51. 126. El miedo motiva

Pues sí, las matemáticas son tan universales que también aparecen en películas infumables, pero es nuestra obligación consignarlas de igual modo. Aunque a veces, una película mediocre esconde gemas topológicas, diferenciales, etc. ¿Será este el caso? Para saberlo, hay que leer un poco. El título también se explica a lo largo del texto. Ficha Técnica: Título: La esposa de mi profesor. Título Original: My Teacher's Wife. Nacionalidad: EE. UU., 1995. Dirección: Bruce Leddy. Guion: Seth Greenland. Fotografía: Zoltán David, en B/N. Montaje: Norman Hollyn. Música: Kevin Gilbert. Producción: Robert N. Fried y Richard J. Zinman. Duración: 89 min. Ficha artística: Intérpretes: Tia Carrere (Vicky Mueller), Jason London (Todd Boomer), Alexondra Lee (Kirsten Beck), Zak Orth (Paul Faber), Leslie Lyles (Elaine Boomer), Jeffrey Tambor (Jack Boomer), Christopher McDonald (Roy Mueller), Joanna Canton (Kim O'Brien), Jep Hill (Bernie Bodean), Caroline Crumpler (alumna), Karyn Beach (chica disfrazada de monja), Amy Nelson (Camarera). Argumento: Comedia típica de adolescentes. La historia sigue las tribulaciones del estudiante Todd Boomer de último año del instituto Southport, cuyo sueño de toda la vida de ir a la universidad de Harvard se viene abajo por su duro profesor de Cálculo (¿Cómo no?), el señor Mueller. Buscando ayuda para aprobar, se pone en manos (nunca mejor dicho) de la sexy y misteriosa Vicky. Pero lejos de mejorar, las cosas van de mal en peor. Con estas premisas, y además sabiendo que nunca se estrenó en España en salas comerciales (imaginaos, aquí que las productoras prácticamente obligan a que cualquier filmación norteamericana aparezca en cartel; ya sabéis, si queréis estrenar la nueva de Star Wars, en el paquete van otras veintitantas lamentables), eso sí, se ha pasado por televisión alguna vez, y que el título inicial era Bad with Numbers (Malo con los números; no se sabe qué es peor), quizá no apetezca mucho echarla un vistazo. Pero bueno, otros lo han hecho por vosotros, y aún estamos aquí, así que vamos con las matemáticas presentes. “Cierren los libros”, ordena el profesor mientras observamos la pizarra que aparece en la imagen. No podemos ver todo lo que aparece en la pizarra, por lo que no podemos juzgar si lo que hay es un disparate o no. Tiene toda la pinta de que lo que no se ve del paréntesis en la primera expresión es 1/n, en cuyo caso la expresión tiene algún sentido. Están por tanto trabajando con series numéricas. Lo que no es explicable sin ver más es el ∆y. Seguramente la película esté rodada en formato panorámico, y la edición del DVD se ha hecho adaptada al formato televisivo antiguo (lamentable práctica que con la aparición del DVD y el Blu-Ray parecía abandonada, pero no. Incluso grandes películas siguen siendo editadas en aberrantes formatos herederos del más casposo VHS. En fin…). Aparece entonces el profesor que continua su “maravillosa” perorata: “Damas y caballeros, el Cálculo Integral no es para todos. El 28 % no ha pasado el examen”. Y se dispone a entregar a los alumnos los exámenes, aderezados con “geniales” comentarios: “Srta. Natatio, sacúdase el polvo del cerebro. Sr. Buchanan, he visto a ardillas sacar mejores notas. Y es un hecho. Sr. Faber. Está dejando mal a todos los demás. Sr. Boomer. Usted volaba alto hasta que chocó con una bolsa de aire…”; bueno, ya vemos cómo nos pintan al tipo. Al irse, podemos ver al completo el encerado. Esto ya tiene algún sentido, como vemos en la nueva captura de imagen. Vamos a la versión original, que nos aguarda alguna que otra sorpresa, para no variar: “Ladies and Gentlemen, Calculus is not for wimps”. ¡¡Pero que obsesión tenemos en España con las integrales!! Esto hace que lo escrito en la pizarra SI tenga sentido. Un poco más adelante, la casualidad hace que los protagonistas (Todd y Paul) recojan a Vicky, una chica espectacular, aunque mayor que ellos y con la que Todd ya había tenido un encuentro también casual en un estanque. El coche (un Corvette Stingray de 1966, un lujo de coleccionista) la ha dejado tirada en medio de la carretera. Ellos, amablemente, se ofrecen a llevarla a su casa, aunque de camino pasan a tomar algo en un restaurante. Al ir a pagar (observamos que en la caja registradora aparece el importe, 13.89 dólares), los chicos dicen que ellos deberían de pagar al menos “la propina”. Ella enseguida lo calcula, 2.75 dólares, quedándose ellos bastante sorprendidos de que haya hecho la cuenta mentalmente y tan rápido. Entonces es cuando les explica que es “Licenciada en Matemáticas. Universidad de Vermon. ¡Es muy duro!” (la versión original dice “¡Es muy útil!”). Antes de nada, una pequeña aclaración sobre “la propina”, por si alguien no ha ido a los EE. UU. Si bien la propina (Tip, en inglés) no es obligatoria en la mayoría de los Estados Unidos, en muchas circunstancias es habitual para el servicio, especialmente en casi todos los restaurantes que ofrecen servicio de mesa (como en este caso). Para muchos empleados la propina es vital, ya que sus sueldos son bastante bajos y estas propinas son para los camareros íntegramente, hasta el punto de considerarse parte de su salario (de media viene a ser $2.00 por hora más propinas). En general, la propina promedio es del 15% al 20% del costo total de la comida, aunque en algunos estados es “sólo” un 10% (el que esto escribe tuvo en Marruecos hace años una experiencia un tanto singular. Allí esto de la propina es también usual, y cuando nos disponíamos a salir tras abonar exclusivamente lo que ponía la factura más una pequeña propina, no nos dejaban salir del restaurante. Amablemente nos explicaron que la costumbre era dejar un 10% del total de la factura, pero ¡¡es que íbamos en grupo, y comimos como 20 personas!! Y claro el 10% era una pasta). En el caso que nos ocupa, con los datos que nos dan ($ 13.89, y el cálculo de Vicky, $ 2.75, claramente la propina era aproximadamente del 20%), las cuentas están bien echadas (en la película, en la versión original dice, “aproximadamente $ 2.75”). Al indicar que es matemática, Todd no se resiste a comentar: “¿Sabes algo de Cálculo Integral? Es que he suspendido el último examen, y si no paso este curso, mi vida estará totalmente acabada”. De nuevo en la versión original, el chico le pregunta si sabe Calculo, no Cálculo Integral. Al cabo de unos días, Vicky se presenta en casa de Todd, y se presenta a su padre como la tutora del chaval. El padre, al verla y caérsele literalmente la baba (ya digo que hay secuencias infumables; la madre, por ejemplo, es representada como una ama de casa que siempre, siempre está hablando por teléfono con sus amigas, y como en esta época aún no había móviles, tiene un cable que tiende literalmente a infinito, y no exagero; supongo que quiere hacerse gracia con ello, pero no tiene ninguna), le dice lo más cortésmente que puede si no la importa que le haga unas preguntas sobre la materia, para ver si controla. Vicky algo sorprendida, accede. El padre coge el libro de texto y le pregunta (pongo el diálogo de la versión pasada por televisión en español): Padre: Si 3A sobre 5 representa el cambio de fuerza aplicado a un objeto en movimiento, ¿qué ecuación representa su velocidad? Vicky (tras unos segundos pensando): 3/5 integral de A. Y con esta respuesta, todos quedan convencidos de su capacidad, y los padres marchan a cenar fuera, y la tutora se queda a “enseñarle” Cálculo al chico, como vemos en la imagen. La traducción en este caso es demasiado textual y puede no interpretarse bien. Dejando como mera anécdota que hayan traducido la fracción 3/5 como “3 sobre 5”, que tiene tela, change in forcé se refiere a la variación de la fuerza. Aplicando la segunda ley de Newton (Fuerza es igual a masa por aceleración), lo que Vicky responde es correcto ya que la velocidad es una primitiva de la aceleración (la masa es tomada evidentemente como constante). Con unas clases particulares tan bien aprovechadas, es normal que las calificaciones del siguiente examen sean mejores (a todo esto, Mr. Mueller, el profesor, no sabe que su esposa le da clase a Todd). Alcanza una puntuación de 89 (suponemos que sobre 100, dada esa calificación de B+; recuérdese cómo va la puntuación anglosajona del A (sobresaliente), hacia abajo). Sin embargo, si echamos un vistazo a la imagen capturada (algo que nunca iban a sospechar, supongo), vemos un montón de fallos o cosas sin sentido. Se trata de un control sobre Integrales Impropias (esto aquí no se imparte en Secundaria; es de los primeros cursos de los grados universitarios; los que me conocen sabrán lo que disfrutaba yo con este tema en clase, y cómo me gustaba “inventar” nuevas integrales impropias (en el fondo es un cálculo de límites); desgraciadamente, en los recortes de las asignaturas, es un tema que ha ido disminuyendo hasta casi sólo dar la definición). Así pues, como me gusta, paso a describirlo con detalle. Se ven dos ejercicios: 1.- Evaluar la integral , en caso de convergencia. 2.- Evaluar la integral . Antes de comentar lo que ha puesto, “repasemos” estas cuestiones. La primera se trata de una integral impropia tradicionalmente llamada de segunda especie, aunque es preferible calificarla (va en gustos), como integral de función no acotada en intervalo acotado (la función tiene una asíntota vertical en x = 1, por lo que se “pira” a infinito en un entorno del punto 1). Para estudiar su convergencia, se utilizan los criterios de comparación, teniendo como referencia integrales modelo, cuyo carácter conocemos. Para este tipo de impropias, el modelo es , que converge (da un número real) si el exponente α < 1, y diverge (vale infinito) en caso contrario. A esta conclusión se llega simplemente haciendo una primitiva y evaluando en los extremos de integración mediante la regla de Barrow, teniendo en cuenta que en el punto donde está la discontinuidad (x = a, en el caso anterior), se evalúa el límite por la derecha (el intervalo donde la integral tiene sentido es (a, b], en el caso expuesto). Así pues, la integral propuesta en el examen de la película es convergente (α = ½ < 1), y basta con hacer una primitiva y utilizar la regla de Barrow para calcular su valor, en este caso, 2. Para el segundo ejercicio propuesto, la discontinuidad aparece en x = 0 (donde se anula el denominador), y por tanto hay que separar la integral en dos (porque nunca se deja más de una discontinuidad por integral) Y las dos del segundo miembro (tomando de nuevo el modelo indicado arriba), son divergentes (ya que α = 2 > 1). Por tanto, es trivial evaluar la integral. Da infinito. ¿Pero que vemos escrito en el examen? La primera línea tiene cierto sentido (aunque no nos lleva a ningún lado de manera efectiva), pero de repente vemos que el alumno ha escrito , que, vale, es correcto, pero que no tiene nada que ver, absolutamente nada, con el ejercicio planteado. Así que, como el resto del examen siguiera en esa línea, a 89 puntos no llega ni harto de vino (el profesor, me refiero). Continuemos divirtiéndonos (al menos yo me he divertido mucho, mucho más que con el argumento de la película). Hacia el minuto 42 aproximadamente, el profesor Mueller enuncia un problema mientras describe los datos en el encerado (ver imagen) sobre los ejes de la representación de una parábola: “El barco recorre una distancia de 200 metros a 25 nudos por segundo. ¿Velocidad de cambio del ángulo de desviación?” Como sucede con frecuencia, se dejan los mismos valores numéricos de la versión original, pero se cambian las unidades, con lo cual, si uno intenta resolver el ejercicio, no le va a salir la solución que aporte el guion. En este caso, los datos de la versión original son 200 yardas (unidad náutica más realista que los metros, desde luego), y la velocidad es 25 pies por segundo. Muchos alumnos levantan la mano para responder, pero el profesor quiere que responda el protagonista (obviamente). Tras pensarlo un poco, Todd responde (esto coincide con la versión original), “La velocidad de cambio es .04 radio”. Seguro que alguno puede explicar la respuesta (no os lo voy a dar todo hecho, amables lectores). Lo que sí voy a explicar es a que se refiere con ángulo de desviación (angle of deflection, en la versión original). En topografía, el ángulo de desviación es el ángulo medido desde la prolongación de la trayectoria anterior a la siguiente (en la imagen, el ángulo θB). Al contrario que en trigonometría, los ángulos en el sentido de las agujas del reloj son positivos, y al contrario son negativos. Finalmente, hacia el minuto 68, el profesor vuelve a repartir exámenes e improperios hacia los alumnos (a uno lo califica como lata de atún; a otra chica le dice textualmente: “Dos palabras describen su semestre. ¿Las adivina? Muerte cerebral”). Entonces, les explica: “Amigos, quisiera dejar algo claro. No me alegra que tengan problemas. Me duele. Me hace sentir que pierdo el tiempo. ¿Por qué creen que me muestro tan duro? Porque el miedo motiva. Por ejemplo, el Sr. Boomer. Hace seis semanas estaba estropeando un historial perfecto. Le asusté un poco, y mírenle ahora. El segundo en nota. Podrá ir a la universidad que elija. Así que, si les acoso y les molesto, ¡Bien! ¡Genial! ¡Utilícenlo! Demuestren que me equivoco, que me trague mis palabras. Trabajen más. Nos alegraremos todos”. Seguro que estas palabras os suenan a muchos. ¿Estáis de acuerdo? ¿No? ¿Puede considerarse un método docente? ¿Es realmente motivador? Mientras comenta esto, aparecen en el fondo pizarras con un nuevo ejercicio de integral definida. Se trata de calcular el área de la región determinada por f(x) = 2 – x2 y g(x) = x (en la imagen, la representación gráfica). En la segunda imagen aparece la solución correcta, 9/2, aunque la integral está mal escrita. Aparece pero el siguiente igual es la solución de , que es la correcta. El/la script que no se entera. Otra frase de la película que descarté para título de la reseña por su largura (mucho más positiva, desde luego) es la que dice Todd después de dar clases particulares con Vicky: “Nunca pensé que diría esto, pero ¡adoro las matemáticas!” La película se rodó en Wilmington, Carolina del Norte con un lanzamiento en salas planificado para febrero de 1995. Pero el colapso financiero de Savoy Pictures la dejó en el dique seco hasta que Trimark Pictures la adquirió, la volvió a titular como My Teacher's Wife (en vez de Bad with Numbers o Learning Curves, que fue otro título que mantiene en algunos enlaces de internet; obviamente se refiere a las “curves” de Tia Carrere, más que a las matemáticas) y la lanzó en DVD. La partitura fue compuesta e interpretada por Kevin Gilbert, un colaborador principal del grupo Tuesday Night Music Club, célebres en los EE. UU. por haber compuesto canciones para el primer álbum de Sheryl Crow. La película también presenta animaciones del dibujante nominado al Premio de la Academia Bill Plympton (no, no son del protagonista). Hay muchos que consideran esta película como un remake de Mi tutor (My tutor, George Bowers, EE. UU., 1983), muy similar salvo que la explosiva profesora era (¿no lo adivináis?) de francés. Disfrutad (o no) del tráiler de la película aquí. En YouTube descubriréis algún enlace más, pero no tienen mucho que ver con las matemáticas. ¡¡¡FELICES FIESTAS A TODOS!!! Alfonso Jesús Población Sáez

Martes, 12 de Diciembre de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

52. 1. Cine y Educación

Cine y Educación Cine y Matemáticas Películas con referencias Matemáticas Bibliografía “El cine es movimiento, arte historia, lenguaje, magia, música y documento”. Esta definición que hace del cine Enrique Martínez-Salanova en su obra Aprender con el cine, aprender de película, nos parecía muy adecuada para comenzar a hablar de la importancia del cine en nuestra sociedad. El cine, que hace poco años cumplió el centenario de su nacimiento, ha sido uno de los mayores adelantos, sobre todo en el tema del ocio y la cultura, de la primera mitad del siglo XX. A pesar de que a mediados del siglo pasado sufrió un descenso en el número de espectadores, debido al influjo de la televisión, su recuperación ha sido continua y evidente. Actualmente goza de una excelente salud y buena muestra de ello es la expectación que crea el estreno de algunas películas, especialmente aquellas que forman parte de una serie y que debido a las grandes campañas publicitarias de los estudios cinematográficos, llegan a las salas de exhibición siendo parcialmente conocidas por el gran público. Con citar las sagas de La Guerra de las Galaxias, El Señor de los Anillos, Harry Potter o la continuación de Matrix, suponemos que quedará claramente definido este aspecto. Desde siempre, el cine ha influido mucho en la sociedad. No solamente los jóvenes suelen guiarse por los patrones que implantan sus ídolos como Tom Cruise, Nicole Kidman, Brad Pitt, Jeniffer Ariston, etc. sino que muchas modas han surgido a raíz de lo aparecido en pantalla. La dinosauriomanía es un buen ejemplo, aunque no podemos pensar que este fenómeno aparezca sólo en nuestros días. Recordemos que el que exista una prenda de vestir llamada rebeca obedece a que dicha prenda era “protagonista” en una película de Hichtcok. Tampoco podemos olvidar el pernicioso influjo que las empresas tabaqueras han practicado sobre la industria del cine. Hay que reconocer que, a veces, el cine provoca reacciones altamente beneficiosas. Por ejemplo, después de aparecer en un culebrón referencias a un cáncer de mama, muchas mujeres se han preocupado más por su salud. También hay películas que han promovido campañas de influencia positiva. Por citar alguna reciente, no podemos dejar pasar la influencia de éxitos como El Señor de los Anillos o Harry Potter para animar a la lectura de muchos niños y jóvenes, pues aunque las aventuras del joven mago son un éxito de ventas antes de aparecer la película, es cierto que muchas personas, de todas las edades han descubierto sus libros, y los de Tolkien a raíz del éxito cinematográfico. Cine y Educación Un medio tan poderoso como el cine, no debe quedar fuera de las aulas. Muchos autores han hablado de la importancia que tiene la introducción de la imagen, y especialmente la imagen en movimiento, en la enseñanza. Es indiscutible que nuestros alumnos están acostumbrados a un ritmo narrativo, que no coincide con el que encuentran en la escuela: la imagen del profesor ante una pizarra, o sentado en la mesa del profesor y simplemente hablando. Nuestro alumnado está acostumbrado a estar delante de la televisión desde que nacen, y por tanto, tienen un estilo de recogida de información muy diferente del clásico que encuentran en la escuela. Para llegar con nuestro mensaje educativo a esas personas, es imprescindible el uso de las herramientas audiovisuales que están a nuestra disposición. En general, la enseñanza ha estado siempre aislada de los medios, especialmente del cine, que es el motivo de nuestra comunicación. Con la implantación de la LOGSE y sus tímidas referencias a los medios, muchos profesores comenzaron a realizar investigaciones para introducir esos recursos en el aula, consiguiendo, en general, unos resultados excelentes. Existen multitud de experiencias a través de talleres para conseguir que los alumnos lleguen a apreciar todo el cine, no sólo el de más rabiosa actualidad, y para que aprendan el lenguaje cinematográfico. Con esto se consigue que los alumnos sepan ver correctamente lo que se les presenta, y especialmente sean críticos ante la manipulación audiovisual a la que muchas veces están expuestos. Es especialmente gratificante terminar un curso habiendo conseguido que los alumnos no sólo acepten, sino que sean capaces de apreciar una película muda, o en blanco y negro; algo que a principios de curso les resultaba repulsivo. Hay muchos profesores que han trabajado con el cine como recurso dentro de sus propias materias. Es decir, no estudiar el cine en sí, sino utilizarlo como un material educativo de primer orden. Sin mucho buscar, se pueden encontrar ejemplos de películas con las que tratar por ejemplo las áreas transversales. Localizar películas para educar en valores, realizar una correcta educación del consumidor, aprender a cuidar el medio ambiente o para tratar la coeducación, no es una tarea complicada. Aparte de lo ya visto, muchos profesores utilizan películas para ver contenidos de sus curriculum. No cuesta mucho imaginar las posibilidades de las películas en materias como Historia, con sus recreaciones históricas ( El nombre de la rosa o Aguirre y la cólera de Dios), o en Lengua Española ,con las adaptaciones de obras clásicas (incluso en verso como la estupenda El perro del hortelano), o en idiomas con la posibilidad de ver películas en su lengua original, o en Filosofía y Ética (viendo por ejemplo la película Galileo de Liliana Cavani). También en Ciencias es posible introducir algunos temas a partir de referencias cinematográficas. Por ejemplo, hablar del tema de las centrales nucleares a partir de El Síndrome de China, o el tema de las epidemias infecciosas con la película La amenaza de Andrómeda. Si se quiere ahondar en este tema, pueden encontrarse muchos ejemplos de utilización del cine en el monográfico “El cine en las aulas” de la revista Comunicar. Cine y Matemáticas ¿Y con respecto a las matemáticas que ocurre? Inicialmente tiende a pensarse que una asignatura tan abstracta como la matemática, no puede tener cabida en un medio eminentemente visual como es el cine, pero nada más alejado de la verdad. No olvidemos que el cine tiende a reflejar la vida que nos rodea, bien recreando la actualidad, o épocas pasadas (incluso imaginando cómo será el mundo en el futuro, adelantándose en algunas ocasiones a la realidad). Si unimos a lo anterior que como decía Galileo Galilei “El mundo está escrito en el lenguaje de las matemáticas”, no debe extrañarnos que podamos encontrar referencias a esa materia en algunas películas. El pasado año 2000, fue nombrado por la Unesco como el Año Mundial de la Matemáticas. Con tal motivo se celebraron multitud de actividades en todas partes del mundo, en particular en nuestro país, relacionadas con esa materia. Entre esas actividades hubo muchas que relacionaban las matemáticas con otras disciplinas de nuestro entorno cotidiano, como por ejemplo el arte, la literatura, la fotografía,…. y por supuesto el cine. Se realizaron listas de películas relacionadas con las matemáticas y hubo muchas proyecciones con motivo de ese año. De algunas de esas películas hablaremos aquí. El objetivo de esta comunicación es mostrar algunos ejemplos de relación entre el cine y las matemáticas, con referencia expresa a películas donde quede patente esa relación. No pretendemos ser exhaustivos, ni ahondar en las posibilidades didácticas de estas cintas, pues ello sería impensable de abordar en el tiempo dedicado a esta presentación. Únicamente queremos que los que nos atiendan sean conscientes de que, al igual que en cualquier taller de cine se presentan listas de películas especiales para las asignaturas de Lengua, Música, Historia, Física y Química, Biología y Ecología, Filosofía y Psicología, etc., las matemáticas también tienen su rinconcito. Películas con referencias matemáticas Lo primero que puede llamarnos la atención es que un matemático pueda ser un personaje atractivo como para aparecer en una película. Hay muchas películas, que aunque su desarrollo no tenga nada que ver con las matemáticas, dentro de ellas aparece algún personaje relacionado con ellas. Muchas han tenido un relativo, cuando no espectacular, éxito. La primera que se nos viene a la memoria sería el comienzo de la saga de los dinosaurios, Parque Jurásico. En ella uno de los personajes importantes representa a un matemático especializado en la Teoría del Caos. Este personaje consigue salvar la vida, aunque para muchos espectadores hubiese sido preferible que se lo comiera algún dinosaurio. Lo curioso es que en la secuela de esa película, El Mundo Perdido, en la que también aparece el mismo personaje, éste ha dejado de ser expresamente matemático y pasa a ser sólo científico. La Teoría del Caos ha sido protagonista en varias cintas, por ejemplo en la española El Efecto Mariposa se plantea la similitud de esa teoría con los cambios imprevistos en las relaciones humanas que se desarrollan en la trama. Pero personajes matemáticos que aparecen en películas ya decimos que no son extraños. En la película Bola de Fuego, una serie de eruditos está recluido en una institución con el fin de realizar la más completa enciclopedia. Uno de ellos es matemático. También resulta ser matemático el personaje que se hace pasar por mago en El Mago de Oz. O el protagonista de Perros de paja. Hay muchas películas en el que uno de los protagonistas es matemático y esa faceta sale reflejada de algún modo en la cinta. A veces es un científico despistado o inepto para todo lo que no sean las matemáticas, como ocurre con el protagonista de El amor tiene dos caras de Barbra Streisand, en la que un matemático universitario, pésimo profesor, intenta mejorar sus capacidades de comunicación merced a la ayuda de su enamorada, una profesora de lengua de gran capacidad divulgativa. Otra película en el mismo sentido es Ahora me toca a mí, en cuyo caso la protagonista es una mujer profesora de matemáticas. Los niños “pitagorines” también tienen su cabida en el cine. Una secuencia realmente desternillante puede verse en la película Días de radio de Woody Allen, en la que el narrador en su infancia coincide en un parque con un cerebrito especializado en grandes cálculos mentales y que además es estrella de la radio. Por su parte, el personaje principal de El pequeño Tate de Jodie Foster es un niño retraído y con problemas de comunicación pero un genio para las matemáticas. Existe una película donde se refleja el trabajo cotidiano de un profesor de matemáticas. Nos referimos a Lecciones inolvidables. Esta película narra una historia muy repetida en Hollywood. Un profesor novato llega a una escuela donde los alumnos son meros delincuentes sociales que se dedican a sembrar el terror, pero con sus maneras logra captárselos y hacer de ellos unos buenos estudiantes integrados en la sociedad (salvo algún caso particular que termina cayendo en manos de la policía). Este estereotipo de guión tiene en este caso la novedad de que el profesor es de matemáticas y de que comienza el curso prácticamente enseñando a sumar y acaba con los alumnos consiguiendo el ingreso en la Universidad, ¡y todo en un curso académico! Aunque quizás las películas más conocidas donde pueden encontrarse referencias más recientes, sean dos de ellas famosas por los premios conseguidos. En primer lugar la película El indomable Will Hunting, donde aparece un joven problemático pero con unas grandes capacidades para las matemáticas. Y la segunda es por supuesto la oscarizada Una mente maravillosa donde se narra las peripecias del esquizofrénico matemático John Forbes Nash, que consiguió el Premio Nobel de Economía (y no el Matemáticas como dijeron algunos periodistas, ya que no existe el Nobel de Matemáticas). La película es bastante mala desde el punto de vista de la recreación matemática, y sobretodo porque altera la historia real, algo bastante frecuente en Hollywood. Vamos a dar un giro radical y pasar a los dibujos animados. La película más famosa para los profesores de matemáticas quizás sea Donald en el país de las matemágicas, un corto de unos 30 minutos pero con unas capacidades didácticas increíbles. Este corto, que se estrenó en las salas comerciales como complemento a otra película de más larga duración de la factoría Walt Disney, fue durante muchos años la única referencia visual didáctica que podía encontrarse en cualquier I.C.E. de la Universidad. En la película, el pato Donald llega al país de las matemágicas (que posteriormente se ha sustituido, desafortunadamente, por el país de las matemáticas) y allí descubre la relación de las matemáticas con la música, el arte, la naturaleza, los deportes, etc. Dentro de los dibujos animados, merece citarse un corto realizado por Chuck Jones, uno de los grandes dibujantes de la Warner Broos (creador del Coyote y el Correcaminos, entre otros). El corto en concreto lleva por título El punto y la línea y narra la historia de una recta enamorada de un punto. En dicha película, todos los personajes son elementos geométricos. A veces en una película que no tiene de entrada referencias matemáticas, es posible encontrar aspectos que pueden interesarnos a los profesores de esa materia. Por ejemplo, en la cinta de dibujos animados El zapatero y la princesa, donde se cuenta la historia de amor entre esos dos personajes en la antigua Bagdad, aparece un ladrón que lo único que desea es robar las tres esferas de oro, símbolo del poder y la buena suerte de la ciudad. En esta película lo interesante son los fondos sobre los que se mueven los personajes. Al tratarse de una película ambientada en un país árabe, aparecen celosías con bellos motivos geométricos y además se ven mosaicos que recubren el plano. Incluso hay ilusiones ópticas en algunas escenas. El tema de las ilusiones ópticas y las figuras imposibles suelen aparecer a veces disimuladas en algunas películas. Existen muchísimos cuadros del pintor holandés Maurits Cornelius Escher (1898-1972) que se utilizan como portadas de libros y posters. Este pintor que como él mismo decía, se encontraba a veces más cercano a los matemáticos que a sus propios colegas, trabajó por un lado el tema de los recubrimientos del plano utilizando figuras (idea que comenzó a trabajar cuando en 1936 visitó La Alhambra de Granada) y por otro el tema de las figuras imposibles, del que fue un verdadero genio. Algunos de sus cuadros han terminado planteando escenas de películas. Un caso, sobre lo que comentábamos antes, es la película Los vengadores, la versión cinematográfica de la popular serie de televisión. En una de sus escenas, el dandy héroe del bombín y el paraguas se encuentra en una escalera que por más que sube siempre está en el mismo lugar. En otra película infantil, Dentro del laberinto, dirigida por Jim Henson y en la que se mezclan los personajes reales con los muñecos típicos de este creador, aparece una escena dentro del castillo del malvado (en este caso el cantante David Bowie) donde se recrea un cuadro de Escher llamado Relativity y que podemos ver en la imagen. Si nos referimos a situaciones matemáticas que aparezcan en películas, uno de los temas que pueden aparecer es el tema de los números. El director Peter Greenaway suele utilizar en sus películas (al menos en sus primeros films) números, conjuntos, medidas y proporciones. En concreto una de sus obras que en España se llamó Conspiración de mujeres (con lo que pierde el interés del título original Drawning by numbers) aparece un personaje que durante toda la película está contando las cosas más insospechadas, por ejemplo el número de perros muertos encontrados en una carretera. En esta película aparecen todos los números naturales del 1 al 100 expresados en distintos elementos (postes, puertas de casa, vehículos, etc.). En la película Contacto, los extraterrestres envían un mensaje a la tierra utilizando una sucesión de números primos. Pero es que los números primos dan para mucho. Existe una película canadiense de Vicenzo Natali llamada Cube en la que unos personajes (incluyendo un matemático) aparecen en un extraña cárcel compuesta por cubículos que se mueven, y están en contacto por todos los lados con otros cubos (imaginemos un Cubo de Rubik gigantesco). Las puertas que unen los cubos con otros se abren de vez en cuando, y permiten que se pase de una celda a otra. El problema es que en algunas celdas se encuentra la muerte. Para saber a qué celdas conviene entrar y buscar la posible salida, es necesario tener en cuenta una serie de números que hay en cada puerta. Estos números, que equivaldrían a un vector, tienen la característica de ser primos (los que valen) y sobre el estudio de ellos es sobre el que versa la película. Las posibilidades didácticas de esta cinta podemos consultarla en el artículo de Elena Thibaut. Se ha estrenado una continuación (aunque creemos que aún no ha llegado a nuestro país) con el título Cube 2: Hypercube. Hay otros elementos matemáticos curiosos que podemos encontrar referidos en las películas. Uno de ellos es la Cinta de Moebiüs. Si de una tira de papel unimos sus dos extremos conseguiremos una cinta normal que tiene dos caras, una exterior y otra interior. Pero si antes de unir los extremos, damos media vuelta a uno de ellos, cuando unimos los extremos obtenemos una cinta descubierta y estudiada por el astrónomo alemán Moëbius. Esta cinta tiene la característica de tener una sola cara. Es decir partiendo de un punto volvemos a él después de haber recorrido toda la extensión de la cinta por todos los lados. En la imagen podemos apreciar cómo sería esa cinta, que tiene muchas otras características curiosas. Existe una película realizada por el profesor de matemáticas argentino Gustavo Mosquera junto con sus alumnos, de título Moëbius en la que un vagón de metro desaparece en extrañas situaciones y un matemático descubre que sobre las vías han construido una Cinta de Moëbius. Hablemos ahora de otros elementos. Desde Platón se conoce que sólo existen cinco poliedros regulares (que son aquellos que sus caras están formadas todas ellas por polígonos regulares iguales, y además los ángulos diedros y triedros que lo forman también son todos iguales). En concreto son el tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro que tienen respectivamente 4, 6, 8, 12 y 20 caras. Platón relacionaba los poliedros con los elementos últimos de la naturaleza y así asignó al tetraedro el fuego, al hexaedro la tierra, al octaedro el cielo, al icosaedro el mar, y como le quedaba un quinto poliedro, asignó al dodecaedro el éter o el Universo, pues afirmaba que había un quinto elemento que “Dios lo ha utilizado para el todo, cuando dibujó el orden final”. Un colega y amigo Francisco Martín Casadelrrey estaba explicando estas relaciones a sus alumnos cuando ellos mismos encontraron referencias a esos elementos en la película El quinto elemento. Pero si nos referimos a figuras geométricas que aparecen en películas, las de Ciencia Ficción suelen ser un buen cultivo. En la serie Star Trek tenemos varios ejemplos. En la V, La última frontera, aparece una nave cilíndrica donde llegaban unos extraterrestres a hablar con las ballenas. Además en Primer contacto, de la nueva serie, aparece la nave donde viaja la entidad colectiva Borg. Esta nave es un perfecto cubo. Más tarde, esa misma entidad debe huir en una nave más pequeña, en este caso con forma de esfera. Y ya para acabar, aunque sin haber agotado el tema, nos referiremos a otra película en la que aparece un genio matemático obsesivo. En concreto en la película “?. Fe en el caos” de Darren Aronofsky, donde el protagonista intenta descubrir un patrón sobre la fluctuación de la bolsa, utilizando las cifras del número PI, mientras que una secta judía lo persigue para utilizar su patrón numérico, con el fin de descubrir los secretos ocultos tras los textos sagrados. La película recibió el premio al mejor director en el Sundance Film Festival de 1998. A pesar de ello, es un poco oscura y claustrofóbica, pero merece la pena su visionado especialmente para los interesados en las matemáticas. Bibliografía MARTÍNEZ-SALANOVA SÁNCHEZ, ENRIQUE (2002): Aprender con el cine, aprender de película. Grupo Comunicar Ediciones. THIBAUT TADEO, ELENA (2003): “Proyecto Cube: una introducción a la geometría tridimensional”. Epsilon nº 53. Sevilla. VV.AA. (1998): “El cine en las aulas”. Comunicar nº 11. Huelva. Internet Parte de la información reflejada en esta comunicación esta tomada de la página web: http://fresno.cnice.mecd.es/~arodri35/paginas/arte-cine.html En la siguiente página pueden encontrarse resúmenes, críticas y actividades para realizar con alumnos, para cuatro de las películas que hemos citado: PI, Moebius, Cube y El indomable Will Hunting. http://gauss.mat.eup.uva.es/~alfonso/cine.html Autor: José Muñoz Santonja Catedrático de Matemáticas en I.E.S. Macarena (Sevilla) Miembro de la S.A.E.M. THALES Miembro del Colectivo Andaluz “Comunicar: Medios de comunicación en las aulas”

Jueves, 01 de Julio de 2004 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

53. 2. Pi, fé en el caos. Una experiencia educativa

“El personaje principal es excéntrico y paranoico y es normal con todos esos números yo también me pondría loco, por eso la película se titula “PI: FE EN EL CAOS”.” Luis y Vicente, alumnos 4ºESO Curso 2001-2002 IES Ramón Muntaner Hace dos años me planteé trabajar con mis alumnos de 4º ESO los números irracionales a través de la película “Pi: fe en el caos”, del director Darren Aranofsky. Siendo como soy de natural pesimista, y con unos diez años de experiencia en el mundo de los BUP, las ESO y las reformas varias, lo que esperaba era un rechazo abierto y una negación rotunda a llevar a cabo el trabajo. Pero no fue así. La película “Pi: fe en el caos” nos muestra el proceso de descubrimiento por un matemático, Max Cohen, de un patrón numérico que predeciría la evolución de cualquier fenómeno caótico. Este patrón guarda relación con el número π y sus cifras decimales. En el desarrollo de la película aparecen elementos relacionados con las matemáticas y en algunos casos con un sentido metafórico. La esencia de los números irracionales y en concreto el número π, están presentes durante toda la película. π representa el camino hacia el conocimiento global. En mística esto sería conocer a Dios. En ciencia poder predecir resultados de fenómenos caóticos, que es lo más parecido a la omnisciencia divina. El protagonista, Max Cohen, trabaja con un ordenador, EUCLIDES, para que genere una serie numérica que permita predecir los resultados de la bolsa. Este ordenador se estropea en el momento en que estaba a punto de conseguirlo. Aparecen entonces en escena dos sectores de la sociedad con interés en poseer en exclusiva esta serie numérica. Por un lado los poderes religiosos, representados por los miembros de una secta judía, que ven en este conocimiento el medio para alcanzar a Dios. Y por otro lado los poderes económicos, representados por un grupo de financieros de Wall Street que necesitan el número para asegurar sus ganancias. En cierta manera, la posesión del número representa obtener el poder absoluto, tanto a nivel espiritual como material. Max repara su ordenador y consigue volver a implementar el programa. Pero el ordenador vuelve a estropearse. Sin embargo, antes de quedar inutilizado, se imprimen los números que proporcionan a Max las pautas que rigen el universo. Al final, Max acaba destruyendo o ignorando este conocimiento. Interpreto que supone una pesada carga para el hombre, limitado y finito, y que sólo puede ser feliz a través de la ignorancia. La ficha técnica y una sinopsis de la película están perfectamente redactados por Alfonso J. Población Sáez en su página web: http://gauss.mat.eup.uva.es/~alfonso/pi.html. Una precaución Resulta curioso que esta serie numérica que parece ser, para otros individuos, la clave para alcanzar una especie de felicidad, la que otorga el poder, no proporcione más que sufrimiento al protagonista. Paranoias, brotes esquizoides, migrañas... En general un desasosiego que no parece reportarle ni paz, ni felicidad, ni placer alguno. ¿Es esto lo que produce la investigación científica? ¿Son estas las consecuencias del aprendizaje? No resulta muy alentador para nuestros alumnos. Evidentemente no es esta la lección a aprender. Para sacarle partido a esta película se ha de discutir sobre la diferencia entre ciencia y pseudociencia. O más bien hablar sobre el que debe ser el objetivo de la ciencia, y por ende de las matemáticas y cual es la mejor manera de conseguirlo. La locura de Max no se debe a la posesión de un conocimiento prohibido o inaguantable para la pobre conciencia humana. Ni es un castigo divino por querer conocer más allá de nuestras posibilidades. La locura de Max proviene de su aislamiento, del carácter obsesivo de sus investigaciones y muy probablemente de una predisposición al desequilibrio mental (su deslumbramiento por el sol marca toda su trayectoria futura) La idea de la revelación de Dios a través de los números no es nueva. Fijémonos en la Torah. Se dice que contiene encriptados mensajes de Dios. Es un ejemplo dentro del ámbito religioso que no por ello deja de ser parte de la numerología. Es necesario desenmascarar este engaño. En ciencia ficción, tenemos un ejemplo en el final de la novela Contacto de Carl Sagan, donde la protagonista por fin recibe el mensaje de Dios en las cifras de p, una regularidad de ceros y unos dibujando una circunferencia. En filosofía, donde las matemáticas son el lenguaje de Dios que da forma a la naturaleza, o que son en sí mismas el mismo Dios. Desde Pitágoras a Sir James Jeans que dice: “...el Gran Arquitecto del Universo empieza ahora a perfilarse como un matemático puro.” Existe un foro en Internet, el de la página Epsilones http://www.epsilones.com/, donde se debaten estas cuestiones y se generan discusiones muy interesantes. Por todo lo dicho, me parece que lo más adecuado es utilizar la película con alumnos de 4º ESO. Y aun así no les va a gustar en absoluto. ¿Por qué entonces elegí esta película para trabajar los números irracionales? Por dos motivos. El primero porque hay muy pocas ocasiones para utilizar cine en la clase de matemáticas. Las referencias matemáticas son siempre puntuales y vinculadas a biografías de científicos famosos. (Ej: Una mente prodigiosa) O bien son documentales hechos a propósito para la enseñanza de conceptos concretos (Ej: Más por menos). Por eso, encontrar una película, cuyo argumento sea en sí mismo matemático, es todo un lujo que no hay que desaprovechar. Sólo conozco tres: “Cube”, “Pi: fe en el caos” y “Moebius”, y esta última todavía no la he visto. El segundo porque si no fuera por los profesores muchos de nuestros alumnos no tendrían ocasión de conocer “otras cosas” Parece que para motivar al alumno haya que ceñirse a sus gustos. Pienso que esta actuación lo único que genera es aburrimiento. Por mi experiencia, lo más motivador en las clases de matemáticas es el descubrimiento y el sentirse capaces para llevarlo a cabo. Esta película es lo suficientemente extraña para ellos como para hacer que se fijen en cuestiones a las que por sí mismos nunca se habrían acercado. El trabajo Lo que yo hice fue aprovecharla durante la 2ª evaluación, como trabajo de aplicación y refuerzo de los números irracionales. Dejando de lado la dificultad para trabajar algebraicamente con los radicales, un error común es definir un número irracional como un “número decimal infinito” Así que para comenzar les planteé la primera cuestión sobre la película diciendo: Cuando la vecina de Max le pregunta el resultado de una división, éste responde repitiendo las últimas dos cifras decimales mientras baja la escalera. ¿Por qué? El resultado de la división también da un número con infinitas cifras decimales. Pero no es un número irracional. La clave está en el patrón que se repite. Repasando los números decimales periódicos se puede ver la diferencia con los números irracionales. La primera y elemental referencia a p la encontramos en unas fórmulas conocidas: En el tren, Max escribe en el periódico las siguientes fórmulas A=π r2 C=2πr ¿A qué se refieren? ¿Por qué las escribe? Estas fórmulas son las que proporcionan el área y la longitud de la circunferencia. En ellas aparece el número π. En ese momento Max está pensando en su amigo Sol, que dedicó años de su vida a buscar en él un orden, un sentido. Cuando dibuja un círculo con su radio, está pensando en la perfección y el orden que evoca. Si π está relacionado con él, el aparente desorden e imperfección de sus infinitas cifras decimales no debe ser tal. Max identifica la infinitud de las cifras decimales de los números irracionales como un defecto. No acepta, al igual que los pitagóricos, que este tipo de números existan y puedan formar parte de estructuras consideradas impolutas, perfectas. ¿Qué cálculo hace Max, mejor dicho, su mega-calculadora Euclides, para encontrar esta serie numérica? Probablemente trate de comparar una gran cantidad de resultados de la Bolsa para encontrar alguna regularidad. Quizás trate de encontrar qué variaciones mínimas determinan los resultados caóticos. Max piensa: 12:45. Reformulo mis suposiciones: 1.-Las matemáticas son el lenguaje de la naturaleza. 2.-Todo puede representarse y entenderse con números. 3.-Al graficar cualquier sistema surgen patrones. Por lo tanto, hay patrones en toda la naturaleza. La pregunta que surge es: Según lo que has visto en la película, ¿qué entiendes por modelos matemáticos? Se trata de que el alumno razone sobre el papel que juegan la repetición de patrones en el establecimiento de modelos matemáticos y la relación con el concepto de un universo causal. La aparición de un ordenador, extrañamente monstruoso hoy en día, también proporciona un punto de partida para la reflexión. ¿Para qué necesita Max un ordenador? ¿Qué es exactamente lo que hace con él? ¿Quién es Euclides en la película? ¿Quién fue en realidad? El objetivo inicial de Max era poder predecir los resultados de la bolsa. Se podría decir que éste es un fenómeno caótico. Quiere decir que pequeñas variaciones, muy pequeñas, en sus valores iniciales, van a dar resultados radicalmente distintos. Los valores del mercado de la bolsa no se pueden predecir mediante ecuaciones diferenciales. No sirve la física determinista. ¿Qué puede hacer Max? Estudiar al detalle los resultados pasados y encontrar aquellos parámetros comunes en resultados similares. Éste es el patrón que anda buscando. Las ecuaciones que los ligan son un misterio en la película, aunque tal vez estén relacionadas con las espirales y su relación con el número áureo. Lo que sí es seguro es que va a tener que trabajar con gran cantidad de datos, hacer multitud de comparaciones y desarrollar ecuaciones muy complejas. Ésta es la tarea de un ordenador. Sorprende que no aparezcan los fractales explícitamente, si bien, la imagen de las espirales del humo de un cigarrillo o la de la leche en la taza de café, pueden ser un guiño en este sentido. Euclides es el nombre del ordenador de Max. No sé el porqué ha escogido a este matemático para bautizarlo. Me aventuraría a decir que quizás es por el orden y la sistemática a la hora de recoger los conocimientos matemáticos en Los Elementos, tal y como funciona un ordenador con la información que procesa. Es una buena ocasión para reflexionar sobre su obra, ya que sobre su vida se sabe poco, y de paso conocer también a Pitágoras y Arquímedes, que también aparecen en la película. Hay un libro muy salado, aunque quizás para niños más pequeños, donde hablan sobre ellos de una forma muy amena. Se titula “Esas mortíferas mates” de Kjartan Pokitt, de la colección Esa horrible ciencia, editorial Molino. Durante una conversación con Sol, Max busca un número de 216 cifras. Sol le dice que si se obsesiona lo verá por todas partes, que si pierde el rigor científico se convertirá en un numerólogo. El tema de la numerología puede tratarse comprobando sobre uno mismo que no tiene ningún fundamento. ¿Qué diferencia hay entre un numerólogo y un matemático? El amigo de Max, Sol, le dice que si se obsesiona podrá encontrar el 216 en cualquier lado. ¿Cómo lo encontrarías en tu nombre? Un numerólogo estudia la significación oculta de los números y practica la adivinación asignando un número a cada letra del alfabeto y un significado a cada número. Así puede interpretar cualquier texto, palabra o expresión, según el código utilizado. Todos los alumnos encontraron el 216 en su nombre. ¿Por qué el 216? Lenny, el amigo judío de Max, dice que es el número que dará el patrón que deben encontrar en la Torah. Todo esto es bastante sospechoso, teniendo en cuenta que 216=6·6·6, ¡el número de la bestia! Quien lo iba a decir, resulta que todos mis alumnos contienen en su nombre el número de la bestia. Ironías aparte, cualquier número lo podemos encontrar en cualquier sitio. La interpretación mágica que le demos a uno u otro depende de nuestras supersticiones y prejuicios, no de una deducción racional. Otra coincidencia curiosa, el 216 también está relacionado con el número áureo, sen666 = cos216 = Φ/2, y forman los dos un triplete pitagórico junto al 630. Ya que ha aparecido el número áureo, veamos los siguientes diálogos de la película LA TORAH ES UNA LARGA CADENA DE NÚMEROS. SE DICE QUE ES UN CÓDIGO QUE DIOS NOS ENVIÓ. ¡QUÉ INTERESANTE! SÍ. ES COSA DE NIÑOS. MIRA ESTO... KADEM SIGNIFICA "JARDÍN DEL EDÉN". TRADUCCIÓN NUMÉRICA: 144, EL VALOR DEL "ÁRBOL DEL CONOCIMIENTO", EN HEBREO AAT HA HAIM ES 233,144, 233, ESTOS... SON LOS NÚMEROS DE FIBONACCI. ¿QUÉ DIJISTE? LA SECUENCIA FIBONACCI. ¿FIBONACCI? FIBONACCI ERA UN MATEMÁTICO ITALIANO DEL SIGLO 13. SI DIVIDES 144 EN 233 EL RESULTADO SE APROXIMA A THETA. ¿THETA? SÍ, THETA. EL SÍMBOLO GRIEGO DE LA PROPORCIÓN ÁUREA. (MAX DIBUJA LA ESPIRAL ÁUREA) LA ESPIRAL DORADA. GUAUUU... NUNCA HABÍA VISTO ESO. ES COMO LAS SERIES QUE ENCUENTRAS EN LA NATURALEZA. COMO LA CARA DE UN GIRASOL. DONDEQUIERA QUE HAYA ESPIRALES. LAS MATEMÁTICAS ESTÁN EN TODOS LADOS. Y más tarde, mientras monta de nuevo su ordenador, Max piensa 4:42. NUEVA EVIDENCIA. RECORDAR A PITÁGORAS. MATEMÁTICO; LÍDER DE CULTO. ATENAS, 500 a.C. TEORÍA PRINCIPAL: EL UNIVERSO ESTÁ HECHO DE NÚMEROS. CONTRIBUCIÓN PERSONAL: LA PROPORCIÓN ÁUREA. MEJOR REPRESENTADA COMO EL RECTÁNGULO ÁUREO. VISUALMENTE, EXISTE UN EQUILIBRIO ENTRE LA FORMA, EL LARGO Y EL ANCHO. AL ENCUADRARLO DEJA UN RECTÁNGULO ÁUREO MÁS PEQUEÑO CON LAS MISMAS PROPORCIONES. SE PUEDEN SEGUIR HACIENDO CUADRADOS, CADA VEZ MÁS PEQUEÑOS HASTA EL INFINITO. 11:18. MÁS EVIDENCIA. RECORDAR A DA VINCI. ARTISTA, INVENTOR, ESCULTOR, NATURALISTA. ITALIA, SIGLO XV. REDESCUBRIÓ LA PERFECCIÓN DEL RECTÁNGULO ÁUREO Y LO DIBUJÓ EN SUS OBRAS MAESTRAS. CONECTANDO LOS CONCÉNTRICOS RECTÁNGULOS CON UNA CURVA, SE GENERA LA MÍTICA ESPIRAL DORADA. PITÁGORAS ENCONTRABA ESTA FORMA EN TODA LA NATURALEZA. EN LA CARACOLA, EL CUERNO DEL CARNERO, EL REMOLINO, EL TORNADO, LAS HUELLAS DIGITALES. HASTA EN LA VÍA LÁCTEA. La pregunta que les hice a mis alumnos fue: Con las instrucciones que da Max dibuja un rectángulo áureo y una espiral áurea. Explica el porqué lo son. Únicamente con estas indicaciones no van a poder dibujar la espiral áurea. Así que conviene darles las instrucciones para que dibujen el primer rectángulo. Lo pueden hacer con reglas y compás. Trazando un cuadrado y tomando una diagonal al punto medio de un lado, obtienen un rectángulo áureo si proyectan esta diagonal sobre ese lado. Después pueden comprobar que si asignan un valor x al lado del cuadrado de inicio, y utilizando el teorema de Pitágoras, obtienen el valor de Φ, el número áureo, al hallar la proporción entre los lados del rectángulo. Encajando sucesivos rectángulos áureos se puede trazar la espiral áurea sin problema.   He de hacer notar que en la película hablan de theta, q, refiriéndose al número áureo, que conocemos por fi, Φ. En realidad se refiere a la inversa del número áureo, la otra solución de la ecuación x2-x-1=0 y que se puede calcular restando uno a Φ. Es equivalente hablar de uno o de otro. Una vez hecho todo este recorrido, la pregunta última es: ¿Por qué se titula la película “PI: FE EN EL CAOS”? La respuesta puede ser tan simple como decir que en la película se plantea la hipótesis de que π contiene en sus cifras decimales los parámetros para calcular soluciones en fenómenos caóticos. Sin embargo, a mí me asaltan más dudas que certezas. El número π además de ser irracional es trascendente. ¿Por qué elegirlo como solución a los fenómenos no causales? Puestos a fantasear, ¿por qué no utilizar el número de Euler, e? Este número también es trascendente y es la base de los fenómenos ondulatorios en física. Si pensamos en como se comportan los fenómenos caóticos, vemos que su evolución se puede relacionar con las figuras fractales. Una característica de los fractales es su autosimilitud, es decir, que su forma no depende de la escala utilizada. El número áureo se halla relacionado con una figura fractal: La estrella de cinco puntas y el pentágono regular se pueden inscribir uno dentro de otro sin que cambien sus formas. Básicamente Φ, está en las relaciones entre las diagonales que forman la estrella inscrita en el pentágono y el lado de éste. Los fractales aportan una regularidad a los fenómenos caóticos. ¿Por qué entonces no utilizar  Φ como número “mágico” en la película? ¿Quizás porque ya es la solución de una ecuación? Lo que está claro es que la elección de π es arbitraria, y que en realidad estamos ante una obra artística muy personal y atrevida. No por ello la película deja de ser válida para repasar, debatir y aprender ciertos conceptos matemáticos. En la página de Alfonso J. Población Sáez se pueden encontrar interesantes propuestas didácticas, elaboradas con motivo de la proyección de la película en el año 2000, año mundial de las Matemáticas http://gauss.mat.eup.uva.es/Ealfonso/cine.html La reacción Volviendo al punto de partida, la propuesta que les hice a mis alumnos no les entusiasmó en un principio, pero ninguno mostró una oposición radical. La parte que más difícil les resultó, fue la de dibujar la espiral áurea. Supongo que el déficit geométrico en los planes de estudio les pasaba factura. En cambio a todos les salía bien lo de encontrar en su nombre el número 216. En general la película no gustó, pero todos se quedaron extrañados. Convenían en que es una película para matemáticos. Nadie se atrevió a decir para frikis, pero seguro lo pensaban. Para terminar estas son algunas de las opiniones de los alumnos, que junto a la que abre este artículo, sirven como botón de muestra de las reacciones que provocó el pase de la película en clase. La búsqueda que Max lleva para la obtención del número que pueda representar todo el universo es la misma que llevaron los matemáticos de la antigüedad para la búsqueda de PI. La película nos hace reflexionar sobre los números irracionales y lo que ellos significan. Andrés 4º ESOC En realidad, los Pitagóricos no quisieron ver que podían existir números de este tipo. Así que más que buscar a PI, hacían como Max, no aceptar sunaturaleza irracional.. La película trata un tema interesante aunque de una manera aburrida y extraña. Realmente no hemos llegado a entenderla del todo. Jorge 4º ESOC Yo tampoco, les contesté. El argumento está bien, pero parece imposible creer que pueda existir tal número, porque de ser así cambiaría totalmente el mundo, y además es imposible que todo se rija por un número. Alejandro 4º ESOC ¿Sentido común o prejuicio? La película es interesante pero un poco liosa al principio. Es interesante porque es increíble encontrar todo lo que se dice en la película. En resumen, la película es un poco aburrida porque creo que esta clase de películas les interesa más a la gente que les gusten las matemáticas. David 4º ESOD Interesante pero aburrida. Esta película, con total sinceridad, es extraña y complicada. Su teoría central, en la que el mundo está constituido por una cadena de números, resulta surrealista e incluso incomprensible. Alexis y Laura 4º ESOD Con total sinceridad, un rollo patatero apasionante.La película es mala pero habla de muchos aspectos matemáticos. Sergio y Jaime 4ºESOC No me atrevería a decir que es mala. Pero confieso que la primera vez que la v, lo pensé Esta película nos demuestra, el esfuerzo y la dedicación que cuesta lo que quieres conseguir. Nosotros pensamos que la película nos ha motivado a conseguir nuestros objetivos, sin llegar a obsesionarte si los resultados de éstos no eran los que tú esperabas. Ismael, Ana María y Alba 4º ESOC No se me había ocurrido. Una pequeña bibliografía http://www.pithemovie.com/ página oficial de la película. http://www.pulpmovies.org/resenas/pi.html preguntas que todos podemos hacernos. http://www.allmoviescripts.com/scripts/3960413003f4eb4363d0a8.html el guión original. http://webs.adam.es/rllorens/pifaith.htm el guión en castellano y comentado. http://gauss.mat.eup.uva.es/alfonso/cine.html la página de Alfonso del año 2000. http://www.epsilones.com/ matemáticas y algo más. http://www.screenit.com/movies/1998/pi.html para padres preocupados. Ken Wilber Cuestiones cuánticas. Escritos místicos de los físicos más famosos del mundo. Ed. Kairós Kjartan Poskitt Esas mortíferas matesCol Esa horrible ciencia. Ed. Molino Carl Sagan. Contacto. Ed. Plaza & Janés Y algunas páginas más de matemáticas y algunos libros de texto que todos conocemos.

Sábado, 01 de Enero de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

54. 3. Las Matemáticas en el Cine

Desde hace algún tiempo se ha recurrido al cine como medio motivador de la divulgación de casi cualquier disciplina o asunto. Así, hemos visto anunciados ciclos de películas, conferencias y hasta se han venido editando libros y publicaciones con títulos que relacionan el cine con la arquitectura, la música, la pintura, el fútbol, la Guerra Civil, la literatura, la abogacía, etc., temas de lo más variado y, en ocasiones, pintoresco. Y es que el cine nos permite acercarnos a conocimientos de los que posiblemente nunca habríamos tenido referencia de otro modo (acontecimientos históricos de diferentes países, obras literarias, lugares y paisajes de recónditos parajes, etc.), prácticamente sin darnos cuenta, con poco esfuerzo, en nuestro tiempo de ocio. . Este enorme poder de comunicación tiene sin embargo que ser asimilado con cierta cautela y rigor crítico, fase que a veces se obvia, puesto que para la mayor parte de los espectadores, una película no es más que un medio de evasión y entretenimiento. Esta facilidad de “enganche” la tratamos de aprovechar docentes, asociaciones y colectivos públicos y privados de todo tipo e ideología, proponiendo actividades que motiven la reflexión sobre el tema que nos interese. Concretamente, en el pasado 2000, Año Mundial de las Matemáticas, se programaron en distintas ciudades de todo el mundo, algunas películas con las que se pretendía contribuir a la difusión de esta disciplina en nuestra sociedad. En nuestro país, no sin ciertas dificultades (principalmente escasez de medios económicos e indiferencia de muchos organismos ante lo que para ellos era un asunto de escaso interés), los diferentes Comités encargados de la organización de estas actividades conmemorativas consiguieron llevar a cabo algunos ciclos. Desafortunadamente la mayoría de ellos se vieron obligados a programar los mismos títulos, ante la poca variedad de películas en las que las matemáticas tuvieran alguna repercusión detectable o medianamente interesante en sus argumentos. (En la imagen, página del Boletín mensual de actividades de la Fundación Municipal de Cultura del Ayuntamiento de Valladolid en la que se da cuenta del ciclo organizado en esta ciudad). Posteriormente, con más tranquilidad, algunos amantes de ambas disciplinas (el cine y las matemáticas), hemos tratado de recopilar y analizar cómo ha plasmado el séptimo arte la actividad matemática, si es que lo ha hecho. Aunque las conclusiones no son todo lo halagüeñas que desearíamos, no por ello son desdeñables. Exceptuando esos títulos que formaron parte del 2000, (El indomable Will Hunting, Cube, Moebius y Pi, fe en el caos) es posible localizar multitud de citas relacionadas con las matemáticas, aunque normalmente su duración y/o relevancia no alcanza más allá de los dos minutos de metraje, en el mejor de los casos. Un docente que sólo quiera tratar temas matemáticos apoyándose en el cine, no lo tiene demasiado fácil. Lo ideal sería en este caso componer un montaje a partir de escenas concretas, tarea por otra parte un tanto laboriosa. Pero esto, en mayor o menor medida, sucede también con cualquier otra materia, por lo que la utilización del cine como una herramienta pedagógica en las aulas ha de entenderse (esto es una opinión personal) dentro de la transversalidad cultural que el medio conlleva. Si nuestro objetivo es centrarnos en una única disciplina, y concretamente en las matemáticas, parece más apropiado el género documental. Algunas de las razones más evidentes de ese escaso interés por parte de guionistas y realizadores cinematográficos, pueden ser: comprender las matemáticas requiere cierto esfuerzo, más aún difundirlas de un modo grato y asequible, a un público heterogéneo. el lenguaje matemático y su representación simbólica resulta difícil de asimilar, incluso para otros científicos. nuestra propia experiencia escolar, normalmente negativa, ha consolidado una opinión poco propicia a esta disciplina. No obstante tampoco otras materias están exentas de incluirse en alguno de los puntos anteriores, y sin embargo son más divulgadas, entre ellas el propio cine (véase cualquier crítica medianamente profunda de los expertos cinematográficos y nos encontraremos con un lenguaje pomposo, artificial, lleno de neologismos e incluso de vocablos inventados, comportamiento que no dista demasiado del de algunos matemáticos, que tras una engolada demostración no dudan en indicar el final de la misma, q.e.d., por si el lerdo lector/oyente no se ha percatado de tal hecho). Seguramente la causa de mayor peso sea, una vez más, el generalizado desconocimiento cultural hacia las matemáticas, que unido al tercer supuesto, lleva a los cineastas a no complicarse más de lo que ya conlleva el realizar una película. O sencillamente puede que las matemáticas no den para mucho más de lo que ya se ha hecho de cara a plantear un producto, que hoy en día debe ser, sobre todo, comercial y rentable. Uno de los objetivos de las líneas que sobre esta tema incluiremos, aparte de divulgar lo que hay con sus defectos y virtudes, es el de probar lo contrario, es decir, que un argumento basado en aspectos matemáticos, puede interesar y, además, enseñarnos algo. Buscando analogías, desde el punto de vista formal, la técnica del montaje cinematográfico no difiere mucho de la de una demostración matemática. A veces la acción se va desarrollando conforme avanza la película (demostración constructiva); a veces varias acciones paralelas se suceden hasta converger en un mismo tiempo o lugar (desarrollo de varios lemas que sirven para completar una demostración, o utilización de diferentes teoremas para demostrar otros); en otras ocasiones se juega con el espectador partiendo de un engaño o una suposición equivocada (reducción al absurdo); o se muestran varios precedentes de un hecho que por mucho que los protagonistas se esfuercen en cambiar, no van a lograr (determinismo inductivo), cuando no se rigen por la más estricta lógica matemática. Dejando a un lado este tipo de cuestiones técnicas ni ser este el lugar adecuado para elucubraciones analitico-filosóficas, nos centraremos en comentar referencias matemáticas explícitas. Enumeraremos a continuación algunas de las características más frecuentes que podemos encontrar respecto a las matemáticas en el cine más comercial, dejando al margen productos más específicos como el género documental o las películas experimentales: 1.- Sencillez en las referencias. En la mayor parte de los casos, suelen ser a matemáticas elementales (operaciones aritméticas, fracciones), o a fórmulas muy populares, como el teorema de Pitágoras, la ley de gravitación universal o la ecuación de la ley de equivalencia de masa – energía de Einstein. En la imagen podemos ver a una “diabólica” Elizabeth Hurley en Al diablo con el diablo (Bedazzled, Harold Ramis, EE.UU., 2000) bajo el famoso último teorema de Fermat.NOTA: Algunas de las imágenes que aparecerán en esta introducción, serán comentadas más ampliamente con posterioridad. 2.- De cualquier rama de las matemáticas puede encontrarse, sin embargo, alguna referencia en alguna película, por muy específica que sea, si bien en estos casos, a nivel de cita, sin apenas profundización. El recurso a este tipo de matemáticas avanzadas suele ser como sinónimo de complejidad o para resaltar el carácter genial o excepcional de algún protagonista. 3.- Prácticamente la totalidad de géneros cinematográficos ha incluido en algún momento algún comentario acerca de las matemáticas. Comedia, drama, cine bélico, animación, terror, musical, fantasía, etc., por muy lejano que nos parezca a priori el género, ninguno ha eludido el tema. Se llevan la palma las películas en las que se alude en algún momento a la educación (se puede hablar incluso de un subgénero escolar) por razones obvias, y la ciencia ficción, ya que cuanto más suene algo a extraño, complicado o inverosímil, o se precise de un gráfico que muestre el análisis del fenómeno que sea, allá se toma la representación gráfica de una función, normalmente elemental, siendo curiosamente la sinusoide o alguna variación suya la más frecuentada. En el lado opuesto nos encontramos al western y al cine épico, en los que por toda referencia se tiene el recuento, bien sea de las balas que quedan en el cargador del revólver (que como todos sabemos muchas veces es mayor que seis y el protagonista suele ser un experto en la utilización de esa base de numeración), o bien el de las bajas de los ejércitos, la medida de una extensión de tierra o una estimación del tiempo que tardará alguien en desplazarse de un sitio a otro. Imagen: Los cómicos Abbott y Costello en una escena de In the Navy(Arthur Lubin, EE.UU., 1941, película no estrenada en España), tratando de probar que 7 x 13 son 28 de tres formas diferentes. 4.- El cine ha manifestado muy poco interés por dar a conocer la vida y/o obra de matemáticos célebres. Cualquiera puede recordar alguna biografía de la práctica totalidad de la actividad humana: pintores, políticos, reyes y reinas, espías, actores y actrices, bandidos, revolucionarios, escritores, cantantes, militares, periodistas, arquitectos, médicos, abogados, etc. La física, la química o las matemáticas son una excepción. Por otro lado, de los pocos matemáticos que se pueden consignar, no es precisamente su trabajo el tema que ha merecido la atención del realizador: en Una Mente Maravillosa (A Beautiful Mind, Ron Howard, EE.UU., 2001) , el trabajo de John F. Nash (foto) es secundario frente a la superación de su enfermedad y la historia romántica, es incluso un detonante que hace aflorar la esquizofrenia; en Una Montaña en la cara oculta de la Luna (Lennart Hjulström, Suecia, 1983), la idea fundamental es la descripción de las condiciones de vida de una intelectual en una sociedad y un tiempo marcadamente misóginos; en Infinity (Matthew Broderick, EE.UU., 1996) vuelve a destacarse la historia amorosa y la fatalidad de la enfermedad; en Morte di un matematico napoletano, (Mario Martone, Italia, 1992) es la política; en Galileo (Liliana Cavani, Italia/Bulgaria, 1968) la intransigencia religiosa; en Lecciones Inolvidables (Stand and Deliver, Ramón Menéndez, EE.UU., 1988), el racismo, etc. Además, ese interés parece venir motivado por una cuestión de reivindicación nacionalista, si atendemos a los países que han producido esas películas, ejemplos a los que se pueden añadir el cortometraje sobre Galois, que es (¿lo adivinan?) francés, o los trabajos para televisión sobre Newton y Alan Turing, de nacionalidad británica. En el caso particular de nuestro país, a la escasa oferta de títulos mencionada, se añade la ínfima disponibilidad de los mismos: la mayor parte de los citados no se han estrenado comercialmente ni en salas ni en vídeo o DVD. Ante tan bajo interés parece poco probable que algún productor o director español se atreva alguna vez a difundir al mundo a ilustres compatriotas como Pedro Sánchez Ciruelo, Juan de Ortega, Jorge Juan, Eduardo Torroja, Zoel García de Galdeano, José Echegaray, Julio Rey Pastor, Pedro Puig Adam o Lluis Santaló, por citar alguno de los más relevantes matemáticos que ha dado nuestro país, aunque desconocidos por casi todos, incluyendo los que nos dedicamos a esta profesión. 5.- Tampoco la forma de introducir los comentarios, problemas o referencias matemáticas es muy variada, sino que hay media docena de situaciones que son calcadas de una película a otra. Entre las más obvias se encuentran las escenas escolares: el profesor pregunta, dicta o resuelve problemas concretos mientras el alumno está a otra cosa más interesante. También es redundante la propuesta de un reto: resolver un problema difícil que nadie ha conseguido. O la gracia de borrar de un encerado un signo o una línea de una demostración para ver si el protagonista se da cuenta. O la incomprensión hacia aquellos a los que les apasionan las matemáticas y tratan de explicar alguna cuestión a otros menos interesados. 6.- Respecto al matemático investigador o al profesor de matemáticas, el cine ha mostrado casi siempre el estereotipo más popular: un personaje despistado, un tanto excéntrico (por no decir raro o extraño) tanto en su personalidad (normalmente tímido y no muy atractivo) como en su indumentaria (más bien despreocupada, o de tipo deportivo). El paradigma creado por Dustin Hoffman en Perros de paja (Straw Dogs, Sam Peckinpah, Gran Bretaña, 1971) es el más difundido: el matemático tranquilo, pacifico, trabajador (sólo en sus teoremas, con los que disfruta; para el resto de actividades es más bien inútil) y ausente de todo, pero ¡ay! cuando le tocan mucho las narices, puede convertirse en la fiera más despiadada. En Presunto Inocente (Presumed Innocent, Alan J. Pakula, EE.UU., 1990) se encuentra la versión femenina de este tipo. No obstante también han aparecido algunos matemáticos más “normales”, aunque sean la excepción. Aunque no hayamos referido hasta aquí ningún título de nacionalidad española, adelantemos que tenemos la meritoria virtud de haber incluido algunos de los comentarios más interesantes que he localizado, y también, de los más disparatados. En general, se puede decir que mantenemos el nivel del resto de nacionalidades, salvo en biopics, como ya se dijo anteriormente. Por lo que respecta a la calidad cinematográfica de las películas cuyo argumento gira, más o menos, en torno a las matemáticas (básicamente las cuatro que mencionamos en los ciclos del año 2000), crítica y público coincidieron en otorgarles, por unas u otras razones, cierta notoriedad y prestigio. Así pues, la cuestión parece estar en echarle imaginación y, sobre todo, en molestarse un poco en la documentación. Ojalá estas sucintas reseñas que aquí comienzan, llegaran a alguno de los excelentes guionistas, realizadores y hombres de nuestro cine y nos sorprendan algún día, elevando, sino en número, sí en el gusto por esta disciplina, un tanto maltratada, a pesar de su indudable interés y belleza.

Martes, 01 de Marzo de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

55. 4. Matemáticas como hilo conductor

Uno de los parámetros (sino el único) que rige la producción cinematográfica mundial es, no podemos negarlo, la rentabilidad comercial. Con algunos realizadores con la personalidad y el respaldo económico suficientes, podemos tener la suerte de disfrutar de películas de alguna profundidad argumental y mayor calidad estética. Una de las causas por las que el cine independiente está teniendo mayor proyección de un tiempo a esta parte es precisamente la necesidad que muchos espectadores tienen y manifiestan de poder visionar otro tipo de productos. Esta mayoritaria trivialización del cine comercial no deja de ser ciertamente paradójica ya que teóricamente el nivel cultural alcanzado por nuestra sociedad es mayor que el de hace cincuenta años (al menos, atendiendo al número de personas escolarizadas y que acceden a estudios superiores y universitarios). Bajo estas premisas y yendo a la materia que nos ocupa, cabe preguntarse, ¿cómo vamos a pretender que el cine actual nos proporcione algún retazo matemático medianamente aceptable, cuando además esta disciplina sigue siendo poco menos que el “coco” ante el que exclamar “¡Vade Retro, Satanás!”? A pesar de todo ello, vamos a tratar de mostrar que podemos encontrar películas en las que “se tocan” las matemáticas, no siempre positivamente (el cine no deja de ser un reflejo de la sociedad que lo consume), pero que por mínima que sea la referencia nos puede servir, bien para proponer un problema concreto, bien para analizar porqué se ha planteado una determinada situación de una forma particular. La autocrítica es un buen ejercicio de vez en cuando, pero la opinión de los demás, si está justificada, puede ayudarnos más. Dicho lo cual, para orientar al seguidor de estas breves reseñas, procede realizar una pequeña declaración de intenciones. Después de la panorámica general planteada en el artículo anterior, iremos mostrando situaciones enmarcadas dentro de un denominador común (películas construidas en torno a enigmas, ejercicios o problemas presentados en los argumentos, errores que se han cometido, panorámica en el cine español, estereotipo del matemático, etc.), sin ánimo de ser exhaustivo. A veces una misma película aparecerá en diferentes lugares porque abarque varios aspectos. Por otro lado, el cine no es un medio monotemático en el que se plantea un asunto en exclusiva (para eso está el género documental), por lo que si se utiliza como herramienta didáctica uno no debe restringirse sólo a matemáticas, o historia, o cualquier otra disciplina, sino que hay que plantearlo, como sucede en nuestra vida cotidiana, bajo una multiplicidad de ideas y conceptos. Por ello, a veces se dejará caer algún que otro comentario acerca de otras posibilidades que una película puede proporcionarnos, aunque por supuesto, estamos en un portal matemático, y por ello prevalecerán las referencias a esta materia. Además para intentar que en la medida de lo posible esta sea una sección participativa, plantearemos alguna que otra cuestión (tanto cinematográfica como matemática) que despierte un poco la curiosidad de nuestros “navegantes”. También se incluirán diálogos de películas en los que se mencionen las matemáticas por el motivo que sea (que como se dijo en la anterior reseña, son las referencias más abundantes, que podrían denominarse “de medio minuto”), y dejaremos un espacio para responder (si se puede) a las sugerencias y cuestiones planteadas por los internautas. Como complemento a esta sección, la revista SUMA inauguró también una sección en el número 47 (Noviembre de 2004), cineMATeca, a cargo del profesor José María Sorando Muzás similar a ésta. Como desgraciadamente no hay grandes maravillas que descubrir, es evidente que en algún momento coincidiremos en títulos y comentarios. En la medida de lo posible trataremos de evitar solapamientos, aunque inevitablemente alguno (las películas más representativas) aparecerá. Aunque son las películas de las que más información se tiene, vamos a empezar por aquellas cuyo argumento gira en torno a las matemáticas. Elena Thibaut Tadeo comenta en su reseña de esta misma sección (Enero 2005: Pi, fé en el caos. Una experiencia educativa), “encontrar una película, cuyo argumento sea en sí mismo matemático, es todo un lujo que no hay que desaprovechar. Sólo conozco tres: “Cube”, “Pi: fe en el caos” y “Moebius”, y esta última todavía no la he visto.” En estos tres casos, se trata de que la clave de un enigma puede resolverse gracias a las matemáticas . Como sabemos, en Cube (Vincenzo Natali, Canadá, 1997), seis personas desconocidas entre sí, despiertan un día en un lugar formado por habitaciones cúbicas vacías, algunas de las cuales tienen trampas mortales. Una de las integrantes es matemática (ver foto) y sus conocimientos (elementales, básicamente qué es un número primo y la dificultad real de reconocer si un número de muchas cifras es primo) servirán de ayuda a sus compañeros para intentar salir de ese laberinto. Pero en el fondo eso es el MacGuffin que diría Hitchcock, porque el interés de la película radica en la supervivencia, en cómo los esquemas que se ha fabricado el hombre moderno son pura apariencia de cara a los demás y que en situaciones límite sale a la luz la verdadera naturaleza humana. Las matemáticas son sólo una faceta más, algo más sofisticada que el resto, para tratar de explicar el complejo mundo que nos rodea, pero que finalmente tampoco sirve de mucho. Película por tanto con mensaje, con muchas lecturas (intriga y tensión para los que sólo vean el cine como divertimento, reflexión pesimista para los que quieran pensar un poco, y una cuestión de números primos para alumnos de secundaria). Respecto al aspecto matemático ver el artículo Proyecto Cube: una introducción a la Geometría Tridimensional, de la mencionada Elena Thibaut Tadeo, publicado en la Revista Epsilon nº 53, 2002, pp. 305-318y posteriormente en SUMA nº 57, noviembre 2004, pp.11-18, o la práctica propuesta en el 2000 a alumnos de Secundaria disponible en el enlace http://gauss.mat.eup.uva.es/~alfonso/act2.doc. (Advertencia: la película no es recomendable para alumnos  menoresde 4º de la ESO porque, es una opinión personal, la dureza, no de las imágenes, -hoy la escena inicial no asustaría ni a un niño de Primaria-, de las expresiones, diálogos y actitudes de los protagonistas es considerable). De Pi, fe en el caos (Pi, faith in Chaos, Darren Aronofski, EE. UU., 1998), poco hay que añadir que no se diga en la citada reseña de Elena Thibaut. La experiencia que tuvimos en las proyecciones en el año 2000 coinciden bastante con lo que manifiestan sus alumnos: desconcierto, en una palabra. Pero precisamente eso, a mi entender, es lo que pretende el realizador (unido a las limitaciones económicas de la producción que no dieron para mucho más, lo cual lejos de ser negativo, es más bien un ejemplo del partido que se puede sacar con ciertas dosis de imaginación). Aunque se habla del caos, la razón áurea, etc., lo realmente relevante es la conciencia de la limitación humana incluso en disciplinas tan bien estructuradas como son las propias matemáticas, y el peligro (paradójicamente hoy más actual que nunca) de acercarse demasiado a la superchería o al materialismo más feroz. Es curioso que materialismo, lógica y religión puedan estar tan cerca,La película tiene otros muchos matices, y tampoco sería recomendable para trabajar sobre ella con alumnos menores de 4º de ESO. Respecto a las cuestiones planteadas en el artículo de Elena, como por ejemplo, si es arbitraria la utilización de p, yo creo que no. Este número está presente en la naturaleza en todas partes, representa la perfección (el círculo en R2 o la esfera en R3), y sobre todo, es la constante más conocida por cualquiera (los números e, f, i, etc. son menos populares porque aparecen en cursos más altos en la enseñanza). Pero lo triste es que ni en una película dedicada a p, se molesten en dar una aproximación correcta del citado número, y más siendo el protagonista principal un experto informático en la vida real (la página web oficial de la película es obra suya). En la foto, fotograma de los títulos de crédito y primera aparición de p. Se puede ver 3.141592652631245342…., cuando sus primeras cifras son en realidad 3.141592653591403….Es decir sólo 8 cifras decimales correctas. Realmente Max Cohen no debería fiarse de su “Euclides”. Una calculadora de bolsillo le haría el mismo servicio. Pero no es el único fallo matemático de la película. Ya comentaremos más adelante otro bastante sonado. Las películas modernas suelen contratar un asesor científico (matemático, en este caso) que planifique determinadas escenas, aunque usualmente le hacen poco caso (lo que se rueda no suele ser lo que aparece en el producto final después de pasar por la sala de montaje, y en el caso de las argumentaciones científicas, es lo primero a descartar; ya veremos ejemplos concretos). ¿Película para matemáticos que decía otro alumno de Elena? Para nada de acuerdo; quizá un poco con lo de frikis, aunque el mayor de éstos no sea precisamente el pobre Max, aquejado de una espantosa migraña, sino otros más barbudos. Después de verla unas cuantas veces y analizarla con tranquilidad, uno llega a la conclusión de que es necesario aclarar al posible espectador algunos aspectos previamente; entre éstos que hay escenas reales y otras producto de la cabeza de Max, el protagonista. Estamos acostumbrados a ver películas planas, en las que el desarrollo temporal de la acción es lineal, pero en este caso es posible plantearse que toda la película puede ser imaginada y nada haya ocurrido en realidad. Desde el primer ataque fuerte de migraña que acaba con la imagen fundida en negro hasta el momento en el que se va a taladrar la cabeza, que también acaba con fundido en negro, todo puede ser soñado; de hecho los sueños suelen ser en un blanco y negro difuso, predominan los momentos de angustia, y uno se acaba despertando cuando está ante un peligro serio. Vista así, la película podría interpretarse como el relato de lo que pasaría si ese patrón numérico que busca Max existiera, aunque por supuesto esta apreciación es discutible; en esto radica (así deben verlo los alumnos) uno de los placeres del cine, la novela o la pintura, en la discusión y la controversia. Respecto al subtítulo “Fe en el Caos”, quizá la traducción al castellano nos confunda. No es literal, no trata de indicar que hay que tener fe en lo caótico, sino que es descriptivo: creencia, religión (la de la secta judía Hasidica, eneste caso) presente dentro del caos (la teoría del caos, explicitada en los múltiples ejemplos que aparecen y en la irracionalidad de pi)”. Tanto Cube, como Pi pueden encontrarse en DVD a un precio muy asequible; en VHS es más complicado, aunque no imposible. En Telemadrid han programado Pi un par de veces, eso sí, a las tantas de la madrugada.   Moebius (Gustavo Mosquera R., Argentina, 1996)también plantea una situación inexplicable, con trasfondo matemático y metáfora filosófica incluidas, aunque en este caso no hay matemáticas explícitas, sólo referencias a la banda de Moebius y a alguna de sus propiedades. Aunque a estas alturas es de suponer que la película, como las anteriores, es de sobra conocida, su escasa distribución en nuestro país (sólo se ha estrenado comercialmente en Madrid y Barcelona; aunque posteriormente, con motivo del año 2000, ha podido ser vista en otras ciudades), sugiere realizar una descripción más detallada. El argumento es sencillo: un tren del Metro de Buenos Aires desaparece inexplicablemente con más de 30 pasajeros. Los conductores de otras líneas creen oírlo, y de hecho los sistemas de seguridad detectan su presencia en diferentes ocasiones; sin embargo nadie consigue saber dónde está, ni siquiera verlo. Los responsables del “Subte” (así llaman en Argentina al Metro, abreviatura de Subterráneo) y las autoridades tratarán de resolver el enigma antes de que la opinión pública se entere del asunto. Ante el desinterés de los ingenieros constructores de los túneles, y sin muchas opciones más, aceptan sin ninguna convicción que un joven matemático (topólogo, para más señas) estudie el problema y trate de encontrarle una solución. Sin embargo, sus explicaciones no serán muy bien recibidas... Este argumento está basado en un relato corto, “Un túnel llamado Moebius”, del astrónomo Armin Joseph Deutsch (A. J. Deutsch) publicado en 1950. Entre las muchas peculiaridades que tiene la película está la de que se trata del trabajo colectivo de 45 estudiantes y algunos de sus profesores de la Universidad del Cine de Buenos Aires. Bajo esta premisa uno debería entender los posibles errores y limitaciones a la hora de valorar el producto final, pero el caso es que no hay diferencias notables con las que podamos encontrar en una producción cinematográfica realizada por un estudio de cine profesional. Así lo avala el éxito alcanzado en diferentes festivales (La Habana, Puerto Rico, Miami, Huelva, Viena, Bangkok) y en la cartelera norteamericana. Si uno lee el cuento original, comenzará constatando la interesante labor de adaptación temporal y geográfica realizada. En lo que a nosotros los matemáticos concierne rescatemos algunos momentos curiosos, o por lo menos representativos de la visión que la sociedad tiene de nosotros. Cuando se detecta el problema de la desaparición del tren 86, las autoridades tratan de ponerse en contacto con el ingeniero que supervisó las obras de ampliación del Metro. Éste, apurado por los plazos de ejecución de otra obra, contacta con Daniel Pratt, un matemático del que tiene referencias. Éste, sin saber muy bien para que le requieren, se presenta ante el ingeniero. “Le llamé a usted que le gustan los problemas”, comenta irónicamente. El nivel de sarcasmo de la práctica totalidad de los diálogos es muy elevado. Entonces Pratt, al conocer de qué va el asunto, le replica que el es topólogo (otro que trata en principio de escurrir el bulto).“¡Ah! La fascinación por el análisis de las superficies”, replica el ingeniero (como se ve sabe lo que es un topólogo), y añade: “Ustedes los matemáticos,...., una fórmula, un cálculo, y lo guardan en el fondo de un libro”. Una vez designado para resolver el asunto, Pratt se presenta ante el director del Metro, Marcos Blasi, un jerifalte fondón al que le están agobiando tanto los familiares de los desaparecidos como los operarios del suburbano, que no saben qué decisiones tomar ante la caótica situación de los túneles (los sistemas de seguridad detectan la presencia de un tren circulando y continuamente obligan a detener al resto de las líneas): Blasi (a voces):¿Un matemático? ¿para qué sirve eso? ¿para qué quiero yo un matemático? Pratt: Topólogo, soy topólogo. Analizo las superficies y las convierto en fórmulas. Blasi: ¡Muy útil para mis nervios! Haciendo honor a su especialidad, lo primero que se le ocurre es consultar los planos del “perimetral” (como en otras películas argentinas, abundan las palabras y expresiones de allí, pero no suelen representar ningún problema de comprensión, salvo cuando hablan muy deprisa). Y como usualmente ocurre, los planos no aparecen donde deberían estar. Pratt se escandaliza: “Los planos originales no se pueden retirar”. A lo que el anciano archivero replica, “depende de quien los pida”. Nuestro protagonista trata entonces de localizar estos planos. Sus pesquisas le llevan a un antiguo profesor suyo de matemáticas de la facultad. Cuando Pratt llega allí, asistimos al final de una clase de una profesora ante no más de una veintena de alumnos (se ve que la carrera de matemáticas en otras latitudes tampoco goza de mucho tirón), sobre espacios topológicos. Hace una reflexión final que nos da pistas sobre lo que va a ocurrir: “Cualquiera que dijera que ciertas regiones del tiempo se paralizan, habría que, por lo menos, escucharlo”. Al preguntarla sobre el paradero del viejo profesor, se sorprende e informa a Pratt que hacía años que no daba clase: “había perdido el interés por la docencia”. ¿Les suena? Foto: Momento en el que Daniel Pratt se percata de cuál puede ser el problema. Con estos datos uno ya puede hacerse a la idea de lo que le espera, aunque como siempre lo mejor es ver uno mismo la película sin destriparla completamente. Son también interesantes las reflexiones que se hacen sobre la sociedad actual, sobre las no resueltas desapariciones durante la dictadura argentina (regímenes de Videla, Viola y Galtieri) y el tupido velo desplegado por Carlos Menem (toda la película es una alegoría sobre este tema), etc. Desafortunadamente es imposible conseguir una copia de calidad de la misma. Que yo sepa no se ha editado en DVD, y el sonido del VHS importado de Argentina es deficiente. Viendo algunos de los “esplendorosos” títulos con que periódicos y revistas nos atiborran, no estaría mal que alguien nos sorprendiera una semana de éstas y nos facilitara su adquisición. Pasemos a nuestro enigma particular. Las fotos que acompañan estas líneas corresponden a la escena de una película no estrenada comercialmente en España en la que el protagonista está haciendo matemáticas para entretenerse, mientras espera a otra persona. Las fotos no son muy buenas porque están tomadas con una cámara de fotos con flash (la luz central que se ve reflejada) directamente desde el televisor. El protagonista (un actor muy famoso) está tratando de resolver un problema concreto, y el interés radica en que si uno se fija bien, está perfectamente resuelto salvo una pequeña errata. Tomando prestada la arenga del profesor Lambeau a sus alumnos en El indomable Will Hunting (Good Will Hunting, Gus Van Sant, EE. UU., 1997), “la persona que averigüe el título de la película y a que problema responden los cálculos que aparecen, no sólo tendrá mi reconocimiento sino también fama y fortuna al conseguir que su hazaña quede registrada, y su nombre impreso, en estas páginas de DivulgaMAT. Anímense pues sesudos críticos de cine, avispados matemáticos y cinéfilos alumnos”. Podeis mandar vuestras respuestas a esta dirección. La solución no aparecerá en tanto en cuanto alguien la averigüe. (Probad a copiar la imagen y ampliarla sino veis bien las expresiones matemáticas). Para acabar, un breve diálogo de la película Mañana será otro día (Jaime Camino, España, 1967), amarga historia sobre las desventuras de un par de novios vividores, Lisa (Sonia Bruno) y Paco (Juan Luis Galiardo). En una cafetería, ella le reprocha que malgaste el poco dinero que van sisando haciendo quinielas: Paco: Las quinielas, cuando se hacen con lógica, siempre se aciertan. Es un problema matemático,…, es un problema de factores combinatorios y de probabilidad. Lisa: ¡Pues mira que gana cada paleto a las quinielas!

Viernes, 01 de Abril de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

56. 5. Problemas

PROBLEMAS Después de dos reseñas acerca de cuestiones argumentales parece apropiado que ésta contenga ya matemáticas explícitas. Comenta nuestro compañero José María Sorando en la revista SUMA nº 48, en la sección cineMATeca,página 119: “en una búsqueda cuidadosa podemos encontrar escenas que, fuera del contexto general del film, sean aprovechables para nuestros fines. Y presentaremos a los alumnos sólo esas escenas, siempre que sean comprensibles por sí solas” Siguiendo este punto de vista, vayamos con una primera relación de escenas de este tipo, ordenándolas en orden creciente de nivel curricular. Para situar las escenas en su contexto, se incluirá una breve descripción del argumento de la película. Disculpad si además se cuela algún que otro comentario crítico, pero creo que también pueden ayudar a comprender el tipo de película de la que se habla, y en ocasiones a mostrar “cómo nos ven”, tanto a los matemáticos como a nuestra asignatura, lo cual quizá pueda ser objeto de debate con nuestros alumnos, con otras personas o de simple reflexión o jocosidad personal. En la insufrible Un entrenador de primera (Little Big League, Andrew Scheinman, EE. UU., 1994), Billy Heywood, un niño de 12 años, hereda de su abuelo un equipo de béisbol (incluido el estadio donde juegan). Ni corto ni perezoso, Billy se encarga de entrenar a los jugadores y dirigir el club con el objetivo de ¡aspirar a ganar el campeonato! Momentos antes de salir a disputar el típico partido decisivo, Billy está en su despacho estudiando para un examen de matemáticas. Se encuentra “pegado” con el siguiente problema: “Joe y Sam quieren pintar una casa. El primero lo hace en 3 horas mientras que el segundo necesita 5 horas. ¿Cuánto tardarán si la pintan juntos?” Uno a uno van desfilando todos los integrantes del equipo con respuestas como las siguientes: “5 x 3 = 15 horas”, “5 + 3 = 8 horas”, “4 horas”, “¿pintarla? ¿de qué color?”, “yo debería saberlo; mi tío es pintor”, “¿porqué no se compran una ya pintada?”. Hasta que llega “el listo” que dice: “Es fácil. No hay más que aplicar la sencilla fórmula (a x b) / (a + b) = 1, con lo que sería (3 x 5) partido por (3 + 5) luego 7/8”. Bien, parece que algunos, al menos saben sumar y ¿multiplicar?. Se trata de un ejemplo más de “lo difíciles que son las matemáticas”, aunque también tiene la lectura (que no será la que seguramente estaba en el ánimo de los guionistas) del tópico de la incultura de los deportistas, o generalizando malévolamente un poco más, del nivel intelectual del americano medio, atendiendo sobre todo a lo “graciosas” que tratan de ser las respuestas no numéricas. Pero no seamos tan severos con una producción que sólo trata de entretener, aunque no sepamos a quién. Analicemos la solución dada por definitiva por el último jugador. La versión descrita, la doblada al castellano, evidentemente es incorrecta porque esas operaciones nos llevan a 15/8, no a 7/8. (más adelante dedicaré una reseña a algunos penosos doblajes al castellano)Lo que sucede es que en la versión original se da el número mixto 1(7/8), que no se cita en el doblaje. En concreto, se aplica la ecuación (M casas/hora) x (N horas) = MN casas pintadas. En este caso, (1/5 + 1/3)N = 1, lo que despejando nos lleva a N =15/8 = 1(7/8). Utilizar una fórmula como la que se indica, para este tipo de ejercicios, no es, bajo mi punto de vista, nada educativo. Lo normal sería (yo sólo he impartido docencia universitaria por lo que siempre hablaré de lo que hipotéticamente yo haría) seguir un razonamiento del siguiente tipo: de acuerdo con los datos indicados, el primer trabajador pinta 1/3 de la casa en cada hora, y el segundo 1/5. Juntos pintarán a razón de 1/3 + 1/5 = 8/15 de casa por hora, luego terminarán el trabajo en 1/(8/15) horas = 15/8 = 1 hora y 7/8, es decir, 1 hora 52.5 minutos. Típica cuestión de las tradicionalmente llamadas“reglas de tres”, bien situada por tanto entre los posibles deberes de un chico de la edad de Billy. El equipo acabó ganando el partido pero no sabemos si Billy aprobó su examen. Lo que es seguro es que podría sanear el club a costa de una bajada en los sueldos de los jugadores: no tendría más que epatarlos con una regla de tres sobre sus fichas, y que conste que no quiero dar ideas a nadie.... Conocida por todos es Jungla de cristal III, la venganza (Die Hard: with a vengeance, John Mc Tiernan, EE. UU., 1995), tanto por las veces con las que las televisiones nos la han hecho sufrir, como por ser referencia en todas partes de un problema de matemáticas (páginas de internet y artículos en revistas, la última en el número de SUMA citado arriba). El “malo” ha colocado una bomba dentro de un maletín en un parque público lleno de gente, y nuestros héroes, el Teniente John McLane y su amigo de turno Zeus Carver, tienen que desactivarla. Para lograrlo deben colocar exactamente 4 galones de agua sobre una balanza. Disponen para ello de dos garrafas vacías de 5 y 3 galones respectivamente, y un tiempo de 5 minutos. Este es su “sagaz” razonamiento: - John: Está claro que no podemos echar 4 galones en la garrafa de 3 ¿no? - Zeus: Es obvio. - John: Bien, bien, lo tengo. Llenamos la garrafa de 3 galones justo hasta arriba, ¿vale? Ahora podemos echar 3 galones en la garrafa de 5, lo cual nos da 3 galones exactos en la garrafa de 5, ¿no? Ahora cogemos la garrafa de 3 galones y la llenamos hasta 1/3.... Zeus: No, no, ha dicho que fuéramos exactos. 4 galones justos. - John: ¡Mierda! Toda la policía de la ciudad movilizada y nosotros jugando como niños en el parque. - Zeus: ¿Quieres concentrarte en el problema en cuestión? [Pelea entre ellos sobre el supuesto racismo del otro con un montón de palabrotas tan del gusto del cine “moderno” y escenas del robo del oro federal por los hombres de Simon, “el malo”] - Zeus: ¡Queda menos de un minuto! Tíralo por ahí. - John: No podemos. Explotaría. ¡Lo tengo! Aquí hay 2 galones justos, ¿no? Lo cual deja 1 galón de espacio libre exactamente. Y esa está llena de 5 galones ¿no? Pasas 1 galón de los 5 galones a ésta y nos quedan..... - John y Zeus a la vez: ¡4 galones exactos! Obviando las trivialidades iniciales, no queda claro en absoluto cómo obtuvieron los 2 galones en la garrafa de 3 ya que la escena fue interrumpida por el robo del oro, pero desde luego no llevaban buen camino, a pesar de que el asunto no es demasiado complicado: Se llena la garrafa de 5 y con ella se llena la de 3, quedando 2 galones en la garrafa de 5. Se pasan esos 2 a la garrafa de 3 galones y se prosigue como hicieron ellos, es decir, volver a llenar la de 5 galones, echar 1 galón en la de 3 que es lo queda para llenarla, quedando 4 galones en la garrafa de 5. Este parece haber sido el procedimiento que utilizaron los personajes, pero no es en absoluto único. Desde un punto de vista matemático, existen tantas formas de obtener 4 galones a partir de medidas de 3 y 5 galones como expresiones de la forma3a + 5b = 4, siendo a y b valores enteros. A nada que nos fijemos nos daremos cuenta de que uno de los dos coeficientes anteriores debe ser negativo, el otro positivo y ninguno de los dos nulo. Podemos asociar a la idea de valor positivo la de número de veces que debe llenarse la garrafa correspondiente, y el que sea negativo nos indicará las veces que la otra garrafa debe vaciarse. Por ejemplo supongamos que a = 3yb = -1. Lo anteriormente dicho nos lleva a que para obtener 4 galones, basta con llenar 3 veces la garrafa de capacidad 3 galones, cuando vaya llenándose volcar su contenido en la de 5 galones y vaciar ésta una única vez cuando esté llena. En efecto, comenzamos llenando el recipiente de 3 galones y volcamos su contenido en el de 5. Volvemos a llenar la garrafa de 3 y echamos 2 galones en la de 5. La de 5 está llena, la vaciamos (esto responde al b = -1); en la de 3 galones quedó 1 galón que echamos en la de 5. Finalmente volvemos a llenar la garrafa de 3 galones (con lo que completamos el a = 3) y echamos su contenido en la de 5, conteniendo entonces ésta 4 galones. Obsérvese que el primer procedimiento descrito responde a los valores a = -2yb = 2. De las infinitas posibilidades que existen para a y b, la que más interesa a los matemáticos (y a cualquiera; ¡menuda gracia sería tomar a = 98 y b = -58, por ejemplo! Seguro que no acababan en esos 5 minutos que los dieron) es la que utilice menos trasvases de una garrafa a otra, y por consiguiente con la que menos tiempo se emplee (problema de optimización). ¿Se atreve el lector a encontrar esa solución óptima? Como todos sabemos, el estudio de una ecuación como la anterior en la que sólo se consideran las soluciones con valores enteros, se conoce como resolución de una ecuación diofántica, y su descripción puede resultar atractiva para alumnos de la ESO a partir de problemas cotidianos como éste (o los de pies, patas y cabezas de los animales de una granja, etc.). También es conocido por todos el progresivo arrinconamiento que ha ido sufriendo la geometría de nuestros planes de estudio. Pero el cine no la ha olvidado del todo, básicamente porque sus representaciones gráficas “quedan bien” en las películas, y porque el ciudadano medio reconoce esas gráficas como propias de las matemáticas. Veamos dos ejemplos en películas distanciadas en el tiempo y de diferente nacionalidad. En Las diabólicas (Les Diaboliques, Henri- Georges Clouzot, Francia, 1955), las protagonistas son maestras en un internado y tienen un pequeño secreto oculto en un sucio aljibe en el patio del colegio. La directora (“de ciencias”; la otra es “de letras”) pregunta en clase: “superficie del hexágono conociendo el radio de la circunferencia. ¡Vamos! Estoy esperando.” Son las 10:10 (la cámara nos muestra el reloj porque ella, nerviosa, lo mira constantemente; están limpiando el aljibe y van a descubrirlas). A las 10:50 un alumno sale a la pizarra en la que está dibujado el hexágono de la figura adjunta. El chico responde: “ 6 AB por h dividido por 2”. ¿Responde esto a la pregunta? En efecto esa expresión nos proporciona el área del hexágono regular, pero la maestra dijo “conociendo el radio de la circunferencia”, que evidentemente no es h. Desde luego h se deduce a partir del teorema de Pitágoras ya que en un hexágono regular el triángulo OAB es equilátero, pero en la película no hay nada que haga relación a este cálculo. Puede que después de casi una hora estén comentando otros modos de hallar el área, pero lo más probable es que sea un despiste en el guión (muchos, matemáticos incluidos, dirán ¿qué más da? Sólo es una película para distraerse; ¿os daría igual que dijeran que Nerón conquistó las Galias y se casó con Nefertiti? Pues a mí lo otro, tampoco me da igual, ya veis, raro que es uno). Una versión más moderna con idéntico título en castellano, Las Diabólicas (Diabolique, Jeremiah S. Chechik, EE. UU., 1996), (¿porqué gastarán dinero en convertir películas estupendas en auténticos bodrios?), calca hasta eso, una cuestión de matemáticas, aunque la sustituye por esta simpleza: “Si x equivale a 4, ¿cuánto son x-2?” Los alumnos responden correctamente, 2. “¿Y cuánto son 10 + xcuando x equivale a 3? Te lo pregunto a tí”. El interpelado contesta 13. En la pizarra, la profesora les manda más ecuaciones, pero también lineales de primer grado. Antes de dedicarse a la catequesis, Mel Gibson dirigió la prometedora El hombre sin rostro (TheMan Without a Face, Mel Gibson. EE. UU., 1993). Justin McLeod (Mel Gibson) es un antiguo profesor con el rostro desfigurado como consecuencia de un accidente de automóvil en el que murió un niño, motivo por el cual fue procesado y condenado a siete años de prisión. Una vez cumplida la condena, vuelve a su pueblo, tratando de pasar desapercibido, lo cual fomenta aún más ciertos rumores. Allí se hace amigo de un niño con problemas al que trata de ayudar en la preparación del examen de ingreso en una Academia Militar. En una de sus lecciones, trata de enseñarle cómo encontrar gráficamente el centro de una circunferencia cualquiera, construyendo las perpendiculares a dos cuerdas de la circunferencia por sus puntos medios. McLeod lo explica con detalle a partir de dos cuerdas con un punto común (ver fotografía). “Es la proposición 47 de Euclides”, dice McLeod, “y esta es de Pitágoras: en un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual, ¿a qué?” “A la suma de los cuadrados de los catetos”, completa el chico. El procedimiento (que alguien me corrija si no estoy en lo cierto) es válido pero no es general: el centro puede determinarse a partir de dos cuerdas cualesquiera, sin que necesariamente tengan un punto común. Se trata de un corolario al problema I Proposición I del libro Tercero de los Elementos de Euclides. Seguramente los guionistas manejarían una compilación de resultados de ese libro, porque no he encontrado nada que lo relacione con una tal proposición 47. Otro problema que McLeod propone a Chuck es el siguiente: “Un agujero de un metro de ancho por un metro de profundo, ¿cuál es su volumen si se rellena hasta la mitad?” Al chico le cuesta, y no es de extrañar porque al pobre no se le dice la forma del agujero, y evidentemente no es lo mismo si es cilíndrico, cónico, semiesférico o cúbico, entre otras posibilidades. Demos un “pequeño” salto hacia el calculo integral en una variable. En Academia Rushmore (Rushmore, Wes Anderson, EE.UU., 1998), un alumno pregunta a su profesor por un “intrigante” problema propuesto en una pizarra lateral del aula (ver foto; no se distingue demasiado bien, disculpad pero es la mejor que he encontrado; lo que propone es el cálculo de la superficie de una elipse de semiejes a y b). El profesor les comenta: “No os preocupéis por él [...] Lo he puesto como broma. Es probablemente la ecuación más difícil del mundo [...]. Si alguno de vosotros soluciona el problema, me encargaré personalmente de que no vuelva a abrir un libro de matemáticas el resto de su vida”. Los alumnos son de un colegio privado preuniversitario norteamericano. En ese momento, Max Fischer, un auténtico petardo de alumno, se levanta ante el estupor general de sus compañeros, y comienza a resolver la cuestión, como podéis ver en la otra instantánea, ante la admiración general. La escena me parece realmente notable, porque vemos como resuelve, de principio a fin, la integral resultante, incluyendo detalles como el de que al quitar un cuadrado con una raíz cuadrada, el radicando debe aparecer con un valor absoluto, o la conversión de un coseno al cuadrado al ángulo doble para hacer la integral. ¿Porqué el profesor afirma que esto es muy difícil? Enseguida salimos de dudas. Max está soñando que esto ocurre durante la presentación del curso a cargo del director del colegio (es una institución privada; posteriormente Max es expulsado y debe ir a un colegio público, donde veremos algunas acertadas diferencias entre ambas instituciones). En realidad Max no es brillante ni en matemáticas (aunque dice querer estudiar esta carrera en la universidad para impresionar a su profesora favorita), ni en casi nada. Se trata de la primera película del joven director Wes Anderson, un prometedor talento según la mayor parte de los críticos. Una de las características de los personajes que retrata tanto en este caso como en su siguiente trabajo, La familia Tenenbaum (2001) es su frustración. A pesar de intentar por todos los medios cambiar su destino con una perseverancia encomiable, la vida, la sociedad, no recompensará nunca sus esfuerzos. En el caso que nos ocupa, Max pretende triunfar, tanto en los estudios como en ligarse a Rosemary, la citada profesora del colegio, como lo hace mucha gente adulta, con fuegos de artificio, impresionando a todos. Así, se prestará voluntario en múltiples tareas y pondrá en marcha innumerables actividades extraescolares; pero este “trepa” que quiere ser adulto antes de tiempo, acaba sobrepasando unos límites de los que no es consciente y cae sin remedio, una y otra vez, en el ridículo más espantoso. A pesar de este atractivo planteamiento, y de la dinámica forma en que está rodada la película, con unas transiciones entre escenas muy llamativas, la película va languideciendo progresivamente hasta convertirse en una más de esas cargantes comedias adolescentes norteamericanas (no así, la otra película citada, mucho más lograda). El cálculo del área anterior es, con mucho, lo mejor de la película y afortunadamente sucede en los dos primeros minutos de película. Quedan avisados. Finalmente, un problema de teoría de grafos. En El indomable Will Hunting (Good Will Hunting, Gus van Sant, EE. UU., 1997), el profesor Lambeau propone a sus alumnos un problema difícil, que llevó su tiempo a varios profesores de su departamento (la arenga que lanza como motivación es la que describí en la reseña de Abril para introducir el concurso de la escena misteriosa, que por cierto aún no está resuelta y nadie ha osado aventurarse aún a mandarme un correo; además en esa escena aparece otro problema resuelto mediante una integral de línea). El citado problema es el de la fotografía. Lo rescribo: “Dado el grafo de la foto, encontrar: 1.-la matriz de adyacencia A. 2.- la matriz que da el número de caminos de longitud tres. 3.- la función que genera los caminos de i --> j. 4.- la función que genera los caminos de 1 --> 3.”   Como veis sí que hay por tanto en esta película un problema propuesto (en la reseña de SUMA 48, pág. 117, citada arriba se dice “vemos al protagonista resolviendo en una pizarra un problema que no se nos explica”; de hecho la película contiene más resultados matemáticos explícitos, que ya detallaremos en otra ocasión). Lo que no es cierto es que ese problema sea de la dificultad de la que habla el profesor Lambeau (los dos primeros apartados los resolvería cualquier alumno de un curso inicial de grafos) siendo el tercero el único que tiene un poco de complicación. Tampoco se entiende mucho que el caso particular del apartado cuarto aparezca propuesto después de haber resuelto el caso general del apartado previo. Para los interesados, el citado problema está completamente resuelto en la página http://wwwhome.math.utwente.nl/~jagersaa/Will.html   Y ya que estamos con referencias a otras páginas web, en http://usuarios.lycos.es/bbrp/matematicas.html, podéis encontrar un montón de cuestiones y problemas matemáticos de la serie de animación Futurama (EE. UU.,1999-2003; 72 episodios de 30 minutos cada uno). Al final de esa página hay otro enlace a curiosidades matemáticas en Los Simpson (EE. UU., 1989 - ?? (aún continúa)), otra serie de animación conocida por todos del mismo dibujante, Matt Groening. A partir de estas escenas uno ya puede ir confeccionando un pequeño montaje con el que “engatusar” un poco a sus alumnos. El problema es localizar las películas y luego entretenerse en cortar y pegar en el sitio que crea oportuno, tarea esta última en absoluto trivial, al menos para un manazas como yo. Dado que se acercan periodos complicados (final de curso, exámenes, vacaciones, etc.) me disculpareis si no vuelvo hasta finales de septiembre/principios de octubre. A ver si para entonces alguien ha averiguado algo de la enigmática escena de la reseña anterior. Espero que disfrutéis todos de un seguramente merecido descanso, viendo buen cine, y si es posible sin olvidar del todo nuestras queridas matemáticas. No quisiera acabar sin mostrar mi agradecimiento a Esteban Ruben Hurtado Cruz, un compañero de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional Autónoma de Méjico (UNAM) que sigue nuestra sección, por su amabilidad y su generoso envío y ofrecimiento. Y por supuesto a la Comisión de Divulgación de la Real Sociedad Matemática Española, por crear y mantener esta excelente web, DIVULGAMAT. Para finalizar, uno de esos diálogos de medio minuto. Ray Wrinkler (Woody Allen) y sus tres compinches tienen una discusión en Granujas de medio pelo (Small Time Crooks, Woody Allen, EE.UU., 2000) a propósito del reparto de un botín. Quieren saber cuánto le toca a cada uno de un total de 2 millones de dólares. El problema surge porque no saben cuanto asignar a Frenchy (Tracey Ullman), la esposa de Ray, que les sirve de tapadera vendiendo galletas en una tienda. Ellos presuponen que su parte debe ser menor: - Que cobre una parte, pero no una parte entera - ¿Qué tal si todos cobramos 1/4y ella, digamos, 1/3? -Tú estás “chinao”; entonces cobraría más que nosotros - ¿Cómo lo sabes? - Además, ¿de dónde sacas cuatro cuartos y un tercio? ¿No sabes sumar? - Mira, yo en quebrados no me meto, ¿vale? Obviamente, no llegaron muy lejos, al menos, no sin Frenchy. Próxima entrega (a la vuelta de vacaciones): ¿Y qué hay del cine español?

Miércoles, 01 de Junio de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

57. 6. Problema del verano de 2005

Como problema para este verano (cuyo premio o premios serán libros) recuperamos un problema planteado en esta sección en la entrega de Mayo de 2005. Decía así la cuestión: "Pasemos a nuestro enigma particular. Las fotos que acompañan estas líneas corresponden a la escena de una película no estrenada comercialmente en España en la que el protagonista está haciendo matemáticas para entretenerse, mientras espera a otra persona. Las fotos no son muy buenas porque están tomadas con una cámara de fotos con flash (la luz central que se ve reflejada) directamente desde el televisor. El protagonista (un actor muy famoso) está tratando de resolver un problema concreto, y el interés radica en que si uno se fija bien, está perfectamente resuelto salvo una pequeña errata." Recuperemos las pistas: 1.- Película no estrenada comercialmente en España (por culpa de la censura de la época) pero sí pasada en varias ocasiones por televisión (hace años). 2.- El protagonista, un actor muy famoso y popular, se entretiene haciendo matemáticas en una pared mientras espera escondido a otra persona. El director también es de cierta importancia en la historia del cine. 3.- En la imagen se puede ver qué problema resuelve. (Probad a copiar la imagen y ampliarla sino veis bien las expresiones matemáticas). Cuestiones: ¿De qué película se trata? ¿Qué problema o qué tipo de problema (basta con una idea) está resolviendo? Pista nueva: Una tercera parte de la película nunca fue mostrada (ni en España ni en ninguna parte del mundo) porque se consideró que era demasiado fuerte para la época. Aborda un asunto que aún era delicado porque la película se estrenó al poco de ocurridos los hechos. Enviad las soluciones a esta dirección.

Viernes, 01 de Julio de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

58. 7. Respuesta al problema del verano

Al final ni sesudos críticos de cine, ni matemáticos avispados ni alumnos cinéfilos. Nadie ha conseguido resolver ninguna de las dos cuestiones planteadas, por lo que pasaremos en esta reseña a despejar las incógnitas no sea que esté creando algún problema de insomnio a alguien o se piense que dicha película ni siquiera existe. Pero vayamos poco a poco, juguemos hasta el final, desvelando poco a poco los detalles. La película, bajo mi punto de vista, es muy interesante, aunque la censura norteamericana no permitió conocerla completamente nunca. Esto ya de por sí crea ciertas expectativas, tratándose de, dicen algunos, el país de la libertad y la democracia. Hoy quizá pensemos que no es para tanto, pero debemos imaginarnos en septiembre de 1946, fecha de su estreno, recordando que la Segunda Guerra Mundial había finalizado apenas un año antes (oficialmente el 2 de septiembre de 1945). Ya se sabe toda la propaganda que hubo durante y a su término, la euforia por la victoria, etc., etc. Estrenar un film contrario a la guerra y profundamente anti-belicista no parece que fuera muy adecuado, ¿verdad? Y encima si esto lo plantea alguien que trabaja para los “buenos”, pues como que no queda bien. Alvah Jesper es un físico norteamericano (un magnífico Gary Cooper, aunque los críticos digan que no “pega” bien para este papel, opinión con la que no estoy en absoluto de acuerdo por lo que ya se dirá más abajo) que trabaja en la fisión nuclear durante la II Guerra Mundial. Es además agente de la OSS (Oficina de Servicios Estratégicos), sección de inteligencia del ejercito norteamericano precursora de la CIA. Lo envían a Suiza, muy a su pesar, para localizar a la profesora Katerin Lodor que está retenida por los alemanes. El objetivo es averiguar el grado de avance que los alemanes poseen sobre la posible construcción de una bomba atómica. Desgraciadamente Lodor será asesinada antes de poder ser liberada aunque Alvah consigue entrevistarse previamente con ella y conocer que el profesor Polda es la persona que mejor conoce el asunto, ya que está colaborando con los nazis (luego sabremos que porque retienen a su hija). Alvah se traslada entonces a Italia para intentar “convencer” al citado profesor del desastre que supondría el éxito de sus investigaciones. En Italia, Alvah es ayudado por Gina (el primer papel de la alemana Lili Palmer en Hollywood), una activista de la resistencia aliada que le sirve de enlace y que le proporciona alojamiento y lo necesario para poder llevar a cabo su misión. En la escena que se presentaba en el concurso, Alvah tiene que refugiarse en el interior de un carrusel de caballitos de feria mientras Gina localiza un nuevo alojamiento ya que han debido dejar precipitadamente en el que estaban. Como ésta tarda un poco, Alvah trata de entretenerse haciendo matemáticas en una de las paredes del tiovivo. Al volver y ver la como ha dejado la pared, su cara (en primer plano) es todo un poema. Tiene lugar entonces el siguiente diálogo: Alvah: (ante la atónita expresión de Gina): Me mantenía ocupado mientras te esperaba. Gina (tartamudeando): Pe-pero, ¿qué es? Alvah: La integral de una onda senoidal. No es tan difícil como parece. Para que te hagas una idea: imagínate a uno de esos caballitos dando vueltas y subiendo y bajando al mismo tiempo. A la vez la cámara se recrea con detalle en las expresiones, desde la primera a la última. Describo lo que aparece (ya sé que lo ideal en este punto sería insertar un enlace en el que surgiera la escena, pero como dije en la propuesta del concurso, la película no está editada en España ni en VHS ni en DVD, por lo que es ilocalizable). Dibujos de una circunferencia y una semicircunferencia, y las siguientes expresiones En efecto, las expresiones que Gary Cooper ha escrito corresponden exactamente a la resolución del problema que ha descrito: el cálculo mediante una integral de línea de la distancia que recorre cada uno de los caballitos del carrusel en su desplazamiento vertical a la vez que gira circularmente. Para ello da una parametrización de la curva que describe el objeto (la expresión de y, una función seno), y posteriormente emplea la fórmula para el cálculo de una longitud de arco de curva ( ). Obtiene la derivada de la función (en su expresión diferencial, dy) y la sustituye en la expresión de la integral. Como dicha integral no tiene primitiva en términos de funciones elementales, ya que es equivalente a una integral elíptica de segunda especie (o sea de la forma  sin más que pasar el cuadrado del coseno a cuadrado de seno mediante la fórmula fundamental de la trigonometría circular), calcula una aproximación sustituyendo la función integrando por los primeros términos del desarrollo en serie de MacLaurin de la función ; concretamente toma el polinomio de segundo grado resultante, e integra éste, término a término. Pero la forma de escribir estas operaciones no es tan poco trivial. Como la expresión es larga, hace un cambio de variable, llamando w a la función (4ax)/r, y z al cuadrado de la derivada, recurso habitual en matemáticas, que demuestra un buen conocimiento (o una buena documentación) por parte del guionista. Esto obliga a utilizar el teorema del cambio de variable en integrales lo cual queda de manifiesto en el paso del intervalo de integración [0, 2?r] a [0, 8?]. Todos estos matices y cálculos están perfecta y rigurosamente realizados lo que sitúa esta escena como una de las más detalladas que he presenciado desde el punto de vista matemático. Sólo hay un pequeño error. ¿Puede el lector encontrarle? Seguramente sea una errata de transcripción desde el guión por parte de Gary Cooper ya que le vemos a él escribir parte de las expresiones y el tipo y la forma de la letra es la misma en lo previamente escrito. Esta minuciosidad muestra y define el trabajo de un auténtico maestro: Fritz Lang. Otros realizadores (incluido alguno de los “grandes”) se conforman con insertar expresiones matemáticas aisladas, o sencillamente con disponer símbolos matemáticos aleatoriamente y sin ningún sentido. En la actualidad, cualquier producción que se precie en cuyo argumento aparezca algún aspecto de tipo técnico, tiene un apartado presupuestado para el asesor científico de la película, al que por otro lado, poco caso se le suele hacer, ya que las explicaciones rigurosas son las que primero se descartan del guión o de los montajes finales, para que la acción “no decaiga”. Encontrar en una película norteamericana de los años cuarenta, época en la que se trabajaba con presupuestos bajos y en pocos días de rodaje, una escena de este tipo, no deja de ser llamativo. Y además, en apenas medio minuto. Como quedó dicho anteriormente, ninguna respuesta de los concursantes ha sido correcta. Tampoco la del ganador, que indicó que era el cálculo de “la superficie de un elipsoide mediante una integral doble”. En primer lugar no hay integral doble por ningún lado (sólo aparece una integral simple); por otra parte, ninguna de las expresiones delata elipsoide alguno. Veamos: Un elipsoide de semiejes a, b, c >0 viene dado por la ecuación La superficie completa del elipsoide no puede expresarse de forma explícita (como sabe todo el mundo, o debería saber; la raíz cuadrada admite dos signos, cada uno correspondiente a una mitad del elipsoide) Así, por ejemplo para z = 0, y para z = 0 se tienen, respectivamente, ,  Y la expresión que aparece en la escena de la película es, vuelvo a repetir, de una única variable, la x, con lo que nada tiene que ver con las expresiones anteriores. Seguramente nuestro ganador ha tratado de “acoplar” de algún modo la raíz cuadrada y el 1 del primer sumando. A lo mejor incluso se ha percatado de que la integral resultante no es resoluble por ser elíptica, y ha asociado esto al elipsoide. Como desde DivulgaMAT no queríamos dejar el concurso desierto, hemos optado por conceder a este internauta el premio por ser el más “cercano” a la solución de todos los que han enviado sus respuestas. Volviendo a la película, quedan por explicar un par de detalles que he dejado entrever anteriormente. En la versión estrenada comercialmente en Norteamérica, Jesper y Polda logran escapar de Italia a bordo de un avión inglés de la Resistencia, y Gina se despide de Alvah hasta el final de la guerra, en una escena tipo “siempre nos quedará París”. En el guión original, la cosa no acaba ahí: Polda muere de un ataque cardíaco en el avión y los aliados sólo disponen de una fotografía familiar del científico y su mujer tomada en el lugar donde se supone que se encuentra el laboratorio en el que los alemanes realizan sus experimentos. Gracias al detalle de una montaña que aparece en dicha foto, los servicios secretos americano e inglés deducen dónde puede encontrarse dicho laboratorio y vuelven a encomendar a Jesper su localización. Tras diversas vicisitudes, encuentra las instalaciones pero están abandonadas (en ellas encuentran unos 60000 cadáveres de trabajadores esclavizados por los nazis). Han llegado tarde. Los nazis han huido a un país más seguro con toda la información de que disponen intacta. Entonces Gary Cooper hace una amarga reflexión sobre lo sucedido: “Es el Año Uno de la Edad Atómica. Que Dios nos ayude si creemos que podremos mantener todo esto en secreto por mucho tiempo”. Trataba de advertir de los peligros de que cualquier país disponga de medios para construir bombas atómicas. ¿Os suena a algo?¿Quizá China? ¿Irán? Pues eso, que la amenaza persiste hoy, y la película es de 1946. Lang y los actores rodaron todo, pero el estudio decidió eliminar esa parte (hay constancia de que destruyeron los negativos por lo que nos quedamos con las ganas), convirtiendo un drama provocador y reflexivo en un thriller romanticón. En España esta película nunca se estrenó comercialmente y únicamente ha sido emitida en un par de ocasiones por la segunda cadena de la televisión pública. ¿Porqué afirmé anteriormente que Cooper no fue tan mala elección? Los críticos calificaron de forzada la transformación de un pacífico y tímido físico teórico (el director indicó que se habían inspirado en la persona de J. Robert Oppenheimer) en un audaz espía experto en lucha e irresistible playboy en tan sólo dos semanas incluido el viaje de traslado de Norteamérica a Suiza. Pero como siempre, la realidad supera la ficción, ya que está basado en hechos reales: en la dirección http://exordio.com/1939-1945/militaris/espionaje/berg.html, el lector interesado puede seguir (es cortito) la biografía del espía Morris “Moe” Berg, y constatar lo que allí se dice con el argumento de la película.Ésta está basada en un libro escrito por dos oficiales norteamericanos que trabajaron en la OSS. Lo dicho, ¡nunca se sabe lo que un científico puede ocultar! Por cierto creo que aún no lo he dicho, la película se tituló en su pase televisivo Clandestino y Caballero, aunque en otros países de habla hispana consta también como A Capa y Espada. Finalmente, un par de curiosidades más (de cine) sobre esta película, aunque habría muchas otras que detallar. Los fans de James Bond podrían reconocer en esta película una escena en un aeropuerto suizo que fue literalmente fusilada, plano a plano, en la película del Dr. No. Y los seguidores de Alfred Hitchcock (entre los que me incluyo) podrían descubrir más de una coincidencia entre esta película y Cortina Rasgada (Torn Curtain, 1966), de la que hablaremos en su momento ya que contiene la que es, con toda seguridad, escena más larga del cine en la que los protagonistas están haciendo matemáticas en una pizarra. Para finales de octubre o principios de noviembre (hay que ir asimilando las cosas poco a poco) aparecerá la anunciada reseña sobre las matemáticas en el cine español. Ya sabéis que cualquier consulta, dato que complete (o corrija; todos nos equivocamos) o sencillamente vuestra impresión y/o crítica sobre la sección, podéis hacerla llegar a la dirección alfonso@mat.uva.es. Enhorabuena al ganador, un saludo a todos, buen cine y a ser posible, mejores matemáticas.

Jueves, 01 de Septiembre de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

59. 8. ¿Y qué hay del cine español? (I)

En esta reseña encontrarás algunos ejemplos de matemáticas presentes en películas españolas después de sembrar un poco de cizaña a propósito de los gustos del público actual. Finalmente, el autor propone un nuevo juego con el que poner a prueba los conocimientos tanto de cine como de matemáticas Hablar de nuestro cine no se me antoja tarea fácil. De un tiempo a esta parte, cada vez que alguien lo menciona, la controversia parece asegurada, por muy peregrino que sea el asunto con el que se relacione. Si a esto añadimos que no es precisamente nuestro país un referente en cuanto a las matemáticas ni histórica ni socialmente hablando, no parece a priori que haya demasiado que decir sobre el tema, al menos no demasiado bueno. Permítame el lector un brevísimo inciso, a modo de contextualización si se quiere ver así, sobre el primer asunto, el cine que se hace actualmente en España, porque el del pasado está claro, a poco que miremos alguno de los innumerables chats que tenemos en la red o charlemos con la gente, que pocos lo conocen, a casi ninguno le interesa, y prácticamente nadie lo valora en su justa medida, seguramente influidos por el escandaloso afán de las cadenas de televisión (el lugar donde el ciudadano de a pie puede encontrar cine español ya que está claro que a las salas de cine sólo se va a consumir palomitas y lo que más se haya publicitado) de machacarnos con las mismas españoladas de siempre (preferibles no obstante, en muchos casos, a otras de la misma ralea pero más adornadas de estrellitas y coca-colas). En el instituto recuerdo que me contaron, hace tiempo por tanto, aunque espero que a alguien le suene a pesar de las sucesivas reformas, que hubo en el siglo XVII dos corrientes literarias opuestas, culteranismo y conceptismo. Para una era más importante la forma que el contenido, mientras que para la otra era preferible llamar al pan, pan y al vino, si es peleón, porquería (he aquí una mala influencia de estilo: Quevedo hubiera empleado otra palabra más ajustada a la realidad). Pues bien, salvando las distancias, que son muchas, eso es lo que a mi modo de ver pasa con nuestro cine contemporáneo y el del tío Sam (no es que no haya más países, pero es que no nos llega mucho más): para encontrar algún argumento medianamente profundo sobre el que pensar, cine europeo o latinoamericano; si sólo deseamos entretenimiento sin más, admirar lo guap@s que son tod@s, y alucinar con lo que los ordenadores son capaces de hacer, pues ya saben. Aunque de ambas partes hay excepciones, faltaría más. Planteo una sencilla cuenta: ¿cuántas películas “decentes” producen los USA al año?¿Cuántos habitantes viven allí? Obtengan la proporción y hagan el mismo cálculo para nuestro país. Simplemente mirando los porcentajes, ¿dónde hay más talento y calidad? Dinero ya sabemos dónde, ahí no hace falta calcular nada. Como ya se dijo en la reseña de marzo, el cine español está a la altura de lo que se estila en las producciones del resto del mundo en cuanto a su visión de las matemáticas, aunque a diferencia de aquellas, las referencias están mayoritariamente concentradas en escenas de escuela y pizarra Es como si nuestros guionistas no supieran ninguna otra faceta de esta disciplina que la puramente académica. Además no existe que yo sepa (como siempre vuestra colaboración es fundamental para localizar el contraejemplo) película española alguna en la que se recree la vida de ningún matemático. Con motivo del año de la Física he visto un reportaje y leído un artículo en los que se menciona una teleserie hispano-alemana sobre Albert Einstein, dirigida por Lázaro Iglesias en 1984; es lo más cercano que he visto, pero hablamos de matemáticos, no de otro tipo de científicos. Muerte de un ciclista (Juan Antonio Bardem, España – Italia, 1955) fue una película muy aclamada en su momento, no sólo en nuestro país sino internacionalmente, gracias a su carácter de coproducción y al premio que obtuvo en el festival de Cannes. El argumento y la propia película creo que son conocidos por todos: Juan Fernández (Alberto Closas) es un profesor universitario que una tarde atropella accidentalmente a un ciclista. El problema es que se encuentra en compañía de María José (Lucía Bosé), esposa de un conocido empresario y obviamente no estaban sólo de paseo. Ante lo embarazoso de la situación deciden abandonar al ciclista ya que no perciben que nadie haya podido verlos. Volviendo a la comparación con el cine norteamericano (de hecho argumentos similares hay a patadas) sería un buen comienzo para un thriller de suspense en el que algún apuesto investigador fuera obteniendo pistas hasta encontrar a los culpables que en un momento dado le acorralarían y se lo intentaran cargar, y éste escaparía, y resucitarían dieciocho veces, y bla, bla, bla. Entonces tendríamos otra cinta clon de otras muchas olvidable a la media hora. Afortunadamente aquí nos centramos en la reacción de los infractores y, sobre todo, en la atinada descripción de una clase media – alta hipócrita y decadente en la que las apariencias son las dueñas de las vidas de las personas y el amor o la amistad sólo están regidos por el interés y el sálvese quien pueda. Se suele decir que es un reflejo de la sociedad de aquella época, pero personalmente creo que hay cosas que desgraciadamente nunca cambian, y no hay más que echar un vistazo alrededor. El caso es que el protagonista, Juan, es profesor adjunto de Geometría Analítica. Vive con su anciana madre a la que trata de no disgustar, manteniéndola al margen de su vida, pero ésta no hace más que marearle con cuestiones del tipo Madre: ¿Te darán la cátedra? Juan: No. Tendré que trabajar mucho. Juan es consciente de sus escasas posibilidades en la Universidad. Ha entrado por recomendación de su cuñado, subsecretario de Educación, y es considerado por sus familiares como un inútil ya que en aquella época ser docente estaba visto como un trabajo “menor”. Por eso su madre se preocupa ya que tampoco ve claro su futuro. En la misma escena, Juan se queja de tener un “sueldecito de profesor adjunto”. Su madre vuelve a insistir: “Puedes ser catedrático”, a lo que su hijo, ya harto, le responde levantando la voz, “Si, ¡y rector magnífico de la Universidad!”. La madre finaliza, comentando con resignación, “Nunca te he entendido Juan. Demasiado complicado para mí”. Ratifico lo dicho anteriormente: hay cosas que parecen inmutables (consideración social del profesor, escasa remuneración en relación al esfuerzo, recomendaciones para encontrar trabajo, no entender la incomprensible mente de un matemático, etc.). Después del incidente del ciclista, Juan ha quedado muy afectado y está constantemente a la defensiva. Le ha dado por pensar en la familia del atropellado, y sobre todo en si los habrán visto. Esta paranoia le influye hasta en su trabajo. Nos encontramos en un aula de la Universidad, repleta de alumnos, y a Juan y al profesor titular examinando a éstos oralmente de matemáticas. El catedrático lee el periódico mientras los alumnos van desarrollando en las pizarras los temas que les van preguntando. Juan está a su lado. Da la impresión de que ambos profesores no hacen ni caso a lo que los alumnos están diciendo. En un momento dado, el catedrático le comenta algo a Juan y se marcha del aula. A la vez, estamos escuchando entrecortadamente la explicación de una alumna; en el encerado están perfectamente deducidas las ecuaciones paramétricas de la cicloide, junto a las gráficas de la cicloide y la epicicloide (ver foto). Alumna: ..... queda sólo por demostrar que el contorno aparente del toro es igual a la envolvente de las circunferencias [....]. Si suponemos que el centro de la circunferencia describe una elipse de semiejes m y n, las ecuaciones paramétricas de esta elipse serán , y eliminando a entre estas ecuaciones (señala a la ecuación de la envolvente), resulta la ecuación (1) de la envolvente de las circunferencias, cuyos centros describen la elipse (2), cuya proyección ortogonal sobre el plano z = 0 da la circunferencia base de la superficie canal.[...]. Por tanto el toro es la única superficie.... En ese momento, Juan, que se ha quedado hojeando el periódico y ha visto la noticia de la muerte del ciclista, se encuentra aturdido. En voz alta, suelta un “¡Cállese!” que deja atónitos a todos, y muy cortada a la alumna que está en la tarima; ésta deja la tiza y llorando, se va del aula. En los breves instantes que podemos observar detenidamente el encerado, advertimos que lo que está escribiendo la alumna es coherente con lo que dice: tenemos una familia de circunferencias , sustituye a y b por las ecuaciones de la elipse escrita anteriormente y considera el sistema de ecuaciones formado por la ecuación de las circunferencias y la derivada de esa ecuación respecto al parámetro a para calcular su envolvente. El resultado es un astroide (o hipocicloide). El director, Juan Antonio Bardem, estudió la carrera de Ingeniería Agrónoma y dio durante algunos años clases particulares de matemáticas; conoce bien tanto la materia como la vida universitaria. En su libro de memorias (Juan Antonio Bardem, y todavía sigue, Ediciones B, Madrid, 2002), menciona en varias ocasiones las matemáticas, explicando tanto su relación con ellas como con algunos matemáticos que ha conocido. Volviendo a la película, Juan (que no se ha enterado de la exposición de la alumna) suspende a la chica, que resulta ser una de las mejores alumnas del curso, y junto a sus compañeros prepara una movida contra el profesor y, de rebote, contra la Universidad, con manifestaciones de alumnos y cargas policiales (recordemos que es una época muy sensible en cuanto a la lucha social por la libertad en nuestro país y la Universidad tuvo un papel bastante activo; Bardem cuenta en su libro que estas escenas pueden no comprenderse del todo porque la censura metió bastante la tijera). Matilde Luque, la alumna en cuestión, va a ver a Juan, tratando de que reconsidere su calificación. Éste admite que pudo equivocarse, pero no está dispuesto a rectificar las notas porque ellos le haría quedar mal y él está, no olvidemos, para hacer méritos y no dar problemas. No obstante, es honrado: Juan: Recurra al decano, al claustro Matilde: Sería inútil. A usted le protege la Universidad y su cuñado. (¡no se corta la niña!) Juan: Es posible que haya sido una injusticia, pero no puedo hacer nada. Los alumnos exigen la destitución de Juan, las autoridades académicas “estudiarán concienzudamente su petición”, y a Juan le recomiendan “que hable con su señor cuñado”. Como vemos las matemáticas han aparecido al menos con dignidad, entroncadas correctamente en un contexto apropiado. En el citado libro de memorias, Bardem habla de su relación con Luis García Berlanga y deja entrever algunas de las discrepancias que mantuvieron, no sólo desde un punto de vista ideológico. También respecto a las matemáticas. A Bardem le gustaban, Berlanga las aborrecía. Quizá por eso, las caricaturiza en algunas de sus películas. En Calabuch (Luis García Berlanga, España – Italia, 1956), otra magnífica película, el famoso profesor Hamilton (Edmund Gwenn), cansado de sus investigaciones en energía nuclear, ha tratado de huir del mundanal ruido a un lugar en el que nadie pueda reconocerlo (en España, por supuesto). En este pueblecito costero es un lugareño más. La maestra del pueblo (Valentina Cortese) también da clases de educación de adultos a los habitantes del pueblo. Para animar a la gente, pide al profesor Hamilton (para ella Jorge, un anciano más, ya que no conoce su verdadera identidad) que asista también a clase como alumno, aceptando éste la invitación encantado. En una de estas clases aparece escrito en la pizarra el siguiente problema que ella lee en voz alta: “José tiene doce plumas Parker. Cuatro le han requisado. Si de las que le quedan vende tres, ¿cuántas plumas le han quedado a José?” Jorge se ríe y exclama “¡Es muy sencillo!” La maestra le regaña por hacer este comentario en voz alta. El compañero de pupitre de Jorge es un campesino analfabeto que echa la cuenta con los dedos, e indica rápidamente a Jorge con la mano extendida que el resultado es cinco. Éste se encuentra ensimismado escribiendo signos ininteligibles en su cuaderno; tras unos instantes, se echa a reír y asiente en voz alta, “¡Cinco!”. En ese momento la maestra se pone echa un basilisco por, se supone, la falta de formalidad en clase. En esta escena llaman la atención varios aspectos. En primer lugar se critican los formalismos de la ciencia, dando a entender que sólo los teóricos los entienden y que éstos los utilizan hasta para resolver trivialidades como la planteada. Es una visión un tanto simplista, pero que muchos tienen. También cabe la lectura de que la enseñanza oficial complica las cosas en exceso, constituyéndose en un mecanismo para limitar el acceso al conocimiento al ciudadano de a pie (en el mismo sentido que sucede en El Verdugo con la enorme cantidad de papeleo que el protagonista necesita para poder acceder al trabajo de su suegro). Críticas muy en la línea del director, como el propio problema que plantea la profesora, teniendo en cuenta que el cabo de la guardia civil del pueblo colecciona plumas estilográficas. Sin embargo, desde el propio punto de vista formal, ¿porqué se han utilizado signos y expresiones inexistentes para transmitir la idea de complejidad ininteligible? ¿Habría sido igual utilizar jeroglíficos egipcios? Está claro que no, que debían parecerse a matemáticas de verdad. Y en este caso ¿no hubiera sido más sencillo molestarse en recurrir a matemáticas auténticas?. Detrás del asunto puede encontrarse el mal recuerdo del director en sus estudios con esta asignatura. Por otra parte es muy significativa la falta de paciencia y de profesionalidad de la maestra que se pone histérica porque dos alumnos adultos hagan un simple comentario en voz alta No es extraño que le cueste encontrar clientela. Maestras así seguro que había (¿habrá aún?). En fin, pensemos que eran otros tiempos. Otra escena muestra a Jorge en una celda de la cárcel escribiendo en la pared signos, que nuevamente no tienen ningún sentido desde el punto de vista matemático (ni de ningún otro), y que tratan de simbolizar algo importante. La hija del cabo de la Guardia Civil le reprende - ¡Jorge! ¿Cuántas veces tengo que decirte que no me pintes monigotes en la pared? - Jorge (indignado):¿Monigotes? Son fórmulas, ¡fórmulas! - Bueno, será lo que sea, pero yo nunca tengo la cárcel limpia. Dejémoslo por el momento aquí, pero nuestro cine contiene algunas otras sorpresas, matemáticamente hablando, nada despreciables. Así pues, continuará ….. El juego de las Escenas Eliminadas Una de las cosas que más nos gustan a los cinéfilos del formato DVD es la incorporación de los Contenidos Extra que algunos contienen. A veces encontramos escenas eliminadas del montaje final de la película, que sin embargo es curioso, o interesante visionar. El juego que os propongo es el siguiente: muchas de las escenas de grandes (o pequeñas, da igual) películas tienen contenido matemático, y se eliminaron para que el metraje no fuera excesivo. Se trata de, una vez descrita la escena, responder a las preguntas que aparecen al final. A modo de prueba, pondremos esta vez una muy fácil, pero aviso, las próximas no serán tan evidentes. En una situación muy típica en el cine, el protagonista, D., intenta saltar de una azotea a un tejado de otro edificio, pero se queda corto, manteniéndose colgado en el vacío, agarrado de un saliente. Uno de sus, llamémosles enemigos, R., observa el sufrimiento de D.. Cuando éste va a caer, R. lo agarra, lo levanta en vilo y lo deja sobre el tejado. R.: Sé lo que te atormenta. No me lo agradezcas. El sufrimiento que te espera no es comparable al que sentiste hace un instante. ¿Quieres saber cuanto la queda? Es curioso. El número de días que ha vivido menos esa cifra escrita en orden inverso resulta una cantidad formada por el mismo trío de dígitos, justamente los días que vivirá. Disfrutadlos. Son los suficientes como para que nunca la olvides. Ni a mí…. Yo he visto cosas que vosotros no creeríais. Atacar naves en llamas más allá de Orión. He visto Rayos-C brillar en la oscuridad cerca de la Puerta de Tannhäuser. (Pausa). Todos esos momentos se perderán en el tiempo como lágrimas en la lluvia. Es hora de morir. R. muere. La paloma que sujetaba sale volando hacia el cielo. D.: (narrando): No sé por qué me salvó la vida. Quizás en esos últimos momentos amaba la vida más de lo que la había amado nunca. No sólo su vida: la vida de todos. Mi vida. Todo lo que él quería eran las mismas respuestas que todos buscamos: de dónde vengo, adónde voy, cuánto tiempo me queda... Todo lo que yo podía hacer era sentarme allí y verle morir. Ahora ese mismo tiempo corre en mi contra. ¿Cuánto?¿Es mejor saberlo o ignorarlo? Trataré en cualquier caso de no desperdiciarlo… Varias son las preguntas a propósito de esta escena: 1.- Título de la película (Insisto, esta primera es muy conocida). 2.- ¿Cuánto tiempo les queda a D. y a su amiga? 3.- Para muy cinéfilos. Un ayudante del director comentó que en otro momento de la película se daba un dato que contradecía en parte el anterior diálogo, por lo que al final se optó por suprimir parte de la escena. ¿Qué frases quedaron en el montaje final? ¿Cuál es la contradicción aludida? Como siempre podéis remitir vuestras opiniones, sugerencias, etc., a alfonso@mat.uva.es. Hasta la próxima.

Sábado, 01 de Octubre de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

60. 9. Navidades Cinematemágicas

Se comenta en esta ocasión el próximo estreno de Proof en salas comerciales, se da respuesta a la cuestión planteada en octubre y se proponen nuevas cuestiones relacionadas con las fechas navideñas para los más intrépidos (o para los que dispongan de más tiempo libre). En octubre comenzamos una serie de artículos sobre las matemáticas en el cine español que aparcamos hasta la próxima entrega ante la llegada a nuestras carteleras de la versión cinematográfica de Proof (la actualidad manda). Proof es una obra teatral que ha logrado dos importantes galardones (aunque ya se sabe que esto de los premios, como casi todo en la vida, es muy relativo), el premio Pulitzer de 2001 para su joven autor, David Auburn, y el premio Tony de teatro a su puesta en escena a cargo del director Michael Bloom, fruto este último del enorme éxito de crítica y público cosechado en su gira por diferentes escenarios norteamericanos. Todas las referencias consultadas indican que se trata de una obra interesante. En síntesis, la obra es un estudio acerca de la naturaleza de los genios y cómo ésta afecta a la vida, el trabajo y la familia, incluyendo un enigma que hay que resolver. Los protagonistas son únicamente cuatro personas, tres de ellos matemáticos, y toda la acción transcurre en un fin de semana (hablamos de momento de la pieza teatral, no de la película). Catherine es una enigmática joven que ha ocupado los últimos años de su vida por decisión propia en el cuidado de su enfermo padre Robert, un brillante matemático en la juventud. Como viene siendo habitual y ya os estaréis imaginando, la enfermedad del padre es mental, de hecho parece que este personaje está libremente inspirado en el de John F. Nash, ya sabéis, el premio Nobel de Economía recientemente popularizado gracias a una biografía y a la película Una mente maravillosa. Una diferencia con ésta reside en que si la de Ron Howard se centra en las alucinaciones y sentimientos del protagonista, la que nos ocupa pone el énfasis en las relaciones del genio con los demás, con su hija en particular. El dilema que angustia a Catherine es tratar de averiguar qué parte de la genialidad de su padre ha heredado, y que parte de su locura. Catherine tiene una hermana mayor, Claire, muy diferente a ella: materialista, independiente, dominante, de esas personas que tratan de organizar la vida de todas las demás y no admite más propuestas que la suya propia. Ambas hermanas llevan un tiempo sin verse ni hablarse, ya que Claire se fue a trabajar a otra ciudad, y prácticamente se ha desentendido de su padre y de su familia, hasta ahora, al fallecer el primero (momento en el que arranca la obra). Las condiciones iniciales parecen indicar que se va a tratar de un dramón familiar, típico de los telefilmes baratos con que nos obsequian las cadenas de televisión los sábados por la tarde, ¿verdad? Eso es en lo que se habría convertido seguramente en manos de muchos directores, pero afortunadamente no es el caso. Para completar el cuadro hay también un antiguo y aplicado alumno de Robert, llamado Hal que, meticón como él solo, se puso a husmear entre los papeles de Robert, y aparece afirmando que ha descubierto entre los mismos una demostración inédita de un resultado matemático muy importante. Este hecho (que da título a la obra) provoca una serie de conflictos y de preguntas en la familia. Las crónicas y críticas hablan de que combina hábilmente lo intelectual con los sentimientos, y logra enganchar al público, planteando temas que no dejan indiferente a nadie, con sutiles toques cómicos en determinados momentos. Llega entonces una de las preguntas del millón. Todos sabemos que adaptar una pieza teatral al cine en la que hay pocos personajes y un único escenario no resulta nada sencillo porque el espectador que va al cine no busca lo mismo que si saca la entrada para ir al teatro. Por otra parte, está claro que conociendo el argumento (del que no hemos desvelado nada importante, todo lo dicho aparece en el tráiler de la película) descartamos ya al 70% de las personas que normalmente van al cine en la actualidad. Es decir, ¿por qué unos productores se deciden a invertir en una película a priori ruinosa? No tratemos de responder a esta pregunta, más bien agradezcamos que aún exista una productora norteamericana (Miramax, la misma que en su momento apostó por El indomable Hill Hunting o Las normas de la casa de la sidra, entre otras) que se arriesgue con una película que aspire a algo más que a hacer pasar el rato. ¿Y cómo hacerlo? Evidentemente con actores de ciertas garantías (sin descartar su popularidad), y no con cualquier director. Así llegamos a Gwyneth Paltrow (Catherine), Anthony Hopkins (Robert), Hope Davis (Claire) y Jake Gyllenhaal (Hal). Tanto en la obra teatral como en la película, los papeles femeninos tienen un rol mucho más destacado que los masculinos. En la película, Anthony Hopkins, estando correcto, no destaca para nada, más bien se deja llevar (espero que no se note mucho que no es precisamente santo de mi devoción, aunque lo considero buen actor), y Jake Gyllenhaal (protagonista de Brokeback Mountain, estreno que coincidirá en nuestros cines con el de Proof, en la que borda su personaje) está bastante mal, por decir algo suave. Gwyneth Paltrow, que ya representó este papel en los escenarios del West End de Londres, aparece en el 80% del tiempo que dura la película, y con toda seguridad, será nominada a los Óscar por este papel con bastantes posibilidades de obtenerlo. Hope Davis ha dulcificado mucho su personaje (para que os hagáis una idea de cómo es el encarnado en el teatro por Christina Haag) y lamentablemente se ha reducido mucho su presencia respecto a la obra original en beneficio de Paltrow. El director, John Madden, es un especialista en adaptaciones de grandes obras y en coleccionar galardones. Hoy por hoy es uno de los cineastas europeos mejor considerado en los EE. UU. con una amplia experiencia en cine, radio y televisión. Bueno, casi mejor os digo que es el director de Shakespeare enamorado, Su majestad Mrs. Brown (tan buena como la anterior) y La mandolina del capitán Corelli (bueno, nadie es perfecto). Otra pregunta del millón es ¿y las matemáticas de la película? Bueno, pues están las típicas escenas de fórmulas escritas en papeles y pizarras mostradas en un abrir y cerrar de ojos, algunas referencias a teoremas y resultados conocidos, el nombre de algún matemático célebre, pero, como viene siendo norma, sólo como parte del decorado. Resulta un tanto frustrante, desde el punto de vista de un matemático, que el motor de la película, la famosa “prueba” quede al final como un Mac-Guffin hitchcokiano. Nadie, ni siquiera Claire, estará interesado por la misma, aún cuando parezca probada su indiscutible valía. ¿Por qué los cineastas en casos como éste, no tratan de retar al público profundizando un poco más? ¿Sería admisible que una película que tratará sobre un músico no incluyera un solo acorde de su obra? Pues esto es lo que suele suceder con las matemáticas. La película, sin embargo, si afronta otro tipo de cuestiones. El cartel de la obra teatral apuntaba algunos: ¿puede convertirse la verificación de una demostración en un acto de amor? Corregir es un trabajo violento porque echas por tierra la creación de otro, pero ¿qué sucede si amas a esa persona? ¿Es preferible ser condescendiente o mostrar la cruda realidad? Los dos carteles del estreno norteamericano incluidos son ligeramente más ambiguos: Si no crees en ti mismo, ¿quién creerá en ti? o El mayor riesgo en la vida es no tomar ninguno. La crítica norteamericana acogió la película de forma más bien fría, achacándola lo que se suele decir de las adaptaciones teatrales: la puesta en escena perjudica la historia. De otras latitudes nos llegan sin embargo comentarios más positivos, además por otra parte nosotros no podremos compararla con la obra teatral. En cualquier caso, para los que se decidan a ir a verla, dos apuntes finales: atentos a los diálogos, incluso los aparentemente vacíos, porque más adelante adquirirán un sentido no previsto, y atentos también a la interpretación de Gwyneth que es de lo más destacado del año, trabajo que, si de teatro se tratara, no hubiéramos podido apreciar de igual manera que con los abundantes primeros planos que esta versión utiliza. Por cierto, ¿con qué título se estrenará en nuestro país? ¿Prueba, Demostración, u otro más exótico?. Dada la moda actual de no traducir muchos (preferible en todo caso a decir idioteces que no vienen a cuento o a machacar algún aspecto importante del argumento, ejemplos de los cuales hay montones), yo apuesto a que lo dejan tal cual, con Proof. Veremos. El juego de las Escenas Eliminadas Seguramente todos hayáis soportado en estas fechas aquella película en la que un desesperado padre intenta comprar a su hijo un juguete que todo el mundo tiene pero que está agotado en todas las tiendas. En una escena, en un centro comercial lleno de anuncios, aparece en un escaparate SANTA CLAUS XMAS. Pues bien, resulta que podemos escribir estas palabras del siguiente modo Se trata de encontrar los valores numéricos para cada letra, según la conocida regla, a letras diferentes le corresponden números distintos. A este pasatiempo se le conoce en castellano como criptograma (en inglés, Cryptarithm). A mi se me ha ocurrido que como veremos mucho próximamente la frase FELIZ AÑO NUEVO 2006, podríamos intentar hacer con ella un criptograma; para complicarlo un poco, también hay que buscar las operaciones necesarias, es decir que sea algo de la forma donde “&” pueda ser indistintamente el símbolo de suma o resta. Como hay once letras y sólo existen diez dígitos, pongamos que F = N. A ver si alguno se anima y me manda sus soluciones. Por cierto, no he comprobado que la solución de este último criptograma sea única, por lo que cualquiera que cumpla las condiciones será válida. Quizá os haya extrañado que indicara antes el nombre del pasatiempo en inglés. No obedece a otro motivo que el de señalar que, en inglés, existen también los Cryptograms, cuya traducción lógica a nuestro idioma sería el de criptograma. Pero no. Un Cryptogram es lo que os propongo a continuación:   Como habréis adivinado se trata de saber a qué letra corresponde cada número, y averiguar el mensaje oculto. ¿Cómo se llama este pasatiempo en español?   Solución del juego del mes de Octubre Hay una frase (de esas que siempre se cita entre las más famosas de la historia del cine) que indica claramente a qué película nos referimos: “Yo he visto cosas que vosotros no creeríais”. En efecto se trata de Blade Runner, película norteamericana de culto dirigida en 1982 por Ridley Scott. En cuanto a la segunda cuestión, la del número de días que vivirá la replicante de la que se ha enamorado el protagonista D. (de Deckard, Harrison Ford), R. (Roy Batty, Rutger Hauer) comenta que “El número de días que ha vivido menos esa cifra escrita en orden inverso resulta una cantidad formada por el mismo trío de dígitos, justamente los días que vivirá”. Hablamos entonces de un número de tres cifras, denotémosle por abc. De la frase anterior se tiene que abc – cba = 9 x 11 x (a – c), puesto que si escribimos dichos números como nos enseñaron en el colegio, (100a+10b+c) – (100c+10b+a) = 99 (a – c). Por otro lado nos dicen que a, b, c son dígitos diferentes, y que el resultado de 9 x 11 x (a – c) es un número de tres cifras, las mismas del número original, pero cambiadas de orden. Aquí podemos ir a “la cuenta de la vieja” (método con mala prensa pero que si nos ahorra tiempo, no tenemos porque renegar de él). De las condiciones anteriores está claro que a > c, y que a, c > 0. Como el número debe ser de tres cifras a – c > 1. ¿Puede ser a – c =2? Si así fuera abc – cba = 198, pero para esos tres dígitos, (1, 8, 9), ninguna de las tres posibles diferencias entre ellos da 2 como resultado, por lo que a – c no puede ser 2. Haciendo el mismo razonamiento para el resto de posibilidades de a – c (es decir, 3, 4, 5, 6, 7, 8), se observa que sólo con el 5 (99 x 5 = 495), encontramos dos dígitos cuya diferencia nos de 5 (el 9 – 4), con lo que tenemos localizada la única posibilidad, es decir que a = 9, b = 5, c = 4. Resumiendo, 954 es el número de días que ha vivido Rachael (Sean Young) y 495 los que aún vivirá. Los admiradores de esta película se darán cuenta sin embargo que esto podría ser contradictorio con otro dato que se da anteriormente. Cuando se informa a Deckard de su misión, se le dice que los replicantes fueron creados con un dispositivo de seguridad: cuatro años de vida. Esto son 1461 días (contando el día añadido de más del bisiesto). Si a Ráchael le quedasen 495 días, eso querría decir que habría vivido 966 días, no 954, es decir falla por 12 días. Pero como los cuatro años no son exactos…. (Roy fue creado el 8 de enero de 2016, y muere en noviembre de 2019, es decir sólo ha disfrutado de entre 1392 y 1422 días, por lo que seguramente a Ráchael le quede menos y no existe contradicción alguna. Podrían haber dejado el diálogo íntegro). ¿Qué frases dejaron? El diálogo de los sucesivos montajes es: Roy: Es toda una experiencia vivir con miedo, ¿verdad? Eso es lo que significa ser esclavo. [ Deckard cae. Roy logra sujetarlo en el último momento. Le alza en vilo y le deja sobre la azotea ] Yo he visto cosas que vosotros no creeríais. Atacar naves en llamas más allá de Orión. He visto Rayos-C brillar en la oscuridad cerca de la Puerta de Tannhäuser. Todos esos momentos se perderán en el tiempo como lágrimas en la lluvia. Es hora de morir. [ Roy muere. La paloma sale volando hacia el cielo.] Deckard: No sé por qué me salvó la vida. Quizás en esos últimos momentos amaba la vida más de lo que la había amado nunca. No sólo su vida: la vida de todos. Mi vida. Todo lo que él quería eran las mismas respuestas que todos buscamos: de dónde vengo, adónde voy, cuánto tiempo me queda... Todo lo que yo podía hacer era sentarme allí y verle morir. NOTA FINAL: El ejercicio que aparece en esta escena está tomado (la adaptación si es personal) del libro Nuevos juegos de ingenio y entretenimientos matemáticos, de Jean-Pierre Alem, problema 90 (pág. 164), repetido en el mismo libro en el problema 100.23 (pág. 190), aunque la solución indicada anteriormente también es propia. La del libro (pág. 271), parte de que la diferencia abc – cba = (a – c – 1) 9 (c + 10 – a), así que uno de los dígitos es 9, que sólo puede ser a o b. Luego probando y descartando los absurdos, llega a la solución. Como siempre podéis remitir vuestras opiniones, sugerencias, etc., a alfonso@mat.uva.es. Hasta la próxima.

Jueves, 01 de Diciembre de 2005 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico