más normal, como su verdadero nombre  Román Naranjo López, con los despistes de su edad y que sabe cual deben ser sus preferencias (la salud de su hija es más importante que cualquier reunión por muy atractiva que se presente). La película, con poquitos ingredientes y parece que también escaso presupuesto, está bien llevada y resuelta, lo cual es muy meritorio. Además el thriller y el misterio no son géneros en los que se tenga demasiada experiencia en nuestro país. Ciertamente es similar en el planteamiento a Cube, pero a diferencia de aquella, todo enigma queda perfectamente explicado al final, y no pretende trascender sino simplemente entretener (los personajes se representan a sí mismos, no son arquetipos sociales como en Cube). En la parte del debe, se abusa demasiado de los primeros planos y de la saturación de la imagen en determinados momentos. Se puede argumentar que son recursos para transmitir agobio y tensión, pero llega a cansar visualmente en algunos momentos. También aparecen algunas lagunas en el guión: ¿qué sucedió con el empleado de la estación de servicio? (se deja entrever que Fermat se lo carga, pero posteriormente la policía no parece enterada del asunto) Y si no se lo cargó, ¿cómo lo convenció para salir de allí? Me gustó, por imaginativa, la resolución de la última secuencia en la que aparece Fermat, que simula dos automóviles por la carretera de noche tomada desde arriba, Usando un símil matemático, es como cuando dibujamos en la pizarra una función que en el límite tiende a un valor (en el caso de la película a menos infinito). En las reseñas de los periódicos, y los propios realizadores en varias entrevistas, justifican la sencillez de los enigmas planteados diciendo que a los matemáticos se les dan mal este tipo de cuestiones más lógicas, que querían que no fueran enrevesadas y las entendiera todo el mundo, etc. Desde mi punto de vista, tales razones son unas falsas y otras innecesarias: no han lugar. Cualquiera, por muy inteligente o tonto que sea, cuando es presionado a resolver cualquier cosa en una situación de vida o muerte, por trivial que aparente ser, se pone nervioso y se puede llegar a equivocar con facilidad. Compruébelo el lector visitando la página web oficial de la película (http://www.mangafilms.es/lahabitaciondefermat/), (atrayente su mensaje de bienvenida: Piensa o muere), a ver cuanto tarda en ser echado de la misma con cuestiones igual de sencillas que las de la película. Resumiendo, me parece una película entretenida (no una maravilla, pero hay pocas así), y recomendable. Se agradece que se intente hacer pensar por un rato al espectador, y que por una vez, se presente a los matemáticos como seres normales. Y que se den nombres de matemáticos reales. A ver si cunde el ejemplo. Títulos Numéricos Este mes tocan los diez números siguientes. Recordemos que tratamos de verificar si existen películas que tengan en su título en español todos los números naturales, o si por el contrario faltan algunos. Hasta ahora hemos conseguido todos, y de algunas varios. Nuestro compañero Julio Zárate nos ha enviado unos cuantos de los que siguen. 21: Brigada 21 (Detective Story, William Wyler, 1951) 22: Trampa 22 (Catch 22, Mike Nichols, 1970). 23: El número 23 (The number 23, Joel Schumacher, 2007) 24: 24 horas en la vida de una mujer (24 heures de la vie d'une femme, Laurent Bouhnik, 2002). 25: 25 grados en invierno (25 degrés en hiver, Stéphane Vuillet, 2004), (25th Tour de Spike Lee no nos vale porque en español se tituló La última noche, y nuestra preferencia es el título en castellano; si además lo tiene en su origen, mejor, pero si no, lo buscamos en castellano). 26: Tres entradas para el 26 (Trois places por le 26, Jacques Demy, 1988) 27: 27 Horas (Montxo Armendáriz, 1986) 28: 28 días después (28 Days Later, Danny Boyle, 2002) 29: Nocturno 29 (Pere Portabella, 1968) // Ruta 29 (Track 29, Nicolas Roeg, 1987) // La calle 29 (29th Street, George Gallo, 1991). 30: Treinta segundos sobre Tokio (Thirty Secons over Tokio, Mervyn LeRoy, 1944) ¿Os animáis a seguir? Noticias Breves Canal 13 ha empezado a emitir la tercera temporada de Numb3rs, los lunes a las 21:30. En la próxima reseña adelantaremos qué nos espera en dicha temporada (en EE. UU. actualmente se emite la cuarta temporada). Por otro lado, Antena 3 parece haber encontrado un hueco estable para la serie en la temporada segunda: los domingos a las 20:00. Y parece que va situándose entre los diez programas más vistos del día, según se publica en los medios. Aunque no tenga nada que ver con el cine o las series de televisión, no quiero dejar de apuntar un hecho que refleja, por si había alguna duda, la opinión que nuestras matemáticas tienen entre la “gente famosa”. Antena 3 viene emitiendo un concurso llamado ¿Sabes más que un niño de primaria? Ahora los sábados a eso de las diez de la noche. Se hacen cuestiones, últimamente sólo a famosos, de materias de Primaria (aunque con los nombre tradicionales, no con los actuales). El pasado 24 de noviembre participaron la actriz Bibiana Fernández  y una joven cantante cuyo nombre no recuerdo. Mal está que manifiesten su poco interés por las matemáticas (podrían como Michel el ex jugador del Real Madrid disimilar un poco, de cara a los niños que es el público mayoriatario del programa), pero afirmar, como Bibiana, casi enfadada “No quiero saber nada de matemáticas” porque una niña la insistía en que eligiera esa materia, o escuchar al presentador “de matemáticas no tengo ni idea”, es un poquito fuerte. A ver si les entra en la cabeza que LA CULTURA NO SE COMPARTIMENTA” y las matemáticas son parte de la cultura. Tan “analfabestia” es uno que no sabe qué es un triángulo rectángulo como uno que afirme que El Quijote lo escribió Calderón (no Ramón Calderón, por si hay algún despistado visto el patio, sino el de la Barca). Y ya que estamos, me parece absurdo saber exactamente el número de huesos del cuerpo humano, el de habitantes de la Comunidad Europea o cosas así (como en el chiste, luego habría que preguntar: nombres y apellidos de todos ellos). Esas cuestiones deberían aceptar un intervalo de error. Además saber eso sirve para bien poco. Parecen preguntas de planes de estudio muy, pero que muy antiguos. Y la frase que deben finalmente decir es incorrecta: “No sé más que un no de primaria” Es absurda. Cualquier adulto sabe más que un niño, sólo por experiencia vital. Podría ser “No sé todo lo que sabe un niño de primaria”, por ejemplo, u otra cosa, pero no la que está. Otra cosa. Totalmente de acuerdo con Forges (El País, 30 de Noviembre):

Sábado, 01 de Diciembre de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

79. 28. The Dot and the Line

Nos acercamos en esta ocasión a un célebre cortometraje nunca estrenado en nuestro país y que gracias a la red podemos ver íntegro. Seguimos además proponiendo títulos de películas con la sucesión de los naturales. Una de las quejas más reiteradas del libro Las matemáticas en el cine (Proyecto Sur, Granada, 2006) es la dificultad en localizar películas no estrenadas en nuestro país, que pudieran ser de nuestro interés. Afortunadamente Internet puede facilitarnos acceder a bastante información sobre las mismas, y en ocasiones, hasta nos permite ver escenas y en ocasiones (las menos) el film completo. Este mes, gracias a YouTube, vamos a acercarnos a todo un clásico de la animación que nunca se ha visto en nuestro país, The dot and the line, realizado en 1965 por el conocido Chuck Jones sobre un libro de Norton Juster. Pero quizá sea pertinente primero presentar brevemente a estos señores. Chuck Jones es una celebridad dentro de la animación comparable a Walt Disney en cuanto a calidad y cantidad de trabajos, pero, ironías de la vida y del marketing, no tan popular. Charles Martin Jones (1912 – 2002) fue un animador, caricaturista, guionista, productor y director estadounidense, vinculado al estudio de animación de la Warner Brothers. Allí fue responsable de gran parte de las series Looney Tunes y Merrie Melodies, que todos hemos visto en televisión infinidad de veces. Trabajó en personajes como Bugs Bunny (El conejo de la Suerte), El Pato Lucas, El Coyote y el Correcaminos, Porky, El Gato Silvestre, etc., que sin ser algunos de ellos de creación propia, los dotó de la personalidad por la que hoy los conocemos. Después de tres décadas trabajando para la Warner, ésta rescindió su contrato en 1962, por un trabajo que realizó con su esposa que fue producido por otra compañía, la UPA (también colaboró para Disney en la realización de La Bella Durmiente en 1960). Funda entonces un estudio independiente que al año se asociaría con otra productora fuerte, la Metro Goldwyn Meyer (MGM), que le encarga nuevos episodios de su famosa serie de Tom y Jerry. Durante este periodo realiza además la película de la que nos ocuparemos este mes, The Dot and the Line: A Romance in Lower Mathematics, que ganó el Oscar al mejor cortometraje de ese año (es decir que la película tiene un interés añadido). Cuando MGM cierra su estudio de animación en 1970, vuelve a establecerse por su cuenta fundando la Chuck Jones Productions, para la que adapta diversas obras literarias y prosiguiendo las series de Bugs Bunny y el Correcaminos. Al igual que muchas otras leyendas de la animación, Chuck Jones nunca se retiró estando en activo hasta sus últimas semanas de vida. En los años 1990 hasta su muerte, Jones pintaba dibujos animados y parodiaba arte, que vendía en galerías de animación en la compañía de su hija, la Linda Jones Enterprises. Creó también nuevos dibujos animados para Internet (el personaje Thomas Timberwolf), y colaboraciones como la dirección de la secuencia animada de la película de Mrs. Doubtfire (1993). Chuck Jones tiene una estrella en el Paseo de la Fama de Hollywood en 7011 Hollywood Blvd. Para los amantes de la animación y de los personajes citados, os recomiendo que echéis un vistazo a la página oficial de Chuck Jones que está bastante bien. En cuanto al autor de la novela en la que se basa la película, Norton Juster, es un arquitecto (muchos miembros de su familia lo son, incluyendo su padre y hermano) que en los años sesenta escribió varios cuentos para niños (también los ilustra) de cierta popularidad (en los EE. UU., por supuesto). También se ha dedicado a la docencia (de la Arquitectura) hasta su jubilación en 1992.  Actualmente vive en Amherst, Massachusetts y sigue escribiendo ganado incluso premios en algún que otro certamen literario. Hechas las presentaciones, vayamos a lo que nos interesa. The Dot and the Line: A Romance in Lower Mathematics se publicó en 1963. El subtítulo, Un Romance en Matemáticas Inferiores, podríamos traducir, es una clara alusión al subtítulo de Flatland (recordemos, Flatland. A romance in many dimensions), en la que recalca que las matemáticas que van a aparecer son muy elementales (en realidad, lo único que puede llamarse matemático de la película son algunas gráficas de curvas y superficies, y algunas de sus propiedades) El argumento trata sobre el enamoramiento de una recta (que en la película es una recta de sexo masculino y es de color azul) de un punto (que es de sexo femenino, y coloreada de rojo) que “pasa” completamente de la recta porque la considera aburrida, y prefiere estar con un moderno garabato (de sexo masculino, en color negro). Pero lo mejor es que la veamos. Hay que entrar en: http://www.youtube.com/watch?v=OmSbdvzbOzY La película está enteramente narrada por el actor Robert Morley (el orondo hermano de Katie Hepburn en La reina de Africa, entre sus muchos papeles de secundario característico), y como ya hemos dicho nunca se ha estrenado en castellano, así que está en inglés, por lo que para los que tengan alguna dificultad, pasamos a transcribir íntegramente el guión (Tranquilos que la duración es de sólo 10 minutos). EL PUNTO Y LA RECTA: Un Romance en Matemáticas Inferiores Érase una vez una sensata línea recta desesperadamente enamorada de un punto. “Eres el principio y el fin, el corazón,  el núcleo y la quintaesencia”, la decía con ternura. Pero el frívolo punto no estaba lo más mínimamente interesada, puesto que sólo tenía ojos para un alocado y descuidado garabato que nunca tuvo nada en la cabeza. Iban juntos a todas partes, cantando, bailando, retozando, holgazaneando, y haciendo  quien sabe que otras cosas. “Es tan alegre, libre, desinhibido, lleno de diversión”, le decía rencorosamente (el punto a la recta sobre el garabato), “y tú eres tieso como un palo, aburrido, convencional, depresivo, frustrante, rígido, pasivo y amargado”. “¿Por qué arriesgarme?”, se decía la recta sin demasiada convicción. “Soy fiable, firme, consistente. Sé donde voy. ¡Tengo dignidad!”. Pero todo esto era un mínimo consuelo para la desdichada recta. Cada día su carácter se agriaba, dejó de comer y de dormir y poco a poco se iba marginando. Sus preocupados amigos notaban lo delgado y abatido que estaba, e hicieron todo lo posible por levantarle el ánimo. “Ella no es lo bastante buena para ti”, “Le falta profundidad”, “Les da todo igual. ¿Por qué no buscas una buena línea recta y os establecéis?” Pero apenas escuchaba lo que le decían ya que en cualquier caso cada vez que la miraba le parecía perfecta. Veía cosas en ella que nadie podría imaginar. “Es más hermosa que cualquier línea recta que haya conocido nunca”, se decía entre suspiros. Y así pasaba el tiempo, soñando con el voluble punto e imaginándose a si mismo como la encarnación de todo lo que ella admiraba: la recta como un famoso equilibrista, como líder en asuntos mundiales, como audaz agente que hace cumplir la ley, como poderosa fuerza en el mundo del Arte o como deportista internacional. Pero pronto se decepcionó consigo mismo y llegó a la conclusión de que quizá el garabato tuviera la respuesta después de todo. “Me falta espontaneidad, debo aprender a dejarme ir, a ser libre, a responder a un encuentro apasionado”. Pero no encontraba diferencia alguna puesto que no importaba cuanto o cómo lo intentara: siempre acababa con el mismo resultado. Siguió intentándolo y fallando, hasta que, a punto de darse por vencido, descubrió finalmente que con una gran concentración y autocontrol, era capaz de cambiar de dirección y  doblarse hacia donde quisiera. Así lo hizo, y consiguió.., un ángulo. Y después otro, y otro, y otro. “¡Qué maravilla!”, gritó. Impresionado por sus esfuerzos y con un salvaje brote de entusiasmo, se levantó en mitad de la noche describiendo un amplio catálogo de lados, dobleces y ángulos. “La libertad no es una licencia para el caos”, razonó a la mañana siguiente. “Qué cabeza!”. Y allí mismo decidió no malgastar sus talentos en exhibicionismos baratos. Durante meses practicó en secreto. Pronto fue capaz de hacer cuadrados y triángulos, hexágonos, paralelogramos, romboides, poliedros, trapezoides, paralelepípedos, decágonos, tetragramas y un número infinito de formas tan complejas que tuvo que dar nombre a los lados y los ángulos para reconocerse. Al poco, aprendió a controlar cuidadosamente elipses, círculos y curvas complejas y expresarse en cualquier forma que deseara. “Nómbrala, y yo la haré”. Pero todos sus éxitos sólo los conocía él, así que fue a ver al punto una vez más. “No tienes la menor oportunidad”, oyó al garabato con una voz que sonaba a cañería mal ajustada. Pero la recta, que desbordaba sincero amor y renovada confianza no estaba dispuesta a ser ninguneada ya que se sentía deslumbrante, inteligente, misterioso, versátil, culto, elocuente, profundo, enigmático, complejo y seductor. El punto estaba impresionada, balbuceaba como una colegiala y no sabía que hacer con sus manos. Se volvió entonces al garabato que estaba amargamente rabioso. “¿Y bien?”, preguntó el punto dándole una última oportunidad. El garabato, cogido por sorpresa, hizo lo mejor que pudo. “¿Eso es todo?”, preguntó el punto. “Me temo que sí”, respondió el desdichado garabato, “lo que quiero decir es que nunca sé que va a resultar. Oye, ¿Sabes ese sobre dos tipos que …?” El punto se preguntaba cómo no se había dado cuenta de lo melenudo y basto que resultaba, desordenado y sin gracia, como mal pronunciaba su ele (se refiere a la letra “l” de squiggle) y se rascaba la oreja. Se dio cuenta de que lo que ella pensaba que era libertad y diversión no era otra cosa que anarquía e indolencia. “Eres un tan falto de sentido como un melón”, le dijo fríamente. “Indisciplinado, descuidado e inmanejable, insignificante, indeterminado y negligente, fuera de forma, fuera de orden, fuera de lugar y sin suerte”. Se volvió entonces a la recta y sigilosamente le besó. “Vuelve a hacer esas entretenidas curvas querido”, le arrulló dulcemente. Y así lo hizo y pronto lo hicieron juntos, y vivieron, si no felizmente para siempre, al menos razonablemente.. FIN. Moraleja: El botín es para los “vectoriosos” Comentarios sobre la película Hay que reconocer que no es sencillo poner en imágenes una historia en la que los protagonistas sean un punto, una recta y un garabato, sin acabar resultando un tostón. En este cortometraje prácticamente todo son figuras o dibujos geométricos, con alguna que otra fotografía intercalada. En este sentido son bastante originales los recursos que se utilizan para mostrar los diferentes sentimientos de protagonistas tan poco habituales: los suspiros de la recta (se ensancha); cuando ésta corteja al punto va cambiando su pendiente acercándose a ella; cuando el punto lo rechaza, la recta se desploma; al acercarse el punto al garabato el paisaje cambia (en la zona de la recta, el fondo es de figuras de líneas rectas como polígonos, mientras que al aparecer el garabato aparecen curvas); la música también cambia pasando a tener mucho más ritmo, es música pop; cuando el punto acorrala a la recta ensañándose con sus defectos, el color del fondo va cambiando (se oscurece) y la pendiente de la recta es la contraria a la escena anterior, retrocediendo; aparece la lluvia y colores muy oscuros para reflejar la depresión de la recta; las rectas amigas que se acercan aparecen con colores distintos y van modificando sus pendientes para indicar barullo, cambian también su grosor cuando hablan; cuando se habla de la perfección del punto el fondo es onírico, idealizado; la trama roja que circunda a la recta cuando ha alcanzado la suficiente determinación y autoestima y se enfrenta al garabato; el sutil beso y posterior “enroscamiento” del punto a lo largo de la recta; etc. Respecto a las matemáticas, lo único destacable son las figuras geométricas que van apareciendo, pero esto ya nos lo avisa el autor en el subtítulo: el romance se encuadra dentro de matemáticas “inferiores”. Sin embargo, si la puesta en escena es notable, el guión puede parecer hoy un tanto simple (pensemos que el relato data de 1963), machista (la obnubilada punto se va con el “tío bueno”, y cuando le aburre o no vislumbra futuro con él, no tiene ningún inconveniente en cambiar de pareja), y maniquea. La crítica (norteamericana) ha calificado algunas frases e imágenes de audaces desde el punto de vista sexual: “Iban juntos a todas partes, cantando, bailando, retozando, holgazaneando, y haciendo  quien sabe que otras cosas”; la escena final del beso y sus comentarios (“Vuelve a hacer esas entretenidas curvas querida […] Y así lo hizo y pronto lo hicieron juntos”). Ciertamente hay cierta intención, pero no va más allá de producir una sonrisa. Lo que quedan muy claras son las intenciones del autor, recordemos, arquitecto de profesión, al que al parecer no le gustaban nada de nada las tendencias artísticas, ni musicales, ni sociales de los años sesenta, que con su relato trató de poner en entredicho. El verdadero arte, nos viene a decir, es el clásico, líneas rectas, ordenadas y elegantes. Nada que ver con las caóticas curvas difíciles de “domesticar” que proponen los holgazanes actuales, cuyo arte se reduce a simples garabatos. La cultura pop, el mundo hippie, sólo pueden llevarnos al desastre, ya que, como el garabato, no saben por donde van a salir, y con el tiempo su salud se resiente (suenan como una cañería desajustada, descompuesta). No obstante el final no es del todo satisfactorio y puede calificarse como realista: “(el punto y la recta) vivieron, si no felices para siempre, al menos razonablemente”. La moraleja final es un juego de palabras un tanto forzado: “vector” suena parecido a “victoria” en inglés, así que planta un dicho que juega con ambas palabras pero que no tiene ninguna relación desde el punto de vista de las matemáticas. Para los amantes del arte, hay una secuencia en la que aparece una referencia directa a un pintor abstracto, ¿cuál? Títulos Numéricos Este mes tocan los diez números siguientes. Recordemos que tratamos de verificar si existen películas que tengan en su título en español todos los números naturales, o si por el contrario faltan algunos. Hasta ahora hemos conseguido todos. Nuestro compañero y ya colaborador habitual en esta sección Julio Zárate nos ha enviado el primer título de los que siguen. En algunos he añadido los que yo tenía. 31: Kilómetro 31 (Rigoberto Castañeda, Méjico,  2006). 32: Un par de zapatos del 32 (Rafael Romero Marchent, España/Italia, 1974). Julio nos envió el cortometraje Habitación 32: Insectos (España, Jesús Cobo, 2005). 33: Agárralo como puedas 33 1/3: el insulto final (The Naked Gun 33 1/3: The Final Insult,  Peter Segal, EE. UU., 1994). También servirían: Matricula 33 (Matricule 33, Karl Anton, Francia, 1933) Amor Y B-H-33 (Le Tracassin, Ou Les Plaisirs de la Ville, Alex Joffe, Francia, 1961) 34: Milagro en la calle 34 (Miracle on 34th Street, George Seaton, EE. UU., 1947). O, por ejemplo, La Alondra T-34 (T-34 Kabopohok, Leonid Kurikhin, Nikita Menaker, Rusia, 1964). Distrito 34. Corrupción Total (Questions and Answers, Sidney Lumet, EE. UU., 1990). 35: Treinta y Cinco (España, Marc Cistaré, España,  2004). Julio nos envió 35 Miles from Normal, Mark Schwahn, EE. UU., 1997, pero esta película no se ha estrenado en España y no tiene título en castellano. 36: Treinta y seis horas (36 Hours, George Seaton, EE. UU., 1964). Las mías: Treinta y Seis Horas Culpable (Thirty-Six Hours, Montgomery Tully, GB., 1954). Treinta y Seis Horas de Infierno (36 Ore All'inferno, Roberto Montero, Italia, 1969). Las Largas Vacaciones del 36 (Jaime Camino, España, 1976). Las Treinta y Seis Camaras de Shaolin (The Thirty-Six Chamber Of Shaolin, Liu Chia Luang, GB., 1979). Habitación 36 (Una Mórbida Posesión) (Zimmer 36, Markus Fischer, Suiza, 1988). 37: 37 horas desesperadas (Desperate Hours, Michael Cimino, EE. UU., 1990) 38: Julio nos envió 38, de Wolfgang Glück, Alemania,  1987, que compitió ese año para los Oscars, pero que tampoco se ha estrenado en nuestro país. Pueden valer las siguientes: Paralelo 38 (Retreat Hell, Joseph H. Lewis, EE. UU., 1952). Colt 38, escuadra especial (Quelli Della Calibro 38, Massimo Dallamano, Italia, 1976). Scorchy, la rubia del calibre 38 (Scorchy, Hikmet Avedis, EE. UU., 1976). 39: 39 escalones (The Thirty Nine Steps, Alfred Hitchcock, G.B.,  1935). Y la española Treinta y Nueve Cartas de Amor (Francisco Rovira Beleta, España, 1949) 40: 40 días y 40 noches (40 Days and 40 Nights, Michael Lehmann, EE.UU., 2002). Yo he localizado este mogollón: De Cuarenta Para Arriba (Julio Roesset , España, 1915) La vida comienza a los cuarenta (Life begins at 40, George Marshall, EE. UU., 1935) Alí Babá y los cuarenta ladrones (Ali Baba and the Forty Thieves, Arthur Lubin, EE. UU., 1944). Ali Baba y Los Cuarenta Ladrones (Ali Baba Et Les Quarante Voleurs, Jacques Becker, Francia, 1954). Cuarenta años de novios (Enrique Carreras, España/Argentina, 1965). Cuarenta grados a la sombra (Mariano Ozores, España/Argentina, 1967). ¿Porqué pecamos a los cuarenta? (Pedro Lazaga, España, 1970). Ali Baba y Los Cuarenta Ladrones (Ali Baba To Yonjupikito Nozoku, Akira Shidara, Hiroshi Daikubara, Japón, 1971). Película de animación. Cuarenta Quilates (40 Carats, Milton Katselas, EE.UU., 1973). Cuarenta Grados a la Sombra de Una Sábana (Quaranta Gradi All'ombra Del Lenzuolo, Sergio Martino, Italia, 1976). Cuarenta Años Sin Sexo (Juan Bosch, España, 1979). Seguro que más de uno creía que ya no podríamos seguir. ¿Ocurrirá en la siguiente decena? Un olvido del mes pasado Respecto a la película La habitación de Fermat, el programa de Buenafuente realizó una entrevista a Santi Millán en la que le preguntaban algunas cuestiones similares a las que aparecían en la película y que él no supo contestar. Como alguna tiene su gracia, las trascribo: 1.- ¿La mitad de dos más dos es tres? 2.- ¿Cómo hacer para que al agregar uno a veinte nos de diecinueve? 3.- Un pastor le dice a otro: “¿Porqué no me das una oveja y así tenemos el mismo número?” El otro replica: “Mejor me das tú una a mí y así tengo yo el doble”. ¿Cuántas ovejas tienen? 4.- ¿Qué es mayor, el 36% de 67 o el 67% de 36? Como siempre cualquier comentario, sugerencia, crítica feroz o aportación será bien recibida en alfonso@mat.uva.es.

Martes, 01 de Enero de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

80. 29. Los crímenes de Oxford

Como era de esperar dedicamos este mes la sección al último y publicitado estreno de Alex de la Iglesia. También proseguimos con éxito nuestra tarea de probar si para cada número natural, existe una película cuyo título en castellano lo contenga. Probablemente la mayor parte de los amigos de DivulgaMAT haya leído hace tiempo el libro de nuestro compañero y colaborador de la sección de literatura Guillermo Martínez. La película, estrenada en nuestro país el pasado 18 de enero, no les habrá deparado por tanto grandes sorpresas, salvo que, contrariamente a lo que sucede con las adaptaciones literarias, refleja bastante bien el espíritu de la novela y la historia original. Nos centraremos en lo que sigue a analizar un poco el contenido y las referencias matemáticas que aparecen (pocas como casi siempre), procurando no fusilar demasiado el argumento para los que no la hayan visto aún ni leído la novela, aunque probablemente los que sí lo hayan hecho, pensaran que contamos demasiado. Seguramente sea así, pero trataremos de que los primeros no lo noten. Como siempre comenzamos por un breve resumen de la ficha técnica y artística. Título Original: The Oxford Murders. Nacionalidad: España/Francia, 2008. Dirección: Alez de la Iglesia. Guión: Jorge Guerricaechevarría y Álex de la Iglesia, basada en la novela homónima de Guillermo Martínez. Fotografía: Kiko de la Rica, en Color. Montaje: Alejandro Lázaro y Cristina Pastor. Música: Roque Baños. Producción: Mariela Besuievski, Gerardo Herrero y Álex de la Iglesia.   Duración: 110 min. Intérpretes: John Hurt (Arthur Seldom), Elijah Wood (Martin), Leonor Watling (Lorna),  Julie Cox (Beth), Burn Gorman (Podorov), Anna Massey (Mrs. Eagleton),  Jim Carter (Inspector Petersen), Alan David (Mr. Higgins), Dominique Pinon (Frank), Tom Frederic (Ludwig Wittgenstein), Ian East (Howard Green), Charlotte Asprey (Mrs. Howard Green), Martin Nigel Davey (Profesor Wilkes). Sintetizando el argumento al modo de revistas y periódicos, Martin es un joven norteamericano (argentino en la novela) que viaja a Oxford con la intención de que uno de los matemáticos más relevantes en el campo de la lógica, Arthur Seldom, le dirija su tesis doctoral. No será fácil, pero unas extrañas muertes quizá le faciliten su propósito…. Partamos del hecho harto evidente de que llevar a la pantalla una novela de género como ésta no es sencillo. Recuérdese el infame resultado de La tabla de Flandes en nuestro país o la mismísima El código Da Vinci, con mayores recursos que la primera y casi tan penosa. Aunque la excusa del dinero puede influir, hay también múltiples ejemplos en los que el talento del realizador mitiga la carencia de presupuesto (Moebius, Cube, la reciente La habitación de Fermat, etc. Nótese que algunos de estos ejemplos también tienen cierta relación con las matemáticas). Dicho lo cual, Los crímenes de Oxford resulta una película visible, aceptablemente rodada (más adelante haremos algunas matizaciones), interpretada con oficio por los actores y hasta con algunos momentos de intriga. Como ocurre con el texto original, tiene algunos defectos, más acusados en determinadas escenas. Y es que, como ya se ha dicho hasta la saciedad, literatura y cine tienen tempos diferentes, lenguajes diferentes y recursos diferentes, y la extrapolación literal entre ellos no suele encajar bien. Tópicos. Las películas de género suelen asumir algunas constantes inherentes al tipo de que se trate. Los crímenes de Oxford tiene unos cuantos. Apuntaremos algunos en forma de pregunta: ¿No existe algún matemático sin tics, personalidad extraña o extravagante, o sea una persona  “normal”? (es verdad que habría que definir con precisión qué se entiende por “normal”, aunque si nos ponemos puntillosos llegaremos a los mismos postulados de Seldon, que aunque a la gente le parezcan excesivamente rebuscados, son bastante acertados). Por cierto, el de la foto no es John Hurt por mucho que mogollón de periódicos así lo señalen. ¿Tienen que ser los policías tan torpes e inútiles como siempre aparecen en este tipo de películas? ¿Por qué a todas las mujeres se les cae la baba (eufemismo para evitar decir groserías) ante el primer vistazo al protagonista, que en este caso tiene más bien escaso sex-appeal? (Aquí la ficción supera la realidad, salvo, supongo, que seas Brad Pitt o, sin exigir tanto, Ralph Fiennes) ¿Las matemáticas reales sólo sirven en el cine para los títulos de crédito o  mostrar pizarras llenas de fórmulas imperceptibles (éstas sí que son imperceptibles) al ojo del espectador? ¿Son Pitágoras, Fibonacci, Gödel, Fermat (o su seudónimo), p, y el efecto mariposa imprescindibles al hablar de matemáticas en el cine (menos mal que esta vez no hay números primos)? ¿Alguien ha visto alguna vez a algún matemático que jugando a lo que sea dibuje vectores y haga cálculos por toda la cancha, salvo el de Numb3rs y este Martin? ¿Los espectadores a los conciertos, la orquesta y la organización están siempre tan alucinados con la actuación que no se enteran de lo que pasa a su alrededor, o pasan de ello? ¿Es tan fácil burlar la seguridad de tales eventos? Scrabble, delantales y Hitchcock. ¿La historia del cine ha dado ya de sí todo lo que podía? Es verdad que ante tantas películas es difícil no encontrar algo repetido. Algunos realizadores como Brian de Palma califican sus “licencias” como “homenajes”. Yo no creo que Alex de la Iglesia sea de éstos; ha demostrado la suficiente solvencia como para no tener que recurrir a homenajear a nadie. Sin embargo, cuando estaba viendo la película hubo detalles que me recordaron cosas ya vistas alguna vez (flashes que de repente nos vienen a los espectadores). Por ejemplo lo del Scrabble me recordó al Keyser Soze de Sospechosos Habituales improvisando ante Chazz Palminteri, sólo que allí no hizo falta explicación redundante alguna. ¿Y que decir del atuendo de Lorna? ¿No se lo habrá dejado Jane March tras utilizarlo en El color de la noche?  Por otro lado, el realizador ha declarado querer recuperar el estilo de Hitchcock: nada me lo recordó excepto la escena en los tejados del concierto con fuegos artificiales y disfraces en Blenheim Palace (Hitch planteaba momentos similares en monumentos emblemáticos: Estatua de la Libertad, Monte Rushmore, Albert Hall, etc., aunque con mejores resultados. He de confesar que me ha disgustado muchísimo esa escena. No me parece que esté bien resuelta, por mucho que John Hurt se desquitara de su papel en V de Vendetta). Blenheim Palace es un lugar muy cinematográfico. Allí  se rodaron escenas de Indiana Jones y la última cruzada, Los Vengadores, Barry Lindon, Las cuatro plumas, el Hamlet de Kenneth Branagh, Harry Potter y la orden del Fénix, Orlando, Greystoke, entre otras menos populares. “El único crimen perfecto no es aquel que queda sin resolver sino el que se resuelve con un falso culpable”. Hay cineastas que gustan de ser crípticos, que el espectador se coma el coco, a veces sin siquiera existir explicación alguna; otros por el contrario, seguramente para que el espectador no se mosquee, dejan claro hasta el último detalle de la película. En Los asesinatos de Oxford (si traducimos textualmente el título original en inglés; un asesinato es un crimen, pero hay otros crímenes como robos, violaciones, etc., que no son asesinatos. Vamos que no es lo mismo, y aquí, en efecto todo son crímenes). A lo largo de todo el metraje, en el tráiler, hay suficientes pistas como para deducir la realidad de lo sucedido (teorema de incompletitud de Gödel: Seldom nos lo recuerda, “Hay una grieta entre lo verdadero y lo demostrable”). Al finalizar la película, la sensación que se tiene es la de que el director quiere asegurarse de que nos enteramos, y plantea en el museo de las falsificaciones (“el lugar que contiene más verdad de todo el planeta, porque todo es falso”) un recorrido por toda la película otra vez, que sinceramente está de más. O al menos se puede exponer más disimuladamente, sin que algunos nos sintamos unos imbéciles. Aunque he de reconocer que nada más terminar la proyección, en el cine, una señora de mediana edad detrás de mí, exclamó, a pesar de todo: ¿Pero quien era el asesino? Una película muy “British”. Está claro que Guillermo Martínez ha querido en su novela plasmar el peculiar ambiente de una ciudad universitaria e histórica como Oxford a la vez que, es de suponer, hacerle un homenaje. Alex de la Iglesia también. Así que prácticamente todo lo que aparece en la película destila una atmósfera muy británica (salvo Leonor Watling, la falsificación del pórtico de la gloria, la recreación de la batalla de Austwitz en maqueta, Napoleón incluido, y Fibonacci y Pitágoras): referencias a Alan Turing, Lewis Carroll, la rivalidad Oxford-Cambridge, la musiquilla a lo Mr. Chips nada más llegar Frodo (perdón Martin) a la ciudad, las localizaciones, Andrew Wiles (o su seudónimo Wilkes), los actores británicos, en fin, prácticamente todo. Habría estado bien meter en algún lado un poco de Beatles o de Rolling. Lo que me gustaría destacar es un lugar insuperable, para pasarse días y días admirando  libros. La librería Blackwell en Broad Street, con una sala, la Norrington Room de unos 900 m2 de superficie, la mayor de Europa, excavada bajo los vecinos jardines del Trinity College. Benjamin Blackwell la fundó en 1879 en un lugar de apenas doce metros cuadrados, con apenas 700 libros usados (hoy alberga más de 250000 ejemplares en la sede principal, ya que tiene otras nueve librerías especializadas distribuidas por otros lugares). ¿Podemos conocer la verdad? La primera aparición de Arthur Seldom es en una conferencia (escena que luego se repetirá con Martin presente). Vemos a una persona soberbia, muy segura de si misma, prepotente incluso (“La filosofía ha muerto, porque de lo que no se puede hablar, mucho mejor es callarse”). O sea que lo normal es que no se digne ni a mirar a la cara a un anónimo estudiante que quiere que le dirija una tesis. Además, ya le advierten que Seldom ya sólo se dedica a sus conferencias y a escribir libros (como dice el compañero de Martin, Podorov, “Dejad las matemáticas y dedicaros a los cuentos para niños”, en clara referencia a Lewis Carroll y su Alicia, que por si no queda claro, habla a continuación del sombrerero loco. Claro que también se refiere al propio Seldom, y hasta podría incluir en el saco a la famosa autora de Harry Potter, también súbdita de la Gran Bretaña). Con estos antecedentes uno se pregunta, ¿por qué ese cambio de actitud en Seldom? ¿Qué pasa si entra un jugador más? Watling vs. Wood. Como ya se dijo previamente, el trabajo de ambos es aceptable, pero como pareja no encajan en ningún momento (sólo me pareció creíble el coscorrón que ella se pega al caerse de la cama). Me recordó la pareja de la insufrible El código Da Vinci. Ella parece desplazada, a disgusto, siempre por detrás de los dos personajes principales. Pero el problema no es de ella, sino de un guión que, salvo las escenas más íntimas con Martin, no le ofrece demasiado. Y es una lástima porque es una excelente actriz. La acción (bueno, los diálogos) recae mayoritariamente entre Seldom y Martin; el resto de personajes son más bien comparsas que aparecen por allí (se necesita a alguien a quien matar). Ese es uno de los principales inconvenientes para un público que iba con la idea de ver otra cosa, probablemente, más espectacular, más comercial. Vale, pues la respuesta de Martin a la pregunta inicial del párrafo, “Que hay que considerar más variables”. “No existe ninguna verdad fuera del mundo de las matemáticas”. Aunque en la película no aparecen demasiado, más bien son asuntos relacionados con la filosofía de la lógica y las propias matemáticas, y referencias a matemáticos o resultados célebres. A principios del siglo XX hubo una gran crisis en el mundo de la ciencia, relacionada con la fundamentación de la misma. Dentro de las matemáticas surgen varias líneas diferentes de pensamiento. Tres fueron las más destacadas: la de los logicistas, la de los formalistas y la de los intuicionistas. Para los primeros, la matemática se basa en la lógica, por lo que todo debe traducirse en términos de proposiciones lógicas a partir de las cuales demostrar otros resultados. Nada de imaginar figuras o de buscar similitudes entre el mundo físico y la matemática. Sus principales valedores fueron los ingleses Alfred Whitehead y Bertrand Russell. Los formalistas conciben la matemática como un juego combinatorio, sin sentido real alguno, en el que hay una serie de reglas formales convenidas de antemano con las que desarrollar tal juego. El principal defensor de esta línea de pensamiento fue el alemán David Hilbert.  Finalmente, L. E. J. Brouwer consigue reunir a los que no convencen ninguna de las anteriores ideas en un tercer grupo que opina que es la lógica la que se funda en las matemáticas. Para avanzar hay que descubrir nuevas propiedades y para ello no hay que dudar en dibujar, imaginar, examinar el mundo real (Los elementos y axiomas de la matemática son mucho menos arbitrarios de lo que podría parecer). Desde la época griega (y puede que desde antes), la lógica se basaba en tres principios “sagrados”: 1.- ley de la identidad: A es A. 2.- ley de la contradicción: A no puede ser a la vez B y no B. 3.- ley del tercio excluso: A es o bien B o no B, pero no hay una tercera alternativa. Los intuicionistas rechazan la tercera ley (nunca mejor defendida su postura con su propia existencia, una tercera posibilidad entre las otras dos). Brouwer propone a los otros grupos la siguiente cuestión para decidir si es verdadera o falsa: La sucesión de dígitos 123456789 aparece consecutivamente en algún lugar de la representación decimal de π. Como no hay método alguno por ahora que pueda decidir en tiempo finito tal aseveración, no es posible aplicar la ley del tercio excluso para declarar que la proposición es cierta o falsa. Y estos problemas de fundamentación no surgen sólo en la matemática: anteriormente, en la filosofía del lenguaje aparece Ludwig Wittgenstein, filósofo austriaco nacionalizado posteriormente británico que influyó en el positivismo lógico del llamado Círculo de Viena. Fue discípulo de Bertrand Russell en el Trinity College de Cambridge. ¿Representa la estructura del lenguaje la de la realidad? ¿Es coherente la idea de un lenguaje lógico? En vida escribe un único libro, el Tratactus Lógico-Philosophicus que Seldom enarbola como paradigma en sus conferencias. En la Física la revolución aparece con el principio de incertidumbre de Heisenberg (Es imposible poder determinar la posición exacta de una partícula en un momento determinado) y en la matemática el teorema de indecibilidad de Gödel (Hay proposiciones perfectamente construidas de las que no es posible poder determinar su certeza o falsedad), ambas mencionadas en la película con bastante acierto. Más adelante, Mrs. Eagleton  menciona su colaboración en el desciframiento de la máquina Enigma de los nazis. Aparece en una fotografía trucada con Alan Turing, del que dice  que “murió de forma muy extraña, comiendo una manzana como Blancanieves”. Se trata de un caso no aclarado como todos sabrán (se habló de suicidio) en el que las malas lenguas siempre han apuntado a un envenenamiento y en el que también aparece en danza su declarada homosexualidad. Ya hablaremos de este personaje con más calma, cuando comentemos el telefilme de la BBC sobre su vida, maravillosamente interpretado como siempre por Sir Derek Jacobi (Yo, Claudio). Mrs Eagleton afirma también que su difunto marido definió las dimensiones fractales, lo cual es absolutamente falso hasta donde sabemos, ya que este concepto fue intuido por Felix Hausdorff y desarrollado por Benoit Mandlebrot (que por cierto aún vive y puede pedir cuentas por esta apropiación indebida). Luego llegamos al ridículo en que pone Seldom a Martin públicamente por su defensa de las matemáticas. “¡Yo creo en el número π!”. “La belleza y la armonía de un copo de nieve. ¡Qué poético, qué bonito! ¿Por qué no se lo dice a un enfermo de cáncer? ¿Por qué no le dice que las matemáticas no pueden predecir la evolución del tumor, o porqué sus células degeneraron a ese tumor?¿Quién ha sido capaz de predecir un solo huracán? ¿Belleza en el cáncer?¿La vida tiene sentido?¿Se rige por la lógica o por el azar? Esto no tiene nada que ver con la verdad. Es sólo miedo. Triste pero es lo que hay”. Argumentos duros pero todos rebatibles, Sr. Seldom. Tiempo al tiempo. También menciona en si discurso la obra Apologia de un matemático, de otro ilustre inglés, G. H. Hardy. Ya se han comentado previamente otras referencias: a Lewis Carroll, lo que siempre toman los esotéricos de las matemáticas (sectas, Pitagóricos, tetractis, divina proporción, etc), el asunto del seguimiento de reglas y los juegos del lenguaje en sucesiones del que ya hemos hablado aquí reseñas atrás a propósito de los números de la serie Perdidos (Wittgenstein ya había demostrado teóricamente la imposibilidad de establecer una regla unívoca y ordenamientos naturales. La serie 2, 4, 8, puede ser continuada por el número 16, pero también con el 10, o con el 2007: siempre puede encontrarse una justificación, una regla, que permita añadir cualquier número como cuarto caso). Sólo un último comentario sobre el “desconocido” teorema de Bormat. Es de suponer que el cambio de nombre al famosísimo último teorema de Fermat no sea por culpa de Fermat que lleva varios siglos criando malvas, sino del matemático que logró la demostración Andrew Willes (rebautizado en la película como Wilkes). ¿No ha permitido utilizar su nombre? No parece que haya sido por otra cosa. Y claro, como él ha probado el teorema de Fermat, había que cambiar también el nombre del teorema. Al inicio de la película se dice que los hechos acontecen en 1993. En esa fecha Willes dio una primera versión de la demostración, en la que posteriormente se detectó un error. No sería hasta 1995 cuando completó la demostración correctamente. En otro momento de la película, Podorov se lamenta de que no haya sido él el descubridor de tal demostración (ya se pueden imaginar por culpa de quien). Menciona la conjetura de Shimura-Taniyama mientras se tranquiliza sobre el brocal de un pozo. Dicha conjetura es un paso intermedio a la demostración, un resultado sorprendente que relaciona formas modulares con curvas elípticas. La historia de Taniyama es muy curiosa (y triste). El lector que la desconozca puede leerla en el magnífico El enigma de Fermat, de Simon Singhn, editado en nuestro país por la editorial Debate. Series Lógicas Seguramente todos hemos tratado alguna vez de resolver alguna serie lógica. Aparecen normalmente en la sección de pasatiempos de las revistas y consisten en continuar de modo lógico una serie de dibujos, secuencias numérico-espaciales, verbales, etc. Se utilizan mucho en los Tests Psicotécnicos para tratar de medir la capacidad intelectual de una persona por la aptitud que manifiesta para comprender y resolver las situaciones que se le plantean. Los expertos aseguran que estas pruebas disminuyen el factor subjetivo en la valoración de las personas, por ejemplo para su contratación para un determinado trabajo, pero como Seldom, en esto yo soy muy escéptico (quizá porque casi nunca acierto, o porque soy demasiado rebuscado), ya que normalmente con un poco de entrenamiento se logra la destreza suficiente para resolverlos. En la película aparecen dos de estas series, una que no vamos a desvelar, rescatada por la maligna mente que manipula toda la acción de una enciclopedia de matemáticas, y la que denominan serie idiota, que personalmente he visto hasta en las páginas de pasatiempos de revistas del corazón, de esas que siempre (no sé porqué) tienen los consultorios médicos en las salas de espera y que no te queda otro remedio que mirar para no aburrirte. Si trazamos un eje vertical en el centro de cada dibujo, observamos que se trata de los números naturales reflejados por dicho eje. El número y ese reflejo componen cada uno de los dibujos. Os propongo algunos para que os entretengáis un rato. Serie de los puntos (mide la capacidad de deducción lógica).Se trata de decidir cuál de las tres opciones A, B o C es la que corresponde al lugar de la interrogación. Serie de las imágenes (mide la inspiración creativa). Se trata como antes de elegir una de las tres opciones para continuar la serie. Se da incluso alguna pista. El que acierte las cuatro pruebas, se puede decir que es completamente lógico. El que acierte tres, bastante lógico. El que falle dos, es un lógico a medias. Si acierta sólo una, tiende a ser una persona ilógica. Y si no acierta ninguna, despreocúpese, usted es una persona feliz. Una última cuestión, más sencilla. ¿Qué símbolo corresponde colocar, por lógica, en la casilla vacía del anterior cuadrado? Último Comentario (por ahora) Respecto a la puesta en escena propiamente dicha, uno de los mayores inconvenientes es el ritmo de la acción, muy rápido al comienzo, parón al medio con toda la historia de amor y la consecución de los crímenes, y finalmente vuelta a la rapidez (aunque menor que al principio) en el tramo final. Luego el rodaje de las mismas es un tanto irregular: frente a momentos bien realizados (las recreaciones históricas  de Wittgenstein en la I Guerra Mundial o la del hombre acusado de querer matar a su mujer por encontrarle un libro de crímenes imperceptibles; particularmente me gustó mucho la del seguimiento por parte de la cámara de varios personajes que se cruzan, Martin en bicicleta, Seldon tirando a la papelera el primer anónimo, etc.) hay otros que parecen sacados de un mal telefilme (la confusión policial con los autobuses, la del concierto). Por otro lado, la Policía no puede confiar plenamente como hace en los mayores sospechosos del primer asesinato que además son los que descubren el cadáver. Y el inspector Clousseau (bueno es otro, pero es tan torpe como él) no puede decir continuamente que no entiende nada de lo que dicen los protagonistas. ¿Y no se dice al principio que Mrs. Eagleton estuvo a punto de casarse con Seldom, o que tuvieron un romance? Desde luego hay amores que matan. En fin, releyendo los párrafos anteriores da la impresión de que la película no es nada del otro jueves. Nada más lejos de la realidad. El mayor inconveniente es que Alex de la Iglesia ha sido demasiado convencional, algo a lo que no nos tiene acostumbrados. Debería haber tratado de arriesgar un poco más, lo cual es fácil decirlo, pero hay que contar también con las dificultades de rodar en otro país, en inglés, con actores internacionales, etc. (no hay más que darse un garbeo por su diario de rodaje). En todo caso, nos gusta que los cineastas echen de vez en cuando mano de las matemáticas, pero si fuera posible, de un modo más tangible y menos filosófico. Más detalles sobre el libro y la película los podéis encontrar en la página aula matemática de nuestros amigos Abel y Marta Martín, que han reunido una extensa colección de fotos de películas sobre matemáticas. Títulos Numéricos: Del 41 al 50. Así entre Julio Zárate y un servidor seguimos cumpliendo el objetivo de probar nuestra conjetura: Existen películas cuyo título en castellano contiene la sucesión de los naturales para n ≤ 50 (por ahora). Y aquí no vale utilizar la inducción (¿Por qué?) 41: El Cuarenta y Uno (Copok Nepbui (Sorok Pervyj), Grigori Chujrai , 1956, URSS). 41, el hombre perfecto (Pepe Romay, Méjico,  1982). 41 (41, Christian de Rezendes y Christian O'Neill, EE. UU., 2007). Documental. 42: La calle 42 (42nd Street, Lloyd Bacon, EE. UU., 1933). Verano del 42 (Summer of '42, Robert Mulligan, EE. UU., 1971). Vania en la calle 42 (Vanya on 42nd Street, Louis Malle, EE. UU., 1994). 43: La larga noche del 43 (La Lunga notte del '43, Florestano Vancini, Italia, 1960). Con la Cuarenta y Tres División (Clemente Cimorra, España, 1938). Documental de guerra. 44: La calle 44 (The Mayor of 44th Street, Alfred E. Green, EE. UU., 1942). Noventa y Nueve, Cuarenta y Cuatro por Ciento Muerto (Ninety Nine and 44 % Dead, John Frankenheimer, EE. UU., 1974). Esta vale también para el 99, obviamente. Curso del 44 (Class of '44, Paul Bogart, EE. UU., 1973). Luna 44 (Moon 44, Roland Emmerich, Alemania, 1990). 45: Colt 45 (Colt .45, Edwin L. Marin, EE. UU., 1950). Un Cuarenta y Cinco para los Gastos del Mes (Carlos Asorey, España, 1985). Amor del calibre 45 (Love and a .45, C. M. Talkington, EE. UU., 1994). 46: Código 46 (Code 46, Michael Winterbottom, Reino Unido, 2003). 47: Los 47 samuráis (Genroku Chûshingura, Kenji Mizoguchi, Japón, 1941). U-47, comandante Prien (U 47 - kapitanleutnant Prien, Harald Reinl, Alemania, 1958). Secuencia 47 (Cristian Molina Villanueva , España, 2000). 48: Cuarenta y Ocho Pesetas de Taxi (Fernando Delgado, España, 1930). Cuarenta y Ocho Horas (José María Castellví, España, 1943). Límite 48 horas (48 Hrs., Walter Hill, EE. UU., 1982). Cuarenta y Ocho Horas Más (Another 48 Hrs,, Walter Hill, EE. UU., 1990). 49: Brigada 49 (Ladder 49, Jay Russell, EE. UU., 2004). 50: Cincuenta dólares, una vida (Lucky Devils, Ralph Ince, EE. UU., 1933). El Tren de las Cuatro Cincuenta (Murder she said, George Pollock, Reino Unido, 1961). Cincuenta millones y una mujer (Perfect Friday, Peter Hall, Reino Unido, 1970). 50 primeras citas (50 First Dates,  Peter Segal, EE. UU., 2004).

Viernes, 01 de Febrero de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico