1. 176. El drama personal de X

Un nuevo y reciente cortometraje con aspectos matemáticos como telón de fondo. Aunque pudiera parecer dirigido a público infantil, es probable que los adultos encuentren algún que otro “zasca” sobre la sociedad que han construido. Ficha Técnica: Título Original: Finding X. Nacionalidad: Australia, 2022. Dirección: Benjamin Zaugg. Guion: Toby Hendy. Música: Cassie To. Asesor Científico: Petr Lebedev. Asesor Literario: Dan Simpson. Producción: Toby Hendy y Cedric Scheerlinck. Duración: 11 min. Ficha artística: Intérpretes: Voz de Toby Hendy Argumento En el mundo de los números, la vida estaba claramente definida, las cosas bastante bien organizadas; todo el mundo conocía su valor numérico. Un día, sin embargo, todos los patrones se desbocaron al nacer x, a partir de una ecuación demasiado difícil de analizar. Según fue creciendo, x fue descubriendo como todos lo rechazaban, al no saber dónde encuadrarlo. Hasta que un día, harto de desprecios, decide ir a la busqueda de su identidad. Breve Comentario Encontrando a x es un simpático cortometraje, plagado de referencias matemáticas elementales (anímese el lector a localizarlas todas, que hay más de las que parecen tras un primer visionado), con mensaje (no solo matemático sino también humano, aplicable a todos los que por alguna razón se hayan sentido distintos o desplazados de su entorno social en alguna ocasión). En esta ocasión no voy a describir el argumento al pie de la letra, para que sea una sorpresa lo que podéis encontrar. Toby Hendy, el alma mater de este corto, tiene una destacada carrera con un montón de méritos. Se graduó en matemáticas y física por la Universidad de Canterbury (Nueva Zelanda), logrando una beca de astronomía Aurora que le permitió pasar largas temporadas entre semestres en el Observatorio de la Universidad de Monte John en Tekapo, además de diferentes estancias en la Universidad de California en Los Angeles (concretamente en el laboratorio de Propulsión a Chorro de la NASA), en el Observatorio Macdonald de Texas, en la Universidad de Columbia Británica, en el Observatorio NRC (National Research Council) Victoria en Canadá y en el telescopio CHFT (siglas de Canada, Francia, Hawái) en Hawaii. Posteriormente se doctoró en la Universidad Nacional de Australia, en Canberra, con un tesis titulada “Examen de la respuesta mecánica de la Arabidopsis thaliana usando nanoindentación y modelado de elementos finitos”, con una calificación ciertamente sobresaliente (93 puntos de 100 posibles). Paralelamente, participó en el certamen Famelab de divulgación científica de su país quedando en un digno segundo lugar. Esto la animó a comenzar una segunda carrera como Youtuber científica. En la actualidad tiene un canal propio con más de 100000 suscriptores, y ha dejado un poco de lado la parte academica formal para dedicarse de lleno a la comunicación con un montón de trabajos y experiencias positivas (colaboración con Vsauce3, Physics Girl, Cody'sLab, Andrew Dotson, Flammable Maths, Up and Atom, Knowing Better, RiverTechJess y Science Petr). Ha realizado videos sobre exámenes difíciles de todo el mundo, explicando conceptos matemáticos sobre una pizarra junto a otros de historia de la ciencia. Volviendo al corto, aunque la realización parezca muy sencilla, se han empleado diferentes técnicas en su elaboración. Entre ellas, se han hecho cientos de fotografias, así como la inclusión de elementos de stop-motion y de animación digital. El cortometraje puede verse integramentte (y subtitulado en español; ojo con alguna palabra, como cuadratura por cuadratics, que se refiere a las ecuaciones de segundo grado, no a la cuadratura, o línea de números en vez de recta real) en este enlace.  La página principal del mismo es https://findingxfilm.com/, donde se puede ampliar la información sobre la autora y sobre todo disfrutar con otro trabajos, como el que describe la trayectoria profesional de Terence Tao, realmente interesante (éste no está traducido). Os dejo un par de imágenes del corto, en el que seguro localizareis algunos elementos matemáticos curiosos. Disfrutad del corto, y sobre todo pensad en su conclusión, sobre el verdadero significado de las matemáticas. ¡¡Felices Navidades para todos!!

Miércoles, 07 de Diciembre de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

2. 175. Los Oscars® de las matemáticas (y II)

Las matemáticas han motivado procedimientos que, una vez implementados informáticamente, han generado potentes herramientas gráficas que han posibilitado la creación de animaciones espectaculares, logrando no sólo el favor del público. Los premios no se han hecho esperar. En la reseña pasada recordamos que PIXAR fue el primer estudio en realizar una película íntegramente con CGI (Computer Generated Images), Toy Story (Toy Story, John Lasseter, EE. UU., 1995). Partiendo de unos guiones gráficos elaborados por dibujantes al estilo clásico, posteriormente se digitalizaron con el software Avid Media Composer. En promedio se emplearon tres horas para concretar cada una de las 1560 tomas que constituyen la edición definitiva del largometraje, para las que se utilizaron 400 modelos matemáticos que tuvieron que instalarse en cada ordenador. Esta comenzó con el diseño tridimensional de los personajes con el programa informático Modeling Environment (Menv, en siglas). Cada toma era trabajada eventualmente por ocho equipos diferentes. El diseño de cada personaje se realizaba creando una escultura a escala en arcilla, que era digitalizada después mediante el software adecuado (como Polhemus 3 Space Digitizer, por ejemplo, que facilita su manejo tridimensional). Posteriormente, se diseñaron y configuraron los controles de articulación y movimiento de los personajes, a partir de las grabaciones de voz de los actores del reparto. El vaquero Woody resultó ser el más complejo, empleándose 723 controles de movimiento, de los que 212 eran exclusivamente para su rostro y 58 adicionales para su boca. Para sincronizar las voces de los actores con las bocas de los personajes, y que casaran con las expresiones faciales los animadores emplearon una semana. La fase siguiente, el sombreado, utilizó los programas Amazon, Adobe Photoshop y Unwrap, este último desarrollado por los ingenieros de Pixar, mientras que los efectos de iluminación se produjeron de forma similar a un filme con imágenes reales. Finalmente se realizó la renderización y edición con ayuda de software de RenderMan, Avid Technology y Sun, respectivamente. En total, se invirtieron 800000 horas por máquina para producir la película, y un promedio de 2 a 15 horas para renderizar cada toma. El metraje final se envió a Skywalker Sound, en donde se mezclaron los efectos de sonido con la banda sonora. En opinión de su director, John Lasseter, “En la animación computarizada, es fácil lograr que las cosas se muevan, pero es el trabajo minucioso el que hace que parezca real. Cada hoja de césped tuvo que ser creada desde cero. Además, todo ese universo debe parecer realista, y para ello, las puertas tiene que aparecer con golpes y el suelo ha de verse desgastado.”​ Estas nuevas técnicas de animación no han sustituido otras más tradicionales (se siguen produciendo películas al modo tradicional, otras con plastilina y stop motion, etc.), pero sí han captado la atención de los estudios de animación, al punto de que raro es aquel que no los utiliza en alguna de sus producciones. La segunda película, según los historiadores, íntegramente realizada mediante CGI fue HormigaZ (AntZ, Eric Darnell y Tim Johnson, EE. UU., 1998), producida por otro estudio diferente, DreamWorks Animation. Tras el éxito de Toy Story, nadie se quería quedar atrás, y DreamWorks contrató a la empresa Pacific Data Images (PDI) en Palo Alto, California, para tratar al menos de emular a Pixar. Dos fueron los retos no llevados a cabo nunca anteriormente que se plantearon para su película: recrear una escena con más de 10.000 caracteres animados individualmente en varias escenas de multitudes, y simular las propiedades del agua (crear un agua digital, en una inundación). Los fluidos y los gases, debido a su impredecible movimiento y evolución, son difíciles de reproducir verosímilmente en un ordenador. Hasta ese momento, el rodaje en el cine de escenas catastróficas que involucran los elementos de la Naturaleza (inundaciones, vadeo de ríos, salto de cascadas, naufragios, incendios, personas abrasándose, huracanes, etc.), siempre se había realizado mediante el diseño y la construcción de maquetas en las que se recreaba la situación, a veces a escala diferente (que posteriormente se magnificaba o reducía, dependiendo de la situación), a veces a escala real. En cualquier caso, el coste de producción de estas simulaciones era alto (y el riesgo a los accidentes), y en determinados casos (los primeros mencionados, sobre todo) el truco puede notarse en la visualización, lo que perjudica notablemente el resultado final (recuérdense películas como Superman (Richard Donner, EE. UU., 1978), o la pobre impresión que transmiten los hoy artesanos efectos animatrónicos de Ray Harryhausen). Gracias a la informática, y al software desarrollado (detrás del que están ineludiblemente las matemáticas) se han mejorado enormemente los efectos especiales. El segundo de los retos mencionados (la simulación de una inundación) se consiguió recurriendo a las ecuaciones de Navier-Stokes, formuladas independientemente por Claude-Louis Navier en 1822 y George Gabriel Stokes en 1842. Estas ecuaciones modelizan el movimiento de los fluidos incompresibles (aquellos cuya densidad permanece constante con el tiempo y se oponen a la compresión, es decir, ni la masa ni el volumen pueden modificarse; aunque todos los fluidos son compresibles en mayor o menor medida, para simplificar las ecuaciones, se suele considerar que todos los líquidos son incompresibles). Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido, resultando un conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales (ver imagen). Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas, el flujo alrededor de vehículos, aeronaves o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos. El problema es que no se conoce una solución general para este conjunto de ecuaciones (ni siquiera una débil), y salvo para ciertos tipos de flujo y situaciones muy concretas no es posible hallar una solución analítica. Por ello en muchas ocasiones hay que recurrir al análisis numérico para determinar una solución aproximada, o sencillamente como realizó Nick Foster, ingeniero de software de AntZ, obviar algunos de los sumandos que aparecen en el sistema de ecuaciones ya que el espectador no va a percibir la diferencia visualmente. No es exactamente agua, pero se le parece mucho. Obviamente esta simplificación no puede hacerse al azar, ya que las características básicas del fluido deben ponerse de manifiesto. En el caso del agua, uno de los elementos visuales clave que debe permanecer es el de la rotación, o como se conoce en términos de la mecánica de fluidos, la vorticidad. Esta magnitud trata precisamente de cuantificar el grado de rotación de un fluido. En una corriente, bien sea de un líquido o de un gas, la vorticidad aparece siempre que el vector velocidad no sea constante a lo largo del recorrido, tanto por cambios en su módulo como en la dirección que sigue. Matemáticamente para modelizar ese giro dentro de un campo vectorial, se utiliza un operador clásico: el rotacional. El rotacional suele manejarse como el producto vectorial del gradiente por el campo (en el caso de fluidos, la vorticidad se designa por tanto por la expresión , donde es el campo vectorial que designa el movimiento). La ecuación que permite estudiar las variaciones de la vorticidad se obtiene aplicando el rotacional en las ecuaciones de Navier-Stokes. Todas estas consideraciones y conceptos físico-matemáticos, en absoluto elementales, fueron utilizadas en el ordenador para diseñar la inundación de AntZ. El resultado es realmente creíble: lo que vemos parece agua. Y gracias a ello, Nick Foster logró el Oscar® en 1998 (gala 78 delos premios) en la categoría de premios científicos y técnicos. PDI/DreamWorks cuenta con una plantilla de 15 programadores que dan soporte a aproximadamente 200 animadores gráficos. Lo habitual es que los programadores utilicen software comercial en su trabajo; DreamWorks en cambio usa herramientas escritas y desarrolladas por sus propios programadores, para modelar, deformar modelos, renderizar, deformar personajes, y todo tipo de efectos especiales. Y para efectuar cálculo matemático complejos recurren a Maple, según explica Shawn Neely, director senior de I+D de PDI/DreamWorks Neely. Entre las necesidades constantes de los animadores gráficos se encuentra el proceso de sombreado de los objetos que aparecen en la película. Cuando uno hace un dibujo, sabe perfectamente el nivel de sombra que debe dar a la imagen, y si no queda a su gusto, lo modifica manualmente. Sin embargo, hacerlo con el ordenador requiere de muchos cálculos, de muchas pruebas hasta decidir que el resultado es el deseado, que es realista. Esas pruebas (y esos cálculos, por tanto) no pueden hacerse a mano, porque son una cantidad muy grande, además de los posibles errores que una persona puede cometer. Un programa de cálculo de cierta potencia, como Maple en el caso de DreamWorks, es necesario. Shawn Neely lo explicaba mediante un ejemplo concreto: Por ejemplo, ahora estoy trabajando en un renderizador de volumen para un nuevo proyecto, en este caso, técnicas para proporcionar algo que parezca niebla. Los modelos tradicionales dan como resultado una salida que es simple y uniforme: obtienes niebla que aumenta en densidad a medida que la cámara se va alejando. Deseábamos algo que produjera efectos más sutiles: mechones, texturas, el tipo de detalle que diferencia lo extraordinario de lo ordinario. Queríamos hacer una integración directa y eficiente de estos efectos, de modo que tomamos un rayo en el espacio y calculamos la densidad de la niebla en función de los puntos extremos. Usé Maple para ayudarme a resolver algunos de estos problemas, y también resolví algunos casos límite relacionados con la aplicación”. Otro de los usos de Maple es “para generar expresiones en una forma que podemos compilar rápidamente en código C, y luego usamos nuestros propios programas para hacer la visualización". Por otra parte, según Neely, una de las cosas que ha consolidado el uso de Maple por parte de PDI/DreamWorks a largo plazo es el compromiso de Maplesoft con Linux en PC: “Hemos estado usando máquinas SGI que ejecutan Irix, por lo que nuestro desarrollo está basado en Unix", dice. "Nos gustaría seguir así; y como nuestra ruta de migración actual es incorporar más PC, Maple bajo Linux en PC tiene sentido. Otros paquetes no están disponibles o sólo están disponibles bajo Windows". La implementación de las matemáticas ha facilitado que el rodaje actual de este tipo de escenas sea más rápido, más eficiente (no hace falta ser un excelente y paciente dibujante), más económico, y con una imagen final más nítida y realista. No sólo en películas de animación. Muchos de los efectos de las películas de superhéroes de la factoría Marvel han incorporado este tipo de herramientas con unos resultados espectaculares (de hecho, uno de los méritos de los actores que participan en estas películas es mostrar naturalidad ante objetos y situaciones que no existen, que se han añadido en la sala de montaje, cuando en la mayor parte de los casos en todo el rodaje no han salido de una habitación). Desde aquellos años, otras películas han logrado el Oscar® u otros galardones, gracias al software y las ideas generadas por las matemáticas. Un último botón como nueva muestra: el cortometraje animado Bunny (Chris Wedge, EE. UU., 1998) también lo obtuvo en 1999. En este caso, lo produjo Blue Sky Studios, tercera compañía norteamericana destacada en animación en 3D. En este enlace puede visualizarse.

Miércoles, 09 de Noviembre de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

3. 174. Los Oscars® de las matemáticas (I)

Repasamos en esta reseña y en la del próximo mes, ejemplos, ambos en películas de animación, en los que las matemáticas han sido las responsables de merecer y conseguir el más preciado de los galardones del mundo cinematográfico: el Oscar® de Hollywood. Si preguntáramos, a modo de curiosidad, a personas elegidas al azar, qué le sugiere la palabra PIXAR, seguramente sólo acertarían a decirnos algo coherente algunos aficionados al cine, padres de niños menores de diez años y algún amante de los dibujos animados, menor de cuarenta años, probablemente. Sonsacando lo más aprovechable, nos dirían que se trata de un estudio cinematográfico de animación por ordenador subsidiario de Walt Disney Studios y propiedad de The Walt Disney Company, con sede en Emeryville, California, Estados Unidos. Seguramente también nos dirían que fueron los que sacaron las películas Disney de la ñoñería con que los sucesivos responsables de la empresa fueron encorsetándolas, tras la muerte de su fundador (ñoñería en algunos aspectos, como los insufribles números musicales, porque en otros no se cortaban un pelo si tenían que mostrar los más bajos instintos; en definitiva, la doble moral yanki de la que ya se ha hablado muchas veces). Lo cierto es que la aparición de estos estudios de animación, con técnicas distintas a las clásicas (No se le puede negar a Walt Disney sus innovaciones y avances en animación; invirtió mucho tiempo y dinero en su mejora, lo que no hicieron los herederos de su emporio) y argumentos más atractivos, revolucionaron este tipo de películas, además de atraer no sólo a públicos infantiles. Una de sus señas de identidad fue el diseño realista de personajes y fenómenos naturales por ordenador. Y para lograrlo necesitaron muchas matemáticas y muy novedosas. Así lo indican los responsables de efectos visuales en las numerosas charlas y conferencias que han impartido por todo el mundo. Pero no solo montando un par de presentaciones llamativas y epatantes, sino poniendo por delante artículos serios de investigación que además coloca la empresa a disposición libre de todo aquel que quiera acercarse a ellos en su página web. Si echáis un vistazo a alguno de ellos, como curiosidad simplemente, comprobareis que no los puede leer cualquiera, sino que hay matemáticas muy avanzadas detrás de ellos. Cuesta, al menos para el que esto escribe, tratar de explicar de manera sencilla lo que hay detrás de muchos de ellos. Lo intentaré con un par de conceptos que han desarrollado, simplificando mucho las cosas. Paralelamente, describiré la trayectoria del científico que logró con su primer trabajo para PIXAR la preciada estatuilla con un cortometraje: Tony DeRose. Tony DeRose es actualmente científico sénior y director del grupo de investigación de Pixar Animation Studios. Se licenció en Física en la Universidad de California, Davis, y se doctoró en Informática de la Universidad de California, Berkeley. Entre 1986 a 1995, DeRose fue profesor de informática e ingeniería en la Universidad de Washington, y trabajando en un grupo de investigación centrado en la representación de superficies y otros problemas geométricos motivados por gráficos por ordenador. En varias entrevistas y en las charlas que imparte, remarca que siempre le fascinó la parte aplicada de las matemáticas. Desde niño le apasionaba la capacidad de cálculo de las matemáticas, lo que podía saber y averiguar sin necesidad de medir físicamente las magnitudes o esperar a que se produjeran los experimentos. Al acabar sus estudios universitarios e iniciar los de posgrado comenta que se le presentaban dos opciones: tratar de mejorar 400 años de físicos brillantes, o quedarse esencialmente en la planta baja de los gráficos por ordenador, ya que prácticamente no se sabía nada del tema en aquel momento. Eligió esta segunda opción, trasladándose a Berkeley, incorporándose al equipo de Brian Barsky, que estaba trabajando en representaciones de superficies, splines, y cosas de ese estilo. Ahí fue donde encontró la belleza de hacer matemáticas constructivas, y los gráficos por ordenador fueron una forma de hacerlas visuales, tangibles. En aquel momento, muy cerca, literalmente en frente a su puesto de trabajo, George Lucas había contratado a Edwin Catmull para iniciar The Graphics Group, la división computacional de Lucasfilm que tras ser adquirido en 1986 por el co-fundador de Apple Computer, Steve Jobs, pasó a ser Pixar Animation Studios. Catmull se había graduado en la Universidad de Utah, doctorándose posteriormente en Ciencias de la Computación. Creó en 1972 el primer dibujo en animación 3D, una recreación de su propia mano izquierda. Quedó tan realista que fue aprovechada para la película Mundo futuro (Futureworld, Richard T. Heffron, EE. UU., 1976) (la secuela de la célebre Almas de metal (Westworld, Michael Crichton, EE. UU., 1973)). Catmull formaría parte del comité asesor en la tesis doctoral de DeRose. Catmull ha ganado cuatro Premios de la Academia por sus proezas técnicas y ha colaborado en crear algunos de los principales softwares de imágenes generadas por computadora en los que confían los animadores en la actualidad. Diez años después, ya siendo profesor en la Universidad de Washington, Ed Catmull propone a DeRose trabajar más estrechamente en gráficos después del enorme éxito obtenido por la película Toy Story (Toy Story, John Lasseter, EE. UU., 1995), primera producción en la historia de la animación totalmente realizada con CGI (Computer Generated Images). Catmull fue el diseñador del software de renderización de imágenes de la película, además de productor. Además del público y la crítica, técnicos y especialistas de todo tipo valoraron muy positivamente muchos aspectos de Toy Story. La historia enganchó al público, los personajes de juguete eran creíbles, convincentes, pero observaron que, cada vez que aparecía un ser humano en la pantalla, la cosa no cuadraba tan bien; de hecho, se apreciaban discordancias. Decidieron que uno de los objetivos en futuros trabajos debería ser mejorar la presencia de personas, tanto gráfica como argumentalmente. Y aquí es donde entró DeRose junto a un completo equipo de informáticos, ingenieros y matemáticos. Matemáticas pioneras En sus conferencias divulgativas, DeRose suele remarcar la importancia de las matemáticas en la concepción de este tipo de películas. "No debería sorprender en absoluto que las matemáticas desempeñen un papel relevante", comenta. “Las imágenes resultantes son todas digitales. Tres números definen cada píxel, uno para la cantidad de rojo, verde y azul. Todo lo que tenemos básicamente son números que representan posiciones de geometría y valores de grados de libertad, por lo que tiene que haber un gran cálculo en el camino". Hablemos de tres ideas, utilizadas en otros tantos apartados de animación de gráficos. La iluminación global de una escena implica simular cómo la luz rebota en un entorno: "Matemáticamente, dados dos puntos cualesquiera, pongamos y, z, es necesario calcular cuánta luz viaja desde y hacia z. Uno de los instrumentos utilizados para modelizar esta situación es la función de distribución de reflectancia bidireccional, fr (wi, wr) (BRDF, siglas en inglés). Fue definida hacia 1965 por el físico Fred Nicodemus, del siguiente modo fr (wi, wr) = En la imagen, tenemos sobre un punto situado en una superficie opaca, tres direcciones: wi indica la luz entrante desde la fuente de luz, wr es la luz reflejada y apunta hacia la cámara (o al espectador, en general) que recoge la luz percibida, y n indica la superficie normal. La función está definida como el cociente entre la variación de la radiancia L (potencia por unidad de ángulo sólido en la dirección de un rayo por unidad de área proyectada perpendicular al rayo) y la variación de la irradiancia E (potencia por unidad de superficie). Ese cálculo de la cantidad de luz entre dos puntos, hay que hacerlo para cada par de puntos en el entorno, que, al ser un espacio continuo, se convierte en una integral: la denominada ecuación de renderizado. En el enlace se accede a un artículo sobre esta ecuación de James T. Kajiya de 1986 en el que la aplica en la computación gráfica. Se trata de una ecuación integral que describe la cantidad total de luz emitida desde un punto a lo largo de una dirección de visualización particular, dada una función para la luz entrante y una función de distribución de reflectancia bidireccional. Básicamente, la luz saliente de cada punto es la suma de la luz emitida y la luz reflejada. Ésta última, la luz reflejada, es la suma de todas las direcciones de la luz entrante multiplicada por la reflexión superficial y el coseno del ángulo incidente. Lo que los ordenadores hacen es aproximar esa la ecuación integral mediante un conjunto de ecuaciones lineales. Hay una ecuación para cada punto de cada objeto que aparece en cada secuencia. De media, entre un millón y diez millones de puntos por cada cuadro de película. Estimen el número de ecuaciones total. Existen diferentes técnicas de representación realista para resolver este tipo de ecuaciones. Resolver la ecuación de renderizado para cualquier escena dada es el principal desafío en el renderizado realista. Un enfoque para hacerlo se basa en métodos de elementos finitos. Otro enfoque diferente utiliza los métodos Monte Carlo, dando lugar a muchos algoritmos diferentes. Por otra parte, aunque la ecuación de renderizado es muy general, no es capaz de contemplar todos los aspectos del reflejo de la luz. Entre sus limitaciones se encuentran los efectos no lineales, el efecto Doppler, la polarización, la fosforescencia, las interferencias, entre otras. Subdivisión de superficies Otro aspecto presente en la animación de gráficos por ordenador es la representación de superficies tridimensionales complejas de manera eficiente en un ordenador, preservando en la medida de lo posible la ilusión de suavidad. El modo más extendido ha sido la utilización de NURBS (B-splines racionales no uniformes). Pero un gran inconveniente de utilizar NURBS es el requisito de que las redes de control (el conjunto de puntos de control) tenga que ser una cuadrícula rectangular regular. Esa elección limita mucho el tipo de objetos que pueden representarse porque no existen procedimientos de refinado local de la superficie, dando lugar a abombamientos u otros defectos del dibujo final. Una alternativa es la técnica de las superficies de subdivisión, definidas como límite de un proceso de refinamiento infinito. Este método mejora muchas de las deficiencias de los NURBS. Por ejemplo, las imágenes que se muestran a continuación, a partir de una malla de control inicial, se pasa a un proceso de refinamiento mediante iteraciones. Las imágenes muestran el resultado con una etapa, dos y la final con un refinamiento infinito, respectivamente. Las superficies de subdivisión son fáciles de implementar, pueden modelar superficies de tipo topológico arbitrario y, como se ha indicado, la continuidad de la superficie se puede controlar localmente. Aunque las superficies de subdivisión se conocen desde hace quince años, su uso se ha visto obstaculizado por la falta de una forma cerrada: se definen solo como límite de un procedimiento infinito. La técnica de subdivisión de superficies se utilizó por primera vez en animación para crear el personaje de Geri en el cortometraje El juego de Geri (Geri's Game, Jan Pinkava, EE. UU., 1997), que le valió a Tony DeRose un Oscarâ de la Academia a los efectos visuales. En el enlace pueden contemplar el cortometraje al completo. Observen el realismo de los cambios de expresión del rostro del personaje. Como explica el propio DeRose, se trata de un proceso similar al control de los movimientos mediante cuerdas en las marionetas, sólo que aquí las cuerdas son digitales. Las cuerdas digitales sirven como controles de la animación, que permiten a los animadores definir todos los movimientos de los personajes, desde doblar un codo hasta levantar una ceja. En una marioneta física tenemos media docena, una docena de cuerdas a lo sumo; aquí se pueden controlar hasta 700, lo que da unos grados de libertad de movimientos impresionante. Imagínense una marioneta controlada por 700 cuerdas. Con eso es con lo que se trabaja gracias al ordenador y las matemáticas. Coordenadas armónicas Un tercer aspecto novedoso en las técnicas de animación mediante ordenador es la creación y el control de las deformaciones de volumen utilizadas para articular personajes. Para ello, los ingenieros de Pixar han recurrido a las coordenadas armónicas. Las coordenadas armónicas son una generalización de las coordenadas baricéntricas que se pueden extender a cualquier dimensión; describen cómo se mueven los puntos interiores dentro de polígonos en el plano o poliedros en el espacio. Las coordenadas baricéntricas son ternas de números (t1, t2, t3) que responden a masas situadas en los vértices de un triángulo de referencia. En la imagen tenemos las coordenadas baricéntricas (0.41, 0.3, 0.29). Una característica es que la suma de esos tres valores es la unidad, y que esas masas determinan entonces un punto P, que es el baricentro geométrico de las tres masas (de ahí su nombre). Las coordenadas baricéntricas fueron descubiertas por Möebius en 1827, y tiene muchas aplicaciones que el lector interesado puede consultar en cualquier texto de geometría afín. Sobre las coordenadas armónicas y su utilización en el modelo gráfico por ordenador puede verse este video de apenas seis minutos de duración (en inglés). Gracias a este tipo de coordenadas, los animadores reducen considerablemente el tiempo y el esfuerzo que dedican a mover los objetos. Una visita a Pixar in a box En un loable intento por promocionar las materias STEM relacionadas con el trabajo de los estudios Pixar, han incorporado a su página web, con la colaboración de un centro educativo, unas unidades básicas (con vídeos explicativos, ejercicios, animaciones, etc.) que explican lo que se necesita en la realización de una película. A esta sección la han llamado Pixar in a box. Entre el material desarrollado hay algunas unidades de matemáticas, muy elementales (es una sección dirigida a un público más bien joven), pero no triviales (el cálculo de curvas de Bézier, por ejemplo, muy útil en la animación por ordenador, no puede decirse que sea evidente).

Jueves, 13 de Octubre de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

4. 173. SOLUCIONES DEL XVIII CONCURSO DEL VERANO 2022

CUESTIONES MATEMÁTICAS M – 1.- Existen diferentes estrategias para resolver laberintos de este tipo. Entre todos los concursantes ha habido varias (grafos, ensayo-error, backtracking, etc.). Utilicemos la más difundida a nivel elemental para abordar los laberintos regulares: comenzar desde el final e ir determinando el trayecto desde el inicio (backtracking). Para cada casilla, analizamos desde cuál de alrededor podemos llegar a parar allí. Previamente vamos a definir un sistema de notación y localización. Podríamos utilizar coordenadas después de fijar un origen, pero creo que es más sencillo e inmediato en este caso considerar el cuadro completo como una matriz 5x5 de elementos aij, siendo el primer subíndice, la i, la fila, y el segundo, la j, la columna. De este modo el elemento a11, primera fila primera columna, corresponde al +2. El punto de inicio sería el elemento a53 = +1. Dicho esto, situémonos en la casilla final, a33 = 0. De las casillas que la rodean sólo es válida aquella que tenga un 1, ya que solo podremos alcanzarla después de dar un único paso. Por tanto a ella sólo se puede llegar desde a23 = –1. Y estando en a23, la pregunta es la misma: ¿cómo llegamos allí, desde arriba, abajo, izquierda o derecha? - Desde arriba: imposible, ya que la casilla tiene un 4 (demasiado grande) - Desde abajo: imposible, ya que los pasos a dar son 1 (demasiado pequeño) o 3 (demasiado grande) - Desde la izquierda: imposible, ya que los pasos a dar son en ambos 3 (demasiado grandes). - Desde la derecha: ¡hay un candidato!, a25 = –2, porque al saltar dos casillas a la izquierda desde allí, terminamos en a23. De este modo vamos razonando con esa misma lógica. Si hay más de una posibilidad, podemos hacer dos cosas: o elegir una, o mirar todas ellas. Eligiendo sólo una, resolvemos el laberinto sin tener en cuenta el signo (modalidad sencilla); si examinamos todas, en alguna seguro que aparece la solución de la modalidad experto (teniendo en cuenta el signo y llegar a suma cero). Aunque no se imponían más condiciones, algún participante ha tratado después de dar una solución a cada modalidad, imponerse otros retos, como encontrar soluciones que visiten todas las casillas, o dar recorridos lo más cortos posibles. Agradeciendo y admirando sus iniciativas, la puntuación ha sido la misma para todos: 5 puntos para cada uno de los recorridos válidos, independientemente de su tenacidad, que no obstante elogiamos (y tendremos en cuenta en caso de empate). Exponemos soluciones de cada modalidad (hay más): Recorrido modalidad sencilla (visitando todas las casillas, encontrada por Alejandro Apezteguia Torres): a53 → a52 → a32 → a43 → a55 → a35 → a25 → a14 → a15 → a34 → a54 → a44 → a24 → a45 → a23 → a22 → a12 → a21 → a13 → a11 → a31 → a41 → a42 → a51 → a33 La más corta modalidad sencilla (con dos recorridos simétricos): a53 → a43 → a33 Recorrido modalidad experto: En la que recorre todas las casillas expuesta arriba, la suma es +2. Eliminando una única casilla, la a42 = +2, se tiene suma cero (también de Alejandro): a53 → a52 → a32 → a43 → a55 → a35 → a25 → a14 → a15 → a34 → a54 → a44 → a24 → a45 → a23 → a22 → a12 → a21 → a13 → a11 → a31 → a41 → a51 → a33 El más corto, en sólo seis pasos (de Celso de Frutos): a53 (+1) → a52 (–2) → a41 (–3) → a44 (+2) → a35 (+3) → a23 (–1) → a33 La mejor solución con suma 0 que yo tenía era en 14 pasos: a53 (+1) → a52 (–2) → a32 (–2) → a43 (–2) → a54 (–3) → a51 (+4) → a11 (+2) → a31 (+1) → a41 (–3)  → a44 (+2) → a42 (+2) → a22 (+3) → a25 (–2) → a23 (–1) → a33 M – 2 Si denotamos por an la distancia recorrida por la bola en el segundo n-ésimo, del enunciado se tiene que an = 2/3 an-1, para n ≥ 2  y  a1 = 10 Esas condiciones nos llevan, sin más que ir calculando los términos, a que an = 10 (2/3)n-1, una progresión geométrica, cuya suma se calcula como S = 10 = 30. Por tanto, la bola se detiene a los 30 cm. de haber iniciado su andadura. M – 3 i.- El número 3.816.547.290 tiene la propiedad de que el número formado por los primeros n dígitos es divisible por n, para n = 1, 2, 3, …10. Si los movimientos se llevan a cabo en este orden, entonces el juego puede terminar en empate. ii.- El primer jugador (en este caso Andrew) tiene una estrategia ganadora. Obsérvese que, según las condiciones, Milo debe jugar un dígito par en cada uno de sus movimientos. Por tanto, el objetivo de Andrew es “gastar” tantos números pares como sea posible. Por ejemplo, Andrew puede poner un 6 para empezar. En ese caso, hay tres posibilidades a considerar para el segundo movimiento: (1) Si Milo juega un 4 o un 2, entonces Andrew utiliza el otro en tercer lugar. Milo debe a continuación jugar un número par porque su número ahora tiene que ser divisible por 4, así que, si  utiliza el 8, entonces Andrew pone el 0 y Milo pierde porque en el sexto movimiento, tendría que jugar un número par y no queda ninguno. Si Milo jugara un 0, entonces Andrew pone el 5 y Milo también pierde porque ahora debe jugar un número par en el sexto movimiento, y el único que queda es un 8, pero ni 642.058 ni 624.058 son divisibles por 6. (2) Si Milo juega un 0, entonces Andrew usa el 9. Milo debe entonces jugar el 2 para hacer que el número de cuatro dígitos sea divisible por 4. Entonces Andrew coloca el 5. Milo debe emplear el 8 para hacer que su número sea divisible por 6. Y Andrew puede contrarrestar con el 3, ya que 6.092.583 es ​​divisible por 7. El único número par que Milo puede utilizar ahora es el 4, pero 60.925.834 no es divisible por 8, por lo que pierde. (3) Si Milo juega el 8, entonces Andrew pone el 4. La única opción de Milo es entonces el 0. Entonces Andrew echa mano del 5. Y la única opción de Milo sería el 2, pero 684052 no es divisible por 6, por lo que pierde. Téngase en cuenta que esto cubre todos los casos porque Milo debe jugar un dígito par en el segundo movimiento. Por lo tanto, Andrew siempre puede forzar una victoria. Otra estrategia ganadora: Andrew comienza con el 4. Luego, Milo debe colocar un número par. Si responde con un 2 o un 8, entonces el siguiente movimiento de Andrew es un 0. Si la respuesta de Milo fuera un 0 o un 6, entonces el siguiente movimiento de Andrew es un 2. En el caso de que se haya escrito el número 480, Milo no puede encontrar un dígito para hacer un número de cuatro dígitos divisible por 4, por lo que inmediatamente pierde. En los otros tres casos, hay al menos un dígito que Milo puede elegir para permanecer en el juego. Por lo tanto, después de cuatro movimientos, si el juego durara tanto tiempo, uno de los siguientes números estarán en la mesa: 4028, 4208, 4620 o 4628. Entonces Andrew pondría el 5, y en cada uno de esos cuatro casos, será imposible para Milo hacer un movimiento para que el nuevo número de seis dígitos sea divisible por 6, ya que todos los dígitos que necesita se han utilizado. Por lo tanto, si Andrew sigue esta estrategia, puede siempre forzar una victoria. iii.- Aunque describirlo con detalle nos llevaría mucho espacio, en efecto este juego es más justo ya que el segundo jugador no está tan restringido por los movimientos del primero. Hay cuatro números que pueden colocarse en cualquier momento (1, 2, 5, 0) para cualquiera de los jugadores (salvo que el primer jugador no puede empezar con el 0). Además, si los dos últimos números que quedan por poner son el 9 y el 0, ambos pueden colocarse en cualquier orden con finalización exitosa y empate entre los jugadores. Además, hay un movimiento garantizado: colocar el 6 inmediatamente después de haber puesto el 3, ya para ser divisible entre 6, el número lo ha de ser entre 2 (lo es pues 6 es par) y entre 3 (también lo es pues estaríamos sumando un 6, que es un múltiplo de 3 a otro número que ya era múltiplo de 3). No parece haber estrategia ganadora para ninguno. Alejandro Azpeteguia indica una estrategia “empatadora” para cualquier jugador. Eso convierte este juego en más justo, pero sin interés, si ambos conocen dicha estrategia, obviamente. Debo indicar que esta cuestión fue inventada y por tanto abierta, siendo su orden de complejidad bastante alto por el número enorme de posibilidades (como pasa con estas cosas). Celebro que la mayor parte de los participantes sin embargo, hayan pensado en ella deportivamente, y hayan llegado a mi misma conclusión. M – 4 Es claro que las velocidades de las agujas de las horas y del minutero son diferentes. La primera tarda 12 horas en recorrer toda la esfera, por lo que su velocidad (espacio/tiempo) es La aguja del minutero sin embargo recorre toda la esfera (o sea el espacio 2πt) en una sola hora, por lo que su velocidad es asimismo 2πt. Queremos saber cuándo están ambas agujas formando 90º (un ángulo recto; en radianes π/2) y eso sucede un número impar de veces (porque en un número par la diferencia es π). Por tanto, deseamos conocer los valores de t para los que 2πt - = (2n + 1) Simplificando nos queda que  t = (2n + 1) Dando valores a n, se comprueba que para n = 22, obtenemos un valor que supera 12 (concretamente, 135/11 ≈ 12.272727…), por lo que en una vuelta completa de la aguja de los minutos (12 horas) hay 22 veces en las que se forma un ángulo recto. Al cabo del día, por tanto, que era la pregunta, hay 44 veces en las que las agujas forman un ángulo recto. Calculamos esos 22 valores de una vuelta completa para n entre 0 y 21: Para obtener a qué horas corresponden exactamente, basta con tomar la parte entera como la hora, e ir multiplicando la parte decimal por 60 para saber los minutos (y por 3600 si quisiéramos los segundos. Por ejemplo, = 0.272727… 0.272727 x 60 = 16.363636…. 0.363636 x 60 = 21.818181… Luego serían las 0 horas 16 minutos 21 segundos. Haciendo lo mismo con las demás, tenemos que todas las horas en las que las manecillas forman un ángulo recto son: 1.- 0 horas 16 minutos 21 segundos (00:16:21) 2.- 0 horas 49 minutos 5 segundos (00:49:05) 3.- 01:21:49 4.- 01:54:32 5.- 02:27:16 6.- 03:00:00 7.- 03:32:43 8.- 04:05:27 9.- 04:38:10 10.- 05:10:54 11.- 05:43:38 12.- 06:16:21 13.- 06:49:05 14.- 07:21:49 15.- 07:54:32 16.- 08:27:16 17.- 09:00:00 18.- 09:32:43 19.- 10:05:27 20.- 10:38:10 21.- 11:10:54 22.- 11:43:38 Obsérvese la simetría existente en los minutos y los segundos antes y después de las 6 horas (la mitad del recorrido de la aguja de las horas). Se han señalado en rojo las dos posibilidades existentes entre las 7 y las 8 tal y como se pedía en el enunciado. M – 5 Supongamos que tenemos N cuadrados de cada tipo embaldosando un cuadrado de lado S (en cm2). Entonces, S2 = N × 1 + N × 4 = 5N El S más pequeño que satisface esta ecuación es 5, lo que implica N = 5. Sin embargo, no hay una disposición posible de los mosaicos que satisfaga esto, como se puede ver en la figura, ya que cualquier ficha 2 x 2 colocada en el cuadrado, taparía alguno de los cuadrados coloreados en gris. Por tanto, no se pueden poner fichas 2 x 2 en un cuadrado 5 x 5. El siguiente S posible que satisface la ecuación es 10, lo que implica N = 20. Un posible mosaico se muestra a la derecha. Por tanto, el cuadrado más pequeño que se puede formar con números iguales de cada tipo de baldosas tiene una longitud de lado de 10 cm. M – 6 Si contamos el número de triángulos pequeños de que está compuesto el hexágono, comprobamos que son 96. Sea el área de cada uno de esos triángulos igual a 1. Llamaremos s al lado de cada pequeño triángulo equilátero. Entonces = 1 (no hay más que calcular la altura de cada triángulo equilátero mediante el teorema de Pitágoras, s √3/2, y después utilizar la expresión del área del triángulo). Sea d la longitud del lado de la esmeralda (triángulo equilátero de color verde), cuya superficie queremos calcular. En la imagen se ha representado un triángulo de color rojo, de lados d, 5s y 2s, con un ángulo de 120º opuesto a d. Por el teorema del coseno obtenemos que d2 = (2s)2 + (5s)2 - 2 (2s)(5s) cos 120º = 4s2 + 25s2 + 10s2 = 39s2. Entonces el área de la esmeralda (triángulo equilátero verde) es = 39 M – 7 A primera vista, parece que el segundo lanzamiento es irrelevante: como nuestra habilidad es constante, el segundo lanzamiento no influye de ninguna manera en el tercer lanzamiento. Además, da la impresión de que esta pregunta solo puede responderse en términos de la distancia desde el centro al lugar donde cayó el primer lanzamiento. Si denotamos esa distancia por d, y suponemos que el área del tablero de dardos es 1, la probabilidad de que el tercer lanzamiento sea más lejano que el primero aparentemente sería el área del anillo, dada por 1− π d2. Pero esta aproximación se puede mejorar. Sin embargo, podemos razonar de otro modo. Llamemos di a la distancia del i-ésimo lanzamiento al centro. Los posibles resultados, asumiendo que el segundo lanzamiento es más lejano que el primero, son: d3 < d1 < d2 d1 < d3 < d2 d1 < d2 < d3 Y los que satisfacen la pregunta que se hace son sólo los dos últimos, de modo que la probabilidad buscada sería 2/3. Otro modo de razonar, más “elaborado”. Sean f1(r), f2(r), f3(r) las funciones de densidad de probabilidad de la distancia desde el centro de los tres dardos, respectivamente, y F1(r), F2(r), F3(r) sus funciones de distribución acumulativa. (Estos, por supuesto, serán iguales porque suponemos que los dardos son idénticos, están por tanto idénticamente distribuidos). f1(r) = f2(r) = f3(r) = 2r/R2 F1(r) = F2(r) = F3(r) = r2/R2   p(d1 < d2) = M – 8 El primer jugador tiene una estrategia ganadora. Su primer movimiento es colocar una moneda en el centro de la mesa. A partir de ahí, lo único que debe hacer es ir poniendo monedas en una posición simétrica respecto al centro a las que ponga el segundo jugador. Este argumento sirve igualmente para cualquier mesa que tenga simetría central, obviamente. M – 9 La solución al crucigrama se muestra al final de la página. Está compuesto por 84 palabras. Quien haya resuelto al menos 42 tiene 5 puntos. Hasta 52, 6 puntos; Hasta 62, 7 puntos; Hasta 72, 8 puntos; Hasta 80, 9 puntos; y entre 81 y 84, 10 puntos. M – 10 Aunque lo suyo sería que se pudieran obtener las fechas de ambas películas únicamente con los datos del enunciado, lo cierto es que debe utilizarse información de apartados anteriores; incluso les habrá sucedido a muchos participantes que ya conocieran de qué películas se trataba antes de afrontar esta cuestión, con lo que simplemente les servirá para confirmar sus sospechas. No obstante, veamos que podemos inferir exclusivamente del enunciado de esta cuestión. Sólo se ha valorado con 10 puntos (o una cantidad proporcional) aquellas respuestas con algún razonamiento matemático que ayude a determinar el año. Quienes simplemente hayan puesto el año, sin mayor explicación, la puntuación que se ha dado ha sido 4. Desde luego, el dato más objetivo es el de que el año actual es el 2022. Veamos en que columna estaría colocado. De acuerdo con la disposición en columnas de los números son claras las congruencias dispuestas al pie de cada columna Como 2022 ≡ 6 mod 8, se halla en la columna E. Además, nos dicen que el año de la segunda versión es dentro del siglo XXI (por tanto del 2001 en adelante), que comparte la misma columna que la diferencia entre el año actual con ese año, y que además es un múltiplo de cinco. Eso nos lleva a los años Año:               2017               2012               2007               2002 Diferencia          5                    10                   15                   20 Sólo se encuentran en la misma columna de la tabla 2017 y 5 (columna D) y 2007 y 15 (columna D). Sea la que sea, están en la columna D, por lo que el año de la primera versión, y la diferencia entre 2022 y ese año, no se encuentran en las columnas D ni E (porque dicen que están en columnas diferentes todas salvo la del año del remake y la de diferencia de ésta con el año actual). Entre las imágenes de la película, vemos al guitarrista troglodita con una guitarra eléctrica. Este instrumento data de 1920, pero el modelo de la estatua es como poco de mediados de los años sesenta del siglo pasado, pongamos de 1965 (¡¡gran año!!) en adelante. Otra de las imágenes, la del retrato, corresponde a la actriz Joanne Woodward (véase pregunta C – 7), que nació en 1930, si bien su primer trabajo en el cine es en 1955 (en televisión comenzó en 1952). En el retrato, no obstante, tiene un aspecto que desde luego es posterior a ese 1965 que hemos fijado como extremo del intervalo donde asignar el año de la primera versión. Y es claramente inferior a 1980 si observamos alguna foto de la actriz en ese año, como la de la imagen de la derecha del telefilme La caja oscura (The Shadow Box, Paul Newman, EE. UU., 1980). Eso nos deja como posibles años únicamente 1968, 1969, 1970, 1971, 1972, 1976, 1977, 1978, 1979 y 1980 (ninguno en columnas D o E). Sin embargo, como la diferencia de años con el actual debe ser un múltiplo de 5, en realidad sólo quedan 1972 y 1977 (con 50 y 45 años de diferencia, respectivamente). Pero 45 ≡ 5 mod 8, lo que sitúa este valor en la columna D, por lo que no sirve. La película se estrena por tanto en 1972 (que estaría en la columna C), hace 50 años (columna A). M – 11 Buscando películas rodadas aquel año (1972) que hayan tenido una nueva versión, llegamos con poco esfuerzo a La huella (Sleuth, Joseph L. Mankiewicz, Reino Unido, 1972) y La huella (Sleuth, Kenneth Branagh, EE. UU., 2007). CUESTIONES CULTURALES Algunas tienen pregunta múltiple. Cuando he utilizado alguna baremación para repartir la puntuación, lo indico en color azul oscuro. C – 1 La solución aparece en la imagen adjunta. C – 2 Se pedían tres laberintos reales, y se indicaba que se valorarían aspectos como estar cercano al de la película, estar en España y antigüedad. Lo ideal por tanto es poner uno de cada. Pero quien haya dado tres que cumplan todo a la vez, también es correcto. Los participantes han recopilado un montón de laberintos, con imágenes sugestivas de cada uno. No voy a enumerarlos todos, sino que voy a indicar, uno de cada una de las características pedidas. Más cercano al lugar de rodaje: Laberinto de Longleat Hedge Maze, en Warminster,  Inglaterra. Los exteriores y la casa de la película son visitables y se llama Athelhampton House, construida en 1485, en Dorset, Inglaterra. En España (pongo varios): Jardines del Palacio Real de La Granja de San Ildefondo (Segovia, sobre 1730), El Capricho (Madrid, 1784), Laberinto de Horta (Barcelona, 1808); Laberinto de Villapresente (Cantabria, 2007), Más antiguo: Il Labirinto, Villa Pisani, Venecia (Italia, 1720). Esta página puede resultaros curiosa: https://www.elle.com/es/living/viajes/news/g795538/los-10-laberintos-mas-impresionantes-del-mundo/ C – 3 Es tal la cantidad de objetos que aparecen en la película que hacer una lista de todos los juegos es complicado. Con dar media docena de ellos, he considerado la cuestión resuelta. Los que yo he visto son: laberinto, ajedrez, senet, puzzle, billar, ruleta, diana y dardos, crucigrama, croquet, backgammon, adivinanzas, ... Casi todos los concursantes han incluido también los juguetes que aparecen. Estrictamente no son juegos, pero también se han dado por válidos (son juegos para Andrew Wyke). C – 4 La estatua del guitarrista troglodita aparece en la discoteca de la película Play It Cool! (Michael Winner, Reino Unido, 1962), también aparece en una escena de discoteca en Band of Thieves (Peter Bezencenet, Reino Unido, 1962); en el bar de Rudi en el episodio 6 de la primera temporada de la serie de televisión británica The Human Jungle (1963) titulado A Friend of the Sergeant Major emitido el 4 de mayo de 1963; y en la nuestra, en el laberinto de la casa de Laurence Olivier en La huella (Sleuth, Joseph L. Mankiewicz, Reino Unido, 1972). En la primera de esas películas, se pretendía lanzar un emulo de Elvis Presley en el Reino Unido, el cantante Billy Fury (1940 – 1983). Allí tuvo cierto éxito (igualó el récord de 24 éxitos de los Beatles en la década de 1960, y estuvo 332 semanas en las listas de éxitos del Reino Unido; sólo fue superado por los Beatles, Cliff Richard y Elvis Presley), pero nunca alcanzó un número uno. En España no es demasiado conocido, y esa película nunca se ha estrenado. La actualidad a que se aludía en el enunciado de la cuestión es el reciente estreno de la película Elvis (Baz Luhrmann, EE. UU., 2022). C – 5.- Se comenta que el padre de Milo Tindle (Michael Caine) fue relojero. Además, hacia el final del primer acto, Andrew Wyke (Laurence Olivier) atormenta a Milo con el tiempo que le queda de vida, lo que reproducirá en el tercer acto Milo con él, con el tiempo que le queda para encontrar unos objetos que lo incriminan antes de que llegue la policía. Aparecen también relojes en las muñecas de los protagonistas (marcando su estilo la diferencia de clase social), y por supuesto el reloj de péndulo de la escalera en el que se esconde una de las pruebas incriminatorias, además de ser enfocado numerosas veces a lo largo de la película. C – 6.- Andrew Wyke es escritor de novelas de crímenes y detectives. El busto sobre la repisa de la chimenea de la imagen corresponde al premio Edgar Allan Poe que ganó el autor de la obra teatral, Anthony Shaffer, precisamente por esta obra, Sleuth. Pero lo hizo en 1971, que no se corresponde con ese 1946 de la imagen. El director de la película, Joseph L. Mankiewicz también ganó un Edgar Allan Poe por Operación Cicerón (Five Fingers, EE. UU.,1952). Otros detectives literarios mencionados o referenciados en la película son Lord Peter Whimsey (de la escritora británica Dorothy Leigh Sayers; de hecho, el detective al que Wyke alude en la película como su creación, St. John Lord Merridew, es claramente un homenaje Whimsey, que utiliza monóculos en sus pesquisas); el detective Nero Wolfe (del escritor norteamericano Rex Stout; es un gran amante de las orquídeas, referencia que aparece también en la película); por supuesto Sherlock Holmes (del británico Arthur Conan Doyle; destaca por su inteligencia, su hábil uso de la observación y el razonamiento deductivo, y conocemos muchas de sus aficiones que aparecen de algún u otro modo en la película: es muy habilidoso disfrazándose, fuma en pipa, le gustan las galletas, toca el violín con maestría (un Stradivarius, a menudo a horas poco adecuadas), es un experto apicultor, excelente boxeador, tiene un gran conocimiento científico, en especial en química, y, cuando se aburre por falta de los retos intelectuales que suponen sus casos, consume cocaína en una solución al siete por ciento. Además, viste una gorra típica de las cacerías que también está en la película); el padre Brown (creado por el novelista inglés G. K. Chesterton, es el contrapunto a Sherlock Holmes, ya que resuelve sus casos por intuición y conocimiento de la naturaleza humana más que de la ciencia; su característico sombrero de pala también está presente en la película). Y por supuesto encontramos entre las fotografías de la pared a Agatha Christie, creadora de Hercules Poirot y la Srta. Marple. Y finalmente, se menciona o referencia un par de veces al malvado Fu Manchú, creado por el escritor Sax Rohmer, cuyos malvados planes siempre son desbaratados por Sir Denis Nayland Smith, junto a su acompañante, el doctor Petrie. Indicar el oficio del protagonista: 5 puntos. Los otros cinco autores y sus creaciones: 5 puntos (uno por cabeza). C – 7.- Es un retrato de la actriz norteamericana Joanne Woodward, que interpreta sin aparecer físicamente a la esposa de Andrew y amante de Milo, Marguerite Wyke. Joanne fue una de las actrices que hicieron una prueba para encarnar a Cleopatra en la película homónima de J. L. Mankiewicz (junto a Joan Collins y otras actrices), antes de que finalmente se lo adjudicaran a Elizabeth Taylor. Es la única relación que he encontrado acerca de la utilización de esta actriz para esta película. Además del retrato, aparece en una fotografía junto a Laurence Olivier en otro trabajo que hicieron juntos, justamente la foto a la que Andrew hace un agujero con su revólver. Sobre la presencia del retrato de Joanne Woodward, algunos participantes indican otras posibilidades: ganó el Óscar a la mejor actriz en 1957 por Las tres caras de Eva. En esa película interpreta un personaje que posee personalidad múltiple (hasta 3 diferentes), muy en la línea de engaños y falsos personajes de La huella. Recordemos además que Mankiewicz fue el director de Eva al desnudo. Además siendo niña, acudió a la premiere de Lo que el viento se llevó (1939) en Atlanta, y logró sentarse en el regazo de Laurence Olivier (quien tenía entonces 32 años), que era entonces el compañero sentimental de Vivien Leigh. Otro concursante nos dice que en la biografía del director Mankiewicz, Pictures Will Talk,  se indica que esta presencia no es sino una broma (una más de la película) entre él y sus amigos Joanne Woodward y Paul Newman (ya saben, pareja en la vida real). Se proponen cuatro cuestiones: 2.5 por cada una resuelta. C – 8 En los títulos de crédito aparecen los nombres de seis actores, pero la película sólo tiene dos. Los otros no existen (el del detective, Alec Cawthorne, es casi un anagrama de "O Michael Caine": se invierte la "W" en Cawthorne para obtener la "M" en Michael, y se separan las líneas horizontales y verticales en la letra "T" para obtener las dos "I" necesarias). En 1993, Mankiewicz afirmó en una entrevista que los cuatro restantes eran nombres reales de parientes de su esposa, aunque Eve Channing es claramente una mezcla entre Eve Harrington y Margo Channing, nombres de dos de las protagonistas de Eva al desnudo. Los concursantes han aportado un buen número de películas con uno o dos personajes solamente. En algunas, aunque el peso de toda la película sea sólo de uno o dos, si aparecen más personas, aunque sean de fondo, no se han considerado. He aquí una selección:: Locke (Locke, Steven Knight, Reino Unido/EE. UU., 2013). Un único actor, Tom Hardy, y voces de otros. La Venus de las pieles (La Vénus à la fourrure, Roman Polanski, Francia, 2013). Dos actores solamente, Mathieu Amalric y Emmanuelle Seigner. Gravity (Gravity, Alfonso Cuarón, Reino Unido/EE. UU., 2013). Sólo Sandra Bullock y George Clooney, con voces de otros. Buried (Rodrigo Cortés, España, 2010). Un único actor, Ryan Reynolds, y voces de otros. Vida/perra (Javier Aguirre, España, 1982). Una única actriz, Esperanza Roy Give 'em Hell, Harry! (Steve Binder y Peter H. Hunt, EE. UU., 1975), con James Whitmore como único actor. Infierno en el Pacífico (Hell in the Pacific, John Boorman, EE. UU., 1968). Sólo dos actores, Lee Marvin y Toshirô Mifune. C – 9 Nos referiremos a la primera versión como v1, y a la segunda como v2. Diferencias: 1.- En v1 Milo es propietario de una cadena de salones de belleza, mientras que en v2 es un joven escritor en paro. 2.- En v1 hay diálogos cargados de ironía y sutilidad mientras que en v2 hablan a gritos, insultando y diciendo palabrotas. 3.- En v1 el interior de la casa está decorada con numerosos muñecos, juegos, objetos singulares, muy recargada, mientras que en v2 es todo minimalista y con muchos aparatos tecnológicos. 4.- La duración del metraje de v2 es sensiblemente inferior a la de v1 (50 minutos menos). 5.- En v1 el autor de la obra de teatro, Anthony Shaffer, es quien hace el guion, mientras que en v2, lo hace Harold Pinter, premio nobel de literatura. 6.- En la escena inicial de v1, Milo aparca su coche en solitario, mientras que en v2 lo aparca junto al de Andrew, pudiéndose así apreciar la diferencia de tamaños entre estos, indicador claro del nivel económico de cada uno. 7.- La realización cinematográfica de v1 es más clásica, mientras que en v2 hay una amplia gama de planos. 8.- En v2, las alusiones a la homosexualidad son mucho más explícitas que en v1. 9.- En v1 aparecen en los títulos de crédito actores inexistentes, mientras que en v2 aparecen personajes que no están en los títulos de crédito (salen por televisión). 10.- El sentido del juego y el desenlace son diferentes. 11.- Milo es invitado a la casa en v1, mientras que en v2 aparece por su cuenta. 12.- El carácter de Milo en v1 es respetuoso inicialmente e incluso con cierto complejo de inferioridad, mientras que en v2 es muy agresivo y muy seguro de si mismo. Andrew en v2 es también más perverso. Semejanzas 1.- Michael Caine protagoniza ambas, aunque con diferentes papeles: en la v1 es Milo Tindle, mientras que en la v2 es Andrew Wyke. C – 10 En la versión original de la película en inglés, Andrew indica a Milo (minuto 41, aproximadamente), “If you'll be good enough to follow me, Miss Rebecca”. En la versión española dice “Si es usted tan amable de seguirme, mi querido amigo”. Además en la versión original, Laurence Olivier imita la forma de hablar de la señorita Danvers, personaje de Rebeca (Rebecca, Alfred Hitchcock, EE. UU., 1940), en la que Olivier encarna al marido de la difunta Rebeca. Es claramente, como sucede en toda la película, un nuevo guiño al espectador. En cuanto al actor que rechazó interpretar a Milo (algún concursante ha pensado que la pregunta era sobre Rebeca) fue Alan Bates, que tras los primeros ensayos manifestó que el papel no estaba a su altura. Albert Finney fue descartado previamente por ser un poco regordete. Michael Caine fue la tercera opción. C – 11 Me alegra que la película haya gustado a todos los participantes (menos el remake, que tiene sus virtudes, pero claramente muy por debajo de la original). No es una película sencilla de ver para el público actual, en el que tanto diálogo (junto a las reflexiones que conlleva) puede resultarles agotador (a eso se ha mal acostumbrado a la gente: lo vemos diariamente en entrevistas o debates, en las que enseguida se corta al orador; por supuesto eso conlleva un deficiente estudio de nada. El síndrome Twitter, lo podemos llamar). PUNTUACIONES FINALES Como cada año, el nivel mostrado por todos los participantes ha sido más que sobresaliente. Las diferencias son mínimas y normalmente por cuestiones de detalle. Recordemos que la puntuación máxima que se podía obtener en esta ocasión era de 220 puntos (110 las cuestiones matemáticas, en rojo; y 110 las de tipo cultural, en azul). Así ha quedado al final: 1.- Alejandro Apezteguia Torres  212 (107 + 105) 2.- Francisco Pi Martínez   205 (101 + 104) 3.- Equipo formado por Engracia, María y Javier   205 (96 + 109) 4.- Paz Jiménez Seral     177 (97 + 80) 5.- Celso de Frutos de Nicolás   175 (96 + 79) 6.- Alba Diez Mariño    153 (51 + 102) En el caso del segundo y tercer puesto, he terminado por ponerlos en ese orden primando las preguntas de tipo matemático. Aunque leer y valorar todos los documentos recibidos lleva un tiempo no despreciable, debo agradecer a los participantes su excelente trabajo del que no dejo de aprender cada año (hay razonamientos y resoluciones realmente magníficas), y me he divertido enormemente con sus comentarios tanto sobre las cuestiones matemáticas como las culturales y de cine. Y celebro especialmente que haya habido tantas mujeres como hombres involucradas en el concurso. Ojalá sea la tendencia futura en todo. Espero que todos hayan pasado de verdad un buen rato. En breve recibiréis un mail, algunos para pediros una dirección postal a la que enviaros un pequeño obsequio de DivulgaMAT (ignoro a fecha de hoy el número de obsequios de los que dispone la organización), y a todos para detallaros las puntuaciones de cada cuestión, una vez hayáis leído las soluciones. ¡¡Enhorabuena a todos!!

Jueves, 08 de Septiembre de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

5. 172. EL CONCURSO DEL VERANO 2022

Nuestro concurso llega a la mayoría de edad. Esperemos que sigáis disfrutando de él como en ediciones pasadas. Aunque el mecanismo es muy sencillo, recordamos las características de este concurso de forma escueta: ■ A partir de las pistas que se dan en el texto, se trata de averiguar el título de una película oculta (clásica normalmente, o al menos con cierta antigüedad), y de paso, responder unas preguntillas (las de tipo matemático en color rojo; las culturales, en azul). Quien o quienes mayor puntuación alcancen serán los ganadores, a los que la dirección de DivulgaMAT les hará llegar algún obsequio, en la medida de sus posibilidades. ■ Se intentan (no siempre se logra) plantear cuestiones de todos los niveles (sencillas, medias, difíciles pocas), pero como nadie sabe a qué categoría pertenece cada una (además de que la dificultad es un concepto subjetivo), ninguna a priori debería evitarse. Trataremos de no exceder el nivel de 2º de Bachillerato, es decir, matemáticas elementales (lo que no quiere decir triviales). Tampoco deberían dejarse de enviar las respuestas, aunque sólo se sepa una (quien sabe, a lo mejor, nadie ha acertado más; cosas más raras se ven diariamente). ■ No hay un orden establecido ni a la hora de describir escenas de la película, ni a la hora de descifrar el contenido de las cuestiones. Puede que sepamos responder antes a la pregunta quinta que a las anteriores. Pero todas pueden ayudar en averiguar el título de la película. Los fotogramas que se incluyen son todos de la película en cuestión. XVIII CONCURSO Es posible que alguna vez hayáis leído que existen procedimientos basados en las matemáticas para escapar de un laberinto. Y es posible que alguna vez hayáis resuelto alguno de los que se proponen en la sección de pasatiempos de las revistas o periódicos. La película de este año es bastante laberíntica por muchos motivos, así que podemos empezar tratando de resolver un par de ellos, uno más matemático (M – 1 , pero que con cierta dosis de paciencia sale), y otro más tradicional (C – 1; C – 2). Otra característica presente en todo el metraje de la película son los juegos (C – 3; M – 2) y los juguetes. Uno de los protagonistas es un amante de los juegos y los enigmas (éstos son parte de su trabajo) (M – 3). Además, hay muchos objetos dispersos en cada escena de la película (C – 4), pero en algún momento los relojes tienen cierta relevancia (C – 5; M – 4). Por otra parte, si observamos el modo en que está embaldosado el suelo en algunos lugares, observamos una disposición con cuadrados y rectángulos de diferentes tamaños que finalmente forman una zona cuadrada perfecta (M – 5). De entre esos muchos objetos que juegan algún papel en la trama de la película hay un joyero que contiene lo que su nombre indica (M – 6). También se encuentra la figura que vemos en la imagen, que quizá pueda ayudar a descubrir el oficio al que se dedica uno de los protagonistas de la historia (C – 6; C – 7). Y también aparece una diana (M – 7). Además de lo comentado, la película es singular por el elenco que muestra (C – 8). Y por el giro que toman los acontecimientos (M – 8). Por cierto, ¿quién no ha ido alguna vez al cuarto de baño con alguna tarea con la que entretenerse? En la película, al lado del retrete, en una pared, podemos observar el enorme crucigrama de la imagen (M – 9). En concursos pasados, los participantes siempre han manifestado que es de cierta ayuda conocer el año de estreno de la película. Normalmente proponemos una cuestión en cuya resolución aparece ese año. En esta ocasión, diremos que se hizo una nueva versión de la película, ya en este siglo, cuya aportación aparte de la estética, es bastante cuestionable, a pesar de que el nuevo guion contara con todo un premio Nobel como responsable. Supongamos que escribimos los números naturales desde el 2, en cinco columnas del siguiente modo Pues bien, el año de la película, el de su remake, el año actual, y la diferencia de años entre el año actual y la primera versión, se encuentran en columnas diferentes. La diferencia entre el año actual y la segunda versión comparte la misma columna que el año de esa segunda versión, y para que no tengáis que contemplar demasiados casos, digamos que esas diferencias entre el año actual y el estreno de ambas versiones son las dos múltiplos de cinco (M – 10; C – 8). Y para acabar (M – 11; C – 9; C – 10; C – 11). CUESTIONES MATEMÁTICAS M – 1.- Imaginemos que nos topamos con el siguiente cuadro Nos situamos en la casilla a la que apunta la flecha (tiene un + 1). Ese valor indica el número de pasos que se pueden dar en cualquiera de las 4 direcciones: arriba, izquierda, derecha, abajo. En este caso, al estar en un borde, no podríamos abajo, ya que una vez en el laberinto, no es posible saltar fuera de la cuadrícula (siempre debemos permanecer dentro de los límites). El objetivo es alcanzar el centro de la cuadrícula, es decir, llegar a la baldosa 0 (donde nos espera nuestro anfitrión). Pero NO se puede repetir nunca una cuadrícula ya visitada. Hay dos modalidades que hay que resolver: la sencilla, que es alcanzar con esas normas la casilla 0, sin tener en cuenta los signos + y – que aparecen; y la del experto, en la que la suma de las casillas visitadas teniendo en cuenta los signos de cada una, debe ser igual a 0 al llegar a la casilla 0. M – 2.- En uno de los juegos aparecen bolas, a las que cada jugador impulsa cuando juega. Una de ellas se desliza por una superficie rugosa. En el primer segundo recorre 10 centímetros, disminuyendo la velocidad a medida que avanza recorriendo en cada segundo 2/3 de la distancia recorrida en el segundo anterior. ¿A qué distancia del inicio se detendrá? M – 3.- No sería difícil pensar que, en su intento de poner en evidencia a otro de los protagonistas, o más bien, demostrar su superioridad sobre él, le propusiera un juego como éste: se trata de formar un número de diez dígitos. Comienza él mismo escribiendo cualquier dígito que no sea cero en el primer lugar sobre un papel. Después su invitado debería escribir un dígito diferente que escribe en segundo lugar, turnándose posteriormente y agregando un dígito al número que va formándose. En cada turno, el dígito seleccionado debe ser diferente de todos los dígitos anteriores, y el número formado por los primeros n dígitos debe ser siempre divisible por n. Por ejemplo, 321 pueden ser los primeros tres movimientos del juego, ya que 3 es divisible por 1, 32 es divisible por 2 y 321 es divisible por 3. Cuando un jugador no pueda escribir un nuevo dígito cumpliendo estas normas, pierde el juego. Si se consigue llegar a los diez movimientos (es decir, se pueden escribir los diez dígitos), se declara un empate. (i) Demostrar que el juego puede terminar en empate. (ii) Demostrar que el anfitrión tiene una estrategia ganadora y describirla. (iii) ¿Sería más justo el juego si cambiamos la segunda condición por la de que el número formado al poner un nuevo dígito sea siempre divisible por el dígito que se añade (considerando el 0 como divisible por 10)? Por ejemplo 3210 sería posible porque 3 es divisible por 3, 32 es divisible por 2, 321 es divisible por 1, 3210 es divisible por 10, etc. M – 4.- ¿Cuántas veces las manecillas de un reloj forman un ángulo recto al cabo del día? ¿A qué horas? (Basta con detallar el cálculo de una de ellas, pongamos, por ejemplo, aquella que está entre las 7 y las 8, aunque se describan todas). M – 5.- Supongamos que tenemos solamente dos tipos de baldosas cuadradas. El primero tiene una longitud de lado 1 cm y el otro tiene una longitud de lado 2 cm. ¿Cuál sería el cuadrado más pequeño que podríamos hacer con el mismo número de baldosas de cada tipo? M – 6.- Además de un collar de rubíes hay otros con perlas, esmeraldas, etc. Este último está formado por una cadena de hexágonos regulares en los que se han incrustado las esmeraldas en forma de triángulos equiláteros como vemos en la imagen. Sabemos que el área de cada hexágono es de 96 unidades. ¿Cuál es entonces la superficie de cada esmeralda? M – 7.- Aunque uno de los protagonistas es un experto lanzador de dardos y acierta en el centro de la diana a la primera, evidentemente eso no es lo normal. Supongamos que somos nosotros los que lanzamos tres dardos (lo usual en el juego, como seguramente sabréis), apuntando al centro. En nuestra imaginaria partida, el segundo dardo cae más lejos del centro que el primero. ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer lanzamiento esté más lejos del centro que el primero? Supondremos que nuestra habilidad de lanzamiento es constante. M – 8.- Se proponen nuevos juegos por parte de otros personajes. Imaginemos una mesa circular. Dos jugadores se turnan para colocar monedas en ella sin que se superpongan. El jugador que no pueda hacer un movimiento pierde. ¿Tiene alguno de los jugadores una estrategia ganadora? Si existe, ¿puedes describirla? M – 9.- Para no ser menos, vamos a proponer un crucigrama de contenido matemático. Y por respetar la nacionalidad de la película, las soluciones deben ponerse en inglés. Al final del texto están las definiciones y el crucigrama. M – 10.- Años de estreno de ambas películas. M – 11.- ¿Cuál es la película enigma de este concurso? CUESTIONES CULTURALES C – 1.- Resolver el siguiente laberinto (elige la opción que quieras: o llegar al centro desde la entrada exterior, o desde el centro, salir fuera). C – 2.- Indica al menos tres lugares del mundo en los que haya laberintos reales, describiendo un poco su historia (para qué se diseñaron, por quien, etc.). Se valorarán más aquellos que cumplan las siguientes condiciones: estar en España, estar lo más cerca posible del lugar del rodaje de la película, antigüedad. C – 3.- Haz un listado de todos los juegos que aparecen o se mencionan a lo largo de la película. C – 4.- Uno de ellos es este guitarrista troglodita que aparece además en otras películas. Una de ellas la protagoniza un cantante que trató de emular a otro, de actualidad estos días (¿Quién y por qué?), aunque ese sucedáneo ni triunfó, ni siquiera fue conocido fuera de su país. ¿A qué cantante nos referimos y en qué otras películas aparece el guitarrista troglodita como parte del atrezo? C – 5.- ¿Por qué? C – 6.- ¿Cuál es dicho oficio? ¿Por qué es célebre el protagonista? ¿Qué otros autores y sus creaciones son nombrados y/o representados en fotografías en la película? C – 7.- Repetidas veces vemos el retrato de un personaje importante en el argumento, el de la imagen adjunta, pero que nunca aparece físicamente. ¿Quién es? ¿A qué actriz real corresponde? ¿Por qué aparece precisamente esa actriz? ¿Hay alguna otra imagen suya a lo largo de la película diferente a la de este retrato? C – 8.- ¿Observas alguno “extraño” en los títulos de crédito? ¿A qué se debe? Enumera al menos tres películas más en las que el número de protagonistas sea menos o igual al de ésta. A ser posible de nacionalidades y épocas diferentes. C – 9.- ¿Qué diferencias observas en ambas versiones? Aparte de basarse en la misma obra común, y por tanto tener un argumento “similar”, ¿encuentras alguna cosa súper evidente que coincida en ambas? C – 10.- Para muy cinéfilos: uno de los protagonistas hace una referencia a otra célebre película directamente relacionada con él, aunque de un modo un tanto enigmático. ¿Puedes explicarlo? Y de paso indica algún actor que rechazó participar en esta película. C – 11.- Opinión sobre la película (o películas). ¿Te han gustado? ¿Las conocías? ¿Te han llamado la atención algún aspecto de ellas (algún tema que abordan, por ejemplo)? ¿Cuál te ha gustado más? CRUCIGRAMA PROPUESTO (M – 9) Horizontales: 1.- Conjetura en teoría de números que es una de los siete problemas con premios del Clay Mathematics Institute 11.- Comete esta galleta blanca y negra mientras haces tareas para el hogar 12.- Úsalo para escuchar conferencias de teoría de números 13.- Euclides Alejandría 15.- La fracción continua [1; 1, 1, 1, …] no es The Silver Sum, ni The Copper Product, sino The Golden _____ 17.- Un número con tantos dígitos como su nombre (recordamos que en inglés) 19.- Este símbolo es una función teórica numérica que se define igual a +1 o a -1 21.- Lo que uno espera hacer con una conjetura 24.- Un primo de Sophie Germain es, por definición, un primo p tal que 2p + 1 es 26.- Su último teorema fue garabateado en el margen de una copia de la Aritmética de Diofanto 29.- Función ____ de Riemann 30.- Él originó los símbolos f(x), e, i, p, y Σ 32.- Un ejemplo de un par de números de Ruth-Aaron son (714, 700 + n), donde n = 34.- Probó que M67 = 267 – 1 es compuesto en la 1903 reunión de la American Mathematical Society. 37.- Divisor 42.- Período de tiempo 43.- Cómo ver tu tarea si la electricidad desaparece 44.- La E en John E. Littlewood, quien fue famoso por su asociación con Hardy 45.- Si n se escribe como suma de dos cuadrados, entonces ningún primo de la forma 4k + 3 puede aparecer en una potencia ____ de la descomposición en factores de n 47.- Organización norteamericana fundada en 1888 para motivar la enseñanza y la investigación de las matemáticas 48.- Fue el primero en dar la solución general a las ecuaciones diofánticas lineales 49.- El ganado de Arquímedes pastaba una vez en los campos de esta isla mediterránea (no olvides que hay que escribir la solución en inglés) 50.- Una verificación elemental de la multiplicación que hace uso de la congruencia 10n ≡ 1(mod 9), se denomina en inglés “casting ___ nines” 51.- Fundó, en 1996, la página the Great Internet Mersenne Prime Search 53.- Primera y última letra en la abreviatura de un millón de ciclos por segundo 54.- En 1971, Brillhart y Morrison pudieron factorizar el Número de Fermat Fn, donde n es igual a 60.- Todos los números perfectos pares mayores que 6 tienen una raíz ____ de uno 62.- Tanto él como su padre eran profesores de matemáticas en Oxford, pero se hizo famoso por su relación con la hija del decano de Christ Church, Oxford 65.- Autor del rompecabezas de la Torre de Hanoi 67.- 2 no es una ____ para un triángulo pitagórico (recuerda que está en inglés) 69.- Completó trabajos sobre teoría de números y la curvatura de las superficies antes de morir de cáncer de mama en 1831 70.- Roger Federer, campeón de tenis de Wimbleton en 2004, y Leonhard Euler tienen esto en común 72.- El hermano menor de Littlewood murió a los 8 años al caer en uno de estos 73.- Colección finita o infinita de objetos 74.- Ciudad natal del matemático José Anastacio de Cunha 75.- Según F. R. David, no vienen de manera sencilla Verticales: 1.- La serie de recíprocos de todos los primos gemelos converge a un valor que lleva el nombre de este noruego, Viggo ____ 2.- Abreviatura latina de “eso es” 3.- No es la función floor, sino otra. La misma en la que se encontraba el violinista 4.- Pascal y Fermat usaron las matemáticas para estudiar los juegos y las posibilidades de 5.- Si destacas en teoría de números, puedes estar cualificado para un trabajo en esta organización criptológica 6.- El orden de 12 módulo 13 7.- La forma más obvia de calcular 1210 (mod 23) es multiplicar 12 veces cierto valor calculando el resto al dividir por 23 en cada multiplicación 8.- Robert P. Langlands, quien recibió el Premio Cole en Teoría de Números en 1982 por su trabajo pionero sobre formas automórficas, recibió su doctorado de esta escuela 9.- Debes hacer esto en tu libro de texto de teoría de números 10.- El de 2 (mod 7) es 3 14.- Cualquier número entero positivo se puede expresar como suma de este número de cuadrados 15.- En el popular esquema de encriptación RSA, la letra “R” representa a esta persona 16.- Canción popular de los Beatles “Let” (dos palabras) 18.- A qué velocidad gira un motor (abreviatura) 19.- Si p(n) denota el número de particiones del entero, entonces el _____ cuando n tiende a infinito [p(n)]^(1/n) es 1 20.- El conjunto de enteros positivos de 2 dígitos < 50 que se pueden expresar como suma de dos cuadrados en dos maneras distintas 22.- Si la congruencia x2 ≡ 5 mod 31 tiene solución, entonces 5 es una ____ cuadratica de 31 23.- Si ϕ denota la función phi de Euler, entonces ϕ (n) ≡ c (mód 2), ∀ n > 2; entonces c es igual a esto 24.- Pasa la 25.- El castillo de un célebre personaje de ficción 26.- Estas medallas en matemáticas son los equivalentes de los Premios Nobel 27.- Iniciales de un famoso inventor estadounidense nacido en Ohio 28.- Título que se otorga al completar un doctorado 31.- Los de Galois incluyen una de éstas de los enteros módulo p, con p primo 33.- Una ____ continua es una representación de los números reales en términos de una sucesión de números enteros 35.- Matemático alemán que obtuvo estimaciones asintóticas de cuántos enteros son ≤ x que son expresables como suma de dos cuadrados 36.- Su famoso teorema dice que para cualquier número irracional x existen infinitos p/q racionales tales que 38.- El símbolo “∨” en p ∨ q representa esto 39.- El italiano Maurolico demostró que todo número par perfecto es también numero ____ 40.- Conjeturó que siempre existe un primo entre un número y su doble 41.- Su nombre se asocia a una fórmula de inversión y a una tira de papel. 43.- Los números enteros al cuadrado se pueden escribir como producto de un cuadrado y esto 46.- Pi ___ se celebra el 14 de marzo 49.- El teorema de los cuatro cuadrados afirma que todo número natural es el ____ de 4 cuadrados enteros 52.- Abel, Eisenstein y Ramanujan todos murieron a causa de este (abreviatura) 55.- “Bueno, he hecho una cosa que tú nunca podrías haber hecho, que es haber colaborado con Littlewood y Ramanujan en términos de _____" 56.- Demostró con éxito el último teorema de Fermat 57.- Durante su vida, Gauss produjo todas estas pruebas de la Ley de Reciprocidad Cuadrática 58.- El número de primos menor o igual que cualquier x dado es aproximadamente igual a x dividido por su 59.- El de un conjunto es el menor número ordinal mayor que el rango de cualquier miembro del conjunto 61.- El símbolo del germanio 63.- Este tipo de intervalo no incluye sus extremos 64.- Si completas este rompecabezas, eres un matemático _____ (recuerda, en inglés) 65.- Primera y última letra de la abreviatura de menor múltiplo común 66.- Agencia gubernamental que proporciona al Presidente inteligencia de seguridad nacional (ya que él no suele tener mucha) 68.- Aquí es donde Hardy y Ramanujan encontraron el número 1729 70.- Grado que la mayoría de los estudiantes de licenciatura en matemáticas reciben (abreviatura) 71.- Más vale ___ que arre, dice el dicho borruno popular. Baremo: Todas las cuestiones, tanto las rojas (las matemáticas), como las azules (cine y demás), se valorarán con 10 puntos como máximo. En total, 220 puntos en juego, si las cuentas no me fallan. Todo comentario, sugerencia, queja, etc., será bien recibido. Si no salen algunas cosas, no importa; lo que cuenta es tratar de pasar un buen rato, disfrutar de la película (que el verano da para mucho), y mantener las neuronas un poco activas. Confío que no haya demasiados errores en las cuestiones. Se han repasado varias veces, pero algunas, al ser inventadas o retocadas de otros enunciados, podrían tener alguna errata. Sed benévolos con vuestros calificativos si tal cosa sucediera. El plazo para enviar las respuestas, es como en años precedentes, hasta las 00:00 del jueves 1 de Septiembre de 2022, a la dirección apoblacion@uva.es, indicando en el asunto Verano 2022. ¡¡¡¡Buen Verano Cine-matemático!!!!

Jueves, 30 de Junio de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

6. 171. Aventuras de un matemático

Reciente producción no estrenada en España sobre el matemático Stanislaw Ulam y su trabajo en el proyecto Manhattan. Ficha Técnica: Título Original: Adventures of a Mathematician. Nacionalidad: Alemania, Polonia y Reino Unido, 2020. Dirección: Thor Klein. Guion: Thor Klein, basada en el libro homónimo del matemático Stanislaw Ulam. Fotografía: Tudor Vladimir Panduru, en Color. Montaje: Agnieszka Liggett y Matthieu Taponier. Música: Antoni Lazarkiewicz. Producción: Nell Green, Joanna Szymanska y Lena Vurma. Duración:  102 min. Ficha artística: Intérpretes: Philippe Tlokinski (Stan Ulam), Esther Garrel (Françoise Aron), Sam Keeley (Jack Calkin), Joel Basman (Edward Teller), Fabian Kociecki (Johnny von Neumann), Ryan Gage (Robert Oppenheimer), Sabin Tambrea (Klaus Fuchs), Mateusz Wieclawek (Adam Ulam), James Sobol Kelly (Norris Bradbury), Alberto Ruano (Carlos), Richard Mason (George Dyson), Camille Moutawakil (Mici Teller), Sally Cowdin (Irene), Anne-Catrin Märzke (Jacky), Philipp Christopher  (Henry Hitchens), Lucy Bromilow (Molly), Martin Müller (Matemático en Los Alamos), Sonia Epstein (Stefania Ulam), Finbar Lynch (G.D. Birkhof). Argumento La emotiva historia del inmigrante y matemático polaco Stan Ulam, que se mudó a los Estados Unidos en la década de 1930. Stan lidia con las difíciles pérdidas de familiares y amigos mientras ayuda a crear la bomba de hidrógeno y la primera computadora. Comentario Australia, Brasil, Francia, Alemania, Indonesia, Italia, Polonia, Rusia, Emiratos Arabes Unidos, Reino Unido, Estados Unidos. Son algunos de los países en los que se ha estrenado esta película. España no, por supuesto. Para no variar. Aquí sólo se apuesta por superhéroes yanquis, comedias casposas con estrellonas en declive que alguna vez fueron alguien y bodrios ZZZ impuestos por las multinacionales para poder adquirir lo más comercial. Ah, perdonen, que no me había enterado: que el cine en sala está en franca desaparición porque el público sólo consume telefilmes y series de plataformas que sólo desean hacer cuanta más caja, mejor, repantingados en un sofa engullendo cervezas y marranadas de plástico, mientras se leen y contestan whatssapps sin parar. Los dramas, el cine reflexivo, el independiente, la historia desde un ángulo crítico, los problemas sociales, etc., todo eso para freakies amargados (una minoria) que se apañen en algún cine club o festival de cine medio marginal, que es lo que merecen. Por supuesto en el lote entra todo lo relativo a la ciencia y otras sesudas disciplinas. Es lo que hay (aunque el cine ya tuvo otras crisis en los cincuenta con la competencia de la televisión, en los ochenta con los videoclubs, y ha ido sobreviviendo; esperemos que la cosa siga así, renqueante pero no extinta). Y las autoridades competentes (política de por medio) no parecen muy por la labor de ilustrar a los niños y ciudadanos en general sobre qué es una imagen, un producto audiovisual, cómo debe verse y analizarse, qué interés tiene sobre otros medios de comunicación, porqué una pantalla de móvil, de tableta o de televisión no sirve como reproductor para según que filmaciones, etc. Ellos sólo obedecen a intereses partidistas y económicos (aunque luego se quejan de que hay pirateria, sin pensar porqué; es verdad, ¡¡qué despiste!! Pensar no es un verbo adecuado en estos contextos). Acabado el infructuoso pataleo por no poder disfrutar de películas de este tipo comercialmente en nuestro país, vayamos a lo nuestro. El libro Como leemos en el cartel promocional, la película se sitúa en el marco de la bomba H (bomba de hidrógeno), y por tanto, el proyecto Manhattan, sobre el que se han hecho otras muchas producciones cinematográficas. En este caso, el eje sobre el que se desarrolla el argumento es el matemático judío de origen polaco Stanislaw Ulam (13 de abril de 1909 – 13 de mayo de 1984; viene muy a cuento por tanto dedicarle esta reseña de mayo), una de las mayores mentes científicas del siglo XX. Un año antes de fallecer, en 1983, publicó una autobiografía que se ha tomado como base para el guion de la película. Aunque creía que no había edición en español, un compañero de la UVa, Miguel M. Panero, fiel seguidor a estas reseñas me ha hecho llegar la referencia de la editorial Nivola publicada en 2001. En el libro, abundan las reflexiones sobre la utilización y aplicaciones de la física nuclear (desgraciadamente a día de hoy de rabiosa y profética actualidad; es curioso que sea una de las películas que más recientemente se hayan estrenado en Polonia y Rusia, y sin embargo no les haya permeado nada de lo que se reflexiona, sobre todo a los rusos), junto a muchas anécdotas personales. Ulam fue miembro del Laboratorio Nacional de Los Álamos desde 1944, desde el que trabajó y motivó la utilización de la energía nuclear aplicada a distintos avances tecnológicos, como la propulsión de vehículos espaciales (el domingo 1 de mayo, La 2 de Televisión Española emitió el documental El reino de Saturno:la épica exploración de la sonda Cassini; en él se explica que la sonda Cassini se lanzó el 15 de octubre de 1997, es decir, lleva 25 años de viaje, más de una decena de los previstos, ha recorrido 4000 millones de kilómetros, viaja a 124000 kilómetros por hora, y sigue enviando fotografías e información: ¿Cómo hubiera sido posible sin la energia nuclear?). Ulam fue también uno de los primeros defensores de la utilización de ordenadores (computadoras se llamaban por entonces) en el trabajo científico y en la vida cotidiana, y sus contribuciones matemáticas están en campos tan diferentes como la teoría de números, la teoría de conjuntos, la teoría ergódica y la topología algebraica. Desarrolló junto con John Von Neumann el método de Montecarlo, y asimismo lo recordamos como creador de la espiral de Ulam. En la última edición del libro, Daniel Hirsch y William Mathews desvelan en una introducción el papel fundamental de Ulam en la creación del Super, en los albores de la era nuclear, al que se añade un epílogo de su esposa, Françoise Ulam, y Jan Mycielski que arroja nueva luz sobre el carácter y la originalidad matemática de Stan. Una lectura absolutamente recomendable. Asimismo la editorial venezolana Monteávila publicó en 1969 Matemáticas y Lógica de Mark Kac y Stanislaw M. Ulam, de modo que sí están en nuestro idioma los trabajos de divulgación de Ulam, aunque seguramente no sea fácil encontrarlos en la actualidad. La película Dirigida por el cineasta alemán Thorsten Klein (es su segundo largometraje después de Lost Place (2013), película de suspense/terror en la que cuatro adolescentes, buscando un tesoro mediante un GPS, encuentran una estación de torre de radio militar estadounidense abandonada que fue parte de un programa militar secreto con horribles efectos secundarios; no se molesten en buscarla: tampoco se ha estrenado por aquí), se proyectó en la sección oficial del último Bergamo Film Meeting. La película comienza en 1935, cuando Ulam es invitado al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton por el matemático húngaro John von Neumann, Johnny, como Ulam lo llamaba. Aparecen intercambiando comentarios ingeniosos, muy del humor de los matemáticos, y bromeando sin ningún pudor con chistes sobre judios (Ulam era judio). Días antes de que estalle la guerra, Ulam se establece como profesor en Harvard, haciendose cargo de su hermano menor Adam. Los dos hermanos están muy preocupados por su hermana Stefania y sus padres en una  Polonia ocupada por los nazis. En su faceta docente, Ulam disfruta mostrándoles a sus alumnos trucos de cartas basados en la teoría de probabilidad. “El Cálculo es la parte aburrida de las matemáticas”, les dice, “pero podéis hacer cosas fascinantes con él, como ir a Las Vegas y ganar en los juegos de cartas”. En la imagen lo vemos con una baraja en la mano (hay más momentos de ese tipo a lo alrgo del metraje; no en vano, a Ulam le apasionaban los juegos de cartas), frente a sus alumnos. En Cambridge, más adelante, Stan conoce a una estudiante francesa de intercambio, Françoise Aron, con la que acabará contrayendo matrimonio para evitar que regrese a un país ocupado y en guerra. La vida de nuestro protagonista toma un giro inesperado cuando Johnny le propone trabajar en la construcción de una bomba atómica. En Los Alamos tendrá ocasión de conocer a científicos que siempre había admirado, como Robert Oppenheimer, coordinador del proyecto Manhattan, o Enrico Fermi. En Los Alamos su contribución fue importante gracias al desarrollo del método Montecarlo, con el que pudieron realizar simulaciones de procesos físicos como una reacción en cadena con el apoyo de unos primitivos ordenadores que utilizaban para generar cadenas de números aleatorios, aunque previamente (no podía faltar el aspecto dramático que “anime” la acción) es increpado por algún compañero para que aporte algo relevante al trabajo del grupo. Grupo que en varias ocasiones se cuestiona la moralidad de lo que están haciendo (por supuesto el propio Ulam es un hervidero de inseguridades, de dudas, de sufrimiento). Sin embargo, la presión acerca de que los alemanes están trabajando también en una bomba nuclear es su principal motivación: lograr su objetivo antes de que lo haga Hitler. El dilema es: ¿acabar la guerra o acabar con la civilización? Cuando los norteamericanos lanzan la bomba sobre Hiroshima y se conocen sus consecuencias, la culpa aumenta. “Somos científicos, no dioses”, medita en un momento de incertidumbre. En fin, no les destripo más. Según las crónicas del festival mencionado anteriormente, la película está realizada de manera impecable, con un destacado diseño de producción y vestuario. De lo segundo podemos hacernos a la idea a partir del trailer, aunque del resto, insisto, deberiamos verla al completo para juzgar con más información, aunque seguramente ahondará más en el drama ético y moral que en el científico (aunque siempre nos quedarán esas pizarras llenas de matemáticas que tanto gustan a los cineastas, …, como decorado). Les recuerdo que la reseña del próximo mes aparecerá a finales de junio, con la clásica propuesta del Concurso del Verano.¡¡Buenos exámenes para quien tenga que hacerlos, proponerlos y/o corregirlos!!

Lunes, 09 de Mayo de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

7. 170. El contador de cartas

Nueva incursión del cine en el tema de los juegos de apuestas, con una clara conclusión: si les gusta perder dinero, allá ustedes, y los doblajes al castellano, en temas matemáticos, la siguen fastidiando. Ficha Técnica: Título: El Contador de cartas. Título Original: The Card Counter. Nacionalidad: Estados Unidos, Reino Unido, China y Suecia, 2021. Dirección: Paul Schrader. Guion: Paul Schrader. Fotografía: Alexander Dynan, en Color. Montaje: Benjamin Rodriguez Jr. Música: Robert Turner y Giancarlo Vulcano. Producción: David M. Wulf, Braxton Pope, Lauren Mann, John Read y Andrea Chung. Duración: 111 min. Ficha artística: Intérpretes: Oscar Isaac (William Tell), Tiffany Haddish  (La Linda), Tye Sheridan (Cirk), Willem Dafoe (Gordo), Alexander Babara  (Mr. USA), Bobby C. King (Slippery Joe), Ekaterina Baker (Sara), Bryan Truong (Minnesota), Dylan Flashner (Sargento Hoskins), Adrienne Lau (Crystal), Joel Michaely (Ronnie), Rachel Michiko Whitney (Nancy), Muhsin Fliah (Traductor Civil), Joseph Singletary (Preso), Kirill Sheynerman (Carcelero), Amia Edwards (Secretario del torneo), Britton Webb (Roger Baufort). Argumento William Tell, ex militar que ha pasado un tiempo en prisión, ha aprendido a jugar allí a las cartas, y de eso vive. Su existencia espartana se viene abajo cuando conoce a Cirk, un joven vulnerable y enojado que busca ayuda para ejecutar su plan de venganza contra un comandante militar retirado, que ambos conocen. Tell ve una oportunidad de redención a través de su relación con Cirk. Con el respaldo financiero de una mujer, La Linda, Tell lleva a Cirk de casino en casino, tratando de enderezar su vida. Pero ese propósito se presenta difícil. Comentario El hilo conductor de la película es la narración del protagonista, William. En apenas unos minutos nos resume cómo ha sido su vida hasta su ingreso en la cárcel, que, aparentemente, lejos de resultarle un martirio, da la impresión de que es el lugar en el que ha logrado adquirir algunos principios y ha llegado a aprender algunas cosas útiles (el primer lugar, dice, en el que ha leido un libro entero; vemos que tal libro es Meditaciones, un conjunto de reflexiones del emperador romano Marco Aurelio, adscrito a la corriente estoica, modelo de vida que asume William, y que veremos es su modelo de comportamiento) para rehacer su vida. Nos confiesa que “Me gustaba la rutina, la planificación. Las mismas actividades a la misma hora, todos los días”. Por otra parte, esa actitud metódica y analítica le lleva a aplicarse en lo que constituirá su furturo: “Fue en la cárcel donde aprendí a contar cartas”. Con esa formación autodidacta, y suponemos, leyendo algún texto específico, nos va dando las líneas maestras de lo que él considera útil respecto a diferentes tipos de juegos de apuestas. Su preferencia entre todos parece ser el Blackjack, del que nos indica lo siguiente: “Lo que diferencia el Blackjack de otros juegos es que se basa en sucesos dependientes, es decir, que el pasado condiciona las probabilidades futuras. La banca tiene una ventaja del 1.5%. Si un jugador sabe qué cartas quedan en el sabot, puede volver la ventaja de la banca a su favor. Para conseguirlo debe llevar la cuenta de las cartas que se juegan. El conteo se basa en un sistema de cartas altas y bajas. Las altas, el 10, la J, la reina y el rey, tiene valor de -1. Si se agotan, la ventaja del jugador se reduce. Las cartas bajas, el 2, el 3, el 4, el 5 y el 6 tiene un valor de +1. El 7, el 8 y el 9, no valen nada. El jugador tiene que hacer un seguimiento de las cartas y llevar una cuenta corriente. Así se obtiene la cuenta verdadera, que es la cuenta corriente dividida por las barajas restantes. Por ejemplo, si la cuenta corriente es +9 y quedan cuatro barajas y media, 9 entre 4.5 te da una cuenta verdadera de +2. Según aumenta la cuenta verdadera, aumenta la ventaja del jugador. La idea es apostar poco cuando no llevas ventaja, y mucho cuando si”. En esta sección ya hablamos de este juego a propósito de la película 21 Blackjack. Recordemos brevemente algunos conceptos, para entender este procedimiento de conteo de cartas descrito en la película que nos ocupa. Blackjack y conteo de cartas El Blackjack es un juego de cartas que consiste en obtener 21 mediante la suma de los valores de las cartas. Las cartas numéricas suman su valor, las figuras (J, Q, K) suman 10 y el as puede tomarse como 11 o como 1 si el primero hace al jugador pasarse de 21 en la jugada total. Si se consigue 21 con sólo dos cartas se considera Blackjack (con un As y una K, por ejemplo) y gana automáticamente. Se juega en una mesa semicircular con capacidad normalmente para 7 jugadores, cada uno de los cuales dispone de un casillero marcado en el tapete para realizar su apuesta antes de cada mano. Hay varios sistemas de conteo de cartas. El descrito en la película es el básico. Si la totalidad de la baraja se suma de esta manera, la cuenta final tendrá como resultado 0. Obsérvese que hay cinco cartas por palo que nos dan +1, y otras cinco que nos dan -1 (en la película, tanto en la versión original como en la doblada, falta considerar el As con -1). El total por baraja es entonces +20 para las cartas Bajas, y -20 para las Altas. Este método de conteo de cartas le permite al jugador conocer cuáles cartas quedan (a grandes rasgos) en la baraja, si son cartas Altas o cartas Bajas. Cuando estemos a la mitad de una baraja, si el valor de la cuenta es alto, significa que quedan más cartas Altas que Bajas. Como indica William, esto representa una ventaja para el jugador, mientras que si el valor es bajo, quedan más cartas Bajas por salir, y por lo general le da ventaja al crupier. Sobre la base de este conocimiento el jugador puede doblar la apuesta en el momento justo. Hay muchos sistemas de conteo. Entre los que más alegrías pueden dar al jugador está el Sistema de Conteo de Cartas Uston SS, en el que en vez de establecer sólo tres valores (-1, 0, 1) hay seis (-2, -1, 0, 1, 2). En cualquier caso la dificultad no está en las matemáticas (sólo saber llevar una cuenta), sino en la correcta memorización. El pionero en estos análisis fue, en la década de los sesenta del siglo pasado, Edward Oakley Thorp, un matemático empleado de IBM (el de la foto) que simuló en ordenador millones de manos jugadas, llegando a la conclusión de que cada mano particular tiene una forma única de jugarse correctamente. Thorp publico el libro Beat the Dealer (1962) en el que explicaba sus métodos. Entonces, los casinos se pusieron un poco nerviosos y comenzaron inmediatamente a tomar contramedidas. Antes del libro, se jugaba con una sola baraja repartida a mano. A partir del libro los casinos introdujeron más barajas, que se repartían dispensadas desde un sabot. Aunque esto dificulta algo la labor de los contadores, no fue suficiente, ya que la suma algebraica para determinar la cuenta puede ser válida con una, con seis y aún con más barajas, como nos indica William en la película. Los casinos introdujeron entonces la carta de corte. En el Blackjack repartido con sabot, se introduce una tarjeta coloreada, que cuando aparece marca el momento en el que a la siguiente mano el croupier barajará e iniciará un nuevo sabot, otra vez con todas las cartas en juego. La posición en que se coloque esa tarjeta (sea más cercana o más lejana al final de las seis barajas) determinará el momento en que hay que volver a barajar. Lógicamente en ese momento el contador tiene que abandonar la cuenta y disponerse a comenzar una nueva con el nuevo sabot a repartir. Cuanto antes aparezca la tarjeta de corte, y en consecuencia menos cartas se hayan repartido, al contador le será más difícil obtener cuentas altas. Por si acaso esta medida no fuera suficiente, en muchos casinos cuando sospechan la presencia en una mesa de un contador, le indican al croupier que coloque al barajar la carta de corte más cerca, lo que hará que, aunque se repartan menos manos en cada sabot, será más difícil obtener cuentas altas para los contadores. A pesar de que la estrategia de conteo de cartas no es considerada como ilegal en ninguna parte del mundo, la paranoia de muchos de los casinos a nivel mundial en este tipo de comportamientos, en especial en los casinos de Las Vegas, los ha llevado al punto de expulsar a los jugadores que consideran que están contando cartas, y hasta han aparecido empresas que ofrecen sus servicios a los casinos, especializadas en la detección de los contadores, con generación de archivos, y oferta de estos archivos para identificar a los contadores en la recepción del casino e impedirles el acceso, amparándose en el derecho de admisión. En la narración de William se afirma que La banca tiene una ventaja del 1.5%. El porqué de esta ventaja viene dado por el hecho de que repartidas las cartas, el jugador es el que primero debe tomar una decisión. La banca va a ganar siempre que el jugador sobrepase los 21 puntos, lo que ocurre un 2% de las veces. Una gran ventaja aunque parezca un porcentaje bajo. Los jugadores profesionales intentan reducir al máximo esa ventaja, lo que en el mejor de los casos está entre un 0.2 y un 0.5%. De ahí el comentario. En internet hay muchas páginas que explican formas de paliar esa ventaja, por lo que el lector interesado puede consultarlas sin mucho esfuerzo. Se reproducen a continuación otros momentos de la película, en la que hay algún comentario relacionado con las matemáticas, en algunos casos lejano, pero significativo sobre todo de cómo son las posibilidades de los jugadores frente a este tipo de juegos (recuerden: estos juegos no se diseñaron para que usted gane, sino para que ganen los dueños de los locales). La oferta de La Linda La Linda: Te he visto jugar. Cuentas cartas, ¿verdad? William: No soy tan listo. La Linda: Pero ganas. Así que cuentas cartas. ¿Cómo haces para que no te capen? William: Me ha pasado alguna vez. La Linda: Pero aquí estás. William: Si, bueno, es cuestión de grados. A la banca no le importan los que cuentan cartas. Ni siquiera los que las cuentan y ganan Lo que no soportan es que cuentes cartas y ganes un pastón. Todo depende de cómo y cuánto ganes. Yo no peco de ambicioso. Entonces le propone financiarle el juego, y William razona del siguiente modo William: Hay un problema con los bancadores. Ponen el dinero y las ganacias se reparten. Hasta ahí bien.  Pero si pierdes, tienes que pagar las pérdidas con ganancias futuras, lo cual es lógico. Pero vas cogiendo lastre. Si miras en cualquier página de poker on line, los diez primeros habrán ganado millones, pero la mitad estarán con el agua al cuello. Con una deuda irrecuperable. William: Hay cierto peso que un jugador va acumulando cunado acepta un bancaje. Es igual que el lastre que acumula cualquier persona endeudada. Aumenta y aumenta. Tiene vida propia. Un hombre puede también acumular cierto lastre moral por los actos que cometió en el pasado. Y ese lastre nunca se puede soltar. Sobre el póker William: En el póker, el jugador no juega contra la banca, sino contra otros jugadores. La banca se lleva una parte. Hacen falta dos cosas: conocer las probabilidades matemáticas y conocer a tus rivales. La clave es esperar. Pasan las horas y los días, mano tras mano, cada una igual que la anterior. Hasta que ocurre algo. Sobre la ruleta William: Para un novato lo más seguro es apostar al negro o al rojo en la ruleta. La probabilidad es del 47.4%. Ganas y te largas. Pierdes y te largas. Es la única apuesta inteligente en un casino. ATENCIÓN: El error de siempre de los dobladores de las películas. Una probabilidad es un valor entre 0 y 1, no es un porcentaje. Vamos a la versión orginial, y la frase es: The odds are 47.4 %. Absolutamente correcto. Las GANANCIAS son del 47.4%. ¿A quien hay que quejarse para que en la sala de doblaje se hagan las cosas correctamente? Sobre las apuestas deportivas William (a Cirk): Las apuestas deportivas son un mundo aparte. Pueden llegar a jugarse unos 100 partidos a la vez en todo el mundo, y esa es mucha información. Los algoritmos que tiene aquí son mejores y más rápidos que tú, asi que, a menos que te llegue un soplo, las apuestas deportivas se hacen por diversión. Aquí tienes 200 pavos. Elige a dos equipos, apuesta un poco, y disfruta. Yo voy a jugar al Blackjack. Curiosidades varias 1.- El nombre que adopta el protagonista (que no es su verdadero nombre como descubriremos al final), William Tell, es una referencia al famoso héroe popular suizo (el que ponía la manzana sobre la cabeza de su hijo, ¿recuerdan la historia?). Según la leyenda, Tell fue un experto tirador con la ballesta que mató a Albrecht Gessler, un tiránico juez de los duques austriacos de la Casa de Habsburgo asentado en Altdorf, en el cantón de Uri. El desafío y el tiranicidio de Tell alentaron a la población a rebelarse y a pactar contra los gobernantes extranjeros con los vecinos Schwyz y Unterwalden, lo que marcó la fundación de la Confederación Suiza. 2.- Según el director, Paul Schrader, el nombre de William Tell también es una referencia al término de póquer homónimo: "Tell", es un cambio en el comportamiento de un jugador que algunos afirman que da pistas sobre la evaluación de la mano de ese jugador. Un jugador obtiene una ventaja si observa y comprende el significado de la indicación de otro jugador, particularmente si la indicación es inconsciente y confiable. A veces, un jugador puede fingir una señal, con la esperanza de inducir a sus oponentes a hacer malos juicios en respuesta a la señal falsa. Más a menudo, la gente trata de evitar dar una señal, manteniendo una cara de póquer sin importar cómo sea de fuerte o débil su mano. 3.- El verdadero apellido de William, Tillich, podría ser una referencia a Paul Tillich, un filósofo existencialista cristiano germano-estadounidense y teólogo protestante luterano, considerado uno de los teólogos más influyentes del siglo XX. Tillich es mejor conocido por sus obras The Courage to Be (1952) y Dynamics of Faith (1957), que introdujeron temas de teología y cultura al público general. Es también conocido por su importante obra de tres volúmenes, Teología sistemática (1951-1963), en la que desarrolló su "método de correlación", un enfoque que explora los símbolos de la revelación cristiana como respuestas a los problemas de la humanidad (el comportamiento del protagonista/narrador de la película cuadra con esa personalidad). A diferencia de las principales interpretaciones del existencialismo que enfatizan la prioridad de la existencia sobre la esencia, Tillich consideraba el existencialismo "posible solo como un elemento en un todo más grande, como un elemento en una visión de la estructura del ser en su bondad creada, y luego como una descripción de la existencia del hombre dentro de ese marco”. 4.- La Serie Mundial de Póquer (WSOP) es una serie de torneos de póquer que se celebran anualmente en Las Vegas. A partir de 2020, la WSOP consta de 101 eventos, con la mayoría de las principales variantes de póquer presentadas. Sin embargo, en los últimos años, más de la mitad de los eventos han sido variantes del Texas Hold'em. Los eventos tradicionalmente tienen lugar durante un día o durante varios días consecutivos durante la serie en junio y julio. 5.- Precisamente, la primera habitación de motel en la que se registra Bill es la habitación 101, que a su vez es la notoria cámara de tortura de 1984 de George Orwell. 6.- Hay un personaje en la película que se llama El Gordo de Minnesota (referencia al personaje de la película El buscavidas; ya saben la de Paul Newman del billar) que es el antagonista allí de "Fast Eddie" Felson.  El antagonista de El contador de cartas se llama Major John Gordo. Comentario Final Independientemente de todo esto, siendo una película sobria, de bajo presupuesto, nada espectacular por tanto, sin ser una maravilla, es de lo poco salvable de las producciones últimas norteamericanas, llenas de remakes (historias ya sobradamente conocidas y en general, peores que las versiones previas) y de biopics falseados que poco o nada interesan por estos lares. Pero bueno, para gustos, los colores. Aquí pueden ver el estupendo trailer, que, parece que no cuenta nada, pero que, vista la película, está entera.

Martes, 05 de Abril de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

8. 169. El matemático

En esta ocasión nos acercamos a un cortometraje de gran calidad técnica y muchas más matemáticas que otras películas de renombre. Ficha Técnica: Título Original: The Mathematician. Dirección: Frank Zhao. Guion: Frank Zhao. Fotografía: Yao Xiao, en Color. Montaje: Frank Zhao. Música: Jacky Zhang. Duración: 8 min. Ficha artística: Intérpretes: Frank Zhao (El matemático), Jacky Zhang (El músico), Emilia Bajer (La diseñadora), Josie Dixon (La reina), Harry Butcher y Charlotte Roderick (Los enamorados), Pip Southey (Amigo de amigos),  Ryan Su (Hombre de negocios). Descripción Un joven camina por el pasillo de un edificio que parece un instituto. Se oye hablar a varias personas que hacen cola al lado de una puerta, y él mismo se incorpora a dicha cola. Esperan su turno para entrar a hablar con alguien que quizá pueda resolverles sus problemas. Al traspasar la cámara la pared, vemos a un joven sentado en una mesa escribiendo. Asistimos entonces a un amplio listado de objetos que se encuentran en la habitación: libros de matemáticas (concretamente uno de Cálculo Diferencial, y otros abiertos), una estanteria llena de ellos, una etiqueta de un pedido de regletas geométricas, estuches de tizas de colores, cajas de folios (vemos etiquetada en una de ellas la palabra hipótesis), una cinta de video etiquetada como Matemáticas Especializadas,  cats 2 & 3, gráficas de espirales, un tablero de backgammon con dado y fichas de cierta antigüedad por su estado y su cabecera de madera, folios, diapositivas antiguas,  otra caja etiquetada como Criptografia (material reservado), juegos de espejos, una esfera armilar, ejercicios de geometría, … En todo este despliegue, no deja de sonar la música original de los autores. La cámara nos acerca entonces a un joven que no deja de escribir, apareciendo entonces el título del cortometraje, que es el cartel que tiene a la puerta de su despacho. Entra entonces el primero de la cola que se sienta y le hace una pregunta en chino, que no entendemos ni aparece subtitulada. El matemático le pide que le deje pensar un segundo. Al volver la cámara, ya no está ese personaje, sino que vemos a una chica que pregunta por un diseño de un logo porque a ella no le surgen ideas para hacerlo. Un nuevo movimiento de cámara nos muestra otra joven vestida como la reina de Inglaterra (de hecho se dirigen a ella como Su Majestad) que dice que su reino está enfrentado a un asunto grave sobre qué metodos pueden utilizarse para reducir el uso de plásticos. A continuación el matemático deja de hojear un libro, y con una amplia sonrisa responde: cuatro tercios (4/3). La pantalla se divide entonces en tres partes, cada una con uno de los personajes anteriores (el músico, la diseñadora y la reina) y los tres exclaman extrañados: ¿4/3? Entonces pasa a explicar a cada uno el motivo de su respuesta. En el caso del músico, explica que por 4/3 quiere indicar que por cada cuatro toques de un determinado sonido hay que tres de otro diferente a la vez, y después mezclarlos. El músico entonces comienza a imaginar cómo quedaría (nosotros lo oimos), quedando satisfecho con la respuesta. En el caso de la diseñadora, le pasa una tableta en la que vemos cómo se genera una curva de Lissajous, a la vez que le dice que el punto del círculo de la izquierda se mueve exactamente cuatro tercios más rápido que el inferior, generando así la curva. En efecto, como sabemos, esas curvas se obtienen cuando se superponen dos movimientos armónicos en direcciones perpendiculares. Fueron descritas y analizadas por Nathaniel Bowditch en 1815 (por eso también se conocen como curvas de Bowditch) y después, con mayor profundidad, por Jules Antoine Lissajous. Se suelen expresar mediante las siguientes ecuaciones paramétricas: donde A y B son las amplitudes, wx y wy son las frecuencias angulares, respectivamente, y δ es la diferencia de fase entre ambos movimientos. Es cierto también que se utilizan frecuentemente como logotipos, como los de la Australian Broadcasting Corporation (A = 1, B = 3, δ = π/2) y el del Lincoln Laboratory at MIT (A = 8, B = 6, δ = 0). Hasta la llegada de aplicaciones informáticas, las curvas de Lissajous se trazaban mecánicamente por medio de un armonógrafo. Finalmente la explicación dada a la reina, es que el volumen de la esfera es, como sabemos, (4/3)πR3 y la esfera es la superficie con el menor área que encierra el mayor volumen. La reina deduce entonces que si fabricaran botellas esféricas, se podría eliminar un montón de plástico. A todos parece satisfacerles la respuesta común del matemático. Aparece entonces un joven angustiado porque la chica que le parece maravillosa, ideal para él, no le hace demasiado caso. Vemos por cierto a la chica en cuestión, según la describe, resolviendo ejercicios de matemáticas. El matemático le explica que, aunque desearía que tuviera el cien por cien de posibilidades de que le hiciera caso, estima que la probabilidad de que una chica empollona como esa se fijara en un horterilla como él es cero. Y sigue diciendo que la media geométrica de su relación será la raíz cuadrada de cero veces cien, lo cual es también cero. El chico asume que el asunto es por tanto imposible. Pero antes de irse, le da un papel en el que aparece escrita una ecuación que podría hacer elevar la probabilidad de que esa chica se fijara en él un 50%, y entonces la media geométrica de su relación sería de 70.71%. No es mala, le dice, pero es lo más que puede hacer. El chico se lleva el papel con la ecuacuión muy contento. Al cabo de un rato una preocupada chica entra preguntando porqué todos sus amigos tienen más amigos que ella. El matemático le responde que la paradoja de la amistad es un tema interesante. Para explicarla porqué sucede recurre una red que vemos sobreimpresionada en la pantalla, como vemos en la imagen. Le va describiendo porqué sucede, y cuando lo precisa,  chasqueando los dedos, van apareciendo al otro lado de la imagen las expresiones matemáticas que lo demuestran, via la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Sin ser tan riguroso, una explicación que se entiende bastante bien es que la mayoría de la gente tiene pocos amigos, mientras que una cantidad pequeña de personas tienen muchos amigos. Este pequeño grupo es el que produce la paradoja. Es más probable que quienes tienen muchos amigos se encuentren entre tus amigos, y cuando es así, hacen que aumente significativamente la cifra media de amigos de tus amigos. Por eso, de media, tus amigos tienen más amigos que tú. Después aparece un compatriota chino del matemático que le dice que está interesado en crear un motor de búsqueda chino. Aunque actualmente tenemos a Google, argumenta, nunca se sabe cuánto va a durar. Para eso le pide ayuda. El matemático le va a dar unas indicaciones sobre cómo funciona Page Rank, junto a un ejemplo concreto. Vemos con detalle las explicaciones para el caso de cuatro websites representadas mediante un grafo dirigido de cuatro nodos. Cuando uno de los sitios establece conexión con otro, lo asignamos una arista. En el modelo descrito, cada página transfiere uniformemente su información a las páginas a las que se vincula. El nodo 1 tiene tres aristas salientes, por lo que es relevante para cada uno de los otros tres nodos. El nodo 3 sólo tiene una arista de salida, por lo que le pasará toda su información unicamente al nodo 1. En general, si un nodo tiene k aristas de salida, pasará su importancia a cada uno de los nodos a los que enlaza, y el peso de cada arista se reparte uniformemente como 1/k a cada una (ver imagen). Después se describe la matriz de transición A asociada al grafo y se establece un vector inicial v con todas las  entradas iguales representando que cada web tendría inicialmente las mismas posibilidades de acceso para un hipotetico internauta. Cada enlace entrante aumenta la importancia de una página web, por lo que en un primer paso, se actualizaría el rango de cada página agregando al valor actual la importancia de los enlaces entrantes, lo que se logra con el producto A‧v. Iterando el proceso varias veces, haciendo los productos A2‧v, A3‧v, A4‧v, …, llegariamos a un vector de equilibrio (cuando el resultado de dos iteraciones consecutivas coincida), que en el caso del ejemplo se alcanza a la octava iteración. Ese vector de equilibrio es el Page Rank, o sea, el “impacto” entre los internautas que tiene cada website. Así pues, el matemático va resolviendo todas y cada una de las situaciones que se le van planteando. ¿Todas? ¿Y que pasó con el chico que quería salir con la chica de sus sueños? Vean el corto en este enlace, y de paso sabrán el significado oculto de la ecuación que el matemático le entregó. Comentario final Un cortometraje con más matemáticas en ocho minutos que cualquier película comercial que hayamos visto, con muy buenas explicaciones y referencias. Muestra además varias aplicaciones concretas a situaciones de la vida real de las matemáticas (ciertamente alguna traida muy por los pelos, como la dada a la reina, también es cierto), muy bien descritas y resueltas. Interesante, sin duda. Atentos también a partes del decorado, porque podemos encontrar cosas curiosas, como el encerado de la imagen en el que se desliza una intrigante pregunta: ¿Porqué los ricos son cada vez más ricos? La respuesta (la explicación) se encuentra en el modelo de la urna de Polya, como vemos escrito. La productora del corto, lifEdit, bajo el lema Our world needs math (Nuestro mundo necesita matemáticas) propone al espectador interesado un listado de páginas en los que describe con más detalle todas las situaciones propuestas en la película. Son las siguientes: 1.- Un intrigante patrón, la cadena dorada: https://r-knott.surrey.ac.uk/Fibonacci/fibrab.html 2.- ¿Porqué los ricos se hacen más ricos? Artículos de Mark Holmes, de la Universidad de Melbourne, sobre temas como éste: https://researchers.ms.unimelb.edu.au/~mholmes1@unimelb/#Papers 3.- Musica y teoria de la medida: https://www.youtube.com/watch?v=cyW5z-M2yzw&t=0s 4.- Las matemáticas son el secreto oculto al conocimiento del mundo. Roger Antonsen: https://www.youtube.com/watch?v=ZQElzjCsl9o&t=0s 5.- Curvas de Lissajous: https://mathworld.wolfram.com/LissajousCurve.html 6.- El logo de ABC es una curva de Lissajous: https://www.abc.net.au/science/holo/liss.htm 7.- La esfera minimiza el área en proporción a su volumen : https://math.stackexchange.com/questions/1297870/prove-that-the-sphere-is-the-only-closed-surface-in-mathbbr3-that-minimize 8.- El algoritmo PageRank: http://pi.math.cornell.edu/~mec/Winter2009/RalucaRemus/Lecture3/lecture3.html 9.- ¿Porqué necesitamos matemáticas?: https://www.dcu.ie/maths/why-do-we-need-maths 10.- Más curvas corazón: https://mathworld.wolfram.com/HeartCurve.html Confio en que disfruten con el corto. El subtítulo en inglés es generado automaticamente y muchas veces no tiene mucho sentido (ya saben, a veces pone “for” cuando debería ser “four”, y cosas similares). Pero para eso, se leen este artículo donde aparece todo descrito con corrección (modestia aparte).

Lunes, 07 de Marzo de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

9. 168. La vanguardista Mary Ellen Bute

El próximo 11 de febrero se celebra el Día Internacional de la Mujer y la Niña en la Ciencia, un buen momento para recordar (o dar a conocer, depende del caso) a una de las más relevantes figuras de la realización vanguardista cinematográfica. Mary Ellen Bute fue una de las pioneras en la animación y dirección en el mundo del cine, y creadora de las primeras imágenes cinematográficas generadas electrónicamente. La mayor parte de sus trabajos son cortometrajes vanguardistas, en los que combina color, música y movimiento, diseñando una especie de película-ballet (con ese nombre aparecen definidos algunos de sus trabajos durante los títulos de crédito de sus trabajos). Una de sus innovaciones consistió en utilizar fórmulas y expresiones matemáticas en la implementación de sus dibujos animados. Nacida en Houston (Texas) el 21 de noviembre de 1904, estudió pintura en su localidad natal y, posteriormente, en la Academia de Bellas Artes de Pensilvania (Filadelfia). Interesada por los efectos de la luz, continúa su formación en iluminación escénica en la Escuela de Arte Dramático de la Universidad de Yale, donde adquiere los fundamentos clásicos de los órganos de color, como medio de pintar con luz; y posteriormente en la Sorbona, en el estudio de Gerald Warburg y el Hunter College. Comienza a trabajar con el inventor soviético Leon Theremin (inventor del theremin, uno de los primeros instrumentos musicales electrónicos que además pudo ser fabricado en cadena), con el que trabaja la estroboscopia (estudio visual del movimiento), y con el músico e inventor Thomas Wilfred (célebre por su “arte luminoso” bautizado como lumia, y sus diseños de órganos de color llamados Clavilux). También estuvo directamente influenciada por las películas animadas abstractas del alemán Oskar Fischinger (con varias décadas de antelación al uso posterior de ordenadores en la animación y dirección cinematográfica y la aparición de vídeos musicales). Una docena de Cortometrajes Bute comenzó su carrera cinematográfica a principios de los años treinta colaborando con Joseph Schillinger en la animación de imágenes. Schillinger, ruso-ucraniano, se trasladó muy joven a los EE. UU., adquiriendo la nacionalidad estadounidense. Fue un teórico musical, además de compositor, y desarrolló el sistema de composición de música que lleva su nombre. Falleció muy joven, con sólo 47 años. El primer trabajo acreditado de Bute (hay algunas discrepancias sobre la datación de sus películas, debidas principalmente a inexactitudes en artículos publicados en línea y sitios web. Las fechas y películas que citaremos en esta reseña están verificadas por documentos de su ex distribuidora Cecile Starr y los materiales y programas publicitarios de Bute en la colección del Centro de Música Visual), es una colaboración junto a Joseph Schillinger y Lewis Jacobs, sin terminar oficialmente, titulado Synchromy (1933). Todos sus trabajos posteriores los realizará con el director de fotografía Theodore “Ted” Nemeth, con el que contraerá matrimonio en 1940. En 1934, ambos, junto a Melville Webber realizan Rhythm in Light, cortometraje en blanco y negro de 5 minutos de duración. En los títulos iniciales, se presenta la película como las impresiones que aparecen en la mente de un artista moderno mientras escucha música. La Suite Peer Gynt de Edward Grieg acompaña imágenes de objetos comunes y formas abstractas fotografiadas con un enfoque suave a través de anillos, pirámides, el pentagrama de notas musicales y luces flotantes que se ven en muchas imágenes, a veces como a través de un caleidoscopio, otras como si estuviera en una película de animación. Los materiales visuales y auditivos están relacionados tanto estructural como rítmicamente, utilizando para ello un algoritmo matemático (que, por supuesto, la autora se reservó de difundir, por lo que no podemos valorarlo; simplemente debemos creer que fue así) para combinar los dos medios de expression (imágenes y música). Según la crítica, el resultado es relajante e hipnótico (y afortunadamente breve, añado por mi cuenta). El final se marca mediante un conjunto de bengalas, como si de una sesion de fuegos artificiales se tratara. En 1935 se estrena Synchromy No. 2, también en blanco y negro, de 5.5 minutos de duración. En esta ocasion selecciona la pieza Evening Star, de la ópera Tannhäuser, de Richard Wagner. A través del enlace pueden ver la película. A medida que la música avanza hacia su clímax, unas cabezas de yeso de características clásicas se abren paso en el diseño en movimiento; luego aparece un cruce final de escaleras nevadas iluminadas. Durante catorce meses, Bute y Nemeth habían estado trabajando en su villa-estudio en un patio trasero de una lavandería china en la calle 46 con paredes de yeso. El selecto público que presenció la premiere (pase exclusivo antes de su exhibición en salas) en el Radio City Music Hall de Nueva York, quedó, según artículos en la prensa, asombrado de la proyección y, también, días después, los visitantes de una presentación contratada en el mismo lugar. De acuerdo con esos artículos, dada su breve duración, el público “no se da cuenta de que la producción utiliza un método similar al de Disney de fotografiar cada escena de los modelos planificados logarítmicamente de Miss Bute”. En una entrevista, Ted Nemeth explicó que para pasar de Mickey Mouse a una concepción seria y artística de la música en términos de luz no hay muchas diferencias para un director de fotografía. "La diferencia", explica, "es que Disney fotografía superficies planas de dibujos animados, mientras que nosotros tenemos que tomar fotos de modelos tridimensionales instalados en un pequeño escenario del tamaño de una fuente. Para un rollo único de uno de nuestros filmes, tengo que tomar 7.000 fotografías separadas, pero estrechamente relacionadas". Mary Ellen Bute explica en el mismo artículo su intención de “tratar de expresar la música en términos de luz". "No es una idea nueva: se remonta a la idea de movimiento poético de Aristóteles en su Poética, y fue anticipada por los instrumentos Theremin y el Clavilux". “Detrás de los modelos de Miss Bute del orden matemático que existe en la música, continua la crónica, están las investigaciones trigonométricas del consejo editorial de Scripta Mathematica, la revista académica del Yeshiva College en la ciudad de Nueva York. Los profesores elaboran ecuaciones para la escala del modelo y el tempo de la música visual que arregla la señorita Bute y fotografía el señor Nemeth”. El Yeshiva College es un centro universitario judío del Alto Manhattan en nueva York.  "Los matemáticos de la Yeshiva, que nos inspiran, finalmente pretenden construir música a partir de ecuaciones en una secuencia de imágenes, no imágenes de música ya escrita", señala Bute en voz baja y profética. "En este momento, estamos dando el siguiente paso hacia adelante", declaraba Ted Nemeth, señalando los fantásticos dibujos geométricos en colores con los que están revestidas las paredes de la habitación que contiene su cámara con lentes fotomicrográficos. "Nuestra próxima película será en color. Debido a que seguiremos adelante durante años, explorando las enormes posibilidades de esta forma de arte diferente, llamamos a nuestra pequeña organización Cine en expansión". Antes, sin embargo, aparecen dos nuevos trabajos: Dada (1936, B/N, 3 min), en la que a ritmo de una música que suena como una típica melodía de Busby Berkeley, aparecen líneas y círculos sobre un fondo negro. Luego triángulos, en grupos, cuadrados blancos y negros moviéndose en tándem, y formas brillantes que se convierten en patrones caleidoscópicos. Posteriormente aparecen cubos, blancos, rebotando, contra el fondo; un ying y un yang que gira varias veces antes de que la película termine con un rápido estallido de luz dispersa. El propósito es plasmar el movimiento dadaísta (recuérdese que el dadaísmo fue un movimiento cultural y artístico que surgió en 1916 en el Cabaret Voltaire en Zúrich, creado con el fin de contrariar las artes convencionales; se oponía al concepto de razón instaurado por el positivismo, y se caracterizó por rebelarse en contra de las convenciones literarias, y especialmente artísticas, por burlarse del artista burgués y de su arte; una provocación, en suma, al orden establecido). A público y críticos se les hizo demasiado corta (normal, dada la duración). En 1937, se estrena Parábola, su última producción a blanco y negro, de nueve minutos de duración, con La Creation du Monde, de Darius Milhaud, como composición musical base. Se trata de toda una oda a esta curva, mostrada en las múltiples facetas en que la podemos descubrir. El escultor Rutherford Boyd trabajó en colaboración con Nemeth y Bute cuyas instalaciones de producción en Nueva York fueron puestas a su entera disposición. Filmada, fotograma a fotograma, mediante una sucesión de fotografías que variaban la disposición de piezas de escultura bajo iluminación controlada, Parábola nos presenta el potencial de una nueva técnica de filmación para aquel momento. Los objetos curvos flotan, y aparecen imágenes especulares. Las esculturas de papel se separan en rebanadas parabólicas. Seguramente al espectador atento le recuerden edificios aún no construidos entonces, como el teatro de la ópera de Sydney, o el edificio Chrysler. Las sombras, las superficies no iluminadas y las superficies que giran hacia la luz se suman a las variaciones. Al inicio de la película, aparece el siguiente mensaje: “La poesía del movimiento en la Naturaleza escrita con una sola línea, la parábola. El camino de cualquier bola y bala, la curva de un faro, el cable de un puente, el chorro de una fuente y una estrella fugaz siempre siguen esta trayectoria. Parábola. Una curva cautiva, terrestre por gravedad, liberada por los hombres de todas las Artes. Parábola. Cualquier curva formada al pasar un plano a través de un cono paralelo a su pendiente es una parábola”. En 1937 aparece Synchromy No. 4: Escape, primer trabajo a color de 4 minutos de duración, en el que un triángulo naranja/rojo está preso detrás de una reja bajo la expansión de un cielo azul que posiblemente represente la libertad. La composición Tocata (en re menor) de J. S. Bach añade tensión dramática a los elementos en movimiento. En 1939, se estrena Spook Sport, a graveyard gambol. (Color, 8 min.), con la Danza macabra, de Camille Saint-Saëns como sustrato musical. En el trabajo de animación participa el célebre animador Norman McLaren. Es medianoche en un cementerio. Los personajes principales son espectros, fantasmas, murciélagos, campanas y, al final, el sol. Se mueven al ritmo de la música. Contrastando con la negra noche, son azules y amarillos. Aparecen murciélagos y un xilófono de huesos. Según avanza la noche, la niebla se disipa, los espectros se arremolinan. Suena una campana. El cielo se vuelve azul claro, la danza de los fantasmas se ralentiza. Hasta la siguiente noche que vuelve a traer indicios de frenesí. Los huesos tocan tambores, los fantasmas se asoman desde las tumbas cuadradas. Aparecen caras de miedo. El movimiento frenético toma el control. Y todo termina cuando un gallo canta y todos regresan a la tierra apareciendo la luz del sol. En el enlace anterior pueden verla a partir del minuto 3:12. En 1940 las abstracciones de Mary Ellen se visualizan a través de todo el país, gozando de bastante éxito popular. De nuevo co-dirigida por Norman McLaren, se estrena Tarantella. (Color, 5 min.), en esta ocasion con música modernista de Edwin Gerschefski. En este “sonido visual”, como acostumbraba a llamar a sus trabajos, muestra su habilidad para sincronizar música e imagen como si de un moderno pintor se tratara y lo que uniera en el lienzo fuera imagen y sonido. Dos puntos, uno azul y otro naranja, aparecen en escena, a veces grandes, a veces pequeños, a veces superpuestos. Cuando los sonidos se vuelven más entrecortados, también lo hacen las imágenes: las líneas onduladas se convierten en garabatos, las líneas cortas en forma de clavo atraviesan la pantalla en filas. El resultado es una representación visual de la música abstracta, viva y enérgica. El corto toma el título de una popular danza napolitana ejecutada por trios. Se denominó así en base a la creencia popular de que era un remedio para erradicar (sudando) la picadura venenosa de una tarántula. Sus trabajos posteriores siguen la misma línea: Polka Graph (1947, Color, 4.5 min.), con la Polonesa de The Age of Gold, de Dmitri Shostakovich; Color Rhapsodie (1948, Color, 6 min.); Imagination (1948, Color); New Sensations in Sound (1949, Color, 3 min.), película publicitaria para RCA; Pastorale (1950, Color, 9 min.) con el aria Schafe können sicher weiden (Las ovejas pueden pastar con seguridad) de J. S. Bach; Abstronic (1952, Color, 7 min.), con música de Aaron Copland y Don Gillis; Mood Contrasts (1953, Color, 7 min.). En 1958 produce The Boy Who Saw Through, un mediometraje de 25 minutos no abstracto en blanco y negro, interpretado por un joven Christopher Walken. Y finalmente entre 1965 y 1967 (tres años prácticamente tardó en terminarla) se atreve con un largometraje, Passages from Finnegans Wake (B/N, 97 min.), no abstracto, en la que es directora y co-guionista, inspirada en la obra de James Joyce (fue la primera adaptación al cine de un texto del autor irlandés). Criticada por haber representado el erotismo de Joyce con escenas de sexualidad explícita, la película fue premiada en el Festival de Cannes como mejor ópera prima. En el enlace está íntegra, en versión original. En las décadas de 1960 y 1970, Bute trabajó en dos películas que nunca se completaron: una adaptación de la obra de Thornton Wilder de 1942 The Skin of Our Teeth y una película sobre Walt Whitman con el título provisional Out of the Cradle Endless Rocking. Murió de insuficiencia cardíaca en el Centro Médico Cabrini de la ciudad de Nueva York, cinco semanas antes de cumplir 77 años. Seis meses antes, el 4 de abril de 1983, recibió un homenaje especial y una retrospectiva de sus películas en el Museo de Arte Moderno. Bute fue miembro fundador de Women's Independent Film Exchange. Eligió a la historiadora de cine Cecile Starr para distribuir sus cortometrajes. El Center for Visual Music es el organismo autorizado que comercializa y distribuye sus películas en la actualidad. Como habrán comprobado, y en contra de la costumbre americana, Mary Ellen Bute siempre firmó todos sus trabajos con su nombre de soltera, circunstancia que motivó no pocos comentarios a lo largo de toda su carrera. También en eso fue pionera.

Miércoles, 09 de Febrero de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

10. 167. ¿Conocen el binomio de Windsor?

Empecemos el año con buen humor, que falta nos hace. Hablemos en este caso de política educativa, recordando la que se satirizaba a finales de los años cuarenta. Lo malo es que comprobaremos que, aunque han pasado más de setenta años, hay “costumbres” que parecen fijas e inmutables. En fin, diviértanse, si pueden. El dicho popular dice que cada maestrillo tiene su librillo, frase que no es sino consecuencia de la experiencia que cada persona ha ido adquiriendo en sus quehaceres habituales, y que le ha proporcionado unas maneras y conocimientos con las que los afronta de un modo convincente y profesional (al menos para él). Los docentes tenemos evidentemente ese librillo a base de años de hacer bien las cosas y también de confundirnos, un punto fijo al que al final nos hemos ido aproximando y que ya variamos lo mínimo. Eso no está mal, aparentemente, si nuestros propósitos fueran moralmente irreprochables (aunque podamos estar equivocados, actuamos por convicción). Pero existe el caso, tan común a nuestro alrededor en las noticias diarias, de que el fin justifica los medios. O dicho de otra manera, en el beneficio propio, me cargo a quien y lo que sea. Luego, un par de golpes en el pecho y tres avemarías dispensan al sujeto (eso es lo que él cree, claro). Pero no es así. Afortunadamente, el pícaro trepa de la película de hoy no es tan repugnante. Es más, nos caerá bien incluso, porque no es sino un infeliz, que finalmente logra su objetivo a costa de los que siempre le han estado exprimiendo, y lo hará mostrando lo inútiles que en el fondo son. Vayamos con los datos de la película. Ficha Técnica: Título: El sistema Pelegrín. Nacionalidad: España, 1952. Dirección: Ignacio F. Iquino. Guion: Wenceslao Fernández Flórez, basado en su novela homónima. Fotografía: Pablo Ripoll, en B/N. Montaje: Juan Pallejá. Música: Augusto Algueró. Producción: Ignacio F. Iquino. Duración:  96 min. Ficha artística: Intérpretes: Fernando Fernán Gómez (Héctor Pelegrín), Isabel de Castro (Luisa), Sergio Orta (Don Carlos Martínez), Manuel Monroy (Moscoso), Luis Pérez de León (Ferrán), Rafael Luis Calvo (Bremón), José Ramón Giner (Gómez), José Calvo (Padre de Gelasio), Gerardo Esteban (Locutor), Carmen Valenzuela (Madre de Gelasio), Federico Górriz (Cobrador del autobús), Augusto Ordóñez (Padre de Jeromín), Ricardo Valor (Rómulo), María Zaldívar (Madre de Rosita), Mario de Bustos (Sr. Pons), Isabel Estorch (Rosita), Carmen Valor (Esposa de Rómulo), Matías Ferret (Alcalde), Jaime Planas (Manolo, el tabernero). Argumento (a grandes rasgos; o sea sin estropear la película): Héctor Pelegrín es un vendedor de seguros que no logra los resultados que sus jefes le exigen, por lo que es despedido. Su oficio le ha hecho ser un manipulador y un jeta de mucho cuidado. No le queda más remedio porque se ha quedado sin un duro. Por supuesto vive de la apariencia. Trata de entrevistarse con el director de una entidad bancaria, pero no logra su objetivo. En la terraza de un bar, Héctor, siempre pendiente de todo lo que ocurre a su alrededor, escuche a una pareja la siguiente conversación. La mujer está leyendo un diario, sección de ofertas de trabajo (pongo en color rojo aquello que tenga un atisbo de carácter matemático): Mujer (leyendo): Una lección de Aritmética. Dos horas diarias. Seiscientas pesetas al mes. Rómulo: Bah. No es ninguna ganga. Mujer: Pero tampoco te exige demasiado esfuerzo. ¿Qué tienes que hacer en esas dos horas? Afirmar que 2 y 2 son 4, y 5 por 3, 15. Y comprobar que unos cuantos chiquillos estén dispuestos a admitir esas verdades. Piensa que esas seiscientas pesetas son un alivio para el que no tiene ninguna. Rómulo: Puede que acepte. Quizá iré hoy mismo. Anotaré la dirección. Mujer: Es en el Gran Colegio. Rómulo: ¡Ah, pues vamos! Precisamente el director es gran amigo mio. Cuando se han ido, Héctor coge el periódico. En la siguiente escena, vemos un cartel que pone “Gran Colegio Ferrán”. En la siguiente escena, el director del centro está hablando con Rómulo. En ese momento, la puerta corredera de la estancia se abre bruscamente entrando Héctor, avasayando, como es habitual en él: Héctor: Sr. Director, vengo por lo del anuncio. ¡Los nobles fines de la enseñanza! Rómulo: Perdone. He llegado antes que usted y aún no terminó mi conferencia con este caballero (señalando al director). Héctor: Si se tratara de una cuestión de prioridad, mis derechos también serían inopinables. Pero es a la preparación de los hombres del mañana, es la ciencia representada por este venerable pedagogo, la que está interesada ahora. Rómulo: Yo traigo mis certificados y creo inútil dialogar con usted. Héctor: Y yo tengo la seguridad de ser apto para esta misión. El señor director no se arrepentirá de preferirme. No soy un Miguel de Cervantes, pero no me asusta una regla de tres, ni desconozco la existencia del binomio de Windsor. Director: ¿Cómo? Rómulo (con desdén): Habrá querido referirse al binomio de Newton. Héctor: ¡¡No, señor, sino a otro mucho más bueno!! Rómulo (pensativo): Me gustaría conocerlo. Héctor: ¡¡Lo que habría que enseñarle a usted!! Rómulo: Oiga, pero, ¿qué se ha creido? Director (templando ánimos): Moderemonos, señores, moderemonos. Héctor se queda entonces solo con el Director Director: Este caballero me ha parecido competente y además ha llegado antes que usted. Lo siento. Crea que lo siento. Héctor: Yo también. ¿A qué negarlo? Mi vocación irresistible es la enseñanza. Y esta ocasión, en este admirable colegio cuyo renombre se extiende por toda España, al lado de quien como usted supo crearlo. Director: No, en realidad fue mi tio Jerónimo Ferrán. Yo lo heredé de él hace seis meses. Tiene internos, tiene antigüedad, pero cualquier día lo vendo. Me falta la experiencia de mi tio, y luego, estimulados por su muerte, unos desertores de este colegio han fundado la Academia Enciclopédica. Francamente, es un rival de importancia. Claro que no se pueden comparar. Son una recua de asnos, pero economicamente temo que lleguen a dañarme, sí señor. Héctor: Sin cultura física no puede existir hoy un gran colegio. Usted suprime la Geometría, la Trigonometría, el Álgebra, y no pasa nada. A un perfecto caballero, jamás le harán falta las Matemáticas. Usted surpime el Griego y el Latín, y sus alumnos engordan. Pero la cultura física es esencial. Ella es la que forma al “gentleman”. Bendiga usted el día en que me ha encontrado, señor Ferrán. Yo soy el hombre que usted necesita. Porque si en algo he sobresalido, es en la enseñanza de los deportes, que pueden modelar, no sólo los cuerpos, sino las almas. Y ríase usted ya de la Academia Enciclopédica. Finalmente, consigue que le pongan al mando de una asignatura, la Educación Física. Los alumnos sin embargo son menos idiotas que todos los adultos que les rodean, aunque Héctor tampoco es tonto, por lo que en seguida se percata de que éstos pueden descubrirle, y tendrá que ir por delante de ellos. En sus clases trata de ir por delante, sorprendiendolos como puede. En sus peroratas, se va desgranando su “sistema”. En una de ellas: Héctor: Los rayos solares son riquísimos en vitaminas. Para nosotros lo más importantes es esto: la obtención de la fortaleza física necesaria para el estudio. Una humanidad débil no podría afrontar por ejemplo, las preocupaciones de la trigonometría. Héctor: Mientras que el campo de juego no esté dispuesto, quiero preparar a ustedes para que lleguen a ser buenos espectadores. Ser espectador es quizá la más alta condición deportiva. Ellos constituyen la atmósfera necesaria para que el deporte exista. Ellos animan a los jugadores hasta llevarlos a la victoria. Pienso yo que si los mirones conociesen bien sus deberes y desempeñasen bien su papel, los deportes ganarían mucho. Pero no se les educa para ello. Ignoran lo que tienen que hacer, gritan a destiempo, o no gritan nunca, o se levantan cuando no deben. Es preciso prepararse para ser espectador para cuando las ocupaciones o los años nos impidan la práctica activa del deporte. Comentarios Sin más que leer los diálogos anteriores, deducimos que para el amigo Héctor Pelegrín la enseñanza no es sino una posible tabla de salvación a su situación, pero que le importa bastante poco. Las escasas referencias a las matemáticas lo son desde un punto de vista humorístico y por supuesto nunca positivo, ya que se traen a colación siempre denotando algo difícil, complicado, que trae quebrantos más que satisfacción alguna. Y además, del todo inútiles (un perfecto “gentleman” no las necesita), salvo para aparentar y dejar en ridículo a un competidor (que nunca podrá estar seguro si de verdad existe ese nuevo binomio o no). El sistema Pelegrín, novela de un profesor de cultura física es una novela corta (248 páginas) cómica del escritor gallego Wenceslao Fernández Flórez publicada en el año 1949 por la Librería General de Zaragoza, y reimpresa por la misma editorial en 1955. Tiene lugar en una pequeña ciudad de la España de la posguerra. Aunque en la película, Héctor tiene el aspecto de Fernando Fernán Gómez, en la novela es un sujeto de corta estatura y largo bigote, lo que le hace más esperpéntico aún como profesor de gimnasia. Sus métodos son del todo singulares. Entre ellos se encuentra la "gimnasia moral y social", el "tenis cristiano" (en el que los competidores deben facilitarse mutuamente la devolución de la pelota). En otro hilarante momento de la película, manda llevar a cada alumno una moneda que tirarán al suelo. Luego con los ojos cerrados deben recoger cuantas más monedas puedan, sólo que él se hará, con los ojos abiertos, con la mayor parte de ellas. Su gran proyecto es la creación de un equipo de fútbol que prestigie al Ferrán frente a su competidor, la Academia Enciclopédica. Pero los alumnos no son muy buenos, así que convence al director del colegio de la necesidad de fichar a otros chavales, vayan o no al Colegio. Y por supuesto, dejando si es necesario en los mejores puestos a aquellos cuyos padres más puedan beneficiar con ingresos económicos al equipo, por muy negados que sean. Eso mismo hará el equipo rival. Sus disparatados métodos conseguirán enfrentar a los padres, a los colegios, y aún a la población entera, polarizada entre los partidarios de uno y de otro. El partido que enfrentrá a ambos equipos, en el que el propio Pelegrín actuará de árbitro, desembocará en el desastre. Observen en la imagen de equipo que el profesor tiene un jersey que le ha tejido su novia con las iniciales de su nombre, Héctor Pelegrín. Cuando se lo entregó, adivinen porqué no se lo quería poner, ja ja ja. La película, aproximadamente hasta la mitad, hasta el momento de preparar los equipos de fútbol, resulta curiosa, bien llevada, mordaz, interesante (mucho gracias a Fernando Fernán Gómez, porque el resto del elenco es más bien lamentable). Sin embargo, a partir de ahí, parece de otro director diferente, siendo intragable, cursi, absurda, inverosimil, lamentable. Quedan avisados. El autor Wenceslao Fernández Flórez (1885 – 1964) fue un escritor y periodista gallego bastante singular. Aunque aparentemente conservador, no se cortaba un pelo en criticar y poner de vuelta y media a quien fuera necesario, afín o no a su ideario personal (incluso se metió con la iglesia, los militares o la justicia del momento). Su familia y la de Franco eran amigas de antes de la guerra (ambas de El Ferrol), pero siempre estuvo mirado con cierto recelo (llega a escribir varios artículos críticos contra el gobierno de Franco, al que consta que no hicieron ninguna gracia). Su estilo es satírico, irónico y en sus novelas (unas cuarenta) se destila un mensaje de escepticismo, pesimista incluso, hacia un mundo que cambia sólo superficialmente, descuidando, según él, valores espirituales y morales permanentes. Sus personajes son bastante realistas y siempre andan entre la frustración y el fracaso. Su visión de la sociedad es siempre desencantada, aunque envuelta en lo humorístico. Fernández Florez ha sido un autor muy adaptado al cine. Por año de estreno: El malvado Carabel (tres versiones: Edgar Neville, 1935; Fernando Fernán Gómez, 1956; Rafael Baledón, 1962). Intriga (Antonio Román, 1942) El hombre que se quiso matar (Rafael Gil en dos ocasiones, en 1942 y en 1970) La casa de la lluvia (Antonio Román, 1943) Huella de luz (Rafael Gil, 1943) El destino se disculpa (José Luis Sáenz de Heredia, 1944) El bosque animado (tres versiones: José Neches, 1945; José Luis Cuerda, 1987; Ángel de la Cruz y Manolo Gómez, 2001). Ha entrado un ladrón (Ricardo Gascón, 1949) El sistema Pelegrín (Ignacio F. Iquino, 1952). Camarote de lujo (Rafael Gil, 1957) Los que no fuimos a la guerra (Julio Diamante, 1962), de la que hablamos en la reseña 134.- Mujeres, Matemáticas, España. ¿Por qué te engaña tu marido? (Manuel Summers, 1969) Cortometraje Fendetestas (Antonio Simón, 1975) Volvoreta (José Antonio Nieves Conde, 1976)

Martes, 04 de Enero de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico