31. 146. De noche todos los gatos son pardos

¿Cuál sería el contexto, fuera de las Matemáticas, en el que la gente hablaría de triángulos? Pues de eso va la cosa, de triángulos amorosos y números de Fibonacci. Ficha Técnica: Título: Después de medianoche. Título Original: Dopo mezzanotte. Nacionalidad: Italia, 2004. Dirección: Davide Ferrario. Guion: Davide Ferrario. Fotografía: Dante Cecchin, en Color. Montaje: Claudio Cormio. Música: Fabio Barovero, Banda Ionica y Daniele Sepe. Duración:  92 min. Ficha artística: Intérpretes: Giorgio Pasotti (Martino), Francesca Inaudi (Amanda), Fabio Troiano (Angelo), Francesca Picozza (Bárbara), Silvio Orlando (Narrador), Pietro Eandi (Abuelo de Martino), Andrea Romero (Propietario del Fast Food), Giampiero Perone (Bruno, el vigilante nocturno), Francesco D'Alessio, Andrea Moretti y Gianni Talia (miembros de la banda de la Falchera), Maurizio Vaiana (el primo Maurizio). Sinopsis: Una noche, Martino, un ávido y tímido cinéfilo, vigilante nocturno del museo del cine de Turín, ayuda a Amanda, una joven cocinera de un restaurante de comida rápida que huye de la policía después de rociar a su explotador jefe con aceite caliente. El reino de ensueño de los personajes de películas mudas de Martino se convierte en un santuario para Amanda, mientras espera el rescate de su novio, un ladrón de coches del barrio turinés de la Falchera llamado Angelo. Obnubilada por el museo, Amanda desarrolla una sorprendente conexión romántica con Martino, que hasta ahora solo había encontrado compañía en sus sueños de celuloide. Dividida entre sus nuevos sentimientos por Martino y su problemática relación con el irresistible Ángel, Amanda intenta equilibrar el afecto de sus dos pretendientes. De este modo, se ven envueltos en este improbable triángulo amoroso. Comentario Preparando unos asuntos sobre los orígenes del cine, me encontré hace unos días con esta película, y de pronto, ¡¡matemáticas!! No sé si será conocida por el lector (seguramente no, dado que al cine europeo sólo nos acercamos los muy freakies del cine, o con algunos años ya a las espaldas), pero en cualquier caso se describe cierta (forzada) conexión entre el cine y las matemáticas que aprovecho para comentar. Para empezar, indicar que, siendo una cinta aceptablemente realizada y con ciertos anhelos de originalidad y trascendencia, queda bastante lejos de ser “una nueva Cinema Paradiso” como aparece en el cartel anunciador de la edición española del DVD. El utilizar como recurso antiguas películas mudas, el tener un protagonista convencido de la belleza y el arte del cine, o el disponer como escenario el estupendo y original Museo Nacional del Cine de Turín, no garantiza automáticamente el éxito de la empresa. No obstante, reitero que el resultado es agradable y digno, pero sin más. Comencemos con la parte matemática evidente y reconocible por casi cualquier espectador. El Museo anteriormente citado se encuentra situado en la Mole Antonelliana en el centro histórico de Turín, el edificio más singular de la ciudad, que, obviamente, aparecerá en muchos momentos del metraje de la película. Por la noche, en determinados momentos, aparecen iluminados sobre su torre una serie de tres números. Aunque después nos desvelarán cuáles son, por si no nos percatamos, se trata de distintos términos de la sucesión de Fibonacci. Recordemos que dicha sucesión viene dada por la expresión an = an-1 + an-2,   n ≥ 2 a0 = 0,    a1 = 1 Suponemos al lector suficientemente familiarizado con esta conocida sucesión, ya que, entre los incontables artículos, páginas y blogs de divulgación, e incluso en las aún más innumerables memeces seudo-científico-esotéricas, se han contado muchas de sus particularidades (su supuesto origen como descripción de la descripción de la progenie conejil, sus múltiples presencias en la Naturaleza, que también indica la película, como veremos, etc.). En cualquier caso, tienen montones de sitios a los que acudir como digo, por lo que nos ceñiremos a su estricta aparición en la película que nos ocupa. Hacia el minuto 43, segundo arriba, segundo abajo, Martino ha subido a lo alto de la Mole Antonelliana a Amanda (hasta el año 2017 era el edificio más alto de Turín, pero ese año terminó la construcción del rascacielos Grattacielo della Regione Piemonte; en cualquier caso, como la película es de 2004, en ese momento, la Mole Antonelliana era el edificio más alto de la ciudad). Desde ahí, y de noche, hasta el local de Fast Food en el que mal trabaja Amanda parece hermoso, comenta la joven. A continuación, Amanda pregunta a Martino por esos números iluminados sobre la torre, teniendo lugar el siguiente diálogo: Amanda: ¿Y esos números? Martino: Es la serie de Fibonacci. La serie de Fibonacci. Fibonacci, matemático de Pisa del siglo XI. Es una serie cuya característica más notable es que cada tercer número es la suma de los dos precedentes. Mira: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, y así hasta el infinito. Prueba a deshojar una margarita, o a contar las escamas de una piña o las semillas de un girasol. El número de pétalos de una flor es casi siempre un número de Fibonacci. Dichos números sugieren que en el Universo hay una especie de orden matemático, lo que nos llevaría a suponer que, probablemente, el mundo tenga algún sentido. Que no es poco. Aunque se entiende lo que quiere decir, digamos que la expresión “cada tercer número” no es demasiado correcta, ni siquiera gramaticalmente, porque el ordinal es único. No hay más que un tercer número. Debería haber dicho cada tres números, u otra expresión. Del mismo modo, aunque también se entiende, la versión original no dice “que el Universo tenga algún sentido”, sino “que tenga algún significado”. La primera sugiere algo con vistas a un futuro, mientras que la que dice en la versión original vendría a indicar que el Universo se ha configurado (pasado) de un modo lógico, matemático, sin la mediación del azar. En efecto, son matices, pero diferentes. La iluminación del edificio con números de Fibonacci no es ningún truco de la película, ni algo circunstancial. En el año 1997, Turín ideó el evento Luci d'Artista (La Luz del Artista), pensado para sacar el arte a la calle y que los ciudadanos pudieran conocer, disfrutar y aprender del trabajo de maestros de renombre internacional. Con el tiempo, las obras luminosas propuestas se han ido convirtiendo en una oportunidad para el diálogo entre el arte contemporáneo y el público en general. Al llevar la colección al tejido urbano, se logra un uso más amplio de las obras de arte y las personas se relacionan con más familiaridad. Aprovechando la redefinición de la iluminación exterior de la Mole Antonelliana y de la edición del año 2000 del evento Luci d'Artista, en el lado sur de la Mole se instaló la creación de Mario Merz (un defensor del uso de luces de neón en sus obras) denominada Il volo dei numeri (El vuelo de los números), que muestra el inicio de la sucesión de Fibonacci elevándose hacia el cielo. Pero no sólo quiso plasmar esa idea de infinitud, sino dejar patente la relación de la cúpula de la construcción de Antonelli con la curva que la delimita (un esquema de utilización matemática frecuente). Un modo estupendo de que el espectador asimile (aunque no tenga ni puñetera idea del significado) que las matemáticas son fundamentales en construcciones artísticas como ésta. Se fusiona así una obra de arte con el pensamiento, que invita cada noche a reflexionar desde el monumento más querido de la ciudad. Al final, las autoridades municipales decidieron dejar la iluminación de modo permanente, desde el anochecer hasta la una de la mañana en verano, y hasta la medianoche en invierno. La ciudad de Turín, propietaria de todas las obras de arte y planes de iluminación anualmente: este es un patrimonio cultural que crece año tras año. La última edición Luci d'Artista ha sido la vigésimo primera, y tuvo lugar entre el 31 de octubre y el 13 de enero de 2019, con 23 obras de arte contemporáneo (13 en el centro de la ciudad y 10 en los otros siete distritos de la ciudad). De ellas, seis obras quedaron permanentes y siempre operativas. Invitamos al lector/espectador a localizar otras apariciones de números de Fibonacci a lo largo de la película. Y como no, a descubrir la original estructura de todo el edificio, en el que se desafió todas las convenciones arquitectónicas, artísticas y técnicas Para lo que se emplearon estructuras geométricas, algunas aparecen en la película (son las matemáticas no explícitas, pero apreciables), de gran mérito e interés. Triángulos Al igual que sucede en ocasiones en la vida real, Amanda no tiene claro con cuál de los dos chicos quedarse, su novio, o Martino, porque cada uno le aporta algo diferente y complementario, y quiere tener ambas posibilidades, dependiendo del momento. Por eso les propone intentar ser tres. Aparece entonces el narrador que va dando explicaciones y haciendo reflexiones durante toda la película: Narrador: ¿Pueden estar enamorados tres? ¿No es bastante complicado con dos? Los seres humanos siempre intentan aplicar reglas matemáticas a las cuestiones del corazón con escaso éxito. Sea cual sea la fórmula escogida, siempre hay un factor por el que no salen las cuentas. Son muchas las composiciones visuales que se plasman en la película utilizando simetrías, reflexiones, transformaciones planas y tridimensionales diversas que aparecen en la película, utilizando elementos del Museo del Cine como espejos, paneles retro iluminados, etc. Cine, cine, cine En el tramo final de la película, el narrador explica la situación de los tres personajes relacionando cine y matemáticas. Para Martino, el cinéfilo por antonomasia, nos cuenta lo siguiente: Narrador: Si, como sugieren los números de Fibonacci, el mundo tiene un sentido, Martino ahora no entiende cuál. Pero las películas no son la vida. Es necesario escoger. A lo que se unen los consejos de su primo Maurizio (lo hace explicándole porque a él no le gusta el cine) y el abuelo de Martino (en ningún caso desvelaré las razones para que vean la película). A Amanda, Fibonacci le vendrá finalmente muy bien, por un motivo que tampoco desvelaré. Y finalmente, para Angelo, que a la vez que descubre los verdaderos sentimientos de Amanda, el guion nos tiene reservados un par de guiños, alguno desgraciadamente cómico (me refiero a algo relativo a Silvio Berlusconi), descrito del siguiente modo: Narrador: En realidad, ha aprendido que la idea de la cliente de Bárbara es la única regla de las historias de amor: para que uno sea feliz, a otro le toca llorar. Es como una matemática de los sentimientos, un más y un menos que suman y sustraen hasta el infinito y que, aunque dejándolo todo igual en términos generales, producen combinaciones especiales y siempre diferentes. Como las películas que cuentan las mismas historias desde hace cien años, pero uno sigue yendo igualmente al cine, porque espera alguna sorpresa. Museo Nacional del Cine de Turín Inaugurado en el año 2000, está dispuesto en torno a cinco pisos con una superficie total de unos 3200 metros cuadrados. Aunque pretende repasar la historia del cine mundial, destaca por el amplio repaso al cine italiano, como no podía ser de otro modo, desde los inicios del cine. Conserva además los fondos de la Fundación María Adriana Prolo, graduada en historia y literatura, pionera en las investigaciones del cine en Turín, entre otros trabajos. En 1941 comienza a recopilar, recuperar y conservar todo tipo de documentos y materiales relacionados con el cine y la fotografía turineses, y ya desde ese momento se tiene en mente establecer un museo para la ciudad. Sin embargo, ella no llegará a disfrutar de esta instalación (fallece en 1991) en una rehabilitada Mole Antonelliana, uno de los edificios históricos de la ciudad y entre los más emblemáticos de Italia. La visita al Museo, independientemente de lo relacionado con el cine, es espectacular y muy recomendable ya que dispone de un ascensor que permite subir hasta la parte más elevada de la torre y disfrutar de una espléndida vista de todos los puntos cardinales de la ciudad. Por supuesto el museo muestra también objetos, documentos, fotografías históricas, carteles, más de 12000 películas, biblioteca, y es la sede principal del Festival de Cine de Turín (Torino Film Festival, TFF), además de organizar ciclos de proyecciones cinematográficas durante todo el año. En la imagen, una escena de la película bajo una frase de un panel del museo de uno de los hermanos Lumiére: El cine es un invento sin futuro. Desde luego, como futurólogo no tuvo precio. La película rinde homenaje tanto a María Adriana Prolo como a Buster Keaton e incorpora al argumento algunos cortometrajes cuyo argumento tiene mucho que ver con lo que les sucede a los protagonistas de la película. Son los siguientes: El fuego (Il fuoco, Giovanni Pastrone, Italia, 1916) (un pintor desconocido está impresionado y obsesionado con conocer a una famosa poetisa, casada, e intentar deslumbrarla, ya que considera que no tiene el talento necesario para poder pintarla; es una película recuperada y restaurada por el Museo Nacional del Cine de Turín).- historia con bastantes puntos en común con la película que nos ocupa: Mario, un pintor desconocido, está obsesionado con conocer a una famosa poetisa a la que no es capaz de pintar. La mujer convencerá al pintor de que abandone a su madre con la que vive y que vaya a vivir con ella en su mansión. Con su amada, encuentra inspiración y alcanza fama con sus obras. Un día, la mujer recibe un telegrama informándole del regreso de su esposo, y decide alejarse de su amante. Una semana (One Week, Edward F. Cline y Buster Keaton, EE. UU., 1920).- Una pareja de recién casados intenta construir una casa con un kit prefabricado, sin saber que un rival saboteó la numeración de los componentes del kit. The Scarecrow (Edward F. Cline y Buster Keaton, EE. UU., 1920).- Dos granjeros inventivos compiten por la mano de la misma chica. En los hipervínculos es posible visualizar las películas íntegramente y en éste, la película de la que hablamos desde el inicio. Que ustedes pasen una estupenda velada y unas maravillosas vacaciones navideñas. Hasta el año que viene. Alfonso Jesús Población Sáez

Lunes, 02 de Diciembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

32. 145. Impresentable más que invisible

No siempre las películas en las que se mencionan las matemáticas merecen demasiado la pena. Pero también tenemos que mencionarlas. Ficha Técnica: Título: Una señal invisible. Título Original: An Invisible Sign. Nacionalidad: EE. UU., 2010. Dirección: Marilyn Agrelo. Guion: Pamela Falk y Michael Ellis, basada en el libro de Aimee Bender. Fotografía: Lisa Rinzler, en Color. Montaje: Sabine Hoffman. Música: Andrew Hollander. Duración: 96 min. Ficha artística: Intérpretes: Jessica Alba (Mona Gray), Chris Messina (Ben Smith), Sonia Braga (Madre), John Shea (Papá), J.K. Simmons (Sr. Jones), Sophie Nyweide (Lisa Venus), Bailee Madison (Mona joven), Marylouise Burke (Srta. Gelband), Ashlie Atkinson (Tía de Lisa), Crystal Bock (Panida Saleswoman), Mackenzie Milone (Ann DiGanno), Ian Colletti (Danny O'Mazzi), Jake Siciliano (Elmer Gravlaki), Stephanie DeBolt (Ellen), Joanna Adler (Madre de Lisa), Donovan Fowler (Levan Beeze), Emerald-Angel Young (Rita Williams), Daniel Pearce (Papá de Danny), Sharon Washington (Madre de Levan). Sinopsis: Mona Gray es una joven solitaria de 20 años sobre la que ha pesado el sufrimiento de su padre que enfermó mentalmente mientras ambos corrían. A ambos les apasionaban las matemáticas (de hecho, su padre era matemático) y el atletismo (su padre también obtuvo algunos premios en carreras). Mona deseaba con todas sus fuerzas que su padre se recuperara, y fue haciendo pequeños sacrificios (dejar de hacer cosas que la gustaban) pensando que quizá eso sirviera para algo. Dejó casi todo, salvo las matemáticas, carrera que comenzó a estudiar pero que no acabó. Un día su madre, tratando de que se dedique a algo, comenta que es profesora y una escuela la contrata. En un aula con niños con algunos trastornos emocionales, piensa que las matemáticas pueden servir a sus alumnos a superar sus propias crisis. Matemáticas elementales no; lo anterior Aunque a partir del argumento, la cosa parece que podría tener algún interés, lo cierto es que a medida que transcurre el argumento, éste va desquiciándose a marchas forzadas. Para empezar, la actriz elegida para el papel principal, Jessica Alba, no muestra un solo momento en el que parezca creíble lo que pretende interpretar, es más, parece que nada va con ella y que se ha metido por equivocación en otra película (en versión original mejora algo, pero no demasiado). Mucho mejor la niña que interpreta el mismo papel de pequeña. Por otro lado, cuando aparece algún elemento relacionado con las matemáticas, es de simple decorado, números por aquí y por allá, sin sentido matemático, sólo como tranmisores de sensaciones. Por ejemplo, cuando Mona se pone nerviosa o algo la intranquiliza (bastante frecuentemente, por cierto), golpea lo que tenga a mano y piensa en números. Eso la tranquiliza en base a este razonamiento: “Cada golpe era un número y cada número me mantenía a salvo. Sin ellos, estaría sola. Los números eran seguros, fiables, perfectos”. Siendo niña, quiere pensar que si hace algo un número determinado de veces, o descubre un número de hojas que coincida con el nombre de su padre, o ve números pares o impares, etc., su padre mejorará. En estas dos imágenes, fórmulas mostradas, pero sin relación con nada de lo que quiere decir: Su profesor de matemáticas, que dejó la docencia para poner una ferretería, lleva colgados del cuello números de cera que él mismo fabrica. Cuanto más altos son, más “animado” es su estado de ánimo, y cuanto más bajo, peor. La niña hace diagramas de barras con los estados de ánimo del Sr. Jones. En el eje de abscisas observamos que lo realiza por días, estando con mejor ánimo los domingos (es vecino de Mona, así que lo ve cada día), miércoles y viernes, y cuando peor los lunes (se supone que por tener que trabajar, así que está claro que las clases no le gustan demasiado). Mona comenta que ella era la única que sabía porque dejó la enseñanza: para intentar aumentar sus números. Posteriormente nos enteraremos que el día que su estado de ánimo llegó a 42, se encontró tan inmensamente feliz, que pensó que ya no era necesario continuar con esta práctica (cuando conoció a una mujer que llenaba su vida). Hay dos momentos en los que se nos sugiere que Mona es muy buena con los números: cuando su padre la ve leer por su cuenta un libro de pre-cálculo, y cuando en clase es la única que responde al profesor el número que continúa la serie que tiene escrita en la pizarra: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …. En efecto, es la sucesión de Fibonacci (mal descrita, porque falta un 1 al inicio). Una vez que se pone al frente de una clase, ni los niños de primero ni de segundo la hacen el menor caso, sólo juegan, tiran papeles, ni se dan cuenta que se ha molestado en cambiar la decoración de la clase (la anterior profesora de matemáticas la tenía llena de posters de revoluciones de países latinoamericanos; de hecho, dejó la docencia para irse a Paraguay de “revolucionaria”, comenta la singular directora del centro), ella no sabe qué hacer. Bastante desesperada, aparece la clase de tercero (se supone que de primaria por el aspecto de los niños, aunque no les enseña absolutamente nada en toda la película, luego diremos por qué) y los niños entran al aula alucinados por la decoración que se encuentran, llena de números. Para hacer las presentaciones de los niños, se le ocurre la idea de que digan su nombre y su número favorito. En ese momento un niño le dispara a otro un papel con una goma, ante lo que la nueva maestra lo castiga poniéndolo de cara a la pared (vamos que la pedagogía norteamericana parece no haber cambiado en nada con el tiempo). Entonces descubre que estos niños tienen sus “peculiaridades” (además del inquieto que no para quieto que tenemos frente a la pared, tenemos una niña que se hace pis cuando algo la incomoda, otra niña pesada que no hace más que quejarse por todo, otra con la madre en fase terminal por un cáncer, otra con padres en proceso de divorcio, etc.). Por cierto, el número de niños en el aula es de unos 12, no la ratio que se estila por aquí. Después de representar una “ecuación humana” (cada niño hace el número que más le gusta, y otro el signo de suma; así componen la dificilísima expresión 1 + 7 = 8, aunque en realidad se olvidan del igual y lo que muestran es 1 + 7 8). Cuando terminan, una niña la dice que qué van a hacer después, y Mona improvisa (en toda la película nunca sabe que hay que hacer, como dije antes, pero no sólo en clase, tampoco en su vida) mandándoles como tarea que busquen números en la Naturaleza y cada viernes un niño comenta lo que ha pensado. Llamaran a esa actividad Números y Materiales. Luego la maestra ni siquiera recuerda que lo ha mandado; son los niños los que se lo recuerdan. El travieso le dice entonces que cómo ha llegado a ser profesora si nunca se acuerda de nada, y ella lo manda automáticamente a la esquina a mirar a la pared, lo que no le resulta nada traumático, sino que le encanta (no me extraña, con tal maestra). Después su primera alumna voluntaria, Lisa Venus, explica el cero (que ha representado con una vía (una cánula de su madre enferma) sobre su cabeza. Y explica que cualquier número multiplicado por cero es cero, que 127 + 0 es 127, que un billón más cero es un billón, etc. El único momento que me ha parecido “aprovechable” es cuando explica a los niños cómo utilizar los signos de mayor y menor que. Les indica que imaginen que es una boca, y por tanto siempre quiere engullir la cantidad mayor (vemos en la imagen para ilustrarlo que 179 < 255). Después pregunta cómo habría que poner el signo entre 5556 y 4755. Con la idea de la boca que siempre quiere comerse la cantidad mayor, los niños lo entienden a la primera. Después se le vuelve a ir la clase de las manos porque los niños comienzan a aplicar esos signos para valorar si es mayor o menor la guerra, la enfermedad, un accidente, el cáncer, etc., y comienzan a pegarse entre las dos niñas con más problemas de conducta. Pero la cosa va disparatándose por momentos: a la maestra se le ocurre colocar un hacha en clase como ejemplo del número siete, y los niños un día que se alteran la cogen, amenazando con ella a sus compañeros, … y acaba clavándosela accidentalmente a la maestra en la pierna. Entremedias, el profesor de Ciencias se enrolla con ella, después le ofrecen demandar al centro por lo del hacha a pesar de ser ella la que la llevó al aula (no olvidemos que ni siquiera tenía finalizada la carrera), en fin, todo una completa ñoñería como quizá vayan deduciendo. No me parece demasiado acertado el elegir aspectos graves de la vida (la enfermedad, los problemas infantiles, etc.) para tratar de dar un mínimo de credibilidad al espectador sobre los comportamientos ridículos de los protagonistas, o para sacar obviedades como que “la vida es más complicada que las matemáticas”, ni frases como que “el todo es mayor que la suma de las partes” (ya saben, de la Metafísica de Aristóteles, el principio general de la holística, pero matemáticamente es bastante discutible; es decir, en el colmo del despropósito nos mezclan, al estilo magufo, filosofía, con matemáticas, con, ufff, si la ven, avisados quedan). Al acabar, Mona le cuenta a Lisa una historia: Había 122 ranas en un estanque, y 57 en otro. ¿Cuántas ranas había en total? La niña (recordemos que es la de la madre enferma terminal, la única salvable de toda la película), sentencia que no es una buena historia, y que son 179 ranas. Entonces le pregunta si no conoce una historia mejor, a ser posible en que aparezca un 3 y un pirata, a lo que la maestra (ya con el título obtenido) dice que conoce una. Entonces la cámara se eleve por encima de ellas y nos muestra la última imagen que he rescatado. El tráiler de la película, en versión original, puede verse en este enlace. Con ver estos dos minutos, y leer lo que aquí termino, les será suficiente. La escritora en la que se basa la novela, Aimee Bender, es una afamada y premiada novelista y autora de cuentos de carácter surrealista. Su última novela es la única que yo sepa, que se ha traducido y editado en nuestro país, La insólita amargura del pastel de limón, sobre una niña que descubre que puede adivinar los sentimientos de quien cocina, siendo comer su arma secreta para conocer mejor a los demás. Escritura creativa e imaginativa, que no dudo de interés. Confío que la película simplemente no haya sabido captar la esencia de sus trabajos. Alfonso Jesús Población Sáez

Lunes, 04 de Noviembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

33. 144. Hasta Tony Stark ha aprendido matemáticas

Considerada por sus fans la mejor película Marvel hasta la fecha, e incluso para algunos la mejor de la historia, recurre a las matemáticas y la física para justificar su (¿novedoso?) argumento. Adelanto que no soy muy fan del universo Marvel, y en su momento (de más joven) a lo más leí algún tebeo de Spiderman de la editorial Vértice. Eso sí, el tener un chaval de doce años ha provocado que me haya tragado creo que todas las películas estrenadas hasta la fecha (en pantalla pequeña por supuesto; bastante tengo ya con pagarle la entrada a él cuando va con sus amigos al cine para ese tipo de películas). El caso es que fue al cine a ver Vengadores: Endgame el viernes de su estreno mundial (de la que salió encantado, por cierto, y con la ilusión de que yo la viera). Tras algo de resistencia (no mucha la verdad: cuanto antes se pase por lo inevitable, mejor), a finales del verano nos pusimos a verla en DVD. Lamentablemente la tuvimos que ver de tres veces (dura casi tres horas) porque al niño le empieza a molestar que el padre se duerma durante el visionado de “las películas que él elige” (será la edad; a veces también me sucede en las que elijo yo). Bueno pues, mira tú por donde, en una escena, como hace frecuentemente el cine, se recurre a las matemáticas y la física para dar un barniz de verosimilitud a algo completamente descabellado (será por aquello de que como tampoco las entiende nadie, pues cuela). Empecemos con los datos técnicos: Ficha Técnica: Título: Vengadores: Endgame. Título Original: Avengers: Endgame. Nacionalidad: EE.  UU., 2019. Dirección: Anthony Russo y Joe Russo. Guion: Christopher Markus y Stephen McFeely, basado en los comics de Stan Lee, Jack Kirby y Jim Starlin. Fotografía: Trent Opaloch, en Color. Montaje: Jeffrey Ford y Matthew Schmidt. Música: Alan Silvestri. Duración: 181 min. Ficha artística: Intérpretes: Robert Downey Jr. (Tony Stark / Iron Man), Chris Evans (Steve Rogers / Capitán América), Mark Ruffalo (Bruce Banner / Hulk), Chris Hemsworth (Thor), Scarlett Johansson (Natasha Romanoff / Viuda Negra), Jeremy Renner (Clint Barton / Ojo de halcón), Don Cheadle (James Rhodes / Máquina de guerra), Paul Rudd (Scott Lang / Ant-Man), Benedict Cumberbatch           (Doctor Extraño), Chadwick Boseman (T'Challa / Pantera Negra), Brie Larson (Carol Danvers / Capitana Marvel), Tom Holland   (Peter Parker / Spider-Man), Karen Gillan (Nebula), Zoe Saldana (Gamora), Evangeline Lilly (Hope Van Dyne / Avispa), Rene Russo (Frigga), Elizabeth Olsen (Wanda Maximoff / Bruja Escarlata), Natalie Portman (Jane Foster), Marisa Tomei (Tía May), Angela Bassett (Ramonda), Michael Douglas (Hank Pym), Michelle Pfeiffer (Janet Van Dyne), William Hurt (Secretario de Estado Thaddeus Ross), Gwyneth Paltrow (Pepper Potts), Robert Redford (Alexander Pierce), Josh Brolin (Thanos), Chris Pratt (Peter Quill / Star-Lord), Samuel L. Jackson (Nick Fury). Sinopsis: Después de los devastadores sucesos ocurridos en Vengadores: Infinity War, el universo se encuentra en ruina total. Con ayuda de los aliados supervivientes, los Vengadores intentarán revertir el caos provocado por Thanos con la destrucción de las gemas del infinito y así restaurar el orden del Universo. Referencias cinematográficas y literarias Desde luego la solución encontrada para lograrlo no se puede decir que sea demasiado original: viajar en el tiempo, en este caso retroceder en él hasta el momento en que las gemas aún eran una realidad. De ello se encargará el superhéroe correspondiente. Los propios guionistas se percatan de que esto ya está bastante manido en el cine (por supuesto, los jóvenes que van a ver la película no tienen ni idea del asunto y aunque la tuvieran les da lo mismo). Sin embargo, por si hubiera algún despistado por la sala (o algún adulto acompañante que hubiera visto o leído algo del tema), intentan dar una explicación “novedosa y científica”, que comentaremos en el siguiente párrafo. Se permiten el lujo de cachondearse incluso (lo mencionan explícitamente) de películas basadas en los viajes en el tiempo como la saga de Regreso al futuro (Back to the future, Robert Zemeckis, EE. UU. 1985): ¿Me estás diciendo en serio que tu plan para salvar el Universo se basa en Regreso al Futuro? Posteriormente, califican la idea de esta película como “montón de mierda” (textual), y sin embargo cuando Ojo de Halcón prueba la solución que ha puesto en práctica Hulk (no olvidemos que Bruce Banner es un científico), “aterriza” en un granero, lo mismo que Marty McFly precisamente en una de las películas de Regreso al Futuro. Uno de los “escasos” (para mi) alicientes de la película consiste en descubrir las innumerables referencias que se dan a otras películas. Citaré sólo algunas porque hay un montón. Algunas son citadas explícitamente por los Vengadores cuando intentan resolver el problema del viaje en el tiempo mediante la opción de Hulk: La saga Star Trek, el mogollón de referencias cinematográficas al relato La máquina del tiempo de H. G. Wells, de la cual yo me quedo (Ay, ¡qué mayor me estoy haciendo! En realidad, soy de la misma quinta que Tony Stark/Robert Downey Jr.) con El tiempo en sus manos (The Time Machine, George Pal, EE. UU., 1960). Pero es que se citan expresamente (lástima que varias no se han doblado al castellano con sus títulos de las versiones españolas; esto se pierde en el doblaje porque en la versión original, el espectador las reconoce inmediatamente; bueno, el espectador freakie yanqui, porque todas son norteamericanas/anglosajonas) Los pasajeros del tiempo (Time After Time, Nicholas Meyer, EE. UU., 1979), En algún lugar del tiempo (Somewhere in Time, Jeannot Szwarc, EE. UU., 1980), Terminator (The Terminator, James Cameron, EE. UU., 1984), la serie de televisión A través del tiempo (Quantum Leap, creada por Donald P. Bellisario, EE. UU., 1989 – 1993), Las alucinantes aventuras de Bill y Ted (Bill & Ted's Excellent Adventure, Stephen Herek, EE. UU., 1989), Policía en el tiempo (Timecop, Peter Hyams, EE. UU., 1994), Una grieta en el tiempo (A Wrinkle in Time, John Kent Harrison, Canadá, 2003) (reciente versión para cine: Un pliegue en el tiempo (A Wrinkle in Time, Ava DuVernay, EE. UU., 2018), Jacuzzi al pasado (Hot Tub Time Machine, Steve Pink, EE. UU., 2010). Se ve que a los Vengadores les mola el cine un montón. Incluso hay una cita, que no se sabe si es pura equivocación (no creo), o un guiño a que el que lo dice no está muy puesto en esto del cine (idéntico a como hace Woody Allen en Granujas de medio pelo (Small Time Crooks, Woody Allen, EE. UU., 2000) cuando hace a los protagonistas confundir La isla del tesoro con El tesoro de Sierra Madre), citando Jungla de cristal (Die Hard, John McTiernan, EE. UU., 1988) como ejemplo de viaje en el tiempo (todo el mundo que la haya visto sabe que en ella no hay nada de viajes en el tiempo). Sin embargo, Bruce Willis, su popular protagonista, ha participado en varias películas de viajes en el tiempo (Doce monos (Twelve Monkeys, Terry Gilliam, EE. UU., 1995); The Kid (El chico), Jon Turteltaub, EE. UU., 2000; Looper (Rian Johnson, Reino Unido/China, 2012). En definitiva, que ha oído cohetes, pero no sabe dónde. Entre las referencias menos directas (hay montones), señalemos un par de ellas: el momento en el que Ant-Man propone a Tony Stark un viaje en el tiempo empleando la expresión Time Heist (que obviamente no apreciamos sino vemos la versión original en inglés). Time Heist es el título de uno de los episodios de la octava temporada de la serie Dr. Who (de todas las versiones hablamos de la británica creada por Sydney Newman 2005), en la que la actriz Karen Gillan (la que hace aquí del personaje de Nebula) participa en varios episodios. Otra es en la escena de la batalla en Nueva York, con Tony Stark golpeado por la puerta que abre Hulk y las gafas de sol que lleva puestas Thor. Se trata de un homenaje/calco al momento en que Marty McFly trata de recuperar el almanaque deportivo en Regreso al futuro II (Back to the Future Part II, Robert Zemeckis, EE. UU., 1989). Matemáticas, Física, … Pero claro, aunque tengamos dos científicos, el puñetero amo es Tony Stark / Iron Man, así que será él (reticente al principio) el que hallará un procedimiento para regresar al pasado de un modo “muchísimo más sofisticado” que el pedestre de Bruce Banner /Hulk (la película hace bastante guasa a costa del pobre Ant-Man y sus incursiones temporales). La solución está en la mecánica cuántica y …, la banda de Moebius. Vayamos a la escena. Stark está pensando, siendo ayudado por su sofisticado ordenador que le resuelve y presenta en 3D todo lo que le indique. Hacia el minuto 37:29 Tony Stark: He tenido una leve inspiración. Me gustaría confirmarla. A ver. Una última simulación antes de dejarlo por esta noche. Esta vez con la forma de una cinta de Moebius. Invertida, por favor. Máquina: Procesando … Stark: Bien, dame el valor propio de esa partícula factorizando la descomposición espectral. Te ocupará un segundo. Máquina: Un momento … Stark: Y no te preocupes si no sale bien. Sólo intento … Máquina: Modelo renderizado. Y aparece la imagen que vemos a la derecha. Sobre esto debemos hacer varios comentarios. El primero, como tantas otras veces, sobre la traducción al castellano. He puesto en negrita en el diálogo anterior (bueno, monólogo, salvo que consideremos la máquina como ser inteligente) lo que tiene que ver con las matemáticas. En la frase, Bien, dame el valor propio de esa partícula factorizando la descomposición espectral, aunque entendemos lo que significa, en la versión original lo que dice es esto: Give me that eigenvalue. That, particle factoring, and spectral decomp. Disculpen si me equivoco, pero para mí eso quiere decir, Dame ese valor propio. Eso, la factorización de partículas y la descomposición espectral. Entiendo por descomposición espectral (en el contexto de valores propios del álgebra lineal elemental) dar el espectro (el conjunto de los valores propios) de un operador (una transformación, una aplicación lineal, lo que se esté manejando, en este caso, las nano partículas de la mecánica cuántica). Así que lo que dice Tony Stark es que le factorice el conjunto de partículas y le dé la descomposición espectral final del conjunto. Aunque parezca que le está pidiendo dos veces la misma cosa, no es así, ya que los valores propios pueden ser de multiplicidad múltiple, y eso se refleja en la descomposición espectral. Por ejemplo, si un operador está en un espacio de dimensión cuatro (teniendo por tanto asociada una matriz 4 x 4), con tres autovalores λ1, λ2, λ3, su descomposición espectral puede ser (λ1)2λ2λ3, o λ1(λ2)2λ3, o λ1λ2(λ3)2. La traducción al español dice que le dé la factorización (o sea lo que acabamos de explicar), pero lo une al “valor propio de una partícula”, y en conjunto es lo que no es correcto, al dar la impresión de que está trabajando con una única partícula, y obviamente, el viaje en el tiempo no parece cuestión de una única partícula. Por otro lado, está la elección de una banda de Moebius. Como todos deben saber, es la superficie cerrada de una única cara más sencilla que existe no orientable (no voy a volver a repetir como se construye). Tony Stark es un tipo inteligente, un genio tal y como lo pintan los comics originales y la propia saga cinematográfica. En el viaje en el tiempo que plantea la película, la realidad se escinde en varios universos paralelos, cada uno con su propia evolución temporal. Elige entonces la banda de Moebius como analogía a esa situación, ya que en esa banda podemos colocar a dos personas a la vez en un mismo punto, una encima de pie y otra boca abajo, viviendo dos situaciones distintas, pero desde “el mismo lugar”. Igual podríamos imaginarlo en términos temporales, vivir dos situaciones distintas, que ocurren a la vez, en el mismo lugar. Pero como digo, no es más que una analogía. Querer utilizar luego el objeto físico cinta de Moebius para “retroceder” a otro tiempo gracias a las nano partículas de la mecánica cuántica (algo así como los llamados hace años taquiones, partículas imaginarias de la antimateria que podrían volver al pasado a ocupar el lugar de sus homólogos en la materia real), es lo que no parece tener ningún sentido. Es decir, la película trata de dotar de verosimilitud las cosas, uniendo varios conceptos que individualmente son coherentes, pero no en conjunto. Además, Stark indica que quiere una banda de Moebius “invertida” (la que aparece en imagen es la usual). Habría que definir mejor que se entiende por invertida, porque hay diferentes posibilidades. Si lo que se pretende es, pensemos en un vaso lleno de agua, cambiar el interior por el exterior, cayéndose todo el agua fuera, al hacerlo en una banda de Moebius, no pasa gran cosa, ya que se queda como está desde el principio. También se puede pensar en hacer la imagen especular. Al construir una banda de Moebius, se efectúa un medio giro de la cinta, que puede ser en sentido horario o en sentido antihorario. Una tira de Moebius en el sentido de las agujas del reloj y una tira de Moebius en el sentido contrario a las agujas del reloj son imágenes especulares entre sí. Son como un par de guantes, uno es diestro y otro zurdo, iguales, pero no idénticos. Si construyéramos moléculas químicas con forma de banda de Moebius tendríamos moléculas zurdas (L) y diestras (D) con propiedades diferentes. Por ejemplo, el L-aspartamo sabe dulce mientras que el D-aspartamo es insípido. Finalmente podría referirse a un giro al revés. En el caso de la banda de Moebius daríamos con la conocida como cinta de Moebius sudanesa. Como vemos en la imagen, la diferencia con la banda de Moebius usual es que el círculo central que tiene la banda, en ésta se va al borde. ¿Podría ser esta construcción la que quiere Stark? Claramente no, a tenor de lo que muestra su súper-ordenador y lo conforme que él se queda. Además de que cuando dice invertida, simplemente la da la vuelta. Eso no es, amigo Stark, invertir; es un simple giro. Respecto al apartado físico del viaje en el tiempo, desde que Einstein formulara su teoría de la relatividad y Hermann Minkowski propusiera una métrica en la que esto es posible (es decir, hablamos de principios del siglo XX), todo parece posible. Deberíamos hacer la pequeña observación de que teóricamente eso se concibe viajando a la velocidad de la luz. Y en el hipotético caso de hacerlo, el “regreso” es algo más que complicado, incluso teóricamente. Aquí nos topamos, por ejemplo, con la célebre paradoja del abuelo: si retrocediste en el tiempo y mataste a tu abuelo cuando era joven, entonces nunca podrías nacer; pero si no naciste, ¿cómo volviste y lo mataste? Entonces aparece la mecánica cuántica. En mecánica cuántica, las partículas atómicas se parecen más a ondas de probabilidad indistintas. Por ejemplo, nunca se puede saber exactamente dónde está una partícula y en qué dirección se mueve, solo se sabe que hay una cierta probabilidad de que esté en un lugar determinado. El físico británico David Deutsch, que se menciona en la película, combinó esta idea con la teoría de los universos paralelos, demostrando que la paradoja del abuelo puede desaparecer si expresa todo probabilísticamente, porque al igual que las partículas, la persona que retrocede en el tiempo solo tiene una cierta probabilidad de matar a su abuelo, rompiendo el ciclo de causalidad. Aunque suene “raro”, y todo lo que se menciona en la película parece completamente fantasía, en ocasiones, los artículos y trabajos en mecánica cuántica son mucho más extraños (para que luego digan de los matemáticos; nuestra ventaja es que pocas veces descendemos del mundo de las ideas). Aprovechando que el próximo 21 de octubre se celebra el día de Martin Gardner en todo el mundo (nació en ese día de 1914), relacionado con el tema les recomiendo la lectura del primer capítulo de Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas (Editorial Labor, Barcelona, 1988). En él descubrirán que esto que plantea Vengadores: Endgame de los universos múltiples es tan moderno como de ¡¡1934!! (concretamente del cuento Branches of Time, de David R. Daniels). Leer a Gardner siempre es una maravilla, pero es que en diez páginas les ilustra sobre todo lo habido (y como se ve, por haber) acerca de los viajes en el tiempo y sus posibilidades.  También les recuerdo que en la reseña 95 de esta misma sección, Geometría para desaparecer, echábamos un vistazo a un cortometraje sobre el viaje a otra dimensión, y también (lo acabo de ver, porque no lo recordaba) recurrí al maestro Gardner (¿hay algo de lo que no hubiera ya hablado Gardner?). Alfonso Jesús Población Sáez

Jueves, 03 de Octubre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

34. 143. SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO DE 2019

Como siempre, atacando por la espalda, cuando empezamos a disfrutar de las vacaciones, aparece septiembre y el nuevo curso. En fin, que todo cada vez pasa más deprisa. No quiero enrollarme mucho, que la reseña ya es de por si extensa (gracias Nerea por tu comprensión, sobre todo por la dificultad de repasar los símbolos matemáticos con la dificultad añadida de los editores en la red). Simplemente felicitar a todos los participantes e indicar que es el primer año de los quince del concurso que dos de ellos no han dado la película-enigma (uno por confusión con otra con ciertas similitudes, y otro, supongo, porque no ha tenido demasiado tiempo para meterse con ello). Ciertamente intenté que las cuestiones matemáticas fueran más asequibles, y las pistas sobre la película algo más difusas (a lo mejor me pasé, pero es que es, al menos para mí, un título muy conocido). Tenía ganas además de poner algún título de Fritz Lang, uno de mis realizadores favoritos (tengo muchos, pero Lang fue un crack, ya desde la etapa muda). No es su mejor película, obviamente, pero fue la que más me cuadró para esta propuesta “para todos los públicos” (y en este caso me refiero desde el punto de vista de aceptación por la mayor parte de todos; no voy a meter en estas cosas a Bergman o Tarkovski, como cualquiera puede comprender). Cuestiones Matemáticas M – 1.- Si nos dijeran que la suma de un número de cuatro dígitos y sus cuatro dígitos resulta ser 2019. ¿De qué número de cuatro dígitos hablamos? Llamemos n a dicho número. Es obvio que n < 2019. Entonces la cifra de unidad de millar será 1 o 2, y la suma de las tres otras cifras (unidades, decenas y centenas) es como máximo 27 (porque 9 x 3 = 27 en el caso extremo). Por tanto, la suma de los dígitos del número que buscamos es a lo sumo 29, y entonces n ≥ 1990. Llamemos S a la suma de n y los dígitos que lo forman, y sea d un dígito cualquiera. Si n = 2010 + d, entonces S = 2010 + 2 + 1 + 2d; cuando S = 2019, entonces d = 3, posible solución n = 2013. Si n = 2000 + d, entonces S = 2000 + 2 + 2d, con lo que S sería un número par, y nunca podría ser 2019, que es impar. Si n = 1990 + d, entonces S = 2009 + 2d. Cuando S = 2019, d = 5, posible solución. Entonces n = 1995. Si n = 1980 + d, entonces S = 1998 + 2d, y como en el primer caso, S sería par, con lo que nunca podría ser 2019. Si n = 1970 + d, entonces S = 1987 + 2d. Para que S fuera 2019, entonces d debería ser 16, lo cual es absurdo porque d es un dígito. En principio, hay dos posibles soluciones. Después de resolver la siguiente cuestión, la M – 2, deduciremos cuál de los dos valores es el buscado. M – 2.- La diferencia de años entre el número anterior y el año de estreno de la película tiene el mismo número de divisores que el propio año de estreno de la película. ¿Serán suficientes esos datos para determinar dicho año de estreno? Dar un razonamiento a favor o en contra. Adelantándonos un poco, y utilizando información que posteriormente averiguaremos, como el año de estreno de la película es 1955 = 5 • 17 • 23, el número de divisores es 8 de acuerdo con una conocida expresión (si n = p1d1 • p2d2 • …. • prdr, entonces el número de divisores de n es el producto div(n) = (d1 + 1) (d2 + 1) …. (dr + 1) De las dos posibles soluciones del apartado anterior M – 1, como 1995 – 1955 = 40 = 23•5 (que tiene 8 divisores también ya que son (3+1) (1+1), de acuerdo con la fórmula anterior), pero 2013 – 1955 = 58 = 2 • 29, tiene sólo  (1+1) (1+1) = 4 divisores. Por tanto, la solución de M – 1 es 1995. Sin ningún otro dato adicional, no es posible determinar el año x de estreno si no lo supiéramos, ya que, según el enunciado, lo que debe cumplirse es que div(1995 – x) = div(x), y eso lo cumplen un montón de valores de x: 1955, 1957, 1961, 1965, 1969, 1971, 1975, 1981, 1985, 1993. En definitiva, que harían falta más datos para determinar el año. M – 3.- La acción tiene lugar en el siglo de las luces, en un año tal que al ser dividido por 2 y por 4 da resto 1, y al hacerlo por 3 y por 5 da resto 2. ¿A qué año nos referimos? El siglo de las luces es el siglo XVIII, de modo que buscamos un valor entre 1701 y 1800. Al tener los restos y los divisores, parece un claro ejemplo de utilización del conocido como teorema chino de los restos. Veamos si ese resultado nos lleva a la solución. Si n es el número que buscamos, los datos que nos dan son n ≡ 1 mod 2 n ≡ 1 mod 4 n ≡ 2 mod 3 n ≡ 2 mod 5 La primera condición nos indica que n = 2k + 1, para algún valor de k. Sustituyendo ese valor en la tercera condición, tenemos que 2k + 1 ≡ 2 mod 3 Simplificando llegamos a que 2k ≡ 1 mod 3. Para despejar k, basta con multiplicar la congruencia por un valor que nos dé coeficiente uno para k módulo 3. Eso se logra al multiplicar por 5, ya que 10 ≡ 1 mod 3. Eso nos lleva a que k ≡ 5 mod 3, y por tanto k es de la forma k =3t + 5, para algún valor de t. Sustituyendo k en la igualdad que teníamos de n, llegamos a que n = 2(3t + 5) + 1 = 6t + 11 Del mismo modo que en el paso anterior, sustituimos en la cuarta condición, teniendo que 6t + 11 ≡ 2 mod 5, es decir, 6t ≡ 1 mod 5. Multiplicando la ecuación por 6, se concluye que t ≡ 6 mod 5, es decir, que t = 5r + 6, para algún valor de r. Sustituyendo ese valor en la última expresión que habíamos deducido para n, se tiene que n = 6 (5r + 6) + 11 = 30 r + 47 Finalmente, empleando el segundo dato (que me lo he saltado por simple despiste), tendremos que 30 r + 47 ≡ 1 mod 4, o lo que es igual, 30 r ≡ - 46 mod 4, o análogamente, 2r ≡ 2 mod 4, o r ≡ 1 mod 4. De ahí, n = 30(4s + 1) + 47 = 120 s + 77 Para s = 14 encontramos el único valor entre 1701 y 1800, que resulta ser 1757. M – 4.- En un cierto día, la luna se ve con la sombra pasando a través de puntos diametralmente opuestos. Si el centro del arco circular que se está formando se encuentra en la circunferencia de la luna, determinar la proporción exacta de la luna que no está en la sombra. ¿Cuál es dicha proporción (en modo exacto)? Llamemos r al radio de la luna y C su centro. Sea R el radio del arco circular que forma la sombra y O el centro de dicho arco. Sean P y Q los puntos donde la sombra corta a la circunferencia de la luna. Sea x el área del triángulo POQ, y el área de la región entre PQ y el arco que pasa por P y Q centrado en O, y z el área de la región limitada entre los dos arcos (o sea el área de la sombra). Como PC = CQ = r, OP = OQ = R, y el ángulo POQ es de 90 grados (dado que PQ es un diámetro), entonces R = 2r, y por tanto, R = r. Entonces x + y = ¼ π R2 = ¼ π (r)2 = ½ π r2. También se observa que la suma de las superficies y y z es la mitad del área del círculo centrado en C, es decir, y + z = ½ π r2 Entonces x + y = y + z, y de ahí se sigue que x = z. Como x es igual al área del triángulo rectángulo POQ, entonces z = x = ½ (√2 r)2 = r2. El área de la región que no está en la sombra es igual al área del círculo completo centrado en C menos z: π r2 -  r2 = r2 (π - 1) Por tanto, la proporción exacta de la Luna que no está en sombra es . Si se desea en porcentaje, esa fracción es aproximadamente 0.6817…, es decir, un 68.17%. M – 5.- Los carruajes tardaban exactamente tres horas en ir y volver a la ciudad más próxima situada 30 millas al oeste. Llegando octubre, el recorrido se dilataba media hora más. Estimar en ese caso la velocidad del viento. A falta de más datos (tiempo de descanso en el destino, etc.), supondremos que el carruaje circula a velocidad uniforme. Entonces ésta será Vcarruaje = espacio/tiempo = 60/3 = 20 millas por hora. Llamemos w a la velocidad del viento. En uno de los dos trayectos (ida o vuelta), el carruaje circula a favor del viento, de manera que su velocidad será de 20 + w, mientras que en trayecto opuesto será de 20 – w. Entonces el tiempo que tarda en cada trayecto será en un caso , y en el otro , de modo que en todo el trayecto será + = 3 + ½ Resolviendo la ecuación tenemos que la velocidad del viento será w = ≈ 7.56 millas por hora. M – 6.- Si la forma de la suela del zapato (excluyendo el talón, que está más reforzado) sigue la ecuación 4x2 + y2 ≤ 4, con y ≥ 0, y el desgaste del material que conforma la suela se expresa en cada punto (x, y) por la función f(x, y) = 4x2 + y2 + 4x – 3y, determinar en qué punto exactamente se ha hecho el agujero, justificando el resultado. Si el desgaste de material viene dado por f(x, y), parece lógico pensar que el agujero se hará donde mayor desgaste de la suela se produzca (suela que viene dada por la semielipse positiva centrada en (0, 0) y de semiejes 1 y 2, respectivamente, ya que 4x2 + y2 ≤ 4, con y ≥ 0, es lo mismo que x2 + ≤ 1, con y ≥ 0 Por tanto, buscamos el máximo absoluto de la función desgaste, condicionado a la suela del zapato. Dicho máximo se alcanza con seguridad ya que la función de dos variables que describe el desgaste es continua (es polinómica) y la suela del zapato (la semielipse) es un conjunto cerrado (contiene el borde, es decir, los puntos frontera) y acotado (se puede incluir en un entorno de centro (0, 0) y radio 2.1, por ejemplo). En virtud del teorema de Weierstrass, la función desgaste alcanza con seguridad el máximo y el mínimo absolutos dentro de la semielipse. Utilizaremos para localizar el máximo absoluto el método de los multiplicadores de Lagrange. Definimos entonces la función auxiliar de Lagrange F(x, y) = 4x2 + y2 + 4x – 3y + λ(4x2 + y2 – 4) En primer lugar, veamos si los extremos relativos de f(x, y), son posibles candidatos a extremos absolutos. Como las derivadas parciales de f son, respectivamente, 8x + 4 y 2y – 3, el único extremo posible en R2 será (–1/2, 3/2). Como dicho punto se encuentra dentro de la suela del zapato (es decir, está en S, siendo S = ), es un posible candidato a extremo absoluto. Como seguramente el lector recuerde, para poder aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange, los puntos obtenidos deben ser regulares de S. Y desgraciadamente, pueden alcanzarse extremos en puntos no regulares (a los que no podemos, insisto, aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange). Así que, procedamos a localizar los puntos no regulares de S. Éstos son aquellos para los que el gradiente de la función g(x, y) = 4x2 + y2 – 4 no es máximo, es decir, el rango(∇g) < 1. Como ∇g(x, y) = (8x, 2y), el rango es nulo, si, y sólo si (x, y) = (0, 0). Y (0, 0)∈S, de modo que también es candidato a extremo. Aplicando la condición necesaria de extremo a F, obtenemos el sistema Con un poco de paciencia (despejando y sustituyendo) obtenemos como solución los puntos Ambos están en S, de modo que dos nuevos candidatos. Finalmente debemos considerar los puntos de la frontera y = 0 (los del borde de la elipse, son los anteriores). Estos son (1, 0), (–1, 0), y además aparece el (–1/2, 0), ya que al hacer y = 0, la función desgaste queda h(x) = 4x2 + 4x, y su derivada se anula en –1/2. Al verificarse el teorema de Weierstrass, basta con que evaluemos la función desgaste en todos esos candidatos a extremo. El valor mayor corresponderá al máximo absoluto, y el menor al mínimo absoluto. El primero es en el punto (1, 0) y el segundo en (–1/2, 3/2). Hubiera quedado más acorde con la película que saliera en el medio de la suela, pero el caso es que el máximo absoluto que resulta con estos datos es 8, que se alcanza en el punto (1, 0). M – 7.- Si imagináramos que el protagonista se encuentra en el punto A(0, 0) de un también imaginado plano coordenado, al reiniciar su camino se desplaza 1 unidad a la derecha, después r al norte, r2 a la izquierda, luego r3 al sur, r4 al este, r5 al norte, continuando con ese mismo patrón. Si lo hiciera indefinidamente, y siendo r un número positivo menor que 1, llegaría a un punto B(x, y). Demostrar que AB > 7/10. Denotemos por Pn = (xn, yn) el punto en el que se encuentra después de n movimientos. Así, tenemos que P0 = A = (0, 0), P1 = (1, 0), P2 = (1, r), P3 = (1 – r2, r), …. Es fácil comprobar que, para cada m ≥ 2, x2m-1 = x2m = 1 – r2 + r4 – …. + (–1)m–1 r2m–2 y2m = y2m+1 = r – r3 + r5 – …. + (–1)m–1 r2m–1 Utilizando la suma de los términos de una progresión geométrica, concluimos que Así, AB2 = x2 + y2 = , y como r < 1, M – 8.- ¿Cuántos? Tomando prestado el diagrama de uno de los concursantes, lo que buscamos en realidad es el valor de a + b + c. Tenemos los siguientes datos: Card(I) = 74, Card(A) = 17, Card(N) = 25, Card(I∩A∩N) = 4. Aplicando el principio de inclusión-exclusión, Card(I∪A∪N) = Card(I) + Card(A) + Card(N) – Card(I∩A) – Card(I∩N) – Card(A∩N) + Card(I∩A∩N). Entonces, despejando, se tiene que Card(I∩A) + Card(I∩N) + Card(A∩N) = Card(I) + Card(A) + Card(N) + Card(I∩A∩N) – Card(I∪A∪N) = 74 + 17 + 25 + 4 – 100 = 20. De acuerdo con el diagrama, (4 + a) + (4 + b) + (4 + c) = 20, luego a + b + c = 20 – 12 = 8. M – 9.- Calcular razonadamente el volumen de uno de estos objetos de altura h, sabiendo que se refuerza como vemos en la imagen con seis aros de hierro circulares, tres de ellos de diámetros distintos d1, d2 y d3 (d1 < d2 < d3). hasta la mitad; los otros tres repiten esos valores simétricamente, tal y como se observa en la imagen. El problema de modelización que pongo todos los años en el que el concursante debe “buscarse un poco la vida” aportando los datos que considere pertinentes para encontrar una solución práctica. Prácticamente todos los participantes han utilizado el cálculo integral para determinar el volumen de revolución de una parábola en la que previamente han colocado los valores d1, d2 y d3 que se indicaban. No incluyo las operaciones concretas por no alargar este texto. A todos les he dado la puntuación completa (salvo a los que simplemente dan un valor sin indicar como se obtenía, obviamente). M – 10.- ¿Qué barril se quedó sin comprar? El cliente pagó la misma cantidad (14 libras) por los de mejor calidad y por los de peor, y sabiendo que los primeros valen el doble que los segundos, eso significa que la suma de galones de los de mejor calidad es justamente la mitad que los de inferior. Se trata por tanto de agrupar los galones en dos grupos, uno con el doble de galones que el otro, dejando uno de ellos sin contabilizar. Si uno de esos grupos suma el doble del otro, eso significa que al menos uno de ellos debe sumar una cantidad par de galones. La suma de todos los barriles es 98 galones. Vayamos probando: 1.- Dejamos fuera el barril de 3 galones. El resto suma 95 galones. Hay que dividir 95 en tres partes, ya que una debe ser el doble de la otra. Eso no nos da números enteros, luego no es solución. 2.- Apartamos el barril de 13 galones. El resto suma 85 galones. Tampoco es divisible por 3. 3.- Quitamos el barril de 15 galones. El resto suma 83 galones. Tampoco es posible. 4.- Si eliminamos el de 17 galones, el resto pesa 81 galones. En un grupo por tanto debemos tener 27 galones y en el otro 54. Pero si intentamos sumar 27 galones con los datos de los barriles que tenemos, comprobamos que no es posible. 5.- Descartando el de 19 galones, nos quedarían 79 galones, que no es múltiplo de tres. 6.- Finalmente, apartando el de 31 galones, tendríamos 67 galones, que tampoco es divisible por tres. Por tanto, con esos datos no hay solución. ¿Y cómo puede ser? Pues porque el “listo” que esto escribe, con las prisas, cambió un barril: el de 3 galones, debería haber sido de 8 galones, y entonces, el cliente hubiera comprado los barriles de mejor vino de 13 y 15 galones a 0.50 libras el galón, y los de 8, 17 y 31 galones a 0.25 libras el galón, quedando por tanto sin vender el barril de 19 galones del que no sabríamos si era de vino de mayor o menor calidad. Mil disculpas. Ha habido participantes que lo han razonado perfectamente; al resto se les ha dado una puntuación proporcional al buen planteamiento que hayan realizado. M – 11.- A la entrada de la fiesta, una campana anunciaba con un toque la llegada de los invitados. Cuando llegó el primero, la campana sonó por primera vez. Cada vez que la campana sonó después, el número de invitados que llegaba eran dos más que los que habían llegado la vez que la campana sonó anteriormente. Si la campana tañó n veces, ¿cuántos invitados estuvieron en la fiesta? La cuestión es muy sencilla, a partir de una tabla como la siguiente: Veces que toca la campana    1          2          3          4          …        n Invitados que llegan               1          3          5          7          …        2n - 1 Por tanto, la suma total de invitados es la suma de la segunda fila, es decir, 1 + 3 + 5 + 7 + …. + 2n - 1 Utilizando la suma de los primeros sumandos de una progresión aritmética, se tiene que n = n2. M – 12.- Para juzgarlo, calcúlese la probabilidad de obtener en una mano de 7 cartas (las cinco del reparto inicial más 2 de cambio) cuatro reyes. Comparar con la probabilidad de obtener en las mismas condiciones únicamente tres reyes. Calcular ambas probabilidades es realmente sencillo. Utilizaremos como referencia la baraja francesa de 52 cartas (la que suelen utilizar las películas anglosajonas). Como ir sacando cuatro reyes de la baraja (sin reemplazar las cartas) responde a sucesos independientes, basta con multiplicar las sucesivas probabilidades de extraer un as, luego un segundo as, etc.; una vez obtenidos los cuatro, las restantes nos resultan indiferentes. Ahora bien, los ases pueden salir en cualquier momento de las siete extracciones (es decir, puede ser KKKKXXX, o XKXXKKK), de modo que hay que multiplicar la probabilidad por el número de sucesos posibles. Éstos serán = 35 Por tanto, p(4 reyes) = 35 ≈ 0.0001292824822…. En el caso de tres reyes, la probabilidad se calcula exactamente igual, con la diferencia de que, sacados tres reyes, después necesitamos que salga cualquier carta restante de la baraja, excepto el cuarto rey. Por tanto, p(3 reyes) = 35 ≈ 0.0058177117…., es decir, es mucho más probable, del orden de prácticamente 6 de cada 1000 partidas jugadas, mientras que la de los cuatro reyes, del orden de 1 de cada 10000 partidas. De modo que es bastante acertado concluir que hubo trampas, más aún teniendo en cuenta que su oponente había obtenido ¡¡cuatro reinas!! M – 13.- ¿Qué relación tiene con el emblema de la imagen? M – 14.- El emblema  divide al círculo en tres regiones. ¿Son iguales? ¿Podrían serlo? Atacamos en conjunto ambas cuestiones. Claramente el anillo circular de la película tiene marcada una Y, como indica la figura (es decir, si colocamos como centro O el punto desde el que parten los tres segmentos de la Y, los superiores están sobre las bisectrices del primer y segundo cuadrante, respectivamente). La primera parte de la cuestión M – 14, es inmediata: a simple vista se observa que los sectores circulares AOC y BOC (iguales) son mayores que el AOB. Pero como sabemos, en matemáticas las apreciaciones “a ojo” no son válidas, así que basta con argumentar que para que fueran iguales las regiones el círculo debería ser dividido por ángulos de 120º (porque es 360º entre 3), y el AOB es de 90º (los segmentos son perpendiculares: si OB es la bisectriz del primer cuadrante, el ángulo que forma con el eje de abscisas es de 45º). Entonces para que fueran iguales, deberíamos considerar ángulos (los tres) de 120º. Entonces la figura sería como la de la segunda imagen, que claramente no es la del anillo de la película. He tomado la circunferencia de radio unidad, de modo que el área del círculo sería 2π, y por tanto, cada parte sería de superficie 2π/3. Como ven no hace falta hacer ninguna integral, pero si la hacen, háganla en coordenadas polares que es mucho más rápida y sencilla su resolución. Respecto a la cuestión M – 13 , al tener una raíz cuadrada de dos en liza, lo primero que a uno le viene a la cabeza es involucrar una distancia, o si sus matemáticas son más elementales, la hipotenusa de un triángulo rectángulo (que es una distancia). Tampoco es muy complicado darse cuenta que el punto B, al ser el punto de intersección de la bisectriz del primer cuadrante (o sea, la recta y = x) y la circunferencia unidad (x2 + y2 = 1) tiene por coordenadas (,) (y si no nos percatamos, se resuelve el sistema). ¿Y qué es lo primero que a uno se le ocurre cuando tiene tres puntos A, B, C? Pues es obvio, calcular el área del triángulo. El triángulo ABC tiene por base (ya que es la distancia entre los puntos A(,) y B(,)), y por altura 1 + (la longitud de OC es obviamente 1, al ser el radio del círculo). Por tanto, el área del triángulo ABC (base por altura partido por dos) será: (1 + )  = Algún concursante (más sofisticado y perspicaz que yo), ha recordado que la cantidad dada es la razón o proporción de plata, y ha buscado el rectángulo de plata (aquel cuya proporción entre base y altura es ese valor) que contiene parte del emblema (no es muy complicado, basta darse cuenta del valor de la diagonal BC, por ejemplo). Lo destacable es que lo ha relacionado con el argumento de la película, ya que en ella se dice que las monedas que guardaba el pirata Barbarroja eran precisamente de plata y el medallón del esqueleto de Barbarroja también se dice que es de plata. Excelente observación, que debo reconocer como proponente, en la que nunca pensé, pero que ahí está. Por si fuera poco, otro concursante ha encontrado un curioso juego de palabras. El emblema de los Mohume es una Y (que en inglés se pronuncia “guay”, escribiéndola tal cual), y Why not es el nombre de la taberna del pueblo en la novela (Why también se pronuncia “guay”). M – 15.- El documento está doblado varias veces formando un cuadrilátero ABCD convexo e inscrito en el medallón (es decir sus cuatro vértices tocan la circunferencia que determina el medallón, como aparece en la imagen). Las diagonales AC y BD se cortan en el punto E. Sabiendo que AB = 39, AE = 45, AD = 60 y BC = 56, determinar la longitud de CD. NOTA: En efecto, las medidas de la imagen no están a escala (otro lapsus). No obstante, podemos hacer perfectamente el ejercicio. Empecemos por la semejanza de triángulos: los triángulos AEB y DEC son semejantes (tienen un vértice común y los ángulos en E son opuestos por un vértice). Por tanto, , es decir, (1) Por la misma razón, son semejantes AED y BEC, por lo que (2) De la primera y la tercera de estas fracciones, tenemos que , así que BE = 42. Por otra parte, el teorema de Ptolomeo afirma que AD • CB + AB • CD = BD • AC Sustituyendo los valores conocidos, tenemos que 60 • 56 + 39 • CD = (42 + ED) • (45 + EC)          (3) De (1), se tiene que CD = ED, y de la segunda igualdad de (2) que EC = ED. Entonces la igualdad (3) se transforma en 60 • 56 + 39 • ED = (42 + ED) • (45 + ED) Resolviendo la ecuación, se llega a que ED = 21 (la solución ED = - 75 obviamente la rechazamos), y de ahí, como CD = ED, tenemos que CD = ≈ 18.2. Cuestiones culturales y cinematográficas C – 1.- Es curioso que una película, en apariencia de aventuras, no se estrenara en España hasta pasados 27 años de su estreno internacional, y que además se hiciera por televisión, concretamente el domingo 6 de junio de 1982, por la segunda cadena de televisión española, a las 22:15, aunque se había programado para el sábado 6 de febrero de ese mismo año por la primera cadena, pero “sin ninguna explicación”, el ente público la cambió. En salas comerciales se pudo ver, como nos comentan los concursantes, en circuitos restringidos como salas de arte y ensayo, cine clubs o filmotecas. Así, en Madrid, el cine Bellas Artes la programó el 28 de agosto de 1987, en Sevilla el multicine Cristina la programó el 28 de mayo de 1988, y también el cine club Arquitectura el 15 de marzo de 1990. En Bilbao el 15 de noviembre de 2005 en el cine club FAS, uno de los más antiguos de España en activo, por cierto (seguramente el que más, pero habría que confirmarlo). También nos indican que en Vigo o Gijón se pasó por salas, pero sin prueba que lo demuestre, lo dejamos en el aire. En Valladolid, las salas Casablanca (aún en activo, especializadas en cine de autor) la programó el 7 de abril de 1988 (adjunto el anuncio de esa fecha del periódico El Norte de Castilla); posteriormente el viernes 11 de septiembre de 1988 la filmoteca de la Caja de Ahorros Popular también la pasa en un ciclo dedicado al realizador alemán. Curiosamente, el viernes 30 de agosto (a un día de finalizar el plazo de envío de las respuestas de este concurso) la Filmoteca Española la puso a las 18:00 en el Cine Doré, aunque allí la han programado más veces. C – 2.- Aunque los concursantes han hecho referencia al desplante del director alemán a Goebbles y su huida a Norteamérica, además de su ascendencia judía por parte de madre, y que en España el gobierno de Franco le tendría alguna animadversión, eso implicaría que ninguna película suya se hubiera estrenado por aquí, y eso no fue así. En este caso, nada que ver con la política. Ni a la productora (la Metro-Goldwyn-Mayer), ni al director, les gustó demasiado el producto final, por lo que no tenían demasiado interés en estrenarla en los EE. UU. Esto fue fruto de que al realizador se le impuso un guion, un formato en el que no estaba cómodo (el CinemaScope) y allá donde pudo fue modificando cosas durante el rodaje. Por ello, ni unos ni otros quedaron contentos. Finalmente se estrenó el 12 de mayo de 1955 en sesiones dobles y de cine infantil, sin ningún tipo de promoción, casi avergonzándose de proyectarla. Tampoco hicieron lo mínimo por distribuirla a otros países. En un viaje por Italia, el crítico y cineasta francés Luc Moullet la vio, y escribió una pequeña crítica en la prestigiosa Cahiers du Cinema (en el nº 62, para más detalles) calificándola de genial. Muy cerca de la redacción de la revista se encontraba el cine Mac-Mahon (en la homónima avenida), que se había especializado en estrenar películas que no hubieran llegado a Francia por circuito comercial, en versión original. Y en 1960 logran estrenarla publicitando el hecho como un gran triunfo. ¿Y cómo es posible que no gustara a los yanquis, siendo, porque lo es, una gran película? Hay que verla para descubrirlo, pero se trata de una película (y una novela) incómoda para lo que podríamos llamar, las mentalidades “políticamente correctas”. Nos han hecho a la idea de que a los niños se les debe mostrar un mundo bonito, perfecto, que ya tendrán tiempo de descubrir la realidad cuando crezcan. Hombre, no vamos a poner a los niños ante hechos salvajes o truculentos, eso está claro, pero tampoco podemos estirar el mito de los Reyes Magos al máximo, porque al final la decepción es tan mala como lo que pretendíamos reservar. Es una obra (novela y película) oscura, incómoda, sobre todo para los adultos, y eso, en 1955 costaba. Aunque de 1953 se estrenó Raíces Profundas (Shane, George Stevens, EE. UU.), con la que tiene no pocas similitudes, y sin embargo hasta la “oscarizaron”. Pero claro, no era lo mismo un western (para los que la mayoría no veía más allá de tiros y caballos) con un personaje íntegro hasta la médula, que la lejana costa inglesa con un protagonista vividor cínico, ambicioso y sin escrúpulos. C – 3.- El título original, Moonfleet, lugar inexistente en la realidad, es un compuesto de Moon (Luna) y Fleet (admite varios significados: el más evidente, Flota, pero también hace referencia a un estuario, una ría, una zona de marismas; y como verbo, ondear, ondular, rielar. Todas las acepciones cuadran, tal y como se indica en el párrafo que va a continuación de la novela), aunque el autor indica en la novela que “cuando era un niño pensaba que este lugar se llamaba Moonfleet porque en una noche tranquila, ya sea en verano o durante las heladas invernales, la luna brillaba muy intensamente en la laguna; pero luego aprendí que era la abreviatura de la "flota Mohune", de los Mohunes, una gran familia que una vez fueron los señores de todas estas partes”. C – 4.- Todos los concursantes han descrito que se asusta de una mano que sale de debajo de la tierra, de uñas muy largas, sucia y movimiento lento, tratando de asustar al niño. De un contrabandista en el contexto de la película, obviamente. Sin embargo, a lo que me refería con la cuestión era a quien concretamente pertenece la mano (). Fritz Lang tenía a gala, a modo de marca de fábrica, filmar su propia mano en sus películas. Esta es su mano (maquillada para la ocasión, claro; pensé que bastaba esa insinuación, para que los lectores lo dijeran, pero ya he visto que no). Así que sólo 5 puntos para todos en esta ocasión, excepto para uno que le doy 6 al darse cuenta de que la mano aparece exactamente en el “pinuto” 3:14, ja, ja, ja. C – 5.- Los diez puntos los alcanzan los que hayan indicado que los barriles de contrabando al subir la marea chocaban entre si flotando en la cripta que servía de escondite que se encontraba justamente bajo la iglesia (con esa intención se hizo la pregunta). El sonido se amplificaba a través de las cavidades, percibiéndose en la iglesia con cierto estruendo, que los lugareños atribuían al fantasma de Barbarroja (y obviamente difundido y amplificado por los propios contrabandistas, interesados en que se aceptara la explicación sobrenatural; vamos como algunos otros que hay por ahí que pretenden que creamos en …, bueno mejor me callo y que cada cual concluya). No obstante, los barriles son omnipresentes en toda la trama: el chiquillo se cae de un barrilete y gracias a eso descubre el medallón en el ataúd de Barbarroja, se utiliza medio barril para acceder al pozo donde se halla el diamante, en los barriles se guarda la preciada mercancía de contrabando. Los que hayan indicado alguna de éstas razones, más obvias, tienen cinco puntos. C – 6.- El papel encontrado dentro del medallón de Barbarroja describe varias citas bíblicas que el sacristán/sepulturero Felix Ratsey (buen conocedor de la Biblia) descubre (en la película) al instante que están mal citadas (el versículo no corresponde al texto). Este dato hace pensar a Jeremy Fox que el número incorrecto que sustituye al verdadero debe indicar algo. Tomando de cada cita la palabra que corresponde al número incorrecto (la secuencia es 10 - 6 - 15 -11 – 10) se compone la frase Treasure fourscore feet deep well, cuya traducción sería algo así como Tesoro a 80 pies de profundidad del pozo (obsérvese que fourscore son cuatro veintenas, es decir, ochenta). Eso les lleva al pozo de Hollisbrooke, que se dice el más profundo de Inglaterra, localidad en la que además Barbarroja fue gobernador del castillo. No entiendo por qué los guionistas cambiaron el nombre del lugar original, Carisbrooke, por el imaginario de Hollisbrooke. En este lugar hay un castillo medieval visitable y de cierto interés histórico y turístico, y con una Casa del pozo (Well-House) que data de 1587 y con una curiosa estructura de rueda de tracción animal y eólica para sacar agua. Es una de las mayores atracciones del castillo, donde se forman grandes colas de gente para observar a los burros de Carisbrooke trabajar (recordemos que así se mueve también en la película). C – 7.- Se trata de un símbolo heráldico denominado pall, y es el emblema de la familia Mohune. Uno de los concursantes ha tenido la paciencia de indicar el minuto exacto donde aparece el citado símbolo: Minuto 7:01.- El chico muestra el emblema de los Mohune como prueba de su identidad. Minuto 11:53.- Aparece en la verja de entrada a la mansión de  los Mohune con el Minuto 26:50.- Vuelve a aparecer el símbolo a los pies de la estatua de Barbarroja (un antepasado de los Mohune) dentro de la iglesia. Minuto 31:40.- Tras caer en el escondite de los contrabandistas por el agujero formado bajo el ángel tras la tormenta, se aprecian al menos 4 sarcófagos, todos ellos con el emblema de Mohune. Minuto 32:24.- Vuelve a verse en primer plano el emblema, en otro féretro perteneciente a Barbarroja apartado del resto. Minuto 32:52.- Tras romperse el féretro, sobre el esqueleto se observa un medallón con el símbolo. Minuto 67:22.- En el pozo donde hallan el diamante, se encuentra un ladrillo con el símbolo, marcando el lugar donde está escondido el diamante C – 8.- La caratula del DVD editado en España, el menú de opciones, etc., tienen el título con el que se conoce, Los contrabandistas de Moonfleet, heredada de la versión estrenada en Francia, pero cuando lo reproducimos en la versión doblada al castellano, la voz en off dice Los aventureros de la noche, que es cómo se emitió por televisión española y se anunció en los medios de comunicación. Siendo el año 1982, ya instaurada la democracia y la correspondiente eliminación de la censura desde hacía unos años, no entiendo ese otro título, y no he encontrado por qué en ninguna parte. Sólo cabe la especulación de que quizá no se quería presentar en una película, aparentemente de aventuras, y por tanto para todos los públicos, una actividad ilícita en el título como es el contrabando.  Pero insisto, es pura especulación. C – 9.- La película y la novela tienen muchas diferencias (como decía un participante, casi es más breve indicar las coincidencias). Hago una lista de todas las que nos habéis mandado, aunque como sólo se pedían seis, ese número basta para alcanzar los diez puntos de la pregunta, aunque algunos os habéis explayado: 1.- El Barbarroja de la película es en la novela Barbanegra. 2.- En la novela la posada se llama Why Not, mientras que en la película es The Halberd. 3.- En el libro, es el corpulento Elzevir Block (mesonero encubierto de la taberna) quien se encarga de John Trenchard (llamado John Mohune en el film), mientras que en la película es el galante contrabandista Jeremy Fox (administrador de los bienes de la familia Mohune). 4.- Además, Elzevir Block es el héroe de la novela, pero en el film es un contrabandista sin importancia y uno de los villanos (de hecho, es el que se enfrenta con una enorme lanza a Jeremy Fox en el duelo en la posada). 5.- En la novela, el joven Trenchard es, desde el primer momento, un habitante del pueblo de Moonfleet, y no un recién llegado como ocurre en la película. 6.- John es huérfano, pero en la novela vive con su tía Jane. Este personaje desaparece en la versión cinematográfica, donde solo se menciona la muerte de su madre Olivia. 7.- En la película, John es mucho más aniñado (tiene 11 o 12 años) y temeroso que en la novela (en la que tiene 15 años), y es más adulto y audaz. 8.- En el libro, tras encontrar John el diamante y subir del pozo, Elzevir lucha con el hombre que limpia las instalaciones, quien acaba cayendo al pozo. En la película, se queda inconsciente en el borde del pozo. 9.- En la novela, John se hace con la clave del acertijo gracias a una pista facilitada involuntariamente por la tía, pudiendo localizar así el escondrijo (el castillo donde estuvo retenido el rey Carlos I). 10.- En el libro, John viaja con la biblia de su madre y usa esta para descifrar el mensaje, pero lo hace dentro de la cueva donde se refugian. En la película lo descifran sin la biblia y escondidos en el camino tras unos arbustos. 11.- En la novela, John y Elzevir renuncian al diamante pues un malintencionado joyero holandés les dice que no es auténtico, sino de cristal. Esto no ocurre en la película. 12.- En la novela, Elzevir acoge al muchacho desde el principio, pero en la película, Jeremy tratará por todos los medios de deshacerse del muchacho y la compenetración será progresiva. 13.- John y Elzevir van varios años a la cárcel y después son enviados a Java, pero durante el trayecto, la embarcación naufraga frente a la costa de Moonfleet. Aunque John logra llegar a tierra, Elzevir muere ahogado. En la película no van a la cárcel y Jeremy Fox muere malherido por Ashwood, adentrándose en la mar en un bote. 14.- En el film, el magistrado Maskew no es el padre (como ocurre en la novela), sino el tío de Grace (la niña de quien está enamorado John en la novela). 15.- A diferencia de lo que sucede en el libro, en el film el párroco no interviene en las actividades delictivas de su comunidad, al menos de una forma cómplice. 16.- En la novela, John acaba casándose con Grace y tienen 3 hijos. La película termina con ellos niños. 17.- En la novela a Maskew lo matan accidentalmente sus propios hombres mientras persiguen a los contrabandistas, mientras que en la película Jeremy Fox lo despeña . 18.- La acción en la novela trascurre a lo largo de varios años y en la película sólo en unos pocos días. 19.- En el libro se disfrazan de carreteros, de albañiles y de marineros mientras que en la película Jeremy Fox se disfraza de soldado. 20.- En el libro el que resulta herido es John, en una pierna, mientras que en la película hieren a Jeremy Fox en una mano. 21.- En la película el castillo donde está el diamante se llama Hollysbrooke, en el libro se llama Carisbrooke. C – 10.- Desde hace tres años existe una publicación digital llamada Zenda, Autores, libros & cía. El pasado 10 de abril, Zenda lanzó el sello editorial Zenda Aventuras, con el que pretenden  recuperar novelas del género de aventuras que por diversas razones se han ido olvidando o se conocen mal. El diamante de Moonfleet de John Meade Falkner (el título original es Moonfleet), fue la novela elegida para iniciar este proyecto, disponible desde el 21 de mayo. Los libros de la colección presentan prólogos inéditos de Arturo Pérez-Reverte, portadas diseñadas en exclusiva por el célebre ilustrador Augusto Ferrer-Dalmau, y la traducción está hecha en exclusiva por la escritora Dolores Payás. Una magnífica iniciativa a la que deseamos larga vida. C – 11.- Varios cineastas franceses (ya comentamos antes el aprecio de los críticos de Cahiers por ella) han manifestado su interés y reconocimiento por Fritz Lang. El más conocido que manifestó su devoción por esta película fue François Truffaut, aunque tampoco escatimaron elogios Serge Daney, Jean Luc Godard, Luc Moullet o Bernard Eisenschitz. Cualquiera de estos nombres sirve como respuesta. C – 12.- Hergé (seudónimo de Georges Prosper Remi), autor de la célebre serie de historietas gráficas de Tintín, reconoció que Tintín y el capitán Haddock fueron inspirados en sus características básicas por John Trenchard y Elzevir Block, respectivamente, de la novela. C – 13.- Película: Los contrabandistas de Moonfleet (Moonfleet, Fritz Lang, EE. UU., 1955) Novela: Moonfleet (1898) de John Meade Falkner.   Puntuaciones Es realmente gratificante comprobar el magnífico nivel de todos los participantes (quiero hacer una mención especial a Alba Diez Mariño, que siendo una chica de 14 años solamente, ha resuelto, con las herramientas matemáticas que conoce a esa edad, la mayor parte de las cuestiones; algunas, era imposible que las hiciera, pero ha sido además honesta y no ha pedido a nadie que se las resolviera). Salvo malentendido de algún enunciado, todos han afrontado perfectamente todas las cuestiones matemáticas. Respecto a las de cine, siempre baja un poquillo, pero internet suele suplir las lagunas. 1.- Alejandro Apezteguía.- 274 puntos 2.- Francisco Pi Martínez.- 265 puntos 3.- Marta Pérez Ceballos.- 262 puntos 4.- Pedro Pablo Palacio.- 229 puntos 5.- Alba Diez Mariño.- 196 puntos 6.- Celso de Frutos de Nicolás.- 118 puntos 7.- Alberto Gustavo Colomo.- 10 puntos Agradezco a todos su buenísima disposición, la aceptación de la propuesta, y sus elogios (inmerecidos). Espero que hayan pasado de verdad un buen rato. En breve recibiréis un mail, algunos para pediros una dirección postal a la que enviaros un pequeño obsequio de DivulgaMAT, y los demás para comentaros un poco las puntuaciones de cada cuestión, una vez hayáis leído las soluciones. Alfonso Jesús Población Sáez

Viernes, 06 de Septiembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

35. 142. CONCURSO DEL VERANO DE 2019

De nuevo nuestra cita estival con algunos ejercicios de matemáticas (para no oxidarnos mucho con el sol, la playa, la montaña, el pueblo o el sofá) y la búsqueda de la (o las) película(s) enigmática(s), a las que podemos acompañar con una buena lectura. Para los nuevos, recordemos la mecánica: a partir de las pistas que se dan (algunas pueden despistar más que otra cosa), hay que averiguar el título de una película (o películas) oculta, y de paso, responder unas preguntillas (las de tipo matemático en color rojo; las cultural, en azul). Quien o quienes mayor puntuación alcancen serán los ganadores, a los que la dirección de DivulgaMAT les hará llegar algún obsequio. Se intenta (no siempre se logra) plantear cuestiones de todos los niveles (sencillas, medias, difíciles), pero como nadie sabe a que categoría pertenece cada una (además de que la dificultad es un concepto subjetivo), ninguna a priori debería evitarse. Ni dejar de enviar las respuestas, aunque sólo se sepa una (quien sabe, a lo mejor, nadie ha acertado más, cosas más raras se ven diariamente). Y por supuesto, descubrir (o revisar) títulos, quizá olvidados, de la Historia del Cine. Importante: no hay un orden establecido ni a la hora de describir escenas de la película, ni a la hora de descifrar el contenido de las cuestiones. Puede que sepamos responder antes a la pregunta quinta que a las anteriores. Pero todas pueden ayudar en averiguar el título de la(s) película(s). XV CONCURSO En esta edición me ha costado decidir qué película utilizar para proponer este concurso. Había elegido una comedia británica, desconocida para mi hasta hace unos días, que me ha resultado curiosa y planteaba cuestiones muy candentes en la actualidad. Pero finalmente decidí cambiarla porque pensé que iba a ser muy difícil descubrirla para los concursantes. De modo que he optado por otra más conocida, o al menos, más difundida comercialmente. Por esta razón, y ser de un director clásico también muy conocido (al menos entre los cinéfilos; seguramente a los menores de cuarenta años, tampoco les diga nada, pero así lo descubren), cualquier imagen puede facilitar demasiado las cosas, así que nos centraremos en algunos objetos genéricos que tienen cierta relevancia en el desarrollo del argumento. Pero antes de entrar a la sala a disfrutar de la proyección en glorioso Cinemascope, y no en una birriosa pantallita de móvil, ordenador o televisión, una cuestión sobre el año en el que estamos: si nos dijeran que la suma de un número de cuatro dígitos y sus cuatro dígitos resulta ser 2019. ¿De qué número de cuatro dígitos hablamos? (M – 1). Curiosamente, la diferencia de años entre el número anterior y el año de estreno de la película tiene el mismo número de divisores que el propio año de estreno de la película. ¿Serán suficientes esos datos para determinar dicho año de estreno? (M – 2) (C – 1) (C – 2). La acción tiene lugar en el siglo de las luces, en un año tal que al ser dividido por 2 y por 4 da resto 1, y al hacerlo por 3 y por 5 da resto 2 (M – 3) . Gran parte de la película se desarrolla de noche, con la luna como parte del entorno (C – 3). De todos es conocido que el límite de la sombra en la luna es siempre un arco circular. En un cierto día, la luna se ve con la sombra pasando a través de puntos diametralmente opuestos. Si el centro del arco circular que se está formando se encuentra en la circunferencia de la luna, determinar la proporción exacta de la luna que no está en la sombra (M – 4). Un huérfano se dirige a una localidad costera de escarpados acantilados. Lleva caminando mucho tiempo, pero en un cruce del camino un cartel le indica que se halla cerca de su destino. Varias veces a lo largo de la historia se cruzará con la berlina que recorre los pueblos de la zona u otras similares de los nobles de la comarca (y en algún momento debe apearse de ella de un modo poco ortodoxo). Estos carruajes tardaban exactamente tres horas en ir y volver a la ciudad más próxima situada 30 millas al oeste. Llegando octubre, el recorrido se dilataba media hora más (M – 5). Según se acerca la noche, el paisaje se va transformando en un entorno oscuro, deprimente, amenazador. Aturdido y confundido, se sienta un instante para descalzarse y quitar de uno de sus zapatos una piedrecilla que ha entrado a través de un agujero que se ha formado en la suela (M – 6). Si imagináramos que se encuentra en el punto A(0, 0) de un también imaginado plano coordenado, al reiniciar su camino se desplaza 1 unidad a la derecha, después r al norte, r2 a la izquierda, luego r3 al sur, r4 al este, r5 al norte, continuando con ese mismo patrón. Si lo hiciera indefinidamente, y siendo r un número positivo menor que 1, llegaría a un punto B(x, y). ¿Serías capaz de demostrar que la distancia desde A hasta B es mayor que 7/10? (M – 7). Tras deambular por la pequeña localidad a la que se dirigía, el jovenzuelo acaba huyendo despavorido al asustarse de algo (C – 4). En el lugar vive un centenar de habitantes, de los que 74 se dedican a algún tipo de actividad ilícita, 17 son aristócratas y 25 tienen negocios convencionales (mesonero, sacerdote, pescador, comerciante, etc.). Cuatro de ellos están en los tres grupos. Por otro lado, cada vecino tiene, al menos, una de esas tres ocupaciones. ¿Es posible saber cuántos están en sólo dos de esos grupos? (M – 8). Un objeto de cierta relevancia en el argumento es el que vemos en la imagen de la derecha (C – 5) (M – 9). En la imagen de la izquierda, vemos apilados algunos de estos objetos en los que se ha marcado el número de galones de cierto líquido que contiene cada uno. En algunos su contenido es de mejor calidad que en otros. Los excelentes se venden al doble de precio por galón que los demás. Un reputado cliente compra de los dos tipos, pagando 14 libras de una calidad y otras 14 libras por los de la otra, quedando sin comprar solo uno de ellos. ¿Cuál? (M – 10) . Por cierto, chanchullos como el de entregar mercancía de calidad inferior a la pagada por el cliente, le cuesta bastante caro a uno de los vendedores. En prácticamente todas las películas como ésta, no puede faltar algún sarao en la que los aristócratas (y los actores) luzcan sus mejores galas. El protagonista tiene mucho éxito con todas las féminas del lugar, no haciendo distinción de edad ni condición, lo que le reprocha cierto noble más interesado en los negocios. Pero nuestro galán lo tiene claro: “Hay tiempo para los negocios, y tiempo para “otras cosas”. De hecho, tiene argumentos para cualquier situación, siempre en su beneficio, aunque tenga que contradecir los más elementales principios de la física: “Nunca he creído en la atracción de los polos opuestos: creo que hay mucha más afinidad entre iguales”. Por supuesto, esto precede al beso que le planta a la mujer a la que se lo dice. En esa fiesta hay zonas en la que los hombres apuestan y juegan, mientras las mujeres disfrutarán con otro tipo de actividades, y después con el baile. A la entrada, una campana anunciaba con un toque la llegada de los invitados. Cuando llegó el primero, la campana sonó por primera vez. Cada vez que la campana sonó después, el número de invitados que llegaba eran dos más que los que habían llegado la vez que la campana sonó anteriormente. Si la campana tañó n veces, ¿Cuántos invitados estuvieron en la fiesta? (M – 11). El dueño de la mansión donde se celebra la fiesta está jugando a las cartas, no sabemos a qué juego, pero supongamos que al póker. Uno de sus oponentes muestra cuatro reinas, y se dispone a recoger el dinero de la apuesta acumulado sobre la mesa. El anfitrión lo frena y les dice que tiene aún el derecho a cambiar sus cartas y ver si consigue una mano mejor. Nadie se opone. Lo hace y entonces con gran regocijo descubre cuatro reyes. Su oponente lo acusa de hacer trampas. ¿Tiene esa acusación algún fundamento? (M – 12). La película (y la novela en la que está basada) está repleta de misterios, advertencias, premoniciones y supersticiones. Algunos se desvelan, otros quedan a la libre interpretación del espectador/lector. La criptografía y el cifrado están presentes en la resolución de alguno de ellos (C –6). Añadamos un misterio más. En la imagen, observamos con detalle un objeto con un símbolo grabado que aparecerá en muchos lugares de la película (C –7). Si junto al objeto apareciera la expresión ¿Qué sentido tendría? (M – 13) (M – 14). De suma importancia en el desarrollo de la trama será la aparición de un medallón circular que contiene un papel doblado con información muy relevante. El documento está doblado varias veces formando un cuadrilátero ABCD convexo e inscrito en el medallón (es decir sus cuatro vértices tocan la circunferencia que determina el medallón, como aparece en la imagen). Las diagonales AC y BD se cortan en el punto E. Sabiendo que AB = 39, AE = 45, AD = 60 y BC = 56, determinar la longitud de CD. (M – 15) . Como en las convocatorias de otros años, mi intención era proponer exactamente 13 cuestiones de cada tipo únicamente, porque me gusta ir contra la triscaidecafobia de muchas personas (superstición para mí de lo más tonto), pero la cantidad de sugerencias que me sugiere esta película me ha hecho sobrepasar ese objetivo inicial. Y me quedo en el tintero muchas más relacionadas con muñecas rusas, estatuas, ataúdes, pozos, diamantes y otros muchos objetos que, como dije al inicio, son relevantes en el argumento. Cuestiones Matemáticas M – 1.- Averiguar cuál es dicho número. M – 2.- Dar un razonamiento a favor o en contra. M – 3.- ¿A qué año nos referimos? M – 4.- ¿Cuál es dicha proporción (en modo exacto)? M – 5.- Estimar en ese caso la velocidad del viento. M – 6.- Si la forma de la suela del zapato (excluyendo el talón, que está más reforzado) sigue la ecuación 4x2 + y2 ≤ 4, con y ≥ 0, y el desgaste del material que conforma la suela se expresa en cada punto (x, y) por la función f(x, y) = 4x2 + y2 + 4x – 3y, determinar en qué punto exactamente se ha hecho el agujero, justificando el resultado. M – 7.- Demostrar que AB > 7/10. M – 8.- ¿Cuántos? M – 9.- Calcular razonadamente el volumen de uno de estos objetos de altura h, sabiendo que se refuerza como vemos en la imagen con seis aros de hierro circulares, tres de ellos de diámetros distintos d1, d2 y d3 (d1 < d2 < d3). hasta la mitad; los otros tres repiten esos valores simétricamente, tal y como se observa en la imagen. M – 10.- ¿Qué barril se quedó sin comprar? M – 11.- Número de invitados M – 12.- Para juzgarlo, calcúlese la probabilidad de obtener en una mano de 7 cartas (las cinco del reparto inicial más 2 de cambio) cuatro reyes. Comparar con la probabilidad de obtener en las mismas condiciones únicamente tres reyes. M – 13.- ¿Qué relación tiene esa cantidad con el emblema de la imagen? M – 14.- El emblema divide al círculo en tres regiones. ¿Son iguales? ¿Podrían serlo? M – 15.- Longitud de CD. Cuestiones culturales C – 1.- Lamentablemente, tuvieron que pasar 27 años desde esa fecha para que pudiéramos verla en España, y fue en televisión (aunque después se proyectó en salas comerciales de algunas ciudades. ¿Cuándo tuvo lugar ese estreno? ¿Se estrenó en tu ciudad? (si logras mandar una imagen anunciándola, en tu ciudad o cualquier otra, te añadimos 5 puntos a mayores; no vale el póster de la película: tiene que figurar el cine en el que se proyectó) C – 2.- ¿Por qué crees que no se estrenó en España en su momento? C – 3.- Hay una estrecha relación de este astro con el título de la película y la novela en la que se basa, y con partes del argumento. Especifica por qué. C – 4.- ¿De qué se asusta? ¿Se sabe a quién pertenece ese “algo”? ¿Tiene alguna particularidad especial? C – 5.- ¿Por qué? C – 6.- ¿Cómo descubre el protagonista lo que esconden las citas bíblicas (ver imagen)? C – 7.- ¿Qué es? ¿Qué representa? Señala al menos cuatro lugares distintos en la película en los que aparece ese emblema. C – 8.- La película presenta otro título bastante diferente en la versión española del DVD. ¿A qué se debe esta diferencia? C – 9.- Citar al menos media docena de diferencias entre la película y la novela. C – 10.- ¿Por qué ha sido recientemente notica la novela en la que se basa la película? C – 11.- ¿Qué gran cineasta tenía esta película como una de sus favoritas? C – 12.- Dos de los protagonistas sirvieron de inspiración a dos personajes de una larga serie de álbumes de cómic. ¿A cuáles nos referimos? C – 13.- Título de la película, de la novela, y opinión personal sobre ambas. ¿La conocías? ¿Cuál ha sido la pista que te ha llevado a encontrarla? ¿Qué te ha parecido el concurso? Baremo: Todas las cuestiones tanto las rojas (las matemáticas) como las azules (cine y demás) se valorarán con 10 puntos. En total, 285 puntos en juego (hay un bonus de 5 puntos por ahí a mayores escondido), creo. Todo comentario, sugerencia, queja, etc., será bien recibido. Si no salen algunas cosas, no importa; lo que cuenta es tratar de pasar un buen rato, disfrutar de la película (que el verano da para mucho), y mantener las neuronas un poco activas. P.D.: Espero que no haya ningún error en las cuestiones. Se han repasado varias veces, pero algunas, al ser inventadas o retocadas de otros enunciados, podrían tener alguna errata. Sed benévolos con vuestros calificativos si tal cosa sucediera. El plazo para enviar las respuestas, es como en años precedentes, hasta las 00:00 del domingo 1 de Septiembre, o las 23:59 del sábado 31 de agosto de 2019, a la dirección alfonso@mat.uva.es, indicando en el asunto Verano 2019. Confío en que la película (y la novela) hayan sido de vuestro agrado ¡¡¡¡Buen Verano Cine-matemático!!!!. Alfonso Jesús Población Sáez

Viernes, 28 de Junio de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

36. 141. Escenas escolares: siempre el mismo planteamiento

Con mucha frecuencia las escenas ambientadas en un aula en las películas suelen echar mano de las matemáticas. Añadimos tres más a la larga lista, descubriendo que prácticamente todas son calcadas en cuanto a su propuesta y desarrollo. ¿Será que la metodología del profesorado tampoco ha cambiado sustancialmente? Seguramente. Durante las pasadas vacaciones de Semana Santa, una cadena de televisión en España proyectó una película no demasiado antigua en la sobremesa de un sábado. No suelo hacer mucho caso a lo que se emite en esa cadena en esa franja horaria, ya que suelen ser producciones televisivas bastante mediocres con temas absolutamente manidos una y mil veces. En este caso, no tener otra cosa mejor en ningún otro sitio, la propia vagancia de no ponerme lo que me apetecía, y observar que se trataba de una producción cinematográfica, hicieron que aguantara cinco minutos de confianza. Y aparecieron las matemáticas. Eso sí, el resto de la película, sin ser tan lamentable como las comentadas previamente, tampoco fue una maravilla, pero resulta entretenida (lo adelanto por si alguien no desea más que ver las escenas de matemáticas; del resto puede prescindir sin provocarse trauma alguno, aunque si le intriga el argumento, tampoco pasa nada, puede terminarla, aunque inicialmente promete más de lo que finalmente es). Para situarnos, como siempre, sus datos básicos: Ficha Técnica: Título: Cita a ciegas con la vida. Título Original: Mein Blind Date mit dem Leben. Nacionalidad: Alemania, 2017. Dirección: Marc Rothemund. Guion: Oliver Ziegenbalg y Ruth Toma, sobre la vida de Saliya Kahawatte. Fotografía: Bernhard Jasper, en Color. Montaje: Charles Ladmiral. Música: Michael Geldreich y Jean-Christoph Ritter. Duración: 111 min. Ficha artística: Intérpretes: Kostja Ullmann (Saliya Kahawatte), Jacob Matschenz (Max), Anna Maria Mühe (Laura), Johann von Bülow (Kleinschmidt), Alexander Held (Fried), Nilam Farooq (Sheela), Sylvana Krappatsch (Dagmar), Michael A. Grimm (Küchenchef Krohn), Kida Khodr Ramadan (Hamid). Sinopsis: Basada en la historia real del hoy empresario Saliya Kahawatte (que aparece al final de la película) y autor de la autobiografía en la que se basa la película. Hijo de una alemana y un cingalés (Sri Lanka), a los quince años le diagnosticaron una enfermedad hereditaria en los ojos que le provocaron un desprendimiento progresivo de retina. Como consecuencia perdió el 80% de la visión. A pesar de ello, logró acabar sus estudios de enseñanza secundaria con mucha diligencia y fuerza de voluntad, completó una capacitación como gerente de hotel e hizo carrera en la industria hotelera y gastronómica. Durante años, ocultó su discapacidad, pero sufrió esta mentira cayendo en la depresión (esto ya no lo cuenta la película, ya que, a pesar del drama, intenta mostrar un ejemplo de superación, pareciendo en mucha parte del metraje que estamos ante una comedia). Las matemáticas Hacia el minuto 7:21 aproximadamente, el protagonista se encuentra en clase de matemáticas: Profesor: Otro ejemplo de la regla de la cadena. Como observamos en la imagen, escribe en la pizarra la función y = e4x+2. A un lado está descrita la citada propiedad (para los que tengan un poco olvidada la regla de la cadena, se trata de la condición necesaria que nos permite derivar la composición de dos o más funciones). Ha escrito ya un ejemplo, bastante típico, con una función exponencial (y = ex^2). Al otro, el profesor tapa un cuadro con las derivadas de las funciones elementales. Profesor: Si sustituimos esto (señala el exponente, 4x + 2), por u, la función externa queda y = eu. En ese momento, el docente se para un instante, y se dirige a Saliya, del que suponemos conoce su problema visual. De hecho, echa un vistazo a su cuaderno (nos lo muestra la cámara) y se percata de que está escribiendo las expresiones tremendamente grandes y descolocadas, una encima de otra. El compañero situado a su lado lo observa también y le añade el 2 al exponente, que Saliya no ha escrito. Profesor: Si voy demasiado deprisa, dígamelo Saliya. Saliya: Lo haré, señor. Gracias. Profesor (de vuelta a la pizarra): La derivada externa queda y = eu, mientras que la derivada interna de 4x + 2 es 4. Saliya (susurrando): … significa que y’ es igual a eu por 4. Y vemos que, en efecto, esa es la expresión que escribe el profesor en la pizarra. Con un poco de maldad por mi parte (o un mucho, cada cual que lo interprete como guste), me ha parecido curioso que la cámara, cuando el profesor iniciaba el ejemplo, nos mostraba (como en otros momentos de la película) lo que ve en realidad Saliya (para que nos demos cuenta del progresivo deterioro de su visión), que es la siguiente imagen: Obviamente lo curioso no es que el protagonista vea eso, sino que me ha dado por pensar que, a lo mejor, se trata de una metáfora sobre lo que los alumnos en general aprecian de las clases de matemáticas, a tenor de lo que escriben en los exámenes con relativa frecuencia. En el caso de Saliya, con una admirable fuerza de voluntad, trata de suplir sus carencias aprendiéndose de memoria los temas. Su hermana diariamente le lee en voz alta los apuntes, y él los repite en voz alta, frase por frase: Sheela: Otro número como factor… Saliya: Otro número como factor… Sheela: … en el denominador … Saliya: … en el denominador … En ese momento su madre irrumpe en la habitación con una bandeja con la merienda, instándolos a que descansen un rato Saliya: Descansaré cuando acabe los exámenes. Sheela: Dos fracciones … Saliya: Dos fracciones … Sin embargo, la escena que más me ha gustado (todo lo anteriormente descrito se ha puesto en escena de manera más o menos similar en otras muchas películas), es la siguiente: El profesor está de nuevo impartiendo clase (ahora la cámara no está colocada desde los pupitres, como la previa, sino desde la pizarra (que no vemos), pero sí observamos los gestos de desagrado del docente cada vez porque cada vez que dice una frase Saliya la repite, en voz baja, pero él lo escucha, y parece molestarle (desde esa posición el espectador ve esas muecas de fastidio, pero no los alumnos ya que está de espaldas a ellos): Profesor: La suma del arcoseno … Saliya (susurrando): La suma del arcoseno … Profesor: … y del arcocoseno …. Saliya (susurrando): … y del arcocoseno …. Profesor: … es constante e igual a … Saliya (susurrando): … es constante e igual a … Profesor (se da la vuelta y se dirige a Saliya): No se ofenda, Saliya, pero, ¿de verdad funciona eso? ¿El repetir susurrando? Saliya: La derivada del arco seno de x es 1 dividido por la raíz cuadrada de 1 menos x al cuadrado. Es decir, la suma del arco seno y el arco coseno de x es constante e igual a la mitad de π. Esto es 1.570796327. Profesor (sorprendido): Bien, continuemos pues. El resultado que se nos ha contado es la justificación de la igualdad No he accedido en esta ocasión a la versión original de la película (en alemán) e ignoro si es tal cual se ha traducido, pero, aunque la justificación del protagonista se entiende perfectamente, no está explicada completamente. Saliya habla de la derivada de la función arco seno, y de ahí pasa a indicar que la suma de las funciones arco seno y arco coseno es constante. Esto es así en virtud del resultado que indica que cuando la derivada de una función en nula, entonces la función original es constante. Tampoco dice cómo se calcula dicha constante. Por muy obvio que sea, seguramente algún espectador no sepa por qué. Y aquí aparece la eterna cuestión que algunos de los lectores estarán pensando: ¿Y para qué necesitamos saber eso? Evidentemente no impide continuar viendo la película, no afecta al argumento (ojalá lo hiciera). Este es uno de los asuntos por los que parece que no tiene importancia que algo de carácter científico aparezca como sea en el argumento de una película o en una novela, y no es así. Las matemáticas se utilizan en este tipo de escenas sencillamente porque es la asignatura que más “recuerdos” (no especifico de qué clase conscientemente) traen a todo el mundo a la cabeza, y porque se asocia a complejidad, dificultad, etc. (en el caso de esta película en concreto, un chaval que a pesar de la ceguera es capaz de llevar esta asignatura con buenas calificaciones). Por no hacer referencia al grito en el cielo que pondrían muchos críticos cinematográficos si se deslizara un error geográfico, histórico, literario, etc. Pues miren, honestamente, deberían ser del mismo calibre unos y otros, y no disculpar o hacer la vista gorda ante ninguno de ellos (claro que primero deberían tener ellos ciertos conocimientos, como los demás los tenemos de lo que para estas personas es “cultura”). Por esas casualidades de la vida, también cayó en mis manos en esos días la tercera temporada de aquella recordada serie española, Curro Jiménez, a mayor gloria de Sancho Gracia (Curro Jiménez), José Sancho (El Estudiante), Álvaro de Luna (El Algarrobo) y Eduardo García (El Gitano). En el último episodio titulado El caballo blanco, dirigido por Mario Camus, el protagonista decide disolver la banda a pesar de los ruegos de sus compañeros, que finalmente comprenden que se ha cerrado un ciclo en sus vidas. En un momento dado hay una escena en la que aparece una escuela de un pueblo andaluz, y cómo no, la maestra (María José Diez) expone un problema aritmético sencillo (son niños de primaria) (ver imagen): "Supongamos que este es el número de aceitunas que hay en cada árbol, y éste (señala al multiplicando) el número de olivos. Si multiplicamos el número de aceitunas por el número de olivos, ¿qué obtenemos?” Algunos niños responden olivos, otros aceitunas, en fin que se  pone en escena una de las abundantes caricaturas de las clases escolares elementales. Posteriormente, la maestra hace la multiplicación preguntando cada producto parcial, las que se llevan en cada paso, etc., hasta que nuestros héroes la interrumpen. Y al final, la multiplicación queda correcta y perfectamente realizada. Hablamos de una producción de 1979, pero la puesta en escena, salvando el tema, es exactamente igual que la de la primera película de 2017. Quizá sea para pensárselo, no el que el cine las muestre idénticas en la forma, sino el que seguramente sea porque nuestra metodología no ha cambiado demasiado en todos esos años. Y casualmente, esa misma semana, vi en un Cine Club al que pertenezco, una producción no estrenada en nuestro país, Casa Grande, película brasileña de 2014 dirigida por Fellipe Barbosa sobre la decadencia de una familia acomodada y elitista del país en la que uno de sus hijos, que estudia el último curso del Bachillerato en uno de los mejores institutos de Rio de Janeiro y cuyos padres tratan de encauzar para que entre en una universidad puntera (por cierto, el padre es ingeniero, habla bastante de matemáticas, aunque no ha sabido aplicarlas demasiado bien a su vida porque está sin trabajo y arruinado por invertir su dinero en acciones de empresas que han ido quebrando). Bien, pues en una de las clases del chaval, el profesor explica cuando los sistemas de ecuaciones lineales tienen solución (teorema de Rouché), aunque acaba entrando en cólera porque sus alumnos no lo hacen demasiado caso y no paran de armar jaleo en clase. Misma escenificación que las anteriores (salvo que en la película alemana todos estaban bastante callados) respecto a la forma de impartir clase, a pesar de ser países muy diferentes. Desgraciadamente, no he encontrado imagen de esta última en el que aparezca la pizarra y los sistemas. Concurso del verano Como desde hace algunos años (dieciséis concretamente), la reseña de junio consistirá en la propuesta de un concurso para entretener el verano en la que hay que resolver algunas cuestioncillas matemáticas y responder algunas preguntas de tipo cultural relacionadas con una película-enigma (o varias) que hay que tratar de descubrir. Entre que nos encontramos a final de curso y que idearlo todo lleva su tiempo, dicha reseña no aparecerá hasta finales de mes en esta ocasión. Pero seguro que la espera, merecerá la pena… Alfonso Jesús Población Sáez

Martes, 14 de Mayo de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

37. 140. Revoluciones Matemáticas

Una grata noticia: nueva serie de animación divulgando las matemáticas, y cien por cien española. Te lo contamos y entrevistamos a algunos de sus responsables. Desde este rincón ya hemos mostrado en otras ocasiones pequeños cortometrajes de animación para difundir las matemáticas. Hace unos años hablábamos de Math Girl (ver reseñas 34, 37 y 39), serie de tres episodios producida por el Instituto IRMACS de la Universidad canadiense Simon Fraser, o las originales aventuras de Troncho y Poncho, creadas por Ángel González Fernández, (ver angelitoons), profesor de matemáticas en el madrileño colegio del Pilar. En el primer caso haciendo referencia a resultados y fórmulas de matemáticas superiores, y en el segundo a las más elementales, que no por ello, sino todo lo contrario, menos necesarias. En ambos el objetivo es la difusión y popularización de contenidos de esta materia desde una óptica simpática, para tratar de enganchar a la mayor cantidad posible de público. El pasado mes de noviembre el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) presentó el proyecto de una serie de animación con el objetivo, según sus propias palabras, de mostrar “los grandes hitos del pensamiento matemático a lo largo de la historia y el impacto que han tenido en la sociedad”. Junto a estos momentos, aparecerán algunos de sus protagonistas, mostrando que se debieron a personas de carne y hueso, como nosotros. Con estos ingredientes, es evidente que los primeros a los que va dirigido es a alumnos en edad escolar, proponiendo además un lenguaje sencillo, informal y cercano, tratando de que la conexión con ellos sea lo más viable posible. En un principio se han ideado cinco episodios, de los que los tres primeros ya pueden visualizarse desde el canal de YouTube del ICMAT. Son éstos: 1.- Teano. Cuando la magia se convierte en número (4:13) Siguiendo un orden cronológico en estas revoluciones, el primer hecho fundamental que han elegido los creadores de estas pequeñas (por la duración) píldoras, con buen criterio a mi juicio, es lo que en filosofía nos describieron como el paso del mito al logos. Y la civilización antigua que lo promovió fue la griega. El episodio se centra en la hermandad de los pitagóricos, describiendo brevemente lo que conocemos de ella, y poniendo el centro de observación en Teano, uno de sus miembros que ha pasado a la historia. Y es bastante trascendente que fuera así, ya que nos saca los colores a los “eminentes” sucesores y herederos del conocimiento, ya que indica que no había discriminación alguna por motivos de género, sino que lo que importaba era la capacidad intelectual (lo que también deja en un lugar incómodo a esos herederos para los que sí parece que importaba). Hablando de los pitagóricos es claro que se recuerden sus descubrimientos matemáticos, como el famoso teorema que lleva el nombre de su líder, la utilización de los números en la construcción de las escalas musicales, el tetraktis, etc. Como podemos apreciar en las imágenes adjuntas, los dibujos utilizados no dudan en presentar objetos cotidianos actuales como recurso para mostrar la cercanía de aquellas personas con nosotros, aunque disten siglos (o sea, que manejan conscientemente esos anacronismos). Al final se vuelve a recalcar la idea fundamental de esta primera gran revolución: los números explican lo que antes sólo se podía entender mediante la magia. 2.- La conquista de los números (4:19) A partir de ese gran avance que consistió el aprender a contar, las formas de hacerlo no han sido únicas, ni al principio demasiado eficientes cuando el número de objetos iba siendo mayor al crecer también las necesidades. Así, se repasan las soluciones que fueron dando diferentes civilizaciones como la china, la griega, la romana, la india, …, llegando a otra gran revolución: la numeración posicional y la aparición del cero. Paralelamente, el cortometraje nos introduce algunas personalidades relevantes como Al-juarismi, Brahmagupta, Azarquiel, … Esa gran revolución la conservamos hasta nuestros días, acabando el episodio con un ejemplo en el que los alumnos (aunque en realidad nos pasa a todos) observan con fastidio la aparición del cero (y no es nada relacionado con las calificaciones de alguna asignatura). 3.- Newton, sus ovejas y el cálculo (4:51) Después de situarnos en el contexto histórico del Londres de 1665, con la peste bubónica asolando Inglaterra, el episodio se centra en la figura de Isaac Newton. Debiéndose retirar por precaución a su casa familiar en el campo, lo que en cualquier mortal sería un serio trastorno, en  Newton derivaría (nunca mejor utilizada esta palabra) en una de las hazañas intelectuales más asombrosas de la historia (sino la que más), desarrollando, entre otros temas, el cálculo diferencial e integral, la naturaleza de la luz y refinando completamente la teoría gravitacional. El episodio describe algunos de estos conceptos, que desembocarían en el nacimiento de una de las ramas más relevantes de la ciencia, el análisis matemático, base de nuestro actual mundo tecnológico. También nos relata la disputa entre Newton y Leibniz a causa del descubrimiento del teorema fundamental del cálculo, el resultado que, sorprendentemente, relaciona conceptos aparentemente muy diferentes de acuerdo a los objetivos con los que fueron desarrollados, la derivada y la integral. Las ilustraciones y animaciones han corrido a cargo de Irene López, con experiencia internacional en diferentes proyectos (cortos, diseño de objetos decorativos y de uso cotidiano, exposiciones, ilustración de libros, carteles para eventos, etc.). Su estilo es de línea clara, dibujos esquemáticos pero muy cercanos y atractivos, y uso de colores vivos que transmiten optimismo y simpatía. En la elaboración de los guiones ha colaborado la empresa madrileña Divermates Matemática S. L., formada por un grupo de varias personas que han orientado su trabajo a tratar de mostrar las matemáticas desde un lado divertido y lúdico (como su propio nombre transmite) elaborando materiales, prácticas y actividades que presentan en colegios e institutos, a través de las que aprender matemáticas. No solamente ofrecen actividades para alumnos, sino también asesoramiento para profesores y maestros. Y en cuanto a instituciones, el ICMAT, ya mencionado anteriormente, institución avalada por haber obtenido por segunda vez la prestigiosa acreditación de Centro de Excelencia Severo Ochoa (en 2011 y 2015, concretamente), y la Fundación General del CSIC. Nos pusimos en contacto con Ágata Timón, Laura Moreno y David Martín de Diego, miembros de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT, con los que charlamos sobre estas Revoluciones Matemáticas. Éste es un resumen de nuestra conversación: 1.- ¿Cómo surge este proyecto? En la Unidad de Cultura Científica del ICMAT estamos buscando constantemente nuevos proyectos que poner en marcha. Hace un par de años nos reunimos con la empresa Divermates, buscando posibles vías de colaboración, de cara a la convocatoria de ayudas para el fomento de la cultura científica, tecnológica y de la innovación de la FECYT. Queríamos hacer algo en formato de video, ya que que consideramos que el audiovisual es la manera más directa de llegar al público joven, y desde el ICMAT habíamos tenido una muy buena experiencia con “It’s a risky life!” (serie de cortometrajes que ilustran y divulgan conceptos matemáticos clave relacionados con toma de decisiones, incertidumbre, etc., en nuestras actividades cotidianas, de un modo divertido), y queríamos seguir explorando esa vía. En un primer lugar, pensamos en centrar los capítulos en biografías de matemáticos/as, pero nos dimos cuenta de que quizá era un tema más trillado, y que había que acotar un poco más el enfoque. Se nos ocurrió que podía ser atractivo e interesante señalar los momentos de la historia de las matemáticas (y su contexto, personas que los llevaron a cabo, etc.) que habían supuesto un cambio de paradigma, lo que hemos llamado “revoluciones matemáticas”. Una vez avanzó el proyecto, pensando en otro de nuestros propósitos, el público objetivo (profesorado y alumnado de matemáticas), y buscando una manera de darle más recorrido a la actividad (no quedarnos solo en los videos), creimos interesante que estos vídeos sirvieran también como introducción de una actividad más completa en el aula. Con este objetivo, cada capítulo está acompañado de una propuesta de taller divulgativo, en el que se profundizan ciertos conceptos que se tratan en los capítulos. No nos dieron la financiación del proyecto en la FECYT, pero volvimos a pedirlo (en un formato más reducido) en otra convocatoria (Cuenta la Ciencia, de Fundación General CSIC), y tuvimos éxito. Con esta pequeña financiación, y mucho esfuerzo, pudimos comenzar el proyecto. 2.- El guión está muy cuidado en cuanto a la selección de contenidos. ¿Cómo se ha hecho el proceso de elaboración? Antes que nada, seleccionamos las ‘revoluciones matemáticas’ que queríamos contar esta primera temporada, siguiendo el criterio de los miembros matemáticos del equipo y considerando diferentes variables para darle al proyecto la mayor transversalidad posible: época, geografía, género. Tras ello, hemos ido trabajando capítulo a capítulo:  en primer lugar, se elabora un borrador del guion, después, nos reunimos todo el equipo e intentamos adaptar ese guion al audiovisual (tanto a la locución, como a la animación), y una vez que estos contenidos están cerrados (lo cual suele llevar bastante trabajo), la animadora, Irene, les da vida. 3.- ¿Cuánto tiempo lleva hacer un episodio? Depende del contenido, por lo general, alrededor de dos o tres meses. 4.- ¿Con qué medios habéis contado (no me refiero a dinero, sino a medios técnicos: si se ha hecho con ordenador y alguna aplicación concreta, o si ha habido medios clásicos del cine de animación con cámaras de cine, video, etc., cómo se ha editado posteriormente, etc., un poco el proceso que se ha seguido en la realización de los capítulos)? De esa parte se ocupa Irene, la animadora. El primer storyboard es con boli y papel, pero a partir de ahí es un proceso completamente digital. 5.- En principio se han anunciado sólo cinco capítulos, que parecen pocos para una idea tan interesante. ¿Hay alguna perspectiva de continuidad posterior? ¿Depende de algún factor (económico, aceptación, sponsors, etc.)? La continuidad de la serie depende sobre todo de la financiación. De momento, va a haber una segunda temporada, que formará parte del proyecto “Ciudad Ciencia”, de la Vicepresidencia Adjunta de Cultura Científica del CSIC, financiado por la FECYT. 6.- En la página oficial del ICMAT los contenidos se ofrecen en inglés y en español. ¿se ha pensado hacer una versión de los episodios en inglés, u otros idiomas, como modo de globalizar los potenciales espectadores? En este momento no está entre nuestros objetivos. En primer lugar nos gustaría ampliar nuestra audiencia dentro de España y Latinoamérica. Pero quien sabe, igual en el futuro se podrían hacer versiones subtituladas a otros idiomas o incluso con locución en inglés. 7.- El lenguaje y la narración parece orientado a los más jóvenes. En la página web ya dejais claro que inicialmente los destinatarios principales son los alumnos en edad escolar y sus profesores, aunque es asequible para cualquier espectador ¿No condiciona esto un poco los contenidos? Quiero decir, ¿no sería factible tratar de abordar también contenidos más complejos, no sé, series infinitas, EDOs, espacios de Hilbert, cosas más específicas y complejas, desde un punto de vista didáctico y también lo más divulgador posible? Lo digo porque siempre en este tipo de audiovisuales, parece que se vaya a las matemáticas más elementales. Como dices, los contenidos principalmente están pensados para estudiantes de secundaria, pero también para el público general interesado en las matemáticas, de ahí que aparezcan conceptos básicos (aunque hay varios que no diríamos que lo son tanto). Pero se podría hacer un “spin off” de temas más complejos, orientados a público universitario ¡Ahí dejamos la idea! 8.- ¿Tuvisteis alguna referencia en la que basasteis vuestra idea? En cuanto a los dibujos y animación, South Park era nuestra referencia, aunque el resultado final de Revoluciones no se parece en nada. A este respecto, Irene tiene un estilo muy personal y a nosotros nos gusta mucho. 9.- Me parece fundamental el trabajar al hilo de los capítulos con esas propuestas didácticas adicionales. Echandolas un vistazo, ahondan sobre todo en aspectos curiosos (construcción de un monocordio, aplicaciones curiosas de las congruencias, simulación del crecimiento de una especie y gráficas) ¿Qué filosofia habéis seguido en su confección?¿No tienen demasiado texto, pensando en escolares? ¿Cómo planteais su utilización? La empresa Divermates, con una amplia experiencia en la organización de talleres escolares, es quien propone las actividades. El objetivo es que sean talleres lúdicos, en los que los estudiantes (todos ellos, no solo los especialmente dotados o interesados en el tema) pasen un buen rato haciendo matemáticas. Nuestra idea es que los profesores descarguen el material y planteen su propia actividad en el aula: se haga el visionado del capítulo, se abra un pequeño debate, y se comience el taller (que puede ser más o menos extenso o más o menos complicado). Pretendemos que los profesores adapten el material que les enviamos al contexto de su clase. Respecto a la edición del texto (en colaboración entre Divermates e ICMAT), buscamos que sea sobre todo clara y exhaustiva. Como decimos, la ficha va dirigida a los profesores, y ha de ser clara y completa. 10.- ¿Disponeis de alguna referencia en cuanto al impacto de la serie, número de visualizaciones, etc? Sí, las visualizaciones en Youtube han sido las siguientes aproximadamente: Capítulo 0: 2600; Capítulo 1: 5200; Capítulo 2: 2700; Capítulo 3: 600 La web de ‘Revoluciones matemáticas’ ha tenido alrededor de 1300 visitas. 11.- Da la impresión de que esos cinco primeros episodios ya están termiados. ¿Teneis un cronograma fijado en cuanto a fechas de “estreno”, etc? Solemos marcarnos unos plazos, pero no son fijos, varían en función de la complejidad del guion y la disponibilidad del equipo (ninguno trabajamos a tiempo completo en este proyecto), por lo que preferimos no marcarnos una fecha concreta de estreno. De hecho, aún no sabemos cuándo concluirá la primera temporada, estamos en la fase de producción del último capítulo, que podemos adelantar que se centrará en la conocida como “crisis de los fundamentos” que se produjo a principios del siglo XX. Muchísimas Gracias por vuestra colaboración y por lanzar un proyecto tan bonito e interesante. Deseamos que su continuidad en el tiempo no se quede en esas dos temporadas previstas, y tenga una larga vida y difusión. Alfonso Jesús Población Sáez

Lunes, 15 de Abril de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

38. 139. La simetría de las emociones

Matemáticas, Geometría, Simetría, Arquitectura. Cuatro pilares que pueden condicionar la forma de afrontar las decisiones de la vida de las personas. Y en el espectador lo que está viendo. Los que habitualmente seguís esta sección, habréis notado en diferentes ocasiones cómo el que esto escribe crítica con cierta dureza (y bastante sorna, la verdad) todo lo relacionado con lo seudocientífico, esotérico y supuestamente misterioso. No niego que hay enigmas por resolver (todo un aliciente para la ciencia), pero las explicaciones o más bien, impresiones y seudorazonamientos, de los que juegan a ser investigadores me parecen sencillamente inadmisibles, dado que las cosas bien hechas necesitan tiempo, mucho tiempo de análisis, experimentación, estudio, etc., antes de poder concluir con cierta precisión. Y por supuesto, tiempo es lo que no les sobra a los que necesitan llenarse los bolsillos rápidamente (no se deben incluir a todos en el mismo saco, puesto que supongo que habrá quienes sean “legales”, o sencillamente fueron mal encaminados en sus trabajos, aunque sospecho que son una minoría, a tenor de lo que se ve y oye). Comienzo con esta perorata, sencillamente porque en esta ocasión no voy a tratar aspectos puramente matemáticos como en otras ocasiones, sino otros más relacionados con la subjetividad, con las emociones, aunque por supuesto, las matemáticas están detrás. Les voy a comentar una película en la que la forma en que se ha concebido, la composición de sus imágenes, provocan sensaciones que pueden ser muy diferentes dependiendo del estado de ánimo o de la persona que las contempla, lo cual no es demasiado matemático, lo reconozco. Pero somos humanos, y además de una mente privilegiada (aunque en muchos no se note demasiado), tenemos sentimientos, hormonas, nervios, conexiones físico-químicas que nos hacen diferentes a una máquina, y nos provocan estados de ánimo. Disfruté de la película que voy a comentar el pasado lunes 11 de marzo y aunque no me llenó completamente, es innegable la maestría de su puesta en escena, de sus meditados encuadres, en los que la simetría es dueña absoluta de todo el metraje de principio a fin. Comencemos, como es habitual, por su ficha técnica y artística: Ficha Técnica: Título: Columbus. Título Original: Columbus. Nacionalidad: EE. UU., 2017. Dirección:  Kogonada. Guion: Kogonada. Fotografía: Elisha Christian, en Color. Montaje: Kogonada. Música: Hammock. Duración: 104 min. Ficha artística: Intérpretes: John Cho (Jin), Haley Lu Richardson (Casey), Parker Posey (Eleanor), Michelle Forbes (Maria), Rory Culkin (Gabriel), Erin Allegretti (Emma), Shani Salyers Stiles (Vanessa), Reen Vogel (Limpiador), Rosalyn R. Ross (Christine), Lindsey Shope (Sarah), Caitlin Ewald (Camarero), Jim Dougherty (Aaron), Joseph Anthony Foronda (Prof. Jae Yong Lee), Alphaeus Green Jr. (Guía del ICC), Wynn Reichert (Guía de la Casa Miller), Jem Cohen (Empleado), Tera Smith (Empleado del Hospital), William Willet (supervisora de Maria). Sinopsis: Jin, un joven coreano que vive en Seúl, debe trasladarse a la ciudad de Columbus, en los Estados Unidos, después de que su padre, un famoso arquitecto, entre en coma. De forma casual, conoce a Cassey, una chica mucho más joven, que no ha salido nunca de esta ciudad, y a la que le apasiona la arquitectura. Ambos se encuentran en una situación parecida, uno por su padre, la otra por su madre. Cassey propone a Jin enseñarle sus lugares favoritos de Columbus, explicándole las razones de sus elecciones. Sus encuentros y conversaciones se enmarcan en la omnipresencia de un paisaje urbano que, sin percatarse de ello, va a ir condicionando su modo de entender su existencia. Un lugar emblemático Toda la película, rodada en 18 días, se desarrolla en la localidad de Columbus, en el estado de Indiana, que según el último censo tiene en torno a los 44000 habitantes que se distribuyen en 71 kilómetros cuadrados. Es decir que no es un lugar con muchos habitantes, pero ocupan poca extensión por lo que la densidad de población es alta, unos 620 habitantes por kilómetro cuadrado. Lo que es destacable es la gran cantidad de edificios singulares en proporción, y de renombrados arquitectos, por lo que se la ha denominado la Atenas de la Pradera. La mayor parte de estilo moderno (siglo XX; no confundir con modernista que es otra cosa bastante diferente). El Instituto Americano de Arquitectos ha clasificado a Columbus en el sexto lugar en la nación en innovación y diseño arquitectónicos, justo detrás de Nueva York, Chicago, Boston, San Francisco y Washington, DC. Columbus tiene una arquitectura fascinante porque en la década de 1950 el industrial y filántropo J. Irwin Miller (de la Cummins Engine Company) decidió que quería vivir en una ciudad más interesante visualmente. Para lograrlo, Miller se ofreció a pagar las facturas de los arquitectos por cualquier nuevo edificio público que se construyera en Columbus. Años después, asumiendo la necesidad de expandirse de un modo responsable, Columbus ratificó un nuevo plan urbanístico para el centro de la ciudad en 1972. El plan, concebido y ejecutado por Skidmore, Owings y Merrill, firma arquitectónica popularmente conocida por sus siglas, SOM (se constituyó en Chicago por Louis Skidmore y Nathaniel Owings en el año 1936, a los que posteriormente, en 1939 se incorporó John Merrill), agrupó edificios de acuerdo a su uso creando zonas de actividad relacionada, y con el objetivo fundamental de que las nuevas construcciones respetaran la escala y el carácter histórico presentes en todo el núcleo histórico de la ciudad. Hoy, Columbus cuenta con más de 70 edificios diseñados por arquitectos del renombre de I. M. Pei, Eliel Saarinen, Eero Saarinen, Richard Meier, Eliot Noyes y Harry Weese, entre otros, además de los ya mencionados. Esta singularidad seguramente es la que atrajo al director coreano Kogonada a considerarla como idónea para desarrollar su primer largometraje de ficción, además de ser ideal para rodar tranquilamente dada la pequeña población que la habita (en comparación con esas otras ciudades arquitectónicamente potentes mencionadas anteriormente). Recorremos algunos de esos edificios (aparecen muchos más, pero basta una muestra para hacernos una idea de cómo el realizador ha ido buscando la simetría casi obsesivamente). En la primera imagen vemos a la pareja protagonista sentada en las escaleras de entrada al edificio que alberga el Ayuntamiento y el Departamento de policía, obra de la citada firma SOM, finalizada en 1981. Su planta es un triángulo rectángulo, y la fachada principal (la que vemos en la imagen) es la hipotenusa del mismo. La entrada principal se ubica en el punto medio de la hipotenusa y está nivelada con su segundo piso. Dicha entrada está enmarcada por un muro cortina semicircular de dos pisos, totalmente acristalado y curvado cuya geometría se eligió específicamente para generar reflejos del edificio histórico del palacio de justicia que se encuentra adyacente. Dos niveles de escaleras anchas y suavemente inclinadas conectan la esquina del sitio con la entrada. En la parte superior, dos enormes paredes de ladrillo en voladizo se extienden a lo largo de toda la hipotenusa. Dichas paredes se acercan una a la otra, pero no se encuentran en el centro, dejando un hueco por el que se vislumbra también simétricamente la parte de atrás. Las paredes delimitan enfáticamente la entrada al tiempo que sirven como una reinterpretación del frontón clásico de fachada. La base del edificio es como un pedestal que contrarresta visualmente el robusto voladizo. El edificio es paralelo a las calles adyacentes al nivel del suelo, lo que hace que sea fácilmente accesible a través de entradas separadas y estacionamientos en la superficie orientados a la parte trasera del edificio. Tanto éste como otros edificios, aparecen varias veces a lo largo del metraje de la película, desde diferentes perspectivas, pero siempre buscando la más completa simetría. La música sutil, tenue, vaporosa, y disfrutar la proyección en pantalla grande hace que el espectador se sienta uno más en la ciudad. La iglesia cristiana del Norte, de Eero Saarinen, inaugurada en 1964, es otro de los edificios en los que el realizador se ha recreado delicadamente, apareciendo desde la distancia necesaria para admirar su estructura completamente. Una delgada y afilada aguja metálica se eleva hasta los 59 metros sobre el centro de esta iglesia hexagonal, mientras que un óculo en su base deja pasar la luz. Fue el último edificio que concibió Saarinen antes de su prematura muerte. El interior se organiza alrededor de la mesa central de la comunión, con asientos escalonados a cada lado del órgano dispuesto también en forma hexagonal. A la vez que van profundizando en sus problemas personales, Casey va describiendo a Jin, de acuerdo a un baremo personal, cada uno de los lugares que más admira de la ciudad. Su preferido es el de la Primera Iglesia Cristiana, diseñada por Eliel Saarinen, y terminada en 1942. Fue el primero de Columbus de acuerdo al plan de ordenación urbana comentada anteriormente y también una de las primeras iglesias en EE. UU. de estilo moderno. Como vemos en la imagen predomina la estructura cuboide, en la que también está presente el gusto en este caso por lo asimétrico del arquitecto (el reloj de la torre a un lado, la cruz descentrada). La torre tiene una parte superior perforada que permite que los sonidos del órgano salgan al exterior. En contraste con las líneas rectas de la iglesia y la biblioteca donde trabaja Casey, en frente de la citada iglesia, encontramos (lo vemos también en la foto) una escultura en forma de arco de estilo amorfo en medio de la plaza. Fue sugerencia del arquitecto I. M. Pei, que diseñó la biblioteca. Henry Moore fue su autor, colocándolo en el centro de una rotonda ligeramente elevada. Moore dijo inspirarse en la naturaleza y concibió la escultura para que se pudiera caminar a través y alrededor. Se fundió en bronce en 50 secciones en Alemania Occidental trasladándose por el río Mississippi hasta Ohio, y después por la autovía interestatal hasta su montaje final en 1971. Otros arcos de bronce similares, pero más pequeños, de Henry Moore están diseminados por todos los EE. UU., pero éste es el mayor. Precisamente la Biblioteca Memorial Cleo Rogers (1969), es uno de los espacios que más aparece en la película, desde diferentes ángulos y perspectivas, pero siempre bajo la mirada simétrica que venimos indicando que monopoliza la película. Es un edificio de ladrillo rojo con fachada austera a la plaza pública que estamos describiendo. La luz se introduce a través de un gran tragaluz inclinado que recorre la mitad de la estructura, que ha sufrido diferentes añadidos y renovaciones desde su construcción. Finalmente, destacaré las perspectivas que Kogonada capta del edificio que alberga las oficinas del periódico The Republic (en la imagen se observa a la protagonista avanzando desde el fondo), obra también de la firma Skidmore, Owings y Merrill, finalizado en 1971. Al igual que el Centro de Conferencias Irwin (inicialmente el Irwin Union Bank, 1954) y la Casa Miller (1957), ambos diseñados por Eero Saarinen, son edificios de una única altura, recorridos casi por completo por enormes paneles de vidrio. El último de éstos fue residencia personal de J.  Irwin Miller y su esposa hasta su fallecimiento en 2008, siendo entonces adquirido por el Museo de Arte de Indianápolis, haciéndose accesible al público. Tiene 635 metros cuadrados, y fue amueblado por Alexander Girard. Dispone asimismo de un gran jardín (tanto el interior como el jardín son ampliamente mostrados en el film) diseñado por el arquitecto paisajista Dan Kiley. Prácticamente cada plano en cada escena es una composición geométrica de diferentes espacios y edificios de la ciudad. También aparecen espacios privados de los personajes, y primeros planos de los mismos, pero todo está totalmente condicionado al entorno, a la arquitectura. Sirva como muestra las dos siguientes imágenes, una de la habitación del hotel donde se aloja Jin, y otra de Casey de espaldas sobre el capó de un automóvil, pero guardando la simetría de la composición de un modo obsesivo. La película además de la simetría, mantiene una estructura argumental cíclica, sobre todo en cuanto a la imagen, y, no lo he comprobado, pero, muchas escenas del inicio de la película, aparecen también al final, como queriendo plasmar cómo la forma de pensar de los protagonistas ha cambiado, pero el entorno sigue siendo el mismo. Así el puente Stewart (en reconocimiento a Robert N. Stewart, alcalde de la ciudad durante tres legislaturas), terminado en 1999, es una estructura atirantada diseñada por la compañía J. Muller International, con 40 cables con forma de un ventilador. La segunda imagen es la denominada Posada (Inn) de los Irwin Gardens, hoy hotel para visitantes y anteriormente parte de la residencia del citado arquitecto J. Irwin Miller (muchas de sus habitaciones, son las que el protagonista Jin disfruta en la película; aunque aparece entrando en un hotel “normalito”, los interiores son de este otro lugar). En cualquier caso, no crean que Columbus se reduce a una colección de postales turísticas, hábilmente encuadradas y fotografiadas. Como dije al inicio, es un magnífico ejemplo de cómo la arquitectura, el entorno, condiciona completamente la percepción de una película (y quien sabe, si, como a los protagonistas, nuestra propia existencia). Como curiosidad cinéfila, Rory Culkin, el hermano menor de Macaulay, tiene un pequeño papel en la película (y en la biblioteca del lugar, je je je). Quien se esconde tras el seudónimo Kogonada Aunque la identidad de Kogonada (suele firmar como :kogonada) es casi desconocida, suele asistir a las proyecciones públicas de sus obras, y atender a las entrevistas. Por ejemplo, hace dos años, en marzo de 2016, estuvo presente en el jurado del 16º Festival de Cine de las Islas Canarias, dio una clase magistral y mostró algunas de sus creaciones. (ver entrevista concedida al programa Días de Cine de Televisión Española). Nació en Corea del Sur, y se ha dado a conocer sobre todo por sus ensayos en video, piezas cortas que analizan el contenido, la forma y la estructura de películas y series de televisión. Lo hace comentando las composiciones de los directores y haciendo montajes muy didácticos e ilustrativos sobre la mirada y estética particular de los directores de cine. Es colaborador habitual de la revista Sight & Sound y ha elaborado con frecuencia videos complementarios a los lanzamientos de las colecciones de películas de la marca The Criterion Collection. Su primer video-ensayo fue Breaking Bad // POV, en enero de 2012. Utilizando clips de la homónima serie de televisión estadounidense, muestra cómo se utilizan con frecuencia puntos de vista desde ángulos y objetos inusuales. Las obras de Kogonada son parte de un creciente movimiento de realización de trabajos de este tipo como forma visual de análisis, apreciación y crítica en Internet. Suelen centrarse en un tema particular o una estética que un cineasta usa regularmente a través de una filmografía o dentro de una sola obra. Podemos disfrutar de algunos de ellos en la plataforma Vimeo (pinchando en los enlaces, accedemos a ellos; no duran más allá de dos minutos). Algunos ejemplos son sus tres ensayos en video sobre la estética del director estadounidense Wes Anderson, que destaca, entre otras particularidades, por usar también encuadres inusualmente simétricos en sus películas. Estos ensayos los realiza mediante la yuxtaposición de imágenes, transmitiendo pensamientos a través de una disposición concreta.  Al comparar los ensayos escritos con los ensayos visuales, Kogonada observó cómo las palabras forman observaciones precisas y definitivas de las ideas, mientras que las imágenes pueden transmitir una idea particular, pero sin proporcionar una explicación definitiva. Explicó que "si quieres profundizar en la teoría, los textos son el medio perfecto ... Sin embargo, cuando estoy haciendo ensayos visuales, trato las palabras como algo complementario". Su principal referente cinematográfico (no lo esconde y se siente orgulloso de “imitar” sus planos y perspectivas) es el cineasta japonés Yasujiro Ozu. Tampoco esconde su admiración por el citado Wes Anderson, Stanley Kubrick, Robert Bresson o Alfred Hitchcock. Preguntado por el porqué de un seudónimo, sin esconderse para nada, explicó en una entrevista a través del correo electrónico de la revista Filmmaker que “Me gusta la idea de Chris Marker acerca de que su trabajo sea su trabajo. Nunca me he identificado mucho con mi nombre estadounidense, que siempre me resulta extraño ver o escuchar. Y me gustan mucho los heterónimos”. Enlaces a sus video-ensayos: Kubrick // One-point perperstive: https://vimeo.com/48425421 Wes Andersonv // From Above: https://vimeo.com/35870502 Tarantino // From Below: https://vimeo.com/37540504 Ozu // Passageways: https://vimeo.com/55956937 Eyes of Hitchcock: https://vimeo.com/107270525 Y un video explicativo sobre la película: Columbus: For those who feel lost: https://www.youtube.com/watch?v=esR6I8DSLuI Alfonso Jesús Población Sáez

Lunes, 18 de Marzo de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

39. 138. ¿Órbitas Trigonométricas?

Hace unas semanas, un fiel seguidor de la sección, compañero de estudios y de trabajo, me planteó una cuestión que paso este mes a comentar. Dedicamos la reseña 117, en febrero de 2017, a comentar la estupenda Figuras Ocultas (Hidden Figures, Theodore Melfi, EE. UU. 2016) en cuyo argumento se describe el papel relevante que desempeñaron muchas mujeres de color en la carrera espacial norteamericana, a la vez que se reivindica la necesidad de dar a conocer su trabajo (el 11 de febrero está cerca, buen momento para volver a verla). En aquellos años se mantenían en un segundo plano, no sólo porque su trabajo se consideraba “secundario” (meras calculadoras, tarea rutinaria y “no digna” de los “eminentes” ingenieros), sino porque aquella sociedad tenía conceptos sociales, éticos y raciales bastante descentrados (me resisto a hacer la insinuación, pero la realidad mediática nos abruma: ¿y ahora? ¿sólo en yanquilandia?). En dicho artículo nos centrábamos en los aspectos matemáticos preferentemente, como la resolución de una ecuación cuartica mediante factorización, el método de Euler de aproximación a la solución de una ecuación diferencial de primer orden a partir de un valor inicial (buscando la transición de una elipse a una parábola en la reincorporación de una nave en órbita a la Tierra), algunos comentarios sin demasiado sentido sobre el triedro de Frenet y el método de ortonormalización de Gram-Schmidt, y relacionados, aunque de otras disciplinas, apuntes de puesta en marcha de los primeros computadores y cuestiones físicas como la constante de Planck-Einstein y la ecuación de Schrödinger. Son las referencias directas que cualquiera puede localizar. Sin embargo, la puesta en marcha de una película requiere de otras muchas cosas, entre ellas un atrezo coherente. En numerosas ocasiones hemos comentado el contenido de pizarras, cuadernos, objetos, etc., que se muestran en las películas, que enriquecen, o desacreditan el conjunto. Mi compañero Miguel me indicó que había algunas representaciones gráficas que aparecían varias veces en la película que le habían llamado la atención, como las que vemos en el fondo de la imagen adjunta de uno de los protagonistas. Se trata de un mapa de la Tierra en el que aparecen unas líneas, y unos círculos. Quizá una imagen más completa nos haga percatarnos mejor de la forma que presentan esas líneas. En esta segunda imagen, en el centro de seguimiento de la nave ocupada por John Glenn, observamos al completo las posibles trayectorias que puede seguir dicha nave y los círculos los posibles lugares en los que aterrizará. La cuestión es, ¿son sinusoidales? ¿Por qué, si teóricamente está girando alrededor de la Tierra? Los satélites artificiales que mandamos, ¿también describen trayectorias de ese tipo? Si buscamos en la red información sobre, por ejemplo, la Estación Espacial Internacional (ISS, en inglés, por si lo buscan), nos toparemos con imágenes de este tipo: Así pues, nuestras sospechas se confirman: aparecen representadas mediante una trayectoria aparentemente semejante a una trigonométrica. Todos los aficionados a la Astronomía conocen la Estación Espacial Internacional, un satélite artificial habitable que actúa como una estación espacial tripulada, en órbita terrestre baja y que aloja a una media docena de astronautas que realizan diferentes trabajos y misiones de investigación científica y tecnológica a bordo. Como cualquier otro satélite artificial, la EEI circunda la Tierra en una ruta predefinida, llamada órbita. La órbita de la EEI se encuentra a una altitud donde todavía experimenta una fuerte atracción gravitatoria de la Tierra. Contrariamente a la creencia popular, no presenta “gravedad cero”. De hecho, en la EEI se experimenta hasta el 90% de la gravedad que tenemos aquí en la Tierra. Está cayendo perpetuamente hacia la Tierra, pero gracias a su enorme velocidad orbital (17,200 mph / 27,6000 kmph) y el gran tamaño de nuestro planeta, nunca llega a la superficie. Una curiosidad notable de la órbita de la EEI es que no coincide con el ecuador de la Tierra. Cuando hablamos de un satélite que gira alrededor de la Tierra, generalmente tendemos a visualizar su órbita coincidiendo con el ecuador, pero en realidad, la órbita de la EEI se parece más a lo que muestra la imagen adjunta. En cualquier caso, sigue un desplazamiento prácticamente circular alrededor de la Tierra. La razón por la que finalmente esa trayectoria “parece” una onda en vez de una circunferencia tiene que ver con el mapa utilizado. Como es conocido, no es posible configurar un mapa “exacto” de la Tierra, ni de ningún planeta (ya les gustaría a los terraplanistas; por cierto, la bobada no es nueva, y si no echen un ojo a lo que lleva pintado en la frente el paciente elefante de la célebre comedia El Guateque (The party, Blake Edwards, EE. UU., 1968); claro que, en su descargo, en estos años, estos colegas iban colocados hasta las cejas), debido a la imposibilidad de trasladar un objeto tridimensional al plano. Existen varios modelos diferentes, de acuerdo con el criterio que mejor satisfaga nuestras necesidades: unos conservan la forma de los continentes pero no las distancias, y otros al contrario. El mapa que más se ha utilizado durante mucho tiempo pertenece a esta última categoria, y es conocido como mapa de Mercator. La proyección cartográfica que utiliza prioriza el trazado de rutas en línea recta dado que las cartas naúticas era un tema de máxima necesidad en el siglo XVI. La forma exacta de los países era algo bastante más secundario. Se trata de una proyección cilíndrica, por lo que cuanto más nos alejamos del Ecuador a los Polos, más distorsión existe frente a la realidad. Además de no mostrar de forma correcta el tamaño relativo de los países, la proyección de Mercator también distorsiona el camino de la EEI en el mapa mundial y de cualquier objeto en órbita o tratando de entrar en la atmósfera terrestre (que es el caso de John Glenn en la película Figuras Ocultas). En la propia película aparecen también imágenes de informativos de la época, como la mostrada a continuación, en la que como vemos, también se muestra un mapa con las trayectorias marcadas del mismo modo. Pero no siempre las producciones cinematográficas tienen el mismo rigor a la hora de plasmar este tipo de elementos de ambientación de la película. Hay muchas películas relacionadas con la Astronomia y los viajes espaciales. ¿Conoce el lector algún flagrante caso de “metedura de pata” con este tipo de cosas? Esperamos sus aportaciones. Alfonso Jesús Población Sáez

Miércoles, 06 de Febrero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

40. 137. La neurótica existencia del magUFO

Aburrida, previsible, vamos a empezar el año con fuerza, aunque la película se estrenó el septiembre pasado, y ha pasado por nuestra cartelera sin pena ni gloria. Y es que, aunque hay algunos apuntes matemáticos con algún interés, hay que tener mucho cuajo, o ser un magufo conspiranoico convencido para seguir manteniendo argumentos como los planteados en esta película. Ficha Técnica: Título: OVNI: No estamos solos. Título Original: UFO. Nacionalidad: EE. UU., 2018. Dirección: Ryan Eslinger. Guion: Ryan Eslinger. Fotografía: Ryan Samul, en Color. Montaje: Brendan Walsh. Música: West Dylan Thordson. Duración: 88 min. Ficha artística: Intérpretes: Alex Sharp (Derek Echevaro), Gillian Anderson (Profesora Hendricks), Ella  Purnell (Natalie), Benjamin Beatty (Lee), Cece Abbey (Chica), David Strathairn (Franklin Ahls), Ken Early (Dave Ellison), Brian Bowman (Roland Junger), Rick Chambers (Presentador de KCIN5), Lu Parker (Presentadora de KCIN5), Khrys Styles (Agente Especial), Ted J. Weil (Detenido en el aeropuerto), Aiden J. Ransom (Derek, con 8 años), Katie Eichler (Sara), Sara Welch (Presentadora de KLTV6). Sinopsis: Un joven universitario, estudiante de matemáticas para más señas, encuentra contradicciones en los mensajes oficiales del Gobierno sobre el presunto avistamiento de un objeto volador no identificado en el aeropuerto de Cincinnati. El asunto le llama poderosamente la atención ya que tuvo de pequeño una experiencia con un artefacto similar, por lo que se dedica en cuerpo y alma a tratar de averiguar qué ha sucedido en realidad. Pero al parecer, hay quien no le va a dar demasiadas facilidades para conseguirlo. Desde el inicio, se nos deja claro de qué va Inmediatamente después de la imagen de la productora de la película (o sea, a los 20 segundos de metraje), los responsables de la película han creído conveniente ilustrarnos con algunos conceptos que quizá el espectador medio no tenga en mente, se supone que para que entienda mejor algunos momentos del argumento. Correcto. Lo reprochable es que junto al concepto se incluyan comentarios un tanto, digamos eufemísticamente, discutibles, con la intención de ir condicionando al espectador en un determinado sentido. Veamos a qué nos referimos (he resaltado en negrita lo que creo que no debería aparecer, al menos tal y como está): Los átomos de hidrógeno emiten luz a determinados niveles de energía. Estas energías vienen determinadas a su vez por la constante de estructura fina. Constante de Estructura Fina = 0.0072973525664(17). Dicha constante es un número misterioso que aparece en multitud de cálculos de la física más fundamental de nuestro universo, …. pero no tenemos ni idea de su procedencia. La atmósfera, las estrellas, el aire que respiramos, incluso el lazo de los zapatos, poseen un componente atómico que incluye este enigmático número. Es un concepto matemático reconocible en todo el universo. En 1974, Frank Drake, Carl Sagan y otros científicos enviaron el mensaje de Arecibo al espacio. Contenía matemática básica y diversa información con el objetivo de contactar con otras formas de vida en el universo. Fue lanzado en dirección al cúmulo de estrellas M13 y el mundo esperó expectante una respuesta…, pero serían necesarios 22800 años para que el mensaje fuera recibido en el M13, …, a menos que ellos llegaran antes. Por supuesto que estamos ante una película de ciencia-ficción, y hay que crear cierta “ambientación”. Pero uno puede posicionarse desde un punto de vista neutro, objetivo (lo que debería hacer un estudiante de matemáticas como el protagonista), o hacerlo desde la más absoluta certeza de que el fenómeno que tuvo lugar era realmente una nave extraterrestre (la postura de Derek desde el principio, a causa de la experiencia que tuvo en su infancia; en la película se insinúa la razón por la que se volvió magufo perdido: su madre no le hizo ni puñetero caso, y claro, surge el efecto de acción-reacción). Y esta postura es peligrosa (y en este tipo de películas, la de siempre; ¿se tratará el tema desde una perspectiva distinta alguna vez, para variar? Supongo que no, porque eso seguramente no interese a nadie) porque, al igual que pasaba en Pi, fe en el caos, (o en El número 23, o Señales del futuro; las pongo en orden creciente de degeneración magufa; y cito éstas por haber sido comentadas en esta sección por tener algún contenido matemático) cuando uno está convencido de algo, hace lo imposible por demostrar que está en lo cierto. La constante de estructura fina Arnold Sommerfeld fue un físico alemán nacido en Königsberg (ya sabéis, la localidad de los famosos puentes que motivaron el nacimiento de la teoría de grafos) en 1868, donde estudió matemáticas. Su primer trabajo relevante fue un artículo sobre la teoría matemática de la difracción, bajo la supervisión de Felix Klein, en el que incluye una relevante parte teórica sobre las ecuaciones diferenciales. Sus contribuciones más destacadas son la propuesta en 1916 de una modificación al modelo atómico de Bohr, en el que considera que los electrones pueden girar en torno al núcleo del átomo en órbitas elípticas y no exclusivamente circulares, y la introducción en 1919 de la constante de estructura fina. De modo que, a menos que los guionistas de la película consideren que este señor fuera extraterrestre, que no creo, la procedencia de esta constante está muy clara. Sommerfeld realizó otros trabajos importantes sobre el estudio de la propagación de las ondas electromagnéticas en cables, sobre el estudio del campo producido por un electrón en movimiento, sobre la relatividad, aunque sobre todo se le recuerda por su dedicación docente y la supervisión de una treintena de tesis doctorales a eminentes estudiantes, algunos de los cuales hicieron investigaciones que alcanzaron premios como el Nobel, entre otros. Como curiosidad, indicar que Sommerfeld visitó Madrid en 1921, interesándose en conocer personalmente a Miguel A. Catalán, y que éste no tuvo ningún reparo en entregarle una copia de su trabajo sobre el manganeso, antes de publicarlo. La constante de estructura fina se introdujo como medida relativista de las desviaciones en las líneas espectrales atómicas de las predicciones hechas por el modelo de Bohr. Caracteriza la fuerza de interacción entre las partículas con carga eléctrica y determina el tamaño de la separación o estructura fina de las líneas espectrales del hidrógeno. El que aparezca en muchos lugares no justifica el calificativo de enigmática. Recordemos que la constante π, no sólo aparece en todo aquello en lo que a longitudes de curvas o cálculo de áreas o volúmenes con círculos, elipses, etc., sino que “misteriosamente” también está en el cálculo de probabilidades (experimento de la aguja de Buffon, por ejemplo), o en la suma de series infinitas, por citar dos ejemplos, aparentemente sin relación. O que decir del número ϕ. ¡¡Cuántos enigmas de otros mundos!!, ¿no? Estereotipo del profesor de matemáticas La profesora Hendricks (interpretada por la actriz Gillian Anderson, ex agente Scully de las nueve temporadas de Expediente X, y terapeuta sexual con hijo virgen en la inminente Sex Education, en Netflix) es la típica borde en las aulas, que mejora algo en las distancias cortas. En su primera aparición, entrega unas calificaciones a sus alumnos: Derek: Disculpe, profesora Hendricks. ¿Por qué no me ha calificado la número 5? (una pregunta del examen) Hendricks: No responde nada. Le falta la solución trivial x = 0, y = 0. Derek: No se me ha pasado. Pensé que no era importante. Hendricks: Encontrar todas las soluciones. ¿Entiende la definición de TODAS, señor Echevaro? Derek se sube a la tarima, y le lee el libro de texto: Derek: A veces se encuentran soluciones no triviales, y a veces, no. Paradójicamente eso sucede cuando la solución trivial es la única solución, es decir, la más importante. Hendricks: Exacto. Es un sistema homogéneo de ecuaciones y la cuestión importante es, si hay soluciones no triviales. Derek: Si esa es la cuestión importante, ¿por qué no pregunta simplemente si hay o no soluciones triviales? Hendricks: Porque quiero que encontréis matemáticamente esas soluciones. Derek: Pero lo importante es que la solución trivial es la única. Hendricks: En efecto. Y ese es el objetivo de este problema. Derek: ¿Cómo puede ser trivial y a la vez importante? Concluí que si x = 0 e y = 0 es la única, era una pérdida de tiempo, es decir, trivial. Hendricks: Creo que las palabras le están confundiendo. Derek: No lo creo en absoluto. Hasta el libro dice “paradójicamente”. Hendricks (enfadada, con sonrisa forzada): Siéntese. El chico se baja de la tarima mostrando su contrariedad cerrando el libro y arrugando los papeles de un modo brusco. Se sienta junto a su compañera. Hendricks: ¿Algo más antes de comenzar? Gracias (irónicamente). En el próximo laboratorio, haremos los problemas del 1 al 43. En otro momento reprocha a Derek, con razón, que habiendo conseguido una beca de la Fundación Akamai gracias a su brillante papel en la Olimpiada Matemática, no entiende cómo tiene un comportamiento tan incordiante en sus clases, además de no cumplir con las tareas que manda. Lo entenderá mejor cuando la despierte llamando a su teléfono particular a altas horas de la madrugada y prácticamente sacándola de la cama, marido incluido (ja, ja, ja, y encima le prepara un té). Por cierto, para aprovechar alguna cosa, la Fundación Akamai es una corporación privada dedicada a fomentar la excelencia en matemáticas, con el objetivo de promover la importancia de las matemáticas y alentar a la próxima generación de innovadores tecnológicos de los Estados Unidos. Tiene un amplio historial de programas de apoyo diseñados para atraer una mayor diversidad a la industria de la tecnología a través de iniciativas como Akamai Technical Academy y Girls Who Code, proporcionar ayuda humanitaria y de socorro en casos de desastre a nivel mundial, incentivar el voluntariado conectando a los empleados con las comunidades en las que opera Akamai, y promover la sostenibilidad ambiental a través de inversiones en energías alternativas. ¡Ay, esas traducciones! Desde estas páginas venimos casi aburriendo al personal insistiendo en que se tenga un poco de cuidado al traducir las películas al castellano para no dar lugar a equivocaciones al espectador en temas relacionados con las matemáticas y la ciencia en general. Cuando las cosas se hacen bien, la gente entiende lo que le da la gana, no digamos si encima se lo ponemos “a huevo”, como coloquialmente se suele decir. Pues ya no sólo se descuidan en este tipo de asuntos técnicos, sino que también lo hacen en conversaciones corrientes. En esta película tenemos ejemplos flagrantes, de los que seleccionamos tres (hay más). 1.- En una escena, Natalie va al despacho de la profesora Hendricks a solicitarla una carta de recomendación para poder hacer el postgrado en esa universidad. Hendricks la indica que debe esperar a las calificaciones finales ya que sólo recomienda a los que obtengan sobresaliente en su asignatura. A continuación, la pide un aplazamiento en la entrega de un trabajo de laboratorio porque su compañero está muy ocupado. La profesora la informa de que ya le dijo a Derek que no les daba prórroga, y la sugiere que lo haga sola, sin él. La chica, da la impresión de que, por hablar de algo, prosigue así: Natalie: Por lo que he leído, muchos de los mejores matemáticos hicieron sus trabajos en los años veinte. Einstein, Ramanujan, …. Hendricks: Riemann, Abel, Galois, …. Los conozco a todos. ¿Años veinte? ¿Riemann, Abel y Galois? Un poco raro, ¿verdad? Como en otras ocasiones, salgamos de dudas, yendo a la versión original: Natalie: From what I've read, a lot of the best mathematicians do their best work in their early 20's; Einstein, Ramanujan... Hendricks: Riemann, Abel, Galois, I know the list. Está claro, ¿no? No es lo mismo “en los años veinte” que “a los veinte años”. En “sus” veinte años. Por otro lado, lo de “los conozco a todos” tampoco parece muy acertado, porque “todos” es demasiado rotundo, por no hablar de que parece que se ha ido de copas con ellos. 2.- En la escena “cumbre”, en la que la profesora Hendricks descubre el significado de las cifras a las que Derek lleva dando vueltas toda la película, encontramos lo siguiente: Hendricks: Buenas tardes. Capítulo 4. Valores propios y vectores propios. Si tenemos una matriz cuadrada A que representa una transformación lineal y la multiplicamos por su vector, el resultado es igual a tantas veces la lambda escalar de dicho vector. La v designa el vector propio y lambda sería el valor propio. He marcado en negrita lo que no tiene demasiado sentido o está mal descrito. Ahora resulta que las matrices tienen un vector particular que es “su vector”. ¿Y la lambda escalar de ese vector? La traducción vuelve a estar mal hecha, aunque en este caso, si no se consulta a alguien que sepa algo de matemáticas, no se va a dar con una traducción medianamente correcta. La versión original es así: Hendricks: Chapter four. Eigenvalues and Eigenvectors. Now, if we have a square matrix "A" that represents a linear transformation, then this matrix times the vector is equal to a scalar lambda times the same vector. Now, the "v" is called an eigenvector, and the lambda is called an eigenvalue. Lo correcto hubiera sido decir que cuando al multiplicar la matriz por un vector (matrix times the vector) el resultado sea un escalar lambda por dicho vector, entonces v se denomina autovector (o vector propio) y lambda, autovalor (o valor propio). 3.- En otra escena, Derek irrumpe en el apartamento que comparte con otros estudiantes que están menos preocupados que él por el asunto del platillo volante (hablan de grupos musicales, y Lee se dispone a chutarse un poco de marihuana): Derek: Lee, ¿has visto mi mensaje? Utilizan matemática básica para comunicarse. 1+2 =3, 3 – 2 = 1. Es la constante de estructura fina. Desde luego son matemáticas muy básicas, en efecto. Pero choca que diga la frase final, cuando desde el inicio, y en otras escenas previas, se indica que la constante de estructura fina es 0. 007297… La frase anterior en la versión original es: Derek: They're using basic math as a way to communicate: 1+2=3, 3–2=1. Okay and the Fine-Structure Constant is in there. En cualquier caso, ¿qué relación tienen esas operaciones (1+2 =3, 3 – 2 = 1) con la constante de estructura fina? ¿Binario? Continuando con la escena anterior, Derek comenta a Lee lo siguiente sobre las contantes: Derek: Tal vez intentan establecer un lenguaje matemático común para comunicarse. Nociones básicas de matemáticas o física. Como con números como 3.1416 o 0.0072797. Lee: Si, claro. ¿Y este 38? Derek: Es binario. 2623 veces 2933. O sea 2623 es el número total de bits en la señal. Cada uno dará una décima de segundo. Eso nos da un total de 774572 segundos, es decir 9 días exactos, ¿vale? Así que, martes, día del avistamiento más 9 días es el próximo jueves. Dentro de 6 días. Ya saben, 38 es binario. También está así en la versión original. Por otro lado, con los números que da, a mí no me salen por ningún lado esos 774572 segundos, que tampoco son 9 días, porque 9 días, yo creo, son 9 x 3600 x 24 = 777600 segundos. Quizá, si se nos definiera la multiplicación magufa, se entendería algo. Además, como bien razonan (cuando quieren, o para enmascarar otros razonamientos, como hacen siempre estos señores; ya saben, entre col y col, lechuga) en otro momento del guion, si los extraterrestres quizá no trabajen en metros, pulgadas, pies, mega hertzios, etc., lo mismo debería aplicarse a los segundos, digo yo, ¿no? De modo que, ¿qué nos están contando? Matemáticas demasiado básicas Aparte de incluir cifras aquí y allá, dos son los momentos en los que aparece un cierto atisbo de deducción matemática, el primero a cargo de Derek, y el segundo por la profesora Hendricks (porque inexplicablemente Derek se obnubila un tanto al final): 1.- Para descubrir que las autoridades tratan de encubrir los hechos mediante mensajes absurdos y contradictorios. Cotejando la información que ofrecen los medios de comunicación con la de los testimonios de las personas que vieron el objeto en el aeropuerto, a Derek no le cuadran los datos. Ahorrándoles cómo va recopilando los datos (sus compañeros Natalie y Lee lo hubieran agradecido también), utiliza semejanza de triángulos y el teorema de Tales para calcular la envergadura real del objeto, mucho mayor que lo que transmiten a la opinión pública, que en principio achacan a un dron. Entonces, Derek llama a Dave Ellison, el encargado del aeropuerto en dar la información a los medios de comunicación (el magufo peliculero siempre acaba llegando incluso si es preciso hasta el mismísimo Presidente de los Estados Unidos). Aunque le cuelga un par de veces, la curiosidad por saber qué ha averiguado (oigan que estudiantes tan inteligentes que deducen más que el FBI o los ingenieros del aeropuerto, o más bien, qué incompetentes estos últimos) hace que escuche la enumeración de todos los datos: Derek (por teléfono): Quiero saber por qué dicen que medía un metro o metro y medio de diámetro (el objeto volante). Según los testigos era como una moneda vista a la distancia de un brazo. La capa de nubes estaría a unos 1000 metros y flotaba entre 30 y 60 metros por debajo, lo que supone unos 25 metros de diámetro. En esta ocasión se han molestado en pasar las unidades correctamente (redondeando los decimales, eso sí): de pies de la versión original, a metros en la versión doblada. Pero en la escena mencionada anteriormente, cuando Derek está haciendo los cálculos, dice en voz alta (en la versión doblada), x = 88. Y como en doblaje no hacen cálculo alguno (¡¡pobres!! Sería mucho pedir) y la versión original no incluye en ese momento unidades, pues han dejado 88, que son pies. Como el resto lo han transformado en metros, las cuentas no salen. Esos 88 pies corresponden a los 25 metros de diámetro del OVNI que dice luego. Cualquiera que siga con un poco de detalle la película, se dará cuenta de la incongruencia (no habrá muchos, seguramente: el espectador medianamente crítico no irá a ver una película con este título, y el magufo convencido se traga lo que le echen, aunque quizá en este momento de la película ya esté algo mosqueado porque no está a la altura de sus expectativas). Utilizando los datos de la versión original (porque con los datos en castellano no sale por culpa de que han “pasado” 2900 pies como 1000 metros), Derek indica que la capa de nubes estaba ese día (está constantemente mirando el móvil, no se separa de él, quizá lo más realista de la película respecto a los chicos de esa edad) a 2900 pies y el objeto entre 100 y 200 pies por debajo, de modo que toma el valor medio, 2750 pies. Estima la longitud del brazo en unas 22 pulgadas, que en pies resultan ser 1.8333, y mira en internet el diámetro de una moneda de diez centavos que es 17.91 milímetros, 0.05872 pies. Con un dibujo similar al suyo, tal y como vimos en la imagen anterior, pero con todos los datos en su sitio, tenemos esta situación Despejando la x, que sería el diámetro del OVNI, x = 88.08016014. A Derek le sale en su móvil 88.0905612, pero sinceramente no me he molestado en comprobar qué decimales ha utilizado para que salga exactamente ese valor. 2.- Para deducir que desde la torre de control del aeropuerto era imposible visualizar el objeto. A pesar de que se acerca el día en que debe presentar unas prácticas con Natalie a la profesora Hendricks, Derek no deja de pensar en el OVNI. Se va al aeropuerto, compra un billete para un avión que no va a tomar, únicamente para poder hacer fotos desde dentro del aeropuerto y ver su funcionamiento. Con las medidas de la torre de control, 252 pies, lo primero que hace es calcular la altura desde la que podría observarse desde la cabina. En la imagen vemos que estima que es aproximadamente un 90% de la altura, es decir, 227 pies (calcula bien el porcentaje). Como el objeto se vio a una altura desde el suelo de 2750 pies, los técnicos de la torre lo verían desde 2523 pies (la diferencia que vemos indicada en la imagen). Entonces para determinar el ángulo desde el que lo tendrían que ver, utiliza trigonometría elemental (cateto entre cateto, es decir, seno entre coseno, para calcular la tangente del ángulo). Esa expresión nos da que tg θ = 5.046, de donde θ = arctg(5.046) ≈78.79º (en la película, se describe el arco tangente como tan–1, tal y como hacen los anglosajones). Con el voladizo que tiene la torre de control, estima que sería entonces materialmente imposible visualizar el objeto desde la cabina. Ni corto ni perezoso, telefonea al aeropuerto y pide que le pongan con Hal (en un audio de la torre, es el nombre que acierta a entender), y ¡oh, casualidad! existe un Hal Lapierre y además le pasan con él. Bastante inquieto le confiesa que, en efecto, nunca dijo que había visto el aparato. Derek “deduce” entonces que lo oyó. 3.- Los alienígenas están enviando mensajes para comprobar si los terrestres somos una especie inteligente. Del audio de la torre de control, Derek va a tratar de descifrar la interferencia que ha producido el OVNI. Se lo explica así a Natalie: Derek: Es una secuencia de tonos, de una décima de segundo, representado aquí en círculos. Los guiones son décimas de segundo de silencio. En total 2623 símbolos, lo que suma 4 minutos y 23 segundos. Luego se repite hasta que se para. No sé por qué. Natalie: ¿Crees que es una señal? ¿Y esa cifra, 9433? Derek: Tal vez sea una cadena binaria de 32 bits. Parecen secuencias de 32, 64 y 64. No tengo ni idea de cómo interpretarlo, pero creo que son 14 bits porque hay 14 círculos al principio y al final. Si son 14, esta cadena supondría 9433, ¿vale? O se podría dividir en dos cadenas de 7 dígitos, una sería 73 y otra 89. Al final hay dos multiplicaciones a las que no encuentran sentido (¡qué afortunados! Nosotros no encontramos sentido a casi nada) que son 9433 x 38, y 9433 x 22. Les dejamos con la incógnita de lo que representan, por si se animan a ver la película. Últimas reflexiones Se suele decir que quien la sigue la consigue, que hay que perseverar, que hay que ser fiel a los principios, y demás expresiones del mismo estilo. También que hay que tener la mente abierta (pero no tanto como para que se te caiga el cerebro, Feymann dixit). Al protagonista no se puede decir que le vaya muy bien: está estresado, no duerme, llega tarde a todos lados, se pira las clases, es un paliza para sus compañeros, es desagradable con ellos cuando pasan o hacen alguna broma de él, deja tirada a su compañera en las prácticas y en lo que se compromete con ella, hace que otro compañero de piso sea detenido, no sabemos cómo logra pagar las facturas de móvil, el billete de avión que no va a disfrutar, le vigilan, entran en su apartamento y manipulan su portátil, el FBI lo detienen y esposan, está siempre de mal humor, indignado, en definitiva, que lleva una vida más bien penosilla. O sea que, aunque el director-guionista no pensara en ello, la moraleja es clara. Con esto no quiero indicar que haya que pasar de todo cuando las cosas se complican (es lo que el buen magufo infiere: las cosas o son blancas o negras, no hay teoremas del valor medio para ellos, y la campana de Gauss es falsa, o no saben de qué va). Simplemente hay que parar y pensar. Pero con lógica, críticamente, y dándose tiempo. Y si no llegamos a tiempo de descubrir que al cabo de nueve días volverán las oscuras golondrinas, pues ya vendrán otras. La profesora Hendricks se lo indica a Derek antes de caer “en el lado magufo”: No se puede forzar. Y a veces acabas bloqueado. Somos siervos, no maestros de las matemáticas. En cualquier caso, por mucho que se esfuerza el actor, Derek no queda bien parado, ni en la escena en la que Hendricks “descubre” el verdadero significado de las cifras, ni en intervenciones como: “2623 no tiene otro divisor que 43 y 61, ¿no?” Hombre que esto es de primaria, majete, no te hace falta a Natalie para que te lo asegure. Con estos valores sin embargo sí es capaz de percatarse que representa un cambio en las dimensiones del monitor. ¡¡Venga, hombre!! La película cita varias referencias de conceptos interesantes o al menos curiosas, de tipo matemático o científico: la red de anonimato TOR (The Onion Router, para hacer cosas prohibidas, según Derek), la escala de Kardashov (para detectar el grado de evolución tecnológica de una civilización), el mensaje de Arecibo de Frank Drake y Carl Sagan, Thomas Edison y sus poco escrupulosos procedimientos, los matemáticos Eugène Ehrhart y sus célebres polinomios, o Yitang Zhang y su demostración​ de que existen infinitos pares de números primos a una distancia menor de setenta millones de unidades (forma débil de la conjetura de los primos gemelos), etc. Ambos son citados como ejemplo de investigadores que han descubierto algo relevante siendo mayores de cincuenta años. Son ejemplos que no pasan de ser en la película más que una mera cita informativa, de esas que los magufos conocen para convencerte de algo. La vena magufa de Derek que acaba por eclipsar sus méritos matemáticos (que como hemos visto, no superan los de un alumno aplicadillo de secundaria) y por contagiar a todos los protagonistas, incluida la profesora Hendricks, se mantiene hasta el final de la película. Cuando el agente del FBI Franklin Ahls (que en el fondo admira a Derek por su perseverancia y sus conocimientos) pregunta a Derek “¿Sabes lo que esto significa?” en relación al mensaje descifrado y a una nueva aparición del OVNI, que acontece exactamente cuando Derek había deducido, sinceramente, yo pensé que la respuesta (al menos la que yo daría) sería “Que ya tengo trabajo en el FBI”. Pues no, es algo más rimbombante, que el título en español estropea y conlleva a pensar: ¡¡Qué hora y media más lamentablemente perdida!! Y no saliendo aún de mi estupor, uno que se queda siempre hasta el final de los títulos de crédito (mira por donde, una cosa que han hecho bien los de Marvel en sus películas), alucina viendo que instituciones como la American Mathematical Society (AMS) y la Association for Women in Mathematics (AWM) han colaborado de algún modo en el guion y realización de esta película. Normal que no se encuentre referencia alguna a la misma en sus páginas web. Alfonso Jesús Población Sáez

Viernes, 04 de Enero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico