151. 69. Alan Turing: Rompiendo Esquemas (Primera Parte)

Estamos inmersos en el 2012, año en el que se conmemora el centenario del nacimiento de Alan Turing. Un buen momento para revisar el magnífico telefilme británico Breaking the Code. Antes de nada recordar al lector que en este mismo portal, Miguel Ángel Mirás Calvo y Carmen Quinteiro Sandomingo, compañeros de la Universidad de Vigo, dedicaron una magnífica trilogía a las versiones teatrales en las que Alan Turing aparece como protagonista (Sección Teatro y Matemáticas, números 47 (Marzo 2011), 49 (Mayo de 2011) y 50 (Junio 2011)). En la primera abordaban la obra original de Hugh Whitemore, basada en la biografía Alan Turing: The Enigma de Andrew Hodges. Echaremos aquí un vistazo a la adaptación para televisión de la misma obra, analizando fundamentalmente, como viene siendo habitual en esta sección, aquellos momentos más relacionados con las matemáticas. Breaking the Code Título Original: Breaking the Code. Nacionalidad: Gran Bretaña, 1996. Director: Herbert  Wise. Guión: Hugh Whitemore, basada en el libro Alan Turing: The Enigma, de Andrew Hodges. Fotografía: Robin Vidgeon, en Color. Montaje: Laurence Méry-Clark. Producción: Jack Emery. Galardones: Ganador del premio al mejor drama en los premios británicos de prensa (Broadcasting Press Guild Awards) en 1998, y nominaciones al mejor actor principal en los BAFTA TV, y a la mejor puesta en escena de los GLAAD Media Award del mismo año. Duración: 75 min. Intérpretes: Derek Jacobi (Alan Turing), Alun Armstrong (Mick Ross), Blake Ritson (Christopher Morcom), William Mannering (Alan Turing joven), Prunella Scales (Sara Turing), Julian Kerridge (Ron Miller), Harold Pinter (John Smith), Richard Johnson (Dilwyn Knox), Amanda Root (Patricia Green). Breve sinopsis: Como sucede en la obra teatral, el telefilme comienza en una comisaría de policía, en Manchester en 1952. Alan Turing denuncia que han entrado en su casa y ha sido víctima de un robo. El agente Mick Ross se ocupa del caso. Según le toma declaración, Alan va recordando situaciones de su vida, no en orden cronológico, a través de las cuales el espectador va conociendo detalles y aspectos de su trabajo y personalidad. Esta producción no ha sido emitida en nuestro país por ninguna televisión (¡y mira que nos tragamos bodrios televisivos los sábados y domingos por la tarde en muchas cadenas!), ni editada en DVD. El lector puede verla íntegramente en YouTube, eso sí en versión original sin subtítulos (aunque en su ayuda van precisamente estas reseñas). Dedicaremos dos reseñas a transcribir y comentar algunas de las escenas más relevantes de esta producción, esperando que el lector se anime a ver el telefilme a pesar de no estar en castellano, y sobre todo descubra la importancia del trabajo de este gran matemático, desgraciadamente desaparecido prematuramente por circunstancias tan absurdas como injustas (y conste que en nuestro país, también tenemos algún que otro episodio vergonzoso en relación a la tendencia sexual de algunos ciudadanos). Volvemos a reiterar la lectura paralela de la reseña 47 de marzo de 2011 de la sección Teatro y Matemáticas, puesto que mi intención ha sido que la presente sea complementaria de aquella, tratando de que el telefilme se entienda mejor con ambas. Transcripción en español de algunas escenas Primera escena: hacia el minuto 4:50 La acción se sitúa en Guildford en 1929. Alan Turing y su amigo Christopher Morcom (ver imagen; Alan es el de la derecha) entran en casa del primero. Aparece Sara, la madre de Alan, que se encontraba en el jardín lo que parece contrariar los planes de Alan. Éste le presenta cortésmente a Chris. La madre los invita a sentarse en el jardín, teniendo lugar la siguiente conversación: Sara (a Chris): ¿Cuánto tiempo ha estado en Sherborne? Chris: Un año más que Troy,…, Alan. Sara: ¿Lo pasó bien? Chris: Mucho. Elegir correctamente el centro de estudio es tremendamente importante, ¿no cree? ¿A usted le agrada Sherborne? Alan (en tono sarcástico): ¿No es maravilloso? Sara: Desde luego que lo es. ¿Por qué dices eso? ¿Qué tiene de malo? Alan: Al menos por un motivo: no tratan las matemáticas como una disciplina seria. Sara: No puedo creerlo. Alan: Pues es así. ¿Sabes lo que nuestro tutor dijo el otro día? Dijo “esta habitación apesta a matemáticas”. Y a continuación, mirándome a mí, añadió “Sal y trae un spray desinfectante”. Sara: Estaría bromeando. Alan: No. Odia todo lo que tenga que ver con la ciencia o las matemáticas. Una vez dijo plenamente convencido que “Los alemanes perdieron la Gran Guerra porque pensaron que la ciencia era más importante que la religión”. Sara: El aprendizaje de las matemáticas no es el único modo de juzgar las cualidades de una escuela. Alan: Es lo único que a mi me importa. Sara (a Chris): ¿Comparte usted también ese entusiasmo por las sumas y la ciencia? Chris: Oh, si, plenamente. Alan interviene en ese momento de forma entusiasmada para relatar que Chris se interesa no sólo por las matemáticas, sino también por la poesía, la astronomía. En ese momento Chris se emociona hablando del cielo, las estrellas, la nebulosa de Andrómeda, “la maravillosa creación de Dios”. Ambos se muestran radiantes hablando de estos temas, aunque Sara los devuelve a la realidad: “Fascinante pero muy lejos de mi alcance”. Y pregunta a su hijo por el impronunciable nombre de ese científico alemán (se refiere a Einstein), terminando con la rectificación que Alan le hace a su madre (“El electrón no se inventó; se descubrió”), detalles que ponen de manifiesto las dificultades de entendimiento de Turing con su familia. Durante toda esta conversación, Alan Turing permanece de pié, dando vueltas a su alrededor, concentrado en algo que lleva en las manos. Cuando su madre sale, quedando a solas con Christopher, vemos que se encuentra jugando al famoso rompecabezas del 15. Cuando finalmente Chris también se va, la cámara nos enseña un primer plano del juego, mostrándonos que lo ha resuelto. Comentarios La escena no sólo nos trae a colación el interés de Turing por las matemáticas desde su juventud sino que también plantea el poco interés que muchas personas, incluso profesores, muestran por esta disciplina (aunque la acción transcurre en 1929, desgraciadamente es constatable, al menos en nuestro país, esa actitud en gran parte de la sociedad, por desconocimiento, por no decir, ignorancia absoluta; aún hay muchos que reducen las matemáticas a la simple aplicación de algoritmos rutinarios que en efecto son tediosos, y más aún, nos los siguen enseñando así). Respecto a la introducción de la religión en el diálogo, los alumnos de Matemáticas de la UPV-EHU en el tercer número de su publicación πkasle, han realizado una portada que incluye una conocida frase de Turing: “Science is a differential equation, Religión is a boundary condition” (“La Ciencia es una ecuación diferencial, la Religión es una condición frontera”). Y conste para los más susceptibles que no es peyorativa en absoluto. Eso sí para entenderla bien, hay que molestarse en averiguar cuál es el papel de las condiciones frontera en una ecuación diferencial. En la vida real de Turing, la repentina muerte de su amigo íntimo, Chris Morcom, propició en él una crisis religiosa que le llevó al ateismo. Probablemente por esa razón la religión es traída a colación en este diálogo. El juego del 15 es un conocido pasatiempo popularizado por Sam Loyd (al parecer su origen es anterior), aunque él mismo afirmaba ser su inventor (en la imagen, grabado original del libro de Loyd). El juego consiste en quince cuadritos que se deslizan dentro de una caja que tiene un hueco vacío. Se suele presentar con todos los cuadritos ordenados. A continuación alguien (o uno mismo) lo desordena al azar, y se trata de restablecer el orden original (algo así como una versión plana del Cubo de Rubik). Planteado así, es obvio que cualquier alteración del orden de los números puede retornarse a la posición inicial. Pero Sam Loyd lo comercializó con los números 14 y 15 cambiados de sitio. El reto era en este caso colocar todos los números en orden. Loyd ofrecía un premio de mil dólares (de 1878) al que lo consiguiera resolver. Además como buen comerciante, supo enganchar a la gente lo suficiente como para que el juego causara furor en su época. En su famoso libro (Cyclopedia of 5000 Puzzles, Tricks and Conundrums, 1914, pág. 235) le echó toda la imaginación que pudo: “Mucha gente se obsesionó con el rompecabezas y se contaron ridículas historias de comerciantes que olvidaban abrir sus comercios, de un distinguido clérigo que se pasó una noche al pie de una farola intentando recordar la forma en que había encontrado la solución. Es tal la misteriosa naturaleza del rompecabezas que nadie parece ser capaz de recordar la sucesión de movimientos que llevan al éxito. Se habló de pilotos que habían dejado embarrancar los barcos que pilotaban, de maquinistas que cruzaban las estaciones olvidándose de detener los trenes y los negocios se fueron a la ruina. Un conocido editor de Baltimore relata cómo se fue a almorzar y el personal de su empresa le descubrió pasada la medianoche empujando pequeños trozos de tarta sobre el plato. Se sabe de granjeros que abandonaron sus arados motivo que he elegido como ilustración de este juego”. El premio nunca fue entregado porque la situación planteada no tiene solución, como demostraron matemáticamente W. W. Jonson y W. E. Story en 1879 (ver artículo aquí). Hay versiones más generales del pasatiempo (rectángulo de n x m cuadritos), y está bastante estudiado qué posiciones son resolubles y cuáles no. Obviamente en el telefilme, Turing partiría de una posición posible. Otra conocida celebridad experta en la solución de este pasatiempo fue el ajedrecista Bobby Fischer como demostró en directo en el programa de televisión The Tonight Show Starring Johnny Carson (programa del 8 de Noviembre de 1972) resolviendo una posición que le entregaron al azar, en tan sólo 25 segundos. Por cierto, si a alguien que haya leído alguna biografía sobre Turing le sorprende que la madre de Alan se llame aquí Sara, como me pasó a mí, lo cierto es que su nombre completo era Ethel Sara Stoney, posteriormente Ethel Sara Turing. La mayor parte de los biógrafos utilizan sólo Ethel. Segunda escena: minuto 9:45, aproximadamente. La siguiente escena nos traslada a Manchester, concretamente a las Navidades de 1951, a la salida de un cine en el que proyectan la película de Disney Blancanieves. Alan Turing sale del cine, y un joven parece estar esperándolo. Alan se percata pero continúa su camino entrando en un bar a tomar una cerveza. El joven lo sigue y le pide permiso para sentarse junto a él. Comienza a charlar sobre cosas intrascendentes para empezar una conversación (el tiempo, la película, etc.). Entonces le pregunta por su trabajo. Alan: ¿Trabajo? Oh, estoy en la Universidad. Joven: ¿Un profesor? Alan: No, no. Yo investigo. Ciencia, Matemáticas. En la actualidad intentamos construir una clase especial de máquina, lo que la gente llama cerebro electrónico. Joven: Eso suena un poco…. Alan: ¿Cómo qué? Joven: Suena como de película. ¿Cómo se llamaba? Michael Rennie. La vi en Londres. Michael Rennie y una especie de robot. Alan: Oh. Joven: Ultimátum a la Tierra. Alan: Ultimátum a la Tierra. Joven: ¿La ha visto? Alan: No. Joven: Mucho mejor. Así que, ¿qué es lo que hace esa cosa en que está trabajando? Alan: Bien, se le proponen problemas, problemas matemáticos, y los soluciona, muy rápido. Joven: ¿Cómo de rápido? Alan: Muy, muy rápido, mucho más rápido de lo que podría un ser humano. Joven: Como una máquina calculadora. Alan (se ríe): No, no, es mucho más que eso. Lo que intentamos construir es una máquina que pueda aprender cosas y eventualmente pensar por si misma. Joven: ¡Dios mío! Alan: No es exactamente un robot, ni un cerebro, ni un cerebro humano. Es lo que llamamos computadora digital. Joven: ¿Y usted ha pensado en eso? Alan: Si, en algo así. Joven: Debe ser interesante un trabajo así. Alan: Sí, lo es. A continuación quedan para verse en casa de Alan. Éste le pregunta su nombre, que resulta ser Ron, aunque posteriormente declarará a la Policía que cree recordar que se llamaba George. La siguiente escena tiene lugar ya en casa de Turing, nada más levantarse de la cama (Alan está en bata leyendo el periódico en una cocina muy desordenada y Ron aparece a medio vestir). La actitud del joven es muy distante mientras que la de Alan es bastante cariñosa, siendo despreciada en todo momento por Ron. Durante la conversación entre ambos vuelven a aparecer ideas y episodios de la biografía del Turing real. Señala por ejemplo que cuando tenía nueve o diez años le regalaron el libro Natural Wonders every child should know (Maravillas de la Naturaleza que todo niño debería conocer). Con él descubrió que “toda la vida depende de la Ciencia. No es necesario apelar a ningún Dios o a la Creación Divina. Química, Animales, Seres Humanos. El cuerpo es una máquina […]. Es desafiante. La vida es un apasionante experimento del que deseo tomar parte con todas mis fuerzas”. Como acabo de decir, en esta escena, ante un completo desconocido, Turing se sincera completamente y deja entrever el fracaso y la decepción que ha supuesto su existencia, tanto familiar como emocionalmente: “Cuando era un niño, mis únicos amigos eran los números. En ellos podía confiar. Ellos no te traicionan, ni rompen ninguna regla”. Comentarios El libro Natural Wonders every child should know (Maravillas de la Naturaleza que todo  niño debería conocer, libro editado en Nueva York en 1939, escrito por Edwin Tenney Brewster) puede localizarse en Internet. En casi todas las aplicaciones de búsqueda va unido a otros títulos sobre Alan Turing, precisamente por haber significado para él un gran descubrimiento. Otra referencia en el diálogo anterior es a la película Ultimátum a la Tierra (The Day the Earth Stood Still, Robert Wise, EE. UU., 1951), pionero film de ciencia-ficción, a cuyo análisis y referencias a las matemáticas ya hemos dado cuenta en otras ocasiones (libro Las Matemáticas en el Cine, pp. 95 – 98). Sin embargo, lo más interesante tiene que ver con su pequeña introducción a la inteligencia artificial. A continuación Ron intenta sonsacar a Alan en qué trabajaba para el Gobierno durante la Guerra. Alan le explica que prometió a Churchill no desvelar en que trabajaba, porque una indiscreción podría haber significado el perder la guerra. Consigue eludir la cuestión contándole una historia sobre un enorme ingenio mecánico, similar al mencionado en Ultimátum a la Tierra (aquí comprobamos que aunque Turing dijo no conocer la película, era mentira) que le tenía acorralado y al que tenía que ganar jugando al ajedrez para poder escaparse de él en una partida que duraba días, noches, y él se encontraba aterrorizado. Ron le sugiere que Flash Gordon podía venir a rescatarlo (lo que hace gracia a Turing, ya que en el fondo él habla de algo serio, recordemos, la máquina Enigma, y el chaval salta con algo ingenuo e infantil). Finalmente como vemos en la imagen, Turing utiliza una pared de la cocina de su casa como pizarra para terminar de explicarle de qué van sus investigaciones y cómo poder vencer a aquel ingenio: “Entonces pude encontrar un trozo de tiza con el que escribí sobre la pared una serie de sumas, que resolví mal deliberadamente (en la imagen vemos 2 + 2 = 5, 1 + 4 = 3), y lo hice tan despacio y tan mal que el robot se encontraba cada vez más desesperado” “¿Y qué?”, pregunta Ron. “El ingenio acabó suicidándose”. Ron pone cara de fastidio. Preguntado por Alan qué le ha parecido, su respuesta no deja lugar a dudas: “Flash Gordon es mejor”. La escena acaba en cabreo del joven porque Alan no tiene comida en casa, la que tiene está medio podrida y él tiene hambre. Le tiene que dar dinero para que se vaya a desayunar. Tercera Escena: Minuto 25:30 aproximadamente. Quizá la escena con mayor contenido matemático de la película, es una larga explicación de Alan Turing, muy bien documentada e interpretada, sobre la fundamentación de la matemática. La acción se sitúa en algún lugar de Inglaterra en 1940. Alan entra en una zona alambrada y restringida después de que el militar que hace guardia compruebe que su documentación está en regla. A continuación entra en un despacho con Dilwyn Knox. Éste le pregunta sí sabe quien es, a lo que Alan le responde que todo lo que sabe de él es que es un renombrado criptoanalista. También le pregunta la razón por la que ha aceptado la invitación para entrevistarse con él, indicando que considera que puede ayudar más a su país en momentos tan difíciles allí que en el campo de batalla. Parece un tipo afable, y bromea en repetidas ocasiones con sus despistes y faltas de memoria. No obstante advierte a Turing que desde el puesto al que quizá acceda a veces es necesario tomar decisiones duras. Se disponen a hablar sobre un artículo de Turing, “On computable numbers with an application to the Entscheidungproblem” (Sobre números computables y una aplicación al problema de la decisión), que uno puede consultar en el anterior enlace. Knox: Va a tener que tener paciencia conmigo, Turing. Yo no soy un administrador, ni un matemático, pero ya que parece altamente probable que vamos a trabajar juntos, podríamos pensar en tener algún tipo de conversación para conocernos. ¿Le parece bien? Turing: Sí, por supuesto. Knox: Esta es su ficha. La consultaré de vez en cuando. No tiene porqué alarmarse. Turing: No, no lo estoy. Knox: Veo que tiene usted interés en códigos y cifras. ¿Cómo comenzó? Turing: Bueno, yo siempre he estado interesado, creo, desde que yo era un niño. Recuerdo que recibí un premio en la escuela, un libro llamado “Ensayos y Recreaciones Matemáticas” y que había un capítulo dedicado a la criptografía. Me pareció fascinante. Luego, mucho más recientemente, me di cuenta de que mis ideas en matemáticas y lógica podían aplicarse a sistemas de cifrado. […] Knox: He estado analizando algunos detalles de su trabajo, señor Turing, la mayor parte de los cuales debo decirle que me resultan totalmente incomprensibles. Turing: Eso no es sorprendente. Knox: Yo solía ser muy bueno en matemáticas cuando era más joven, pero esto es, desconcertante. Por ejemplo, esto de aquí. Sobre los números computables, con una aplicación al “Entscheidungproblem”. Explíqueme algo al respecto. Turing: ¿El qué? Knox: Lo que sea. Unas pocas palabras de explicación, en términos generales. Turing: ¿Unas pocas palabras de explicación? Knox: Sí. Turing: ¿En términos generales? Knox: Si es posible. Turing: Bueno, es sobre lo correcto y lo incorrecto, en términos generales. Se trata de un documento técnico sobre lógica matemática, pero también trata de la dificultad de decidir lo correcto de lo incorrecto. Mire, la gente piensa que, bueno, la mayoría de la gente piensa que, en matemáticas  siempre sabemos lo que está bien y lo que está mal. No es así, y no lo será nunca más. Es un problema que ha ocupado a los matemáticos durante cuarenta o cincuenta años. ¿Cómo distinguir lo que está bien de lo que está mal? Bertrand Russell ha escrito un libro inmenso sobre el tema, su “Principia Mathematica”. Su idea fue desmenuzar todos los conceptos y argumentos matemáticos en trozos pequeños y luego demostrar que podían derivarse de la lógica pura. Pero creo que eso no funciona, y después de varios años de trabajo intenso, encontré algunas complicaciones insalvables… Bueno, es un libro importante, importante e influyente. Influyó tanto en Hilbert como en Kurt Gödel. Tiene similitudes con los átomos, con el nuevo tratamiento físico de la materia. Así como el análisis de la física atómica ha llevado al descubrimiento de una nueva clase de física, de la misma manera al tratar de analizar estos átomos matemáticos ha dado lugar a una nueva clase de matemáticas. David Hilbert fue un poco más allá. No creo que su nombre signifique mucho, si es que significa algo para usted, pero así son las cosas del mundo, la gente parece que nunca ha escuchado hablar de los matemáticos realmente grandes. Hilbert miró el problema desde un ángulo completamente diferente y dijo que si tuviéramos cualquier sistema fundamental para las matemáticas, como el que Russell intentaba desarrollar, necesitaría verificar tres requisitos básicos: consistencia, completitud y decidibilidad. La consistencia indica que no debe haber ninguna contradicción en el sistema, es decir, que usted nunca será capaz de seguir las reglas de su sistema y acabar demostrando que dos y dos son cinco. Completitud significa que si una proposición es cierta, debe probarse utilizando las reglas de nuestro sistema. Y la decibilidad significa que debe existir un procedimiento definido o un test que pueda ser aplicado a cualquier proposición matemática y pueda decidir si tal aseveración es verificable o no. Hilbert pensaba que estas condiciones deben ser las mínimas que hay que imponer, pero al cabo de unos años, Kurt Gödel demostró que  ningún sistema en las matemáticas puede ser a la vez consistente y completo, y lo hizo construyendo una proposición matemática que dice: “Esta proposición no puede ser demostrada”. Una paradoja clásica. “Esta proposición no puede ser demostrada”. Si podemos demostrarla, tenemos una contradicción, y el sistema es inconsistente. Si no puede ser demostrada, entonces la proposición es cierta. Pero no puede ser demostrada, lo que indica que el sistema es incompleto. Así que las matemáticas o son inconsistentes o son incompletas. Es precioso. Creo que el teorema de Gödel es lo más bonito que jamás he conocido. Pero la cuestión de la decibilidad, el “Entscheidungproblem” estaba todavía sin resolver. En mi trabajo sobre los números computables, quise demostrar que ningún método puede funcionar para todas las cuestiones. Resolver problemas matemáticos requiere un infinito suministro de nuevas ideas. Demostrarlo fue una tarea monumental. Tuve que examinar la demostrabilidad de todas las afirmaciones matemáticas del pasado, el presente y el futuro. ¿Cómo diablos podía hacerse eso? Finalmente, una palabra me dio una pista. La gente ha estado hablando de un proceso mecánico, un proceso que podría ser aplicado mecánicamente para resolver problemas matemáticos sin necesidad de ninguna intervención humana o del ingenio. ¡Máquina! Esa fue la palabra crucial. Concebí la idea de una máquina, una máquina de Turing, que sería capaz de escanear símbolos matemáticos, leerlos, si se quiere, leería una afirmación matemática y luego llegaría a un veredicto sobre si esa afirmación sería demostrable. Y con este concepto fui capaz de demostrar que Hilbert estaba equivocado. Mi idea funcionó. Knox (absolutamente desconcertado): Ya veo. Bueno, no, pero ya veo algo…, creo. Y finalmente cierra la carpeta que contiene el artículo que están comentando e indica a Turing que está seguro que será de gran valía para el equipo que él mismo dirige, y que debe incorporarse inmediatamente. Turing está encantado, aunque manifiesta no llegar a comprender que función desempeñaría, cuál sería su cargo, a lo que Knox indica que no debe preocuparse para nada del asunto de la organización, que de eso ya se encarga él, y si no lo hiciera, no estaría allí. A continuación manda llamar a Patricia Green, una de sus mejores criptoanalistas. Entonces es cuando le revela que su trabajo consistirá en tratar de descifrar el código de la Enigma. Cuando entra Patricia, ésta recuerda a Turing que ya lo conocía: Turing: ¿Si? ¿Dónde? Pat: Usted dictó una conferencia en Club de Ciencia Moral en Cambridge. Nos vimos fugazmente al terminar. Turing: Eso fue hace seis, siete años. Pat: Diciembre de 1933. Lo recuerdo muy claramente. Recuerdo que afirmó que las proposiciones matemáticas no tienen una, sino una variedad de interpretaciones. Usted abrió un montón de posibilidades sobre las que nunca había pensado. Fue excitante. Turing: Gracias. Comentarios Podríamos llenar páginas completando datos sobre este largo, prácticamente monólogo, muy bien interpretado por Derek Jacobi (merece la pena verlo explicar este tipo de cosas, completamente ajenas a los conocimientos de un actor; pero Jacobi es excepcional, vive lo que cuenta, a pesar de que, bajo mi punto de vista, abusa un tanto de los tics que lo hicieron famoso en Yo, Claudio). Simplemente comentaré algunas curiosidades. El libro Mathematical Essays and Recreations, de W. S. Rouse Ball, editado en Londres en 1892, es un clásico que uno puede descargarse gratuitamente, por ejemplo aquí. También contiene el juego del 15 del que hablamos arriba y cómo construir cuadrados mágicos, entre otras muchas cosas. Es una joya que todo matemático (opinión personal) debería haber leído al menos una vez, y percatarse de que las clases de matemáticas no deben basarse SOLO en la transmisión de algoritmos repetitivos que hagan al alumno odiar esta preciosa materia. Y subrayo: Aunque no nos de tiempo a acabar completamente el temario oficial. Afortunadamente muchos libros de texto ya incluyen al final de cada tema, cuestiones, ejercicios, no mecánicos, sino donde gastar un poquito de materia gris. Además de ser entretenidos, amplían el espectro de lo que los alumnos consideran que son las matemáticas. Desgraciadamente, casi ningún profesor de Secundaria los utiliza ni los manda siquiera leer porque su prioridad es terminar completamente el temario (aunque considero que, planificándose bien, hay tiempo para todo, pero claro, hay que dedicarle algún tiempo, y no hay demasiados incentivos ni por parte de los alumnos, ni de los padres, ni de la Administración; en eso les doy la razón. Pero tampoco debemos olvidar del todo el carácter vocacional de nuestro trabajo). En fin, dejemos el mitin, y volvamos a Turing. Sobre Russell, Hilbert y Gödel y sus planteamientos de fundamentación de las matemáticas existe abundante información, por lo que me ahorraré las referencias. Quizá revisar la reseña 66 de esta misma sección. Finalmente, indicar que Alfred Dillwyn “Dilly” Knox fue un reputado criptoanalista británico que trabajó en Bletchey Park tratando de descifrar el código de la Enigma alemana, formando parte del equipo polaco-franco-británico dedicado a tal fin (el lector interesado puede revisar también la película Enigma dirigida por Michael Apted en 2001), tal y como indica el telefilme, hasta su muerte en 1943 (cáncer linfático). Entre sus logros se encuentra haber sido participe del descifrado del famoso telegrama Zimmermann, una de cuyas consecuencias fue que EE. UU. entrara en la I Guerra Mundial. En 1937 descifró también el código de las máquinas de las tropas nacionales de Franco en la Guerra Civil Española, aunque esta información no fue transmitida nunca al bando republicano (según se expone en el artículo "Nazi Enigma machines helped General Franco in Spanish Civil War", publicado por The Times el 24 de octubre de 2008, y firmado por Graham Keeley). Algunas referencias sobre Turing En Gran Bretaña, la celebración del centenario está siendo de una repercusión amplísima. Véase por ejemplo este enlace. El pasado 21 de marzo, el diario EL PAIS en su página 39 en la sección Sociedad incluyó un magnífico artículo de Ramón López de Mántaras titulado El legado de un científico visionario (en el enlace se puede acceder a él) donde se detallan algunos de los aspectos en los que Turing “rompió esquemas” tal y como he titulado esta reseña, no sólo aludiendo al código de la Enigma. Las ideas de la inteligencia artificial, la máquina y el test de Turing, la conexión neuronal de ordenadores, la explicación de ciertos patrones biológicos, son algunos de los temas abordados, explicados con sencillez, claridad y además, rigor. Continuará Videoclips y Matemáticas Acaba de aparecer el monográfico 60 de la revista UNO de Didáctica de las Matemáticas, dedicado a la utilización de este medio como material docente, correspondiente al trimestre Abril-Mayo-Junio. El índice completo puede consultarse aquí. Además, en el siguiente enlace, es posible leer íntegramente en pdf la sección de reseñas sobre nuevas tecnologías y libros, que incluye un interesante artículo sobre Los Efectos Especiales en el Cine (perdónenme la auto-complacencia), primero de una serie que confiamos que, aparte de ser del agrado de los lectores, sirva para mostrar cómo las matemáticas junto a las nuevas tecnologías informáticas y digitales están contribuyendo a la mejora y credibilidad de unas escenas que, a pesar de ser simuladas (no reales), nunca hasta ahora hubiéramos podido ni imaginar.

Miércoles, 11 de Abril de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

152. 68. El enigma Majorana

Continuamos sacando gusto a las integrales en un interesante film, inédito en España, que plantea además el siempre espinoso asunto de la ética en la investigación científica. A lo largo de todo el tiempo que venimos analizando la relación entre cine y matemáticas (estas reseñas, libro Las Matemáticas en el Cine, conferencias), hemos indicado que las biografías de matemáticos (y por extensión, de científicos en general) son escasas, y en muchas ocasiones, bastante subjetivas. Uno de los países que más y mejores producciones cinematográficas tiene en este sentido es Italia. No es casualidad que en este asunto tenga mucho que ver la existencia de cadenas de televisión que han apostado por la difusión de la cultura (cierto es que suele ser de “su” propia cultura, y en muchos casos con propósitos no demasiado loables, pero ¿qué país no lo hace en mayor o menor medida?) y de sus personajes ilustres. En estas situaciones es donde podemos distinguir claramente a realizadores que cumplen con su trabajo de mera propaganda de aquellos que finalmente logran excelentes películas, mostrando su independencia e incluso acaban siendo críticos y fieles a su forma de pensar y a su trayectoria profesional. Desgraciadamente, también venimos indicando cómo estas producciones no se exhiben, o lo hacen de forma muy reducida, fuera de sus fronteras. El papel de los festivales y muestras de cine juega entonces un papel esencial para acceder a este tipo de películas. Muchos amantes del buen cine esperábamos que el DVD corrigiera estas carencias, y aunque lo ha hecho en parte, sobre todo al principio de su lanzamiento, no ha cumplido plenamente ese objetivo, plegándose al interés económico y comercial. Este mes presentamos una magnífica película, diría incluso que además una película bella, que recientemente (en la pasada Semana de la Ciencia, los días 16 y 17 de noviembre de 2011) ha programado la Filmoteca de Catalunya en un ciclo sobre Cine y Ciencia (2 + 2 = ciència i cinema). Que yo sepa nunca antes se ha proyectado en nuestro país, y sería bueno, como digo, poder acceder a ella (en Internet sólo se pueden ver algunas escenas en enlaces que más abajo indicaré). La globalización norteamericana (en el cine es notoria) nos ha convencido durante mucho tiempo de que los EE. UU. “salvaron” al mundo gracias a que se adelantaron a los nazis a la hora de construir la bomba atómica, hemos visto varias películas sobre el denominado proyecto Manhattan, pero hubo también científicos en otros lugares del planeta que pusieron su granito de arena en el estudio de la estructura nuclear del átomo. Sobre uno de estos grupos, y sobre todo, haciendo una reflexión sobre los riesgos que finalmente padecemos (la amenaza nuclear hoy es más real que nunca) trata: LOS MUCHACHOS DE VIA PANISPERNA Título Original: I ragazzi di via Panisperna. Nacionalidad: Italia, 1989. Director: Gianni Amelio. Guión: Alessandro Sermoneta, Vincenzo Cerami y Gianni Amelio. Fotografía: Tonino Nardi, en Color. Montaje: Roberto Perpignani. Música: Riz Ortolani. Producción: Conchita Airoldi   y Dino Di Dionisio. Galardones: Mejor Guión en el Festival de Cine de Bari. Duración: 123 min. Intérpretes: Andrea Prodan (Ettore Majorana), Mario Adorf (Corbino, ministro y decano de la Facultad), Ennio Fantastichini (Enrico Fermi), Laura Morante (Laura, esposa de Enrico Fermi), Virna Lisi (Sra. Majorana, madre de Ettore), Alberto Gimignani (Emilio Segrè), Michele Melega (Franco, ayudante de Fermi), Stefano Antoci (Ettore niño), Lidia Biondi (Secretaria de la universidad), Carlo Boldrini (el portero Umberto), James Braddell (periodista del Times), Giorgio Dal Piaz (Bruno Pontecorvo), Matteo Di Castro (Estudiante), Sabina Guzzanti (Ginestra, novia de Edoardo), Georges Géret (Francese, amigo de Ettore), Peter Hintz (Profesor Tudesco), Cristina Marsillach (prima de Ettore), Eleonora Morabita (Carmelina), Bianca Pesce (monja), Giovanni Romani (Edoardo Amaldi), Valeria Sabel (locutora de EIAR), Nicola Vigilante (Profesor). Breve sinopsis: Años treinta del siglo XX. El físico Enrico Fermi ha formado un grupo de investigación formado por varios jóvenes de gran talento (Emilio, Bruno, Edoardo y Ettore). Para algunos, la Física no es tema de su interés, pero la persuasión de Fermi y el decano de la Facultad acaba por convencerlos. La película, además de plantear de un modo meridianamente diáfano el objeto de sus investigaciones en física nuclear, echa un vistazo sobre todo a la vida personal de estos jóvenes, sus ansiedades, ilusiones, con una mezcla de delicadeza y patetismo perfectamente interrelacionados. Entre ellos destaca el joven prodigio Ettore Majorana. Las matemáticas La historia se articula fundamentalmente entorno a la relación de Ettore Majorana (1906-1938), un joven genio de las matemáticas puras, con el físico Enrico Fermi (1901 – 1954). En su primer encuentro, Fermi entra en un aula donde este joven se encuentra solo, escribiendo en una pizarra (la escena puede verse aquí). “¿Has probado tú esa solución?”, le pregunta. Ettore se vuelve ligeramente para ver a su interlocutor, y al momento sigue escribiendo, respondiendo “Fue difícil al principio, pero sólo fueron cuentas”. Fermi se sonríe con sorna (¿sólo cuentas?), y le pregunta sobre el tiempo que le llevó resolverlo. “Es verdad que me ha llevado bastante. Estuve toda una noche”, responde el joven. Fermi, con un tono un poco más severo, responde: “A nosotros nos llevó una semana. Y éramos tres”. A continuación le pregunta por sus intereses como estudiante. Hace ingeniería, aunque afirma no apasionarle demasiado, y explica cómo ve las cosas: En realidad me gustan las matemáticas, pero me fastidia que todo el mundo se aproveche de ellas. Físicos, ingenieros, generales de artillería... El esfuerzo de resolver un problema debería bastar por sí mismo - un cálculo perfecto debería ser inmediatamente destruido. En ese instante, después de volver a echar un vistazo a la pizarra, Fermi comienza a borrarla. “¿Qué hace?”, le pregunta Ettore. “Destruyo un cálculo perfecto”, responde. Entonces Fermi le ofrece un libro, y le pide que elija lo que quiera. Ettore abre por una página al azar, y se lo devuelve. “No es fácil”, responde, pero claro, para eso es el gran Enrico Fermi, no le queda más remedio que resolver el ejercicio en cuestión, que resulta ser una integral definida. La escribe. Es la siguiente: Mientras Fermi escribe y llena la pizarra de cuentas, Ettore se sienta de espaldas a él sobre la tarima, y escribe en una pequeña libreta (del tamaño de los post-it, aproximadamente). Cuando la cámara muestra lo que ha escrito, mientras Fermi sigue llenando el encerado, vemos la integral, a continuación x = 2cosht, y directamente la expresión de una primitiva (ver la imagen): y mentalmente, como en otros momentos de la película, pensativo, acaba escribiendo el resultado: 1,21. Ha terminado mucho antes que Fermi, que sigue llenando la pizarra. Sonríe. Al poco, Fermi termina y exclama “¡Ya está hecho!” Y recuadra la solución, 1,21. Vemos la pizarra en la imagen, tal y como la haría cualquiera (cualquiera que sepa, por supuesto, que un cambio de variable posible para eliminar la raíz cuadrada es trigonométrico; recuérdense para deducir si necesitamos una razón circular o hiperbólica las identidades sen2x + cos2x = 1, o cosh2x – senh2x = 1). Fermi utiliza el teorema del cambio de variable, etc., etc. Entonces Ettore le lanza el cuadernillo para que compruebe cómo llegó a la misma solución en menor tiempo y necesitando menos espacio. Si uno se toma la molestia de hacer el cálculo (es pesado, pero “non è difficile”, es un ejercicio de primero de ingeniería; perdón, de grado en ingeniería, aunque tal y como se han pensado estos nuevos estudios (que toman su nombre de una ciudad italiana, precisamente), probablemente ya no la haga nadie, y en el mejor de los casos, se la encomienden al ordenador), comprobará que el resultado de la primitiva (al menos el que me sale a mí) es: , que en realidad vale 1.205234942 (y esto último sí lo he hecho con el ordenador). Hay un error en el argumento de la arcotangente, y no sabemos quien es esa misteriosa γ, que por más vueltas que le he dado, no se me ha ocurrido. Pero desde luego, pensando en cómo el cine representa las matemáticas, nada que ver con la integral trivialona de la película española comentada el mes pasado. Hay más referencias matemáticas en la película (y por supuesto muchas más a la Física), por ejemplo enseñando matemáticas a una niña (la cámara lo muestra con la misma composición que la realizada por Leonardo Da Vinci en el cuadro La última cena) sin más elementos que un cuaderno y un lápiz. Posteriormente indicaremos algo sobre la postura ético-filosófica del personaje en la que esta escena se inscribe perfectamente. En otro momento apasionante, Ettore recuerda un momento de su infancia mediante un flashback: está jugando, y su madre lo llama. Como no hace la menor intención de ir, lo tienen que llevar por la fuerza. El niño, tímido e introvertido, se encuentra frente a un gran salón en el que hay sentados un grupo de amigos de la familia. Su madre (una magnífica Virna Lisi, en su época de madurez interpretativa, fuera ya del rol de rubia florero en que Hollywood la encasilló) lo presenta como un genio de las matemáticas “capaz de realizar mentalmente operaciones de tres y cuatro cifras, multiplicaciones, divisiones, y da siempre la solución exacta”. (La escena completa puede verse en http://www.youtube.com/watch?v=vUz-6r0u__c). El niño se esconde debajo de una mesa. Los invitados comienzan a lanzarle divisiones, sumas, una raíz cuadrada, que Ettore contesta mentalmente casi al instante, hasta que decide dejar de seguirles el juego. La película Inicialmente la película fue emitida por televisión con una duración de tres horas. El éxito de audiencia llevó a la productora a estrenarla en salas comerciales, pero reduciendola a sólo dos horas, y considerando las críticas que llegaron desde Italia, esa mutilación se nota, aunque para los que sólo la hemos logrado ver en esa versión, es difícil pensar en cómo sería el original porque esta versión se nos antoja ya magnífica. Aunque basada en hechos reales, no se trata de una película biográfica, ni de una crónica científica, ni una incursión al mundo universitario y del conocimiento, alternadas con gags más o menos cómicos. Como en el resto de su filmografía (comentada más abajo), el realizador sigue indagando en la compleja relación que, según él, existe entre la figura del padre (aquí, a diferencia de otras de sus películas, no es un padre biológico, sino un padre científico, prácticamente por edad, un hermano mayor) y del hijo. El personaje de Ettore (fenomenalmente interpretado por el actor, compositor y cantante Andrea Prodan) es la personificación del héroe trágico que, a pesar ser consciente de su previsible destino, no traiciona su esencia, su forma de pensar, su propia existencia, y resume todos los personajes de "hijo" presentados hasta ese momento por el realizador Gianni Amelio. Como segundo propósito pretende demostrar que afrontar argumentos de cierto peso (científico e histórico, en este caso) no tiene porqué conllevar a resultados aburridos que provoquen el rechazo del espectador. Llamando siempre, o casi siempre, a sus protagonistas por su nombre de pila, pretendiendo destacar la persona por encima del científico, la película se sumerge en una atmósfera de época brillantemente ambientada, tanto en lo que se ve como en lo que se intuye. En la escena inicial, un grupo de autoridades, que por diálogos y gestos plasman a la perfección el clima social previo al advenimiento de la Italia fascista, escucha el discurso radiado de Guillermo Marconi ante la Academia de Física. De repente una radio clandestina corta la emisión, anunciando “Italianos, amigos, hoy Marconi ha muerto y con él ha muerto la Física italiana […] en beneficio del progreso y la modernidad”. Observamos a Fermi y a Ettore Majorana escuchando en sus casa la radio: mientras uno está expectante, el segundo, se ríe abiertamente por la gamberrada. El decano de la Facultad, el profesor Corbino, trata de saber qué pasa, le comentan que es una señal muy potente, que los tapa completamente, que probablemente venga de algún país exterior,…, pero el lo tiene claro por sus únicas dos palabras: “Via Panisperna”. Es la forma de presentar la nueva ciencia, la nuclear, que supera la eléctrica, y la forma de presentarnos de golpe, no sólo el tema de la película, sino a sus protagonistas principales. En la escena comentada al principio, la de la integral, cuando Fermi conoce a Ettore, ya se nos deja claro que Ettore, sin saber que está hablando con el propio Fermi, considera a los talentos reclutados por Fermi, “conejillos de indias”, y es cuando reivindica la pureza de la matemática frente a la aplicabilidad de las ingenierías. Este es el origen de las discusiones entre ambos. Los dos aman la Física y las Matemáticas, pero con concepciones radicalmente distintas: Fermi es pragmático, está fascinado por los descubrimientos que obtiene el grupo en física nuclear, quiere experimentar, avanzar a cualquier precio, “utilizando” a sus cobayas en “pro de la ciencia”, según manifiesta, mientras que Ettore, mas reflexivo, frecuentemente quema los papeles de sus descubrimientos, aterrado por el posible mal uso de dichas investigaciones si son llevadas a la práctica. El choque entre ellos es pues inevitable, y sus destinos muy diferentes. Experimentalismo frente al encanto de la investigación pura, resultados frente a conciencia ética. Este es el argumento fundamental de la película. ¿Y cuál es el enigma? La llegada del régimen fascista obliga a los protagonistas a tomar decisiones. Fermi (cuya esposa era judía), aunque en principio intenta que la política no afecte a las investigaciones del grupo, decide ser práctico, como siempre y abandonar el país con el pretexto de ir a recoger el Nobel a Suecia (se le echa en cara su plegamiento a la fama y al Amigo” americano). El grupo se desintegra (nunca mejor utilizada la expresión. El 27 de marzo de 1938, en la travesía en barco de Palermo a Nápoles, Ettore Majorana desaparece misteriosamente. Nunca más se supo de él, ni las investigaciones concluyen nada. Se especuló (y se sigue haciendo) con múltiples posibilidades: suicidio (la versión más aceptada, como siempre, recuérdese el caso Alan Turing del que pronto nos ocuparemos), retiro espiritual del mundo a un convento, huida al extranjero, secuestro y asesinato por parte de agentes extranjeros, etc., etc. El caso es que su desaparición fue muy extraña. La película plantea un final abierto, planteando las múltiples hipótesis que se barajaron de forma sutil e inteligente, con una escena final muy hermosa cinematográficamente hablando. Fermi y su esposa se hallan en la cubierta del barco que los traslada a Suecia en plena noche. Recuerdan a Ettore. La mujer se retira (mujer que por cierto, también tiene cierto peso en la película, pero que no cuento para no alargarme en exceso). Fermi queda solo con su recuerdo y la imagen va superponiendo a Ettore y a Fermi, en la cubierta del barco, con la mirada perdida en el mar, pero cada uno mirando en direcciones opuestas. Hablando de miradas, estas son importantes en toda la película. Ettore cuando habla se dirige muchas fveces directamente a la cámara, como si hablara al espectador, mientras que la mirada de Fermi siempre es lateral, hacía abajo o al resto de personajes. Desde el punto de vista personal, la película diferencia también claramente la evolución de cada personaje: Fermi incluso en los momentos finales busca con desesperación un bloc de notas y fórmulas, con la etiqueta de "uranio", con nuevas fórmulas y quizá decisivas de Ettore (una especie de testamento científico), mientras Ettore se muestra cada vez más hastiado por una sociedad que lo ha convertido, muy a su pesar, por su inteligencia, en el centro de atención por lo que los demás esperan de él, pero sintiéndose ignorado como persona. La realidad Los chicos de Vía Panisperna fueron un grupo de jóvenes científicos liderados por Enrico Fermi. En 1934, en Roma, realizaron el famoso descubrimiento de los neutrones lentos a partir de los cuales se construyó el reactor nuclear, que posteriormente daría lugar a la bomba atómica. El nombre por el que es conocido el grupo proviene de la ubicación del Instituto de Física donde trabajaban, dependiente de la Universidad La Sapienza de Roma, situado en el número 90 de la Vía Panisperna, que tomaba el nombre de un monasterio cercano, San Lorenzo in Panisperna, existente aún actualmente.  Estaba dirigido por Orso Mario Corbino, que además de decano universitario fue ministro y senador. Este Instituto (en la foto), el primero en Italia de este tipo, se inició en 1877 con una partida de cien mil liras, terminándose en 1880. El edificio se construyó en el solar que ocupaba el convento de las Hermanas de Santa Prudenziana, demolido para la ocasión. Además de Enrico Fermi, el grupo estaba formado por Emilio Segrè (que fue convencido para que abandonara sus estudios de Ingeniería por Franco Rasetti que se incorporó al grupo en 1927), Ettore Majorana (que siguió el consejo de Rasetti y Segrè), Edoardo Amaldi animado por un emotivo discurso de Corbino a los estudiantes, Oscar D'Agostino, Ettore Majorana y Bruno Pontecorvo. Todos eran físicos excepto D'Agostino que era químico. En la foto, de izquierda a derecha, Oscar D'Agostino, Emilio Segrè, Edoardo Amaldi, Franco Rasetti y Enrico Fermi, en un patio del Instituto de Física de la Universidad de Roma en 1934. Las actividades del grupo entre 1927 y 1931 se llevaron a cabo en el campo de la espectroscopía atómica y molecular casi en su totalidad, dado que tenían buena técnica y las herramientas apropiadas. Fermi participaba en los experimentos y la interpretación teórica de los resultados. Después de conseguir algunos resultados importantes, en 1930 el grupo llegó a la conclusión de que este campo no ofrecía una perspectiva de investigación con futuro y decide incorporarse al estudio de la física nuclear. Rasetti describe esta decisión: Fermi y algunos del grupo consideraban que el futuro de la espectroscopia y más en general, de la física atómica, parecía más bien limitada. Fermi preveía que el interés por el átomo se trasladaría de las partes externas al núcleo. Su trabajo de investigación incluyó el bombardeo de varias sustancias con neutrones, que se obtenían irradiando berilio con partículas alfa emitidas por el radón, que es un gas fuertemente radiactivo que hace posible la obtención de numerosos elementos radiactivos artificiales estables. Los aspectos teóricos eran trabajados por Ettore Majorana y Fermi, los cuales permitieron comprender la estructura de los núcleos atómicos y las fuerzas que actúan entre ellos, conocidas como fuerzas de Majorana. Entre 1933 y 1934 publicaron la teoría fundamental de la desintegración beta. Hacia 1938, como consecuencia de la situación general en Europa, y en particular en Italia, el grupo se dispersa y la mayor parte de sus miembros emigraron. Fermi se vio obligado a hacerlo puesto que, como comentamos anteriormente, su mujer era judía. Con la excusa de ir a recoger a Suecia el premio Nobel el 6 de Diciembre de 1938, viaja con toda su familia, marchando posteriormente desde allí hacia los Estados Unidos, donde fue profesor de física en la Universidad de Columbia.  Los únicos que se quedaron en Italia fueron Oscar D'Agostino y Edoardo Amaldi. Acabada la guerra, Amaldi se encargó de la reconstrucción de la Física en Italia, contribuyendo decisivamente a la fundación del CERN. En la película también aparece el EIAR. EIAR son las siglas del Ente Italiano per le Audizioni Radiofoniche, la radio de la Italia fascista, constituida en 1927 al absorber a la URI (Unione Radiofonica Italiana). Era un verdadero monopolio, titular exclusivo de cualquier transmisión radiofónica. En 1944 cambia su nombre por el de Radio Audizioni Italiane y en 1954 incorpora la televisión pasándose a llamar RAI - Radiotelevisione Italiana. En la actualidad, existe un Museo histórico de Física y Centro de Estudios e Investigación Enrico Fermi. Su página web es http://www.centrofermi.it/. En España se encuentra el Instituto Italiano de Cultura (IIC) de Madrid, con sede en El Palacio de Abrantes (edificio del siglo XVII). Es un organismo oficial del Estado italiano cuyo objetivo es promover y difundir la lengua y la cultura italianas en España a través de la organización de actividades culturales que favorezcan la circulación de las ideas, de las artes y de las ciencias. Recientemente presentó un ciclo de programas denominado “Superquark” dedicado a Enrico Fermi (en la imagen). Esta denominación no es casual, ya que el programa “Quark” de la RAI, fue la primera emisión divulgativa dirigida a un público variado y en la actualidad sigue siendo uno de los programas científicos más importantes del panorama televisivo italiano. Desde hace más de 25 años está realizado y dirigido por Piero Angela, conocido y preciado divulgador científico, periodista y escritor. El Director de la película Gianni Amelio (San Pietro Magisano, provincia de Catanzaro, 20 de enero de 1945) es prácticamente un desconocido en nuestro país (a diferencia, por ejemplo, de Nanni Moretti, Giuseppe Tornatore, o Roberto Benigni, realizadores de la misma generación) con apenas cuatro películas estrenadas comercialmente en nuestras salas. Quizá la razón estriba en que su producción no es muy extensa (10 largometrajes, 7 producciones para televisión, 2 documentales y 10 cortometrajes; piénsese que salvo los largometrajes, el resto es de difusión interna, no se ha exhibido fuera de Italia), aunque si ha suscitado interés en diferentes festivales, ya que los temas que aborda no sólo son bastante trascendentes y de interés, sino que su estilo cinematográfico también lo es (entra plenamente en lo que los críticos denominan “cine de autor”, lo que inevitable y desgraciadamente espanta al público en general). Al poco de su nacimiento, su familia tuvo que emigrar a Argentina, pasando toda su infancia y juventud al cuidado de su madre y su abuela. Quizá por eso la ausencia de figuras paternas en su cine es una constante, como ya indicamos previamente. Según declaraciones del propio director, su estilo está muy influenciado por dos tendencias, el neorrealismo italiano y la Nouvelle Vague. Entre las claves fílmicas del cine de Amelio está el que la imagen “sugiere el hecho”, no siendo necesario mostrar el mismo en su totalidad; es el espectador el que debe ir en busca de la o las posibles interpretaciones. Respecto a la temática destaca su preocupación por los problemas sociales. Es un cine de denuncia, que reflexiona sobre la metafísica del ser, el problema de la verdad, ante sucesos como la vida, la muerte, el dolor, la incomprensión, o la incomunicación, siendo la forma en cómo plantea el problema, un estilo, una marca, una huella, que lo convierte en un director-autor-pensador desde la imagen. Gianni Amelio plantea, en cada una de sus películas, una reflexión filosófica sobre temas cotidianos que terminan por envolver a los espectadores en las acciones que desarrollan los personajes y sus personajes terminan por comprometerse con la realidad. Suelen ser películas multidisciplinares, con diferentes niveles y facetas (éticos, étnicos, económicos, políticos, culturales). Entre sus trabajos estrenados en nuestro país destacan Golpear al corazón (Colpire al cuore, 1983), Niños robados (Il ladro di bambini, 1992), Lamerica (1994), Así reían (Così ridevano, 1998), Las llaves de casa (Le chiavi di casa, 2004) y La estrella ausente (La Stella che non c'è, 2006). La 39 Semana Internacional de Cine de Valladolid (SEMINCI, 1994) dedicó un ciclo a este director, y editó el libro La mirada de Gianni Amelio, escrito por Sigfrid Monleón. Bibliografía El escritor Leonardo Sciascia, en La desaparición de Majorana (publicada originalmente en 1975; la edición en castellano se publicó en Barcelona por la editorial Tusquets en 2007), hizo una reconstrucción bien documentada sobre esta extraña desaparición del físico siciliano. Recordó su trayectoria familiar, sus relaciones con Fermi y con Heisenberg, su extraño comportamiento con los colegas, su inteligencia huraña, la conciencia de su valía. Este libro sigue siendo una buena referencia, pese a algunas críticas realizadas en su momento. Para finalizar, unas palabras reales dichas por Enrico Fermi sobre su colega, Ettore Majorana (en la foto): “Majorana tenía lo que ningún otro tiene en el mundo; por desgracia, le faltaba lo que, en cambio, se encuentra habitualmente en el resto de los hombres: el simple sentido común”. Una última recomendación. Cuando tengáis un rato echad un vistazo al cortometraje Inspirations (http://www.etereaestudios.com/docs_html/inspirations_htm/movie_b.htm), producido por Etérea Estudios y dirigido por Cristóbal Vila (probablemente recordéis aquel Nature by Numbers, de la misma productora).

Jueves, 08 de Marzo de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

153. 67. Integral Fields Forever (PdM III)

¿Tiene el alumno español alguna fijación con las integrales? ¿Y los realizadores en el cine? Echamos un vistazo este mes a un par de títulos en los que el denominador común son las clases y las integrales. Mirada nostálgica a otros tiempos, no muy lejanos, que quizá nos hagan reflexionar sobre el presente. Quizá sea pertinente explicar en primer lugar a que se debe el título elegido para encabezar esta reseña. Cuando el que esto escribe se encontraba estudiando 3º de BUP, el libro de texto de la editorial SM proponía una página de ejercicios de cálculo de primitivas en la que habría unas ochenta divididas en varias columnas, pero ocupando una sola página. Su simple aparición era impactante, como para pensárselo. En la mesa contigua a la mía se sentaba un compañero que, como yo, nos encantaban las canciones de The Beatles. Y de ahí surgió el título de “Campos de Integrales para siempre”, cuya letra por cierto no desentonaba de la percepción que teníamos de aquel objeto matemático. Ahora “no se lleva” resolver primitivas a diestro y siniestro (las hacen los ordenadores, nos dicen; y es verdad, pero también es cierto que aquellos ejercicios nos proporcionaban una soltura y agilidad operativa, que probablemente se haya perdido para siempre), sino que basta con hacer media docena, una de cada tipo, como mucho. A mi me gustaba calcular primitivas, como simple entretenimiento (como quien hace un crucigrama), y luego en la Facultad, las series infinitas y el cálculo de límites (ya ven, rarillo que es uno) Por otra parte en abril de 2009 empezamos una mini serie de películas en las que de una u otra manera aparecían como protagonistas las aulas. Un sub-género que en el libro Las Matemáticas en el Cine califiqué como sub-género escolar. Desde luego se quedó en mini-mini porque sólo pusimos dos (en el citado libro, hay muchas más). Gran parte de las películas que pueden inscribirse bajo esa denominación incluyen cuestiones de matemáticas, no en vano nuestra asignatura es una de las más “populares” entre los alumnos de todas las edades, países y condiciones. La abreviatura PdM quiere decir por tanto, “Profesores de Matemáticas”. Traemos a colación dos películas de ese tipo, y ambas españolas. MI GENERAL Nacionalidad: España, 1987. Director:Jaime de Armiñán. Guión: Jaime de Armiñán, Fernando Fernán-Gómez, Manuel Pilares. Fotografía: Teo Escamilla, en Color. Montaje:. Música: Jordi Doncos. Producción:. Duración: 110 min. Intérpretes: Fernando Rey (Director Almirante), Fernando Fernán-Gómez (General Mario del Pozo), Héctor Alterio (General Víctor Mendizábal), Mónica Randall (Beatriz Palomares), Rafael Alonso (General Izquierdo), José Luis López Vázquez (General Federico Torres), Joaquín Kremel (Capitán Antonio Sarabia), Álvaro de Luna (Comandante Barbadillo), Alfred Lucchetti (General Álvaro Piñeiro), Joan Borrás (Teniente Coronel Pazos), Juanjo Puigcorbé (Capitán Eusebio Pujol), Manuel Torremocha (General Serrano), Amparo Baró (Señora Crespo). Breve Sinopsis: El ejército español quiere modernizarse. Por eso, a cinco jóvenes capitanes, sobradamente preparados como se dice ahora, se les encomienda la misión de dar cursillos al personal más veterano, generales para más señas, de la más moderna y avanzada técnica espacial. Para que nada los interrumpa ni distraiga se trasladan a una residencia militar en una ciudad de provincias. Todo parece normal al principio, hasta que a los señores generales les sale de donde ya se sabe que les sale a los militares (al menos de esa época, años 80 y bien entrados los 90; soporté un año de “mili” durante el curso 90/91) tomárselo a cachondeo. Y afloran abusos de autoridad (muy ligeritos; se trata de una comedia), asuntos del pasado, rivalidad, romance con una paisana del pueblo, y también, camaradería ante el compañero enfermo. Evidentemente, estando el gran Fernando Fernán Gómez involucrado en el guión, hay escenas con “mucha mala leche”. No obstante, el resultado es más bien discreto. Se deja ver, en varios momentos se puede dibujar alguna sonrisa (sobre todo para los que han vivido la “mili”, como dije antes), y poco más. Eso sí, el elenco actoral es magnífico, no en vano hay gran parte de lo mejor del cine español, y salvan más de una situación que hoy parece muy trasnochada. Y como no, en algunas de las clases, aparecen las matemáticas. El profesor de matemáticas está encarnado por Juanjo Puigcorbé (en la foto; en efecto, para los más despiertos, el logotipo de La 2 es bastante antiguo, pero es que mi colección de VHS también lo es). Al principio está un poco acobardado ante los veinte generales que tiene enfrente. Comienza exponiendo el honor y la responsabilidad que le supone estar allí (“mis méritos no son grandes, pero mi voluntad si lo es”). A continuación se dispone a pasar lista. Al momento, el general Del Pozo (F. F. Gómez) lo interrumpe: “Perdone usted, capitán, creo que debería evitar formalidades. Si pasando lista perdemos 3 minutos aproximadamente, hemos reducido el tiempo de clase en 9 horas y 24 minutos, poco más o menos, y por desgracia no podemos permitirnos ese lujo” Cuestión: ¿Está bien echada la cuenta? ¿Cuántas horas va a impartir el capitán Pujol? Nervioso y dubitativo, responde, “Tiene usted razón, mi general. Muchas gracias. Será como usted mande”. Decide en ese momento entrar en materia: “La era atómica ha quedado atrás. En una guerra futura, tan insólita sería una explosión nuclear como lo hubiera sido en 1945 el paso de los Alpes por los elefantes de Aníbal (Sonrisas y murmullos. Al profe no le agradan y suelta un Shhh, en este caso exagerado).Todos ustedes saben de cierto las posibilidades de que un cuerpo pese poco. O nada. Y aún más, menos que nada (caras de circunstancias) Partamos de la conocida fórmula de Einstein E = m c2” (la escribe en la pizarra, y todos de forma automática comienzan a escribir, sin entender nada, por supuesto). Cuando acaba la clase se produce un descanso. Se forman los típicos corrillos. El general Torres (J. L. López Vázquez), que sabemos que está bajo medicación, aunque de momento no conocemos la gravedad, muestra ante sus compañeros su disgusto (no será la única vez, aunque a partir de un momento dado, sus manifestaciones comienzan a preocupar a sus amigos): G. Torres: Si me sacan de las matemáticas de Miranda Podadera, no cojo una. G. Mendizábal: Gramática. Las matemáticas eran de Puig Adam. G. Torres: Más a mi favor. Yo me quedé en la analítica..... G. Mendizábal: La Analítica ya no existe, Fede.. En efecto, los numerosos tratados de Luís Miranda Podadera, lingüista, eran de Gramática, análisis gramatical, ortografía, etc. De Puig Adam, supongo que no hace falta decir quien fue… El caso es que frente a la puerta de entrada al aula, el general Torres se lo piensa mejor, y decide no seguir. A sus años, se niega a seguir estudiando. Él no tiene cabeza para eso, dice. Sus compañeros intentan que recapacite, y en estas, sale el capitán Pujol, con el que se despacha a conciencia. Enumera todo lo que ha tenido que estudiar en su carrera militar (bomba nuclear, de hidrógeno, misiles, etc.), acabando con “…Y la estrategia bacteriológica, ¡la madre de Dios! No se puede ser general del Estado Mayor sin saber cuántas moscas hay que mandar al enemigo para que contagien a no sé qué promedio de ciudadanos. Y a mi todo esto no me cabe aquí (se señala la cabeza). ¡No me cabe!” El siguiente profesor, el capitán Sarabia (Joaquín Kremel) les imparte un cursillo sobre “Neoelectrónica militar”. Éste será menos considerado con sus excelencias. Según pasan los días, los alumnos generales se van tomando más libertades, al punto de pasar de sus profesores, no atender, interrumpir las explicaciones, hacer chistes y bromas un tanto infantiles, cuestionar a los profesores, copiar en los exámenes, etc. La ultima escena en que aparece “rubéola” (el mote del capitán Pujol) dando clase es insoportable para él. Comienza así “El llamado sendero intergaláctico o de Tomacak se resume de la siguiente forma: integral circular de A diferencial de l igual a integral de superficie rotacional A diferencial de S, cuyo índice es 10 elevado a…” No le dejan seguir, con ruidos de moscardón, tirándole avioncitos, etc. La expresión que ha leído del encerado es ¡Una integral de línea (no circular como dice) y una integral de superficie en una película española! En realidad la cuestión es más de Física que de matemáticas. El reactor Tokamak (el actor lo pronuncia mal) es un dispositivo de almacenamiento magnético de forma toroidal, y uno de los más candidatos más investigados para producir energía de fusión termonuclear. Los campos magnéticos se utilizan como recursos de almacenamiento ya que ningún material sólido podría soportar la extremadamente elevada temperatura del plasma. En la imagen una representación de los campos de fuerza dentro de una superficie toroidal. La palabra Tokamak es un acrónimo ruso (TOroidal'naya KAMera s AKsial'nym magnitnym polem - cámara toroidal en un campo magnético axial) La película es, por otra parte, un buen punto de partida para analizar diferentes estereotipos que pueden darse en una comunidad educativa, exagerados bastante y por tanto fácilmente identificables. Aparece el pelota/chivato, el travieso, el que hace “novillos”, el “empollón”, el listo, etc., y pueden plantearse temas tan variopintos como las bromas de buen o mal gusto, la desobediencia a la autoridad; el aprendizaje, los prejuicios hacia la educación permanente, la lucha generacional (profesores más jóvenes que los alumnos), los mecanismos de defensa, el sentido de grupo, la vuelta a situaciones de infancia, el poder, la rebeldía contra el que enseña, etc. La segunda propuesta con integrales es LOS CHICOS DEL PREU Nacionalidad: España, 1967. Director: Pedro Lazaga. Guión: Pedro Masó, Rafael J. Salvia,  Antonio Vich. Fotografía: Juan Mariné, en Color. Montaje: Alfonso Santacana. Música: Antón García Abril. Producción: Pedro Masó. Duración: 88 min. Intérpretes: Alberto Closas (Don José Alcaraz), José Luis López Vázquez (Padre de Lolo), Emilio Gutiérrez Caba (Andrés Martín Alonso), María José Goyanes (Alejandra Jiménez Salvador, 'Talento'), Cristina Galbó (Loli), Karina (Yolanda Baeza Márquez, 'Yoyo'), Oscar Monzón (Julio Ferrer), Camilo Blanes (Manuel García Salcedo, 'Lolo'), Pedro Díez del Corral (Josele), Gonzalo González (Miguel Campuzano), Rafaela Aparicio (Sirvienta en casa de Lolo), María Baizán (Mercedes Morales Serrano), Mary Carrillo (Madre de Andrés), Margot Cottens (Madre de Lolo), Gemma Cuervo (Sra. de Alcaraz), Alfonso Del Real (Empresario musical), Ángel Terrón (Profesor de matemáticas), José Orjas (Don Joaquín, profesor de Filosofía), Ramón Durán (Profesor de Química) Argumento: Típica comedia de la época, a mayor gloria de sus jóvenes protagonistas (cantantes varios de ellos) sobre las inquietudes, problemas, amores, amistades, desencuentros y experiencias de un grupo de jóvenes que emprenden un nuevo curso escolar, el preuniversitario, que les dará acceso a la Universidad. Todo muy correcto, blandito y casto. Alberto Closas ya fue profesor de matemáticas en Muerte de un ciclista (Juan Antonio Bardem, 1955). Allí un adjunto, aquí todo un catedrático, con un hijo examinable (no lo hará él, sino sus compañeros, y para que no hubiera dudas sobre la honorabilidad de los profesores españoles del Régimen, le suspenderán, por supuesto, con el consiguiente enfado por parte del chico y el inevitable sermón moralista posterior). Los estudiantes repetidores le llaman “el 4 y medio”, porque a la mínima equivocación te deja con esa nota. Según éstos, “un hueso duro de roer; más difícil de superar que el muro de Berlín”. Su hijo se sorprende de conozca el apodo. Con toda naturalidad el padre le explica, “Los catedráticos y los políticos siempre sabemos lo que se dice de nosotros”. Durante una cena tiene lugar la siguiente conversación entre padre e hijo: Hijo: Ese chico ha dicho que si tú nos examinas este curso, ya vamos listos. Padre: Ese chico tiene mucha imaginación. El que estudia aprueba, y el que no,… Hijo: ¿Y tú siempre estás seguro de quién es el que merece ese medio punto más o medio punto menos? Padre: Debo estarlo. Es mi obligación. Hijo: Pero a veces por medio punto se puede perder un año entero. Padre: ¿Te parecería bien que al que merezca cinco le diera cuatro, o tres? Hijo: Claro que no. Padre: Pues tampoco puedo darle más al que no llegue. ¿Lo comprendes? Hijo: Sí. Padre: Me parece que a ti te ha molestado más que a mí que me llamen cuatro y medio. En la primera clase que se muestra, de matemáticas por supuesto, la mayor parte de los alumnos está distraído (no así las alumnas). El profesor tiene la pinta típica (ver imagen). Profesor: Equis más uno, por equis menos uno, menos el cuadrado de equis, más equis, más dos igual a cero. A ver, Sr. Martín. ¿Cómo obtendría el valor de equis? Se pone en pié, duda. Profesor: ¿No dice usted nada? Empezó usted el curso muy bien y se está viniendo abajo. No comprendo porqué. Siéntese. Sr. Ferrer, ¿quiere usted intentarlo? Julio, el alumno cuatripitidor tose, carraspea. Profesor: Experiencia no le falta. ¿Qué le pasa? Ferrer: Constipado. Profesor: Usted también se ha vuelto mudo. Mientras, “Talento”, una alumna de buenas calificaciones, le escribe la solución en un papel, y se la da, Ferrer: No, no señor. (Entre toses) Cuadrado de equis menos uno, menos cuadrado de equis, más equis, más dos. Dos compañeros: Apunta, que a lo mejor es la quiniela del domingo. Profesor: ¡Basta! Y me alegro de que empiece usted a progresar. Sr. Alcaraz, ¿quiere para terminar decirnos el valor de equis? Alcaraz: Equis igual a uno. Profesor: ¿Está seguro? Alcaraz: Si señor. Profesor: El resultado es equis igual a menos uno. Todos podemos equivocarnos. El error es disculpable, pero no puede serlo el que no ponga interés en esta asignatura fundamental. Mañana hablaremos de la regla de Cramer y repasaremos lo de hoy.  Pueden salir. ¡Dios mío, la regla de Cramer! Ya por entonces (a mi en COU también me dijeron que así se resolvían los sistemas, y este mismo curso 2011–2012 me he encontrado una alumna a la que me ha costado un montón convencerla de que esa regla es sólo un resultado teórico muy bonito, pero nada práctico. ¿Qué hacemos con los sistemas con más incógnitas que ecuaciones, por ejemplo? ¿Esos no se resuelven? Claro, así encontramos a veces alumnos que resuelven determinantes de matrices no cuadradas. Por favor, responsables de la Selectividad, háganles ver a los profesores de Secundaria que la eliminación gaussiana es lo que tienen que enseñar. Queremos las matemáticas útiles, necesitamos las matemáticas útiles. Las eminentes y bellas sólo son para los matemáticos, y cada vez menos. Siguiendo con la película, cuando los alumnos salen, el profesor manda quedar a Josele, el hijo del catedrático de matemáticas Alcaraz. A la salida sus compañeros se interesan por lo que el profesor le ha dicho ya que le ven un poco abatido. En efecto, le han leído la cartilla porque “debe dar ejemplo”. Tan disgustado está que acto seguido se pelea a puñetazo limpio con el cuatripitidor por llamar a su padre cuatro y medio y por sugerir que siendo su hijo, le iban a regalar el aprobado. Otra escena con las matemáticas a vueltas es un diálogo entre Lolo (¿lo reconocen? Es un cantante que después sería muy famoso) y su padre. Ha suspendido todas en el primer trimestre y en matemáticas ha sacado un cero. Lolo: ¡Es que las matemáticas son muy difíciles! Padre: Será para ti. Dos por dos, cuatro; cuatro por dos, ocho; ocho por siete,..., siete por ocho, ¡Cincuenta y seis! ¿Lo has visto? Lolo: Muy bien. Ahora sácame la raíz cúbica de Pi. Padre: ¿Quién es Pi? Lolo: Pi es 3.1416, y sigue. Padre (chillando): ¡Me vas a tomar el pelo encima! En otro momento, la panda de chicos protagonista queda en casa de Josele para estudiar matemáticas. Uno de ellos, Miguel, que se está poniendo morado a bollos, afirma que es una buena idea quedarse a estudiar por la noche en casa de alguno. El diálogo sigue así: Josele: Sabemos que la cuadratura nos viene dada por una integral definida. Bueno, pero ¿cómo se obtiene la integral definida? Lolo: Cualquiera sabe. Julio: Oye, ¿el libro de texto no lo ha escrito tu padre? Josele: Sí Miguel: Pues tiene que tener la solución de los ejercicios en algún sitio. ¿Por qué no los buscas? Josele: ¡Bah, las tendrá bien guardadas! Y a lo mejor aparece en cualquier momento. En efecto, en ese instante el catedrático Alcaraz abre la puerta y los ve; su hijo con los libros abiertos, otro comiendo bollos sin parar y los otros fumando. Alcaraz: Buenas noches. Julio: ¡Ay, madre! (Se levantan todos para saludar, prácticamente cuadrándose como en la mili) Alcáraz: Siéntense, por favor. ¿Qué tal va eso? Miguel: Estudiando como locos. Su asignatura, precisamente. Julio: Es la que más empollamos. Alcaraz: Su cara no me es desconocida. Julio: Si, he tenido la desgracia,… no, no, perdón, he tenido el honor de examinarme tres veces con usted. Alcaraz: ¿Y las tres…? (Hace el gesto con el pulgar de los césares al condenar a los perdedores en el circo romano). Julio: Si, señor, si. Alcaraz: Bueno, pues a ver si la cuarta… Julio: ¡Con un poco de suerte! Alcaraz: Y de estudio. Julio: Y de estudio, si señor. Ahora mismo estábamos con la cuadratura… Miguel: Pero se atascó el carro. Alcaraz: Pues a empujarlo amiguitos. (A su hijo) No te acuestes, tarde. Buenas noches. Ah, y si tienen la desgracia de que me toque examinarles, confío en poder darles algo más que un cuatro y medio. Muy sonriente pero un poco borde el Sr. Catedrático, ¿no? Si unos estudiantes te dicen que no entienden algo que tu les puedes explicar, lo lógico es hacerlo, ¿no? Más que nada por buena educación. En fin, en su defensa digamos que la escena que veía al abrir la puerta, probablemente no invitara a pensar que estaban estudiando. No falta la fiesta del Centro (ahora se llama semana cultural, jornadas culturales o similares) en la que escenifican “La tragedia del examen”, ante alumnos y profesores. Josele hace de alumno, y Julio, de profesor examinador. El catedrático Alcaraz está de espectador, y parece muy divertido: Examinador: ¡Se acabó el tiempo! Léame el ejercicio el señor examinando y entréguelo. ¿Puso bien el enunciado del problema? Alumno: Si señor. Un hombre tiene 48 años más equis, y pesa 67 kilos menos equis. Con estos datos averiguar cuántos ajos, hijos, tiene, y saber si el domingo va a llover. Examinador: Correcto, correcto (mirando una ristra de papeles continuos). Solución exacta. ¡Ah! ¡Se ha olvidado de poner un rabito al siete! Alumno: Pero hombre, por un rabito más o menos. Examinador: Lo siento Sr. examinando, pero 4 y medio. Los compañeros de Alcaraz lo miran pensando que va a montar en cólera pero se lo toma con buen sentido del humor. Y una profesora, tocándole la rodilla, añade, “Eso demuestra que todavía es joven”. Él pone también su mano sobre la de ella, amistosamente (aparentemente). De cara al examen, unos estudian, otros hacen chuletas. Julio va a llevar un pañuelo en el que está descrita toda la asignatura. Hará de nuevo la pamema del acatarrado y tendrá el pañuelo constantemente en la mano, pero al final no le servirá de nada. En la pizarra observamos una cuestión sobre cálculo de primitivas. Se hace un travelling desde la posición que ocupan los alumnos hacia la mesa de los profesores, pasando por el encerado. Como no hay una visión completa de la pizarra, he tenido que poner dos fotografías para ver el ejercicio en su totalidad. Se trata de una integral racional típica, aunque se describe completamente el procedimiento (cosa que deberían saber los examinandos), indicando cómo hay que descomponer el cociente en fracciones simples. Si uno mete el lápiz comprobará que M = 2, N = 0 y P = 1, por lo que la primitiva es muy elemental (casi trivial): I = 2 Ln|x – 1| + Arctg x + C. Un ultimo detalle sobre el catedrático Alcaraz que sí nos pasa a muchos: la víspera del examen “parece que se examinara él”, dice su hijo, por lo agobiado e intranquilo que se encuentra. Dos canciones componen la banda sonora de la película, “Chicos del PREU” e “Igual que hoy”, con letra y música de Los Pekenikes, cantadas por Karina (que interpreta a Yoyo), con Los Pekenikes y Los Botines con su flamante cantante Camilo Blanes (Lolo), antes de convertirse en Camilo Sesto. Echando un vistazo a las letras; no deja lugar a dudas sobre el tipo y la época de la película. La película está completa en YouTube. Aquí puede verse la presentación y los primeros diez minutos. Cuestioncilla para muy mate-cinéfilos: Pedro Díez del Corral, el actor que interpreta a Josele, el hijo del catedrático, también anduvo pegado con las matemáticas en otra película ¿Cuál? La película se estrenó en 1967. El último curso que estuvo en vigor el antiguo PREUNIVERSITARIO, conocido popularmente como PREU, como indica el título de la película (la Secundaría consistía en 6 cursos + 1 PREU), fue el curso 1970–1971. El curso siguiente ya aparece el COU (Curso de Orientación Universitaria) que estaba precedido de tres cursos de BUP (Bachillerato Unificado Polivalente). El último curso del COU fue el 1997–1998, empezando el curso siguiente el Bachillerato LOGSE cuyo segundo curso es el equivalente a aquel PREU y aquel COU. Quizá lo menos lioso es tener en cuenta que todos ellos (PREU, COU, 2º Bachillerato LOGSE se cursaron cuando el alumno tenía 17 años, si no había repetido ningún curso ni dejado los estudios en algún momento. Ya lo dice el cartel anunciador: “A los 17 años todo es importante”. Todos estos datos son generales, puesto que en algunos centros hubo un COU-piloto antes del de 1971–1972, y respecto a la LOGSE, las diferentes Comunidades Autónomas, las diferentes provincias, e incluso los diferentes centros, la adoptaron en momentos distintos. Además, al principio de cada plan muchas veces se mezclaban el plan cesante y el entrante durante algunos cursos; por ejemplo, hubo alumnos que empezaron el plan de 6 cursos + Preuniversitario, cursaron los seis primeros y, sin embargo, les alcanzó el cambio e hicieron el COU en lugar del PREU, cuando otros alumnos posteriores que cursaron COU, antes del COU habían cursado los tres años del BUP. Parece que dentro de poco tendremos nuevo sistema, y quizá nuevas siglas que aprender. Otras rocambolescas situaciones que a veces conviene recordar es que en el curso 1967–1968, en los Centros de Secundaria (tradicionalmente conocidos como Institutos) había 6 niveles de bachillerato, desde 1º (11 años), a 6º (16 años), y un curso final, el Preu (17 años). Después durante mucho tiempo los centros tuvieron solamente cuatro niveles, tres de bachillerato, de 1º de BUP (14 años), a 3º de BUP (16 años), y el COU. Más tarde, los centros volvieron a tener alumnos desde los 12 años hasta los 17, situación actual. ¿Será esto a lo que se referirían los estoicos, y después Nietzsche con aquello del Eterno Retorno? Debe ser eso, que los que nos gobiernan intentan enseñarnos filosofía a su manera. Como siempre, podéis enviar vuestros comentarios, críticas o sugerencias a alfonso@mat.uva.es.

Jueves, 09 de Febrero de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

154. 66. Logicomix, Bertrand Russell y el cine

Nos aproximamos a una novela gráfica realmente excepcional, acercándonos de paso a la visión que de su protagonista han hecho el cine y los medios de comunicación, el filósofo, lógico y matemático Bertrand Russell. Comenzamos el temible 2012, según se nos advierte por todas partes. Desde hace algunos años se ha venido consolidando en los medios de comunicación, en los ambientes culturales, en la sociedad en general, la costumbre de conmemorar, celebrar, recordar, homenajear, llámese como se quiera, acontecimientos históricos, nacimientos de personalidades relevantes (incluso algunas más bien irrelevantes), defunciones, la aparición de “obras cumbre” (literarias, artísticas, musicales, cinematográficas, etc.; pocas veces científicas, aunque se van abriendo hueco), efemérides diversas en suma, no por inmerecidas, sino muchas veces (y esto es lo triste) porque no se tiene nada mejor que contar, o hay que rebuscar en el pasado ante la falta de nuevas creaciones de interés en el presente. Este año que comienza, presa de recortes presupuestarios por todas partes, se prevé lleno de recordatorios de tiempos pasados. Nos aburrirán con el centenario del hundimiento del Titanic, el cincuentenario de la muerte de Marilyn, de los primeros discos de Beatles y Rolling Stones, etc., etc. Desde esta sección, para variar, comenzamos con la recomendación de un libro reciente (si, un libro, no me he confundido de sección) que me ha parecido realmente notable. Bueno, en realidad es un cómic, o si se prefiere una novela gráfica, que parece más culto, sobre unos trabajos que a punto estuvieron de hacer tambalear toda la estructura matemática conocida y admitida durante siglos. Como todo buen aficionado al cine sabe, la mayor parte de las películas de cierto presupuesto cuentan con un story-board, un prediseño gráfico de los momentos más complejos o del film completo, que orientan a todo el equipo de filmación de cara a la mejor planificación artística posible. Un tebeo, un cómic, no es por otro lado sino una película en la que el lector incorpora  mentalmente la acción y el movimiento. En nuestro país, en los años cuarenta, cincuenta, sesenta y principios de los setenta del pasado siglo, los tebeos constituían una especie de “cine para pobres”, con los que muchos niños aprendieron no sólo a leer, sino a adquirir conocimientos de aquellos exóticos lugares o circunstancias del pasado en los que habitualmente transcurrían aquellas sensacionales aventuras. Yo personalmente he sido, y sigo siendo, (lamentablemente cada vez menos ante la falta de productos atractivos; la globalización yanqui y sus cada vez más infantiles superhéroes se ha adueñado del mercado) un ávido lector de tebeos. Es de celebrar la aparición hace unos meses, de un tebeo realmente excepcional, LOGICOMIX, Una búsqueda épica de la verdad, escrito por el matemático Apostolos Doxiadis (autor de la también notable novela El tío Petros y la conjetura de Goldbach) y el informático Christos Papadimitriou, y dibujado por el matrimonio Alecos Papadatos (dibujante) y Annie di Donna (colorista).  Está editado en España por Ediciones Sins Entido y tiene nada menos que 352 páginas, que no obstante se leen prácticamente de un tirón, no porque haya poco texto, que no es así, sino porque una vez empezado, es difícil no engancharse hasta terminarlo. Quizá a estas alturas ya lo conozcáis, o incluso lo hayáis leído porque han aparecido diferentes reseñas en blogs, revistas, periódicos, e incluso en programas de televisión (ver la reseña en la web de RTVE), y lleva más de 5000 ejemplares vendidos hasta el momento en España, cifra muy significativa para este tipo de libros. Después de una oportuna Introducción de Fernando Savater, la historia comienza con una Overtura en la que los propios autores del libro deliberan sobre cómo plasmar en imágenes “la búsqueda de los fundamentos de las matemáticas”. Apostolos Doxiadis se dirige directamente al lector para explicarle que el libro pretende ser algo distinto a “una lógica para torpes”, o un “manual o tratado con la apariencia de una novela gráfica”. Su intención es plasmar “una historia real, como la vida misma”, una historia dramática de locura y razón, amor y guerra, como reza la contraportada. Mientras deliberan sobre algunos detalles, de camino al estudio de dibujo, se van intercalando los momentos iniciales de la obra: 1 de septiembre de 1939, Adolf Hitler invade Polonia; es la cuenta atrás para una guerra mundial. Tres días después, el pensador Bertrand Russell se acerca a dar una charla en una universidad norteamericana sobre “el papel de la lógica en los asuntos humanos”. Es el punto de partida del relato, que se articula en torno a dicha conferencia. Un grupo de antibelicistas, paradójicamente un tanto belicosos, lo increpará para que se manifieste públicamente contra la Guerra. Russell los convencerá para que le permitan dar su charla, prometiéndoles que en su transcurso quedará clara su postura. A lo largo de varios capítulos irá perfilando su propia autobiografía y el desarrollo de los fundamentos de la lógica a partir de su visión de los trabajos de sus colegas. Desfilarán personalidades como Frege, Cantor, Whitehead, Hilbert, Poincaré, Wittgenstein, Von Neumann, Gödel, etc. Dichos capítulos son: 1.- Pembroke Lodge, mansión familiar en la que Russell vivió su infancia con sus abuelos. Capítulo en el que nos va desvelando su personalidad, su drama familiar, sus miedos, el aprendizaje de las matemáticas, etc. No faltan los toques de intriga, personificados en una prohibida biblioteca y unos misteriosos alaridos que sobrecogen su ánimo. 2.- En El aprendiz de brujo, relata su juventud universitaria, su primer amor, sus inquietudes intelectuales. Entabla amistad con Whitehead que le aconsejará que viaje al continente para conocer de primera mano los trabajos de los lógicos. 3.-Wanderjahre o los años de itinerancia. Parte con su primera esposa de Inglaterra a Alemania y otros países centroeuropeos a conocer a Frege y Cantor, y asiste en París a la célebre conferencia de Hilbert en el segundo ICM en la que expone sus 23 problemas no resueltos. 4.- En Paradojas nos da cuenta del complicado trabajo con Whitehead en la escritura de su Principia Mathematica, y los escarceos amorosos con su esposa (la de Whitehead). Como si de un descanso en la proyección se tratara, aparece un Entreacto en la que retomamos la historia paralela de los autores del libro y sus desvelos y discrepancias sobre cómo seguir adelante. 5.- Guerras lógico-filosóficas. La primera guerra mundial y la obra de Wittgenstein. Los trabajos de Russell y Whitehead atraviesan por malos momentos: están en un punto muerto del que no saben cómo salir. 6.- Incompletitud. Gödel y el final de la conferencia con la manifestación pública de pacifismo de Russell, y el jarro de agua fría que supone admitir que existen enunciados de los que nunca sabremos si son ciertos o falsos. La aventura gráfica acaba con una Escena Final a cargo nuevamente de los autores del libro asistiendo a una tragedia griega (reivindicando un poco su innegable papel en el desarrollo cultural de las ideas; recuérdese que los autores son griegos). Se añaden dos apéndices realmente interesantes: en el primero (Logicomix y la realidad) se nos aclaran algunas licencias que los autores se han tomado, explicándonos cuáles han sido inventadas y de cuales no se tienen datos, pero que han considerado necesarias para la continuidad novelada de la historia (algo que siempre se echa de menos en las novelas históricas y en las películas), y un Cuaderno de Notas, en el que se exponen de un modo sencillo algunos conceptos (no sólo matemáticos, sino también históricos y/o artísticos) y se resume la biografía de algunos de los protagonistas de la historia, contándonos qué fue de su vida desde donde se dejó en el texto. El ritmo y la intriga son impecables, además de poseer una ambientación histórica realmente sensacional. Evidentemente para los que estén interesados en el tema el libro es indispensable, pero también les resultará sumamente enriquecedor culturalmente a los demás. Tampoco quedarán defraudados quienes no tengan mayores pretensiones que entretenerse un rato. Es posible que este cómic se convierta finalmente en un futuro no muy lejano en una película de verdad. Para ir abriendo boca, uno puede disfrutar en YouTube de un documental, Logicomix. One page at a time: the creation of a graphic novel), de unos 25 minutos aproximadamente, dirigido por Alexis Kardaras, originalmente en griego y en inglés, pero afortunadamente subtitulado en inglés en las escenas en que se habla en griego. Está dividido en tres partes, donde sus autores nos dan más detalles sobre la realización de esta obra. El enlace conduce a la primera parte, y al acabar ésta aparece el enlace a las otras dos, como saben de sobra los navegantes de YouTube. En él aparece también el prestigioso matemático Barry Mazur (Universidad de Harvard, que también apareció en esta sección en la reseña 49 en el documental El enigma de Fermat, de Simon Singh), que nos da su opinión sobre este libro. El documental se centra  esencialmente en describir las ocho etapas en las que se realizó el cómic: elaboración del guión, lo que ellos llaman patatologia (etapa en la que piensan cómo va a ser el aspecto de los personajes, es decir, cómo pasar del texto, a personajes de “carne y hueso”, como van a ser sus expresiones gráficas, las “patatas”), perfilar el boceto de los dibujos, incorporación del texto final de los bocadillos, dibujar a lápiz los detalles de los dibujos, añadir las sombras, pasar a tinta y, finalmente, colorear. Todo ello después de haber recabado la información necesaria para elaborar el guión, trabajo que comenzó en 2002. En el documental se explica cómo el guionista debe indicar al dibujante, de forma tan precisa como pueda, cómo enlazar las viñetas, especificando los ángulos de cámara, los primeros, medios y largos planos, en definitiva, un trabajo muy similar al que se hace en el cine. Después los procesos de unificar las letras de los bocadillos, la incorporación de sombras, el tintado y el coloreado se hacen de forma muy precisa con el ordenador. Bertrand Russell en el cine A pesar de su relevancia, Bertrand Russell no ha sido demasiado frecuentado por el cine. He aquí las referencias que he podido encontrar: Películas de ficción en salas comerciales 1.- Wittgenstein (Derek Jarman, Gran Bretaña/Japón, 1993) Guión: Ken Butler, Terry Eagleton y Derek Jarman. Intérpretes: Clancy Chassay (Wittgenstein de joven), Jill Balcon (Leopoldine Wittgenstein),  Sally Dexter (Hermine Wittgenstein), Karl Johnson (Ludwig Wittgenstein), Michael Gough (Bertrand Russell) y Tilda Swinton (Lady Ottoline Morrell). La película es un ingenioso mosaico de uno de los más influyentes filósofos del siglo XX. Ludwig Wittgenstein trató de desentrañar los secretos de la lingüística, la lógica, las matemáticas, la ética y la filosofía. En una hora escasa, el director Derek Jarman trata de mostrar la mayor parte de los acontecimientos que jalonaron su excéntrica vida mediante una serie de sketches teatralizados que van desde su infancia pasando por la época de la Primera Guerra Mundial hasta su  breve estancia como profesor en Cambridge y su relación con Bertrand Russell y John Maynard Keynes. El énfasis de estos retazos se pone en la exposición de las ideas de Wittgenstein, y en su homosexualidad (nada más empezar aparece en brazos de un atractivo estudiante de filosofía; en ello tiene mucho que ver la propia personalidad del director). Es necesario advertir que para comprender medianamente los diálogos es preciso saber bastante de filosofía. Es un completo ensayo que ha sido alabado por los que conocieron al filósofo y por su biógrafo Ray Monk. En 1993 la película fue galardonada con uno de los premios a la mejor película en el Festival Internacional de Berlín. Un exhaustivo análisis (en inglés) de la película puede leerse aquí. En España se ha comercializado en DVD en versión original subtitulada. Unas escenas pueden verse en este enlace. El polifacético Derek Jarman (escritor, poeta, actor,  escenógrafo, diseñador, cineasta, pintor,  activista por los derechos de los homosexuales, entre otras ocupaciones) es considerado por la crítica como un director de talento con obras de gran calidad. Su obra cinematográfica consta de once largometrajes, unos treinta y seis cortos y algunos vídeos musicales. Su primera película, Sebastiane (1976), está hablada íntegramente en latín. Saltó a los medios de comunicación en diciembre de 1986 al ser diagnosticado VIH positivo y dar a conocer su condición de seropositivo públicamente. Su enfermedad le llevó a mudarse a Prospect Cottage, cerca de la planta nuclear de Dungeness, cerca de la planta nuclear. Murió en 1994.  En este enlace, se analiza su obra con profundidad. En la foto el actor británico Michael Gough en su caracterización como Bertrand Russell para esta película. Ludwig Wittgenstein también aparece en Los crímenes de Oxford, de Alex de la Iglesia (ver reseña número 29 de esta sección) 2.- Tom y Viv (Tom & Viv, Brian Gilbert, EE. UU., 1994). Guión: Michael Hastings y Adrian Hodges, sobre una obra teatral del primero. Intérpretes: Willem Dafoe (T. S. Eliot), Miranda Richardson (Vivienne Haigh-Wood), Nickolas Grace (Bertrand Russell), Rosemary Harris (Rose Haigh-Wood). El papel de Russell es secundario ya que la historia se centra en la tormentosa relación entre el poeta T. S. Eliot y su esposa. Aparece en diferentes momentos como amigo del poeta e impartiendo clase durante los títulos de crédito (sin diálogo por tanto) como aparece en la instantánea adjunta. Televisión Obras de ficción La televisión británica produjo dos telefilms sobre la figura del escritor, poeta y militar Siegfried Sassoon. Durante la Primera Guerra Mundial, Sassoon fue distinguido por la Orden del Imperio Británico recibiendo además la Cruz Militar, por sus arriesgadas acciones, entre las que se incluye la captura de una trinchera alemana en la Línea Hindenburg. Salía de noche a efectuar redadas y patrullas de bombardeo, demostrando una eficacia despiadada. Debido a sus hazañas casi suicidas, sus hombres lo apodaron "Jack el Loco" A pesar de ello, en 1917 decide protestar contra la prolongación de la guerra: "Estoy haciendo esta declaración como un acto de desafío intencional a la autoridad militar, porque creo que la guerra está siendo deliberadamente prolongada por aquellos que tienen el poder de terminarla." Tras recuperarse de unas heridas, Sassoon se negó a volver al servicio, y animado por amigos pacifistas como Bertrand Russell y Lady Ottoline Morrell, envió una carta a su comandante en jefe titulada A Soldier’s Declaration, que fue transmitida a la prensa y leída en el Parlamento por un diputado que simpatizaba con su causa. En lugar de formarle un consejo de guerra, sus superiores, tras infructuosos intentos de que cambiara de opinión, deciden considerarlo no apto para el servicio, enviándolo a una clínica mental. Su biografía, llevada a la pantalla en diferentes ocasiones, es puesta en escena en el capítulo titulado Mad Jack (Jack Gold, Gran Bretaña, 1970) de la serie The Wednesday Play. Con guión de Tom Clarke, sus protagonistas son Michael Jayston (Siegfried Sassoon), Michael Pennington (Geoffrey Cromlech), Clive Swift (Ayudante), Charles Lewsen (Bertrand Russell) y David Wood (Ormand). El episodio fue premiado en 1971 en el Festival Internacional de televisión de Montecarlo. Posteriormente para la serie BBC2 Playhouse, el episodio 48 titulado Fatal Spring (Michael Darlow, Gran Bretaña, 1980) vuelve a retomar la historia con guión de George Baker y con David Sibley (Wilfred Owen), Charles Dance (Siegfried Sassoon), Michael Troughton (Robert Graves), Aubrey Morris (Tom Owen) y Martin Friend (Bertrand Russell), en sus principales papeles. Documentales Como vemos, Russell es un personaje secundario siempre (el cine suele elegir historias espectaculares por encima de las reflexivas; eso sí, no se priva de incluir secundarios que den “prestigio” a la trama, caso de científicos e intelectuales en general). Donde podemos admirar (o simplemente escuchar) a Russell como verdadero protagonista es en documentales sobre su pensamiento, de los que destacamos dos: 1.- El 4 de marzo de 1959 la BBC emite una entrevista de media hora a Bertrand Russell realizada por John Freeman para el programa Face to Face, cercano a su 87 cumpleaños (nació el 18 de mayo de 1872). En YouTube aparece la entrevista íntegra, dividida en tres fragmentos. En ella Russell habla sobre muy diferentes temas, no sólo filosóficos, sino personales, culturales, religiosos, matemáticos, etc. Es muy interesante y se entiende bastante bien (está en inglés sin subtitular) ya que Russell tenía un diálogo bastante pausado. De esta entrevista aparecen muchos fragmentos en otros documentales. En ella se muestra muy afable y no rehuye ninguna pregunta, incluso algunas con cierta mala idea las toma con un gran sentido del humor. Por ejemplo, al preguntarle sobre cuando recuerda que dejó de creer, Russell explica que el proceso fue lento y muy doloroso porque al principio era profundamente religioso. Entonces recuerda que cuando tenía cuatro años, le contaron el cuento de Caperucita Roja. Un día, en un sueño, fue atacado por el lobo feroz, y para su sorpresa al final se encontraba en el estómago del lobo y no en el cielo como era de esperar. Sobre las razones por las que se interesó por las matemáticas (confiesa que fue su hermano el que le dio la primera clase sobre Euclides) afirma que “por varias razones: las matemáticas son la clave para conocer el Universo. Todas las cosas que hacemos diariamente se explican matemáticamente”. La verdad es que cualquiera de sus respuestas es tremendamente interesante. Simplemente entresaco alguna: “Los científicos no sobrevivirán si dedican sus investigaciones a la Guerra”; “Cualquier cosa sana, sensible y pacifica que hagamos es absolutamente ignorada por la Prensa; sólo prestan atención a los fanatismos”; “No puedo soportar el pensar que cientos de miles de personas estén agonizando únicamente porque las reglas del mundo sean ESTUPIDAS y PERVERSAS”; Al finalizar, el entrevistador le pide un consejo para aquellos que en el futuro vean esta entrevista, sobre el futuro. Resumiendo su respuesta (que es una de las más extensas), indica que “daría dos consejos, uno intelectual y otro moral. El primero sería siempre examinar los hechos, sólo los hechos, desterrando cualquier tipo de creencia; el segundo es muy simple: Amar es sabio. Odiar es la locura. Tenemos que aprender a tolerar a los demás, incluso a aquellos que dicen cosas que no nos gustan. Caridad y tolerancia para poder continuar en este mundo”. En YouTube puede también verse un pequeño extracto de otra entrevista concedida también en 1959 a la cadena norteamericana CBC hablando específicamente sobre religión y agnosticismo (parece que a los medios de comunicación era el tema que más les preocupaba en esa época, porque además puede verse a una entrevistadora bastante incisiva en sus preguntas. Sin embargo Russell no pierde su flema, y afirma categóricamente que “me parece deshonesto y dañino para la integridad intelectual creer en algo sólo porque te beneficia y no porque pienses que es verdad” o que está convencido que tras la muerte no existe absolutamente nada. 2.- The Three Passions of Bertrand Russell Documental dirigido en 2008 por Will Pascoe y David Wesley, de 126 minutos. Guionistas: Nick Hector, Hugh Fraser En el documental se dan cita el lingüista y filósofo Noam Chomsky y la diseñadora de moda británica Vivienne Westwood (considerada como la principal responsable de la estética asociada con el punk y la New Wave), junto a imágenes de archivo de Bertrand Russell. Se analiza su vida y pensamiento a partir de tres de las pasiones que le animaron (y son las tres partes en que se divide el documental): el interés por el conocimiento (Primera parte: VERDAD), la importancia de la justicia (Segunda parte: JUSTICIA) y la búsqueda del amor (Tercera Parte: AMOR).

Jueves, 05 de Enero de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

155. 65. Tests de inteligencia

Comenzamos el año con un clásico (Madame Curie), y lo despedimos con otro, en este caso de una pareja inolvidable y ambientado en Navidad que es lo que nos viene dentro de poco. Una de sus escenas nos acerca a los polémicos tests de inteligencia que han sido tratados en diferentes ocasiones en el cine. ULTIMA HORA: Mientras redactaba esta reseña, se ha conocido el fallo del premio Cervantes 2011, que ha recaído en Nicanor Parra, poeta, matemático y físico. Un magnífico ejemplo de que, por más que haya quien se empeñe en lo contrario, la cultura es una, y no se compartimenta en un excluyente “letras” o “ciencias”.  Gracias Sr. Parra. SU OTRA ESPOSA Título Original: Desk Set. Nacionalidad: EE. UU., 1957. Director: Walter Lang. Guión: Phoebe Ephron y Henry Ephron, sobre una pieza teatral de William Marchant. Fotografía: Leon Shamroy, en Color (De Luxe). Montaje: Robert L. Simpson. Música: Cyril J. Mockridge. Productor: Henry Ephron. Duración: 108 min. Intérpretes: Spencer Tracy (Richard Sumner), Katharine Hepburn (Bunny Watson), Gig Young (Mike Cutler), Joan Blondell (Peg Costello), Dina Merrill (Sylvia Blair), Sue Randall (Ruthie Taylor),Neva Patterson (Miss Warriner), Harry Ellerbe (Smithers), Nicholas Joy (Mr. Azae). Argumento: Bunny Watson es una persona de extraordinaria memoria que tiene a su cargo los archivos de una importante cadena televisiva. Un día llega a la empresa el ingeniero Richard Sunmer, que acaba de inventar un revolucionario cerebro electrónico, lo que provoca los recelos de todos los empleados, que temen perder sus puestos de trabajo. A partir de finales de los años cincuenta los entonces llamados “computadores” eran vistos más como una amenaza que una herramienta de trabajo. Hubo muchas películas que mostraban este tipo de aparatos de aspecto poco amigable, llenos de luces parpadeantes que emitían algún que otro extraño sonido (algo semejante a un robot). Hoy es impensable el trabajo en una oficina, por pequeña que sea la empresa, sin un ordenador, aunque aún queda algo de aquellos temores en muchas personas. Sobre la tópica controversia de si es más útil una persona o un ordenador gira esta flojita comedia en la que lo más relevante es la pareja protagonista que hacen lo que pueden ante un montón de arquetípicos diálogos y situaciones, repetitivas además en muchos momentos del metraje (es excesivo el número de veces que se muestran llamadas de personas para preguntar tonterías del tipo “¿por qué los esquimales se besan frotándose las narices?” o “nombre de los renos de Santa Claus” además de reiterar a las empleadas de la oficina chismorreando sobre las más banales circunstancias). Hay sin embargo una escena que da sentido a que traigamos este título a colación. Bunny Watson es una mujer muy inteligente y observadora, y con una excelente memoria. Sabemos además que tiene una carrera universitaria y un curso de especialización en Columbia. (“Incluso iba a doctorarme, pero se me acabó el dinero”). Desde que se presenta se nos muestra haciendo uso de esas altas capacidades y de unas contestaciones con doble intención (muy habituales en los papeles de esta actriz) que para mi gusto, es lo mejor de la película. Por ejemplo, nada más presentarse el Sr. Sunmer: Richard: Mi nombre es Richard Sunmer. Bunny: Vaya, matemáticamente eso está muy bien. Su nombre tiene trece letras. Richard: Cuenta usted muy deprisa. Bunny: Al menos hasta trece. Probablemente Buuny Watson ha hecho un montón de tests a lo largo de su carrera universitaria y laboral y desconfía un tanto de ellos y del Sr. Sunmer. Por eso se propone dejar en evidencia a su interlocutor. La escena del test Richard Sunmer y Bunny Watson suben a almorzar a la terraza del rascacielos donde está situada la empresa donde ella trabaja. Es diciembre y hace un frío que pela. Las palomas transitan a sus anchas por la terraza. Los protagonistas se acomodan en una mesa. Richard: ¿Bonito sitio, eh? Lo encontré el otro día mientras paseaba por el edificio. ¿Había subido alguna vez aquí? Bunny: Muchas veces. En Julio. […] R.: Un lugar ideal para concentrarse. Ni camareros, ni gente, ni teléfonos… B.: Ni calefacción central […] R.: Bueno, tengo aquí una especie de cuestionario de personalidad. Puede que algunas de estas preguntas le parezcan un poco tontas, pero le sorprendería saber lo que indican de la inteligencia y adaptabilidad en términos generales. Y puede que también sean un pequeño desafío para su memoria. B.: ¿Un desafío, eh? R.: Conteste simplemente a las preguntas. No las analice. No las analice en absoluto. B.: No lo haré. R.: A menudo cuando conocemos a una persona, alguna de sus características físicas nos llama más la atención. ¿Cuál es la primera cosa que nota usted en una persona? B.: Si la persona en cuestión es varón o hembra. R. (un poco decepcionado): ¡Ah! Esta es un poco matemática. ¿Apio y aceitunas? (Le ofrece un tarro que hay sobre la mesa para añadir en el almuerzo). B.:(Lo observa y responde) Cuatro aceitunas y tres ramas de apio. R.: Si, es verdad. No era esa la pregunta. Veamos. Un tren sale de la Estación Central con 17 pasajeros a bordo y 9 empleados. En la calle 125, se bajan 4 y suben 9. En White Plaíns sube 1 y bajan 3. En Chappaqua se bajan 9 y suben 4. En cada una de las paradas sucesivas no se bajó nadie y no subió nadie hasta que el tren llegó a su penúltima parada donde 5 personas se bajaron y subió una, y luego llega a la Terminal. B.: Llegaron 11 pasajeros y los 9 empleados. R.: Sí, pero esa no es la pregunta. B.: Lo siento. R.: ¿Cuántas personas se bajaron en Chappaqua? B. (inmediatamente): 9. R. (sorprendido): Eso es correcto. B.: Sí, lo sé. R.: ¿Le importaría decirme cómo ha llegado a esa conclusión? B.: ¿Asusta un poco, no? ¿Ha reparado usted que también hay 9 letras en la palabra Chappaqua? R.: ¿Tiene usted la costumbre de asociar las palabras con el número de letras que contienen? B.: Yo asocio muchas cosas con muchas otras. ¿No va a preguntarme cuántas personas se bajaron en White Plains? Tres. R.:Pero hay 10 letras en White Plains…. B.: No, 11. R.: ¿Y solo se bajaron 3? B.: Verá, yo sólo he estado tres veces en White Plains en toda mi vida. R.: Pero suponiendo que hubiese estado dos veces…. B.: No, pero no es así. He estado tres veces. ¿No va a preguntarme cuántas personas subieron en Croton Falls? R.: En la pregunta no se menciona ningún Croton Falls en absoluto. B.: No, aunque se cita la última parada de todos modos, que es esa. ¿No tiene usted frío? R.: No, no, no se preocupe. Yo nunca tengo frío. Veamos. ¿Nota usted algo insólito en la frase siguiente: “Hable de mí y no me envíe a Elba”? B.: No. (pasan unos segundos). Pero dudo mucho que Napoleón dijera esa frase. A menos que se refiera a que “Hable” y “Elba” se escriben igual, sólo que al revés a excepción de la h. ¿Cómo se llama a eso? R.: Un capicúa. B.: Yo me sé otro: ROMA y AMOR. R.: Dudo mucho que Napoleón dijera esa frase (se ríen). Veamos. Voy a decirle tres números de teléfono, y sólo los diré una vez. A ver si puede usted repetirlos ¿Lista? Plaza 23391, Murray Hill 31099, Plaza 23931. ¿Qué? ¿Una pregunta dura? B.:(Bunny carraspea, se aclara la voz, mastica algo): Un rosbif duro. Plaza 23391, Murray Hill 31099 y Plaza 23931 R. (mosqueado): Oiga, ¿le importaría decirme cómo ha llegado a eso? B.: Primero está Plaza 2, y el año de la quiebra al revés; el segundo es Murray Hill 3 con 33 años después de la conquista de Inglaterra por los Normandos, y el último es Plaza 2 con las mismas cifras que el primero sólo que la segunda y la tercera están intercambiadas, aunque hay algo tremendamente equivocado en esa pregunta. R.: ¡No me diga! B.: No creo que exista ningún número que empiece por Plaza 2. R.: Y suponiendo que algo estuviese equivocado,…., nos saltaremos esa pregunta. Bien. Antes de formularle la siguiente pregunta debo advertirle que contiene una pequeña trampa. Con el fin de ponerla en guardia frente a la trampa le daré un consejo en dos palabras: no suponer. B.: No se preocupe; no lo haré. R.: ¿Está Lista? Un detective irrumpió en un apartamento y encontró a Harry y a Grace tumbados en el suelo, muertos. Junto a ellos había un charquito de agua y fragmentos de cristal. Contemplándolos desde lo alto había un gato casero con la espalda erizada. El detective concluyó sin ulteriores investigaciones que a las víctimas se les había cortado la respiración. ¿Cómo llegó a esa conclusión el detective? B.: ¿No suponer, eh? R.: No suponer B. (muerta de frío): Bueno. En fin, lo único que hay que suponer es que Harry y Grace eran…, ¿eh? ¡Harry y Grace! Es tan tonto. ¿Harry y Grace eran peces de colores? R. (enfadado a la vez que sorprendido): ¡No! No lo eran. Eran peces tropicales muy raros. Como usted. B. (satisfecha): ¿Qué tal hizo su maquinita este test? R.: Ninguna máquina puede evaluar… ¿Porqué me hace esa pregunta? B. (se levanta y se frota los brazos para entrar en calor): Hice averiguaciones sobre usted. Nació en Columbus, Ohio, el 22 de mayo, por tanto es Géminis. Se graduó en Física y obtuvo el doctorado en Ciencias. Es miembro de la Academia pero no lleva distintivo, lo que significa que lo ha perdido o que no es presumido. Pasó la Guerra en Groenlandia trabajando en algo tan supersecreto que no he podido averiguar lo que era. Es usted uno de los mejores especialistas en cerebros electrónicos en este país. Ha inventado y patentado una máquina con cerebro electrónico llamada EMORAC, la calculadora de memoria electromagnética para investigación y el desarrollo. He averiguado todo eso en sólo media hora. R.: Es usted un pez tropical rarísimo. B.: Gracias. R.: ¿Ha visto funcionar algún cerebro electrónico? ¿El EMORAC, por ejemplo? B.: Si, precisamente esta mañana estuve viendo una demostración en la IBM. R.: ¿Vió usted como traduce del ruso al chino? B.: Si. La ví hacer todo. Da miedo. Da la impresión de que tal vez, solo tal vez, las personas están un poco pasadas de moda. R.: No me sorprendería que dejaran de fabricarlas. Algunas aclaraciones A pesar de que en nuestro país existen buenos dobladores al castellano, a veces no es fácil transmitir con exactitud lo que se dice en la versión original (siempre que sea posible es mucho mejor ver cualquier película o leer cualquier libro tal y como se concibieron, en su idioma original). Si a la dificultad de trasladar frases hechas añadimos la nula importancia que se suele dar a los términos técnicos (no sólo en matemáticas sino en cualquier otra disciplina), entonces nos podemos encontrar con que se llega a veces a tergiversar completamente el sentido de algunos pasajes. Y si se trata como este caso de una comedia, podemos perder la gracia de determinadas gags que encima pueden resultar ridículos. Por ejemplo, en la versión original no se menciona la palabra “capicúa” (obviamente; no existe en inglés. Es una palabra catalana) que además es incorrecta ya que se emplea sólo para números, no para palabras. La expresión correcta es palíndromo, que generaliza tanto a cifras como a palabras que, insisto, es la que está en la versión original. Es incomprensible por tanto esa traducción. Más lógico si se quiere es el cambalache que han tenido que hacer con la frase original, íntegramente palndrómica: “Able was I ere I saw Elba” (evidentemente la traducción no tiene esa propiedad que sería algo así como “Fui capaz hasta que ví Elba”). En efecto hace referencia al primer exilio de Napoleón a dicha isla. Pero a continuación, Katherine Hepburn dice que conoce otro ejemplo: Roma y Amor, y después Spencer Tracy parece hacer un chiste diciendo “Dudo mucho que Napoleón dijera esa frase”. ¿Qué frase? Roma y Amor son dos palabras. Yendo a la versión original encontramos la explicación. La actriz dice la conocida frase palindrómica inglesa "Madam, I'm Adam" (“Señora, soy Adán”), y por eso Tracy dice lo que dice (que tampoco tiene mucha gracia, pero sí más sentido). Ambas frases en inglés aparecen en la obra Ulises de James Joyce publicada en 1922. Por introducir alguna cuestión matemática con la que entretenerse, búsquese el desarrollo de la expresión √n + ⎣√n⎦ en fracción continua y obtendremos un palíndromo cuando n es entero. Por otro lado, el nombre del cerebro electrónico original es EMARAC y se explica que son las siglas de “Electromagnetic Memory and Research Arithmetical Calculator” (en castellano también se pierde el acrónimo), por lo que no hacía falta haberlo convertido en EMORAC. Está claro que se busca una analogía con ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer) computador real construido en la Universidad de Pensilvania y utilizado por el Laboratorio de Investigación Balística del Ejército de los Estados Unidos. Ocupaba una superficie de 167 m², y estaba formada por 17.468 tubos de vacío, 7.200 diodos de cristal, 1.500 relés, 70.000 resistencias, 10.000 condensadores y 5 millones de soldaduras. Pesaba 27 Toneladas y requería la operación manual de unos 6.000 interruptores, y cuando precisaba alguna modificación, se tardaban semanas de instalación manual del software. En funcionamiento, elevaba la temperatura del lugar hasta los 50 °C. Para efectuar las diferentes operaciones era preciso cambiar, conectar y reconectar los cables como se hacía en las centrales telefónicas. Este trabajo podía prolongarse varios días dependiendo de la operación a realizar. Su capacidad de cálculo era de 5000 sumas y 300 multiplicaciones por segundo. El eslogan original empleado por la ENIAC en su época se adapta perfectamente a la intención de la película: "Making Machines Do More, So That Man Can Do Less" (“Fabricando máquinas se hace más, por lo que los empleados pueden hacer menos”). Un tanto tendenciosillo, ¿no les parece? Uno de los mitos que rodea a este aparato es que la ciudad de Filadelfia, donde se encontraba instalada, sufría de apagones cuando la ENIAC entraba en funcionamiento, debido a su alto consumo de energía. Ante estas dimensiones, la EMARAC del protagonista seria una gozada, aunque lo vemos al principio de la película, cuando irrumpe en la empresa, constantemente midiendo las habitaciones con una cinta métrica, precisamente para encontrar una ubicación idónea. Véase en la foto la distribución que aparece al inicio de la película y la decoración del solado que recuerda a los cuadros de Piet Mondrián. Matemáticamente no hay nada de relieve en el test, tan sólo la capacidad de sumar y restar mentalmente el número de pasajeros en el tren (17 – 22 – 20 – 15 – 11, sucesivamente según los datos), aunque finalmente no hacía ninguna falta porque la pregunta no era esa (es muy conocido este chascarrillo en el que al final la pregunta es el número de paradas que se hicieron o quien conducía el tren) Respecto al currículo de Sunmer, la versión original señala que es graduado por el MIT (Massachusetts Institute of Technology, una de las universidades privadas norteamericanas más prestigiosas) (en la versión doblada se dice que es graduado en Física, no se sabe por qué; otro invento), y que pertenece a la Phi Beta Kappa (la fraternidad universitaria norteamericana más antigua, cuya misión es promover la excelencia universitaria en las Artes y las Ciencias) (en la versión doblada se convierte en “la Academia”, institución inexistente salvo que le pongamos algún adjetivo más). Un poco más avanzada la película, Katherine Hepburn vuelve a ironizar sobre el test preguntando a Sunmer lo siguiente: “Si 6 chinos se bajan de un tren en Las Vegas y a dos de ellos los encontramos flotando boca abajo en una pecera de peces de colores, y lo único que hay para identificarlos son dos números de teléfono, uno de ellos Plaza 00000 y el otro Columbus 1492, ¿a qué hora llega el tren a Palm Springs?” El Sr. Sunmer le sigue el juego: “A las nueve en punto”. “¿Le importaría decirme como ha llegado a esa conclusión?”, prosigue ella. “Hay 11 letras en Palm Springs. Si le quitamos 2 chinos, quedan 9”. Otros tests en el Cine Recordemos solo algunos de los más célebres. Quizá el que primero se nos venga a la cabeza sea el test Voight-Kampff, (o test de empatía), prueba ficticia que trata de distinguir a los humanos de los replicantes en la archimencionada Blade Runner (Ridley Scott, 1982). En dicho test, una máquina mide la variación de funciones corporales (respiración, rubor, ritmo cardíaco y el movimiento de los ojos) en respuesta a una serie de preguntas, así como el tiempo de reacción. Las cuestiones desencadenan teóricamente una respuesta emocional si el sujeto es un humano, mientras que la ausencia de empatía permitía identificar a los replicantes. Es claro que Phillip K. Dick, autor del relato en que se basa la película, toma como modelo el test de Turing. Se trata de una prueba propuesta en 1950 por Alan Turing para intentar demostrar la existencia de inteligencia en una máquina. Es uno de los métodos propuestos por los defensores de la Inteligencia Artificial y se fundamenta en la, a mi juicio, falaz hipótesis, de que si una máquina se comporta de un modo inteligente, entonces tiene que ser inteligente. La prueba tiene forma de desafío. Un juez se encuentra en una habitación, y una máquina y un ser humano en otras. El juez debe descubrir quien es el ser humano y cuál es la máquina, según sus respuestas, pudiendo ambos mentir al contestar por escrito las preguntas que el juez les haga. La tesis de Turing es que si ambos jugadores son suficientemente hábiles, el juez no puede distinguirlos. Por el momento ninguna máquina puede pasar este examen en unas condiciones medianamente científicas. La película Inteligencia Artificial (A.I. Artificial Intelligence, Steven Spielberg, 2001), muchos años en la mente de Stanley Kubrick y que finalmente no pudo rodar,  aborda este asunto más desde un punto de vista emotivo-sentimental que técnico o científico. Los seguidores de esta sección (y de otras muchas existentes en la Red) sobre cine y matemáticas recordarán también el test matemático-festivo que el mecánico de coches Tim Robbins tiene que pasar en El genio del amor (I.Q., Fred Schepisi, 1994) para que una ficticia sobrina de Einstein se fije en él. El título original responde además a las siglas de Cociente Intelectual (Intelligence Quotient), resultado de alguno de los test estandarizados diseñados para “medir” la inteligencia. El término “cociente” se fundamenta en que se divide la "edad mental" (el resultado de la prueba) entre la "edad cronológica"(la edad real de la persona). Personalmente no me creo nada de lo que indican este tipo de pruebas, y no sólo porque a mi, por ejemplo, me dan cada vez una cosa, sino porque hay demasiados factores de los que dependen (estado de ánimo, estado físico, etc.) además de que con un entrenamiento adecuado, se pueden alcanzar unos valores bastante aceptables (léase altos), con lo que queda totalmente en entredicho su finalidad. No obstante, siempre es bueno “entrenar un poco la mente”, tal y como rezan las promociones de los libros que últimamente “regalan” algunas publicaciones, o publicitan videojuegos tipo brain training.(aunque sinceramente creo que es mejor ejercitarse con problemas de matemáticas, aprovechando incluso para repasar aquello que nunca entendimos en la escuela o el instituto; pero claro el voraz marketing publicitario nos ha convencido de que “es más guay” comprarse para estas fiestas la Wii o la DS con alguno de esos juegos educativos, mas que nada para tranquilizar nuestras conciencias). Háganme caso y visiten la página del club Mensa. Su mente y su bolsillo se lo agradecerán. Recientemente, en El origen del planeta de los simios (Rise of the Planet of the Apes,  Rupert Wyatt, EE. UU., 2011) se somete a un chimpancé a una prueba que consiste en resolver el conocido problema de las Torres de Hanoi (inexplicablemente doblado al castellano por Torres de Lucas; su sentido tiene, porque fue Edouard Lucas el que inventó el juego bajo el nombre de “El templo de Benarés”, pero no se entiende esa licencia en el doblaje. A veces tanto y otras tan poco). Al pobre chimpancé nº 9 le suministran un tratamiento génico que permite al cerebro regenerar sus propias células. Entre las capacidades que demuestra está resolver este acertijo, que se suele proponer a menudo en ámbitos de programación (alumnos de informática), para explicar la recursividad. Durante este mes aparecerá esta película en DVD. Por si algún lector desconoce el juego (que lo dudo), se trata de trasladar todos los discos dispuestos en una varilla (ver imagen) a otra de las varillas vacías de modo que queden dispuestos de idéntica forma a la original, respetando en todo momento tres reglas: Sólo se puede mover un disco cada vez. Un disco de mayor tamaño no puede descansar sobre uno más pequeño. Sólo se puede desplazar el disco que se encuentre en lo alto de cada varilla. Evidentemente a menos discos, más sencillo de resolver es el problema. Con n discos, el número mínimo de movimientos es 2n – 1 (el lector puede intentar probarlo sin demasiada dificultad). Originalmente, Lucas lo planteó en forma de leyenda: “En Benarés (India) existe un templo con una cúpula que marca el centro del mundo. Allí se encuentra una bandeja con tres agujas de diamante. En cierta ocasión, un rey ordenó disponer 64 discos de oro, ordenados por tamaño de modo que, para cada par de discos, el mayor siempre esté debajo del menor. Desde entonces los monjes custodios del templo se encuentran ocupados en desplazar todos los discos a otra de las agujas según las normas y las condiciones indicadas arriba. El día que lo terminen será el fin del mundo”. Según el resultado anterior, el número de movimientos mínimo es en este caso 264 – 1. Si los monjes pudieran hacer un movimiento por segundo, calculen el tiempo necesario para trasladar todos, que ese será, según la leyenda, el tiempo que tenemos de vida, si es que antes no nos lo hemos cargado todo nosotros, que es mucho más probable al ritmo que vamos. La historia de los tests no acaba con estos ejemplos. Se ve que el ser humano se ha aficionado tanto a ellos que prácticamente para todo existe un test que nos clasifica. Otro muy conocido es el Test de Cooper, que la mayor parte de los que hacemos deporte conocemos, aunque originalmente (1968) se diseñó para el ejército norteamericano. ¿Conocen alguna película en que se utilice este test? Las películas Hepburn-Tracy Aunque este asunto es específicamente de cine, hagamos un pequeño recordatorio de cuáles fueron las películas protagonizadas por la genial pareja: La mujer del año (Woman of the Year, George Stevens, 1942) La llama sagrada (Keeper of the Flame, George Cukor, 1942) Sin amor (Without Love, Harold S. Bucquet, 1945) Mar de hierba (The Sea of Grass, Elia Kazan, 1947) El Estado de la Unión (State of the Union, Frank Capra, 1948) La costilla de Adán (Adam’s Rib, George Cukor, 1949) La impetuosa (Pat and Mike, George Cukor, 1952) Su otra esposa (Desk Set, Walter Lang, 1957) Adivina quien viene esta noche (Guess Who’s Coming to Dinner, Stanley Kramer, 1967) Entre otras curiosidades sobre la película, los efectos de sonido creados para EMARAC se reutilizaron en numerosas películas y series televisivas, entre ellas, en Viaje alucínate (Fantastic Voyage. Richard Fleischer, 1966). El personaje de Bunny Watson está basado en Agnes E. Law, la encargada de montar la biblioteca de documentación e investigación de la CBS. Las oficinas donde se rodó fueron las de Federal Broadcasting Company. En la foto aparece la computadora que finalmente hizo que despidieran a todas las empleadas del Departamento de Investigación y Consultas. Aunque no por mucho tiempo …

Miércoles, 07 de Diciembre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

156. 64. Un mortal hilo de seda

El Cubo de Rubik, la banda de Moebius, las construcciones imposibles de Escher, son algunos objetos matemáticos que el cine fantástico ha utilizado en sus guiones. Añadimos uno más: la Esponja de Menger. Además un pequeño apunte televisivo en una popular serie . El pasado verano volví a coincidir en Avilés con Abel Martín en la sexta edición del Curso que la Universidad de Oviedo dedica a las Matemáticas a través del Cine y la Televisión. Como sin duda ya sabréis los interesados en este tema, Abel y su hija Marta mantienen el portal http://www.mathsmovies.com/ además de impartir un montón de cursos y conferencias. Abel es uno de los que más tiempo y esfuerzo ha dedicado a las referencias matemáticas presentes en la serie de animación Los Simpson. Pues bien, además de compartir con ellos una agradable comida, obviamente hablamos de películas y me pasó la referencia de la película que vamos a comentar en la reseña de este mes. Se trata de una película producida en Taiwán y no estrenada comercialmente en nuestro país, aunque de relativamente sencillo acceso a su visionado a través de la Red. No contiene demasiadas referencias matemáticas, pero me ha resultado curiosa e interesante cinematográficamente hablando, a pesar de que el terror no es precisamente un género que me apasione, básicamente por la cantidad de exageraciones y magufadas que suele contener. Para los que no conozcan el término, se denomina “magufo” a todo aquello relacionado con lo esotérico y paranormal, sin ninguna base científica, aunque muchas veces los que lo difunden tratan de barnizar sus discursos con jerga seudo-científica. El término lo acuñaron los llamados “escépticos”, otro grupo dedicado a desmontar todas las patrañas que los anteriores utilizan. Existe un montón de literatura, blogs, programas en radio y televisión, se imparten conferencias, etc., por parte de ambos grupos, y a veces, sólo a veces, uno no sabe quien es quien, dado que ni unos ni otros demuestran nada, (ya sabéis la máxima de la matemática: si no hay prueba, y bien hecha y razonada, no hay nada de nada), aunque evidentemente se está más cerca de alguna certeza partiendo del escepticismo que de la creencia. Pero vayamos a lo nuestro. Como siempre, lo primero, una pequeña ficha técnica y artística, y una breve sinopsis del argumento: SILK Título Original: Gui si. Nacionalidad: Taiwan, 2006. Director: Chao-Bin Su. Guión: Chao-Bin Su. Fotografía: Arthur Wong, en Color  Montaje: Ka-Fai Cheung. Música: Peter Kam. Duración: 108 min. Intérpretes: Chen Chang (Tung), Yôsuke Eguchi (Hashimoto), Kar Yan Lam (Wei), Barbie Hsu  (Su), Bo-lin Chen (Ren), Chun-Ning Chang (Mei), Fang Wan (Fantasma de la madre), Kuan-Po Chen (Fantasma del niño), Chi Chin Ma (Madre de Tung), Leon Dai (Jefe SWAT), Kevin S. Smith (James) Sinopsis: A una habitación sellada de un edificio abandonado accede un fotógrafo al que se ha encargado hacer fotografías a una habitación vacía. Sin entender nada va sacando instantáneas hasta que en una de ellas aparece misteriosamente un niño. Antes de que intente intuir qué sucede, el fotógrafo se desploma muerto, víctima de estrepitosas convulsiones. A continuación conoceremos a Hashimoto, un físico que investiga la anti-gravedad y que ha sido contratado por el gobierno después de algunos avances en el tema. Entre ellos, unos periódicos que aparecen durante los títulos de crédito, nos desvelan que ha descubierto la “Esponja de Menger” (¿Qué curioso, verdad? Lo normal hubiera sido llamarla “Esponja de Hashimoto”) “un agujero negro para las ondas electromagnéticas”, según se lee. Ya se sabe, para atrapar la atención hay que exagerar, y sobre todo parecer misterioso porque si no, no hay película. El caso es que sin saberse muy bien que relación tiene con esto de la anti-gravedad, parece ser que por puro azar, el grupo de investigadores que trabaja con Hashimoto (éste utiliza una muleta para poder andar; luego sabremos que tiene una pierna inútil como consecuencia de la diabetes) han conseguido atrapar el fantasma de un niño mediante la esponja (seguramente el guionista pensó que si una esponja normal retiene líquidos, ésta otra podría capturar energía; demasiado literal, ¿no?). Lo han aislado en la habitación donde el fotógrafo de marras lo descubrió. El niño parece seguir una rutina y mueve los labios como si hablara, pero nadie logra entenderlo. Por eso Hashimoto, en un asalto de lucidez del que más tarde carecerá, deduce que necesitan a alguien que sepa leer los labios, a ver si averiguan algo sobre este fantasma. De este modo conoceremos a Tung, agente de un grupo de operaciones especiales y de riesgo de la policía, tipo SWAT, capaz de leer los labios perfectamente. Tung, como Hashimoto, es una persona desconfiada y de difícil trato, a causa de diferentes traumas y preocupaciones sufridas a lo largo de sus vidas. Tung tiene a su madre enferma terminal por una esclerosis lateral, enfermedad que sabe que es hereditaria. Además tendremos la típica chica enamorada de Tung, y correspondida por éste, pero que no se atreve a declararse por su incierto futuro, la científica “trepa” que quiere sacar provecho de su dedicación a la causa fantasmal, y alguna cosilla más que mejor no cuento para no arruinar del todo la película. ¿Y que hay de interesante? Pues realmente (opinión subjetiva) poco, pero lo hay, Me gustó que la sucesión de sustitos, imprescindible en este tipo de películas, no sea tan exagerada como suele ser, que tiene su razón de ser (dentro por supuesto del esquema mental de los protagonistas), que el desarrollo sea en torno a la investigación del pasado del niño (es decir, tiene interesantes elementos de thriller y suspense) y al drama que “vive” con su madre, su ritmo, y finalmente que pretende transmitir un cierto mensaje, aunque no sea demasiado novedoso (sobre la moraleja final, mil veces mejor el reverendo protagonizado por Robert Mitchum en la genial y mucho más inquietante y sin necesidad de efectos especiales La noche del cazador (Charles Laughton, 1955); ya sabéis, aquel que en cada dedo de cada mano llevaba escrito HATE (Odio) y LOVE (Amor), respectivamente). El cine asiático ha producido en los últimos años gran cantidad de películas de terror bastante originales (The Ring (Ringu, 1998), La maldición (Ju On, 2000), Audition (Ōdishon, 1999), por citar sólo algunas) y posteriormente re-hechas, y en general estropeadas, por la industria yanqui. En ellas destacan no sólo los temas, sino una forma diferente de rodaje al estilo manga, con arriesgados e irreales movimientos de cámara y un uso reiterativo de la grúa Se trata pues de una más que sumar a esta serie, que en conjunto y a pesar de lo comentado se deja ver y entretiene. Me resultó curioso que la peor amenaza que se le ocurre al agente del gobierno para presionar a Hashimoto sea el “pudrirse en la Universidad dando clases de Física” (¿Es eso lo que hacemos los que nos dedicamos a la docencia?), y también es aleccionador el destino final del propio Hashimoto y de su ayudante Su, cuando empiezan a creer más en las “magufadas” de las que hablaba al principio que en su trabajo como científicos. Hashimoto dice envidiar al fantasma, entre otras cosas por “no tener que ir a la Universidad, no necesitar el sexo”, etc., etc, lo que le hace preguntar a Tung en un momento dado “¿Cómo sabes que es mejor vivir que morir?”. El tema más interesante, con mucho, que se plantea es cómo afrontar la existencia de una enfermedad grave en una familia, algo a lo que la sociedad parece dar la espalda cuando se presenta porque le es más cómodo. Como curiosidad, el director de la película, Chao-Bin Su, hace un cameo interpretando al guardia de seguridad que vigila el abandonado edificio. Fractales La Geometría clásica nos proporciona una primera aproximación a la estructura de los objetos físicos que nos rodean: puntos, rectas, objetos y regiones planas, cuerpos y superficies tridimensionales. Desde que Euclides estableciera de un modo ordenado y metódico los fundamentos de esta disciplina matemática no se ha dejado de profundizar en su estructura. En el camino han ido surgiendo visiones diferentes que parecían echar por tierra aquellos fundamentos, aunque finalmente se comprendió que todas ellas no sólo eran compatibles, sino que en realidad lo que hacían era responder a problemas y aspectos nuevos de la propia realidad (geometría proyectiva, geometrías no euclídeas, etc.). Una nueva vuelta de tuerca aparece con la geometría fractal, la geometría que pretende explicar de un modo más realista la estructura de la Naturaleza. Como casi todas las cosas, los conjuntos fractales no surgen de golpe, sino que fueron apareciendo de un modo espontáneo, trabajando en otros asuntos. A finales del siglo XIX, matemáticos como Cantor, Peano, Hilbert, Sierpinski o Von Koch realizan construcciones geométricas un tanto extrañas, “monstruosas” como fueron calificadas en un principio por otros colegas, aunque estéticamente eran sugerentes e incluso bellas, fundamentalmente por su simetría. En aquellos años, los matemáticos estaban enfrascados en sesudos debates, cada uno defendiendo la concepción que tenía de esta ciencia. Algunos de estos objetos no eran más que contraejemplos a la rígida posición de una de esas corrientes, la formalista; posteriormente, y siguiendo el procedimiento establecido en su construcción, fueron apareciendo más, simplemente como un entretenimiento. En los años sesenta del siglo pasado, en pleno desarrollo de la informática, el recientemente desaparecido Benoit Mandelbrot en la Universidad de Harvard y el Centro de Investigación Watson de la empresa IBM, entre otros, comprueban que este tipo de objetos presentan características comunes, entre ellas la sibisemejanza (por muchas iteraciones que hagamos del proceso de construcción del objeto, lo que le hace tener más definición, estar más detallado, siempre se conserva la misma estructura; mantienen una homotecia interna, son copia de si mismos) y la dimensión no entera. Dimensiones Fraccionarias Esta última idea es la que más tuvo que trabajarse puesto que rompe completamente los esquemas clásicos, pero a la vez, la que más fortaleció el concepto fractal una vez que se comprobó su coherencia. Sin entrar en demasiados detalles a fin de no aburrir al personal con excesivos tecnicismos, cualquiera asume sin mayor dificultad que se defina el punto como un objeto sin dimensión (o dimensión cero), como una mota de polvo, casi invisible, un microscópico átomo que según donde se localice, representa un valor concreto. A partir del punto podemos deducir (y asumir) una infinidad de ellos, tan apiñados y compactos que conforman un objeto con una entidad mayor: la recta. Ésta posee dimensión uno ya que representa la longitud física, y además, algebraicamente hablando, se expresa en términos de una variable (ejemplos de rectas: x, x─2, 2x+1, etc.). El siguiente paso sería describir un plano, mediante la región de puntos determinado por dos rectas, con dimensión dos, longitud y anchura, que permite definir cualquier objeto plano como los triángulos, cuadrados, rombos, polígonos en general, circunferencias, elipses, etc. Su expresión algebraica viene dada por dos variables, (x, y). Y finalmente los volúmenes, los cuerpos que presentan tres dimensiones, longitud, anchura y altura, y en cuyas ecuaciones aparecen tres variables, (x, y, z). ¿Puede pensarse en algún objeto con dimensión 2.5, 1.7 o  0.3? Existen varias definiciones de dimensión además de la euclidea en las que no vamos a entrar (dimensión topológica, dimensión fractal, dimensión efectiva, etc.). Veamos a continuación una manera sencilla e intuitiva para estimar la dimensión fractal (Haussdorfff-Besicovitch). Tengamos en mente que tratamos de dar sentido al concepto de autosimilitud descrito previamente. Para entenderlo, lo mejor es explicarlo mediante un ejemplo.  Tomemos un trozo de cuerda de longitud 1 (en la medida que queramos, metros, centímetros, nos da igual). Si queremos dividirla en dos partes iguales, es obvio que cada una de ellas medirá ½. Si lo hacemos en tres partes iguales, cada una de ellas medirá 1/3 de la longitud original. En general necesitamos k partes de longitud 1/k para completar el objeto inicial. Si llamamos N al número de trozos y r al factor de reducción, es claro que Si tomamos ahora un cuadrado de área una unidad, necesitamos cuatro cuadrados de lado ½ para cubrir por completo el cuadrado original, y nueve cuadrados de lado 1/3 para hacer lo mismo (es decir tenemos que reducir a la mitad o a la tercera parte ambas dimensiones, el largo y el ancho para seguir teniendo cuadrados). En este caso, 2 De manera similar, en un cubo tendremos que 3, y en general, D, siendo D la dimensión euclídea. Tomando logaritmos para despejar D, se tiene entonces que Nótese que como r ∈ (0,1), D > 0. Así pues esta expresión “funciona” para líneas, superficies y volúmenes convencionales. Tratemos de aplicarla a un fractal: el triángulo de Sierpinski En la primera etapa, del triángulo equilátero inicial se eligen los puntos medios de cada lado y se unen para formar un nuevo triángulo invertido (en blanco) que eliminamos. El factor de reducción que hemos aplicado es por tanto r = ½, y el número de “trozos” que conservamos (los triángulos equiláteros en negro) es 3. Por tanto, para la primera etapa, D = (ln 3) / (ln 2) ≈ 1.585….. Observemos la siguiente iteración del proceso, en el que se hace lo mismo en cada nuevo triángulo, es decir, eliminar el triángulo central que surge al unir los puntos medios de cada lado. Aparecen 9 (= 32) triángulos, y el factor de reducción respecto del triángulo original ahora es r = ¼, por lo que D = (ln 32) / (ln 22) = (2 ln 3) / (2 ln 2) = (ln 3) / (ln 2) Generalizando el proceso, en m etapas obtenemos, D = (ln 3m) / (ln 2m) = (m ln 3) / (m ln 2) = (ln 3) / (ln 2), lo que garantiza de algún modo que nos encontramos ante un invariante. No obstante, para los puristas, existen resultados y demostraciones más rigurosas de este concepto. Interpretando el resultado obtenido, podemos decir que el triángulo de Sierpinski (ver última etapa dibujada, que no final, porque el proceso puede iterarse de modo infinito) constituye un objeto que no es lineal (obvio) pero tampoco llega a ser una superficie (debido a sus infinitos agujeros). No es descabellado por tanto decir que su dimensión es mayor que uno y menor que dos, y más precisamente, del orden de 1.585 (valor que nos permitirá la comparación con otros objetos de esta naturaleza). Un nuevo ejemplo, relacionado con la película, la alfombra de Sierpinki, es decir cada una de las caras que forman la esponja de Menger. Su construcción es la siguiente: Si razonamos como con el caso precedente, la dimensión fractal será ahora D = (ln 8) / (ln 3) ≈ 1.8928….., valor que nos indica que, en efecto, es mucho más compacta que el triángulo de Sierpinski, pero sin llegar a tener dimensión dos a causa de sus agujeros. La esponja de Menger se obtiene aplicando a un cubo un proceso similar al utilizado para crear la alfombra de Sierpinski. En el primer paso, se divide el cubo inicial en 27 cubos más pequeños (tres a lo largo, tres a lo ancho y tres a lo alto), eliminándose los cubos centrales de cada cara y el cubo central. Eso nos deja con 27– 6 – 1 = 20 cubos, a los que se les aplica una y otra vez el mismo procedimiento. El resultado es una figura que guarda un cierto parecido con una esponja de mar (de ahí su nombre) y que, atendiendo a las explicaciones precedentes, tiene por dimensión D = (ln 20) / (ln 3) ≈ 2.7268….., Además de la dimensión, los objetos de este tipo tienen otras peculiaridades curiosas relacionadas con el cálculo de su longitud, área o volumen. Por ejemplo, el triángulo y la alfombra de Sierpinski encierran un área finita, pero su perímetro (la longitud de la línea que rodea tal área) es infinito. Parece absurdo, pero si uno echa las cuentas verá que es así. Veamos lo que le sucede a la esponja de Menger respecto a su volumen y la superficie. Damos los resultados finales (que cada uno eche sus cuentas y compruebe si le coinciden): El número de cubos en la iteración n-ésima es: 20n El tamaño de los lados en la iteración n-ésima es: (1/3)n La Superficie de los cubos en la iteración n-ésima es: 6 (1/9)n 20n El Volumen de los cubos en la iteración n-ésima es: (1/27)n 20n Calculando el límite cuando n tiende a infinito de las dos últimas expresiones observamos que la esponja de Menger encierra un volumen nulo mediante una superficie infinita (la curva “copo de nieve” de Koch o el triángulo de Sierpinski encierran un área finita mediante un perímetro de longitud infinita). Son objetos por tanto no continuos, porosos, con agujeros, que asemejan formas presentes en la Naturaleza como la forma de la nubes, el perfil de las costas, la compleja red que conforman nuestros capilares, venas y arterias, etc. Posteriormente se comprobó que otro tipo de fenómenos aparecidos en experimentos físicos también tenían características similares (movimiento browniano, sistemas L, sistemas dinámicos caóticos), con lo que se planteó intentar definir estas estructuras de un modo riguroso, formalizándose la hoy conocida como Geometría Fractal. Los objetos fractales tienen muchas aplicaciones aparte de describir formas más o menos curiosas o bellas (recordemos que se convocan certámenes en todo el mundo como el Concurso Internacional de Arte Fractal Benoit Mandelbrot) como el modelizado del tráfico en redes de comunicaciones, la compresión de imágenes, análisis bursátiles y de mercado, la evolución de determinadas poblaciones, el análisis de los patrones sísmicos, etc., etc. Quién fue Menger El matemático Karl Menger (Viena, Austria, 13 de Enero de 1902 – Highland Park, Illinois, Estados Unidos., 5 de Octubre de 1985) era hijo del célebre economista Carl Menger, fundador de la Escuela Austriaca de Economía. En 1924 se doctoró en la Universidad de Viena, habiendo sido alumno de Hans Hahn. Como docente tuvo una dilatada trayectoria que comenzó en 1925 en la Universidad de Amsterdam, invitado por L. E. J. Brouwer. Dos años más tarde retornó a Viena, trasladándose en 1930 a los Estados Unidos, como profesor invitado en la Universidad de Harvard y en 1931 en el Instituto Rice. De 1937 a 1946 fue profesor en la Universidad de Notre Dame y desde 1946 hasta 1971 en el Instituto de Tecnología de Illinois en Chicago. En 1983 esta institución le concedió un doctorado honorífico por su trayectoria profesional. En la actualidad este Instituto concede un premio anual con su nombre al estudiante que mejores calificaciones obtenga durante el curso académico. Su contribución matemática más famosa, realizada en 1926, es el cuerpo tridimensional que lleva su nombre, la esponja de Menger, muchas veces erróneamente denominada esponja de Sierpinski por su similitud en la construcción con el conocido triángulo (el triángulo de Sierpinski data de 1916). Sin embargo su trabajo matemático es mayor que el de haber concebido esa popular figura. Se le considera junto a Arthur Cayley uno de los fundadores de la geometría de la distancia, por haber formalizado las nociones de ángulo y curvatura en términos de cantidades medibles físicamente. En ellas aparecen los denominados determinantes de Cayley–Menger. También fue un activo integrante del llamado Círculo de Viena, grupo que mantuvo en los años veinte del siglo pasado profundas discusiones en ciencia social y filosofía. En esta época demostró un importante resultado sobre la paradoja de San Petersburgo (recuérdese su aparición en la película de Tom Stoppard Rosencrantz y Guilderstern han muerto) que tuvo aplicaciones muy interesantes en la teoría de la utilidad en Economía. Más tarde realizó algunas contribuciones en el desarrollo de la teoría de juegos junto a Oskar Morgenstern. Lecciones “magistrales” en “Cuéntame cómo pasó” En los capítulos 222 (“Ni exclusivo ni excluyente”) y 223 (“Estandartes y Banderas”) de la presente temporada, Carlitos (Ricardo Gómez) se ha apuntado a una asignatura de matemáticas en el ICADE (Instituto Católico de Administración y Dirección de Empresas, centro que desapareció en 1978 integrándose en la Universidad Pontificia de Comillas; sin embargo la acción de esta temporada se sitúa en 1979, luego anacronismo al canto), básicamente para estar al lado de Arancha (Nazaret Aracil). En el primero escuchamos al docente de fondo mientras el chico intenta desde fuera de clase que ella salga. Lo que oímos es coherente: “El principio de ordenación de los números naturales no es aplicable a los números enteros. Por ejemplo, el propio conjunto Z no tiene elemento inferior porque para todo n perteneciente a Z, hay un n – 1 que es menor que n. Ahora bien, hay un principio análogo que se puede aplicar a unos conjuntos denominados acotados inferiormente. Un subconjunto de Z se puede decir que está acotado inferiormente siempre y cuando exista un número entero k perteneciente….” En el fotograma se puede observar que aparece escrito exactamente lo que está diciendo. Sin embargo en el siguiente capítulo, ante una pizarra encabezada por “Estructura Algebraica de Anillo”, al que siguen la definición de Grupo Abeliano, y algunos ejemplos de anillos (Z, +, ▪), (Q, +, ▪),(R, +, ▪) y (C, +, ▪) (en realidad algunos son más que anillos como sabemos), el profesor parece no saber de que habla en algunos momentos (los he resaltado en otro color): “Después tenemos que comprobar que las dos operaciones son compatibles. Para ello tendremos que hacer que la segunda operación se distribuya en la primera operación. Si vemos que estos dos primeros pasos se cumplen, podemos empezar a realizar la segunda operación. Para que la primera operación sea anillo debe ser grupo abeliano, con identidad o sin identidad” Lo último es de juzgado de guardia: ¿un grupo sin elemento identidad? ¿Qué significa que una operación se “distribuya” en otra? ¿Se referirá a la propiedad distributiva de una respecto de otra? Una operación puede ser ¿un anillo? Si la primera escena resulta coherente, esta es un disparate. Como veis, algunos aún piensan que con meter un rollete con un par de palabrejas técnicas es más que suficiente para ilustrar una clase de matemáticas. En esta escena Carlos se queda dormido en clase, fruto del ajetreo de la noche anterior, pero ante estas explicaciones no queda sino decirle “Haces bien, hijo”. Como siempre podéis dejar vuestros comentarios, opiniones y sugerencias en alfonso@mat.uva.es.

Miércoles, 09 de Noviembre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

157. 63. Todo tiene una explicación

¿Puede la Ciencia explicarlo todo? Este, junto con el título anterior,  figura como lema  promocional de una interesante película japonesa, Suspect X, a la que dedicamos la reseña de este mes. El cine oriental, no demasiado conocido por la mayor parte de los espectadores españoles, ni demasiado valorado por otros que dicen saber mucho, es mucho más que las películas de artes marciales, el manga o las películas de horror. Gracias a un puñado de entusiastas, a las ediciones en DVD y al trabajo de las filmotecas y la información de Internet, vamos descubriendo obras maestras de los grandes directores junto a otras producciones un poco menos artísticas, pero normalmente afrontando temas y cuestiones interesantes con una profundidad alejada de la espectacularidad yanki que nos tragamos sin mayores reparos casi diariamente. De hecho, se han realizado muchos remakes a la americana de bastantes películas de origen oriental y no sólo ahora, sino desde mediados del siglo pasado. En aquellos países, las matemáticas, como por aquí, interesan a unos pocos, sólo que esos pocos (probablemente muchos más que los que hay por aquí) suelen tener (quizá por su filosofía de vida) bastante relevancia en esta disciplina. Entre los medallistas Fields han habido hasta la fecha tres japoneses, un chino y un vietnamita, y suelen estar en los primeros puestos de los más importantes concursos y olimpiadas matemáticas mundiales, además de estar presentes en muchas universidades del más alto prestigio. Os presentamos Suspect X, un thriller japonés no estrenado en España, con referencias matemáticas y físicas  no elementales, algunas de las cuales iremos desgranando después de las consabidas fichas técnica y artística: Suspect X Título Original: 容疑者Xの献身 - Yôgisha X no Kenshin. Nacionalidad: Japón, 2008. Director: Hiroshi Nishitani. Guión: Yasushi Fukuda, basado en el serial homónimo de Keigo Higashino. Fotografía: Hideo Yamamoto, en Color  Montaje: Masaaki Yamamoto. Música: Kanno Yugo y Masaharu Fukuyama. Duración: 128 min. Intérpretes: Masaharu Fukuyama (Manabu Yukawa), Kô Shibasaki (Kaoru Utsumi), Kazuki Kitamura (Shumpei Kusanagi), Yasuko Matsuyuki (Yasuko Hanaoka), Shin'ichi Tsutsumi (Tetsuya Ishigami), Dankan (Kuniaki Kudo), Keishi Nagatsuka (Shinji Togashi), Miho Kanazawa (Misato Hanaoka), Ikkei Watanabe (Hiromi Koribayashi), Hiroshi Shinagawa (Shiro Yuge), Miki Maya (Sakurako Shironouchi). Argumento: Yasuko Hanaoka es una mujer que creyó que con el divorcio iba a librarse de su maltratador ex-marido, Togashi. Yasuko vive con su hija adolescente Misato, fruto de una relación previa. Un día Togashi irrumpe en su casa exigiendo dinero, amenazándolas de forma muy violenta. La situación se complica rápidamente con Togashi muerto en el suelo del apartamento. Al oír el alboroto generado, se presenta un vecino de Yasuko, el profesor de matemáticas Ishigami, hombre de mediana edad, que ofrece su ayuda a las dos mujeres, haciéndose cargo no sólo del cuerpo, sino también de trazar un plan que impida que sean descubiertas. Cuando aparece el cadáver, es irreconocible, con el rostro destrozado y los dedos quemados. Se asigna el caso a la detective de distrito Kaoru Utsumi y a su ex-compañero de la oficina central Shunpei Kusanagi. Cuando finalmente se identifica el cuerpo, todas las sospechas recaen obviamente en su ex-compañera Yasuko, aunque nadie es capaz de encontrar ningún indicio siquiera en la perfecta coartada de la mujer. El último recurso que Kusanagi es capaz de imaginar es pedirle ayuda a Manabu Yukawa, un brillante y atractivo físico que trabaja en la Universidad conocido como Detective Galileo, colaborador habitual de la Policía en casos difíciles, especialmente en aquellos en los que se dan cita circunstancias extrañas y fuera de toda lógica explicable. La película está basada en una serie de novelas de Keigo Higashino, un galardonado novelista japonés de novela negra en las que se mezcla de forma muy amena el misterio, la investigación policial, el humor y, esto es lo que puede diferenciarle de otros del mismo corte, la ciencia bastante bien documentada. Estas novelas dieron lugar a una exitosa serie de televisión, Galileo, de la que hablaremos después. El Reparto Uno de los atractivos que para el público tienen series y películas de este tipo suele estar en contar con unos intérpretes atractivos, a ser posible que puedan llegar a tener una relación sentimental estable, aunque sus caracteres sean muy diferentes, e incluso se lleven a matar. Es una fórmula de probado éxito (recordemos algunos ejemplos que fácilmente nos vienen a la cabeza: Remington Steele, Luz de luna, Perdidos, Bones, la propia Numb3rs, etc.). En este caso, como los nombres japoneses nos suelen despistar bastante por aquí, e incluso sus rostros, antes de indicaros lugares donde se pueden ver escenas, de forma excepcional para una sección como esta dedicada más a describir la matemática que hay detrás de las películas que otro tipo de aspectos, vamos a hacer un breve repaso de los protagonistas, la mayoría de los cuales lo son también de la serie de televisión, a la que seguro os enganchareis en cuanto veáis el primer capítulo. 1.- Manabu Yukawa.- “El excéntrico Galileo” Es profesor en la Facultad de Físicas, de la Universidad de Teito, en el Departamento de Ciencias e Ingeniería. Atractivo, brillante, atleta, parece el paradigma de la perfección sin una sola falta. Sin embargo, bajo la superficie, acumula un montón de raras excentricidades. Como consecuencia de su imprevisible inteligencia, a menudo alcanza las claves decisivas para resolver los misterios más inexplicables que suelen proponerle los detectives Utsumi y Kusanagi. Cuando este caso llega a su conocimiento, en el que un antiguo compañero de Instituto, un matemático de prestigio, está implicado, Yukawa pretende demostrar que está a la altura de su contrastada genialidad, aflorando algunos hechos oscuros de su personalidad.  El actor que lo interpreta, Masaharu Fukuyama, es muy popular en su país ya que también cantante y compositor. 2.- Kaoru Utsumi trabaja como detective en el distrito de policía de Kaizuka Norte. No tiene ninguna experiencia en hacer investigaciones ya que acaba de ser ascendida desde la división de tráfico. Es una chica despierta con un fuerte sentido de la justicia, que ha decidido dejar de lado sus sentimientos en beneficio de la lógica, lo que la pone en ventaja frente a Yukawa, que mantiene un profundo respeto a su amigo y superior, el detective Kusanagi. Aportará un importante olfato ante el cerebral juego del gato y el ratón que mantendrán los dos protagonistas de la historia. 3.- Shumpei Kusanagi El mejor sabueso del país resolviendo casos relacionados con lo oculto o lo misterioso. Apodado por ello “el cazador de misterios”, ha tenido una meteórica trayectoria profesional desde el distrito de Kaizuka Norte a la Jefatura Central de la Policía, aunque lo cierto es que su éxito se ha fundamentado en gran medida en las aportaciones y pesquisas de “el excéntrico Galileo”. Su mayor defecto, su debilidad por las mujeres. Estos tres son los principales protagonistas de las novelas, la serie y esta película. Los otros protagonistas del caso planteado en la película son: 4.- Tetsuya Ishigami Antiguo compañero de clase de Yukawa en la Universidad de Teito al que éste admira y reconoce como un genio. Ishigami tuvo una prometedora carrera como investigador matemático en la Universidad hasta que ciertos problemas personales le obligaron a renunciar a dicha carrera. En la actualidad es profesor de matemáticas desencantado en el instituto de Secundaria Kanto nº 3. No tiene ningún interés por nada excepto por las matemáticas, lleva una existencia gris hasta que aparece una nueva vecina, Yasuko Hanaoka para la que aplica sus geniales facultades para protegerla de la policía. 5.- Yasuko Hanaoka Abandona su trabajo de azafata para abrir un modesto negocio de comidas preparadas para llevar a casa (box lunch). Es el centro de todas las sospechas en la investigación del asesinato de Togashi, por lo que tanto ella como su hija sufren un acoso continuo por parte de la policía. Seguramente, habiendo leído lo precedente, estéis pensando cuál es el interés de la película, sabiendo como sabemos desde el principio qué ha sucedido y quienes son los culpables. Lo destacable no es, como en casi todas las películas, encontrar al culpable, sino la forma de llegar a ello (lo dice el cartel: “una batalla de ingenios”) y descubrir las motivaciones y experiencias de todos los que de alguna manera están relacionados con el crimen (una cuestión latente en todo momento es si es moralmente lícito cometer un crimen justificable). Tampoco faltarán, como en todos los films de este tipo, giros inesperados que sorprenderán al espectador, que a diferencia de lo habitual, aquí no serán inverosímiles, junto falsos testimonios, lagunas lógicas, un montón de obstáculos en suma, en el camino del detective Galileo que intencionadamente una mente brillante va colocando. Otra virtud de la película es la aportación de un estilo diferente al de la serie original, pero sin traicionar la personalidad de los protagonistas, algo realmente difícil de lograr, de manera que no parece un episodio extendido realizado con más presupuesto, sino que tiene identidad propia. Es destacable también la forma de entender el ritmo y el sentimiento de los personajes gracias a sus interpretaciones y a su utilización de música pop. Y finalmente, el desgarrador final (característica también de la serie original) es sorprendente e inesperado. La película se mantuvo en lo más alto del ranking japonés durante cuatro semanas consecutivas y fue también número 1 en Hong-Kong durante las Navidades del año 2008.  Ha sido muy poco difundida fuera de Japón, aunque ha sido muy bien valorada en aquellos países donde se ha estrenado. Algunas secuencias destacables I.- Conservación de la cantidad de movimiento. Esta ley física aparece descrita en varias películas (Rosencrantz y Guilderstein han muerto, Tom Stoppard, 1990, por ejemplo) pero aquí se combina con el efecto de un imán. La escena es como sigue: se observan cinco bolas de acero sobre una mesa, y alguien con bata (luego sabremos que es “el excéntrico Galileo”) que nos da la siguiente explicación: “Una bola de acero rueda sobre un rail golpeando una fila de bolas en reposo (estacionarias). Observamos que la última bola de la fila es impulsada a la misma velocidad que la bola que las ha golpeado. Es la ley de la energía y la conservación del momento. Añadamos ahora un potente imán de neodimio (lo coloca al inicio de la fila de bolas). Observen. Antes del impacto, la bola que rueda recibe una aceleración instantánea del imán. Esa velocidad se transmite a la bola del final (la vemos salir despedida con gran fuerza). ¿Qué sucedería si multiplicamos la potencia del imán muchas veces? La bola del final se convierte en un proyectil de alta velocidad. En breve, esta minúscula bola de acero… se convertirá en una bala. (Pasamos a otro escenario) Un acelerador superconductor. ¡Aprovechemos el poder de un imán superconductor! ¡Listos!” La escena es impactante. La minúscula bola produce una impresionante explosión. La podéis disfrutar en el enlace: http://www.youtube.com/watch?v=qMEkSRuggkg&feature=related. II.- Yukawa impartiendo clase Escena en la que el detective Kusanagi muestra a la novata Utsumi quien es Galileo (en el diálogo pongo su apellido real, Yukawa). Entran en un aula en el que éste está dando clase, sentándose al fondo. Yukawa: ¿Qué es la lógica? Cuando Einstein postuló su teoría de partículas sobre la luz, añadió la belleza de la Lógica a la constante de Planck. Kusanagi (susurrando a Utsumi): Como siempre, montones de chicas (refiriéndose a los alumnos que asisten a la clase). Utsumi (para ella): ¡Cretino! Yukawa: Obviamente, el pensamiento lógico exige un análisis sereno, tranquilo. (En ese momento Kusanagi levanta el brazo para que Yukawa se percate de que están allí; éste pone cara de circunstancias y sigue con las explicaciones). Yukawa: Dejarse llevar por los impulsos o las corazonadas nos llevaría al desastre. III.- En Japón los alumnos hacen lo que aquí Ishigami se encuentra dando también clase pero no en la Universidad como Yukawa, sino es un instituto de Secundaria. Está haciendo una integral, como vemos en la imagen, aunque lo comenta no parece tener mucho sentido…. Ishigami: No es una derivada difícil. Los alumnos empiezan a protestar, empiezan a hablar en voz alta, alguno se levanta de su pupitre, mientras el profesor sigue echando cuentas… Ishigami: … tomando una sustitución un poco creativa para alfa…. IV.- El encuentro entre dos viejos conocidos Aunque inicialmente Yukawa, el  “excéntrico Galileo”, rechaza el caso porque no tiene nada que ver con la Física, acaba aceptándolo al saber que su antiguo compañero Ishigami, al que admira y considera un genio, está involucrado. La escena del reencuentro es así: Ishigami: Siéntate en cualquier sitio. Por ahí hay cojines. Yukawa: Gracias Ishigami (haciendo sitio a Yukawa para que se pueda sentar; está intrigado sobre cómo ha averiguado la dirección de su domicilio): Puedes mover eso. ¿Dijiste que un amigo? ¿Quién te dio mi dirección? Yukawa: Un policía que estuvo hablando contigo. Es alumno también. Ishigami: ¡Ah, ya! Esto es todo lo que tengo (enseñándole lo que pone en su vaso; Yukawa saca una botella de whisky de sus cosas). Yukawa: ¡Han pasado 17 años! Al cabo de un rato, ambos están un poco menos desconfiados y desinhibidos. Yukawa: ¿Qué estudiante podría resolver el teorema de los cuatro colores? Ishigami: Un esfuerzo inútil. Yukawa: Nada hubiera sido más fascinante. Ishigami: Absolutamente (brindan y beben) Yukawa: ¿Porqué matemáticas en Secundaria? Ishigami: Me vino bien. Yukawa: Pensaba que te quedarías (se refiere a la Universidad) e investigarías. Ishigami: Así lo había planeado. Pero mi madre quedó imposibilitada. Tuve que dejar la Universidad. Yukawa: Lo lamento. Ishigami: Pero la investigación matemática puede hacerse en cualquier lugar. Yukawa: Cierto (se fija en unas fotos de montañas colgadas en la pared) ¿Aún escalas? Ishigami (mirándolas con añoranza): Ocasionalmente. Yukawa: Escalar montañas es como hacer matemáticas. Una cumbre. El truco consiste en encontrar la ruta más simple, la más lógica para alcanzarla. Ishigami: Y las matemáticas tienen muchos picos que conquistar. Yukawa: La conjetura de Hodge, la teoría de Yang-Mills y el salto de masa, el problema P≠NP…. (le entrega un documento). Ishigami (echándolo un vistazo): ¡Uh! ¡La hipótesis de Riemann! Yukawa: Es del Departamento de Matemáticas. (Ishigami se rasca la cabeza mientras lo observa) Ishigami: Esto lo que intenta es probar que es falsa. Yukawa: Me gustaría que asesoraras la prueba. Ishigami (se levanta y se sienta en una mesa aparte llena de papeles, absorto en la contemplación del escrito): Esto me llevará algún tiempo…. Yukawa: Puedo esperar. Posteriormente, a Yukawa le dará la impresión de que Ishigami está enamorado de su vecina Hanaoka. En otra escena, con Ishigami acostado en el suelo de un calabozo, junto a otros presos, se muestra como visualiza en el techo una imagen que pretende ser una prueba del teorema de los cuatro colores, como vemos en la fotografía (un poco oscura porque tiene lugar de noche además de ser una captura de una película comprimida) Los denominados Problemas del Milenio han sido elegidos por una institución privada de Cambridge, Massachusetts (EE. UU.), el Instituto Clay de Matemáticas, en el año 2000. Se trata de problemas aún no resueltos, de indudable interés, no sólo matemático sino también para otras disciplinas. Se premia con un millón de dólares norteamericanos a quien resuelva alguno de estos problemas. Uno de ellos, la Conjetura de Poincaré,  fue resuelto por el ruso Grigori Perelman por lo que se le concedió en 2006 la medalla Fields, que rechazó junto con el dinero de la fundación Clay. Los otros seis son la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, la Conjetura de Hodge, la hipótesis de Riemann, la teoría de Yang-Mills, existencia y regularidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes y ¿es P = NP? Su descripción precisa nos llevaría demasiado espacio por lo que emplazamos al lector interesado a buscar información de cada uno a través de Internet. Existen más listas de problemas matemáticos sin resolver (la lista de Steve Smale, por ejemplo), pero los problemas del milenio han alcanzado más repercusión popular y mediática, seguramente por su sustanciosa compensación económica. Históricamente el planteamiento de listas de problemas de este tipo ha existido siempre, aunque su popularización tuvo lugar en 1900 cuando el matemático David Hilbert expuso en el II Congreso Mundial de Matemáticos en París los 23 problemas que a su juicio iban a ocupar el trabajo de los matemáticos a lo largo del siglo que empezaba. La Novela Suspect X es la adaptación al cine de la novela del mismo título (en inglés The Devotion of Suspect X) ganadora del 134º premio Naoki (año 2006), escrita por el indiscutible rey del mundo literario del misterio japonés Keigo Higashino. La película es una compilación de algunas de las peripecias de la serie de novelas Tantei Galileo (Detective Galileo) que ha vendido más de tres millones de ejemplares en todo el mundo. Tanto la película como la serie original son bastante fieles a la novela. Existe traducción al castellano, La Devoción del Sospechoso, editada este año 2011 por Ediciones B, dentro de la colección La Trama. La Serie de TV Kaoru Utsumi, una novata detective acaba de ser asignada a la división criminal. Su primer caso de asesinato (Episodio 1: Abrasándose) se califica como fenómeno sobrenatural: un joven se quema de la cabeza a los pies mientras celebra una fiesta con sus amigos. La policía considera que ha sido un accidente provocado por los fuegos artificiales que el fallecido llevaba consigo, pero sus amigos afirman que se trata de una combustión espontánea. Kaoru pide ayuda a Shunpei Kusanagi, un veterano detective que le presenta a Manabu Yukawa, profesor asociado de la Universidad de Teito.  Yukawa es un apuesto, brillante y excéntrico científico al que sólo le interesa la Física, mientras que Utsumi es una detective de sangre caliente con un fuerte sentido de la justicia. Gracias a sus talentos individuales serán capaces de resolver difíciles y aparentemente imposibles crímenes. Sus investigaciones les llevarán a descubrir una oscura realidad detrás de su muerte. Episodio 2: Proyección Astral.- Una chica es encontrada muerta en su apartamento. La policía detiene rápidamente a un hombre, el agente de seguros de la víctima, al que consideran sospechoso. El hombre asegura haber estado durmiendo la siesta en su coche cuando el asesinato fue cometido, pero es incapaz de dar una coartada creíble. Sin embargo, aparece un chico que afirma haber visto el vehículo del hombre cerca de su casa, la cual está muy alejada del lugar del crimen. El único problema es que el chico también asegura que vio el coche mientras se encontraba experimentando una proyección astral. Episodio 3: Poltergeist.- Después de haber pasado toda la noche trabajando, la agotada Utsumi recibe una llamada de Yukawa pidiéndola ayuda para localizar al cuñado de un alumno. El hombre lleva desaparecido una semana, y su esposa ha rastreado a fondo el último paradero conocido de su esposo, una casa propiedad de una anciana recientemente fallecida y ocupada ahora por su sobrina y otras personas. La esposa cree que su marido se encuentra en la casa, y convence a Utsumi para que la ayude a buscarle. Mientras lo hacen, la casa comienza a tambalearse violentamente. La asustada Utsumi cree que se trata de la furia de los Poltergeist. Episodio 4.- Necrosis. Una joven es hallada muerta en la piscina de su casa. Se determina que la causa del fallecimiento ha sido un ataque al corazón. Pero Utsumi descubre una marca púrpura sobre el pecho de la víctima, pidiendo al juez que la mande analizar. Se descubre que es una necrosis (muerte patológica de un conjunto de células o de cualquier tejido del organismo, provocada por un agente nocivo) lo que hace sospechar a Utsumi sobre cómo murió. Posteriormente dos personas más mueren en las mismas circunstancias, lo que sugiere que se trata en realidad de casos de homicidio. Episodio 5.- Asfixia. Un hombre aparece muerto en la habitación de un hotel, sin signo alguno de violencia ni de que nadie haya entrado allí. Un testigo que trabaja en el edificio de enfrente asegura haber visto unas bolas de fuego fantasmales. lo que despierta el interés de Yukawa por el caso. Episodio 6.- Fantasía. Se busca a un amigo de infancia de Utsumi pos haber invadido la casa de una joven. En su huida, contacta con Utsumi contándola que conocía a la chica desde hacía tiempo y que fue ella la que le pidió que fuera a su casa. Hay evidencias que sugieren que el hombre conocía a la chica desde que era una niña e incluso antes de haber nacido, y que existe un fuerte vínculo entre ambos y Utsumi. Determinada a ayudar a su amigo, Utsumi pide a Yukawa que investigue que hay detrás del sueño del hombre. Episodio 7.- Premonición. Un hombre corriente, sin demasiado atractivo para nadie, se casa con una joven despampanante y, cuando otra hermosa mujer intenta flirtear con él, éste se deja llevar, engañando a su esposa. La amante le pide que se divorcie puesto que si no ella se suicidará, amenaza que finalmente cumple. Al llegar la policía y conocerse el asunto, su esposa lo abandona. Aparentemente se trata de un típico triángulo amoroso, sólo que el hombre asegura haber visto en el mismo lugar donde apareció ahorcada la mujer como alguien intentaba colgarse. ¿Qué es lo que vio? ¿Tiene realmente poderes premonitorios? Episodio 8.- El suspiro del Espiritu. Una instructora de cocina es asesinada en su oficina, pero mientras esto sucede, ella aparece misteriosamente al lado de su hermana para avisarla de que va a ser asesinada. Su hermana está a 30 kilómetros de distancia de la oficina. Episodio 9.- Transcripción. En la explosión de un lago un hombre es hallado muerto. Mientras tanto, en una escuela, un estudiante de arte está realizando una obra que denomina “La máscara de la Muerte” que reproduce con mucha exactitud el rostro del hombre. Un pasado inquietante  surge entre Yukawa y el principal sospechoso del asesinato. Episodio 10.- Explosión.  Yukawa se enfrenta a un antiguo profesor en relación a un doble asesinato en el que fallece la secretaria del profesor. Utsumi tendrá que hacer frente a una serie de amenazas de las que sólo Yukawa podrá librarla. Los episodios 1, 2, 4, 9 ,10 se basan en la novela Tantei Galileo, el resto en  Yochimu. La serie comenzó a emitirse el 15 de Octubre de 2007 en horario de máxima audiencia (lunes 9 de la noche) por el canal Fuji Televisión Network. Consta de 10 episodios, el último de los cuales se emitió el 17 de Diciembre de 2007. Posteriormente, el 4 de Octubre de 2008, hubo un episodio especial, Galileo: Episode Zero, que se situaba tres años antes que el resto de capítulos, cuyo argumento giraba en torno a un asesinato que es citado parcialmente en la serie. Para aquellos interesados, la serie completa puede descargarse en Internet subtitulada en inglés en la dirección http://www.mysoju.com/japanese-drama/galileo/ Entre los reconocimientos que ha conseguido pueden destacarse el correspondiente a la mejor serie dramática de los 13º Premios de la Televisión Asiática, y en la edición 55ª de los Premios de la Televisión Norteamericana obtuvo  los correspondientes a la mejor serie, al mejor actor principal (Masaharu Fukuyama), a la mejor actriz de reparto (Kou Shibasaki), al mejor guión (Yasushi Fukuda), a la mejor dirección y al mejor tema musical. Posteriormente se ha realizado una serie manga de dibujos animados, nada que ver con la original ni con la película en cuanto a su calidad.

Jueves, 06 de Octubre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

158. 62. SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO DE 2011

Después de un verano un tanto raro, tanto por la meteorología como por las noticias que se han venido sucediendo, veamos cómo han ido las tareas del verano. Para los que no podais esperar más, al final, la lista de puntuaciones. Como todos los años teníamos diversas cuestiones tanto de cine como de matemáticas. Tratemos de darlas respuesta del modo más breve pero riguroso que podamos: 1.- Para numerar las nueve primeras camisetas está claro que se necesitan 9 dígitos. Las que van del 10 al 99 (o sea 90 camisetas) necesitarán 90 x 2 = 180 dígitos. Del 100 al 999 (900 camisetas) precisan 900 x 3 = 2700 dígitos. Si vamos recapitulando, 9 + 180 + 2700 = 2889 para componer las primeras 999 camisetas. Se nos dice que se han utilizado 3917 dígitos, por lo que 3917 − 2889 = 1028 números faltan. Cada nueva camiseta consta de cuatro dígitos. 1028/4 = 257, lo que indica que a partir del 1000 se emplearon 257 dígitos más, por lo que el número final de obreros fue de 1256. 2.- Una vez resuelta la primera cuestión, sabemos que N = 12345678910111213.......12551256 Hay varias formas de calcular esta suma. Una de las que habéis indicado es la siguiente: 1ª forma: Separemos los dígitos de 1 hasta 1256. Desde 1 hasta 1250 tenemos 125 decenas completas. Cada decena aporta como unidades del 1 al 9, por lo que todas las unidades de los números del 1 al 1256 suman 125*(1 +... + 9) =125*45, más 21 que suman las unidades desde 1251 hasta 1256. En total, 5646. Por otro lado, desde 0 hasta 1199 contamos doce centenas enteras (el cero no suma nada y lo podemos incluir sin problema), cada una con diez números por cada cifra en las decenas. Todas ellas suman 12*10*45, sin contar 10*(0+1+2+3+4)=100 que aportan del 1200 hasta el 1249 y por último, 5*7 desde 1250 hasta 1256. Sumando obtenemos 5535. El único millar completo que tenemos, si volvemos a contar el cero, nos da centenas que suman 45*100, más (0+1)*100 de 1000 a 1199 y 57*2 de 1200 a 1256. Todas hacen un total de 4714. Para terminar, las cifras de los millares sólo suman los 257 unos que aportan del 1000 hasta el 1256. Recapitulando, las cifras de N suman 5646+5535+4714+257 = 16152. 2ª forma: Algunos habéis explicado que existe un algoritmo que nos hace esta operación de sumar los dígitos (Internet nos pone las cosas más fáciles). No es la forma más elegante de hacerlo (se pretende que los concursantes se estrujen un poco las neuronas), pero obviamente se da por bueno también. Se trata de la constante de Champernowne que puede encontrarse, por ejemplo, en http://oeis.org/A037123 3ª forma Como paso previo calculemos la suma de las cifras hasta el número 1000. Si escribimos todos los números del 0 al 999 mediante tres cifras completando con ceros a la izquierda los de una y dos cifras (es decir, 000 – 001 – 002 – 003 – ..... – 010 – 011 – 012 – ..... – 099 – 100 – 101 – ..... – 999) habremos escrito en total 103 números, 3 x 103 dígitos. En esta reescritura se utiliza la misma cantidad de veces cada dígito, por lo que cada dígito aparecerá 3 x 103/10 = 3 x 102 veces. Si sumamos todos los dígitos escritos (nos olvidamos de los ceros obviamente) obtenemos 3 x 102 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 3 x 102 x 45 = 13500. Para sumar los dígitos desde el número 1000 al 1256, podemos contar sencillamente: Del 1000 al 1099: 100 unos + la suma de los dígitos de 0 a 99 que es 900, luego 1000 Del 1100 al 1199: 100 unos + la suma de los dígitos de 100 a 199, luego 1100 Del 1200 al 1249: 50 unos + 50 doses +45+55+65+75+85, por tanto 475 Del 1250 al 1256:  7 unos, 7 doses, 7 cincos +1+2+3+4+5+6, es decir, 77 En TOTAL; 13500 +1000 + 1100 + 475 + 77= 16152 3.- Designemos por x al número de soldados muertos e y al total de soldados, tanto vivos como muertos. De las condiciones del enunciado se tiene que cuya sencilla resolución nos lleva a que x = 4, y = 20. A la misma conclusión han llegado algunos concursantes de un modo mucho más simple: si muriendo un soldado más se pasa del 20% al 25%, cada soldado representa el 5% de la guarnición. Por lo tanto, el número de soldados es de 100 : 5 = 20. 4.- Se dice que los soldados van cayendo proporcionalmente a los que quedan en pie. Es decir, la proporción va cambiando, no es constante. Por tanto no sirve una sencilla regla de tres, sino que necesitamos involucrar una razón de cambio, es decir, una derivada. Sea x(t) ≡ número de soldados vivos en el instante t. Entonces    x’(t) = λ x(t), con x(0) = 20, x(1) = 16. Explicado con palabras, la variación del número de soldados vivos en el momento t es proporcional al número de soldados vivos en ese instante. Inicialmente (momento t = 0) hay 20 soldados; al cabo de 5 minutos (t = 1) quedan 16 supervivientes, según las condiciones del apartado anterior. Resolviendo la  elemental ecuación diferencial anterior (basta pasar dividiendo x(t) del segundo al primer miembro para tener una ecuación en variables separadas de primer orden con primitiva igual a  ln(x(t)) = λt + Cte), se obtiene que x(t) = 20 Quedará un solo soldado cuando (1/20) = , es decir cuando t = ≈ 13.42513487. Como tomábamos t de cinco en cinco minutos, el tiempo que le queda al único superviviente es de 67.1256 minutos (obsérvese que en los cuatro primeros decimales se encontraba la solución de la primera cuestión) en total desde el principio del ataque, de los que ya han pasado cinco cuando puso las condiciones al problema, con lo que le quedan 62.1256 minutos, una hora y dos minutos, más o menos. 5.- Desde un punto de vista matemático (que es a lo que se refería la pregunta) la solución de la ecuación diferencial anterior es una función exponencial, que nunca es nula, y es absurdo decir que queda vivo la mitad del último soldado, la décima parte, etc. De manera que para que el modelo utilizado tenga sentido en la realidad, es necesario que exista un superviviente. Desde el punto de vista de la novela y la película, tiene que haber alguien que aclare lo sucedido, alguien que mueva los cadáveres (los zombies sólo existen en la ficción y en la mente de los que creen en supercherías paranormales), alguien que limpie el honor de los Geste, hay que explicar el robo del zafiro, etc. 6.- Pues como dudamos de que Markoff, en tan dramáticos momentos, se ponga a pensar en ejercicios de ecuaciones diferenciales, la razón evidente es que quería mostrar a los tuaregs que quedaba vivos más soldados de los que eran, tratando de desanimarlos. Pretendía además ganar tiempo hasta que llegaran los refuerzos del otro fuerte. 7.- El primer soldado que accede (se ofrece voluntariamente) al fuerte es Digby Geste, corneta de la división que viene al rescate del fuerte Zinderneuf. Cuando entra en el recinto, ve el cuerpo sin vida de su hermano Michael (Beau) Geste. Al tardar, decide entrar en persona el Mayor Beaujolais. Al verlo venir, Digby se hace el muerto y se coloca como el resto del soldados abatidos. El Mayor ve los cuerpos del sargento Markoff y de Michael y empieza la búsqueda del corneta. Aprovechando los movimientos del Mayor. Digby traslada a su hermano y al sargento a una de las habitaciones con el fin de prepararle a Michael su deseado funeral vikingo. Markoff hará el papel de “perro”. Al recorrer de nuevo el recinto y no ver los dos cuerpos de Michael y de Markoff, Beaujolais empieza a suponer que algo raro sucede, y decide salir de allí cuanto antes. 8.- En la figura encontramos triángulos formados por una única pieza (un triángulo), por cuatro de esos triángulos, y por nueve. De una única pieza hay 18 triángulos, 9 de la forma ▲ y otros 9 ▼. De cuatro piezas hay 4 con un vértice arriba y otros 4 con el vértice hacia abajo, luego 8 triángulos. Finalmente de nueve piezas hay 1 de cada, es decir, 2 triángulos. En total, 18 + 8 + 2 = 28 triángulos contiene la figura. Miguel Herráiz nos hace notar como curiosidad la aparición de cuadrados perfectos en el número de triángulos de cada tipo. ¿Se sigue esa misma pauta si el rombo tuviese un triángulo más de altura? ¿Y para una altura de n triángulos? 9.- El recorrido mostrado en la figura pasa por 30 segmentos de un total de 33 que tiene el dibujo completo. 10.- Se pueden dar varias posibilidades, aunque la solución en la que inicialmente pensé, bastante sorprendente, es la expresada por uno de los concursantes, que retomo, sobre todo aprovechando sus excelente gráficos: Posición inicial: Las piezas negras (rojas en la imagen) están obligadas a capturar la pieza de g4, por lo que las blancas pueden aprovechar para trazar su “tela de araña”. 1.  d1– c2 Las negras están obligadas a jugar: 1.…, h5 x f3.(con la x indicamos que capturamos la ficha contraria) 2. c2–b3 Obligando de nuevo a la captura: 2.…, a4 x c2. Volvemos a entregar otra pieza: 3. e6 – d7, c8 x e6. Y ahora entregamos la última pieza, la dama: 4. d3 - b5, a6 x c4. El “desolador” panorama en que se encuentran las blancas, que parecen haberse vuelto locas es el que muestra la segunda imagen: Sin embargo, en su siguiente movimiento tenemos la explicación de tan “extraño” comportamiento. La dama blanca va capturando una a una las piezas negras, hasta dejar al oponente con una sola pieza (y sin opciones). Siguiendo el camino marcado por las casillas amarillas, la dama blanca capturará primero la pieza de c2 (b1xd3), luego la pieza de c4 (d3xa6), continuará con la dama de b7 (a6xc8), la pieza de e6 (c8xh3) para acabar capturando la dama de g2 (h3xf1). En el turno de las negras, cualquier jugada es perdedora: 11.- Llamemos para simplificar A a Augustus, B a Digby, C a John y D a Michael. Si B fuera culpable, por la tercera condición, habría exactamente dos personas implicadas; si C fuera culpable, la cuarta condición nos dice que habría tres personas implicadas. Ambas consecuencias no pueden darse simultáneamente, por lo que al menos B o C han de ser inocentes. Del diálogo de la segunda condición se desprende que A es inocente, por lo que, como mucho, hay dos culpables. Por tanto C no pudo tener dos cómplices, así que la cuarta condición nos asegura que C es también inocente. Si B es culpable, tiene exactamente un cómplice, que debe ser D (ya que acabamos de ver que A y C son inocentes). Si B fuera inocente, entonces D tiene que ser culpable. Por tanto, según la lógica, independientemente de que B sea culpable o inocente, las condiciones dadas nos aseguran que D es culpable. Se pedía un razonamiento de este tipo, en base sólo a los cuatro supuestos, no al resto del argumento de la película, a diferencia de la siguiente pregunta. 12.- Nadie mentía porque lo que se encontraba dentro de la caja no era el zafiro original, sino una imitación falsa. Las palabras de Michael fueron “yo no he cogido el Agua Azul”. Y era verdad, había cogido otra cosa. El apodo, “Beau” Geste (Bello Gesto), hace relación a su comportamiento. 13.- Evidentemente el hecho común es el robo de una joya de gran valor aprovechando un apagón de luz. En el caso de la segunda película se echa la culpa del robo a Matakit, ayudante del protagonista Dan Rochland, aunque éste logra hacer creer a todos que el auténtico ladrón, es el avestruz “Olga”. Pero finalmente queda claro, para Dan y los espectadores, que fue Matakit. 14.- A2 indica el nombre del zafiro, Agua Azul. Su homólogo en la segunda película es el diamante la estrella del Sur. 15.- Por su claridad y sencillez, incluimos en este caso la solución aportada por uno de los concursantes, Miguel Herraiz Hidalgo. La respuesta es afirmativa: conocido el área de uno de los cuadrados es posible calcular la de los otros dos. Denotaremos por L la longitud del lado, A la superficie del cuadrado, y los subíndices p, m, g a los cuadrados pequeño, mediano y grande, respectivamente. El radio de la circunferencia circunscrita al cuadrado mediano (ver dibujo adjunto) es la mitad de la diagonal del cuadrado mediano y la mitad del lado del cuadrado grande. Luego:            Lado grande = Lg = Dm = Diagonal mediano Así,    Área grande = Lg2 ,  Área mediano = ½ Dm2 = ½ Lg2 = ½ Ag , es decir, el área del cuadrado grande es el doble de la del mediano. En el caso del cuadrado pequeño, su diagonal es la tercera parte de la diagonal del cuadrado grande. Por lo tanto, su área será la novena parte. Ag = ½ Dg2 = ½ (3 Dp)2 = ½  9 Dp2 = 9 Ap Por lo tanto   Ag = 2Am = 9Ap 16.- Hay varias formas de probar el enunciado. Por estar en progresión geométrica los lados del triángulo serán α, αr y αr2, siendo r la razón. Sin pérdida de generalidad podemos suponer α = 1, es decir que los lados sean 1, r, r2. Sea a el ángulo opuesto a r2, que es el lado mayor. Por el teorema del coseno se tiene que r4 = 1 + r2 – 2r cos a Como se indica que el triángulo es rectángulo,  cos a = 0, con lo que r4 = 1 + r2 (aplicando el teorema de Pitágoras hubiéramos llegado también a esa conclusión, pero me apetecía recordar el otro resultado). Resolviendo la ecuación bicuadrada, se llega fácilmente a que r = . 17.- Está claro que como el ángulo 1 tiene 70º y el ángulo 9 es recto, el ángulo 2 debe ser de 20º. Siguiendo con razonamientos similares, que por sencillos omitiremos, quedan finalmente así: Ángulo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Medida 70º 20º 50º 20º 20º 140º 40º 90º 90º 18.- Sin pérdida de generalidad, supongamos que el triángulo AIC es semejante a ABC. Entonces los ángulos de AIC coincidirán con los de ABC en algún orden. Los ángulos de AIC son ½ A, ½ C  y  ½ π + ½ B. Si  ½ π + ½ B = B, entonces B = π, lo que es imposible. Si ½ A = A, entonces A = 0, también imposible. Análogamente razonamos si ½ C = C. Se tienen por tanto sólo dos posibilidades i)            B = ½ A, A = ½ C,  y  C = ½ π + ½ B ii)           B = ½ C, C = ½ A,  y  A = ½ π + ½ B Ambas nos llevan a que ABC tiene ángulos π/7, 2π/7  y  4π/7, que están en progresión geométrica. 19.- Una forma de demostrarlo es la siguiente i) Consideremos los puntos MA, HA, GA como indica la figura. Pondremos hA a la altura correspondiente a A, p el semiperímetro y S el área de ABC. Los triángulos AMAHA y GMAGA son semejantes siendo la razón de semejanza 3 (propiedad del baricentro sobre cada mediana). Entonces hA = 3 gA (1) Por la desigualdad triangular: multiplicando por hA y teniendo en cuenta (1) queda: finalmente, como S = pr resulta  . Análogamente obtendríamos las correspondientes desigualdades para gB y gC . ii) Usaremos la desigualdad  que se deduce de la obvia (x-1)2 ≥ 0. (Consideraremos siempre x positivo). Tenemos entonces: Sumando 3, ordenando y operando resulta: sacando factor común, dividiendo por 3 y poniendo 2p = a + b + c,  queda: (2) Por otra parte, como  3ga = hA; 3gb = hB; 3gc = hC, resulta 2S = 3gaa = 3gbb = 3gcc Despejando 3a, 3b y 3c y sustituyendo en (2), queda: Finalmente usando de nuevo S = pr, resulta  20.- Como han descrito los concursantes, el poliedro que aparece es un dodecaedro estrellado, que se obtiene construyendo pirámides pentagonales sobre cada uno de los doce lados del dodecaedro. Esto nos permite deducir de forma sencilla el número de caras, vértices y aristas del cuerpo. Dado que un dodecaedro tiene 12 caras, el cuerpo en cuestión tendrá 12 x 5 caras triangulares = 60 Caras. El número de vértices será el número de vértices del dodecaedro más los 12 vértices de las pirámides, es decir 20 + 12 = 32 Vértices. Para obtener el número de aristas, habrá que sumar las 30 aristas del dodecaedro y las aristas laterales de las 12 pirámides (12 x 5 = 60), es decir, 30 + 60 = 90 Aristas. Como apunta algún concursante veamos si cumple la fórmula de Euler, Caras + Vértices = Aristas + 2. En efecto, 60 + 32 = 90 + 2. 21.- Esta pregunta era simplemente una pista para indicar que nos encontramos ante el misterio de un diamante o piedra preciosa que bien puede tener esa forma. 22.- Como ambas películas son sonoras, podemos suponer sin riesgo a equivocarnos que se trata de dos producción de mil novecientos y pico, es decir que conocemos dos dígitos, 19**. El único cuadrado perfecto entre 1900 y 1999 es 1939 = 442, así que el año de producción de una de ellas es o 1933 o 1939. Pero 1933 es primo, de modo que claramente se trata de 1939 que es además producto de dos primos, 7 y 277. En otro lugar del texto se afirma que ambas películas distan 30 años entre sí, por lo que podría ser 1909 0 1969. Ahora bien en 1909 las películas no eran a colorines, así que  debe ser 1969. 23.- Las películas son Beau Geste, dirigida por William A. Wellman en 1939, y La estrella del Sur,  dirigida por Sidney Hayers en 1060. La primera está basada en la novela homónima de Percival Christopher Wren y es bastante fiel al original (las variaciones son muy pequeñas), mientras que la segunda es una libre adaptación (¡pero que muy libre!) de una novela de Julio Verne, que a su vez se basaba en una novela de André Laurié. Hay muchas películas con temática similar. Algunas de las que habéis indicado son: I am a thief (1934), They met in Bombay (1941), One misterious night (1944), Terror en la noche (1946), Un fresco en apuros (1955), La Pantera Rosa (1963), Jack de diamantes (1967), Robo de diamantes (1968), Los Tres Mosqueteros (hay muchas versiones; me quedo, no con la mejor, sino con la que vi aquellos años, la de Richard Lester, 1973), La casa número 11 (1974), El regreso de la pantera Rosa (1975), El Robobo de la Jojoya (1991), Titanic (1997), De ladrón a policía (1999), Snatch, cerdos y diamantes (2000), Looney Tunes. De nuevo en acción (2003), El gran golpe (2004), El gran golpe (2004), Un plan brillante (2007),…etc. Sin embargo, aquí había una pequeña “trampa”, o una pregunta fantasma que puntuaré como pregunta vigésimo cuarta. Se daba una foto de George Segal, que también protagonizaba, se dice, otra película de argumento similar, junto a un famoso rubio admirado por las féminas de medio mundo (me refería obviamente, no a Brad Pitt, al parecer también admirado por mucha gente, sino a Robert Redford). Era Un diamante al rojo vivo (The Hot Rock, Meter Yates, EE. UU., 1972) que vi varias veces en distintos veranos en las sesiones de cine de verano que comentaba al principio del artículo, a la que he valorado con 5 puntos a mayores, es decir, la puntuación plena será entonces de 205 puntos. Por cierto, por aclarar la cuestión de un concursante, no, no era en Cuenca donde vi tantos programas dobles (ciudad por cierto que no conozco). Este año hemos tenido la gratísima sorpresa de contar con muchos más concursantes, de un nivel realmente magnífico, no sólo por los datos que dais sobre la novela y las películas (que eso más o menos con paciencia se localiza en Internet, aunque espero que hayáis visto las películas, y al menos una, os haya gustado), sino en vuestras resoluciones de los problemas matemáticos. Recibid pues desde DivulgaMAT nuestra más sincera enhorabuena. No obstante, en algunas cuestiones, algunos concursantes han escrito sencillamente la respuesta, sin describir ningún razonamiento. Aunque si la respuesta es correcta, se ha dado toda la puntuación, cuando no lo es, no es posible determinar si el razonamiento era bueno, el fallo era de una simple cuenta, etc., es decir no se puede definir la puntuación, y en esos casos, se considera con cero puntos. Vamos que hay que intentar indicar un razonamiento, aunque sea mínimo. Tras el recuento paciente de la puntuación de cada cuestión, las puntuaciones han quedado del siguiente modo: 1º.- Emilio Diaz Rodríguez .- 188 puntos 2º.- Francisco Pi Martínez – 176 puntos. 3º.- Miguel Herraiz Hidalgo.- 172 puntos. 4º.- Alberto Castaño Dominguez – 170 puntos. 5º.- Elías Villalonga Fernández.- 165 puntos. 6º.- Celso de Frutos de Nicolás – 161 puntos. 7º.- María José Fuente Somavilla -  130 puntos. 8º.- Ricardo Alonso – 126 puntos 9º.- María Jesús Arcos – 88 puntos. Enhorabuena a tod@s. Espero que, independientemente del resultado lo hayáis pasado bien. Algunos me habéis indicado algunas sugerencias, que os agradezco, y que procuraré tener en cuenta para la próxima ocasión. Gracias de nuevo por participar.

Miércoles, 07 de Septiembre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

159. 61. CONCURSO DEL VERANO DE 2011

Mediados de Junio. Exámenes. Unos estudian, otros corrigen. Las vacaciones de la crisis se acercan, pero el ya tradicional cuestionario matemático-cinéfilo no puede faltar. Aquí está. En esta ocasión, uno se pone nostálgico (¿serán los años?). No tranquilos, esta no es una pregunta para responder. Es sólo una reflexión en voz baja. La nostalgia se debe a que el otro día me dio por recordar algunos de los veranos de mi infancia-primera juventud, en una ciudad del interior (o sea sin mar, aunque con un río respetable, bastante sucio, y una playa con arena de mar traída ex profeso). No existían las PSPs ni otros engendros similares, ni Internet, ni los ordenadores, ni el DVD, ni siquiera el vídeo. Difícil de asimilar para los chicos de hoy que hasta con todo eso se aburren como ostras. Tranquilos. No voy a empezar a relatar las perrerías varías que se hacían a lagartijas y demás  bichos de dos patas o más, entre otras cosas porque yo no era tan salvaje. Mis veranos (aprobaba todo en junio, ¡qué tiempos! En la Facultad la cosa fue algo distinta) se consumían entre la lectura de tebeos, libros de aventuras y las tardes, ¡cómo no!, al cine. Si, porque yo vivía en la misma calle en la que había un cine de sesión continua (podías entrar a las 16:00 y verte las dos películas un par de veces hasta las 00:30, y todo por 25 pesetas, 30 los fines de semana). De eso van a ir las películas incógnita del concurso de este verano, de averiguar algunas de aquellas películas que después rara vez volvías a ver en tu vida. Sí, si, como aquellas de Bruce Lee o Wang Yu en las que a la salida los chavalines salían dando saltos y pegando patadas al aire (¡que ignorantes éramos!), o aquellas de piratas, tarzanes hispanos, Spaghetti westerns de Torrejón, comedias erotico-festivas a mayor gloria de Lauras Antonellis o Agatas Lys, dinosaurios de cartón piedra, posesiones diabólicas serie Z, etc., etc., y entremedias alguna producción algo más decentilla. A pesar de todo, bastantes de aquellas no tendrían el envoltorio super-mega-guay de la última de Piratas del Caribe, pero os aseguro que los guiones, argumentos e interpretaciones eran en muchos casos, más creíbles y trabajados. En fin, que la forma (gongorinos) han podido con el fondo (quevedescos). ¡Qué se le va a hacer! La crisis. Vayamos al asunto, que puede ser muy complicado, pero tranquilos que finalmente las películas elegidas serán de ese estilo, tipo aventurillas, pero reconocibles, y al menos una de ellas de cierta calidad. Hay tantas con un argumento similar que podríamos casi establecer un mini-género con ellas. Nos centraremos básicamente en dos, que se llevan exactamente treinta años entre sí, y que obviamente habrá que descubrir. Y por el camino, se plantearán sencillos problemas de ingenio matemático (alguno un poco más complicadejo). Los habituales saben que, por momentos, la cosa estará algo retorcidilla, pero es que no se trata de hacerlo en un día, sino que hasta el miércoles 31 de agosto tendremos tiempo de estrujarnos las meninges. El orden en que se exponen las pistas o se describen determinadas escenas, nada tiene que ver con el que tienen en las películas, ni las novelas en las que se basan. Además se intercalarán datos de ambas (respetando las escenas eso sí), sin especificarse a cual de ellas pertenece.. En la primera escena de una de las películas incógnita se observan un montón de obreros colocados uno a continuación del otro, pero todos de cara a un mismo lugar, continuamente agachándose y levantándose, bajo un sol de justicia. El capataz que los controla pasa a caballo por detrás de ellos, identificándolos por el número que llevan en la parte posterior de la camiseta. Esto nos permite plantear las primeras cuestiones: Cuestiones: 1.- Empezando con el 1, cada camiseta lleva un número con el orden natural (es decir, al lado del 1 va el 2, luego el 3, etc.). Para ahorrar costes, no se hizo una camiseta con cada número, sino que se disponía de gran cantidad de unos, doses, treses, etc, y cada obrero se cosía en la camiseta el número que le correspondía, uniendo varios de los dígitos disponibles. Es decir el que fuera el 155 debía coserse un uno y dos cincos. Si se repartieron 3917 números, ¿cuántos obreros estaban trabajando? 2.- Dicho capataz, un bicho de cuidado, desde su caballo, observa la larga hilera de números dispuestos consecutivamente, 12345678910111213….= N. Como a veces se aburre, dado el escaso éxito de los obreros en su búsqueda, se pone a pensar en toso tipo de asuntos, como por ejemplo, ¿cuál es la suma de todas las cifras de N? Ya sabemos cómo comienza una de las películas. Vayamos con la otra cuya acción se desarrolla en el mismo continente y no muy lejana en el tiempo. Una columna de soldados se acerca a auxiliar a sus compañeros de un fuerte que estaba siendo atacado por el enemigo. Todo está en silencio, y aparentemente tranquilo, porque a través de las almenas se ve a toda la guardia en estado de alerta. Sin embargo, algo extraño se percibe ya que al ir acercándose son recibidos por un disparo de advertencia. Un soldado voluntario trepa al lugar por una escala. Pasan los minutos, y no regresa. El Mayor al mando decide ir en persona. Una vez dentro, el panorama resulta desolador. Todos están muertos, y no hay ni rastro del primer soldado que entró. Mira por todas partes, y de repente se percata de que algunos soldados muertos que acababa de ver, han desaparecido. ¿Será un ejército de zombies? Por si acaso, sale de allí, no sin antes recoger algunas notas que sostenían las manos de algunos cadáveres. Una de ellas, decía: “Hace cinco minutos que empezó este infierno, y ya el 20% de la guarnición ha muerto. Si muriera uno más, sólo uno más, las bajas ya serían el 25% ¡qué pocos quedamos! Si seguimos cayendo proporcionalmente a los que quedamos en pie, ¿en qué momento no me quedará mas remedio que desertar de aquí o hacerme el muerto para sobrevivir?” Cuestiones: 3.- ¿De cuántos soldados disponía la guarnición? 4.- ¿Cuándo tiempo le queda al que escribió la nota para poner en práctica sus planes? 5.- ¿Por qué es preciso que haya un desertor? 6.- La razón de que los muertos fueran puestos de pie, ¿tiene que ver con retrasar el tiempo de agonía según el enunciado de la nota? 7.- ¿Dónde fue a parar el primer soldado? ¿Había de verdad zombies? ¿Quién disparó a la columna inicialmente? (Pista: ¿sabes cómo es un funeral vikingo?). Antes de abandonar el lugar, al Mayor le llamó poderosamente la atención las líneas dibujadas sobre la arena del patio de armas del fuerte. Tenían la forma representada en la imagen. “Desde luego no se aburriría el que hacía la guardia en este lugar. Podría entretenerse en contar cuántos triángulos distintos de cualquier tamaño aparecen en el suelo. Y cuando estuviera claro el número total, podrían tratar de diseñar el mayor camino posible que se pueda recorrer siguiendo las líneas marcadas, sin repetir ninguna, pudiendo repetir puntos, no líneas, y acabando en el punto de partida que puede ser cualquiera. ¿Se les habrá ocurrido? En cualquier caso, me piro cuanto antes de este lugar maldito” Cuestiones: No hace falta alistarse para poder responder a las preguntas, aunque los que hicimos un año de “mili” sabemos que las horas se hacen eternas y hay que buscarse algo con lo que distraer la mente. Así pues, responde: 8.- Número de tales triángulos 9.- Recorrido máximo de las características ideadas por el Mayor. Las horas de vigilancia y alerta ante la llegada del enemigo suelen ser tediosas, sobre todo si el calor aprieta. Los “jefes” procuran distraerse de algún modo, por ejemplo jugando a las damas, bueno una variante, en la que las fichas son copas: las blancas llenas de ginebra, las negras, de whisky, tal y como se ve en la imagen. El que “come” una ficha, se “bebe” el contenido de la pieza capturada. Juegan  un orondo personaje y su secuaz. Este último no logra apagar su sed porque pierde siempre: – No se me da nada bien este juego – Tu mala suerte, querido André, me llena de satisfacción. Momentos después de la posición de la imagen de la película, se encuentran tal y como se aprecia en el tablero adjunto. Parece que esta vez, André puede desquitarse, pero una hábil estrategia de su jefe, que mueve a continuación con blancas, le permite acabar ganando de nuevo. Cuestión: 10.- ¿Cómo lo hizo? Retrocedamos un poco en el tiempo (una de las películas no es lineal, sino que se estructura en torno a varios flashbacks). Es una apacible tarde de otoño en una victoriana mansión británica. La llegada de un telegrama, altera a sus moradores, tres hombres, dos mujeres y un visitante al que nadie ve con agrado. A la mujer de mayor edad los demás se refieren a ella cariñosamente como “tía Pat”, aunque en realidad no sea familiar más que de la mujer más joven, Isabel, y del poco apreciado invitado, Augustus, aunque de éste por parte del marido de tía Pat. Alterada por la noticia, la mujer se dispone a recogerse a sus habitaciones. En ese momento, el mayor de los tres hombres, Michael, comenta: Michael: ¡Tía Pat! ¿Podríamos ver el A2 antes de retirarte? Quizás nunca tengamos otra oportunidad. Tía Pat (tras unos segundos de reflexión): Muy bien. ¿Burdon? Burdon: Sí, señora. Tía Pat: ¿Puede acompañarme al “Refugio del Cura”, por favor? Y traiga un candelabro. Burdon: Sí, señora. En unos minutos, aparecen con una enigmática caja. Burdon, el criado, se va. Todos admiran lo que guarda la caja. En ese preciso instante sucede lo mismo que en la otra película, y como se dijo al principio, en otras muchas. Isabel resuelve el problema. La novela explica entonces “debimos parecer una banda de idiotas allí de pie, mirando durante un par de segundos el vacío más absoluto”. Tía Pât: Sin duda, alguien tiene un especial sentido del humor. ¿Es una broma tuya, Augustus? Augustus: ¿Mía? No, tía, de verdad. Te lo juro. Tía Pat: ¿Tú, John? John: No, tía Pat. Tía Pat: ¿Digby? Digby: Desde luego que no. En ese momento, lady Patricia duda. Por nada del mundo hubiera querido que el responsable de lo que sucede fuese su preferido, Michael. Tía Pat: ¿Michael? Michael: Yo no he cogido el A2. Tía Pat (dirigiéndose a Isabel): ¿Naturalmente, tu no ….? Isabel: ¡No, tía! Tía Pat: Me temo mucho que alguien está mintiendo. Un nuevo misterio para esta película (y novela) repleta de ellos. ¿Quién miente? En realidad ninguno miente. Hay cinco sospechosos, John, Michael, Digby, Augustus, e Isabel, junto a la tía Pat. Se sabe con seguridad que al menos uno de ellos es culpable de lo que ha sucedido, aunque no miente ninguno. Nadie distinto a estos cinco está implicado. De los subsiguientes diálogos y escenas resultan los siguientes hechos: 1.- Isabel, que tuvo que solucionar el problema que surgió, es definitivamente inocente. 2.- Cuando la tía Patricia salió de la habitación, Digby se abalanzó sobre Augustus (Gussie, en términos coloquiales) Digby: Gussie, detesto hacer esto, pero es necesario. Michael: Regístralo a fondo, Digby. Pero, finalmente no le encuentra nada. Digby: Lamento mucho que no fueras tú, asqueroso. 3.- Si Digby fuera culpable, tenía un cómplice, y sólo uno. 4.- Si John fuera culpable, tenía dos cómplices, y sólo dos. Mujer sin hijos, la tía Pat reservaba, como dijimos antes, todo su amor y afecto para Michael, por lo que estaba especialmente interesada en confirmar sobre todo, que Michael no fuera culpable de lo sucedido. Tardó varios años en saberlo, a través de una nota, encontrada en el cadáver de un desalmado sargento chusquero. Sin embargo, los hechos anteriores eran suficientes para determinar la cuestión Cuestiones: 11.- ¿Era Michael culpable? (Se precisa un argumento razonado) 12.- ¿Porqué nadie mentía? 13.- ¿Cuál es ese hecho común a las dos películas incógnita del que hablamos? ¿Quién es el responsable en la otra? 14.- ¿Qué significa A2?. ¿Cuál es su homólogo en la otra película? Previamente, Michael y Digby, como buenos gemelos, mantienen una especial relación. Descubren un ratón en los dormitorios. En la imagen aparece correteando sobre una alfombra en la que vemos tres cuadrados. Se sabe que el cuadrado intermedio tiene por circunferencia circunscrita aquella que es inscrita y tangente a los lados del cuadrado mayor. Por otro lado, si trazáramos una diagonal común a los tres cuadrados, podríamos dividirla en tres segmentos de la misma longitud, y el segmento menor sería exactamente la diagonal del cuadrado pequeño. Cuestión: 15.- ¿Es posible, conocido el área de uno cualquiera de los tres cuadrados, averiguar la de los otros dos? Como vemos en la imagen, la pareja protagonista de una de las películas incógnita tiene algunos problemas. El galán es bastante torpe, y su novia tiene que sacarle constantemente de apuros. En la foto, vadeando un río, él se mete en unas arenas movedizas, y ella le tira una cuerda que sujeta a un árbol, pasándola también por una rama. Entre la rama y la cuerda, mete una vara  que al ir girando, va acercando al patoso hacia donde está ella. Ese gañán, ingeniero de minas en la novela, no se le ve en pantalla, pero está en el otro extremo. Mientras, en primer término, un siniestro cocodrilo se acerca, dudando al parecer si ir a zamparse a uno o admirar el esfuerzo (y ampliar de paso sus conocimientos sobre curvas no imaginadas) de la otra. En cualquier caso lo que a nosotros nos interesa es el triángulo: Cuestiones: 16.- Si el triángulo fuera rectángulo y tuviera sus lados en progresión geométrica, ¿cuáles serían sus longitudes? 17.- Según se va acercando el protagonista, los ángulos del triángulo van cambiando. Si uniésemos tres momentos distintos en un solo triángulo como muestra la imagen, obtén el valor de los nueve ángulos señalados sabiendo que el señalado como 1 es de 70º. 18.- Si llamáramos I al centro del círculo inscrito en el triángulo ABC (ver segunda imagen), demostrar que si uno de los triángulos AIB, AIC o BIC fuera semejante al triángulo ABC, entonces los ángulos del triángulo ABC están en progresión geométrica ¿Cuáles son sus valores? 19.- Llamemos finalmente G al baricentro del triángulo ABC, ga, gb, gc a las distancias de G a cada uno de los lados del triángulo, y r al radio de la circunferencia inscrita. Demostrar que las distancias anteriores son, al menos, dos terceras partes del valor de r, y que la suma de las tres es como mínimo el triple de ese radio r. En lenguaje matemático, se trata de probar que ga ≥ ⅔ r, gb ≥ ⅔ r, gc ≥ ⅔ r, y que ga + gb + gc ≥ 3r. Como no se si hay suficientes pistas para averiguar el titulo de tal película, lo mejor es mostrar al “héroe” teniendo que escapar de esta guisa para pasar inadvertido. Por cierto que este actor protagonizaría junto a un rubio muy admirado por las féminas, otra película que también giraría en torno al “objeto misterioso” del que tratan nuestras dos misteriosas películas. Es por tanto una nueva película del subgénero de las que hablamos aquí. Por si aún no se sabe el “objeto misterioso” en torno al cual se suceden los acontecimientos de ambas películas, un par de cuestiones que quizá aclaren algo: Cuestiones: 20.- ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene este cuerpo que se nos ha colado por aquí? 21.- ¿Le encuentras alguna relación con todo lo que llevamos dicho? Finalmente, por si aún la cosa no está muy clara, los años de producción de las dos películas incógnita son números primos entre sí, aunque ellos no son primos sino producto de dos primos. Sólo se diferencian en un dígito, y una de ellas dista tres unidades de un cuadrado perfecto. Cuestiones: 22.- ¿De que año son las películas de las que estamos hablando? 23.- Título de las películas-incógnita y novelas en las que se basan ¿Son fieles a ellas?¿Conoces alguna otra película de temática similar?   Valoración de las respuestas Las puntuaciones de las cuestiones son: Veinte puntos para la cuestión 19. Diez puntos para las cuestiones 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 15, 16, 17, 18, 20, 22. Cinco puntos para las numeradas como 6, 7, 11, 12, 13, 14, 21, 23. Es evidente que puede haber mucha variación entre estos 200 puntos posibles, así que aunque sólo seas capaz de responder a una pregunta de cinco puntos, envíame la solución porque puede que te toque alguno de los extraordinarios premios que este año tenemos preparados. Las respuestas deben mandarse a la dirección de correo electrónico alfonso@mat.uva.es, indicando en el asunto Verano 2011. Si de paso me dais vuestra opinión sobre el concurso, hacéis sugerencias, comentarios, etc.,  acerca de la sección, a lo mejor hasta os regalamos puntos extra. El plazo máximo de recepción de respuestas será el día 31 de Agosto de 2011. ¡¡¡¡Buen Verano Cinematemático!!!!

Lunes, 20 de Junio de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

160. 60. La conjetura de Siracusa

Dedicamos este mes la sección a un estreno reciente, una magnífica película, en la que la protagonista es matemática. INCENDIES Título Original: Incendies. Nacionalidad: Canadá / Francia, 2010. Director: Denis Villeneuve . Guión: Denis Villeneuve, basado en la obra teatral de Wadji Mouawad. Fotografía: André Turpin, en Color. Montaje: Monique Dartonne . Música: Grégoire Hetzel. Producción: Luc Déry y Kim McCraw. Duración: 130 min. Galardones: Ocho premios Genie (Ontario, Canadá; mejor dirección, película, actriz principal, fotografía, montaje, sonido, montaje sonoro y guión adaptado), Tres premio VFCC (Vancouver Film Critics Circle; mejor dirección, actriz principal y película), Premio ‘Miguel Delibes’ al Mejor Guión, Premio del Público y Premio de la Juventud en la 55 edición de la SEMINCI (Semana Internacional de Cine de Valladolid 2010), Tres premios en la 67ª edición de la Mostra de Venecia. Nominada al Oscar 2011 a la mejor película extranjera. Intérpretes: Lubna Azabal (Nawal Marwan), Mélissa Désormeaux-Poulin (Jeanne Marwan), Maxim Gaudette (Simon Marwan), Rémy Girard (Notario Jean Lebel), Abdelghafour Elaaziz (Abou Tarek), Allen Altman (Notario Maddad), Mohamed Majd (Chamseddine), Nabil Sawalha (Fahim), Baya Belal (Maika). Argumento: Jeanne y Simon Marwan son dos hermanos gemelos cuya madre, que llevaba mucho tiempo sin hablar, acaba de fallecer. Acuden al notario Lebel a conocer el testamento. Su madre les ha dejado un sobre cerrado a cada uno que deben entregar por un lado a su padre, al que ellos creían muerto, y a un hermano cuya existencia desconocían completamente. Sus reacciones son diferentes, desconcierto e intriga en Jeanne, y rechazo completo en Simon. Sin embargo el notario les deja bien claro que su deber está en cumplir las últimas voluntades de su madre si pretenden enterrar a su madre de acuerdo a sus principios. La búsqueda de padre y hermano les llevará a un viaje hacia Daresh, su tierra natal un lugar no definido del Oriente Próximo, pero no sólo en el espacio sino también en el tiempo, a conocer su auténtico pasado y a comprender mejor la actitud de lo que han conocido de su madre. ¿Y las matemáticas? En la película hay cuatro momentos en los que aparecen las matemáticas de alguna forma (advertencia: las citas textuales están recogidas de la versión subtitulada de la película y pecan de excesivamente escuetas cuando no claramente reduccionistas; es lo habitual cuando algo se subtitula ya que debe dar tiempo de sobra a un lector medio/lento a leer completamente las frases. Algunas palabras las he corregido por mi cuenta, y en otras se explica más abajo el error que se comete como consecuencia precisamente de ese minimalismo): 1.- Jeanne Marwan, la hija, es matemática. En una escena es presentada en la Universidad a sus alumnos como profesora ayudante por un veterano profesor del siguiente modo: Profesor: Las matemáticas como las han conocido hasta ahora se han dirigido a lograr una respuesta estricta, y definitiva por lo tanto, a problemas estrictos y definitivos. Ahora se les introduce en una aventura completamente diferente. El tema será problemas insolubles, que siempre les llevan a otros problemas, acabando como intratables. La gente a su alrededor repetidamente recoge lo que no necesitan. No tendrán ningún argumento para defenderse porque ellas serán de una complejidad agotadora. Bienvenidos a las matemáticas puras, la tierra de la soledad. Voy a presentarles a mi asistente, Sra. Marwan. Jeanne. Jeanne: ¡Hola! Vamos a empezar con la conjetura de Siracusa. 2.- Posteriormente, tras conocer los deseos de su madre, Jeanne confía a su compañero el dilema que se la presenta, y éste le da el siguiente consejo: Profesor: ¿Qué es lo que te dice tu intuición? La intuición siempre tiene la razón. Es por eso que tiene potencial convertirse en un verdadero matemático. Pero aquí vas a necesitar ayuda. A.- tu padre está vivo B.- tienes otro hermano Necesitas saber para que tu espíritu esté en paz. Y no es en la paz de la mente ni en las matemáticas puras. Se toma un punto de partida. Jeanne: Mi padre murió durante la guerra en Daresh. Profesor: Esa es la variante incógnita a la ecuación. Nunca se comienza con la variable incógnita. Jeanne: Mi madre, que viene de un pueblo que se llama Der Om de Fouad. Estudió la enseñanza del francés en la Universidad de Daresh. 3.- Casualmente, su compañero conoce a un colega matemático de la Universidad de Daresh. Ese será el principio del que parte Jeanne. Cuando encuentra a este hombre le explica lo siguiente: - He recibido el mensaje de mi amigo Niv Cohen, pero no puedo ayudarla. Yo doy clases de Historia de las Matemáticas en París XI. En concreto en el periodo en el que Leonhard Euler tuvo éxito. El ciego dio la primera resolución matemática formal al problema de los siete puentes de Königsberg. Eso hubiera desafiado al tribunal de Diderot con el lanzamiento de una cosa así: Señores, π más uno es igual a cero, por lo tanto, ¡Dios existe! 4.- Finalmente, en la resolución de la película, Simon, el hermano gemelo de Jeanne, tratando de causarla el menor daño posible a lo que ha descubierto, la indica: Simon: Uno más uno hacen dos. Eso no puede ser uno. Jeanne: Tienes fiebre. Simon: ¡Jennie! ¿Uno más uno, eso hace uno? Algunas explicaciones En efecto, sólo algunas, ya que de dar todas (en particular la cuarta) le quitaríamos la gracia a la película, y uno de los objetivos de esta sección, además de describir las matemáticas presentes en el cine es animar al personal a ver películas (y no es habitual toparse con películas tan impresionantes como ésta) procurando no destrozar su resolución. 1.- Una compañera y amiga me recomendó que fuera a ver esta película en su estreno en la pasada Semana Internacional de Cine de Valladolid (un saludo, Marta), pero lamentablemente no pude verla en ese momento. El pasado mes, otra compañera me comentó, “Oye, ¿sabes que es la conjetura de Siracusa? Es que fuimos (dos matemáticas) con unos amigos a ver esta película, y quedamos fatal porqué no supimos explicarles de que iba”. Y no es de extrañar porque un gran porcentaje de los que nos dedicamos a esto de las matemáticas (enseñanza, investigación, empresas, etc.) estamos tan a lo nuestro que no nos preocupamos demasiado de lo que podríamos llamar “culturilla matemática”. Sin embargo en este caso, el tema es más engorroso porque por estos lares el nombre de “conjetura de Siracusa” no es el habitual (y conste que esto no es echar balones fuera; yo tampoco supe qué decir). Cuando miré, como hacemos casi todos, en Google, y leí algunas de sus denominaciones alternativas, conjetura de Collatz, problema 3n+1, conjetura de Ulam, algoritmo de Hasse, problema de Kakutani,  conjetura de Thwaites, etc., caí rápidamente en la cuenta. Es más, ¡lo he explicado el pasado trimestre en una clase sobre problemas matemáticos no resueltos (como la protagonista de la película curiosamente) a los alumnos del Máster de Secundaria! Además ya hablamos de él en la reseña nº 19 de enero de 2007 en la descripción de un capítulo de la serie Numb3rs en esta misma sección. Desde luego, tiene delito. Se trata como digo de un problema abierto, aún sin resolver, a pesar de su aparente sencillez: Se toma un número natural (entero positivo) n cualquiera (aunque hay también una variante para enteros en general), y se procede del siguiente modo: si n es par, se divide por 2, si n es impar, se sustituye por 3n + 1. A continuación se siguen estas reglas de modo iterativo mientras se pueda. Pues bien, la conjetura afirma que, sea cual sea el número n del que se parta, indefectiblemente se acaba en el 1 (dicho de otro modo, siempre se cae en el ciclo 4, 2, 1). A simple vista, puede parecer lógico porque hay una división a la mitad, que parece reducir el número, pero por otro lado hay un triple, con lo que, podría ocurrir cualquier cosa, desde que cayéramos indefinidamente en un bucle sin fin, hasta crecer indefinidamente. Pues no, siempre se acaba en la unidad, y esto se ha probado ya (a fecha 18 de Enero de 2009) con el ordenador para todos los números hasta el orden 20 × 258 ≈ 5.764 × 1018.  Pero, por supuesto, esto no sirve para extrapolar nada: se necesita una prueba general. Es muy sencillo implementar esa dicotomía en el ordenador, iterar el proceso y hacer algunas pruebas. Uno se da cuenta rápidamente que el que acabe antes o después no depende del tamaño de n. Así, por ejemplo, partiendo de n = 27 (un número bajo), para terminar en el 1 se necesitan 112 iteraciones, llegando a alcanzar el valor 9232: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Sin embargo para n = 1221, en 39 pasos se alcanza la unidad: 1221, 3664, 1832, 916, 458, 229, 688, 344, 172, 86, 43, 130, 65, 196, 98, 49, 148, 74, 37, 112, 56, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. El matemático alemán Lothar Collatz (1910 – 1990) (foto a la derecha) se interesó por las iteraciones sobre los números enteros, que representaba mediante grafos. Hacia 1937 plantea este problema y lo expone en varios seminarios. En 1952, en Hamburgo, explica el problema a Helmut Hasse (1898 – 1979), matemático alemán que trabajó, entre otros asuntos, en teoría algebraica de números. (Hasse fue quien reemplazó a Hermann Weyl en la Universidad de Gotinga en 1934. A modo de curiosidad, casi siempre se habla de los científicos o personalidades relevantes destacando sus valores humanos, sus compromisos sociales, su progresismo, etc., pero también los hay, como no podía ser de otro modo, de ideas más extremistas. En este caso, Hasse fue un nacionalista de ultra-derecha que solicitó su admisión en el partido nazi en 1937, aunque le fue denegado al tener antepasados judíos). Posteriormente, Collatz lo plantea en una conferencia impartida en la Universidad de Siracusa (Nueva York), razón por la que el problema adopta también este nombre. Paralelamente, el matemático polaco Stanislaw Ulam (1909 – 1984), uno de los participantes en el proyecto Manhattan, trabaja sobre ella en el Laboratorio Nacional de Los Álamos. En la década de 1960, el problema es asimismo difundido y trabajado por el matemático Shizuo Kakutani (1911 – 2004) en las Universidades de Yale y Chicago. Kakutani es autor de un teorema de punto fijo que generaliza al de Brouwer, y que permitió la prueba de la existencia del Equilibrio de Nash en teoría de juegos.  En esos años sesenta, en plena guerra fría, se corrió el rumor de que la conjetura de Collatz era parte de un complot soviético para frenar otras investigaciones de mayor calado de los EE.UU. En 1996, Bryan Thwaites estableció un premio de 1000 dólares para quien lograra resolver la conjetura. (Cada dos años, el IMA, Institute of Mathematics and its Applications, otorga el premio Lighthill-Thwaites al mejor trabajo en matemática aplicada; su denominación alude a sus primeros presidentes, los profesores británicos Sir James Lighthill y Sir Bryan Thwaites). Esta es, a grandes rasgos, la historia de porqué tanta denominación distinta para un mismo problema. Como es fácil de imaginar, la conjetura tiene variantes y una generalización de las que no hablaremos por no extendernos demasiado. Si me gustaría añadir que Collatz fue una persona muy inquieta y con una enorme vitalidad (falleció cuando se encontraba en un Congreso en el que iba a dar una conferencia). Sus intervenciones públicas, y dio muchas, eran siempre todo un acontecimiento. Defensor acérrimo de la matemática aplicada, también son interesantes dos de sus pasiones: la matemática recreativa (inventó varios juegos y propuso un montón (conocidos por Collatz Problems), fáciles de entender pero bastante complicados de resolver), y los llamados “ornamentos geométricos”. Bajo este nombre se engloban todos los adornos utilizados en Arquitectura y Artes decorativas a los que se puede dar una estructura geométrica (bajo mi punto de vista, todos). Desarrolló un sistema propio para caracterizarlos. En uno de sus últimos artículos sobre este tema, abordaba los ornamentos definidos implícitamente mediante valores absolutos. Como consecuencia de este asunto, visitó un gran número de catedrales en todo el mundo buscando nuevos patrones y formas para describir después matemáticamente. Sobre la conjetura de Collatz, Peter Schorer propuso una demostración en 2009. Si alguien quiere profundizar en el tema, en este artículo, se exponen los resultados y se explican los conceptos necesarios para comprender porqué existen dudas sobre la validez de dicha prueba. 2.- El compañero de Jeanne trata de orientarla sobre cómo resolver el dilema que la joven tiene. Aunque los problemas de la vida real no siempre pueden abordarse desde un punto de vista matemático, la indica un procedimiento a seguir a la hora de resolver un problema matemático: encontrar, a partir de los datos conocidos, un punto de partida. 3.- La universidad a la que se hace referencia en esta escena es la Universidad de Paris XI (en francés, Université Paris-Sud 11). Está situada al sur de París y comprende varios campus, el más importante localizado en Orsay. Es una de las universidades más grandes y renombradas de Francia, particularmente en las disciplinas científicas. En el ranking mundial de universidades quedó situada en el puesto 43 en el año 2009, la 18ª en Matemáticas. En el contexto europeo ocupa el 2º lugar en esta disciplina, y la 1ª en Francia. Algunos de los matemáticos franceses más importantes están o han estado vinculados a esta institución, entre ellos los medallistas Fields Jean-Christophe Yoccoz (medalla en 1994), Laurent Lafforgue (medalla en 2002), Wendelin Werner (medalla en 2006) y Ngô Bảo Châu (medalla en 2010). Como es conocido, Euler fue invitado por la zarina Catalina II a pasar una temporada en su corte en Rusia. Allí coincidió con el filósofo enciclopedista francés Denis Diderot (1713 – 1784), famoso por su erudición, su espíritu crítico y su excepcional genio. A lo largo de su vida tuvo varios encontronazos con la religión y sus acólitos, lo que le hizo reafirmar cada vez que tenía ocasión su declarado ateísmo. Esto enojaba a la zarina, y se cuenta que pidió a Euler, famoso por ser capaz de resolver problemas del tipo que fuera (no sólo matemáticos) que le diera una lección. Dicho y hecho. Tras meditar algún tiempo el asunto, un día anunció que disponía de una prueba algebraica de la existencia de Dios. La zarina, siempre dispuesta a aprender y sobre todo a polemizar con lo que fuera, convocó a Euler y Diderot a palacio junto a otros pensadores y cortesanos para asistir a lo que ella suponía iba a ser un interesantísimo debate teológico. Pero Euler, que tampoco tenía un pelo de tonto y para nada pretendía seguirle el juego, explicó ante los presentes, dirigiéndose a Diderot: “Señor, (a + bn) /n = x; y por tanto Dios existe; ¡refútelo!” Diderot, como el resto de los presentes, no tenían demasiada idea de matemáticas, y fue incapaz de contestar nada medianamente coherente, permaneciendo en silencio. Humillado, abandonó San Petersburgo y regresó a París. En su ausencia, Euler continuó disfrutando de su retorno a los estudios de teología e hizo públicas algunas otras demostraciones fingidas sobre la naturaleza de Dios y del alma humana. De esta anécdota proviene la referencia de la película, salvo que esa no es la expresión empleada. Lo que se dice en el subtítulo no tiene demasiado sentido (π + 1 = 0), porque no es correcto. Lo que dice el protagonista es la famosa igualdad, debida también a Euler, que relaciona las cinco constantes más importantes de las matemáticas (el número e del Análisis Matemático, π de la Geometría, la unidad imaginaria i del Álgebra, 0 y 1 las bases de la Aritmética al ser los elementos neutros de la adición y la multiplicación, respectivamente): e π i + 1 = 0 Es claro que en el subtitulado de la película se han “comido” la exponencial y la i compleja. La película El título original en francés, que no se ha traducido al castellano, viene a designar todo aquello que es destruido por el fuego. En este caso, y referido a la protagonista, una traducción aceptable podría ser “Quemada” o alguna similar que reflejara la destrucción psicológica y personal de la protagonista, más que la física. El director y guionista de la película (en la foto), Denis Villeneuve nació en Trois-Rivières (Québec, Canadá) en 1967. Su primer éxito lo logró en 2000 con Maëlstrom con el que obtuvo el Premio de la Crítica en Berlín. Incendies es su cuarta película, que más allá de lo comentado relativo a las matemáticas, me permito recomendaros simplemente como amantes del cine.

Jueves, 05 de Mayo de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico