DivulgaMAT
Inicio - DivulgaMAT Facebook - DivulgaMAT Twitter - DivulgaMAT


Home » Cultura y matemáticas » Música y matemáticas

Música y matemáticas

El objetivo de esta sección es comprender la interesante y profunda relación de las Matemáticas con la Música.

Nuestro sincero agradecimiento a Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid) por organizar y desarrollar esta sección, a sus anteriores responsables Rafael Losada y Vicente Liern, así como a todas las personas que colaboran con la misma.

Resultados 21 - 30 de 125

Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
El día 4 de este mes tuve el privilegio de dar una conferencia en línea en la Universidad Internacional de La Rioja (UNIR). Me pidieron que hiciera un recorrido panorámico por el campo del MIR (Music Information Retrieval, en sus siglas inglesas), que a falta de un término en castellano yo llamo Computación Musical. Hice una presentación Prezi para esa conferencia, que constituirá la columna de este mes de abril. Deseo a los lectores de esta columna que estén bien de salud física y emocional en estos tiempo inciertos y duros. Presentación Prezi: https://prezi.com/mkzycasyqlki/?utm_campaign=share&utm_medium=copy
Lunes, 06 de Abril de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
En la columna de este mes, que llega algo tardía, quisiera recordar la figura de Godfried Toussaint, quien falleció súbitamente este verano, mientras daba una conferencia en Japón. Una noticia triste, sin duda. Fue mi director de tesis allá por los años 94 a 96. Fueron años de muchísimo aprendizaje y mucha transformación personal. Él me influyó mucho y en muchos aspectos. Y no solo a mí; muchos de sus alumnos, algunos compañeros míos de la época de la tesis y posteriores compañeros de investigación, también se vieron influidos enorme y positivamente por Godfried (lo llamaré así a partir de aquí). Cuando murió Jit Bose y Stephan Langerman crearon un blog, Godfried Toussaint Memorial [BL20], en que sus antiguos alumnos y amigos escribieron testimonios. Dichos testimonios son impresionantes por el cariño y la gratitud que destilan. Se puede ver el denominador común del espíritu de Godfried. Abajo, humildemente, ofrezco el mío en esta columna. Se encuentra en inglés y castellano. Godfried’s death came to me as a very painful surprise. As in the case of others, Godfried was friend, teacher, mentor, and adventure mate. But before anything else, he was a friend, a very good friend. I met him in 1992 at McGill. Soon his love for research and especially his approach to it made a great impact on me. I came from a place where research was conceived as an individual work that you would do with your supervisor, almost secretly, where only the results were important (you weren’t important). With Godfried, however, research was about beauty and fun. He conveyed that sense of beauty through a fierce passion for the subject as well as excellent communication skills (he was a great orator and writer). He was able to raise above the sea of results in the area and spot new virgin territories where to extract new and exciting problems. Godfried also was a polymath. He was a musician and so was I, and very soon we connected and started to play together back in 1992. He’d visit me in Madrid on a regular basis and every time he was in town I organized some kind of gig, concert, show with more friends (Giovanna, Shima, Stefan, Andrew). I remember that we started to do research in Mathematical Music Theory at the same time, around 2002. We had so much fun by doing so! He’d invite me to his Bellairs workshops, where I met so many fascinating researchers. Among other Godfried’s interests, we find dance, literature (he wrote a couple of novels), cinema, sports. Another distinctive trait of Godfried was his sense of humor. He was always laughing. He could find reasons to laugh about in the smallest details of daily life, so good-humored he was! When I first met him, I happened to have an obsession for water guns. I’d like to squirt people with small water guns pretending I was sneezing or something along these lines. I challenged him to go to a bar and squirt the patrons just to see their reactions (sometimes we’d aim at the most beautiful women in the bar just to strike up conversation with them). And he’d follow down my crazy paths. We laughed like hell. He was that type of guy. The last one indelible impact Godfried made on me was of social nature: the way he interacted with students. Godfried treated them as their peers in the adventure of learning. More important, he treated them as human beings, and considered that every single student had very valuable things to put on the table. I remember with great joy the lunches that we had together, him and other students, every single day of workweek. We discussed research problems, laughed, talked about our worries, personal and otherwise; in a nutshell, we celebrated life and the human condition. Yes, Godfried was good at living life. Thank you, friend. I miss you. (La muerte de Godfried vino como una dolorosa sorpresa. Como en el caso de otros, Godfried fue un un amigo, profesor, mentor y compañero de aventuras. Pero antes que nada, Godfried fue un amigo. Lo conocí en 1992 en la universidad de McGill. Pronto su amor por la investigación y especialmente su enfoque causaron un gran impacto en mí. Venía de un sitio donde la investigación se concebía como un trabajo individual que hacías con tu director de tesis, casi secretamente, donde solo los resultados eran importantes (tú no eras importante). Con Godfried, sin embargo, la investigación era una fuente de belleza y diversión. Él era capaz de transmitir un sentido de la belleza a través de una pasión fiera por el tema junto a unas destrezas de comunicación (fue un orador y escritor). Godfried era capaz de erguirse por encima de una mar de resultados en la disciplina y avistar territorios vírgenes de donde extraer nuevos y emocionantes problemas. Godfried era también un polímata. Era músic y yo también, y muy pronto conectamos y empezamos a tocar juntos allá por el año 92. Me visitaba en Madrid con regularidad y cada vez que estaba aquí organizaba algún tipo de concierto, evento, show, con más amigos (Giovanna, Shima, Stephan, Andrew). Recuerdo que empezamos a hacer investigación en teoría matemática de la música a la vez, alrededor de 2002. ¡Nos lo pasamos también haciéndolo! Él me invitaba a sus talleres en Bellairs (Barbados), donde conocí a tantos investigadores fascinantes. Entre los intereses de Godfried, encontramos la danza, la literatura (escribió un par de novelas), el cine, los deportes. Otra característica distintiva de Godfried fue su sentido del humor. Siempre se estaba riendo. Era capaz de encontrar razones para reírse en los más pequeños detalles cotidianos, ¡tal era su temperamento! Cuando lo conocí por primera vez, yo tenía una obsesión por las pistolas de agua. Me gustaba ir mojando a la gente con pequeñas pistolas de agua fingiendo que estaba estornudando o algo similar. Le reté a ir conmigo a un bar y mojar a los clientes para ver sus reacciones (algunas veces apuntábamos a las mujeres más bellas del bar sencillamente para trabar conversación con ellas). Y él me seguía en mis locuras. Nos reímos hasta el infinito. Ese era el tipo de persona que era. El último impacto indeleble que Godfried causó en mi fue el social: la manera en que interactuaba con los alumnos. Godfried los trataba (nos trataba) como compañeros en la aventura del aprendizaje. Aun más importante, los trataba como seres humanos y consideraba que cada alumno tenía algo valioso que poner encima de la mesa. Recuerdo con gran alegría las comidas juntos, él y otros alumnos, cada día de la semana sin faltar uno. Discutíamos problemas de investigación, reíamos, hablábamos sobre nuestras preocupaciones, personales y de otro tipo; en resumen, celebrábamos la vida y la condición humana. Sí, Godfried era bueno viviendo la vida. Gracias, amigo. Te echo de menos.) Godfried tuvo una carrera impresionante; véase su página web para ver sus logros académicos [Tou20] (publicó cerca de 300 artículos en revista de impacto en sus 50 años de carrera académica). En lo que respecta a la temática de esta columna, la relación entre las matemáticas y la música, fue uno de los investigadores más prolíficos en ese campo. Su especialidad siempre fue la teoría matemática del ritmo. Fue el descubridor de los famosos ritmos euclídeos, los ritmos en que las notas están distribuidas lo más regularmente posible entre los pulsos. Junto a él y otros coautores escribí varios artículos sobre este fascinante tema ([DGMM+08], [GPT09], [GMTT09]). También fue autor de un libro, The geometry of musical rhythm, donde expuso todos sus resultados y teorías sobre ritmo. Abajo lo tenemos en una foto tomada durante una visita a Madrid. Nos preparábamos para dar un concierto por la tarde tras una mañana de fértil investigación. Te digo adiós lleno de gratitud y emoción. Bibliografía [BL20] Jit Bose and Stephan Langerman. Godfried toussaint memorial. https://godfriedtoussaint.blogspot.com/, consultado en enero de 2020. [DGMM+08] Erik D. Demaine, Francisco Gomez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood. The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application, 2008. [GMTT09] F. Gomez-Martin, P. Taslakian, and G. T. Toussaint. Interlocking and euclidean rhythms. Journal of Mathematics and Music, 3(1), 2009. [GPT09] F. Gómez, Talaskian P., and G.T. Toussaint. Structural properties of euclidean rhythms. Journal of Mathematics and Music, 3:1–14, 2009. [Tou20] Godfried Toussaint. Godfried toussaint mcgill web page. http://cgm.cs.mcgill.ca/~godfried/, consultado en enero de 2020.
Lunes, 17 de Febrero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Celia Rubio Madrigal (Universidad Complutense de Madrid)
Tras la serie de artículos Serialismo y matemática que ha ido de septiembre a noviembre de 2019, Celia Rubio, su autora, me presentó un cuarto texto, Re-escalando música. Este texto constituye la columna de diciembre de 2019. Es de nuevo una inmensa fortuna contar con la colaboración de Celia Rubio. Dejamos al lector con el placer de su escritura y concepto. 1. La visión artística de Schoenberg En julio de 1921, tras haber ideado los fundamentos del dodecafonismo, Schoenberg hizo el siguiente anuncio a su discípulo Josef Rufer [7]: He realizado un descubrimiento que asegurará la supremacía de la música alemana durante los próximos cien años. Durante la mayor parte de su vida, Schoenberg creyó que el público general acabaría aceptando la música dodecafónica del mismo modo que se habían aceptado los distintos sistemas tonales desde hacía siglos. Para él, la naturalidad del sistema dodecafónico residía en que era un paso más en el proceso musical histórico: desde el contrapunto y el desarrollo motívico, practicado por los grandes maestros de la tradición alemana, hasta la disolución de la tonalidad, anticipada por la música postwagneriana e impresionista. Todo era parte de un continuo, del desarrollo de la historia de la música. En palabras de Schoenberg [6]: Yo creo que la composición con doce sonidos, y la que muchos llaman erróneamente “música atonal”, no es el final de un viejo período, sino el comienzo de otro nuevo. Una vez más, como hace dos siglos, hay algo a lo que se llama anticuado; y una vez más, no se trata de ninguna obra en particular, [...] sino que otra vez sucede que es un estilo el condenado al ostracismo. Tras la muerte de Schoenberg en 1951, y durante algunas décadas más, su sistema compositivo fue venerado por los compositores jóvenes más brillantes (véase [4]), pero pronto se desvaneció de las salas de conciertos. El serialismo siempre se consideró una música académica, difícil de entender, apenas musical sino teórica. La complejidad de percibir esta música meramente por su estructura formal impidió, y todavía impide, que se disfrutara más allá de su estudio. Schoenberg intentó eximirse de culpa y a su vez culpó al oyente, quien según él creyó que no se esforzaba lo suficiente [6]: La composición con doce sonidos no tiene otra finalidad que la comprensión. A la vista de ciertos acontecimientos en la historia musical reciente, esto puede causar asombro, ya que las obras escritas en este estilo no han sido entendidas [...] Solo el compositor perfectamente preparado será quien componga para el oyente musical igualmente bien dispuesto. Al contrario de lo que Schoenberg creía, incluso el oyente experto, el que describe T. W. Adorno en su “Introducción a la sociología de la música” [1], tiene grandes dificultades para distinguir auditivamente todos los elementos que caracterizan el serialismo. Somos capaces de retener, a lo sumo, motivos de seis o siete notas, pero no de doce [3]; mucho menos de reconocer si una serie es transformación de otra. ¿En qué medida afectan las reglas dodecafónicas al discurso sonoro de una pieza? El dodecafonismo puede atribuirse el haber prescindido de algunas de las preconcepciones musicales más arraigadas, como la melodía, la consonancia o la tonalidad. Pero precisamente por eso es impopular, porque toma la disonancia y la pone al frente de toda la composición. Para Schoenberg, la aprobación del público no era el objetivo de su arte, y, de hecho, el desagrado colectivo era un signo del alto nivel artístico y espiritual [6]: El valor de mercado es irrelevante para el valor intrínseco (de la música). Un juicio no cualificado puede como máximo decidir el valor de mercado —un valor que puede ser inversamente proporcional al valor intrínseco. Ningún artista, ningún poeta, ningún filósofo y ningún músico, cuyo pensamiento se desenvuelva en la más alta esfera, habrá de descender a la vulgaridad para mostrarse complacientes con un eslogan tal como “Arte para todos”. Porque si es arte no será para todos, y si es para todos no será arte. Sin embargo, el rechazo a no ser rechazado ha dejado de tener cabida en nuestro contexto artístico. El academicismo ya no es excluyente a la divulgación o a la búsqueda de belleza sensorial. De las técnicas serialistas se puede tomar aquello que es interesante intelectualmente e incorporarlo a otras técnicas. Este es el experimento que he querido, con humildad, proponer: despojar al serialismo de uno de los elementos que provoca más rechazo: la disonancia extrema. Ya que esta proviene del cromatismo, el propósito del experimento es utilizar escalas que tengan menos intervalos de semitono para crear con ellas un pseudo-serialismo de menos notas. Se han modificado las notas de varias obras dodecafónicas ya existentes, mientras que el ritmo, la duración, el timbre y las dinámicas, que siguen siendo producto de los compositores originales, se han dejado intactas. El propósito final es intentar conservar la estructura matemática subyacente renovando, en cambio, la percepción colectiva de estas músicas. Para describir el proceso de modificación de las obras debemos definir lo que se entiende por escala y cuáles son las funciones óptimas entre escalas. 2. Escalas y funciones del experimento 2.1. Escalas interválicas, escalas y funciones Una escala interválica es una secuencia ordenada de números naturales – una secuencia de intervalos entre notas – tales que la suma de todos ellos da 12. Así solo consideramos válidas las escalas equivalentes octava a octava. Esto debe ocurrir para poder considerar transformaciones de la escala cromática en escalas menores, aunque es generalizable a cualquier longitud. Diremos entonces que la escala cromática es la súper-escala de las sub-escalas con las que trabajaremos. Por ejemplo, la escala diatónica jónica (o escala mayor) tiene como secuencia de distancias (2, 2, 1, 2, 2, 2, 1) cuando se miden en semitonos. Dada una escala interválica de longitud ℓ y una nota fija inicial, la secuencia de intervalos se convierte en una secuencia de notas de longitud ℓ+1. Se construye comenzando por la nota inicial y sumando cada intervalo para conseguir la nota siguiente. Con la escala mayor y la nota Re se consigue (Re, Mi, Fa#, Sol, La, Si, Do#, Re), ya que es equivalente a (2, 2+2=4, 4+2=6, 6+1=7, 7+2=9, 9+2=11, 11+2=13, 13+1=14). Por construcción, la última nota debe ser equivalente a la primera, ya que en el último paso habremos sumado a la nota inicial todos los términos de la secuencia interválica, y por definición suman 12. De esta forma, se puede definir una escala-k como el conjunto de notas generadas por una escala interválica desde la nota k. Por ejemplo, el conjunto anterior sería la escala-2 mayor; es decir, la escala de Re mayor. Una escala generada por una secuencia de intervalos con longitud ℓ tiene ℓ notas, ya que como la última es repetida no hay por qué considerarla. Su longitud ℓ ≤ 12, ya que una escala-k definida de esta forma siempre es un subconjunto de la escala cromática: Ek ⊆ ℤ∕(12). Al generalizarlo a cualquier súper-escala, habría que considerar las notas distintas según su escala o formular otras definiciones más adecuadas. Una función a una escala-k es una función f que transforma cada nota de la escala cromática a un valor de la escala Ek. Entonces f : ℤ∕(12) → Ek* reduce las notas de una melodía a solamente la escala escogida, donde Ek* está formado por las notas de Ek pero quizás en octavas distintas. Las funciones a escalas se representan de la siguiente manera, con la primera fila representando el dominio de f (la escala cromática); la segunda su imagen (la escala con repeticiones y en distintas octavas, Ek*); y la tercera su secuencia interválica, que es de interés, ya que coincide con la escala interválica de partida salvo en los valores nulos. El proceso verdaderamente interesante está en averiguar, dada una escala E, cuál es la mejor función que transforma melodías cromáticas en melodías en E. Estas son las funciones E-inducidas. ¿Cuáles serán las características de esas funciones óptimas? Deben ser sobreyectivas: si no, la música resultante tendría una escala más reducida de la deseada. Pero además deben conservar la estructura serial y deben conservar el parecido con la melodía original. 2.2. Funciones bien distribuidas La mayor prioridad es conservar la estructura serial de las piezas; por tanto, todas las notas deben aparecer con la menor frecuencia posible, y se debe evitar jerarquías entre las notas en la medida de lo posible. Si |E| < 12, f no puede ser inyectiva, por lo que va a haber elementos repetidos en la imagen. Queremos la f que mejor distribuya esas repeticiones, que distribuya las notas de E a lo largo de la escala cromática. Lo óptimo sería que todas tuvieran la misma frecuencia. Eso solo pasará cuando |E| divida a 12. Por ejemplo, si E = (entonces |E| = 6), existen funciones tales que cada nota de la imagen se repite exactamente 2 veces. La siguiente función E-inducida f cumpliría la condición de buena distribución: En cambio, si |E| no divide a 12 no hay funciones E-inducidas totalmente distribuidas. No existe una sola frecuencia que puedan compartir todas las notas de E. Sin embargo, sí se pueden encontrar dos frecuencias consecutivas, c y c + 1, tales que todos los elementos de E tengan o frecuencia c o frecuencia c + 1. Esto es lo más parecido a que todas tengan la misma frecuencia, y se va a probar a continuación que siempre es posible. La situación es equivalente a que E se pueda dividir en dos subconjuntos disjuntos Q y R, con |Q| = q y |R| = r (entonces q + r = |E|), tales que la frecuencia de las notas en Q es c y la frecuencia de las notas en R es c + 1. En resumen, para probar que Q y R existen, debemos encontrar un c, un q y un r naturales para los que cq + (c + 1)r = 12. En efecto: cq + (c+ 1)r = cq + cr + r = c(q + r)+ r = c|E|+ r = 12 lo cual se cumple por el algoritmo de la división, que asegura que al dividir 12 entre |E| existen su cociente c y su resto r ≥ 0, como queríamos probar. La siguiente tabla describe, para cada posible |E| en cada fila, la frecuencia óptima de sus elementos. Las columnas representan las frecuencias de los elementos, y los números de dentro son cada q y r (cuando es 0 no se escribe: no hay notas con esa frecuencia). Estas funciones forman parte del numeroso conjunto de elementos musicales de máxima regularidad. Un ejemplo importante de ellos son los ritmos euclídeos —para más información ver [2]. 2.3. Funciones E-inducidas Hay que pedir más requisitos a f para que no solo modifique las notas, sino que además las imágenes se parezcan lo máximo posible a sus preimágenes, a las notas originales. En esencia, lo que se busca es una escala a distancia mínima de la escala cromática en cuanto a unos criterios concretos. La manera matemática de formalizar esos criterios es definir una métrica para estas funciones; es decir, una manera de medir la distancia entre ellas para poder compararlas. La distancia d entre dos funciones f y g cualesquiera, d(f,g), debe cumplir estas propiedades básicas: 1. d(f,g) ≥ 0 3. d(f,g) = d(f,g) 2. d(f,g) = 0 ⇔ f = g 4. d(f,g) ≤ d(f,h) + d(h,g) La métrica que he escogido para comparar las funciones consiste en restar sus imágenes una a una, tomar el valor absoluto de esas diferencias y sumarlas: d(f,g) = ∑i=011|f(i) - g(i)|. Esto nos da una idea de cómo de “lejos” se encuentran una de la otra, y cumple los axiomas de una métrica. Nos interesa entonces encontrar la función más cercana a la función identidad, es decir, la que enviaría la escala cromática a sus mismas notas. Así se priorizan las funciones con el mayor número de puntos fijos —ya que el sumando en ese índice sería 0— , o que, al menos, se parezcan en su escala interválica asociada. Puede ocurrir que con esta manera de medir quede más de una función a distancia mínima. Entre ellas, yo he escogido la más grave, y así, dada cualquier escala E, su función E-inducida queda unívocamente determinada. En el enlace https://gitlab.com/dodecafonismo/f-inducida se encuentra el código en Haskell de un programa que, dado una escala, produce su función inducida óptima con las propiedades descritas anteriormente. En el código se puede escoger entre o bien encontrar la mejor función que use solamente las notas de la subescala dada, o bien permitir transposiciones de ésta —que conservan, aun así, la escala interválica asociada— y que es a lo que llamo “inducir la raíz”. También permite cambiar el dominio, o superescala, y que no sea la cromática, aunque en ese caso puede que la métrica definida no devuelva resultados tan intuitivos. 3. Modificación de partituras serialistas 3.1. Escalas utilizadas Las escalas escogidas para este experimento son cuatro escalas de distintos tamaños y sonoridades; desde el sonido oriental hasta el occidental clásico, pasando por el jazz moderno y el impresionismo. Son la escala pentatónica, la escala de tonos enteros, la escala heptafónica de do mayor y la escala octotónica. Estas son las funciones inducidas de dichas escalas según el algoritmo: 3.2. Obras modificadas Ahora se describirán las obras que pasarán por la modificación. Para abarcar distintos estilos compositivos y hacer este estudio más amplio, he escogido obras de los tres principales compositores dodecafónicos: Schoenberg, Berg y Webern. Sin embargo, no se han escogido obras de compositores posteriores ni serialistas integrales. Uno de los motivos es porque interesa en este estudio la relación entre los sonidos: no se modifican más que las alturas de las notas, y por tanto no se tiene en cuenta el resto de elementos musicales. Que estén compuestos serialmente no afecta a las conclusiones de este experimento. Por otro lado, los compositores posteriores a Schoenberg todavía no han pasado al dominio público. Eso impide, por desgracia, que se pueda trabajar libremente con su música. Por último, el hecho de que cada nota tenga su propia dinámica, su propia articulación o su propio timbre hace de las obras serialistas integrales difíciles de manipular. Además, como los audios están hechos mediante ordenador y no con intérpretes reales, la calidad y la intención musical de estas partituras tan complicadas nunca podrían plasmarse a la perfección. La primera obra que pasará por el algoritmo de modificación serial es la Suite para piano, Op. 25 de Schoenberg. Un análisis de esta pieza y de su contexto histórico se puede encontrar en [5]. Su serie principal es: La segunda obra es un arreglo para soprano y piano de una de las arias más destacadas de la segunda ópera de Alban Berg, Lulu. El libreto de la obra está basado en dos tragedias de Frank Wedekind: “El espíritu de la tierra” y “La Caja de Pandora”. El aria, llamada Lied der Lulu, es parte de una dramática disputa entre Lulu y su marido por las infidelidades de ella, que acaba con el homicidio accidental de él. La serie de Lulu es: La tercera, de 1936, es la única obra publicada de Anton Webern para piano solo: Variationen für Klavier, Op. 27, y se compone de tres movimientos: Sehr mässig, Sehr schnell y Ruhig fliessend. Su serie principal es: 3.3. Programa online de modificación de partituras He creado una página web online que transforma cada nota de una partitura a cualquier nota requerida, una a una. Este software sirve para no tener que modificar a mano las partituras del experimento, pero también puede servir para otros propósitos. Por ejemplo, para cambiar una partitura de mayor a menor, o viceversa. El programa solo admite partituras con formato Archivo Musescore sin Comprimir (.mscx) del software libre Musescore. En caso de tener la partitura en otro formato, debe abrirse en Musescore y guardarse en el formato correcto. Está escrita en Elm y el código puede encontrarse aquí. La aplicación web se encuentra en el siguiente enlace: https://modificaciones.netlify.com/. Sus instrucciones de uso se encuentran al final de la página web. 4. Conclusiones Todas las conclusiones que se pueden extraer de este experimento son enteramente subjetivas. El objetivo de realizarlo es poder seguir investigando con las propiedades matemáticas de la música, y analizar el impacto emocional que estas pueden causar. No se puede afirmar que la transformación mejore o empeore ninguna obra. En todo caso podemos interpretar qué transformaciones tienen un determinado sentido musical o estético, dependiendo de la escala utilizada o del estilo con el que estén compuestas. Tampoco debemos olvidar que el cromatismo siempre aportará a las obras una dimensión añadida, un elemento extra que ha impulsado gran parte de la innovación en la historia de la música. Quitarlo por completo es, en realidad, retroceder en la evolución del arte. En general, las transformaciones hexatónica y octotónica siguen conservando mucho del cromatismo que tiene la partitura original. Siguen sonando ajenas al oído tonal del oyente medio. Vamos a comentar algunas de las impresiones que generan las otras dos transformaciones en cada una de las obras, aunque dejaremos al lector que forme su propia opinión. 4.1. Obra de Berg: Lied der Lulu El estilo compositivo de Berg busca, en su mayor parte, acercarse a las formas tonales; maneja la falta de tonalidad serialista sin deshacerse de muchos elementos de la tradición musical. Sus melodías son fluidas y su fraseo inicia a conversar. Así, la transformación pentatónica (5) queda, quizás, algo simplista y repetitiva, y es en cambio la heptatónica (7) la que nos traslada a sonoridades más familiares. https://soundcloud.com/celiarubio/sets/berg-lied-der-lulu 4.2. Obra de Webern: Variationen op. 27 El estilo compositivo de Webern es rompedor y enigmático. Tanto fue así que su música sirvió de inspiración para el serialismo integral de los años 50. Sus melodías suenan fragmentadas y están llenas de intervalos de más de una octava. Es, por tanto, muy difícil que cualquier transformación que conserve similitudes melódicas con la partitura original pueda acercarse a músicas más convencionales. La esencia de esta obra está precisamente en su peculiaridad. https://soundcloud.com/celiarubio/sets/webern-op27-variations 4.3. Obra de Schoenberg: Suite op. 25 El estilo compositivo de Schoenberg en la Suite es tradicional, aunque busca nuevas sonoridades. Su principal objetivo es conservar la estructura formal anterior, y por ello lo único que aleja a la obra es el uso del serialismo en la altura de las notas. La obra es, en general, más armónica que melódica, ya que pretende simular texturas instrumentales del periodo barroco. Además, al centrarse tanto en la formalidad de la pieza aporta una riqueza separada del uso del serialismo. Por ello, la transformación pentatónica (5) no acaba siendo monótona sino muy sugestiva. Por otro lado, la elección concreta de la función transformativa, que hace predominar las notas do y sol —que aparecen en la nueva serie una vez más que el resto de notas— provoca que, en muchos casos, la obra simule estar en do mayor. Como en la partitura original predomina el intervalo de tritono re ♭ – sol, la transformación da peso al intervalo de quinta justa, que es la base de la armonía tradicional. La transformación heptatónica sigue dejando alguna disonancia debido a la existencia de semitonos entre las notas mi – fa y si –  do, y al tritono en fa – si. Al ser una obra ampliamente textural, muchos de estos intervalos aparecen con frecuencia. https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-1-prelude https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-2a-gavotte https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-2b-musette https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-3-intermezzo https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-4a-menuet https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-4b-trio https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-5-gigue   Bibliografía [1] T.W. Adorno. Disonancias. Introducción a la sociología de la música. Continuum International Publishing Group Ltd., 1973. [2] Paco Gómez. Ritmos euclídeos y ritmos equilibrados, marzo de 2018. Consultado en octubre de 2019. [3] George A. Miller. The Magical Number Seven, Plus or Minus Two: Some Limits on Our Capacity for Processing Information. Psychological Review, 63, 1956. [4] Celia Rubio Madrigal. Serialismo y matemáticas - II. Divulgamat, octubre de 2019. [5] Celia Rubio Madrigal. Serialismo y matemáticas - I. Divulgamat, septiembre de 2019. [6] Arnold Schoenberg. Style and Idea, 1950. [7] H. H. Stuckenschmidt. Schoenberg: his life, world, and work. Calder, 1977.
Martes, 03 de Diciembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Celia Rubio Madrigal (Universidad Complutense de Madrid)
1. Introducción Este artículo es el tercero y último de la colección Serialismo y matemáticas. Las músicas serialistas son aquellas que permiten construir castillos con un solo grano de arena: una serie particular, una permutación de notas, dinámicas o timbres. La serie se coloca en la obra secuencialmente, siempre igual o con alguna modificación que la adorne. Y es que para esta música, la serie es el ladrillo y las matemáticas son la pintura con la que decorarlos, ya que las transformaciones que se le puede aplicar a una serie forman preciosas estructuras matemáticas enmarcadas en la Teoría de Grupos. En el primer artículo [7] nos centramos en el dodecafonismo, en sus orígenes y en comentar una de sus obras. En el segundo artículo [6] ampliamos las definiciones dodecafónicas para encontrar el grupo diédrico, y descubrimos la historia de los discípulos de Schoenberg y del serialismo integral. Esta tercera entrega está destinada al lector más ducho en las matemáticas; se notará en el lenguaje y en la exposición de las ideas. En ella proporcionaremos herramientas matemáticas relacionadas con acciones, órbitas y estabilizadores de Teoría de Grupos (sección 2), para después contar de dos maneras distintas el número de espectros seriales, que son el número de órbitas del grupo de transformaciones sobre las series, que un compositor puede utilizar en sus obras (sección 3); en concreto, con las transformaciones (3.1) y (3.2). Y de esta manera habremos hecho un recorrido a fondo por el serialismo y habremos explorado sus posibilidades musicales y matemáticas. 2. Acciones, órbitas y estabilizadores 2.1. Acciones de grupos sobre conjuntos Dado un grupo (G, *) y un conjunto X, una acción de (G, *) sobre X es una función ϕ que asocia un elemento g ∈ G y un elemento x ∈ X – el par (g,x) – a otro elemento g ⋅x que también pertenece a X [1]. ϕ : (g,x) → g ⋅ x Una acción ϕ, expresada mediante la operación (⋅), debe cumplir dos condiciones: 1. Para todo x ∈ X, e ⋅ x = x, siendo e el elemento neutro del grupo. 2. Para todo x ∈ X y para todo par g,h ∈ G, se debe cumplir que (g * h) ⋅ x = g ⋅ (h ⋅ x). La primera operación (*) es la interna del grupo G, y la segunda operación (⋅) es la acción. Como ya se ha visto, las funciones forman el grupo diédrico Dn × Dn, siendo n la longitud de la serie. Se podrá definir entonces la acción ϕ de este grupo sobre el conjunto de permutaciones de orden n, tal que ϕ(Ψ, σ) = Ψ ∘ σ = Ψ(σ) = τ, con Ψ ∈ Dn × Dn y σ,τ ∈ Sn. De igual manera, se puede definir el grupo que forman solamente I y R, que servirá más adelante. Como son dos reflexiones, forman el conocido grupo de Klein —a partir de ahora denotado por Ξ, con elementos Id, I, R e IR. 2.2. Órbitas y estabilizadores Dada una acción de (G, *) sobre X, la órbita de un determinado elemento x0 ∈ X es el subconjunto de elementos x de X que pueden ser alcanzados desde x0 mediante algún g0 ∈ G. Es decir, todos los x para los que existe un g0 que al actuar sobre x0 da x. Trivialmente, x0 ∈ Orb(x0) ya que e ⋅ x0 = x0. Orb(x0) = Por ejemplo, dada una permutación σ, todas las permutaciones a las que se llega desde σ mediante algún Ψ ∈ Dn ×Dn conforman la órbita de σ. Por definición, las series a las que se puede llegar desde una serie original constituyen su espectro serial, por lo que la órbita es en realidad el espectro serial. Para el mismo x0 se define su estabilizador como el conjunto de elementos g ∈ G que fijan x0, es decir, que mandan x0 a sí mismo. Mientras que una órbita es un subconjunto de X, un estabilizador es un subgrupo de G. Trivialmente, e ∈ Stab(x) ∀x ∈ X, porque el elemento identidad fija cualquier otro elemento por definición. Stab(x0) = Si cada g ∈ G llevara a x0 a un x distinto, el número de elementos de Orb(x0) sería igual al número de elementos de G. Sin embargo, si un elemento g0 ∈ G fija x0, entonces no dará nuevos elementos en la órbita de x. Por tanto, intuitivamente el tamaño de la órbita disminuye. De hecho, el teorema de órbita–estabilizador dice que el tamaño de una órbita (|Orb(x0)|) será el tamaño de G (|G|) entre el número de elementos que fijan x0; es decir, el tamaño de su estabilizador (|Stab(x0)|). Además, es cierto para todo x ∈ X. |Orb(x)| = |G| / |Stab(x)|, o lo que es lo mismo, |G| = |Orb (x )||Stab(x)| Para ver una explicación más detallada y una prueba rigurosa del teorema, consúltese [4]. Este teorema implica que los tamaños de cada órbita y cada estabilizador son divisores del tamaño del grupo. Por ejemplo, como el tamaño del grupo Ξ es 4, cualquier estabilizador y cualquier órbita tendrán tamaño 1, 2 o 4. En concreto, como Id está siempre en el estabilizador, para todo σ será de una de estas formas: Una serie σ sin simetrías tendrá una serie distinta para cada una de sus transformaciones. Por tanto, su órbita será y su estabilizador será solamente . Cumple entonces el teorema: 4 ⋅ 1 = 4. 2.3. El lema de Burnside Las órbitas, que son subconjuntos de X, forman una partición de X. Esto significa que son subconjuntos disjuntos: ningún x puede estar en dos órbitas distintas. Interesa entonces saber cuántos subconjuntos hay; es decir, el número de órbitas (#Orb). El lema de Burnside afirma que se pueden calcular así: Se prueba de esta forma: por el teorema de órbita–estabilizador, |Stab(x)| = , por lo que la parte derecha se puede expresar así: Como las órbitas forman una partición de X, la suma sobre todo el conjunto X puede ser dividida en sumas separadas para cada órbita. Además, si por cada elemento de una órbita se suma el inverso del número de elementos de la órbita, esa suma dará uno. Solo queda ahora sumar uno por cada órbita. Este lema permite calcular el número de posibles espectros seriales distintos, ya que el espectro de una serie es igual al espectro de sus series transformadas. Un compositor serialista debe entonces escoger no una serie original, sino el espectro con el que construir la obra. O, más bien, si escoge una serie original está escogiendo el mismo material que si escogiera otra serie de ese mismo espectro. Para más aplicaciones de acciones en el ámbito de la teoría musical, véase [2]. 3. Conteo de espectros seriales 3.1. Espectros de las funciones Es interesante conocer el número de espectros seriales distintos que un compositor puede escoger. Al fin y al cabo, es irrelevante qué serie se escoge como la original dentro de su espectro serial, ya que produce el mismo material compositivo que cualquiera de su mismo espectro. Para calcular el número de espectros seriales se redefinirán las funciones transformativas para una longitud serial arbitraria, n, que será mayor que 2. Para n = 0, 1 y 2 se realizará el cálculo en el apartado 3.3. Además, como las transposiciones siempre son distintas entre sí, siempre pertenecen al mismo espectro. Se tomarán a partir de ahora todas ellas como equivalentes, de manera que solo se necesita hacer el cálculo para el conjunto de funciones . Al calcular con permutaciones se trabajará siempre módulo n. La retrogradación sigue siendo R(σ(m)) = σ(-1 -m). La inversión será I(σ(m)) = -σ(m), omitiendo la transposición habitual, ya que se toman las series transpuestas como equivalentes. De esta forma -σ(m) + 2σ(0) ≡-σ(m). La retrogradación invertida es, por tanto, la composición de ambas: RI(σ(m)) = I∘R(σ(m)) = I(R (σ(m ))) = -σ(-1 -m). La retrogradación, la inversión y la composición de ambas cumplen que al aplicarlas dos veces se vuelve a la serie original. En teoría de grupos se dice que tienen orden 2. Entonces forma el ya mencionado grupo de Klein (Ξ), donde RI ≡ IR, ya que estamos tomando las series transpuestas como equivalentes. En general, un grupo de Klein es el formado por cuatro elementos donde cada elemento es inverso de sí mismo. El grupo de Klein, llamado así en honor al matemático alemán Felix Klein, es el grupo ℤ∕(2) × ℤ∕(2), producto directo de dos grupos cíclicos de orden 2. Por el lema de Burnside: Es decir, se deben calcular para cada posible serie σ ∈ Sn cuántas funciones transformativas lo dejan igual o equivalente bajo transposición. Como los estabilizadores son subgrupos, por el teorema de Lagrange su tamaño debe ser divisor del tamaño del grupo total. Entonces se pueden agrupar los estabilizadores por sus tamaños: 1, 2 o 4, y así calcular ∑ |Stab(σ)| agrupando todas las permutaciones con igual tamaño de estabilizador. Si #σi es el número de permutaciones cuyos estabilizadores tienen tamaño i: Primero, se ha de ver que una permutación nunca va a ser igual ni equivalente mediante transposiciones a su inversa. Así, σ(m) sería constante para todo m ∈ ℤ∕(n), lo cual es imposible. Esto implica que ninguna permutación va a tener a I en su estabilizador, por lo que #σ4 = 0. Queda entonces calcular cuántas permutaciones son equivalentes a su retrogradación y cuántas a su retrogradación inversa. La suma de ambas dará #σ2. 3.1.1. Elementos estables mediante R Las permutaciones que coinciden con alguna transposición de su retrogradación cumplen, para γ constante: γ + σ(m) = R(m) = σ(-1 - m) Aplicándolo a (-1 - m): γ + σ(-1 - m) = σ(m) De ambas ecuaciones: γ = σ(-1 - m) - σ(m) = σ(m) - σ(-1 - m) 2σ(m) ≡ 2σ(-1 - m)=> 2σ(m) - 2σ(-1 - m) ≡ 0 2σ(m) - 2σ(-1 - m) = n => σ(m) - σ(-1 - m) = Entonces n debe ser par. Cuando n es impar este tipo de permutaciones no existe. Además, cumplen que sus elementos simétricos se distancian entre sí un intervalo de unidades: son series con simetría par. -γ = σ(m) - σ(-1 - m) = En una serie de longitud n, existen intervalos que miden . Como no importa por cuál de ellos comience la serie, ya que las transportaciones son equivalentes, se fija el primero de los intervalos. Quedan los otros - 1 intervalos por escoger, así que el número de series con simetría par cuenta las permutaciones de - 1 intervalos y las dos posibles posiciones de cada intervalo —creciente y decreciente [5]—. Por ello, el número de series con simetría par es de: Por definición, si n es par n!! = n(n - 2)(n - 4)…4 ⋅ 2 y si n es impar n!! = n(n - 2)(n - 4)…3 ⋅ 1. 3.1.2. Elementos estables mediante RI Las permutaciones que coinciden con alguna transposición de su retrogradación inversa cumplen, para un γ constante: σ(m) = RI(σ(m)) + γ = - σ(-1-m) +  γ γ = σ(m) + σ(-1-m) Sus elementos simétricos suman una cantidad constante: son series con simetría impar. Tal y como se ha hecho en el apartado anterior, se puede fijar una de las notas, ya que las transportaciones son equivalentes. Si n es impar, la nota central es σ(), que es igual a σ(-1 -). Por tanto, γ = 2 ⋅ σ(). Si se escoge esta nota para ser fijada a 0, entonces γ = 2 ⋅ 0 = 0. Es decir, γ puede ser fijada en 0 sin pérdida de generalidad. Para el resto de notas, σ(m) = -σ(-1 -m). Ya escogida la nota central, permite n-1 posibilidades para σ(0). Ya escogidas la nota central, la primera y su simétrica, permiten n-3 posibilidades para σ(1), y así sucesivamente hasta llegar a la nota anterior a la central, que es . Por ello, para n impar, el número de series con simetría impar es de: = (n - 1)(n - 3)...(n - (n- 5) - 1)(n - (n - 3) - 1) = =  (n - 1)(n - 3)...4⋅2 = (n - 1)!! Si n es par, σ(m) ≠ σ(-1-m) ∀m ∈ ℤ∕(n), ya que no hay elemento central. Sea ahora γ = 2k un número par. Como 2k ≤ n y las permutaciones son suprayectivas, para algún m se cumple que σ(m) = k. Se tiene entonces k + σ(-1 -m) = 2k, lo cual a su vez implica que σ(-1 -m) = k = σ(m). Como esto es una contradicción, γ debe ser impar. Fijando, por ejemplo, σ(0) = 0, se tienen posibilidades para σ(-1 - m), es decir, solamente las posibilidades para las que γ es impar. Para σ(1) hay (n- 2) posibilidades, y ahora su simétrico ya viene determinado por el γ escogido. Para σ(2) hay (n-4), y así sucesivamente [5]. Por tanto, para n par, el número de series con simetría impar es de: = (n - 2)(n - 4) ...(n - (n - 4))(n - (n - 2)) =  2 =  (n - 2)(n - 4)...4⋅2 = (n - 2)!! Suma completa Como ya se ha podido observar, el número de espectros seriales varía según la paridad de la longitud de las series. Una vez se tiene #σ2, solo falta calcular #σ1. Como las permutaciones contadas #σ son todas las de Sn exceptuando las transportaciones, #σ = = = (n - 1)!. Por otro lado, #σ1 + #σ2 = #σ. Entonces #σ1 = (n - 1)! - #σ2. Recuperando la fórmula del apartado 3.1: Para n impar: Para n par: Para n = 12, es decir, para el dodecafonismo, la última fórmula proporciona el dato de 9985920 espectros seriales a escoger por el compositor. Como ejemplo perteneciente al serialismo integral, podemos numerar las dinámicas del 0 al 6: ≡ = ℤ∕(7) Así, con la fórmula para n impar, se obtiene que hay 192 espectros seriales con series de longitud 7. 3.2. Espectros del grupo Dn × Dn Este apartado es una explicación detallada del artículo [3] y aplicada al caso musical. La secuencia de números dada por las fórmulas que obtendremos se encuentra en la OEIS: https://oeis.org/A000940. Ahora calcularemos los espectros formados mediante todas las transformaciones del grupo generado por ; es decir, por Dn ×Dn. Volviendo a la representación mediante diagramas de reloj, el problema es equivalente a averiguar cuántos diagramas distintos, sin números ni flechas, se pueden dibujar. La flecha indica lo transformado por V y C, mientras que los números indican lo transformado por S y T. Un diagrama sin estos dos elementos representa entonces todo un espectro serial. ¿Cuántos diagramas esencialmente distintos hay? De nuevo, por el lema de Burnside: En vez de expresar el sumatorio como “para cada σ, el número de Ψ que fijan σ”, se puede expresar como “para cada Ψ, el número de σ fijados por Ψ” (que llamaremos Fij(Ψ)). La fórmula queda de esta manera: Ahora hay que averiguar para cada elemento de Dn × Dn cuántas series estabiliza. Por ejemplo, trivialmente no hay permutaciones estables mediante C y V solamente. 3.2.1. Elementos estables mediante T Los elementos estables mediante Tk son a los que, tras aplicar una rotación de θk = , para 1 ≤ k ≤ n, quedan igual. Por tanto, los sumandos que aportan a la suma total son ∑ nk=1 Fij(θk). Por otro lado, si 1 ≤ p,q ≤ n y gcd(p,n) = gcd(q,n) entonces Fij(θp) = Fij(θq), ya que por el lema de Bézout lo que genera la rotación θp es igual a lo que genera la rotación θgcd(p,n). Esto permite que se puedan agrupar los sumandos con igual máximo común divisor con respecto a n. Es decir, ∑nk=1 Fij(θk) = ∑d|n , con d divisor de n. Por ejemplo, si n = 6: Fij(θ1) + Fij(θ2) + Fij(θ3) + Fij(θ4) + Fij(θ5) + Fij(θ6) = Fij(θ1) + Fij(θ2) + Fij(θ3) + Fij(θ2) + Fij(θ1) + Fij(θ6) = 2 ⋅ Fij(θ1) + 2 ⋅ Fij(θ2) + 1 ⋅ Fij(θ3) + 1 ⋅ Fij(θ6) Ahora queremos encontrar el coeficiente de Fij(θd), es decir, el número de k ≤ n con igual máximo común divisor d. Pero que k ≤ n y gcd(k,n) = d es equivalente a que ≤ y gcd = 1. Por tanto, el número de k con máximo comun divisor d es φ. La función φ(x) se llama la función phi de Euler, y muestra precisamente la cantidad de números menores que él y coprimos con él. Entonces ∑ k=1nFij(θk) = ∑ d|n. Para calcular Fij(θd) hay que analizar cómo se construyen los diagramas invariantes respecto a una rotación. Estos diagramas deben tener varios ciclos iguales entre sí —para que queden invariantes al rotarlos— pero cada uno desde un punto distinto: desde cada múltiplo de d. El número de ciclos es, por tanto, . Al construir uno de estos diagramas, se escoge la primera nota entre las n. Después se escoge la segunda, pero no se pueden escoger los vértices múltiplos de d (de los que hay ), ya que van a ser el comienzo de los sucesivos ciclos. Hay entonces n- posibilidades. Después se escoge la tercera, pero sin escoger los múltiplos de d ni los múltiplos de d + la segunda posición. Hay n- 2 ⋅ posibilidades, y así sucesivamente hasta terminar el primer ciclo: Por ejemplo, si d = 2 y n = 8, supongamos que escogemos el punto 0(0) como el primero. Después, si cogiéramos alguno de los puntos 0(*) luego no podríamos tener simetría al rotarlo un ángulo de θ2. Entonces hay que escoger alguno de los 1(*). Supongamos que es 1(1). En este ejemplo nuestro ciclo quedaría de la siguiente manera: Para escoger el segundo ciclo, su primera nota debe caer en el conjunto de vértices múltiplos de d —de los que hay . En el ejemplo serían los 0(*). Sin embargo, no podría ser cualquier múltiplo, ya que si se escoge uno con posición no coprima, el polígono se cerraría antes de tiempo sin pasar por todos los vértices. Entonces hay que escoger entre los vértices coprimos, de los que hay φ (). Tras esto el polígono está totalmente determinado, y se puede formar de ∑ d|n maneras. En nuestro ejemplo, si escogemos el siguiente comienzo del ciclo como el 0(2), como 2 no es coprimo con = 4, quedaría de esta manera: Efectivamente, el diagrama se cierra antes de pasar por todos los vértices. En cambio, si escogemos 0(1): Y con 0(3): Sea d = 3 y n = 6. Escogiendo el primer número como 0(0), el segundo como 1(0) y el tercero como 2(1), no queda más remedio que escoger como comienzo del segundo ciclo el 0(1). Pero también podría aparecer este mismo comienzo con la parte final dada la vuelta, simétrica, de esta manera: 0(0), 1(0), 2(1), 2(0), 1(1), 0(1). Esta construcción no está incluida en lo descrito anteriormente, y sin embargo es invariante con respecto a T, V y C a la vez. Y es que con n par, al rotar θn∕2 el diagrama, éste puede llegar con la orientación cambiada. Esto puede ocurrir cuando haya una diagonal; es decir, cuando entre dos notas haya un intervalo de . Se escoge el primer punto de entre posibilidades. No son n ya que saldría la misma figura si se escoge el punto antipodal. Con una rotación de θn∕2, el primer ciclo se escoge igual que antes, de ⋅! = 2 ⋅ ! maneras. Y con esto ya queda la figura determinada. Esto lleva a las ⋅ 2 ⋅ ! formas de dibujar un polígono con las características buscadas. 3.2.2. Elementos estables mediante S Los elementos estables mediante S son aquellos que quedan invariantes mediante reflexiones. De nuevo, en este punto se ha de separar por paridad de n. Para n impar, existen n reflexiones para cada uno de los ejes de simetría que pasan por cada vértice. Después, hay n formas de escoger el primer vértice de la secuencia. Ahora hay parejas de vértices; se escoge los primeros miembros entre ellos de 2 formas, tras lo cual éstos se ordenan de ! formas. Esto da un resultado de n2 ⋅ 2 ⋅! polígonos invariantes. Para n par se tienen dos simetrías: con ejes que pasan por vértices y con ejes que pasan por lados. De manera similar a la anterior, se escoge el eje, el primer vértice, los primeros miembros de las parejas de vértices y se ordenan. Para las simetrías con ejes que pasan por vértices, da un resultado de ⋅ 2 ⋅!. Para las simetrías con ejes que pasan por lados, da un resultado de ⋅ 2-1 ⋅!. Suma completa En resumen, estos a continuación son los numeradores ∑ Fij(Ψ). El resultado final del número de diagramas posibles, o espectros seriales distintos, es dicho numerador entre 4n2, el tamaño del grupo. 3.3. Medefonismo, monofonismo y difonismo Con n = 0 se da el caso de medefonismo. El grupo simétrico de orden 0 tiene 0! = 1 elemento. Por tanto, hay una sola posible serie, σ, que es la que no tiene ninguna nota. El medefonismo es comúnmente llamado silencio; se representará con una tabla vacía. Con n = 1 se da el caso de monofonismo. Con solamente una posible nota, el grupo simétrico de orden 1 tiene 1! = 1 elemento. Por tanto, hay una sola posible serie, σ0, que es igual a su inversa, a su retrogradación y a su retrogradación inversa: Con n = 2 se da el caso de difonismo. Tiene dos posibles notas, así que su grupo simétrico, el de orden 2, tiene 2! = 2 elementos. Por tanto, hay dos series distintas, σ0 y σ1. Se puede observar que ambas pertenecen al mismo espectro serial, dado que σ1 = T1(σ0). Además, al igual que en el monofonismo, ambas coinciden con sus inversas, incumpliendo la regla general para n > 2 probada en el apartado 3.1. Agradecimientos A Ismael Sierra, por dejarme descubrir las matemáticas que aún no había podido alcanzar por mí misma. A Paco Gómez, por permitir que muestre al mundo lo que estudio y ayudarme a que sea de la mejor manera posible. A María Gaspar, por poner la primera piedra. A mis padres, a mis amigos, a todos aquellos cuya ilusión me ha motivado a seguir escribiendo. Bibliografía [1] Mark A. Armstrong. Groups and Symmetry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer New York, 2013. Chapter 6: “Permutations”. Chapter 17: “Actions, Orbits, and Stabilizers”. Chapter 18: “Counting Orbits”. [2] Alissa S. Crans, Thomas M. Fiore, and Ramon Satyendra. Musical Actions of Dihedral Groups. The American Mathematical Monthly, 116:479–495, 06 2009. [3] S. W. Golomb and L. R. Welch. On the enumeration of polygons. The American Mathematical Monthly, 67:349–353, 04 1960. [4] Timothy Gowers. Group actions II: the orbit-stabilizer theorem, 2011. Consultado en octubre de 2019. [5] David L. Reiner. Enumeration in Music Theory. The American Mathematical Monthly, 92:51–54, 01 1985. [6] Celia Rubio Madrigal. Serialismo y matemáticas - II. Divulgamat, octubre de 2019. [7] Celia Rubio Madrigal. Serialismo y matemáticas - I. Divulgamat, septiembre de 2019.
Lunes, 11 de Noviembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Celia Rubio Madrigal (Universidad Complutense de Madrid)
1. Introducción Este artículo es el segundo de la colección Serialismo y matemáticas. Las músicas serialistas son aquellas que permiten construir castillos con un solo grano de arena: una serie particular, una permutación de notas, dinámicas o timbres. La serie se coloca en la obra secuencialmente, siempre igual o con alguna modificación que la adorne. Y es que para esta música, la serie es el ladrillo y las matemáticas son la pintura con la que decorarlos, ya que las transformaciones que se le puede aplicar a una serie forman preciosas estructuras matemáticas enmarcadas en la Teoría de Grupos. En el primer artículo7 nos centramos en el dodecafonismo, en sus orígenes y en comentar una de sus obras. En este segundo artículo, ampliaremos las definiciones dodecafónicas para descubrir bajo ellas, con ayuda de diagramas, el grupo diédrico (sección 2); y contaremos quiénes fueron los discípulos y sucesores de Schoenberg y cómo provocaron la creación del serialismo integral (sección 3). Más adelante proporcionaremos las herramientas matemáticas para después contar el número de espectros seriales que un compositor puede utilizar. En definitiva, haremos un recorrido a fondo por el serialismo y exploraremos sus posibilidades musicales y matemáticas. 2. El grupo de las transformaciones 2.1. Nuevas definiciones y nuevas transformaciones Como vimos en el anterior artículo7, las fórmulas de las transformaciones dodecafónicas habituales son: I(σ(m)) = -σ(m) + 2σ(0) Tk(σ(m)) = σ(m) + k R(σ(m)) = σ(-1 - m) Sin embargo, la importancia de estas definiciones radica en qué espectro serial forman, y no en cómo se nombra cada serie específica. No importa si la segunda serie que se usa en una obra se llama I6 o RI10, sino cuál es y qué relación tiene con la primera. La nomenclatura no es distinguible a un nivel auditivo, pero es, sin embargo, una útil herramienta para la teoría musical. Es por ello por lo que la forma en la que se nombran las series tiene relevancia y debería ser un reflejo de lo que significan. Aun así, sigue sin haber un convenio predominante y, de hecho, hay al menos dos que se usan a menudo. El primero, el método tradicional, se ha usado desde al menos 1945. El segundo, el método de tonos absolutos, fue concebido por George Perle6 en su libro Twelve-Tone Tonality en 1977. En el método tradicional, T0 se usa para la primera serie que se encuentra en la composición; es decir, es la serie original. En cambio, el método de tonos absolutos nombra las series T basándose solamente en la nota en la que comienzan: T0 se usa para la serie que comienza por un do, T1 para el re, y así sucesivamente. En ambas, las series transpuestas k semitonos de T0 —sea cual sea esta— se nombran como Tk. La composición de esta con otra función Ψ se escribe como Ψk. Estas nomenclaturas no caracterizan adecuadamente el objeto matemático que deben representar, es decir, funciones aplicadas a las series. Son nombres arbitrarios que además producen ambigüedad al añadir otras funciones —por ejemplo, si no conmutan— o al intentar describirlo matemáticamente. Es por ello por lo que en este texto se usa la composición de funciones como convenio de notación. En todo caso, cualquier convenio tendrá fórmulas distintas al resto, pero todas preservan el material compositivo de la obra. Eso quiere decir que se pueden redefinir algunas de las transformaciones siempre que preserven el sentido musical. Por ejemplo, la inversión puede prescindir de ser transportada para que la primera nota coincida con la original. Para distinguirla de la primera definición, ésta se llamará S de simetría: S(σ(m)) = -σ(m). E igual que la inversión es el cambio de signo por fuera, la retrogradación puede convertirse simplemente en el cambio de signo por dentro. Ésta se llamará V de volteo: V (σ(m)) = σ(-m). Así quedan dos transformaciones que se asemejan a reflexiones: una por dentro y otra por fuera; y una adición por fuera. Aquí dentro significa antes de aplicar σ y fuera significa después de aplicar σ, ya que no se debe olvidar que σ, la permutación, es una función en sí misma. Y ahora surge una cuestión natural: ¿cuál sería entonces el resultado de sumar dentro, es decir, antes? Esta nueva transformación, cuya aparición resulta natural tras las otras tres, se llama desplazamiento cíclico. Inventada y usada por Alban Berg2 —de quien se hablará en la sección 3— y en algunas de las primeras obras de Schoenberg, Ck desplaza el comienzo de la serie k posiciones más allá: La serie 4-cíclica sobre la permutación P de la Suite Op. 25 es la siguiente serie C4: Si no se añade la transformación C, entonces V no conserva el espectro serial de ; pero si se añade sí se conserva ya que V es composición de C y R. En resumen, se puede trabajar con un nuevo sistema de definiciones que mantienen el significado musical del serialismo, pero varían la notación con la que se trabaja. Estas son las nuevas fórmulas de las transformaciones: S(σ(m)) = -σ(m) V (σ(m)) = σ(-m) Tk(σ(m)) = σ(m) + k Ck(σ(m)) = σ(m + k) 2.2. Diagramas de reloj Para visualizar mejor cómo actúan las distintas transformaciones, las series se pueden representar mediante diagramas de reloj3: una sucesión de aristas con una orientación establecida que conecta los vértices de un dodecágono en el orden de la serie. Ya que el desplazamiento cíclico actúa como si la serie fuese circular, hay una arista extra que une la última nota a la primera. El comienzo de la serie y su orientación se marcan con una flecha. Arriba se incluye el diagrama de la serie original σ de la Suite Op. 25. Se pueden distinguir las características de la serie, como las tres diagonales, que son los tres intervalos de tritono. A continuación se incluyen los diagramas de las transformaciones dodecafónicas originales: la transposición, la inversión y la retrogradación; así como el nuevo desplazamiento cíclico. La transposición es una rotación en el sentido en el que apunta la flecha; la inversión es una reflexión con el eje de simetría en la diagonal que pasa por la flecha; la retrogradación es un cambio de orientación de la flecha; y el desplazamiento cíclico es el avance interno de la flecha por el recorrido de la serie. La diferencia entre las inversiones I y S es precisamente la transposición de 2σ(0) = 8 semitonos en este ejemplo. Comparando S con T0 se puede además observar que S es una reflexión con el eje de simetría en 0, en vez de que el eje dependa de la propia permutación. Por otro lado, la comparación entre las retrogradaciones R y V muestra que, aunque en principio más arbitraria, V es una transformación más natural, ya que deja fija la flecha. La diferencia entre ellas es en realidad un desplazamiento cíclico de -1. He creado una página interactiva que genera diagramas de reloj de cualquier serie para cualquier longitud serial, además de generar series aleatorias. También se pueden aplicar las transformaciones a la serie, tanto las originales como las del nuevo sistema, para ver cómo se comporta el diagrama. Está escrita en Elm y el código puede encontrarse en https://gitlab.com/dodecafonismo/diagramas. En el enlace https://diagramas.netlify.com se accede a la aplicación web. Sus instrucciones de uso se encuentran al final de la página. Además, he creado un comando en LATEX que dibuja estos diagramas dada su serie, y opcionalmente su nombre y el número que está arriba: y en este caso up=4 no es necesario, ya que por defecto se coloca arriba la primera nota de la serie. El comando se encuentra en el paquete de LATEX ddphonism, disponible en el enlace https://www.ctan.org/pkg/ddphonism. 2.3. El grupo: D12 × D12 El conjunto de transformaciones está compuesto por dos parejas con semejanzas entre sí. S es una reflexión y T una rotación de orden 12 —es decir, que al aplicarla 12 veces se vuelve a la identidad— y ambas se aplican a la figura entera; es como mover el diagrama por el papel. En cambio, V es una reflexión de la flecha en sí, y C una rotación —también de orden 12— de la flecha sobre la línea; ambas aplicadas al interior de la figura. Cada pareja genera un grupo muy conocido: el grupo diédrico o diedral. Se denota por D12 y representa el grupo de simetrías de un polígono regular; en este caso, un dodecágono. En otros ámbitos, Dn también se denota por D2n, ya que 2 * n es el número de elementos que tiene el grupo. Por ejemplo, aquí se muestran todas las simetrías de un octógono, que son los 16 elementos de D8, aplicados a una señal de STOP. De igual manera, el conjunto de series de un espectro serial se consigue aplicando a la serie las distintas funciones transformativas; se obtiene entonces un grupo diédrico para ambas parejas de funciones. Al haber dos parejas distintas que actúan por separado dentro y fuera de la figura, el grupo completo que forman las cuatro transformaciones es el producto directo de dos copias del diédrico: D12 × D12. Podemos observarlo claramente si representamos la serie de una segunda forma: como la correspondencia entre vértices de dos dodecágonos. La serie original, que es en realidad una permutación de 12 elementos, se representa como una función: los vértices del dodecágono interno se envían biyectivamente a los vértices externos. Así, m→σ(m). Este diagrama es similar al matricial pero enroscado en sí mismo, de tal forma que se aprecia la permutación escogida mediante las flechas, que son fijas, y facilita un significado del antes y el después de aplicarla. Las dos primeras figuras describen esto mismo: la representación de la serie original y la representación de la permutación mediante las flechas, que se mantendrán constantes en el resto de figuras. Las cuatro siguientes figuras representan las cuatro funciones transformativas, que son en realidad la reflexión y la rotación del grupo diédrico de cada dodecágono. Aplicarlo al de dentro es aplicarlo antes de las flechas; antes de la permutación. Aplicarlo fuera es transformar después de las flechas; después de la permutación. He creado un comando en LATEX que dibuja estos diagramas diédricos dada su serie original y las funciones aplicadas a ella: t, s, c y v. Se aplican en ese mismo orden, y por defecto están a 0. El comando se encuentra en el paquete de LATEX ddphonism, disponible en el enlace https://www.ctan.org/pkg/ddphonism. 2.4. Conmutatividad entre los elementos del grupo La rotación, r, y la reflexión, s, de un grupo diédrico no conmutan, sino que cumplen la relación r ⋅ s = s ⋅ r-1. Por otro lado, en los productos directos los elementos de un lado conmutan con los del otro. Así, y no conmutan, pero el resto de parejas sí. La verificación de estas afirmaciones, que confirman que el grupo generado es D12 × D12, se encuentran a continuación: Volviendo a las definiciones originales , su estructura interna es bien distinta. El problema de I es que depende de la permutación escogida, por lo que a veces tiene unas propiedades y a veces otras. En cambio, la definición de V con respecto a R es meramente estética: ya que no depende de la permutación, su conmutatividad se mantiene invariante. Viendo cómo conmutan los elementos de este sistema se aprecia la dificultad de I. Curiosamente, la conmutatividad de e se pierde, pero se gana la de . Así, T conmuta con todo en el sistema. Esto muestra una ventaja de la definición de I. Los únicos casos en los que podrían conmutar ocurrirían cuando Es decir, cuando la primera y la última nota de la serie original se distancian en 6 semitonos, como es el caso de la permutación en la Suite Op. 25: Los únicos casos en los que podrían conmutar son cuando Es decir, cuando la primera y la segunda nota de la serie original se distancian en 6 semitonos. Si se echan las cuentas con Ck en vez de con C1, pueden conmutar si σ(k) - σ(0) = 6. Como σ es una permutación, devuelve todos los valores de 0 a 11 y solamente una vez cada uno. Por tanto, también devuelve 6 + σ(0), así que siempre existe un único k para el que I y Ck conmutan. En el caso de la permutación de la Suite Op. 25, como σ(0) = 4 hay que encontrar el k para el que σ(k) = 4 + 6 = 10. En este caso, k = 11, pero depende por completo de la permutación original. 3. El surgimiento del serialismo integral 3.1. Alban Berg y Anton Webern: la Segunda Escuela de Viena Además de Schoenberg, hubo dos compositores más que contribuyeron al desarrollo del dodecafonismo y que demostraron con sus diferentes estilos la versatilidad del sistema. Éstos fueron los discípulos de Schoenberg: Alban Berg y Anton Webern. El maestro y sus dos alumnos formaron la autodenominada Segunda Escuela de Viena, llamada así en honor a los miembros de la Primera: Haydn, Mozart y Beethoven. Aparte del hecho de que Schoenberg, Berg y Webern nacieron y se formaron en Viena, el nombre también simboliza su autoproclamación como herederos legítimos de la tradición musical alemana proveniente del siglo XVIII. La Segunda Escuela de Viena formó parte de las vanguardias artísticas europeas, opuestas a la tendencia neoclásica que seguían Stravinsky o Prokofiev, entre otros, en aquel periodo. Los tres integrantes siguieron carreras compositivas similares en cuanto a estilo y concepción artística: una época tonal, una ruptura atonal y un desarrollo dodecafónico. Con el ascenso del nazismo, Schoenberg, que era judío, se vio obligado a exiliarse a Estados Unidos. Sus discípulos se quedaron en Austria, pero pasaron penurias económicas debido a la censura impuesta por el gobierno: la música dodecafónica se descalificó como Entartete Kunst5 (“arte degenerado”). Figura 1: Alban Berg (1885—1935); figura tomada de Deutsche Welle. Alban Berg se centró en la efusión emocional y el interés por lo humano, utilizando el método dodecafónico libremente y acercándose a formatos tonales. Su etapa atonal fue especialmente relevante, ya que compuso entonces su primera obra dramática, Wozzeck (1925). Es una ópera basada en la pieza teatral de Georg Büchner, en la cual Berg plasmó parte de sus propias experiencias como soldado en la Primera Guerra Mundial. Su segunda ópera, Lulú, quedó inconclusa debido a su muerte por septicemia en 1935, a los 50 años. A continuación el lector podrá escuchar parte de Und ist kein Betrug, la primera escena del tercer acto de Wozzeck: Anton Webern fue un compositor más riguroso en cuanto a las formas, siempre leal al sistema dodecafónico y a su maestro. Se deleitaba en los procedimientos formales más sutiles, aquellos que solo podían ser descubiertos al estudiar detenidamente la obra. Esto quedó reflejado en su dodecafónico Concierto para 9 instrumentos, op. 24 (1934), cuya serie está construida por segmentos derivados de las tres primeras notas de la obra. Además, muestra tendencias a asignar duraciones, timbres y articulaciones a segmentos aislados, lo que más tarde inspiraría el serialismo integral. A continuación el lector podrá escuchar el Concierto op. 24: Durante la ocupación de Viena, Webern salió de su casa una noche tras el toque de queda, y un soldado norteamericano, probablemente en estado de embriaguez, lo mató a tiros. Así, Schoenberg, el maestro y el más mayor de los tres, sobrevivió a sus dos alumnos exiliado en Estados Unidos. 3.2. La escuela de Darmstadt Tras la Segunda Guerra Mundial, el mundo artístico estaba totalmente destruido. La violencia, la censura y la incomunicación habían impedido cualquier posible desarrollo creativo, y los artistas de la generación anterior se habían aislado, exiliado o habían fallecido. Volver a construir los pilares del arte era el cometido de la nueva generación de artistas, quienes compartían la sensación de que el mundo había renacido tras la tragedia. En 1946 se crearon los Cursos de Verano de Darmstadt, fundados por Wolfgang Steinecke y patrocinados por las fuerzas americanas, con el objetivo de retomar la actividad musical en la Alemania de la posguerra. Se centraron en dar a conocer las técnicas compositivas de las generaciones anteriores. Aunque el primer año estuvo enfocado en el movimiento neoclásico, fue en los años posteriores cuando se desarrolló un mayor interés por las técnicas serialistas. Los cursos resultaron en la aparición de una nueva escuela de compositores cuya finalidad artística era crear un lenguaje musical distinto y alejado de la tradición para, de esta forma, obtener una mayor libertad compositiva. Como dijo Karlheinz Stockhausen: Los métodos nuevos cambian la experiencia, y las experiencias nuevas cambian al hombre. Stockhausen en el documental autobiográfico Tuning In4. Esta escuela tomó el nombre de la ciudad donde se realizaban los cursos: se llamó la Escuela de Darmstadt. El término fue acuñado por el compositor Luigi Nono en una de sus clases magistrales en 1957, y con él se describía a sí mismo y a sus compañeros compositores: Pierre Boulez, Karlheinz Stockhausen y Bruno Maderna. Para estos compositores, la tradición artística estaba demasiado relacionada con los fracasos políticos y las penurias sociales pasadas, y precisamente por ello creían necesario romper con todos los vínculos heredados. Sin embargo, para crear aquel nuevo lenguaje no tomaron como referencia el dodecafonismo de Schoenberg, ya que él veía su sistema como parte de la tradición musical, como un elemento más en la evolución de la música. Se centraron, en cambio, en la formalidad y abstracción del serialismo de Anton Webern, y desarrollaron a partir de sus métodos el denominado serialismo integral. Figura 2: Anton Webern (1883—1945); figura tomada de France Musique. Para la Escuela de Viena el estilo compositivo de Webern era tan solo un posible enfoque del amplio abanico que abarcaba el dodecafonismo, pero en Darmstadt se consideró un avance de este. El serialismo integral es un sistema de composición musical que predetermina los materiales compositivos —la melodía, la armonía, el ritmo, el timbre— a partir de la ordenación serial de los diferentes parámetros musicales: alturas, intensidades, duraciones, ataques o instrumentos, entre otros. Es un desarrollo del serialismo dodecafónico de Schoenberg, que serializa solamente las alturas, hacia los demás parámetros sonoros. Tiene, por tanto, un alto grado de planificación pre-composicional: se pretende que la determinación compositiva sea absoluta; y se tiende al automatismo del arte y sus formas, alejándolo de cualquier evocación decimonónica. Desde sus comienzos, el serialismo integral suscitó numerosas críticas, incluso desde el propio colectivo vanguardista. Una de ellas fue la falta de elección del intérprete a la hora de transmitir la obra. El intérprete serialista debe reproducir con total exactitud cada detalle de la partitura, y, por tanto, no puede aportar carácter alguno. Otra de las críticas más extendidas fue la incapacidad para interpretar estas obras correctamente debido a su complejidad técnica. Además, los detalles que precisamente las hacen complejas son, en su mayor parte, inapreciables por parte del oyente. 3.3. Pierre Boulez El compositor que creó y utilizó por primera vez el serialismo integral, además de instruirlo y difundirlo a los demás compositores de Darmstadt, fue el compositor francés Pierre Boulez. Otros músicos habían compuesto obras con tendencias serialistas y elementos predeterminados, como Olivier Messiaen en Mode de valeurs et d’intensités, pero fue Boulez quien sentó sus bases y su técnica. De hecho, los compositores precedentes influyeron prominentemente en la música de Boulez gracias a las clases impartidas en los cursos de Darmstadt. Figura 3: Pierre Boulez (1925—2016); figura tomada de Kultur im Radio. Boulez consideraba necesaria y evidente la extensión de elementos a predeterminar más allá de la melodía, y le parecía incoherente el sistema dodecafónico de Schoenberg, que para él estaba incompleto. En su controvertido ensayo Schoenberg ha muerto1, publicado un año después de la muerte del compositor, comentó: En primer lugar, la exploración del campo serial ha sido conducida unilateralmente: allí falta el plano rítmico, e incluso el plano sonoro propiamente dicho: las intensidades y los ataques. […] Pero la causa esencial de su fracaso reside en el desconocimiento profundo de las FUNCIONES seriales propiamente dichas, las funciones engendradas por el principio mismo de la serie. Es decir, que para ampliar el concepto de serialismo se debía primeramente conocer el fundamento matemático de las series y sus funciones transformativas. Además de ser músico y compositor, Boulez había estudiado matemáticas, lo que le llevó a querer analizar matemáticamente el sistema compositivo y generalizarlo para series de longitudes arbitrarias. Para él, el serialismo no debía ser un mero recurso compositivo, sino la ley que rige todos los elementos de la obra. De hecho, más adelante en su ensayo declaró: […] desde el descubrimiento de la Escuela de Viena, todo compositor alejado de los experimentos seriales ha resultado inútil. Su obra Structures I (1952), para dos pianos, fue compuesta siguiendo las técnicas de serialismo integral: tiene series de doce alturas, doce ataques, doce duraciones y doce tipos dinámicos, aunque más tarde reduciría algunas a diez. A continuación el lector podrá escuchar Structures I: Bibliografía [1] Pierre Boulez. Schoenberg is dead, 1952. Publicado en la revista The Score originalmente; consultado en agosto de 2019. [2] David John Headlam. The Music of Alban Berg. Composers of the twentieth century. Yale University Press, 1996 . [3] David J. Hunter and Paul T. von Hippel. How Rare Is Symmetry in Musical 12-Tone Rows? The American Mathematical Monthly, 110:124–132, 02 2003. [4] Robin Maconie. Tuning In — A Film about Karlheinz Stockhausen, 1981. Producido por Barrie Gavin para la serie de BBC “Horizon”. [5] Vicent Minguet. Las reglas de la música y las leyes del Estado: la “Entartete Musik” y el Tercer Reich. Quodlibet: revista de especialización musical, 69:9–29, 2018. [6] George Perle. Twelve-tone Tonality. University of California Press, 1977. [7] Celia Rubio Madrigal. Serialismo y matemáticas - I, septiembre de 2019 .
Miércoles, 09 de Octubre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Celia Rubio Madrigal (Universidad Complutense de Madrid)
En las siguientes entregas de Divulgamat tendremos a una autora invitada, Celia Rubio, quien ha escrito una serie sobre el serialismo y matemáticas. Celia Rubio está cursando el doble grado de Matemáticas e Informática en la Universidad Complutense de Madrid y tiene estudios de música en el Conservatorio de Madrid (su instrumento es la flauta de pico, y además ha estudiado canto). Participó muy activamente en el congreso Mathematics and Computation in Music 2019 (véanse las columnas [9, 8]). Su preocupación e interés por la Teoría Matemática de la Música y su divulgación le empujó a mostrarme su texto. Tras leerlo detenidamente y atestiguar su calidad, le propuse enseguida su publicación en esta columna. El lector disfrutará sin duda alguna de la claridad y la fuerza del texto. 1. Introducción Este artículo es el primero de una colección sobre el serialismo musical y las matemáticas que lo fundamentan. Las músicas serialistas son aquellas que permiten construir castillos con un solo grano de arena: una serie particular, una permutación de notas, dinámicas o timbres. La serie se coloca en la obra secuencialmente, siempre igual o con alguna modificación que la adorne. Y es que para esta música, la serie es el ladrillo y las matemáticas son la pintura con la que decorarlos, ya que las transformaciones que se le puede aplicar a una serie forman preciosas estructuras matemáticas enmarcadas en la Teoría de Grupos. En estas estructuras se centrará esta serie de artículos, y más específicamente en el dodecafonismo, el primer sistema compositivo serialista. En este primer artículo hablaremos sobre sus orígenes (sección 2) y sobre los postulados matemáticos que lo definieron (sección 3), y analizaremos una obra como ejemplo (sección 4). Más adelante generalizaremos las definiciones dodecafónicas matemáticamente, descubriremos la historia del serialismo integral y contaremos el número de posibles series distintas —o, más bien, de espectros seriales— que un compositor puede utilizar. En definitiva, haremos un recorrido a fondo por el serialismo y exploraremos sus posibilidades musicales y matemáticas. Los textos irán dirigidos tanto a matemáticos como a músicos; en todas las entregas habrá secciones más matemáticas y secciones más musicales o históricas. Las matemáticas serán avanzadas, pero siempre se definirá todo lo que se utilice y se probará todo lo que se afirme. Algunas de las definiciones matemáticas más comunes se encuentran en la sección 5. ¡Que empiece el viaje! 2. Introducción histórica del dodecafonismo En esta sección describiremos cuál fue el ambiente histórico y musical en el que se cultivó el primer modelo de serialismo musical: el dodecafonismo. A través de su historia analizaremos por qué el serialismo no fue una decisión aleatoria ni espontánea, sino que surgió de una necesidad estética de aquel periodo. Vamos a comenzar con una breve crónica de la disonancia, tras lo cual describiremos las fases por las que el creador del dodecafonismo, Arnold Schoenberg, tuvo que pasar antes de concebirlo. 2.1. La historia de la disonancia La disonancia siempre ha formado parte de la experiencia musical. Con la música ha venido siempre emparejada la disonancia, mano a mano, como instrumento de contraste, confrontación y ruptura, pero también como elemento constructivo del discurso musical. En la Antigua Grecia, la armonía musical se consideraba unida al resto del universo. La rotación de los astros emitía sonidos armónicos, y era la armonía la que apaciguaba el alma. Pero ¿qué era la armonía sino la unión de consonancia y disonancia? Como dijo Aristóteles: El alma es armonía porque la armonía es mezcla y síntesis de contrarios, y de contrarios precisamente está compuesto el cuerpo. (Tomado de [3] J. de Aixquivel, Memorias de Historia Antigua, 1989.) Es bien sabido que la Escuela de Pitágoras, con su estudio sobre proporciones entre notas, buscaba encontrar cuáles eran los intervalos más consonantes: eran aquellos cuya proporción formaba una relación sencilla. El intervalo de octava era consonante porque su ratio era de 2:1, y de igual manera ocurría con los intervalos de quinta (3:2) y cuarta (4:3), a los que Aristóxeno comenzó a llamar sýmphonos [6]. En cambio, a los intervalos no tan sencillos se los llamaba diáphonos , y fue entonces cuando se le dio nombre a la disonancia. Ya en la Edad Media, la polifonía fue forjando normas sobre su uso. La primera regla compositiva de la música occidental —según Knud Jeppesen [11]— fue la regla franconiana, que expresaba que las disonancias debían ocurrir en la parte débil del compás, mientras que las consonancias en la parte fuerte. Es así como los compositores trenzaban consonancia y disonancia al tejer los hilos de la música. Poco a poco la disonancia pasó a ser usada como floritura melódica: en notas de paso, apoyaturas o retardos, entre otras. Esta función melódica fue impregnando el contrapunto hasta llegar a ser pieza clave en la continuidad y el enlace de las voces. Adquirió entonces una nueva función contrapuntística. ¿Quién no se ha deleitado al escuchar una disonancia bachiana? Pero la disonancia estaba aún circunscrita a la tonalidad reinante. No fue hasta la introducción de acordes extraños que la disonancia pasó a ser el centro del interés musical, y fue in crescendo apropiándose del foco de atención hasta llegar a ser más valiosa aún que la consonancia. Para ello hubo que esperar hasta el siglo XIX, que fue testigo de un asombroso desarrollo del sistema armónico que acabó por quebrantar todas las concepciones musicales anteriores. Para más información sobre la disonancia y su fascinante historia, recomendamos al lector el texto de Felipe Aguirre [1]. 2.2. Wagner, Mahler y la emancipación de la disonancia Aunque las posibilidades que prometía la tonalidad parecían inagotables, sus límites comenzaron a percibirse hacia finales del siglo XIX. En palabras de Arnold Schoenberg: El oído se fue familiarizando gradualmente con gran número de disonancias, hasta que llegó a perder el miedo a su efecto perturbador. Mencionado en [13] Composition with twelve tones, de Style and Idea, 1950. Esta época culminó con los dramas musicales de Richard Wagner, en los que todos los elementos de la obra estaban detalladamente estudiados por el compositor. A este concepto lo llamaba Gesamtkunstwerk (“obra de arte total”) —mencionado en [15] Oper und Drama, 1851—, ya que se aseguraba personalmente de que en sus óperas las artes escénicas, musicales, poéticas y visuales se combinaran entre sí a la perfección. Figura 1: Richard Wagner (1813—1883); figura tomada de National Geographic. La idea del Gesamtkunstwerk la desarrolló alrededor de 1850, y la plasmó en su totalidad en su ciclo de cuatro óperas Der Ring des Nibelungen, estrenado en 1876. Wagner controló y creó cada aspecto de la tetralogía, desde la música hasta el libreto, el vestuario y la escenografía. Incluso mandó crear su propia sala de conciertos en Bayreuth, el Festspielhaus, para que el escenario se adecuara a sus ideas sobre el pensamiento y la cultura musical; véase [12] para más detalles. Así, a ojos de compositores posteriores, se habían agotado todas las posibilidades de la música tonal, y quizás ya había comenzado el viraje hacia el predominio de la disonancia con su abundante uso del cromatismo, como en el famoso primer acorde del drama musical Tristan und Isolde (1865). Consta de las notas fa-si-re#-sol#, y sus intervalos desde el fa son una cuarta aumentada, una sexta aumentada y una novena aumentada. Después de Wagner, otros compositores también estuvieron a las puertas de emancipar la disonancia, de desatarla de las ataduras que imponía la tonalidad. Por ejemplo, el gran compositor Gustav Mahler conseguía reflejar en sus sinfonías dos realidades paralelas: tanto la delicada fragilidad de la tradición anterior como la inminencia de su ruptura. El ejemplo más claro es el Adagio de su Décima Sinfonía, que contiene una disonancia con once de las doce notas de la escala cromática. Y es que, sin lugar a dudas, ya se preveía que la tonalidad iba a reemplazarse. Figura 2: Gustav Mahler (1860—1911); figura tomada de Planet Hugill. Siguiendo la concepción del progreso como un camino ascendente, el paso siguiente para la composición musical debía consistir en deshacerse progresivamente de la tonalidad y desarrollar la “emancipación de la disonancia” —mencionado también en [13] Composition with twelve tones—. Así, en el marco expresionista del cambio de siglo, fue como Arnold Schoenberg ideó sus teorías del pensamiento musical, y éstas dieron paso a la creación de la atonalidad. 2.3. Hacia el atonalismo de Schoenberg Fuertemente influido por Wagner y Mahler desde su adolescencia, Schoenberg comenzó componiendo al estilo posromántico de su época, llevando el cromatismo y la orquestación hasta el extremo. Sin embargo, y no espontáneamente, empezó a buscar en sus composiciones que cada sonido tuviera valor por sí mismo, un valor independiente de su funcionalidad tonal. Figura 3: Arnold Schoenberg (1874—1951); figura tomada de Nextews. Para él, la música no estaba intrínsecamente dirigida a una tónica. En las progresiones, lo importante era el paso de un acorde a otro, y no hacia dónde se dirigían estos. Además, él opinaba que se debían poder utilizar las notas de los modos eclesiásticos libremente, por lo que consideraba las notas no diatónicas tan válidas como las diatónicas. Esto hacía imposible distinguir unas de otras, y apenas se podía identificar la tónica. De esta, y de otras muchas formas, Schoenberg conseguía que la jerarquía tonal quedara desestabilizada [12]. De esta época es su primera obra importante, Verklärte Nacht (Noche transfigurada), Op. 4. Compuesto en 1899, este sexteto de cuerdas está inspirado por el poema homónimo de Richard Dehmel. La música, según su autor, expresa el paseo de un hombre y una mujer en medio de la naturaleza. Aunque en la obra aún prevalece la armonía tradicional basada en acordes, Schoenberg sitúa al oyente en un terreno de indefinición tonal, no sólo en el plano armónico sino también en el melódico. Además, hace uso del acorde de novena invertido, inexistente hasta entonces y, por tanto, rechazado por la crítica [5]. Tras pasar por la etapa tonal post-romántica, y debido a su convicción en la inexorabilidad de la evolución de la música hacia el cromatismo total, en 1908 Schoenberg se desligó de la tonalidad completamente con el ciclo de canciones Das Buch der Hängenden Gärten. A partir de entonces se dedicó a componer fragmentos muy breves cuya estructura era definida por motivos y no por la armonía. Era esto lo que solía ocurrir en formas musicales anteriores como la forma sonata. A este periodo en sus composiciones se le llama atonalidad libre, aunque cabe destacar que Schoenberg rechazaba fervientemente este término: La expresión “música atonal” es de lo más desafortunada —es como llamar a volar “el arte de no caer” o a nadar “el arte de no ahogarse”. Mencionado en [14] A. Schoenberg, Hauer’s Theories, en Style and Idea, 1923. A este periodo pertenece también su famoso ciclo de canciones Pierrot Lunaire, Op. 21 (1912). Su nombre completo es Tres veces siete poemas de Pierrot Lunaire de Albert Giraud, ya que está dividida en 3 grupos de 7 canciones cada uno, cuyos textos son una selección de 21 poemas del ciclo homónimo de Albert Giraud. Se encuentran en ella abundantes referencias al número 7. Schoenberg hace un uso extensivo de motivos de 7 notas a lo largo de la obra, mientras que el conjunto musical que la interpreta, incluyendo al director, consta de 7 miembros. De hecho, a este conjunto de instrumentos —flauta, clarinete, violín, violonchelo, piano y voz— se le ha dado el nombre de ensemble Pierrot en su honor. Otros números importantes en la obra son el 3 y el 13. Cada poema consta de 13 líneas, mientras que la primera línea de cada poema aparece 3 veces, en las líneas 1, 7 y 13. En esta obra no sólo hay una ausencia total de relaciones tonales, sino que el tratamiento vocal evita también cualquier relación estética con las técnicas tradicionales: es un Sprechgesang, un canto hablado. De hecho, Schoenberg se refiere a estas piezas no como canciones, sino como melodramas. Véase [5] para más información. 2.4. El surgimiento del sistema dodecafónico Schoenberg no estaba aún satisfecho con su técnica compositiva, ya que admiraba las obras extensas de los músicos románticos y pensaba que su atonalidad no podía sostener una obra de gran envergadura. Es decir, necesitaba un hilo conductor mejor que los motivos para poder componer obras atonales más largas. Por aquella época sufrió crisis en varios aspectos de su vida. En lo personal, su mujer Matilde Zemlinsky acababa de abandonarlo por otro hombre, aunque posteriormente volvería junto al compositor. Y en lo profesional, sus obras no eran del gusto del público, por lo que no contaba con suficiente dinero para mantener a su familia. Todas estas circunstancias, unidas al desarrollo de la Primera Guerra Mundial, no le permitieron componer apenas entre 1914 y 1923. Tras el final de la guerra, en 1919, Schoenberg fundó la Sociedad para Interpretaciones Musicales Privadas junto a sus discípulos y amigos Alban Berg y Anton Webern. Schoenberg, Berg y Webern se autodenominaron la Segunda Escuela de Viena en honor al grupo de compositores del siglo XVIII Haydn, Mozart y Beethoven, quienes formaban la Primera Escuela de Viena. En la Sociedad para Interpretaciones Musicales Privadas se presentaba música contemporánea en circunstancias que favorecieran su adecuada apreciación. Así se evitaba que dichas obras, al no ser entendidas por el público, fueran inmediatamente rechazadas. Las obras de compositores como Mahler, Debussy, Bartók, Ravel, Strauss y Stravinsky se incluyeron en los programas de conciertos organizados por la Sociedad. En este contexto Schoenberg pudo reflexionar sobre sus técnicas compositivas, y al fin publicó en 1923 su ensayo Método de composición con doce sonidos [13], donde se describían por primera vez los axiomas del dodecafonismo. Estos axiomas constituían la solución al problema de la atonalidad libre que tanto le había estado atormentando durante una década. Su primera obra íntegramente dodecafónica, publicada también en 1923, es la Suite para piano Op. 25, que podrán ver a continuación. Es la pieza más temprana en la que Schoenberg usa series dodecafónicas en cada uno de los movimientos. En dos obras anteriores a ella usa series dodecafónicas, pero en movimientos aislados: la Op. 23, 5 Stücke (1920—23), en el movimiento de Waltz final; y su Serenata, Op. 24, en su Soneto central. Las series utilizadas en la Suite Op. 25 servirán de ejemplo en este texto, y su tercer movimiento, Musette, será estudiado y analizado en el apartado 4.3 con el fin de entender una obra dodecafónica en toda su extensión. A continuación el lector podrá escuchar la Suite para piano Op. 25: 3. El sistema dodecafónico de Schoenberg 3.1. Los postulados del dodecafonismo El dodecafonismo es un sistema compositivo que predetermina la melodía y la armonía a partir de una ordenación de las doce notas de la escala cromática, que se llama serie. Esta y algunas de sus transformaciones son los ladrillos con los que se construyen las alturas de las notas; son el único material que se puede utilizar. El resto de elementos de la pieza, como el número de instrumentos, el ritmo, el carácter, la textura o las dinámicas, se deja a discreción del compositor. No serializar todos los conjuntos será la principal crítica al dodecafonismo por parte de los compositores serialistas que sucedieron a su creador, Arnold Schoenberg. Para los serialistas integrales, como Pierre Boulez, aquello restaba cohesión al modelo compositivo; para los dodecafonistas, aportaba libertad [2]. Precisamente la predeterminación dodecafónica, aunque parece limitante, permite realizaciones musicales y estilos de composición muy diferentes: Schoenberg daba un tratamiento tradicional a sus obras, ya que aun admiraba las formas clásicas; Alban Berg iba más allá al utilizar series que recordaban a las tríadas tonales; y, en cambio, Anton Webern evitaba radicalmente cualquier asociación con la tradición. Schoenberg definió su sistema musical a partir de cuatro postulados que, en realidad, se basan en principios matemáticos [4]: 1. La serie (sobre la que se construye la obra dodecafónica) consta de las doce notas de la escala cromática dispuestas en un orden lineal específico. 2. Ninguna nota aparece más de una vez en la serie. Los dos primeros postulados expresan que una obra dodecafónica fundamenta su estructura sobre una permutación de la escala de doce semitonos. Dicha permutación σ es una biyección del conjunto numerado de las doce notas consigo mismo, y se representa de esta forma: La permutación σ(m), con m ∈ ℤ∕(12), pertenece al grupo simétrico de orden 12, S12. Por ejemplo, en la Suite para piano Op. 25 Schoenberg utiliza como serie original en todos los movimientos de la obra la siguiente permutación σ: Los otros dos postulados restantes son: 3. La serie se puede exponer en cualquiera de sus aspectos lineales: serie original, inversión, retrogradación de la original y retrogradación de la inversión. 4. La serie puede usarse en sus cuatro aspectos desde cualquier nota de la escala. Los dos últimos postulados amplían los recursos compositivos al admitir la transformación de la serie original mediante inversión, retrogradación, inversión retrógrada y transposición. El compositor puede utilizar cualquiera de las transformaciones de una serie al componer su obra dodecafónica. El conjunto de series que puede utilizar, que viene dado por la serie original y todas sus posibles transformaciones, se conoce como espectro serial; veáse [4] para más información. 3.2. Las transformaciones de una serie Transformar una serie es matemáticamente equivalente a aplicar una función sobre la serie, y que asocie esa permutación a la permutación transformada. Por tanto, cualquier función Ψ se aplica sobre el conjunto de las permutaciones, S12. 3.2.1. Transposiciones La transposición, mencionada en el cuarto postulado, consiste en subir o bajar la serie original un número determinado de semitonos. Por tanto, no se modifican los intervalos entre las notas, sino solamente la altura a la que está la serie. Ya que consideraremos todas las octavas equivalentes, debemos trabajar módulo 12. La serie transportada k semitonos (con k constante), Tk(σ), se construye sumando k a σ (mod. 12): Tk(σ(m)) = σ(m) + k A su vez, Tk se forma al componer k transposiciones de 1 semitono: Tk = T1 ∘ T1 ∘… ∘ T1, k veces. Debido a que k es en realidad el exponente en la potencia de T, se coloca este número como superíndice. Históricamente, la notación Ψk, Ψk o también Ψ(k) se ha usado en sustitución de la composición de la transposición Tk y otra función Ψ, en el respectivo orden: Ψk = Ψ ∘ Tk = Ψ(Tk). Sin embargo, esta notación es especialmente ambigua y confusa, sobre todo al trabajar con funciones no conmutativas —cuando importa el orden en el que estén T y Ψ—. Por ello, es preferible ceñirse a la notación estrictamente matemática; es decir, a la composición de funciones, aun omitiendo el símbolo ∘, de esta manera: ΨTk. Una posible serie transportada sobre la permutación σ de la Suite para piano Op. 25, con k = 6, es la siguiente serie T6: 3.2.2. Retrogradación La retrogradación consiste en leer la serie original desde la nota final hacia atrás, es decir, aplicar a la serie una simetría especular. De este modo, la primera nota irá al último puesto, la segunda al penúltimo, y así sucesivamente. La serie retrógrada se construye según la siguiente fórmula: R(σ(m)) = σ(11 - m) La serie retrógrada sobre la permutación σ de la Suite Op. 25 es la siguiente serie R: 3.2.3. Inversión La inversión consiste en cambiar la dirección —de ascendente a descendente y viceversa— de los intervalos entre cada nota de la serie. Si el primer intervalo en la serie original σ es de +k, el primer intervalo en la serie invertida I será de -k (siempre módulo 12), por lo que debemos cambiar el signo de σ para construir I. Además, queremos que la primera nota de ambas series, I(σ(0)) y σ(0), coincidan, así que debemos transportar la serie (-σ) un número λ de semitonos para que esta condición se cumpla: I(σ(0)) = -σ(0) + λ = σ(0) ⇒ λ = 2σ(0) Por tanto, la serie invertida se construye de esta forma: I(σ(m)) = - σ(m) + 2σ(0) La serie invertida sobre la permutación σ de la Suite Op. 25 es la siguiente serie I: En total, obtendremos 48 series —aunque no obligatoriamente distintas entre sí— pertenecientes a un solo espectro serial. Hay 12 series originales sobre cada una de las doce notas, 12 series retrógradas, 12 invertidas y 12 series sobre las que se aplica tanto la retrogradación como la inversión. A continuación se muestra la sintaxis simple junto a la matemática: Sintaxis simple T0, T1, T2… R0, R1, R2… I0, I1, I2… IR0, IR1, IR2… Sintaxis matemática T0, T1, T2… R, RT1, RT2… I, IT1, IT2… IR, IRT1, IRT2… 3.3. Matrices dodecafónicas Dada una serie, su matriz dodecafónica es una representación visual de su espectro serial; es decir, del conjunto de series derivadas de esa serie. El espectro serial es todo el material compositivo sonoro del que se dispone para la composición de una obra dodecafónica. Al poder ordenar y disponer la información en una tabla, el compositor puede acceder a toda ella al mismo tiempo sin tener que calcular cada serie individualmente. La matriz se lee en la dirección en la que aparece el nombre de la serie. Las series T se leen de izquierda a derecha, mientras que las series R de derecha a izquierda. Las series I se leen de arriba a abajo y las IR∕RI de abajo a arriba. He creado un programa que devuelve en formato LATEX la matriz correspondiente a cualquier serie dodecafónica que se introduzca en teclado, además de producir la nomenclatura simple para cada serie. El código, escrito en C++, se puede encontrar en el enlace https://gitlab.com/dodecafonismo/cppmatrices. A continuación, se incluye la matriz dodecafónica de la serie P de la Suite Op. 25 de Schoenberg. Mientras que la mayoría de tablas tienen dos filas inferiores, que se corresponden con las distintas nomenclaturas de RI e IR para una misma serie —ya que normalmente no conmutan—, en la matriz de la serie P sí coinciden. Por otro lado, he escrito un comando en el propio lenguaje LATEX que crea esta misma tabla con el comando \dmatrix, y tiene cualquier serie como argumento. Su sintaxis es \dmatrix. El comando se encuentra en el paquete de LATEX ddphonism, disponible en el enlace https://www.ctan.org/pkg/ddphonism. La tabla aparece sin el orlado de nomenclaturas: 4 5 7 1 6 3 8 2 11 0 9 10 3 4 6 0 5 2 7 1 10 11 8 9 1 2 4 10 3 0 5 11 8 9 6 7 7 8 10 4 9 6 11 5 2 3 0 1 2 3 5 11 4 1 6 0 9 10 7 8 5 6 8 2 7 4 9 3 0 1 10 11 0 1 3 9 2 11 4 10 7 8 5 6 6 7 9 3 8 5 10 4 1 2 11 0 9 10 0 6 11 8 1 7 4 5 2 3 8 9 11 5 10 7 0 6 3 4 1 2 11 0 2 8 1 10 3 9 6 7 4 5 10 11 1 7 0 9 2 8 5 6 3 4 También he creado una página interactiva que genera matrices de cualquier serie para cualquier longitud serial, además de generar series aleatorias. Permite escoger entre dos numeraciones y dos nomenclaturas. Está escrita en Elm y el código puede encontrarse en https://gitlab.com/dodecafonismo/matrices. En este enlace se encuentra la aplicación web. Sus instrucciones de uso se encuentran al final de la página: https://matrices.netlify.com/. 4. Análisis de una obra dodecafónica: el opus 25 4.1. Series de la Suite op. 25 Lo primero que hará un compositor dodecafónico antes de empezar a componer será escoger su serie original. Su elección nunca es una simple cuestión de azar; al contrario, ya que las singularidades de la serie darán un carácter especial a toda la obra. Por ejemplo, el compositor puede escoger una serie con simetrías, y así tendrá series repetidas entre su espectro serial. También puede tener simetrías internas solo en un fragmento de tres o cuatro notas, y de este modo podrá el compositor oscilar entre varias series del espectro que se parezcan entre sí. Para un estudio más completo de las relaciones de similitud entre series se recomienda On the Similarity of Twelve-Tone Rows, de Tuukka Ilomäki [10]. En la Suite para Piano Op. 25, Schoenberg escoge su serie σ para resaltar el intervalo de tritono (6 semitonos). A continuación se observan en negrita los intervalos entre las notas de esta serie, en unidad de semitono: Presenta repeticiones triples de los intervalos de tritono (6), de sexta mayor (9) y de segunda menor o semitono (1): los intervalos más disonantes; una repetición doble de cuarta justa (5), y un intervalo de segunda mayor (2); además de una consecución de intervalos repetida: 9–1–9–1. Como se forma el intervalo de tritono al enlazar la serie original con una serie que empiece por la misma nota, se tiene en cuenta el intervalo de tritono (6) al final. En el dodecafonismo se evitan deliberadamente los intervalos de tercera mayor (4), ya que estos son la base de la eludida armonía tonal. El intervalo de tritono tiene la particularidad de no modificarse en la inversión y transportación k = 6, por lo que estos intervalos aparecen en los lugares originales, mientras que en los procedimientos de retrogradación y retrogradación inversa ocupan sus lugares en retrógrado. En particular, Schoenberg utiliza entre los seis movimientos de la Suite solamente las ocho series de todo el espectro serial que cumplen estos requisitos: T0, T6, I, IT6, R, RT6, RI y RIT6, que podemos observar a continuación: Estas series tienen muchos elementos en común: todas comienzan o acaban por mi♮ o por si♭, lo que permite enlazar unas series con otras por medio del unísono o del tritono; se mantienen los intervalos de tritono en sus lugares originales o retrógrados, y coinciden en las dos primeras y las dos últimas notas dos a dos. Se han realizado estudios – como el de Martha Hyde [7] – en los que se limitan las series utilizadas en la Suite a cuatro: T0, T6, I e IT6, pero ya que el objetivo de este texto no es analizar la obra entera se dejará esta cuestión para análisis posteriores. 4.2. Descripción de la Suite op. 25 Schoenberg realiza en la serie σ una partición triple; es decir, la serie se divide en tres tetracordos, y cada uno de ellos contiene un intervalo de tritono. El último tetracordo, si se retrograda, consta de las notas 10–9–0–11, que en notación germánica es la secuencia BACH. Esto puede ser un homenaje al compositor Johann Sebastian Bach (1685—1750), ya que Schoenberg admiraba a los grandes compositores anteriores a él por las estructuras formales de sus obras. Para más información, véase [16]. Otro posible homenaje a Bach y sus contemporáneos barrocos es precisamente la forma de la obra: es una suite, género cultivado durante los siglos XVII y XVIII que se compone de una variedad de danzas. La Suite de Schoenberg está formada por seis danzas: un preludio, una gavota, una musette, un intermezzo —que no tiene influencia barroca sino más bien de Brahms, otro modelo para Schoenberg—, un minueto con trío y una giga. Además, el estilo, la textura —contrapuntística, típicamente barroca—  y la estructura de cada danza se corresponden con los estilos, texturas y estructuras de las danzas homónimas del periodo bachiano. Por ser ésta su primera obra totalmente dodecafónica, Schoenberg la utilizó como una muestra al mundo de las posibilidades de su nuevo método compositivo. Fue también por lo que tomó un formato tan variado como una suite: así podía en una misma obra componer con estilos tan distintos como los de las distintas danzas. Al componer la obra, Schoenberg trata cada tetracordo como una subunidad individual. Los superpone contra otras series del espectro también divididas, o utiliza sus notas como un solo acorde cuatríada. Estas divisiones no sólo sirven para hacer la serie más reconocible o añadir cohesión a la obra, sino que además facilitan el desarrollo de la serie específicamente en el estilo de cada danza. 4.3. Análisis de la Musette En el tercer movimiento de la Suite, la Musette, Schoenberg recrea la danza barroca que toma su nombre del instrumento homónimo: la cornamusa, de la familia de la gaita. La música compuesta para estos instrumentos suele consistir en una melodía acompañada por una nota pedal, que se traduce aquí en la presencia de un bordón sobre el sol♮ (nota 7). Esta nota se extrae de cada una de las series utilizadas y se forma con ella un ostinato rítmico en la mano izquierda del piano. Con el resto de sonidos de cada serie, Schoenberg vuelve a emular el estilo de la danza barroca y articula un discurso polifónico a dos voces con ritmos esencialmente cortos. A partir de la doble barra del compás 9, el re♭ (nota 1) acompaña a sol♮ y ambos crean un doble bordón en la mano izquierda. La elección de esas dos notas está estrechamente relacionada con la tradicional relación de quinta justa formada por sol♮ y re♮ en la música tonal. Schoenberg sustituye las quintas justas tonales por los tritonos dodecafónicos, subrayando aún más su emancipación de la disonancia. Además de las similitudes texturales, rítmicas y armónicas, la Musette de Schoenberg comparte estructura formal con las danzas barrocas. Y esta semejanza es quizás la más notable, ya que fue la búsqueda de estructura formal lo que inspiró a Schoenberg a desarrollar su método compositivo. La Musette barroca, como todos los movimientos de danza, presenta una estructura binaria con simetría tonal: empieza y acaba por la misma tonalidad, mientras que el centro es zona de desarrollo. Schoenberg despoja de funcionalidad tonal a esa simetría, madre de la forma sonata, y la aplica a su composición dodecafónica. En este movimiento se pueden diferenciar a simple vista tres secciones, divididas en los compases 9 y 20, debido a cambios de textura, figuración y tempo. En la segunda sección se le añade melodía a la mano izquierda del piano, dejando más camuflado el bordón que en la primera sección, además de que éste se vuelve doble, mientras que vuelve a aparecer claramente en la tercera sección. También en la segunda sección aparece una nueva figuración, que es la semicorchea; y, por último, en los dos compases de división aparecen dos a tempo, que marcan el final de las dos primeras secciones tras dos zonas de variabilidad rítmica. Para que esta estructura tríptica sea una forma binaria, la primera y la última parte deben mantener un parecido, que se observa a través del análisis de las series utilizadas en el movimiento. Estas series son T0, T6, I e IT6. En la Musette, Schoenberg hace un uso casi absoluto de la tripartición serial, hasta el punto de individualizar los tetracordios por separado y concederles privilegios seriales, como la retrogradación. Por ejemplo, en el compás 7, en la voz inferior de la mano derecha aparece el tetracordio 4–5–2–3, que es o bien el primer tetracordio de RIT6 o la retrogradación del tercer tetracordio de IT6, mientras que los otros dos tetracordios de IT6, 10–9–71 –1 en la voz superior y 8–11–6–0 en la mano izquierda, aparecen en el orden correcto. Entonces no se puede analizar el compás como RIT6, sino indicar que hay una alteración puntual de IT6. Por tanto, es muy complicado analizar esta obra en su totalidad, ya que la flexibilidad en la ordenación de los tetracordios puede generar situaciones muy ambiguas. Debido a estas fragmentaciones y a las variadas combinaciones de tetracordios originales y retrógrados, se escucha un área de desarrollo hacia la sección media del movimiento. En cambio, las series al principio y al final de la pieza se presentan casi íntegramente, como una exposición y reexposición. He aquí un vínculo con la simetría de las formas binarias tonales. Es más, incluso el orden de las series utilizadas en la primera y en la última sección coinciden, exceptuando dos repeticiones consecutivas y las series T0 finales, que actúan como una cadencia serial: A continuación se encuentra el análisis serial completo de la Musette: Figura 4: Análisis de la Musette (I) Figura 5: Análisis de la Musette (II) 5. Definiciones matemáticas 5.1. Conjuntos y grupos Un conjunto es una colección de objetos bien definidos y distintos entre sí que se llaman elementos. Para definir un conjunto se puede o bien listar los objetos uno a uno, o bien describirlos por medio de un predicado: una o varias propiedades que caracterizan a todos los elementos de dicho conjunto. Por ejemplo, el conjunto Ki, formado por las doce notas de la escala cromática de una misma octava i, está bien definido porque podemos hacer una lista con ellas: por ejemplo, K4 =: Por un lado, aun llamando a las notas de distinta manera, el conjunto, conceptualmente, es el mismo. Además, el hecho de listar algún elemento más de una vez no afecta a su definición. Como Do#4 = Re♭4 (ya que trabajamos con temperamento igual), K4 también puede ser listado así: En cambio, el conjunto D, formado por las duraciones rítmicas elementales – sin ligaduras ni puntillos –, es infinito, por lo que no se puede listar de forma completa. Sin embargo, se puede expresar por medio de un predicado: La notación n ∈ ℤ significa que n pertenece a los números enteros. En este caso se han representado las duraciones mediante su ratio con la duración de la negra. Los elementos de un conjunto pueden combinarse mediante operaciones —como la suma o la multiplicación en el caso de los números— para dar otros objetos matemáticos. Se dice que un conjunto G no vacío y una operación binaria (*) forman la estructura de un grupo (G,*) cuando cumplen las siguientes condiciones: 1. Su operación es interna: Si a,b ∈ G, entonces a * b ∈ G. 2. Su operación es asociativa: Si a,b,c ∈ G, entonces (a * b) * c = a * (b * c). 3. Existe un elemento e en G, llamado elemento neutro o identidad, tal que para todo x ∈ G se cumple que e * x = x * e = x. Se puede probar que el neutro es único para cada grupo. A veces se incluye dentro de la definición del grupo: (G,*,e). 4. Cada x ∈ G tiene asociado otro elemento x-1 ∈ G, llamado elemento inverso, tal que x * x-1 = x-1 * x = e. Se puede probar que el inverso de cada elemento es único. (ℤ,+,0) y (ℚ,+,0) son grupos, pero (ℕ,+,0) no porque no existe el inverso de 2 con la suma: -2 ∉ ℕ. En cambio, (ℝ,*,1) y (ℚ,*,1) son grupos, pero (ℤ,*,1) no porque no existe el inverso de 2 con la multiplicación: ½ ∉ ℤ. 5.2. Funciones y permutaciones Una función es una regla que asocia a cada elemento de un primer conjunto, llamado dominio, un único elemento de un segundo conjunto. Si la función se llama f, el dominio A y el segundo conjunto B, se denota f: A → B. El elemento asociado a un x mediante f se denota f(x). Todos los x ∈ A tienen que estar asociados a un f(x) ∈ B, pero no todos los elementos de B tienen un elemento de A asociado. Los elementos de B que sí lo cumplen, es decir, los que se pueden escribir como f(x) para algún x, forman el conjunto imagen de la función: im(f) = . Una función biyectiva es aquella que empareja de manera exacta los elementos de dos conjuntos, de tal forma que cada elemento del dominio está emparejado con exactamente un elemento de la imagen, y cada elemento de la imagen se empareja con exactamente un elemento del dominio. Cuando varias funciones se aplican una detrás de la otra decimos que realizamos la operación de composición de funciones. Se representa con el símbolo ∘. La imagen de la primera función será el dominio de la segunda, y así sucesivamente. Por ejemplo, aplicar una función f(x) y después aplicar una función g(x) se denota g(f(x)) = (g ∘ f)(x). Una permutación σ(X) es una función sobre un conjunto X que asocia sus elementos a los elementos del mismo conjunto X de manera unívoca. Es decir, asocia cada elemento a uno, y solo uno, de los elementos de su mismo conjunto. El conjunto de todas las posibles permutaciones sobre un determinado conjunto X, junto con la operación de composición de funciones (∘), forma un grupo denotado por SX. Para probarlo, se debe comprobar que cumple todas las propiedades de los grupos. 1. Permutar dos veces es también una permutación. 2. La composición de funciones es asociativa. 3. La permutación que asigna un elemento a sí mismo es la función identidad. 4. Como las permutaciones son biyectivas, cada una tiene una inversa que es también una permutación. Cuando X es el conjunto de números naturales desde 1 hasta n, el grupo SX se representa como Sn y se le denomina el grupo simétrico de orden n. El número de elementos en Sn, es decir, de posibles permutaciones de n números es n!. En los ejemplos musicales de este texto, los conjuntos estarán numerados desde 0 hasta n-1, siendo n el número de elementos a permutar, en vez de desde 1 hasta n. Seguirán siendo grupos simétricos de orden n, pero con una numeración distinta. La notación utilizada para representar una permutación σ perteneciente a Sn con la numeración desde 0 y con σ(m) siendo el elemento asociado a m mediante σ, es: 5.3. Aritmética modular Fijado un n ∈ ℕ, se dice que a y b son congruentes (o equivalentes) módulo n si tienen el mismo resto al dividirlos entre n; es decir, que todos los números con el mismo resto se agrupan y se toman como equivalentes. Se expresa como a ≡ b (mod. n). De esta forma se pueden operar entre sí los números del 0 al n-1, ya que se conservan las operaciones de los números enteros, y si un resultado es ≥ n se puede seguir dividiendo entre n para que cumpla 0 ≤ r < n. Se conserva la suma (y la resta), ya que si a = nqa + ra y b = nqb + rb, entonces a + b = (nqa + ra) + (nqb + rb) = n(qa + qb) + (ra + rb), así que el resto de a + b es igual al de ra + rb. La aritmética modular también se llama aritmética del reloj porque funciona de la misma manera que las horas en un reloj. Como el 3 tiene el mismo resto entre 12 que el 15, las 15h son las 3h: 3 ≡ 15 (mod. 12). O, por ejemplo, 2 horas después de las 11 dan las 13, es decir, la 1: 2 + 11 = 13 ≡ 1 (mod. 12). También se conserva la multiplicación: si a = nqa + ra y b = nqb + rb, entonces ab = (nqa + ra)(nqb + rb) = n2qaqb + nqarb + nqbra + rarb = n(nqaqb + qarb + qbra) + rarb, así que el resto de ab es igual al de rarb. En música, la aritmética modular se puede encontrar en las escalas: todas las notas Do se toman como equivalentes, por ejemplo, y al sumarle 12 semitonos (una octava) se vuelve a obtener un Do. Si se asocian los números del 0 al 11 a las notas cromáticas del Do al Si, entonces 0 + 12 = 12 ≡ 0 (mod. 12). Entonces se dice que un número k pertenece al conjunto , con las propiedades indicadas, de esta manera: k ∈ ℤ12.   Nota: 1 La nota 7 aparece como bordón y no en la misma voz que el resto del tetracordio, por lo que su posición es también excepcional. Bibliografía [1] Felipe Aguirre. El concepto de “disonancia” en Adorno y en la nueva música. Enero de 2019. Consultado en agosto de 2019. [2] Pierre Boulez. Schoenberg is dead, 1952. Publicado en la revista The Score originalmente; consultado en línea en agosto de 2019. [3] J. de Aixquivel. Memorias de Historia Antigua. Universidad de Oviedo, 1989. [4] Manuel Domínguez Romero. Las matemáticas en el serialismo musical. Sigma, 41(24):93–98, 2011. [5] Alicia Díaz de la Fuente. Estructura y significado en la música serial y aleatoria. PhD thesis, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Departamento de Filosofía, 2005. [6] World Heritage Encyclopedia. Consonance and dissonance, 2017. Consultado en agosto de 2019. [7] Peter Farindon. Dodecaphonism: Schoenberg. In M. Everist and J. Dunsby, editors, Models of Musical Analysis: Early Twentieth-century Music, chapter 4, pages 45–60. Blackwell Pub, Oxford, Inglaterra, 1993. [8] Paco Gómez. Crónica del congreso Mathematics and Computation in Music 2019, julio de 2019. Consultado en agosto de 2019. [9] Paco Gómez. Mathematics and Computation in Music 2019: un congreso interdisciplinar, julio de 2019. Consultado en agosto de 2019. [10] Tuukka Ilomäki. On the Similarity of Twelve-Tone Rows, 2008. Consultado en línea en agosto de 2019. [11] Knud Jeppesen. Counterpoint: The Polyphonic Vocal Style of the Sixteenth Century. (The Prentice-Hall music series). Dover Publications, 1992. [12] James P. Kinney. Twelve-tone Serialism: Exploring the Works of Anton Webern. Master’s thesis, University of San Diego, University of San Diego, 2015. [13] Arnold Schoenberg. Composition with twelve tones, 1923. Publicado en Style and Idea. [14] Arnold Schoenberg. Hauer’s Theories, 1923. Publicado en Style and Idea. [15] Richard Wagner. Oper und Drama, 1851. [16] June Xiao. Bach’s Influences in the Piano Music of Four 20th Century Composers. PhD thesis, Jacobs School of Music, Universidad de Indiana, 2014.
Miércoles, 11 de Septiembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
El congreso Mathematics and Computation in Music 2019 terminó el pasado 21 de junio. Gracias a la contribución de sus asistentes, el congreso fue un evento extraordinario. Científicamente, tuvimos contribuciones excelentes, profundas, intensas, relevantes. Emocionalmente, según me han hecho llegar muchos conferenciantes, también fue un éxito. Se creo una atmósfera muy amigable en que la gente no competía entre sí, sino que se ayudaba. Por supuesto, hubo crítica y desacuerdo, como ha de ser en toda reunión científica que se precie, pero esa crítica se centró en el contenido y no en la persona, y fue hecha siempre con intenciones de mejora, no de ganancia de poder. Socialmente, también fue un logro. Se hicieron múltiples contactos entre los asistentes como consecuencia del ambiente amistoso de la conferencia así como de la oportunidad de ver en persona a compañeros que trabajan en temas similares a los de uno. Esta efervescencia social fue consecuencia de la generosidad de los asistentes a la conferencia. El congreso se inauguró a las 9:30 de la mañana del 18 de junio por el Rector de la Universidad Politécnica de Madrid (UPM), Guillermo Cisneros. En el acto inaugural intervinieron Agustín Yagüe, Decano de la Escuela de Ingeniería de Sistemas Informáticos (UPM), Paco Gómez (UPM), el organizador local y general (y el humilde autor de esta columna) , Mariana Montiel (Georgia State University), la presidenta del Comité Científico, Guerino Mazzola (University of Minnesota), el Presidente de la Society for Mathematics and Computation in Music, y cerrando el acto el Rector de la UPM, quien ilustró sus ideas con una serie de historias sobre Bach y Euler. En la foto de abajo se ve una instantánea del acto de inauguración. Tras el acto de inauguración, empezó la actividad frenética de las charlas. En la foto de abajo vemos a Moreno Andreatta y Alexandre Popoff respondiendo a las preguntas de los asistentes tras su charla, que fue la primera (la charla tenía de título Groupoids and Wreath Products of Musical Transformations: a Categorical Approach from poly-Klumpenhouwer Networks). En otro momento de la conferencia vemos a Thomas Noll exponer su artículo junto con David Clampitt Exploring the Syntonic Side of Major-Minor Tonality. En la foto de abajo se ve a Paco Gómez junto a Maria Mannone explicando el significado del logo (el oso del logo es del madroño y no Yogui). Los cuatros días de conferencias fueron apasionantes; en particular, la sesión de homenaje a Riemman (Remanaging Riemann: Mathematical Music Theory as “Experimental Philology”?) sobre pedagogía de la Teoría Matemática de la Música (TMM) fueron especialmente productivas y llenas de contribuciones de calidad. La última charla no plenario la dio Jeremy Kastine, quien habló de su trabajo sobre ritmos euclídeos; su charla se titulaba Maximally Even Tilings. No hay que olvidar tampoco las charlas plenarias, que se dieron en el Real Conservatorio Superior de Música de Madrid (RSCMM). En la foto de abajo se ve a Paco Gómez dar la última charla plenaria, que versó sobre la necesidad de la divulgación en el campo de la Teoría Matemática de la Música. En esa charla ocurrió algo que pocas veces, muy pocas veces, he presenciado. El ambiente de aprendizaje, de compañerismo, de buen humor, de cohesión había llegado a tal punto en la conferencia que el turno de preguntas de mi charla se convirtió en un animado y profundo debate sobre múltiples cuestiones de nuestro campo. Se habló largo y tendido de la relación entre los músicos y los científicos, cómo toman unos y otros la presencia del otro, hasta qué punto se aceptan los análisis hechos por matemáticos e informáticos del fenómeno musical, el rechazo que existe en muchos departamentos de música y musicología a los métodos cuantitativos de análisis musical, se habló de la necesidad de que el gran público pero también el público especializado conozca los avances de la TMM, de abrir nuevos canales de comunicación en las redes sociales, se propuso crear canales tales como twitter, canales de Youtube, ¡crear una versión en inglés de esta columna!, escribir libros de divulgación, entre otras muchas ideas. El conserje tuvo que venir a echarnos porque tenía que cerrar el edificio. Otro momento que recuerdo con mucho cariño es el de las pausas para el café. Durante esas pausas los participantes dieron rienda suelta a su vena social. Se hicieron muchas conexiones e incluso se plantaron semillas para colaboraciones y amistades. Además, hubo una exposición interactiva, llamada La La Lab, the Mathematics of Music (https://imaginary.org/exhibition/la-la-lab-the-mathematics-of-music), organizada por Imaginarium. Esta exposición es gratuita —se pueden bajar los materiales desde su web sin coste alguno— y contiene excelente material divulgativo de la TMM. En la foto de abajo vemos a los participantes disfrutando del café y del material de la exposición. El último día nos hicimos la foto de grupo. La cena de gala fue un colofón muy agradable. Muchas risas, francas y abiertas, y un gran ambiente de amistad. Disfrutamos de arroces alicantinos en el restaurante Aynaelda. En la página de Flickr https://www.flickr.com/photos/webpgomez/albums/72157709203649743 se pueden ver muchas más fotos de este fascinante evento. Abajo tenéis fotos de cerca de algunos participantes.
Jueves, 01 de Agosto de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. El congreso Mathematics and Computation in Music 2019 En este mes de junio se celebra el congreso internacional Mathematics and Computation in Music 2019. Quien estas notas escribe ha tenido el privilegio y la responsabilidad de organizarlo, en conjunción con Mariana Montiel y Octavio Alberto Agustín Aquino en el comité científico, y con Manuel Tizón y Pablo Romero en la organización local. Hace muchos años, cuando este campo, el de la Teoría Matemática y Computacional de la Música, empezó, gracias a la visión y al esfuerzo de un puñado de investigadores heterodoxos, se le veía como una extravagancia, un capricho pasajero, o a veces incluso un suicidio académico. Si te empeñabas en defenderlo, con frecuencia uno oía que este campo “no es serio”. Sin embargo, esos críticos se dejaron llevar por una inercia intelectual que, como su propio nombre sugiere, rechazaba el cambio. Hoy en día ya se habla con normalidad de campos como la Lingüística Computacional o la Informática Médica. Ese puñado de aguerridos pioneros, muchos de los cuales están en esta conferencia, con su ejemplo y trabajo pronto atrajeron a otros investigadores, los cuales fascinados por las estructuras matemáticas que se encuentran en la música, empezaron a trabajar con ahínco en este campo. Tras unos años de dificultades, empezaron a cuajar las relaciones de colaboración nacionales e internacionales, se crearon revistas, se celebraron talleres y también se creo el congreso del que hoy hablamos aquí. Estamos en su séptima edición de un congreso que se celebra bianualmente. El congreso ya está maduro en términos de excelencia científica y reconocimiento internacional. Y, como digo, me ha sido concedido el privilegio de participar en su organización. La columna de este mes consiste simplemente en el programa (en inglés) del congreso. Este programa vale más que mil reseñas que pueda dar. Disfrutad. ___________________________________________   2. Introduction The Seventh International Conference on Mathematics and Computation in Music will be held June 18-21, 2019 at Universidad Politécnica de Madrid (UPM) and Real Conservatorio de Música de Madrid (RCSMM), Madrid, Spain. MCM is the flagship conference of the Society for Mathematics and Computation in Music (SMCM), whose official publication is the Journal of Mathematics and Music (JMM). MCM 2019 continues the tradition of biennial international conferences of the Society for Mathematics and Computation in Music held on alternating sides of the Atlantic. In this occasion it is hosted by the Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Sistemas Informáticos (ETSISI). The conference brings together researchers from around the world who combine mathematics or computation with music theory, music analysis, composition and performance. MCM provides a dedicated platform for the communication and exchange of ideas amongst researchers in mathematics, computer science, music theory, composition and performance, musicology and related disciplines. The disciplines of Mathematics and Music share an intertwined history stretching back more than two and a half millennia. Nowadays computer science points towards new approaches to these disciplines, often with transformative effect. In addition to the scientific program, there will be concerts open to both conference participants and the general public.   3. Organization General Organizing Committee Francisco (Paco) Gómez, Technical University of Madrid, Spain. Mariana Montiel, Georgia State University, Georgia, USA. Emilio Lluis-Puebla, Faculty of Sciences, UNAM, Mexico. Guerino Mazzola, University of Minnesota, USA. Thomas Noll, Escola Superior de Musica de Cataluña. José Luis Besada, Université de Strasbourg and IRCAM. Scientific Programme Committee Mariana Montiel, Georgia State University, Georgia, USA. Francisco (Paco) Gómez, Technical University of Madrid, Spain. Octavio Alberto Agustín Aquino, Instituto de Física y Matemáticas, Universidad Tecnológica de la Mixteca. Scientific Committee Octavio A. Agustín-Aquino Jean Paul Allouche Emmanuel Amiot Moreno Andreatta Juan Sebastián Arias Aitor Arronte Álvarez Cristian Bañuelos Gilles Baroin Chantal Buteau Olivia Caramello Norman Carey Rodrigo Castro López Vaal David Clampitt Darrell Conklin Maxime Crochemore Andrée Ehresmann Michael Franklin Harald Fripertinger Emilia Gómez Francisco (Paco) Gómez Yupeng Gu Gareth Hearne Julian Hook Franck Jedrzejewski Maximos Kaliakatsos Jeremy Kastine Olivier Lartillot Vicente Liern Emilio Lluis-Puebla Pedro Louzeiro Maria Mannone Dimitrios Margounakis Guerino Mazzola Brent Milam Andrew Milne Mariana Montiel Javier Mora Thomas Noll Robert Peck Richard Plotkin Alexandre Popoff David Rappaport David Temperley Petri Toiviainen Isao Tokuda Jason Yust Marek ´abka Fernando Zalamea Local Organizing Committee Francisco (Paco) Gómez Pablo Romero Manuel Tizón   4. Conference Schedule 4.1. Tuesday, June 18th, 2019 8:30: Buses taking the conference participants to the UPM Campus Sur. Meeting point: Hotel Mediodía, on 8th Plaza del Emperador Carlos V. Coordinates: C854+9P Madrid. 9:00-12:00: Registration at the registration desk at Sala de Grados (ETSISI) 9:00-9:30: Opening Session: Sala de Grados, ETSISI. Opening Addresses and Welcome: Guillermo Cisneros Pérez, President of UPM Agustín Yagüe, Dean of ETSISI Prof. Dr. Guerino Mazzola President of the Society for Mathematics and Computation in Music Prof. Dr. Francisco Gómez, Head of the General and Local Organizing Committees Prof. Dr. Mariana Montiel Head of the Scientific Committee 9:30-13:00. Session 1: Algebraic and other Abstract Mathematical Approaches to Understanding Musical Objects. Sessions to be held at Sala de Grados, ETSISI. Chairperson: Paco Gómez 1) 9:30-10:00 Alexandre Popoff, Moreno Andreatta, and Andreé Ehresmann. Groupoids and Wreath Products of Musical Transformations: a Categorical Approach from poly-Klumpenhouwer Networks. 2) 10:00-10:30 Dmitri Tymoczko and Jason Yust. Fourier Phase and Pitch-Class Sum. 3) 10:30-11:00 Maria Mannone and Federico Favali. Categories, Musical Instruments, and Drawings: A Unification Dream. 11:00-11:30: Coffee break Chairperson: Octavio A. Agustín-Aquino 4) 11:30-12:00 Giovanni Albini and Marco Paolo Bernardi. Tropical Generalized Interval Systems. 5) 12:00-12:30 Maria Mannone and Luca Turchet. Shall we (math and) dance? 12:30-13:30: Poster session Aitor Arronte Álvarez and Francisco Gómez. Distributed Vector Representations of Folksong Motifs: A Similarity and Classification Study. Gilles Baroin. Visualizing Temperaments: Squaring the Circle?. Billie Sandak, Avi Mazor, Amichay Asis, Avi Gilboa, and David Harel. Computational Music Therapy. Isaac del Pozo and Francisco Gómez. Formalization of Voice-Leadings and the Nabla Algorithm. Miguel Díaz-Báñez and Nadine Kroher. Maths, Computation and Flamenco: overview and challenges. Darrel Conklin. Music Corpus Analysis Using Unwords. 1:30 pm-2:50 pm: Lunch 3:00 pm: Bus to Madrid downtown (Atocha) Sessions to be held at RCSMM. 5:00 pm-6:00 pm: Plenary talk. Speaker: Guerino Mazzola. Title: COMMUTE - Towards a Computational Musical Theory of Everything. 6:30 pm-7:30 pm: MCM Concert. Moreno Andreatta (music) and Gilles Baroin (visuals) . Math’n Pop Concert or How to turn a Poem into a Song (with a little help of mathematics). 4.2. Wednesday, June 19th, 2019 8:30: Buses taking the conference participants to the UPM Campus Sur. Meeting point: Hotel Mediodía, on 8th Plaza del Emperador Carlos V. Coordinates: C854+9P Madrid. 9:00-11:00 am: Session 2: Special Session: Remanaging Riemann: Mathematical Music Theory as “Experimental Philology”? (I) Sessions to be held at Sala de Grados, ETSISI. Chairperson: Norman Carey 1) 9:00-9:30. Jason Yust. Decontextualizing Contextual Inversion 2) 9:30-10:00. Markus Schmidmeier. From Schritte and Wechsel to Coxeter Groups. 3) 10:00-10:30. Thomas Noll and David Clampitt. Exploring the Syntonic Side of Major-Minor Tonality. 4) 10:30-11:00. Thomas Noll and Karst de Jong. Embedded Structural Modes:Unifying Scale Degrees and Harmonic Functions. 11:00-11:30: Coffee break 11:30-12:30: Session 3: Special Session: Remanaging Riemann: Mathematical Music Theory as “Experimental Philology”? (II) Chairperson: Norman Carey 1) 11:30-12:00. Franck Jedrzejewski. Non-Contextual SQZ Transformations. 2) 12:00-12:30. Franck Jedrzejewski. The Hierarchy of Rameau Groups. 3) 12:30-1:00 pm. Daniel Harasim, Thomas Noll, and Martin Rohrmeier. ”Distant Diatonic Neighbors and Inter-Diatonic Shortcuts?”. 4) 1:00 pm-1:30 pm. Matt Klassen. Constraint-Based Systems of Triads and Seventh Chords, and Parsimonious Voice-Leading. 1:30 pm-2:50 pm: Lunch 3:00 pm: Bus to Madrid downtown (Atocha) Sessions to be held at RCSMM. 5:00 pm-6:00 pm: Plenary talk. Speaker: Octavio A. Agustín-Aquino (joint work with Guerino Mazzola). Title: Counterpoint Worlds. 6:00 pm-6:30 pm: Visualizing the temperaments, a short film by Gilles Baroin. 7:00 pm-8:00 pm: MCM Concert. Naoki Kita (violin), Guerino Mazzola (piano) and Heinz Geisser (drums). MA - Music of Change. 4.3. Thursday, June 20th, 2019 8:30: Buses taking the conference participants to the UPM Campus Sur. Meeting point: Hotel Mediodía, on 8th Plaza del Emperador Carlos V. Coordinates: C854+9P Madrid. 9:00-11:00: Session 4: Special Session on the Pedagogy of Mathematical Music Theory (I) Chairperson: Paco Gómez 1) 9:00-9:30. Thomas Noll. Insiders’ Choice: Studying Pitch Class Sets through their Discrete Fourier Transformations. 2) 9:30-10:00. Maria Mannone. Have Fun With Math and Music. 3) 10:00-10:30. Andrew J. Milne and Andrea M. Calilhanna. Teaching Music with Mathematics: A Pilot Study. 4) 10:30-11:00. Miguel R. Wilhelmi and Mariana Montiel. Integrated Music and Math Projects in Secondary Education. 11:00-11:30: Coffee break 11:30-12:00: Session 5: Special Session on the Pedagogy of Mathematical Music Theory (II) Chairperson: Paco Gómez 5) 11:30-12:00. Brent Milam and Mariana Montiel. A Collaborational Concert: Mathematics Club-Composition Seminar and their Interdisciplinary endeavor 6) 12:00-12:30. Emmanuel Amiot. Concérconferences: of music and mathes for the audience’s delight Octave division Chairperson: Jeremy Kastine 1) 12:30-13:00. Gareth M. Hearne, Andrew J. Milne, Roger T. Dean. Distributional Analysis of n-dimensional Feature Space for 7-note Scales in 22-TET. 2) 13:00-13:30. Louis Bigo y Moreno Andreatta. Filtration of pitch-class sets complexes. 1:30 pm-2:50 pm: Lunch 3:00 pm: Bus to Madrid downtown (Atocha) Sessions to be held at RCSMM. 5:00 pm-6:00 pm: Plenary talk. Speaker: Emmanuel Amiot. Title: The unreasonable efficiency of Algebra in Maths and Music (Musica Exercitia algebricae est?). 6:00 pm-6:45 pm: Editorial meeting of the JMM 7:00 pm-8:00 pm: MCM Concert. Emilio Lluis-Puebla (piano) and Octavio Agustín-Aquino (guitar). Integral of Diabelli’s Piano and Guitar Sonatas and Manuel M. Ponce’s Sonata for Piano and Guitar.   5. Friday, June 21st, 2019 8:30: Buses taking the conference participants to the UPM Campus Sur. Meeting point: Hotel Mediodía, on 8th Plaza del Emperador Carlos V. Coordinates: C854+9P Madrid. 9:00-11:00: Session 7: Computer based approaches to composition and score structuring. Sessions to be held at Sala de Grados, ETSISI. Chairperson: Luis Nuño 1) 9:00-9:30. Giovanni Santini. Synesthesizer: physical modelling and machine learning for a color-based synthesizer in Virtual Reality. 2) 9:30-10:00. Vicente Liern Carrión and Brian Martínez. Mercury R: A software based on fuzzy clustering for computer-assisted composition. 3) 10:00-10:30. Francesco Foscarin, Florent Jacquemar, Philippe Rigaux, and Masahido Sakai. A Parse-based Framework for Coupled Rhythm Quantization and Score Structuring. 4) 10:30-11:00. Paul Lanthier, Coerntin Guischaoua and Moreno Andreatta. Reinterpreting and extending Anatol Vieru?s Periodic Sequences through the Cellular Automata formalisms: some theoretical, computational and compositional aspect. 11-11:30: Coffee break 11:30-12:30: Session 8: Models for music cognition and beat tracking Chairperson: José Luis Besada 1) 11:30-12:00. Noah Fram. Surprisal, liking, and musical affect. 2) 12:00-12:30. Christopher White. Autocorrelation of Pitch-Event Vectors in Meter Finding. 3) 12:30-13:00 pm. Luis Nuño. The Envelopes of Consonant Intervals and Chords in Just Intonation and Equal Temperament. 13:00-13:30 Tilings, canons and maximal evenness 1) 1:00 pm-1:30 pm. Jeremy Kastine. Maximally Even Tilings. 1:30 pm-2:50 pm: Lunch 2:50 pm: Bus to Madrid downtown (Atocha) Sessions to be held at RCSMM. 5:00 pm-6:00 pm: Plenary talk. Speaker: Paco Gómez. Title: Outreach in Mathematical Music Theory. 8:30: Conference gala dinner.   6. Musical and Social Programme 6.1. Math’n Pop Concert Moreno Andreatta, piano and voice Gilles Baroin, visual representations Composing chansons based on texts by poets has become a popular genre within the field of songwriting. Building on this tradition, Moreno Andreatta adds a mathematical dimension to this genre: using permutational tools and graph-theoretical methods, he creates an original universe where poetry and music meet in a new dialogue. Combining piano and voice, Moreno Andreatta introduces the audience to his original musical creations. The concert will be accompanied by visual representations of the underlying mathematical constructions, conceived and realized by ’mathemusician’ Gilles Baroin. 6.2. MA - Music of Change Naoki Kita, violin Guerino Mazzola, grand piano Heinz Geisser, drums and percussions The free jazz collaboration duo of drummer Heinz Geisser and pianist Guerino Mazzola has lasted twenty years now. In April 2017 they had a series of six highly acclaimed concerts in Tokyo and Yokohama, resulting in three CD productions including Ma, with the collaboration of Japanese violinist Naoki Kita. Geisser and Mazzola strongly adhere to the idea that music should transform with virtuosity gestures and thoughts in the imaginary time of our consciousness into real sound structures that shape the body of time instead of following any external baton. Naoki Kita?s performances include a blend of original music and improvisation and the transformation of the duo in trio has created new avenues. 6.3. Integral of Diabelli’s Piano and Guitar Sonatas and Manuel M. Ponce’s Sonata for Piano and Guitar Emilio Lluis-Puebla, piano Octavio Alberto Agustin Aquino, guitar Mathematicians Emilio Lluis-Puebla and Octavio Alberto Agustin Aquino also have parallel careers as accomplished musicians. Together they have played and recorded the integral of Diabelli’s piano and guitar sonatas, which they will present together with Mexican composer Manuel M. Ponce’s sonata for piano and guitar.   7. Useful Information 7.1. Venues 1. Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Sistemas Informáticos (ETSISI), Universidad Politécnica de Madrid (UPM). Calle de Alan Turing, s/n, 28031, Madrid. 2. Real Conservatorio de Música de Madrid (RCSMM). Calle de Santa Isabel, 53, 28012, Madrid.
Miércoles, 05 de Junio de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Macroarmonía y centralidad Esta es la última entrega de la serie Geometría y Música, serie que ha consistido en una revisión exhaustiva del libro A Geometry of Music [Tym18], redactado por el compositor y teórico de la música Dimitri Tymoczko. Este autor se ha caracterizado por ser un ferviente partidario de los métodos geométricos del análisis musical. En varios textos suyos aboga por este tipo de métodos y argumenta que son más potentes a la hora de analizar música tonal, atonal y jazz. En la primera entrega [Góm18d] estudiamos las cinco características principales de la música tonal según Tymoczko (el movimiento melódico por grados conjuntos, la consonancia acústica, la consistencia armónica, la macroarmonía limitada y la centralidad). En el segundo artículo [Góm18b] describimos a fondo los modelos matemáticos que usa Tymoczko para el análisis musical. En la tercera entrega [Góm18c] se estudiaron los modelos geométricos de progresiones de acordes y conducciones de voces para acordes de dos y tres voces. En la cuarta entrega [Góm18a] se trataron la construcción de escalas, las operaciones sobre escalas y la relación entre escala y modulación y conducción de voces. En el capítulo cinco de Geometría y Música, el autor analiza el concepto de macroarmonía. Lo define como el efecto musical que tiene una sucesión de acordes en su conjunto. No cabe duda de que el efecto que tiene un acorde depende de los acordes que se hayan tocado en los compases anteriores. Tymoczko plantea cuatro cuestiones acerca de la macroarmonía: La música en cuestión ¿articula una macroarmonía clara aparte del total cromático? ¿Cuán rápido se producen los cambios de armonía? ¿Son las macroarmonías de la pieza similares estructuralmente hablando? Otra manera de plantear esta cuestión es si las macroarmonías se pueden relacionar a través de las operaciones estudiadas en las series anteriores. ¿Son las macroarmonías consonantes o disonantes? 2. Cambios de clases de alturas Una cuestión que interesa a Tymoczko es cómo cuantificar la macroarmonía. Para ello, investiga el cambio de clases de alturas en piezas de varias tradiciones musicales. Toma un número fijo de notas, al que llama ventana, y se cuentan los cambios de clases de alturas dentro de dicha ventana. El tamaño de la ventana va desde una nota hasta la pieza entera. Así, por ejemplo, en la invención a dos voces en fa mayor de Bach de la figura siguiente, vemos las ventanas de tamaño 3 y 4 para el tema principal. Para tamaño 3, la media es 2,4 y para tamaño 4 es 2,9. Figura 1: Cambios de clases de altura en función del número de notas (figura tomada de [Tym11]) En la figura siguiente se tienen el número medio de clases en función del tamaño de la ventana así como su histograma. Este gráfico nos da una idea aproximada de cuán rápido cambian las armonías a lo largo de la pieza. Figura 2: Histograma del cambio de clases de alturas (figura tomada de [Tym11]) La siguiente figura muestra una serie de piezas que recorren varios periodos de la música, desde el Renacimiento con la música de Palestrina (la misa del Papa Marcelo) hasta el opus 27 de Webern, pasando por obras de Mozart, Beethoven, Brahms y Wagner. Las curvas de Palestrina y Webern tienen un cierto parecido; ambas indican que los compositores usaron exhaustivamente ciertas colecciones de notas en un periodo de tiempo relativamente corto. Sin embargo, en el caso de Palestrina se trata de las notas de la escala diatónica y en el caso de Webern las notas de la escala cromática. El hecho de que la curva de Webern se acerque al valor de 12 tan pronto y tan pronunciadamente nos habla del carácter dodecafónico del opus 27. Webern recorre cíclicamente todas las armonías que son posibles dentro de la escala cromática. Viendo estos gráficos se concluye que las piezas son estáticas desde un punto de vista de la macroarmonía. Figura 3: Comparación entre los cambios de clases de alturas de varios compositores (figura tomada de [Tym11]) La figura 3 confirma empíricamente un hecho bien conocido en la historia de la música y es que el cromatismo gradualmente fue aumentando con el tiempo. Empezó con tímidas exploraciones en la época del Barroco, fue a más durante el Clasicismo, aumentó fuertemente en el Romanticismo y desembocó en el atonalismo a principios del siglo XX. Los histogramas se puede usar también para estudiar obras de un mismo autor y ver cómo se comportan los cambios en las clases de alturas. En la figura 4 se ve las curvas de cambio de clases de alturas para nueve estudios de Chopin. El opus 10, número 2, es un estudio con un gran cromatismo, que tras 40 compases ya ha visitado prácticamente el universo cromático. En cambio, el estudio opus 10, número 4, es menos cromático y no pasa de ocho clases de alturas. Figura 4: Cambios en las clases de alturas en los estudios de Chopin (figura tomada de [Tym11]) Un análisis similar podemos ver en la figura siguiente, esta vez referido a las clases de alturas en el primer libro de preludios de Debussy. Se puede ver que en el caso de esta obra la tendencia hacia al cromatismo ocurre más lentamente que en el caso de Chopin. Se observa que las curvas se acercan al valor 12 (cromatismo total) para valores mayores de la ventana y también que hay varias obras que no alcanzan ese valor, sino otros inferiores. Figura 5: Cambios en las clases de alturas en el primer libro de preludios de Debussy (figura tomada de [Tym11]) Por último, tomemos un compositor menos tonal como puede ser Igor Stravinsky. Abajo tenemos las curvas de cambios de clases de alturas para La consagración de la primavera. Se ha analizado cada sección. Vemos que el Cortejo del sabio es mucho más cromática que las Rondas primaverales. También observamos que los cambios de altura se producen pronto. Figura 6: Cambios en las clases de alturas en La consagración de la primavera de Stravinsky (figura tomada de [Tym11]) Sin embargo, estos histogramas no reflejan un hecho importante. Informan de cuán rápido cambian las clases de alturas, pero no informan de las macroarmonías en sí mismas. Estos histogramas no pueden distinguir entre piezas en que se modula rápidamente y piezas no diatónicas, por poner un ejemplo. Hace falta otro tipo de instrumentos de análisis. Dicho instrumento es el perfil macroarmónico global. Dada una pieza se pueden tabular todos los acordes de tres notas, de cuatro notas, y así sucesivamente. Para ilustrar el uso de estos perfiles, consideremos dos piezas de dos autores bastante distintos, Schoenberg y Coltrane. Las piezas a comparar son el opus 11, número 1, del primero y el solo de Giant steps, del segundo. En la figura 7 vemos los perfiles para acordes de seis y siete notas. El eje x del perfil corresponde a la codificación de los acordes de Forte; véase [For77] para una descripción general de los mismos. En realidad, lo que importa es la forma de las curvas en los perfiles. Se puede ver que en ambos perfiles, la música de Schoenberg muestra una distribución más regular de los acordes que la música de Coltrane. Schoenberg no enfatiza ningún acorde en particular, mientras que Coltrane sí lo hace. Desde este punto de vista se puede decir que la pieza de Coltrane es más consistente macroarmónicamente que la pieza de Schoenberg. Figura 7: Cambios en las clases de alturas en La consagración de la primavera de Stravinsky (figura tomada de [Tym11]) 3. Centralidad En su libro, Tymoczko reconoce que el concepto de centralidad es elusivo. En muchos pasajes musicales se percibe una nota o una serie de notas como más estables, importantes o destacadas que otras. Es lo que llamamos el centro tonal. Esta definición, aunque popular, no es todo lo operativa que sería deseable. En parte se debe a que el concepto de centralidad comprende dos fenómenos relacionados entre sí: las notas fundamentales y la tonicidad. La nota fundamental de un acorde se suele asignar a la nota más grave del mismo cuando el acorde se dispone como una sucesión de terceras ascendentes. No en todos los contextos es así. Por ejemplo, en el siguiente pasaje vemos una serie de repeticiones de dos acordes superpuestos, do-mi-sol y fa♯-re-mi♭. En este contexto es difícil argumentar que la nota fundamental es fa♯ solo porque es la más grave. La dinámica del pasaje nos hace percibirlo como una transición desde el acorde fa♯-re-mi♭ hasta el acorde do-mi-sol. Esta situación aparece con frecuencia en la música del siglo XX. Figura 8: El problema de la determinación de la fundamental de un acorde (figura tomada de [Tym11]) En análisis musical ha empezado a usarse los perfiles de clases de alturas para representar las diferencias en importancia entre las notas de un acorde. El esquema para construir los es asignar el valor 0 a las notas fuera de la macroarmonía, 1 a las notas dentro de la macroarmonía que son centrales y 2 a las notas que sí son centrales. Por centrales aquí se quiere decir que presenta algún tipo de prominencia musical (discutiremos esto más adelante) . Por ejemplo, el perfil asociado a la música en la figura 8 sería una interpolación entre los dos perfiles siguientes: Figura 9: Perfiles de clases de alturas (figura tomada de [Tym11]) En la figura 10 se puede ver el perfil de clases de alturas para la frase inicial de la sinfonía Júpiter de Mozart. Esta distribución de alturas recuerda claramente a la de la escala de do mayor. Este tipo de histogramas reflejan, sin embargo, solo una parte del fenómeno. Es posible crear sensación de centralidad no solo en base a la repetición de notas, sino a través de otros mecanismos. Figura 10: Perfil de clases de alturas para la frase inicial de la sinfonía Júpiter de Mozart (figura tomada de [Tym11]) Tymockzko sostiene en su libro que hay dos tipos de explicaciones para la centralidad, las explicaciones externas y las internas. Las explicaciones externas identifican los mecanismos por los cuales los compositores hacen que ciertas notas sean más importantes que otras. Por ejemplo, esos mecanismos pueden ser tener notas que aparecen con más frecuencia, acentos rítmicos, dinámicos o poniendo énfasis en la textura. Las explicaciones internas, en cambio, se centran en el fenómeno y basta un análisis de la música para determinar qué notas son más importantes que otras. En las explicaciones internas se suele asumir dos principios: (1) una nota es más prominente que otra si es la más grave y forma un intervalo consonante; (2) una nota es más prominente que otra si no forma una disonancia fuerte con ninguna otra nota en la macroarmonía (como una segunda menor o un tritono). Bibliografía [For77] Allen Forte. The Structure of Atonal Music. The Yale University Press, Madison, WI, 1977. [Góm18a] Paco Gómez. La geometría de la música (iv), consultado en abril de 2018. [Góm18b] Paco Gómez. La geometría de la música (ii), consultado en diciembre de 2018. [Góm18c] Paco Gómez. La geometría de la música (iii), consultado en enero de 2018. [Góm18d] Paco Gómez. La geometría de la música (i), consultado en octubre de 2018. [Tym11] Dimitri Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011. [Tym18] Dmitri Tymoczko. Página web de Dmitri Tymoczko, consultado en diciembre de 2018.
Martes, 07 de Mayo de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. La geometría de las escalas Esta es la cuarta entrega de la serie Geometría y Música, serie en la que estamos revisando a fondo el libro A Geometry of Music [Tym18] del compositor y teórico de la música Dimitri Tymoczko. En este libro, Tymoczko hace una defensa sólida y apasionada de los métodos geométricos del análisis musical. En la primera entrega [Góm18c] se caracterizaron cinco componentes de la música tonal, a saber: el movimiento melódico por grados conjuntos, la consonancia acústica, la consistencia armónica o la similitud entre sonoridades armónicas, la macroarmonía limitada o la elección de las escalas, y la centralidad o la jerarquización de los grados de la escala. En la segunda serie [Góm18a] entramos a describir las bases mátemáticas de los modelos propuestos por Tymoczko. Se definieron los espacios de frecuencias y de alturas, se definieron operaciones relavantes musicalmente, las operaciones OPTIC, y se estudió qué objetos musicales quedan invariantes por estas operaciones. Por último, se examinó la cuestión de la comparación de conducciones de voces. En la tercer serie [Góm18b] se estudiaron los modelos geométricos de progresiones de acordes y conducciones de voces para acordes de dos y tres voces. En la entrega presente trataremos la construcción de escalas, las operaciones sobre escalas y la relación entre escala y modulación y conducción de voces. Parte del trabajo ya está hecho en el material de las entregas previas; ahora se trata de cambiar la perspectiva de acordes a la de escalas. Una escala se puede concebir como una regla que se construye sobre la extensión de una porción fija del espacio de frecuencias. Visto desde un marco abstracto, cualquier colección de notas puede serlo y aunque observamos que muchas escalas tienen distancias pequeñas y que con frecuencia se ajustan a la octava, para su definición formal basta con que la escala determine la distancia entre notas consecutivas. La distancia entre dos notas consecutivas de una escala se llama paso de la escala. Las escalas por octava son escalas que marcan las notas en una octava dada y luego, por transposición, extienden la definición de la escala al resto de octavas. Las escalas mayores y menores de la música occidental son de este tipo. Una escala por octava se puede concebir una selección de clases de alturas, ya que las notas se repiten en todas las octavas; véase la figura 1. Figura 1: Escalas por octava (figura tomada de [Tym11]) 2. Grados de la escala, transposiciones e inversiones en escalas Como hemos dicho antes, una escala proporciona una medida de la distancia musical. Si tomamos, por ejemplo, la división en 12 semitonos de la octava, entonces la escala diatónica es una agrupación de las distancias cromáticas en el conjunto (2,2,1,2,2,2,1). Al pensar en términos de escalas, asignamos a cada grado de la escala un número, empezando por la primera nota con el uno y así sucesivamente. La asignación de los grados es arbitraria y en principio la primera nota no es más importante que el resto. Análogamente a las transposiciones e inversiones en el espacio cromático (vistas en la segunda entrega de esta serie [Góm18c]), se pueden definir similares operaciones e investigar las escalas que quedan invariantes por ellas. Transponer una escala es sencillamente sumar a cada grado de la escala una constante. Para invertir una escala, se fija una de sus notas y se giran el resto de las notas alrededor de la misma. La figura siguiente ilustra ambas operaciones. Figura 2: Operaciones sobre escalas (figura tomada de [Tym11]) Cuando se refiere a escalas, la situación de las clases de acordes invariantes por las operaciones es ligeramente diferente a cuando se consideran en el espacio cromático. Dos acordes pertenecerán a la misma clases invariante por transposiciones cuando uno sea una transposición del otro. Si estamos en la escala de do menor, los acordes (B, D, F) y (C, E♭, G) se encuentran en la misma clase porque el segundo es igual al primero un más un paso de escala. La figura siguiente muestra todos los acordes que pertenecen a la misma clase. Nótese que cromáticamente (B, D, F) y (C, E♭, G) son distintos, pues el primero es un acorde disminuido y el segundo un acorde menor. Figura 3: Transposición de acordes en escalas (figura tomada de [Tym11]) 3. Construcción de escalas Las escalas son la base de la armonía y, por tanto, en la práctica compositiva se busca que haya un equilibrio entre el número de intervalos consonantes y disonantes. Dado que la octava es el intervalo más consonantes las escalas por octava, esto es, las que repiten la misma distribución de notas en cada octava son muy frecuentes. El segundo intervalo más consonante es la quinta pura, es decir, el intervalo en que el cociente entre la frecuencia más aguda y la más grave es igual a 3∕2. Supongamos que queremos construir una escala que contenga el máximo número de quintas puras. Se sabe desde hace mucho tiempo que es imposible construir una escala en que contenga quintas puras arriba y abajo de cada nota; de ahí que pidamos solo el máximo número posible. Si concatenamos cinco quintas perfectas puras seguidas, como se muestra en la figura 4 (a), veremos que no alcanzamos de nuevo una octava. Matemáticamente, esto es debido a que no hay ningún par de números enteros n,m tales que n = 2m. La última quinta se queda 0.9 semitonos por debajo de la nota de la octava (el do entre paréntesis en la figura). Otra opción sería concatenar siete quintas perfectas puras (la parte (b) de la figura), pero entonces ahora se sobrepasa en 1.137 semitones, y es aun peor que el caso anterior. Siendo más radical, si concatenamos doce quintas perfectas puras (la parte (c) de la figura), entonces nos quedamos por encima de la nota de la octava en 0.25 semitonos. Figura 4: Concatenación de quintas perfectas puras (figura tomada de [Tym11]) Puesto que las quintas perfectas puras no han funcionado, se puede pensar que otros intervalos puros sí podrían dar resultado. Por ejemplo, consideremos las terceras mayores puras, cuya constante de proporcionalidad es 5∕4. Una concatenación de cuatro terceras mayores puras se queda corta en 0.41 semitonos con respecto a la octava; véase la figura 5 (a). Si seguimos apilando terceras, digamos hasta cinco, en ese caso se excede en 0.62 semitonos, como muestra la parte (b) de la figura. Figura 5: Concatenación de terceras mayores puras (figura tomada de [Tym11]) Vemos que las quintas y terceras mayores puras no funcionan. Un recurso al que se ha recurrido es el de combinar ciclos generados por estos intervalos para crear las escalas. Por ejemplo, la escala hexatónica, que aparecen en la figura 6 (a), está generada a partir de dos ciclos de tres terceras mayores puras que se encuentran a distancia de una quinta perfecta pura. La escala resultante cumple con el deseo de tener intervalos puros, pero queda en medio de la escala un salto excesivamente grande, de una tercera menor mi-sol. En otras palabras, es también deseable en una escala que divida a la octava regularmente. Esta propiedad de regularidad significa que las notas de la escala se distribuyan lo más regularmente posible dentro de la octava . La escala hexatónica obtenida no cumple tal propiedad. Otra posibilidad es la escala octotónica; está construida a partir de dos ciclos de terceras menores puras, como se aprecia en la parte (b) de la figura. Esta escala sí se acerca más al ideal de la división regular de la octava. Esta escala se ha usado en la música clásica del siglo XX, entre otros por Igor Stravinsky en su Consagración de la primavera y Petroushka. Otro ejemplo de escala regular es la escala de tonos enteros. Se forma tomando dos ciclos de dos terceras mayores puras a distancia de una segunda mayor; véase (c) en la figura de abajo. Figura 6: Concatenación de diversas combinaciones de intervalos (figura tomada de [Tym11]) Por último, es posible construir escalas concatenando terceras mayores y menores puras a lo largo de dos octavas. Esto produce cuatro escalas que nos son muy conocidas (véase la figura 7). La escala diatónica ((a) en la figura) está formada por una alternancia de terceras mayores y menores, excepto en la nota re, que de nuevo repite una tercera menor. La escala de la figura (b) es la escala acústica o escala melódica menor ascendente. Se le llama acústica porque sus notas son aproximadamente iguales a las de las siete primeras notas de la serie armónica. La escala en (c) es la armónica menor y la de (d) la armónica mayor, cada una generada con distintas combinaciones de terceras mayores y menores. Figura 7: Cuatro escalas muy conocidas (figura tomada de [Tym11]) Las escalas diatónica, de tonos enteros, acústica y octotónica tienen las propiedades de que están formadas por tonos o semitonos y de que sus terceras están compuestas por tres o cuatro semitonos solo. El temperamento igual soluciona todos los problemas anterior dividiendo la escala en 12 semitonos de igual distancia en frecuencia. Esto es equivalente a decir que el cociente entre dos semitonos consecutivos es igual a . Esta es la división de la octava más regular posible ya que es la división en partes iguales. Para más información sobre afinaciones y temperamentos, véanse las excelentes referencias [Ben06] y [Bar04]; y en particular, para su fascinante historia recomendamos el libro de Javier Goldáraz [Gol92]. La estructura de una escala determina la conducción de voces y la modulación (esto es, aspectos las macroarmonías; véase la primera entrega de la serie [Góm18c]). Por ejemplo, para modular desde do mayor, cuya escala no tiene ningún sostenido, a sol mayor, que tiene solo el fa sostenido, basta con un único cambio de nota, de fa a fa sostenido. Este hecho ha sido explotado en música intensivamente para la modulación y es el responsable del famoso círculo de quintas. La manera de hacerlo es usando un acorde pivote, esto es, un acorde que está en ambas escalas y que al ser reinterpretado en tonalidad destino permite la modulación. Para más información sobre modulaciones, véase [Pis91]. 4. Conducción de voces entre las escalas más comunes Fijado el temperamento igual, las cuatro escalas de siete notas más regulares son la diatónica, la acústica, la armónica menor y la armónica mayor; véanse las figuras 6 y 7. Como ocurría con los acordes (véase [Góm18a]), se pueden disponer las escalas en un modelo geométrico, mostrado en la figura siguiente, que refleja las conexiones entre escalas. En la figura el clásico círculo de quintas de escalas diatónicas corresponde a la línea gruesa sólida; en cambio, el círculo no diatónico de quintas es la línea a puntos que empieza en el sol acústico situado abajo a la derecha de la figura. Figura 8: Modelos geométricos de escalas (figura tomada de [Tym11]) Las conexiones entre las escalas vienen dadas por los cambios que hay que efectuar para transformar una escala en la otra; esta idea sigue el espíritu, por ejemplo, de las distancia del excavador (earth’s mover definida por Typke y sus colaboradores [TGV+03], que es un tipo especial de distancia de edición. La distancia de edición se define como el número mínimo de operaciones que hay que efectuar para transformar un objeto en otro, en este caso una escala en otra, donde las operaciones son tres: borrado, inserción y sustitución. Véase el artículo de esta columna [?] para más información. Para la transformación entre esas cuatro escalas se tienen que mover arriba y abajo ciertas notas, y en el caso de la escala octotónica descomponer y unir ciertos intervalos. La figura siguiente muestra la relación entre las escalas en función de los cambios que hay que hacer para pasar de una escala a otra. Figura 9: Transformaciones entre escalas (figura tomada de [Tym11])   Bibliografía [Bar04] J. Murray Barbour. Tuning and Temperament: A Historical Survey. Dover Publications, New York, 2004. [Ben06] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [Gol92] Javier Goldáraz. Afinacion y temperamento en la musica occidental. Alianza, 1992. [Góm18a] Paco Gómez. La geometría de la música (ii), consultado en diciembre de 2018. [Góm18b] Paco Gómez. La geometría de la música (iii), consultado en diciembre de 2018. [Góm18c] Paco Gómez. La geometría de la música (i), consultado en octubre de 2018. [Pis91] Walter Piston. Armonía. Editorial Labor (versión española), 1991. [TGV+03] Rainer Typke, Panos Giannopoulos, Remco C. Veltkamp, Frans Wiering, and René van Oostrum. Using transportation distances for measuring melodic similarity. In Proc. 4th International Conference on Music Information Retrieval, pages 107–114, Baltimore, USA, October 26-30 2003. [Tym11] Dimitri Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011. [Tym18] Dmitri Tymoczko. Página web de Dmitri Tymoczko, consultado en diciembre de 2018.
Lunes, 18 de Febrero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

<< Inicio < Anterior 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Siguiente > Fin >>
Página 3 de 13

© Real Sociedad Matemática Española. Aviso legal. Desarrollo web