101. 119. A contar tópicos se ha dicho

Normalmente, cuando aparece en una película un personaje de cierta inteligencia, con habilidades matemáticas, o directamente un matemático, uno se hace idea de que la película va a ser profunda, o al menos en algún momento. Bueno, pues todo tiene sus excepciones. No obstante, siempre podemos ampliar nuestro bagaje cultural. Seguramente todos relacionemos a Ben Affleck con su inseparable amigo y compañero de estudios Matt Damon en la estupenda El indomable Will Hunting (Good Will Hunting, Gus Van Sant, EE. UU., 1997). Ganaron el Oscar al mejor guion aquel año, que escribieron juntos, y como recordaremos, el protagonista (Damon), era un joven extraordinariamente dotado para las matemáticas que por azares del destino trabajaba en el servicio de limpieza del MIT. En aquella, Affleck no tenía ninguna relación con las matemáticas. Quizá haya tenido ganas de encarnar también a alguien con altas capacidades para el análisis y de cierta inteligencia después de escribir aquel guión en el que su amigo se llevó todo el protagonismo en ese sentido (no es momento ahora de hablar de los diferentes caminos que han tomado sus carreras, con un Damon centrado más en interpretar, y un Affleck más interesado en la dirección, con algún título realmente interesante; pero también hay que comer, así que de vez en cuando interpreta algún que otro papel más ligerito). Por cierto, en El indomable Will Hunting también aparecía su hermano, Casey Affleck, flamante ganador del Oscar por Manchester frente al mar en la última gala de hace un par de meses. Pues, aunque para el actor, esta interpretación estaría entre las cinco mejores que ha hecho en su carrera (junto a las de El indomable Will Hunting, Argo, Persiguiendo a Amy y The Batman (en posproducción aún), según sus manifestaciones), lo cierto es que la película no va a perdurar como Will Hunting como paradigma de las matemáticas, precisamente. Echémosla un vistazo, después de presentar sus datos básicos: Ficha Técnica: Título: El Contable. Título Original: The Accountant. Nacionalidad: EE. UU., 2016.  Dirección: Gavin O'Connor. Guion: Bill Dubuque. Fotografía: Seamus McGarvey, en Color. Montaje: Richard Pearson. Música: Mark Isham. Producción: Lynette Howell Taylor y Mark Williams. Duración:  128 min. Ficha artística: Intérpretes: Ben Affleck (Christian Wolff), Anna Kendrick (Dana Cummings), J.K. Simmons (Ray King), Jon Bernthal (Brax), Jeffrey Tambor (Francis Silverberg), Cynthia Addai-Robinson (Marybeth Medina), John Lithgow (Lamar Blackburn), Jean Smart (Rita Blackburn), Andy Umberger (Ed Chilton), Alison Wright (Justine), Jason Davis (Neurólogo), Robert C. Treveiler (Padre de Chris), Mary Kraft (Madre de Chris), Seth Lee (Chris joven), Jake Presley (Hermano pequeño). Breve Sinopsis (simplemente introductoria): Christian Wolff es un contable que trabaja en una pequeña oficina, asesorando a personas con dificultades económicas. Su trato con ellas, aunque correcto, es muy distante y frio. Paralelamente se nos presentan escenas de asesinatos, y un flashback de un niño con características autistas, diagnosticado por un especialista que está entrevistándose con sus padres. No es difícil deducir que Wolff y el niño son la misma persona. Por otro lado, el veterano director de delitos financieros del Departamento del Tesoro, a punto de jubilarse, chantajea a una aplicada analista para que se encargue de un asunto personal: tratar de descubrir la identidad de una persona a la que lleva años persiguiendo sin ningún éxito. Comentario Si además de escuchar a Affleck vendernos la moto de su magnífica interpretación (es su trabajo, obviamente, y está correcto en su papel), empleamos unos minutos en oír a los responsables de esta producción (director, guionista, entre otros) en los contenidos adicionales del DVD, desde luego estaremos deseando verla. Nos cuentan que se trata de una película sobre la reconciliación de un hombre con su pasado traumático, con una presentación novedosa de una persona con espectro autista no como víctima sino sacando provecho a las habilidades que tiene, con un argumento intelectualmente atractivo y a la vez divertido y emocionante, …. Vamos, un peliculón. Pero desde luego, si esa fue la intención, digamos a modo de síntesis que se queda en un thriller de acción bastante previsible y convencional (y cuando no, en pocos momentos, retorciendo las cosas artificiosamente), con algún toquecillo disfrutable, apropiado para una tarde en la que no haya otra cosa mejor que hacer. Para empezar, esa “novedad” sobre el espectro autista no es tal, ya que sigue punto por punto el cliché que Hollywood se ha formado sobre este tipo de personas desde que Dustin Hoffman interpretara Rain Man: socialmente limitado, muy inteligente, reacción violenta y desmesurada ante imprevistos, seguimiento obsesivo de patrones, antiestéticas gafas de culo de vaso siendo niño, gags cómicos a propósito de algunos comportamientos del personaje o malos entendidos sobre todo en la relación con las chicas, trato justo a “los buenos”, etc. La única “diferencia”, que tampoco es tal porque hay otras películas con asesino inteligente, es que Wolff no duda en ejecutar a quien sea (bueno, siempre que sea del sexo masculino), y a pesar de eso, queda absuelto de cualquier delito moral, porque oigan, acaba con “los malos”, ha sido capaz de superar traumas infantiles agudizados por su propio padre (un militar como debe ser, y no una nenaza con atisbo alguno de sensibilidad, que además le busca los mejores entrenadores en lucha, preparándolo para enfrentarse a la jungla despiadada que es el mundo actual; con esos antecedentes ¿cuál puede ser la lectura de cabecera de una persona así? ¿Hemingway? ¿Twain? ¿Steinbeck? No, hombre, los héroes Marvel, evidentemente). A pesar de esta justificación, hay demasiada diferencia en el comportamiento entre el Wolff niño y el Wolff adulto, no nos acabamos de creer que sean la misma persona. Pero es que lo suyo son los números. Pero sólo los números. Mejor dicho, la memorización de números. Bueno, tampoco nos pasemos que se sabe una ley estadística al menos. En definitiva, se plantea una fetichización, creo que equivocada, del autismo. Y para quien piense que me paso porque tiene unos cuadros de pintores de prestigio, digamos que los tiene no por alguna connotación artística o medianamente cultural, sino por su valor económico, y otro (el Pollock) porque el contemplarlo tranquiliza su complicada mente. Como película, el argumento se pierde en abrir trama sobre trama, sin rematar ninguna de las anteriores, constituyendo un mosaico de escenas sueltas con un tenue hilillo de soporte. No hay progresión ni crecimiento en los personajes, muchos, por cierto, a los que a pesar de intentarlo (los actores no son estrellas, pero tampoco figurantes de telefilm), en la mayor parte su aparición es muy circunstancial. Eso sí, tenemos flashbacks, flashbacks y flashbacks. Las secuencias de acción en la película son decentes, aunque no particularmente especiales. La coreografía de lucha y el control con la cámara es aceptable, pero nada que destaque sobremanera.  Dado que Christian Wolff es “el héroe”, las escenas de acción en las que está metido carecen de tensión alguna, porque sabemos de antemano que va a ganar. El contable pretende tener cierta complejidad, y basarse en la sorpresa, pero acaba siendo bastante simple. Matemáticas en la película 1.- Ley de Benford o del primer dígito significativo. Entre lo más interesante de la película, matemáticamente hablando, se encuentran las referencias a este resultado del que varias películas y series de televisión (Numb3rs, por ejemplo) se han venido haciendo eco, y de la que se puede encontrar mucha información en la red. La razón de su presencia es por su aplicación en la detección de fraudes fiscales (que es casi exclusivamente como se ha plasmado en pantalla), como ocurre en la que nos ocupa. El protagonista, Chris, gracias a su facilidad para memorizar y analizar números, es capaz de detectar que en los registros contables de Living Robotics, la empresa de los hermanos Blackburn en la que se ha detectado un agujero de varios millones de dólares, hay un dígito cuya sospechosa presencia le da la pista para suponer lo que está sucediendo, cómo se está desviando tanto dinero. Haciendo un intento de síntesis de esta ley, en 1881 al astrónomo y matemático Simon Newcomb le llamó la atención que las primeras páginas de las tablas de logaritmos presentaban un desgaste llamativo respecto de las finales, que prácticamente estaban inmaculadas. Pensando en ello elaboró la hipótesis de que, en listas de datos de fenómenos aleatorios, determinados dígitos son más frecuentes que otros. Sin precisar demostración alguna, estableció unas probabilidades de aparición para cada dígito. Independientemente, en 1938 (demasiado tiempo entre ambos, por lo que lo de “independientemente” lo citan todas las fuentes, pero podría ser cuestionable), el físico Frank Benford observó el mismo fenómeno también en las tablas de logaritmos. Tomando como ejemplo todo tipo de listas de números (no sólo matemáticas o físicas, también listas de direcciones de personas, financieras, de censos, de todo aquello que se le pusiera a tiro; analizó miles de cantidades), estableció una ley logarítmica, en la que la probabilidad de que el primer dígito significativo de una cantidad sea i, (llamémosla B(i), en honor a Benford) viene dada por la expresión Log (1 + 1⁄i), siendo Log el logaritmo decimal (el de base 10). Así aparece esta tabla para cada dígito El matemático Simon Plouffe (famoso por el algoritmo BBP para determinar el enésimo dígito binario de π, historia para otro momento) ha confeccionado una base de datos con más de 215 millones de constantes matemáticas, comprobándose que todos ellos siguen la ley de Benford. Se han descubierto muchas particularidades (a cada cual más curiosa) de esta ley. Por ejemplo, que es la única conocida que es invariante a cambios de escala (en otras palabras, da lo mismo en qué unidades se contemplen las listas de números: siguen esa ley). También es invariante frente a cambios de base logarímica (da igual tomar logaritmo decimal que neperiano, en base tres o siete: verifican la ley todas las listas de números en cualquier base). Todo ello se puede comprobar matemáticamente. Recomiendo al lector interesado que se lea este enlace, en el que se comentan muchas interrogantes que seguramente el lector se esté haciendo, aunque, como dije previamente, hay mucha información disponible en la red, dado que, como resultado llamativo, ha generado abundante literatura al respecto, y resulta por ello ideal para plantear ejercicios para experimentar en clase con alumnos. Es lógico, por tanto, que los inspectores fiscales, los de policía científica, etc., dediquen un ratillo a echar un ojo a ver si hay algún patrón detectable cuando investigan fraudes (al menos en las películas; ¿algún lector anónimo que conozca el asunto podría decirnos si aquí en España se tiene también en cuenta? Sólo por curiosidad, un tanto pícara, lo reconozco). Dana y Christian discuten el uso del número 3 como segundo dígito en los registros falsificados en base a la citada Ley de Benford. Seguramente esté hecho adrede, para ver si el espectador está atento a la película, pero a lo largo de la misma el número 3 es casi omnipresente: cuando Chris se desayuna, toma 3 bizcochos, 3 tiras de panceta, y un huevo frito de 3 huevos; cuando practica tiro, dispara a 3 melones; en el cajón aparecen muy bien colocaditos, 3 cubiertos; guarda 3 cuadros famosos (ver más abajo); ¿se anima el lector a buscar más series de 3 objetos? Es decir, los guionistas, para mostrar que el protagonista no actúa al azar, sino que sigue unas pautas muy definidas (es uno de los rasgos característicos del autismo) infringen constantemente la ley de Benford. Una preguntilla para el lector (iré dejando caer alguna otra): ¿Y Nikola Tesla tendrá algo que ver con todo esto? 2.- Matemáticos célebres. Ciertamente la sociedad en general no conoce demasiados nombres de matemáticos célebres, pero una experta y eficiente analista de datos como se nos presenta a Marybeth Medina, tiene que tardar mucho menos de lo que lo hace en la película en detectar que no puede ser casual que alguien se llame Carl Gauss, Lewis Carroll o Christian Wolff. (Las imágenes están tomada directamente de la película, y no he encontrado ningún sitio real al que pertenezcan, así que seguramente se han creado expresamente para la película). Sospechando Marybeth que las matemáticas tienen algo que ver, y después de comprobar que sus primeras intuiciones la llevan a personas fallecidas, elabora una lista con, según ella, el centenar de matemáticos más famosos de la historia. Sólo hay un momento en el que se ve la lista sobre la mesa (ver imagen), y por curiosidad, ampliando la imagen, es posible leer algunos nombres. No son ni mucho menos los más famosos de la historia, pero si se han molestado en seleccionar nombres de matemáticos, algunos contemporáneos. Aparecen entre otros Kenneth Appel, Vladimir Arnold, Dame Mary Cartwright, James Davenport, Roger Cotes, Isaac Barrow, …. en fin, el que lo desee que amplíe y compruebe. Como precisamente Christian Wolff, no es demasiado conocido, hablemos un poco sobre él. Es considerado sobre todo un filósofo racionalista, aunque estudió física y matemáticas. Obtuvo la cátedra de matemáticas en la Universidad de Halle (1706), por recomendación de Leibniz. El trabajo de Wolff estuvo orientado en gran parte precisamente a difundir y poner en claro la filosofía de Leibniz (Kant, por ejemplo, se acerca a este autor a través de Wolff, como pone de manifiesto en el prólogo de la Crítica de la razón pura). A través del método matemático, Wolff establece un racionalismo sistemático, incluso en su concepción teológica (lo que le traerá serias controversias tanto con católicos como con protestantes que enmarcan su pensamiento como ateo y materialista). Paradójicamente, la filosofía de Wolff está más cerca en conjunto de Descartes que del propio Leibniz. 3.- ¿Cristales o pizarras tradicionales? A la hora de escribir matemáticas para terceros, los protagonistas de las películas (los actuales; evidentemente encarnando a los anteriores al siglo XX no hay elección) se dividen en dos: los que utilizan cristales o pizarras transparentes, y los que usan las pizarras de tiza de toda la vida. Puede parecer simplemente un recurso cinematográfico vistoso, pero lo cierto es que algunos docentes (fuera de nuestras fronteras mayoritariamente) se empiezan a plantear la utilización de pizarras transparentes. Al parecer los primeros en utilizar este tipo de pizarras (aunque no hay constancia documental de ello, o al menos yo no la he encontrado) fueron los militares, para permitir a más espectadores asistir a la explicación más cerca (a ambos lados de la pizarra), además de ver (controlar) todo lo que sucede por delante, por detrás, y que el que escribe pueda establecer un diálogo más directo con los que están atendiendo sin tener que darse la vuelta constantemente. Suelen emplearse rotuladores con tinta fluorescentes que brillan bajo cierto tipo de luz LED que, dispuestas alrededor de la pizarra, la "iluminan" totalmente. El gran inconveniente de situarse por detrás es que se ve la imagen especular (o de tener que escribir al revés, algo bastante complicado, o cuanto menos, tedioso). En los videos tutoriales de clases grabadas que se suben a internet, el problema se ha solventado gracias a que primero se graba el vídeo que después se muestra invertido, girado completamente sobre un eje vertical. Otros colectivos que han manifestado su preferencia por este tipo de pizarras han sido algunos astrofísicos. Dan múltiples razones, tanto didácticas, como artísticas (la mezcla de ecuaciones y símbolos griegos en vidrio hacen que el ambiente académico parezca más "interesante"; no me lo invento: véase aquí el reportaje de la revista Symmetry Magazine de 2007). También se argumenta que utilizar pizarras transparentes fomenta más la participación (¿quizá porque no te manchas de tiza?). No parece que sea esta la razón que impulsa a Christian Wolff, dadas sus limitaciones en el trato con otras personas, ni tampoco para hacerse el interesante, o llamar la atención (recordemos que se pasa la noche haciéndolo él solo); más bien lo hace por tener más espacio que el que una pizarra normal puede proporcionar. Y en papel no se tienen a la vista igual de bien tantas cantidades que puedan consultarse de un vistazo (no olvidemos que está comprobando quince años de registros). Así que, para los que piensen que es sólo, en el caso de la película, un elemento llamativo, un efecto, que se olviden. Los que hemos trabajado ejercicios o problemas un poco largos (y no tiene porqué ser algo complejo, puede ser algo tan “elemental” como el cálculo de una integral un poco larga; para los más “modelnos”: no hemos dispuesto de ordenadores que hagan los cálculos desde siempre), lo entendemos perfectamente. 4.- Miscelánea Algunos datos sueltos sin mayor explicación: El personaje de Dana menciona el instituto Naperville North, un instituto real que tiene en su haber 16 victorias en los campeonatos de matemáticas del estado de Illinois. ¿No os parece extraño que la agente Medina diga al agente King que Christian Wolff dona un millón cien (1000100) dólares al Instituto Harbor de Neurociencia? Seguro que vista la cantidad en cifra os sugiere algo, ¿verdad? 1000100 en binario es 68, y posteriormente en la película el director de la institución indica que se diagnostica alguna forma de autismo entre uno y 68 niños al año. Pueden leer la opinión sobre esta película de nuestro compañero José María Sorando en este enlace, que añade algún aspecto más relacionado con las probabilidades. Curiosidades Tres son los cuadros famosos que aparecen en la película, concretamente en la caravana/trastero de Chris. 1.- Mujer con parasol y niño pequeño en una ladera soleada, de Pierre-Auguste Renoir, óleo sobre lienzo pintado entre 1874 y 1876. Su último propietario fue John Taylor Spaulding, que lo legó al Museum of Fine Arts (MFA) de Boston el 3 de junio de 1948, y desde entonces está allí expuesto, de modo que el protagonista de la película no lo pudo tener nunca. La dama del cuadro es Camille Monet, esposa del pintor impresionista Claude Monet, a la que Renoir pintó en varias ocasiones. 2.- Un amigo necesitado (Perros jugando al póker), la obra más conocida de Cassius Marcellus Coolidge, también conocido como Cash o Kash. A este pintor se le atribuye la hoy extendida idea en parques temáticos, exposiciones o museos, de tener un cuadro, foto o composición con el motivo que sea, con un agujero en el rostro de los personajes para que el visitante pueda poner su cara y hacerse una foto de recuerdo (Comic Foregrounds). Este óleo fue pintado en 1903, y posteriormente ha sido muy imitado por otros autores, incluso con mayor prestigio y renombre que Coolidge (injusticias de la vida). Coolidge hizo una serie de 16 obras con perros en actitudes humanas, 9 de ellas jugando al póker. Obsérvese en primer plano al bulldog que entrega a escondidas un as a su compañero con lo que éste tendrá póker de ases (cuatro ases). Este detalle es el que da nombre al cuadro (ese es el “amigo necesitado”). El primer cuadro de la serie (de 1894) alcanzó en 2005 la suma de 658.000 dólares en una subasta en la sala Sotheby’s de Nueva York. En muchos lugares de la cultura popular (novelas, películas, series de televisión, cómics, incluso videojuegos; nos daría para llenar varias páginas) se hace referencia a esta serie de cuadros. Por ejemplo, para los amigos de Los Simpson, en el episodio La casa-árbol del terror IV (Treehouse of Horror IV), quinto de la quinta temporada (5.05), Homer se vuelve loco por mirar este cuadro; también en los remakes El secreto de Thomas Crown (The Thomas Crown Affair, John McTiernan, EE. UU., 1999), La vuelta al mundo en ochenta días (Around the World in 80 Days, Frank Coraci, EE. UU., 2004), o en Up (Pete Docter y Bob Peterson, EE. UU., 2009), por citar algunos. En la película que nos ocupa, este cuadro (se supone que una lámina, no el original, se utiliza para esconder el cuadro de Pollock que Chris regala finalmente a Dana. ¿En qué momento Dana trae a colación perros jugando al póker antes de que veamos este cuadro? 3.- Forma Libre (Free Form), Jackson Pollock, 1946. Poco se puede comentar sobre este autor, el mayor representante del expresionismo abstracto, que no se sepa. Artista controvertido, de personalidad volátil, luchó contra el alcoholismo la mayor parte de su vida. Contrajo matrimonio con la artista Lee Krasner en 1945, de gran influencia en su obra. Murió de un accidente de tráfico en 1956 conduciendo totalmente ebrio. Varios cineastas por separado han intentado llevar al cine su biografía, pero sólo el empeño personal del actor Ed Harris (que protagonizó y dirigió la película Pollock: la vida de un creador, en el año 2000), llegó finalmente a término, a pesar de la nula colaboración de la fundación Pollock-Krasner. Probablemente Forma Libre sea la primera obra de Pollock realizada mediante la técnica de "goteo". Los expertos consideran que comenzó pintando todo el lienzo en rojo y luego fue añadiendo los enredos blancos y negros, lanzando y goteando pintura diluida en aceite mediante un cepillo o un palo. Es propiedad del MoMA (Museum of Modern Art, Nueva York). Por hacernos una idea de la cotización de Pollock, en 2013 se pagaron 58,4 millones de dólares, el doble del precio de salida, por una obra fechada en 1948, es decir, dos años posterior a la que estamos comentando. Batió en ese momento el record de la sala Christie’s de Nueva York. Para los más curiosos. ¿Es en realidad el cuadro original de Pollock el que aparece en la película, o tiene alguna alteración? ¿Qué significado puede tener tal alteración, caso de que la descubráis? Pudiera parecer extraño que Chris guarde en una caja fuerte una copia de Action Comics # 1 (1938), pero concretamente este ejemplar, en buenas condiciones, está valorado en torno a los 4 millones de dólares. Contiene la primera aparición de Superman de la historia, y hace unos años, en 2011, saltó a las primeras páginas de los periódicos norteamericanos ya que fue encontrado por la policía el ejemplar propiedad del actor Nicholas Cage que le habían robado diez años atrás (en el 2000 presentó la denuncia; éste está valorado “sólo” en 2 millones de dólares porque como se ve en la imagen, presenta algunos signos de deterioro, no está perfecto). Se encontró en un armario de un almacén que compró la persona que lo entregó a la policía. Desgraciadamente para Cage, sus ejemplares Detective Comics # 1 y Detective Comics # 27 (la primera aparición de Batman), robados a la vez, aún no han aparecido. Por cierto, tampoco tiene ya el encontrado: una vez recuperado, lo vendió por 2.1 millones de dólares. Curiosamente, Ben Affleck interpretó a Superman en Hollywoodland (Allen Coulter, EE. UU., 2006) (en realidad interpreta a George Reeves, actor que interpretó a Superman, como sabemos), y a Batman en Batman v Superman: El amanecer de la justicia (Zack Snyder, EE. UU., 2016), siendo hasta el momento el único actor que ha encarnado a ambos superhéroes, además de a Daredevil en la película homónima (Mark Steven Johnson, EE. UU., 2003), y de nuevo a Batman en dos películas de La liga de la justicia, y The Batman, éstas aún en fase de posproducción. Y curiosamente, hay más actores en la película que han personificado en otras películas a personajes de cómics (os digo quienes: J.K. Simmons, Jon Bernthal, Anna Kendrick, y Cynthia Addai-Robinson; vosotros buscáis qué personajes fueron). La rima de Solomon Grundy (Solomon Grundy, un lunes nació, un martes se bautizó, un miércoles se casó, un jueves enfermó, un viernes empeoró, un sábado murió y un domingo se enterró. Y así Solomon Grundy acabó) tiene bastante presencia en la película ya que sirve para calmar a Chris. También este personaje tiene que ver con los comics (DC Comics) ya que se trata de un zombi cuya “vida” está estructurada en torno a esta misma rima. Sin embargo, la rima tiene más historia. Está datada por primera vez en 1842 en el libro Nursery Rhymes and Fairy Tales, de James Orchard Halliwell-Phillipps (1820 – 1889), anticuario inglés, investigador de literatura y recopilador de cuentos tradicionales. La canción está traducida en diferentes idiomas como el francés, alemán e italiano y se utiliza como herramienta educativa para enseñar a los niños los días de la semana en inglés, ya que es muy fácil de memorizar la rima. La rima cuenta la historia de Solomon Grundy, un hombre que, metafóricamente, vive y muere toda su vida en una sola semana. Nacido el lunes, cada día de la semana se hace más viejo pasando por las diferentes etapas de la vida, que termina en sábado. Solomon Grundy se convirtió en un personaje de leyendas urbanas y cómics. Se utiliza también para asustar a los niños, diciéndoles que Solomon Grundy volverá el lunes, de manera similar al “coco”. Por supuesto es cierto, como se indica en la película, que los psicólogos la emplean en las terapias con niños con determinadas patologías. Por otro lado, existe una comida salada británica del siglo XVII llamada Salmagundi (referido a un ingrediente utilizado en el plato), que algunos consideran el origen fonético de la rima. Conclusión Quien disfrute de las películas de acción con algún contenido adicional que se salga de lo habitual del género (es decir de los Rambos, Norris, Seagal, Van Damme y demás engendros de violencia gratuita) puede pasar un rato entretenido, aunque probablemente todo le resulte bastante trillado. Podría decirse que El contable es una precuela de cualquier súper héroe tipo Batman. Seguramente con secuela dentro de un tiempo. No está mal que el espectador asuma que también hay matemáticas en este tipo de películas. Lo peor es que transmite (¡¡ay, la omnipresente segunda enmienda!!) la idea de que la violencia es justificable, y que no importa que cualquiera la emplee con tal de que sus fines sean justos y morales. Pero a nada que tengamos media neurona útil, llegaremos a la conclusión de que esos ideales (justicia, verdad, etc.) no son tan fáciles de discernir, y cualquiera puede obcecarse en un momento dado y dejarse llevar por una rabieta pasajera. Alfonso J. Población Sáez

Miércoles, 05 de Abril de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

102. 118. Sólo π-enso en π

El próximo 14 de marzo se celebra por primera vez en nuestro país el día de PI, de cierta tradición en países anglosajones. En el cine esta constante es probablemente la más popular. Nos sumamos al evento, añadiendo (o recordando, que la literatura al respecto es vastísima) alguna cosilla al respecto. Aún en la memoria el cortometraje de Manuela Moreno, Pipas (si no lo has visto, disfrútalo en el enlace, y si lo has visto, sigue causando el mismo efecto; lo he vuelto a revisar y me ha seguido encantando), al que dedicamos tiempo atrás una amplia reseña y en el que π era sólo una excusa para mostrarnos otros aspectos de nuestra sociedad. Lo cierto es que esta constante será seguramente la más conocida entre la ciudadanía en general, y eso queda patente en su presencia en libros de divulgación, artículos, y obviamente, en películas y series de televisión. Sin ánimo de ser exhaustivo, recordamos algunas (todas ellas del libro Las matemáticas en el Cine, o de esta misma página; en ese caso se aporta el enlace): Donald en el país de las matemáticas (Hamilton Luske, EE. UU., 1959); Cortina Rasgada (Alfred Hitchcock, EE. UU., 1966); Los chicos del PREU (Pedro Lazaga, España, 1967); Pi, Fe en el Caos (Darren Aronofski, EE. UU., 1998); Nunca me han besado (Raja Gosnell, EE. UU., 1999); Y decirte alguna estupidez, por ejemplo, te quiero (Antonio del Real, España, 1999); Las vírgenes suicidas (Sofia Coppola, EE. UU., 1999); y más… José María Sorando añade además en sus últimos trabajos, Red Planet Mars (Harry Horner, EE. UU., 1952); episodio 4.03 (Nada es perfecto) de la serie Dr. En Alaska (EE. UU., 1993); y un montón más en las páginas 98 a 109 de su último libro, Resolviendo problemas (Guadalmazán, 2016). El caso es que, a pesar de su popularidad, y de que más o menos todo el mundo sabe cosas sobre π, algunos parece que aún no han aprendido mucho. Echemos un vistazo a una popular película de hace muy poquito (gracias a mi compañera y amiga Ana García Lema, por el aporte): Un monstruo viene a verme Ficha Técnica: Título: Un monstruo viene a verme. Título Original: A Monster Calls. Nacionalidad: EE. UU., España, Reino Unido, 2016. Dirección: J.A. Bayona. Guión: Patrick Ness, basada en su propia novela homónima, a su vez basada en una idea de Siobhan Dowd. Fotografía: Oscar Faura, en Color. Montaje: Jaume Martí y Bernat Vilaplana. Música: Fernando Velázquez. Duración: 108 min. Ficha artística: Intérpretes: Lewis MacDougall (Conor), Sigourney Weaver (Abuela), Felicity Jone (Mamá), Toby Kebbell (Papá), Ben Moor (Mr. Clark), James Melville (Harry), Oliver Steer (Sully), Dominic Boyle  (Anton), Jennifer Lim (Miss Kwan), Patrick Taggart (Profesor). Hay al principio de la película una secuencia en la que el joven protagonista, Conor, está en clase. En clase de matemáticas. Oímos al profesor de fondo, decir lo siguiente: Profesor: Tiene dos constantes fundamentales: e, la base del sistema logarítmico natural, es un número, un número que obtenemos al preguntarnos cuál es la función matemática, eso que describe las cosas si el ritmo al que cambian es proporcional a la magnitud. Pues bien, si lo hacemos con una operación matemática, nos dará esa constante fundamental. […] ¿Conor? ¿Estás bien, Conor? Pareces cansado. ¿Descansas lo suficiente? Ante la respuesta afirmativa del joven, que no está para muchas alegrías teniendo a cuestas lo que tiene, el profesor continúa su explicación. Profesor: Pi es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Bien, todo correcto en el doblaje. Pero vamos a la versión original (la película está rodada en inglés). El profesor dice “Pi is the ratio of the circumference, and when you put it…” Igualmente, los subtítulos en inglés. Si lo tradujéramos textualmente sería algo así: “Pi es la proporción de la longitud de la circunferencia, y cuando lo ponemos …” Señores guionistas, para describir una proporción hacen falta dos términos, los que se comparan. Esa frase no tiene sentido. Si vamos a la versión editada en DVD, y nos ponemos los subtítulos en inglés, pone lo mismo, pero en los subtítulos en castellano, el disparate aumenta: “Pi es el radio de la circunferencia, y cuando se pone…”. No, no me he equivocado. Pueden comprobarlo. ¿Cuál es el error a mayores? Sencillo. No sé si ha habido un “responsable” que haya supervisado ese subtítulo, o sencillamente han metido el texto a un traductor automático y luego lo han revisado por encima y de aquella manera. Imagino que alguien lo habrá leído antes de editarlo. Pues bien, a ese “responsable” habría que decirle que “ratio” es relación o proporción. Radio es, en inglés radius. Y aunque no lo supiera, por ser una palabra, digamos, “técnica”, tampoco tiene perdón porque no tiene (tiremos de eufemismo políticamente correcto, porque yo lo calificaría de otra manera) demasiada idea de algo que no es propiamente matemáticas, sino cultura general. Nadie me admitiría, ni a mí ni a nadie, y me parece correcto, que yo escribiera algo como “El Quijote, esa gran obra del magistral Quevedo”, por poner un ejemplo. Pues esto es de ese calibre, aproximadamente. Y mientras los medios de comunicación en general no traten de poner un mínimo de interés en estas cosas, que quizá puedan parecer a algunos insignificantes, nunca las matemáticas, la ciencia en sentido amplio, va a poder constituir una parte fundamental de nuestra cultura (que ni falta que la hace; lo es por derecho propio, pero seguiremos sintiéndonos tan graciosos y reiremos esas gracias a los que sueltan auténticos dislates cada día en tal o cual cadena o periódico). A ver, que no estamos diciendo que hemos confundido el teorema de Weierstrass con el de Rolle, que cualquiera puede entender que eso es algo más específico; que estamos hablando de π, algo tan popular y tan básico, que lo tenemos a nuestro lado constantemente, en cada objeto circular o esférico que veamos a nuestro alrededor (y en más sitios, por supuesto, que ahora no viene al caso).  ¿Entienden por qué el corto de Manuela Moreno es tan adecuado, aún y seguramente lo será por mucho tiempo? Bienvenido por tanto ese día de π, que aunque al principio me pudiera parecer simplemente una traslación de un “divertimento” anglosajón, cosas como ésta hacen que empiece a verle más sentido. ¡Ah, se me olvidaba! Todo ese chorreo hacia el responsable del guion original y de los subtítulos, hay que dárselo, pero al contrario, nuestras felicitaciones, al responsable del doblaje al español. Por una vez, el doblaje mejora la versión original (al menos en su contenido, que por supuesto, nunca será mejor, por buena que sea, que la declamación del actor original), o más bien, dice lo correcto. Practica un poco A lo largo de los siglos, muchos han sido los que han tratado de encontrar la cuadratura del círculo (que no se te pase por la cabeza, porque desde 1882 se sabe que tal circunstancia es imposible; Ferdinand Lindemann demostró la trascendencia de π, lo que implicaba que ese problema, planteado desde la época griega, es irresoluble). Sin embargo, quedan muchas construcciones geométricas, la mayor parte de gran ingenio y belleza, que lo intentaron. Su valor, desde ese 1882, no sólo es una curiosidad, sino que también se puede plantear como un ejercicio exportable a las aulas, para comprobar lo lejos o lo cerca que están del valor exacto de π. O dicho de otro modo, averiguar el grado de precisión de esas aproximaciones a π. Gracias a las nuevas tecnologías, las cuentas no son problema, por mucho que aparezcan expresiones, en ocasiones, un tanto “engorrosas”. Una aproximación muy antigua es la debida al astrónomo chino Tsu Ch’ung-Chih, que vivió hacia el siglo V de nuestra era. Seguramente el lector más avispado se conformará con teclear este nombre en cualquier buscador para averiguar que aproximación obtuvo (que por cierto se mantuvo como mejor aproximación racional más de 900 años), pero lo que te proponemos desde estas páginas es que lo calcules específicamente a partir de la siguiente construcción geométrica que te detallamos paso a paso (puedes utilizar GeoGebra, o lo que te venga en gana, pero este ejercicio se puede resolver fácilmente con apenas un par de cuentas, si sabes aplicar algunos resultados geométricos MUY elementales). De todos modos, trataré de no dejarlo todo masticado: Elige un cuadrado de lado L (puedes emplear un valor concreto, si lo deseas). Lo nombraremos como ABCD. En la imagen puedes comprobar el orden en el que se consideran los vértices. Sea E el punto sobre el lado AD tal que AE = 7⁄8 AD. Considera el punto F sobre el segmento BE de modo que BF = 1⁄2 AB. Toma la perpendicular a AB desde F. Llamaremos G a su intersección con la base del cuadrado. Finalmente, sea H de tal modo que el segmento FH sea paralelo a EG. Cuestiones: A partir de la distancia HB (señalada en rojo), ¿cómo encontrar π? Da su valor en modo racional (no decimal). ¿Qué error se comete al considerar ese valor como π? ¿Cuál sería la siguiente mejor aproximación racional a π? Una aproximación más “reciente”, 1685, es la del jesuita polaco Adam Kochanski (el primero, entre otras cosas, en utilizar un resorte de hierro como péndulo de los relojes y en estandarizar el número de impulsos periódicos de ese péndulo en una hora) Sea un circulo cualquiera de radio OA. Haciendo centro en A, con el mismo radio, se localiza el punto C. Con centro en C, se traza un nuevo círculo del mismo radio que los anteriores círculos para encontrar D sobre la segunda circunferencia. Considera el segmento OD y su intersección con la tangente a la circunferencia original que pase por A. Esto nos proporciona el punto E. Sea F el punto sobre la recta tangente a la circunferencia original que pasa por A que verifica que EF = 3 OA. Cuestiones: ¿Qué relación tiene el segmento BF con π? ¿Cómo de exacta es esta aproximación? He hecho los cálculos y las gráficas con GeoGebra. No es demasiado complicado. Sin embargo, he sido incapaz de hacer lo mismo (esto va para los GeoGebristas expertos) con este otro procedimiento debido al filósofo Thomas Hobbes (sí, el de aquello de que “el hombre es un lobo para el hombre”). Hacia los 67 años se interesó mucho por las matemáticas, y mantuvo agrias disputas con John Wallis porque Hobbes no consideraba lícito utilizar métodos algebraicos a la geometría. Vamos que la geometría analítica para Hobbes era algo así como un anatema. Hobbes realizó una docena de construcciones geométricas para cuadrar el círculo, una de las cuales es la que describo a continuación. La exactitud que me da DERIVE tanto numérica como en modo exacto (sobre todo ésta), no la obtengo con GeoGebra (ya veréis por qué). Se admiten (y espero) sugerencias. Partiendo de un cuadrado ABCD, se dibuja un arco AC (con centro en D), y otro ED, con centro en A. Sea F tal que el arco CF = 1⁄2 CE. Se toma la distancia de F al lado CD, obteniendo G de modo que FG sea igual a esa distancia y paralela al lado BC. Dibuja EG, y pon H = EG ∩ BC. Hobbes aseguraba que la circunferencia contiene al arco CE doce veces, y que CE = CH, de modo que entonces π es aproximadamente 6 CH. ¿Cómo es de buena esa aproximación? En la bibliografía, las referencias de las que provienen estas construcciones gráficas. Bibliografía [1]       Boyer, C. B. Historia de la matemática. Alianza Editorial. Madrid, 1987. [2]       Gardner, M. Nuevos Pasatiempos Matemáticos. Alianza Editorial. Madrid, 1982. [3]       Kline, M. El pensamiento matemático desde la Antigüedad a nuestros días. Alianza Editorial. Madrid, 1992. [4]       Población, A. J. Some approximations to square the circle. The DERIVE Newsletter #22, #23, #24, Austria, 1996. [5]       Steinhaus, H. Instantáneas Matemáticas. Salvat Ediciones. Barcelona, 1989 Alfonso J. Población Sáez

Jueves, 02 de Marzo de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

103. 117. Figuras de Oscar

El pasado 20 de enero llegó a nuestros cines Figuras Ocultas, nueva película con matemáticas en su desarrollo. Altamente recomendable en su temática, cinematográficamente algo menos. Comentamos curiosidades y recomendamos material escolar diseñado por la NASA. Ya iba siendo hora que la todopoderosa industria norteamericana se planteara reconocer el trabajo en la sombra de muchas mujeres científicas, matemáticas en particular. Hasta el momento, ¿sólo una había aparecido? (haciendo memoria, Marie Curie en una añeja producción de 1941). Otros países sí lo hicieron (Una montaña en la cara oculta de la Luna (Suecia, 1983, sobre Sofía Kowalevskaya; Ágora (España, 2009, sobre Hipatia de Alejandria), aunque su repercusión internacional por unos u otros motivos no destacó precisamente, o a la sombra de sus homólogos masculinos (Breaking the Code (Gran Bretaña, 1996), Descifrando Enigma (coproducción británico-estadounidense, 2014), ambas sobre Joan Clarke). En este caso además mostrando no sólo su trabajo, sino la discriminación racial que tuvieron que aguantar (menos mal que se ha realizado y distribuido antes del momento actual, en el que probablemente, a lo mejor me equivoco, aunque no lo creo, hubiera encontrado muchas más dificultades, dados los aires que corren). Echemos, como es pertinente un vistazo previo a su ficha técnica y artística. Ficha Técnica: Título: Figuras Ocultas. Título Original: Hidden Figures. Nacionalidad: EE. UU., 2016. Dirección: Theodore Melfi. Guión: Allison Schroeder y Theodore Melfi, basada en la novela homónima de Margot Lee Shetterly. Fotografía: Mandy Walker, en Color. Algunas escenas en B/N. Montaje: Peter Teschner. Música: Benjamin Wallfisch, Pharrell Williams y Hans Zimmer. Duración: 127 min. Ficha artística: Intérpretes: Taraji P. Henson (Katherine G. Johnson), Octavia Spencer (Dorothy Vaughan), Janelle Monáe (Mary Jackson), Kevin Costner (Al Harrison), Kirsten Dunst (Vivian Mitchell), Jim Parsons (Paul Stafford), Mahershala Ali (Coronel Jim Johnson), Aldis Hodge (Levi Jackson), Glen Powell (John Glenn), Kimberly Quinn (Ruth), Olek Krupa (Karl Zielinski), Kurt Krause (Sam Turner), Ken Strunk (Jim Webb), Lidya Jewett (Katherine Coleman joven), Donna Biscoe (Mrs. Joylette Coleman). Muchos medios de comunicación se han dedicado ya a analizar la película (el marketing comercial de los estrenos así lo ha ido instaurando previo a cada viernes de estreno), y muchos blogs y páginas personales también le han dedicado sus comentarios, en general bastante acertados (las nuevas tecnologías y las redes sociales es lo que tienen), de modo que en este momento poco me queda por decir que no se haya comentado ya, incluso desde el punto de vista más específico de las matemáticas. Así, la reseña que nuestro compañero José María Sorando ha realizado en su página personal, además de indicar y enlazar tres análisis de la película de los muchos que han venido publicándose (el SINC y dos periódicos), nos lista y comenta las matemáticas explícitas y reconocibles que aparecen en pantalla. Por ello, con objeto de no ser repetitivo, señalaremos algunos otros detalles que me han llamado la atención y no he visto reflejados (lo cual no quiere decir que no se hayan hecho; no se puede controlar todo lo que aparece en la Red). En suma, léase la anterior reseña, y después complementen, si aún les queda tiempo y ánimo, con lo que aquí comentaremos, básicamente algunos datos que pueden ser interesantes o al menos curiosos. Al inicio de la película, como indica José María, Katherine Coleman Johnson niña, resuelve en la escuela una ecuación de cuarto grado (ver imagen) un poco trampeada porque en realidad es el producto de dos ecuaciones de segundo grado igualadas a cero (sigue siendo destacable para una niña de esa edad, y seguramente el asesor matemático de la película haya pretendido mostrar su genialidad con algo que ¿gran parte de la audiencia? entienda. Lo que llama la atención, si nos fijamos en las expresiones, es que no las resuelve con la fórmula que nosotros utilizaríamos para ello, sino que para la primera expresa las soluciones como producto de factores (¿lo hace mentalmente? Porque operación adicional tipo Ruffini, por ejemplo, no aparece en el encerado), y sobre todo, para la segunda, busca el cuadrado del binomio que se adapta a la ecuación, y posteriormente extrae la raíz cuadrada de ambos miembros (en la última línea pone, aunque no se vea muy bien 5/4 ± 7/4, y de ahí extrae las raíces). Triedro de Frenet, método de ortonormalización (es de suponer que el clásico de Gram-Schmidt), y método de Euler de aproximación a la solución de una ecuación diferencial de primer orden a partir de un valor inicial. El primer método numérico que suele enseñarse en un curso convencional de cálculo numérico. Perfectamente insertado en el contexto (de las pocas veces que el cine nos muestra procedimientos numéricos), aunque quizá sorprenda que lo llamen (recordemos que los hechos acontecen en 1961) método “antiguo” (¿se puede calificar algo en matemáticas de método obsoleto? Entonces el teorema de Tales o de Pitágoras, ¿qué son? Y se usan habitualmente). La explicación, creo, es la siguiente. El cálculo numérico se estaba desarrollando de un modo estructurado (hasta ese momento eran procedimientos sueltos) precisamente desde finales de los años cincuenta, principios de los sesenta, con la incorporación de las computadoras y los lenguajes de programación (que como sabemos utilizan algoritmos de este tipo). El método de Euler no es demasiado útil en problemas prácticos porque requiere tamaños de paso muy pequeños para obtener una precisión razonable. Por eso no es demasiado útil. Tampoco lo es utilizar aproximaciones de Taylor, por poner otro ejemplo, por utilizar derivadas de orden alto. Los métodos en boga eran los métodos multipaso (como Adams-Bashford, por ejemplo), aunque pronto se vio que eran más eficientes respecto al número de operaciones los Runge-Kutta, y posteriormente los predictor-corrector, que tienen la ventaja de dar un estimativo de error en cada paso, aunque pueden ser más inestables. Pero muchas veces, éstos procedimientos arrancan con un Euler inicial, así que lo de método antiguo u obsoleto, a mi entender está fuera de lugar. Relacionado con las matemáticas, aunque más relacionado con la Física, nos encontramos también referencias a la constante de Planck-Einstein y la ecuación de Schrödinger, en la escena en la que Mary Jackson se presenta a las clases nocturnas en el instituto de secundaria de Hampton (dependiente de la Universidad de Virginia) a las que “generosamente” un juez la deja asistir al tratarse de un centro exclusivo para blancos. Junto a las tres protagonistas (recordemos Katherine Coleman Johnson, Dorothy Vaughan, Mary W. Jackson), también es relevante, desde un punto de vista más científico/tecnológico, la transición de esas calculadoras humanas a las posteriores máquinas, etapa no trivial aunque hoy lo parezca, y que refleja muy bien el comentario del personaje que encarna John Glenn:  Me gustan sus números.  Los de un ser humano, no los de una máquina. Crítica personal Reiterando nuevamente el enorme interés de la historia que ejemplifica el silenciado pero ímprobo y muy relevante trabajo de muchas mujeres (aquí científicas, y esa es la novedad por desconocida para la sociedad en general, aunque aún peor en otros ámbitos), la realidad de las condiciones en las que las tocó trabajar y salir adelante, su tenacidad, sus logros, etc., habiendo muchos temas por los que todos deberíamos verla para despertar conciencias, creo guionistas y director han destacado un poco más el tema del racismo (es lógico, es una producción norteamericana, y es un tema que en muchas zonas del país no tienen para nada asumido). En este tema uno puede recordar otras muchas películas (El color púrpura, Raíces, incluso memorables comedias críticas como Adivina quién viene esta noche, que me vengan rápidamente a la memoria). También existen numerosos ejemplos de discriminación a la mujer. La novedad en este caso radica como hemos dicho en su profesión. Sin embargo desde un punto de vista estrictamente cinematográfico, es justo reconocer muchos de los rasgos más comercialones del cine norteamericano (que probablemente no haya que desdeñarlos, dado que así llega a más público). Así hay determinadas escenas, que describen críticamente asuntos graves, que sin embargo se presentan con cierto humor y pudieran tomarse de un modo hasta cómico, y personalmente creo que no lo merecen. Por ejemplo, las reiteradas caídas de documentos y carpetas de la protagonista en sus carreras hacia los servicios de personal de color y sus dificultades corriendo por tener obligatoriamente que llevar uniformidad de vestuario y calzado, no me parecen para tomárselos a broma. El disfrute adolescente de las protagonistas aprovechando la escolta de un policía pisando a fondo el acelerador tampoco me parece ni realista ni apropiado. El desfile de todas las computadoras humanas desde su oficina a la habitación del IBM, encabezadas por su supervisora en plan escuadra militar, con música triunfal de fondo recorriendo pasillos y calles de edificio a edificio me parece asimismo esperpéntico, muy muy yanqui (y por tanto lamentable). ¿Qué soy demasiado dramático? Seguramente, pero señores lo que se relata es un drama, una injusticia, algo de lo que hay que concienciarse, y no una parodia de Dean Martin y Jerry Lewis, o peor, de Jim Carrey. Sí, entretiene, es efectista, relaja situaciones tensas, en definitiva, comercializa el producto (el fin justifica los medios), pero no me gusta. Como tampoco me gustan los arquetipos maniqueos de muchos personajes (que no, que en la vida real pocos son muy malos malísimos o muy buenos buenísimos). Y los arquetípicos tópicos.  El peor enemigo de una mujer es otra mujer, las familias de las protagonistas son ideales, guay del paraguay, en fin, para qué seguir, la típica película yanqui. Y por supuesto, la tensión creciente hasta el último segundo, las caritas expectantes de todos con silencio absoluto cuando se pierde el contacto con Glenn, y claro, el final feliz, con los malos malísimos reconociendo que estaban equivocados, y bla bla bla. No obstante, sigo recomendando su visionado por la parte científico/tecnológica/biográfica del asunto (a pesar de películas del mismo rasero como Apolo 13, Elegidos para la gloria, Marte, etc.), y no me extrañaría que lograra algún Oscar de la academia en la próxima gala del 26 de Febrero. Está nominada a tres categorías, Mejor Película, Mejor Actriz Secundaria para Octavia Spencer, Mejor Guion Adaptado, y sinceramente creo que los va a obtener todos (me arriesgo mucho). Seguramente pesará bastante en los miembros de la Academia el recordarle al nuevo inquilino de la Casa Blanca (y se lo merece) lo que el propio Kevin Costner (parece por cierto que va recuperando sus abandonadas dotes de actor solvente) dice en una entrevista sobre la película: “Deberíamos plantearnos lo que pierde nuestro país por no ser más abiertos”. Algunos Errores La verdad es que sorprende que en una producción de alto presupuesto se deslicen tantos gazapos, anacronismos y otras sutilezas como he podido leer en diferentes lugares en la red. Dejando de lado muchas de ellas por ser muy específicas (modelos de automóviles, gafas y otros objetos que aquí no conocemos), señalaré alguna que me ha resultado curiosa y “entendible” culturalmente. 1.- Durante el despegue del cohete de Alan Shepard, el locutor de noticias informa que la cápsula "alcanzará una altitud de 116 millas por hora" (Freedom 7 will be launched in the space in altitude about 116 miles an hour, en la versión original). ¿Error en el guion? No, el guion es correcto e indica millas; fue el actor el que se confundió al leer la frase. 2.- En una pizarra Dorothy Vaughan escribe que la IBM 7090 DPS (iniciales de Data Processing System) tiene la capacidad de efectuar unas 24.000 multiplicaciones por segundo. En este caso la realidad supera la ficción: la 7090 llegaba a las 100.000 operaciones de punto flotante por segundo (100KFLOPS). 3.- El manual para el equipo IBM 7090 que aparece en la película al lado del libro de FORTRAN tiene un logotipo incorrecto para IBM. El logotipo discontinuo de IBM no aparecería hasta 1972. En el resto de la película aparece el correcto. Por cierto, el modelo IBM 7090 se denominó así debido a que es la versión con transistores del modelo anterior, el IBM 709 que aún tenía válvulas de vacío. Si leemos en inglés las siglas “seven-ou-nine-ti” (referido a la letra T, de Transistorized), suena igual que “seven-ou-ninety”, y esa es la razón por la que al 709 le siguiera el 7090. Sus 50000 transistores incrementaban considerablemente su velocidad de cálculo. El procesador funcionaba a 36 bits y disponía de una gran capacidad de memoria para la época: 32 Kilobytes, aunque podía ampliarse en caso necesario. Se creó a finales de 1958 y se instaló por primera vez en noviembre de 1959. En la propaganda se decía que estaba diseñada para “aplicaciones tecnológicas y científicas a gran escala”.  Aparte de eso, se la encontraron otras aplicaciones en las que sus diseñadores nunca pensaron, como jugar al ajedrez, e incluso interpretar música. En 1962 se grabó el disco que veis en la imagen, Music from Mathematics, con diez composiciones en la primera cara y ocho en la segunda. Se pueden escuchar algunos temas en el siguiente enlace. A modo de ejemplo, Bicycle built for Two, composición de Max Mathews. 4.- Tal y como hemos visto en reseñas anteriores en esta sección, hasta los años 1970 los ingenieros usaban reglas de cálculo para cálculos rápidos. Es imperdonable que en la película no aparezca una sola ni en sus escritorios, ni en sus bolsillos. 5.- El personaje de Kevin Costner reitera varias veces que necesita alguien que sepa Geometría Analítica. En realidad las necesidades matemáticas para el trabajo que luego se hacen serían más propiamente de Geometría Esférica (además de Física y como se probó posteriormente Análisis Numérico). 6.- Las escenas que muestran la consola 7090 en funcionamiento no tienen ninguna de las luces de registro encendidas (las pequeñas luces redondas en el panel vertical). Deberían parpadear mientras la máquina está funcionando para indicar el estado. 7.- En la película, el vuelo de Glenn se reduce de siete órbitas a tres debido al problema con el escudo térmico. En la realidad, la misión siempre estuvo prevista para tres órbitas. Además, un plan de vuelo modificado habría invalidado todos los cálculos previos y dado lugar a una zona de aterrizaje diferente, algo que se pasa por alto en la película. 8.- Las imágenes de lanzamientos de cohetes fallidos que se muestran en la película corresponden a la explosión del Challenger, evidentemente muy posterior. 9.- La película retrata con más o menos rigor lo que se creyó un fallo del escudo protector de calor al volver a entrar a la atmósfera. La película no da más explicaciones, pero la realidad fue que el escudo térmico funcionó perfectamente y fue el indicador el que estaba defectuoso. La llamarada que tuvo lugar y aparece en la película al volver a entrar en la atmósfera no era del escudo térmico, sino del módulo del retrocohete. En ese momento, John Glenn no tuvo manera de saberlo, lo cual está bien representado, pero posteriormente todo esto se comprobó, aunque los guionistas (That´s entertainment!!) no han considerado oportuno contarlo. Vamos que Glenn nunca estuvo en realidad en peligro. Otros datos a tener en cuenta La NASA ha colaborado tanto en la realización como en la posterior difusión de la novela y de la película. En su página web ha incorporado algunos apartados acerca de la película, entre ellos una sección denominada De Ocultas a Figuras Actuales (From Hidden to Modern Figures) con varios apartados entre los que se encuentran unas biografías de las protagonistas, junto a respuestas a algunas de las cuestiones que el visionado de la película plantea al espectador. Resumiendo su  contenido, indica que el personaje de Al Harrison (interpretado por Kevin Costner) se basa en gran medida en Robert C. Gilruth, jefe del Grupo de Trabajo Espacial del Centro de Investigación de Langley, más tarde director del actual Centro Espacial Johnson en Houston. La estructura organizativa del Grupo de Tareas Espaciales fue mucho más complicada que lo que aparece en la película y estaba cambiando muy rápidamente durante el período de tiempo en el que la película se lleva a cabo. Para simplificar el guion y no liar demasiado al espectador, esa estructura se ha comprimido al máximo, utilizando como ese personaje que aglutina varias tareas que en la realidad efectuaba un grupo de diferentes personas. En la imagen, fotografía de Gilruth (1913 – 2000), tomada de https://www.nasa.gov/langley/hall-of-honor/robert-r-gilruth, y propiedad de la NASA. En el enlace, biografía del personaje real. Otro personaje que llama la atención, fundamentalmente por su antipatía hacia las protagonistas, es el de Vivian Mitchell interpretado por Kirsten Dunst. No responde a ninguna persona real, pero si intenta transmitir, junto a otras mujeres blancas que aparecen (como Ruth, secretaria adjunta de Al Harrison o como varias madres con niños como la que evita que sus hijos beban de la fuente donde ha bebido un hombre de color, o la que lleva a sus hijos a la biblioteca pública) la actitud marcadamente despectiva de la época, sobre todo de mujeres de cierto estatus social (funcionarias, niñas bien, etc.). También resulta tremendamente desagradable (desde la perspectiva actual y desde la distancia; no olvidemos que aún hoy en día existe el Ku Klux Klan, y más cerca grupos y asociaciones que no consideran precisamente a cualquier ser humano igual que los demás) el personaje de Paul Stafford (interpretado por Jim Parsons, el Sheldom Cooper de The Big Bang Theory). Es un combinado de varios ingenieros con los que trabajó Katherine Johnson. Recordemos de nuevo que hubo una considerable rotación de personal. Gran parte de los primeros trabajos sobre trayectorias que realizó Katherine Johnson fue con Ted Skopinski, aunque hubo otros como John Mayer, Alton Mayo, Al Hamer y Carl Huss. Más desapercibido pasa el personaje de Karl Zielinski (interpretado por el actor Olek Krupa), el ingeniero polaco que sugiere a Mary Jackson que debe intentar sacar la plaza vacante, y que trata de resolver el problema del reingreso de la cápsula a la atmósfera y hace pruebas en el túnel de viento. Este personaje está directamente inspirado en Kazimierz "Kaz" Czarnecki. Kaz no era polaco, sino de New Bedford, Massachusetts, pero fue el ingeniero aeronáutico al que la Mary Jackson real se quejó, rompiendo el protocolo, y con el que desahogó su frustración ante las condiciones en las que trabajaba. Él la escuchó pacientemente, tras lo cual la solicitó para que se incorporara a su equipo. Fue por tanto el que la orientó, como en la película, en su carrera de primera mujer de color ingeniero. Cuando Kaz se jubiló de la NASA en 1979, Mary Jackson organizó la celebración de despedida. Dos son las cuestiones que más curiosidad han generado entre los espectadores norteamericanos y que la propia NASA ha tratado de responder en su página web. Una es si la NASA realmente retrasó el lanzamiento de John Glenn hasta que Katherine Johnson pudiera calcular manualmente su trayectoria orbital (que efectivamente está retratado de un modo muy peliculero). En efecto, la institución confirma que la película se toma ciertas libertades de licencia dramática, pero sí es cierto que John Glenn pidió expresamente "a la muchacha" (así se refería a Katherine Johnson) que comprobara manualmente los cálculos generados por las computadoras electrónicas. Pero esto ocurrió mucho antes del lanzamiento, y el cálculo final, que involucraba 11 variables diferentes con ocho dígitos significativos le llevó un día y medio. Sus cálculos coincidían exactamente con los de la computadora, dando a John Glenn, y a todos los demás, la confianza de que el software de la computadora era fiable. La otra cuestión es por qué la NASA ha estado ocultando esta historia durante tanto tiempo (¡ay, que conspiranoicos somos!). Su respuesta es firme (la reproduzco textualmente, traducida): “Como muchas otras grandes historias de empleados de la NASA, la NASA ha estado compartiendo esta historia durante años. De hecho, la autora del libro, Margot Lee Shetterly, ha advertido que el título es "algo inapropiado". Las mujeres protagonistas de esta historia no estaban tanto ocultas como invisibles. El primer trabajo sistemático sobre las mujeres computadoras de Langley comenzó en 1990. Sin embargo, un libro popular y una película de cierto presupuesto consiguen una audiencia mucho más grande y diversa que la NASA ha logrado alcanzar por sus propios medios”. Material Didáctico La NASA ha confeccionado un cuadernillo de actividades muy interesante y recomendable  para docentes e interesados en general en el tema aeroespacial que puede utilizarse en niveles de enseñanza primaria y secundaria (hasta K-12, según la nomenclatura educativa norteamericana). Aborda tópicos como historia, biografías, Álgebra, Cálculo, Computación y Estimación, Geometría, Medición, Estimación Numérica, Resolución de Problemas, y Física, en varias secciones: Vamos a Marte: Calculando Ventanas de Lanzamiento ¿Qué es una órbita? Carreras de Rover Computadoras humanas de Langley Gravedad: lo que nos mantiene juntos Fases de la Luna Aterrizaje Figuras Modernas Además añade una serie de recursos, como vídeos, referencias históricas y materiales diversos, incluyendo una canción (la última de esta lista) agrupados en: Pi en el cielo Computadoras Humanas Cuando las computadoras eran humanas La Ciencia: Mecánica Orbital Aspira a Inspirarte Además del despegue Ella era una computadora cuando las computadoras llevaban falda La Luna y más En fin, se pueden contar muchas más cosas (no me resisto a incluir lo del doble sentido del título original: la palabra Figures no sólo son Figuras; en inglés designa también Cifras, de modo que también podría haberse traducido como Cifras Ocultas, que asimismo tiene sentido según el argumento de la película), pero la prudencia y la realidad manifiestan que luego nadie lee lo que pasa de medio folio, así que hasta el mes que viene. Alfonso J. Población Sáez

Jueves, 09 de Febrero de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

104. 92. SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO DE 2014

Queridos lectores, ante todo debo manifestar que me he quedado alucinado con las respuestas que habéis enviado este año. Como alguien dijo alguna vez, I – M – P – R – E – S – I – O – N – A – N – T – E. Necesitaría mucho espacio para describir con fidelidad el nivel que habéis alcanzado, sobre todo en las cuestiones relacionadas con las matemáticas, permitiéndoos incluso la genialidad de proponer nuevas cuestiones sobre la película, además de plasmar vuestra impresiones y sugerencias. Las diferencias finales en la puntuación se deben más a malinterpretaciones de enunciados, que en este caso, en muchos casos, estaban hechas adrede para reflejar el carácter demencial de la protagonista de la película. De verdad, a todos, ¡¡¡Chapeau!!! Vamos con las soluciones (perdonad si en algún caso son demasiado breves; si alguien precisa mayores explicaciones sobre cualquier aspecto, no dudéis en mandarme un mail). M – 1.- Según el enunciado, buscamos una partición a1 + a2 +...... + an = 2014, de modo que  sea máximo. Desde luego la cuestión tiene solución, ya que el número de particiones de 2014 es finita, y cada una tiene asociado un producto, uno de los cuales será el mayor. Vamos a hacer algunas consideraciones previas a la resolución, que posteriormente nos la facilitarán. Como pretendemos que el producto sea el mayor posible, analicemos si es posible cambiar algún ai por otros dos, de modo que la suma no se altere, pero que el producto sea mayor. Supongamos por ejemplo que la partición tuviera algún valor aj ≥ 4. En ese caso aj podría sustituirse por los factores 2 y aj – 2, por que la suma queda como está: 2 + aj – 2 = aj el producto sería 2(aj – 2) = 2aj – 4. Como aj ≥ 4,  2aj ≥ 4 + aj, de donde se tiene que 2aj – 4 ≥ aj Mediante este proceso, asociamos a cualquier número mayor o igual a cuatro en doses y treses, y la nueva partición tiene un producto mayor o igual que el de la partición inicial. Si algún aj = 1, lo podemos sumar al ak que queramos, reemplazando ambos sumandos por el nuevo número 1 + ak. La suma es idéntica, pero el producto es mayor ya que pasamos de 1 x ak a ak+1. Por tanto, el producto máximo será un valor de la forma 2x 3y. Si la potencia del 2, que hemos designado por x, resulta ser x ≥ 3, cada terna de doses puede sustituirse por un par de treses. Esto es debido a que 2 + 2 + 2 = 3 + 3 (es decir, la suma no cambia), pero 23 < 32, el producto aumenta. Por tanto el producto máximo es de la forma 2a 3b, con a = 0, 1, 2. Como 2014 = 2 x 1007 (es decir, 1007 doses), podemos sustituir 335 tríos de doses, que se sustituyen cada uno, por 3 + 3 (= 32): 2014 = 2 x 1007 = 2 x (335 x 3 + 2). Por tanto, la partición estará compuesta por 670 treses y 2 doses, es decir, el producto máximo será 3670 22, cantidad, por si alguien tiene alguna curiosidad de 321 dígitos. Al corregir las soluciones que los concursantes enviaron, descubrí que Celso de Frutos dio una partición cuyo producto tenía, ¡¡EL MISMO NÚMERO de dígitos, 321!! Es 2014 = 3 x 671 + 1, cuyo producto es 3671. Pero la solución con el producto mayor es la primera (por poco; detallo los primeros dígitos): 3670 22 = 1876292...., mientras que 3671 = 1407219..... Otros productos propuestos han sido 21007 que sólo tiene 304 dígitos. M – 2.- Se trataba de encontrar el valor de S en S = 12 – 22 + 32 – 42 +............+ 20132 – 20142 Utilizando aquello de que diferencia de cuadrados es suma por diferencia, rescribimos la expresión así: S = (1 – 2) (1 + 2) + (3 – 4) (3 + 4) +............+ (2013 – 2014) (2013 + 2014) Obsérvese que los factores señalados en verde son (– 1), lo que hace que S sea una suma de valores negativos, en concreto, S = – (1 + 2 + 3 + 4 +............+ 2013 + 2014) De la conocida expresión para la suma de los primeros sumandos de una progresión aritmética, se tiene entonces que S = – = – 2029105 M – 3.- En efecto, 2029105 = 5 · 13 · 19 · 31 · 53. M – 4.- Ahora nos piden aproximar este valor Se trata de la suma parcial hasta el sumando 2014 de la serie . Esta serie es convergente (de hecho, absolutamente convergente), cuya suma es π2/12 ≈ 0.8224670334... Este valor se puede determinar a partir del desarrollo en serie de Fourier de la función x2: , 0 ≤ x ≤ 1, sustituyendo en ese desarrollo el valor x = 0. Por otra parte, en una serie numérica alternada convergente, designando por Sn su suma parcial n-ésima, y S en este caso su suma, se tiene que | Sn – S | ≤ an+1. Por tanto, para S2014 se verifica que . De esa desigualdad, se obtiene que 0.8224667871 ≤ S2014 ≤ 0.8224672797 Este procedimiento no nos ofrece los ocho decimales correctos que se pedían (sólo nos da cinco), pero, a falta de un argumento más ajustado, se da por válido. El valor con diez dígitos correctos según el ordenador (para comparar sí puede utilizarse), es S2 ≈ 0.8224669102..... Carles Virgili  y Andrés Mateo proponen una solución más ajustada. Descomponen S2 del siguiente modo: Se precisa entonces estimar esas sumas (S2014 y S1007) con la precisión adecuada. Aproximando esas sumas mediante S2014 = A2014 + R2014 S1007 = A1007 + R1007 siendo R2014 y R1007 los respectivos restos, entonces S2 = A2014 – A1007 + (R2014 – R1007) Exigiendo que la diferencia entre restos (paréntesis del segundo miembro de la expresión anterior) tenga una precisión de ocho decimales correctos (tal y como se pide en el enunciado) y utilizando la fórmula de Euler-MacLaurin para aproximar las sumas (y la ayuda de Maple), obtiene que S2 ≈  1.644437666.... – 1.643941511.... ≈ 0.8224669105.... M – 5.- Llamemos d a la diferencia de los términos de la progresión aritmética (que no necesariamente tiene que ser positiva). Consideremos los lados del triángulo y su área en progresión aritmética en este orden: a, b, c, A. Por estar en progresión aritmética de diferencia d, sean esos valores b – d, b, b + d, b + 2d, respectivamente. La fórmula de Herón, , nos proporciona el valor del área de un triángulo cualquiera a partir de las longitudes de sus lados, siendo s el semiperímetro (la mitad del perímetro) del triángulo. Según los valores dados, s = (b - d + b + b + d)/2 = 3b/2 Aplicando entonces la fórmula de Herón (con el área al cuadrado, para no utilizar la engorrosa raíz): Como el primer miembro es un número entero, para que lo sea el segundo, b debe ser un número par. Designémoslo mediante b = 2 B, para algún entero B. Así, la expresión [1] se rescribe como 4 (B + d) = 3 B2 (B – d), y despejando d, Para B > 2, 3B2 + 4 > 8B, por lo que el cociente en [2] no es un número entero. Por tanto las únicas posibilidades son que B = 1 o que B = 2. Si B = 1, d = –1/7, que no daría para a, b, c valores enteros. Si B = 2, d = 1, a = 3, b = 4, c = 5, A = 6. Por lo tanto el único triángulo con las condiciones impuestas es el conocido triángulo rectángulo 3 – 4 – 5. M – 6.- Los triángulos cuyos lados son números enteros se denominan heronianos, precisamente en honor de Herón de Alejandría. El triángulo rectángulo 3 – 4 – 5, y área 6, obtenido anteriormente, era conocido ya en Egipto mucho antes de Herón. Sin embargo, el descubrimiento del triángulo 13 – 14 – 15 y área 84 se le atribuye a él. No es un triángulo rectángulo, pero sus lados y área son números enteros. Por esta razón, a los triángulos de lados y área enteros se les bautizó como triángulos heronianos en su honor. M – 7.- Existen muchos resultados y fórmulas acerca de los triángulos heronianos. Una cuestión de la que se desconoce la respuesta es si existe algún triángulo heroniano con sus tres medianas racionales. (Por si alguien no se acuerda bien, una mediana de un triángulo es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto). Con dos medianas racionales si se conocen (por ejemplo, el triángulo 76 – 51 – 26 con medianas 35/2 y 97/2, entre otros), pero con tres no. Los que buscan la solución, “a la fuerza bruta”, es decir, comprobando con el ordenador mediante un algoritmo de búsqueda, a fecha de hoy, no han encontrado ninguno entre todos los triángulos de diámetro menor o igual a 600000 (con diámetro de un triángulo nos referimos al diámetro del menor círculo que contenga al triángulo). M – 8.- Con estas cuestiones sobre triángulos heronianos pretendíamos básicamente darlos a conocer, y que el lector buscara información sobre ellos y quizá se interesara por ver cómo se obtienen. Evidentemente incluir la demostración de cómo obtener un par de triángulos heronianos distintos del mismo perímetro y área excede lo razonable para un concurso festivo como éste, por lo que sólo se pedía un ejemplo de esos triángulos. En cualquier caso, mediante un razonamiento similar al desarrollado en la resolución de M – 5, se llega a que los triángulos heronianos verifican las relaciones a = 4m2 + n2,    b = 5(m2 – n2),    c = m2 + 4n2,   P = 10m2,   A = 10mn(m2 – n2), para valores apropiados de m y n. Se ha dado por válido, encontrar dos pares de valores adecuados para m y n, que nos proporcionen idénticos P (perímetro) y A (área). Por ejemplo, 221 – 120 – 149  y  205 – 200 – 85, de perímetro 490 y superficie 8400. Varios concursantes han aludido a que han utilizado el estupendo artículo Pares de triángulos heronianos con áreas y perímetros iguales: una descripción de K. R. S. Sastry ( http://www.oei.es/oim/revistaoim/numero16/Sastry.pdf). El proponente, también lo ha utilizado. M – 9.- Un procedimiento elemental, pero laborioso es utilizar argumentos de geometría analítica, es decir, fijar los triángulos en un sistema de coordenadas, calcular las rectas que pasan por los vértices, etc. Os muestro una solución alternativa utilizando ángulos y el teorema del coseno. Etiquetamos los diferentes ángulos como se muestra en la figura (se aplica reiteradamente la semejanza de triángulos para hacerlo). A partir de ahí, se sigue que ∠B = β + δ, y que ∠C = α + ε. Entonces, ∠B + ∠C = (α + β) + δ + ε = 90º + δ + ε > 90º. Por tanto, ∠A < 90º. Por la ley de los cosenos aplicada al triángulo ΔXYZ, se tiene que XZ2 = 32 + 52 – 2 ∙ 3 ∙ 5 cos γ = 34 – 30 cos γ. Como γ = 180º – β, entonces XZ2 = 34 + 30 cos β = 34 + 30 (3/5) = 52, y entonces, XZ = 2. De nuevo aplicando el teorema del coseno en ΔXYZ, YZ2 = 52 = 52 + 32 – 2 ∙ 3 ∙ 2 cos δ, por lo que cos δ = 3/. De ahí, sen δ = 2/, y por tanto, cos B = cos(β + δ) = cos β cos δ – sen β sen δ = = (3/5)(3/) – (4/5)(2/) = 1/(5/) > 0. Entonces, ∠B < 90º. De forma análoga se puede comprobar que cos C = 23/(5) > 0, y de ahí, ∠C < 90º, por lo que ΔABC no es rectángulo. M – 10.- Haciendo cálculos (no se detallan, dada su sencillez; un procedimiento es calcular las ecuaciones de las rectas de los tres lados, luego las coordenadas de los tres vértices, y acabar calculando el área del triángulo), comprobamos que la afirmación no es cierta. Área del triángulo ABC = 1849/18 u2 = 102,72 u2 Área de la parte sombreada 2(32 + 42 + 52) =  100 u2 M – 11.- Las soluciones de la ecuación son las raíces cuartas de – 1, que escrito en forma binómica compleja es z = – 1+ 0 i. El módulo de este número es 1, y el argumento 180º, es decir, π. Por ello las raíces cuartas serán de la forma , con k = 0, 1, 2, 3. Las raíces cuartas pedidas serán entonces en forma polar, y en forma binómica: M – 12.- Obsérvese que en forma exponencial los anteriores números complejos son, respectivamente, . Por tanto sus logaritmos (neperianos o naturales, se entiende), al ser funciones inversas la exponencial y la logarítmica, serán sencillamente, . Su representación gráfica por tanto se encuentra sobre la recta vertical  x = 0 (o sea todos los valores imaginarios, tal cual se encuentra la mente de la protagonista), mientras que las raíces de – 1 están formando un cuadrado. M – 13.- Es conocido que la longitud de la circunferencia viene dada por L = 2π r, siendo r el radio de dicha circunferencia. Nos dicen que la moldura superior, una semicircunferencia, tiene por longitud π, luego r = 1. Podemos entonces modelizar la situación como se ve en la imagen, o sea,  x2 + y2 = 1 la ecuación de la circunferencia de la que representamos su mitad superior, (x – 1)2 + y2 = 1 para el arco de centro (1, 0) y radio la unidad, y  (x + 1)2 + y2 = 1, el simétrico desde el punto (– 1, 0). Se pide el área pintada en la gráfica de color verde. Teniendo las ecuaciones, lo más sencillo es calcular la superficie mediante cálculo integral. Para ello debemos hallar primero el punto de corte de los arcos con la semicircunferencia. De las dos primeras ecuaciones, se sigue sin más que despejar y2, que (x – 1)2 + 1 – x2 = 1, o lo que es lo mismo, (x – 1)2 = x2. De ahí es sencillo obtener que x = ½. Como la situación es simétrica a izquierda y derecha del eje de ordenadas, el área será entonces Obsérvese que (hay varios modos de expresarlo), fijándonos sólo en el primer cuadrante, se ha restado del área del círculo en dicho cuadrante, las superficies encerradas por los respectivos arcos de circunferencia (que también es fácil comprobar que son idénticos por simetría). El área es por tanto A = ≈ 0.3424266281..... NOTA: Algunos participantes han considerado como arco superior (el de longitud π) sólo la parte correspondiente al intervalo [– 0.5, 0.5] del dibujo. En ese caso, el radio resulta r = 3, y el área 3.08184 aproximadamente. Revisado el enunciado original, en efecto puede no quedar claro el arco al que se refiere, y como todos han razonado convenientemente, se ha tomado la solución salomónica de considerar correctas ambas soluciones. M – 14.- Es conocido el truco para elevar al cuadrado un número de dos cifras terminado en 5: se tomar la cifra de las decenas, se multiplica por su consecutivo en el orden natural, y se le pega el número 25 a continuación. Por ejemplo, 352 sería (3 x 4 = 12), 1225. La razón de que esto suceda, es clara: (10 a + 5)2 = 100 a2 + 2 ∙ 5 ∙ 10 a + 25 = 100 (a2 + a) + 25 = 100 a(a+1) + 25 Ahora bien, ¿es cierto para números de mas de dos cifras? Si uno experimenta con algunos ejemplos, comprobará que parece que también se cumple. La demostración general no es tan evidente, pero el magnífico nivel de los concursantes nos ha aportado varias. A continuación la facilitada por María José Fuente: La razón por la que no se utiliza para números de más de dos cifras es porque ya no es tan sencillo hacer la multiplicación mentalmente, y casi es igual hacer la multiplicación original. M – 15.- El año de la película. Se dice que tiene el mismo número de factores primos que el año presente, o sea que 2014. Como 2014 = 1 ∙ 2 ∙ 19 ∙ 53, resulta que el año en cuestión tiene cuatro factores primos (tres si prescindimos del trivial 1). La fecha oficial de nacimiento del cine es 1898. Si factorizamos todos los años desde 1898 a 2014, sólo tienen tres factores los años 1898, 1902, 1905, 1910, 1918, 1930, 1947, 1955, 1958, 1965, 1970, 1978, 1986, 1990, 2001, 2006, 2013, 2014. De la información que se va extrayendo del texto y de resolver las demás cuestiones (las de cine fundamentalmente: película de cine negro, a blanco y negro, quizá habiendo averiguado también la actriz principal (Joan Crawford), etc.) se deduce que (no es muy matemático, pero recuérdese que este concurso trata de aunar cine y matemáticas) se refiere a 1947. M – 16.- Supongamos que existan dos números M y N tales que N = 1.8 M + 32,   [1] donde los dígitos de ambos son M = a1a2a3....an,  y N = an.......a2a1. En primer lugar, an ≠ 0, porque en caso contrario, N < M. Esto obliga además a que, por la igualdad anterior, 5 sea divisor de M, por lo que an= 5. Como N ≡ a1 mod 10, y N = 1.8M + 32  ≡ 1.8 (10 an-1 + 5) + 32  mod 10 ≡ 8 an-1 + 1  mod 10 entonces a1 debe ser impar. Teniendo en cuenta los primeros dígitos de N y M, se sigue que a1= 3.  Entonces, 8 an-1 + 1 ≡ 3 mod 10, y de ahí, an-1 debe ser 4 o 9. Si an-1 = 4, considerando los dos prímeros dígitos de N y M, por [1], a2= 0. Eso nos lleva a que N ≡ 3 mod 100, mientras que N = 1.8M + 32  ≡ 1.8 (100 an-2 + 45) + 32  mod 100 ≡ 8 an-2 + 113  mod 100, de donde 80 an-2 + 110 ≡ 0 mod 100, o dicho de otro modo, 10 divide a  8 an-2 + 11, lo cual es imposible porque los múltiplos de 8 siempre acaban en 0, 2, 4, 6 u 8, que al sumarlos 11, nunca pueden ser divisibles por 10. Si an-1 = 9, N ≡ 10 a2 + 3 mod 100, y N = 1.8 M + 32  ≡ 1.8 (100 an-2 + 95) + 32  mod 100 ≡ 80 an-2 + 203  mod 100, y por [1], a2 ≡ 8 an-2 mod 10       [2] por lo que, por [1], a2 debe ser par. Teniendo en cuenta que los dos dígitos de N son 59 y de M, 3a2 entonces, a2 = 2. Echemos finalmente un vistazo a an-2. Considerando los dos primeros dígitos de M (32), y los tres primeros dígitos de N (59 an-2), se tiene por [1] que an-2 ≤ 3. Por [2], entonces 8 an-2 ≡ 2   mod 10, y entonces an-2 tiene que ser o 4 o 9, lo cual es absurdo. En conclusión, no existen dos temperaturas N y M que satisfagan las condiciones indicadas. M – 17.- Sean x la edad del hombre e y la de la chica. Se dice por un lado que x – 5 = 2 (y – 5). Es decir que x = 2y – 5. Tras plantear todas las posibilidades de números de dos cifras cuya suma en binario sea la unidad, se llega a que la única posibilidad de que las edades concuerden con los datos, es que x + y = 55, en cuyo caso las edades son x = 35, y = 20. No hace falta para nada el dato adicional, y si se considera, sólo en uno de los casos posibles se llega a una solución. Además de seguir “desquiciando” al personal, tal y como está la protagonista, se trataba únicamente de dar alguna pista más sobre la película (el protagonista toca el piano). M – 18.- 60 = 22 · 3 · 5. Tiene exactamente 12 divisores distintos [1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60] (aprovéchese para repasar la fórmula que da el número de divisores de un número). De ellos, seis son menores que 7. Por tanto la probabilidad de la que se habla es 6/12, es decir, ½. El comentario de que lo sabría un niño de primaria se refiere a que es de perogrullo que la protagonista tiene ½ de posibilidades de acertar o no acertar. Respuestas a las cuestiones relacionadas (más o menos) con el cine: C – 1.- A A no le agrada S, esencialmente por ser un valor negativo, aunque tiene más que ver con la película que S2 porque la protagonista es también un personaje bastante negativo. Uno de los concursantes, Emilio Díaz, además aporta un apunte que no esperaba que lo descubrieran, que tiene más relación con el apartado de matemáticas: La relación de la suma S con la película es debida a que el valor absoluto del número negativo 2029105 es el 2014-ésimo número triangular (recordemos que estamos en el año 2014). Recordemos que un número triangular es un número de la forma Sustituyendo n = 2014 obtenemos el valor absoluto de S = 2029105, el número triangular de lado 2014. Y los triángulos tienen que ver con la película debido a las relaciones entre los personajes. También algunos concursantes han apreciado que, de algún modo, el número de las habitaciones del hospital donde ingresa la protagonista, 295 y 150, están de algún modo incluidos en el valor de esa suma. C – 2.- Se refiere al rol de mujer fatal frecuente en las películas de cine negro. En esta película, el protagonista masculino puede considerarse un “hombre fatal”. C – 3.- Trabaja en el diseño de vigas moldeadas. C – 4.- David, el protagonista, es ingeniero industrial. C – 5.- Triángulos básicos hay tres (eso ya sería un cuarto triángulo): Louise (la protagonista), Pauline (la esposa enferma que cuida) y Dean (marido de Pauline); Louise, Dean y David; Louise, Caroline (hija de Dean) y David. Si nos atenemos a todo tipo de triángulos, no sólo los sentimentales, en la puesta en escena hay numerosos momentos en que aparecen tres personajes: en el hospital atienden dos médicos a Louise, Louise y los dos hijos de Dean (hijastros al casarse con Dean), etc. C – 6.- Se refiere al psicoanálisis y Freud. Son muchas las películas que en Hollywood abordaron este asunto. Algunos ejemplos son: Freud, pasión secreta (Freud, the Secret Pasión, John Huston, 1962), varias de Alfred Hitchcock (Rebeca, Recuerda, Psicosis, Vértigo, Marnie la ladrona,....), La escalera de caracol y A través del espejo, ambas de Robert Siodmak; las versiones de Dr. Jekyll y Mr. Hyde con el tema del desdoblamiento de la personalidad, etc. Y fuera de Hollywood el tema también ha tenido diversas incursiones: películas de Luis Buñuel, Ingmar Bergman, Krzysztof Kieslowski, Woody Allen, etc. Hasta Pedro Almodóvar con sus Tacones Lejanos podría adherirse a la lista. C – 7.- Evidentemente se está hablando del cine negro. Alguna otra característica no citada suele ser la narración desde el punto de vista totalmente subjetivo de algún personaje, la intercalación de flashbacks, el uso de la violencia, lenguaje elíptico y metafórico donde se describe la escena caracterizado por una iluminación tenebrosa en claroscuro, escenas nocturnas con humedad en el ambiente, se juega con el uso de sombras para exaltar la psicología de los personajes, etc. Directores de cine negro: Robert Siodmak, los comienzos de Billy Wilder, Curtis Bernhardt, Fritz Lang, John Huston (algunos consideran El halcón maltés, 1941, como la primera película de film noir, aunque personalmente creo que el género ya es distinguible desde principios de los años 30), etc. C – 8.- La película del jeroglífico es Psicosis. (letra griega Psi – definición del coseno cos – otra vez psi al revés, o sea isp, quitando la p, is. Total: Psicosis). C – 9.- Películas diferentes con el mismo título en castellano: Tres mujeres.- hay una de Ingmar Bergman de 1952, y otra de Robert Altman de 1977. Otro ejemplo más reciente es el de Más allá de los sueños (Bedtimes Stories, Adam Shankman, EE. UU., 2008) y Más allá de los sueños (What Dreams May Come, Vincent Ward, EE. UU., 1998). Y hay muchos más, Cruce de caminos, ¡Por fin solos!, Crash, etc. C – 10.- Joan Crawford, según he leído, es la única actriz que protagoniza dos películas distintas con el mismo título (ojo, en inglés): Possesed, dirigida por Clarence Brown en 1936 (en España se tituló Amor en venta), y la que nos ocupa dirigida por Curtis Bernhardt en 1947 (que aquí se tituló Amor que mata; se ve que querían que nos quisiéramos mucho). Si en el conjunto inicial colocamos la etiqueta “películas” o “año de producción”, y en el conjunto final “títulos”, se trata de una aplicación porque cada imagen tiene al menos un origen. No sería inyectiva, porque películas distintas tienen el mismo título, pero sí sería aplicación. Obviamente no lo es si los conjuntos se intercambian. C – 11.- A Canadá marcha David Sutton, a la fábrica que tiene Dean Graham, y que le viene de perlas para deshacerse de Louise. Ésta, por supuesto, quedará despechada, aunque no se olvidará de él. C – 12.- El aparato de la imagen no es un termómetro, sino un tensiómetro (también se da por válido Esfigmomanómetro). En la medida de la tensión arterial (TA) se dan dos valores, la tensión sistólica (máxima o alta), y la tensión diastólica (mínima o baja). Se suelen expresar en milímetros de mercurio (mmHg), separadas por un guión. Por ejemplo 140 – 90 mmHg. o una barra 140/90. Sin embargo no es infrecuente escuchar a médicos y pacientes utilizar medidas en centímetros de mercurio en lugar de en milímetros. En ese caso, la cifra anterior debe dividirse por 10, por lo que la TA anterior sería 14 – 9 o 14/9. En la película, la versión doblada lo expresa de este último modo, mientras que en la versión original lo hace en mmHg. C – 13.- Hay varios momentos en los que el protagonista David Sutton menciona las matemáticas o cifras diversas. Por ejemplo cuando bromea con Wynn, el hijo menor de Dean: “la última vez que te vi aún no te afeitabas”. El chico no se entera de qué le habla, y David replica, “Es matemáticamente imposible gastarle una broma a un niño de su edad”. A este respecto se podía haber pensado alguna cuestión sobre el humor en los matemáticos. O en otros momentos, cuando la cámara nos lleva por los pasillos del hospital, se podía pensar en algo relacionado con distancias, perspectivas desde la camilla, etc., o estimar el número de libros de la biblioteca de Dean, o tiempo en lancha desde donde vive David a la casa de Dean, o en la escena en la que Louise prepara unas bebidas mientras David explica un experimento sobre sedimentos petrolíferos: “hice una prueba con 1000 barriles de crudo, y recorrieron 4 Km. en 1 hora”. C – 14.- Se refiere a la famosa cuestión de las edades de las hijas de una lechera vecina de otra que quiere saber las edades de las hijas de la primera. El producto de las edades es 36, y como la segunda lechera dice que falta un dato, la primera le apunta que “la hija mayor toca el piano”. C – 15.- Como algunos concursantes han apuntado, esta cuestión es tan delirante como la protagonista (era otra pista para tratar de averiguar la película). Además previamente se menciona la relación de A y B con otra película, Psicosis. Todo ello trataba de desembocar, (incluido lo de que  en caso de que se atentara contra la integridad de A, también acabaría con B), en que A y B son la misma persona. Es decir, yo mismo me reúno con mi parte perversa para idear las cuestiones del concurso (como cuando pienso en poner las preguntas de un examen). Quizá hubiera sido más claro mencionar a Jekyll y Mr. Hyde, pero no era del todo exacto porque éstos no conviven nunca, mientras que A y B sí. C – 16.- De todo lo dicho anteriormente se deduce que se trata de Amor que mata (Possessed, Curtis Bernhardt, EE. UU., 1947).   Antes de pasar a la puntuación obtenida por los concursantes no me resisto a compartir algunas cuestiones sobre la película sugeridas por algunos de ellos. Concretamente, Alejandro Azpeteguía nos propone las siguientes (elijo sólo algunas de las muchas que ha propuesto): En el minuto 92:50 está tomada esta foto de Joan Crawfoed. Aprovechando el diseño del escote y el remate bordado de su vestido, se puede plantear la siguiente cuestión geométrica: si el vestido de la cintura al cuello delimita un trapecio isósceles invertido (sin contar las mangas) y el escote es un triángulo isósceles centrado en él, hallar la altura del escote sabiendo que el área de carne mostrada es un tercio del área de tela que hay dentro del trapecio. (Modelizar la situación eligiendo las medidas necesarias mínimas que se consideren oportunas, así como su longitud). En el minuto 105:57, podríamos aprovechar la sombra en forma de parábola debida a la luz proyectada por la lámpara, para averiguar la ecuación de la parábola dando algunas pistas (tangente a la cabeza del doctor y a la esquina superior izquierda del cuadro) y algunas medidas (como la diferencia de altura entre los puntos citados). Y una cuestión mucho más críptica para realizar un visionado detallado de la película: ¿en qué escena de la película de tiempo matemático podemos encontrar un mono y una anguila escondidos entre Segundos y Terceros? Pista: también podemos encontrar una afilada 5ª letra del alfabeto griego. SOLUCIÓN: Mono = APE, Anguila = EEL, 2º = Second, 3º = Third, 5ª letra griega = ε, Afilar = SHARPEN Por tanto estamos hablando de la escena del minuto 3:14 (PI) como podemos ver en la imagen. Apunte personal: ¡¡¡ Y luego decís que yo soy retorcido !!! Finalmente propone un jeroglífico (sólo apto para informáticos) cuya solución es el título de la película (Possessed): Ayuda: SSE (Streaming SIMD Extensions) es una extensión al grupo de instrucciones MMX para procesadores Pentium III, introducida por Intel en febrero de 1999. Puntuación Final De un total de 300 puntos posibles, estos son los resultados: Alejandro Azpeteguía Torres      299 Carles Virgili Borrell                     288 Emilio Díaz Rodríguez                  283 Andrés Mateo Piñol                      269 Mª José Fuente Somavilla             265 Francisco Pi Martínez                 233 Celso de Frutos de Nicolás          219 Enhorabuena nuevamente a todos. En breve recibiréis un correo solicitándoos una dirección postal para enviaros un obsequio de DivulgaMAT. Espero que os haya entretenido la propuesta, y como comenté el año pasado, no dudéis que tratará de mejorarse para la próxima edición. A ello contribuirán vuestras magníficas sugerencias.

Miércoles, 10 de Septiembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

105. 116. Año nuevo, libro nuevo

Continúa creciendo la bibliografía que difunde las matemáticas a partir de un marco cinematográfico. Nos damos un paseo por sus contenidos indicando lo que más nos ha gustado y algunas cosillas (pocas) matizables. Apenas transcurrido un año de la publicación de Aventuras Matemáticas en el Cine (Editorial Guadalmazán, octubre 2015), José María Sorando nos propone una nueva entrega enmarcada en esos dos campos tan apreciados por los lectores de esta sección, el cine y las matemáticas. En esta ocasión, se nos indica en el prólogo que el leitmotiv son algunos Desastres Matemáticos en el Cine, entendidos en un amplio sentido, tanto que el título final es Resolviendo Problemas, que a la postre constituirá el deseo del autor sobre lo que debería ser el objetivo del estudio de esta disciplina. Hasta llegar ahí, recorremos un camino jalonado por diferentes etapas, entre ellas la de los múltiples gazapos matemáticos que localizamos en las películas (aspecto no exclusivo de ellas; el propio autor nos obsequia cada cierto tiempo en su página web con sugerentes fotografías tomadas de la vida real en las que puede comprobarse como desgraciadamente convivimos con esos gazapos sin pudor alguno en supermercados, anuncios publicitarios, radio, televisión, etc. Y tampoco esto es exclusivo de las matemáticas: faltas de ortografía, tergiversación del lenguaje con intereses varios, barbaridades históricas, un sinfín de disparates para los que, a diferencia de los científicos o matemáticos, éstos son más denunciados y difundidos). Uno de los beneficios de un texto como éste, además por supuesto, del placer de su lectura (amena y divertida, con no pocos toques sarcásticos y/o humorísticos), es que el lector se plantee y reflexione, al menos en algún momento de su existencia, sobre el anumerismo personal y social, y trate de activar su vena crítica en situaciones similares a las descritas (objetivo compartido con la mayoría de libros de divulgación matemática publicados y por publicar, pero no por reincidentes menos necesarios, habida cuenta del mucho camino aún por recorrer). También aborda el tema de las ficciones seudocientíficas que tanta confusión generan en la gente y del que se alimentan los cuatro listillos de turno (¡¡si sólo fueran cuatro!!), y que tantos asumen como reales cuando la mayor parte no fueron más que divertimentos que se plantearon como evasión, para pasar un rato. Debemos advertir al lector de estas líneas que esta reseña no es todo lo objetiva que debería ser. La razón no es otra que la dedicación del que esto escribe a este mismo tema, lo que conlleva la lectura y el análisis de todas las publicaciones y reseñas en páginas web que caen por sus manos (podéis constatarlo en artículos previos de esta misma sección), que son muchas, que van apareciendo. Esto hace que estemos al tanto de cada nueva película, cada nuevo comentario que suscitan, y a su vez que muchas cosas nos resulten ya tratadas anteriormente. Esa sensación no la van a tener los que se acerquen al libro sin todo ese bagaje, encontrando por ello quizá desmesurado algún comentario que pueda hacerse en lo que sigue, aunque conscientes de ello, hemos tratado de mitigarlo lo más posible. En todo caso, todo lo que se expone, siendo subjetivo, trata de ser razonado, y siempre con ánimo constructivo y desde un profundo cariño y camaradería que creemos que existe entre los cuatro o cinco compañeros que nos hemos “especializado” de algún modo en utilizar esta relación entre el cine y las matemáticas para un objetivo común y compartido: mostrar las matemáticas desde otras ópticas diferentes a las tradicionales, e intentar que los lectores las aprecien como merecen. En cualquier caso, el libro nos presenta las suficientes referencias no consignadas en ningún otro lugar como para que resulte de interés para todos. No detallaremos cuáles son unas y otras a fin de que el lector se sienta “con ganas de más” al finalizar la lectura y se acerque al resto de referencias, muchas de ellas consignadas con detalle en la bibliografía del libro. Una característica que el autor ha tratado de mantener a lo largo de sus páginas es su sencillez: que nadie tema el tratamiento matemático, de un nivel asequible para todo el mundo (por supuesto que este calificativo es asimismo subjetivo, pero lo cierto es que nadie que haya superado la ESO debería tener dificultad alguna para seguir las explicaciones del texto, por muy olvidadas que crea tener las matemáticas). No en vano, su autor conoce de primera mano, dada su experiencia docente, cómo introducir y describir los conceptos y en qué lugares pueden “cojear” los potenciales lectores, poniendo ahí el énfasis preciso. Se puede decir que se trata de un libro con más matemáticas sugeridas que explícitas. Pero un libro de divulgación se nutre inevitablemente de algo más para que su lectura atraiga. Ese plus nos lo aportan las referencias culturales que rodean a las películas tratadas: curiosidades; relación con el arte, la pintura, la literatura, etc., con otras producciones cinematográficas; apuntes de tipo histórico y detalles biográficos de cineastas, matemáticos, científicos, etc. Por ponerle, muy forzadamente, algún pero, quizá éste se encuentre en la parte cinematográfica en la que en algunos momentos uno recuerda títulos o datos que pueden completar la información, pero nadie dijo que el objetivo fuera hacer un repaso exhaustivo de éste o aquél tema, además de que son las matemáticas, no el cine, el vehículo que marca el recorrido, por no mencionar el incremento del número de páginas que, sin duda, conllevaría lo que pudiera provocar disminuir el atractivo del libro. Así pues, se opta por una selección personal de las referencias de tipo cinematográfico, bien justificada, por cierto. La bibliografía por capítulos resulta, como ya se ha dicho, adecuada y bien detallada, tanto en las referencias matemáticas como en las de las películas, indicando en aquellas que lo permiten, las direcciones electrónicas de los artículos y/o trabajos que han servido como documentación, lo que es muy de agradecer para que el lector que desee ampliar algún aspecto pueda recurrir a esas fuentes. Es de justicia también, como hace el autor en éste y el anterior volumen, reconocer el trabajo de nuestro compañero Ángel Requena (responsable de la sugerente sección Instantáneas Matemáticas en este mismo portal, DivulgaMAT) por su labor de revisión y aporte de sugerencias, tan laboriosa como perspicaz. En este enlace puede consultarse la ficha del libro y una breve introducción del autor; en este otro, el índice detallado. Vayamos a continuación capítulo a capítulo describiendo brevemente los tópicos contemplados de un modo sintético. Cuestión de tamaños.- Dos son los grandes protagonistas de este capítulo: King Kong y Gulliver. Se aborda y deja clara la imposibilidad de la existencia de seres de estas características y otros primos-hermanos (Godzilla y otros monstruos, hombres menguantes y mujeres de 50 pies) del cine. La herramienta fundamental será la ley cuadrado-cúbica de Galileo con la que se aplican resultados de semejanza y proporciones. No es un tema novedoso, de hecho, se ha tratado en diferentes artículos (que se citan y comentan en la bibliografía, insistimos), pero como ya se indicó anteriormente, nunca está de más recopilarlos y comentarlos desde una perspectiva más personal, ya que para muchos seguramente sean novedosos. Vampiros y estafas exponenciales.- Se aborda el tema de si es posible la desaparición de la humanidad, ya sea mediante una amenaza vampírica, o de zombies, dos de las que el cine ha venido proponiendo prácticamente desde sus inicios. Empezando por este último caso, a raíz del comentario de Soy Leyenda, echamos en falta las dos referencias previas (bastante mejores desde un punto de vista cinematográfico, para mi gusto: El último hombre sobre la Tierra (1964) y El último hombre vivo (1971), si bien en efecto es la consignada la que suministra más datos numéricos para poder comentar). En cuanto a los vampiros, se recuerdan los razonamientos que hacen imposible su existencia tal y como se han descrito tradicionalmente en literatura y cine (célebre artículo de Efthimiou y Gandhi) en base al inevitable crecimiento exponencial. Pero los explotadores de mitos no se rinden a seguir haciendo caja, así que han venido transformando las costumbres y evoluciones de estos seres para que haya que idear a su vez otros argumentos de su inverosimilitud. Algunos de ellos también se comentan. A pesar de ser la función exponencial una de las funciones elementales que más atención se presta en los estudios básicos, tampoco dejan de aparecer periódicamente estafas de tipo piramidal. Con ellas finaliza con gran acierto, y yo creo que interés, este capítulo (la analogía vampírico-piramidal es de lo más adecuada). La única matización que haría volvería a ser respecto a un comentario de cine. Se dice que “en las películas de Hollywood, aunque se recree el encanto de los canallas, existe la norma no escrita de que al final debe hacerse justicia”. Esa conclusión, siendo cierta en un alto porcentaje de casos (épocas de caza de brujas, cine  comercial actual políticamente correcto), no siempre ha sido (años setenta, por ejemplo) ni es así (cine actual de autor y/o cine independiente). Páginas atrás se dice que las matemáticas nos muestran que hay problemas sin solución, o con infinitas. Yo añadiría además que cuando se trata de situaciones reales, como esto de la norma no escrita, hay tantas variables a considerar que podemos caer en la extrapolación, por lo que la generalización no suele ser buena consejera (en las declaraciones de personajes públicos lo vemos diariamente). Afortunadamente otras filmografías muestran argumentos más realistas (incluyendo la española, que a mucha gente no gusta, quizá entre otras cosas por no predominar esos finales felices, salvo en comedias, y por concebirse el cine por parte de muchos espectadores únicamente como evasión). En cuanto a las matemáticas, además de lo ya comentado se alude a la interpolación polinómica, los logaritmos y los números vampiros. Atrapa el gazapo.- El capítulo más extenso, que recopila muchas de las erratas (desde perdonables equivocaciones a auténticos disparates) que el autor ha ido publicando en sus reseñas en la revista SUMA, junto a otras de diferente procedencia y algunas nuevas. Los clasifica en distintas categorías: disparates, gazapos voluntarios, gazapos aparentes, pi-fias (ya sabéis que en Pi está todo lo publicado y publicable, teoría que también comenta; por dar una condición suficiente, este apartado podría demostrar también que Pi va a aparecer en todo libro sobre cine y matemáticas, no en vano es seguramente la constante más conocida universalmente por lo que guionistas y realizadores van a tender a incluirla allá donde necesiten algo relacionado con las matemáticas, asegurándose de este modo que el público potencial entienda el gag, la referencia o lo que se tercie. Esto garantiza que los que escribimos sobre esto siempre vamos a tener que meter a Pi con alguna nueva película), y dislates varios de la vida real, tomados a pie de calle. Finalmente para no dejar tan mal sabor de boca, se señalan tres momentos en los que los guionistas se han preocupado de hacerlo bien en tres campos matemáticos diferentes: aritmética, combinatoria y geometría. Particularmente me parece muy acertada la digresión acerca de que no se deben identificar matemáticas con aritmética (es confundir una parte, la herramienta, el cálculo aritmético, con el todo), y que el verdadero alma de las matemáticas está en la resolución de problemas. No me resisto a reproducir la frase de Conrad Wolfram que se incluye: Paremos de enseñar a calcular, y empecemos a enseñar matemáticas). El cálculo es necesario, pero no lo único, ni el fin. Es como si estuviéramos todo el curso aprendiendo las reglas del parchís, y al final no jugáramos nunca. Pues eso es lo que hacemos habitualmente con las matemáticas. Sorando expresa su deseo en uno de los párrafos del capítulo en no ser un cazador cazado, es decir, que ninguno de los gazapos expuestos pueda volverse en su contra. Es un deseo loable, pero no sé sabe cómo ni porqué (y yo mismo he sido víctima de tales circunstancias; por más que se lea, se relea y se repase algo mil veces), siempre se escapa alguna errata, parece algo incontrolable. Unas páginas atrás, el autor dedica comentarios algo duros a propósito de El Mejor (The Greatest, 2009): “Esta ocurrencia es realmente patética y tiene un sitio destacado en una antología de disparates matemáticos del cine. ¿Será posible que nadie del equipo de rodaje supiese qué es una integral, qué es un logaritmo y cómo su cálculo hoy con la calculadora no dure tres años sino lo que se tarde en teclear las instrucciones?” La ocurrencia es decir (Pierce Brosnan): “Es una de las integrales más difíciles que he solucionado en mi vida; tardé tres años en hacerlo…”, y lo que vemos escrito en el vientre de la embarazada protagonista es 4 log(2+√3) − (2π/3) También en páginas previas, se indica acertadamente que algunos gazapos provienen de la versión doblada, no de la original. Por ello es aconsejable siempre tratar de verificar de dónde proviene el posible fallo. Y en este caso, la frase que el protagonista dice en la versión original es: “This was one of the hardest things already decided. It took me three years to do so. And I was in love for it”. No hay alusión a integral alguna por ninguna parte. El gazapo es por tanto achacable al doblaje al castellano (en el doblaje latino, en la versión estrenada en Hispanoamérica, se ha doblado así: “Esta es una de las ecuaciones más interesantes que he resuelto. Me tomó tres años”. Tampoco es una ecuación, obviamente. Puede verse en YouTube bajo el título No puedo decir adiós). Por otro lado (lo siento, las integrales y las series infinitas siempre me han gustado especialmente; raro que es uno) que una calculadora me proporcione un resultado inmediatamente, sin más que dar una tecla, no es un argumento como para parar de resolverla (puede darte pistas de su resolución, eso sí) hasta no encontrar la forma de hacerlo por uno mismo. Reto: ¿se atreve alguien a indicar un problema o situación donde el resultado sea el valor anterior? Matemáticas en el lado oscuro.- Recopilación de escenas matemático-diabólicas desde tres puntos de vista diferentes, descendiendo de lo general a lo particular: la maldad demoniaca (caso de que exista tal ente), la de los regímenes totalitarios (esa sí, desgraciadamente, existe y no parece estar en peligro de extinción; magnífica reflexión en el libro), y la que han llevado a cabo ciertos individuos (tanto reales como en la ficción cinematográfica; mención de algunos psicópatas matemáticos). Se comenta también una cierta tendencia a demonizar la ciencia por parte de algunos interesados en que siga vigente el oscurantismo y/o la superstición. Aritmética binaria, combinatoria (combinaciones y permutaciones), proposiciones lógicas, método de inducción completa con ejemplo de aplicación (suma de los primeros números naturales), axiomas de Peano, proporción áurea y número phi, son algunos de los tópicos matemáticos que se repasan en este capítulo. Matemáticas contra el crimen.- Las matemáticas también han permitido desarrollar algunas técnicas de investigación policial. El análisis de todo tipo de datos es para ello fundamental, que va desde la información más simple que en ocasiones nos dan las cifras, pasando por la que se extrae de mensajes encriptados que algunos psicópatas proporcionan sin reparo alguno (la criptografía y el análisis de frecuencias tienen mucho que decir, como en el caso del célebre asesino del zodiaco cuya descripción se detalla a partir de una de las dos recientes recreaciones cinematográficas; también se recuerdan algunos precedentes basados más o menos en ese mismo sujeto). Cuando ese análisis es más concienzudo, y se aplican procedimientos estadísticos, aparecen, por ejemplo, los mapas de probabilidad de “zonas calientes”, ampliamente difundidos en la serie Numb3rs, de la que, obviamente, se repasan varios episodios. La explicación va remitida en general a los propios guiones y diálogos. En relación a los casos planteados, se recuerdan casos similares acontecidos en nuestro país, muchas veces anteriores en el tiempo, lo que ratifica el conocido adagio de que la realidad supera la ficción. En este caso, va por delante, y a partir de ahí el trabajo de los matemáticos, analistas y estadísticos trata de hacer más difícil la tarea de los malhechores. Todo ello constituye una magnífica ocasión para recordar desde la más simple aritmética (pero bien aplicada) o el comportamiento de la función exponencial negativa (desintegración radiactiva), a resultados más elaborados como la ley de Bendford, los fractales y el movimiento browniano o el RSA. Ecuaciones Decisivas.- Volviendo a la subjetividad de estas líneas, puedo declarar que este es el capítulo que más me ha gustado. En él se analizan las diferentes intenciones que los cineastas han venido marcando con la inclusión de fórmulas en sus películas, para la mayor parte de los espectadores uno de los símbolos más claros, sino el que más, por el que perciben que hay matemáticas en una escena. Las situaciones elegidas lo son en ámbitos muy diferentes (lo que vuelve a poner de manifiesto aquello de que las matemáticas están en todas partes). Así, la subsistencia de la humanidad puede depender de que los cálculos sean correctos (aunque pueda parecer ciencia ficción, se explica brevemente cómo en la actualidad se han desarrollado modelos matemáticos para casi cualquier cosa, y algunos son realmente útiles), el éxito o fracaso de una película de que se hayan medido bien ciertos parámetros ajenos al marketing publicitario, estimaciones de cómo se van a comportar los mercados financieros o la intención de voto de los ciudadanos, etc. Por supuesto, las pizarras llenas de fórmulas a veces también son de lo más absurdo y surrealista (como lo de intentar dormir a los ciudadanos de una población gracias a la ecuación de segundo grado (no por explicarla, ojo, sino aplicándola en una máquina por la que suspirarían cientos de insomnes), medir la belleza y grandeza de una poesía o describir la fórmula de la felicidad). Muy interesante la historia real de Igor Tamm, y una no menos lucida reflexión sobre cómo algunos se han ido cargando el denominado estado del bienestar por su rácana aplicación de pretendidas fórmulas de austeridad. Y por supuesto no podía faltar la guinda del pastel, la calificada como fórmula más hermosa de las matemáticas por conjugar los principales “actores” de diferentes ramas de esta disciplina. ¡Houston, tenemos un problema!.- Como sugiere el título, se da un repaso a algunos de los más recientes estrenos relacionados con diferentes peripecias espaciales. En ellas se intuyen mucha ciencia y muchas matemáticas pero a nivel teórico, con pocos detalles concretados (el público desea entretenerse, no ver un documental). Pero ahí es donde este tipo de lecturas son de interés, para señalar que hay matemáticas, aunque no se expliciten. Y por eso son tan importantes (imprescindibles, yo diría, pero no quiero que nadie se moleste o vea en ello una exagerada manifestación de prepotencia de los matemáticos, pero la realidad es la que es; traten de vivir sin nada en las que intervengan las matemáticas a ver que pasa). Se describen con detalle las circunstancias en las que las matemáticas están en Marte, comprobando si las cuentas reales corroboran lo indicado en la película; la única pega es que se debería advertir que se lea después de haber visto la película porque en este caso (único en todo el libro), se cuenta todo lo que va a pasar en ella y eso podría echar atrás a los que no la hayan visto más que animarlos a hacerlo. Se vuelve a destacar la importancia de saber aplicar las herramientas matemáticas para resolver problemas, enunciándose algunos de los diferentes procedimientos más habituales para hacerlo. A pesar de ser éste el objetivo de la enseñanza de las matemáticas, choca el escaso éxito que los alumnos suelen tener en esta tarea, y no sólo eso sino la verdadera animadversión hacia ello. Una de las causas podría ser, según el autor, la poca fortuna en el planteamiento de los ejercicios que tradicionalmente se han venido proponiendo en la escuela, puestos de manifiesto en varias escenas. Hay también referencias al grupo Bourbaki y a Piaget y la psicología en correspondencia a cómo el primer grupo organizó la estructura de las matemáticas en sus trabajos, a la regla de Laplace para calcular probabilidades, al concepto de esperanza matemática, al origen del álgebra y su aplicación en situaciones prácticas como las herencias, medidas de terrenos, transacciones comerciales, etc. Para vivir.- Y las matemáticas nos hacen la vida más cómoda y fácil. En lo más primario, para contar. Además superan el estereotipo de frías y calculadoras (puro materialismo, en suma) con que las califican los que no han llegado ni han querido hacer el esfuerzo de profundizar un poco en ellas, mostrándonos algunas situaciones en las que permiten fomentar valores como la libertad (ligada a la abstracción con que el investigador o estudioso se entrega por difíciles que sean las situaciones en las que están inmersos), la igualdad entre personas (amplio apartado sobre la histórica injusticia a la que se ha sometido a las mujeres matemáticas tomando como ejemplo la vida personal y profesional de Sofía Kovalevskaya y Sophie Germain), y la fraternidad (enmarcada en este caso en la historia de Ramanujan y G. H. Hardy y sus trabajos a pesar de las dificultades marcadas por su diferente filosofía, cultura, personalidad, ideales, etc.). En la conclusión final, José María Sorando sintetiza su sentir a lo largo de sus años de docencia respecto a lo que a su juicio debería primar en las aulas por parte del profesorado: la emoción del descubrimiento tratando de apartar un poco la mecanización, la memorización vacía (permítaseme el símil navideño de engordar el pavo hasta cargárnoslo o que lo mande todo a paseo) y potenciar unas matemáticas prácticas que permitan al futuro ciudadano primero no dejarse engañar y ser crítico, y llegando al óptimo, que fuera capaz de apreciar en su justa medida la belleza que esta disciplina encierra más allá de un temario que hay que acabar a toda costa. Ojalá más docentes se subieran a este carro, y ojalá se consiguiera algún avance en este sentido. Un primer paso: leer y disfrutar de lecturas que complementen las “formales” como la de este libro. Alfonso J. Población Sáez

Miércoles, 04 de Enero de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

106. 115. Hace ya medio siglo

Recordamos una película de culto, rodada en España, y con más matemáticas (y otras cosas) de las que a priori podría pensarse. El pasado mes de julio se cumplió el quincuagésimo aniversario del estreno de la película El bueno, el feo y el malo (Il buono, il brutto, il cattivo, Sergio Leone, Italia, 1966), rodada en su mayor parte en tierras españolas.Con tal motivo han tenido lugar varios eventos en los lugares más destacados de dicho rodaje: Salas de los Infantes (Burgos) y Los Albaricoques (Almería). En el primer caso fueron cuatro intensos días en los que hubo conferencias (espectacular el grupo de personalidades que la Asociación Cultural Sad Hill logró reunir: Sir Christopher Frayling, probablemente el autor internacional mejor conocedor de la obra del director Sergio Leone; el escritor y crítico Carlos Aguilar, autoridad no menos relevante en el tema; Peter J. Hanley, Anita Haas, Ángel García Romero, la hija del diseño de vestuario Carlo Simi, el montador de la película Eugenio Alabiso, figurantes de la zona, entre una larga lista; y aunque no en persona, no faltaron Clint Eastwood, ni Ennio Morricone, aunque fuera de un modo virtual), conciertos, proyecciones, y sobre todo la recuperación como recurso turístico del cementerio de Sad Hill, en el valle de Mirandilla (Sierra de la Demanda, en el término de Santo Domingo de Silos, Burgos), donde tiene lugar el desenlace final del film con el famoso trielo (un duelo con tres pistoleros; algunos autores lo denominan truelo, por analogía a duelo. Yo prefiero trielo, por aquello del prefijo tri-, y porque así lo he visto desde siempre en los títulos de la banda sonora original de Ennio Morricone. En la red se encuentra información con ambas expresiones, y supongo que ambas son válidas: ninguna aparece en la última versión del diccionario de la Real Academia Española de la Lengua). Seguramente muchos conozcan ya que la puesta en escena de este singular enfrentamiento es una de los más celebrados ejemplos de la teoría de juegos en el cine, comentado en numerosos blogs, páginas web, libros sobre cine y matemáticas, etc. (Para mi resulta un recuerdo entrañable ya que constituyó todo un acontecimiento a nivel personal que el diario El País me hiciera una entrevista allá por el 2007 a propósito de esta escena, ya que las charlas que daba entonces siempre las terminaba con los casi diez minutos del trielo desgranando el cruce de miradas de cada personaje y justificándolas desde el punto de vista matemático; por supuesto también tuvo que ver mi nada disimulada devoción por la trilogía del dólar de Leone y el que hubieran sido rodadas tan cerca de mi). Por si hay algún despistado recordamos brevemente la escena, que es el desenlace del film (diez minutos de reflexión matemática ¡¡¡ después de 150 minutos de metraje !!!). La teoría de juegos es una rama de las matemáticas que estudia todo aquello que tenga que ver con las confrontaciones entre entidades, sean éstas personas, empresas, países, etc., y uno de sus objetivos es detectar las estrategias óptimas a llevar a cabo de acuerdo con sus objetivos. Está íntimamente relacionada con el cálculo de probabilidades. De hecho, en el caso que nos ocupa, para entender mejor la resolución de la escena, se suelen asignar probabilidades a cada personaje (por ejemplo, que “el feo” acierte uno de cada tres intentos, “el malo” dos de cada tres y “el bueno” tres de tres, que para eso es el “bueno” y lo interpreta Clint Eastwood, y se supone que, en principio, se efectúa un único disparo; las cuentas se pueden ver con detalle, por ejemplo, en el libro de nuestro compañero José María Sorando Aventuras Matemáticas en el Cine, pp. 140 - 142). La cuestión es a quien debe disparar cada uno, no sólo por sobrevivir, sino por poder acceder a un fabuloso botín escondido en algún lugar del cementerio en el que se encuentran, y que “el bueno”, el único que sabe el verdadero paradero de ese botín, ha dejado escrito en un pedrusco en el centro del círculo. El deleite con el que el director diseña la escena, mostrándonos las expresiones de los rostros en primer plano, nos permite intuir la evolución del pensamiento de cada uno, que “casualmente” coincide con lo que idealmente nos dicen las matemáticas (incluyendo aquello de que lo mejor para el peor tirador sea disparar al aire, aunque en la película eso suceda por otras causas: el que la ha visto sabe a qué me refiero, y el que no, que la vea). Por otro lado, en situaciones reales pueden presentarse circunstancias que escapan del planteamiento inicial, lo cual también está presente en el argumento (mismo comentario del paréntesis anterior). Los más cinéfilos recordarán además que esta estupenda escena ha sido homenajeada, plagiada, imitada, estropeada (cada uno que ponga el adjetivo que desee) en muchas ocasiones por otros realizadores con muy desigual fortuna. (En la imagen, el que esto escribe en el lugar de los hechos tal y como se encuentra en la actualidad; disculpen no tener la prestancia ni el talle de ninguno de los protagonistas, pero es lo que hay). Merece la pena detenerse un momento en el montaje de dicha escena. El cineasta Max Tohline ha realizado un análisis de los 65 planos que la componen (puede verse en https://vimeo.com/86125935), demostrando cómo no hay ni uno solo superfluo, teniendo cada uno su justificación para estar ahí. Y lo curioso es que la estructura general obedece a un patrón matemático. ¿De cuántas maneras distintas pueden tres objetos ser dispuestos? Evidentemente de seis, no hay más que escribirlas, aunque a poco que escarbemos en nuestra memoria escolar, ni siquiera eso hace falta: se trata de una permutación de tres elementos, que se obtiene con la operación factorial de tres, tres por dos por uno, esto es, seis. En el video mencionado vemos desmenuzados esos planos, comprobando que aparecen esas seis disposiciones de los personajes (Bueno – Feo – Malo) sucesivamente, primero en un plano medio (los tres actores se muestran de rodilla hacia arriba), después un plano con la cámara por encima del hombro de cada uno de ellos mostrando a quien mira cada uno marcando las relaciones espaciales entre los personajes, otro plano mostrando sus revólveres, luego un plano de sus rostros, otro de los mismos rostros aún más cerca, lo que hace un total de quince planos. La última permutación aparece iniciando una nueva serie de otros veinticinco planos diferentes de sus rostros en los que se aprecia el problema de la decisión indicado al inicio. Los detalles del número de planos que se lleva cada personaje, así como su disposición en parejas nos lleva a nuevas sorpresas que tratan (y consiguen) definir otras relaciones entre ellos, acompañados de un progresivo aumento en la cadencia de la banda sonora hasta completar esos 65 planos. ¿Estaba pensando matemáticamente el montador? ¿Salió así por casualidad? Es  bastante probable asumir lo segundo, pero lo cierto es que esa estructura está, y que ha permitido componer uno de las más impactantes enfrentamientos de la historia del cine (y así lo confirman todos los expertos, no es pasión del que esto escribe, que también), que no olvidemos aparece después de dos horas y media de metraje, en el que el espectador podría estar un poco cansado, y sin embargo lo mantiene pegado a la butaca y sin sensación de hastío durante nueve minutos y pico más. Por otro lado, en una de las reseñas dedicadas al tradicional concurso del verano de esta sección, 15.- Concurso del verano de 2006, también introduje un problemilla geométrico relacionado con esta película; su solución se encuentra en la reseña siguiente. Pero no es éste únicamente el tema que se pretende traer a colación en esta reseña. Otro de los objetivos de la Asociación Cultural Sad Hill ha sido la recuperación del paraje donde “tuvieron lugar los hechos”, trabajo fatigoso y largo, ya que uno puede imaginarse el estado del lugar cincuenta años después de que, salvo los vecinos de los pueblos cercanos, las vacas y algún que otro excursionista despistado se hayan acercado por allí (se accede por pista forestal pedregosa, bastante empinada y estrecha). Por supuesto poco quedaba del cementerio creado para la ocasión, aunque afortunadamente sí se ha conservado el círculo de piedra (totalmente tapado por la hierba eso sí). Desde posiciones elevadas se aprecia perfectamente la extensión y la forma del decorado original, incluso quedaban algunos montículos dispersos. Se dispone de las escenas filmadas de la película que permiten reproducir algunas de las tumbas más cercanas a los protagonistas, pero ¿cómo reconstruirlo del modo más parecido al original? Alguno puede dar como posible solución algo virtual, generado por el móvil de cada uno, similar al juego del Pokemon Go, pero a los espectadores a la vieja usanza y vaqueros entrados en años nos gustaría algo más real y tangible, la verdad. Y en ello está la citada asociación, que poco a poco va levantando nuevas tumbas apadrinadas por todo aquel que lo desee. En la escena final de la película, la cámara sigue al “bueno” a caballo en una panorámica aérea alejándose cada vez más. En 1966 se trató de filmar desde un helicóptero, (en la fotografía adjunta, Eastwood sujetando a Leone desde el helicóptero) pero tras unas pruebas, la idea se desestimó por la vibración que se producía y transmitía a la cámara. Finalmente se rodó desde un punto fijo en un tortuoso camino que asciende una peña que circunda el valle (exactamente desde donde hice la panorámica de la foto adjunta; el círculo de piedra del trielo se aprecia perfectamente).  A día de hoy cualquier complicación de este estilo es soslayada con un buen CGI (Computer Graphic Image). La mayor parte de las producciones cinematográficas e incluso los anuncios publicitarios recrean paradisíacos paisajes o mundos de otros planetas gracias a la geometría fractal. Los fractales son objetos matemáticos que pretenden simular con mayor realismo que las líneas rectas de la geometría euclidea los objetos y fenómenos de la naturaleza (nubes, costas, montañas, rayos, etc.) en los que estén presentes estructuras fragmentadas (de ahí el nombre de fractal, del latín fractus). Hay diferentes formas de construirlos y generarlos, y algunos de ellos poseen una propiedad característica, la autosemejanza, esto es la repetición exacta de una estructura a diferentes escalas, por muy grande o pequeña que sea. Desde su concepción, son muchos y muy variados los campos en los que se han encontrado aplicación, entre ellos el cine y los efectos especiales, incluyendo el modelado de paisajes. Desde su utilización en Star Trek II: La ira de Khan (Nicholas Meyer, 1982) o El retorno del Jedi (Richard Marquand, 1983), parecía asociarse su utilización a definir lugares imaginarios de ciencia ficción; sin embargo, la mejora en la potencia de los equipos informáticos han permitido la generación de algoritmos de formación más complejos y realistas a una escala más detallada Aunque el proceso de formación inicial sea determinista (responde a una fórmula establecida que siempre devuelve valores que pueden por tanto determinarse con precisión), el algoritmo que diseñemos puede irse modificando en los momentos que queramos de un modo aleatorio (introduciendo una nueva fórmula o un nuevo mecanismo de formación que decidamos), tratando de adecuarse mejor a lo que en realidad sucede en la Naturaleza (no olvidemos, la única que nos provee de ejemplos de aleatoriedad pura). Veamos un ejemplo sencillo. Partimos de cuatro puntos, las esquinas de un cuadrado, por ejemplo. Sobre esta base levantaremos nuestro “paisaje”. Tomamos cuatro valores aleatorios que definan las alturas de cada uno de esos puntos, y elegimos una escala d para cada una de ellas. Dividimos a continuación ese cuadrado en cuatro rectángulos, de los que elegimos nuevamente las esquinas. Esto nos proporciona más puntos sobre los lados del cuadrado inicial, y otros en su interior. Las alturas de los nuevos puntos se deciden, a elección, por dos procedimientos diferentes: Para los “puntos del borde” se calcula la media de las alturas de sus dos esquinas vecinas, y luego añadimos un valor aleatorio, que se escala por un factor relacionado con el d anterior mediante una nueva fórmula; para los puntos del interior, se calcula la media de las cuatro esquinas originales, y luego se añade un valor al azar, escalado como los anteriores, por ejemplo. Se procede a continuación del mismo modo con los cuatro rectángulos (procede el ordenador, por supuesto) el número de veces que queramos, con la precaución de tomar el factor de escala en cada etapa cada vez más pequeño; para aseguramos de que cuanto más cerca observemos el paisaje, los “montículos”' en la superficie sean más pequeños, tal y como sucede en un paisaje real. Concluimos el proceso cuando consideremos que tenemos el suficiente número de puntos. Entonces viene la labor de “maquillado”: los unimos de un modo realista (básicamente no mediante rectas), le añadimos colores, texturas, sombras, etc., y tendremos un paisaje más o menos “real”, como el mostrado en la imagen, realizado con un proceso similar al descrito. Con un poco de imaginación, no es demasiado complicado “perfeccionar” nuestra labor “creacionista”. Afortunadamente, para los más románticos añoradores del cine de siempre, aún nos queda Tarantino que prescindió por completo de los CGI en Los odiosos ocho (The Hateful Eight, 2015), y rodaron literalmente en una nevera (el cobertizo en el que transcurre la mayor parte de la película) para que se apreciara como debe ser el vaho exhalado por los personajes, y en unos paradisíacos paisajes nevados. Volviendo al Simposio del verano, fue un auténtico placer charlar con tantos expertos y testigos de aquel rodaje, más aún comprobando cómo todos eran personas cercanas y amables. Así, hablando, como no, de cine y matemáticas con Sir Christopher Frayling, me comentó una escena relacionada con La muerte tenía un precio. Por supuesto, le comenté, la última, en la que echar cuentas (matemáticas muy elementales, pero matemáticas al fin y al cabo) sobre lo que va a cobrar de recompensa salva la vida al Manco (Clint Eastwood) al percatarse de que falta el cadáver de un forajido. Pero no, para mi sorpresa, Mr. Frayling me indicó otra secuencia diferente en la que la orientación geográfica es crucial en un momento dado. Algún día quizá os lo cuente. Para los que quieran profundizar un poco más en la obra de Sergio Leone, os sugiero dos textos realmente imprescindibles: Algo que ver con la muerte, de Sir Christopher Frayling, y Sergio Leone, de Cátedra, de Carlos Aguilar (la edición original está agotada). Y para acabar: mitómanos o no del cine, acérquense si pueden al valle de Mirandilla y otros enclaves del rodaje de la película. La panorámica no les defraudará, y allí nada es virtual. Alfonso J. Población Sáez

Jueves, 01 de Diciembre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

107. 114. Trigonometría en el tren

Seguramente alguna vez hayamos compartido asiento con algún desconocido en un autocar, o en el vagón de un tren. Aunque la gente cada vez va más a lo suyo, suele ser gratificante compartir conversación con otros viajeros (bueno, no con todos). El camino se suele hacer más corto. Claro que, depende de qué hablen… Cuando se muestra algún aspecto matemático en las películas, suele recurrirse a tópicos más o menos manidos, que cualquier espectador de nivel cultural medio sea capaz de reconocer (operaciones elementales, resultados muy conocidos como el teorema de Pitágoras, conceptos básicos; excepcionalmente, aunque cada vez con mayor frecuencia, se aborda algún tópico más novedoso). En cuanto a fórmulas, ya se ha comentado en otras ocasiones, también se utilizan expresiones muy conocidas, y éstas se describen sobre una pizarra o escritas sobre un papel. En raras ocasiones el actor las escribe de su puño y letra, y suele ser un doble de mano (alguien entendido en el tema) el que plasme esas expresiones, tratando de no cometer errores. Por eso es destacable las ocasiones en que el actor describe verbalmente algún resultado, y más aún si la producción es cuanto más antigua, ya que como acabamos de decir, se procura que el espectador se entere, y cuanto más atrás en el tiempo, menos personas optaban a estudios de cierto nivel. Lo que suele ser bastante habitual es encontrarnos con películas no estrenadas nunca en nuestro país, ni accesibles en DVD. Las causas son variopintas, pero no es ahora el sitio ni el momento para extendernos sobre eso. El caso es que en la película que traemos a la palestra este mes nos encontramos a la protagonista exponiendo una fórmula trigonométrica hace unos años muy común en los libros de texto de Secundaria, que, a día de hoy, caso de explicarse, se hace muy de puntillas, y prácticamente casi todos los alumnos tienen con toda seguridad, bastante olvidada. Y además lo hace correctamente y hablando de un tema en el que se aplica con toda corrección. Afortunadamente, gracias a YouTube (y a la transcripción en castellano que se expone a continuación, confío), podemos ver la escena y opinar sobre ella. Ficha Técnica: Título Original: She Wrote the Book. Nacionalidad: EE. UU., 1946. Dirección: Charles Lamont. Guión: Oscar Brodney y Warren Wilson. Fotografía: George Robinson, en B/N. Montaje: Fred R. Feitshans Jr. Música: Edgar Fairchild. Duración: 80 min. Ficha artística: Intérpretes: Joan Davis (Jane Featherstone), Jack Oakie (Jerry Marlowe), Mischa Auer (Joe), Kirby Grant (Eddie Caldwell), Jacqueline deWit (Millicent Van Cleve), Gloria Stuart (Phyllis Fowler), Thurston Hall (Horace Van Cleve), John Litel (Dean Fowler). A nadie le suena de nada, ¿verdad? Ni siquiera son conocidos actor o actriz alguna, ¿no? Quizá a alguien le suene Gloria Stuart (la octogenaria actriz que en Titanic interpretaba a la protagonista superviviente ya mayor), pero aquí es una actriz secundaria. Ya digo que no se ha estrenado nunca en España. Se trata de una irrelevante comedia en la que una profesora de matemáticas, Jane Featherstone (interpretada por la actriz Joan Davis) de un instituto de una pequeña localidad norteamericana, viaja a Nueva York en representación de un colega que ha escrito bajo seudónimo una novela que se ha convertido en un éxito de ventas. De camino, en el tren, comparte vagón con un ingeniero, Eddie Caldwell. Este es el diálogo que tiene lugar y que nos interesa (del resto de la película, no detallaré más, aunque quizá en otra ocasión recuperemos alguna otra incursión matemática): Eddie: ¡Vaya libro! Lo siento, hablaba conmigo mismo, pero es que este libro es el más interesante que he leído nunca. Demasiado profundo para la mayoría de la gente, pero necesario para mi trabajo. Jane echa un vistazo al libro. Se titula Calculus in Engineering. Jane: ¿Ingeniero? Eddie: Sí. Puentes. Jane: Muy interesante. ¿Construye puentes? Eddie: Bueno, aún no he construido ninguno, pero tengo la intención de hacerlo algún día. ¿Le gustan los puentes? Jane: No he pensado en ello pero supongo que sí. Eddie: Mire. Qué lugar tan hermoso para un puente con poco sitio en la orilla izquierda y el punto tan elevado al otro lado. Jane: No parece sencillo. Eddie: ¡Es difícil! Hay que considerar longitud, dirección, tirantes, ángulo de elevación…. Jane: Por la ley de las tangentes, sabemos que la diferencia de dos lados de un triángulo es a la suma de ambos como la tangente de la mitad de la diferencia de los ángulos opuestos es a la tangente de la mitad de su suma. Sabemos la altura de la orilla izquierda y la amplitud del río será lo que nos permite determinar el ángulo que forman cuidadosamente, lo que nos ayuda a encontrar la longitud del puente. Hacemos esto por la ley de los cosenos, que nos da el lado de un triángulo en términos de los otros dos lados y el ángulo que forman. Para ello se aplica la fórmula de que el cuadrado de cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble de su producto por el coseno del ángulo que forman. ¿Alguna pregunta? Jane (ante el silencio de Eddie): Quiero decir que eso es todo lo que hay que hacer. Eddie (un tanto desconcertado): Nunca pensé que…. Jane: ¿Algún error en mis cálculos? Eddie: No, no, sólo que nunca que había encontrado antes con alguien como usted… La escena puede verse (en versión original en inglés) en este enlace. El teorema de las tangentes La ley de las tangentes (esta es la denominación anglosajona) nos da la relación entre las tangentes de dos ángulos de un triángulo y la longitud de los lados opuestos. No es tan popular como el teorema de los senos o del coseno, pero se utiliza en los casos en los que conocemos las longitudes de dos lados de un triángulo y el ángulo que forman, o cuando conozcamos dos ángulos y un lado, para hallar el resto de dimensiones. Su expresión, tal y como la describe la protagonista de la película es: Por recordar el teorema de los senos y del coseno (que nunca viene mal), estas son sus expresiones, respectivamente: (a / sen A) = (b / sen B) = ( c / sen C) y a2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 = a2 + c2 − 2ac cos B c2 = a2 + b2 − 2ab cos C. La obtención del teorema de las tangentes no es complicada a partir del teorema de los senos y la fórmula de paso de suma de senos a producto (otra fórmula muy “querida” por nuestros alumnos). Un ejemplo de aplicación Conocidos:     a = 34,  b = 22,  C = 42o . Calcular:        A, B, c. Mediante la ley de las tangentes, Entonces,  . Con esta expression y la de la semisuma, se obtiene que A = 98.17171o y  B = 39.82829o . Finalmente, aplicando el teorema de los senos, . La tangente y la cotangente Las primeras funciones trigonométricas que los antiguos astrónomos consideraron útiles para su trabajo fueron el seno y la cuerda, y por ello fueron éstas las primeras en desarrollarse. Sin embargo, pronto observaron que la manera más práctica de medir alturas y distancias era considerando otras diferentes, que llamaron gnomon y sombra (la tangente y la cotangente, respectivamente). Es posible que Ahmes (hacia el 1550 a. C.) conociera la tangente, pero de lo que se está absolutamente seguro es de que la sombra proyectada era un recurso habitual para calcular alturas que estaba relacionado con los relojes de sol que Anaximandro (hacia el 575 a. C.) introdujo en Grecia. Los griegos sin embargo no hicieron uso de estas medidas de un ángulo excepto en el caso de Tales de Mileto para medir la altura de las pirámides utilizando triángulos semejantes. Hacia el año 400 de nuestra era, los Surya Siddhanta y otros trabajos de los indios hablan de la sombra, en particular en relación a medidas astronómicas, pero serán los árabes los primeros en hacer uso real de estas medidas como funciones. Fue el astrónomo y matemático persa Habash al-Hasib (hacia el 860 d. C.) quien construiría las primeras tablas de tangentes y cotangentes, pero de ello no se conservan evidencias, sólo referencias. Los traductores latinos medievales las denominaron umbra versa (o umbra extensa) a la sombra que cualquier objeto vertical proyecta sobre el suelo (la cotangente), y umbra versa a la sombra “vuelta” (la tangente) dependiendo de donde estuviera colocado el gnomon (vertical en el caso de que los relojes de sol estuvieran sobre el suelo, u horizontal si está colocado en la pared de un edificio). Estas denominaciones pueden encontrarse en libros incluso hasta finales del siglo XVIII. El primer escritor cuya tabla de sombras (de grado en grado) es conocida es Al-Batani (latinizado como Albategnius) que además fue capaz de determinar la duración del año solar como 365 días, 5 horas, 46 minutos y 24 segundos, además del momento del equinoccio con un error menor a las dos horas y calcular con muy poco error el ángulo que forma el eje de la Tierra con su plano de rotación. Copérnico lo menciona en sus trabajos. Abú al-Wafá Buzjani, hacia el año 980, construyó una tabla de tangentes para cada 15’, la primera que ha llegado a nosotros, y una tabla de cotangentes para cada 10’. Ideó un método nuevo de calcular las tablas del seno. Sus tablas trigonométricas son exactas hasta ocho cifras decimales. Y estableció fórmulas como la del seno de una suma, o las del seno y coseno del ángulo doble, además del teorema de los senos. Estudió los movimientos de la Luna, y en el año 1970 se decidió en su honor llamarle «Abul Wáfa» a un cráter lunar en la cara oculta de la Luna. Hacia 1435, el astrónomo y matemático Ulugh Beg elaboró una tabla de tangentes de 0 a 45º de minuto en minuto, y de 45 a 90º de cinco minutos en cinco minutos. Su tabla de cotangentes sin embargo iba de grado en grado. Respecto a la utilización explícita de los nombres “tangente” y “cotangente”, aunque Georg  Joachim Rheticus hacia 1551 no llega a darlos explícitamente, plantea su denominación como una proporción. Rheticus (discípulo de Copérnico y divulgador de su teoría) compuso unas tablas de funciones trigonométricas con siete decimales de exactitud y de 10 en 10 segundos, las más precisas hasta ese momento que se conocen, y su cálculo fue terminado por su discípulo Valentinus Otho, que las editó en Opus palatinum de triangulis. En 1593, François Viète llama a la tangente  sinus foecundorum y utiliza un resultado similar a la ley de las tangentes en la resolución de triángulos obtusángulos (Variorum de rebus mathematicis, 1593). Sin embargo, parece ser que fue Thomas Fincke diez años antes, en 1583, en su libro Geometria rotundi el primero en emplear la palabra “tangente” como sinónimo de umbra versa. Bartolomé Pitiscus (otro que tiene dedicado un cráter lunar) en 1595 adopta el término en sus trabajos, entre ellos unas nuevas tablas trigonométricas que mejoraban las de Rheticus (Thesaurus mathematicus, 1613). A él se le atribuye también el término “trigonometría”, y la invención del punto decimal, aunque sobre éste segundo asunto hay algunas discrepancias. En 1609, Giovanni Antonio Magini (también con cráter lunar) llamó tangens secunda a la cotangente. Fue Edmund Gunter en 1620 el que finalmente primero utilizó la palabra cotangente. Gunter aplicó la trigonometría a la topografía, e inventó diversos instrumentos que han llevado su nombre, como el cuadrante de Gunter (un cuadrante con proyección estereográfica), la escala de Gunter y la denominada cadena de Gunter (considerada como unidad de medida en muchos países anglosajones). Respecto a las abreviaturas para la tangente y la cotangente, Bonaventura Cavalieri (¿lo adivinan? Pues sí, también tiene un cráter en la Luna a su nombre) utiliza en 1643 Ta y Ta.z, respectivamente, William Oughtred en 1657 t arc y t co.arc (ya que estamos, recordamos que fue el primero que empleó la letra griega π (pi) como símbolo matemático, el uso del signo "x" para la multiplicación y las abreviaturas "sin" y "cos" para las funciones trigonométricas seno y coseno, respectivamente, y recordando la entrada del mes de octubre, el inventor de la regla de cálculo actual), Sir Charles Scarburgh empleó t. y ct., y John Wallis en 1693 T y τ. La abreviatura tan la empleó Albert Girard en 1626, y Cot fue sugerida por Sir Jonas Moore en 1674 (por cierto, y para que tengáis cuidado con la Wikipedia, aunque algunos de estos datos se han extraído de allí, indica que a Moore se le atribuye la abreviatura Cos para el coseno, cuando como se dijo antes, ya la había empleado Oughtred mucho antes. Es Cot, lo que debería poner, para la cotangente). A veces es edificante (o al menos curioso) recordar la evolución de las denominaciones y las abreviaturas de conceptos científicos (matemáticos en este caso) porque quizá haya quien tienda a pensar que desde un principio las cosas quedaron perfectamente establecidas, y nada más lejos de la realidad. En este caso, lo justo es lo justo, se han utilizado datos de diversas fuentes. Además de la Wikipedia (que ya digo siempre hay que contrastar), he consultado los clásicos Historia de la matemática, Carl B. Boyer; History of Mathematics, Volumen 2, de David Eugene Smith.

Viernes, 04 de Noviembre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

108. 113. Reglas de Cálculo en el Cine (II)

Los fieles seguidores de esta sección quizá recuerden que el pasado mes de abril dedicábamos una primera reseña a la aparición en el cine y la televisión de las reglas de Cálculo. Continuamos la tarea en esta ocasión, que probablemente no sea la última. Referenciábamos entonces la magnífica página Amigos de la Regla de Cálculo, en la que se puede encontrar prácticamente todo lo que se desee saber sobre esta herramienta. Su administrador, Jorge Fábregas, con el que me puse en contacto, me hizo llegar amablemente una serie de enlaces en los que se mencionan un montón de películas que van enviando a un foro los visitantes desde nada más y nada menos que el año 2006 (y he de confesar que ¡¡las tienen prácticamente todas!! Al menos todas las que yo comenté, y la mayor parte de las que voy a comentar ahora. De modo que, dejaré las que tenía pensadas, y añadiré otras que no conocía, y están en su foro, que me han parecido interesantes, mencionando por supuesto al remitente). En este foro no se conforman con indicar la película o adjuntar una imagen, sino que tratan de descubrir la nacionalidad y el modelo concreto de Regla de Cálculo que aparece, descubriendo en muchos casos si colocar esa en particular resulta un anacronismo dentro de la historia que describe la película o por el contrario se ajusta a la realidad. Hasta ese grado de precisión tratan de llegar. Es realmente espectacular algunos de los comentarios y consecuencias que deducen a partir de esos datos. Asimismo me ha parecido llamativo y creo que de interés, recalcar que son muchas las personas apasionadas en todo el mundo por las Reglas de Cálculo, al punto de que anualmente se celebran reuniones denominadas International Meeting of Slide Rules (IM, abreviadamente) que últimamente han extendido a otros instrumentos de Cálculo quedando en International Meeting of Slide Rules & Historical Calculating Instrument Collectors, la última de las cuales (la vigésimo segunda) ha tenido lugar el pasado mes de septiembre en Trento (Italia). Hay una sociedad de coleccionistas, The Oughtred Society (recuérdese que William Oughtred fue un ministro anglicano que se dedicó a las Matemáticas, la Astronomía, entre otras disciplinas, al que se atribuye la invención de la moderna regla de cálculo. Además fue el primero que empleó la letra griega π como símbolo matemático aunque fuera Euler quien popularizó posteriormente su uso. También se le atribuye el uso del signo "x" para la multiplicación y las abreviaturas sin y cos para las funciones trigonométricas seno y coseno, respectivamente), fundada en 1991 y cuyo fin esencial es el estudio y preservación de las reglas de cálculo y otros instrumentos de cálculo. A modo de curiosidad final, antes de meternos con el cine, el pasado día 30 de septiembre se celebró la Noche de los Investigadores. En el Museo de la Ciencia de Valladolid participé en una representación orientada a un público familiar, muchos niños entre los 298 asistentes. En un momento dado, mostré un ábaco, interpelando al público sobre qué era. Todo el mundo lo conocía, niños de seis y siete años incluidos (los que antes contestan, como todo el mundo sabe por experiencia). A continuación tomé una Faber Castell. Silencio. Como alguno decía tímidamente “una regla”, supongo que por las marcas de las divisiones, aclaré que no era una regla “normal” sacando para mostrarlo la reglilla. Tras unos segundos, alguien, ya curtido en canas, acertó a indicar qué era aquello. Esta sencilla anécdota nos muestra cómo la moda de realizar talleres y/o actividades extraescolares (en este caso con el ábaco, de cierta popularidad actualmente) redunda no sólo en activar en los niños el cálculo (en este caso de las operaciones elementales) sino en no dejar en el olvido un instrumento que históricamente (y en la actualidad aún en algunos países) tuvo su relevancia. No ocurre sin embargo lo mismo con la regla de cálculo (salvo para entusiastas compañeros que también los hay, pero minoritariamente) que seguiría siendo útil para continuar ejercitando el cálculo mental, e introducir el cálculo aproximado, las estimaciones, y por supuesto, los logaritmos (que para los alumnos que acceden en la actualidad a la facultad no son más que unas funciones con unas propiedades que manejan y se saben, pero cuyo origen y finalidad desconocen diría que prácticamente en el noventa por ciento de los casos). Por terminar la anécdota, después escuché unas cuantas risas al mostrar modelos de las primeras calculadoras de bolsillo y programables. Cada cual que saque sus propias conclusiones. Entre las películas que revisé el pasado y ya lejano verano estaba una película de dos actores que desde la infancia he tenido como referencia (fundamentalmente por sus películas, que disfrutaba de un modo especial: epopeyas y westerns). Se trata de Misterio en el barco perdido (The wreck of the Mary Deare, Michael Anderson, EE. UU., 1959), una película en la que un veterano capitán degradado (Gary Cooper) debe defenderse de las acusaciones de provocar el hundimiento del Mary Deare, así como de asesinar a su capitán. Todo parece indicar su culpabilidad, pero él es el único que conoce lo que realmente sucedió y no quiere explicar hasta poder volver al barco encallado y mostrar las pruebas. Al inicio de la película (seguramente lo único salvable de la película junto a los protagonistas, fundamentalmente por una dirección plana y sin suspense; Alfred Hitchcock debió de ser su realizador, pero prefirió rodar Con la muerte en los talones), el capitán de una pequeña embarcación de rescate (Charlton Heston) localiza el Mary Deare a la deriva durante un fuerte temporal. Obviamente en esta época no había ordenadores, ni GPS, ni una triste calculadora, de modo que Chuck debe echar mano de una regla de cálculo para calcular el rumbo a seguir (imagen). Años después, Heston vuelve a ser el capitán, en este caso de un submarino nuclear, en Alerta Roja: Neptuno hundido (Gray Lady Down, David Greene, EE. UU., 1978), película realizada en plena moda del cine de catástrofes, aunque en este caso contando una historia algo menos fantasiosa que las de esa época. Como consecuencia de la espesa niebla, un barco noruego choca con el USS Neptuno, que se hunde a gran profundidad. El peligro de implosión junto a los continuos desprendimientos de tierra del lecho en el que ha caído complican extraordinariamente el rescate. Y claro hay muchas escenas en las cabinas de mando de los diversos buques. El compás y los mapas son los elementos que más aparecen, aunque tampoco faltan las reglas de cálculo. En la primera imagen, una circular (Mal vemos a Chuck entrando en la cabina y un ingeniero con ella; la luz es escasa por la emergencia), mientras en la segunda aparece la clásica (¿Les suena por cierto el actor que la maneja en su debut cinematográfico y justo antes de interpretar a un súper héroe que le haría muy popular?). Volviendo a los actores de la primera película, tampoco Gary Cooper le ha hecho ascos al manejo de esta herramienta. En El orgullo de los yankees (The pride of the yankees, Sam Wood, EE. UU., 1942), una biografía del legendario jugador de béisbol Lou Gehrig, en una escena en la que aparece estudiando, lo vemos con ella. Y en Clandestino y Caballero (Cloak and Dagger, Fritz Lang, EE. UU., 1946), película nunca estrenada comercialmente en nuestro país (emitida por primera vez por televisión española el 17 de julio de 1990), se trata de la última de la tetralogía que Fritz Lang dedica a mostrar los peligros del nazismo (rodada antes de finalizar la II Guerra Mundial, pero estrenada después, previa masacre por la censura; aún así tiene elementos muy interesantes, no sólo desde el punto de vista de la Física o las Matemáticas). Gary Cooper interpreta a un científico con muchas similitudes con Julius Robert Oppenheimer (una descripción detallada de esta película puede verse tanto en el libro Las Matemáticas en el Cine, pp. 87 – 92, como en la reseña de septiembre de 2005). Antes de partir a su delicada misión, preparando con detalle su plan, vemos la imagen al pie, en su estudio de trabajo, con una regla de cálculo sobre la mesa. En Sin Amor (Without Love, Harold S. Bucquet, EE. UU., 1945), Spencer Tracy interpreta a un científico que trabaja, con la ayuda del Gobierno pero secretamente, en una máscara de oxígeno a gran altura para pilotos de combate durante la II Guerra Mundial. Sin lugar donde realizar sus experimentos, llega al sótano de la casa de una joven viuda (Katherine Hepburn) que inicialmente no muestra demasiado interés, pero la persistencia de Tracy (además descubre que ella es también hija de un científico), y sobre todo conocer que puede ayudar a su país (estamos en plena propaganda patriotera; Hepburn interpretó esta pieza teatral en los escenarios en 1942; Tracy odiaba literalmente hacer esta película, pero accedió como un favor personal a la actriz). Y por supuesto aunque a priori ninguno confía demasiado en enamorarse, al final, como se puede suponer acaban juntos. En la imagen vemos una escena en la que Katherine comprueba con la regla de cálculo unos valores que le ha pedido Tracy. Pero no sólo en el cine clásico tenemos a nuestro querido instrumento. Claro que los galanes más cercanos en el tiempo, no parecen manejarse demasiado bien con él. Quizá estén más pendientes de otras cosas,...., o que no llegan. Además para eso están los demás. Por ejemplo, en Oficial y Caballero (An Officer and a Gentleman, Taylor Hackford, EE. UU., 1982), el soldado Zack Mayo (Richard Gere) muestra muchas más aptitudes en la pista americana que en las clases teóricas (¿“pa” que te metes entonces en la Marina, colega?). En la imagen lo vemos echando un ojo a su compañera (bueno a su examen; ¡qué casualidad, hombre, que esté detrás de la lista de la clase! En fin, esto es cine, y no demasiado malo a fin de cuentas, a pesar de todo). Paul Newman parecía más enterado en Desde la terraza (From the Terrace, Mark Robson, EE. UU., 1960) o al  menos lo aparentaba, aunque tenía otros problemas más graves de los que ocuparse. Una gran tormenta se abate sobre un aeropuerto. Para colmo, unos renegados militares se hacen con el control total y sabotean las pistas de aterrizaje (que dejan completamente a oscuras desde una iglesia que han ocupado). Su intención es conseguir un avión con el que trasladar a un antiguo general centroamericano y traficante de droga a un país en el que no haya extradición con los norteamericanos. En la torre de control andan muy estresados y encima tiene a Bruce Willis tratando de poner orden (¡¡¡Ufff!!!). En efecto, se trata de La Jungla 2: Alerta Roja (Die Hard 2, Renny Harlin, EE. UU. 1990), película famosa por contener una de las mayores burradas físicas que se haya visto en el cine. Pues bien en la imagen vemos a un desesperado jefe de la torre de control, portando una regla de cálculo circular (recordar que el modelo circular ha sido el más utilizado por los ingenieros aeronáuticos). Bajando de nuevo a las profundidades, roger, uno de los blogueros de la página de ARC, propone dos títulos, muy diferentes en cuanto a calidad cinematográfica (que cada cual decida cual es cuál): El submarino (Das Boot, Wolfgang Petersen, Alemania, 1981), y K – 19 (K-19: The Widowmaker, Kathryn Bigelow, EE. UU., 2002). En ambos fotogramas podemos ver la regla de cálculo como parte imprescindible en las tareas de navegación. Además de navegación aérea y marina, muchas pizarras de películas norteamericanas exhiben una gran regla de cálculo. Jorge, administrador de la página de ARC (alias jfz62) nos recuerda dos ejemplos: El club de los poetas muertos (Dead Poets Society, Peter Weir, EE. UU., 1989), en la que aparece un cachito detrás del profesor de matemáticas (presentado como un impresentable hueso; ¡¡qué maniquea y tramposa me sigue pareciendo esta película a pesar de su éxito popular y de su notable interpretación y puesta en escena!!), y Un tipo serio (A Serious Man, Joel y Ethan Coen, EE. UU., 2009). Y llegado este punto, quizá a algún lector le surja la pregunta. ¿Fuera de países anglosajones mayoritariamente (aunque en la reseña anterior vimos un ejemplo japonés y aquí uno alemán), no aparecen? Sin eufemismos, ¿y en España? Pues la verdad es que tras el montón de títulos recopilados (quedan muchos más fuera de estas líneas), sólo he visto un ejemplo en nuestro país. El aparejador padre de La Gran Familia (Fernando Palacios, España, 1962) es el único que he descubierto, y que también aparece en el blog al que estamos refiriéndonos constantemente. Mientras la madre prepara la cena de Nochebuena (y espera impaciente al abuelo con parte se sus hijos, y que ya sabemos llegará disgustadísimo por la desaparición de Chencho; no creo que este spoiler fastidie a nadie a estas alturas), el pluriempleado padre sigue trabajando a la vez que pide a su hijo que le busque cuál es el logaritmo de 62,50 (ni tabletas, ni ordenador, ni una triste calculadora: a la tabla de logaritmos; no, no es la prehistoria, algunos lo hemos conocido). Volveremos seguramente en otra ocasión más adelante al tema de las reglas de cálculo, quizá en el cine de animación, que hay bastantes ejemplos. Por el momento, ya tenéis una cosa más en la que fijaros cuando vayáis al cine, o veáis una película: además de matemáticas, instrumentos de cálculo (ábacos, reglas de cálculo, calculadoras, ordenadores, etc.), y averiguar si están correctamente incorporados a la escena o si pasa como con los famosos relojes automáticos en las películas medievales o el de la imagen de Rodolfo Valentino en El hijo del Caid (The Son of the Sheik, George Fitzmaurice, EE. UU., 1926).

Lunes, 10 de Octubre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

109. 112. SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO DE 2016

Vuelta a las tareas habituales (algunos antes que otros), aunque el calor se resiste a dejarnos (mirad los remedios de algunas películas para combatirlo en la respuesta C – 7; todavía hay tiempo para ponerlos en práctica). Y cómo no, aquí están las respuestas al cuestionario propuesto. Este año la película propuesta no ha convencido a todos por igual, pero eso sí, es una gran película. Una pequeña aclaración. Repasando las bases del concurso, en ningún sitio se dice que haya que hacer un desarrollo de las soluciones propuestas (al menos alguna indicación de cómo se ha resuelto). Algunos concursantes envían la respuesta final sin explicación alguna. Se ha tomado la decisión, esta vez, de “penalizarlos” muy poquito (un 8 o 9 en lugar del 10), aunque bien podría ser cero esa puntuación. En fin, una nueva aclaración a tener en cuenta para futuras convocatorias. Sin más, vamos a las soluciones. Otros comentarios, en el ejercicio correspondiente. Cuestiones Matemáticas M – 1.- Coordenadas de los puntos E, F y G. A partir del enunciado, podemos esbozar el dibujo que se muestra a la derecha. Por ser un rombo, los lados AE, AF, EC y FC deben tener la misma longitud, llamémosla m. Sea O la intersección de las diagonales del rombo, que deben ser perpendiculares. Aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene que AC2 = AB2 + BC2, de donde AC = , y OA = (½)AC. De nuevo por Pitágoras, OF2 = AF2 – OA2. Un procedimiento de afrontar la cuestión es mediante coordenadas. Sean A(0, 0), B(a, 0), C(a, b) y D(0, b). La diagonal AC tiene por ecuación y = x, y su perpendicular por O(,) será y – = – (x – ), o sea, 2ax + 2by = a2 + b2. En este apartado nos piden las coordenadas de E, F y G para un rectángulo concreto. Particularicemos entonces. Como AB = 12 y BC = 8, entonces A(0, 0), B(12, 0), C(12, 8), D(0, 8), la diagonal AC tiene por ecuación y = 2x/3, y el punto de corte de las diagonales del rombo O es el centro geométrico del rectángulo inicial, es decir, O(6, 4). Los puntos E y F se encuentran en la perpendicular a AC que pasa por O, que como se ha indicado arriba tiene por ecuación 3x + 2y = 26. Como la única condición adicional es que AFCE sea un rombo, AE = AF = EC = FC = m, existen infinitos valores para E y F, pongamos por ejemplo, m = 8 (no todos los valores de m proporcionan solución ya que la ecuación de segundo grado resultante puede para ciertos valores no tener soluciones reales). En ese caso, sólo hay que resolver el sistema que nos da los valores E(6 – , 4 + ) y F(6 + , 4 – ). Finalmente para calcular G debemos previamente hallar la distancia EF, que resulta ser de los puntos anteriores 4√3. Esa distancia sobre la recta AC a partir del origen nos lleva a que G(,), sin más que resolver el sistema Marta, una de las concursantes, ha expresado la solución en forma paramétrica, de un modo muy elegante: E = [6 – 2t, 4+3t], F = [6 + 2t, 4 - 3t], G = [6t, 4t], con 0 < t < 4/3 No todos los participantes han tomado como referencia inicial el mismo punto. En algún caso, el centro geométrico del rectángulo ha sido el punto de partida. M – 2.- Sí, como ya se ha comentado en el apartado anterior, que la solución no es única. Hay infinitos rombos que satisfacen las condiciones del enunciado. M – 3.- La situación ahora es la mostrada en la nueva imagen: los puntos E y F se encuentran sobre los lados AB y CD del rectángulo. En este caso, además de los triángulos rectángulos indicados en el caso anterior, tenemos que FBC también es rectángulo, y por tanto, CF2 – FB2 = CB2 Siendo como antes m el lado del rombo, m2 – (x – m)2 = y2, de donde se obtiene que m = = AF. Como AC = , y OA = (½)AC, por Pitágoras, OF2 = AF2– OA2 = ()2 – ()2 = Por tanto, OF = = ,  y  EF = 2 OF = M – 4.- Como un reloj va tres minutos por delante del otro cada hora, después de veinte horas es cuando irá una hora por delante. M – 5.- Supongamos que la solución es las 23 horas y X minutos (o las 11 horas X minutos, ambas se han dado como correctas). La aguja de los minutos recorre 6º por minuto (360º entre 60 minutos), mientras que la de las horas recorre ½ grado por minuto (360º entre 12 horas = 30º, y 30º entre 60 minutos resulta ½). Si la aguja de las horas está desplazada una distancia x de las once, la aguja de los minutos estará en 35 – x. Aplicando a cada aguja su velocidad de desplazamiento por minuto), se sigue que a 35 – x minutos le corresponden 6(35 – x) grados, mientras que la aguja de las horas se desplaza x/2 grados respecto a las once. Como ambas han de ser iguales, 6(35 – x) = x/2. Resuelta la ecuación nos sale x = 420/13 = 32 + 4/13 minutos, es decir, 32 minutos, 18 y 6/13 segundos. Luego la hora exacta es las 23 horas 32 minutos, 18 y 6/13 segundos. M – 6.- En este caso se trataba de modelizar, a criterio del concursante. Es decir, faltaban datos, sí, pero cada cual podía añadir lo que necesitara para responder a la cuestión. El único dato a respetar era la altura del jarrón. Aclaro esto porque es uno de los ejercicios a mi entender más asequible, pero que menos se ha respondido (sólo dos de seis concursantes). Veamos la solución de Francisco Pi Martínez (un poco resumida): Si la altura es 45 cm. de alto, supongamos que la anchura de la boca son 10 cm. por el interior (obsérvese la figura). Según esto, el rectángulo representado es de 10 cm. por 45 cm. Las semicircunferencias superiores tienen un diámetro de 3 cm. al igual que los arcos pequeñitos que continúan hacia abajo. Hay un tramo recto de 6 cm. El arco que sigue (después del pequeño ya comentado) tiene un radio de 6 cm. La recta (que junto con el lado del rectángulo y algo de imaginación determina un triángulo) abarca los 27 cm. restantes. Dicho esto, el volumen del jarrón se compone de lo siguiente. Definamos, V1 = volumen que engendra el rectángulo al girar sobre su eje. V2 = volumen que engendra el semicírculo de diámetro 3 cm. al girar sobre el eje del rectángulo. V3 = volumen que engendran los dos cuartos de círculo de diámetro 3 cm. al girar sobre el eje del rectángulo. V4 = volumen que engendra el tramo recto de 6 cm. al girar sobre el eje del rectángulo. V5 = volumen que engendra el cuarto de círculo de radio 6 cm. al girar sobre el eje del rectángulo. V6 = volumen que engendra el triángulo formado por el tramo recto y el lado del rectángulo al girar sobre el eje del rectángulo. Habitualmente el profesor suele darnos la posibilidad de aplicar el teorema de Pappus-Guldin al cálculo de volúmenes de objetos con simetría de revolución, que es lo que haremos en este caso. El volumen total es V = V1 + V2 – V3 – V4 – V3 + V5 + V6. Calculemos cada volumen. Para ello usaremos la fórmula del teorema, que dice que el volumen engendrado por una superficie al girar alrededor de un eje es igual a la superficie multiplicada por la circunferencia que describe el centro de gravedad de ella al girar, V = S ∙ 2πrg, donde rg es la distancia del centro de gravedad al eje de rotación. Usaremos también la expresión de la coordenada del centro de gravedad de un semicírculo, igual a 4r/3π. V1: Cilindro. r = 5; h = 45; V = π r2 ∙ h = 1125π  cm3 V2: Semicírculo de diámetro 3 cm., r2 = 3/2. S2 = π r2 /2 = 9 π/8; rg = 5 + 4 ∙ (3/2)/3π = 5 + 2/π. V2 = 9π/8 ∙ 2π (5 + 2/π) = 45 π2/4 + 9 π/2 cm3. V3: Dos cuartos de círculo de diámetro 3 cm., r3 = 3/2. S3 = π r32/2 = 9 π/8; rg3 = 5 – 4 ∙ (3/2)/3π = 5 – 2/π. V3 = 9 π /8 ∙ 2 π (5 – 2/ π) = 45 π2/4 – 9 π /2 cm3. V4: Rectángulo. S4 = 6 ∙ 3/2 = 9; rg4 = 5 – 3/4 = 17/4. V4 = 9 ∙ 2 π (17/4) = 153 π/2 cm3. V5: Cuarto de círculo de radio 6 cm., r5 = 6. S5 = π r52/4 = 9 π; rg5 = 5 + 4 ∙ 6/3π = 5 + 8/π. V5 = 9 π ∙ 2 π (5 + 8/π) = 90 π2 – 144 π cm3. V6: Triángulo. S6 = 27 ∙ 6/2 = 81; rg6 = 5 + 6/3 = 7. V6 = 81 ∙ 2 π  ∙ 7  = 1134 π cm3. Sumamos V = V1 + V2 – V3 – V4 – V3 + V5 + V6 = 4095 π /2 + 90 π2 cm3 O lo que es lo mismo, aproximadamente, unos 7.320 cm3, algo más de siete litros. La solución propuesta por Marta Pérez (la que pensé yo), era aproximar (por interpolación, por ejemplo) el perfil mediante una función r(x), y utilizar la expresión V = π(r(x))2 dx M – 7.- De lo indicado en el texto, es evidente que se está refiriendo a un cuadro. Éstos son en general, rectangulares, así que están indicándonos que el cuadro es un rectángulo perfecto. Se llama rectángulo perfecto al que puede ser construido con cuadrados de diferentes tamaños. Así que hay que dar un rectángulo que pueda ser descompuesto en suma de 13 cuadrados de diferentes tamaños. La solución no es única, así que se admite cualquier descomposición que aproxime, más o menos, las dimensiones del cuadro de la película. Una solución podría ser la de la imagen (109 cm x 96 cm; tal y como se muestra el cuadro estaría tumbado). Los cuadrados tienen las dimensiones que se indican en la imagen (es decir, 57 sería un cuadrado de 57 x 57). Respecto a si es posible hacerlo con menos cuadrados la respuesta es afirmativa. El menor número de cuadrados que se pueden conseguir para hacer un rectángulo perfecto es 9 (más detalles en http://www.squaring.net/sq/sr/spsr/spsr.html). M – 8.- Sea x el número de libros que quedan tras la selección. El proceso de almacenaje en cajas que nos describen queda expresado en términos de congruencias del siguiente modo: x ≡ 3 mod 6 x ≡ 5 mod 7 x ≡ 0 mod 11 La tercera relación indica que x = 11k. Sustituyendo ese valor en las otras dos relaciones, se tiene que Como mcd(6, 7) = 1, entonces k = 3 + 42m, de donde x = 11k = 11(3 + 42m) = 33 + 462m Se dice que en la selección se eliminan más de 300 libros, por lo que x < 500. Los únicos valores entonces válidos serán x = 33 para m = 0, y x = 495 para m = 1. Como se dice que los dígitos son todos distintos, entonces la única solución será 495 libros. M – 9.- Sea V(t) el volumen de agua de la bañera en el instante t. Como la variación del volumen es proporcional a la cantidad de agua existente en cada momento, V’(t) = λ V(t), y V(0) = 350, V(4) = 315. Se trata de una sencilla ecuación diferencial de primer orden en variables separadas, así que dejando en un miembro las V y en el otro la constante λ, e integrando, se llega a que V(t) = α eλt Dando valores a t a partir de las condiciones iniciales, obtenemos las constantes α y λ: Para t = 0, 350 = α. Para t = 4, 315 = 350 e4λ Despejando λ, se tiene que V(t) = 350 (10/9)-t/4 . Después nos preguntan por el momento en que el volumen de agua es la mitad del inicial, esto es, 175 litros. Despejando t, se obtiene que eso sucede cuando t = ≈ 26.31 minutos Por tanto, el bañista no se percató de que el tapón estaba quitado ya que pidió a su interlocutor la toalla mucho antes (por lo que vemos en la película). M – 10.- Un sencillo ejercicio de probabilidades. Lo más sencillo es elaborar un diagrama con todas las posibilidades de elección, y de ahí calculas las probabilidades. Éstas finalmente son: a) p(tres hombres) = ≈ 0.1709.... b) p(dos hombres y una mujer) = ≈ 0.4395.... Son, respectivamente, las probabilidades de elegir Hombre – Hombre – Mujer, Hombre – Mujer – Hombre y Mujer – Hombre – Hombre. Nótese que las tres son idénticas. Esto podría deducirse a priori. Dos hombres y una mujer pueden distribuirse de tres formas diferentes, por lo que bastaría con haber hecho 3 () c) p(al menos un hombre) = 1 – = ≈ 0.9328.... d) Podemos resolver este apartado al menos de dos modos distintos. Por un lado, si las dos primeras elecciones fueron dos hombres, entonces para la tercera persona se selecciona entre 12 mujeres y 14 hombres. En ese caso la probabilidad de que la siguiente sea mujer será p = 12/26 = 6/13 ≈ 0.4615.... Si echamos mano de la probabilidad condicionada, utilizando la notación Mi ≡ Mujer en el lugar i-ésimo Hj ≡ Hombre en el lugar j-ésimo entonces, p(M3 / H1 H2) = = 6/13 Si nos fijamos un poco en la simplificación final, podemos observar que en realidad hacerlo mediante este segundo método no es apenas significativo en este caso (los dos primeros factores desaparecen, quedando únicamente el tercero, lo que sugiere que el procedimiento no aporta nada y que lo que hay que hacer es razonarlo de la primera manera). M – 11.- Construimos un grafo con los datos del problema. Tendrá 7 vértices, uno por cada una de las cinco salas más los correspondientes al pasillo y al exterior del museo. Las aristas corresponderán a las puertas, por lo que el grafo no será simple. Un recorrido por el apartamento pasando una vez por cada puerta y volviendo al punto de partida es un camino euleriano cerrado en el grafo. Pero éste tiene dos vértices de grado impar, por lo que tal recorrido no es posible. Si se duplica la arista B-Pasillo (son los dos vértices de grado impar), se obtiene un nuevo grafo G* que sí es euleriano. Un camino euleriano cerrado en este grafo, que empiece y termine en el exterior podría ser entonces así: Ext. – A – Pas. – A – B – Pas. – B – C – D – E – Pas. – E – Ext. y este recorrido es el que nos piden en la segunda parte, pues sólo se repite el paso por la puerta que comunica la sala B con el pasillo. M – 12.- El grafo que se debe considerar ahora es el que resulta de suprimir el vértice exterior en el grafo G. El mínimo número de colores necesarios para pintar las salas y el pasillo es el número cromático de este nuevo grafo. Este grafo contiene triángulos y admite una 3-coloración, luego dicho número cromático es 3. Una 3-coloración del grafo simple asociado se muestra en la imagen. Una explicación menos “técnica” (y seguramente más entendible por un mayor número de lectores), nos la proporciona uno de los concursantes, Francisco Pi: “Fijémonos en el punto en que coinciden los límites de las habitaciones A, B y el pasillo. Los tres pares que se pueden formar entre estos tres recintos están comunicados por puertas. Si utilizo solo dos colores, es obvio (principio del palomar) que habrá dos recintos pintados del mismo color. Y como todos los pares están comunicados por puertas, ya no cumpliría el enunciado. No es posible con solo dos colores”. Para tres, adjunta una posible coloración (la misma puesta arriba). M – 13.- El resultado de la operación es 1944, año de estreno de la película buscada. La razón por la que da ese resultado sin realizar “demasiadas operaciones”, es la siguiente: si hacemos que 2016 = x, entonces la fracción queda de este modo que factorizada y simplificada resulta sencillamente x. O sea que queda 2016 (1 – (1/28))  = 1944. Cuestiones sobre cine C – 1.- Películas en las que no se sabe al final que ha sucedido: dos clásicos son El sueño eterno (The big sleep, Howard Hawks, EE. UU., 1946) y Rashomon (Akira Kurosawa, Japón, 1950). culas en las que el crimen quede impune: ha sucedido: Los concursantes han aportado además los siguientes títulos: Los invitados (Víctor Alcázar, España, 1987), Sospechosos Habituales (The Usual Suspects, Bryan Singer, EE. UU., 1995), Minority Report (Steven Spielberg, EE. UU., 2002), Última llamada (Phone Booth, Joel Schumacher, EE. UU., 2002), Zodiac (Zodiac, David Fincher, EE. UU., 2007), La cinta blanca (Das weiße Band - Eine deutsche Kindergeschichte, Michael Haneke, Austria/Alemania/Francia/Italia, 2009), La Granja (Tannöd, Bettina Oberli, Suiza, 2009), El profesor Layton y la Diva Eterna (Masakazu Hashimoto, Japón, 2009). Novelas en las que no se sabe al final que ha sucedido: En este caso sirven muchas de las películas anteriormente citadas, ya que éstas suelen basarse en sus homólogos relatos, novelas, ensayos, etc. Así los concursantes han venido refiriéndose en este apartado también a El sueño eterno, de Raymond Chandler (publicado en 1939), Minority Report, relato de Philip K. Dick (publicado en 1956), Los invitados, novela homónima de Alfonso Grosso publicada en 1975, Zodiac: El asesino del zodiaco, de Robert Graysmith (publicado en versión original en 1986),  Tannöd, el lugar del crimen, novela de Andrea Maria Schenkel (2008). Entre aquellos que no se han llevado al cine (que yo sepa) se han citado El barril de amontillado, cuento de Edgar Allan Poe publicado en 1846. Películas en las que el crimen quede impune: Hay bastantes, sobre todo me viene a la cabeza las que tienen que ver con juicios. Por ejemplo, Testigo de Cargo (Witness for the Prosecution, Billy Wilder, EE. UU., 1957), y muchas de las dirigidas por Sidney Lumet, como 12 hombres sin piedad (Twelve Angry Men, EE. UU., 1957) o Veredicto Final (The Verdict, EE. UU., 1982), entre otras. Los concursantes añaden El secreto de la pirámide (Young Sherlock Holmes, Barry Levinson, EE. UU., 1985), El silencio de los corderos (The Silence of the Lambs, Jonathan Demme, EE. UU., 1991), Sommersby (Jon Amiel, EE. UU., 1993), Ocean's Eleven: Hagan juego (Ocean’s Eleven, Steven Soderbergh, EE. UU., 2001), Saw (James Wan, EE. UU., 2004), Fast & Furious 5 (Justin Lin, EE. UU., 2011). C – 2.- En Moebius (Gustavo Mosquera, Argentina, 1996), el ingeniero responsable de las obras del metro le da al protagonista un juego, comentándole que “Potencia la creatividad”. Los concursantes por su parte han señalado la presencia del cubo de Rubik en En busca de la felicidad (The Pursuit of Happyness, Gabriele Muccino, EE. UU., 2006), Perdita Durango (Álex de la Iglesia, España, 1997), Drive (Nicolas Winding Refn, EE. UU., 2011), Gravity (Alfonso Cuarón, EE. UU., 2013), Plan de escape (Escape plan, Mikael Håfström, EE. UU., 2013) (en esta aparecen también otros rompecabezas de madera), o Hal (Haru, Ryoutarou Makihara, Japón, 2013). En la imagen, otra conocida película en la que aparece. También se ha mencionado las torres de Hanoi en El origen del planeta de los simios (Rise of the Planet of the Apes, Rupert Wyatt, EE. UU., 2011). Se ha citado El motín del Caine, recordando cómo Humphrey Bogart movía compulsivamente unas bolas metálicas (la expresión “bolas chinas” se refiere a otra cosa, por cierto). Esta no la podemos dar por válida ya que en realidad no es un juego ni rompecabezas concreto. El protagonista mueve esas bolas como podía morderse las uñas, o arañarse, como tic de su desquiciada mente. C – 3.- El reloj es regalo de Waldo a la protagonista. Él tiene otro exactamente igual en su casa. Y es fundamental en el desarrollo de la trama porque es en ese reloj donde guarda algo importante. C – 4.- En Sólo ante el peligro (High Noon, Fred Zinnemann, EE. UU., 1952) la película transcurre a la vez que la acción. El paso del tiempo, marcado por diversos relojes, se convierte en uno de los protagonistas, marcando la implacable e inevitable cuenta atrás. También el reloj es protagonista en El extraño (The Stranger, Orson Welles, EE. UU., 1946), El reloj asesino (The Big Clock, John Farrow, EE. UU., 1948), en todas aquellas películas en las que hay viajes en el tiempo (El tiempo en sus manos, la saga Regreso al Futuro, Atrapado en el tiempo, etc.), el reloj carillón de La muerte tenía un precio (Per qualche dollaro in più, Sergio Leone, Italia, 1965). Los concursantes han propuesto, entre otras además de alguna de las mencionadas, las siguientes: Tiempos modernos (Modern Times, Charles Chaplin, EE. UU., 1936), Sed de mal (Touch of Evil, Orson Welles, EE. UU., 1958) (reloj bomba al inicio de la película), Atraco a las 3 (José María Forqué, España, 1962), El tren de las 3:10 (3:10 to Yuma, Delmer Daves, EE. UU., 1957), El hombre mosca (Safety Last!, Fred C. Newmeyer, Sam Taylor, EE. UU., 1923), Matar un ruiseñor (To Kill a Mockingbird, Robert Mulligan, EE. UU., 1962), El gran salto (The Hudsucker Proxy, Joel y Ethan Coen, EE. UU., 1994), las diferentes versiones de Alicia en el país de las maravillas, etc. C – 5.- Se trata de un cuadro. Cuadros como en El retrato de Dorian Gray (The Picture of Dorian Gray, Albert Lewin, EE. UU., 1945), La mujer del cuadro (The Woman in the Window, Fritz Lang EE. UU., 1944), Las dos señoras Carroll (The two Mrs. Carroll, Peter Godfrey, EE. UU., 1947), Jennie (Portrait of Jennie, William Dieterle, EE. UU., 1948), Pasos en la niebla (Footsteps in the Fog, Arthur Lubin, Reino Unido, 1955), Vértigo (De entre los muertos) (Vertigo, Alfred Hitchcock, EE. UU., 1958).  Recientemente, La dama de oro (Woman in Gold, Simon Curtis, Reino Unido, 2015) también gira en torno a un famoso cuadro, en este caso la lucha por su recuperación tras el expolio nazi durante la II Guerra Mundial. C – 6.- El retrato de Laura, que además de la película que nos ocupa, aparece en las películas En la Costa Azul (On the Riviera, Walter Lang, EE. UU., 1951) y El mundo es de las mujeres (Woman’s World, Jean Negulesco, EE. UU., 1954). La primera también la protagoniza Gene Tierney, y la segunda Clifton Webb. Como curiosidad decir que en realidad no es un retrato sino una fotografía ampliada que posteriormente se repasó cuidadosamente al óleo tratando de lograr un aire de etereidad. Clifton Webb, no era demasiado apreciado en Hollywood al que consideraban un exigente y decadente snob. Además era homosexual y tenía un estilo afectado que podría transmitir a la pantalla y quitar credibilidad a sus personajes. No trabajaba en el cine desde 1925 (la mayor parte de su carrera fue en el teatro), y fue una apuesta personal del director Otto Preminger. A partir de este papel, logró hacerse un sitio en la gran pantalla con papeles muy similares (por curiosidad, echen un vistazo a su siguiente película, Envuelto en la sombra (The dark corner, Henry Hathaway, EE. UU., 1946)), entre los que destaca El filo de la navaja o su caracterización de Mr. Belvedere en Niñera moderna, Mr. Belvedere estudiante y El genio se divierte. Y una curiosidad final: Gene Tierney y Clifton Webb nacieron el mismo día (de distintos años, obviamente). C – 7.- Casi todos los concursantes dan los mismos ejemplos. (¡¡Ay, Marilyn, cómo te recuerdan!!). En La tentación vive arriba (The Seven Year Itch, Billy Wilder, EE. UU., 1955), Marilyn Monroe se pone sobre una rejilla de ventilación del metro de Nueva York para refrescarse. También metía las bragas (con perdón) en el frigorífico antes de ponérselas. Por otro lado, en las tórridas noches madrileñas, Carmen Maura pide que la rieguen en plena calle (La ley del deseo, Pedro Almodóvar, España, 1987). En La ventana indiscreta (Rear Window, Alfred Hitchcock, EE. UU., 1954), los protagonistas abren las ventanas de par en par para intentar refrescarse. También hace bastante calor en La gata sobre el tejado de zinc (Cat on a Hot Tin Roof, Richard Brooks, EE. UU., 1958), y se combate el calor a base de ropa ligera (aunque bebiendo whisky a la vez no sé si el efecto servirá). Temperaturas altas (por diferentes razones) las padecen también los protagonistas de Fuego en el Cuerpo (Body Heat, Lawrence Kasdan, EE. UU., 1981) que tratan de paliar (no parece que lo logren) a base de añadir cubitos de hielo a la bañera en la que descansan,...., cuando pueden. C – 8.- Son muchos. Entre los más llamativos están la pitillera que Laura regala a Shelby y que luego éste vende, las llaves de la casa de campo, la botella de whisky barato, los objetos personales de Laura (perfume, cartas, diario...) C – 9.- La novela original fue escrita por Vera Caspary (1899 – 1987), autora de dieciocho novelas, cuatro obras de teatro y diez guiones de películas. Era especialista en relatos de asesinatos. En la actualidad, el escritor James Ellroy (autor, entre otras obras de L. A. Confidential) pretende rescribir la obra, manteniendo la trama principal aunque trasladándola a Londres y con la presencia de Scotland Yard. Al parecer el asesinato de Laura Hunt le recuerda al de su propia madre, Geneva, y por extensión al de La dalia Negra (otra de sus obras). Respecto a los actores actuales a los que los concursantes han elegido como posibles para la nueva versión del proyecto del remake de la película, éstos han sido: Para Laura, Scarlett Johansson y Nicole Kidman, como detective a Gary Oldman y George Clooney, como Waldo a William H. Macy y Jim Carrey, finalmente como Shelby Carpenter a John Leguizamo y Christian Bale. Propuestas muy diferentes. Ya comprobaremos si los productores tendrán la misma idea.... C – 10.- Evidentemente la película es Laura (Otto Preminger, EE. UU., 1944), y haya gustado o no, es una gran película. Según uno de esos rankings a los que tan aficionados son los anglosajones, es la película nº 288 entre las 1001 que hay que ver antes de morir. La crítica la da en general del 8 en adelante en un baremo hasta 10 (suelen tener más razones objetivas que los espectadores para otorgar una calificación, pero también es un parámetro relativo). Lo que queda fuera de toda duda es que es una de esas películas de la época dorada del cine norteamericano, con un buen guión, una buena interpretación y una excelente dirección. Puntuaciones de los Concursantes Como cada año, las distancias son mínimas (lo cual dice mucho a favor de los participantes; enhorabuena a todos, y también a quienes lo hayan intentado y finalmente no se hayan atrevido a mandar sus respuestas), las puntuaciones altas, y la fidelidad encomiable (en esta ocasión han habido nuevos participantes, incluyendo la ganadora; bienvenidos): Marta Pérez ......................         198 Francisco Pi Martínez ..........          192 Pablo Palacio Puente ............          178 Celso de Frutos de Nicolás .....          168 Andrés Mateo Piñol ..............          163 David Jordán Casals .............          141 En unos días recibiréis un correo electrónico (no sé si todos o sólo los primeros, depende de las existencias de regalos), para que nos facilitéis una dirección postal a la que enviaros el obsequio. Muchas Gracias por vuestra participación.

Viernes, 09 de Septiembre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

110. 111. CONCURSO DEL VERANO DE 2016

Fieles a la cita, una nueva edición de este esperado cuestionario matemático-cinéfilo. Os deseamos unas vacaciones estupendas, allá donde cada uno haya decidido disfrutarlas, y si tenéis un rato, esperamos que disfrutéis con esta propuesta. El objeto de este concurso es sencillo: averiguar, a partir de las pistas que se dan, el título de una película (o películas), oculta entre las pistas (diálogos, imágenes, problemas, etc.), además de responder una serie de cuestiones planteadas (unas de tipo matemático, las de color rojo; otras de tipo cultural, básicamente cinematográfico, las azules). Cada cuestión tiene una valoración que se indica al final. Quien mayor puntuación alcance será el ganador, al que la dirección de DivulgaMAT le hará llegar algún obsequio (se suele premiar a los tres primeros, aunque depende de las existencias de obsequios). Se intenta (no siempre se logra) plantear cuestiones de todos los niveles (sencillas, medias, difíciles), pero como nadie sabe a que categoría pertenece cada una (además de que la dificultad de algo siempre es un concepto subjetivo), ninguna a priori debería evitarse. Y por supuesto, descubrir (o revisar) títulos destacados de la Historia del Cine. CONCURSO Muchas veces los pequeños detalles determinan hechos relevantes. Los escritores más populares de novelas de misterio han exprimido esta circunstancia hasta límites realmente inverosímiles (Sherlock Holmes, Hercules Poirot, Miss Marple, etc.), lo cual no se corresponde en demasiadas ocasiones con la realidad, si bien la policía, cuando investiga algún delito, tiene un grupo de especialistas que toman fotos, recogen objetos, toman huellas, y analizan un montón de detalles y objetos, que puedan ayudar a resolver el asunto que se traigan entre manos. En el cine, en la literatura, siempre se descubre qué ha pasado, a diferencia de la realidad, en la que por mucho que se nos haya inculcado aquello de que no hay crimen perfecto, lo cierto es que un alto porcentaje de los casos no se resuelven. Menudo chasco nos llevaríamos si después de leer un montón de páginas de un libro, o aguantar (o disfrutar, si está bien hecha) hora y media de película, al final, no se nos descubre qué pasó. Aunque ejemplos los hay, ¿no? (C – 1) En la película de este año hay muchos objetos cotidianos que no son sólo parte del atrezzo, sino que cada uno tiene su importancia y proporciona algún dato que permite al investigador desentrañar al autor del crimen (Nunca me preocupo por los detalles, afirma en un diálogo), aunque como en otras muchas ocasiones, la deducción llega in extremis, a punto de que logre su propósito inicial. Echemos un vistazo a algunos de ellos. Hace algunos años (sigue habiendo), eran bastante populares unos juegos de bolitas, que hay que encajar en unos agujeritos o pequeñas hendiduras que están sobre un dibujo, a base de paciencia y sobre todo cierta motricidad para no hacer movimientos bruscos que hagan salir las bolitas ya colocadas. Normalmente contenían tres o cuatro bolas, y son un buen entretenimiento. En la película que nos ocupa, uno de los protagonistas utiliza el de la imagen, mientras otra persona le habla. Ésta siente que no le está haciendo todo el caso que merece, a lo que el que lo está manejando, sin despegar la vista del mismo (como si de un juego de móvil actual fuera) comenta que Requiere mucho control. (C – 2) Supongamos que tenemos un cajita similar tal que la superficie en la que se mueven las bolas (es decir el interior del juego), es un rectángulo ABCD con AD < AB. Hay tres agujeritos E, F y G en los que encajar las bolas, y se trata de indicar dónde se encuentran. Para ello sabemos que AFCE es un rombo, que AB = 12, BC = 8, y que G se encuentra sobre la diagonal AC a una longitud igual a EF desde el vértice A. (M – 1, M – 2, M – 3) Observamos a la izquierda otro objeto que también aparece en muchas películas. Un reloj. ¿Cómo iba a faltar un reloj? En este caso hay dos idénticos, aunque sólo veamos uno. (C – 3) Su dueño, una persona culta, un poco pedante y bastante repelente (salvo con quien le da la gana, claro), puso en hora los dos relojes al mismo tiempo, y se encontró que uno de ellos iba dos minutos por hora demasiado lento y el otro un minuto por hora demasiado rápido. Posteriormente, en otro momento, comprobó que el más rápido estaba exactamente una hora por delante del otro. ¿Cuándo tuvo lugar esa comprobación? (M – 4) Por otro lado, vemos que el reloj marca una hora pasadas las once. ¿Qué hora exacta es sabiendo que las agujas de las horas y de los minutos se encuentran a la misma distancia del guarismo de las nueve (que en este caso está en número romanos, IX)? (M – 5) (C – 4) Otro de los muchos objetos existentes en el apartamento donde se ha cometido un crimen (no lo había dicho, pero, en efecto, se está investigando un asesinato y el rostro de la persona asesinada apenas puede distinguirse pues recibió el impacto directo de algunos cartuchos de escopeta) es el jarrón que se ve a la derecha (M – 6). Son tantos los objetos artísticos que hay en el apartamento que un familiar directo de la persona asesinada pretende llamar a un marchante de arte para que haga un inventario de los mismos, aunque hay algunos que reclama otra persona, entre ellos este jarrón, dado su valor. Aunque sin duda, cuando alguien está pensando en arte, hay un objeto que fascina, que llega a trascender el tiempo. En ocasiones, lo que sugiere puede hacer perder la razón del espectador al observar algo o alguien muy deseado que puede no existir ya o no haberlo hecho nunca (C – 5). En nuestro caso, el investigador tratará de adquirir ese objeto, que contempla cada vez que tiene ocasión, quedándose largo tiempo admirándolo. Y se da cuenta de que es perfecto, no sólo por su contenido, sino en sus dimensiones (M – 7) Tampoco falta una magnífica colección de libros, unos 800, aunque no todos de interés. Tras una primera selección en la que se eliminan más de 300, pretenden almacenarlos todos en cajas de la misma capacidad y de modo que todas estén completas, para que no se extravíe ninguno. En principio se eligen cajas en los que caben 6 libros, pero sobran 3, de modo que se buscan cajas más grandes en las que caben exactamente 7 libros en cada una. Como en esta ocasión sobran 5 libros, se busca un tamaño aún mayor, que permiten guardar 11 libros en cada una, y en esta ocasión no queda fuera ninguno. ¿Cuántos libros quedaron exactamente tras la selección, sabiendo que la cifra final no tiene ningún dígito repetido? Por supuesto esta escena tan doméstica, no aparece en la película. (M – 8) En estos meses de julio y agosto, tendremos días en los que pasaremos mucho calor. Esto ocurre también en la película enigma que andamos buscando. Cada cual combate el sofoco como puede (C – 7). En este caso, un conocido escritor y cronista radiofónico de los ecos de sociedad, trabaja sumergido en una bañera instalada en su cuarto de trabajo, y recibe allí a sus invitados. Y ya se sabe lo que sucede a veces cuando uno está mucho tiempo en una bañera: el agua se puede ir filtrando por el desagüe si el tapón no ajusta bien, e incluso se puede, sin querer, mover el tapón. Suponiendo que la bañera de la película tuviera 350 litros de agua cuando su dueño está dentro, que se vacía proporcionalmente a la cantidad de agua existente, y que al cabo de 4 minutos de “amigable” conversación con una visita, se ha marchado un 10% de agua, ¿en qué momento el bañista se daría cuenta de que se pierde agua, suponiendo que esto sucediera cuando el nivel llegara a la mitad de la capacidad inicial? ¿Se dio cuenta en ese momento? (M – 9) Como en toda intriga que se precie hay un montón de sospechosos, cada uno con sus propios motivos. Hasta el investigador actúa en algún momento de un modo un tanto sospechoso. Varios de ellos coinciden en una fiesta de sociedad organizada por un familiar de la persona supuestamente asesinada. Allí se reúnen 12 mujeres y 16 hombres, sin contar los sirvientes. En un momento dado se tiene que elegir a tres personas para un determinado juego. Averiguar la probabilidad de que a) los tres sean hombres. b) haya exactamente dos hombres y una mujer. c) haya al menos un hombre d) la tercera elegida sea una mujer si los dos anteriores fueron hombres (M – 10). El apartamento donde apareció el cadáver tiene una estructura parecida a la que se muestra en la figura. a) ¿Existe alguna forma de recorrerlo de modo que se pase por cada puerta sólo una vez y se vuelva al punto de partida? Si es así, trazar el recorrido, y en caso negativo, trazar un recorrido que empiece y termine en el exterior, en el que exista un mínimo número de puertas por las que haya que pasar dos veces. (M – 11) b) Si se deseara pintar las habitaciones y el pasillo de modo que dos recintos comunicados por puertas tengan colores distintos, ¿cuál es el mínimo número de colores necesario? (M – 12) Como dijimos al principio, hay un montón de objetos cotidianos que resultan importantes en algún momento de la trama. Indicar alguno que no se haya dicho anteriormente y la razón de su relevancia (C – 8). Finalmente, quizá esta fracción pueda proporcionar alguna pista más sobre la película que andamos buscando (o quizá no, ¿quién sabe?) (M – 13) Actualmente se está planteando un remake de esta película. ¿De qué escritor se trata? ¿Qué oscura razón podría animarle a llevar a cabo este proyecto? ¿Qué cambios habría respecto a la versión original? ¿A qué actores actuales elegirías para dar el papel de cada uno de los protagonistas? (C – 9). Cuestiones M – 1.- Dar las coordenadas de los puntos E, F y G. M – 2.- ¿Percibes algo “raro” o singular en el ejercicio anterior? M – 3.- Si en lugar de datos numéricos, ponemos que AB = x, BC = y, y tuviéramos a E y F sobre los lados AB y CD, encontrar expresiones generales para el lado del rombo y la distancia entre los agujeritos E y F. M – 4.- Resolver la cuestión. M – 5.- Resolver la cuestión. M – 6.- Si la altura del jarrón es de 45 cm., calcular su volumen del modo más preciso posible. M – 7.- Encontrar las dimensiones del objeto, sabiendo que se puede descomponer en exactamente 13 cuadrados perfectos. ¿Se podría hacer una descomposición similar con menos cuadrados? M – 8.- ¿Cuántos libros se seleccionaron? M – 9.- Responder a las cuestiones planteadas. M – 10.- Calcular las probabilidades indicadas. M – 11.- Responder a las cuestión planteada. M – 12.- Responder a las cuestión planteada. M – 13.- No se trata sólo de averiguar el valor de esa fracción, que cualquiera puede dar con un ordenador o calculadora, sino indicar alguna razón por la qué da ese resultado (que obviamente no es hacer las operaciones que se indican). O dicho de otro modo, cómo lo resolveríamos sin mayor ayuda que un lápiz y un papel y sin efectuar todas las operaciones tal cuál están indicadas. C – 1.- Citar un par de películas y un par de novelas (la intersección no tiene porqué ser vacía) en las que al final no se sepa quién ha sido el culpable de algún acto delictivo, y otras dos películas en las que, conociéndose, quede impune. C – 2.- Aparte de la película que nos ocupa, ¿conoces alguna otra en la que algún protagonista “juegue” con algún rompecabezas similar (no sirven juegos electrónicos)? C – 3.- ¿Por qué? ¿Por qué es relevante este reloj en el desarrollo de la película? C – 4.- Citar media docena de películas en las que los relojes tengan cierta relevancia. C – 5.- ¿De que objeto hablamos? Citar al menos media docena de películas, excluyendo la presente, en las que suceda esto (no sirven diferentes versiones de la misma historia). C – 6.- Ese mismo objeto es utilizado como atrezzo en otras dos películas diferentes, y en una de ellas, uno de los actores de la que nos ocupa, es protagonista también. ¿De qué películas hablamos, quien es ese actor, y que tenía de particular para que no fuera demasiado apreciado en Hollywood? C – 7.- Recordar tres procedimientos diferentes (de tres películas distintas, sin incluir la que buscamos) para paliar el calor sofocante por parte de sus protagonistas. C – 8.- Objeto y relevancia en el argumento. C – 9.- Responder a las cuestiones planteadas. C – 10.- Y la cuestión final: ¿Cuál es el título de la película? ¿La conocías? ¿Qué te ha parecido? Baremo: Todas las cuestiones tanto las rojas (las matemáticas) como las azules (cine y demás) se valorarán con 10 puntos. En total, 230 puntos en juego, creo. Todo comentario, sugerencia, queja, etc., será bien recibido. Si no salen algunas cosas, no importa; lo que cuenta es tratar de pasar un buen rato, disfrutar de películas (que el verano da para mucho), y mantener las neuronas un poco activas. P.D.: Espero que no haya ningún error en las cuestiones. Se han repasado varias veces, pero algunas, al ser inventadas o retocadas de otros enunciados, podrían tener alguna errata. Sed benévolos con vuestros calificativos si tal cosa sucediera. El plazo para enviar las respuestas, es como en años precedentes, hasta las 00:00 del jueves 1 de Septiembre, o las 23:59 del miércoles 31 de agosto de 2016, por si alguien tiene manía a los ceros, a la dirección alfonso@mat.uva.es , indicando en el asunto Verano 2016. ¡¡¡¡Buen Verano Cinematemático!!!!

Jueves, 16 de Junio de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico