111. 110. Las relaciones peligrosas

Madame Tourvel, el vizconde de Valmont, Cécile Volanges,…, probablemente no nos suenen demasiado a nada matemático, y mucho menos Roger Vadim, su realizador, pero es que hay mucho cine antes de Stephen Frears o Milos Forman. Eso sí, desconocido por casi todo el mundo, aunque nos puede dar gratas sorpresas. Ficha Técnica: Título Original: Les liaisons dangereuses. Nacionalidad: Francia / Italia, 1959. Dirección: Roger Vadim. Guión: Claude Brulé, Roger Vadim y Roger Vailland, basada en la novela homónima de Choderlos de Laclos. Fotografía: Marcel Grignon, en B/N. Montaje: Victoria Mercanton. Música: James Campbell, Duke Jordan y Thelonious Monk. Duración: 106 min. Ficha artística: Intérpretes: Jeanne Moreau (Juliette de Merteuil), Gérard Philipe (Vizconde de Valmont), Annette Stroyberg (Marianne Tourvel), Madeleine Lambert (Mme Rosemonde), Jeanne Valérie (Cécile Volanges), Nicolas Vogel (Jerry Court), Boris Vian (Prévan), Gillian Hills (Una amiga de Cécile), Paquita Thomas (Nicole), Jean-Louis Trintignant    (Danceny), Simone Renant (Mme Volanges). Sinopsis: Aunque esté en la mente de todos el argumento a través de las versiones más recientes, conviene que lo recordemos un poco, y de paso observemos algunas diferencias. Esta versión está enmarcada en la Francia actual (bueno en la de finales de los años cincuenta del siglo pasado, fecha de producción de la película). Juliette de Merteuil es una bella mujer bien considerada socialmente que está felizmente casada con el vizconde de Valmont, un diplomático distinguido. Manteniendo una apariencia de respetabilidad burguesa, Juliette y su marido se entregan a juegos crueles de seducción para su propia diversión. Cuando Juliette se entera de que un amante suyo la deja para casarse con Cécile Volanges, su prima de 17 años, se indigna y planea vengarse. Engatusa a Valmont para que seduzca a la inocente joven antes de la boda. Cécile por otro lado, está enamorada de Danceny, un estudiante de matemáticas empobrecido, pero éste insiste en que aún no está listo para casarse. Esto convierte a Cécile, que no desea casarse con Jerry Court, en una presa fácil para Valmont. Mientras está llevando a cabo esta misión, Valmont cae bajo el hechizo de otra mujer, Marianne Tourvel, de fuertes convicciones. La fidelidad de Marianne a su marido es vista por Valmont como un desafío, un reto personal. Cuando Juliette escucha de esta victoria de su marido, duramente ganada, deduce, correctamente, que Valmont se ha enamorado de Marianne y eso no lo va a permitir, cueste lo que cueste... Las matemáticas El paciente y ordenado lector se habrá percatado una fugaz mención a éstas en la descripción de la sinopsis (el transversal que haga el favor de volver atrás, a leerla). Cécile aparece en un par de escenas (muy breves) estudiando, y en otro momento hablando con su enamorado, también tangencialmente de matemáticas. En la célebre novela epistolar, Danceny daba clases de música a la joven Cécile; en esta adaptación al presente la música se ha cambiado por las matemáticas. Danceny vive en una pequeña habitación de hotel, se va a examinar en junio, y sus intenciones son dedicarse a la investigación. Confiesa adorar las matemáticas. En la imagen al pie, vemos a Cécile frente a una pizarra en el apartamento de Danceny, en la que observamos fórmulas físicas, parece que algo sobre péndulos y el movimiento armónico simple, dado que la expresión que más claramente se aprecia es , que responde al periodo de oscilación de un péndulo físico. Delante un P XII, que puede indicar que está resolviendo el Problema XII de una lista. Es probable que se trate de calcular el momento de inercia I de un objeto plano, una de las aplicaciones del péndulo físico (no confundir con el péndulo simple; un péndulo físico o péndulo compuesto es cualquier cuerpo rígido que oscila libremente alrededor de un eje horizontal que no pasa por su centro de masas). El asunto del péndulo me recuerda que, en 1790, el estadista Charles-Maurice de Talleyrand-Périgord, propuso la reforma del sistema de pesas y medidas. El Comité de la Academia de Ciencias francesa encargado del asunto (en el que estaban entre otros Lagrange y Condorcet) barajó dos posibilidades para elegir la unidad de medida básica: la longitud del péndulo que bate segundos, o la medida de la longitud del meridiano terrestre. Como sabemos se eligió como referencia la segunda (recordemos que en tal medida, por triangulación, estuvo directamente involucrado el español Jorge Juan), pero no deja de ser curioso (a lo mejor sólo es casual, pero cada vez estoy más convencido de que casualidades de este tipo son muy “forzadas”) que los guionistas elijan un ejercicio de péndulos en una traslación de una obra literaria prácticamente contemporánea a aquel hecho. En otro momento nos encontramos a Cécile tratando de estudiar después de, bueno, digamos, tener un momento apasionado (ya se sabe que cualquier momento es bueno para hacer matemáticas, je je je; otros se fuman un cigarrillo). Tiene lugar el siguiente diálogo: Cécile: Ayúdame con estos problemas. Danceny: Ya tengo los míos. Cécile: Pero no son de geometría descriptiva. No entiendo nada. Danceny: ¿Qué te pasa? Cécile: No consigo hallar la hipotenusa. Danceny: Dame. Es muy fácil hallar la hipotenusa. Ha de ser perpendicular a la horizontal del plano. La pluma. ¿Cuál es el camino más corto entre dos puntos? Cécile: La línea recta. Danceny: Debo de ser imbécil. El camino más corto es la línea recta. Tengo que ir a su casa. Está claro que Danceny está pensando en algo muy distinto al problema de Cécile. Ésta menciona la Geometría descriptiva. Seguramente el lector no especializado habrá oído alguna vez diferentes adjetivos que acompañan a la palabra Geometría (Analítica, Cartesiana, Proyectiva, Euclidea, Algebraica, Hiperbólica, Esférica, Fractal, etc.). Cada una de ellos especifica el punto de vista desde el que se estudian los objetos geométricos (Planos y Tridimensionales que son los que podemos representar gráficamente; pero la Geometría estudia y trabaja también con objetos de mayores dimensiones; no olvidemos que las matemáticas generalizan). En este caso se llama Geometría Descriptiva al conjunto de métodos y herramientas mediante las cuales es posible estudiar y representar objetos tridimensionales en el plano. Por ello está muy relacionada con el dibujo técnico (hoy en día prácticamente todos los volúmenes de Geometría Descriptiva los relacionaríamos más con esta disciplina que con la geometría) y la geometría proyectiva. No tiene por tanto mucho que ver con el cálculo de una hipotenusa. Vamos a la versión original en francés. Lo de la geometría descriptiva está tal cual (“Mais toi, c'est pas de la géométrie descriptive. Je n'y comprends absolument rien”). Sin embargo, en el resto del diálogo no se habla de hipotenusa por ninguna parte. Veamos (entre paréntesis pongo la traducción “correcta”): Danceny: Qu'est-ce qui t'arrête?  (¿Que te pasa?) Cécile: Je n'arrive pas à construire ma ligne de pente. (No puedo construir la línea de caida). Danceny: Donne. C'est pourtant simple. (Hecho. Es muy sencillo). La ligne de pente est forcément perpendiculaire à l'horizontale du plan. Stylo. (La línea de caída es necesariamente perpendicular al plano horizontal. Pluma). Quel est le chemin le plus court d'un point à un autre? (¿Cuál es el camino más corto de un punto a otro?) Cécile: C'est la ligne droite. (La línea recta). Danceny: C'est moi qui suis un imbécile. (Debo de ser imbécil). Le chemin le plus court, c'est la S.N.C.F. ! (El camino más corto es el S.N.C.F.). Je la retrouverai chez elle. (La encontraré en su casa). La “línea de caída” es la de menor pendiente, la perpendicular en definitiva. Y la S.N.C.F. son las siglas de Société Nationale des Chemins de Fer Français, o sea, la Sociedad Nacional de Ferrocarriles Francesa. Así pues, ¿dónde está la hipotenusa? En ninguna parte, un nuevo ejemplo de “invención” en el doblaje, y en efecto, lo que está haciendo es algún ejercicio de dibujo, y por tanto de geometría descriptiva (en la foto, en el cuaderno, no hay matemáticas, sólo dibujos). Por cierto, el actor que interpreta a Danceny, Jean-Louis Trintignant, lo vemos años después ejerciendo de ingeniero de Michelín en otra película, leyendo libros de matemáticas mientras desayuna y discutiendo sobre el azar y las probabilidades a propósito de la obra de Pascal. Seguramente el lector sepa de qué película hablamos... La película La idea que de Roger Vadim (1928 – 2000) ha quedado entre el público y muchos críticos es la un realizador superficial, que mostró a la mujer de un modo decorativo y degradante (erotismo explícito y presentación de la mujer como mero objeto del deseo masculino), y que sus películas no persiguen más que entretener, aunque eso sí, le suelen reconocer la autoría de una cierta estética que marca ciertos parámetros fundamentalmente en los años sesenta del siglo pasado. Ciertamente sus numerosas conquistas y relaciones sentimentales en su vida personal ayudan a conformar esa opinión. Reconozco no haber visto demasiadas películas suyas (Barbarella, y poco más, y ya tuve suficiente), sin embargo al igual que el mejor escribiente siempre echa un borrón, un director como éste tiene alguna cosa interesante. Y es sin duda esta película. Vadim fue el primero en atreverse a llevar a la pantalla este clásico y provocador relato epistolar, pero no hace una adaptación de época sino que traslada junto al novelista Roger Vailland y al dramaturgo Claude Brulé a la época contemporánea. Eso les conlleva a una denuncia de la Sociedad de autores francesa por considerar que el título de la película incitaba al error. Los llevan a juicio, y representados por el joven abogado François Mitterrand, lo ganan con el único requisito de que la película se retitule como Les liaisons dangereuses 1960. Una de las constantes de la vida del realizador fue jugar con la provocación y, al igual que el autor, Choderlos de Laclos en su momento, esta película provocó en Francia en su estreno una reacción bastante hostil; sin embargo no es menos cierto que el retrato que muestra de la sociedad francesa no andaba demasiado desencaminado. Respecto a la película propiamente dicha, y aunque las comparaciones sean odiosas (pero aquí, es inevitable tener en mente las adaptaciones más conocidas), hay que decir (los críticos actuales lo confirman) que la profundidad que logra dar a los personajes femeninos no lo consigue ni Stephen Frears (Las amistades peligrosas, 1988) ni Milos Forman (Valmont, 1989), a pesar de hacer unas películas más cuidadas en la forma (gracias a un presupuesto incomparable con el que tuvo Vadim, por supuesto). La de Frears es un drama eficaz y bastante efectista. Forman le da un toque más romántico. Pero es Vadim quien llega al fondo de los personajes, de la virtud y de la maldad, y sin golpes de efecto, sirviéndose de unas interpretaciones sutiles y absolutamente precisas, logrando que aunque la libertad sexual haya avanzado tanto respecto a la época en que se escribió, siga removiendo las tripas. Muy acertada a este respecto la cita que se escoge nada más iniciarse la película: «Algunos de los personajes que el autor pone en escena tienen tan malas costumbres que es imposible suponer que hayan vivido en nuestro siglo, en el que, como sabemos, todos los hombres son honestos y todas las mujeres son modestas y discretas». Choderlos de Laclos, 1792. Pero no sólo el guión y las soberbias interpretaciones hacen recomendable su visionado. La atmósfera que Vadim consigue mediante una fotografía en claro-oscuro muy selectiva, los “zooms” admirablemente elegidos para empujarnos literalmente al interior de los personajes y sus conflictos internos cuando aún no estaban de moda (y que tanto hastío y pesadez provocarían en los setenta por artificiosos), y sobre todo, el ingrediente esencial y más innovador de la película: su banda sonora de jazz, a cargo en su mayor parte del legendario pianista y compositor Thelonious Monk, con unas pocas piezas adicionales de Art Blakey y los Jazz Messengers. En seguida nos viene a la mente que Vadim pudo estar directamente influenciado por la reciente Ascensor para el cadalso (Louis Malle, 1958), buscando una modernidad que lo distinguiera de los presuntuosos melodramas franceses de aquella década. Todo ello para lograr un aire de decadencia, tan enigmático y atractivo como los personajes principales, Merteuil y Valmont. Por supuesto en España no se estrenará hasta el 19 de junio de 1974, quince años después de su estreno en Francia (9 de septiembre de 1959). Como curiosidad, fatídica en este caso, dos de los actores de la película fallecieron al poco de estrenarse: el actor principal, el galán francés e los n este caso, Francia (9 de septiembre de 1959).os odiosas, hay queGérard Philipe, con 36 años, víctima de un fulminante cáncer de hígado, y el polifacético dramaturgo Boris Vian, que hace una breve aparición. Ambos tienen sendas calles dedicadas en París, como vemos en las imágenes. El autor Francia y el siglo XVIII estarán siempre unidos a la Revolución Francesa, lo que eclipsa otros asuntos, algunos nada desdeñables, como el relativo a las matemáticas. Como describe Boyer en su Historia de las Matemáticas, se encuentran además entre dos siglos, el anterior y posterior, especialmente determinantes en el desarrollo de esta disciplina, otro factor que oculta su valía. La mayor parte de los matemáticos franceses del siglo XVIII no se encontraban en las universidades, sino relacionados con la iglesia, con el ejército, daban clases particulares o eran requeridos por alguna monarquía. Las academias militares en particular gozaban de gran prestigio, y su interés estaba puesto sobre todo en las enseñanzas técnicas. Las matemáticas (la física y la química también) tenían cierta consideración, quizá también favorecidas porque célebres personajes (como el mismísimo Napoleón Bonaparte) hicieran gala de su conocimiento y práctica (“El progreso y el perfeccionamiento de la matemática están íntimamente ligados a la prosperidad del Estado”, Napoleón dixit). No es extraño por tanto que Pierre Ambroise Choderlos de Laclos (1741 – 1803), oficial militar de vocación, tuviera un interés especial por las matemáticas, y le determinara su ingreso en el cuerpo de artilleros. La Artillería es la unidad militar que maneja todas aquellas armas de guerra que disparan proyectiles a largas distancias utilizando cargas explosivas como medio impulsor. Simplemente de tal definición se infiere que el artillero debe tener cierta idea no sólo del manejo de dicha armas, sino del cálculo y la estimación de distancias, ángulos, fuerzas de lanzamiento y retroceso,... Junto a los ingenieros constituyen la unidad en la que más conceptos de tipo matemático son necesarios. Así, Choderlos de Laclos, décimo hijo de una familia media y con ciertos anhelos de triunfar, hace carrera de artillero llegando a capitán. Sus biógrafos le atribuyen el diseño y utilización de una bala hueca rellena de pólvora como munición, en definitiva, el obús, y lo definen como un experto en balística (estudio científico de todo lo relacionado con el movimiento de los proyectiles: análisis de fuerzas, trayectorias, rotaciones y comportamientos diversos de los proyectiles en diferentes ambientes de empleo, además de la forma del proyectil, sustancias, temperaturas, presiones gaseosas, etc., situaciones que suceden en las diferentes fases del disparo, desplazamiento del proyectil a lo largo del ánima y salida al exterior, trayectoria e impacto, entre otros asuntos). Para los curiosos, su biografía resulta de lo más clarificador sobre su persona. Aburrido de la vida en los cuarteles (o sea sin ningún conflicto bélico en el que enrolarse), se empieza a interesar por la literatura, comenzando a escribir alguna que otra obra no demasiado afortunada. Sin embargo alentado ante la idea de “escribir una obra que se salga de lo corriente, que haga mucho ruido, y que siga resonando sobre la tierra cuando yo haya muerto”, en 1778 empieza a escribir Las relaciones peligrosas. La obra se publica en cuatro volúmenes el 23 de marzo de 1782, y causa un gran escándalo, ya que plasma la amoralidad de la clase noble, mostrándola como perversa, egocéntrica e hipócrita, y detallando comportamientos en las relaciones personales no demasiado edificantes. Lógico, por otro lado, siendo seguidor de las ideas de Jean-Jacques Rousseau. Artillería en España Al hilo de este asunto, simplemente apuntar que el año pasado se celebró el 250 aniversario de la fundación de la Academia de Artillería de Segovia, lo cual nada pinta aquí salvo que entre los eventos que se celebraron tuvo lugar un Congreso: Las nuevas metodologías en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. En la conferencia inaugural, se reivindicó dicha Academia de Artillería como cuna de las matemáticas en Castilla y León. La historia es la que es, aunque a veces  nos hubiera gustado que fuera más hollywoodense. En dicha conferencia (que se puede ver en el enlace anterior), se hizo un sintético repaso por la institución y su relación con las matemáticas, y entre lo más llamativo me resultó (estuve presente) los estudios matemáticos que se exigía a un artillero: Geometría elemental, Trigonometría, Álgebra, Cálculo diferencial e integral, y Mecánica (ésta más relacionada con la Física). Interesante su biblioteca y el museo de instrumentos científicos, a las que corresponden las dos fotografías, respectivamente. Agradecimiento y Aviso No sería justo si no dedicara al menos una cita a mi compañero Miguel Martínez Panero, del Dpto. de Economía Aplicada de la UVa, fiel seguidor de estas reseñas, que me habló de esta película (hace mucho, en julio de 2013; disculpas por la tardanza en dedicarle una reseña). A él hay que agradecerle que aparezca por aquí. Y el aviso. Como es costumbre, la reseña de junio aparecerá un poco más tarde de lo habitual (mediados o finales), y consistirá en el ya célebre y esperado Concurso del Verano, para el que ya estoy configurando unas cuestiones la mar de sugerentes... alfonso@mat.uva.es

Jueves, 05 de Mayo de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

112. 109. Reglas de Cálculo en el Cine (I)

A veces, no muchas, pero sí algunas, uno tiene que hacer un cambio en lo que tiene pensado a petición de algunas personas (es lo que tienen las redes sociales). Es el caso de la reseña de este mes, que ha surgido sobre la marcha....Por cierto, hay tantas referencias que la dividiremos en varias partes (no necesariamente consecutivas). Hace unos días (concretamente el pasado 1 de marzo) visité la exposición Érase una vez... la Informática en el Museo de la Ciencia de Valladolid. Una de las piezas expuestas es una reproducción en grande de una regla de cálculo, una de las herramientas indispensables para realizar ciertos cálculos hasta no hace mucho (yo reconozco no haberla utilizado nunca; las calculadoras de bolsillo ya existían en mi infancia). Y colgué una foto en la página de Facebook dedicada a Las Matemáticas en el Cine (para los que no la conozcan, se trata de una página en la que de vez en cuando voy subiendo fotogramas de las películas que aparecen en el libro y que allí no aparecen, o de películas nuevas, en definitiva de cosillas sueltas que van apareciendo con una explicación mínima, y también de pequeños retos de averiguar a qué película corresponde tal o cual imagen), y propuse a quien se acercara por ella indicar películas o series de televisión en las que aparezca dicha herramienta. No tuve mucha suerte (apenas un par de referencias), y entonces decidí ampliar la lista con algunas que yo conocía o he ido recopilando en la red, indicando en dónde las encontré en ese caso. Aún no he subido más de media docena, pero he comprobado, tanto por los comentarios como por el número de visitas, que ha tenido cierta repercusión, y por ello, he decidido dedicarle una reseña más amplia en este rinconcito de DivulgaMAT. En un principio mi idea era presentar este instrumento, fundamentado en las escalas logarítmicas y en las propiedades de este concepto. Sin embargo es tanta la información en internet, y en el propio portal DivulgaMAT que en este sentido me limitaré a indicar los enlaces correspondientes que me han parecido más interesantes, y pasar directamente a mostrar algunas de sus apariciones (sólo algunas, porque hay un montón) en las películas o las series de televisión. Sin duda, la página más completa en castellano, en la que uno puede pasarse horas aprendiendo, curioseando y comprobando la gran cantidad de usuarios, y el interés que aún hoy despierta este instrumento, es la página de los Amigos de la Regla de Cálculo. Prácticamente todo lo que deseemos saber aparece en ella (Historia, Funcionamiento, Manuales, Simuladores, Tipos, Fabricantes, Cómo construirlas, Un foro, exposiciones, vídeos en clases de Secundaria (nuestro compañero y colaborador en DivulgaMAT Angel Requena, por ejemplo, tiene uno), un apartado de compra y venta,..., en fin prácticamente todo). Sólo añadir otro estupendo artículo publicado en la revista Investigación y Ciencia en julio de 2006: Historia de la regla de cálculo, de Cliff Stoll. Clifford Stoll es físico, astrónomo, experto en ordenadores y escritor. Además ha colaborado en cadenas de radio, ha participado en videos de divulgación, fabrica y vende botellas de Klein, y da clases, entre otras ocupaciones  (datos tomados de la Wikipedia). Desde el enlace, se puede descargar el artículo a un módico precio. Vamos por tanto a lo nuestro, al Cine. Después de proponer títulos en la página de FB mencionada arriba, enseguida me contestó Rubén Quejigo proponiendo Apolo 13 (Apollo 13, Ron Howard, EE. UU., 1995). Las dos imágenes siguientes están tomadas de la película Prácticamente hasta los años setenta del siglo pasado, la regla de cálculo era inseparable de cualquier ingeniero o científico, en algunos casos, también militares, que la llevaban en el bolsillo de la camisa o de la típica bata blanca, de tal modo que constituía prácticamente una seña de identidad. Con ella ejecutaban multiplicaciones, divisiones, inversos, extraían raíces, calculaban potencias, proporciones, obtenían razones trigonométricas, con algunas específicas hacían conversiones en diferentes unidades métricas, de peso, capacidad, etc., y con una destreza envidiable. Otra muestra la tenemos en el general Carter interpretado por Edmond O´Brien en la popular Viaje Alucinante (Fantastic Voyage, Richard Fleischer, EE. UU., 1966). La imagen corresponde a un momento complicado en el que los encargados del centro de control del CMDF (Fuerzas Disuasorias de Miniaturas Combinadas) proponen extraer el submarino miniaturizado que recorre el cuerpo del profesor al que han dejado en estado de coma. Recuérdese que la misión de la expedición es operar al profesor desde el interior de su cuerpo (este profesor posee una información secreta que hay que recuperar: cómo lograr que las miniaturizaciones duren más de una hora). Quieren extraerlo porque han encontrado una fístula arteriovenosa que los obliga a atravesar el corazón, y esto los retrasará y quizá ni puedan realizar su misión en el plazo de una hora. Entonces el general Carter saca de su chaqueta la regla de cálculo, y llega a la conclusión de que en 51 minutos pueden lograrlo, dentro del plazo establecido por tanto. Otra de las aportaciones es la de Mónica Sangrador, una fiel visitante de la página, con una película que no conocía, El viento se levanta (Kaze Tachinu, Hayao Miyazaki, Japón, 2013), la duodécima y última por ahora de Miyazaki. Narra la vida del ingeniero aeronáutico Jirō Horikoshi, el hombre que diseñó el avión de combate Zero, que fue usado en el ataque a Pearl Harbor durante Guerra del Pacífico de la Segunda Guerra Mundial. Hay por tanto varias escenas de cálculos, como la de la imagen que aportó Mónica, en la que observamos en la parte inferior a uno de los trabajadores con una regla de cálculo en la mano. Una de las fotos más compartidas y que más han gustado de las que he puesto ha sido la de Mr. Spock (Leonard Nimoy) con una regla de cálculo circular, modelo muy utilizado en aviación y aeronáutica (¡¡como corresponde, obviamente!!). Está claro que hay mucho trekkie suelto por ahí, aunque no hayan sabido identificar de qué episodio era la imagen. Son varios en los que Spock ha necesitado echar mano de este instrumento, lógico al estar en el puente de mando. La imagen corresponde al episodio ¿Quién llora por Adonis? (Who mourns for Adonais?, Marc Daniels, EE. UU., 1967). Se trata del episodio 31 de Star Trek: La serie original (el 33 en ser producido; siempre hay un desfase de dos unidades porque hubo dos episodios piloto); si se cuenta por temporadas, el segundo de la segunda temporada. Otro episodio de esta serie en el que aparecen claramente utilizando reglas de cálculo es Las maniobras de la Carbonita (The Corbonite Maneuver, Joseph Sargent, EE. UU., 1966), tercer episodio de la primera temporada, el primero después de los dos episodios piloto, aunque fue emitido en décimo lugar. Si se hubiera respetado el orden correcto, sería la primera vez que aparece Mr. Spock. La edición remasterizada en DVD ha incorporado algunos cambios en imágenes y gráficos por CGI más modernas y creíbles que las originales (en este enlace se puede ver gran parte del episodio al lado del remasterizado). En la imagen correspondiente a este episodio vemos nuevamente sobre la mesa de la sala de reuniones (concretamente al teniente Dave Bailey (el actor Anthony Call, el que va de rojo) utilizando el modelo Jeppesen B-1 Slide Graphic Vector Computer. Por cierto, ¿qué os parece la idea de utilizar un cubo con caras de diferente color girando en el espacio como mojón de los límites de la Primera Federación (ver imagen)? ¿Y engañar a Balok con el farol de la carbonita? ¿Póker o ajedrez? (Esto último sólo para trekkies convencidos, ja ja ja). En el siguiente capítulo, Las mujeres de Mudd (Mudd’s Women, Leo Penn, EE. UU., 1966) también hay reglas de cálculo, pero es especialmente curioso tanto por sus referencias sexuales (no me imagino cómo sería el doblaje español de esta época), como por tener como guionista al excelente Richard Matheson (entre las películas llevadas al cine basadas en obras suyas o directamente guionizadas por él, El increible hombre menguante, Soy leyenda (en sus tres versiones cinematográficas), El diablo sobre ruedas, o la serie Twilight Zone). Gran parte de esta información, junto con más imágenes de StarTrek y las reglas de cálculo las he extraído de esta página (yo no soy demasiado fan de StarTrek, ni de series de televisión en general, lo confieso). Otra aparición muy conocida tiene lugar en El vuelo del Fénix (The Flight of the Phoenix, Robert Aldrich, EE. UU., 1965). En ella un avión con catorce pasajeros de muy diferentes procedencias y ocupaciones ha hecho un aterrizaje de emergencia cuando sobrevolaban el desierto del Sahara por culpa de una tormenta de arena. Son varias las opciones que se les ocurren para salir de allí (están completamente incomunicados). Una de ellas la propone el diseñador aeronáutico alemán Heinrich Dorfmann (Hardy Krüger), que en la foto está regla de cálculo en mano, explicando al resto de compañeros cómo construir un pequeño avión, utilizando para ello partes del avión siniestrado, desarmando y cortando las alas en buen estado y uniéndolas al único motor no averiado, además de reemplazar el tren de aterrizaje por patines hechos de planchas de metal. Tienen algunas herramientas y equipos que pueden servirles para este propósito. Quizá haya algún lector que se muestre sorprendido por la presencia de una regla de cálculo en la película Titanic (Titanic, James Cameron, EE. UU., 1997), (en la imagen, delante del libro) pensando en un anacronismo (recordemos que el trasatlántico se hundió en 1912). La Regla de Cálculo la inventó William Oughtred, un clérigo inglés, en 1622. Robert Bissaker construyó en 1654 la primera, si bien es cierto que no sería hasta 1850 aproximadamente cuando empezó a popularizarse. De hecho Augustus de Morgan en aquella época se lamentaba de la reticencia a utilizar este instrumento. En 1814, Peter Roger presentó una regla de cálculo doblemente logarítmica, con la que se ampliaba la capacidad de cálculo a potencias y raíces de exponente fraccionario. Con los años sus capacidades se fueron ampliando a más decimales de precisión, añadiendo marcas con constantes habituales (como π, o e) y se particularizaron por profesiones, apareciendo reglas de cálculo específicas para químicos (con masas moleculares grabadas), ingenieros navales (con relaciones hidráulicas), por citar un par de ejemplos concretos. Durante la segunda guerra mundial su uso era habitual, y a partir de entonces, como se dijo anteriormente, su presencia era obligada entre los técnicos. Las últimas imágenes, por ahora, corresponden a la película Hindenburg (The Hindenburg, Robert Wise, EE. UU., 1975). Este dirigible se incendió en 1937 al aterrizar, causando la muerte de la tercera parte de los pasajeros. ¿Sabéis que segunda función presentaba la película de este artilugio? alfonso@mat.uva.es

Martes, 12 de Abril de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

113. 108. OBELISKOS

Se acerca la Semana Santa, y las televisiones (¡¡gran imaginación!!) suelen programar películas de corte bíblico o histórico. Y con sus limitaciones argumentales (la época de producción es la que es), normalmente las clásicas siguen siendo la mejor opción. Y en algunas, hasta podemos encontrar algo de matemáticas... Prescindiremos en esta ocasión de la ficha técnica y artística, dado que sólo nos vamos a referir a una escena concreta, y no a la película íntegra. Todo un clásico: Los diez mandamientos, (The Ten Commandments, EE. UU., 1956), de Cecil B. de Mille. ¿Qué matemáticas podemos encontrar en ella aparte del número del título? Pensemos medio minuto.... Vaya el título de la reseña, lo delata. Durante el primer cuarto de la película, Moisés (Charlton Heston), hijo adoptado por el faraón Seti (Cedric Hardwicke) (supongo que todo el mundo conoce aquello de que fue salvado de las aguas por la hija del faraón que no podía tener descendencia), resulta ser un competente ingeniero al que Seti encarga erigir en su nombre toda una ciudad, ante la indolencia del hijo legítimo del faraón, Ramsés (Yul Brynner). Uno de los momentos más delicados de la construcción es el levantamiento de los enormes obeliscos que anuncian la entrada a la ciudad. En ese instante, inoportunamente, se presenta el faraón que se molesta por parecer no ser bien recibido. Esta es la escena (que puede verse aquí; desde el minuto 0:53): Baka: Esa pendiente exige más presión para levantarla. Hace falta más arena. Moisés: Yo voy a arriesgarme. Queda poco tiempo para el día del aniversario. Baka: Y si la piedra se parte, nos partimos con ella. Moisés: ¿Preparado el sistema de señales? ¡Flámula Azul! Capataz: ¡Flámula azul! ¡Quitad los calzos! Señalero: Calzos quitados. Moisés: ¡Flámula verde! Capataz 2: ¡Los maceros! ¡Preparados! Señalero: Maceros a punto. En ese momento, se presenta el faraón Seti acompañado de su hijo Ramsés. Moisés lo advierte y se quita un guante contrariado; los demás reverencian al faraón. Seti: ¿No te complace verme aquí? Moisés: Mucho, Gran Faraón. Pero ahora tengo algo muy importante que hacer. ¡Preparada flámula roja! Seti: Sí, ya me lo había dicho Ramsés. ¿Y es más importante que obedecer mis órdenes? Moisés: Tú me ordenaste que terminara esta ciudad. La tensión desafiada es enorme. No podemos esperar. ¡Flámula roja! Capataz 2: ¡Flámula roja! ¡Descargad! El obelisco va elevándose. Producto de la tensión se van rompiendo a trozos la plataforma de madera sobre la que descansa. La fuerza hace que varios obreros (esclavos, en este caso) que sujetan las cuerdas para que el obelisco siga una trayectoria y no se vaya a un lado, sean despedidos por el aire. Setí: ¡Se quebrará! Moisés: Hay 2000 esclavos en las maromas. El obelisco se acaba poniendo en pie con gran expectación de todos. Moisés: Ahí tienes el obelisco de tu aniversario. Baka, que un millar de esclavos retiren la arena para que el obelisco quede bien asentado en su base. Moisés: ¿Satisfecho el faraón? Seti: Del obelisco, sí, pero no de ciertas acusaciones que se han hecho contra ti... Hasta aquí lo relativo al obelisco (la escena puede seguirse hasta el final en el enlace anterior). Digamos sobre el diálogo que, está bastante bien doblado respecto a la versión original. Es ligeramente diferente la primera frase de Baka que en el original dice “Esa caída pone demasiada tensión en la piedra. Necesitamos más arena”, que bajo mi punto de vista es más correcta. Para levantar el obelisco la pendiente no exige más presión, en todo caso exige más fuerza, pero no se entiende lo de “presión”. En cambio, en la versión original, que la pendiente ponga mucha tensión para levantar el citado obelisco, sí es correcto. En cualquier caso, esta superficie tridimensional parece “confundir” a mucha gente, porque a lo largo de la Historia ha sido objeto de múltiples atenciones y desplantes. Para empezar, si buscamos en el diccionario de la Real Academia Española de la Lengua su definición, nos encontramos con lo siguiente: Del lat. obeliscus, y este del gr. ὀβελίσκος obelískos, dim. de ὀβελός obelós 'espeto', usado en sent. irón. 1. m. Pilar muy alto, de cuatro caras iguales un poco convergentes y terminado por una punta piramidal muy achatada, que sirve de adorno en lugares públicos. 2. m. Señal que se solía poner en el margen de los libros para anotar una cosa particular. Creo que no hace falta tampoco comentar demasiado con términos como “muy alto”, “un poco”, “muy achatada”. Vamos, una definición “súper-precisa”, con la que alguien que no haya visto nunca uno le queda claro el concepto. Tampoco en algunas páginas de internet dedicadas en teoría a aclarar dudas, se quedan atrás. En alguna se puede leer “poliedro que se obtiene al truncar un cuña con un plano paralelo a la base”. ¿Qué pasa que las “cuñas” son estándar? Porque yo puedo imaginar muchas cuñas (entendiendo por cuña lo que entiende todo el mundo) diferentes que desde luego no proporcionan obeliscos al cortarlas por un plano de esos. Sinceramente, da la impresión de que este tipo de definiciones son a posteriori de conocer qué es un obelisco, y sencillamente tratan de describirlo lo más aproximadamente que saben con pocas palabras. Y eso en matemáticas sabemos que no vale. El diccionario británico lo hace “algo” (el entrecomillado es sarcástico) mejor: Pilar de piedra de sección transversal cuadrada o rectangular y caras laterales que se estrechan hacia una parte superior piramidal, que a menudo se utilizó como monumento en el antiguo Egipto. Si acudimos finalmente a la CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, nos dice que es un “poliedro formado por dos rectángulos paralelos, no congruentes entre sí, cuyas caras laterales son trapecios”. Y acompañando la definición aparece la imagen de la derecha. ¡¡¡Bien!!! Por fin sabemos lo que es un obelisco. La pirámide que, en efecto los egipcios añadían en la parte superior, no es parte de la definición geométrica de obelisco. Era una pirámide de base el rectángulo superior del obelisco, pero cambiaba la pendiente que los trapecios llevaban desde la base. Se llama piramidión, y el colocarla tenía que ver con su concepción simbólica de los rayos del Sol (para los egipcios, el Sol era el que otorga vida). Por otro lado el obelisco también representa la estabilidad. Ellos tallaban el conjunto en una sola pieza, pero en realidad, matemáticamente, son dos objetos diferentes, un tronco de pirámide y otra pirámide, que, digámoslo de nuevo, cambia la pendiente de las aristas al llegar al piramidión. Para el acervo popular, el obelisco es identificado con el obelisco egipcio, pero como vemos, no es lo mismo. El problema de la erección Que nadie piense mal cuando lea el título del párrafo, estamos hablando de obeliscos. Quizá por ello, desde la misma cultura egipcia, se lo ha relacionado también con el poder, con la forma fálica, porque ese órgano, justificaban, proporciona vida. Quizá también por eso, el uso de la palabra obelisco (entendiendo en este contexto por tal el egipcio) estaba prohibido en la Biblia, y fue sustituida por “imágenes”. Por ejemplo, en Éxodo 34:13, se dice, “Derribaréis sus altares, y quebraréis sus estatuas, y cortaréis sus imágenes de Asera”. No podemos asegurar cuando realmente se refiere a imágenes o a obeliscos (la seudociencia iluminada ha ido emborronándolo todo a lo largo de los siglos lamentablemente), el caso es que el hecho objetivo es que la palabra obelisco no aparece en la Biblia, al menos en la oficial. Se le de la interpretación que se quiera, el caso es que muchas naciones, también en la actualidad, han erigido obeliscos para conmemorar victorias. Y muchas de las grandes urbes actuales (incluido en el Vaticano, paradójicamente; el que quiera puede curiosear un poco aquí por los trece obeliscos de Roma, porque es curioso en muchos casos) tienen alguno (lamentablemente la mayor parte expoliados a Egipto). A lo que íbamos. Trasladar un obelisco o levantarlo conlleva muchos problemas técnicos, dada su imponente altura, y a que estaban tallados, como ya se ha dicho, de una sola pieza. Añadiendo a ello el material, normalmente la piedra, que los hacen muy pesados. Así pues la escena de la película no es en absoluto trivial. Incluso hoy en día los problemas que ha habido que solventar han sido cuantiosos, lo que ha alimentado (¡Otra vez! Están por todos los lados) teorías de  lo más variopinto (no voy a repetir ninguna, pero os podéis imaginar a qué extremo llegan algunas) sobre cómo se solventó en la Antigüedad el problema de su erección. La más común, entre las no alucinadas, la que siguen explicando los guías turísticos in situ, es la mostrada en la película: se arrastra el obelisco hasta donde se quiere erigir haciéndolo descender a través de una rampa sobre la que se va deslizando hasta que coincidiera el borde inferior del obelisco con la muesca de la base del pedestal. Se iría controlando ese descenso mediante cuerdas haciendo uso de andamios, poleas, etc. Este sistema plantea múltiples interrogantes (no olvidemos que la mayor parte miden más de 30 metros de altura, pesan más de trescientas toneladas, y en muchos casos el espacio disponible alrededor era limitado a una veintena de metros). Algunos estudiosos indican un sistema de canales rellenos de arena que van dejando que el obelisco vaya cayendo en el espacio que la arena libera (recuérdese el sellado de la pirámide de la película Tierra de Faraones (Land of the Pharaohs,  Howard Hawks, EE. UU., 1955)). La imagen está tomada de esta página del portal de divulgación conec.es. Es muy conocido, y más que aclarar, ha dado lugar a más especulaciones, el intento de levantar hace unos años un obelisco por un equipo de televisión capitaneado por Evan Hadingham, que posteriormente ha escrito varios artículos sobre el tema. Recientemente, la doctora Maureen Clemmons ha desarrollado, con cierto éxito, el proyecto Cometa, en el que gracias a la fuerza del viento, y a un sistema de cometas, ha logrado izar pesos de cierta envergadura. Mayor información y vídeos en este enlace. Volumen de un obelisco A todo esto, ¿sabrías calcular el volumen de un obelisco? Se trata de un típico ejercicio propuesto en primeros cursos de carreras universitarias (ingenierías, etc.) como aplicación del cálculo de volúmenes mediante integrales definidas, pero así como no hay demasiados problemas para calcular el volumen de una pirámide o de un cono (bueno, miento, el 70% de los alumnos no lo hace o lo hace mal, incluso con esos cuerpos geométricos) con el obelisco parece que hay algo atávico (¡mira que si los vendedores de humo tuvieran razón! Pero en fin, yo les sugeriría que antes de hablar de propiedades supuestamente “mágicas”, al menos conocieran bien el objeto, y supieran por tanto cómo se hallan sus dimensiones básicas. Así podrían buscar cuerpos en proporción áurea, y todas esas cosas que tanto les gustan, y que en realidad, sólo son curiosidades y entretenimientos). Se trata de calcular el volumen del obelisco de la figura (le hemos quitado el piramidón de la parte superior; simplemente se le sumaría a lo que vamos a calcular), de altura h y de bases rectangulares de dimensiones A, B, para la base mayor, y a, b, para la menor. El volumen lo calculamos, por ejemplo, por secciones, perpendiculares al eje OZ (el vertical, cuyos límites para el obelisco señalado serán entre 0 y h). ¿Por qué? Pues es evidente: las secciones son rectángulos, y otra cosa no sabremos, pero el área de un rectángulo, si, base por altura. Así pues, si pasáramos una cuchilla por el obelisco a altura z y perpendicularmente al eje Z, obtendríamos el rectángulo marcado en verde de la imagen. El volumen del obelisco, vendrá entonces dado por la integral V = , siendo S(z) la superficie del rectángulo pintado de verde. Todo el problema consiste en calcular ese área S(z) en función de los datos suministrados por el problema, es decir, A, B, a, b, y por supuesto z, que va a ser la variable de integración, y en donde va variando el corte que damos al objeto (entre 0 y h), porque el volumen vendrá dado por la suma de la áreas de los infinitos rectángulos que vamos obteniendo al pasar la “cuchilla” (en matemáticas somos menos agresivos, y decimos el plano) desde la base (z = 0) hasta la cúspide (z = h). El planteamiento es bastante claro (lo entiendo hasta yo mismo); otra cosa es que sepamos encontrar S(z), y luego resolver la integral (aunque en este caso será polinómica, o sea que la hace hasta un chaval de secundaria). Hagamos otro par de dibujillos para entender bien cómo vamos a razonar. Fijémonos en la superficie cuyos bordes están marcados en rojo en la imagen adjunta. Se trata de un trapecio que vamos a prolongar hasta la punta a un triángulo. ¿Por qué? Porque para relacionar los lados del rectángulo que nos sale a la altura z con las dimensiones del rectángulo base, y el de la “cima”, vamos a aplicar otro viejo conocido de la afición estudiantil, el teorema de Tales, y ése se aplica a triángulos. En definitiva que vamos a pensar sobre el triángulo de esta nueva figura que tenemos dibujada por aquí. La base de dicho triángulo es A/2 porque la base del trapecio va desde el centro del rectángulo base al centro del lado, igualmente con el superior, a/2, y con el que está a altura z, que desconocemos, y lo hemos denotado como BASE/2. La altura total del triángulo la hemos llamado L, y h y z están señaladas claramente en el dibujo. Empecemos a aplicar Tales a los tres triángulos que aparecen: Echando cuentas por separado en las igualdades, tomando respectivamente, primer y segundo miembro, y después el primero y el tercero, se llega sin demasiados esfuerzos a que Operando en la primera, se tiene que BASE =  , y de la segunda, . Combinando ambas (o sea, sustituyendo la segunda en la primera), se obtiene que Esa es la base del rectángulo que surge a la altura z. Necesitamos calcular la longitud del otro lado del rectángulo (o sea, exactamente las mismas cuentas pero con B y b). Se obtiene entonces que la altura del rectángulo “verde” viene dada por ¿Cuál es entonces S(z), área del rectángulo verde? Claramente, BASE por ALTURA. Por tanto Evidentemente las cuentas intermedias no están detalladas pero son elementales, pero si alguien tiene algún problema y está interesado, no tiene más que mandarme un correo. A todo esto, y ya puestos, el lector podría intentar deducir al área lateral y total de dicho obelisco, para completar su estudio, y tenerlo completamente dominado. Volviendo a la película, en la imagen adjunta observamos cómo el ingeniero Moisés maneja una especie de teodolito. Y lo llamo así, porque lo maneja y usa como un teodolito. Este instrumento de medición se utiliza para obtener ángulos verticales y, en la mayoría de los casos, horizontales, pues su precisión en éstos últimos es bastante ajustada. También pueden medirse con él distancias y desniveles, aunque en estos casos, con materiales auxiliares. Su fin es más bien topográfico (triangulaciones sobre todo). Moisés parece utilizarlo para medir distancias y ángulos, y a partir de esas mediciones, ordena a sus capataces (¡que bonita la palabra “flámula”, apenas utilizada! Es, por cierto, una planta de olor muy agradable, pero extremadamente tóxica, con hojas en forma triangular, como las banderas utilizadas, muy vistosa, y parecida al almendro en flor o al jazmín). En el cine se han empleado en varias ocasiones. Recordemos cómo Indiana Jones buscaba el lugar donde se escondía un objeto muy preciado (foto) en En busca del arca perdida (Steven Spielberg, EE. UU., 1981), o Hugh Grant trata de dilucidar si Ffinnon Garw es una colina o una montaña en El Inglés que subió una colina pero bajó una montaña (Christopher Monger, Gran Bretaña, 1995). En estos casos pase, pero ¿había teodolitos en el Antiguo Egipto? Si alguien lo sabe, que nos ilumine. También a Ramsés (Yul Brynner) le da por juguetear con una balanza, para demostrar “las malas artes” de Moisés, sólo que éste parece que tiene respuestas más ingeniosas (¿Para qué necesitaba entonces a Aaron como intérprete ante el faraón? Charlton Heston se basta y sobra. No sé, algo no me cuadra, pero en fin, esto es cine, y no debemos darle muchas vueltas). Un par de curiosidades finales. El señor de la izquierda debe su nombre a los obeliscos también. Y este objeto fue elegido como símbolo de la masonería (también pirámides y triángulos), por lo que no es raro encontrarnos en muchos cementerios de nuestro país, tumbas y panteones coronados por estas figuras en lugar de cruces cristianas o con ellas en algún lateral, como el de la foto tomada en el cementerio del Carmen de Valladolid. ¿Quien nos iba a decir que estas superficies nos iban a dar tanto juego?

Lunes, 07 de Marzo de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

114. 107. ¿Existe una fórmula para el amor?

Pregunta que ya ha aparecido en otras ocasiones en esta sección, redundante por tanto en los cineastas. Ahora bien, lo que es claro es que, de haberla, en España nos quedamos sin conocerla, porque de nuevo por n-ésima vez, una película interesante (y no solamente por las matemáticas) queda vergonzosamente sin estrenarse por aquí. Ficha Técnica: Título Original: X Plus Y (A Brilliant Young Mind). Nacionalidad: Reino Unido, 2015. Dirección: Morgan Matthews. Guión: James Graham. Fotografía: Danny Cohen, en Color. Montaje: Peter Lambert. Música: Martin Phipps. Producción: Laura Hastings-Smith, David M. Thompson. Duración: 111 min. Ficha artística: Intérpretes: Asa Butterfield            (Nathan Ellis), Rafe Spall (Martin Humphreys), Sally Hawkins (Julie Ellis), Eddie Marsan       (Richard), Jo Yang (Zhang Mei), Martin McCann (Michael Ellis), Jake Davies (Luke Shelton), Alex Lawther (Isaac Cooper), Alexa Davies           (Rebecca Dunn), Orion Lee (Deng Laoshi), Edward Baker-Close (Nathan Ellis, 9 años), Percelle Ascott (Ben Morgan), Suraj Rattu    (Pav Kamdar), Jamie Ballard            (Director de la escuela), Clare Burt (Doctor). Breve Sinopsis: Nathan es un niño de 9 años al que diagnostican características de autismo (autistic spectrum condition (ASC); pongo estas siglas porque es muy común que aparezcan así descritas, incluso en idiomas diferentes del español). No le resulta sencillo entender a los que le rodean, ni siquiera a su paciente madre que se esfuerza especialmente en comprenderlo. Lo único que realmente entiende bien son los números y sus relaciones. A través de sus médicos, es matriculado en un centro escolar especializado en la enseñanza de alumnos con altas capacidades. Allí  conocerá a un profesor anárquico y poco convencional, el Sr. Humphreys, a través del cual, realiza un examen de preselección para asistir a un campamento británico para seleccionar los seis miembros que representarán a Reino Unido en la Olimpiada Internacional de Matemáticas de ese año. Aunque no todo es tan maravilloso como aparenta. Comentario Es probable que muchos lectores después de haber leído las líneas precedentes estén pensando: la n-ésima película de un autista (o Asperger, tanto da) con altas capacidades que seguro que, a pesar de sus limitaciones sociales se lleva de calle todo lo que le proponen por difícil que parezca, con alguna intriga intermedia para amenizar. Quizá si habláramos de una producción usamericana así sería, pero en este caso, la película aporta bastante más, bajo mi personal punto de vista (aunque como veremos, tampoco acaba de ser redonda). Lo paradójico es que si hubiera sido usamericana, seguramente si se hubiera distribuido en España, en virtud de los “complejos” contratos que los americanos exigen para poder proyectar otras cosas (hablando claro: España, si quieres que te dejemos estrenar Star Wars VII, tienes que programar estos otros veinte estrenos; ¿Qué son diecinueve bodrios y medio? A mí no me cuentes, el pack es indisoluble). En fin, a lo nuestro. Siendo complicado dar detalles concretos sin caer en los denostados spoilers (lo que hay que hacer primero es ver la película), lo intentaré. Os dejo un enlace en internet donde podéis ver la película íntegra, subtitulada en español (no son unos subtítulos maravillosos, sobre todo en la parte matemática, pero sirven para seguir el argumento). A veces el enlace no funciona, pero intentándolo en otro momento, sí lo hace. Tampoco se puede garantizar que funcione de por vida, porque ya se sabe que estas cosas vulneran los derechos de autor y yo creo que no son legales, pero, como digo, es a lo que llevan a la gente por no estrenar o distribuir determinadas películas. El enlace es http://peliculasio.com/x-y, y debéis elegir el “reproductor 2”. ¡Qué tengáis suerte, y si es así, ya me comentaréis si mereció la pena! Después, podéis seguir leyendo sin temor a spoilers. Para empezar digamos que su director, Morgan Matthews, es un realizador británico, fundador de Minnow Films, y lleva más de diez años dirigiendo documentales. Ésta es su primera película no documental, aunque sin embargo tiene mucha relación con su anterior Beautiful Young Minds, estrenado en 2007 en la cadena de televisión BBC2. En él, se sigue el proceso de selección y capacitación del equipo británico para competir en la Olimpiada Internacional de Matemáticas 2006 (en lo sucesivo, OIM). Algunos de los jóvenes matemáticos que participaron tenían características de autismo (hay grados), que el documental vincula de algún modo a la capacidad matemática. El equipo ganó numerosas medallas en la Olimpiada, incluyendo cuatro de plata y una de bronce. Así pues, el guión de X+Y está claramente inspirado en la realidad, tomando como protagonista al participante de aquella Olimpiada Daniel Lightwing. En la imagen, Daniel junto a su compañera Yan Zhu, con la que contrajo matrimonio. Daniel Lightwing tenía 17 años cuando participó en la OIM, estaba diagnosticado con síndrome de Asperger, estuvo un año entero “entrenando” con la escuadra británica en China, dando clases de inglés allí para sacarse un dinero, y viajando por todo el país. Lo que el director ha recogido de Lightwing para hacer la película han sido sobre todo sentimientos, sensaciones que experimentan los chicos con ASC. El resto no responde al pie de la letra a su biografía. Así, por ejemplo, el padre de Daniel goza de una magnífica salud en la actualidad, Daniel logró una medalla de plata y una de bronce en las OIM, el profesor-tutor de Daniel no es ni parecido al mostrado en la película, y Daniel se enamoró y contrajo matrimonio con una compañera china, pero ya no están juntos. Daniel estuvo trabajando de programador para Google en Londres durante un tiempo, y un día, al volver a casa, descubrió que su mujer se había vuelto a China sin explicación alguna. Daniel lo recuerda con dolor, y afirma no haber vuelto a querer saber nada de ella (por cierto, era recepcionista del hotel donde se alojaba, no compañera de Olimpiada); tampoco desea dar mayores explicaciones para no herir los sentimientos de su actual pareja, también de nacionalidad china, por cierto. Pero hay otras muchas diferencias. A Lightwing no lo diagnosticaron ASC hasta los 16 años. Era el mayor de seis hermanos, y sus padres, lejos de ser tan comprensivos como los de la película, querían a toda costa que si hijo fuera una persona “normal”. Su madre, profesora de Ciencias, empezó a entender que Daniel era diferente tras leer El curioso incidente del perro a medianoche, y entonces lo llevaron a un especialista que determinó lo que tenía. Por tanto la película no es una biografía tal cual, sino que, como sucede muy a menudo, se toma sus licencias pensando en aportar mucha más información, y sobre todo ser más dinámica de cara al espectador. Lo que sí es tal cual, son, como hemos dicho, los sentimientos de una persona con ASC. También es real la primera hoja de papel que vemos garabatear al protagonista (ver imagen): es una página personal de Daniel Lightwing cuando tenía la edad representada en ese momento en la película. Todo esto, que hablando de cine, yo creo que es de perogrullo, hace que me sorprenda ante las (escasas hay que decir) puntualizaciones que algunas personas han hecho sobre algunos aspectos de la película. Por ejemplo, Adam P Goucher, miembro del equipo británico de la OIM en 2011, escribió un artículo en The Guardian, en el que manifiesta, desde su propia experiencia, que aunque la escena de los participantes jugando al ajedrez en el suelo de la terminal del aeropuerto no es muy diferente de lo que sucede en la realidad, lo que no admite es la descripción de los miembros del grupo: “mis compatriotas eran mucho más amables y agradables que sus homólogos de cine, arrogantes y pretenciosos. Por el contrario, teníamos un respeto mutuo inmediato”. Nathan (el protagonista de X + Y) recibe una ovación cuando presenta una solución inmediatamente después haberle hecho una cuestión acerca de un juego de cartas (la cuestión cuarta descrita más abajo). Adam lo describe como “muy poco realista, ya que la cuestión es totalmente trivial en comparación con los problemas que se plantean a nivel internacional. Tanto Nathan como yo lo resolveríamos en una fracción de segundo, mientras que los problemas de la OIM a este nivel suelen llevar varios minutos o incluso horas para ser resueltos”. Amigo Adam, debería recordarte alguien que estamos ante una película, que trata de difundir de qué trata una OIM a un público tan general que presumiblemente muchos espectadores no sabrán ni calcular un mcd, y que Nathan tiene problemas de relación, así que, colega, no hagas comentarios como los que haría Luke, ese miembro del equipo que según tú no existe en la realidad. Este joven olímpico prosigue alabando el retrato del protagonista, del profesor, pero no le gusta nada el jefe de expedición Richard, del que dice que es “poco natural y exagerado. En particular, me decepcionó que todos los competidores fueran retratados como autistas o rozando el síndrome, cuando en realidad hay una mezcla mucho más diversa de individuos”. En efecto, en los demás equipos, hay una aparente variedad de personas. Sólo el equipo británico (que recuerdo que en algunas ediciones, prácticamente los seis llevaron personas con ASC), que como yo veo sólo presenta dos miembros así de los cuatro, parece molestar a Adam. Seguramente si fuera le equipo chino, o el norteamericano el descrito de ese modo, no hubiera dicho nada. En fin, que me parece poco objetivo, y que su molestia tiene más que ver con causas de orgullo patrio herido, sinceramente. Tampoco encuentra convincente la historia de amor que surge entre Nathan y Zhang Mei. Explica que desde que en la década de los ochenta, un miembro del equipo británico (¡jo, lo acaparan todo!) “disfrutó” de un ménage-a-trois en una OIM, los organizadores aumentaron los controles de seguridad y está prohibido que chicos y chicas entren en las habitaciones de los demás. Aunque lo más absurdo para Adam es la escena culminante del amor de ambos, en la que ven “un arco iris realizado con ordenador ópticamente inconsistente. Los colores aparecen en el mismo orden en los arco iris interior y exterior, cuando en un reflejo deberían aparecer en orden inverso”. Vale, Adam, en el cine hay fallos. ¿Es la primera película que ves? El joven acaba sin embargo con unas palabras finales de reconocimiento: “A pesar de que no es una representación fiel de la vida en una Olimpiada, espero que X + Y inspire y anime a los aspirantes a jóvenes matemáticos para perseguir su interés al nivel más alto posible”. Muy bien, Adam, nosotros también esperamos leer algún día y ver en pantalla ese magnífico guión realista que te debería haber puesto a escribir nada más terminar de ver la película. Un par de Curiosidades Probablemente, a muchos les suene haber visto en alguna parte al chaval que interpreta a Isaac, el actor Alex Lawther. En efecto. Es el joven Alan Turing en Descifrando Enigma (The Imitation Game, 2014). Tras varias obras de teatro, programas de radio y un documental, sus dos únicas interpretaciones en pantalla grande son de genio de las matemáticas. ¿Seguirá por esos derroteros? Por otro lado, la 59 Olimpiada que describe la película en Cambridge,  aún no ha tenido lugar (será en 2018 en Rumanía). En Cambridge no se ha celebrado nunca. Reino Unido ha acogido dos, por ahora: en 1979 en Londres, y en 2002 en Glasgow. La sexagésima, en 2019, volverá a Reino Unido, aunque la sede está aún por determinar. El libro que Nathan lee en la cama la noche antes de la competición es real. Es Ten Years of Mathematical Challenges, 1997 – 2006, el de la imagen. También se menciona en otro momento de la película, Los nueve capítulos sobre arte matemático. Se trata de un libro de matemática china, cuyo origen se remonta al período de la Dinastía Zhou y fue compilado por varias generaciones de escribas entre los siglos II y I a.C. Es uno de los libros de matemáticas más antiguos de China. Está centrado en hallar los métodos más generales de resolución de problemas, en contraste con la idea común de los matemáticos griegos, de deducir proposiciones a partir de un conjunto inicial de axiomas. Las matemáticas de la película Obviamente al describir la OIM, aparecen bastantes referencias matemáticas, muchas de ellas a problemas propuestos en la propia OIM. No tenemos espacio para resolverlos, pero ahí quedan para el que quiera intentarlos, o buscarlos. Son éstos: 1.- Minuto 12:25 hasta 13:15, descrito como El problema más difícil de la OIM: la quinta cuestión de 1996: Sea ABCDEF un hexágono convexo, tal que AB es paralelo a DE, BC es paralelo a EF, y CD es paralelo a FA. Si RA, RC, RE denotan los radios de las circunferencias circunscritas a los triángulos FAB, BCD, DEF, respectivamente, y P es el perímetro del hexágono, demostrar que RA + RC + RE ≥ P/2. 2.- Minuto 15:29 al 15:31. Uno de los ejercicios que proponen a Nathan para ver si lo integran en un campus de formación de aspirantes a representar a Reino Unido en la OMI: ¿Existen infinitos pares de enteros positivos (m, n) tales que m divide a n al cuadrado más uno, y n divide a m al cuadrado más uno? 3.- Minuto 44:18 al 45:10. Los vértices de un polígono regular de 72 lados se colorean de rojo, verde y azul en cantidades iguales. Demostrar que siempre podemos elegir cuatro vértices rojos, verdes y azules de manera que cada conjunto monocromático forme un cuadrilátero congruente. 4.- Minuto 59:39 al 1:02. Se colocan 20 cartas al azar en una fila todas boca abajo. Un movimiento consiste en dar la vuelta a una carta que esté boca abajo e inmediatamente dar la vuelta de la que esté a su derecha. Demostrar que no importa qué cartas se elijan, esta secuencia de movimientos siempre termina. A pesar de lo expuesto más arriba, el modo de resolver el protagonista esta cuestión, me parece, desde el punto de vista del público, muy bien llevada, porque propone un razonamiento apartado de tediosas operaciones (que es lo que la gente asocia a las matemáticas), y perfectamente entendible. Lo recordamos. Nathan: Tenemos que ver las cartas no como cartas, sino como,...como números. Podemos designar a las cartas boca abajo con un 1, y a las cartas boca arriba con un 0. Al principio sería una secuencia de unos, ya que todas están boca abajo. Pero después de un tiempo se vería algo así: (ver imagen; como ejemplo pone 10011010). Como podemos ver, es un número binario. Un movimiento que consiste en dar la vuelta a una carta boca abajo, e inmediatamente a la de su derecha, nos lleva a que un uno seguido de otro uno, se convertirá en un cero seguido de otro cero. Eso sería así. Si tuviéramos un uno seguido de un cero, se convertiría en un cero seguido de un uno. En cualquier caso, vemos que el número en binario es estrictamente decreciente. Richard: ¿Y eso significa? Nathan: Lo que quiere decir es que la secuencia debe terminar. Richard: ¿Por qué? Nathan: Porque no puedes seguir quitando de un número entero positivo sin que se convierta en negativo. Richard: No, no puedes. Definitivamente no se puede. Buen trabajo. 5.- Minuto 01:11 al 01:12. Cada entero se colorea de color rojo, amarillo o verde. Demostrar que siempre existen a, b, c de tal manera que a, b, c, a + b, a + c, a + b, a + c, b + c y a + b + c son todos del mismo color. 6.- Minuto 01:36 al 01:37. 4n2 trenes están dispuestos en un cuadrado 2n x 2n, y cada uno se pinta con uno de cuatro colores. Cada cuadrado 2 x 2 de trenes tiene cada uno de los cuatro colores. Demostrar que los trenes en las esquinas del cuadrado 2n x 2n están pintadas con colores diferentes. En la película se mencionan además otros conceptos, como son el diagrama de árbol de los resultados de una moneda, el teorema de Pitágoras, la sucesión de Fibonacci, la conjetura de Goldbach, la teoría de Ramsey, la desigualdad de Muirhead, la desigualdad de Schur, etc. Imagen: fórmula del amor que parece en la película y que Nathan confiesa no entender. A modo de conclusión Independientemente de lo mejor o peor que estén retratadas las OIM en la película (que bajo mi punto de vista, no lo están nada mal), plantea de una forma bastante realista la complicada convivencia con las personas con alguna enfermedad crónica y/o degenerativa, no sólo desde el punto de vista de los familiares, sino de los sentimientos y percepciones que ellos mismos sufren. En general estamos poco sensibilizados con los problemas de los demás, y aunque sólo sea en el rato de visionado de la película, es pertinente ponerse en el lugar del que padece o sufre la enfermedad, cultivar un poco la empatía en una sociedad en la que vivimos bastante egoísta. desde este punto de vista, la película perfila muy bien un montón de relaciones de parejas diferentes (¿qué es nuestra vida cotidiana sino una predominante sucesión de relaciones por parejas; yo creo que ese es el sentido del título, x + y). Así observamos la relación entre Nathan y Zhang Mei, entre Nathan y su madre, Nathan y su padre, Nathan y el Sr. Humphreys, entre Humphreys y Julie, entre Humphreys y Richard, entre Richard y el delegado chino, entre Nathan y Luke, entre Nathan e Isaac, entre Luke y Isaac, entre el padre y la madre de Nathan, etc., todas ellas, muy bien perfiladas y definidas, a pesar de ser algunas mucho más breves que otras. Un dato final, no totalmente objetivo, pero sí estadístico: La puntuación recibida por 15433 espectadores que la han valorado en internet es de 7.2 sobre 10 puntos. La Olimpiada Internacional de Matemáticas Algunos datos sobre la IMO (International Mathematical Olympiad; en español, las siglas son OIM, Olimpiada Internacional de Matemáticas). Al igual que en el evento deportivo, la OIM tiene un distintivo que en este caso es una banda de Moebius en la que se ha entrelazado una circunferencia, y en él aparecen los cinco colores olímpicos que representan cada uno de los continentes (imagen a la derecha). Es una competición anual para estudiantes pre-universitarios (la más antigua de las Olimpiadas Internacionales de Ciencias). En torno a un centenar de países de todo el mundo envían equipos de un máximo de 6 estudiantes, junto con un líder de equipo, un tutor y observadores. La competición consta de dos cuestionarios con tres problemas cada uno. Cada pregunta se valora con una puntuación máxima de 7 puntos. La prueba se desarrolla en dos días, en cada uno de los cuales el concursante dispone de cuatro horas y media para resolver los tres problemas. Se escogen entre diferentes áreas de la matemática de la Educación Secundaria, usualmente Geometría, Teoría de números, Álgebra y Combinatoria. Para su resolución no se requieren conocimientos de matemáticas superiores y valorándose especialmente soluciones breves y elegantes. Esto, personalmente, no lo entiendo. En el plan de estudios español, nunca, ni mucho menos en la actualidad (el peor desde hace tiempo respecto a las matemáticas, gracias a tantos “amigos y salvadores de una España en la que ni residen”) han estado en Secundaria el pequeño teorema de Fermat, el teorema chino del resto, y tantos resultados sin los que es literalmente imposible resolver la mayor parte de los problemas de las Olimpiadas. Si los alumnos no lo preparan explícitamente (clases específicas, libros orientativos, etc.), es imposible siquiera que un alumno entienda muchos de los enunciados de las OIM, exclusivamente a partir de lo que da en los temarios de Secundaria y Bachillerato. De modo que, o en el resto de países tiene un currículo mucho más amplio, o la frase en negrita que indica una de las características de esta competencia, no es cierta. El proceso de selección es diferente según el país, pero a menudo consiste en una serie de pruebas que van filtrando el número de estudiantes en cada una. Aunque en la película no se describe completamente, en Reino Unido, el profesor inscribe a los alumnos que considera aptos. Entonces, en un aula totalmente vacía de más personas que el tutor y el alumno (se hace uno a uno), el alumno dispone de tres horas y media para resolver el BMO1, seis cuestiones que han sido entregadas al tutor en sobre cerrado y no deben abrirse hasta ese preciso instante. Semanas después tiene lugar el BMO2 (en la película sólo aparece una de estas pruebas, para agilizar el argumento), con cuatro ejercicios más complejos que las de la primera prueba. Los veinte mejores de todo el país participan en un campamento, de donde deben salir elegidos los seis que representaran al país. Este campamento es siempre en Reino Unido, no en el extranjero como se cuenta en la película (concretamente en la película viajan a Taipei). En nuestro país, el proceso es distinto. Los miembros del equipo salen de los ganadores de las sucesivas olimpiadas provinciales, regionales y nacional. Los participantes deben ser menores de veinte años y no deben estar matriculados en institución de educación superior alguna. Verificando estas condiciones, un individuo puede participar cuantas veces desee en la OMI. La primera IMO se celebró en Rumania en 1959, y desde entonces se celebra cada año.

Jueves, 04 de Febrero de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

115. 106. La profesora de Historia

Empezamos el año revisando una película estrenada en mayo de 2015, que nos deja poco de matemáticas, y mucho de reflexión sobre educación e intolerancias varias, así como de lo fácil que resulta olvidarnos de un pasado no tan lejano y que como indica el adagio, podemos estar condenados a repetir. Ficha Técnica: Título Original: Les héritiers. Nacionalidad: Francia, 2014. Dirección: Marie-Castille  Mention-Schaar. Guión: Ahmed Dramé y Marie-Castille Mention-Schaar, basada en. Fotografía: Myriam Vinocour, en Color. Montaje: Benoît Quinon. Música: Pascal Mayer. Producción: Pierre Kubel y Marie-Castille Mention-Schaar. Duración: 105 min. Ficha artística: Intérpretes: Ariane Ascaride (Anne Gueguen), Ahmed Dramé (Malik), Noémie Merlant (Mélanie), Geneviève Mnich (Yvette), Stéphane Bak (Max), Wendy Nieto (Jamila), Aïmen Derriachi (Saïd), Mohamed Seddiki (Olivier / Brahim), Naomi Amarger (Julie), Alicia Dadoun (Camélia), Adrien Hurdubae (Théo), Raky Sall (Koudjiji), Amine Lansari (Rudy). Nueva entrega del cine galo en torno a la educación (recurrente en su pasado filmográfico; entre las más recientes, recuérdense Hoy empieza todo, Bertrand Tavernier, 1999; Ser y Tener, Nicolas Philibert, 2002; La clase, Laurent Cantet, 2008 [1]). Algo más floja que cualquiera de éstas, en esta ocasión la trama gira en torno a una clase de bachillerato multicultural (distintas nacionalidades, distintas religiones, aunque de un nivel social similar, eso sí, sin demasiado interés por estudiar o formarse, algo que choca en estos estudios; en nuestro país, llegados al bachillerato, las salidas de tono por indisciplina no son tan abundantes como en cursos previos o como se muestra en la película). Antes de centrarse en el aula concreta, observamos en un prólogo inicial una discusión entre una profesora, el director del centro y una madre y su hija ataviadas con el velo islámico. Los primeros se niegan a entregarles el certificado de calificaciones si no se presentan sin dicha indumentaria, como han ido haciendo durante su trayectoria lectiva. Esto desemboca en las típicas acusaciones de intolerancia religiosa y cultural que advierten al espectador de por dónde irán los tiros en cuanto a la temática central de la película. Aunque en apariencia el planteamiento parece el de siempre (profesora con vocación empeñada en recuperar alumnos problemáticos y marginales frente a la desidia de compañeros de profesión y estamentos oficiales), tras el prólogo relatado arriba comprobamos que el enfoque es diferente al de los ya tratados en las otras películas mencionadas. Pero dejemos para más adelante los comentarios generales sobre la película para centrarnos en primer lugar en la (breve) referencia matemática. La escena matemática Prácticamente la totalidad de la película se desarrolla en la clase de historia con la tutora de la clase. No obstante, al inicio, aparece una breve escena con un joven profesor de matemáticas. Observamos a dos alumnas en un rincón del aula al lado de una ventana, pintándose las uñas en plena clase y cuchicheando entre ellas. De fondo escuchamos una alumna: Alumna: AD más DC igual a AC. Profesor: Muy bien. La traslación doble de A en D, y luego de D en C da el vector AC (en ese momento lanza una tiza a otro alumno que está medio dormido), lo que se conoce como teorema de Chasles, y es un punto muy importante del programa. En ese momento reprende a las dos alumnas que están secando sus uñas al aire, instándolas a dejar de hacerlo. Ellas se justifican indicando que no pueden hasta que no se sequen, a lo que el profesor las advierte con un “Veremos qué hacéis en el examen” (en los subtítulos en cambio lo que se dice es “Ya verás que bien se te secan castigada después de clase”). Comentario Como casi siempre, el doblaje en nuestro país “pasa” completamente del rigor y la precisión en cuanto a los asuntos científicos. Si uno busca “teorema de Chasles” en libros o Google, se encontrará con resultados que poco tienen que ver con el expuesto en la película, que en realidad es la “relación de Chasles” de la geometría del espacio afín que indica cómo es posible llegar de A a C a través de cualquier punto intermedio (B), y que nos dice además cómo sumar vectores. Si los vectores que se suman tienen el mismo origen, a través de esta relación se construye el paralelogramo que también observamos en el encerado de la película, y que conocen (creo) todos los alumnos de Secundaria. Quién fue Chasles El matemático francés Michel Floréal Chasles (Épernon, 15 de noviembre de 1793 - París, 18 de diciembre de 1880) está considerado como “uno de los mayores geómetras de todos los tiempos, con contribuciones fundamentales a la ciencia” (cita textual de la Wikipedia), a pesar de lo cual no es demasiado conocido por el público en general, al menos no suele citarse entre los matemáticos más ilustres, fuera de su país natal. De hecho hay que indagar un poco en la red para entresacar algo más que un puñado de datos relevantes de su trayectoria vital. Estudiante brillante en el Lycée impérial, fue compañero de estudios del florentino Gaetano Giorgini (1795-1874) en la École Polytechnique, en donde rivalizaron en genio y brillantez académica.  En 1814 participó en la defensa de París en la Guerra de la sexta coalición (coalición formada por el Reino Unido, Rusia, Prusia, Suecia, Austria, y varios estados germánicos para combatir al Imperio francés de Napoleón y sus aliados; como resultado de esta guerra Napoleón fue derrocado y confinado a la isla de Elba). Su valentía y patriotismo fue ensalzado junto a otros estudiantes de la Polytechnique por el ministro del interior Carnot en una carta dirigida al máximo responsable de la institución. Se citan diversos testimonios en los que se pone de manifiesto su bondad y compañerismo. Entre 1814 y 1816 publica unos artículos sobre superficies de segundo orden y sobre la envolvente de una superficie de segundo grado homotética a sí misma y tangente a otras tres superficies de segundo orden homotéticas entre ellas. Comenzaba a adquirir cierto prestigio entre los geómetras cuando su padre, que prefería asegurarle el futuro, lo coloca como agente de bolsa en París. Esto lo aparta de la ciencia y durante unos años hace que Chasles se relacione más con la buena vida y las diversiones parisinas. En 1828 retorna a la geometría como consecuencia de unos malos resultados económicos familiares, con unos trabajos sobre cónicas, sobre la proyección estereográfica y algunas aplicaciones de homología y de la teoría de las polares recíprocas. Precisamente sobre este último asunto, la Academia de Bruselas había propuesto un premio para el mejor trabajo sobre el análisis filosófico de la nueva geometría y dicha teoría. Chasles envía en 1830 su trabajo que es ensalzado ampliamente por expertos y contemporáneos. Se publicaría en 1837 con el título Aperçu historique sur l'origine et le dévéloppement des méthodes en géométrie. El libro consta de tres partes: la primera dedicada a la historia de la Geometría, la segunda consistente en treinta y cuatro notas que justifican algunas afirmaciones y desarrollan nuevas teorías, y la tercera sección incluye dos libros de memorias sobre homografía y dualidad, precedida de una breve introducción. También destacó en trabajos de Física matemática (electricidad y magnetismo estaban de moda en aquellas fechas). El 11 de febrero de 1839 comunica a la Academia de Ciencias francesa una serie de resultados sintéticos sobre la atracción de elipsoides que generaliza a otros cuerpos. El problema había sido planteado una década antes por Green. Tanto éste, como Gauss y Chasles dieron soluciones al asunto, completamente distintas, y todas correctas. El que finalmente pasó a la posteridad por ello fue el matemático inglés (teorema de Green) ya que fue el primero en publicarlo (dos años antes que los otros dos). A partir de 1841 el trabajo de Chasles se incrementa considerablemente, al ser nombrado  profesor de Geodesia y máquinas en la École Polytechnique, y en 1846 profesor de geometría en la Sorbona. A pesar del tiempo que empleaba en dictar sus lecciones, publica en numerosas revistas y escribe la mayor parte de su obra. En 1851 ingresa en la Academia de Ciencias francesa, un poco tarde a decir de sus seguidores, probablemente por la consideración que se tenía de la geometría en aquel momento, más como una disciplina escolar que como una de interés investigador.  En 1852 publica Traité de géométrie supérieure, obra novedosa en ese momento por los temas tratados, y fundamentalmente por los métodos de demostración empleados en los que incluía números complejos lo que permitía utilizar toda la potencia y las ventajas del Análisis Matemático. Contiene también resultados sobre razón doble, involución, o figuras homográficas congruentes y sus aplicaciones a los polígonos y círculos. Termina con dos capítulos interesantes, uno sobre algunas  propiedades de dos círculos que proporcionan representaciones elegantes de ecuaciones con funciones elípticas, y el otro sobre la teoría de conos de base circular y sobre cónicas. En 1860 escribe tres volúmenes sobre los porismas de Euclides (los trabajos menos conocidos y leídos de Chasles, de cierta complejidad y abstracción), y en 1865 un Traité de sections coniques. Probablemente sea su teoría de las características el descubrimiento más original de Chasles, aunque también uno de los más tardíos, ya que no se publicó hasta 1864. Se trata de un método para tratar los diferentes problemas de determinación de cónicas y de curvas algebraicas, estableciendo de un modo geométrico diversas propiedades de los sistemas de cónicas. Al año siguiente la Royal Society de Londres le concede por ello la medalla Copley (logros en ciencias físicas o biológicas; es el galardón más antiguo concedido por una institución académica, ya que la primera medalla se concedió en 1731). En 1867 fue víctima de un engaño lamentable. El embaucador y falsificador Denis Vrain-Lucas, tras contarle una rocambolesca historia, le vendió a cambio de una suculenta cantidad (unos 170.000 francos, según admitió el propio Chasles) una supuesta colección de cartas, artículos y trabajos manuscritos de Pascal (entre otros) en los que se demostraba que Pascal había descubierto antes que Newton el principio de gravitación universal. Chasles llevó el asunto hasta la Academia de Ciencias, que tras dos años de farragosas investigaciones en las que cada vez aparecían más documentos aunque cada vez más discutibles, finalmente tuvo que reconocer públicamente en un juicio que su pasión por la ciencia y su país (¿se imaginan: un francés había descubierto uno de los principios más importantes de la historia, y un inglés se estaba llevando el mérito? Por supuesto los ingleses no estuvieron impasibles; lean la historia, que duró ocho años en total, y que demuestra que la picaresca no es patrimonio exclusivo nuestro, y que los más insignes pensadores pueden a veces ser engañados como colegiales), lo habían llevado a obcecarse en una entelequia un tanto absurda. La mayor parte de los historiadores destacan a Chasles como continuador de los trabajos de Poncelet en geometría proyectiva, de forma independiente a Steiner. El siglo XIX fue muy productivo en el desarrollo de distintas ramas de la geometría, y no fue extraño que diferentes geómetras desarrollaran resultados y procedimientos de las mismas materias pero de forma independiente sin que hubiera entre ellos comunicación alguna (ni por supuesto indicios de plagio). Finalmente la geometría proyectiva tal y como la estudiamos y trabajamos hoy, con un enfoque más sintético que analítico, quedó establecida por Von Staudt. En 1867, la Sociedad Matemática de Londres lo proclamó miembro honorario de la institución, el mismo año en el que el polifacético e insigne español José Echegaray (recuerden, ministro con cuatro gobiernos diferentes, premio nobel de literatura, fundador de la actual RSME, ingeniero, matemático, y un largo etcétera) expuso la geometría de Chasles en una serie de artículos en varias revistas, que posteriormente serían recopiladas en la obra Introducción a la geometría superior,  como modelo para la educación superior para nuestro país. Recordemos también sus quejas respecto a la posible caída en saco roto de sus desvelos, debida en parte a la falta de orientación clara en los estudios de educación secundaria y las limitaciones de nuevos planes de estudios (¿les resulta familiar? Quien desee documentarse más a fondo, descárguense el clarificador artículo Los estudios de Geometría Superior en España en el siglo XIX, escrito por Ana Millán, Universidad de Zaragoza, en el año 1991, pp. 126 en adelante, y disponible en el enlace). Posteriormente Garcia de Galdeano, Eduardo Torroja  y otros introducen también la geometría proyectiva en las Escuelas de Ingeniería a partir de los trabajos de Chasles y Steiner,  aunque como se indicó anteriormente, la visión de Von Staudt acabaría por imponerse. Era un momento en el que, si bien no investigando aún, los matemáticos y geómetras españoles se encontraban muy al tanto de lo que Europa estaba produciendo. Como seguramente conocerá el lector, Gustave Eiffel dedicó a los científicos e ingenieros franceses de los siglos XVIII y XIX (entre 1789 y 1889) parte del primer piso de su famosa torre, incluyendo los nombres de los 72 más relevantes, entre ellos 21 matemáticos. No se conoce el criterio con el que eligieron los nombres, aunque sí se sabe que algunos se descartaron por su excesiva longitud. Chasles es el undécimo, como vemos en la imagen en la que aparecen del noveno al décimo tercero. También París ha dedicado cerca de un centenar de calles a destacados matemáticos, no todos franceses (uno de los detalles que delatan el poco interés matemático o científico de nuestro país a lo largo de su historia, puede ser precisamente la ausencia de calles, monumentos, instituciones, etc., recordándolos, a excepción, obviamente, de sus localidades natales: sería muy fuerte, por ejemplo, que Logroño no tuviera nada dedicado a Rey Pastor). Chasles tiene la suya en París, como vemos en la placa de la fotografía. Un par de curiosidades más: ¿saben cómo murió el bueno de Chasles? Pues indaguen, aunque quizá alguien deje de comer una de las aportaciones francesas más conocidas a la gastronomía. Por otro lado, el 16 de septiembre de 1996, el astrónomo aficionado Paul G. Comba, bautizó con el nombre de Chasles el asteroide 18510 descubierto desde su propio observatorio Prescott, en Arizona. Sobre la película Tercer trabajo cinematográfico de la directora, productora y guionista francesa Marie-Castille Mention-Schaar. Rodada en el Liceo León Blum de Créteil donde estudian los protagonistas (Malik,  Mélanie, Said, Olivier, Julie, Camélia y Théo), alumnos de diferentes religiones, un tanto revoltosos y ruidosos para la edad que representan como indicamos anteriormente, su actitud cambiará como consecuencia del trabajo encomendado por su profesora de Historia para participar en el Concurso Nacional de la Resistencia y la Deportación que se celebra anualmente en Francia. Si nos fijamos en la ficha técnica y artística, el actor que interpreta a Malik, es además guionista de la película, ya que los hechos narrados están basados en su propia experiencia personal. Tanto él como la directora trataron de reproducir en los jóvenes protagonistas la sorpresa de encontrarse frente a frente con Léon Zyguel, superviviente de los campos  de Auschwitz y Buchenwald, lo cual consiguieron según relatan en entrevistas posteriores (falleció al poco, en enero de 2015; la película se estrenó en Francia en diciembre de 2014). Desafortunadamente, bajo mi punto de vista, ese impacto no se traslada al espectador, ya que su aparición va alternándose con las reacciones de los alumnos que restan fuerza dramática a su presencia en beneficio de algo más melodramático (y por tanto menos impactante aunque su intención haya sido la contraria; dicho de otro modo, querer provocar la lágrima fácil desvirtúa la crudeza real). En cualquier caso, a pesar de todo lo dicho, la película contiene momentos interesantes de reflexión, más para adultos que para jóvenes, a los que la sociedad y sus hábitos ha acostumbrado a rechazar desde el principio cualquier cosa que no se adapte a un ritmo desenfrenadamente videojuguetil. Y por tanto esos herederos (el título original de la película) ni saben ni se quieren enterar de cualquier cosa que afectara a sus antepasados. Y ahí estamos en este momento. Referencias [1] Población Sáez, Alfonso J. Applets en el cine. UNO, Revista de Didáctica de las matemáticas número 58, julio-agosto-septiembre 2011, pp. 108-110.

Jueves, 07 de Enero de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

116. 105. Aventuras Matemáticas en el cine

Analizamos el nuevo libro aparecido recientemente con Matemáticas y Cine como binomio protagonista. Nuestra recomendación para las próximas Navidades. En la pasada reseña del mes de marzo, entrevistábamos al catedrático del Instituto IES Elaios de Zaragoza,  José María Sorando Muzás, con motivo de la publicación de un libro en el que propone un centenar de escenas de películas acompañadas de unas actividades, como uno más de los recursos con los que tratar de “enganchar” a los alumnos de Secundaria a las Matemáticas, a la vez que mostrar que éstas no son sólo una disciplina teórica sino aplicable en muchas situaciones concretas. Además, por supuesto, de facilitar al docente un material concreto (recordemos asimismo que las escenas pueden descargarse sin dificultad de la página web del autor), de modo que los más reticentes ya deben buscarse otras excusas diferentes a las habituales de los medios técnicos o el trabajo de idear ejercicios relacionados. Apenas ocho meses después, José María nos propone un nuevo libro, en esta ocasión no dirigido exclusivamente al quehacer docente, sino al público en general, aprovechando y ampliando en algunos casos, las reseñas que venía redactando desde noviembre de 2004 en la revista SUMA. El libro se divide en  ocho capítulos, cada uno de los cuales está dedicado a diferentes tipos de “Aventuras” (una descripción más detallada puede verse en este enlace): I.- Qué difícil es ser un héroe de película II.- Extrañados por el azar III.- Risas matemáticas IV.- ¿Hay alguien? V.- La estrategia del pistolero VI.- Amar matemáticamente VII.- Números y conciencia VIII.- Pero, ¿qué son las matemáticas? De los títulos se infiere en la mayor parte de los casos la temática de cada capítulo. Así en el primero se articula en torno a películas de acción, el segundo por lo estocástico y probabilístico,  el tercero gira a ritmo de comedia y sobre todo las grandes “burradas” con que en muchas ocasiones nos “deleitan” los protagonistas de las películas, el siguiente la ciencia ficción y la búsqueda de vida inteligente (y en muchos casos seudo-inteligente) en el espacio exterior, los enfrentamientos entre dos o más contendientes son el leit-motiv del quinto, las pasiones y amores en el sexto, la relación con la moral y la ética en diferentes ideologías en el séptimo, para finalizar con aquellas producciones en las que el argumento o los personajes son científicos o matemáticos. El autor ha seleccionado aquellas escenas que más se ajustaban (y/o más le gustaban) al contenido de dichos capítulos y fueran lo suficientemente representativas. Esta circunstancia provoca que algunas de las películas y escenas seleccionadas hayan sido tratadas en otros lugares, si bien ha procurado en ellas aportar algún aspecto diferente al conocido, uno de los méritos del texto. En este sentido, aproximadamente un 45% de las películas son conocidas (en el sentido de haberse difundido ya por otros autores, blogs, reseñas, etc.) siendo el restante 55% inéditas, lo cual no es sencillo tampoco habida cuenta de la amplia bibliografía que las matemáticas y el cine han ido produciendo ya. Siendo una asociación tan llamativa, son muchos los profesores, estudiantes, o simplemente aficionados a ambos géneros los que están continuamente en internet fundamentalmente, proponiendo y localizando nuevas secuencias matemáticamente aprovechables (lo mismo en otras materias como la historia, la física, la química, la literatura, el derecho, la medicina, la filosofía, etc.). Ese es uno de los atractivos del cine, no por secundario desde un punto de vista estrictamente cinematográfico, menos relevante. Por eso también acogemos con interés este texto, ya que cuantas más visiones de diferentes personas se tengan, más riqueza de enfoques encontrarán alumnos, profesores y, en general, los lectores. Dividiré esta crónica en dos apartados, entrelazando algunas frases o párrafos del libro, que pueden ayudar a hacer una idea de su contenido, y por supuesto, que vayáis a comprarlo y leerlo con el mismo interés con el que lo he devorado yo. Lo que más me ha gustado El autor no se limita a describir y comentar las escenas que aparecen, sino que allí donde puede aclarar aspectos de cultura (y no sólo cultura matemática, como qué es la lógica, cómo se codifican mensajes, los problemas clásicos de la Antigüedad, los sólidos platónicos, etc.), de hechos destacables de matemáticos célebres, de crítica y reivindicación, en suma de informaciones relacionadas con aquello que aparece en la escena y tal que su conocimiento es relevante para el espectador y que habitualmente ni se plantea cuando visiona la película (y obviamente no puedo estar más de acuerdo con esa filosofía ya que es la que mueve otro antecedente sobre el tema, Las Matemáticas en el Cine; aquel ordenado temporalmente como antología, éste por temas, como ya se ha comentado anteriormente). En el aspecto crítico/reivindicativo (el que más me gusta), algunas muestras: Pág. 51: “Los números dichos rápidamente casi siempre abruman. Los políticos, especialmente los tecnócratas, lo saben bien”. Pág. 63: “Homer (Simpson) es la caricatura de un tipo de ciudadano algo común: comodón, consumista, poco amigo de los números, ingenuo y fácil de engañar. A demasiada gente le ocurre otro tanto. Eso explica que haya campañas de publicidad que utilizan reclamos del estilo: Por lo que cuesta un café diario tendrá nuestros servicios”. Pág. 70: “Afortunadamente no vivimos en la Idiocracia. La sátira extrema caricaturiza la ficción. Pero escuchar conversaciones en el autobús, ver escaparates, aguantar reality shows en TV o leer la prensa ofrece bastantes muestras de una pobreza numérica que, según los casos, unas veces provoca risa y otras causa pena”. En particular está presente en todo el libro una estupenda intención de desmontar falsos mitos, creencias seudocientíficas y leyendas urbanas que aceptamos como veraces. Incluso algunos poseen dichos o refranes popularmente extendidos que se mencionan, y se desmontan con acierto: Pág 43 (Sobre coincidencias “extraordinarias”): “Sin necesidad de mucha teoría ni de símbolos la educación común y obligatoria debiera proporcionar a todos los ciudadanos las ideas básicas y los procedimientos de cálculo suficientes para superar el asombro antes esas curiosas coincidencias, cuantificar su probabilidad y juzgar racionalmente si son o no extraordinarias”. Pág 45 (Sobre los juegos de azar organizados): “Estos juegos están diseñados de modo que las probabilidades sean favorables al organizador. El individuo que juega en el casino depende de un azar que de partida le es desventajoso, pese a lo cual puede tener una buena racha. Esa es una pequeña probabilidad a la que se aferra. El casino juega continuamente y su fortuna no depende del azar, sino de la Ley de los Grandes Números que le asegura una regularidad estadística de ganancias. [...] Por tales motivos decía Albert Einstein: “La mejor forma de ganar dinero en un casino es asaltarlo con una pistola”. Nuestra conclusión será más conservadora y tranquila. Simplemente digamos que la mejor forma de no perder dinero en un casino es no jugar”. Lo que menos me ha gustado Evidentemente siendo un libro del que digo que me ha gustado y que recomiendo encarecidamente, no puede tener muchas cosas que no me agraden. Hasta el colofón final, con la escena que más gusta al autor, la del descubrimiento de las trayectorias elípticas de los planetas por Hipatia en Ágora, coincide con la mía propia, manifestada en múltiples ocasiones tanto escritas como orales. Sin embargo, y para que nadie piense que esto es una mera propaganda del libro de un compañero y amigo, daré un par de apuntes un poquitín más críticos, razonados por supuesto (otra cosa es que se compartan). El libro está pensado para el público en general, y por ello, las matemáticas explícitas son limitadas, asequibles en general a todo el mundo, y esto no es que no me guste (entiendo que debe ser así), el problema aparece cuando los argumentos no generalizan todas las situaciones, y se induce al error. Por ejemplo, en la conocida escena en la que Bruce Willis “resuelve” el problema de llenar una garrafa con 4 galones exactos de agua utilizando otras dos garrafas de capacidad 5 y 3 galones, se explica lo siguiente (Pág. 32): La obtención de soluciones en las ecuaciones diofánticas no se hace por tanteos al azar. Hay un método: se despeja una de las dos incógnitas y se van dando valores a la otra. En el ejemplo que nos ocupa 5a = 4 – 3b de donde a = Como a y b deben de ser enteros, podemos hacer ahora un tanteo sistemático, dando a b valores que consigan que el numerador sea un múltiplo de 5. Se pasa a continuación a resolver y explicar las soluciones que pueden darse en la situación planteada en la película. Dejando de lado que un “tanteo sistemático”, no es al azar, pero sigue siendo un tanteo, y no vale como procedimiento (bajo mi punto de vista, pero todo es discutible), lo que no me gusta es que lo descrito no es en absoluto un método general. ¿Cómo se resolvería, con ese método, la situación análoga de obtener 9 galones con garrafas de 10 y 6 galones? Pues no se puede, y estaríamos tanteando sistemáticamente hasta el fin de los tiempos, porque la ecuación correspondiente (10a + 6b = 9) no tiene soluciones enteras. La discusión general simplemente involucra un concepto que debería ser conocido también por todos los lectores (yo lo considero básico, puesto que se estudia en la enseñanza más básica) como es el máximo común divisor de dos números. Una ecuación diofántica lineal ax + by = c tiene soluciones enteras, si, y sólo si, el mcd(a, b) divide a c. ¿Que excede el nivel que se quiere dar al texto? Entonces, al menos, indicar que no todas esas ecuaciones pueden resolverse, y menos con el método que se indica. Tampoco es un método práctico si las soluciones son de números altos, porque el tanteo sistemático en ese caso, es desaconsejable si no se efectúa con ordenador o calculadora. Por otro lado, el libro aporta al final de cada capítulo una detallada filmografía de todas las películas y series de televisión consideradas, lo correcto por otra parte. Sin embargo se echan un poco en falta otras publicaciones y referencias a las matemáticas y el cine publicadas en nuestro país (curiosamente el país donde más trabajos en este sentido se llevan editados, lo que no deja de ser paradójico: nos encanta el cine, pero las salas acusan un descenso progresivo de asistencia, salvo en casos puntuales, y no digamos lo que nos gustan las matemáticas en general) que, en muchos casos, ya se han ocupado con anterioridad de títulos que aparecen en el libro. Se trata por tanto de una bibliografía exclusivamente de las fuentes consultadas, y no general. Es una opción respetable, aunque personalmente me decanto por una más generalista por aquello de que el lector, si lo deseara, tuviera unas referencias para ampliar o simplemente comparar enfoques. Finalmente indicar en el debe que conforme se va progresando en la lectura, las referencias cinematográficas van disminuyendo (al menos, las novedosas). Por ejemplo, en el capítulo quinto, La estrategia del pistolero, básicamente todo gira en torno a la discusión del desenlace de El bueno, el feo y el malo, citándose otros duelos famosos, pero con escasa o ninguna relación matemática concreta (entiéndase que aparezca en la propia película; siempre podemos añadir nosotros los datos de acuerdo al problema que queramos plantear y resolver). Cito en particular este capítulo, dada mi gran afición al western, queriendo descubrir nuevas ideas en un género que, como digo, teniendo tan trillado, no he logrado localizar más de lo que se ha comentado en las referencias clásicas. En este caso, no es un asunto achacable al texto, sino al deseo personal de nuevas expectativas. Independientemente de todo lo dicho, considero este libro un excelente regalo para estas próximas Navidades y fiestas (para los demás y para vosotros mismos) con el que os queremos desear lo mejor de lo mejor para este nuevo año que comienza, cuya expresión numérica tiene, por si no os habíais dado cuenta, todos los números primos de una cifra en su factorización (sí, ya se que uno se repite, pero que le vamos a hacer, como diría el genial Billy Wilder, Nobody is perfect!). Pasadlo bien, pero cuidad los excesos, que a la vuelta os espera mucho más cine,... y matemáticas.

Viernes, 04 de Diciembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

117. 104. Una decena de gazapos matemáticos

Hace unas semanas compartí en la página de Facebook homónima de esta sección un video con gazapos matemáticos en películas. Al estar en inglés, muchos amigos me han pedido si fuera posible que les pasara la traducción al español. Además de eso le dedicamos esta reseña. Y adelantamos la publicación de un nuevo libro, Aventuras Matemáticas en el Cine. Burkard Polster, el matemático de la imagen, además de su labor docente en la School of Mathematical Sciences en la Universidad de Monash (Universidad pública en Melbourne, Australia), y su trabajo de investigación (en geometría finita y topológica, teoría de grupos, diseños en combinatoria, historia de las matemáticas, interpolación clásica, visualización por ordenador, educación en matemáticas y divulgación, además de cualquier cosa de matemática recreativa), se ha creado un personaje, Mathologer, que en un canal especifico de YouTube, presenta, dirige y pone a disposición de todo el que quiera verlo, una serie de clips de divulgación matemática sobre los más variopintos temas. Junto a su compañero Marty Ross es autor del libro Maths Goes to the Movies (ver reseña 85, de diciembre de 2013), además de colaborador en periódicos, revistas, blogs, páginas web,..., ¡¡Uf, la lista es interminable!! (¿Cómo les da el tiempo para tanto a algunos? Le crean a uno complejo de mal organizador del tiempo, como poco). El vídeo del que nos ocupamos lleva por título 10 of the greatest math movie bloopers. Esta es su transcripción (en negro), y mis comentarios y ampliaciones (en azul). Hoy tengo algo muy especial para ustedes. He preparado un cartel de 10 secuencias de películas y su misión, si deciden aceptarla, es encontrar todas las meteduras de pata matemáticas en estos clips, señaladas en los comentarios. En segundo lugar, tratar de identificar en que películas y series de televisión aparecen, que también está en los comentarios. Y finalmente, si conocen cualquier otro gazapo matemático en alguna película, pueden indicármelo, por supuesto, en los comentarios. Después les comentaré algo más de todo esto, pero por el momento sólo diviértanse. 1.- El Capitán Kirk hace sentirse orgullosa a la Academia de la Flota Estelar. Capitán Kirk: ¿Preparado Mr. Spock? Mr. Spock: Cuando guste, capitán. Capt Kirk: Señores, este equipo tiene una sensibilidad auditiva que permite percibir sonidos. Mediante la instalación de un amplificador podemos aumentar esa capacidad en un orden de 1 elevado a la cuarta potencia. Comentario: Incrementar esa capacidad en un orden de 1 elevado a la cuarta potencia. 14 = 1 x 1 x 1 x 1 Parece claro que lo que se quiso decir era que el incremento sería del orden de 104, sólo que el actor se equivocó, y nadie reparó en la tontería que dice (o simplemente, les dio igual, que no me extrañaría). Aparece en el episodio vigésimo de la primera temporada de la serie Star Trek, titulado Consejo de guerra (Court Martial)  estrenado en los EE. UU. el 2 de febrero de 1967. Corresponde a la fecha estelar 2947.3, y en él, el capitán Kirk se enfrenta a un consejo de guerra, acusado de una negligencia que ha matado a un miembro de su tripulación. Cuando descubre que uno de los miembros del Tribunal que lo juzga es una antigua amante, Kirk teme por el futuro de su carrera. Con argumentos como el mostrado, mal lo tiene, la verdad. 2.- Atletismo matemático en su máxima expresión En este caso se trata de una imagen, ampliamente conocida. Los alumnos celebran el día dedicado al número Pi (tradición en los países anglosajones el 14 de marzo (por aquello de 3.14; ya saben que primero ponen el mes y luego el día), y venden tartas y empanadas (Pie en inglés suena igual que Pi) Comentario: Pi – i –cidio. La canción que suena en la escena es Three is a magic number, interpretada en la película por el grupo Blind Melon. Se ha convertido en una canción muy popular y tiene su historia que brevemente resumo. Bob Dorough (nacido en 1923, tiene ahora 91 años) es un pianista norteamericano de bebop y cool (por si no lo sabéis, el bebop es una variante del jazz que se desarrolla en la década de los cuarenta del siglo XX, que  cronológicamente sucede al swing y precede al cool y al hard bop), cantante, compositor, arreglista y productor. Trabajó con Miles Davis y Blossom Dearie, aunque es más conocido por ser el compositor principal e intérprete de muchas de las canciones utilizadas en la serie Schoolhouse Rock!, una serie de cortos animados educativos que se emitieron en las cadenas de televisión filiales de la ABC norteamericana los sábados por la mañana en los años 1970 y 1980. Aparte de eso, Dorough ha lanzado álbumes de jazz periódicamente durante los últimos cincuenta años, el último, Eulalia, en 2014. Pues bien, Dorough compuso la canción Three is a magic number (aquí se puede ver el episodio original de la Schoolhouse Rock! emitido el 3 de febrero de 1973) después de que David McCall, presidente de una agencia de publicidad comprobara que su hijo se sabía perfectamente todas las letras de las canciones de los Beatles (no me extraña; yo también me las sé), y sin embargo era incapaz de aprender las tablas de multiplicar. Así que encargó a Bob una canción, y Three is a magic number es lo que salió. No consta en ningún sitio si el niño aprendió finalmente las tablas, pero fue el germen de la serie de animación anteriormente citada, que estuvo en antena desde 1973 a 1985. En ella trataron temas de gramática, ciencia, economía, historia, matemáticas, y civismo. Las tablas de multiplicar tuvieron una sub-serie concreta denominada Multiplication Rock de 12 episodios. Sus títulos (que pueden verse en YouTube sin más que buscarlos por su nombre) son: My Hero, Zero (dedicado a las potencias de 10), Elementary, My Dear (tabla del 2), Three Is a Magic Number (tabla del 3), The Four-Legged Zoo (tabla del 4), Ready or Not, Here I Come (tabla del 5), I Got Six (tabla del 6), Lucky Seven Sampson (tabla del 7), Figure Eight (tabla del 8), Naughty Number Nine (tabla del 9), The Good Eleven (tabla del 11) y Little Twelvetoes (tabla del 12). La sencillez de las letras hace que para nosotros sean unos cortos animados estupendos no sólo para las tablas de multiplicar sino también para la práctica del inglés. Una idea de lo popular que es esta canción la da la cantidad de intérpretes, grupos y bandas de rock que la han interpretado (una pequeña muestra: Blind Melon; Jeff Buckley; Embrace; Greg Raposo, Matt Ballinger, y Stevie Brock en una versión para Disney con una letra diferente, versiones de orquesta, etc...). Por si alguien la quiere seguir, aquí está la letra en inglés: Three is a magic number // Yes it is, it's a magic number // Somewhere in that ancient mystic trinity // You'll get three // As a magic number The past, the present, the future, // Faith, and hope, and charity, The heart, the brain, the body, // Will give you three, // It's a magic number It takes three legs to make a tripod or to make a table stand, And it takes three wheels to make a vehicle called a tricycle And every triangle has three corners, // Every triangle has three sides, // No more, no less, // You don't have to guess // That it's three // Can't you see? It's a magic number A man and a woman had a little baby // Yeah they did // And there were three in the family // And that's a magic number 3, 6, 9, // 12, 15, 18, // 21, 24, 27, // 30 Now multiply backwards from 3x10 3x10 is 30 // 3x9 is 27 // 3x8 is 24 // 3x7 is 21// 3x6 is 18 //  3x5 is 15 3x4 is 12 // And 3x3 is 9 // And 3x2 is 6 // And 3x1 is 3 of course (now dig the pattern once more!) 3, 6, 9, // 12, 15, 18 // Oh yeah // 3x10 is 30 // 3x9 is 27 // 3x8 is 24 3x7 is 21 // 3x6 is 18 // 3x5 is 15 // 3x4 is 12 // And 3x3 is 9 And 3x2 is 6 // And 3x1 // What is it? // 3 A man and a woman had a little baby // There were three in the family And that's a magic number Y la película es Nunca me han besado (Never been kissed, Raja Gosnel, 1999). 3.- Uno de los mejores momentos de James Bond La escena no está completa, sino que se ha cortado parte del diálogo. El caso es que lanzan una bomba contra el oleoducto más importante de petróleo de Occidente cuya destrucción dejará sin suministro a la gente durante el próximo siglo (lo de siempre en estas películas, ¿porqué quedarse cortos? Que se note que la situación es crítica). Alguien: Va a la terminal petrolífera 007: Allí el daño sería mayor. Que tus hombres evacuen esa terminal. 007: Va a por el petróleo. 007: ¿A que distancia está de la terminal? ¿Y a que velocidad va? Alguien: Está a 106 millas de la terminal, y va a 70 millas por hora. 007: Tenemos 78 minutos. Comentario 106 millas a 70 millas por hora = 78 minutos Claramente la cuenta está mal en la versión original. La cuenta da 90.85 minutos aproximadamente, pero es que en la versión doblada al español (que podían haberlo arreglado; a veces se ha hecho), se toman la molestia de pasar las millas a kilómetros (1 milla son 1.609 kilómetros; 1.609 x 106 = 170.554, redondean a 170, y la velocidad sería 70 x 1.609 = 112.63 Km/hora, pero ¿para que poner 112, si 110 es más redondito), pero dejan el error de Bond (total hay que ser fieles al original). La frase que aparece es por tanto: Está a 170 Km., y va a 110 Km. por hora. Por tanto Bond es aún más bruto aquí porque serían 92.72 minutos lo que tardaría en llegar la bomba. Más bruto en los cálculos, se entiende, a pesar de decirlo tan convencido lo de los 78 minutos. Moraleja: no se fíen de Bond, en nada. La película es El mundo nunca es suficiente (The World is Not Enough, Michael Apted, 1999). 4.- El futuro del mundo depende de dos chicos que tienen el mismo error matemático de la misma manera. General: Tendremos que utilizar toda la energía que haya al Este de las Rocosas para disparar el Destiny. Otro pico EM y no tendremos energía. Stickley: General, tiene que darles más tiempo. General: Ya no hay más tiempo. Coronel, llame al Destiny. Stickley: Presentaré una demanda formal contra usted ante el Departamento de Defensa. Rata: Rata a Josh. Josh Keys: Aquí, Rata. Rata: Hola. Te doy los datos del campo EM. ¿Vale primo? Josh Keys: Captado Rata. Vale primo, vale primo. Números primos... 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ... En pantalla aparece el mensaje: Lo del Destiny suena fatal. ¿Puedo ayudar? Comentario: Números primos. La verdad es que siendo la película entera un despropósito científico (se trata de El núcleo, dirigida en 2003 por Jon Amiel), casi no es reseñable que se utilicen los primeros números primos como sistema de codificación de un mensaje, pero en efecto, parece una simpleza de niños hacerlo así, no de unos teóricamente “prestigiosos científicos”. 5.- Arquímedes se retorcería en su tumba  (St. Trinian's) Stephen Fry (Presentador): Y ahora matemáticas. ¿Qué tal vais con las matemáticas, chicas? Vamos allá. ¿Cuál es el volumen de una esfera? (Dan al botón). Presentador: Si, Peaches, has llegado la primera. Peaches: Bastante alto. Presentador: Estás ladrando al árbol equivocado. Esto no es exactamente lo que queremos decir con "volumen". ¿Alguna idea? ¿Si, Jemima? Jemina: Pi por R al cubo. Pi veces el radio al cubo. Presentador: Es Pi por R al cubo. Bien dicho. Siempre he sido bastante bueno con las cifras. Comentario: “Bastante alto” era mejor respuesta. Y Stephen Fry seguramente es menos guay de lo que se cree. La película se estrenó en España con el “atrayente” título de Supercañeras - El internado puede ser una fiesta (St. Trinian’s, Oliver Parker y Barnaby Thompson, 2007). Creo que no hay mucho más que decir. 6.- Las matemáticas de los vampiros dan más miedo que los propios vampiros. Ben Mears: Escúchame. Tienes que conseguir sellar la casa. Los crucifijos se encuentran en... Susan: Mamá no me hará caso. Ben: ¡Tiene que hacerlo! Se reproducen a partir de otros. Los vampiros crean vampiros. Es una progresión geométrica: 2 x 2 x 4 x 8 Comentario: progresión geométrica: 2 x 2 x 4 x 8. Entre La matanza de Texas y Poltergeist, el director de culto Tobe Hooper dirigió para televisión El misterio de Salem's Lot (Salem's Lot, (1979). El célebre entonces David Soul (el rubio de Starsky y Hutch) intenta describir el típico modelo de crecimiento de una población, aunque parece no haber entendido el concepto en el que se basa. 7.- El cazador de extraterrestres James Spader preocupándose demasiado Kate: No hay señal de ningún patógeno. Michael: ¿Estás segura? Kate: Mira tú mismo. Nada más que células sanas. Nyla: Podría estar oculto en la proteína. Michael: Sabes que es poco probable. Julian: ¿Cómo de improbable? ¿Cuáles son las probabilidades? Kate: 99.99999.... hasta infinito Julian: ¿Pero no 100? Comentario: 99.999999.... , pero no 100 Se trata de la película Alien Hunter (Ron Krauss, 2003). El personaje principal, Julian Rome (James Spader) es un experto criptógrafo que trabaja en un programa de búsqueda de inteligencia extraterrestre del gobierno de EE.UU. En la película, al final, logra descifrar un complejo código, pero la verdad es que hacer ese comentario sobre si 99.999999999...... nunca llega a 100, y no saltar con los ojos de par en par escuchando como se identifica probabilidad con porcentaje, pues deja mucho que desear, sinceramente. 8.- Peter Dinklage como un genio de las matemáticas hablando del concepto de grupo. Operación Threshold (algo así como Operación Límite, pero no se ha traducido en castellano esa palabra inexplicablemente) es una serie de televisión de la que sólo se realizó una temporada de trece episodios que se canceló apresuradamente, no sé sabe porqué, ya que estaba prevista su continuación, además de tener una aceptable respuesta del público. Uno de sus protagonistas es el actor Peter Dinklage (sobradamente conocido por Juego de Tronos), que interpreta a Arthur Ramsey, un sarcástico matemático. La escena pertenece al segundo episodio titulado Trees Made of Glass, de 2005. La escena tiene lugar en un bar, en la que Ramsey habla con un superior, que trata de convencerle de que vuelva a su trabajo. El diálogo que nos importa es la última frase de Ramsey: Ramsey: ¿Novakovic? Un matemático mamón. Humo y apariencia. Terapia de grupos isomorfos, sucesiones monótonas conocidas, reciprocidad cuadrática, y bla, bla, bla. Vamos con algo nuevo, por favor. Comentario: ¿Tera... qué, de Grupos? Claramente el actor debió decir Isomorphic Group Theory (Teoría de Grupos Isomorfos), pero soltó Isomorphic Group Therapy, y así lo dejaron. 9.- El equipo de Stargate pasa el tiempo con un relajante juego de primo-no primo. Mientras realizan una aburrida exploración, los integrantes de la patrulla juegan a decir si un número es primo o no es primo. Este es el diálogo: Zelenka: 7.549. Mckay: Oh, por favor. Primo. 4021. Zelenka: Ah, buen intento. No es primo. Ok. Teniente Ford, 599. Ford: No me importa si es un número primo o no. Zelenka: Oh, vamos. ¿Si o no? Ford: No. Zelenka: Es increíble. Diez de diez. Mckay: Es terrible. Ford: Me la suda esto de primo / no primo. De todos modos, voy a dormir esta noche. Zelenka: Esto va mucho más allá de no conocer números primos. Mckay: Es un juego de verdadero / falso. Estadísticamente, por simple suposición, debería obtenerse al menos la mitad de ellos correctamente. Mira, 993. Ford: Primo. Mckay: Oh, venga. Ese es muy fácil. ¿Estás escuchando esto, Hays? Hays: En realidad no. Supongo que he estado demasiado ocupado haciendo mi trabajo. El diálogo continúa así: Mckay: Nosotros ya hemos pasado por esta sección de Atlántida, Dr. Killjoy. Es estructuralmente sólida. Zelenka: (empieza a reírse) Teniente Ford, ¿le importaría ser un tema de trabajo de investigación sobre improbabilidades estadísticas? Ford: Esto es un tipo de venganza porque tipos como yo golpeábamos a tipos como tú en el instituto, ¿verdad? En este caso no aparece comentario alguno, pero 4021, sí es primo. Se trata de la serie de televisión Stargate: Atlantis, el episodio 1.13 titulado Hot Zone (2004). Creo que no se ha estrenado en España. 10.- Mel Gibson interpreta a un hombre con una cara desfigurada que enseña geometría aún más aterradora. McLeod: Dibuja un círculo. ABC. Dibuja sobre él una recta cualquiera AB. Ahora cortamos AB por su punto medio D, y dibujando una recta DC que forme un ángulo recto con AB. ¿Me sigues Noodstad? Norstadt: Si, señor. McLeod: Ok. Y con la otra recta AC, tomando su punto medio, encontramos el centro del círculo. Comentario: Cerca, pero no hay plátano.... Escena muy difundida de El hombre sin rostro (Man without a face, Mel Gibson, 1993). En ella Justin McLeod (Mel Gibson) trata de demostrar cómo encontrar el centro de una circunferencia a partir de dos cuerdas que tienen un punto común. Es un caso particular, porque la demostración general (la proposición 47 de Euclides, que dice en la película) no exige que dichas cuerdas tengan un punto común. En realidad es un corolario al problema I del tercer libro de los Elementos de Euclides, pero depende de como numeren los capítulos y las proposiciones. Yo no lo hubiera incluido como gazapo, sinceramente, porque todo lo que dice (salvo llamar círculo cuando quiere decir circunferencia, y recta en lugar de cuerda o segmento) es correcto. No totalmente general, pero no incorrecto. Finalmente, Burkhard concluye este video con estas palabras: Bukhard: Espero que hayan disfrutado de todo esto y que no les haya costado descubrir los títulos a los que pertenecen, después de haber mostrado un poco el contexto. Si echan un vistazo a esta portada, el libro Math Goes to the Movies, y lo conocen, les habrán resultado familiares. Aquí está el fondo de lo que estoy utilizando para estos vídeos de Mathloger. Un amigo, Marty Ross, y yo lo publicamos en 2012. Hemos estado obsesionados recopilando trocitos y escenas de matemáticas en las películas desde hace más de 20 años y tenemos una enorme colección de este tipo. Decidimos ponerlo todo junto en un libro, y este el resultado, pero no sólo eso. También tenemos un sitio web para mostrar y hablar de clips de películas y de toda clase de matemáticas divertidas, y lo venimos desde hace años y años y años y, bien, si hace clic en ese enlace aquí justo en la parte superior, usted conseguirá entrar en él.  La página se llama Mathematical Movie Database y es una enorme, enorme recopilación de unas mil entradas de secuencias de matemáticas en las películas. Si desea puede echarle un vistazo de vez en cuando, e indicarnos alguna otra película que usted conozca  Aquí hay un apartado para los Gazapos Matemáticos, aunque antes de mandárnoslo, compruebe que no se encuentra ya registrado. En próximas ediciones habrá más acción matemática de película en Mathologer, pero esto es básicamente lo que hay para hoy. Como comentaba al principio, prácticamente al cierre de esta reseña, me llegó la noticia de la edición y publicación de un nuevo libro en español sobre Cine y Matemáticas. Se trata de Aventuras Matemáticas en el Cine, y su autor es nuestro compañero, José María Sorando Muzás (de cuto libro anterior hablamos ampliamente en la reseña 98, de esta misma sección). En cuanto tengamos más información sobre el mismo os la daremos puntualmente, y si es posible, volveremos a charlas con su autor. De momento indicar que va dirigida al público en general, que aborda 152 escenas pertenecientes a 142 películas y teleseries, y que se divide en ocho capítulos que tiene estos llamativos títulos: 1 Qué difícil es ser un héroe de película 2 Extrañados por el azar 3 Risas matemáticas 4 ¿Hay alguien? 5 La estrategia del pistolero 6 Amar matemáticamente 7 Números y conciencia 8 Pero, ¿qué son las matemáticas? Hasta el mes que viene.

Domingo, 01 de Noviembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

118. 103. El hombre que conoció el infinito

Como ya sucedió el año pasado con The Imitation Game, el Festival Internacional de Toronto acogió este año la première mundial de The man who knew Infinity, nuevo biopic sobre un matemático, el genial Srinivasa Ramanujan. Adelantamos algo de lo que encontraremos en ella. En 1991, el ingeniero norteamericano Robert Kanigel (nacido en 1946) escribió una biografía altamente valorada internacionalmente (y por supuesto nunca editada en España, para no variar) sobre Ramanujan, The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan. En ella no sólo encontramos una descripción de la vida de este ser humano único, sino también una mini-biografía de Godfrey Harold Hardy, probablemente el matemático británico más brillante de su generación, y una aproximación bastante interesante sobre el mundo académico de la Universidad de Cambridge de esa época (principios del siglo XX). Un libro muy ameno, de los que se leen de un tirón sin demasiado esfuerzo. Basándose en él, el guionista y director de cine Matthew Brown (su anterior y primer largometraje fue la comedia romántica Ropewalk (2000), no estrenada comercialmente en nuestro país) nos presenta esta película (en este caso si parece probable que llegue a nuestras pantallas), de la que, como es habitual, adelantamos una pequeña ficha técnica y artística. Ficha Técnica: Título Original: The Man who Knew Infinity. Nacionalidad: Reino Unido y EE. UU., 2015. Dirección: Matthew Brown. Guión: Matthew Brown, basada en la biografía novelada homónima de Robert Kanigel. Fotografía: Larry Smith, en Color. Montaje: JC Bond. Música: Coby Brown. Producción: Jon Katz, Edward R. Pressman, Sofia Sondervan, Joe Thomas y Jim Young. Duración: 114 min. Ficha artística: Intérpretes: Jeremy Irons (G. H. Hardy), Dev Patel (Srinivasa Ramanujan), Toby Jones (Littlewood), Stephen Fry (Sir Francis Spring), Jeremy Northam (Bertrand Russell), Kevin McNally (Major McMahon), Enzo Cilenti (Doctor), Shazad Latif (Chandra Mahalanobis), Padraic Delaney (Beglan), Nicholas Agnew (Andrew Hartley), Devika Bhise (Janaki), Alan Bentley (Fellow), Richard Cunningham (Hobson), Alexander Cooper (Camillero), Roger Narayan (Mr. Iyengar / El Escriba), Elaine Caulfield (Ward Sister), Eleanor Inglis (Ward Sister), James Francis Andrews (Transeúnte y Soldado), Devlin Lloyd (Estudiante / Cadete), Roman Green (Soldado Herido), Jack Philips (Estudiante matón y Soldado), Pat Carney (Fellow de la Royal Society), Dominic Cazenove (Camarero), Imogen Sage (Enfermera), Shenagh Govan (Encargada del correo), Pip Barclay (Estudiante). Alexander Forsyth (Barnie), Jon Lawes (Soldado Herido). Thomas Bewley (Baker). Aquellos que conozcan la historia, el trabajo y el legado de este matemático, por poco que sea, seguramente se acercarán con desconfianza a cualquier película sobre su persona. Es difícil plasmar en la pantalla el alcance de sus trabajos. Por otro lado, una película es, hoy más que nunca, un producto comercial que busca en primer lugar rentabilizar la costosa inversión que normalmente se hace. Después están los añadidos tales como difundir la cultura, hacer reflexionar al espectador, bla, bla, bla, que debería ser, y así se manifiesta reiteradamente, el objetivo principal, pero hace tiempo que las cosas no van por ahí, desgraciadamente. Y ¿qué puede hacer al público actual pagar una cantidad no despreciable sino simplemente por pasar un buen rato y entretenerse? Desde luego no la profundidad de las ecuaciones y fórmulas descritas por Ramanujan en sus célebres Cuadernos. Nos tendremos que conformar con que se relate su peripecia vital al menos del modo más riguroso posible, pero de nuevo, sin perder esa chispa de forzada emoción que debe incluir cualquier biopic que quiera no pasar desapercibido, y una impecable factura técnica (puesta en escena, música, actuaciones, fotografía, etc.). No debe entenderse mal el sentido del párrafo anterior: estamos encantados de que se lleven a escena, y se difunda la existencia de célebres científicos y matemáticos. Es muy positivo, cultural e informativamente. Pero también es cierto que hacerlo mal o parcialmente puede ser incluso más pernicioso que no hacerlo (que se lo digan a arqueólogos o historiadores qué les parece cómo se han mostrado algunos hechos e incluso civilizaciones). Por eso, nos gustaría que el enorme esfuerzo que somos conscientes lleva la realización de una producción cinematográfica de cierta envergadura como ésta, fuera acompañada del máximo respeto (eso lo tiene seguro) y rigor científico (o sea algo un pelín más allá de lo mero anecdótico de la descomposición de 1729 como suma de dos cubos distintos mentalmente). No es otra la intención y el deseo de estas líneas. Dicho lo cual, indagamos un poco en el trabajo de preparación de la película. De principio parece prometedor que el director se haya tirado ocho años en tener preparado el guión. Además, las producciones actuales (seguramente las antiguas también, aunque en general no se ha dejado constancia de ello en la mayor parte), aproximadamente desde finales de los años ochenta del siglo pasado, han venido incorporando expertos asesores técnicos en los más diversos campos que dignifiquen un poco lo que se va a contar. En este caso han contado con uno de los mejores conocedores de la obra de Ramanujan, el matemático norteamericano Ken Ono. Este conocimiento viene dado por el campo en el que trabaja y está especializado: formas modulares y automórficas, teoría algebraica de números, teoría de particiones, curvas elípticas y combinatoria. En 2010 presentó el desarrollo de una  fórmula de cálculo de particiones de números, basada en conjuntos fractales, que abre interesantes vías en la demostración de varios problemas clásicos de teoría de números aún sin refutar o probar. En este enlace puede verse una de sus conferencias para un público no especializado (está en inglés) sobre sus trabajos, altamente recomendable. Me consta que Ono ha realizado un trabajo a fondo en el asesoramiento de la película: explicando al protagonista Dev Patel (¿recuerdan aquel joven de Slumdog millionaire?) diferentes resultados matemáticos (los vemos en la imagen, cortesía de Ken Ono y Pressman Films), con Jeremy Irons (interpreta a Hardy) indicándolo cómo se expresa, piensa y se comporta un matemático en general (o sea tratando de hacer creíble su personaje; además, Irons es un actor muy cerebral, que siempre impregna a sus personajes de una cuidada apariencia de verosimilitud). Especialmente satisfecho se manifiesta Ono de haber logrado que el protagonista haya sido capaz de reproducir de su propia mano una nada despreciable cantidad de fórmulas y expresiones matemáticas complejas sin ningún error. Pero su trabajo no sólo ha consistido en cuidar las apariencias. También ha seleccionado los resultados de Ramanujan que consideró más adecuados que fueran mostrados, y ha tratado de modificar los diálogos del guión de modo que las matemáticas sonaran, no del modo actual, sino como lo harían los matemáticos de principios de siglo (no es algo trivial; las matemáticas han progresado mucho desde entonces, y no es difícil que se cuele algún anacronismo con algún teorema o resultado probado posteriormente). Entre la selección que ha hecho se encuentran las evaluaciones de la fracción continua de Rogers-Ramanujan, las fórmulas de Ramanujan para aproximar el número Pi (en las imágenes pueden verse algunas), la conocida como fórmula de Hardy-Ramanujan para la función partición, y su trabajo en la factorización de números altamente compuestos. Sin profundizar demasiado, expliquemos sucintamente algo sobre estos últimos. Ramanujan introdujo en 1915 el concepto de Número Altamente Compuesto (High Composite Number; abreviadamente HCN) en un artículo con ese mismo título para definir a todo aquel entero positivo que tiene más divisores que cualquier entero positivo más pequeño que él. En términos matemáticos, aquellos n tales que d(n) > d(k) para todo k < n, siendo d(n) el número de divisores de n. Por ejemplo el número 6 es un número altamente compuesto porque tiene 4 divisores (1, 2, 3, 6), más que todos los enteros menores que él (1, 2, 3, 4 y 5; el 4 tiene sólo tres divisores). Sin embargo el 8 no es un número altamente compuesto precisamente porque un número menor que él (el 6) tiene el mismo número de divisores (4 divisores). Hay muchos otros tipos de números relacionados con este concepto. Describiremos sólo dos: Números Suaves (Smooth Numbers o 7-Smooth Numbers) que son aquellos cuya descomposición en producto de números primos sólo contiene potencias de los primos de un solo dígito, esto es, potencias de 2, 3, 5, 7 (por ejemplo, 10500 es un número suave ya que es 22 x 3 x 53 x 7; no tienen por qué estar los cuatro). El concepto se generaliza a Número k-suave (cuando no tiene factores primos mayores que k). Número ampliamente compuesto (Largely Composite Number) son aquellos que tienen al menos tantos divisores como cualquier entero positivo menor que ellos. En términos matemáticos, n es ampliamente compuesto si, y sólo si,  d(n) ≥ d(k) para k desde 1 hasta n – 1, siendo, como antes, d(n) el número de divisores de n. Tanto el 6 como el 8 son ampliamente compuestos. No he encontrado ninguno de estos números definidos en español. Si existieran con otro nombre lo desconozco. Esta traducción es la que me ha parecido más adecuada al original Para aquellos interesados en vislumbrar un poco el porqué de estas definiciones, pueden en este enlace leer y descargar el artículo original de Ramanujan sobre los Números Altamente Compuestos, comentado y aclarado (afortunadamente) por Jean-Louis Nicolas en 1995. Nosotros debemos seguir con la película que es lo que nos ocupa. La película comenzó a rodarse el 3 de agosto de 2014 en Cambridge y se ha estrenado mundialmente el 17 de septiembre en el Festival Internacional de Cine de Toronto (Canadá). No ha logrado ningún premio importante en dicho festival. Una semana después, el 24 de septiembre hizo lo propio en el Festival de Zurich  (Suiza). De estas premieres parten las imágenes que acompañan esta reseña. El primer país que ha anunciado su distribución ha sido Dinamarca que la estrenará en salas comerciales el próximo 21 de enero. De todo ello se deduce que el que esto escribe aún no ha logrado verla en su totalidad (sólo algunos fragmentos) dado que en esta ocasión no ha sido posible asistir a ninguno de esos festivales, por lo que simplemente recogeremos algunas de las opiniones de la crítica especializada sobre la película (que normalmente y salvo excepciones, no tienen mucha idea de los aspectos científicos ni matemáticos, dicho sea de paso). Qué dicen los que la han visto Una de las coincidencias manifestadas por la mayor parte de los críticos es que el resultado es un tanto convencional, sobre todo la parte relacionada con la descripción de la vida del protagonista en la India. Sorprende que a pesar de lo comentado anteriormente, el crítico Justin Chang afirme en Variety que “aquel que espere saber más acerca de las contribuciones de Ramanujan a la teoría de números, fracciones continuas y otras ramas de las matemáticas harán bien en consultar otros tratamientos dramáticos de su vida”, añadiendo a continuación que “nunca es una buena señal que una película termine con una exaltación de los logros de su protagonista mientras se deja a los espectadores con una comprensión meramente rudimentaria de lo que fueron esos logros. Y tal es el caso de The Man Who Knew Infinity, que, a pesar de sus continuos diálogos hablando de pruebas y teoremas, propone su historia a un público cuyo interés por las matemáticas de nivel superior es de suponer que esté bastante lejos de infinito”. Suena fuerte, ¿verdad? Personalmente me parece un poco contradictorio que por un lado indique que no se profundiza en el legado de Ramanujan, y por otro se queje de la excesiva verborrea de teoremas, fórmulas y resultados. ¿Quizá es que no alcanza a entender algunas de esas cosas? Es la única explicación que veo. El tono mejora con la aparición de Hardy y el desplazamiento al Trinity College (obtuvieron permiso, por cierto, para rodar en la propia universidad histórica, lo que aporta calidad estética al conjunto), en una nueva película Oxbridge (Oxford & Cambridge). Ciertamente los mejores momentos parecen estar en la tensión dialéctica entre ambas personalidades: Ramanujan quiere que le publiquen sus trabajos rápidamente, pero Hardy quiere las cosas con rigor, con demostraciones y pasos detallados, modo de trabajo que no alcanza a comprender Ramanujan (que no olvidemos, afirmaba que sus descubrimientos le venían dictados por la diosa Namagiri, la deidad de su familia, afirmaciones que chocan de lleno contra el ateismo militante del matemático inglés). Por otro lado, aparecen los prejuicios e incluso el racismo oculto de una sociedad, la británica, que no puede entender cómo se mantiene y gastan recursos por una persona que, según ellos, no aporta nada de acuerdo a su rígida visión academicista. Aunque no todo será hostilidad. El contrapunto lo proporcionan el amistoso John Edensor Littlewood (un magnífico Toby Jones) y Bertrand Russell (Jeremy Northam), miembros de la facción progresista de Cambridge, puesta a prueba por el inicio de la primera guerra mundial. Su exhibición de ingenio, combatiendo a los detractores de Ramanujan o mostrándole los entresijos del santificado Trinity, imprime una gran convicción a la puesta en escena. En todo caso, volveremos sobre ella, cuando se estrene, con más conocimiento de causa. Las imágenes del rodaje de la película que se incluyen fueron tomadas por Geoff Robinson el 18 de agosto de 2014 en Cambridge. Otras personalidades Además de Ramanujan, la película presenta otros matemáticos y científicos de los que conviene saber al menos porqué destacaron y porqué aparecen en la película. Para no extender demasiado la reseña, dejaremos a un lado los suficientemente conocidos G. H. Hardy, J. E. Littlewood (recordemos simplemente la famosa conjetura Hardy-Littlewood respecto primos gemelos), y Bertrand Russell (del que ya hablamos en la reseña 66, de enero de 2012). Recordaremos brevemente a dos menos conocidos: Prasanta Chandra Mahalanobis (29 de junio de 1893 – 28 de junio de 1972) fue un científico indio que destacó en estadística aplicada. Su contribución más conocida es la distancia de Mahalanobis, una medida de distancia estadística. Realizó trabajos pioneros en las variaciones antropométricas en la India. Fundó el Instituto Indio de Estadística, y contribuyó de manera fundamental al desarrollo de las encuestas a gran escala en la India, en estudios de gastos de consumo (como los hábitos de consumo de té), medición de rendimiento de los cultivos, enfermedades de las plantas, censos, etc. Se graduó en física en 1912 por la Universidad presidencial de Calcuta, y completó sus estudios en el King's College de Cambridge, tras lo que volvió a Calcuta. En 1913 conoció y coincidió con Ramanujan en Cambridge. Su interés por la cultura le llevó también a otras disciplinas, como por ejemplo trabajar como secretario del poeta Rabindranath Tagore durante sus viajes a países extranjeros. Sir Francis Joseph Edward Spring (1849 - 1933) fue un ingeniero civil anglo-irlandés, miembro del Consejo Legislativo Imperial británico que jugó un papel pionero en el  desarrollo de los ferrocarriles de la India. Entre sus trabajos se encuentra la construcción de un célebre puente de ferrocarril a través del río Godavari. Desempeñó diversos cargos relevantes (Secretario Adjunto del Gobierno de la India, Subsecretario de Gobierno de Bengala, Gerente de los Ferrocarriles de la Costa Este de la India, Secretario del Gobierno de Madrás, Presidente de la Madras Port Trust, miembro de la Universidad de Madras y la Universidad de Calcuta, entre otros),  colaborador habitual en revistas especializadas de ingeniería en la India, aunque su aparición en la película viene justificada por haber sido la persona que más interés puso para que el gobierno apoyara y patrocinara los estudios de investigación matemática de Ramanujan en Inglaterra. Ramanujan trabajó como empleado de Grado III Clase IV entre 1912 y 1914 en el Madras Port Trust siendo Spring presidente de la institución. Fue el superior de Ramanujan, S. Narayana Iyer, quien puso en conocimiento de Spring su talento matemático. Ramanujan en el cine Los fieles seguidores de esta sección probablemente recuerden que no hace mucho (el año pasado) se estrenó Ramanujan, la película (ver Reseña 93, octubre de 2014), película anglo-india que no se ha distribuido ni estrenado en España. Además, Ramanujan es mencionado en una conversación entre Robin Williams y Stellan Skarsgård en El indomable Will Hunting (Gus Van Sant, EE. UU., 1997), e implícitamente en varios episodios de la serie de animación Futurama (Bender es un robot cuyo número de serie es 1729; Pero hay más, ¿los recordáis? Una imagen que quizá refresque la memoria). Un problemilla En el libro The man who knew Infinity, se cita un ejercicio cuya resolución inmediata se atribuye a Ramanujan, que hubiera estado interesante que apareciera en la película (¡¡quizá lo esté!!). Os lo dejo por si alguien quiere pensarlo un poco (el mes que viene os pongo la solución). Reproduzco el extracto del libro en el que aparece: La popular revista inglesa Strand tenía desde hacía tiempo una sección llamada Perplejidades, dedicada a acertijos intrigantes, numerados y con títulos atrayentes como “La mosca y la miel” o “Los azulejos teselados” y las respuestas aparecían desarrolladas al mes siguiente. En Navidades, las perplejidades se ampliaban y el autor acoplaba los rompecabezas en una historia corta. En diciembre de 1914, “Rompecabezas en la posada de un pueblo” trasladó a sus lectores al imaginario pueblo de Little Wurzelfold, donde el principal punto de interés era lo que había sucedido en Lovania. A finales de agosto, persiguiendo una política explícita de brutalización contra la población civil, las tropas alemanas comenzaron a quemar la ciudad medieval belga de Lovaina, entre Lieja y Bruselas. Casa por casa, y calle por calle pasaron a fuego Lovaina, destruyendo su gran biblioteca, con su cuarto de millón de libros y manuscritos medievales, asesinando a muchos civiles. La quema de Lovaina horrorizó al mundo, galvanizó la opinión pública contra Alemania, y unió a Francia, Rusia e Inglaterra más irrevocablemente. “La marcha de los hunos”, lo calificaron los periódicos ingleses, o “Traición a la civilización”. Fue un primer punto de inflexión de la guerra, marcando a partir de ese momento su tono. Lovaina vino a simbolizar la descomposición de la civilización. Y alcanzó incluso la página de “Perplejidades” de Strand. Una mañana de domingo después de que apareciera el ejemplar de diciembre, P. C. Mahalanobis estaba sentado con la revista en una mesa en las habitaciones de Ramanujan en Whewell´s Court. Mahalanobis era estudiante en el King´s College, y estaba preparándose el Tripos en ciencias naturales (nota aclaratoria: el Tripos es en Cambridge el examen de licenciatura de la materia correspondiente), y había encontrado a Ramanujan tiritando junto a la chimenea e instruyéndose en los matices de la manta inglesa. Ahora, con Ramanujan en la habitación trasera agitando verduras sobre el fuego de gas, Mahalanobis estaba intrigado en un problema y pensó en proponérselo a su amigo. “Aquí hay un problema para ti”, le gritó desde la otra habitación. “¿Qué problema? Dime,”, dijo Ramanujan, mientras seguía preparándose sus verduras. Y Mahalanobis se lo leyó: “Estaba charlando el otro día”, dijo William Rogers a los demás habitantes reunidos alrededor del fuego de la posada, “a un caballero sobre el lugar llamado Lovaina, que los alemanes habían arrasado. Dijo que lo conocía bien – solía ir a visitar a un amigo belga allí. Dijo que la casa de su amigo estaba en una calle larga, numerada a un lado mediante uno, dos, tres, y así sucesivamente, y que los números a un lado de su casa sumaban exactamente lo mismo que los números al otro lado de ella. ¡Qué curioso! Dijo que sabía que había más de cincuenta casas en la calle, pero menos de quinientas.  Mencioné el asunto a nuestro párroco, que tomó un lápiz y averiguó el número de la casa donde vivía el belga.  No se cómo lo hizo”. Quizá el lector pueda descubrir el número de dicha casa. Mediante ensayo y error, Mahalanobis lo encontró en pocos minutos. Ramanujan lo hizo también, pero añadiendo un guiño. “Por favor, toma la solución”, dijo y procedió a dictar una fracción continua. No era la solución al problema, era la solución a toda la clase de problemas implícitos en el rompecabezas. Tal y como estaba enunciado, el problema sólo tenía una solución (la casa nº 204 de un total de 288 casas; 1+2+3+….+203 = 205+ 206+….+288). Pero sin la restricción de estar entre 50 y 500, hay más soluciones. La fracción continua de Ramanujan incluía en una única expresión todas las posibles soluciones. Mahalanobis estaba asombrado. ¿Cómo lo había hecho? “En cuanto escuché el problema estaba claro que la solución debía obviamente ser una fracción continua; entonces pensé, ¿qué fracción continua? Y la respuesta vino a mi mente”. Hasta aquí el fragmento del libro. Se trata no de resolver el rompecabezas (cuya solución ya se da), sino de encontrar esa fracción continua que resuelve el ejercicio y todos los demás que no tengan acotación alguna en cuanto al número de casas de la calle. Hasta el mes que viene.

Miércoles, 07 de Octubre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

119. 102. SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO DE 2015

Todo llega. Un nuevo septiembre, y con él un nuevo curso y las conclusiones de este ¿original? ¿distinto? ¿singular? (dejemos las consideraciones  < 0 para otro momento) concurso también. Este verano, a tenor de la menor participación, vuestros comentarios, y la resolución de las cuestiones planteadas, las puntuaciones finales, etc., podemos concluir que ha resultado más difícil que en otras ocasiones. Y eso que la mecánica ha sido similar a otras ocasiones (ejercicios de diferentes niveles y ramas de la matemática, y tres o cuatro cuestiones un poco más elevadas, normalmente extraídas de otros certámenes y concursos tipo olimpiadas matemáticas). Es cierto que probablemente la película era más difícil de descubrir y localizar (no para cinéfilos), pero deseaba que fuera española, diferente, y de un director esencial aunque seguramente no lo suficientemente reconocido, no por sus méritos cinematográficos (que los tiene), sino por la singularidad de sus propuestas en una época complicada y no propicia para demasiadas alegrías. No obstante la mitad de los participantes la han acertado. Y claro, si era complicado para nosotros, casi imposible para los participantes allende los mares. Porque esta vez, tenemos que dar la bienvenida y congratularnos de la participación de una amiga nada menos que desde nuestra querida Argentina (estupendas películas también allí). Sin más, vamos con las soluciones a las cuestiones. Cuestiones Generales C – 1.- De las indicaciones dadas, está claro que el juego es la ruleta. C – 2.- El protagonista, BB (Basilio Beltrán), al ver en la sala a un jorobado, pasa disimuladamente su moneda de duro por su “chepa”, dado que los supersticiosos consideran que esto atrae la suerte. C – 3.- Sabiendo que el juego es la ruleta, ruleta española para más señas, no la americana, ésta contiene 36 números y un número 0: 37 sectores en total. El polígono regular de 37 lados se llama Triacontakaiheptágono. El nombre está conformado con el prefijo triaconta (30 lados), kai (más) y heptágono (polígono de 7 lados). C – 4.- Para encriptar su nombre se ha empleado el método de la escítala. Se puede reproducir sobre una cuadrícula del siguiente modo: T T P R A T I K A A A G C I O O H N N E O Colocando las letras por filas, aparece la disposición que se proponía. Se ha utilizado el 7 como clave, dada su pertinencia en esta película, además de que el nombre del polígono estrellado tiene 21 letras exactamente, y “cuadraba” el 7. También se ha dado por válido la trasposición, dado que no había mayor información en el texto sobre el procedimiento, y porque también responde al encriptado. Eso sí, se ha valorado más cuando se ha explicado cómo se ha llegado a descifrar (disposición en tres columnas) que cuando sencillamente se ha dicho que por trasposición sin más explicaciones. C – 5.- Se ha dado por válida tanto la respuesta grafo, como politopo (aunque ésta última es más para objetos tridimensionales; sin embargo puede aplicársele, teniendo en cuenta que la definición de politopo no está suficientemente clarificada). Sin embargo, no se ha dado validez a curvas de Bezier, ya que el contexto de éstas y su utilización es otro completamente diferente al propuesto. C – 6.- El espejo es un elemento que ha suscitado a lo largo de la historia de la humanidad mucha literatura (y por supuesto, películas), fundamentalmente en dos facetas: como  muestra de la realidad (realidad que a veces nos negamos a ver), y como inquietante, incluso terrorífico (porque quizá pueda reflejarnos lo que no podemos ver al natural pero que está presente, con nosotros). Así, desde Narciso y Perseo cargándose a la Medusa (nunca mejor dicho en el caso que nos ocupa) a otros más recientes, disponemos de un amplia variedad de títulos. Unos cuantos ejemplos, que se unen (algunos coinciden) a los que habéis propuesto cada uno: Películas: A través del espejo (The dark mirror, Robert Siodmak, 1946), La dama de Shanghai (The Lady From Shanghai, Orson Welles, 1947), El hombre de la pistola de oro (The Man With the Golden Gun, Guy Hamilton, 1974), Taxi Driver (Martin Scorsese, 1976), Reflejos (Mirrors, Alexandre Aja, EE. UU., 2008), Cisne Negro (Black Swan, Darren Aronovsky, 2010). Obras literarias: Blancanieves y los siete enanitos (Hermanos Grimm), El Aleph (Jorge Luis Borges), Alicia a través del Espejo (Lewis Carroll), El espejo curvo (Antón Chejov), El espejo roto (Agatha Christie). C – 7.- La célebre frase corresponde a la película El sexto sentido (The Sixth Sense, M. Night Shyamalan, 1999), y la relación con la película que nos ocupa es la aparición de un espectro que busca que le ayuden a descubrir un asesinato en un caso, o a evitar que se cometa uno, en el otro, pero en esencia lo mismo. En definitiva que los guionistas recurren a lo mismo de siempre ante la absoluta falta de ideas nuevas (y normalmente, empeorando o infantilizando la propuesta). C – 8.- La escalera de caracol (The Spiral Staircase, Robert Siodmak, 1945), El tercer hombre (The Third Man, Carol Reed, 1949), De repente el último verano (Suddenly last summer, Joseph Leo Mankiewicz, 1959), Al final de la escalera (The Changeling, Peter Medak, 1980), Goya en Burdeos (Carlos Saura, 1999), El árbol de la Vida (The Tree of Life, Terrence Malick, 2011), entre otras muchas. La imagen de la foto corresponde a la serie de televisión El ministerio del tiempo. C – 9.- En 1954, José Luis Sáenz de Heredia dirige Todo es posible en Granada, con argumento también de corte fantástico, en el que se juega con la creencia de que en Granada se encuentra enterrado un fabuloso tesoro, musulmán en este caso. Francisco Rabal la protagoniza. Años después, en 1982, Rafael Romero Marchent dirige una nueva versión (aún peor que la precedente) de la misma historia, interpretada por Manolo Escobar, en la que fue su última aparición en el cine (de ahí lo de indicar que no tendría muy buen recuerdo de ella) C – 10.- Sugiere que es bastante falsa, ya que César en latín era Caesar, y que no tenía el que la esculpió demasiada idea de cómo funcionan los números romanos. El título de la película es La torre de los siete jorobados, dirigida por Edgar Neville, en 1944, basada en un conjunto de relatos de Emilio Carrere. Se trata de una curiosa mezcla de géneros: costumbrismo, policiaco, negro, terror, aventura y fantástico. Son claras las influencias del cine expresionista alemán (tipo Nosferatu o El gabinete del doctor Caligari) y del cine gótico. Cuestiones Matemáticas M – 1.- Apostar a la ruleta no es, salvo que estemos compinchados con el crupier, una buena idea, porque la esperanza matemática de ganar, sean apuestas sencillas o combinadas, es siempre negativa. Para probarlo, empecemos con las apuestas simples. En la película, la ruleta es la europea (36 números, más un número cero; total 37 posibilidades en cada juego). Echemos un vistazo a cada una de las posibles apuestas que se pueden hacer. Tomamos 1 euro (o 1 dólar) como apuesta genérica. 1.- Apuesta a un único número. El pago es 35 a 1 (es decir, si sale nuestro número nos pagan 35 veces nuestra apuesta, más lo que apostamos). Recordemos que la esperanza matemática es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso. E1 = (1/37) 35 + (36/37) (─ 1) = ─ 1/37 2.- Apuesta a dos números adyacentes. La ganancia es 17:1. E2 = (2/37) 17 + (35/37) (─ 1) = ─ 1/37 3.- Apuesta a una fila completa (tres números). La proporción de pago es 11:1. E3 = (3/37) 11 + (34/37) (─ 1) = ─ 1/37 4.- Apuesta a cuatro números. Se paga 8:1. E4 = (4/37) 8 + (33/37) (─ 1) = ─ 1/37 5.- Apuesta a dos filas. Las ganancias son 5:1. E5 = (6/37) 5 + (31/37) (─ 1) = ─ 1/37 6.- Apuesta al primer tercio (doce números). La proporción es 2:1. E6 = (12/37) 2 + (25/37) (─ 1) = ─ 1/37 7 y 8.- Apuesta a una mitad (18 números) o a un color (18 números). Las ganancias se pagan 1:1. E7 = (18/37) 1 + (19/37) (─ 1) = ─ 2/37 Las apuestas combinadas consisten en combinar dos de las anteriores (por ejemplo, apostar al color negro y a los números 13, 14, 16 y 17; está permitido apostar cantidades diferentes a cada uno de ellos). La esperanza en este caso es la suma de ambas, es decir que cualquier apuesta combinada (tomando como referencia 1 euro como antes) tendrá por esperanza E = (─ 1/37) + (─ 1/37) = ─ 2/37 M – 2.- Para calcular el número de metros de hilo que tenemos que utilizar para componer el hilorama de 37 puntos (el grafo completo del polígono regular de 37 lados), nos vamos a fijar en uno cualquiera de los puntos, y vamos a calcular las longitudes a cada uno de los restantes 36 puntos (los hiloramas no se construyen en la realidad así, porque no cortamos el hilo, pero como lo que tenemos que hacer es unir todos los vértices con todos, en el fondo el resultado es el mismo, sólo cambia la forma en que lo vamos a calcular). Como esa operación la hacemos con cada vértice, multiplicamos por 37 el valor que nos de la suma de longitudes de ese primer vértice, y lo tenemos. Las distancias a cada punto son diferentes, aunque por simetría nos podremos ahorrar algunas. Para calcular esas distancias, primero representamos los puntos. Una forma es en coordenadas polares. Como el diámetro es de 40 cm., el radio es de 20 cm. con lo que el radio vector lo pondremos en 20, y el argumento, 2kπ/37, k = 0,…., 36. Denotaremos entonces cada vértice como Pk = (20, 2kπ/37), k = 0,…., 36 El número de aristas que unen los vértices una sola vez del grafo completo (así evitamos las repeticiones) viene dado por n(n – 1) /2, que en este caso son 37 ▪ 36/2 = 37 ▪ 18 = 666 (un número como cualquier otro, ¿o no?). Además 18 son el número de distancias diferentes que tenemos desde cada punto al resto, porque d(P0, P1) = d(P0, P36) = 40 sen (π/37) d(P0, P2) = d(P0, P35) = 40 sen (2π/37) d(P0, P3) = d(P0, P34) = 40 sen (3π/37) ………………………………….. d(P0, P18) = d(P0, P19) = 40 sen (18π/37) Para calcular esas distancias, si se emplea la fórmula habitual, no se olviden pasar los puntos a coordenadas cartesianas, esto es Pk = (20 cos(2kπ/37), 20 sen(2kπ/37)),    k = 0,…., 36 La suma de esas dieciocho distancias (ojo: no el doble, aunque para cada punto salga así; si pusiéramos el doble, repetiríamos distancias. Recuérdese la expresión del número de aristas distintas) es Por tanto el total será 37 ▪ 470.8155711 = 1742.017613 cm., esto es 17.42 m. aproximadamente. M – 3.- Estas construcciones aparecen en la llamada teoría de Ramsey. Básicamente trata sobre situaciones en las que hay que probar que en una colección grande de objetos, hay configuraciones más pequeñas con alguna regularidad. Una forma de demostración es a través del coloreado de grafos completos que al final muestran la estructura de un hilorama. Un problema típico, el de la amistad: Probar que en un grupo de seis personas, o se cumple que tres se conocen entre sí, o se cumple que tres no se conocen entre sí. Representamos cada persona mediante un punto, y la relación de conocimiento o desconocimiento mediante aristas que los unan. Por ejemplo, rojo indica que sí se conocen y azul lo contrario. (un enunciado en términos de grafos del mismo problema es: en el grafo completo K6 coloreadas sus aristas de dos colores, siempre encontramos un subgrafo K3 monocolor. M – 4.- Para verse de cuerpo entero en un espejo, éste ha de tener una medida vertical mínima igual a la mitad de la altura de la persona,  y estar a una altura máxima igual a la mitad de la distancia que haya entre los ojos y el suelo (es fácil encontrar o deducir la demostración en la que se aplica una semejanza de triángulos vía teorema de Tales). Por tanto para que BB se vea al completo, el espejo debe tener una altura mínima de 0.825 m. y para la segunda cuestión no disponemos de todos los datos necesarios. M – 5.- Una cuestión muy sencilla. En una ecuación de segundo grado, ax2 + bx + c = 0, sabemos que el producto de sus raíces (que en este caso son las dimensiones del espejo rectangular) viene dado por c/a, y su suma (el perímetro será el doble), por -b/a. Así pues, la superficie del espejo será 17/19 m2, y su perímetro, 86/19 m. Ambos son números racionales, por tanto su expresión decimal, o es finita, o es infinita periódica. Como el denominador, 19, no contiene como factores primos ni al 2 ni al 5, debe ser periódicos puros. Otro modo de comprobarlo es pasando el número a fracción continua: si el número de denominadores es finito, el número es periódico puro. En el caso de 17/19 el periodo es de 18 cifras (0.894736842105263157.....), y para 86/19 es también de 18 (4.526315789473684210.....). ¿Tendrán todas las fracciones de denominador 19 periodo 18? Por cierto, no sé si conocéis la siguiente propiedad: tomad la mitad de los números del periodo de cualquiera de los números anteriores. A continuación sumadle el resto del periodo (o sea, para el primer número algo así: 894736842 + 105263157). ¿Qué se obtiene? ¿Es así siempre? Si fuese cierto, no haría falta más que calcular la mitad de los decimales, ¿no? ¿O falla algo? El concurso ya acabó, pero un matemático nunca deja de hacerse preguntas... M – 6.- Análoga a la anterior, en este caso, sabiendo que la habitación tiene forma de paralelepípedo (V = abc). Sabiendo que esas dimensiones son las raíces (x – a) (x – b) (x – c) = x3 – (a + b + c) x2 + (ab + ac + bc) x – abc El volumen de la habitación (abc) es por tanto 12600 m3, y la superficie total, que viene dada por 2(ab + ac + bc), será (véase el término en x) 2 x 1629 = 3258 m2. Lo que mató a la curiosidad fue al gato (dicho popular que se remonta a la Inglaterra del siglo XVI), animal que aparece varias veces en la película, y dado el carácter supersticioso del protagonista, es negro, como dice el enunciado. M – 7.- Suponiendo que en cada jugada se tarden 5 minutos, al cabo de una hora se juegan 12 veces. Buscamos entonces la probabilidad de que en la ruleta europea, de 12 jugadas, salga 6 veces el mismo número. Esto es, una probabilidad ciertamente baja, de donde tal suceso se antoja prácticamente imposible (en una ruleta sin trucar, claro, como se supone que es la de la película). Por tanto, sí se puede afirma que ocurre “algo extraño”. M – 8.- La banca gana con seguridad cuando sale el cero. La probabilidad de que esto ocurra es Teniendo en cuenta además que la banca siempre juega, aún no me explico cómo a la gente le gusta enriquecer a los casinos tan estúpidamente. M – 9.- BB empezó ganado con una peseta. Como en la ruleta la ganancia a un número es 35:1, que se acumula a lo apostado, tras la primera vez tiene 36 pesetas. Apuesta todo ello a un número de nuevo, con lo que gana 35 · 36 + 36 = 362 (=1296), que vuelve a apostar y ganar, con lo que obtiene 363 (= 46656). En ese momento se le cae una ficha. Algunos concursantes han supuesto que era de las de una peseta, y otros han hilado más fino y han considerado que era de las de 5 pesetas, comparando con escenas previas (tanto a unos como a otros les he valorado igual; lo que me importan son las matemáticas empleadas). Como vuelve a ganar con esa ficha que se le cae, el beneficio será de 5 · 35 más. Es decir,  363 – 5 + 5 · 35 = 46826 pesetas, aproximadamente. Como nos recuerda Pablo Palacio Puente, “teniendo en cuenta que al principio de la película, BB está preocupado si con un duro podrían comer tres personas, es más que evidente que después de la ganancia obtenida podrá invitar a comer a dos personas (y a bastantes más)”. M – 10.- La mente de los jugadores siempre ha sido muy productiva a la hora de idear estrategias para intentar ganar con seguridad a cualquier juego de apuestas. Otra cosa es que sean de verdad eficientes. 1.- La más conocida es seguramente la Martingala. Consiste en doblar una apuesta después de perder la anterior, siempre que pérdidas y ganancias estén al 50%. Así, cuando se gane, se recupera todo lo perdido anteriormente. Por ejemplo, apostamos a un color (hay “casi” 50% de posibilidades de ganar y perder; el “casi” es por el maldito cero que desnivela las posibilidades). Si sólo apuestas a un color y se va doblando la apuesta hasta que se gane, todas las pérdidas podrían verse recuperadas. Muy bonito, salvo que nadie tiene asegurado que tras cuatros rojos aparezca un negro. Podría salir una sucesión de veinte rojos, por ejemplo, y claro, salvo que seas millonario no se tienen recursos infinitos para seguir apostando. Además se puede alcanzar rápidamente el umbral máximo de apuesta tras varias veces perdiendo. 2.- La estrategia D´Alembert. Un poco más segura que la martingala, consiste en aumentar o disminuir las apuestas en base a factores aritméticos en lugar de geométricos. En lugar de doblar la apuesta al perder (como en la martingala), aumentamos la apuesta en una unidad (1€, por ejemplo), mientras que la bajamos después de ganar. Si se gana el mismo número de veces que se pierde, esta estrategia puede llevarnos a tener beneficios. La estrategia D´Alembert es un sistema de apuesta que puede funcionar apostando a par o impar, a color, o a números entre 1-18 o entre 19-36. Por ejemplo, comenzamos apostando 5€ al negro. Perdemos. Entonces apostamos 6€ al negro. Perdemos otra vez. Apostamos entonces 7€ al negro. Si en ese momento ganamos, bajamos la apuesta a 6€. Si volvemos a ganar, dejamos de jugar. Hemos ganado tantas rondas como hemos perdido, pero tenemos beneficios: ─5─6+7+6= +2. Nuevamente, la estrategia se basa en que “teóricamente” (ley de los grandes números) se tiende a un equilibrio entre las veces que se gana y las que se pierde, pero nos olvidamos de que ese principio funciona “en el infinito”, no con un número concreto de jugadas, que son las que podemos hacer en una tarde. Por otro lado, hay que tener la suficiente sangre fría como para dejar de jugar cuando hemos alcanzado ese equilibrio, algo prácticamente imposible hablando de jugadores (léase El jugador de Dostoyevski, por ejemplo). 3.- La estrategia Fibonacci. Consiste en seguir la famosa sucesión, generada sumando dos números para obtener cada uno de los siguientes: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,…. Esta estrategia supone apostar sumando las dos apuestas anteriores para obtener el monto de la siguiente. Cuando se pierde, se sigue adelante con la secuencia; cuando se gana, se vuelve dos apuestas hacia atrás en la secuencia y se apuesta esa cantidad. Se pueden obtener beneficios incluso aunque se pierda más veces que las que se gane. Pero, cuanto más se avanza en la secuencia, más dinero puede perderse. Veamos un ejemplo. Apostamos al negro, 3€; perdemos. Apostamos al negro otros 3€; volvemos a perder. Entonces apostamos al negro 6€; perdemos de nuevo. Siguiendo esta estrategia, apostamos entonces al negro 9€; volvemos a perder. Volvemos a apostar al negro, ahora 15€. Supongamos que ganamos. La siguiente ronda entonces apostamos al negro 6€. Ahora perdemos. Apostamos entonces al negro 9€, y ganamos. Después apostamos al negro 3€. Si ganamos, y volvemos a apostar 3€, y volvemos a ganar, en el cómputo general hemos perdido más veces de las que hemos ganado, pero hemos tenido beneficios:  ─3 ─3 ─6 ─9 +15 – 6 + 9 +3 +3 = +3 Otras estrategias son la martingala inversa, la estrategia James Bond, etc. En Internet o libros especializados pueden encontrarse todas las que se quieran, pero ninguna puede garantizarnos ninguna ganancia. M – 11.- La situación propuesta es similar a la de la imagen, siendo P el punto en el que BB se encuentra, y la incógnita x es la distancia PD. Utilizando la cuarta ecuación, sustituyendo y operando, se tiene que x2 = n2 + q2 = (a2 – m2) + (c2 – p2) = a2 + c2 – (m2 + p2) = a2 + c2 – b2 por lo que, x = PD = = 11 m.   Las dimensiones de la sala no es posible calcularlas con los datos dados, ya que quedan en función de un parámetro, con lo que hay infinitas soluciones posibles. M – 12.- Según las condiciones descritas, la escalera se asienta sobre un tronco de cono de sección circular, de altura 20 m., y de longitudes de circunferencias superior e inferior 12 m. y 4 m., respectivamente. Si cortáramos por la mitad verticalmente dicho tronco de cono, tendríamos algo parecido a la imagen de la derecha, donde se ha situado en la base la altura del tronco de cono, y en las abscisas las longitudes de las circunferencias superior e inferior. He considerado todo muy regular (una escalera real normalmente no lo es). Los tramos de escalera (como da 4 vueltas, recorre 5 metros en cada vuelta) serían los segmentos de color morado del dibujo. Bastaría por tanto con sumar las longitudes de cada tramo. 1er tramo: longitud desde el punto (0, 12) al punto (5, 1): 2º tramo: longitud desde el punto (5, 11) al punto (10, 2): 3er tramo: longitud desde el punto (10, 10) al punto (15, 3): 4º tramo: longitud desde el punto (15, 9) al punto (20, 4): Por tanto la citada escalera tendrá un longitud total de (unos 38 metros). M – 13.- Sea xyz el número en cuestión. La condición que nos dan es que x2 + y2 + z2 = ½ (100x + 10y + z), de donde se deduce que z debe ser un número par (el número de esculturas, xyz, es un número entero positivo, obviamente). Pongamos entonces que z = 2λ, con 0 ≤ λ < 5, lo que sustituido en la ecuación nos lleva a que x2 + y2 + (2λ)2 = 50x + 5y + λ. Hagamos algunas operaciones elementales: x2 – 50x + y2 – 5y = λ – 4 λ2 (x – 25)2 + (y – 5/2)2 = 252 + 25/4 + λ – 4 λ2 (2x – 50)2 + (2y – 5)2 = 2525 +4 λ(1 – 4 λ) Sean α = 50 – 2x,  β = 2y – 5. Claramente α < 50, y β ≤ 13 (porque y ≤ 9). Consideremos los posibles valores de λ. Obsérvese que un número N = kt2, con k no cuadrado perfecto, nunca puede ser suma de dos cuadrados si k tiene algún factor de la forma 4n – 1: i)        Si λ = 0, α2 + β2 = 2525 = 502 + 52 =342 + 372 = 262 +432, ninguno de los cuales nos da valores enteros para x, y entre 0 y 9. ii)       Si λ = 1, α2 + β2 = 2513 = 359 · 7, imposible por el factor 7. iii)     Si λ = 2, α2 + β2 = 2469 = 823 · 3, imposible por el factor 3. iv)     Si λ = 3, α2 + β2 = 2393 = 322 + 372, inaceptable para x, y entre 0 y 9. v)      Si λ = 4, α2 + β2 = 2285 = 457 · 5 = (212 + 42)(22 + 12) = 382 + 292 = 462 + 132. En este último caso, sí estamos en el rango de α y β, con lo que α = 46 y β = 13, que nos llevan a que x = 2, y = 9 (y por tanto z = 8). Por tanto el número de esculturas en la habitación era de 298. M – 14.- Llamando x ≡ cantidad de monedas (en kilogramos) y ≡ cantidad de aditivo “envejecedor” (en kilogramos), del enunciado del ejercicio se tiene que se trata de Maximizar z = 40 x + 30 y sujeto a las condiciones 2/5 x + ½ y ≤ 20 1/5 y ≤ 5 3/5 x + 3/10 y ≤ 21 x ≥ 0, y ≥ 0. Se trata por tanto de un ejercicio elemental de programación lineal. Comenzamos por dibujar la región factible a partir de las desigualdades que dan las condiciones. La zona coloreada de verde es dicha región. A partir de la función objetivo, trazamos varias rectas para diferentes valores de c (en la gráfica se han tomado desde 100 a 2000, de 50 en 50, por ejemplo) 40 x + 30 y = c Observamos (y sabemos, si conocemos algo de programación lineal; basta considerar el gradiente de la función objetivo para ver cómo “van desplazándose” las rectas anteriores), que los extremos (mínimos y máximos), se alcanzan en este caso en alguno de los vértices del trapecio. En virtud del teorema de Weierstrass (la recta es continua, y la región factible es un conjunto compacto de R2, esto es, es cerrado y acotado), dichos óptimos están entre las imágenes de la función objetivo en esos puntos. Basta por tanto con evaluar la función objetivo en ellos (se obtienen resolviendo los sistemas correspondientes a cada par de rectas): F (0, 0) = 0 F (35, 0) = 1400 F (0, 25) = 750 F (75/4, 25) = 1500 F (25, 20) = 1600 El beneficio máximo se alcanza por tanto con la fabricación de 25 kilos de monedas y 20 kilos de aditivo, siendo dicho beneficio en ese caso de 1600 u.m. M – 15.- Pensemos en una habitación que tenga un número cualquiera de puertas. Una persona puede estar dentro o fuera de la habitación. Es evidente que, si una persona atraviesa las puertas un número par de veces, al final estará en la misma situación de la que partió (dentro o fuera), mientras que, si el número es impar, quedará en situación contraria a la inicial. Por otro lado, no nos dicen de qué estancia parte, por lo que debemos analizar qué sucede si parte sucesivamente de cada una de las salas A, B, C y D. Apliquemos todo ello a la situación planteada: 1) El vigilante parte de la estancia A. a) Supongamos que el vigilante ha atravesado cuatro veces la puerta u. Como no parte de D, y la suma de las veces que atraviesa sus dos puertas (u y z) es 4 + 6 = 10 que es un número par, el recorrido no puede acabar en esa habitación. Por la misma razón tampoco puede acabar en C. Saliendo de A, como 7 + 4 = 11 es impar, el recorrido tampoco puede acabar en A, luego acaba en B ya que el vigilante parte del exterior de B y el número de veces que pasa por las puertas de B es impar (11). Solución válida. b) Supongamos que el vigilante ha atravesado tres veces la puerta u. Al ser en este caso un número par las veces que atraviesa las puertas de A, el recorrido debería acabar en A, pero a la vez, tendría que acabar en B, lo que nos lleva a un absurdo. Por tanto no puede pasar tres veces por u. 2) El vigilante parte de la estancia B. Las puertas que acceden a B son transitadas 11 veces, número impar, por tanto el vigilante tiene que acabar fuera de B. Por las puertas que permiten la entrada a C pasa un número par de veces, 10, por tanto, y como de inicio está fuera de C, tiene que acabar también fuera de C. a) Supongamos que el vigilante ha atravesado cuatro veces la puerta u. Entonces ha pasado un número par de veces por las puertas que dan paso a D, lo que significa que, como partía de fuera de D, debe acabar fuera de D. Como por A atraviesa las puertas un número impar de veces, 11, y partía de B (fuera de A), debe acabar en A. Solución válida. b) Supongamos que el vigilante ha atravesado tres veces la puerta u. Entonces ha pasado un número impar de veces por las puertas que dan paso a D, 9, lo que significa que, como partía de fuera de D, debe acabar dentro de D, y fuera de A, siguiendo un razonamiento similar al caso anterior. Solución válida. 3) El vigilante parte de la estancia C. Al pasar por las puertas que dan a C un número par de veces, 10, el vigilante acabará en C. Pero al pasar 11 veces por las puertas que dan a B, como de inicio estaba fuera de B (porque parte de C), debe acabar dentro de B también, lo que nos lleva a una situación contradictoria que no se puede dar. 4) El vigilante parte de la estancia D. a) Supongamos que el vigilante ha atravesado cuatro veces la puerta u. Entonces pasa un número par de veces por las puertas que acceden a D, lo que indica que ha de acabar dentro de D. Por las puertas de C pasa también un número par de veces, lo que no es contradictorio con lo anterior (estaba fuera de C, y queda fuera de C). Sin embargo al ser impar con B, debe quedar al contrario de cómo estaba en esa sala. Como estaba fuera de B, debe quedar finalmente dentro de B, lo que nos lleva a un absurdo al tener que estar a la vez al final dentro de B y de D. b) Supongamos que el vigilante ha atravesado tres veces la puerta u. Entonces pasa un número impar de veces por las puertas que acceden a D, lo que indica que ha de acabar fuera de D. También fuera de C, y fuera de A. Como por B pasa un número impar de veces, debe quedar dentro de B (situación contraria a como empezó). Solución válida. Por tanto, habiendo cuatro soluciones posibles, concluimos que para poder responder a las cuestiones, es necesario conocer de qué sala partió inicialmente el vigilante. M – 16.- El método de sustitución polialfabética más famoso del siglo XVI es la tabla de Vigénere, también conocido como le chiffre indéchiffrable, por que durante mucho tiempo se pensó que era irresoluble, a pesar de su sencillez en el cifrado. Es muy fácil de decodificar conociendo la palabra clave con la que se ha cifrado el mensaje, pero para complicarlo un poco, nosotros no hemos dado dicha clave. Además, hemos cambiado adrede tres letras, para entreteneros un poco más. El criptograma esconde el nombre de uno de los personajes de la película, LA BELLA MEDUSA. M – 17.- Llamemos α a uno cualquiera de los asistentes a la sala de fiestas, y sea A = el conjunto de sus amistades. Si n = 2 (n es el número total de personas en la fiesta) entonces r = 1, y ambos conocen a una persona. Si n > 2, entonces n ≥ 4, y es fácil comprobar que r ≥ 2. Como los elementos de A tienen a α como amistad común, dos a dos no conocen a ningún otro; en particular, α1 y α2 tienen exactamente tienen exactamente un conocido común adicional β1. Llamemos B1 al conjunto de amistades de β1. Como α  y  β1 tienen a α1 y α2 como amistades comunes, y por hipótesis no pueden tener más, se tiene que A ∩ B1 = Tomemos ahora un β2 ≠ β1, con β2 ∉ A, y sea B2 el conjunto de amistades de β2. Entonces, A ∩ B2 = , para distintos i, j ∈ . Si i = 1 y j = 2 (o viceversa), entonces α1 y α2 podrían tener tres amistades comunes, digamos α, β1, β2, lo que contradice las hipótesis. Por tanto, A ∩ B1 ≠ A ∩ B2. Esto demuestra que existe una correspondencia biyectiva entre pares ordenados de elementos de A y los n – r – 1 participantes que α no conoce. Por consiguiente, , y de ahí, r2 + r + 2 – 2n = 0    (1) Resolviendo la ecuación de segundo grado, se tiene que Como r2 es negativa, la descartamos. De modo que la solución es r1, que es independiente de la elección de α. Obsérvese que la condición (1) nos lleva a que  como condición necesaria, pero no suficiente. Puede comprobarse con el caso r = 3, n = 7, que no tiene solución. Puntuación final Sobre un total de 310 puntos posibles (se anunció que 300, pero no estaba incluido el título de la película enigma, que al final he valorado con 10 puntos, como el resto de cuestiones), la valoración final ha sido así: Andrés Mateo Piñol                 156 Pablo Palacio Puente              154 Celso de Frutos de Nicolás      144 Virginia Basgall                        71 ¡¡Enhorabuena a los cuatro!! En unos días recibiréis un correo electrónico solicitándoos una dirección postal para haceros llegar un obsequio de DivulgaMAT por participar en esta propuesta. Contamos con vosotros (y con todo el que se anime) para la próxima.

Viernes, 04 de Septiembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

120. 101. CONCURSO DEL VERANO DE 2015

Fieles a la cita, una nueva edición de este esperado cuestionario matemático-cinéfilo. Desde esta sección os deseamos unas vacaciones estupendas, allá donde cada uno haya decidido disfrutarlas. A ver si este año lo resumo en menos palabras. Se trata de averiguar el título de una película (o películas), oculta entre las pistas (diálogos, imágenes, problemas, etc.), además de responder una serie de cuestiones planteadas (unas de tipo matemático o científico, las de color rojo; otras de tipo cultural, las azules). Cada cuestión tiene una valoración que se indica al final. Quien mayor puntuación alcance será el ganador, al que la dirección de DivulgaMAT le hará llegar algún obsequio (suele haber obsequio para más de un concursante). Se intenta (no siempre se logra) plantear cuestiones de todos los niveles (sencillas, medias, difíciles), pero como nadie sabe a que categoría pertenece cada una (además de que la dificultad de algo siempre es un concepto subjetivo), ninguna a priori debería evitarse. CONCURSO ¿Está ya todo inventado? En el cine, en la literatura (incluso en la filosofía), ¿estamos repitiendo esquemas y argumentos que otros concibieron? Muchos autores se esconden en el hecho de que, salvo unos pocos especialistas, el público no ha leído o visto todo lo escrito o filmado, y pasan por novedosas obras que no son sino vueltas de tuerca de algo ya planteado en el pasado. Incluso, en el cine, no se cortan un pelo y proponen lo mismo, “actualizado” dicen, simplemente porque las posibilidades técnicas dan hoy más juego, o porque trasladan una historia a la sociedad actual (remakes, los llaman). Y siendo así, ¿son mejores, peores, iguales? Evidentemente, como hay gustos para todo, habrá quien tenga las más variopintas opiniones. Lo que es evidente es que en ciencia, en matemáticas en particular, detectar las repeticiones es seguramente más sencillo para los especialistas en los diferentes temas, aunque también ha habido “pufos” sonados. Y como nadie está libre, y menos cuando tiene otros muchos quehaceres, el que esto escribe desde luego declara que los ejercicios que se proponen en esta y pasadas convocatorias, no son originales, sino variaciones de otros (la verdad es que cuando ponemos exámenes tampoco se puede decir que seamos muy originales, aunque a los alumnos les parezca lo contrario), aunque eso sí, tratando de que estén lo suficientemente disfrazados como para que los potenciales concursantes no puedan encontrar su solución con facilidad en la red de redes o en libros (si no el concurso no tendría mucho aliciente, sería una simple búsqueda, que con el tiempo suficiente acabaría localizándose). En fin, vayamos al asunto. La enigmática película que buscamos este año tiene ya sus años (recordad que pretendemos “descubrir” a los concursantes            producciones interesantes, quizá olvidadas), pero el caso es que muchos elementos que en ella aparecen se siguen repitiendo, y apareciendo una y mil veces. ¿Qué haría un joven actual si desea quedar bien con una chica que le mola (invitarla a cenar, por ejemplo), y no dispone de demasiado dinero? Por supuesto, hablamos de conductas legales y “moralmente” aceptables. No, no tiene un Sr. Grey a mano que le preste nada, además que un tal sujeto, seguramente le levantaría a la chica, a la madre, y a lo que se le pusiera por delante, y sería peor el remedio que la enfermedad. Bueno pues a nuestro joven protagonista (y un tanto superficial, la verdad, entre otros adjetivos “súper” que se le pueden adjudicar, y que cada uno piense lo que quiera), se le ocurre apostar sus escasos bienes a ver si se multiplican. No sé si el juego que elige os parecerá el más adecuado, pero el caso es que se presenta con su duro (para los muy jóvenes, un duro eran 5 pesetas hace algún tiempo, pero vamos que si quieren pueden pensar en 5 dólares, o 5 euros, o 5 lo que quieran, pongamos “unidades monetarias”, u.m., en lo sucesivo), “a ver si se convierte en cuatro”, comenta,  y lo apuesta al “3 encarnado”, sin demasiada fortuna la verdad, a pesar de sus poco ortodoxos métodos para atraer la suerte (C – 1), (M – 1), (C – 2). Por si aún no está claro dónde apuesta su dinero, digamos que en uno de los elementos integrantes del juego se dibuja un TTPRATIKAAAGCIOOHNNEO (C – 3). Si uno es suficientemente sagaz, con lo dicho ya casi se podría aventurar en qué película se basa este concurso, y de algún modo, descifrando la secuencia de letras anterior, se pueden también encontrar algunos datos sobre la misma (incluyendo una pista sobre el título). (C – 4). En la imagen de la izquierda podemos ver una conocida manualidad denominada hilorama. Si deseáramos hacer uno similar a partir del objeto descrito anteriormente, con un diámetro de 40 cm., y con un único ovillo, ¿de cuántos metros debería de ser? (M – 2), (C – 5), (M – 3). Volviendo al joven BB (creo que no lo dije: lo llamaremos en adelante BB porque así se llama en la película), lo vemos en el fotograma de la derecha. ¡Ah, perdón! parece que se ha movido tan rápido que ya no aparece. Está nervioso, porque pasa el tiempo y sigue sin un céntimo. Incluso se ve algo que ha dejado por ahí tirado de un modo poco cívico, por cierto. Casualmente, en uno de los bolsos de su chaqueta, BB encuentra 1 u.m. A pesar de su experiencia anterior, vuelve a probar fortuna. Pero antes de olvidarnos de la foto anterior, suponiendo que BB tuviera una altura de 1.65 metros, ¿que altura debería tener el espejo para que pudiera reflejarse entero? ¿A qué distancia debe situarse? (M – 4), (C – 6). (M – 5), (M – 6). Y repite al mismo número de antes que lleva saliendo a lo largo de la tarde media docena de veces en una hora (M – 7), (M – 8). El caso es que esta vez, apostando a ese mismo número su 1 u.m. gana; de nuevo apuesta todo lo ganado al mismo número, y vuelve a ganar. A continuación, cambia de número, pero apuesta todo lo acumulado, y vuelve a ganar (la verdad es que tiene ayuda, y no, no son Los Pelayo) (M – 9). Él desea seguir la racha, pero su “ayudante” le advierte de que si sigue lo perderá todo (M – 10), (M – 11). Volviendo al asunto de que los guionistas repiten esquemas, hace algunos años fue muy popular la frase “En ocasiones veo muertos”. Al parecer ese don (ya sabéis que no soy muy partidario de dar rienda suelta a determinadas sandeces seudocientíficas, pero es que en esta ocasión la película es de género fantástico, y en muchas ocasiones la ciencia ficción, el fantástico, el terror, han posibilitado obras y reflexiones de interés, porque se suscitan preguntas, se investigan hechos,...; el problema es el negocio que quieren seguir teniendo algunos cuando la ciencia explica los fenómenos y se les acaba el “chollo”), y las ayudas que buscan los habitantes “del más allá”, llevan tiempo siendo utilizadas por lo que se ve (C – 7). Por otro lado, quizá a alguien le suene esta escalera de la imagen. Ha sido toda una revelación durante este año. El cine ha utilizado, quizá por su plasticidad o su belleza, también muchas veces escaleras de este tipo, fotografiándolas desde los más imaginativos ángulos (C – 8). En la película que buscamos, también aparece una escalera que salva un desnivel de unos 20 metros de altura, pero las longitudes de las circunferencias en el inicio y en la base, son diferentes, 12 y 4 metros, respectivamente. Muchos son los escalones que BB debe bajar, pero lo que nos contentamos con saber es la longitud de dicha escalera, sabiendo que da cuatro vueltas completas de principio a fin (M – 12). Al llegar abajo BB descubre algo por lo que pasarán Francisco Rabal y Manolo Escobar en años posteriores (quizá para el segundo, con no muy buen recuerdo) aunque con algún que otro detalle distinto, pero básicamente con la misma idea. Desgraciadamente, BB es descubierto, lo que le impedirá salir de allí si antes no hace algo (C – 9). Un poco antes, BB conoce a otra joven, mucho más atractiva y menos interesada que la primera, a la que debe proteger de una amenaza que la acecha. Aunque, en principio no la hace demasiada gracia el joven BB, la mención de éste de conocer a un familiar suyo, la hace tratar de colaborar con él. Aunque a la típica ama de llaves, este joven no parece hacerle mucha gracia (¡ay, Sra. Danvers, qué escuela creó!), el caso es que BB y la joven buscan pistas que le hagan averiguar qué le sucedió a su conocido común. Y en éstas están cuando: - ¿Y esa habitación? - Una especie de pequeño museo en el que mi tío guardaba todas las piezas de valor halladas por él. Usted que es aficionado a la arqueología sabrá reconocer el valor de todo esto. - Ya lo creo. Es magnífico. Realmente el profesor tenía una buena colección. ¿Cuántas hay aquí? - Días antes de morir hizo un recuento. Siendo como era amante de los acertijos y misterios, no indicó una cantidad exacta, pero comentó que si sumaba los cuadrados de los tres dígitos que forman la cantidad total, sabría exactamente la mitad del número total. - ¿Y lo averiguó? - No me dio tiempo. Cuando estaba pensándolo, me entró como un sopor, como si alguien quisiera entrar en mis pensamientos. Y me fui a dormir. - Bueno, tampoco importa mucho. Sólo era por curiosidad. (M – 13). En la imagen vemos una de las piezas que hay en la habitación. ¿Sugiere algo? (C – 10). En otro momento de la película (en realidad, de principio a fin), van apareciendo unos pintorescos personajes que resulta que trabajan en el oculto lugar al que BB accede desde la escalera de antes. Utilizan tres materias primas para falsificar monedas (tienen que sobrevivir, que la cosa estaba muy fea, y al gobierno de entonces no le hacían mucha gracia las ayudas sociales, aunque, proponía algunas, de maquillaje fundamentalmente, todo hay que decirlo), que hacen esencialmente mediante dos procesos: la confección de la propia moneda y la elaboración de un aditivo que las hace envejecer y parecer antiguas. Para obtener un kilo de aleación para las monedas precisan 2/5 de kilogramo de material 1 y 3/5 de kilo de material 3. Un kilo de aditivo es una mezcla de ½ kilo de material 1, 1/5 de kilo de material 2 y 3/10 de kilo de material 3. Los beneficios que obtienen son de 40 u.m. por kilo de moneda y 30 u.m. por kilo de aditivo. BB averigua que la disponibilidad de materias primas en el momento que los descubre es de 20 kilos de material 1, 5 kilos de material 2 y 21 kilos de material 3. Por un momento, BB piensa en cuántos kilos de cada elemento (monedas y aditivo) deben fabricar para obtener el máximo beneficio, pero como se aturde un poco con las cuentas (bueno, se aturde con casi todo), lo deja para mejor ocasión (M – 14). El lugar es bastante tétrico (con cadáveres, esqueletos, ratas, y toda la parafernalia típica, aunque la verdad no da mucho miedo). Ocultándose de sus perseguidores, BB escapa por laberínticos pasadizos. El jefe de la cuadrilla reparte a sus secuaces por distintas zonas que controlan diversas estancias. Una de ellas, es la de la imagen, una sala central circundada por otras cuatro etiquetadas como A, B, C y D. Hay cuatro puertas: x, y, z, u. En dos horas, el vigilante ha pasado 7 veces por la puerta x, 4 por la puerta y, 6 por la puerta z, y tres o cuatro, no se acuerda demasiado bien, por la puerta u. ¿Dónde se encuentra después de hacer ese recorrido? ¿Cuántas veces ha pasado por la puerta u?  (M – 15). La verdad es que, creo que ya está muy claro de qué película se trata, pero quizá no esté de más dar alguna pistilla sobre la novela en la que se basa, novela que, curiosamente, no escribió su autor. Sí, “negros” han existido también siempre (en la acepción literaria en la que estamos, no tergiversemos las cosas, que no quiero dimitir por decir algo no apropiado, ahora que está de moda), pero no es el caso. Su autor hizo un relato, que le pidieron ampliar, a lo que se negó rotundamente (tenía otras “ocupaciones” más divertidas, menudo pieza era, según dicen; ¿quizá por eso tuvo luego un cargo relevante en su ciudad? Vale, que la volvemos a liar). En la imagen se muestra otro fotograma de la película en la que aparece un mensaje en clave. Como no podía ser de otro modo, un experto criptógrafo tocayo mío es el que acaba descifrando el contenido que se encontraba escrito en una pared de la esquina de una casa de un típico barrio de la ciudad en que acontece la acción. No vamos a pedir al lector que lo descifre, dado que, según se dice, responde a un antiguo alfabeto asirio (que es de suponer que es mentira, obviamente), pero sí que descifre este otro mensaje, cifrado mediante un conocido método de sustitución polialfabética, muy utilizado en el siglo XVI (que quedó obsoleto cuando se descubrieron procedimientos que rompieron esa cifra). En este caso lo que esconde el mensaje es el nombre de un personaje de la película (son tres palabras), con el que quizá algunos se topen este verano (M – 16): OIWYNRAYEWXAV En otro momento, al inicio de la película, BB se encuentra rodeado de un montón de gente, en una mesa para el solito (privilegios que tiene) escuchando y disfrutando de un espectáculo. Suponiendo que en ese lugar haya n personas, y que i) cada dos personas que se conocen entre sí, no tienen otras amistades comunes. ii) cada dos personas que no se conocen entre sí, tienen exactamente dos amistades comunes en la sala. Demostrar que, con estos supuestos, todas las personas presentes en el local tienen amistad con el mismo número de personas. (M – 17). Cuestiones M – 1.- ¿Se trata de una decisión acertada? Demostrar que independientemente de que haga apuestas sencillas o combinadas, las expectativas de ganar en este juego, en cualquier caso, son idénticas. M – 2.- Calcular la longitud del ovillo. M – 3.- Estas estructuras sirven para resolver un tipo de problemas matemáticos muy concretos. Enuncia y resuelve alguno ayudándote de alguna de estas construcciones. ¿Cuál es el nombre de la teoría matemática que las estudia? Indicación: no sirve teoría de grafos como respuesta; nos referimos a algo más concreto. M – 4.- Justificar las afirmaciones realizadas en la respuesta. M – 5.- Por cierto, las dimensiones del espejo de la fotografía en metros son las raíces del polinomio 19x2 – 43x + 17. El caso es que queremos averiguar el perímetro del espejo y su superficie, pero sin calcular dichas raíces, que quedan muy feas. Además no queremos expresiones decimales, que también resultan un poco molestas, sino su valor exacto. Aunque, sí nos gustaría saber, ya que estamos, si su expresión decimal (la del perímetro y el área) es periódica o no, y si lo es, cuál es el valor de ese periodo. M – 6.- Análogamente, las raíces del polinomio x3 – 70x2 + 1629x – 12600 son las medidas de las dimensiones de la habitación rectangular en la que están, medidas en metros. Calcular la superficie total y el volumen de la habitación (cuando las puertas y ventanas de la habitación están cerradas, claro), a ser posible, también sin hallar dichas raíces, por mucho que os corroa la curiosidad, que ya sabéis que hizo algo raro con alguien o algo que también aparece en la película, y que, como no, era negro. M – 7.- Suponiendo que en cada jugada se tarden 5 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que salga el mismo número esa media docena de veces? ¿Puede afirmarse que pasa “algo raro”? M – 8.- ¿Es más o menos probable que la banca gane en esa hora tres veces? M – 9.- Dar una estimación del dinero ganado. ¿Tiene suficiente para invitar a cenar a dos personas? M – 10.- Existen varias estrategias que los jugadores utilizan para tratar de ganar en este juego. Cita al menos tres diferentes, y justifica, si es posible, si matemáticamente son aceptables. M – 11.- La sala en la que se encuentra BB es rectangular. Desde el punto en que encuentra, la distancia a tres de los vértices de la sala son, respectivamente, 5 m., 10 m. y 14 m. ¿A qué distancia se encuentra del cuarto vértice? ¿Es posible conocer las dimensiones de la sala? M – 12.- Razonar cuál es la longitud de la escalera. M – 13.- Pero seguro que el ávido lector sí es capaz de saber cuántas estatuas había en la habitación. M – 14.- ¿Qué cantidades de cada elemento deben fabricar para que el beneficio sea máximo? M - 15.- Responder razonadamente a las cuestiones planteadas. M – 16.- ¿Qué se esconde tras este mensaje? ¿Con que sistema se ha cifrado? ¿Cómo lo has descifrado? M – 17.- Demostrar lo indicado. C – 1.- ¿A que juego de azar apuesta su moneda? C – 2.- ¿A qué método no ortodoxo nos referimos? C – 3.- ¿Qué significa? ¿Puedes justificar de algún modo su complicado nombre? C – 4.- ¿A qué obedece esa disposición de las letras? ¿Con qué clásico método de encriptación de mensajes se ha realizado? C – 5.- ¿Qué nombre más técnico, más matemático, reciben los objetos construidos en los hiloramas? C – 6.- ¿Podrías indicar media docena de películas, y otra media docena de obras literarias en las que un espejo sea un elemento relevante (sin incluir la que nos ocupa)? C – 7.- Origen de esa frase, y relación con la película que buscamos. C – 8.- Citar otra media docena de películas en las que aparezcan, escaleras helicoidales, espirales, etc., sin contar la que buscamos, pero incluyendo la de la imagen, aunque no se haya visto en salas de cine. C – 9.- Tratar de explicar todas las afirmaciones hechas. C – 10.- Confiamos que el lector conozca y/o recuerde el latín que ya no se estudia, al menos por todos los alumnos de Secundaria. Yo sí lo hice, y aunque en su momento no me ilusionaba mucho la idea, hoy reconozco que fue interesante y enriquecedor. Claro que un buen profesor hace mucho. Y la cuestión final : ¿Cuál es el título de la película? ¿Qué te ha parecido? Baremo: Todas las cuestiones se valorarán con 10 puntos, tanto las azules como las rojas, excepto las cuestiones numeradas como M – 12, M – 13 y M – 17, que se valorarán con 20 puntos. En total, 300 puntos, creo. La última cuestión, la más importante, la del título de la película en la que se basa el juego, no tiene puntuación, dado que en otras cuestiones previas ya se va de algún modo viendo y valorando su respuesta. Todo comentario, sugerencia, queja, etc., será bien recibido. Si no salen algunas cosas, no importa; lo que cuenta es tratar de pasar un buen rato, disfrutar de películas (que el verano da para mucho), y mantener las neuronas  un poco activas. P.D.: Espero que no haya ningún error en las cuestiones. Se han repasado varias veces, pero algunas, al ser inventadas o retocadas de otros enunciados, podrían tener alguna errata. Sed benévolos con vuestros calificativos si tal cosa sucediera. El plazo para enviar las respuestas, es como en años precedentes, hasta las 00:00 del 1 de Septiembre, o las 23:59 del lunes 31 de agosto de 2015, si alguien tiene manía a los ceros, a la dirección alfonso@mat.uva.es, indicando en el asunto Verano 2015. ¡¡¡¡Buen Verano Cinematemático!!!!

Lunes, 22 de Junio de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico