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Música y matemáticas

El objetivo de esta sección es comprender la interesante y profunda relación de las Matemáticas con la Música.

Nuestro sincero agradecimiento a Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid) por organizar y desarrollar esta sección, a sus anteriores responsables Rafael Losada y Vicente Liern, así como a todas las personas que colaboran con la misma.

Resultados 101 - 110 de 127

Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Este es el último artículo de la serie sobre el concepto matemático de distancia y similitud melódica. En el primer artículo revisamos las principales propiedades de la distancia como objeto matemático e hicimos una lista de los numerosos campos en que se usa este fructífero concepto. En ese mismo artículo introdujimos el concepto de similitud melódica y lo ilustramos con las famosas variaciones de Mozart K. 265 sobre el tema popular Ah, vous dirai-je, Maman. En el segundo artículo entramos en detalles más técnicos. En primer lugar, definimos las representaciones abstractas de las melodías y, en segundo lugar, cómo se aplican ciertas transformaciones a esas representaciones de las cuales sale la medida de similitud. Transformaciones las hay de muy diversa naturaleza y en el segundo artículo examinamos las siguientes entre las más relevantes: las transformaciones de altura, las transformaciones rítmicas y las medidas simbólicas. Por razones de longitud, dejamos para este artículo las transformaciones basadas en medidas sobre vectores y las medidas armónicas. Por último, en este artículo describiremos los experimentos de Müllensiefen y Frieler [MF04] para la validación perceptual de esas medidas. La gran dificultad de diseñar una medida que refleje fielmente la medida de similitud humana es precisamente tener datos de referencia -lo que inglés se llama ground truth-. No sabemos si una medida es buena o no porque no tenemos los verdaderos valores de la similitud melódica en humanos. Müllensiefen y Frieler suplieron esa deficiencia a través de sus experimentos. Con los resultados obtenidos pudieron comparar las distintas medidas de similitud que hay en la bibliografía y, finalmente, concluir cuál es la que más se acerca a la medida de similitud humana. 2. Medidas sobre vectores En esta sección definiremos una de las medidas sobre vectores más habituales: la correlación. No debe confundirse una medida sobre vectores con una medida vectorial; este último concepto pertenece al campo de la teoría de la medida. Dados dos vectores, u, v, de ℜn, queremos definir una medida que cumpla las propiedades de medida de similitud enunciadas en el primer artículo de esta serie. En nuestro contexto es habitual tomar vectores producidos por las transformaciones descritas en el artículo anterior de esta serie (las transformaciones de altura y ritmo más las medidas simbólicas) y, aplicando una medida sobre los vectores, obtener a su vez una medida de similitud. La forma más común de llevar a cabo esto es la correlación. La correlación mide el grado de dependencia entre dos vectores y aquí se usa para relacionar el grado de similitud melódica con esa dependencia. Dados dos vectores de n dimensiones, u = (u1,…,un) y v = (v1,…,vn), definimos la correlación como: Nótese que r(u,v) ∈ [-1, 1] y que, por tanto, no cumple los requisitos para ser medida de similitud (ser una función no negativa). Para solucionar esta situación se puede redefinir r(u,v) estableciendo que todos los valores negativos se asignen al 0. No en todos los contextos esta es la opción más adecuada, pero para nuestros propósitos basta. Sin embargo, esta medida tampoco cumple las propiedades de invariancia respecto a la transposición por altura, duración y cambio de tempo. De nuevo, se puede adaptar la medida r(u,v) para que lo cumpla. Por ejemplo, la invariancia respecto a la altura se consigue restando la altura media de la melodía. De manera similar se puede conseguir la invariancia respecto a la duración. Otro punto delicado es el de la longitud de los vectores. La correlación solo está definida para vectores de igual dimensión. En la práctica, en la inmensa mayoría de los casos las melodías no tienen la misma longitud. De nuevo, hay varias maneras de solucionar este escollo. Supongamos que m1 y m2 son dos soluciones con longitudes respectivas ∣m1∣≥∣m2∣. Una solución muy usada es considerar todas las melodías consecutivas de m1 que tienen longitud ∣m2∣ y calcular la correlación de esas dos la melodías. La medida de similitud se toma como el máximo de entre las ∣m1∣-∣m2∣ + 1 medidas parciales de correlación. En el trabajo de Müllensiefen y Frieler usaron la correlación entre todas las transformaciones de altura, rítmicas y medidas simbólicas que se han descrito en los artículos de esta serie y otras más. 3. Medidas armónicas Krumhansl y Kessler ([Kru90] y [KK82]) llevaron a cabo experimentos con sujetos para establecer con precisión una jerarquía entre los grados de la escala. Fijada una tonalidad base y un modo, dedujeron de los resultados de sus experimentos la importancia de cada grado de la escala temperada con respecto a la tonalidad base. Obtuvieron dos tablas, que se muestran abajo, con dos vectores de tonalidades, uno por cada modo. El vector TM es para el modo mayor y Tm para el modo menor. TM 6,33 2,23 3,48 2,33 4,38 4,09 2,52 5,19 2,39 3,66 2,29 2,88 Tm 6,33 2,68 3,52 5,38 2.60 3,53 2,54 4,75 3,98 2,69 3,34 3,17 Tabla 1: Los vectores de tonalidad de Krumhansl. Obsérvese que en el modo mayor los grados más relevantes de mayor a menor son la tónica, la dominante, la subdominante y la mediante (el tercer grado) y luego el resto de los tonos. En el modo menor, la clasificación empieza por la tónica, y sigue por la mediante, la dominante, la superdominante y después el resto de los grados. Posteriormente, Toiviainen y Krumhansl generalizaron este modelo para explicar los cambios de tonalidad que se producen a lo largo de una pieza; véase [TK03]. Volvamos una vez más al ejemplo de las variaciones K. 265 de Mozart. En la figura 1 tenemos los cinco primeros compases. Figura 1: El proceso de construcción de una medida de similitud. Calculamos su medida tonal m usando los pesos de los vectores TM (el tema está en modo mayor): m =  6,33 ⋅ 2 + 5,19 ⋅ 2 + 3, 66 ⋅ 2 + 5,19 ⋅ 2 + 4,09 ⋅ = 102, 32 Hay varias maneras de calcular medidas de similitud basadas en la tonalidad. Una de ellas -bastante adaptada a la música occidental- es la de calcular para cada compás la tonalidad de mayor valor. Para una pieza dada eso da una cadena de tonalidades. El modo de comparar dos piezas dadas es a través de la distancia de edición aplicada a las cadenas de tonalidad. También se pueden diseñar medidas de similitud basadas en la correlación de medidas de tonalidad. Consulte el lector interesado la sección 8.2.7 de [MF04]. 4. La validación perceptual Para estudiar la peliaguda cuestión de la validación perceptual Müllensiefen y Frieler llevaron a cabo varios experimentos, los cuales describimos a continuación. A partir de esos experimentos determinaron qué combinación de distancias/medidas y con qué pesos se aproximaban mejor a la percepción humana de la similitud melódica. 4.1. Los experimentos Müllensiefen y Frieler impusieron dos condiciones necesarias para seleccionar a los sujetos de sus experimentos: Su evaluación de la similitud debía ser consistente en el tiempo. Tenía que reconocer melodías idénticas con un alto valor de similitud (recuérdese que estamos trabajando en el espacio de las melodías módulo la transposición de alturas, duración y cambio de tempo). Tras unos cuantos experimentos preliminares, decidieron eliminar a aquellos sujetos sin formación musical. Su evaluación de la similitud era demasiado inestable en el tiempo o inconsistente con respecto a melodías muy similares. Estos sujetos muestran una tendencia a evaluar en función de factores que no son estrictamente musicales, a veces tan alejados de la música como la posición de una pieza dada en el orden de presentación o la duración del experimento. Müllensiefen y Frieler escogieron 82 estudiantes de la Universidad de Hamburgo; tras las pruebas previas para determinar su consistencia musical solo quedaron 23. Estas pruebas se llevaron a lo largo de varias semanas. Los 23 sujetos eran estudiantes de musicología con una media de 12 años de práctica instrumental. Creo que la dificultad en encontrar sujetos válidos para los experimentos da una idea de lo complejo que es el problema de evaluar la similitud melódica. Respecto al material de los experimentos, los autores prepararon 14 melodías tomadas de un corpus de melodías de música popular occidental. Por ejemplo, tomaron As long as you love me, de los Back Street Boys, o From Me to You, de los Beatles. Las melodías se escogieron acorde a los siguientes criterios: Cada melodía debía tener entre al menos tres frases diferentes, descontando repeticiones. Cada melodía debía tener al menos dos motivos distintos. No debían ser conocidas por los sujetos. Debían ser de carácter popular. Una vez construido el corpus, se procedió a variar las melodías. En la figura 2 tenemos un ejemplo del corpus; se trata de Wonderland, del grupo Passion Fruit. Se puede comprobar cómo hay dos motivos en la partitura. Figura 2: Melodía original: Wonderland, del grupo Passion Fruit. En la figura 3 se ve una de las variaciones de esta pieza. Se puede apreciar cómo se han eliminado las síncopas entre los compases 1 y 2 y 3 y 4 (pero se han introducido otras en diferentes sitios); además, en el comienzo de la segunda semifrase se ha cambiado la nota fa por la nota la, lo cual cambia la dirección del movimiento melódico. La bajada por grados conjuntos del compás 7 se ha cambiado por una bordadura. En el final del fragmento, la bajada melódica de si bemol a fa se ha sustituido por una subida de la bemol a do. Los círculos muestran dónde tienen lugar esos cambios. Figura 3: Variación de la melodía Wonderland, del grupo Passion Fruit. Estos son los tipos de cambio que introdujeron los autores para variar el corpus. De las 14 melodías originales extrajeron 84 variaciones. Los tipos de error los diseñaron acorde a la bibliografía sobre memoria de errores para melodías (véase [MB02], [Pau02]). Los cinco tipos de errores que definieron para los experimentos fueron: errores rítmicos, errores en las alturas, errores de altura que cambian el contorno melódico, errores en el orden de las frases musicales y errores de modulación. Los experimentos que realizaron Müllensiefen y Frieler, como decimos, son complejos. Los detalles son bastante técnicos y detallarlos aquí haría este artículo farragoso; no obstante, el lector interesado los puede encontrar en el artículo de estos autores [MF04]. 4.2. Resultados Una vez que se concluyeron los experimentos, se tenía un conjunto de medidas de similitud entre todas las melodías dadas por los sujetos. Estas medidas se compararon una a una con cerca de 30 medidas algorítmicas (la mayor parte se han descrito en esta serie de artículos). La forma de comparar ambos conjuntos de medidas, los dados por los sujetos y los algorítmicos, fue por medio de la correlación. Como dijimos anteriormente, la combinación lineal de medidas de similitud da asimismo una medida de similitud. La correlación arrojó como mejor distancia de similitud la siguiente combinación: σ =  3,355 ⋅ DEPST  + 2,852 ⋅ NGC donde DEPST es la distancia de edición ponderada sin transformación y NGC es la distancia n-gramas con la medida del recuento de distintos. Los datos técnicos son estos: r = 0, 911, R2 = 0, 83, R2 corregido = 0, 826. Sin contemplar combinaciones entre ellas, las mejores medidas fueron la medida qbh de Fraunhofer, la distancia DEPST, la distancia NGC, correlación armónica con distancia de edición y distancia de edición sobre ritmos con borrosidad. 5. Conclusiones En esta serie de artículos hemos revisado el concepto de distancia matemática en sí misma (en el primer artículo), y en conexión con un problema musical, el de la similitud melódica. En el artículo segundo examinamos una serie de transformaciones que conducían a la definición de distancias algorítmico-matemáticas de similitud melódica. En este último artículo hemos revisado el trabajo que hicieron Müllensiefen y Frieler para validar perceptualmente las medidas/distancias de similitud. Su estudio dio lugar a una combinación de medidas, una de edición y otra de n-gramas, como la medida que mejor aproxima la medida perceptual obtenida en sus experimentos. Bibliografía [KK82] C. L. Krumhansl and E. J. Kessler. Tracing the dynamic changes in perceived tonal organization in a spatial representation of musical keys. Psychological Review, 89:334–368, 1982. [Kru90] C. L. Krumhansl. Cognitive Foundations of Musical Pitch. Oxford University Press, New York, 1990. [MB02] C. Meek and W. Birmingham. Johnny can’t sing: A comprehensive error model for sung music queries. In International Symposium on Music Information Retrieval, pages 124–132, 2002. [MF04] D. Mullensiefen and K. Frieler. Cognitive adequacy in the measurement of melodic similarity: Algorithmic vs. human judgments. Computing in Musicology, 13:147–176, 2004. [Pau02] S. Pauws. Cuby hum: A fully operational query-by-humming system. In International Symposium on Music Information Retrieval, pages 187–196, 2002. [TK03] P. Toiviainen and C. L. Krumhansl. Measuring and modeling real-time responses to music: the dynamics of tonality induction. Perception, 32(6):741–766, 2003.
Martes, 05 de Julio de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Philippe Donnier
De nuevo tenemos un artículo del etnomusicólogo. Esta vez se nos presenta el problema de la transcripción en el cante y la guitarra y cómo medir la distancia entre dos líneas melódicas. El artículo toca cuestiones musicales que tienen trasfondo matemático y que como apasionados de ambos campos disfrutamos con profundo deleite. Recordemos que Philippe Donnier es doctor en Etnomusicología por la Universidad París X e ingeniero superior por la École Supérieure de Physique et Chimie de Paris (ESPCI). Lleva dedicado al estudio del flamenco desde hace más de 30 años, aparte, claro está, de su actividad como músico flamenco. Es un placer tenerlo una vez más entre nosotros. Francisco Gómez Martín Flamenco: elementos para la transcripción Del cante y de la guitarra Philippe Donnier, doctor en etnomusicología Introducción La cultura musical clásica sigue siendo la referencia para la transcripción de cualquier tipo de música. La educación musical impartida en los conservatorios trata casi exclusivamente de músicas cuya estructura rítmica esta construida a partir de una pulsación isométrica organizada en periodos rítmicos más o menos sencillos. La desaparición completa de la transmisión oral en los ámbitos clásicos hace imperativa la necesidad de poder "leer" música sin referente auditivo previo. Esta lectura es factible únicamente cuando las relaciones entre valores temporales sucesivos son fracciones simples. Una evaluación rigurosa del tiempo es posible sólo cuando se puede recurrir a una marca consciente o inconsciente de pulsaciones de referencia. Estudios psicológicos han demostrado que, en ausencia de toda marca de referencia, la capacidad humana para evaluar las duraciones es pésima (Mc.Adams/Bigand 1994: 76-121). En el marco de la cultura clásica, no hay lectura posible en ausencia de pulso consciente o inconsciente. Estas observaciones suponen aparentemente unas consecuencias dramáticas para el etnomusicólogo. Fuera de las músicas de carácter métrico, no hay transcripción posible. Según esta conclusión, tampoco hubiera sido posible ningún sistema de escritura de los múltiples lenguajes humanos. ¿Cómo se puede resolver esta contradicción aparente? ¿A qué maestro se le ocurriría intentar enseñar a leer y escribir a un niño que no sepa previamente entender y hablar perfectamente su propio idioma? El dominio completo que tenemos de nuestro lenguaje nos hace pensar que leemos realmente lo que hay escrito. En realidad, es pura ilusión. Cada conjunto de signos que percibimos, y que hemos tardado largos años en aprender y memorizar, desencadena el recuerdo y la activación de la versiones orales de las palabras correspondientes. Según el contexto, el origen geográfico, la cultura... y el estado de ánimo de cada uno, el mismo texto será interpretado de múltiples maneras, todas conformes con el sistema fonológico y el contenido semántico propio del idioma hablado, si los lectores son nativos o pertinentemente aculturados. La pobreza expresiva de los lectores sintéticos disponibles en los ordenadores actuales es una demostración de los límites de cualquier sistema de escritura utilizado sin posibilidad de recurrir a una amplia cultura previa y a una sensibilidad al contexto. Por tanto, no existe ningún dominio de la escritura ni de la lectura sin un aprendizaje previo de la lengua correspondiente. El mismo conjunto de signos /papá/ (sistema único de fonemas) puede corresponder a dos emisiones vocales totalmente diferentes si el padre a cual se refiere se encuentra al lado del niño [papá] o en el cerro de enfrente [papaaaaaaa] (infinidad de variantes fonéticas). La semántica exige que el segundo [pa] sea algo más largo que el primero (relación de orden), la proporción entre las duraciones respectiva depende de la expresión que se le quiera dar. El ritmo del lenguaje hablado no radica en un sistema de proporciones fijas entre duraciones sucesivas sino en relaciones de orden (más o menos largo) mucho más flexibles. Podríamos hacer el mismo análisis para lo que se refiere a las inflexiones melódicas. Los sistemas de escritura tienen muy pocos recursos para regular la gestión expresiva y esta última es el fruto de una larga experiencia y de los parámetros emocionales y expresivos de cada uno. La cultura clásica ha olvidado los orígenes orales de la escritura hasta tal punto que se enseña a menudo a escribir y a leer música antes de saber practicarla. Tal sistema puede funcionar únicamente si se ponen vallas a los márgenes expresivos. La pulsación puede cambiar de velocidad, pero nunca de forma caótica; en tal caso, dejaría de ser una pulsación perceptible. Sólo estas limitaciones consentidas autorizan una lectura y una escritura en la casi ausencia de referentes orales previos. Muchas músicas de tradición oral siguen un sistema de pulsaciones regulares y son susceptibles de ser transcritas por medio de la notación clásica. La estructura temporal de otras muchas recuerdan el lenguaje hablado. En este último caso, no se puede pretender transcribirlas con el sistema clásico. Las numerosas transcripciones de concienzudos folkloristas están aquí para demostrar el resultado desastroso de cualquier interpretación realizada a partir de estas partituras en ausencia de todo referente oral previo. ¿Quiere decir por tanto que no hay transcripción posible? Si pretendemos utilizar estas transcripciones como se utilizan las clásicas, por supuesto que no. El empeño de los folkloristas proviene de una ceguera total delante de las culturas de tradición oral. Aunque parezca una perogrullada decirlo, no se puede pretender hacer un estudio pertinente y/o querer transmitir algo de las culturas orales haciendo la economía de cualquier proceso oral. Sugerencias para representaciones gráficas del cante flamenco Si la referencia a los sistemas de escritura de los lenguajes hablados nos han permitido una reflexión crítica en cuanto a una utilización a ciegas del sistema clásico, tampoco tenemos que caer en la trampa de querer adaptar el sistema fonémico al lenguaje musical. Tenemos que adoptar una definición más amplia de lo que puede ser sistemas de escritura pertinentes y utilizables. Cualquier representación gráfica de un fragmento de música x dirigida a un utilizador especifico que permita a este utilizador reconocer el fragmento x será considerado pertinente. Esta exigencia restringida a la identificación sin necesidad de interpretación corresponde a una transcripción con fines descriptivos. Descartamos aquí todo fin prescriptivo, siendo contradictorio con la esencia misma de toda tradición oral. Si se puede admitir la elaboración de materiales escritos que hacen más fácil el análisis y el entendimiento de una música oral, pretender enseñar músicas de tradición oral por medio de documentos escritos sería totalmente contradictorio. Aceptada esta definición, podemos adoptar varios niveles de escritura en función de la meta perseguida y del utilizador a quien se dirige la transcripción. Tomaremos como ejemplo la primera frase de un cante por Malagueña conocido como "de La Trini" Nivel 1 Los programas de sonidos actuales permiten obtener representaciones de la frecuencia en función del tiempo. Estos sonogramas proporcionan una información detallada sobre toda las inflexiones de voz y la constitución armónica de la voz analizada (fig.1). Fig. 1: Sonagrama En el fichero FOSFORITO (fichero Director comprimido), que se puede descargar pinchando en el enlace, se tiene una animación de la figura de arriba. Para una mejor comprensión de cómo se puede extraer información a partir de los sonogramas, en el fichero CAITA (fichero Director comprimido), hay otra animación, esta vez de La Caita, en la que se aísla el segundo armónico. Nivel 2 Se seleccionan varias interpretaciones del mismo cante, el criterio de identidad debiendo ser el de uno o varios aficionados competentes. Partiendo de los sonagramas, se realizan transcripciones gráficas proporcionales al tiempo real de cada interpretación (fig.2). Fig. 2: Transcripciones de nivel 2 El flujo continuo de la voz ha sido sustituido por una serie discontinua de "notas" más o menos largas. La comparación de las cuatro versiones pone en evidencia varias características: - Al unir todas las notas y al descartar algunos movimientos de un grado ascendente o descendente, aparecen trayectorias melódicas idénticas si despreciamos el parámetro tiempo (fig.3). Fig. 3: Trayectorias melódicas - El número de notas en cada segmento de la trayectoria es variable de una interpretación a la otra. - La duración de cada segmento melódico es también muy variable. - La cuatro versiones están identificadas como Malagueña "de La Trini". Estas observaciones nos llevan a concluir que la trayectoria melódica es el único rasgo que permite la identificación, siendo los valores de tiempo bastante arbitrarios. Un estudio más fino muestra que existe una cierta relación de orden entre la duraciones de cada segmento melódico (Donnier 1996:262-264). Nivel 3 En el lenguaje hablado, la variabilidad de las duraciones de cada sílaba y el conocimiento oral de complejas leyes de la elocución han llevado a unos sistemas de escritura que prescinden completamente o parcialmente (lenguas acentuadas como el castellano) de indicaciones de duración. Lo mismo proponemos para la transcripción del cante flamenco. Nuestra experiencia personal a lo largo de numerosos seminarios de iniciación al conocimiento del cante flamenco confirman la ausencia de pulsación claramente perceptible y la dificultad consiguiente para evaluar las duraciones respectivas de cada nota. Al ser muy difícil cambiar el significado de los signos utilizados en la escritura clásica, hemos ideado un sistema original partiendo de las escrituras neumáticas usadas para transcribir el canto gregoriano. Para la escritura de los neumas, nos hemos guiado por el estudio paleográfico realizado por Don Eugene Cardine (Cardine 1970), teniendo en cuenta en cuenta varios parámetros: - establecer una diferencia gráfica clara entre partes silábicas y partes melismáticas, - conservar la posibilidad de marcar los contrastes de duración más destacados, - evitar la creación de signos nuevos cuando signos existentes ofrecen unas soluciones satisfactorias, - conservar la precisión melódica del pentagrama clásico. Notas silábicas Adoptamos neumas parecidos a los que se utilizan en la notación gregoriana moderna, conservamos tres valores de tiempo. Grupos de notas melismáticas Para establecer un contraste claro entre segmentos silábicos y segmentos melismáticos, hemos adoptado signo inspirados de la escritura neumática antigua. El uso de puntos en el pentagrama permite simplificar la escritura tradicional. Para señalar una nota sensiblemente más larga dentro de un grupo neumático, se utiliza una marca (episema). Cuando es posible, escribimos los neumas melismáticos en rojo, lo que ofrece un contraste mayor y un atractivo estético indudable (fig.4). Figura 4: Ejemplo de transcripción neumática de una soleá de Alcalá cantada por Manuel Torre. El uso de este sistema presenta varias ventajas: - La labor de transcripción es mucho más rápida que con el sistema convencional, al ahorrar las dudas constantes sobre la elección de un supuesto compás y sobre la duración respectiva de cada nota. - La transcripciones se resisten a todo intento de repentización, evitando así cualquier interpretación folklorizada. - La lectura es mucho más asequible a los no músicos o malos lectores (que representan una mayoría dentro del público interesado por las músicas tradicionales). Hemos podido comprobar este hecho tanto a lo largo de numerosos seminarios de formación como en los medios aficionados al flamenco. - El trazo continuo de los grupos neumáticos se asemeja a la realidad de un flujo melismático horizontal mientras que la escritura clásica presenta notas sueltas relacionadas por plicas verticales que rompen la continuidad melódica. Aunque no se tenga cultura previa, se puede seguir perfectamente la transcripción mientras se escucha la versión correspondiente. Una vez adquirida la cultura, la escritura neumática da la información suficiente para reconocer el cante. Suponiendo que un cantaor se haya iniciado a este sistema, pudiera interpretar el cante libremente sin las trabas que supone una precisión rítmica fuera de lugar en el caso del cante flamenco. Nivel 4 El nivel 3 tiene todavía un carácter "fonético". Las inflexiones melódicas visiblea en el nivel 1 y la precisión de las duraciones presentes todavía en el nivel 2 han desaparecido pero todas las "notas" de la versión transcrita están representadas. Muchas notas son variantes personales o estéticas que tienden a enturbiar la percepción de la estructura común a todas las versiones, armazón que cumple una función semántica al permitir la identificación del cante interpretado. Para que aparezcan los elementos comunes a todas la versiones de un mismo cante, hay que practicar nuevas reducciones en la representación. Llegaremos así a un nivel "fonémico", el único que permite un entendimiento claro del sistema de oposiciones entre formas melódicas consideradas como distintas en la cultura autóctona. Un análisis de tipo fonémico supone que todos los ejemplares reales que forman una clase de equivalencia según los criterios autóctonos están representado por un conjunto de caracteres o rasgos idénticos. El número de rasgos seleccionados tiene que ser suficiente para diferenciar (oponer) todas las clases de equivalencia del corpus elegido. La realización de transcripciones sinópticas pone en evidencia los elementos comunes a distintas versiones de un mismo cante. Después de haber comparado de cinco a diez versiones de más de cuarenta formas melódicas distintas (Donnier 1996:250-526), aparecen unas cuantas características comunes a la mayoría de los cantes flamencos: - La mayoría de los movimientos melódicos se realizan por grado conjunto. - Existe un núcleo melódico estable común a todas las versiones. Este núcleo esta constituido por pequeños elementos que llamamos genes melódicos. Estos genes aparecen siempre en el mismo orden pero pueden estar separados por segmentos específicos propios de cada cantaor (parte de cuales pueden ser comunes a todo una escuela cantaora). Esta estructura permite un verdadero estudio genético del cante. Los genes estables comunes a todas la versiones definirían los distintos genotipos flamencos, cada cantaor siendo definido por su propio fenotipo. Ciertas versiones mutantes han resistido la prueba del tiempo, enriqueciendo así el material genético flamenco. Existe también la posibilidad de cruces entre cante, fuertemente rechazados por la tendencia eugenésica de los flamencólogos oficiales. Las modernas técnicas electrónicas de clonación permiten la reproducción ad infinitum del material tradicional, eliminando así toda posibilidad de evolución. Elementos rebeldes han recurrido a la exogamia, contrayendo uniones prohibidas con hijos de la bossa nova, del rock o del jazz, poniendo así fin a la gran época añorada de un supuesto flamenco puro... El fin analítico perseguido en este último nivel es poner en evidencia de manera rapidamente perceptible las oposiciones entre los diferentes formas melódicas. Para conseguir este resultado, seguiremos un proceso de reducción en varias etapas. Etapa1 Extracción del esqueleto melódico constituido por la serie de los genes concatenados. Para obtener representaciones sintéticas que permiten comparar rapidamente varias formas melódicas, hemos adoptado un representación geométrica. Se adapta el pentagrama clásico representando los doce semitonos de la escala temperada (fig.5), la línea que corresponde a la tónica del modo usado se resalta en rojo o en gris (tono de Mi en modo de Mi o modo flamenco1, como lo llamaremos de ahora en adelante, en el ejemplo de la figura 5). Fig. 5: Representación geométrica A toda subida o bajada por grados conjuntos dentro del modo corresponden triángulos con pendiente a 45 grados. Los saltos por grados disjuntos aparecen con triángulos de pendiente acentuada. La alteraciones accidentales provocan irregularidades en la trayectoria melódica, se ponen en evidencia con triángulos finos. La figura 6 muestra el proceso de extracción del patrón melódico común a siete versiones de una Soleá conocida como "de La Serneta". Fig. 6: Transcripciones sinópticas de siete versiones de la Solé de La Serneta. La primera transformación consiste en cambiar la escritura clásica por la representación triangular (fig. 7a). Las notas repetidas aparecen como un círculo (una repetición) o como óvalo (varias repeticiones). Etapa 2 Se suprimen las notas repetidas (fig. 7b) Etapa 3 Se suprimen las repeticiones de movimientos de un grado (fig. 7c) Etapa 4 Se suprimen los movimientos de ida y vuelta de un grado (fig.7d). Se elige la etapa de reducción que se adapta mejor al nivel de precisión descriptiva deseado. Fig. 7: Etapas de reducción del patrón melódico de la Soleá de La Serneta Estudio comparativo de distintos tipos melódicos de un mismo palo El repertorio del cante flamenco esta subdividido en palos, todos los tipos melódicos de un mismo palo tienen en común el mismo toque de guitarra. Cada toque esta definido por un tipo de ciclo rítmico o compás y por el tono en el cual se toca. La noción de tono en la guitarra flamenca difiere de la noción clásica. Un tono flamenco engloba el modo (mayor, menor o flamenco) asociado al conjunto de posturas digitales. La altura absoluta no es pertinente pues la cadencia andaluza que acaba en un acorde de La mayor tocada sin cejilla (Rem, Do7, Sib, La en altura absoluto) y el mismo conjunto de posturas (conjunto de posiciones digitales) tocado con la cejilla colocada al quinto traste (Solm, Fa7, Mib, Re en altura absoluta) definirían en ambos casos el tono por medio porque "suenan igual" salvando la diferencia de altura. La cadencia andaluza acabada en acorde de Mi mayor (Lam, Sol, Fa, Mi en altura absoluta) transportada con la cejilla al quinto traste se transforma en Rem, Do, Sib, La en altura aboluta. No obstante "suena igual" (en altura relativa) que la cadencia Lam, Sol, Fa, Mi, al tener el mismo sistema de digitación y, por tanto, las misma inversiones para cada acorde de la serie. Este segundo sistema de digitación define el tono por arriba. Así, al mismo compás de Seguiriya corresponden tres toques según el modo y el tono flamenco elegido: - toque de Seguiriya en modo flamenco interpretado en tono por medio, - toque de Serrana en modo andaluz por arriba, - toque de Cabal en modo mayor de Mi (posición de referencia sin cejilla). Una vez definido el toque de Seguiriya o de Solá, una gran variedad de tipos melódicos "por Seguiriya" o "por Soleá" se amoldan a un mismo tipo de acompañamiento bastante estereotipado. Cada tipo melódico se identifica por un nombre específico que recuerda el origen geográfico o el supuesto creador (Soleá de La Serneta; de Triana; de Juaniquin..., Seguiriya de Los Puertos, de Cagancho, de Manuel Molina ...). Bajo unas apariencias de organizacián anárquica y gran libertad interpretativa, el cante flamenco y su acompañamiento a la guitarra están sujeto a unas patrones rítmico-melódicos muy estructurados. Una escucha pertinente del flamenco supone la identificación del toque y del tipo melódico del cante interpretado. Todo aficionado que se precie reconoce cada toque y un sinfín de variantes melódica, cruces e influencias interpretativas. Los esquemas reducidos que proponemos pueden ser de una gran ayuda para quien pretende acercarse rapidamente a la cultura flamenca. Fig. 8: Patrones melódicos reducidos de cinco tipos melódicos de cante por Soleá En el fichero LA SERNETA (fichero Director comprimido) se encuentra una animación que ayuda a entender los cinco tipos melódicos de esta soleá. La figura 8 permite la comparación de los patrones melódicos reducidos de cinco tipos melódicos por Soleá. Relaciones cante/guitarra A la hora de describir un fenómeno, muchos problemas surgen por no haber elegido el nivel de precisión adecuado. En astronomía, no es pertinente tener en cuenta la existencia de montañas y mares en la tierra. Los procesos químicos están interesados únicamente por las capas electrónicas externas y el estudio de la mecánica física no tiene en cuenta la estructura química de los móviles estudiados. Para entender algo del funcionamiento del cante flamenco, hay tener una visión bastante lejana de las formas melódicas. Un análisis "microscópico" o demasiado "fonético" hace perder de vista la grande organizaciones que rigen el desarrollo del cante y de su acompañamiento. No tenemos aquí espacio para entrar en muchos detalles descriptivos, pero unos esquemas simples permitirán al lector hacerse una idea del tipo de mecanismo que rige las interpretaciones flamencas. Para simplificar la descripción, nos atendremos a los cante dichos "a compás" que van acompañados por ciclos rítmicos periódicos. Para los cantes dichos "libres" la guitarra se limita a marcar los fines de cada frase por una cadencia melódica sin compás definido. Cada compás puede representarse por un rectángulo con zonas contrastadas, el contraste corresponde a variaciones de la textura sonora (rasgueos, golpes en la tapa, arpegios, acentos marcados etc.) y/o de estructura armónica. Una vez definida la forma melódica del cante, se puede prescindir del pentagrama, los que interesa ahora siendo la relaciones temporales entre cante y guitarra. El patrón melódico reducido de cada frase pone en evidencia notas características comunes a todas las versiones estudiadas. Todos los ciclos de acompañamientos son iguales (12 en el caso de la Soleá), una vez reducidos bajo forma de esquema rectangulares. En cuanto al cante, todas las versiones tienen un patrón melódico común pero la realización material de este patrón puede deformarse y desplazarse a lo largo de los compases de guitarra de una versión a la otra. La figura 9 muestra el grado de libertad del cante al comparar siete versiones de una Soleá de La Serneta. Fig. 9: Elasticidad del cante En el fichero RELACIONES CANTE/GUITARRA (fichero Director comprimido) se encuentra una animación que ayuda a entender los cinco tipos melódicos de esta soleá. Este análisis desvela una característica tan original como interesante: el cante es de naturaleza no acompasada y se desarrolla en el tiempo como una entidad deformable con un cierto grado de elasticidad. No obstante, la guitarra crea una suerte de "campo magnético-musical". Notas características del patrón melódico parecen como atraídas por zonas correspondientes del compás de guitarra (fig.10). Fig. 10: Acumulación de las notas de principio y fin sobre ciertas zonas del compás de guitarra. El fenómeno es muy parecido a lo que ocurre con las trayectorias electrónicas. Al medir posiciones sucesivas de un mismo electrón en relación con el núcleo del átomo, parecen disfrutar de una gran libertad. Sólo después de millones de mediciones, aparece una "nube" o orbital constituida por el conjunto de todas las posiciones sucesivas. Esta orbital define una porción de espacio que "atrae" al electrón y representaba el conjunto de las posiciones más probables, aunque en cada momento, el electrón puede, sólo aparentemente, situarse donde "le apetezca". Podemos traducir este último párrafo en términos de cante flamenco: Las posiciones sucesivas del patrón melódico parece disfrutar de una gran libertad. Después de haber medido muchas versiones, aparecen zonas del compás de guitarra a la proximidad de cuales se acumulan notas características del patrón melódico del cante. Estas zonas definen puntos del compás que "atraen" a las notas correspondientes y representan sus posiciones respectivas más probables. Estas notas pueden, sólo aparentemente, situarse donde "le apetezca". Como en toda metáfora, existen diferencias notables. El compás de guitarra disfruta de una cierta elasticidad, mayor o menor según los toques. Esto permite al guitarrista aminorar ciertos desfases extremos. En caso de gran deformación del cante, se puede añadir un ciclo de compás. Nuestra experiencia del acompañamiento confirma los resultados de este análisis formal. El cantaor tiene evidentemente un esquema melódico guía a partir del cual desarrolla cada versión. La inercia de la voz y el impulso emocional de la interpretación actúan como una fuerza centrífuga que tiende a provocar un desfase entre el cante en relación con el compás de guitarra. A su vez el compás de guitarra actúa como un conjunto de zonas magnéticas que atraen a ciertas zonas del cante. Este sistema dinámico puede funcionar de múltiples maneras según las características de cada interprete. La realización de un compás muy contrastado aumenta el magnetismo y permite atraer al cantaor aficionado cuya fuerza centrifuga es demasiado fuerte. En cuanto al cantaor profesional, el magnetismo de su cante es lo suficientemente fuerte parea no necesitar de un compás exageradamente contrastado para centrar correctamente su cante. A mi parecer, el tan misterioso Duende aparece surge cuando se establece un tenso equilibrio entre fuerza centrífuga del cantaor y magnetismo centrípeto del guitarrista. Esto sin contar con los efectos relativista que conllevan una deformación del espacio temporal cuando la energía musical alcanza grandes niveles de densidad... Conclusión Después de este breve y evidentemente incompleto análisis, destacaremos los puntos que nos parecen más importante en cuanto a sus consecuencias sobre posibles aplicaciones a otras músicas. Un sistema semiológico dado se puede aplicar únicamente a la realidad para cual se ha forjado. Aplicar el sistema clásico a cualquier música tradicional expone a muchos errores. Todo sistema de escritura es una mera huella de una realidad viva, única referencia tangible y pertinente. No existen transcripciones objetivas, sino transcripciones realizadas con un objetivo claramente definido. A cada objetivo corresponde uno o varios tipos de representación. Dentro de los objetivos, se tiene que tener en cuenta el tipo los conocimientos culturales y técnicos del público, al cual van dirigidas las transcripciones. El manejo pertinente de transcripciones de músicas de tradición oral no se puede imaginar sin aculturación previa. Esta aculturación puede ir desde simples ejemplos musicales cortos acompañando las transcripciones hasta la adquisición de un conocimiento y/o práctica experta de la tradición estudiada. En este último caso, la escritura sirve para activar esquemas o variaciones de esquemas ya conocidos. De poco sirven las transcripciones de bajo nivel de tipo fonético para la comprensión de un sistema musical, constituyen sólo un primer paso. Esta comprensión supone la elaboración de representaciones de alto nivel basada en análisis paradigmáticos y en la puesta en evidencia de los mecanismos de construcción y de interpretación de la música estudiada. La aparición de las reciente técnicas multi-media pueden ofrecer un nuevo puente entre la oralidad y la cultura escrita. La potencialidades de estos medios queda todavía por descubrir y suponen un reto para la jóvenes generaciones de etnomusicólogos. Nota 1 Hay que distinguir escalas y modo. Todo modo se genera a partir de una sistema escalar de referencia pero los tratamientos de la misma escala de Mi en músicas árabe, sefardí, gregoriana o andaluza son sensiblemente diferentes. Un modo se define tanto por el sistema escalar generador como por las formas características de organizarlo. Hablaremos pues de modo flamenco. Bibliografía AROM, S. 1985. Polyphonies et polyrythmies instrumentales d'Afrique centrale. Paris: SELAF CARDINE, E.. 1970. 'Sémiologie grégorienne'. Etudes Grégoriennes. Abbaye Saint Pierre de Solesmes, Sablé sur Sarthe,Tome XI. CHAULLEY, J. 1967.La musique et le signe. Lausanne. Editions Rencontre. DONNIER, Ph. 1996. Flamenco, structures temporelles et processus d'improvisation. Tesis doctoral Université Paris X. Nanterre. FRAISSE, P. 1974.La psychologie du rythme. Paris: PUF. McADAMS, S., E. BIGAN. 1994. Penser les sons, psychologie cognitive de l'audition. Paris: PUF.
Miércoles, 13 de Abril de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción En el primer artículo de esta serie revisamos el concepto matemático de distancia y definimos formalmente la medida de similitud melódica; además, ilustramos estos conceptos con algunos ejemplos musicales. En este segundo artículo sobre la distancia matemática y la similitud melódica vamos a describir un buen número de medidas de similitud, las cuales agruparemos por familias dependiendo de su propósito y filosofía. “El discurso musical progresa a través de múltiples transformaciones de su material musical”, decíamos en otra ocasión [Góm11]. En particular, en el ámbito melódico esa variación es fundamental. La trascendencia de la similitud melódica ha sido, y es, tal que numerosas disciplinas se han ocupado intensivamente de su estudio: En etnomusicología, por ejemplo, para entender la lógica musical, para evaluar los estilos y sus características, para conocer los criterios de improvisación. Véanse [BL51], [See66], [Hol10]. En análisis musical, para construir modelos tanto teóricos como computacionales. Véanse [LJ83], [Mey73], [CIR98], [Typ07]. En la resolución de conflictos de propiedad intelectual [Cro98]. En tecnología musical, para aplicar los modelos obtenidos tras el correspondiente análisis. Véanse [MS90], [HSF98], [Pam06], [Hol10]. En psicología de la música, para comprender mejor el hecho musical, para aportar conocimiento a un análisis integral de la música. Véanse [Sch99], [HE01], [MM01], [HE02], [HCR03]. Respecto a otro tema relacionado, la similitud rítmica, véanse las referencias citadas en el artículo [Góm11] de esta sección del mes de marzo de 2011. 2. Representación de melodías Una melodía es un conjunto de notas que suenan en determinado orden y con determinadas duraciones. Esencialmente, una melodía es una combinación de alturas y ritmo. Las medidas de similitud se construyen a partir del siguiente proceso: Figura 1: El proceso de construcción de una medida de similitud. Obtención de la melodía. Esta puede venir descrita en formato audio, como un fichero de sonido de una grabación, o en formato simbólico, como un fichero midi o un fichero de partitura (Finale, Sibelius, etc.). Representación de melodías abstractas. Según los propósitos perseguidos, la melodía se representa de varias formas. Estas representaciones que extraen ciertas características de las melodías reales se llaman representaciones abstractas. Varían en función del propósito final. Por ejemplo, en el análisis de cantes a palo seco en el flamenco, se ignora la duración de las notas, puesto que son cantes sin pulso regular y con mucho rubato. Transformación de la melodía. La melodía abstracta sufre unas transformaciones que permiten el cálculo efectivo de la medida de similitud. Diseño de la medida de similitud. Inicialmente, la mayor parte de las medidas se concentraron en un aspecto de las melodía, el cual medían con más o menos precisión. Poco a poco se han ido diseñando medidas que cuantifican varios aspectos de la melodía. El principal problema es cómo ponderar todos esos aspectos de manera coherente. Es importante que la representación de las melodías cumpla las propiedades de invariancia que mencionamos en el primer artículo, esto es, invariancia por transposición de altura y tiempo más invariancia por cambio de tempo. Las melodías se suelen representar por una sucesión de pares (pn,tn), n = 1,…,N, donde pn representa la altura y tn las duraciones de cada nota. Esta representación obviamente no verifica las propiedades de invariancia. Se usan en su lugar dos representaciones diferentes, que sí respetan la invariancia: Para la altura se usa la representación por intervalo. En lugar de guardar las alturas absolutas, se anota el intervalo entre cada dos notas consecutivas In = pn+1 - pn. Para el ritmo se usa la representación IOI. Estas siglas vienen del inglés, inter-onset interval, o intervalo de duraciones relativas. Se calcula de manera similar al caso anterior, poniendo Tn = tn+1 - tn. En el caso del ritmo también se usa otro método de representación, que consiste en expresar las duraciones en función de la duración mínima de la melodía. Esto no siempre es posible en todas las músicas, aunque sí en la mayor parte de la música occidental. En las siguientes secciones del artículo describiremos las principales transformaciones melódicas que aparecen en las medidas de similitud. 3. Transformaciones de altura 3.1 Transformaciones de contorno Este tipo de transformaciones se basa en el hecho de que la sucesión exacta de alturas en una melodía no es siempre lo más importante, sino la dirección melódica. Los puntos de giro de la melodía, los puntos en que cambia la dirección melódica, es un hecho que tiene relevancia en la percepción de la melodía. Si se representa la melodía como una línea poligonal, los puntos de giro se corresponden con los extremos relativos. La representación recibe el nombre de contorno melódico. En la figura de abajo tenemos de nuevo el tema principal de las variaciones K. 265 Ah, vous dirai-je, Maman. La línea poligonal que aparece sobre la melodía es el contorno melódico. Figura 2: El contorno melódico. Para más información sobre los contornos melódicos véase el trabajo de Zhou y Kankanhalli [YK03]. 3.2 Transformaciones borrosas En muchas ocasiones la percepción de un estímulo no es totalmente nítida. Este tipo de transformaciones pretenden modelizar este hecho usando la lógica borrosa. La lógica borrosa usa un continuo de valores de verdad en el intervalo [0, 1]; consúltese [Hal03]. En este modelo los intervalos se acomodan en clases según la tabla siguiente: Clase Intervalos Nombre -4 < -7 Salto descendente grande -3 -7,-6,-5 Salto descendente -2 -4,-3 Paso descendente grande -1 -2,-1 Paso descendente 0 0 Unísono 1 1, 2 Paso ascendente 2 3, 4 Paso ascendente grande 3 5, 6, 7 Salto ascendente 4 > 7 Salto ascendente grande Tabla 1: Clasificación de los intervalos usando lógica borrosa. Los intervalos se cuentan por semitonos en la tabla. Para ilustrar este concepto, consideremos la melodía abstracta dada por la sucesión : la cual está extraída de los primeros ocho compases del tema principal de las variaciones K. 265 Ah, vous dirai-je, Maman; véase la figura 2. De esta representación eliminamos el ritmo, la segunda componente, y calculamos los intervalos consecutivos: Finalmente, calculamos la melodía borrosa (una vez que le aplicamos la clasificación por clases de la tabla 1): 3.3 Transformaciones usando la transformada de Fourier La transformada discreta de Fourier proporciona una buena descripción general de la forma del contorno melódico, especialmente si hay células melódicas repetidas. Tiene también la ventaja de la invariancia. Por ejemplo, la transformada discreta es invariante por cambios de escala. Sin embargo, dado que la transformada discreta de Fourier está pensada para señales periódicas (infinitas), hay ciertos efectos indeseables, el llamado efecto frontera, que hay que tener en cuenta. Véase [Sch99], páginas 303 a 306, para una discusión sobre la transformada discreta de Fourier y sus ventajas e inconvenientes. 4. Transformaciones rítmicas 4.1 Gaussificación La gaussificación de un ritmo consiste en representarlo como la combinación de lineal de distribuciones normales. Cada distribución normal tiene su media sobre cada nota del ritmo; las desviaciones son fijas e iguales para todas las normales. Si tn, n = 1,…,N, es la sucesión de tiempos de la melodía, la gaussificación g(t) es En la figura 3 tenemos un conocido ritmo, la clave son 3/2. Figura 3: El ritmo de la clave son. Si contamos el tiempo en semicorcheas de 0 a 15, las distribuciones normales en las notas ocurren en las posiciones 0, 3, 6, 10 y 12. Fijemos σ = 1 como desviación típica para todas esas distribuciones. Las medias de las normales serán las posiciones de las notas. La figura 4 muestra el gráfico de estas 5 distribuciones normales. Figura 4: Gaussificación de un ritmo. La gaussificación del ritmo entero es la función g(t) = ∑5i=1g i(t) 4.2 Transformaciones borrosas Al igual que las alturas, las duraciones también admiten un tratamiento vía la lógica borrosa. Las duraciones de una melodía se comparan con respecto a la duración d más frecuente en la melodía. Las clases de duraciones se obtienen tomando el cociente c entre el IOI Tn = tn+1 -tn y la duración d. Clase Cociente c Nombre 4 c > 3, 3 duración muy larga 3 1, 8 < c ≤ 3, 3 duración larga 2 0, 9 < c ≤ 1, 8 duración normal 1 0, 45 < c ≤ 0, 9 duración corta 0 c ≤ 0, 45 duración muy corta Tabla 2: Clasificación de las duraciones usando lógica borrosa. Esta clasificación no es la única posible y en la bibliografía se encuentran muchas más; véase la página 7 de [MF04]. 5. Medidas simbólicas Las medidas simbólicas consideran una melodía abstracta como una cadena de caracteres, esto es, como una sucesión finita de símbolos tomados de un alfabeto adecuado. Por ejemplo, la sucesión de alturas de una melodía se puede ver como una cadena de caracteres extraídos del alfabeto formado por el universo de frecuencias. El principal problema que aparece con las medidas simbólicas es que cuando las melodías tienen longitudes diferentes su manejo no es muy elegante y exigen modificaciones engorrosas. Las dos principales medidas simbólicas son la distancia de edición y los n-gramas. 5.1 Distancia de edición El enfoque de la distancia de edición requiere la existencia de ciertas operaciones definidas en las cadenas. Dadas dos cadenas de caracteres, esas operaciones permiten transformar una cadena en la otra. Las operaciones más comunes son inserción, borrado y sustitución. La distancia de edición es el mínimo número de operaciones que hay que realizar para transformar una cadena en la otra. Cada operación tiene un coste asociado y la distancia final es la suma de los costes. Calcular el mínimo de operaciones se puede hacer usando algoritmos basados en programación dinámica. Véase Mongeau y Sankoff [MS90] para una descripción de este tipo de medidas. Si de es una distancia de edición, entonces la expresión es una medida de similitud, donde ∣c1∣,∣c2∣ son las longitudes respectivas de las cadenas. Como ejemplo, consideremos las cadenas C1 = y C2 = . Asociaremos a las operaciones de inserción, borrado y sustitución el mismo coste, que será de una unidad. La distancia de edición de(C1,C2) es 3. Esta distancia corresponde a hacer las siguientes transformaciones: Sustitución de la nota do por re con coste 1: C1 = →. Borrado de la nota fa con coste 1: →. Inserción de la nota si con coste 1: → = C2. La medida de similitud es 5.2 n-gramas La definición de n-grama no puede ser más simple: un n-grama es una cadena de longitud n. Para definir una medida de similitud con n-gramas se estudia la distribución de los n-gramas, para distintos valores de n, en la cadena dada. Por ejemplo, podemos definir la llamada medida del recuento de elementos distintos. Si a y b son dos cadenas, designemos por an el conjunto de los n-gramas distintos en a (se define bn de manera similar). Entonces, la medida de recuento de distintos es Existen otras medidas asociadas a los n-gramas, tales como la medida de Ukkonen o de la suma común; véase la página 10 de [MF04]. 5.3 Conclusiones En este segundo artículo hemos examinado el proceso de construcción de una medida de similitud melódica. Empezamos por estudiar las representaciones abstractas de melodías y continuamos con una revisión de las principales transformaciones de altura, rítmicas, así como las medidas simbólicas. En el próximo artículo estudiaremos medidas de similitud asociadas a las armonía y medidas vectoriales de similitud. Completaremos la serie sobre distancias y similitud melódica con la descripción de los experimentos que realizaron Müllensiefen y Frieler para establecer la medida de similitud en humanos. Referencias [BL51] Béla Bartók and Albert Lord. Serbo-Croatian Folk Songs: Texts and Transcriptions of SeventyFive Folk Songs from the Milman Parry Collection and a Morphology of Serbo-Croatian Folk Melodies. Columbia University Press, 1951. [CIR98] T. Crawford, C.S. Iliopoulos, and R. Raman. String matching techniques for musical similarity and melodic recognition. melodic comparison: Concepts, procedures, and applications. Computing in Musicology, 1(11):73–100, 1998. [Cro98] Charles Cronin. Concepts of Melodic Similarity in Music-Copyright Infringement Suits. Computing in Musicology (ed. Walter B. Hewlett and Eleanor Selfridge- Field). MIT Press, Cambridge, 1998. [Góm11] P. Gómez. Similitud rítmica en el flamenco. Divulgamat, Marzo 2011. [Hal03] Joseph Y. Halpern. Reasoning about uncertainty. 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Viernes, 24 de Junio de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. El concepto matemático de distancia Uno de los conceptos fundamentales con que enseguida nos topamos en matemáticas es el de distancia. La distancia matemática no es más que la abstracción del concepto de cercanía y su cuantificación. Ambas, abstracción y cuantificación, son necesarias para objetivar muchos fenómenos que se encuentran en la práctica matemática. Inicialmente, la distancia se refería al término físico de medir una magnitud física. Pero pronto los matemáticos la aplicaron a otros muchos dominios fuera de la física. En este artículo vamos a examinar el concepto de distancia en el campo de la música, en particular, en el campo de la similitud melódica. Veremos que la formalización del concepto de distancia de similitud melódica implica dificultades que hay que tratar con sumo cuidado, siendo la validación perceptual probablemente la de más envergadura. La generalización de la distancia física en matemáticas recibe el nombre de métrica, especialmente en geometría. Nosotros usaremos ambos términos como sinónimos. Dado un conjunto A, que puede ser lo abstracto y arbitrario que se quiera, una métrica es una aplicación d : A × A → [0,∞), que verifica las siguientes propiedades: Positividad de la métrica: d(x,y) ≥ 0, para todo par x,y ∈ A d(x,y) = 0 si y solo si x = y. Simetría: d(x,y) = d(y,x). Desigualdad triangular: d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z). En la sencilla y juguetona recta real ℜ, la distancia entre dos números se reduce al conocido valor absoluto: d(x, y) = ∣x - y∣ donde x,y ∈ ℜ. En ℜ2, la distancia es la longitud del segmento que une dos vectores v1 = (x1,y1), v2 = ( x2,y2): Bien conocido es que está fórmula proviene del teorema de Pitágoras y que la distancia d(v1,v2) es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por los puntos (x1,y1), (x2,y1) y (x2,y2). La generalización de la distancia al pomposo y vertical espacio ℜn, de n dimensiones, de esas que no podemos ver, solo colegir, es: donde v1 = (x1,…,xn), v2 = (y1,…,yn). En estos espacios de altas dimensiones se suele hablar de distancia euclídea. Pero la fórmula anterior es solo una de las muchas maneras de definir distancias en ℜn. Tenemos las siguientes: La distancia L1: d(v1,v2) = ∑ni=1∣xi - yi∣. En general, la distancia Lp: d(v1,v2) = (∑ni=1∣xi - yi∣p)1∕p. La llamada norma infinito L∞: d(v1,v2) = limp→∞(∑ni=1∣xi - yi∣p)1∕p = max(∣x1 - y1∣,∣x2 - y2∣,...,∣xn - yn∣). La distancia en el espacio euclídeo es la longitud de la trayectoria más corta y este hecho se puede usar para generalizar el concepto de distancia a otros espacios más complicados, como es una esfera, donde la distancia se da por trayectorias geodésicas. En ese caso la distancia se calcula a través de fórmulas de longitud de arco. El concepto de distancia se generaliza a espacios geométricos no euclídeos a través de dichas fórmulas. Dado que la distancia proviene de un concepto tan general como el de cercanía, aparece en muchísimos más áreas de las matemáticas que la geometría, por más que esta área sea vasta. Tan ubicuo es el concepto de distancia que hay un libro de título Dictionary of distance [DD06], Diccionario de distancias, donde los autores hacen un recorrido por las áreas de la matemática en que la distancia tiene un papel relevante. Lo recomendamos vivamente al lector interesado. Así que como muestra de la ubicuidad e importancia vamos a enumerar a modo de telegrama, de fogonazo conceptual, de repaso ufano, las áreas en que aparece la distancia defendiendo sus fueros. DISTANCIAS Y MÉTRICAS Espacios topológicos, m-métricas, distancias topológicas, Métricas en conjuntos arbitrarios NORMAS Distancias geodésicas, geometría proyectiva y geometría afín, métricas riemannianas Teoría de la información Métricas en superficies, métricas intrínsecas, distancias en nudos, distancias en cuerpos convexos Métricas en grupos, métricas en relaciones binarias, métricas en mallas Distancias en cadenas, distancias en permutaciones Métricas en polinomios, métricas en matrices, métricas en espacios funcionales, métricas en operadores lineales Distancias entre variables aleatorias, distancias entre distribuciones Distancias en grafos ponderados, distancias en árboles, distancias entre códigos Distancias de SIMILITUD, distancias de correlación Distancias entre planificaciones de movimiento, distancias entre autómatas Distancias MOEA Métricas digitales Distancias de Voronoi, distancias entre imágenes, distancias entre sonidos, distancias entre redes Distancias entre genes, distancias entre proteínas Distancias en Química, distancias en Geofísica, distancias en Astronomía O más gráficamente: Figura 1: El concepto de distancia en diversas áreas de las matemáticas. 2. Distancias en la música Después de observar cuán flexible y ubicuo es el concepto de distancia, nos preguntamos cómo aparece en la música. En general, todo lo que se refiera a distancias perceptuales se sale de la intuición. Abajo tenemos tres sonidos, llamémosles S1, S2 y S3. Pongamos que la frecuencia de S1 son x hercios. Hacemos saber al lector que las frecuencias de S2 y S3 son, respectivamente, 2x y 3x. Tenga ahora el lector la amabilidad de pinchar sucesivamente en los sonidos de la figura de más abajo (súbase el volumen si es necesario). S1 S2 S3 Figura 2: Tres sonidos diferentes. ¿Le ha parecido al lector que había más distancia entre S1 y S2 que entre S2 y S3? ¿Quizás ha sido al revés? ¿O aún mejor no hay diferencia entre los dos saltos? Al fin y al cabo la diferencia en frecuencia entre cada par es constante. El lector -acaso un poco confundido- dirá que el salto entre S1 y S2 le ha parecido mayor que entre S2 y S3. Y, en efecto, así es. Nuestro oído, acorde con la famosa ley de Weber-Fechner, percibe la relación entre un estímulo y su percepción siguiendo una función logarítmica. Esto explica que el salto de S1 a S2, de proporción 2 : 1, se perciba como mayor que el de S2 a S3, de proporción 3 : 2, que es menor. El problema de la similitud musical -y de la obtención de una distancia- es de los más complejos e importantes. Como Pampal [PFW05] describe con acierto “desgraciadamente, el problema de la similitud melódica es muy complejo, multidimensional, fuertemente dependiente del contexto y de muy mala definición”. La similitud musical es un fenómeno que comprende tres niveles diferentes: el físico, el musical y el psicosocial. En el físico se estudian conceptos de acústica, relacionados con los aspectos físicos del sonido, tal como frecuencia fundamental, armónicos, energía, espectros, duraciones, etc. En el musical, se analizan variables como intervalos (como frecuencias percibidas), ritmos, métrica, armonía, conducción de voces, forma musical, fraseo, etc. Por último, en el nivel sociocultural se examinan variables como la emoción, la motricidad, el carácter, así como aspectos socioculturales. Un modelo de similitud melódica que aspire a ser fiel a la similitud humana ha de tener en cuenta estos tres niveles fenoménicos. Aucouturier y Pachet [AF04] advierten de que hay una limitación intrínseca si solo se modeliza la similitud con variables pertenecientes a uno solo de esos niveles; es necesario tener en cuenta todos. Estos autores hacen estas observaciones porque en el pasado se construyeron muchos modelos basados en la pura descripción física del sonido y, a pesar de su creciente complejidad, no conseguían los resultados esperados. Recientemente, se han empezado a incluir variables de los niveles musical y psicosocial. En esta serie de artículos no vamos a estudiar la similitud musical sino solamente la similitud melódica, que es un problema más pequeño pero no necesariamente más fácil. Perseguimos diseñar una distancia matemática de similitud melódica que refleje lo más fielmente posible la distancia de similitud melódica que tenemos los humanos. Veamos cómo. 3. Similitud melódica Empezaremos por definir formalmente lo que es una medida de similitud melódica, término que como veremos difiere ligeramente del de distancia de similitud melódica. Seguiremos en parte la exposición de Müllensiefen y Frieler [MF04]. Una medida de similitud melódica se define como una aplicación σ : M → [0, 1], donde M es el espacio de melodías, con las siguientes propiedades matemáticas: σ(m1,m1) = 1. La similitud de una melodía consigo misma toma el valor 1. σ(m1,m2) = 1 si y solo si m1 = m2. De hecho, ese valor no se alcanza en ninguna otra situación. σ(m1,m2) = σ(m2,m1). Propiedad de simetría. Sin embargo, dado que estamos en presencia de un fenómeno musical, la anterior definición no es del todo satisfactoria. Por ejemplo, dos melodías transpuestas se oyen claramente como la misma. Acorde a la definición anterior, tendría medida positiva, lo cual contradice la intuición musical. Definimos en M, el espacio de melodías, una relación de equivalencia: m1 está relacionada con m2 si y solo si m2 es una transposición por altura, por tiempo o por un cambio de tempo (velocidad) de m1. Transposición por altura quiere decir que las alturas de las notas de m1 y m2 difieren en una constante; transposición por tiempo significa que dos melodías iguales tocadas en instantes diferentes se consideran iguales; cambio de tempo significa que una melodía tocada a diferente tempo se considera la misma que tocada a su tempo original (esto último es dentro de unos límites razonables, pues se sabe que el tempo puede afectar a la percepción melódica). El espacio de las medidas de similitud es convexo. Dado un conjunto de medidas σ1,…,σn, y un conjunto de pesos ω1,…,ωn tal que ∑ni=1ωi = 1, la función es una medida de similitud. Una distancia de similitud cumple las propiedades enunciadas en la sección 1 al principio del artículo. Es bastante frecuente trabajar con distancias que cuentan el número de diferencias entre dos melodías en lugar de las similitudes, que puede ser más abstracto. Estas distancias se llaman de disimilitud. A partir de una distancia de disimilitud d se puede definir una medida de similitud σd sobre cualquier espacio finito de melodías como sigue: σd(m1,m2) = 1 - d(m1,m2)/δ donde δ = max. Se puede comprobar que si d cumple las propiedades de invariancia musical, entonces σd es una medida de similitud. Para que el lector sea consciente de la dificultad del problema de la similitud melódica, considérese las conocidas variaciones de Mozart K. 265 sobre el tema popular Ah, vous dirai-je, Maman. La melodía es diáfana, compuesta por intervalos simples y con una estructura sencilla, una subida y una bajada en la primera y dos bajadas en la segunda frase. En la figura 3 se puede ver la partitura; si se pincha en la partitura suena el tema completo, con la mano izquierda. Figura 3: El tema principal de las variaciones K. 265 de Mozart. La primera variación consiste en una versión ornamentada en corcheas del tema principal. Ahora las subidas y bajadas, casi todas por grados conjuntos, se multiplican y el oyente se da cuenta de esa fragmentación de la dirección melódica. También aparecen pequeñas dominantes secundarias que sugieren refuerzos de los grados V y VI (sol y la). En la figura 4 tenemos la partitura (de nuevo pinchando en la figura se puede oír la variación): Figura 4: La primera variación del K. 265 de Mozart. Por último consideremos la variación V, que consiste en cambios de figuración rítmica. Mozart pasa de las dos negras del tema a la figura negra, silencio de corchea y corchea. Más tarde esta figura a un puro contratiempo. Desde el punto de vista de las alturas, aparecen más intervalos cromáticos. Se puede ver la partitura en la figura 5. Figura 5: La quinta variación del K. 265 de Mozart. En el siguiente vídeo se puede ver una interpretación de las variaciones completas. En el minuto 2:05 está la quinta variación. Las preguntas son las siguientes: ¿Cuál de las dos variaciones, la I o la V, es más similar al tema principal? ¿Cómo se cuantifica tal diferencia? ¿En que variables se fundamenta la respuesta, cualquiera que sea el resultado? ¿Cómo obtener un modelo de similitud melódica que sea fiel a la medida humana de similtud? 4. Conclusiones Concluimos aquí este primer artículo sobre la distancias matemáticas y la similitud melódica. Primero, hemos repasado algunos conceptos matemáticos de distancia. Después hemos expuesto cómo se define en música la distancia de similitud melódica. En el siguiente artículo glosaremos las distancias más importantes y explicaremos cuál es la razón de ser de cada una. En el tercer y último artículo abordaremos la peliaguda cuestión de la validación perceptual de todas esas distancias. Bibliografía [AF04] J.-J. Aucouturier and Pachet F. Improving timbre similarity: How high is the sky? Journal of Negative Results in Speech and Audio Sciences, 1(1), 2004. [DD06] E. Deza and M. Deza. Dictionary of Distances. Elsevier Science, 2006. [MF04] D. Mullensiefen and K. Frieler. Cognitive adequacy in the measurement of melodic similarity: Algorithmic vs. human judgments. Computing in Musicology, 13:147–176, 2004. [PFW05] Elias Pampalk, Arthur Flexer, and Gerhard Widmer. Improvements of audio-based music similarity and genre classificaton. In ISMIR’05, pages 628–633, 2005.
Sábado, 21 de Mayo de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción El discurso musical progresa a través de múltiples transformaciones de su material musical. Estas transformaciones ocurren en el ámbito melódico, rítmico, armónico, tímbrico, en la conducción de voces y en la estructura formal. Cómo varíe el material musical, acorde a qué reglas gramaticales, es propio e idiomático de cada estilo y época. Además, la percepción y evaluación de las transformaciones del material musical por parte del oyente dependerán intrínsecamente del concepto de similitud musical. Dada su importancia, este concepto se ha examinado con profundidad y aún hoy sigue siendo objeto de investigación intensa. La similitud musical se ha estudiado por varias disciplinas: en etnomusicología [BL51], [See66]; en análisis musical [LJ83], [Mey73]; en la resolución de conflictos de propiedad intelectual [Cro98]; en tecnología musical [MS90]; en psicología de la música [Sch99], [HE01], [MM01], [HE02], [HCR03]. Sin embargo, es un problema difícil de abordar, bien escurridizo, pues la percepción de la similitud musical es subjetiva y cambia fácilmente con el contexto. La similitud melódica y armónica se ha estudiado con más detalle que la rítmica, aunque esta situación ha empezado a cambiar recientemente. En este artículo vamos a examinar medidas de similitud rítmica en la música flamenca. Varios autores han estudiado cómo medir la complejidad rítmica. En general, las medidas explotan diversas propiedades del fenómeno rítmico. Por ejemplo, ciertas medidas asignan pesos según la jerarquía métrica, como la de Longuet-Higgins y Lee [LHC84], la complejidad métrica de Toussaint [Tou02] o el índice de contratiempo [Tou03]; otras medidas adjudican pesos a ciertos eventos musicales, tales como la medida de Keith [Kei91], de carácter combinatorio, o la medida WNBD (weighted note-to-beat distance) [GMRT05], basada en la distancia de las notas a las partes fuertes de la métrica. Para un estudio completo de estas medidas, véase Gómez et al. [GTT07]. Sin embargo, la crítica que se hace a todas estas medidas es la falta de validación perceptual, esto es, la falta de experimentos rigurosos que prueben que las medidas evalúan correctamente la similitud perceptual. El objetivo al diseñar una medida de estas características es obtener una medida que se corresponda con la percepción humana de la similitud musical, al menos bajo determinadas condiciones. Con frecuencia, las medidas se construyen en base a ciertas hipótesis o a ciertas propiedades de los ritmos, pero posteriormente no se comprueba la validez perceptual de la medida. Gómez y sus colegas en [GTT07] comprobaron la validez de 10 medidas de síncopa distintas a partir de los datos experimentales de Shmulevich y Povel [SP98]. Ese trabajo puso de manifiesto que algunas medidas tenían una validez perceptual muy pobre. Otro trabajo a destacar es el de Guastavino y sus colegas [GGT+09], en el que analizan dos distancias de similitud rítmica, presentadas en [DBFG+04], y realizan experimentos con sujetos para estudiar la correlación entre los resultados predichos por las medidas y los obtenidos por los sujetos. En el artículo de este mes examinamos las ideas y resultados expuestos en el trabajo de Guastavino y sus colegas. 2. Similitud rítmica 2.1. El ritmo flamenco El flamenco es una música que surgió a finales del siglo XVIII en Andalucía y que está formada por una mezcla de varias influencias, tales como la propia música folclórica de Andalucía, junto con la música gitana, árabe, bizantina, incluso la música judía. La mezcla de estas influencias, destiladas por el alambique del tiempo y la práctica musical, produjeron una música altamente estilizada y compleja, con características muy peculiares. Entre las características más llamativas del flamenco se encuentra su acompañamiento con palmas. Las palmas pueden ser fuertes o sordas y en flamenco sirven como elemento métrico, como patrón de referencia temporal e incluso actúan como voz independiente, con su propia personalidad rítmica. Aquí trataremos los patrones rítmicos que sirven como referencia temporal. En música algunos autores los llaman claves [Uri96], [Ort95]. Una clave se define como un patrón rítmico que se repite durante la pieza y cuyas funciones principales son la estabilización rítmica y la organización del fraseo musical (no confundir clave con referente de densidad). Los estilos flamencos, atendiendo a su compás, se clasifican en binarios, ternarios, alternos e irregulares [Fer04]. Cada estilo en el flamenco tiene una clave asociada. Los estilos binarios usan como clave un mismo patrón rítmico, [. x x x], donde [.] representa una palma sorda y [x] una palma fuerte; no obstante, a veces se toca como la palma sorda como silencia y la palma fuerte como palma normal. Los patrones ternarios son 5 y abarcan muchos más estilos, y son el objeto de nuestro estudio. En la figura de abajo tenemos las claves asociadas a los ritmos ternarios representados con la notación de y [. ] y [x]. Figura 1: Las claves ternarias del flamenco. Claves ternarias. Pínchese en cada patrón rítmico para escuchar una versión de MIDI. FANDANGO: SOLEÁ: BULERÍA: SEGUIRIYA: GUAJIRA: Quede claro el hecho de que es posible que la clave no se toque en una interpretación determinada de una pieza. Eso no obsta para que los músicos flamencos tengan la clave en la cabeza y la organización musical se rija por ella. Es igualmente posible oír versiones muy ornamentadas de la clave. Una misma clave sirve para varios estilos y, por tanto, los nombres que aparecen en la figura están elegidos según la nomenclatura de Gamboa [Gam02]. Por ejemplo, el patrón del fandango se usa para las sevillanas; el de la soleá para las bulerías bulerías o alegrías; el de la bulería para las bulería por soleá; el de la seguiriya para las serranas o saetas; y, finalmente, el de la guajira para las peteneras. Para ilustrar el fenómeno de la clave, vamos a escuchar la guajira Hermosísima cubana en la interpretación de Pepe de Lucía en la película Flamenco. Ciertamente aquí no se oye a un palmero tocar el ritmo [x . . x . . x . x . x. ], pero está presente en toda la pieza. Es claro a partir de la introducción lenta y lírica de la pieza, en el minuto 0:27, y muy evidente a partir del minuto 1:00. 2.2. Distancias de similitud rítmica Las dos medidas de similitud rítmica que estudiaron Guastavino y sus colegas fueron la distancia cronotónica y la distancia de permutación dirigida. La primera fue propuesta por Gustafson [Gus88] para medir la distancia rítmica entre segmentos de habla. La segunda fue propuesta por Díaz-Báñez y sus colegas en [DBFG+04]. La distancia cronotónica representa el ataque de las notas y su duración a la vez. Para ello, usa una especie de histograma en que en el eje x se representan los ataques y en el eje y la duración de las notas. En la figura 2 se muestra las representaciones cronotónicas (también llamadas TEDAS) de las claves ternarias. Figura 2: La representación cronotónica de las claves ternarias del flamenco. La distancia cronotónica se calucla midiendo el área que queda entre dos ritmos superpuestos entre sí. La zona rayada de la última gráfica de la figura 3 representa la distancia entre el patrón del fandango y el de la bulería. Figura 3: La distancia cronotónica entre el fandango y la seguiriya (tomado de [DBFG+04]). La distancia de permutación dirigida se basa en contar el número mínimo de operaciones para transformar un ritmo dado en otro. Es una generalización de la distancia de Hamming. Esas operaciones se limitan a intercambios de notas o silencios entre posiciones adyacentes y tienen las siguientes restricciones: Ambos ritmos han de tener el mismo número de pulsos. En nuestro caso todos tienen 12 pulsos. Se convierte el ritmo de más notas, R1, al de menos notas, R2. Cada nota de R1 tiene que moverse a una nota de R2. Cada nota de R2 ha de recibir al menos una nota de R1. Las notas no pueden cruzar el final del ritmo y aparecer por el principio. En la figura 4 se muestra la distancia de permutación dirigida entre el fandango y la seguiriya; se pueden apreciar los movimientos de las notas de la seguiriya para transformarse en el fandango. El número de movimientos es mínimo. Figura 4: La distancia de permutación dirigida entre el fandango y la seguiriya (tomado de [DBFG+04]). En las tablas 2.2 y 2.2 tenemos las matrices de disimilitud para ambas distancias. Las matrices se llaman de disimilitud porque las distancias reflejan cuán lejos está un ritmo de otro. Soleá Bulería Guajira Seguiriya Fandango Soleá 0 Bulería 6 0 Guajira 4 8 0 Seguiriya 8 12 8 0 Fandango 10 14 6 6 0 Tabla 1: Matriz de disimilitud para la distancia cronotónica. Soleá Bulería Guajira Seguiriya Fandango Soleá 0 Bulería 1 0 Guajira 7 8 0 Seguiriya 11 12 4 0 Fandango 7 8 2 4 0 Tabla 2: Matriz de disimilitud para la distancia cronotónica. 2.3. Grafos filogenéticos El conjunto de distancias de las matrices es difícil de visualizar y aún menos los posibles agrupamientos que puedan esconder los datos. Desde hace mucho tiempo los bioinformáticos usan una herramienta tremendamente útil para este propósito: los árboles filogenéticos. Técnicamente, deberían llamarse grafos filogenéticos, puesto que pueden salir grafos generales, pero por razones históricas se ha mantenido el nombre así. Estos grafos se construyen de tal manera que la distancia entre dos nodos corresponde tan exactamente como es posible a la distancia dada en la matriz. Hay un índice de ajuste asociado al grafo filogenético que indica la bondad del ajuste del grafo a la matriz de distancias. El algoritmo que construye el grafo es iterativo. En principio, el algoritmo intenta ajustar la matriz a un árbol; si ello no es posible, introduce un número mínimo de nodos para realizar el ajuste. El programa que usaron Díaz-Báñez y Guastavino fue SplitsTree, creado por Hudson y Bryant [HB06]. En las figuras 5 y 6 se exponen los árboles correspondientes a ambas distancias. Nótese que el índice de ajuste es muy alto para cada distancia, 99,2% y 100%, respectivamente. Esto asegura que el grafo refleja fielmente la distancia.   Figura 5: Árbol filogénetico para la distancia cronotónica (tomado de [GGT+09]).   Figura 6: Grafo filogénetico para la distancia de permutación dirigida (tomado de [GGT+09]). De la figura 5 se sigue que el grafo de la distancia cronotónica sugiere tres grupos: uno formado por el fandango y la seguiriya; un segundo, por la soleá y la bulería. Para la distancia de permutación dirigida el agrupamiento sugerido es ligeramente distinto: un primer grupo lo componen la soleá y la bulería; otro central, la guajira y el fandango; por último, está la seguiriya en un grupo aislado. 3. La validación perceptual 3.1. Los experimentos Guastavino y sus colegas comprobaron la validez perceptual de las dos distancias en cuestión a través de una serie de experimentos. Sospechaban que la formación musical influía en la percepción, de modo que diseñaron tres experimentos: el primero fue para sujetos sin conocimientos de flamenco ni formación musical reglada; el segundo para músicos con formación clásica; y el tercero para músicos de flamenco. Por brevedad solo describiremos el primer experimento. El lector interesado puede consultar los detalles en [GGT+09]. En el experimento participaron 12 sujetos, con media de edad 25 y desviación típica 4. El experimento se diseñó para que los sujetos se concentrasen en la duración de las notas, puesto que las distancias matemáticas fueron diseñadas con esa intención. Por ello, el estímulo del experimento consistió en sonidos de palmas generados vía MIDI con el programa Finale. Los ritmos se generaron en tres diferentes tempi (es sabido que el tempo influye en la percepción musical); dichos tempi fueron 50, 70 y 90 negras por minuto, respectivamente. Se programó una aplicación para que los sujetos introdujesen los índices de disimilitud. El experimento tuvo lugar en una habitación acústicamente aislada. Los ritmos, como es habitual en estos experimentos, se presentaron en orden aleatorio. Se pedía a los sujetos que evaluasen la disimilitud entre todas las parejas de patrones rítmicos. Pinchando en la lista de ritmos se pueden oír los estímulos correspondientes al tempo de 70; a los sujetos solo se les presentaba cada ritmo una sola vez, pero ellos podían todas las veces que quisiesen. Estímulos: FANDANGO: SOLEÁ: BULERÍA: SEGUIRIYA: GUAJIRA: Asimismo, se llevó a cabo un análisis de varianza y se encontró que no había diferencias significativas con respecto al tempo. Cada sujeto proporcionó una matriz de disimilitud. Se sumaron todas las matrices y se obtuvo una matriz global de disimilitud. El árbol correspondiente a dicha matriz se puede observar a continuación; compárese con las figuras 5 y 6.   Figura 7: Grafo filogénetico de la distancia perceptual (tomado de [GGT+09]). Ignórese el nodo marcado como "ancestral" en la figura 7, pues es un ritmo extra que se añadió para comprobar cierta hipótesis que sale fuera del alcance de este artículo. Para hallar la correlación entre las matrices de disimilitud se usó el test de Mantel. 3.2. El test de Mantel Como es conocido, hay muchas técnicas para estudiar agrupamiento: técnicas jerárquicas y no jerárquicas, escalamiento multidimensional, análisis de correspondencia, etc. Estas técnicas generan agrupamientos de los datos de entrada, pero no permiten una adecuada comparación entre dos agrupamientos dados. En nuestro estudio obtuvimos dos matrices de disimilitud y elegimos como método de agrupamiento los árboles filogenéticos, muy usados en Bioinformática. Tienen ciertas ventajas sobre otros métodos de agrupamiento y entre ellas se cuenta la facilidad de visualización. Sin embargo, el problema aquí es cómo comparar dos matrices, o equivalentemente cómo comparar dos matrices de disimilitud. Hacer la correlación directa entre las matrices sería incorrecto matemáticamente. Las distancias de las matrices claramente no son independientes, ya que cambiar una distancia afectaría a n-1 distancias. Por tanto, no podemos evaluar la relación entre las dos matrices simplemente evaluando su coeficiente de correlación entre los dos conjuntos de distancias y examinando si es estadísticamente significativa. El test de Mantel resuelve este problema realizando varios test sobre permutaciones de las matrices. El procedimiento del test de Mantel se describe brevemente a continuación (véase [Wik11] y sus referencias): Procedimiento: El procedimiento consiste en un test de permutación. Se calcula la correlación entre los dos conjuntos de [(n(n-1))/2] de distancias. Dicha correlación es a la vez la medida de correlación y el estadístico sobre el que se basa el test. En principio, cualquier coeficiente de correlación se puede usar, pero es muy frecuente tomar el coeficiente de correlación de Pearson. Contraste de hipótesis: Al contrario del procedimiento habitual con el coeficiente de correlación, para evaluar cualquier desviación de la correlación nula, las filas y columnas de la matriz se someten a permutaciones aleatorias varias veces, y se calcula el coeficiente de correlación cada vez. La significación de la correlación observada es la proporción de dichas permutaciones que conducen a un coeficiente de correlación alto. La hipótesis nula: el razonamiento es que si la hipótesis nula de que no hay relación entre las matrices es cierta, entonces permutar las filas y las columnas de la matriz debería producir con igual probabilidad un menor o mayor coeficiente. Además de superar el problema de la dependencia estadística de los elementos de las dos matrices, usar los test de permutación elimina la necesidad de hacer hipótesis sobre la distribución estadística de los elementos de las matrices. 3.3. Resultados El test de Mantel para determinar la correlación entre las matrices de las distancias matemáticas y las distancias perceptuales arrojó los siguientes resultados: Correlación entre las medidas perceptuales y la distancia de permutación dirigida: r=0'76 y p=0'03. Correlación entre las medidas perceptuales y la distancia cronotónica: r=0'66 y p=0'017. Se puede ver que la correlación es más alta para la distancia de permutación dirigida que para la distancia cronotónica, si bien en ambos casos es alta. También se puede observar que las medidas perceptuales se acercan más a la distancia de permutación dirigida que a la distancia cronotónica, tanto en términos de agrupamiento como del ritmo más diferente. 4. Conclusiones Como dijimos al principio del artículo, el trabajo de Guastavino y colaboradores tiene la virtud de comprobar la validez perceptual de las distancias matemáticas. Los resultados del experimento corroboran su validez. No obstante, los resultados son limitados, pues el número de patrones rítmicos es muy pequeño. En mi (humilde) opinión, y a pesar de ser coautor de los dos artículos, creo que la distancia de permutación dirigida no refleja la distancia perceptual del ritmo. He aquí un ejemplo que ilustra mi objeción. Consideremos los dos ritmos siguientes: R1 = [x . . x . . x . . . x . x . . . ] (la clave son). R2 = [x . . x . . x . . . x . . x . . ] (la clave bossa-nova). Su distancia de permutación dirigida es 1; basta mover la quinta nota de la clave son un pulso hacia delante para obtener la clave bossa-nova. Sin embargo, perceptualmente son muy diferentes. El primer ritmo, la clave son, tiene una clara estructura de pregunta/respuesta; pínchese en el ritmo para comprobarlo. Mientras que el segundo, la clave bossa-nova no tiene esa estructura, sino otra más compleja. La clave bossa-nova está formada por cuatro notas de duración tres pulsos y una nota de duración cuatro pulsos. Esta composición hace que tras oírse unas cuantas veces, a causa del principio de continuación, la clave se perciba como un único tren de pulsos regulares de duración tres pulsos acabado por uno de cuatro; pínchese en el ritmo para comprobarlo. Con este ejemplo vemos que dos ritmos a distancia 1, la mínima distancia que puede dar la distancia de permutación dirigida, pueden ser perceptualmente muy diferentes. CLAVE SON: CLAVE BOSSA-NOVA:   Bibliografía [BL51] Béla Bartók and Albert Lord. Serbo-Croatian Folk Songs: Texts and Transcriptions of SeventyFive Folk Songs from the Milman Parry Collection and a Morphology of Serbo-Croatian Folk Melodies. Columbia University Press, 1951. [Cro98] Charles Cronin. Concepts of Melodic Similarity in Music-Copyright Infringement Suits. Computing in Musicology (ed. Walter B. Hewlett and Eleanor Selfridge- Field). MIT Press, Cambridge, 1998. [DBFG+04] Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint. 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An experimental comparison of formal measures of rhythmic syncopation. In Proceedings of the International Computer Music Conference, pages 101-104, Copenhagen, Denmark, August 2007. [Gus88] Kjell Gustafson. The graphical representation of rhythm. In (PROPH) Progress Reports from Oxford Phonetics, volume 3, pages 6-26, University of Oxford, 1988. [HB06] Daniel H Huson and David Bryant. Application of phylogenetic networks in evolutionary studies. Mol Biol Evol, 23(2):254-267, 2006. [HCR03] Ulrike Hahn, Nick Chater, and Lucy B. Richardson. Similarity as transformation. Cognition, 87:1-32, 2003. [HE01] Ludger Hofmann-Engl. Towards a cognitive model of melodic similarity. In Proceedings of ISMIR Conference, Bloomintong, Indiana, 2001. [HE02] Ludger Hofmann-Engl. Rhythmic similarity: A theoretical and empirical approach. 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The Essence of Afro-Cuban Persussion and Drum Set. Warner Brothers Publications, Miami, Florida, 1996. [Wik11] Wikipedia. Mantel test. http://en.wikipedia.org/wiki/Mantel_test, accedido en febrero de 2011.
Jueves, 10 de Marzo de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Philippe Donnier
Presentar a quien se admira es un raro placer del que hoy disfruto con total desinhibición. Hoy tenemos a Philippe Donnier entre nosotros, esto es, tenemos a un músico y científico, pues es doctor en Etnomusicología por la Universidad París X e ingeniero superior por la École Supérieure de Physique et Chimie de Paris (ESPCI); pero también a un bohemio genuino, profundo amante del flamenco, que lo aprendió en las cuevas del Sacromonte, que se curtió en los tablaos más exigentes; tenemos ante nosotros a todo un personaje por carácter y bonhomía,  por rigor intelectual y pasión musical. Lo traigo aquí porque hace un tiempo escribió un delicioso cuento llamado El duende y el reloj. En él explora y explica la rítmica flamenca a la vez que trata temas como el tiempo y su carácter relativo,  o propone un viaje iniciático al estilo de Alicia en el país de las maravillas o El principito. Pronto le ofrecieron adaptarlo a la escena y así el 7 de julio de 2010 se estrenaba la obra en el Gran Teatro de Córdoba. La compañía de Javier Latorre tuvo el honor, con música original de Gabriel Expósito y Juan Requena. El duende y el reloj es una obra que contiene claves musicales mucho más sutiles que las proporcionadas por una lectura somera. En este artículo, cuyos resultados ya fueron presentados en sociedad en el Concurso Nacional de Arte Flamenco de Córdoba de 2010,  Philippe Donnier desentraña esas claves. Parte de esas claves pueden entenderse, sin duda, en relación a las matemáticas, y es por ello que este artículo en esta en esta sección. Sin embargo, no espere el lector un artículo al uso, sino provocación, sentido del humor, erudición y autenticidad. En suma, Philippe Donnier en estado puro. Francisco Gómez Martín Claves para El Duende y el Reloj Philippe Donnier, doctor en etnomusicología Nacimiento de un cuento El cuento original nació de un proyecto educativo de “2006 Año del Flamenco” dirigido a alumnos y profesores de música de escuelas de enseñanza primaria de Córdoba. Escribí la primera versión (unas noventa páginas) como texto de referencia del curso de tres meses que iba a contar con la colaboración de alumnos del Conservatorio Superior y de la Escuela de Danza. A pesar del apoyo de todas las instituciones implicadas, el proyecto fue rechazado por la Delegación de Educación y Ciencia por razones todavía enigmáticas. El pobre Duende se quedó durmiendo un año, hasta que la editorial cordobesa Puntoreklamo[1] tuvo el buen gusto de proponerme la edición de la primera parte[2]. Mientras tanto, se me ocurrió enseñar las cuatro primeras páginas del manuscrito a Javier Latorre. Se entusiasmó inmediatamente y me pidió una adaptación escenográfica para representarla con su compañía. Después de dos intentos fallidos, se estrenó el 7 de julio 2010 en el Gran Teatro de Córdoba. El propósito de este artículo es desarrollar los análisis teóricos más originales que han sido claves para el desarrollo de la obra. A modo de prolegómeno, me parece útil presentar unos cuantos conceptos básicos relacionados con las ciencias humanas. Paradigmas y etnocentrismo. Según el epistemólogo Thomas S. Kuhn 1922-1996)[3], los modelos paradigmáticos que proporcionan los preconceptos a partir de los cuales se forman las diferentes teorías de nivel inferior son tan metafísicos como científicos (y tan conscientes como inconscientes). A lo largo de la historia (eje diacrónico) los cambios de paradigma, de naturaleza revolucionaria, han sido a menudo traumáticos. En el campo de las ciencias humanas la postura etnocéntrica es también de tipo paradigmático pero el cambio no se hace en el tiempo sino en el espacio[4], el nuevo paradigma es el de un “otro” contemporáneo (plano sincrónico), hay tanto paradigmas como culturas. Para evitar desarrollos teóricos bastará con unos cuantos ejemplos: - “lo que hace más fácil el español es que las cosas se dicen como son y no como vosotros, los extranjeros, que le cambiáis el nombre a todo”, me decía un viejo andaluz. - “¡Que mal educados son los andaluces, nunca dan las gracias!”, dirá un francés al no concebir que, en el ámbito familiar, dar las gracias cada vez que te sirven agua o te pasan el pan es de bien educado en Francia pero de pesao en Andalucía. - “El compás de Seguiriya es un 6/8;3/4[5] que los flamencos cuentan al revés con acentos irregulares”, considerará un músico clásico. Dentro de la postura etnocentrista, Mi cultura es LA cultura, Mi código de buena educación es LA buena educación, Mi moral es LA moral. El lingüista americano Kenneth L. Pike (1912–2000)[6] introdujo la oposición entre descripción ética[7] y descripción émica, cogiendo de la lingüística las sílabas finales de los términos fonética y fonémica. Las descripciones fonéticas pertenecen al campo de la acústica (sonido producido) y al de la fisiología (punto de articulación y tipo de emisión de voz que permite describir el mecanismo de formación de los sonidos hablados), son de carácter objetivo y universal. Al contrario, una descripción fonémica explica el sistema lingüístico de una cultura en particular y se entiende desde la cultura estudiada. Así en etnología, una descripción ética es teóricamente del orden de la descripción objetiva, independiente de la cultura estudiada, de tipo etnográfico (aunque corra siempre el peligro de caer en un etnocentrismo paradigmático). Al contrario, una descripción émica se tiene que realizar desde la subjetividad de la cultura estudiada, es de tipo etnológico; exige del investigador aceptar el relativismo cultural e intentar, cueste lo que cueste, establecer una relación de empatía con la cultura estudiada para poner en evidencia los rasgos pertinentes de los objetos estudiados, adentrándose en su sistema de valores a priori diferente del suyo. En realidad, las dos posturas son algo utópicas pero tienen que servir de referencia ideal o de brújula para cada investigador. Al ser el flamenco una música de tradición oral y para hacer la lectura asequible al más amplio público, intentaré usar lo menos posible la escritura musical clásica, creada desde y para la música étnica de la burguesía occidental[8]. Queda por tanto bien claro que el flamenco es “otra música” cuyos rasgos pertinentes son a priori ajenos al mundo clásico, aunque se aproveche a posteriori todos los elementos de la teoría clásica compatibles con un análisis émico (desde la cultura flamenca) del corpus estudiado[9]. Para evitar cualquier confusión, me referiré siempre en este artículo al flamenco reconocido por la mayoría de los investigadores actuales como “clásico”, el que podemos disfrutar en las mejores antologías publicadas entre los años 50 y los 80, las más representativas siendo las dos publicadas por Hispavox[10]. Creación del tiempo y ciclos métricos básicos de 2 a 6 tiempos En el cuento, el tiempo nace de la nada por acción de una pluma que roza la nariz de un Duende etéreo con el corazón parado. El Big Bang desencadenado por un improbable efecto mariposa evoca el carácter casual y aparentemente repentino del acto creador. El horrible crack de carraca que marca la única hora del reloj despierta los primeros latidos del corazón, la emoción del Duende se manifiesta por una lágrima. Es esta lágrima que da finalmente vida al Duende de carne y huesos que aparece en el escenario en su esencia desnuda[11]. El sentir flamenco, como cualquier emoción estética andaluza, pasa a menudo por el dolor[12]. El reloj, medidor del tiempo físico ni siente ni piensa, solamente funciona, mientras no esté sometido a los ruidos “parásitos” del grupo de guiris que interfieren con su regularidad; figura el carácter dictatorial del pulso metronómico mecánico. En cuanto al Duende, este tiempo unario eternamente repetido le aburre rápidamente. Necesita contrastes que le sirvan de referencias en el fluir del tiempo. A punto llega el cojo con su pata de palo (C) o Dalí con su bastón (T)[13] para marcar un contraste binario: - ni más flojo ni más fuerte, solamente diferente, comenta el Duende, que descansa después de haber descubierto el 2 y sueña un baile de Zambra (T, C), muy en boga en los tiempos de Sabicas, que da vida así al ciclo binario. Investigando, el Duende encuentra solito el ciclo ternario que cuenta 1-2-3 explicitando además “con el acento en el 3”. Verdiales (C) y jaleos soñados (T) se construyen sobre esta referencia métrica. Los flamencos no suelen contar los verdiales pero usan para enseñar este ritmo con las castañuelas la serie onomatopéyica siguiente: riá riá pi ta 1 2 3 Según la teoría clásica, esto dejaría suponer una percepción “anacrúsica” que, por sistema, coloca el tiempo fuerte al principio del compás:  . No obstante, como vimos antes, a priori no tenemos porque por qué adoptar esta nomenclatura. Esperaremos adentrarnos más profundamente en el sistema rítmico flamenco antes de tomar una decisión. Para llegar a 4, nuestro Duende aritmético naïf piensa que basta con sumar 2+2. Craso error pues las estructuras rítmicas, que se rigen por las leyes de las funciones periódicas, vuelven a tomar el mismo valor al cabo de cada ciclo. Aparece el filósofo y matemático Descartes quién, socarrón, le comunica desde el cielo que, en la aritmética de los ciclos[14], 2+2=2. El Duende encuentra la solución cambiando la suma anterior por 1+3, esta manera de analizar los ciclos rítmicos no se basa en una supuesta acentuación periódica sino en agrupaciones perceptivas[15], consecuencias de contrastes entre texturas o formas sonoras distintas. / palma palma palma pie / / / 1 2 3 4 Un baile por tango (C) o un sueño por farruca (T) dan vida al ciclo métrico cuaternario. En cuanto al 5, el Duende lo rechaza por impar y primo. ¡Allá el! En el País Vasco, se canta y se baila el zortzico sobre ciclos de cinco tiempos (C). Al llegar al 6, el Duende cae otra vez en la trampa periódica 3+3=6 pero una mirada irónica de Descartes le hace recapacitar y propone el ciclo 3+2+1, coherente con la asimetría de palmas y toques por Huelva y sevillanas, compás enigmático desde la teoría clásica. La marca ternaria del pie induce a transcribir los fandangos de Huelva encajándolos en compás de 3/4, dejando así sin diferenciar las estructuras básicas del verdial y de Huelva (sevillanas en C y T). ¿Por qué Huelva y verdiales tienen aires tan distintos? El espacio unidimensional de los compases clásicos no permite esclarecer este enigma. En realidad la particularidad de Huelva radica en un ritmo multidimensional inducido por el ritmo del cante. Cuando un músico no flamenco escucha el conocido fandango “Alosnoo – , Con tu reejas - de acerooo...”, marca instintivamente con el pie ciclos binarios sobre las sílabas destacadas en negritas[16]. Para acompañar un cante por Huelva, guitarristas populares habrán utilizado el toque de verdial (cuya textura sonora tiene una periodicidad ternaria como hemos visto más arriba). Esta superposición de dos referencias métricas distintas ha engendrado una estructura rítmica multidimensional. Los ciclos ternarios de los rasgueos de guitarra “contaminados” por los acentos binarios del cante han generado ciclos de 6 tiempos. Un experimento formal permite comprobar esta teoría. Para evitar toda subjetividad de parte del guitarrista, gravamos el sonido MIDI de la transcripción de un compás de verdial tocado en bucle. Con un programa de sonido subimos la intensidad de las percusiones impares sobre un ciclo de 6 pulsos (2 ciclos de verdial) Cuando presento este ciclo sintético asimétrico en congresos, conferencias y seminarios, los aficionados flamencos suelen reconocer el “aire” de Huelva. El gráfico siguiente describe Huelva como ritmo bidimensional en un espacio intensidad x textura x tiempo[17] La estructura armónica de los fandangos de Huelva confirma la ambigüedad binaria/ternaria de este toque. Si generalizamos este análisis, podemos establecer la ley siguiente: cuando una serie sonora tiene n dimensiones, el periodo del conjunto es el mínimo común múltiplo de los n periodos correspondientes a cada dimensión. Las dimensiones musicales pueden ser muy variadas: percusión, melodía, armonía, timbre, etcétera. En todos estos casos, no tiene porque por qué haber ningún acento que defina los motivos periódicos, basta con contrastes de sonido o distancias temporales, de ahí la reflexión del Duende cuando descubre el ciclo binario: - Ni más flojo, ni más fuerte, solamente diferente. La acentuación binaria (real o virtual) superpuesta a la textura ternaria lleva a una segmentación perceptiva asimétrica con desaparición o debilitación importante del tiempo 6 del motivo rítmico:[18] Aunque el pie marque ciclos de tres tiempos, las palmas básicas por Huelva y por sevillanas son también asimétricas y generan un motivo cíclico de 6 tiempos, confirmando así nuestro análisis. Al analizar las falsetas por Huelva a la luz de los contrastes de texturas o de movimientos melódicos en lugar de buscar hipotéticos acentos, se descubren estructuras atípicas que no cuadran en absoluto con el compás de 3/4. Las tres fórmulas más frecuentes son: [3+2+1] [3 x 2] [1      2      3      |1      2      |1      ]          [1      2      |1      2      |1      2      ] tipo [3+2+1] (esquemas de referencia) tipo [3 X 2] (Niño Ricardo) Sistema de improvisación En la época clásica, el guitarrista flamenco no solía improvisar como lo hacen los músicos de jazz, creando melodía nueva en cada actuación sobre una “rueda” rítmico-armónica fija propia de una melodía “estándar”. En la guitarra flamenca “clásica”, se improvisa concatenando módulos prefabricados que son de dos tipos: - Módulos que combinan rasgueos y percusiones en compases[19] rítmicos o secciones libres[20] sobre acordes de la tonalidad respetando los usos del toque elegido. - Falsetas que son pequeñas obras melódicas autónomas desarrolladas dentro de los cánones de cada toque. Los dos tipos de módulos alternan libremente en función de las circunstancias (cante, baile o sólo) y de la inspiración. Cada guitarrista tiene un amplio repertorio de falsetas propias o imitadas de otro que tiene que elegir y encajar en el ciclo rítmico del toque correspondiente. La célula rítmica mínima por Huelva es de 6 tiempos y las ruedas armónicas del cante son de 12. El compás de Huelva de referencia costa por tanto de 12 tiempos. Siguiendo la norma que adoptamos en “El Duende tiene que ser matemático”[21], indicaremos los tiempos del compás de referencia en cifras romanas y los tiempos de los “sub-periodos” o “módulos” en cifras árabes. Los módulos básicos que sirven para construir tanto secuencias de compases como falsetas son de 6 tiempos. Hay tres clases rítmicas básicas que describimos en el esquema siguiente: a, b1 y b2. Los cambios de grises señalan las fronteras entre grupos perceptivos. Representamos ahora el esquema de improvisación con motivos de tipo [3+2+1]: Cuando el guitarrista está en stand by, toca de forma casi automática compases (ciclo percusivo-armónicos) variados de 12 tiempos. Cuando quiere “entrar” una falseta como suelen decir los guitarristas, Huelva permite 3 tipos de entradas[22]: al I, al XI o al X. Lo más frecuente por Huelva es “entrar al XI”. El guitarrista se descuelga de la rueda del compás olvidándose de ella. Se atiene ahora a la estructura propia de la falseta con ciclos de 6 de tipo a o b1, el número de módulos de 6 tiempos puede ser par o impar, si el último ciclo acaba en acorde de tónica[23], se considera que acaba en el tiempo X del compás de referencia o en el tiempo IV si acaba en acorde de dominante[24]. El esquema anterior describe el primer caso: al entrar, la falseta ha robado los tiempos XI y XII (riá mh) del ciclo principal que tiene que devolver tocando (riá mh)[25] antes de reengancharse al tiempo I del compás de referencia. Se pueden encadenar también módulos de varios tipos y multiplicar así las combinaciones. La transcripción de un toque de Huelva en el aburrido e impertinente[26] 3/4 da poca información sobre los mecanismos de producción de la música viva, es una labor de carácter ético, (externa al sistema flamenco). El camino hacia una descripción émica consiste en adentrarse en los procesos cognitivos propios de los músicos flamencos “nativos”. El esquema anterior describe mecanismos de improvisación que ponen en evidencia la composición de tipo modular. El hecho de que el pie (rayas rojas) coincida con el 1 o con el 3 del grupo /123/ del módulo [123/12/1] demuestra que no marca ningún acento sino que tiene la función de las rayas rojas del papel cuadriculado: referencia espacial o referencial en el sentido matemático de la palabra. El análisis del toque por bulerías confirma esta función pues los guitarristas flamencos son capaces de tocar motivos ternarios con pie binario y a la inversa. Además estos mecanismos típicamente “bricoleur”[27] liberan al guitarrista de cualquier angustia, permitiéndole salir siempre de cualquier apuro. Si falla la memoria (o los dedos), se puede reenganchar cualquier motivo rítmico de compás o de otra falseta, con la única condición de no perder la rueda de referencia (números romanos). El Cheri, cantaor de la familia Plantón que lleva el tablao “La Bulería”[28] en Córdoba, me soltó un día esta genialidad: “Un fallo no es tal hasta que tú lo reconozcas”, reflejo de una filosofía musical basada en tal dominio del tiempo que puede gestionarlo con total libertad. Un silencio de 6 tiempos seguido de un acorde fuerte transmuta un fallo en golpe de genio... Por estas razones considero tan peligroso para la formación de verdaderos flamencos el aprendizaje de la guitarra flamenca basado en el estudio de obras de concierto, a menudo descifradas más que leídas. El guitarrista tiene que aprender a concatenar compases y falsetas al azar y a salto de mata para adquirir la soltura y los mecanismos propios del flamenco, imprescindibles para el acompañamiento del cante y del baile, base de la cultura flamenca. Además no tiene porque imitar nada al pie de la letra sino “recortar a su medida” cualquier falseta de otro para tocarla con total dominio. El 7 La aparición de un indio desgranando un “Talá”[29] onomatopéyico es un guiño a las otras músicas del mundo y permite además introducir las onomatopeyas como medio muy eficaz en la educación rítmica. Las percusiones indias, unas de las más complejas del mundo, han alcanzado un alto nivel de sofisticación gracias a su sistema onomatopéyico totalmente formalizado. A cada tipo de percusión sobre el tabla