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Música y matemáticas

El objetivo de esta sección es comprender la interesante y profunda relación de las Matemáticas con la Música.

Nuestro sincero agradecimiento a Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid) por organizar y desarrollar esta sección, a sus anteriores responsables Rafael Losada y Vicente Liern, así como a todas las personas que colaboran con la misma.

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Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción La primera columna de este nuevo año 2019 es la tercera entrega de la serie Geometría y Música. Estamos examinando los modelos geométricos de la música, en especial los de la geometría de los acordes y de la conducción de voces. Todo ello de la mano del compositor y teórico de la música Dimitri Tymoczko, cuyo libro A Geometry of Music [Tym18a] nos está sirviendo de guía en esta exploración músico-matemática. La primera entrega [Góm18b] fue esencialmente musical, donde estudiamos las ideas de este autor sobre la música tonal. Según Tymoczko, la música tonal se caracteriza por cinco componentes: (1) el movimiento melódico por grados conjuntos; (2) la consonancia acústica o qué intervalos se consideran consonantes y disonantes; (3) la consistencia armónica o la similitud entre sonoridades armónicas; (4) la macroarmonía limitada o la elección de las escalas; y (5) la centralidad o la jerarquización de los grados de la escala. Tras la exposición de estos principios, Tymoczko prosigue con una serie de proposiciones sobre estos elementos, lo que él llama las cuatro afirmaciones fundamentales. Las recordamos aquí brevemente por completitud. Estas afirmaciones son: (1) la armonía y el contrapunto se restringen mútuamente; (2) la escala, la macroarmonía y la centralidad son independientes; (3) toda modulación implica conducción de voces; y (4) la música puede entenderse a través de modelos geométricos. En la presente entrega se desarrollará a fondo esta última afirmación. En la segunda serie [Góm18a], más matemática, se sentaron las bases para el estudio geométrico de acordes y conducciones de voces. Se dotaron de estructura matemática a los espacios de frecuencias y de alturas. Se definió una función para medir la distancia entre dos notas. Se identificaron transformaciones que preservan la distancia entre notas (la transposición y la inversión). Se establecieron transformaciones que preservan series ordenadas de tonos (a saber, los cambios de octava, las permutaciones o reordenaciones, cambios de cardinalidad y transposiciones). Este conjunto de operaciones recibe el nombre de OPTIC. Buena parte del artículo anterior consistió en el estudio de las propiedades de las operaciones OPTIC, en especial qué tipos de objetos son invariantes por estas operaciones. También se presentaron conceptos importantes relativos a la conducción de voces, en particular, métodos para comparar dos conducciones de voces. En esta tercer serie vamos a estudiar los modelos geométricos de progresiones de acordes y conducciones de voces para acordes de dos y tres voces. Estos modelos trasladan las estructuras musicales a estructuras geométricas y se examinará el significado musical de propiedades geométricas de dichos modelos. Estos modelos son una de las principales contribuciones del trabajo de Tymoczko. 2. Espacio 2D de tonos ordenados Dado que una melodía tiene, en su forma más básica, dos componentes, altura y duración, es natural que se represente en un espacio 2D tal como el plano euclídeo ℝ2. De hecho, la notación occidental es en el fondo una representación de este tipo. Otra manera de usar el plano euclídeo es considerar dos voces y tratar de representarlas en el plano, ahora prescindiendo de la componente temporal. Consideremos, por fijar ideas, la conducción de dos voces (do4, mi4)-→(mi4, do4), que es una conducción por movimiento contrario. Su representación 2D sería la dada en la figura siguiente. Figura 1: Representación 2D de una conducción de dos voces (figura tomada de [Tym11]) Vemos que la conducción ha dado lugar a un segmento en el plano que conecta ambas voces. Es muy intuitivo darse cuenta de que los movimientos contrarios darán lugar a segmentos que forman un ángulo de -45 grados con el eje OX y que, en cambio, los movimientos paralelos producen segmentos con ángulo +45 grados. Esto lo ilustra muy claramente la figura de abajo, que es una representación de un pasaje de una misa de Josquin des Prés. Figura 2: Una conducción de voces en el plano (figura tomada de [Tym11]) Empero, parece algo poco natural e intuitivo ver los movimientos contrarios y paralelos con ángulos de 45 grados. Musicalmente, los movimientos paralelos se entienden como segmentos paralelos al eje horizontal, mientras que los movimientos contrarios se asocian al eje vertical. Por ello, se suele rotar el plano para que la representación de las voces se adecúe a esta perspectiva, tal y como se muestra en la figura 3. Esto no cambia las voces, solo la manera en que se representan. Figura 3: Rotación del espacio de tonos (figura tomada de [Tym11]) Ahora la cuestión es cómo representar todas las posibles conducciones de dos voces usando el plano y las ideas anteriores. En la figura 4 encontramos una representación plausible. Si partimos del origen, que está en (F4♯, F4♯) (en notación inglesa y por referirnos a la figura de Tymoczko), entonces vemos que la porción del espacio representada está formada por cuatro teselaciones, que forman cuatro cuadrantes. Cuando nos movemos sobre el eje +OX (flecha negra de la figura) avanzamos en los dos voces por semitonos; análogamente, si vamos en el sentido -OX. Cuando nos movemos verticalmente hacia arriba, la primera voz desciende por semitonos y la segunda asciende por semitonos. Como consecuencia de la construcción de este espacio, las rectas de tonos paralelas a la bisectriz del primer cuadrante (óvalo del primer cuadrante) mantienen constante la primera voz, mientras que las rectas de tonos paralelas a la bisectriz del segundo cuadrante (el otro óvalo) dejan la segunda voz constante. El espacio entero comprende todas las notas en las frecuencias audibles y consiste en repeticiones del subespacio que vemos en la figura de abajo en las direcciones vertical y horizontal (con los cambios de notas pertinentes). Nótese que el cuadrante primero y tercero (NE y SO) son iguales entre sí, así como los cuadrantes segundo y cuarto. Sin embargo, el cuadrante cuatro es una simetría con respecto al cuadrante 1; lo mismo ocurre con los cuadrantes dos y tres, respectivamente. Figura 4: El espacio euclídeo 2D de tonos ordenados (figura tomada de [Tym11]) Este espacio se puede generalizar a conducciones de n voces. En ese caso el correspondiente espacio será ℝn. El valor de n puede ser alto si consideramos, por ejemplo, las conducciones de todas las voces de una obra sinfónica, o tan pequeño como 2 en un dueto de dos instrumentos melódicos. El espacio anterior fue descrito para las conducciones de voces. ¿Qué pasa si consideramos una progresión de acordes en lugar de una conducción de voces? ¿Se podría adaptar el espacio anterior para representar acordes? La respuesta es que sí. Si pasamos de conducciones de voces a progresiones de acordes, entonces se pierde el orden en los vectores; solo cuentan las notas. Prosigamos con el ejemplo de dos voces y consideremos entonces conjuntos de dos tonos (esto es, acordes de dos notas o diadas). Todavía es posible usar el plano euclídeo para representar los acordes. La figura 5 muestra cómo quedaría dicha representación. Observamos que los subíndices que marcaban la octava han desaparecido y que ahora los puntos en el plano son simplemente las notas del acorde. En la parte derecha del espacio se ven los distintos intervalos, que van desde el unísono hasta el tritono. Figura 5: El espacio euclídeo 2D de acordes (figura tomada de [Tym11]) Sin embargo, este espacio tiene una estructura mucho más fascinante que la que hemos descrito hasta ahora. Si examinamos los bordes izquierdo y derecho, veremos que son iguales, ambos van desde CC hasta F♯F♯, pero van en sentido contrario (véanse las flechas de la figura). Es natural identificar ambos bordes como uno. Para ello, es necesario retorcer uno de los bordes para pegarlo con el otro. Al hacer esto retorcemos el espacio entero de los acordes. Cuando se hace esta operación matemática de identificar los bordes con la orientación contraria, aparece un bonito objeto matemático llamado la banda de Möebius. Esta banda tiene la propiedad de ser una superficie de una sola cara y no orientable. En la figura 6 se puede ver una banda de Möebius (figura tomada de https://tex.stackexchange.com/questions/118563/moebius-strip-using-tikz). Figura 6: La banda de Möebius Como pasaba en el espacio de las conducciones de voces, las diagonales y sus paralelas dan cuenta de las progresiones en las que la nota de un acorde se queda fija. Por ejemplo, en la diagonal principal, la que biseca el primer cuadrante, la nota F♯ se queda constante. En la otra diagonal, la que biseca el segundo cuadrante, es la nota C la que se queda constante. Cuando nos movemos en vertical por el espacio, lo hacemos por movimiento contrario y cuando nos movemos en horizontal, entonces se produce movimiento paralelo. 3. Progresiones de acordes y conducciones de voces en los espacios de diadas El uso de los espacios de diadas en el caso de las progresiones de acordes y las conducciones difiere. Una progresión de acordes genera un conjunto de puntos en el espacio de diadas. Cómo se va de un punto a otro no es importante; solo es relevante el punto de llegada en sí mismo, que marca las notas del nuevo acorde. En cambio, con las conducciones de voces, la manera en que se llega de un punto a otro sí es relevante porque el tamaño de la conducción de voces se corresponde con la longitud del camino en el espacio de diadas. Esto será esencial más adelante, pues uno de los objetivos que perseguimos aquí es construir herramientas que permitan comparar conducciones de voces y elegir la más eficiente. Para ver cómo funciona este espacio de diadas, consideremos la conducción (C, E)-→(E♭, G) (en notación inglesa y por seguir la figura de Tymoczko). Como se puede pasar del primer par al segundo moviendo cada voz tres semitonos, el camino que aparece en el espacio es un segmento horizontal; véase la figura 7. Si tomamos la conducción (B, D)-→(A♭, F), en que las voces se mueven por movimiento contrario, ahora el camino que las une es un segmento vertical. Esto es consecuencia de que se pasa de una a otra bajando tres semitonos desde la primera voz y subiendo tres semitones en la segunda voz. Figura 7: Caminos entre voces en el espacio de diadas (figura tomada de [Tym11]) Consideremos ahora el espacio de progresiones de acordes. Como vimos arriba, este espacio tiene estructura de banda de Möebius y eso influye en la manera en que se conectan los acordes entre sí. Tomemos las progresiones ⇒ y ⇒; en la figura 8 aparecen los caminos que generan estas progresiones en el espacio de diadas. Figura 8: Caminos entre acordes en el espacio de diadas (figura tomada de [Tym11]) La primera progresión va primero desde hasta , cambiando la primera nota del acorde (y pasando por do sostenido), pero al llegar al borde superior, el camino rebota y va hasta el acorde final por un camino paralelo a una diagonal principal (el cual deja constante la nota D). En el caso de la segunda progresión, la situación es más divertida aun. El camino va desde hasta , y este último acorde se encuentra en el borde derecho. ¿Cómo continuar? Ese mismo acorde aparece en el borde izquierdo más abajo, como se aprecia en la figura 8. Entonces, el camino está cortado en dos trozos, aunque en realidad no es así. Si representamos el camino en la banda de Möebius, veremos que el camino es de una sola pieza. En la figura de abajo, se ve un fragmento del Alleluia justus ut palma. En la parte (a) está la pieza en notación occidental. Se trata de un ejemplo temprano de contrapunto a dos voces. En la parte (b) se encuentra la representación en el espacio de diadas de la conducción de voces. Los patrones de la conducción saltan a la vista inmediatamente y su análisis es mucho más sencillo. Se ve primero un triángulo, formado por las aristas 1, 2, 3; y a continuación, otro triángulo, que comparte base con el anterior, formado por las aristas 3, 4 y 5. Por último, hay un segmento, que nos lleva hasta el origen en el acorde (D, G). Este es el tipo de ejemplos que da Tymoczko para apoyar su tesis de que el análisis geométrico de la música es más potente e intuitivo que ciertos métodos tradicionales. Figura 9: Una conducción de voces en el espacio de diadas (figura tomada de [Tym11]) 4. Espacios de triadas El lector estará pensando en este punto en la generalización a espacios de dimensiones superiores, en particular, en cómo se pasa de espacios de diadas a espacios de triadas, ya que las triadas es uno de los acordes fundamentales de la música occidental. El espacio de triadas es un objeto más complicado y se encuentra en ℝ3. Dicho espacio es periódico y tiene forma de azulejos 3D; la figura 10 muestra uno de esos azulejos. Figura 10: El espacio que modeliza los acordes de tres notas (figura tomada de [Tym11]) En este espacio, las triadas aumentadas dividen a la octava en tres partes iguales (recuérdese que estamos en el espacio de clases de tonos); en la figura están representadas como cubos de color oscuro. Estos acordes recibirán el nombre de regulares. Cuando más cerca está un acorde de dividir la octava en partes iguales, más cerca está del eje que une las triadas aumentadas. Los acordes más alejados de los regulares son los acordes unísonos, que se encuentran en los bordes del prisma. Aunque en la figura se han representado acordes dentro del temperamento igual, este modelo sirve para acordes microtonales o para acordes en otros sistemas de afinación. Si ahora consideramos las conducciones de voces, entonces veremos que una conducción equivale a un camino dentro de este espacio. Sin embargo y como pasaba en 2D, los caminos dan saltos dentro del espacio. Si construimos el camino ⇒ que va por movimiento paralelo, comprobaremos que primero subimos desde hasta por la arista exterior del prisma que une ambos acordes, y de ahí da un salto al que está en la cara inferior a la derecha, desde donde sube hasta por la arista exterior derecha. En la figura 11 aparecen algunas progresiones de acordes del primer movimiento del cuarteto con piano en do menor opus 60 de Brahms. Se trata de secuencias cromáticas, cada una de las cuales usa una conducción de voces que desciende por semitonos para conectar triadas mayores y menores (véanse las flechas de la figura). En la parte (a) de la figura, en la primera conducción, vemos como se conecta sol mayor a fa♯ menor descendiendo un semitono. En la segunda secuencia, se conecta mi menor con sol menor. En las siguientes conducciones, como indica la figura, se salta una quinta perfecta (de la menor a mi mayor) y de una segunda menor descendente (de fa♭ mayor a mi menor). A primera vista, parece que Brahms está usando secuencias de acordes que no están relacionadas entre sí. Pero si vemos estas secuencias en el espacio de triadas, entonces nos daremos cuenta de que Brahms está moviéndose en dicho espacio de una manera bastante sistemática. Empezando en cualquier triada mayor, hay solo dos movimientos descendentes por semitonos que producen una triada menor, y que en la figura aparecen etiquetados como a y b; en la parte (b) de la figura aparecen donde está el acorde de fa mayor. Esos movimientos consisten en el descenso de o bien la fundamental o la tercera de la triada. Desde este punto, es posible bajar la fundamental un semitono y obtener un acorde aumentado. Brahms suele saltarse el acorde aumentado. Entonces, ahora hay tres posibles caminos desde la triada aumentada para conseguir una triada mayor; en la parte (b) de la figura 11 están etiquetadas como 1, 2 y 3. Cada una corresponde a la posibilidad de bajar una nota un semitono en la triada aumentada. Las nuevas triadas que resultan son de un semitono descendente, un tercera menor ascendente y una quinta perfecta ascendente, que son exactamente las que aparecen en la obra de Brahms. Figura 11: Conducción de voces en el cuarteto con piano de Brahms op. 60 (figura tomada de [Tym11]) Combinando las posibilidades por a y b y por 1, 2, 3 mencionadas antes, nos salen seis posibles secuencias para pasar de una triada mayor a una menor. En la parte (c) de la figura 11, se listan esas secuencias. Brahms usa cuatro de ellas y lo que es más interesantes es que  esas secuencias contrapuntísticamente son similares (porque usan conducciones de voces por semitonos) mientras que armónicamente son diferentes. Para experimentar con los espacios de acordes, Tymoczko programó una aplicación que permite visualizar estos espacios; véase [Tym18b].   Bibliografía [Góm18a] Paco Gómez. La geometría de la música (ii), consultado en diciembre de 2018. [Góm18b] Paco Gómez. La geometría de la música (i), consultado en octubre de 2018. [Tym11] Dimitri Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011. [Tym18a] Dmitri Tymoczko. Página web de dmitri tymoczko, consultado en diciembre de 2018. [Tym18b] Dmitri Tymoczko. Página web de Dmitri Tymoczko, sección Chord Geometries, consultado en diciembre de 2018.
Miércoles, 09 de Enero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Esta es la segunda entrega de la serie Geometría y Música, serie que versa sobre los modelos geométricos en música y que en su mayor parte será una recensión del libro de Dimitri Tymoczko [Tym18] A Geometry of Music. En la primera entrega [Góm18] examinamos las ideas principales de este autor sobre la música tonal y post-tonal. Vimos que Tymoczko caracteriza la tonalidad por cinco componentes principales: (1) el movimiento melódico por grados conjuntos; (2) la consonancia acústica o qué intervalos se consideran consonantes y disonantes; (3) la consistencia armónica o la similitud entre sonoridades armónicas; (4) la macroarmonía limitada o el hecho de que para construir la música se escoge un número relativamente pequeño de notas (las escalas); y (5) la centralidad o el hecho de que en la música tonal hay una jerarquía que otorga más importancia a ciertos tonos que a otros. Después de esta caracterización, Tymoczko continúa con lo que él llama las cuatro afirmaciones fundamentales. Las recogemos de nuevo aquí porque serán importantes en el desarrollo de esta serie. Estas afirmaciones son: (1) la armonía y el contrapunto se restringen mútuamente; (2) la escala, la macroarmonía y la centralidad son independientes; (3) toda modulación implica conducción de voces; y (4) la música puede entenderse a través de modelos geométricos. Tymoczko aboga por el uso conceptual y práctico de los métodos geométricos para el análisis y la composición de música; se queja —y en muchos casos no le falta razón—de que los métodos tradicionales no proporcionan métodos de análisis suficientemente potentes y comprensivos. A partir de las premisas enumeradas antes, el autor persigue demostrar que los métodos geométricos son más satisfactorios en el análisis musical que los métodos tradicionales. En las secciones siguientes se presentan los conceptos matemáticos y musicales básicos para entender las ideas principales de los métodos geométricos presentados por Tymoczko. 2. Espacios de tonos Físicamente, el sonido consiste en vibraciones periódicas del aire. Cuando estás vibraciones son relativamente estables percibimos un sonido, que lleva asociada una frecuencia. Nuestro oído es capaz de percibir esa frecuencia y asociarle un tono o altura. En general, un tono no está dado por una única frecuencia, pero para nuestros propósitos podemos suponer que es así. Por la naturaleza del sonido, las frecuencias funcionan en términos de cocientes y no de sumas. Para ilustrar este hecho, supongamos que tenemos tres sonidos s1,s2,s3 de frecuencias, f,2f y 3f, respectivamente. Si reproducimos los sonidos s1 y s2 y a continuación reproducimos los sonidos s2 y s3, tendremos la sensación de que el salto auditivo entre los dos primeros es mayor que entre los dos últimos. Esto es debido a que nuestro oído detecta los cambios en los cocientes de la frecuencia y no los cambios en su diferencia (en esta caso las diferencias entre los sonidos es siempre f). Como el cociente entre las frecuencias de s1 y s2 es 2 y el cociente entre s2 y s3 es 3∕2, el primer salto se percibe como mayor. Trabajar con las proporciones es farragoso y por eso se pasa a un espacio en que las distancias entre las notas se midan mediante sumas y no mediante cocientes. La fórmula siguiente permite ese paso: donde p es el tono asociado a la frecuencia f. En la ecuación aparece la normalización respecto al la de 440 hercios. Las constantes c1,c2 se toman típicamente como c1 = 69 y c2 = 12. Esta elección permite que cada octava esté dividida en 12 semitonos y que el tono de do4 (la nota de frecuencia 261,6 Hz) tenga como valor 60; véase la figura 1. Figura 1: Espacios lineales de tonos (figura tomada de [Tym11]) El espacio de tonos producido por la fórmula de arriba es lineal, esto es, se corresponde con el del conjunto de los enteros que se representan sobre una recta. Pasar de un tono a otro se hace ahora mediante sumas y restas. Por ejemplo, si un tono tiene valor x, el tono en la octava inmediatamente superior es x + 12 y el de la inmediatamente inferior, x - 12. El oído humano tiende a oír los mismos tonos en distintas octavas como iguales o muy similares. Esto es lo que se llama la equivalencia de la octava. Se sabe que este principio constituye un universal musical (véase [BJ11] para más información sobre universales musicales). Por tal motivo, los músicos, cuando están interesados en la nota en sí misma y no en su posición en una octava determinada, identifican todos los tonos iguales en las octavas. Esto, matemáticamente hablando, es una relación de equivalencia, definida como sigue. Si x,y son dos tonos, entonces se dice que x está relacionado con y, y lo escribimos como x ~ y, si |x - y| = 12. Las clases de equivalencias se llaman clases de tonos o clases de alturas. Las clases de tonos se pueden representar sobre un círculo, que no es sino una visualización de las clases de equivalencia; véase la figura 2. Figura 2: Espacios circulares de tonos (figura tomada de [Tym11]) Será útil en el análisis de la música del siglo XX, como veremos en posteriores entregas de esta serie, considerar clases de tonos continuas. En la figura anterior aparece la clase de do más 0,17 cents como ilustración de que el modelo admite tonos con valores reales. Se define la distancia entre dos clases de tonos como la distancia más corta en el círculo entre dichas clases. Entre dos notas dadas, siempre hay dos caminos que van de una a otra, uno en sentido horario y otro en sentido antihorario. Volviendo a la figura anterior, la distancia entre do y mi es 4 (y no 8 que sería el valor de la otra distancia). Como a veces será necesario especificar una de las dos distancias entre dos clases dadas, usaremos la notación domi, que significa que se considera el camino que va de do a mi en sentido positivo (horario). La expresión domi se refiere al otro camino de do a mi. Una ventaja que tiene la representación en el círculo de las clases de tonos es que se puede representar el movimiento melódico como un caminos en el espacio de clases. 3. Transformaciones que preservan las distancias La distancia entre dos notas o clases es importante en música y por ello los músicos clasifican dichas distancias y dan nombre a todos los intervalos que generan dos notas dadas. Entonces, las transformaciones musicales que preservan las distancias entre notas tienen especial relevancia. Dichas operaciones son la transposición y la inversión. En el lenguaje geométrico, estas operaciones se corresponden con la traslación y la simetría axial, también llamada reflexión. La transposición consiste en añadir un número constante de semitonos x a un tono dado p. Se designa por Tx(p) y su expresión es Tx(p) = p + x. Dos melodías que estén transpuestas se perciben como iguales o muy similares. La segunda transformación que preserva las distancias es la inversión. Aquí hay que advertir que el término inversión es polisémico. En música, se usa para hablar de las inversiones de un acorde dentro de una octava, como en la primera inversión del acorde do-mi-sol es mi-sol-do; y también para hablar de la inversión referida al espacio de clases de tonos, que es la que estamos tratando ahora. La inversión cambia el contorno melódico y lo que asciende ahora desciende y viceversa; además las distancias entre los intervalos se respetan, aunque no así su dirección. Este tipo de inversión es la que se produce cuando estamos ante el espejo. Para ilustrarlo mejor, consideremos el ejemplo dado por el propio Tymoczko, en la página 34 de su libro y que reproducimos en la figura 3. En la parte (a) tenemos un pasaje de El clave bien temperado, libro II, de J. S. Bach; en la parte (b) tenemos el mismo pasaje al que se le ha aplicado la inversión. El bajo de la parte (b) es una reflexión exacta del bajo de la parte (a). El eje de simetría de la reflexión es el la3 = 57, que es la segunda nota del bajo. La melodía de la mano derecha también ha sufrido una inversión, excepto en la primera y última nota (por razones armónicas). Obsérvese cómo las direcciones de la melodía reflejada ha cambiado respecto a las de la melodía original. Figura 3: Inversiones en el El clave bien temperado, libro II, de Bach (figura tomada de [Tym11]) En términos de la geometría, la inversión es una reflexión o simetría axial. Para definir matemáticamente esta operación necesitamos dos puntos x,y en el círculo. El eje de simetría será la recta perpendicular que pasa por el punto medio del segmento xy (dicho punto está dado por . En estas condiciones, la reflexión Iyx(p) de un punto p está dada por la expresión Obsérvese que Iyx(x) = y y que Iyx(y) = x. En la figura siguiente se pueden ver las equivalencias geométricas de las operaciones de transposición e inversión. Figura 4: Transposiciones e inversiones (figura tomada de [Tym11]) 4. Transformaciones que preservan la identidad musical Para Tymoczko, un objeto musical básico es cualquier serie ordenada de tonos o notas. Esta es una definición bastante abstracta. Así, la serie (do4, mi4, sol4) puede representar o bien una melodía o bien un acorde. Esta abstracción, veremos pronto, es necesaria. La idea que se persigue aquí es clasificar los objetos musicales básicos de acuerdo a su contenido de tonos y no respecto a su distribución en la octava. Las tres transformaciones que conservan la identidad armónica de un objeto musical son: los cambios de octava, las permutaciones o reordenaciones y los cambios de cardinalidad. Por cambio de cardinalidad entendemos la duplicación de notas del objeto musical. En la figura siguiente se tiene el objeto (do4, mi4, sol4); en (a) están todas las posibles materializaciones de dicho objeto en la música y en (b) su representación en el espacio de clases de tonos. Figura 5: Transformaciones sobre objetos musicales básicos (figura tomada de [Tym11]) Consideremos ahora la categoría tipo de acorde; típicamente en esta categoría encontramos acordes como los mayores, menores, disminuidos, de séptima mayor, aumentados, de séptima de dominante, etc. Las transformaciones que dejan invariante el tipo de acorde son las anteriores, esto es, el cambio de octava, la permutación y el cambio de cardinalidad más una transformación, que son las transposiciones. Dos acordes mayores pertenecen a la misma categoría de tipo de acorde y como se ve en la figura siguiente están todos relacionados entre sí por medio de alguna transposición. De nuevo, en la parte (a) vemos varios acordes mayores y su equivalente en el espacio de clases en la parte (b). Figura 6: Transformaciones que dejan invariantes el tipo de acorde (figura tomada de [Tym11]) En este punto Tymoczko presenta la definición de equivalencia en el espacio de clases de tonos. Dos objetos musicales definidos en el espacio de clases se dicen que son equivalentes si uno se puede transformar en el otro por alguna de las siguientes transformaciones: cambio de octava, permutación, transposición, inversión o cambio de cardinalidad. Cogiendo las iniciales de cada una de estas transformaciones, llamaremos a estas transformaciones transformaciones OPTIC. A continuación mostramos una figura del libro de Tymoczko que ilustra claramente cómo funcionan las transformaciones OPTIC. Figura 7: Transformaciones OPTIC (figura tomada de [Tym11]) En ciertos contextos, especialmente en la práctica común extendida, aparece la necesidad de considerar colecciones no ordenadas de tonos. Para no confundir con las series ordenadas de tonos, los designaremos con corchetes. Así, (do4, mi4, sol4) es la serie ordenada de tonos y es el conjunto de tonos; obsérvese que en realidad es un multiconjunto porque admite repeticiones de los tonos. Otros objetos de interés son los acordes de tonos (que no de clases) y las sucesiones de clases de tonos (usadas estas en el análisis de la música dodecafónica). En la tabla de abajo se listan diversos objetos musicales con las transformaciones que los dejan invariantes. Tipo de objeto Invariancia Acorde (clases de tonos) OPC Tipo de acorde OPTC Conjuntos de clases OPTIC Multiconjuntos de clases de tonos OP Acorde (solo tonos) PC Sucesión de clases de tonos OC Tabla 1: Objetos musicales y las tranformaciones que los dejan invariantes 5. Conducciones de voces y progresiones de acordes Siguiendo el enfoque abstracto de Tymoczko, en esta sección abordamos a continuación las progresiones abstractas. Por progresión aquí quiere decir el autor una progresión de objetos musicales, los cuales pueden ser cualquiera de los objetos listados en la primera columna de la tabla 1. Es evidente que las operaciones OPTIC se pueden aplicar a las progresiones abstractas y que la manera de hacerlo condicionará el resultado. Hay dos maneras de aplicar una operación a una progresión abstracta, bien de modo individual o de modo uniforme. La primera manera consiste en aplicar solo la operación a ciertos elementos de la progresión (y se puede aplicar más de una operación); en la segunda manera la operación en cuestión se aplica a cada elemento de la progresión. Para ilustrar estas definiciones, déjenos el lector considerar la progresión (do4, mi4, sol4)-→(do4, fa4, la4); véase la figura 8 (a). Si aplicamos una permutación de manera uniforme, por ejemplo, rotar el acorde a la izquierda una posición, entonces tendremos la progresión (mi4, sol4,do4)-→(fa4, la4, do4), como se aprecia en la figura 8 (b). Figura 8: Maneras de aplicar las transformaciones OPTIC (figura tomada de [Tym11]) Si aplicamos distintas permutaciones a cada acorde, entonces las operaciones se habrían aplicado de manera individual. En la figura 8 (c) se ve que el acorde de do mayor ha sido rotado una posición a la derecha y en cambio el de la mayor lo ha sido dos veces. Una conducción de voces es la descripción de cómo se mueve cada voz de un acorde a otro. Una progresión de acordes es una serie ordenada de acordes. Esta serie no contiene información alguna sobre cómo se mueven las voces para conectar los acordes entre sí. Desde el punto de vista matemático, las conducciones de voces se producen cuando se aplican permutaciones de manera uniforme, mientras que las progresiones de acordes surgen cuando se aplican permutaciones y cambios de cardinalidad de manera individual. Por último, decir que las conducciones de voces se pueden dar entre tonos o entre clases de tonos. Una conducción de voces se suele denotar por una flecha que une los dos conjuntos de notas. Si nos encontramos con una conducción tal como (sol2, sol3, si3, re4, mi4)-→(do3, sol3, do4, do4, mi4), entonces estamos ante una conducción de voces entre tonos. Cuando abstraemos la octava de cada nota, pasamos a las clases de tonos, pero entonces hay que indicar el número de semitonos entre dichas clases, lo cual se hace poniéndolo encima de la flecha. En el ejemplo anterior sería (sol, sol, si, re, mi)(do, sol, do, do, mi). Cuando todos los semitonos para pasar de un acorde a otro están en el intervalo [-6,6] se pueden omitir los semitonos de encima de la flecha, ya que en este caso se está usando el camino más corto posible. Como es el caso del ejemplo anterior, podemos escribir (sol, sol, si, re, mi)-→(do, sol, do, do, mi). En el caso del tritono, que es la mitad exacta de la octava, se toma la convención de que siempre ascienden. Típicamente, una progresión de acordes es simplemente una sucesión de conjuntos de clases de tonos no ordenados. Así, por ejemplo, la sucesión ⇒ es una progresión cuyo primer acorde es do7 y cuyo segundo es mi. Para distinguir de las conducciones de voces, usaremos en el resto de la serie la notación ⇒ en lugar de -→. Obsérvese también que se han utilizado llaves en lugar de paréntesis. En la figura siguiente se ilustra esta definición sobre el círculo de tonos. Figura 9: La progresión (figura tomada de [Tym11]) 6. Comparación de conducciones de voces En este capítulo del libro, Tymoczko define una serie de relaciones que le servirán para comparar conducciones de voces. Aquí usa los conceptos de aplicación uniforme e individual de transformaciones que introdujo anteriormente. Fijemos una conducción de voces A-→B, donde A,B son acordes; dichas relaciones son las siguientes: Conducciones relacionadas por transporte uniforme (TU). En estas conducciones se transforma el acorde A en el acorde B por una aplicación uniforme de una transposición a cada una de las notas de A. Cuando esto ocurra diremos que la conducción de voces es TU. Conducciones relacionadas por transporte individual (TI). Ahora se pasa del acorde A al acorde B por una aplicación individual de una transposición a cada una de las notas de A. En la figura siguiente se ilustra estas dos definiciones con dos conducciones de voces. Figura 10: Conducciones TU y TI (figura tomada de [Tym11]) Obsérvese que en la parte (a) de la figura, la conducción (do, mi, sol)-→(do, fa, la) y la conducción (sol, si, re)-→(sol, do, mi) son TU porque la translación T7 convierte la una en la otra. En cambio en la parte (b), las conducciones (do, mi, sol)-→(do, fa, la) y la conducción (sol, si, re)-→(fa♯, la , re♯) son solo TI ya que hacen falta dos transposiciones diferentes, T7 y T6, para transformar la primera en la segunda. En este caso las conducciones de voces on IU. Conducciones relacionadas por inversión uniforme (IU). En estas conducciones se pasa del acorde A al acorde B por una aplicación uniforme de una inversión a cada una de las notas de A. Si este es el caso, diremos que la conducción de voces es IU. Conducciones relacionadas por inversión individual (II). Ahora se pasa del acorde A al acorde B por una aplicación individual de una transposición a cada una de las notas de A. La figura 11 muestra dos conducciones de voces diferentes, una que es IU (parte (a)) y otra II (parte (b)). Las conducciones IU son (do, mi, sol)-→(do, fa, la) y (sol, do, mi♭)-→(sol, si♭, re). ¿Cuál es la inversión que transforma el acorde (do, mi, sol) en (sol, do, mi♭)? Como vimos más arriba, la inversión transformará do en sol y mi en mi♭. El eje de simetría de la inversión será el punto medio entre mi y mi♭, que denotaremos por mi4♭4 (en la figura aparece como E♭44). La inversión se ha aplicado a cada nota de la conducción de voces. Figura 11: Conducciones IU e II (figura tomada de [Tym11]) Si ahora consideramos las conducciones (do, mi, sol)-→(do, fa, la) y (sol, do, mi♭)-→(sol♯, si, re♭), veremos que no son IU sino II. En efecto, para pasar del segundo acorde de la primera conducción al segundo acorde de la segunda conducción hace falta una inversión distinta de Imi4♭4mi4♭4 (hace falta Imi 4mi4). Por ello, las conducciones de voces no son IU sino II. 7. El tamaño de una conducción de voces Para continuar con el trabajo de modelizar geométricamente las conducciones de voces, Tymoczko necesita presentar el concepto de tamaño de una conducción de voces. Intuitivamente, ese tamaño es una medida de cuánto se mueven las voces cuando van de un acorde a otro. Es posible definir varias medidas para el tamaño de una conducción de voces, pero según Tymoczko, que no se decide por ninguna en particular por el momento, lo razonable es que al menos respeten los dos siguientes principios: La medida del tamaño de la conducción de voces tiene que ser proporcional a cuánto se mueve cada voz individualmente. Conducciones con cruzamientos de voces deben dar mayores tamaños que las conducciones equivalentes sin el cruzamiento. Esto es lo mismo que decir que es preferible que muchas voces se muevan a poca distancia que pocas voces se muevan a grandes distancias. La figura 12 ilustra este extremo. La conducción en (a) es menos preferible que la conducción en (b); el ejemplo de (c) está tomado de la coral de Bach Nun lob, mein Seel, den Herren. Figura 12: El tamaño de una conducción de voces (figura tomada de [Tym11]) 8. Más consideraciones sobre armonía y contrapunto Como sabemos, la armonía se ocupa de lo vertical y el contrapunto de lo horizontal y aquí el problema que estamos estudiando es cómo dada una progresión de acordes (vertical), encontrar una conducción de voces (horizontal) que sea eficiente. En esta sección vamos a estudiar qué acordes permiten conducciones de voces eficientes, esto es, que muevan lo menos posible las voces entre acorde y acorde. El concepto que va a permitir alcanzar esto es el de quasi-simetría. Vamos a estudiar qué acordes permanecen inalterados por las operaciones OPTIC a tal efecto; en realidad, nos basta estudiar las transposiciones, las inversiones y las permutaciones. Estos acordes recibirán el nombre de acordes quasi-simétricos. ¿Qué acordes permanecen inalterados tras la aplicación de una cierta transposición? Se puede probar que dichos acordes pertenecen a una de estas dos categorías: (1) o bien dividen el círculo en partes iguales; (2) o bien esos acordes pueden descomponerse en subconjuntos de igual tamaño que dividen al círculo en partes iguales. Típicos acordes que cumplen (1) son el acorde de notas a distancia de un tritono o el acorde disminuido. Los acordes que cumplen estas propiedades se llaman acordes simétricos de transposición o simplemente acordes ST. En la figura 13 tenemos ejemplos de las condiciones (1) y (2). En la parte (a) tenemos un acorde de dos notas con sus notas a distancia de 6 semitonos. Claramente, la transposición T6(x) deja el acorde inalterado. En la parte (b), tenemos el acorde (do, fa, fa♯, si), el cual se puede descomponer en los tritonos (do, fa♯) y (fa, si); dichos tritonos tienen el mismo tamaño y dividen por igual al círculo. Por tanto, son acordes ST. Figura 13: Acordes ST o acordes simétricos de transposición (figura tomada de [Tym11]) Centrémonos ahora en las inversiones. Un acorde para el que existe una inversión que lo deja inalterado se llama un acorde simétrico por inversión o simplemente un acorde SI. La pregunta es qué acordes permanecen inalterados si se les aplica una inversión. Para que esto ocurra deberá existir un eje de simetría, que debe ser un diámetro del círculo, y que debe estar dado por la perpendicular por el punto del segmento que una dos notas del acorde. Por ejemplo, en el acorde (do, re, mi), el eje de simetría está dado por la perpendicular que pasa por el punto medio del segmento do-mi, el cual, en efecto, pasa por la nota re; véase la figura 14. Figura 14: Acordes SI o acordes simétricos por inversión (figura tomada de [Tym11]) Tymoczko en las páginas 57-58 de su libro da un ejemplo real de cómo los acordes SI dan una conducción de voces eficiente. La figura 15 ilustra la conducción de voces entre el acorde (fa, la♭, do♭, mi♭) y (fa, la♭, do♭, re). En (a) vemos que el acorde (fa, la♭, do♭, mi♭) está cerca del acorde de séptima disminuida. Invirtiendo esta conducción de voces uniformemente alrededor del eje de simetría dado por la4-si♭4, tenemos una conducción de voces eficiente entre el acorde mi7 y el acorde disminuido, como se ve en (b). Ahora aplicamos una retrogradación de la conducción de (b) y la pegamos a la de (a), como se aprecia en la parte (c) de la figura. Por último, suprimimos el acorde auxiliar (fa, la♭, do♭, re) y conseguimos la conducción eficiente que buscábamos; véase (d). Figura 15: Conducciones de voces eficientes entre acordes usando la simetría de inversión (figura tomada de [Tym11]) Por último, queda examinar los acordes que permanecen inalterados por la aplicación de permutaciones. Los llamaremos acordes simétricos de permutaciones o acordes SP. Para tratar este tipo de acordes es más conveniente pensar en multiconjuntos. En realidad, los acordes SP son triviales. Tienen que ser de la forma , donde X es una nota. Sin embargo, los acordes vecinos a estos sí son interesantes. Consideremos el acorde SP y su acorde cercano (si, do, do♭); se quiere construir una conducción de voces entre (re♭, do, si) y (si, re♭, do). El procedimiento es similar al caso anterior de las simetrías de inversión. Primero, se transforma el primer acorde a uno con simetría, en este caso de permutación, que es (do, do, do), como en (a) de la figura; a continuación se aplica una retrogradación y se reordenan las voces y se obtiene una conducción de voces entre (do, do, do) y el acorde final (parte (b) de la figura). Por último, se suprime el acorde auxiliar, el de la simetría y ya tenemos la conducción buscada (parte (c)). Figura 16: Conducciones de voces eficientes entre acordes usando la simetría de permutación (figura tomada de [Tym11]) Como se puede deducir de los ejemplos anteriores, el procedimiento para construir la conducción de voces es el mismo; solo cambia el tipo de acorde y su simetría que se emplea en cada caso.   Bibliografía [BJ11] S. Brown and J. Jordania. Music evokes vicarious emotions in listeners. Psychology of Music, 41(2):229–248, 2011. [Góm18] Paco Gómez. La geometría de la música (i), consultado en octubre de 2018. [Tym11] Dimitri Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011. [Tym18] Dmitri Tymoczko. Página web de dmitri tymoczko, consultado en septiembre de 2018.
Lunes, 26 de Noviembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Geometría y Música Este año de 2018 inaugura una serie de artículos sobre la geometría y la música, o más exactamente sobre métodos y modelos geométricos de la música. De manera natural, la estructura geométrica aparece en multitud de contextos musicales, sencillamente como reflejo visual de la propia estructura musical. Pensemos sin ir más lejos en el círculo de quintas, en las representaciones circulares de los ritmos de clave [DGMM+08], en el tonnetz de Euler, en las representaciones en forma de árbol de la teoría generativa de la música [LJ83], la representación interna de la música mediante cadenas de Markov [Góm18], o la nomenclatura de acordes de Forte [For77], entre otras muchas. En esta serie hablaremos principalmente de la modelización geométrica en la armonía. Para ello, sin duda alguna, Dimitri Tymoczko [Tym18] es una de los autores más originales y profundos que ha tratado esta cuestión. Este compositor y teórico de la música de la Universidad de Princeton ha sido el primer autor en publicar en la prestigiosísima revista científica Science el primer artículo [CQT08] sobre teoría de la música en la historia de la revista, lo cual constituye un logro en sí mismo. También es muy conocido Tymoczko por su libro A Geometry of Music [Tym11], donde estudia modelos geométricos en relación a la armonía clásica y moderna, incluyendo escalas, conducción de voces y armonía funcional. Esta serie de artículos consistirán en una recensión del libro de Tymoczko (véase la portada en la figura de abajo). Figura 1: A Geometry of Music [Tym11] En esta primera entrega de la serie cubriremos fundamentalmente conceptos musicales, que luego nos servirán de base para el resto de los artículos. El artículo del mes que viene será más matemático y el resto consistirá en una combinación de conceptos musicales y métodos geométricos. El libro de Tymoczko es extenso y profundo, organizado en 10 capítulos con 450 páginas en total y cubriendo temas que van desde la tonalidad clásica hasta la práctica común extendida pasando por el jazz. Glosarlo exhaustivamente no es el objetivo de esta columna; daremos los ejemplos más representativos de cómo usar métodos geométricos para el análisis de la música. 2. Los cinco componentes de la tonalidad En el capítulo uno, Tymoczko empieza con una discusión del término tonalidad. Se puede entender tonalidad en un sentido restrictivo como la música occidental de los siglos XVIII y XIX principalmente. Así, la música de Arvo Pärt, Varèse o Xenakis se pueden concebir como música post-tonal (o como humorísticamente lo pone el autor asaltos sonoros organizados). Sin embargo, el término tonalidad se puede emplear en un sentido más amplio y entonces comprende músicas tales como el impresionismo, rock, el folk, el minimalismo y por supuesto el jazz. El propósito del libro de Tymoczko es “proporcionar al lector categorías generales para discutir música que no es ni clásica ni completamente atonal”[Tym11, p. 3 y 4]. Y, en efecto, el libro tiene un nivel de abstracción que lo hace enriquecedor y atractivo; esto no obsta para que encontremos múltiples ejemplos que ilustran dichos conceptos abstractos. En primer lugar, Tymoczko define lo que él llama los cinco componentes de la tonalidad. Estos son: 1. Movimiento melódico por grados conjuntos. Esta característica aparece en muchas culturas, no solo en la occidental. Varios autores han analizado la estructura de lo que se consideran buenas melodías y han concluido que el uso de grados conjuntos es una de sus características; véase [RB06] y las referencias allí mencionadas. Las otras características de las buenas melodías son la repetición y el sentido de finalidad. Figura 2: Movimiento por grados conjuntos En la melodía de la izquierda de la figura anterior vemos una melodía por grados conjuntos que acaba en un do final. En la melodía de la derecha, en cambio, la melodía presenta saltos de más de una octava; esto hace que el oído perciba dos melodías entrelazadas, una la del registro superior, mi-fa-fa-sol, y otra en el el registro inferior, re-mi-fa-sol. El primer tipo de melodía se prefiere al segundo en la mayor parte de las culturas musicales. 2. Consonancia acústica. Aquí se refiere el autor a los intervalos considerados consonantes, tales como la octava, la quinta o la cuarta. Muchos estilos musicales muestran una clara preferencia por este tipo de intervalos de tal modo que se les asigna funciones melódicas y armónicas de más importancia que a otros intervalos. Izumi [Izu00] llevó a cabo un interesante estudio en que prueba que los monos pueden distinguir intervalos consonantes y disonantes. Parece que la consonancia acústica podría ser un candidato a universal musical más allá del ser humano. 3. Consistencia armónica. Esta es una característica ligeramente más general que la anterior. Alude al uso de sonoridades que se parecen unas a otras. Siguiendo el ejemplo que Tymoczko da en la página 6 y que se puede ver en la figura de abajo, vemos tres sucesiones de acordes. La sucesión (a) consiste en una serie de acordes mayores y menores que auditivamente son similares. La sucesión (b) también presenta acordes con un cierto grado de similitud a pesar de las disonancias presentes. Por último, la sucesión (c) muestra acordes que son distintos entre sí y que apelan a sonoridades dispares. Figura 3: Consistencia armónica (figura tomada de [Tym11]) 4. Macroarmonía limitada. Este término apunta al hecho ampliamente constatado que en la mayor parte de las culturas musicales se usa un número relativamente pequeño de notas. En el caso de la música occidental, las escalas más frecuentes son la pentatónica, la diatónica y la cromática. Con esas notas se construyen las armonías y las melodías. El juego musical consiste en muchos casos en afirmar la escala dada y salir de esta para la creación de tensión. A veces ni siquiera esto y salir de la escala no está en el estilo musical; la tensión se crea con mecanismos confinados a la propia escala. 5. Centralidad. La centralidad alude a la presencia de ciertos tonos que son más importantes o centrales que otros. Estos tonos sirven como puntos de apoyo o como notas finales en las melodías y progresiones armónicas. Cuando un tono es central una melodía tiene una interpretación diferente a cuando otro tono es el central. Una melodía como do-re-mi-fa se interpreta de distinta manera si do es el tono estable a si lo es fa, por ejemplo. Cuando lo es do, esa melodía pide una continuación. Si el tono estable es fa, entonces la oímos más como un final de melodía. El componente más cultural es, sin duda, la consistencia armónica. La idea de que la música tiene una estructura subyacente de acordes que cambian relativamente rápido es bastante occidental. En otras culturas, en cambio, esta idea no existe o si hay cambios de acordes, estos ocurren con una frecuencia mucho menor que en la música occidental. En la página 7 de su libro Tymoczko hace una interesante descarga de responsabilidad. Afirma que, aunque un oyente típico crecido en la cultura occidental prefiere música que presente estas cinco cualidades, el autor no declara que la música occidental sea intrínsecamente mejor que otras músicas que no posean tales cualidades. En efecto, es claro que, independientemente de la enculturación que hayamos recibido, lo tonal no es sinónimo de bueno en música. Por cierto, que tampoco lo popular es bueno. De hecho, la pregunta de qué es buena música permanece sin respuesta en la bibliografía de la investigación. Para más información sobre la pregunta cercana de qué es un buen músico, véase la tesis de Pablo Romero [Rom18]. 3. Cuatro afirmaciones fundamentales A Geometry of Music se desarrolla en base a cuatro principios fundamentales, que son los que desarrollamos a continuación. Los tres primeros son aseveraciones musicales bastante razonables, que se pueden considerar como plausiblemente verdaderas en la música occidental y en otras tradiciones, y la última es, en cambio, una idea no tanto novedosa como una idea ya conocida pero llevada hasta proporciones inesperadas y aplicada con métodos bastante modernos. Dicha idea es la de que la música tiene estructura geométrica y que, por tanto, se puede analizar con métodos geométricos. En esta afirmación subyace la impresión de que Tymoczko considera que los métodos clásicos de análisis musical no dan cuenta de ese territorio que linda entre la música tonal y la práctica común extendida. Los métodos geométricos que propone el autor consiguen un análisis más amplio y unificado que otros métodos más clásicos. 3.1. La armonía y el contrapunto se restringen mutuamente Esta afirmación es conocida de sobra por compositores desde hace tiempo. Tymoczko la establece aquí como premisa de trabajo y adoptando un tono pedagógico claro y ameno la ilustra. Para los lectores menos familiarizados con la música, reproducimos algunos de sus ejemplos. Si tomamos como acorde base el de do mayor, en un primer momento y buscando la máxima consonancia podríamos escoger entre dos opciones, ilustradas en la figura de abajo. En la opción (a), todas las notas pertenecen al acorde. Esto podría dar una melodía relativamente restringida y algo monótona. En la opción (b), se usan notas de paso y las notas del acorde, entonces, quedan en las partes fuertes. Estas notas de paso unen por grados conjuntos las notas del acorde. Esto da lugar a melodías más variadas. Figura 4: Armonizaciones simples de melodías (figura tomada de [Tym11]) El mecanismo de las notas de paso es válido para acordes ”sencillos”, como es el mayor. En el siguiente ejemplo, en cambio, ya vemos que no funciona. Figura 5: Armonizaciones de melodías con acordes complejos (figura tomada de [Tym11]) En la parte (b) de la figura se ve como hay que introducir muchas notas de paso para ligar las notas del acorde, lo cual descuadra la melodía. Los ejemplos anteriores sirven de soporte a la afirmación de que la armonía y la melodía se restringen mutuamente. Tymoczko presenta un concepto más, el de conducción de voces eficiente, que será primordial en el resto del libro. Siguiendo su ejemplo, supongamos que queremos unir dos acordes, do mayor y fa mayor, mediante tres melodías independientes pero con la restricción de que se muevan lo más posible por grados conjuntos. Esto es posible porque do mayor y fa mayor tienen la propiedad de que cada nota de un acorde está cerca de otra nota del otro acorde; véase la figura 6 (a). En la parte (b) de la figura vemos una posible realización de esa conducción de voces. Figura 6: Conducciones de voces (figura tomada de [Tym11]) Dado que el movimiento entre las voces es lo más pequeño posible (grados conjuntos) estamos ante una conducción de voces eficiente. Esta visión melódica de la armonía es el contrapunto. 3.2. La escala, la macroarmonía y la centralidad son independientes Para Tymoczko, una escala es una medida de distancia musical. Si hablamos de la escala pentatónica do-re-mi-sol-la, do y re está a distancia uno. En la escala cromática estarían a distancia dos. Y si una escala musical es una regla de medir distancias, entonces la macroarmonía es el número total de notas usadas en un periodo acotado de tiempo musical. En principio, y a falta de mayor perspicacia, ambas parecen estar muy interrelacionadas. Sin embargo, es posible separar ambos fenómenos. Es factible tal cosa en pasajes politonales (y no olvidemos que Tymoczko busca explicar música más allá de la práctica común). En un ejemplo que da y que se puede ver en la figura siguiente, vemos una voz, la superior, que se mueve en la escala diatónica de do mientras que la voz inferior se mueve en la pentatónica de sol bemol. El pasaje de abajo usa una escala pentatónica y una diatónica para crear una armonía cromática. El concepto de escala nos permite describir la estructura de cada voz y la macroarmonía, la estructura global. Figura 7: Pasaje politonal (figura tomada de [Tym11]) 3.3. Toda modulación implica conducción de voces Según Tymoczko, la música tonal usa las mismas técnicas de conducción de voces en dos niveles temporales. En el primero, el de las progresiones de acordes, se usan las conducciones eficientes de voces para ligar acordes que son estructuralmente similares. En el segundo, las modulaciones, se usan esas conducciones eficientes para ligar escalas estructuralmente similares. Como se puede apreciar, el punto de vista de este autor es que las progresiones de acordes ligan escalas en lugar de triadas. 3.4. La música puede entenderse desde un punto de vista geométrico Esta afirmación de Tymoczko es la tesis más contundente de su libro y la razón de ser de su trabajo. Las estructuras geométricas ya se habían usado en la música en el pasado, y es quizás el círculo de quintas con su estructura de grupo la más conocida. Pero Tymoczko quiere ampliar el rango de aplicaciones y busca explicar teorías armónicas más complejas que la música tonal. Para ello, tiene que emplear modelos más complejos, topológicos, en tres dimensiones, que cuenten con propiedades profundas capaces de reflejar la riqueza de la estructura de la música. En la figura de abajo se puede ver un grafo tridimensional que representa todas las conducciones de voces a distancia de semitono entre las triadas mayor, menor, aumentada y disminuida. En las siguientes entregas de esta serie estudiaremos a fondo este tipo de modelos. Figura 8: Modelos tridimensionales de conducciones de voces (figura tomada de [Tym11]) 4. Conclusiones Tras esta primera exposición de las ideas de Tymoczko, advertimos que el libro de este autor esta dirigido a un compositor ideal, esto es, la intención es describir estructuras conceptuales que puedan servir para crear música más que una investigación histórica de cómo han compuesto música compositores del pasado. También notamos que no tiene mucho interés en la parte perceptual (aunque claramente no la ignora por completo). Tymocko insiste a propósito de este extremo que “no debería suponerse que las estructuras cognitivas que hallan presentes cuando se hace música son las mismas que cuando se percibe esta”.   Bibliografía [CQT08] Clifton Callender, Ian Quinn, and Dmitri Tymoczko. The distance geometry of music. Science, 320:346–348, 2008. [DGMM+08] Erik D. Demaine, Francisco Gomez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood. The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application, 2008. [For77] Allen Forte. The Structure of Atonal Music. The Yale University Press, Madison, WI, 1977. [Góm18] Paco Gómez. Cadenas de markov con restricciones aplicadas a modelos cognitivos en la improvisación del jazz, consultado en septiembre de 2018. [Izu00] A. Izumi. Japanese monkeys perceive sensory consonance of chords. Journal of the Acoustical Society of America, 108:3073–3078, 2000. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [RB06] Rudolf E. Radocy and J. David Boyle. Psychological Foundations of Musical Behavior. Charles C Thomas, Illinois, 2006. [Rom18] Pablo Romero. El buen músico: una definición por consenso en los acervos clásico y flamenco, consultado en septiembre de 2018. [Tym11] Dimitri Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011. [Tym18] Dmitri Tymoczko. Página web de Dmitri Tymoczko, consultado en septiembre de 2018.
Miércoles, 17 de Octubre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Society for Mathematics and Computation in Music En esta primera columna del curso querría hablar del congreso Mathematics and Computation in Music 2019, que se celebrará entre los días 18 y 21 de junio de 2019. Está organizado por Mariana Montiel, de la Universidad Estatal de Georgia (GSU), el autor de esta columna, de la Universidad Politécnica de Madrid (UPM), y el Real Conservatorio Superior de Música de Madrid (RSCMM). Es un honor y un placer asumir la organización de este congreso, pero es también una enorme responsabilidad. En estas breves líneas queríamos mostrar al lector el origen y circunstancias del congreso, que constituye una exposición de todo el esfuerzo de investigación y conocimiento que se está haciendo en el fascinante campo de la Teoría Matemática de la Música. Este congreso es el órgano de expresión de la Society for Mathematics and Computation in Music [SMC18] (Sociedad para las Matemáticas y la Computación en la Música o SCMC). Está sociedad fue fundada en 2006 por Guerino Mazzola [Wik18] (su actual presidente) y otras figuras destacadas del campo (Thomas Noll, Moreno Andreatta, David Clampitt, entre otros). La reunión inaugural tuvo lugar en Berlín en mayo de 2007, en el Instituto Estatal de Musicología [fM18]. Allí se constituyó la sociedad formalmente y ha venido funcionando desde entonces con eficacia y gran fuerza. Se puede consultar un resumen de su actividad en sus boletines informativos (http://www.smcm-net.info/newsletter/SMCM_Newsletter_9.pdf). Si el lector está interesado en hacerse miembro de la sociedad, el enlace para el alta es http://www.smcm-net.info/registration.html Figura 1: La sociedad para las matemáticas y la computación en la música El Journal of Mathematics and Music [TFC18] es la revista oficial de la SCMC, de cuya publicación se encarga la prestigiosa editorial Taylor & Francis [Fra18]. Los campos de publicación de la revista son, de acuerdo a lo que reza en su página web, enfoques matemáticos a las estructuras y procesos musicales. La naturaleza de la revista es esencialmente interdisciplinar, como no se podía esperar otra cosa de este campo. Entre sus contenidos se pueden encontrar artículos que abordan cuestiones ontológicas y epistemológicas hasta modelos computacionales o matemáticos de objetos musicales, tratados con metodologías muy diversas, desde las propias de la ingeniería, las matemáticas hasta las cognitivas o lingüísticas. La revista está en el índice del JCR (las revistas con revisión por pares) y su factor de impacto en 2017 fue de 0.143. Es la principal referencia en las revistas del campo. Figura 2: La revista Journal of Mathematics and Music 2. Mathematics and Computation in Music 2019 La edición de 2019 no es la primera de este congreso. El congreso de la SMCM se celebra bianualmente y empezó en mayo de 2007, en Berlín, en Instituto Nacional de Musicología (el Staatliches Institut für Musikforschung). Abajo está la lista de los anteriores organizadores de este congreso; en 2014 hubo un congreso extra celebrado en Puerto Vallarta, México. MCM 2017: Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Matemáticas, México. http://www.mcm2017.org/ MCM 2015: Queen Mary University of London, organizado Escuela de Ingeniería Eléctrica y Computación (Centro para la Música Digital) y la Facultad de Matemáticas. http://mcm2015.qmul.ac.uk/ International Congress on Music and Mathematics, organizado por la Universidad de Guadalajara, el INBA y la Universidad Nacional Autónoma de México en noviembre de 2014 en Puerto Vallarta, México. http://icmm.cucei.udg.mx/ MCM 2013: McGill University, Schulich School of Music y el CIRMMT, Montreal, Canada. http://www.music.mcgill.ca/mcm2013/ MCM 2011: Institut de Recherche et Coordination Acoustique/Musique (IRCAM), París. http://mcm2011.ircam.fr/drupal/?q=node/1 MCM 2009: Universidad de Yale, New Haven, Connecticut, Estados Unidos. http://www.mcm2009.info/ MCM 2007: Staatliches Institut für Musikforschung, Berlin. Como ya dijimos arriba, el MCM 19 va estar organizado por la UPM, GSU y el RSCMM. Este congreso interdisciplinar tendrá actividad científica (ponencias, paneles especiales, conferencias plenarias, mesas redondas) y actividad musical (conciertos). La actividad científica tendrá lugar en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Sistemas Informáticos (ETSISI), situada en el Campus Sur de la UPM (en el kilómetro 7 de la carretera de Valencia) y la actividad musical en el RSCMM, en su sede de Atocha. Hay una página web, https://mcm19.etsisi.upm.es y cuya portada se puede ver más abajo, donde se encuentra toda la información relevante de este congreso. Figura 3: La página web del congreso Los temas del congreso son los siguientes: Modelos y enfoques matemáticos y computacionales de la música, incluyendo aspectos lógicos, filosóficos y metodológicos. Musicología, teoría musical y análisis musical. Composición, interpretación e improvisación. La percepción y cognición de cualquier aspecto de la estructura musical. Música y emoción. Aspectos educativos and la práctica de la Teoría Matemática de la Música. Interacción musical y gestos. La historia de las matemáticas y la computación en la música. Aplicaciones de la teoría matemática y computacional de la música y herramientas computacionales para músicos, musicólogos y otros practicantes de la actividad musical. El estudio de los objetos derivados de la teoría matemática de la música. Las fechas importantes son estas: La fecha límite para todos los tipos de artículos: el 15 de enero de 2019. Notificación de aceptación: el 5 de marzo de 2019. Fecha para la inscripción anticipada: el uno de mayo de 2019. Fechas del congreso: del 18 al 21 de junio de 2019. El programa musical del MCM 2019, que tendrá lugar en el RSCMM, es el siguiente: MA - Music of Change. Naoki Kita, violín; Guerino Mazzola, piano; Heinz Geisser, batería y percusiones. Integral of sonatas para piano y guitarra de Diabelli y la sonata para piano y guitarra de Ponce. Octavio Alberto Agustín-Aquino, guitarra y Emilio Lluis-Puebla, piano. Desnudas de palabras. Conjunto de Pablo Romero Luis. Math’n’ Pop Concert: How to turn a Poem into a Song (with a little help of mathematics). Moreno Andreatta. Seguiremos informando sobre esta apasionante aventura matemático-musical.   Bibliografía [fM18] Staatliches Institut für Musikforschung. Página web. https://en.wikipedia.org/wiki/State_Institute_for_Music_Research, consultado en agosto de 2018. [Fra18] Taylor & Francis. Página web. www.tandfonline.com/, consultado en agosto de 2018. [SMC18] SMCM. Society for mathematics and computation in music. http://www.smcm-net.info/, consultado en agosto de 2018. [TFC18] Thomas Thomas Fiore and Clifton (editors) Callender. Journal of mathematics and music. www.tandfonline.com/JMM, consultado en agosto de 2018. [Wik18] Wikipedia. Guerino mazzola. https://en.wikipedia.org/wiki/Guerino_Mazzola, consultado en agosto de 2018.
Miércoles, 12 de Septiembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. ¿Es posible un curso de teoría matemática de la música para universitarios de ambos campos? En el campo de la Teoría Matemática de la Música (TMM de ahora en adelante) se tiende a pensar que es minoritario porque solo lo pueden ejercer quienes tienen una sólida formación en música y en matemáticas. Esto es cierto, sobre todo si hablamos de la formación necesaria para investigar en esta fascinante disciplina. Sin embargo, no estoy de acuerdo en absoluto en que solo se puedan acercar a este campo quienes hayan estudiado a fondo ambas disciplinas, digamos con un doble grado o similar. No es necesario estudios oficiales para disfrutar de la TMM. Para una introducción a la TMM basta un programa inteligente e imaginativo, que sepa combinar los aspectos técnicos con los conceptuales con habilidad, un programa que rete al alumno en ambas facetas, la matemática y la musical. Pero haciendo honor a la verdad, no se puede decir que haya un abundante material de calidad en la bibliografía. Por ejemplo, el libro de Jan Beran [Ber04] Statistics in Musicology está escrito para el experto y, hasta donde alcanza nuestro conocimiento, no hay ningún texto de cierta calidad que presente el material básico de estadística al futuro musicólogo sistemático a nivel de grado o de máster. En los cursos en que se suele enseñar estadística a músicos o bien son demasiado superficiales —haciendo del alumno una especie de usuario final experto en procedimientos pero no en conceptos— o son demasiado técnicos y no se adaptan al perfil del alumno de música —y esto le produce una frustración notable—. Hay unas cuantas excepciones a esta tendencia. Entre ellas citamos las siguientes: Music: A Mathematical Offering [Ben06], de David Benson; Foundations of Diatonic Theory [Joh03], de Timothy Johnson; A Generative Theory of Tonal Music [LJ83], de Lerdahl y Jackendoff (aunque este es para cursos avanzados); The Math Behind the Music [Har06], de Leon Harkleroad; y, por último, Mathematics and Music [Wri], de David Wright. Esta lista no es exhaustiva, pero sí tiene voluntad de ser representativa. Se puede obtener más información sobre libros de TMM en la columna de Divulgamat del mes de febrero de 2017 [Góm17] y en las referencias allí contenidas. Para la columna de este mes de junio nos quedamos con el libro de David Wright Mathematics and Music, que consideramos que tiene muchas virtudes para impartir un curso de TMM a alumnos de los primeros años de universidad. Entre esas virtudes destacamos la concisión en la presentación del material así como el buen diseño de los problemas. En su libro se encuentra el número mínimo de conceptos para adquirir una comprensión sólida del material. Además, los ejercicios, problemas y proyectos propuestos están diseñados con una doble intención: son difíciles como suponer un reto al lector y son realmente interdisciplinares (hay aplicaciones constantes de la música a las matemáticas y viceversa). En la introducción del libro, el propio Wright escribe unas bellas palabras sobre la relación entre las matemáticas y la música, que sirven como una declaración de intenciones. He aquí dichas palabras (nuestra traducción): It has been observed that mathematics is the most abstract of the sciences, music the most abstract of the arts. Mathematics attempts to understand conceptual and logical truth and appreciates the intrinsic beauty of such. Music evokes mood and emotion by the audio medium of tones and rhythms without appealing to circumstantial means of eliciting suc h innate human reactions. Therefore it is not surprising that the symbiosis of the two disciplines is an age old story. (Se ha observado que las matemáticas es la más abstracta de las ciencias; se ha observado que la música es la más abstracta de las artes. La matemática intenta entender la verdad conceptual y lógica y apreciar la belleza que hay en dicha verdad. La música evoca estados de ánimo y emociones por el medio sonoro, usando tonos y los ritmos y sin apelar a los medios circunstanciales que generan tales reacciones humanas innatas. Por tanto, no sorprende que la simbiosis de ambas disciplinas sea una historia que viene de antiguo.) La columna de este mes consistirá en una breve reseña del libro de Wright y cómo es posible usarlo en un curso de introducción a la TMM. David Wright es profesor de matemáticas en la Universidad de Washington en San Luis. Se doctoró en la Universidad de Columbia, en Nueva York, en matemáticas. Es un notable investigador en el campo de la geometría afín algebraica, donde publica con regularidad y participa en congresos internaciones como estrella invitada. Como músico, Wright es arreglista y compositor de música vocal. Su trabajo toca estilos tales como el jazz, blues, gospel, country, doo-wop, entre otros. Es el director asociado del prestigioso coro St. Charles Ambassadors of Harmony. Wright es también consultor musical, sobre todo de música vocal y es bastante conocido como historiador de la música. Aparece en numerosos programas de radio y TV como divulgador de las matemáticas y la música. 2. El temario Para empezar, presentamos el temario del curso de Wright, que, como veremos, está muy bien concebido y es bastante autocontenido (algo importante en un curso de estas características). En la lista de abajo comentamos los principales conceptos que se presentan. Nótese cómo el temario está asociado fuertemente al concepto de número. Conceptos básicos. En este capítulo expone los primeros conceptos básicos de las matemáticas y la música: conjuntos, relación de equivalencia, funciones, gráficas, números enteros, números racionales, números reales; altura del sonido o tono, claves, notas, intervalos musicales, escalas y armadura. Estructura horizontal. El segundo capítulo se ocupa de la dimensión horizontal de la música: notas, compases y forma. En este capítulo no hay matemáticas (tampoco en el siguiente). Armonía y la numerología relacionada. Este capítulo versa sobre la estructura vertical de la música: acordes, notación de la armonía, definición y clasificación de los acordes por su notación numérica (de ahí lo de numerología). Proporciones e intervalos musicales. En este capítulo se explican los intervalos musicales como proporciones. Logaritmos e intervalos musicales. En este capítulo se desarrolla la teoría aditiva de intervalos, lo cual lleva a los logaritmos y las funciones exponenciales. Escalas cromáticas. Aquí se presentan los hechos básicos de la teoría de afinaciones y en particular el temperamento igual. Aquí hace falta algo de álgebra abstracta, pero se puede presentar según se vaya necesitando, como prueba sobradamente Wright en la exposición del material. La identificación de la octava. Este tema tiene su base matemática en la aritmética modular, donde el autor cubre bastante material: el principio del buen orden, la división y sus algoritmos, clases de equivalencias modulares, definición de grupo, homomorfismos de grupos, ejemplos de grupos en la música, grupos cíclicos y generadores. Propiedades de los enteros. En este capítulo se profundiza más en el álgebra abstracta y se ve cómo algunas propiedades son relevantes a ciertos fenómenos musicales. Los enteros como intervalos. En este capítulo los enteros positivos se interpretan como intervalos musicales y se traslada dicha interpretación al teclado. Se discuten ideas previas al concepto de serie armónica. El timbre y las funciones periódicas. El capítulo 10 es uno de los más densos. Contiene una excelente introducción a conceptos tales como el timbre, la influencia de los armónicos en este, funciones continuas, funciones periódicas y teoremas básicos del análisis armónico. No se dan demostraciones (no es el objetivo de este curso) y el material guarda un exquisito equilibrio entre profundidad y rigor. Los números racionales como intervalos. En este capítulo se expone la teoría básica de la afinación: afinación pitagórica, afinación justa, comas, las quintas del lobo, entre otros. La exposición constituye un buen ejercicio sobre el concepto de número racional. La afinación racional. Finalmente, el capítulo 12 describe varios sistemas de afinación basados en ciertos intervalos. 3. El material para el alumno La manera en que está estructurado el texto de Wright está cerca a los métodos de aprendizaje activo, un poco al estilo del método Moore. El material en principio se limita a una serie de definiciones, bien conectadas entre sí y bastante concisas. A continuación se proponen una serie de ejercicios, que van desde los de mera comprobación de la aplicación de los conceptos hasta pequeñas pruebas matemáticas. Algunos problemas se pueden adaptar fácilmente a proyectos de corta duración para los alumnos. Es frecuente en los problemas del libro que se pida interpretar o que se formulen los problemas en forma de pregunta y no solo de cálculo o de procedimiento. El material musical y matemático se mezcla sin solución de continuidad, como podemos en un ejemplo del capítulo 1 en la figura 1. Figura 1: Ejemplo de problemas del libro de Wright (figura tomada de [Wri]) Obsérvese que en el problema 4 se pide la demostración de un resultado matemático y en el problema 5 una identificación de objetos musicales. En el ejemplo siguiente, tomado del capítulo 2, vemos ejercicios que alternan los contenidos matemáticos y musicales. En el último se trata de identificar la forma de una serie de canciones. Con esto vemos que el autor del curso quiere que haya una componente práctica en la música, y no solo meramente teórica. Figura 2: Ejemplo de problemas del libro de Wright (figura tomada de [Wri]) En el capítulo 7, donde ya hay acumulado mucho material, los problemas se vuelven más complejos. Figura 3: Ejemplo de problemas del libro de Wright (figura tomada de [Wri]) 4. Conclusiones Es posible dar un curso de TMM para universitarios y un buen ejemplo de ello es el libro de Wright, el cual, por cierto, tiene una descripción precisa sobre la planificación y el alumnado a quienes va dirigido el libro; véase su introducción. En castellano en cambio no hemos encontrado ningún libro que pueda servir para un curso serio de TMM. El libro de Wright tiene la audacia de poner al alumno en la tesitura de enfrentarse a problemas de ambas disciplinas casi partiendo desde cero, sin más armas que su lógica y su capacidad de aprendizaje. En efecto, para seguir el libro hace falta más predisposición y lógica que una gran base matemática o musical, entendida esa base en el sentido tradicionales.   Bibliografía [Ben06] David Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [Ber04] J. Beran. Statistics in Musicology. Chapman & Hall/CRC, 2004. [Góm17] P. Gómez. Una recensión subjetiva de libros sobre matemáticas y música, febrero de 2017. [Har06] Leon Harkleroad. The Math Behind the Music. Cambridge University Press, Cambridge, 2006. [Joh03] Timothy Johnson. Foundations of Diatonic Theory. Key College Publishing, 2003. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [Wri] David Wright. Mathematics and Music.
Lunes, 11 de Junio de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Ritmos equilibrados y euclídeos La columna de este mes de mayo estará dedicada a la síncopa. Este es un fenómeno siempre fascinante y al que le hemos dedicado en esta columna varios artículos; véase, por ejemplo, la serie Medidas matemáticas de síncopa [Góm11c, Góm11b, Góm11a] en el año 2011, o recientemente la serie Medidas de complejidad rítmica [Góm17a, Góm17b, Góm18]. En este artículo vamos a examinar un trabajo de Chunyang Song y sus coautores, Syncopation and the Score (la síncopa y la partitura) [SAJRCA+13]. En este interesante trabajo sus autores investigan la relación entre el ritmo escrito (la partitura) y la síncopa percibida. Dado que este trabajo versa sobre la síncopa percibida, esto es, la sensación de síncopa comunicada por sujetos, claramente se trata de un estudio de cognición musical. 2. Síncopa y partitura Rememorando lo dicho en nuestra serie sobre la síncopa de 2011 [Góm11c], volvemos al fidedigno Harvard Dictionary of Music [Ran86] para una definición conceptual sólida: “Síncopa: una contradicción momentánea de la métrica o pulso predominante”. El autor de la definición la amplía y enseguida añade que “la síncopa se puede crear por los los valores de las notas mismos o por la acentuación, la articulación, el contorno melódico o el cambio armónico en el contexto por otro lado de una sucesión de notas no sincopadas”. Los autores del artículo, sin duda conscientes de esta definición, la desarrollan en el dominio de la cognición musical. Así, definen pulso como el percepto periódico subyacente que los oyentes humanos extraen de los patrones temporales de la música. Por percepto, aquí se entiende el objeto tal y como lo percibe el sujeto. La definición de pulso está tomada de Trainor [Tra07]. Cuando los oyentes humanos infieren una estructura a partir de las periodicidades destacables en los grupos de pulsos, se produce un constructo abstracto de duraciones temporales que se conoce como métrica. Esas agrupaciones de duraciones temporales se pueden a varios niveles y por tanto la métrica posee una estructura jerárquica. La partitura se puede concebir como una codificación simbólica que describe los eventos que ocurren en una pieza musical. Estos eventos han de ser interpretados por un músico para que el oyente pueda percibir el resultado de la partitura. Si nos restringimos a la música occidental (que en el artículo de Song y sus coautores es una hipótesis implicita), la partitura estará escrita en un compás dado. El compás indica en qué tipo de métrica va a estar la pieza. Hay dos tipos de compases principales: los de subdivisión binaria y los de subdivisión ternaria. Los primeros nos dicen que la agrupación de las duraciones se hará en grupos de dos, mientras que en el caso ternario dicha agrupación será en grupos de tres. Como decíamos arriba, cuando la estructura métrica predominante es contradicha momentáneamente, hablamos de síncopa. Para que dicha contradicción tenga lugar hace falta que la estructura métrica se haya establecido durante un tiempo suficientemente largo como para que el oyente la integre en la escucha de la pieza. Los autores del artículo, y con bastante razón, argumentan que muchas de las medidas de síncopas definidas hasta la fecha no tienen en cuenta este hecho. Una vez establecido el contexto métrico, ¿cómo se produce la síncopa? Se sabe que hay varios mecanismos para ello y Song y sus coautores los identifican con exhaustividad. En la partitura, hay síncopas que se indican poniendo acentos en las partes débiles de la métrica. Son las llamadas síncopas por acentuación (Stravinsky es un experto en este tipo de síncopas). Otro tipo de síncopa es la llamada síncopa de ataque; consiste en que una nota que empieza en parte débil es prolongada hasta otra parte débil. Típicamente, esto se consigue poniendo silencios en partes fuertes o ligando notas entre partes débiles consecutivas. Otra forma de síncopa es la polirritmia. Una polirritmia es la presentación de dos o más ritmos que no comparten las mismas agrupaciones temporales, lo que con frecuencia da una sensación de métricas que compiten entre sí. Hay unas cuantas tradiciones musicales en que es normal las polirritmicas, especialmente las africanas y las afro-cubanas. En la serie Transformaciones rítmicas: de binarizaciones y ternarizaciones [Góm13] del año 2013 analizamos las polirritmias en las tradicionales musicales de la franja atlántica del continente americano; se remite al lector a esa serie para más información sobre este asombroso fenómeno musical y también al libro de Simha Aaron African Polyphony and Polyrhythm [Aro91]. Los autores son conscientes de las medidas de síncopa que hay en la bibliografía y mencionan, entre otras, las siguientes: la medida de complejidad cognitiva de Pressing [Pre99], la medida de síncopa de Longuet-Higgins [LHC84], la medida de complejidad rítmica de Lempel y Ziv [LZ76], la medida de síncopa de Keith [Kei91], o la medida WBND [GMRT05] (WBND significa distancia ponderada de pulso a nota en sus siglas inglesas). Véase [Góm11c, Góm17a, Góm17b, Góm18] para un exposición divulgativa de esos trabajos. Para la definición operativa de polirritmia, Song y sus coautores se basan en el trabajo de Handel y Oshinsky[SJ81]. 3. Síncopa percibida 3.1. Las preguntas de investigación Los autores del trabajo midieron la síncopa percibida a través de experimentos con sujetos. Se reclutaron a 10 músicos, voluntarios, sin pago alguno por la participación en el experimento, con una media de 15 años de formación y práctica (desviación típica 5). Seis de los participantes eran multi-instrumentistas. Las hipótesis que los investigadores querían estudiar eran las siguientes: El papel de la métrica en la percepción de la síncopa; El papel que desempeña la presencia o ausencia de la parte fuerte en la percepción de la síncopa; Si la síncopa se percibe más fuertemente en presencia de polirritmos o bien en presencia de ritmos simples; El papel de la posición de la síncopa dentro del compás. 3.2. Los experimentos La música que escucharon los sujetos estaba compuesta por tres compases, bien en 4/4 o bien en 6/8. El primer compás era siempre el pulso dado por un metrónomo. El segundo y el tercer compás era una repetición de un ritmo que a su vez estaba compuesto por dos medios ritmos básicos. Estos ritmos básicos se combinaban de varias maneras para generar todos los estímulos a que se exponían a los sujetos. La figura 1 muestra un esquema de cómo funciona la generación de los ritmos. Los ritmos básicos tienen o bien dos o bien tres notas. Cada uno de los ritmos básicos se combina con otro para dar un ritmo principal. Las letras mayúsculas en la figura de abajo designan los ritmos básicos, que van desde la A hasta la L. Así, DC quiere decir la combinación del ritmo D con el C en ese preciso orden. El metrónomo se toca al mismo tiempo que los ritmos como referencia. Figura 1: Generación de los ritmos para los experimentos (figura tomada de [SAJRCA+13]) Los ritmos básicos contienen todas las categorías de síncopas (síncopas de acentuación, síncopas de ataque y polirritmias) descritas más arriba. Se generaron en total 99 patrones rítmicos y se aleatorizó la presentación dentro de las categorías de síncopas. El estímulo final fue el de una caja clara para el patrón principal y de un cencerro para el metrónomo. El metrónomo fue acentuado ligeramente en dinámica cuando caía en la primera nota del compás. El tempo del metrónomo fue de 140 pulsos por minuto para el compás de 4/4 y de 280 para el de 6/8. Los sujetos escuchaban los ritmos y tenían que puntuarlos entre 0 y 4, donde 0 es no hay síncopa y 4 tiene máximo nivel de síncopa. Los sujetos podían escuchar tantas veces como quisieran los patrones rítmicos. Además, tuvieron sesiones de práctica para entender bien el procedimiento experimental. Los investigadores sugerían a los sujetos que tomasen descansos para evitar el cansancio auditivo. 3.3. Los resultados La figura 2 muestra un resumen de los resultados. La matriz mostrada en (a) contiene una representación de la media de las puntuaciones para cada patrón rítmico. El eje horizontal muestra el primer ritmo básico y el eje vertical el segundo. La parte (b) muestra la matriz de (a) ahora descompuesta en regiones que corresponden a los patrones rítmicos de los experimentos. La parte (c) muestra intervalos de confianza al 95% para las puntuaciones dadas por los sujetos. Por último, (d) muestra intervalos de confianza para la media de las puntuaciones por ritmo básico. Figura 2: Generación de los ritmos para los experimentos (figura tomada de [SAJRCA+13]) Los resultados que se desprenden de los experimentos de Song y sus coautores son los siguientes: El compás de 6/8 es más sincopado que el de 4/4. Los polirritmos son más sincopados que los ritmos simples. La ausencia de notas en las partes fuertes dan más sensación de síncopa. El cambio de orden en los ritmos básicos afecta a la sensación de síncopa. Dónde se produce la síncopa dentro del compás afecta a su percepción. 4. Conclusiones El trabajo de Song y sus coautores es profundo y metodológicamente impecable. En la parte final del artículo discuten varias medidas de síncopa y señalan fallos de diseño en dichas medidas. Todas las medidas mencionadas en la sección 2, por ejemplo, no tienen en cuenta la posición de la síncopa dentro del compás y dan el mismo peso a la síncopa ocurra donde ocurra. Es el caso de la medida WBND (uno de cuyos coautores es el humilde redactor de este artículo). Esta medida cuantifica la síncopa en base a las notas en parte débil tomando la distancia de la parte débil a la siguiente parte fuerte, pero no modifica la distancia en función de dónde ocurre la nota en parte débil. Lo mismo ocurre con la distancia de Longuet-Higins. La razón por la que hemos analizado este artículo en esta columna es que muestra cómo el rigor que proporcionan las matemáticas es necesario para cualquier investigación mínimamente seria sobre cualquier tema, en este caso el maravilloso mundo de las síncopas. En resumen, un buen artículo, bien escrito, bien investigado, que trata un tema fascinante: la síncopa.   Bibliografía [Aro91] Simha Arom. African Polyphony and Polyrhythm. Cambridge University Press, Cambridge, England, 1991. [GMRT05] Francisco Gómez, Andrew Melvin, David Rapapport, and Godfried Toussaint. Mathematical measures of syncopation. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 73–84, Banff, Alberta, July 31 - August 3 2005. [Góm11a] Paco Gómez. Medidas matemáticas de síncopa (III). Diciembre, 2011. [Góm11b] Paco Gómez. Medidas matemáticas de síncopa (II).  Noviembre, 2011. [Góm11c] Paco Gómez. Medidas matemáticas de síncopa (I). Octubre, 2011. [Góm13] Paco Gómez. Transformaciones rítmicas: de binarizaciones y ternarizaciones (I). Agosto, 2013. [Góm17a] Paco Gómez. Medidas de complejidad rítmica (I). Octubre, 2017. [Góm17b] Paco Gómez. Medidas de complejidad rítmica (II). Octubre, 2017. [Góm18] Paco Gómez. Medidas de complejidad rítmica (III). Enero, 2018. [Kei91] Michael Keith. From Polychords to Pólya: Adventures in Musical Combinatorics. Vinculum Press, Princeton, 1991. [LHC84] H.C. Longuet-Higgins and C.S. The rhythmic interpretation of monophonic music. Music Perception, 1:424–441, 1984. [LZ76] A. Lempel and J. Ziv. On the complexity of finite sequences. IEEE Transactions on Information Theory, 22(1):75–81, 1976. [Pre99] J. Pressing. Cognitive complexity and the structure of musical patterns, 1999. [Ran86] Donald Randel(editor). The New Grove Dictionary of Music and Musicians. Akal, London, 1986. [SAJRCA+13] Chunyang Song, Simpson Andrew J. R., Harte Christopher A., Pearce Marcus T., and Sandler Mark B. Septiembre de 2013. [SJ81] Handel S. and Oshinsky JS. The meter of syncopated auditory polyrhythms. Percept Psychophys, 30:1–9, 1981. [Tra07] L. J. Trainor. Do preferred beat rate and entrainment to the beat have a common origin in movement? Empirical Musicology Review, 2:17–21, 2007.
Lunes, 14 de Mayo de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Ritmos equilibrados y euclídeos La representación geométrica de ritmos y escalas ha sido con frecuencia una herramienta útil para su análisis y para el descubrimiento de nuevos objetos musicales. En esta columna vamos a tratar los patrones rítmicos y de escalas llamados equilibrados y también examinaremos una herramienta, XronoMorph, diseñada por Andrew Milne y Roger Dean [MD16], que permite experimentar con esos ritmos. Para las definiciones que vamos a presentar, necesitamos previamente fijar una circunferencia en la que pondremos los objetos musicales —alturas de sonido o duraciones —. En el vídeo siguiente, A different way to visualize rhythm, John Varney habla de las ventajas de la representación geométrica del ritmo, sobre todo cuando los ritmos son cíclicos y estos se visualizan en una circunferencia. Por sencillez de la exposición, supondremos que los objetos musicales ritmos y, por tanto, los puntos en la circunferencia marcan duraciones consecutivas. El análisis es el mismo si tratamos las escalas. Un ritmo es equilibrado si el centro de gravedad es el propio centro de la circunferencia. Para hablar con propiedad del centro de gravedad, supondremos que cada nota sobre la circunferencia tiene masa unidad y entonces dicho centro es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas de gravedad dada por las notas. Por ejemplo, en la figura de abajo, los tres ritmos, dados por los círculos negros, son ritmos equilibrados; aquí se ha tomado doce como número de pulsos para los ritmos. Figura 1: Ejemplos de ritmos equilibrados. El concepto de ritmo equilibrado está relacionado con el de ritmo regular. Un ritmo regular es aquel que tiene las notas distribuidas tan regularmente como sea posible a lo largo del círculo. Se sabe que los ritmos regulares solo pueden tener una o dos duraciones posibles y que estas tienen que estar colocadas en un orden especial. Se conocen varios algoritmos para generar ritmos regulares; entre ellos los más importantes son el de Bjorklund [GMTT09b], el de Clough y Douthett [CD91], o el mismísimo algoritmo de Euclides, que cuando se adapta a la formación de grupos, produce ritmos regulares. Los dos primeros ritmos de la figura 1 son regulares. En una columna anterior [Góm12], Amalgamas, aksaks y métricas euclídeas, se trataron a fondo los ritmos regulares, también llamados ritmos euclídeos. Para información más sobre los algoritmos, propiedades de los ritmos regulares y sus aplicciones en música, véanse [DGMM+09, GMTT09b, GMTT09a, CD91]. En lo que sigue usaremos tres notaciones para designar los ritmos: la notación de ceros y unos, adecuada para el tratamiento algorítmico; la notación de x y ., que es cómoda para la lectura musical; y la notación de distancia. Si no se dice nada en contra, cuando un ritmo se represente sobre el círculo, empezaremos a describirlo desde las doce del mediodía. Así, los ritmos de la figura 1, de izquierda a derecha, se designan por R1 =  [101010101010 ] = [x . x .x .x .x .x ] = (222222) R2 = [101101101101] = [x .x x . x x . x x . x] = (21212121) R3 = [110011011001] = [x x ..x x . x x . .x] = (1312131) 2. Ritmos equilibrados y euclídeos 2.1. Ritmos euclídeos En lo que sigue vamos a seguir la exposición del trabajo Si Euclides lo supiese... se sentiría orgulloso [Góm09] del propio autor de estas líneas. El algoritmo de Euclides consiste en hacer divisiones sucesivas para hallar el máximo común divisor de dos números positivos (m.c.d. de aquí en adelante). Si queremos hallar el m.c.d. de dos números a y b, suponiendo que a > b, primero dividimos a entre b, y obtenemos el resto r de la división. Euclides se dio cuenta de que el m.c.d. de a y b era el mismo que el de b y r. En efecto, cuando dividimos a entre b, hallamos un cociente c y un resto r de tal manera que se cumple que: a = c⋅b + r Esta ecuación nos dice que todo divisor común de a y b tiene que serlo también de r. En particular, el m.c.d. de a y b es el m.c.d. de b y r. Por ejemplo, calculemos el máximo común de 17 y 7. Como 17 = 7 ⋅ 2 + 3, entonces el m.c.d.(17, 7) es igual al m.c.d.(7, 3). De nuevo, como 7 = 3 ⋅ 2 + 1, entonces el m.c.d.(7, 3) es igual al m.c.d.(3, 1). Aquí es claro que el m.c.d. entre 3 y 1 es simplemente 1. Por tanto, el m.c.d entre 17 y 7 es 1 también. ¿Cómo se transforma el cálculo del máximo común divisor en un método para generar patrones distribuidos con regularidad máxima? Ilustraremos el proceso con un ejemplo de ritmos. Supongamos que tenemos 17 pulsos y queremos distribuir de forma regular 7 notas entre los 17 pulsos. Sigamos los pasos dados en la figura 2. Primero, alineamos el número de notas y el número de silencios (siete unos y diez ceros); véase la figura 2-paso (1). A continuación, formamos grupos de 7, los cuales corresponden a efectuar la división de 17 entre 7; obtenemos, pues, 7 grupos formados por [1 0] (en columnas en el paso (2) de la figura 2). Sobran tres ceros, lo cual indica que en el paso siguiente formaremos grupos de 3. Tras formar el primer grupo —véase el paso (3) de la figura 2— nos quedamos sin ceros. Continuamos agrupando de 3 en 3 tomando los grupos de la otra caja, en la que quedan 4 columnas (figura 2-paso (4)). Procedemos así que queden uno o cero grupos; de nuevo, esto es equivalente a efectuar la división de 7 entre 3. En nuestro caso, queda un solo grupo y hemos terminado (paso (5)). Finalmente, el ritmo se obtiene leyendo por columnas y de izquierda a derecha la agrupación obtenida (paso (6)). Figura 2: El algoritmo de Euclides para generar ritmos regulares. Aquí cada 1 representa una nota [x] y cada 0, un silencio [.]. El ritmo que hemos generado con nuestra notación se escribe entonces como [x . . x . x . . x . x . . x . x .]. Los ritmos generados por este método se llaman ritmos euclídeos. El ritmo euclídeo de k notas y n pulsos se designa por E(k,n). Otra manera útil de designar un ritmo es mediante las duraciones de las notas en términos de pulsos. El ritmo euclídeo que acabamos de obtener con esta notación se escribe E(7,17) = [x . . x . x . . x . x . . x . x .]= (3232322). Demain y sus coautores [DGMM+09] probaron formalmente que este algoritmo proporciona, salvo rotaciones, la única manera de distribuir k objetos entre n del modo más regular posible. Aún más, había varios algoritmos propuestos de manera independiente y ellos probaron que, en realidad, eran todos equivalentes al viejo algoritmo de Euclides. Damos a continuación una pequeñísima muestra de ritmos euclídeos que se encuentran en las músicas tradicionales del mundo. E(5,8) =[x . x x . x x .]= (21212) es el cinquillo cubano, así como el malfuf de Egipto, o el ritmo coreano para tambor mong P’yon. Si el ritmo se empieza a tocar desde la segunda nota aparece un popular ritmo típico de Oriente Próximo, así como el timini de Senegal. Si se empieza en la tercera nota tenemos el ritmo del tango. E(5,12) =[x . . x . x . . x . x .]= (32322) es un ritmo muy común en África central que tocan los pigmeos aka. Cuando se toca desde la segunda nota es, entre otros, la clave columbia de la música cubana y el ritmo de la danza chakacha de Kenya. E(5,16) =[x . . x . . x . . x . . x . . . ]= (33334) es el ritmo de la bosa-nova de Brasil. Este ritmo se toca a partir de la tercera nota. Existen cerca de dos centenares de ritmos de músicas del mundo documentados que son generados por el algoritmo de Euclides. De nuevo, véase el artículo The distance geometry of music de Demain y sus coautores [DGMM+09]. He aquí una lista de las principales propiedades de los ritmos regulares o ritmos euclídeos: Los ritmos euclídeos tienen solo una o dos duraciones. En el caso de dos duraciones, estas difieren exactamente en una unidad. Por ejemplo, en este ritmo euclídeo (21212) hay dos duraciones de valor 2 y 1. Cuando el número de notas no es primo relativo del número de pulsos, los ritmos euclídeos están formados por la repetición de un patrón. En caso contrario, el ritmo está compuesto por un patrón repetido un número máximo de veces más un único patrón más pequeño, que además es subpatrón del patrón que se repite. Los patrones que forman los ritmos euclídeos son a su vez euclídeos. Esto crea una jerarquía de ritmos euclídeos anidados. La rotación de un ritmo euclídeo es también euclídeo. Esto es consecuencia de que los ritmos euclídeos maximizan las distancias intercordales entre las notas y dichas distancias no cambian con las rotaciones. Tomar el complementario de un ritmo euclídeo (esto es, intercambiar ceros por unos) devuelve un ritmo euclídeo. Los ritmos regulares son ritmos equilibrados, pero el recíproco no es cierto. 2.2. Ritmos equilibrados Cuando se considera el círculo donde se inscriben los ritmos, si el polígono resultante al unir las notas consecutivas del ritmo es regular, entonces el ritmo es equilibrado. De nuevo, el recíproco no es cierto, como atestiguan los polígonos de la figura de arriba. En el artículo Perfect balance: A novel principle for the construction of musical scales and meters, de Milne y coautores [MBHW15], se estudian a fondo las propiedades de los ritmos equilibrados. En dicho artículo los autores asocian a cada ritmo una serie de Fourier discreta uno de cuyos coeficientes es una medida del equilibrio del ritmo. La condición de ser equilibrado se puede pensar como la varianza circular. Si el ritmo tiene varianza cero, entonces se reduce a un único punto. En cambio, si la varianza es máxima entonces el ritmo será equilibrado; véase el artículo mencionado para los detalles técnicos. 3. XronoMorph: una aplicación para la experimentación rítmica Para terminar, querríamos comentar el programa XronoMorph. Se trata de una aplicación que permite experimentar con ritmos equilibrados y ritmos euclídeos. Es una aplicación gratis y funciona en los sistemas operativos Mac OS X y Windows. Usa como objeto centrar para la representación una circunferencia y permite describir polirritmos en términos de polígonos inscritos. Abajo tenemos un vídeo donde se ve la interfaz. En el vídeo de abajo podemos ver un ejemplo en que varios polígonos regulares se superponen. Estos polígonos representan ritmos euclídeos y aparecen organizados en una polirritmia. En el siguiente vídeo tenemos ritmos equilibrados que también forman una polirritmia, en este caso la superposición de un ritmo binario con uno ternario. En este otro vídeo vemos un 3 contra 5. Por último, XronoMorph permite varias operaciones con polígonos, como por ejemplo, la rotación. Se pueden componer polirritmias muy complicadas asignando un instrumento a cada rotación de un polígono. Véase una muestra en el siguiente vídeo.   Bibliografía [CD91] J. Clough and J. Douthett. Maximally even sets. Journal of Music Theory, 35:93–173, 1991. [DGMM+09] Erik D. Demaine, Francisco Gomez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood. The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application, 42(5):429–454, 2009. [GMTT09a] F. Gomez-Martin, P. Taslakian, and G. T. Toussaint. Interlocking and euclidean rhythms. Journal of Mathematics and Music, 3(1), 2009. [GMTT09b] F. Gomez-Martin, P. Taslakian, and G. T. Toussaint. Structural properties of euclidean rhythms. Journal of Mathematics and Music, 3(1), 2009. [Góm09] Paco Gómez. Si Euclides lo supiese... se sentiría orgulloso, Noviembre, 2009. [Góm12] Paco Gómez. Amalgamas, aksaks y métricas euclídeas, Noviembre, 2012. [MBHW15] A. Milne, D. Bulger, S. Herff, and Sethares W. Perfect balance: A novel principle for the construction of musical scales and meters. In T. Collins, D. Meredith, and A. editor Volk, editors, Proceedings of the 5th International Conference on Mathematics and Computation in Music, pages 97–108. Springer, Berlin, 2015. [MD16] Andrew J. Milne and Roger T. Dean. Computational creation and morphing of multilevel rhythms by control of evenness. Computer Music Journal, 40(1):35–53, 2016.
Miércoles, 07 de Marzo de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Este artículo es la continuación de la serie sobre medidas de complejidad rítmica. Los dos primeros artículos fueron las columnas de octubre [Góm17a] y noviembre [Góm17b], respectivamente. En estas dos columnas se presentaron las principales medidas de complejidad rítmica, que se dividieron en dos grandes categorías: la primera, las medidas métricas, las medidas basadas en patrones y las medidas basadas en distancias; la segunda, las medidas formales de complejidad, tales como las medidas basadas en la entropía de la información, las basadas en los histogramas de intervalos entre notas consecutivas y las llamadas de irregularidad matemática, que incluyeron el índice de asimetría rítmica y la medida de contratiempo. En esta tercera columna, la última de la serie, tratamos la evaluación perceptual de esas medidas. Sabemos que cada medida ha sido diseñada poniendo atención a ciertos aspectos del fenómeno rítmico. El objetivo final es que las medidas reflejen lo más fielmente posible la medida humana de la complejidad rítmica. Tal medida humana es, por sí misma, un objetivo muy difícil de definir y aun más de medir. Varias preguntas de manera natural e inmediata surgen. ¿Es la percepción humana de la complejidad rítmica un universal? Si no lo es, ¿depende de la cultura?, ¿de la exposición a determinado estilo?; ¿varía con la predisposición genética? Para un individuo fijo, ¿es dicha percepción consistente en el tiempo?; ¿o depende del estado emocional, de su cansancio o de otros factores?; y si es así, ¿de qué factores? En general, ¿cómo se debería medir la complejidad rítmica? ¿Como ritmos puros o bien inmersa en la melodía o en un contexto armónico? En este último caso, ¿cómo se aísla la complejidad melódica de la complejidad rítmica? ¿Qué factores generales afectan la percepción de la complejidad rítmica? Por ejemplo, Vinke [Vin10], en su tesis de maestría, identifica varios factores tales como tempo, formación musical, timbre, acciones motrices asociadas o producidas durante la percepción de los ritmos, pero sabemos que hay otros factores, como el agrupamiento. En su tesis de maestría Thule [Thu08] contesta en parte a estas preguntas, apoyándose en experimentos que psicólogos de la música habían llevado a cabo para tratar de medir la complejidad rítmica. El mérito de Thul y Toussaint, su director de tesis, fue usar esas medidas cognitivas para evaluar la bondad de las múltiples medidas que se habían propuesto, pero que inexplicablemente no se habían evaluado. Puede parecer extraño que un investigador presente una medida de complejidad rítmica y no la evalúe con datos reales para determinar su efectividad. Sin embargo, esta ha sido la situación para la gran parte de las medidas examinadas por Thul. 2. Las medidas humanas de complejidad rítmica En esta sección examinaremos los datos experimentales de tres trabajos diferentes, el de Povel y Essens [PE85], el de Shmulevich y Povel [SP00], y el de Fitch y Rosenfield [FR07], y que sirvieron de base para obtener las medidas humanas de complejidad rítmica. Los dos primeros estudios usan los mismos ritmos como estímulo de entrada, los cuales se pueden ver en la figura 1 más abajo. El primer estudio, el de Povel y Essens, data de 1985 y en él estos autores investigaron la medida de la complejidad rítmica de la ejecución. Estrictamente hablando, no es una medida de la complejidad rítmica, pero la hipótesis subyacente era que la complejidad rítmica y de reproducción están estrechamente relacionadas. Al fin y al cabo, un ritmo complejo debería ser más difícil de reproducir que uno que no lo es. Quince años más tarde, en 2000, Shmulevich and Povel usaron los mismos ritmos para su propio estudio, pero esta vez el objetivo sí era la complejidad rítmica. En 2007 Fitch y Rosenfeld estudiaron la complejidad de la ejecución así como la complejidad métrica; estos autores usaron otros ritmos diferentes a los de los dos primeros estudios. 2.1. Los datos de Povel y Essens Povel y Essens decidieron en su estudio usar ritmos sintetizados por un ordenador con el fin de aislar variables tales como el timbre o la altura del sonido. Los ritmos se pueden ver en la figura 1. Figura 1: Ritmos usados en los experimentos (figura tomada de [Thu08]) La pregunta de investigación que se plantearon estos autores tenía un carácter muy cognitivo. Querían comprobar si los ritmos que inducen un carácter métrico fuerte generan mejores representaciones internas que los ritmos que tienen un carácter métrico débil. En el lenguaje de Povel y Essens, el carácter métrico es descrito como un reloj interno. Los ritmos que usaron en sus experimentos tienen una estructura muy fija. Son todas las permutaciones del patrón de los intervalos de duraciones entre notas consecutivas (IDNC) del conjunto . Según estos autores, este conjunto solo admite variaciones estructurales. Nos queda la duda, sin embargo, de qué resultados se habrían obtenido con un conjunto de ritmos más variado. Por ejemplo, los ritmos en este estudio tienen el mismo número de notas, pero sabemos que la medida de complejidad variaría notablemente con el número de notas. El estudio usa 24 sujetos, los cuales tenían que reproducir un ritmo que acababan de oír. El ritmo se podía oír tantas veces como el sujeto quisiera y además podían tocarlo a la vez si así lo querían (de hecho, en el experimento se les animaba a que así lo hiciesen). Pero cuando daban al botón de parar la reproducción del ritmo, entonces tenían que tocarlo y no tenían la oportunidad de volverlo a tocar. Se exigía al sujeto una reproducción de al menos cuatro veces seguidas. Si un sujeto no estaba satisfecho con la reproducción de un ritmo, podía empezar el proceso desde el principio para ese ritmo concreto. La manera en que Povel y Essens midieron la complejidad rítmica de la reproducción fue a través de un porcentaje que medía la discrepancia de las reproducciones de los sujetos con respecto al ritmo presentado. Los resultados de los experimentos se puede ver en la columna que reza human performance complexity en la figura 1. 2.2. Los datos de Povel y Shmulevich En el experimento de Shmulevich y Povel, como hemos dicho, se usaron los mismos ritmos que antes. Los sujetos fueron reclutados de la Universidad de Nijmegen y todos eran músicos con una media de 9,2 años de experiencia musical. Los ritmos se presentaron a los sujetos sintetizados por MIDI con un sonido de marimba y de manera aleatoria. Los participantes tenían que puntuar los ritmos según la complejidad rítmica en una escala de números enteros que iba de 1 (más sencillo) a 5 (más complejo). En la última columna de la tabla de la figura 1, la que reza human perceptual complexity. 2.3. Los datos de Fitch y Rosenfeld En 2007, Fitch y Rosenfeld llevaron a cabo dos experimentos, uno de reproducción rítmica y otro de complejidad métrica. Los estímulos de sus experimentos se pueden consultar en la figura 2. Los ritmos fueron generados de tal manera que la cantidad de síncopa variara sustancialmente, y donde la síncopa se midió usando la medida de Longuet-Higgins y Lee (véase [LHC84] y [Góm17a]). Los 16 participantes tenían entre 0 y 15 años de experiencia musical y realizaron las dos tareas propuestas en el experimento. Figura 2: Ritmos usados en los experimentos de Fitch y Rosenfeld (figura tomada de [Thu08]) En estos experimentos el ordenador toca un pulso sobre el cual se oye el ritmo y sobre el cual los sujetos tienen también que reproducir dicho ritmo. En el segundo experimento, después de cierto tiempo se supreme el pulso de referencia y el sujeto tiene que seguir reproduciendo el ritmo y además el pulso. Antes de que se suprima el pulso, el ordenador cambia un poco el tempo. Se producen así errores de ritmo que sirven a Fitch y Rosenfeld para evaluar la complejidad rítmica. En la figura 2 las columnas human performance complexity y human metrical complexity corresponden a las medidas obtenidas. La tercera columna se refiere a otro experimento que no hemos descrito aquí. 3. La comparación de las medidas de complejidad Una vez que tenemos las medidas formales de complejidad rítmica y las medidas humanas (los datos experimentales), ¿cómo se lleva a cabo la comparación entre ellas? Cada medida formal debe ser validada con los datos experimentales. Una posible técnica es la correlación. La correlación es una técnica estadística para detectar relaciones entre dos variables, sean aquellas causales o no. Tal detección puede ser muy útil cuando el objetivo es predecir el comportamiento de una variable en función de otra. Cuando una variable es la causa de la otra, entonces hablamos de causalidad. Cuando hay causalidad, se produce correlación entre las variables, pero al revés no es cierto. Es el famoso cántico que entona todo investigador constantemente: correlación no implica causalidad. Para ver ejemplos muy llamativos y también simpáticos de correlaciones que no implican causalidad, véase la página web de Tyler Virgen, Spurious correlations [Vir17], donde uno se entera de que hay una alta correlación el porcentaje de matrimonios en Kentucky y el número de personas que se ahogaron tras caerse de un bote al mar. Para más información sobre la correlación, véanse  [CC83] para los detalles técnicos y [Wik17] para un tratamiento más general. ¿Cómo se cuantifica el grado de correlación entre dos variables? La técnica habitual es a través del llamado coeficiente de correlación de Pearson. Supongamos que X e Y son dos variables (en nuestro caso las medidas), que toman valores n valores xi, yi, respectivamente; ademas, sean X e Y sus medias. El coeficiente de correlación lineal r se define por El coeficiente r toma valores entre -1 y 1. Valores cercanos a bien -1 o 1 indican una alta correlación lineal, esto es, que las variables dependen la una de la otra en la forma de una ecuación lineal del tipo Y = aX + b, donde a,b son ciertas constantes. Si r está próximo a cero, entonces se entiende que no hay dependencia lineal. Esto, por supuesto, no implica que no haya otro tipo de dependencia (cuadrática, exponencial, etc.). De hecho, hay otros coeficientes para medir otros tipos de dependencia aparte de las lineales. Para un tratamiento riguroso y ameno de los problemas de interpretación de la correlación, recomendamos vehementemente al lector el libro de Ellenberg How Not To Be Wrong. The Power Of Mathematical Thinking [Ell15]. Sin embargo, los coeficientes de correlación como el de arriba no son aplicables en nuestro caso porque las variables son ordinales, esto es, reflejan un orden entre objetos. Para el caso concreto de variables ordinales se usa otro coeficiente, el llamado coeficiente de correlación de rangos de Spearman. Aquí la palabra rango significa el orden del objeto (en nuestro caso medidas de complejidad rítmica) en la clasificación general. Si designamos por di la diferencia entre los rangos xi e yi, y n el número de datos, entonces el nuevo coeficiente, rs, se define por: Esta fórmula solo es válida si los rangos no contienen repetidos; ese fue el caso de las medidas de complejidad rítmica. Otro problema matemático que surge ahora es cómo visualizar adecuadamente todos esos coeficientes de correlación. Nótese que el coeficiente de arriba, rs, se tiene que calcular n2 veces, una vez por cada par de medidas. Una vez hecho esto, es posible aplicar una técnica de visualización de análisis de grupos llamada árboles filogenéticos [HB06]. Esta técnica está tomada de la Bioinformática, donde se usa para visualizar la evolución de especies. En este campo, la distancia entre dos especies se toma como la distancia de edición entre el ADN. Para obtener un árbol filogenético hace falta una distancia. En nuestro caso no tenemos una distancia propiamente dicha, pero se pueden transformar los coeficientes de correlación en una distancia con la fórmula ds = 1 - rs. Las etiquetas que aparecen en la figura 3 son las distintas medidas con sus variantes que Thul calculó. No todas las medidas de su tesis han sido descritas aquí. La potencia de los árboles filogenéticos es que la distancia entre dos nodos en el árbol se corresponde con la distancia real en la matriz. Así, por ejemplo, observando la figura de arriba, a la derecha en la parte superior, vemos que están las medidas humanas de complejidad (las etiquetas human perceptual complexity y human performance complexity), y que las medidas más cercanas a ellas son la medida DPNP (WNBD2 en el gráfico), el índice de contratiempo (offbeatness) y la medida de Keith (keith). Figura 3: Árboles filogenéticos para el análisis de grupos (figura tomada de [Thu08]) 4. Conclusiones A lo largo de estas tres columnas hemos estudiado un buen grupo de medidas formales de complejidad rítmica, cómo se obtienen medidas humanas de complejidad rítmica y cómo se correlacionan las unas con las otras para ver cuáles son las más adecuadas. Varias observaciones críticas se pueden hacer al proceso. Por una parte, nos damos cuenta de que algunas medidas formales se definieron de una manera abstracta, sin atender a principios musicales y cognitivos. Un ejemplo de esta categoría podría ser la medida de Lempel-Ziv o la medida de Keith. Esta última se basa en combinatoria y asigna los pesos de las plantillas de manera bastante arbitraria. Por otro lado, las medidas humanas fueron generadas a partir de experimentos no siempre directamente relacionados con la complejidad rítmica y en algunos casos usando conjuntos de ritmos ciertamente limitados. En este sentido, es claro que hacen falta nuevos experimentos para mejorar las medidas humanas. Por último, hace falta un marco teórico más claro con respecto a lo que queremos decir cuando hablamos de complejidad rítmica. En la propia tesis de Thul se listan unos cuantos problemas abiertos.   Bibliografía [CC83] J. Cohen and P. Cohen. Applied Multiple Regression/Correlation Analysis for the Behavioral Sciences. Lawrence Erlbaum Associates, 1983. [Ell15] Jordan Ellenberg. How Not To Be Wrong. The Power Of Mathematical Thinking. Penguin, 2015. [FR07] W.T. Fitch and A. J. Rosenfeld. Perception and production of syncopated rhythms. Music Perception, 25(1):43–58, 2007. [Góm17a] Paco Gómez. Medidas de complejidad rítmica (I), 2017. [Góm17b] Paco Gómez. Medidas de complejidad rítmica (II), 2017. [HB06] Daniel H Huson and David Bryant. Application of phylogenetic networks in evolutionary studies. Mol Biol Evol, 23(2):254–267, 2006. [LHC84] H.C. Longuet-Higgins and C.S. The rhythmic interpretation of monophonic music. Music Perception, 1:424–441, 1984. [PE85] D. Povel and P. Essens. Perception of temporal patterns. Music Perception, 2:411–440, 1985. [SP00] I. Shmulevich and D.-J. Povel. Measures of temporal pattern complexity. Journal of New Music Research, 29(1):61–69, 2000. [Thu08] Eric Thul. Measuring the complexity of musical rhythm. Master’s thesis, McGill University, Canada, 2008. [Vin10] Louis Nicholas Vinke. Factors affecting the perceived rhythmic complexity of auditory rhythms. Master’s thesis, Bowling Green State University, United States of America, 2010. [Vir17] Tyler Virgen. Spurious Correlations. http://www.tylervigen.com/spurious-correlations, consultado en diciembre de 2017. [Wik17] Wikipedia. Correlation and dependence. https://en.wikipedia.org/wiki/Correlation_and_dependence, consultado en diciembre de 2017.
Miércoles, 03 de Enero de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Este es el segundo artículo de la serie sobre medidas de complejidad rítmica. En el primer artículo [Góm17] se presentaron las principales preguntas alrededor de la cuestión de cómo medir la complejidad rítmica y se pasó a revista a unas cuantas medidas (las medidas métricas, las medidas basadas en patrones y las medidas basadas en distancias). En la columna de hoy continuaremos con el examen de las medidas formales de complejidad; en particular, estudiaremos las basadas en la entropía de la información, las basadas en los histogramas de intervalos entre notas consecutivas y las llamadas de irregularidad matemática, que incluirán el índice de asimetría rítmica y la medida de contratiempo. En la siguiente columna estudiaremos cómo medir la bondad de todas esas medidas desde distintos puntos de vista, pero pondremos especial énfasis en la evaluación perceptual de las medidas. 2. Entropía de la información 2.1. La medida H de complejidad Las medidas de complejidad rítmica de esta sección se basan en la idea de la entropía definida por Shannon [Sha48]; la entropía también se llama incertidumbre de la información. Este es un concepto que aparece en varias disciplinas científicas tales como la termodinámica, la mecánica estadística y por supuesto la teoría de la información. La idea que subyace debajo de la definición es que las palabras más inesperadas son las que más información aportan. La idea de lo inesperado es formalizado a través de las distribuciones de probabilidad de modo que lo más inesperado tiene menos probabilidad. Supongamos que X e Y son dos variables aleatorias discretas con distribuciones de probabilidad p(x) y p(y), respectivamente. Se define la entropía H(X) por la expresión Se supone que 0 ⋅ log 2(0) = 0. Si p(x,y) es la probabilidad del vector aleatorio (X,Y) su entropía conjunta es La medida H de la complejidad rítmica se basa en modelos de percepción de estímulos binarios [VT69]. Los ritmos se pueden ver como un estímulo binario, una nota o un silencio. La medida construye un espacio de probabilidad sobre el conjunto de ritmos de manera recursiva y luego aplica las fórmulas de arriba para obtener la entropía. Los detalles son un tanto técnicos y nos conformaremos con esta breve descripción. Para más información, véase las páginas 29 a 36 de la tesis de Thul [Thu08]. 2.2. Codificación de Lempel-Ziv La complejidad rítmica se puede medir en términos de la capacidad de compresión del ritmo en particular. En efecto, la idea que subyace debajo es que si un ritmo es muy complejo se podrá comprimir poco y si es poco complejo admitirá un alto grado de compresión. Este enfoque, como es claro, pertenece a la teoría de la información. Pero ¿cómo se comprime la información? Uno de los algoritmos más populares es el de Lempel-Ziv [LZ76]. Este algoritmo toma una secuencia (que puede ser un texto o en nuestro caso un ritmo) y lo analiza de izquierda a derecha. A partir de ese análisis construye un diccionario que contiene el vocabulario necesario para describir la secuencia entera. Por ejemplo, si la secuencia es (aa), el diccionario estará formado por la expresión an, donde aquí la potencia significa la concatenación de la letra a n veces. Como se puede ver, dado que la secuencia es muy simple, su diccionario es muy corto. Sin embargo, la cadena r = 0001101001000101 tiene como diccionario D = , que tiene tamaño 6, y que es más largo que el de la secuencia an. La complejidad de ese ritmo sería 6. Los detalles de la construcción también en este caso revisten cierto carácter técnicos y hemos optado por remitir al lector interesado a la sección 3.4.4 de la tesis de Thule [Thu08] o también al artículo de Lempel-Ziv [LZ76]. 3. Histogramas de las duraciones de las notas Los histogramas se han usado en Estadística largamente como forma de resumir y visualizar información, especial una gran cantidad de datos, de manera que su interpretación fuera más fácil y efectiva. Un histograma está formada por una serie de rectángulos o barras cuya superficie es proporcional a la frecuencia de los valores asociados a cada barra. En teoría de la música, los intervalos de duraciones entre notas consecutivas (IDNC) es el número de pulso que hay entre ambas. Aquí se está suponiendo implícitamente que el pulso es una unidad mínima en el ritmo y que aquel no admite subdivisiones. En la mayoría de los casos es posible suponer la existencia de tal pulso mínimo. Los histogramas se pueden calcular con IDNCs locales o IDNCs globales. Los IDNCs locales no son más que los intervalos obtenidos entre dos notas consecutivas del ritmo. Por ejemplo, para la clave son, de ritmo [x . . x . . x . . . x . x . . .], su histograma es el que muestra la figura 1; a la izquierda de la figura se ve la representación de este ritmo sobre el círculo. Las duraciones de este ritmo son (3, 3, 4, 2, 4). Figura 1: Histogramas locales de los intervalos de duraciones entre notas consecutivas (figura tomada de [Thu08]) Los histogramas globales de los IDNCs, en cambio, consideran todos los intervalos que se generan entre todos los pares de notas posibles. Si el ritmo tiene k notas, entonces ese número es (k 2) = . La figura 2 muestra el histograma global para la clave son. Este ritmo tiene 5 notas y 10 posibles intervalos entre pares de notas, que son (3,3,4,2,4,7,6,7,6,6). Figura 2: Histogramas globales de los intervalos de duraciones entre notas consecutivas (figura tomada de [Thu08]) 3.1. Desviación estándar de los INCDs La desviación estándar de un conjuntos de datos es una medida de dispersión respecto a la media. La media, a su vez, es una medida de centralización. Si los datos son , entonces la media x se define como y la desviación estándar dv como La desviación estándar hace un promedio de los errores cuadráticos cometidos al sustituir cada dato por la media. Cuando la desviación es cero, implica que todos los datos son iguales entre sí y los datos alcanzan la máxima homogeneidad. Según la desviación típica se hace más grande, los datos se vuelven más homogéneos. La desviación típica se puede ver cómo una medida de cuán representativa es la media respecto al conjunto de datos. Cuando se usa en este sentido se suele complementar con el coeficiente de variación, que se define como . Este coeficiente, normalmente expresado como un porcentaje, nos da la cantidad de dispersión por unidad de media. Para la medida de la complejidad rítmica, se considera que un ritmo que tiene baja desviación estándar tiene poca complejidad. Tendrá pocos valores diferentes para los INDCs. En cambio, si su desviación estándar es alta, esto significará que hay mucha diversidad de valores de los INDCs. No se le escapa al lector que está medida tendrá sus limitaciones, como mostrarán los experimentos, pues no siempre la variedad de duraciones implicará una complejidad intrínseca de los mismos. La desviación estándar se puede calcular tanto para los histogramas locales como los histogramas globales. 3.2. Entropía de la información sobre los histogramas El histograma de un conjunto de datos siempre da lugar a una distribución de probabilidad. Si hay n datos, cada dato tiene probabilidad 1∕n de aparecer. Si un dato aparece k veces, su probabilidad será k∕n. Siendo esto así, se puede aplicar todas las ideas desarrolladas más arriba sobre la teoría de la información, esto es, usando la fórmula H(X) = -∑x∈X p(x)log2 p(x), donde X es la distribución dada por los histogramas. 4. Irregularidad matemática Las medidas que estudiaremos en esta sección tienen su base en ideas matemáticas. Constituyen las ideas más formales de todas las presentadas hasta ahora. En otro contexto similar, la medida de síncopa, estudiamos las dos medidas siguientes, el índice de asimetría rítmica y la medida de contratiempo; véanse las columnas de octubre a diciembre de 2011 [Góm11a, Góm11b, Góm11c]. 4.1. Índice de asimetría rítmica Simha Arom [Aro91] descubrió que los pigmeos aka usan ritmos que tienen lo que él llama la propiedad de asimetría rítmica [CT03, Che02]. Un ritmo con un tramo temporal consistente en un número par de unidades de tiempo tiene la propiedad de asimetría rítmica si no hay dos notas que partan el ciclo (el tramo temporal entero) en dos subintervalos de igual longitud. Tal partición se llama un bipartición igual. Nótese que la propiedad de asimetría rítmica se define solo para tramos temporales de longitud par. Para tramos de longitud impar todos los ritmos tiene esa propiedad, lo que desprovee a la medida de todo interés. Aunque limitada, esta propiedad es un primer paso hacia una definición matemática de la complejidad rítmica. Toussaint [Tou03] propuso una generalización de esta propiedad que tenía más capacidad de discriminación. Originalmente, Simha Arom [Aro91] definió la propiedad de asimetría rítmica de una manera estrictamente dicotómica, blanco o negro, todo o nada, esto es, el ritmo o tiene la propiedad o no la tiene. Este concepto se puede generalizar a una variable que tome más valores y que mida la cantidad de asimetría rítmica que un ritmo posee. Esta variable de asimetría rítmica se define como el número de biparticiones iguales que admite un ritmo. Cuantas menos biparticiones un ritmo admita, más asimetría rítmica tendrá. La medida de asimetría se concibe entonces como una medida de complejidad rítmica. 4.2. La medida de contratiempo Consideremos en primer lugar los ritmos definidos sobre un tramo temporal de 12 unidades de tiempo. Un intervalo de 12 unidades se puede dividir de manera exacta, sin resto, por cuatro números mayores estrictamente que 1 y menores que 12. Estos números son 6, 4, 3 y 2. Dividir el círculo de 12 unidades por estos números da lugar a un segmento, un triángulo, un cuadrado y un hexágono, respectivamente. Normalmente, la música africana incorpora un tambor u otro instrumento de percusión que toca al menos una porción de estos patrones. A veces la música se acompaña con ritmos de palmas que usan alguno de estos patrones. Por ejemplo, la musica funeral neporo del noroeste de Ghana emplea el triángulo, el cuadrado y el hexágono en sus ritmos de palmas [Wig98]. En cualquier caso, el ritmo tiene un pulso que podemos asociar con la posición “cero” en el ciclo. En la música polirrítmica estos cuatro subpatrones forman los posibles patrones métricos. Dos de estos patrones, el segmento y el cuadrado, son binarios y dos, el triángulo y el hexágono, ternarios. En la figura 3 se muestra las subdivisiones dadas por los divisores de 12 para los ritmos bembé y la clave son. El primero es ternario y es [x . . x . x x . x . x . x] y el segundo es binario y se describe como [x . . x . . x . . . x . x . . .]. Figura 3: La medida de contratiempo (figura tomada de [Thu08]) Por tanto, las notas que se tocan en otras posiciones están en posiciones de contratiempo en un sentido fuertemente polirrítmico. Hay cuatro posiciones que no aparecen en ninguno de estos cuatro patrones. Esas posiciones son 1, 5, 7 y 11. Las notas en esas posiciones se llamarán notas a contratiempo. Un ritmo que contenga al menos una nota en una de esas posiciones se dirá que tiene la propiedad del contratiempo. La medida de contratiempo es el número de notas a contratiempo que contiene. Estas notas a contratiempo (1, 5, 7, y 11) tienen una interpretación en términos de teoría de grupos. Las 12 posiciones para las 12 posibles notas forman un grupo cíclico de orden 12 designado por C12. Los valores de las posiciones de las notas a contratiempo corresponden a los tamaños de los intervalos que tienen la propiedad de que, si se recorre el ciclo empezando en “cero” en sentido horario en saltos de tamaño igual al tamaño de uno de estos intervalos, entonces en algún momento se vuelve al punto de inicio tras haber visitado todas las 12 posiciones. Recíprocamente, si las longitudes de los saltos se toman del conjunto complementario , entonces el punto de inicio se alcanzará sin haber visitado las 12 posiciones del ciclo. Por esta razón, los elementos 1, 5, 7 y 11 se llaman generadores del grupo C12 Los números que indican la posición de las notas a contratiempo en el ciclo también tienen una interpretación desde el punto de vista de la teoría de números. Consideremos un tramo temporal de n unidades. Las posiciones de las notas a contratiempo se conocen como coprimos de n (véase[CG96]) . Los coprimos de n son los enteros positivos menores que n que son primos relativos con n. Dos números son primos relativos si el único divisor que tienen en común es 1. La función indicatriz de Euler, designada por ϕ(n), es el número de coprimos de n, y es por tanto el valor máximo que la medida de contratiempo puede tomar para un ritmo con un tramo temporal de n unidades. Ya que cada grupo cíclico Cn tiene un conjunto de generadores, la medida de contratiempo descrita se puede generalizar a ritmos definidos sobre tramos temporales de n unidades, donde n puede tomar otros valores distintos a 12. Aunque la medida funciona mejor con valores pares de n, tiene alguna aplicabilidad para valores impares de n. Por otra parte, si n es un número primo p, entonces todos los números entre 1 y p - 1 son coprimos con p. En tal caso la medida es infructuosa, ya que todas las posiciones entre 1 y p - 1 serían notas a contratiempo bajo la presente definición de contratiempo. 5. Conclusiones En este artículo hemos presentado medidas métricas y medidas basadas en patrones y medidas basadas en distancias para la complejidad rítmica. Como ha podido comprobar el lector, los enfoques son muy distintos y producen a su vez resultados también distintos. Queda para los siguientes artículos estudiar su validación perceptual.   Bibliografía [Aro91] Simha Arom. African Polyphony and Polyrhythm. Cambridge University Press, Cambridge, England, 1991. [CG96] J. H. Conway and R. K. Guy. Euler’s Totient Numbers. The Book of Numbers, pages 154–156, 1996. [Che02] Marc Chemillier. Ethnomusicology, ethnomathematics. The logic underlying orally transmitted artistic practices. In G. Assayag, H. G. Feichtinger, and J. F. Rodrigues, editors, Mathematics and Music, pages 161–183. Springer-Verlag, 2002. [CT03] Marc Chemillier and Charlotte Truchet. Computation of words satisfying the “rhythmic oddity property” (after Simha Arom’s works). Information Processing Letters, 86:255–261, 2003. [Góm11a] Paco Gómez. Medidas matemática de síncopa (I), 2011. [Góm11b] Paco Gómez. Medidas matemática de síncopa (II), 2011. [Góm11c] Paco Gómez. Medidas matemática de síncopa (III), 2011. [Góm17] Paco Gómez. Medidas de complejidad rítmica (I), 2017. [LZ76] A. Lempel and J. Ziv. On the complexity of finite sequences. IEEE Transactions on Information Theory, 22(1):75–81, 1976. [Sha48] C.E. Shannon. A mathematical theory of communication. The Bell System Technical Journal, 27:623–656, 1948. [Thu08] Eric Thul. Measuring the complexity of musical rhythm. Master’s thesis, McGill University, Canada, 2008. [Tou03] Godfried T. Toussaint. Classification and phylogenetic analysis of African ternary rhythm timelines. In Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, pages 25–36, Granada, Spain, July 23-27 2003. [VT69] P. C. Vitz and T. C. Todd. A coded element model of the perceptual processing of sequential stimuli. Psycological Review, 75(6):443–449, 1969. [Wig98] Trevor Wiggins. Techniques of variation and concepts of musical understanding in Northern Ghana. British Journal of Ethnomusicology, 7:117–142, 1998.
Miércoles, 08 de Noviembre de 2017 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Medidas de complejidad rítmica El artículo de este mes inaugura una serie sobre el apasionante tema de las medidas de complejidad rítmica. El material que se presenta en esta serie recoge, de forma divulgativa, el trabajo de autores que han investigado preguntas tales como: dados dos ritmos, ¿cuál de ellos es más complejo?; si el lector es capaz de designar un cierto ritmo como más complejo que otro, ¿puede describir los criterios que rigieron su elección?; ¿depende la complejidad rítmica de la métrica o del agrupamiento?; ¿qué determina la complejidad rítmica?; ¿es una medida asociada intrínsecamente a la estructura del ritmo o depende de la percepción del oyente?; ¿depende la complejidad rítmica de la enculturación del oyente?; ¿lo que es sencillo rítmicamente en una cultura es complejo en otra?; ¿existen universales de complejidad rítmica? Hay más preguntas que se han hecho en la investigación sobre la complejidad rítmica, pero creemos que esta muestra es suficientemente ilustrativa. En esta serie vamos a pasar revista a las medidas de complejidad rítmica más importantes. Seguiremos en buena parte la excelente tesis de maestría de Eric Thul [Thu08]. Primero, empezaremos con las medidas basadas en síncopas, las basadas en patrones y las basadas en distancias. Parte del material que se presenta en este artículo ya fue tratado en 2011 en esta misma revista en la serie Medidas matemáticas de la síncopa; véase [Góm11a, Góm11b, Góm11c]. Dada la distancia en el tiempo y que en esta serie se aborda un problema mayor que en la serie de 2011, consideramos que el lector no se aburrirá. Por medidas de complejidad rítmica queremos decir medidas formales, esto es, medidas definidas desde un punto de vista teórico. Dependiendo del enfoque conceptual, la medida presentará unas u otras características. Si se mira desde un punto de vista computacional, por ejemplo, se puede pensar en la complejidad de Kolmogorov [LV97]; esta medida se define como el programa más corto que, dada una cadena, hay que escribir para producir como salida dicha cadena. Un experto en teoría de la información diría que la entropía de Shannon, que describe la complejidad como la longitud de la representación más pequeña posible de un mensaje (ritmo, en nuestro caso). Quizás el lector no haya pensado que la complejidad rítmica se pueda medir desde estas perspectivas tan inusuales. Falta de perspectiva es lo único que no está ausente en este tema: Lloyd compiló 42 medidas de complejidad y su artículo se llama Medidas de complejidad: una lista no exhaustiva [Llo01]. No cabe duda de que la complejidad rítmica tiene muchos ángulos desde que atacar su definición. Aunque algunos psicólogos a principio de siglo se habían interesado por el problema de la complejidad rítmica (Stetson en 1905 y Weaver en 1939), no fue hasta los años 60 en que los psicólogos empezaron a aplicar la entropía de Shannon en sus estudios que el tema empezó a despertar verdadero interés en la investigación. La entropía de Shannon se puede considerar como la cantidad de información promedio que contienen los símbolos usados; véase, por ejemplo, el trabajo de Vitz y Todd de 1969 [VT69]. A partir de los años ochenta, con los trabajos de Essens, Povel y Schumulevich, se empezó a considerar la necesidad de la validación perceptual , esto es, de que seres humanos validaran perceptualmente la complejidad de las medidas y no solo por su estructura interna; véanse [PE85, Ess95, SP00]. Para un discusión de la variedad de medidas de complejidad y las disciplinas que se han interesado por esta cuestión, véase la introducción de la tesis de maestría de Thul [Thu08], páginas 3 y 4. La intención de esta serie es mostrar cómo funcionan las medidas de complejidad más importantes, cómo se han evaluado y compararlas entre sí. Respecto a la bondad de las medidas, haremos hincapié en la evaluación perceptual así como en su comparación en diversas tradiciones musicales. 2. Medidas métricas 2.1. La medida de complejidad métrica de Toussaint Las medidas que se presentan en esta sección se inspiran en las gramática generativa de la música de Lerdahl y Jackendoff [LJ83]; en su momento dedicamos a su libro Una teoría generativa de la música una serie de título homónimo [Góm14]. En particular, se basan en la jerarquía métrica de pesos, que consiste en asignar un peso a cada subdivisión o pulso del compás en función de su importancia métrica. La importancia métrica se define en función de los divisores del número total de pulsos del ritmo. Para ilustrar esto, consideremos un compás con 16 partes numeradas de 0 a 15, como en la figura de abajo. La posición 0 recibe peso 1 cuando se considera que el compás contiene una redonda. En ninguna otra posición puede empezar una redonda sin salirse del compás. Las posiciones 0 y 8 reciben peso 1 cada una porque en ellas se puede poner una blanca. Las posiciones 0, 4, 8, 12 reciben peso 1 cada una porque pueden albergar las negras. Las posiciones pares reciben 1 cada una porque pueden contener corcheas. Por último, todas las posiciones reciben peso 1 porque en cualquiera se puede poner una semicorchea. El peso final de una posición es la suma de los pesos que ha recibido. Figura 1: Jerarquía métrica de pesos (figura tomada de [Thu08]) Ahora dado un ritmo la complejidad métrica de Toussaint o simplemente la complejidad métrica es la suma de los pesos de las posiciones en que se encuentran las notas de ese ritmo. Por ejemplo, el ritmo [x . . x . . . x . . x . x . . . ], donde x denota una nota y el punto un silencio, tiene notas en las posiciones 0, 3, 7, 10 y 12. Entonces, su complejidad rítmica es 5+1+1+2+3=12. La idea de esta medida es que la complejidad del ritmo está asociada a la complejidad métrica. Al lector no se le habrá escapado que el ejemplo que hemos puesto con un número de pulsos igual a 16 es un caso muy fácil. En realidad, los pesos de la jerarquía métrica dependen de los divisores del número de pulsos. Con 16 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 la jerarquía es única porque la factorización de 16 es única. Por ejemplo, con 12 no es así. El número 12 se puede escribir como 2 ⋅ 2 ⋅ 3, 2 ⋅ 3 ⋅ 2 y 3 ⋅ 2 ⋅ 2 y ello da lugar a tres jerarquías métricas, como muestra la figura de abajo. Figura 2: Jerarquía métrica de pesos para 12 pulsos (figura tomada de [Thu08]) En este caso la medida de un ritmo es la media de las medidas en cada jerarquía métrica. Esta medida tal cual fue presentada inicialmente sufría carencias. Dado que es una medida aditiva, ritmos con más notas serán más complejos que ritmos con menos notas. Varias normalizaciones respecto al número de notas del ritmo y el número de pulsos del compás se han propuesto para corregir esta situación. Por otro lado, la medida premia las notas en las posiciones métricas fuertes, pero no está claro que la complejidad dependa intrínsecamente de pulsos en esas posiciones. Palmer y Krumhansl [PK90] estudiaron empíricamente la cuestión de los pesos de la jerarquía métrica. Llevaron a cabo experimentos con músicos y no músicos para determinar el peso de cada pulso para varios compases. Estos pesos se han usado para modificar la medida de Toussaint y hacer que su diseñe se base en datos perceptuales. 2.2. La medida de Longuet-Higgins y Lee La medida de Longuet-Higgins y Lee (LHL a partir de ahora, por brevedad) es una medida también inspirada en los niveles métricos, como la medida de Toussaint. Los niveles métricos se representan mediante una estructura de árbol que se construye recursivamente. Sea n el número de pulsos que tiene el ritmo. Se factoriza n y se consideran los factores primos de n. Sea p un factor primo de n y ℓ el nivel del árbol que estamos construyendo actualmente. A continuación se genera un árbol con las siguientes reglas: Para todos los nodos m a nivel ℓ, créense p hijos con padre común m. Increméntese ℓ en 1. Elimínese p de la lista de primos y procésese el siguiente factor primo en la lista. Si n = 16, como en el ejemplo anterior, el árbol resultante es el que aparece en la parte de arriba de la figura 4 (el árbol sin pesos). El siguiente paso es agregar los pesos a esta jerarquía métrica. La manera de hacerlo es como sigue. El índice ℓ indica el nivel de la jerarquía métrica y empieza con ℓ = 1. Consideremos las hojas o nodos finales del árbol, y numerémoslos de 0 a 15. Inicializamos todas las hojas a cero. Siempre restamos uno a las hojas, excepto cuando i es cero o i es múltiplo de n/ℓ. Después de procesar el árbol con ℓ = 1, asignamos a ℓ el valor del producto del valor actual de ℓ por el primer factor primo de la factorización de n. Se vuelven a asignar los pesos a este nivel. Se multiplica por el siguiente factor primo y continuamos hasta que todos los factores primos son procesados. El valor final del peso de cada hoja es la suma de los pesos en cada uno de los pasos anteriores. En la figura de abajo aparecen los pesos para el ejemplo con n = 16. Índice 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ℓ = 1 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ℓ = 2 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 ℓ = 3 0 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 0 -1 -1 -1 ℓ = 4 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1 0 -1 ℓ = 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Suma 0 -4 -3 -4 -2 -4 -3 -4 -1 -4 -3 -4 -2 -4 -3 -4 Figura 3: Construcción de los pesos en el árbol de jerarquía métrica de la medida LHL El segundo árbol de la figura 4 muestra los pesos finales en las hojas. Obsérvese que los pesos todavía son mayores en las posiciones métricamente fuertes, aunque tomen valores negativos. Figura 4: Jerarquía métrica de la medida LHL (figura tomada de [Thu08]) De nuevo, cuando n no tiene una factorización única se producen varios árboles con diversas jerarquías métricas. La distancia LHL final será una distancia ponderada entre las distintas jerarquías métricas. La figura 5 muestra las jerarquías métricas asociadas a n = 12. Figura 5: Jerarquía métrica de la medida LHL (figura tomada de [Thu08]) Una vez que la jerarquía métrica y los pesos se han generado, dado un ritmo, la complejidad métrica LHL se calcula examinando los pulsos que tienen silencio y que tienen un peso mayor que la nota inmediatamente anterior. Si estamos procesando el pulso i de un ritmo y este resulta ser un silencio, buscamos la nota inmediatamente anterior a él. Sea j el índice donde tal nota se halla. Si wi,wj son los pesos de los pulsos i y j, respectivamente, entonces el peso del pulso i es la cantidad wi -wj. En el resto de los pulsos los pesos valen cero. La medida LHL es la suma de todos los pesos de los pulsos del ritmo. En la figura 6 se el cálculo de la medida LHL para el ritmo soukous [x . . x . . x . . . x x . . . . ]. Los pulsos en que se producen pesos positivos son en 4, 8 y 12. Como se puede apreciar, la nota que precede a esos pulsos tiene un peso métrico menor que el del silencio. Figura 6: Cálculo de la medida LHL para el ritmo del soukous (figura tomada de [Thu08]) 3. Medidas basadas en patrones 3.1. La complejidad cognitiva de Pressing La idea de Pressing [Pre99] descansa en las jerarquías métricas, pero en la fase final adopta un enfoque de búsqueda de patrones. A partir de los resultados de los patrones determina la medida de la complejidad del ritmo. Pressing primero crea una jerarquía métrica al estilo de Longuet-Higgins y Lee, dividiendo sucesivamente el número de pulsos. Si n = 16, como la factorización es única, da lugar a una sola estructura métrica, como se muestra en la figura 7; se ha dividido el ritmo acorde a los divisores de n. Figura 7: Complejidad cognitiva de Pressing para la clave son (figura tomada de [Thu08]) Para medir la complejidad del ritmo, Pressing define unos pesos asociados a cinco tipos de patrones específicos. Usando la terminología de Pressing, llamaremos sub-ritmos a los patrones que se encuentran en un determinado nivel métrico. Por ejemplo, en la figura anterior el segundo nivel tiene dos sub-ritmos; el tercero, cuatro, y así sucesivamente. En la figura 8 se ven los patrones básicos que definió Pressing para su medida para el tercer nivel (nivel (c) en la figura). Estos patrones reciben los nombres de: a) patrón de relleno; b) patrón continuo; c) patrón de parte fuerte; d) patrón de subparte fuerte; e) patrón de síncopa; f) patrón nulo. Los pesos para cada patrón son, respectivamente, 1, 2, 3, 4, 5, y 6. Pressing da una definición de estos patrones para todos los niveles posibles, pero aquí solo hemos mostrado la del tercer nivel. Figura 8: Patrones básicos en la complejidad cognitiva de Pressing La medida es una media ponderada de los patrones que se suman a todos los niveles de la descomposición del ritmo. Pressing no justificó la asignación de los pesos a estos patrones, lo cual le restó aceptación. Otro inconveniente es que Pressing solo definió la medida para ritmo binarios. No obstante, es posible definirla para ritmos ternarios y para un número de pulsos que no tenga factorización única (por vía de una media ponderada de las distintas medidas de cada descomposición del ritmo). 3.2. La complejidad de Keith En [Kei91] Keith examina varios fenómenos de naturaleza rítmica y lleva a cabo un análisis matemático de ellos. Como ejemplo ilustrativo, Keith aborda el problema de medir el grado de síncopa de un ritmo dado. Su definición se apoya en la distinción de tres eventos: retardo, cuando una nota empieza en parte fuerte1 y termina fuera de ella; anticipación, cuando la nota empieza fuera de parte y termina sobre parte fuerte; y síncopa, que se concibe como una combinación de los dos eventos previos (véase la figura 9; de izquierda a derecha: retardo, anticipación y síncopa). Figura 9: Retardo, anticipación y síncopa. De manera algo arbitraria, Keith asigna valores de 1 al retardo, de 2 a la anticipación y de 3 a la síncopa. Esta asignación parece, por lo menos, subjetiva y el propio Keith reconoce que “el problema de decidir la “fuerza” rítmica relativa del retardo, la anticipación y la síncopa es un interesante problema filosófico”. La medida de Keith se limita a métricas compuesta de n pulsos, donde n es una potencia de 2. Vamos a dar su definición detallada con el fin de entender esta limitación. Su idea principal es que, dadoa un evento musical (una nota), para saber si está en parte fuerte o no hay que compararla con una plantilla métrica, que indica las partes fuertes y débiles según el tamaño (duraciones) del evento. Por ejemplo, si la potencia de 2 es 3, entonces habrá 23 = 8 corcheas y las plantillas de partes fuertes y débiles se ilustra en la tabla abajo (F es para la parte fuerte y D para la débil). F D D D D D D D F D D D F D D D F D F D F D F D F F F F F F F F Figura 10: Diferentes niveles métricos en la definición de síncopa de Keith. Un evento de tamaño 8 se compara con la primera plantilla (léase de arriba abajo). Los eventos de tamaño entre 4 y 7 se comparan con la segunda plantilla; los que van de 2 a 3, con la tercera plantilla; y finalmente, las corcheas, de tamaño 1, con la última plantilla, que solo está formada por partes fuertes. Esta plantilla de partes fuertes y débiles recuerda mucho a las jerarquías métricas de la medida de Toussaint y de Longuet-Higgins y Lee. Podemos representar un ritmo de n notas por una sucesión circular (s0,s1,…,sn-1). Usaremos también la sucesión de intervalos entre notas (δ0,δ1,…,δn-1), donde δi = si+1 - si, para 0 ≤ i < n. El número δn es igual a L - sn-1, siendo L la longitud del ritmo completo. La localización de las partes fuertes es una función de la longitud del intervalo entre notas consecutivas. Una hipótesis implícita es que la métrica es siempre binaria y que las partes fuertes ocurren en algún múltiplo de una potencia de dos. Para cualquier nota dada si, la partes fuertes adyacentes se pueden describir como j2k y (j + 1)2k, donde k es el entero tal que 2k ≤ δi < 2k+1, y j es el entero tal que j2k ≤ si < (j + 1)2k. Hagamos un ejemplo que ilustre cómo se calcula la medida de síncopa de Keith para el ritmo de la bossa-nova; véase la figura 11. La bossa-nova tiene la sucesión de notas (0,3,6,10,13,16) y la sucesión de intervalos entre notas (3,3,4,3,3) (hemos incluido el 16 para enfatizar que la última distancia se obtiene entre la última nota del ritmo y la primera). Nótese que la sucesión que damos para la bossa-nova tiene una nota de más para enfatizar el carácter circular de la sucesión. La siguiente tabla muestra los cálculos para obtener 9, el valor de la medida de síncopa, que está dado por la suma de los pesos wi. 0 1 2 3 4 5 si 0 3 6 10 13 16 δi 3 3 4 3 3 wi 1 2 3 1 2 Figura 11: Anotación de los cálculos de la medida de síncopa de Keith para el ritmo de la bossa-nova. 4. Medidas basadas en distancias 4.1. La distancia de permutación La distancia de permutación dirigida se basa en contar el número mínimo de operaciones para transformar un ritmo dado en otro. Es una generalización de la distancia de Hamming. Esas operaciones se limitan a intercambios de notas o silencios entre posiciones adyacentes y tienen las siguientes restricciones: Ambos ritmos han de tener el mismo número de pulsos. Se convierte el ritmo de más notas, R1, al de menos notas, R2. Cada nota de R1 tiene que moverse a una nota de R2. Cada nota de R2 ha de recibir al menos una nota de R1. Las notas no pueden cruzar el final del ritmo y aparecer por el principio. En la figura 12 se muestra la distancia de permutación dirigida entre dos ritmos flamencos, el fandango y la seguiriya; se pueden apreciar los movimientos de las notas de la seguiriya para transformarse en el fandango. El número de movimientos es mínimo. Figura 12: La distancia de permutación dirigida entre el fandango y la seguiriya). La distancia de permutación dirigida es entonces 4. 4.2. La medida ponderada de nota a parte En la definición de la medida ponderada de nota a parte (DPNP a partir de ahora) medida centramos nuestra atención en los ataques de las notas entre partes fuertes en lugar de la estructura métrica, como hace Keith. Esta medida se basa en el concepto de distancia y es más flexible en cuanto que nos permite cuantificar el nivel de síncopa (de complejidad rítmica) de un amplio abanico de ritmos. Por ejemplo, consideremos los ritmos que se muestran en la figura 13; la medida de Keith no es adecuada para medir ritmos de esta complejidad. Figura 13: Ritmos que no pueden medirse con la medida de Keith. Sin embargo, con la medida ponderada de nota a parte sí es posible medirlo; de hecho, tiene valor igual a 41∕8. La distancia ponderada de nota a parte se define como sigue. En primer lugar, supondremos que cada nota termina donde empieza la siguiente. Sean pi,pi+1 dos partes fuertes de la métrica. Sea sj una nota que empieza después o sobre la parte fuerte pi pero antes de la parte fuerte pi+1; primero definimos T(sj) = mín, donde d es la distancia entre notas en términos de duraciones. Aquí la distancia entre dos partes fuertes se toma como la unidad, y, por tanto, la distancia d es siempre una fracción. Por ejemplo, las negras en un compás de 4/4 son partes fuertes, y, si las notas de la figura 14 se refieren a la parte fuerte más cercana: Figura 14: Síncopa medida con la medida DPNP. entonces, las distancias respectivas T(sj) son 1/2, 1/4, 1/4, 1/3, 1/3, 1/5. En la medida de síncopa de Keith la parte fuerte más cercana a una nota estaba implícita. Para permitir una mayor variedad de ritmo la medida DPNP exige especificar cuales son las partes fuertes. En el ejemplo anterior las partes fuertes están dadas por el compás. Así, en el ejemplo de la figura 13 las partes fuertes se encuentran a intervalos de negra. La medida DPNP está especialmente diseñada para entradas en notación estándar, ya que las partes fuertes se deducen del compás. La medida DPNP D(sj) de una nota sj se define entonces como sigue: 0, si sj = pi; , si la nota sj ≠ pi termina antes o en pi+1; , si la nota sj ≠ pi termina después de pi+1 pero antes de o en pi+2; y , si la nota sj ≠ pi termina después de pi+2. Sea n el número de notas de un ritmo. Entonces la medida DPNP de un ritmo es la suma D(sj), para todas las notas sj, dividida por n. La tabla de la figura 16 proporciona una lista de los valores DPNP para varios ritmos. Usaremos la notación que introdujimos antes para representar un ritmo como una sucesión circular, junto con una sucesión de intervalos entre notas y las partes fuertes dadas por el compás para escribir el algoritmo de la medida DPNP. Consideremos una nota si. Esta nota puede empezar en una parte fuerte pj o puede caer entre dos partes fuertes consecutivas. Definimos di como Ahora asignamos un peso wi a una nota si como sigue: si si = pj entonces wi ← 0 si pj < si < si+1 ≤ pj+1 entonces wi ← 1∕di si pj < si < pj+1 < si+1 < pj+2 entonces wi ← 2∕di si pj < si < pj+1 < pj+2 ≤ si+1 entonces wi ← 1∕di Nótese que asignamos el mayor valor de síncopa a una nota si en el caso en que si y si+1 caigan entre dos partes fuertes consecutivas. En la figura 15 hemos registrado los cálculos para determinar la medida DPNP para el ritmo de la bossa-nova. Nótese que el compás implica que las partes fuertes son las blancas. Esto se traduce en un vector de partes fuertes igual a (0,4,8,12,16). La suma de las D(x) para este ritmo es 20 y da una distancia final de 20∕5 = 4. 0 1 2 3 4 5 si 0 3 6 10 13 16 di 0 1/4 1/2 1/2 1/4 wi 0 2×4 2×2 2×2 1×4 Figura 15: Anotación de los cálculos de la medida DPNP para el ritmo de bossa-nova. Nótese que si n no se introduce en la definición de DPNP, entonces la medida crece según lo hace el número de notas del ritmo. Eso daría como resultado una medida incorrecta. En la tabla 16 hay una columna que muestra la suma de las distancias D(x). Se puede apreciar cómo se comporta tal suma en términos de n y la influencia del número de notas en la medida. Ritmo Notación partitura ∑ xD(x) DPNP Retardo 2 1/2 Anticipación 2 1/2 Síncopa 6 6∕5 = 1.2 Tresillo 6 6/6=1 Quintillo 15 15/8=1.875 Bembé 21 21/7=3 Son 14 14/5=2.8 Bossa-Nova 20 20/5=4 Ritmo irregular 35 35/7=5 Figura 16: Ejemplos de la medida DPNP. Los pesos que aparecen en la definición de la medida merecen una explicación. Es razonable dar un peso a una nota que se toca fuera de una parte fuerte. Nuestra medida da menos peso cuando la nota aparece entre dos partes fuertes consecutivas y, según se aproxima la nota a la siguiente parte fuerte, gana más peso. Sin embargo, hay una gran diferencia si la nota cruza una parte fuerte o sencillamente termina antes o en la siguiente parte fuerte. En el primer caso hay una sensación de síncopa más fuerte que en el segundo. Por tanto, recibe más peso con el fin de reflejar este hecho musical. 5. Conclusiones En este artículo hemos presentado medidas métricas y medidas basadas en patrones y medidas basadas en distancias para la complejidad rítmica. Como ha podido comprobar el lector, los enfoques son muy distintos y producen a su vez resultados también distintos. Queda para los siguientes artículos estudiar su validación perceptual.   Nota: 1 La terminología española es parte fuerte para lo que en inglés llaman strong beat o sencillamente beat; a veces el término pulse se usa como equivalente a parte fuerte.   Bibliografía [Ess95] P. Essens. Structuring temporal sequences: Comparison of models and factors of complexity. Perception and Psychophysics, 57(4):519–532, 1995. [Góm11a] Paco Gómez. Medidas matemática de síncopa (I), 2011. [Góm11b] Paco Gómez. Medidas matemática de síncopa (II), 2011. [Góm11c] Paco Gómez. Medidas matemática de síncopa (III), 2011. [Góm14] F. Gómez. Teoría generativa de la música - I, junio de 2014. [Kei91] Michael Keith. From Polychords to Pólya: Adventures in Musical Combinatorics. Vinculum Press, Princeton, 1991. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [Llo01] S. Lloyd. Measures of complexity: a nonexhaustive list. IEEE Control Systems Magazine, 21(4):7–8, 2001. [LV97] M. Li and P. Vitányi. An introduction to Kolmogorov complexity and its applications. Springer, 1997. [PE85] D. Povel and P. Essens. Perception of temporal patterns. Music Perception, 2:411–440, 1985. [PK90] C. Palmer and C. L. Krumhansl. Mental representations for musical meter. Journal of Experimental Psychology, 16(4):708–741, 1990. [Pre99] J. Pressing. Cognitive complexity and the structure of musical patterns, 1999. [SP00] I. Shmulevich and D.-J. Povel. Measures of temporal pattern complexity. Journal of New Music Research, 29(1):61–69, 2000. [Thu08] Eric Thul. Measuring the complexity of musical rhythm. Master’s thesis, McGill University, Canada, 2008. [VT69] P. C. Vitz and T. C. Todd. A coded element model of the perceptual processing of sequential stimuli. Psycological Review, 75(6):443–449, 1969.
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