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Música y matemáticas

El objetivo de esta sección es comprender la interesante y profunda relación de las Matemáticas con la Música.

Nuestro sincero agradecimiento a Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid) por organizar y desarrollar esta sección, a sus anteriores responsables Rafael Losada y Vicente Liern, así como a todas las personas que colaboran con la misma.

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Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Rafael Losada
Dábale arroz a la zorra el abad En el artículo anterior podíamos ver y oír un ejemplo de transformación geométrica en la música, realizada de forma claramente consciente por Ludwig van Beethoven en su sonata Hammerklavier. Ahora podremos ver y oír algunos ejemplos extremos de este uso consciente de la simetría en la composición musical. Comenzaremos por una pieza exquisita en su sencillez. Se trata del Minueto al Rovescio, uno de los movimientos de la Sonata en La mayor (Hob XVI-26) que Haydn, padre de la sinfonía y el cuarteto, compuso en 1773. La composición se divide en dos partes, donde la segunda es una reflexión exacta de la primera. Dicho de otro modo, ambas juntas forman un palíndromo musical, una partitura “capicúa”. El propio Haydn también es el autor de la sinfonía El palíndromo (Sinfonía nº 47) que contiene otro minueto y un trío palindrómicos. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Observemos que a pesar de la perfecta simetría, la composición no suena “artificial”. Justamente ahí reside la dificultad en la realización de este tipo de composiciones, algo similar a lo que ocurre cuando intentamos construir un palíndromo en castellano (como el que da título a este apartado). A medida que se añaden nuevas notas resulta más difícil mantener la simetría sin perder la “naturalidad”. En el minueto anterior, Haydn construye una frase musical cuya reflexión no sólo combina bien con la original sino que “la completa”, “la resuelve”, es una consecuencia “natural” de ella. La simetría de las notas también se puede apreciar recurriendo al espectrograma de los sonidos correspondientes. Pulsa sobre la imagen para ampliarla Sin embargo, si nos fijamos con detalle, podemos apreciar que la gráfica no muestra una simetría exactamente perfecta. Ello se debe a que, aunque sean las mismas notas, la ejecución de cada una no suena exactamente igual al reflejarse. Cuando se comienza a ejecutar (“atacar”) una nota se tarda un tiempo en alcanzar el sonido de la nota con la intensidad deseada. Algo similar ocurre al dejar de ejecutarla. Aunque estos periodos de tiempo suelen ser muy breves, son suficientes para provocar ligeras asimetrías. De nuevo, podemos comparar este fenómeno con las palabras: si respetamos el acento y tiempo dedicado a cada fonema, no suena exactamente igual “dábale arroz a la zorra el abad” que “daba le arroz al a zorra elabad”. De todas formas, los espectrogramas resultan muy descriptivos de algunas transformaciones simples. Por ejemplo, un vistazo a la siguiente imagen nos permite deducir en pocos segundos, sin siquiera oír los sonidos correspondientes, que la onda sonora correspondiente a la imagen derecha es una reflexión en el tiempo, con homotecia en la amplitud (intensidad), del sonido de la izquierda. Espejo, espejito La siguiente composición, “El dueto del espejo”, se trata de un divertimento en Sol mayor para dos violines,  atribuido a Mozart. La partitura está diseñada para que ambos violinistas puedan ejecutarla a la vez, ¡pero cada uno leyéndola en sentido contrario! Por ejemplo, colocando la partitura en una mesa, los dos violinistas se deben colocar enfrentados, en lados opuestos de la mesa, con la partitura situada entre ambos. De esta forma, comenzando a la vez, mientras uno interpreta el primer compás, el otro se encuentra ejecutando el último (que para él es el primero, naturalmente), y cuando el primer violinista avanza hasta el segundo compás, el otro violinista avanza hasta el penúltimo. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella ¿Cómo se ha creado esta curiosa composición y, sobre todo, cuál es “el truco” que permite a ambos violinistas intercambiarse sus voces (principal y acompañamiento) sin dejar de armonizar en ningún momento? Para ello, observemos la siguiente partitura. Se trata de la primera mitad de la partitura anterior (para el primer violinista), a la que se le ha añadido la segunda mitad de la partitura anterior “girada 180 grados” (que es la primera mitad que interpreta el segundo violinista). Se han coloreado las figuras en función del intervalo -diferencia de altura- que separa cada dos notas ejecutadas al mismo tiempo. Azul significa la misma nota (aunque sea en distinta octava), en verde los intervalos de tercera, en dorado los de sexta y en rojo el resto. Pulsa sobre la imagen para ampliarla De esta forma, podemos comprobar que a lo largo de la mitad de la ejecución, los intérpretes están ejecutando o bien las mismas notas o bien notas separadas por intervalos de tercera o sexta, pues las veces que se desvían de esta norma (figuras rojas) son meros adornos. Así que la segunda voz no sólo armoniza con la primera, sino que sigue un camino “casi paralelo” a ella. Con ello se consigue que cuando reconstruimos la partitura completa, volviendo a girar la segunda voz 180 grados, cada una de las dos voces, al encontrarse con “el camino” seguido por la otra, no lo encuentre extraño (y nuestro oído tampoco, por supuesto). En la siguiente imagen se recoge de nuevo la partitura completa atendiendo sólo al tipo de intervalo. Ahora resulta mucho más evidente la rotación producida en esos intervalos. Ejercicio de audición: transporte Intentaremos ahora que el oído reconozca las simetrías. Para estos pequeños ejercicios hemos elegido como base una melodía infantil universalmente conocida: el canon Frère Jacques. Veremos -y oiremos- cómo afectan a esta sencilla melodía distintas simetrías. Algunos movimientos son mucho más fáciles de reconocer que otros, debido a nuestra abundante experiencia sobre ellos. El caso más evidente lo tenemos en la traslación en la altura, tan familiar que incluso decimos que el sonido es “el mismo” aunque suena más grave o más agudo. Esto se conoce como “transporte”. Cualquier frase dicha (o cantada) por voces con distinta altura es un ejemplo cotidiano de transporte. Al transportar se conservan los intervalos entre dos notas consecutivas mientras permanece inalterada la secuencia de los mismos. No nos cuesta ningún esfuerzo, dada nuestra experiencia cotidiana, en reconocer la similitud entre una melodía cualquiera y su transporte a cualquier otra altura. Nosotros mismos, a voluntad, podemos muy fácilmente bajar o subir la altura de nuestra voz sin dejar de entonar la misma canción. Veamos un ejemplo. A partir del canon Frère Jacques (en la tonalidad de Do mayor), realicemos un transporte (en este caso, descenso de la altura) hasta la tonalidad de Re menor. Observemos que no nos cuesta ningún esfuerzo identificar el nuevo sonido como el mismo canon Frère Jacques. A continuación, variamos ligeramente cuatro notas, dividiéndolas en dos más breves. Ahora sí apreciamos una diferencia melódica, pero lo suficientemente aislada y breve como para que no tengamos dificultad en seguir reconociendo la canción. ¿A qué viene, nos preguntaremos, realizar esa pequeña alteración de la melodía? La respuesta es simple. Precisamente esta leve modificación es la misma que realizó Mahler para servirse de esta canción infantil en el 3º movimiento de su Sinfonía nº 1, Titán. La presencia de la canción en medio de la marcha fúnebre es el recurso empleado por Mahler para mostrar el macabro cortejo como una bufonada. Mahler sabía que ni el cambio de tonalidad ni la ligera modificación melódica ni el descenso en el tempo (ejecución más lenta) impediría reconocer la canción infantil. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Experiencia y reconocimiento No todos los movimientos resultan tan sencillos de reconocer. Las simetrías en donde intervienen reflexiones y rotaciones son mucho menos frecuentes en la vida cotidiana, así que su reconocimiento exige normalmente un entrenamiento previo. La relación entre experiencia y reconocimiento es una relación mental, y no depende del sentido (el oído en este caso) que transmite al cerebro la información. Para demostrarlo, busquemos ejemplos visuales a los que estemos poco acostumbrados. La siguiente imagen representa uno de ellos. Estamos muy acostumbrados a reconocer una sonrisa y unos ojos vivos, pero sólo en el contexto de una cara “derecha”. En cuanto invertimos la cara, nuestra poca experiencia sobre la forma de los rasgos en tales condiciones de inversión provocan que la percepción se base más en el brillo de los dientes y los ojos que en la forma real.  Incluso sabiendo cómo es el rostro puesto del “derecho”, en cuanto volvemos a invertir la imagen, cambia instantáneamente nuestra percepción y nuestro impulso de “rechazo” se transforma nuevamente en “agrado”. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella En el ejemplo anterior se podría argüir que la falsa percepción se debe a nuestro “extraño” posicionamiento respecto a la imagen, de forma que nos basta ladear la cabeza para salir del engaño. Sin embargo, el siguiente ejemplo muestra que nuestra percepción visual puede equivocarse “coloquemos como coloquemos” nuestra cabeza. Las dos superficies (amarilla y verde) de ambas mesas son idénticas en forma y tamaño. Es evidente, ¿verdad? Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella De nuevo, es el contexto inusual (colocación y orientación de las patas de las mesas, en este caso) el que provoca que nuestra experiencia con objetos similares en el pasado no nos sirva como referencia fiable. Ejercicio de audición: movimiento retrógrado Lo que sucede con lo que nos entra por un ojo también ocurre con lo que nos entra por un oído (incluso aunque no nos salga por el otro), pero en grado mayor debido a que habitualmente se nos exige más observación visual que auditiva. Por eso no resulta extraño que movimientos muy simples y nítidos no los distingamos o lo hagamos de forma confusa. Veamos algunos ejemplos. En el siguiente ejercicio simplemente reflejamos la melodía de la canción, como había hecho Beethoven en su Hammerklavier. Esto se conoce como movimiento retrógrado. Si no nos previenen, ¿realmente reconoceríamos la canción original “al otro lado del espejo”? Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Ejercicio de audición: inversión En el siguiente ejercicio realizamos una reflexión de los intervalos (si antes subíamos una cierta altura al pasar de una nota a la siguiente, ahora descendemos esa misma altura, y viceversa). En la partitura, equivale a reflejar las figuras sobre un eje horizontal. Esto se conoce como inversión melódica. Debemos observar que, debido a la inversión de intervalos, cualquier inversión melódica conlleva a menudo un cambio en la tonalidad. En este caso, el canon pasa de Do mayor a Re menor. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Ejercicio de audición: inversión retrógrada Antes de abandonar esta canción infantil, veamos qué sucede si combinamos las dos reflexiones anteriores: una reflexión vertical (movimiento retrógrado) y una horizontal (inversión). Geométricamente, el resultado es una rotación de 180 grados. En música, a esta rotación se le denomina inversión retrógrada o movimiento cangrejo. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Ejercicio de audición: variación Por último, veamos lo que puede hacer un auténtico “profesional” cuando combina estos simples movimientos y los “arropa” adecuadamente. Se trata de la famosa variación 18 de la obra "Rapsodia sobre un tema de Paganini", de Rachmaninov, utilizada en varias bandas sonoras de películas. El tema de Paganini se invierte. Esta inversión ya es suficiente, como hemos visto (o más bien oído), para que la melodía resultante parezca completamente nueva, o casi. Pero si además, como hace Rachmaninov, realizamos cambios en la tonalidad, en el tempo, en el compás y en la orquestación, el resultado puede ser espectacular. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Un buen ejemplo de cómo un simple movimiento geométrico puede convertir el tema “incisivo” de Paganini en la última gran pieza romántica de Rachmaninov.
Lunes, 01 de Septiembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Rafael Losada
Pop art En la siguiente figura aparecen 30 patrones dispuestos en cinco columnas. ¿Se trata de una obra de arte abstracto? ¿Quizás dibujos ornamentales hallados en tallas, cerámicas o telas de algún pueblo africano? ¿Serán diseños para la moda de la próxima temporada? ¿Qué decir de estos otros enmarcados en cuadrados, como si fueran baldosas? ¿Tienen el mismo origen que los anteriores? ¿Qué representan, de dónde surgen? Estos motivos son tan conocidos entre muchos científicos que incluso existen versiones comerciales con llamativos colores, como esta del físico Eric Heller: Olas superpuestas En el artículo Análisis Armónico comentábamos  el problema de la cuerda vibrante: Al pulsar la cuerda se produce una onda transversal viajera, como una ola, que recorre la cuerda hasta los extremos, con una cierta amplitud (separación máxima respecto del punto de reposo). Allí, incapaz de continuar su propagación, se refleja. Esto ocasiona que dos ondas reflejadas en los extremos viajen una contra otra hasta superponerse en la cuerda. La suma de estas dos ondas reflejadas es una onda longitudinal llamada onda estacionaria. Este nombre se debe a que, al superponerse, las ondas reflejadas parecen dejar de propagarse, convirtiéndose en una oscilación de la cuerda. Esta oscilación es la que se propagará al aire. Cada onda reflejada habrá recorrido dos veces la longitud de la cuerda hasta encontrarse de nuevo en el extremo de partida. Así que la longitud de la onda estacionaria es el doble de la longitud de la cuerda. Ahora bien, al superponerse las dos ondas transversales para formar la onda estacionaria, podrán aparecer puntos (vientres) en donde las dos ondas coincidan en fase, así que la amplitud será el doble. También pueden aparecer puntos (nodos) en donde las ondas se encuentren desfasadas 180º, así que en ellos la amplitud será nula (no se mueven). Estos nodos actúan como extremos fijos de partes de la cuerda, por lo que la vibración de estas partes emitirá un sonido más agudo (con mayor frecuencia). Si ahora añadimos una dimensión más, pasando de la linealidad de una cuerda a las dos dimensiones de la superficie de una placa, un platillo o una membrana tirante, obtenemos el mismo fenómeno de superposición de ondas transversales. Ahora, sin embargo, los nodos (puntos donde una onda y su reflejo se superponen anulándose) no son puntos aislados sino que forman líneas nodales en donde la placa o membrana no vibra. El sonido puede verse Hacia 1787, el alemán Chladni, considerado uno de los pioneros de la física acústica, estudia por primera vez estas líneas nodales. Ernst Chladni (1756 - 1827) Con estudios de Derecho, músico aficionado y un entusiasta de la ciencia, Chladni encuentra la ley que lleva su nombre, una relación sencilla entre los modos propios de vibración de una placa. Para ello, se valió de placas sujetas por el centro sobre las que espolvoreaba arena fina. Al hacerlas vibrar con un arco de violín, los patrones de las líneas nodales se hacen visibles, pues sobre esas líneas se acumula la arena rebotada de las otras zonas vibrantes. De esta forma, cada frecuencia natural de vibración de la placa corresponde con un patrón determinado. Chladni trasladó cuidadosamente al papel cada uno de los patrones que iba encontrando, lo que permitió popularizarlos, mientras se dedicaba a realizar demostraciones ante el fascinado público europeo. Pulsa sobre la imagen para ver el resto Cuando Chladni repitió este experimento en la Academia de Ciencias de París, en 1808, se oyó una exclamación de asombro: “¡el sonido puede verse!”. Era la voz de Napoleón Bonaparte. La ley de Chladni relaciona la frecuencia aproximada de la vibración de un platillo circular, de centro fijo, con el número de líneas nodales radiales (m) y no radiales (n): f = C (m + 2n)2 donde el valor de la constante C sólo depende, en principio, de las propiedades del platillo. Sin embargo, el exponente puede sufrir variaciones en distintos rangos de frecuencias incluso para el mismo platillo, aunque siempre ronda el valor 2. Una expresión más general, del tipo: f = C (m + bn)c amplía la relación anterior, para distintos valores de b y c, a platillos circulares no planos como los címbalos, las campanas y las campanillas. En el caso de placas y membranas circulares sujetas por su borde (tambores y timbales, por ejemplo), los patrones obtenidos se componen de diámetros y circunferencias concéntricas. En la siguiente imagen vemos algunos. Debajo de cada dibujo aparece la frecuencia relativa con respecto a la frecuencia fundamental. Observemos que, al contrario de lo que pasaba con la cuerda vibrante, las sucesivas frecuencias naturales (los sucesivos parciales) no son múltiplos enteros de la fundamental (no son armónicos). Curiosamente, patrones similares aparecen al representar gráficamente la función de probabilidad de los distintos orbitales de los electrones: La protagonista Pero la ley de Chladni, además de ser una aproximación, sólo recoge la observación del fenómeno, clasificando las figuras obtenidas, pero no las explica. Napoleón había quedado tan profundamente impresionado por las figuras que mostraban las placas que ofreció una fuerte recompensa por una explicación. Naturalmente, para encontrar esta explicación será necesario modelizar matemáticamente el fenómeno físico. En 1809, la matemática francesa Sophie Germain comienza a trabajar en el problema, pero no es hasta 1816 cuando, en su tercer intento, consigue ganar el premio otorgado por la Academia Francesa de las Ciencias. El éxito de Germain se considera mucho más que un premio. Ella había luchado toda su vida por poner su talento por encima de los prejuicios contra su sexo. También es sabido que mantuvo correspondencia y amistad con el príncipe de las matemáticas, Gauss, a quien le protegió, gracias a su influencia con Napoleón, al invadir las fuerzas napoleónicas la ciudad natal de Gauss, Brunswick (cerca de Hannover), por temor a que le ocurriese algo similar a lo que le sucedió a Arquímedes. En la siguiente imagen podemos ver la caricatura de esta valiente matemática, reproducción de la que aparece en la exposición El rostro humano de las Matemáticas. Sophie Germain (1776 - 1831) La aceptación de la Academia de los argumentos de Germain, pese a “su condición de mujer”, es un hito más en la lucha de la mujer a lo largo de la historia por ser aceptada como igual en los diferentes sectores intelectuales “reservados para hombres”. La ecuación anterior pertenece al trabajo de Germain sobre platillos. En la siguiente imagen, siguiendo el estilo pop, hemos coloreado a nuestro antojo la ilustración que aparece en la página dedicada a ella en “El rostro humano de las matemáticas”. Resonancia La placa se puede hacer vibrar por excitación directa, frotándola con un arco o agitándola con algún tipo de sistema mecánico o electromecánico. Pero también podemos conseguir que vibre por resonancia, mediante un emisor de sonidos con suficiente intensidad. Esto suele hacerse colocando un altavoz justo encima o debajo de la placa, como sucede en la siguiente película, en donde la arena ha sido reemplazada por sal. Pulsa sobre la imagen para ver el video Vibraciones líquidas Si, en vez de provocar la vibración de una superficie sólida, usamos una fina película líquida colocada sobre una membrana tirante y la exponemos a una intensa iluminación lateral, el resultado puede ser realmente espectacular, como muestran las siguientes fotografías de Alexander Lauterwasser (cuyo apellido resulta ser de lo más apropiado). Pulsa sobre la imagen para ampliarla Los instrumentos de cuerda Los patrones que hemos visto resultan de gran utilidad para mejorar la calidad en la construcción de violines y otros instrumentos de cuerda al poder comprobar el luthier si se reproducen o no las figuras de Chladni sobre la tapa y la base, corrigiendo cualquier asimetría que pudiera presentarse. En esta fotografía podemos ver el resultado de un experimento sobre el fondo de la caja de un violín. Los siguiente dibujos corresponden a distintos modos naturales de vibración de una guitarra. Laboratorio virtual Con ayuda de los siguientes applets de Paul Fasltad podemos recrearnos en la visualización (en dos o en tres dimensiones) de los distintos modos de vibración de membranas rectangulares y circulares. Aunque las etiquetas y las instrucciones se encuentran en inglés, basta jugar un poco con el ratón y los deslizadores (lo que recomendamos vivamente) para apreciar el funcionamiento. ¡Incluso podemos oír el sonido correspondiente, activando la casilla Sound! Resulta particularmente atractiva la opción “Mouse = Poke membrane” (Display 3D), pues con ella basta hacer un clic en la ventana de la membrana para visualizar tanto la onda transversal inicial como sus sucesivos reflejos. Laboratorio de membranas rectangulares: Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Laboratorio de membranas circulares: Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Figuras de Lissajous Estas curvas fueron descubiertas y estudiadas por el matemático francés J.A. Lissajous al intentar hacer visible el movimiento vibratorio provocado por el sonido. En el experimento original, Lissajous tomó dos diapasones de distintas frecuencias de vibración y colocó un espejo pequeño sobre cada diapasón. Después colocó el conjunto de forma que un rayo de luz se reflejase, sucesivamente, en ambos espejos antes de proyectarse sobre una pantalla. La imagen que aparece en la pantalla (con apariencia de continuidad, dada la su persistencia en la retina del espectador) es la figura. Estas figuras también se pueden trazar con un armonógrafo simple. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Armonógrafo simple Un armonógrafo simple es un aparato que traza figuras, compuesto de dos péndulos. Un péndulo mueve la punta que dibuja a lo largo de una dirección, adelante y atrás. El otro péndulo empuja, al mismo tiempo, la punta a lo largo de una dirección perpendicular a la anterior. Variando la relación de las frecuencias entre ambos péndulos (y la fase en que se encuentra cada uno), se pueden crear multitud de patrones diferentes: circunferencias, elipses, “ochos” y otras figuras de Lissajous. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella El fonoautógrafo El armonógrafo, las curvas de Lissajous y las figuras de Chladni son los precursores de un instrumento actualmente básico en el análisis de ondas: el osciloscopio. Sin embargo, también pueden considerarse como precursores de uno de los grandes inventos de la humanidad: el grabador-reproductor de sonidos. En 1857, el francés Édouard-Léon Scott de Martinville inventa el primer grabador de sonido: el fonoautógrafo, pretendiendo conseguir una figura gráfica de la voz humana. Para ello, se inspiró en el oído medio: conectó una membrana elástica (un tímpano) a un estilete de forma que la vibración del tímpano se trasladase hasta extremo suelto del estilete que descansaba sobre un cilindro recubierto de papel ahumado. Al girar el cilindro, el estilete iba dejando la huella de las sucesivas vibraciones. El fonoautógrafo Evidentemente el  Fonoautógrafo se  limitó a trazar una gráfica y nunca llegaría a grabar ningún sonido, en el sentido de poder reproducir la grabación, pero quedaban formulados unos principios teóricos que más tarde se retomarían.  Posteriormente, en 1877, Edison inventaría el fonógrafo, el primer grabador-reproductor. El sonido de otro tiempo Sin embargo, la tecnología actual nos permite reinterpretar aquellas señales dejadas en el papel ahumado y  oír algunas de aquellas grabaciones en papel realizadas años antes del invento del fonógrafo. Entre ellas destaca la que se considera la primera huella sonora reconocible -aunque francamente, con bastante imaginación- de una voz humana. La grabación, del año 1860, corresponde a una voz de mujer que canta una canción tradicional francesa, Au Clair de la Lune. Este papel con la gráfica de apenas diez segundos de voz humana (aunque no lo parezca y cause más bien escalofríos) fue descubierta en marzo de este año 2008 por un grupo de historiadores en París y convertido nuevamente en sonidos por un laboratorio especializado de California.
Sábado, 01 de Noviembre de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Rafael Losada
La tesitura La altura de un sonido es la percepción que tenemos de la frecuencia. Esto nos permite clasificar algunos sonidos como agudos y otros como graves. Cuanto más alta sea la frecuencia de un sonido, más agudo lo percibiremos. Generalmente, las mujeres tienen la voz más aguda que los hombres (esto es, sus cuerdas vocales vibran más rápido). En lenguaje musical se dice que un sonido agudo tiene un tono alto y que uno grave tiene un tono bajo. Las notas musicales se caracterizan por su altura o frecuencia. En un piano, por ejemplo, a cada tecla le corresponde un sonido diferente de frecuencia. Las teclas que se hallan a la izquierda del pianista corresponden a las notas de frecuencia baja (sonidos graves, tonos bajos), y las de la derecha son las notas de frecuencia elevada (sonidos agudos, tonos altos). Los instrumentos y los cantantes de música clásica se clasifican de acuerdo con la frecuencia de las notas que son capaces de reproducir. Al conjunto de frecuencias que un instrumento o una voz puede emitir se le llama tesitura. Pulsando sobre la siguiente imagen podremos oír el rango de frecuencias correspondiente a cada una de las voces. Hay que advertir que sólo son valores medios, pues en cada una de esas voces existen fluctuaciones. Por ejemplo, hay sopranos que pueden cantar con mayor rango de frecuencias o en frecuencias más altas. Además, como veremos, el timbre también es otra cualidad a tener en cuenta. Así, se distinguen entre voces de soprano líricas, ligeras y dramáticas, entre otras. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella El timbre Pero incluso ante dos voces que cantan con la misma frecuencia fundamental, normalmente observamos sin dificultad diferencias, a menudo lo suficientemente grandes para poder identificar cada una sin temor a equivocarnos. En anteriores artículos habíamos visto que cuando introducimos energía en una cuerda al pulsarla, la energía se reparte entre varios modos naturales de oscilación de la cuerda. La cuerda vibrará en una superposición de todos ellos, sin vibrar en una frecuencia pura. Esta combinación de frecuencias (múltiplos de la fundamental) caracteriza el sonido, de forma que dependiendo del instrumento (violín, guitarra, voz humana, etc.) se obtendrán distintos sonidos con la misma frecuencia fundamental. Esta característica se denomina timbre. En el artículo Análisis Armónico, podíamos leer: El sonido fundamental no es el único que emite la cuerda al vibrar. Simultáneamente, se producen otros sonidos (parciales) de menor intensidad. La distribución e intensidad de estos parciales (timbre) diferencian instrumentos o voces que ejecuten la misma nota. En el caso de los instrumentos de cuerda y viento, las frecuencias de estos parciales son múltiplos de la frecuencia fundamental. Y en el artículo Geometría Musical (2): Algunos movimientos son mucho más fáciles de reconocer que otros, debido a nuestra abundante experiencia sobre ellos. El caso más evidente lo tenemos en la traslación en la altura, tan familiar que incluso decimos que el sonido es “el mismo” aunque suena más grave o más agudo. Esto se conoce como “transporte”. Cualquier frase dicha (o cantada) por voces con distinta altura es un ejemplo cotidiano de transporte. Al transportar se conservan los intervalos entre dos notas consecutivas mientras permanece inalterada la secuencia de los mismos. No nos cuesta ningún esfuerzo, dada nuestra experiencia cotidiana, reconocer la similitud entre una melodía cualquiera y su transporte a cualquier otra altura. Nosotros mismos, a voluntad, podemos muy fácilmente bajar o subir la altura de nuestra voz sin dejar de entonar la misma canción. De todo ello, concluimos que por timbre entendemos la distribución de diversos sonidos que, por razones inherentes a la naturaleza de la vibración, forman un conjunto. Este conjunto de sonidos elementales caracteriza a una voz humana o a un instrumento, independientemente de la altura del registro sonoro. En cierta forma, podemos “fotografiar” el timbre de un sonido. Para ello, basta obtener el espectrograma que nos muestra el conjunto de intensidades de todas las frecuencias producidas por el objeto vibrante según pasa el tiempo. Ese espectrograma viene a ser como una “radiografía” del timbre. De esta forma, el espectrograma de un instrumento tocando “re” es la traslación, en la altura, del mismo espectrograma tocando en “do”, puesto que la distribución de parciales permanece invariable. Observemos que este es un caso especial de traslación de la altura, así que una línea muy fina separa el timbre de la armonía. Espectrogramas Pulsando sobre la siguiente imagen podremos oír la misma secuencia de cuatro notas producidas por ocho instrumentos diferentes. Al oído no le cuesta trabajo ni identificar la secuencia como “la misma” en todos los casos ni decidir que se trata de distintos instrumentos. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Veamos ahora los espectrogramas de siete de ellos (prueba de observación: ¿cuál falta?) y del diapasón, en la nota do. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Podemos realizar una serie de observaciones. El espectrograma del diapasón muestra el tono fundamental con toda intensidad, y apenas nada más. Bajo él, el espetrograma del órgano añade algunos armónicos, también muy marcados. A la izquierda del órgano, los tres instrumentos de viento muestran líneas de armónicos bastante definidas, al contrario de lo que sucede con los tres instrumentos de cuerda sobre ellos. La onda Otra forma de recoger la información del timbre es mediante la gráfica de la onda sonora, es decir, de la serie de Fourier (ver el artículo Análisis Armónico) correspondiente a la suma baremada, según su intensidad, de todos esos sonidos parciales. Veamos la onda del diapasón: Su sencilla forma senoidal refleja la sencillez de su composición. Se trata de prácticamente un único sonido fundamental, sin parciales apreciables. Comparemos la gráfica anterior con la correspondiente a una trompeta: La presencia de varios armónicos complica la gráfica, provocando crestas e irregularidades. Veamos ahora la gráfica de un clarinete: Podemos apreciar que ahora la distribución de armónicos es todavía más compleja. Esa riqueza de matices muestra al clarinete como más próximo a la voz humana, más “cálido” o “íntimo”, bajo nuestra percepción. Luthiers En el artículo Prehistoria musical, aparece: Dada la enorme cantidad de vibraciones que simultáneamente pueden incidir en nuestro tímpano, haciéndolo vibrar a su vez, hemos desarrollado un complejo sistema discriminatorio, capaz de “separar” la combinación recibida en “partes más simples”. Este sistema se basa en la disposición, en el oído interno, de células especializadas en activarse sólo ante determinadas frecuencias, al estar situadas en medios que sólo entrarán en resonancia en esas frecuencias. Simplifiquemos un poco en aras de mayor claridad. Nuestro oído puede percibir vibraciones con frecuencias comprendidas entre unos 18 Hz y unos 18.000 Hz. Si percibimos un sonido resultado de la combinación de cuatro vibraciones: sonido=, las células especializadas en la recepción de cada tipo de vibración cribarán las componentes del sonido: sólo se activarán las células situadas en zonas que entren en resonancia con las frecuencias 200, 708, 1.524 y 3.967. Al sonido percibido lo podemos llamar “200-708-1.524-3.967”, pero es muy importante para la comprensión de la relación entre música y matemáticas tener en cuenta desde un principio que registramos cada frecuencia por separado. Cuantas menos vibraciones compongan un sonido, menos actividad se registrará en nuestro oído. Nuestra percepción mental es de un sonido “puro”, “claro”, “nítido”. El sonido producido por un diapasón es un buen ejemplo. Su equivalente visual podría ser un cielo despejado. Por el contrario, si son muchas y de diverso tipo las vibraciones que conforman el sonido, percibiremos éste como “oscuro”, “confuso”, “impreciso”. Su equivalente visual podría ser un tupido bosque. Además, aunque en principio la intensidad del sonido es independiente de la frecuencia, no lo es en nuestra recepción del sonido. Nuestro oído es más sensible a las altas frecuencias, de forma que con la misma intensidad de sonido percibimos un volumen mayor en frecuencias altas respecto a las bajas. Las combinaciones de vibraciones componen el timbre de cada instrumento. En la creación de los instrumentos se resaltan aquellos armónicos naturales que le confieren timbre propio. La misión principal de un luthier es justamente dotar al instrumento del timbre que se espera de él. Sirva la mención al luthier como excusa para mencionar a aquellos que “unen canto con humor”, el grupo argentino autor de una de las escasísimas canciones dedicadas expresamente a las matemáticas: el divertimento matemático opus 48, Teorema de Thales, plagio milimétrico de la obra del mismo nombre del casi siempre impresentable compositor Johann Sebastian Mastropiero. Pulsando sobre la siguiente imagen podemos oír una frase musical de esta obra y el sonido de uno de los originales instrumentos creados por Les Luthiers. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Intensidad y frecuencia La presión es una medida objetiva de la intensidad del sonido, pero está lejos de representar con precisión lo que realmente se percibe. Esto se debe a que la sensibilidad del oído depende fuertemente de la frecuencia. En general, hace falta menos intensidad para oír un sonido agudo que uno grave. Mientras que un sonido de 1.000 Hz y 3 dB ya es audible, es necesario llegar a los 50 dB para poder escuchar un tono de 50 Hz, aunque sólo un uno por ciento de las personas pueden oír esta frecuencia tan baja a ese volumen. En la siguiente imagen podemos comprobar gráficamente que el oído no se muestra igual de sensible en el rango de frecuencias. Este tipo de gráficas se conocen como curvas de audibilidad. Recogen el resultado de experimentar con un conjunto de personas su percepción de la intensidad de un sonido a medida que variamos su frecuencia. Observemos que la escala de frecuencias (en hercios) sitúa a igual distancia las sucesivas potencias de diez. A este tipo de escalas se les llama escalas logarítmicas y se utilizan cuando la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo es muy grande, como en este caso. Cada curva de la gráfica parte de la percepción de volumen que tenemos de una intensidad (por ejemplo de 40 dB) cuando la frecuencia es de 1.000 Hz. Después, variamos la frecuencia y registramos en la gráfica las variaciones necesarias de intensidad para mantener constante nuestra percepción de volumen. La línea inferior marca el umbral de audición (por debajo de ella no se oye nada), mientras que la curva superior señala la cota a partir de la cual sentimos dolor. La línea que marca el umbral de audición recoge los datos de los que tienen un oído muy fino. El umbral de audición de la mayoría de las personas sigue la línea azul. La línea que marca el umbral de dolor varía poco, manteniéndose alrededor de los 110 dB, salvo en las proximidades de los 4 kHz, que es la zona en donde el oído humano se muestra más sensible. Originalmente (curvas correspondientes al diagrama anterior, calculadas por Fletcher y Munson) el umbral de audibilidad había sido definido como la mínima presión necesaria para percibir un diapasón de 1 kHz, es decir, el umbral de audibilidad era de 0 dB para 1 kHz. Sin embargo, cálculos posteriores y más precisos de las curvas mostraron que el umbral de audibilidad es de 3 dB para 1 kHz. Esa maravillosa espiral llamada caracol Dentro del oído interno, un tubo espiral llamado caracol (o cóclea) mantiene en su interior tres estanques llenos de líquido, separados por dos membranas (basilar y tectorial). En el que se encuentra entre estas dos membranas reside nuestro receptor de sonidos: el órgano de Corti, una formación de cuatro largas hileras con unas seis mil células ciliadas (o pilosas) cada una conectadas al nervio auditivo. En la siguiente imagen se muestra una fotografía de una de esas 24.000 células ciliadas, nuestros fonorreceptores. Ahora bien, ¿cómo se las arreglan estas células para discriminar las distintas frecuencias que componen el sonido de una única onda sonora compleja? ¿Cómo podemos distinguir varios instrumentos tocando a la vez, así como los distintos armónicos de cada uno? La clave está en la membrana basilar. Esta membrana no tiene un grosor ni rigidez uniforme, de manera que vibran sólo aquellas partes de la membrana correspondientes a la frecuencia capaz de hacerlas resonar. En la figura podemos ver un esquema de la membrana basilar, desenrrollada. Las células ciliadas recogen esta información mecánica y convierten ese movimiento en impulsos eléctricos. De esta forma, las células ciliadas crean series distintas de impulsos, cuya combinación se comporta como un auténtico “espectrograma” de la onda sonora, diferenciando cada frecuencia. Desgraciadamente, las células ciliadas no pueden regenerarse, así que una lesión en esa zona puede provocar la sordera total e irreparable. Por otra parte, la membrana basilar pierde elasticidad con la edad, por ello la sensibilidad o agudeza auditiva también merma al envejecer. Afortunadamente (no todo en el paso del tiempo van a ser inconvenientes) la experiencia de un oído entrenado permite al sujeto captar matices que para un oído inexperto resultan inexistentes. Para hacernos una idea de la alta especialización y eficacia de nuestro sistema fonorreceptor, hagamos una comparación con otra joya de la evolución, sin duda uno de los milímetros cuadrados más valiosos del cuerpo: la fóvea, nuestra área fotorreceptora dentro de la retina. En la fóvea se distribuyen casi cien millones de células fotorreceptoras, entre bastones y conos. Es decir, hay cuatro mil células “encargadas de ver” por cada una “encargada de oír”. Sin embargo, somos capaces de percibir frecuencias sonoras de 16.000 Hz (ciclos/segundo), mientras que un avance a una velocidad de tan solo 24 cuadros por segundo nos hace percibir movimiento donde sólo hay imágenes estáticas (de ahí el éxito del cine). Ilusiones En el artículo Geometría Musical (2), nos divertimos con algunas ilusiones ópticas. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella   Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Veamos ahora alguna ilusión acústica. A pesar de la eficacia y fidelidad de nuestro sistema auditivo, existen algunos fenómenos que consiguen que percibamos de forma indebida algunos sonidos. El efecto muaré y el sonido diferencial Cuando dos patrones visuales similares se superponen se produce una interferencia. Nuestro cerebro tiende a encontrar nuevos patrones en estas interferencias. Esto se conoce como el efecto muaré. A veces podemos observar cómo algunos diseños o líneas supuestamente inmóviles comienzan a "bailar" ante la vista, produciendo "figuras fantasmas" que percibimos aunque realmente no existan. Aparecen frecuentemente en fotografía y en las imágenes televisivas, cuando reproducen una serie de líneas paralelas, o casi paralelas, demasiado juntas (por ejemplo, en una camisa de rayas finas). También aparecen al imprimir o escanear algunas imágenes, debido al tramado usado en la impresión. Las líneas pueden ser rectas o curvas, en cada caso podrán formarse patrones muy diversos. Los que vemos como "arcos o círculos fantasmas" no son más que la forma que tiene nuestra mente de percibir un alto número de intersecciones demasiado próximas. Cada intersección es "un punto notable", es decir, un punto que capta más la atención que los que le rodean (hay mayor longitud de borde o frontera de contraste claro-oscuro en sus proximidades). Si observamos varios "puntos notables" próximos, inmediatamente intentamos captar la configuración de su distribución, en este caso circular. En la siguiente construcción, cuanto más cercanos se encuentren los círculos azules, menor será el ángulo de corte en cada intersección, por lo que parecerá que las rectas, en vez de cortarse en un solo punto, se cortan a lo largo de un segmento. Al marcar los puntos de intersección, el efecto de "círculos, lunas o lúnulas fantasmas" desaparece. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella Pues bien, en música existe un fenómeno similar, denominado “sonido diferencial” o “tono de Tartini”. Es muy frecuente que percibamos un sonido que no ha sido emitido sino que es una percepción nuestra causada por la interferencia de dos notas. El sonido que percibimos se produce en nuestro propio oído y corresponde a la diferencia de frecuencias entre las dos notas. Curiosamente, ambos fenómenos tienen aplicaciones prácticas. El efecto muaré sirve para la detección de la fatiga en los materiales, pues al superponer dos patrones que deberían ser iguales cualquier mínima desviación en una de ellas provocará el efecto y alertará de su deterioro. La aparición del sonido diferencial es útil para determinar que dos cuerdas se encuentran perfectamente afinadas una respecto a la otra (generalmente con una octava exacta de diferencia), pues es entonces cuando surge el “tono de Tartini” y nos parece percibir un sonido inexistente de frecuencia más baja. El efecto Shepard Al igual que se puede utilizar la perspectiva óptica para engañar a los ojos (como en la famosa Escalinata de Penrose, que da más y más vueltas sin perder altura, lo que se puede apreciar en el famoso cuadro de Escher, Ascendiendo y Descendiendo), la perspectiva acústica puede engañar a nuestros oídos. Pulsa en la siguiente imagen para escuchar una ilusión sonora denominada efecto Shepard. Nos parece estar oyendo una subida continua en la altura sonora, mientras que la realidad es que al final no nos hemos elevado en absoluto: el último sonido es equivalente al primero. El engaño se produce porque cada nota es en realidad un acorde compuesto por la misma nota en distintas octavas. A pesar de lo maravillosamente que funciona nuestro oído, esto consigue engañarlo. Pulsa sobre la imagen para interactuar con ella La siguiente imagen corresponde al espectrograma del efecto Shepard. Observemos que aunque efectivamente se produce un movimiento creciente en las frecuencias, las más altas van desapareciendo paulatinamente, mientras que surgen nuevos sonidos de baja frecuencia que paulatinamente ganan en intensidad. Al final, obtenemos una combinación de frecuencias similar a la de partida. Si repetimos sucesivamente el efecto, tenemos la impresión de ir siempre “hacia arriba”. Este efecto se ha usado en canciones y videojuegos para provocar en el oyente esa sensación de “caída libre hacia arriba”, de ascenso perpetuo. Bibliografía Introducción a la psicoacústica. Federico Miyara
Jueves, 01 de Enero de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Rafael Losada
Mazzola En 1989 el matemático suizo Guerino Mazzola publica "Geometría del Tono" que aplica los grupos de isometría, la teoría de Galois sobre conceptos -en vez de sobre polinomios algebraicos- y el álgebra categórica al análisis musical.     Topos   En 2002, Mazzola publica una profunda y mejorada ampliación de ese trabajo, bajo el título “The Topos of Music”. Este título tiene doble sentido. Por una parte, se puede traducir de forma general como “El lugar de la música”. Pero admite otro sentido mucho más concreto. Los “Topos” son objetos matemáticos (un tipo particular de Categoría) que vienen a reflejar las posibles visiones o perspectivas de un lugar abstracto a partir de las propiedades o relaciones matemáticas necesarias para su coherencia lógica.   Intuitivamente, en la Teoría de Categorías se usan flechas en vez de puntos, es decir, los objetos no son entes estáticos, sino el cúmulo de todas las posibles visiones o perspectivas en un lugar (topos) dado. Dicho de otra forma, se priman “las relaciones entre los objetos individuales” que conserven la estructura, más que los propios objetos en sí.   The Topos of Music   En esta obra de Mazzola se puede observar el gran progreso de las Matemáticas, la Teoría de la Música y el desarrollo de las Nuevas Tecnologías en la última década del siglo XX.     Mazzola crea una base, basada en los fundamentos teóricos de los Topos, que permite establecer relaciones lógicas y geométricas entre los objetos básicos de la Teoría Musical. Esta base incluye el análisis del ritmo, la melodía y la armonía.   A partir de esa base teórica, Mazzola puede establecer topologías y clasificaciones de los objetos musicales, analizando sus relaciones dentro de ese Topos. Un punto clave en esas relaciones, como no podía ser de otro modo, reside en la presencia de la periodicidad como uno de los fundamentos musicales. La aritmética modular tiene un importante papel en muchas de las relaciones rítmicas, melódicas y armónicas.   Dado el amplio abanico de recursos matemáticos necesarios para establecer el Topos que permita el estudio de los objetos musicales, en la propia obra se incorporan anexos sobre las teorías de Conjuntos, Correspondencias, Monoides, Grupos, Anillos, Álgebras, Módulos, Transformaciones lineales y afines, Cálculo, Geometría y Topología algebraica, Categorías, Topos y Lógica.     Igualmente, otro anexo recoge los fundamentos de la naturaleza y análisis del Sonido y nuestra Percepción del mismo, mostrando especial interés por los modelos de consonancia y la disonancia.     Intentar sintetizar aquí esta extensa obra de Mazzola es inviable. La publicación cuenta con más de 1300 páginas cuajadas de densa información, además de un CD con ejemplos del uso de programas informáticos creados específicamente para el análisis musical. Nos limitaremos a describir brevemente algunas de las imágenes que ilustran The Topos of Music, con la esperanza de que tal vez, casi por sí mismas, comuniquen algunas de las líneas de investigación que allí aparecen.   Conjuntos y representaciones   Así, la siguiente imagen representa el primer paso hacia la digitalización, la asignación de coordenadas a los distintos aspectos de una nota musical.     Junto con los conjuntos numéricos, para una correcta trascripción se necesita incorporar uno o más tipos de orden, como el que muestra la siguiente imagen, que representa un orden de tipo lineal.     Además de las notaciones formales, podemos ayudarnos de notaciones más intuitivas, como por ejemplo flechas para indicar transformaciones. Por ejemplo, el aumento o disminución de un semitono (sostenido y bemol) puede ser representado mediante la flecha correspondiente.     Distancias   En la siguiente imagen vemos una proyección de un compás de un Preludio de Chopin sobre el plano y sus dos proyecciones unidimensionales asociadas. El análisis de estas dos proyecciones revela los aspectos métrico-rítmicos de la notación plana.     Las diferencias relativas entre notas son claves en la armonía (notas simultáneas) y la melodía (notas consecutivas). La siguiente imagen muestra las cuatro soluciones para las cuales, a partir de una nota de referencia, la segunda se sitúa a cuatro semitonos de distancia y la tercera a tres de la segunda.     Escalas   La periodicidad de los 12 semitonos permite establecer la relación con Z12.  De esta forma, se pueden parametrizar las distintas transformaciones de Z12 en sí mismo.     Por ejemplo, podemos establecer las diferentes escalas basadas en secuencias de tonos y semitonos. La siguiente imagen recoge algunas de las escalas más comunes, donde la nota base está representada por el punto más alto del ciclo y las demás notas siguen el sentido horario.     Motivos   Las notas, individualmente, son como los puntos en una figura geométrica: no se perciben como tales sino que generan figuras, formas, agrupaciones, que son los objetos reales de estudio y composición. Las agrupaciones más pequeñas forman los motivos. En la siguiente imagen se señalan tres motivos (M1, M2 y M3) y una agrupación que no lo es, M0 (sólo son cuatro notas formando un armónico). La reducción de los parámetros implicados en cada motivo -algo así como quedarse con el baricentro de un triángulo en vez de con todo el triángulo- es una vía para poder comparar diferentes distribuciones de motivos a lo largo de una misma obra o entre obras distintas.     Simetrías   En la parte izquierda de la siguiente imagen vemos la representación de dos inversiones. La primera, sin centro fijo, es decir, entre notas. La segunda, con centro fijo. En la parte derecha vemos la representación de una inversión en el plano como un giro de 180º (una simetría central).     La siguiente representación plana corresponde a tres series dodecafónicas de Webern. Recordemos que en el serialismo la presencia de la simetría es parte de su propio fundamento teórico. Observemos como las diagonales hacen de ejes de simetría.     El lema de Yoneda   Uno de los puntos cruciales en The Topos of Music es el lema de Yoneda. Este importante resultado viene a mostrar cómo podemos ampliar el conocimiento de una Categoría estableciendo una correspondencia entre sus objetos y las relaciones entre ellos.   Tras el lema de Yoneda hay un cambio de filosofía en el entendimiento de los núcleos de información. Ya no son los objetos los centros de atención, sino las diferentes perspectivas que podemos obtener de ellos. La comparación entre las distintas perspectivas de dos objetos nos ofrece, precisamente, la información deseada acerca del parecido o diferencia entre ambos objetos.   Los dos siguientes diagramas muestran un ejemplo intuitivo de este procedimiento. Aunque los motivos M1 y M2 son diferentes, podemos establecer una biyección entre las relaciones que mantienen ambos motivos (flechas) con otras notas fundamentales de la composición. La existencia de esta biyección nos indica que tales motivos pueden cumplir un papel similar en la composición, pero si hacemos solamente esto (sustituir cada motivo por sus relaciones) podemos llegar a la errónea conclusión de que ambos motivos son similares.     Sin embargo, si seguimos estudiando todas las perspectivas, es decir, todos los tipos de relación de ambos motivos entre sí y con los otros objetos, la diferente naturaleza de cada uno queda revelada.     La composición de las proyecciones de M1 sobre la altura de la primera nota (q) y sobre la diagonal (s) da por resultado precisamente M2. Así que, intuitivamente, podemos ver a M2 como una transformación de M1. Pero esta transformación es irreversible. M1 “puede ver” a M2 pero M2 no “puede ver” a M1.   Un buen ejemplo de cómo el cambio de perspectiva ayuda al conocimiento lo tenemos en la pintura. La siguiente imagen muestra el famoso cuadro La escuela de Atenas, de Rafael.     Tomemos los elementos arquitectónicos esenciales, además de 58 figuras humanas, y simulemos en el espacio virtual del ordenador la estructura básica del cuadro:     Ahora rotamos el espacio virtual obteniendo una nueva perspectiva. Su análisis muestra simetrías que no podían encontrarse bajo la perspectiva del cuadro original.     Programación orientada a objetos   Los modernos lenguajes de programación orientada a objetos, como Java, son en esencia un acceso a la programación desde un punto de vista de Categorías. Sus características, como el encapsulado, las herencias, los métodos, clases e instancias, realizan precisamente lo que sugiere el lema de Yoneda: reemplazar las entidades por la respuesta ante determinadas condiciones, es decir, la identificación mediante el comportamiento.     Probablemente el más excitante campo actual de investigación en la música se refiere a su análisis mediante las más avanzadas aplicaciones de software orientado a objetos, como Rubato, OpenMusic o Symbolic Composer (imagen anterior).   Gracias a Mazzola y otros matemáticos hoy podemos disfrutar de estas poderosas herramientas de composición y análisis musical, modernos frutos de importantes teoremas algebraicos.
Martes, 15 de Septiembre de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Rafael Losada
Buscando El Modelo Nadie duda hoy en día de la extraordinaria eficacia de las Matemáticas para resolver los más variados, complejos y difíciles problemas. Pero para poder aplicar las sofisticadas y potentes herramientas matemáticas se precisa un modelo de la realidad que se desea analizar, un modelo que conserve las características que determinan la naturaleza del fenómeno o estructura a estudiar. En el caso de la Música, desde Pitágoras, los matemáticos de todas las épocas han buscado la forma de aproximarse a ese modelo. La tecnología necesaria para grabar y reproducir el sonido ha contribuido, indudablemente, al conocimiento profundo de las características sonoras fundamentales. Sin embargo, el análisis de una estructura musical suele ser bastante diferente del análisis de los sonidos que la componen. Nos interesa más la relación entre los distintos sonidos que la naturaleza de los mismos. Actualmente, la búsqueda de modelos matemáticos que reflejen las estructuras musicales sigue siendo una aventura que enciende pasiones y controversias. En la siguiente imagen podemos ver el anuncio del programa de un seminario permanente, MaMuX, cuyo objetivo es precisamente reunir y discutir las nuevas aportaciones que vayan surgiendo en la milenaria relación entre música y matemáticas. Teoría matemática del ritmo En 2002, el matemático Godfried Toussaint desarrolla una investigación de los ritmos con herramientas matemáticas, introduciendo nuevas técnicas geométricas, gráficas, matriciales y combinatorias. Esto permite el análisis, visualización y reconocimiento de ritmos. Toussaint continúa trabajando, en la actualidad, en el Centro de Investigación Interdisciplinaria de Medios de Música y Tecnología (Centre for Interdisciplinary Research in Music Media and Technology) de la universidad McGill en Canadá. En el año 2005, en su sección “La Columna de Matemática Computacional” de La Gaceta de la RSME (Vol. 8.2), Tomás Recio recoge un artículo firmado por José-Miguel Díaz-Báñez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaporty y Godfried T. Toussaint, con el título Similaridad y evolución en la rítmica del flamenco: una incursión de la matemática computacional. Los resultados de ese artículo fueron obtenidos durante el First Interna­tional Workshop on Computational Music Theory celebrado bajo el auspicio del Departamento de Matemática Aplicada de la Escuela Universitaria de Informática (U.P.M.) en junio de 2003. El artículo es enormemente esclarecedor sobre la metodología seguida para la creación de un modelo matemático de una parte del mundo musical. A continuación reproducimos un resumen del mismo. Introducción Usaremos la palabra ritmo en su sentido general (contrapuesto a los conceptos de altura y timbre), patrón rítmico para su sentido específico (sucesión de tiempos en que se atacan las notas) y compás como sinónimo de metro musical. Muchos estilos musicales se caracterizan por la presencia de ciertos patrones rítmicos que se repiten a lo largo de la pieza y que tienen muchas funciones tales como ser estabilizadores rítmicos, marcar el fraseo, definir el carácter, definir el género, etc. Ejemplos de tales patrones rítmicos, llamados claves en la tradición africana y otras, abundan en estilos musicales tan dispares como el son cubano, el gahu de Ghana o el fandango del flamenco. Muchas preguntas surgen en torno a estos patrones rítmicos que funcionan como elementos estructurantes: ¿qué características tienen esos patrones rítmicos para determinar ciertos estilos musicales?, ¿qué similaridad podemos encontrar entre esos patrones rítmicos? Entonces una pregunta previa: ¿qué medida de similaridad podemos definir entre patrones rítmicos? ¿Puede ser una medida en el sentido matemático? Muchas de estas preguntas han encontrado respuestas en los trabajos de diversos autores, tanto para las claves binarias y ternarias de géneros musicales pertenecientes a las tradiciones africanas, afrocubanas y brasileñas, como para la música flamenca o como para la preferencia rítmica y otros problemas. Nosotros vamos a ocuparnos aquí del caso del flamenco. La idea de este estudio consiste en construir un análisis que refleje ciertas relaciones entre los estilos flamencos. Indudablemente, hay muchos aspectos en que dichas relaciones podían basarse, dada la riqueza estilística del flamenco. Nosotros nos hemos centrado en el ritmo porque, entre los muchos factores musicales que constituyen el flamenco, sin duda, es de los más sobresalientes. Una manera sencilla de llevar a cabo este análisis sería la de desnudar la música flamenca de letra, armonía y melodía y dejar sólo el ritmo (en su sentido general) como único elemento. Esta simplificación no se basa sólo en la sencillez de análisis, sino que también es consecuencia de las dificultades para formalizar la armonía y sobre todo la melodía. Además, es lógico pensar en el ritmo a la hora de simplificar el estilo por el papel de estabilizadores rítmicos que desempeñan los patrones rítmicos en los distintos cantes flamencos. Apoyándonos en esta idea, hemos realizado un estudio de los patrones rítmicos ternarios de palmas del flamenco. Este estudio está inspirado en el análisis filogenético que se usa habitualmente en Biología. Ese análisis requiere la existencia de una distancia, que está definida sobre el material genético. Normalmente, la distancia consiste en medir cuán diferentes son dos materiales genéticos dados. La distancia da lugar a su vez a una matriz de distancias. A partir de ésta, y gracias a técnicas de Bioinformática, se reconstruye un árbol que refleja las relaciones evolutivas entre especies. Nosotros sustituiremos el código genético por ritmos y, en primer lugar, definiremos una distancia entre patrones rítmicos. Existen varias distancias que se pueden usar para medir cuán lejos se encuentran dos patrones rítmicos. Nosotros hemos usado dos distancias, la cronotónica y la de permutación dirigida, que captan adecuadamente la idea de lejanía entre patrones rítmicos. Por último, aplicando las herramientas adecuadas obtenemos el árbol filogenético para los patrones rítmicos del flamenco. Algunas nociones sobre los ritmos flamencos Si existe una clara seña de identidad del flamenco con respecto a otras músicas, ésta es la ejecución de los ritmos con palmas, donde el patrón rítmico subyacente se manifiesta a través de palmas acentuadas. El flamenco usa predominantemente compases ternarios de 12/8, esto es, compases de 12 pulsos agrupados en grupos de tres. En principio, se tocan las 12 palmas que marca el compás de 12/8 y el patrón rítmico emerge acentuando unas cuantas. En el fandango, por ejemplo, se da un acento (palmada fuerte) seguido de dos silencios (palmada débil) cuatro veces seguidas. Puede verse aquí, a la luz de las definiciones dadas en la introducción, la íntima relación que hay en la música flamenca entre patrón rítmico (ritmo en su sentido restringido) y compás. De hecho, es habitual en el mundo flamenco hablar de “compás” en lugar de patrón rítmico. Además de este patrón, que podemos llamar periódico, existen otros aperiódicos, llamados de amalgama. Estos patrones rítmicos se pueden pensar como una combinación de un compás de 3/4 (compuesto por dos acentos fuertes con dos acentos débiles intercalados) y un compás de 6/8 (compuesto por tres acentos fuertes con un acento débil intercalado). Claro es entonces que el juego rítmico reside en la distribución de los acentos y buena parte del atractivo del flamenco descansa en esa distribución. Patrones rítmicos de amalgama son los utilizados en las soleares, las bulerías, las alegrías, las seguiriyas o las guajiras. A continuación detallamos los patrones rítmicos ternarios del flamenco y alguna de sus posibles notaciones o representaciones. La notación que habitualmente se usa en la didáctica del flamenco es numérica, resaltando los lugares donde se produce un acento. Fandango: [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] Soleá: [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] Bulería: [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] Seguiriya: [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] Guajira: [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] Cada patrón rítmico ha sido etiquetado por un estilo de cante que lo usa. Esto no significa ni mucho menos que cada patrón rítmico sea exclusivo de ese cante. Por ejemplo, el patrón del fandango es el de las sevillanas; el de la soleá se usa también para las bulerías o alegrías; el de la bulería para las bulerías por soleá; el de la seguiriya para las serranas o saetas; y, finalmente, el de la guajira para las peteneras. La representación numérica anterior no resulta útil para contabilizar diferencias ni visualizar ciertas propiedades geométricas en las que estamos interesados. Proponemos aquí dos notaciones más ilustrativas como aparecen en las siguientes figuras. La primera presenta la notación binaria donde los espacios negros-blancos se identifican con unos-ceros. En la representación como polígonos convexos de la siguiente figura, el “0” marca la posición en el tiempo en la cual comienza el patrón rítmico y los vértices indican dónde están los acentos. Medidas de similaridad rítmica Como advertimos en la introducción, para construir árboles filogenéticos es necesario contar con una distancia que mida la similaridad rítmica. La distancia debería comportarse de modo que cuanto mayor sea la distancia entre los patrones rítmicos, menor sea la similaridad rítmica. De hecho, este problema está relacionado con problemas de aproximación de patrones en la teoría de reconocimiento de formas. Nosotros usaremos dos distancias que han demostrado funcionar bien en otros estudios sobre el ritmo: la distancia de cronotónica y la distancia de permutación dirigida. La idoneidad de una distancia u otra para el estudio de ritmos es un tema actual de investigación. La distancia cronotónica Consideremos el ritmo de la seguiriya, dado por [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12]. En esta representación, las duraciones relativas de los intervalos de tiempo no se pueden observar fácilmente. En una visualización de ritmos vía histogramas los sucesos importantes, tales como el comienzo, el final y el ataque de las notas, se dibujan a lo largo del eje Y, lo que da como resultado el espectro de intervalos adyacentes del ritmo. En dicha representación la longitud relativa de los intervalos es claramente visible, pero se pierde la información temporal a lo largo del eje X. Para obtener una representación gráfica que posea las ventajas de ambos métodos, se puede usar el tiempo en ambas dimensiones. El resultado de esa unión se ilustra en la figura siguiente, que muestra los cinco patrones rítmicos del flamenco en notación cronotónica. Cada elemento temporal entre sucesos (intervalos) es ahora una caja y ambos ejes X e Y representan la longitud temporal del intervalo. Las uniones de los cuadrados representadas en la figura anterior se pueden ver como funciones rectilíneas monótonas del tiempo. Dada la representación cronotónica de dos ritmos, hay un gran número de formas de medir la disimilaridad. Aquí lo haremos por el área que queda entre ambas funciones. La matriz de distancias obtenida con esa distancia se muestra en la siguiente tabla. La distancia de permutación Aquí llamaremos permutación al intercambio de dos elementos adyacentes, es decir, al intercambio de un ‘uno’ y un ‘cero’ que son adyacentes en una cadena binaria. La distancia de permutación entre dos patrones rítmicos se define como el mínimo número de permutaciones que se necesitan para convertir un patrón rítmico en otro. Por ejemplo, el patrón X = [101011010101] puede convertirse en el patrón Y = [101101101010] con un mínimo de cuatro permutaciones, a saber, intercambiando la tercera, la quinta, la sexta y la séptima posición con los correspondientes silencios que van detrás de ellos. Desde el punto de vista musical es razonable usar esta distancia. El oído humano considera como próximos dos patrones rítmicos si el número de cambios entre acentos es pequeño y si tales cambios ocurren entre acentos adyacentes. Además, es interesante observar que el compás bulería resulta precisamente de la permutación de un uno y un cero en el compás soleá. Un ejemplo de esta distancia aplicada a patrones rítmicos del flamenco se ilustra en la siguiente figura, que muestra una distancia de permutación entre la seguiriya y el fandango igual a 4. Ciertos autores sugieren que ésa es la evolución natural entre ambos patrones rítmicos. Computación eficiente de la distancia de permutación Claramente, la distancia de permutación puede obtenerse calculándose todas las permutaciones posibles. Sin embargo, este método básico sería muy costoso para vectores n-dimensionales si n es un valor grande. Un algoritmo mucho más eficiente puede obtenerse si comparamos las distancias de las notas al origen. Lo describimos aquí brevemente. Primero hacemos un barrido de la sucesión binaria y almacenamos un vector con la información del lugar que ocupa cada acento. Por ejemplo, si consideramos: X = [ 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 ] Y = [ 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 ] entonces almacenamos: U = (u1, u2,..., u7) = (1, 3, 5, 6, 8, 10, 12) para X y V = (v1, v2,..., v7) = (1, 3, 4, 6, 7, 9, 11) para Y, respectivamente. De esta forma, la diferencia entre ui y vi es el número mínimo de permutaciones que tienen que realizarse para alinear ambos acentos. Por tanto, en general, la distancia de permutación entre dos conjuntos de U y V con k notas está dado por: Calcular U y V a partir de X e Y se puede hacer en tiempo lineal con un simple barrido. Por tanto, en tiempo O(n) podemos calcular dP(U, V), lo cual da como consecuencia una gran ganancia sobre el uso del algoritmo básico que considera todas las posibles permutaciones. El lector se debe estar preguntando a qué viene toda esta discusión sobre la reducción de la complejidad de O(n2) a O(n) cuando en el caso de los ritmos flamencos tenemos n = 12 y la cota cuadrática es computacionalmente aceptable. La razón es que la diferencia de la complejidad resulta crucial cuando estas distancias se pretenden usar en aplicaciones de recuperación de la información musical, donde hay que extraer piezas enteras de una base de datos en la que n puede ser muy grande. La distancia de permutación dirigida La distancia de permutación dirigida es una generalización de la distancia de permutación, pensada para tratar la comparación de patrones que no tienen el mismo número de acentos (unos). Por ejemplo, el fandango tiene cuatro acentos en lugar de cinco y, por tanto, esta generalización se hace necesaria. A continuación definimos formalmente esta distancia. Sean X e Y dos sucesiones binarias de longitud n que representan dos patrones. Se puede suponer, sin pérdida de generalidad, que X tiene más unos que Y . La distancia de permutación dirigida es el mínimo número de permutaciones necesarias para convertir X en Y bajo las siguientes condiciones: Cada “1” de X tiene que moverse a una posición “1” de Y. Todas las posiciones “1” de Y tienen que recibir al menos un “1” de X. Ningún “1” puede viajar a través de la frontera entre la posición cero y la n-ésima. Un ejemplo de esta distancia se ilustra en la siguiente figura, que muestra una distancia de permutación dirigida entre la seguiriya y el fandango igual a 4. La búsqueda de algoritmos eficientes de computación para la distancia de permutación dirigida se encuentra actualmente bajo investigación. En el caso que nos ocupa, se pueden realizar los cálculos a mano obteniendo la siguiente matriz de distancias. Árboles filogenéticos Con objeto de estudiar las posibles relaciones genealógicas entre los distintos patrones rítmicos, utilizaremos una técnica común en análisis filogenético que nos ayudará a analizar y visualizar el conjunto de datos obtenidos en la matriz de distancias. Esta técnica de análisis de datos se basa en la generación de los llamados árboles filogenéticos. Concretamente aquí hablaremos de la técnica llamada SplitsTree. La técnica está basada en un proceso iterativo de división y que da como resultado una inmersión de un grafo plano con la propiedad de que la distancia en el dibujo entre dos nodos refleja, tanto como es posible, la verdadera distancia entre los dos patrones rítmicos correspondientes en la matriz de distancias. Este método tiene además la buena propiedad de que produce un grafo y no un árbol cuando la estructura de proximidad subyacente no es intrínsecamente de tipo árbol. De hecho, si la estructura de árbol no coincide con los datos perfectamente, se introducen nuevos nodos con objeto de obtener un mejor ajuste. Pueden visualizarse estos nodos sin etiquetas en las dos siguientes figuras, que han sido calculados para la matriz de distancias de permutación dirigida y distancia cronotónica respectivamente. La interpretación del grafo obtenido es la siguiente. La suma de las longitudes de las aristas del camino más corto entre un patrón y otro es proporcional a la distancia real entre ellos. Los nuevos nodos incorporados (aparecen sin etiqueta) sugieren la existencia de patrones rítmicos “ancestrales” de donde los actuales podrían haber evolucionado. Las aristas se pueden dividir para formar paralelogramos, como se ve en el centro de la figura anterior. Los tamaños relativos de estos paralelogramos son proporcionales a su índice de aislamiento, que indica cuán significativas son las relaciones de agrupamiento en la matriz de distancias. La herramienta SplitsTree también calcula el índice de descomposición, una medida de la bondad del ajuste del grafo entero. El ajuste se obtiene dividiendo la suma de todas las distancias aproximadas en el grafo por la suma de todas las distancias originales en la matriz de distancias. En este caso obtenemos un sorprendente ajuste del 100%. A continuación, se describen los resultados obtenidos en el grafo SplitsTree para las dos distancias. El SplitsTree con la distancia cronotónica El grafo de la distancia cronotónica sugiere un agrupamiento en tres grupos. Uno está formado por el fandango y la seguiriya; el segundo, por la soleá y bulería; y el tercero, en solitario, la guajira. El compás bulería es el más “alejado” de todos con una suma de distancias igual a 40. En cambio, la guajira es el más similar a los demás con una suma igual a 26. Aparecen cuatro nodos sin etiquetas, esto es, de los que no corresponden a ninguno de los patrones rítmicos dados. El SplitsTree con la distancia de permutación dirigida El agrupamiento en el grafo de la distancia de permutación dirigida es ligeramente distinto al de la cronotónica. Un primer grupo lo componen soleá y bulería, otro central, guajira y fandango, mientras que seguiriya permanece en un tercer y solitario grupo. Los patrones rítmicos más similares a los otros son la guajira y el fandango, que empatan a 21. Es por esto que aparecen en el ‘centro’ del grafo. Aparecen dos nodos sin etiqueta, cerca de la guajira y el fandango. También es de destacar que seguiriya y bulería se encuentran en los extremos del grafo y son los patrones mas ‘alejados’ de los demás, con un total igual a 31 y 29, respectivamente. Propiedades geométricas de preferencia Una cuestión que suscita gran curiosidad entre los músicos es la de saber por qué ciertos tipos de ritmos se prefieren a otros en ciertas tradiciones musicales. Por ejemplo, en la tradición musical africana aparecen con mucha frecuencia patrones rítmicos asimétricos y sincopados (con acentos fuera de los pulsos). En un intento de caracterizar esas propiedades de preferencia desde un punto de vista geométrico se han introducido dos conceptos nuevos: la asimetría rítmica y el índice de contratiempo. En la siguiente tabla aparecen los datos de estas medidas para los patrones rítmicos del flamenco. Patrón rítmico Asimetría rítmica Contratiempo Fandango No 0 Soleá No 3 Bulería Sí 2 Seguiriya No 1 Guajira No 0 Se dice que un patrón rítmico tiene la propiedad de la asimetría rítmica si no contiene dos conjuntos de notas que dividan al patrón (dibujado en un círculo) en dos semicírculos. En la siguiente figura aparecen las diagonales divisorias que existen para los patrones rítmicos flamencos. (No aparece el fandango porque es totalmente simétrico.) Es interesante observar que de los cinco patrones, la bulería es el único que tiene la propiedad de la asimetría rítmica. Un detalle interesante es que, a diferencia del resto de los patrones, la bulería es el único que contiene intervalos de longitud 1, 2, 3 y 4. Los otros patrones sólo tienen intervalos de longitud 2 y 3. El índice de contratiempo de un patrón rítmico se define como el número de notas que posee en las posiciones 1, 5, 7, y 11. Estas posiciones resultan ser las no ocupadas si se consideran las posibles divisiones en espacios iguales del compás de 12/8 usando los divisores de 12 (distintos de 1 y 12). Aparte de la tabla de más arriba, en la figura anterior el índice de contratiempo de cada patrón rítmico se indica en la parte superior derecha de cada círculo. En nuestro caso, se observa que la guajira es el único patrón de 5 acentos con un índice de contratiempo igual a cero. La soleá es, por otra parte, el estilo flamenco con mayor índice de contratiempo. Conclusiones En primer lugar, observamos el hecho de que la guajira aparezca prácticamente en el centro de los patrones rítmicos ternarios indica su cercanía o similitud a los demás estilos. ¿Podría esto interpretarse como la huella de la influencia que han ejercido los otros estilos en dicho patrón rítmico? La guajira, como es sabido, es un estilo flamenco de los llamados de ida y vuelta, esto es, que fueron llevados a Sudamérica y, tras una remodelación según los gustos de los músicos sudamericanos, fueron posteriormente incorporados a la música flamenca. ¿Está probada musicalmente dicha influencia en los aspectos rítmicos que aquí tratamos? ¿Hasta qué punto? Teniendo en cuenta la ‘reciente’ incorporación de la guajira, y fijándonos en el árbol filogenético generado por la distancia de permutación dirigida, cabe pensar que el fandango es el más primitivo, dado que es el otro patrón rítmico que se encuentra en el centro. ¿Hay hechos musicológicos que confirman esta teoría, por otra parte, cada vez más extendida dentro del mundo del flamenco? Por ejemplo, en todas las provincias andaluzas se encuentra una modalidad evolucionada del fandango. Nos estamos refiriendo a los estilos de malagueñas, granaínas o tarantas etc. Un nuevo aspecto que volvería a indicar la importancia genealógica del fandango es la reconstrucción de los patrones rítmicos ancestrales citados en la construcción de los grafos con la herramienta SplitsTree y que allí aparecen sin etiqueta. Haciendo uso de la distancia de permutación dirigida, se puede obtener un hipotético patrón ancestral que se encuentra justo en el centro del árbol. Actualmente, es un problema abierto el diseño de algoritmos eficientes que reconstruyan los nodos ancestrales. En ocasiones, puede hacerse el cálculo a mano. Para el caso de patrones rítmicos flamencos con la distancia de permutación dirigida, la representación rítmica obtenida es [1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0], que de hecho, se usa en el flamenco como terminación o coletilla para los fandangos de Huelva. Por otra parte, si eliminamos la guajira de nuestro estudio, estilo que hemos dicho parece ser posterior a los demás en el flamenco, el fandango y la soleá son los nodos que juegan un papel central en el análisis filogenético (con respecto a la distancia de permutación dirigida). ¿Sugeriría esto que además del fandango aparece la soleá como patrón rítmico primitivo? ¿Se entendería entonces que, de estos patrones primitivos y, tras un proceso evolutivo, fueron apareciendo los demás? Un hecho que respaldaría esta hipótesis puede encontrarse en el reciente uso del patrón rítmico aquí llamado bulería, y que proviene de la soleá sin más que permutar un acento con un silencio. Por su parte, ya existen teorías que indican que la seguiriya es un estilo incorporado al flamenco a finales del siglo XIX y principios del XX. Finalmente, aventuraremos algunas hipótesis sobre las medidas de preferencia en el flamenco. Es conocida la inclinación de los flamencos llamados “puristas” por los estilos que usan el patrón de la soleá. ¿Podría residir la explicación de este hecho en su alto índice de contratiempo? Por otro lado, también es conocida la popularidad que goza la bulería entre el público flamenco en general. ¿Constituye la propiedad de la asimetría rítmica una posible explicación de ese hecho?
Domingo, 01 de Marzo de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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