corresponde una onomatopeya. Los bailaores flamencos utilizan constantemente onomatopeyas para describir y memorizar los pasos[30]. La diferencia con la percusiones indias es que no hay formalización sistemática de la correspondencia pasos>onomatopeyas. Tenemos allí un campo virgen para la investigación pedagógica. El 8 con cierre del compás de tango al 7 tiene poco interés teórico y como El Duende rechaza el 9, el 10 y el 11 con bromitas, saltaremos directamente al 12. El 12 Como lo comentaba ya en el Duende tiene que ser matemático, el 12 es interesante al ser múltiplo de 1, 3, 4 y 6, lo que permite una gran variedad de combinaciones. El Duende no encuentra solución y los sarcasmos de Descartes y de Dalí le desesperan. Acaba “jugándoselo a los dados”, forma de sugerir la intervención del azar en la creación artística. Al tirar 3 + 3 no sale del ciclo de 3 pero la tirada siguiente de 2 lleva de pronto a un ciclo de 8 y las dos siguientes de 2 al anhelado ciclo de 12. Con gran alegría, todo el grupo “rapea” el compás del toque por soleá acentuando el último tiempo de cada grupo perceptivo. Cuando la aventura del 12 parece concluir felizmente, aparece Leonardo, evocación del espíritu renacentista cuyo máximo representante ha sido Leonardo da Vinci (1452-1519), artista, científico, ingeniero, inventor, anatomista, escultor, arquitecto, urbanista, botánico, músico, poeta, filósofo y escritor. Representa también la oposición entre la cultura clásica y la cultura oral tradicional e intuitiva del Duende. Justo cuando se acerca al tablao, dentro del cual el grupo sigue contando a voces el compás  (desde fuera se oye unas voces indescifrables), se abre la puerta coincidiendo por casualidad con el primer grupo 1-2[31]. Leonardo percibe pues la serie propia del toque por seguiriya. Leonardo y el Duende se enfrentan, cada uno encerrado en su percepción hasta que el Duende hambriento reclame un bocadillo de jamón. Al oír la voces del Duende jamónjamónjamón, Leonardo encuentra la solución: jamón – monja / soleá – seguiriya Demuestra su teoría haciendo bailar al grupo los dos compases desfasados: Tanto Duende como Leonardo abren su mente a la percepción del otro. Melodía y armonía Principio de la secunda parte: Leonardo escribe frenéticamente, concentrado en su libreta. Recuerda al antropólogo Castaneda (1925-1998) que quería también escribirlo todo durante sus encuentros con el chaman Don Juan[32]. La estructura lineal de lo escrito compite con dificultad con la versatilidad de la creación tradicional. El Duende se mofa irónicamente de Leonardo por tener tan poca memoria. Las largas sesiones de ensayos me han confirmado con creces observaciones anteriores: memoria asombrosa de bailaores y guitarristas, capacidad de extraer esquemas rítmicos complejos de falsetas de guitarra para traducirlos al instante en pasos de baile, memoria estructural del cantaor que llega pocos días antes del estreno y memoriza entradas, salidas y letras de los diferentes estilos de cante que sostienen las coreografías. Javier y su compañía me han hecho pasar momentos mágicos a lo largo de largas sesiones de ensayo. Que estas reflexiones sirvan de homenaje a todos los artistas que han concurrido al éxito del estreno, especialmente al cuerpo de baile cuya total dedicación ha sido de máxima calidad. Durante toda la primera parte del espectáculo dedicada a la construcción de los ciclos de percusión, los artistas van vestido de blanco y negro. Se visten de color únicamente durante los sueños. Al principio de la segunda parte, el Duende se queja de la tristeza del mundo real, comparado con el de sus sueños, más alegre y bonito. Leonardo le comenta que sueña en color, melodía y armonía siendo los colores de la música. Los contrastes de colores ofrecen interesantes recursos escénicos como metáfora de los cambios de modos musicales. Se suceden así pares modalmente contrastados flamenco/mayor: soleá/alegrías, seguiriya/cabal o con cambio de fase VIII/XII: cabal/guajira. Los cambios de un palo al otro por variación de un solo parámetro demuestran que el flamenco, lejos de ser un arte anárquico fruto de una inspiración misteriosa, está fundamentado en un sistema musical complejo y fuertemente estructurado. Burla, burla, Bulería Lo de burla[33] se refiere aquí a la versatilidad del compás de Bulerías. Tenemos que considerar el compás de referencia resumido en los esquemas de palmas del ejemplo siguiente como una mera fuente de módulos rítmicos muy variados haciendo del toque por bulerías un sofisticado juego combinatorio. Hemos analizado ya los juegos modulares con el compás de Huelva, el toque por bulerías lleva estos juegos hasta la máxima complejidad. La guitarra y el baile con los contrastes de rasgueos o de redobles de taconeo aumentan la variedad de módulos que se entremezclan en una aparente anarquía perfectamente controlada. El baile del “ornitorrinco flamenco” ilustra con jocosos juegos rítmicos esta complejidad. Desgraciadamente, el copiar y pegar ha invadido los estudios de grabación y se están reduciendo a menudo las palmas a un solo esquema comodín: Relatividad del tiempo En las últimas escenas, la aparición de Einstein y Dalí permite analizar la elasticidad del tiempo musical[34]. El signo calderón encima de una nota (), no suele plantear ningún problema teórico al músico clásico, le han enseñado que si una negra está afectada por un calderón, su duración es algo más larga (el algo depende del estilo, del profesor, del alumno y del momento). ¿Cómo una negra, unidad de tiempo musical, puede ser más larga que otra? Si es más larga será una blanca o una redonda pero en absoluto una negra. Es como afirmar que hay centímetros más largos que otros. Pues eso fue precisamente lo que afirmó Eisntein en su teoría de la relatividad. En el paradigma newtoniano (física clásica), los metros son iguales en todo el universo así como los segundos. La revolución relativista[35] afirma lo contrario: el espacio y el tiempo se deforman en función de la del campo energético en el cual se encuentran inmersos. En la obra, la marioneta de Einstein afirma: - en un planeta más gordo, los segundos duran más que en un planeta chico. Al ser la energía E equivalente a la materia (cuya cantidad se mide por su masa M), esto es valido también cuando uno está inmerso en un campo electromagnético. Esta equivalencia está expresada en la famosa fórmula E = MC2 [36]. Einstein afirma también que la única forma de medir el tiempo es tomar como referencia cualquier fenómeno físico que se reproduce periódicamente y de forma natural. Es el caso del péndulo del reloj que pasa regularmente por las mismas posiciones: un segundo es el lapso de tiempo que separa una posición dada del péndulo de la siguiente vuelta a la misma posición. Cuando el tiempo se dilata, es el sustrato, el soporte del tiempo que se dilata. Pintemos cuadrículas de tablero de ajedrez en un globo con un caballo en la posición B 7. Cuando inflamos el globo, las cuadriculas se dilatan también y podemos decir que el caballo ha cambiado de sitio (las distancias han crecido) pero no ha cambiado de posición (el caballo sigue situado en B7). Una hormiga plana pegada al globo no apreciará ninguna diferencia, al dilatarse a la misma vez que el globo. Por tanto es la vuelta de lo idéntico el único recurso que tenemos para situarnos en el espacio (cuadrículas para las distancias y péndulo para el tiempo). En el mundo real necesitamos referencias para situarnos en el tiempo: los relojes públicos dan los cuartos y las horas con campanadas distintas. El amanecer y el anochecer son también momentos señalados e identificables en el fluir continuo del tiempo. Todas estas observaciones demuestran que no hay quién mida el tiempo sin observar la vuelta regular de fenómenos idénticos a sí mismos. ¿Y qué tendrá que ver esto con la música? Mucho, muchísimo pues la música se dibuja en el tiempo. El acento de los compases clásicos no es otra cosa que la vuelta regular de un acontecimiento idéntico a sí mismo. El metrónomo impone la duración de un segundo musical (negra) invariable. Se puede tocar una obra de forma mecánica inmerso en un tiempo newtoniano indeformable. Si apartamos las músicas de discoteca y las militares, toda música debería interpretase[37] dentro de un espacio relativista de tiempo deformable. El calderón señala un estiramiento del substrato temporal (el tempo), es la batuta del director o el pie del intérprete y no el metrónomo que marcan la duración del segundo musical. La negra sigue valiendo lo mismo: una ida y vuelta del pie o el movimiento correspondiente de la batuta. Aceptaremos la regla general siguiente: el tiempo se dilata (los segundos musicales duran más, las negras son más largas, la música se hace más lenta) cuando el campo energético crece. En la física, la energía se presenta bajo varias apariencias: materia, campos electromagnéticos, campos de fuerza nucleares etcétera. En la música tenemos varios productores de campos energéticos: unos internos al “texto” musical escrito (cadencia armónica importante en finales de frases, influencia del contenido emocional de unas letras, punto álgido de una melodía...) y otro externos (estado emocional del intérprete y del público, relación entre ambos...). Cuando el texto está escrito, no es demasiado problemático atribuir una duración a cada nota pues el mismo compositor ha tomado de antemano la decisión de medir su música de la forma que nos señala la partitura. Normalmente se dan indicaciones de dilatación o contracción de tiempo a lo largo de la partitura (valores metronómicos: 100 negras al minuto, calderones, ritardandos y otros accelerandos). Queda al intérprete ejecutar estas indicaciones de la forma más adecuada al contexto energético del texto y del contexto. El problema es muy distinto cuando se trata de percibir el tempo de una música no escrita de estructura temporal flexible. Recordemos que la evaluación del tiempo es posible únicamente gracias a la observación de acontecimientos idénticos que marcan los periodos. En la física relativista, es la materia / energía que crea el tiempo pero sigue siendo la vuelta de idénticos que permite medirlo. Imaginemos el planeta del Principito atravesando campos energéticos variables, su reloj marca segundos variables pero como él está sometido a los mismos efectos, evalúa correctamente el tiempo. Para un observador lejano, el reloj del Principito se ha vuelto loco al no tener regularidad alguna. Algo similar le pasa al musicólogo lejano: mide la música del otro con su propio reloj y no entiende el tiempo del otro que le parece desestructurado, al no conocer las formas musicales “autóctonas”, no reconoce los idénticos[38] que vuelven regularmente y marcan los ciclos periódicos, generadores de tiempos musicales. La única forma de entenderlo es acercarse hasta adentrarse en la planeta cultural ajeno. El caso del toque por seguiriya es emblemático: es uno de los toques flamenco que soporta las interpretaciones “rubato” más flexibles del repertorio dicho “a compás”[39]. Cualquier aficionado será capaz de marcar o percibir los tiempos I   II   III IV   V al escuchar la serie siguiente de formas sonoras. Además, la percepción del tiempo no consiste solamente en detectar pertinentemente la vuelta de los segundos, consiste también identificar el origen o el referencial de los ciclos temporales. Los flamencos perciben motivos periódicos iniciados en el primer chak (tiempo I del ciclo), la mayoría de los clásicos lo inician en el último a del trrriaaaaaa para poder así encajar el compás en el único compás de amalgama que conocen: el de 6/4;3/8. Estas últimas observaciones ponen seriamente en duda la supuesta universalidad del lenguaje musical, uno de los muchos tópicos propagados por un romanticismo populista propio de los medios de comunicación. Cuántos conciertos de violinistas famosos con virtuosos del sitar tienen más valor mediático que profundidad musical. Una música ajena a mi cultura me puede gustar y puedo disfrutar con ella pero no puedo pretender escuchar y captar de forma pertinente los detalles de una estética y de una gramática musical que ignoro. No se puede tocar rubato por seguiriya sin dominar a fondo la gramática y la semántica musical que la caracterizan. La notación musical clásica asociada a un toque metronómico permite un acceso universal a este toque pero ¿a costa de qué? Como ilustración de las clases de Einstein y Leonardo sobre relatividades, Dalí baila por fandango natural (rubato) pintando sus famosos relojes blandos que chorrean como quesos camembert (según el mismo Dalí), símbolos del tiempo flexible. El reloj clásico deja el mando para convertirse a la relatividad, dejando el papel de jefe para adoptar el de notario del tiempo creado por el artista, más humilde pero más vivo (C). Desgraciadamente, al final de la obra (T) gana el reloj clásico. Por necesidades tecnológicas de las grabaciones en estudio, el uso de la “claqueta” prohibe todo rubato a la seguiriya. A pesar de todos los pesares que puedo sentir, como guionista, al ver algo transformado este niño que he parido, no puedo acabar este artículo sin manifestar todo mi agradecimiento a Javier, a los artistas y a todo el equipo técnico por haber trabajado tanto y con tanto entusiasmo para dar vida a mi sueño.   Notas: [1] Ahora Editorial el páramo [2] Philippe Donnier, El Duende y El Reloj, ilustraciones de Francisco Naharro,, Córdoba, el páramo, 2ª ed. 2010. [3] Thomas S. Kuhn, La estructura de las revoluciones científicas, 1962. [4] Espacio geográfico o sociológico, puede haber tanta distancia cultural entre un Conservatorio y una peña flamenca como entre España e India. [5] La primera vez que pregunté a un flamenco que me explique el compás de seguiriya, me dijo: tiene cinco tiempos y se cuenta I  II  III  IV  V. Después de haberlo pensado un poco añadió, pero con dos tiempos algo más largos. [6] Kenneth L. Pike, Language in relation to a unified theory of structure of human behaviour, 2nd ed.: Mouton, The Hague, 1967 [7] No confundir con la ética en el sentido de moral. [8] Así denomino últimamente la música clásica de modo voluntariamente provocativo para dejar bien sentado que, dentro del conjunto de las músicas del mundo, es una música entre otras muchas. [9] Para que no haya confusión, me referiré siempre en este artículo al flamenco reconocido por la mayoría de los investigadores actuales como “clásico”, el que podemos disfrutar en las mejores antologías publicadas desde los años 50 hasta los 80 (Antología de Hispavox [10] Tomás Andrade de Silva, Antología del cante flamenco. HISPAVOX, 1958. José Blas Vegas, Magna Antología del Cante Flamenco, HISPAVOX, 1982. [11] El Duende va vestido con una malla color carne. [12] En mi primera estancia en Granada, un restaurador de cuadro se paró delante de una pintura y me dijo profundamente afectado: “este cuadro me duele”. Desde mi paradigma cultural, sencillamente no entendí lo que me quería decir. [13] Por necesidades escénicas o de coreografía, existen algunas diferencias entre el cuento escrito y la versión teatral. De ahora en adelante, notaremos (C) para el cuento y (T) para la versión teatral. [14] Aritmética “modular”. [15] Ver G. Cooper y L. Meyer, Estructura rítmica de la música, IDEAS BOOKS, Barcelona, 2000 y F. Lerdahl y R. Jackendoff, Teoría generativa de la música tonal, Akal, Madrid, 2003. [16] Hipólito Rossy se refiere a los ritmos superpuestos del cante y de la guitarra en las sevillanas sin llegar a analizar las incidencias estructurales en el compás de guitarra, ver Teoría del cante jondo, CREDSA, Barcelona, 1966, pag. 126. [17] Se atribuye de manera arbitraria un número a cada textura: golpe = 1 y rasgueo = 2). [18] Usamos el “mh” como onomatopeya representativa del silencio. [19] En el sentido de secuencias  percusivo-armónicas específicas de cada toque (estilo guitarrístico). [20] Toques libres como malagueñas o granaínas [21] Philippe Donnier, El Duende tiene que ser matemático, Virgilio Márquez, Córdoba, 1987. [22] Siempre habrá contraejemplos pero describimos aquí los casos mas comunes. [23] La en el tono flamenco por medio. [24] Aquí Sib. [25] La identificación de los tiempos del ciclo de referencia con texturas sonoras (y con la digitación correspondiente) permite al guitarrista no contar pues, a reconocer una forma, sabe a donde est á. Del mismo modo a nadie se le ocurre contar le números de los portales de su calle para volver a su casa porque la conoce y la reconoce. El contar lleva a un cierto autismo musical, substituyendo la numerología al sentido y al sentir musical. [26] En el sentido literal de sin pertinencia. [27] Ver técnicas del ingénieur et du bricoleur in Claude Lévi-Strauss, La pensée sauvage, Plon, Paris 1962, p. 26. [28] Donde toqué la guitarra durante ocho años. [29] Ciclo de percusión. [30] Angel Muñoz, premio nacional de baile en Córdoba, me decía hace años: si no me canto los pasos, soy incapaz de bailar. Durante los ensayos del Duende, Javier Latorre daba cada día un festival de onomatopeyas. [31] Esto me ocurrió en un curso de baile, cuando, al abrir la puerta al VIII de un ciclo por soleá, percibí un compás por seguiriya. [32] Carlos Castaneda,. The Teachings of Don Juan: A Yaqui Way of Knowledge, Washington Square Press Publication, 1968 [33] Etimología supuesta por algún flamencólogo por el carácter jocoso de este palo. [34] Ver la relatividad del tempo musical en: Philippe Donnier, Flamenco: structures temporelles et processus d’improvisation, thèse de doctorat, Université Paris X, Nanterre, 1996. [35] Cuyas consecuencias no están todavía asumidas por gran parte de la población. [36] E: energía, M: masa de materia transformada en energía, C: velocidad de la luz. [37] Desgraciadamente, las necesidades de limpieza de grabación, y los costes de la hora de estudio imponen grabaciones en pistas independientes que obligan al uso generalizado de la claqueta (marca sonora metronómica). [38] Idéntico no quiere decir igual, se refiere a una función musical idéntica del mismo modo que la mil y una maneras diferentes de pronunciar la ch (variantes fonéticas) tienen la misma función fonémica dentro de la cadena lingüística. [39] Reconocidos como periódicos por los aficionados al flamenco. A finales de los 80, hice escuchar a musicólogos del seminario de etnomusicología del Museo de Hombre de Paris grabaciones de toques por seguiriya muy flexibles. Todos atribuyeron a esta música un carácter no métrico, o libre como dicen los flamencos.
Viernes, 04 de Febrero de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
Matemáticas y música, dos Soles hermanos, con luz propia que inunda impetuosamente ventanales y descubre al ojo despreocupado partículas de polvo en suspensión, insospechadas, juguetonas, testigos de una vida secreta que desconocíamos. Cada Sol descubre con su luz el confín recóndito rebelde, la escurridiza terra ignota en el mapamundi del saber. Pero las luces de estos formidables Soles no iluminan mundos disgregados, lejanos, ajenos; iluminan un solo mundo: éste, el nuestro, el poblado por seres con sentidos y mente. Y es en este mundo ígneo donde se funde la luz de los dos Soles, como el limo fértil, como el vientre preñado, como el fragante presagio de una tormenta. La luz entreverada de los dos Soles bruñe los sentidos y afila las mientes. Ahora el ojo, antaño despreocupado, aprecia de los objetos circundantes los delicados detalles que se desperezan con el calor de ese fulgor, con el amor encerrado en una caja de plata que se cuece en volcanes que vomitan lava de diamante. Esa lava tornasola la bóveda del cielo con dientes de león que rugen en caída libre sobre el mar curvado de las pestañas del ojo, ahora sí, atento. Las matemáticas son la abstracción como voluntad, la profundidad intelectual infinita, la belleza rebelde de la conexión cierta e inesperada. Llegamos a ellas por el músculo de la razón, por el nervio de la curiosidad insaciable, por el hambre de belleza estructural, por el hambre estructural de belleza, por la bella hambre de estructura. Las matemáticas nos poseen, nos desfloran como una amante urgida, nos corroen como un feroz mal de Ébola, nos consumen como una pasión no correspondida. Las matemáticas son las mariposas bordadas en el abanico de fondo rojo bermellón que en un giro de cabeza imprevisto vimos aleatar con coquetería y, solo en ese momento y no en otro, los reflejos iridiscentes levantaron la tapa de los sesos de la vida, y solo en ese momento y no en otro, vimos girar su mecanismo, frenético y misterioso. Para cuando parpadeamos y sacudimos la cabeza incrédulos, quizás aún confiados en que la tapa seguiría abierta, solo vimos las mariposas hiératicas, glaciales, casi desafiantes, en el mar rojo bermellón del abanico. Un problemas de matemáticas es el acantilado anfractuoso bañado por la espuma de nuestros penosos intentos de solución, ablución, absolución (que nos tortura, de la mácula de nuestra torpeza, del desdoro de nuestra flaqueza). Cuando el Sol de la perseverancia ha lucido lo suficiente, cuando el firme viento de la inteligencia sopla con la necesaria humildad, cuando la sal marina abrasa su tez cuarteada, entonces el acantilado nos muestra sus recovecos secretos, sus fallas por las que hender la lanza rugiente del entendimiento, sus pasadizos conducentes al centro de sus entrañas majestuosas. Un problema de matemáticas es un duende de gorro rojo líquen que se ríe a carcajada limpia mientras trenza y destrenza los nervios del demiurgo arrebolado que sube la montaña de su esfuerzo con arrojo. El duende salta, siempre riéndose, por un entramado de andamios, el gran castillo de la abstracción. Se cuela por los huecos cuando intentas atraparlo de frente; no, no es así como se le caza, has de subir más alto que él, ocultarte del Sol del mediodía para que tu sombra no te delate, no hacer ruido alguno e ir limpio de prejuicios. Solo así podrás acercarte al duende. Encarámate a los pisos más altos con las lianas de la lógica, con la fuerza de la creatividad, con la astucia de un depredador, con la humildad de un pordiosero. Y entonces abalánzate sobre él y rápido como un rayo arráncale de las entrañas el secreto. La música, ama poderosa y tranquila compañera, siempre nos escucha con sabiduría, es cómplice discreta, entinta las vacías viñetas de nuestra vida, nos da un sentido de lo único y lo colectivo. La música es comunicación y comunión, clausura y aprehensión de uno mismo. ¿Qué comunica la música? Estructuras de sonido, superposiciones de fenómenos canoros, patrones repetidos de modo sutil pero reconocible, baile de tensiones y equilibrios, malabares de expectativas perceptuales. Pero sobre todo es comunicación de emociones y de su sabia templanza. La música pone a vibrar nuestro ser en su frecuencia natural llamando al arquero del viento, quien pone en cada flecha una emoción que viajará hasta el propileo de la aurora. Allí, una vez cruzado el umbral, estallará la emoción en mil pedazos que teñirán cada objeto del universo de una tinta que no es otra cosa que su propia esencia. Las emociones mantienen unidas las de otro modo partículas centrífugas de la realidad. La música es el alimento de toda emoción. Una nota, una lágrima. Un acorde, una euforia. Un ritmo, un consuelo. Una tesitura, una sonrisa. Una frase, una memoria vívida. Una canción, toda una tesitura vital, toda una vida. Por ello, porque en música y matemáticas hay emoción, las dos celebran continuas orgías de amantes de furor uterino al amanecer de cualquier día teñido de púrpura candor. Llaman a sus hieródulas, que salen de los gineceos cubiertas de sencillas túnicas, y se aproximan al amplio claro del bosque de las Unciones. Contemplamos signos de integral lascivos que son acariciados por corcheas complacientes; letras griegas liban montes de Venus de todo tipo de cromáticas alteraciones; conjuntos de todo pelaje, de naturales a complejos, lamen la piel brillante, esplendorosa de frecuencias fundamentales, de duraciones, de compases de amalgama, ante la presencia divertida de la madre armonía. Lenguas jugosas, rosa carnoso, se buscan y saborean las salivas recíprocas; lenguas jugosas, rosa carnoso, dan mil vueltas en espiral sobre pezones expectantes, triunfantes, aquiescentes, incandescentes. Se funden abstracción y emoción en un magma cósmico y vitelino. Se oyen, como consecuencia de esta orgía salvaje entre matemáticas y música, sonidos telúricos, aullidos omnipotentes, alaridos de fecundidad. Así es la relación entre las matemáticas y la música: feraz.
Martes, 11 de Enero de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Xenakis fue una persona polifacética, con una gran capacidad analítica y sintética, así como una desbordante creatividad. No solo fue un compositor excepcional en cuanto que introdujo principios matemáticos en la composición musical, dando lugar así a una de las síntesis más fascinantes de la música contemporánea, sino que siempre tuvo una gran preocupación por las cuestiones teóricas, bien en el análisis musical bien en la invención de nuevos principios compositivos. Este es el último artículo de una serie de tres dedicado a Xenakis justo antes del décimo aniversario de su muerte acaecida en febrero de 2001. En este artículo, más que analizar un principio matemático que Xenakis transformó en una principio compositivo, examinaremos algunas ideas suyas que inciden más en su faceta de teórico de la música. Xenakis usó las matemáticas también como una herramienta de análisis musical, especialmente para la música del siglo XX que más radicalmente se apartaba de la tradición tonal, armónica y métrica. Siguiendo la naturaleza universal, sistematizadora, unificadora, abstracta y al tiempo analítica de las matemáticas, Xenakis estudiaba fenómenos musicales bajo la lupa de esa asombrosa disciplina. Husmeaba estructuras comunes a varios objetos musicales, reconocía qué peculiaridades se podían identificar entre los fenómenos musicales y los matemáticos, fijaba qué operaciones eran relevantes entre ellos y, finalmente, soldaba pródigamente las piezas para erigir su edificio conceptual. Cierto es que con frecuencia sus teorías no están descritas con todo detalle, pero ello no es signo de negligencia o de falta de profundidad intelectual. Xenakis seguramente dejaba esa labor para que otros teóricos de la música la completaran, pues siempre tenía la tensión de la composición sobre sí. La teoría de cribas, expuesta en su libro Formalized Music [Xen01] entre otros escritos, se ocupa de la teoría de escalas desde un punto de vista bastante general. Aquí la palabra criba puede usarse en el sentido de la criba de Eratóstenes, el procedimiento para calcular los primos tachando múltiplos sucesivos o bien en un sentido más general, como técnicas de teoría de números para contar o estimar el tamaño de conjuntos de números [Mol09] [Har07]. Xenakis usa la palabra en un sentido más bien arcaizante y, como veremos, tiene más que ver con el primer sentido, con la idea de saltar de múltiplo en múltiplo de un número dado. En el fondo las matemáticas que usa son la aritmética modular y la teoría de conjuntos. El empeño que acometió Xenakis fue el de construir una teoría de escalas que comprendiese las escalas de más de 12 notas, esto es, escalas definidas en divisiones no iguales de la octava. En la siguiente sección recordaremos algunos conceptos de la teoría de escalas. En la tercera sección expondremos los principios básicos de la teoría de cribas de Xenakis aplicada a la teoría de escalas. En la cuarta sección examinaremos algunas consecuencias de esa aplicación. 2.  Escalas musicales El primer fenómeno musical al que querríamos referirnos es el de la llamada equivalencia perceptual de la octava. El hecho de que dos tonos que están separados por una octava se perciban como equivalente perceptualmente está bastante aceptado (véase [Deu98] y sus referencias para una explicación general y [DB84] para detalles más técnicos). Dos tonos están separados por una octava si la proporción entre la frecuencia del más agudo y el más grave es 2:1. Esta equivalencia está implícita en la construcción de escalas que se encuentran en muchas tradiciones musicales, y no solo en la occidental. Como ejemplo, tenemos abajo una melodía, el comienzo de la Pequeña serenata nocturna de Mozart. Si se pincha en la imagen, se oye la melodía: Figura 1: Comienzo de la Pequeña serenata nocturna KV 525, de Mozart. Si la trasladamos la melodía una octava arriba (pínchese en la imagen para oír la nueva melodía): Figura 2: La misma melodía pero tocada una octava arriba. Nos parece mucho más similar que si la oímos, por ejemplo, una cuarta aumentada más arriba (pínchese en la imagen): Figura 3: La misma melodía ahora tocada una cuarta aumentada más arriba. Para construir una escala la octava se subdivide en un número fijo de notas y se elige un subconjunto de estas notas como la escala. La elección de las notas en que se divide la octava se llama afinación. A veces una afinación se ajusta por motivos musicales, fundamentalmente para eliminar disonancias en las modulaciones, y entonces a ese ajuste se le llama temperamento. Tras un proceso largo y no exento de dificultades [Gol92], en la música occidental se adoptó la subdivisión de la octava en 12 partes iguales, llamada temperamento igual. Cada parte de la subdivisión se llama un semitono y un tono está formado por dos semitonos. Las escalas más importantes en la música occidental son la escala mayor y la escala menor natural. La escala mayor, si la recitamos desde un do, se compone de las notas . Figura 4: La escala mayor. Si nombramos las notas de esta escala mediante el número de semitonos que componen cada nota, entonces tendríamos el conjunto , donde el 0 corresponde a la nota do. La escala menor enunciada a partir de do es y descrita numéricamente es . Figura 5: La escala menor natural. Hay dos variantes importantes de la escala menor natural, llamadas escala menor melódica y menor armónica, aparecen en las dos primersa líneas de la tabla 1. En esa misma tabla podemos observar otras escalas con distintos intervalos y número de notas. Por ejemplo, la escala que se compone de todas las notas posibles dentro de la octava se llama cromática y su descripción numérica es . La escala que salta por tonos enteros, y que Debussy popularizó, se escribe como . La escala octotónica, de ocho notas, que se forma alternando un tono y un semitono. Con este esquema de alternación salen dos escalas y (escalas octotónica I y II, respectivamente, en la tabla 1). Stravinsky usó este tipo de escala en su obra La consagración de la primavera. Otras escalas muy frecuente en muchas y diversas tradiciones musicales son las pentatónicas, esto es, las formadas por cinco notas. En la tabla de abajo mostramos la pentatónica mayor () y la pentatónica menor (). Tabla 1: Distintas escalas musicales basadas en la subdivisión de la octava en 12 partes. Hay que advertir aquí que las escalas que se muestran en la tabla 1 aparecen en otras muchas tradiciones musicales con diferentes nombres. Hemos elegido un nombre únicamente por facilidad de referencia. Una escala dada se puede nombrar cíclicamente a partir de una nota suya cualquiera y da lugar así a otra escala. Las reordenaciones de una escala se llaman modos. Por ejemplo, la escala mayor , cuando se enuncia a partir de la sexta nota (un la o el semitono 9), resulta la escala ; esta escala llevada al do inicial de nuevo, restándole 9 semitonos, da la escala menor natural . Así que la escala menor natural es un modo de la escala mayor. Véase [Har01] para una buena introducción a la teoría musical y en particular a los modos. En otras tradiciones musicales la octava no se divide en 12 partes iguales, sino que ésta sufre divisiones más finas. El sistema tonal árabe moderno usa una subdivisión de la octava en 24 partes iguales. En otras palabras, la unidad tonal básica es el cuarto de tono. En la música clásica del sur de la India, la música carnática, usan una subdivisión en 22 partes. En la música del gamelán de Java también se usan afinaciones con más de 12 partes por octava y además estas partes no son de igual tamaño. Los temperamentos anteriores al temperamento igual tenían asimismo intervalos menores que el semitono (la afinación justa o el temperamento mesotónico; véase [Gol92]). En la Grecia clásica también se encuentran afinaciones con subdivisiones muy finas de la octava. Aristóxenes propone una afinación con 72 subdivisiones de la octava. 3. Teoría de cribas Como dijimos en la introducción, Xenakis usó la aritmética modular para dar una teoría general de la construcción de escalas bajo divisiones iguales de la octava. Superaba así el temperamento igual de 12 subdivisiones. Consideró escalas que se podían construir con cualquier unidad: semitonos temperados (1/12 de octava), segmentos de Aristóxenes (doceavos de un tono), cuartos de tono, tonos enteros, segundas, terceras, cuartas y quintas. Por completitud en la exposición, repasaremos brevemente algunos conceptos básicos de la aritmética modular. Sea n un entero al que llamaremos módulo. Dados dos enteros x e y, se dice que x es congruente con y módulo n si x-y es divisible por n. La relación de congruencia es una relación de equivalencia, esto es, es reflexiva, simétrica y transitiva (es muy fácil de probar). Como tal relación de equivalencia tiene un conjunto cociente. Fijado un módulo n y dado un entero x, su clase de equivalencia está formada por el conjunto: Las clases de equivalencia identifican aquellos elementos separados por un múltiplo entero del módulo y sirven para trabajar con operaciones cíclicas. El conjunto de clases de equivalencia módulo n se designa por . Fijado un módulo n y un entero a, una criba elemental es una aplicación afín discreta en , dada por: Por ejemplo, si n=12, el caso del temperamento igual, entonces 20 = , donde los números entre llaves han de interpretarse como clases de equivalencia. Si escogemos un número que es primo relativo con 12, por conocidas propiedades de la aritmética modular, obtenemos el conjunto entero . Tomemos, a=2 y x=5, por ejemplo: Una criba compuesta es un conjunto de clases que se obtiene tomando uniones e intersecciones finitas y complementarios de cribas elementales. Si seguimos en el universo de los doce semitonos iguales y tomamos las siguientes cribas elementales: entonces podemos generar cribas compuestas como sigue: La escala cromática, la que comprende todos los semitonos de la octava, se expresa como la criba elemental 10. La escala de tonos enteros se escribe como 20. ¿Cómo se escribiría la escala mayor? Esta escala no se puede escribir como una criba elemental, pues sus notas no están dispuestas regularmente en la octava. La escala mayor se expresa como la siguiente criba compuesta: Comprobemos que es así. Por un lado tenemos: Haciendo la unión de las intersecciones resultantes sale la escala mayor . Anteriormente, afirmamos que la escala menor es un modo de la escala mayor. Basta enunciar la escala mayor a partir de la nota la para obtener la escala menor. La correspondiente criba compuesta para esa escala es: Dejamos al lector los cálculos, que son directos y fáciles. ¿Hay alguna relación entre la criba de una escala mayor y cualquiera de sus modos? Sí, y no es muy difícil darse cuenta de que es un juego de índices y módulos. Si queremos generar la criba del modo de una escala mayor a k semitonos de distancia, ésta es: Los índices de las cribas elementales generadas por las terceras menores aumentan módulo 3, mientras que las cribas de las cuartas lo hacen módulo 4. Si consideramos una subdivisión de la octava en cuartos de tono, entonces la criba asociada con la escala mayor es: donde k=0,1,..., 23 se toman módulo 3 u 8, según el caso. Las cribas de Xenakis pueden describir de manera relativamente concisa escalas de distintos temperamentos iguales, como la división de Aristóxenes e incluso escalas mixtas, como la bizantina, que mezcla tetracordos cromáticos y diatónicos (véase [Xen01], páginas 197 y siguientes). 4. Conclusiones Esperamos que con estos pequeños ejemplos haber ilustrado las ideas teóricas de Xenakis. La idea de las cribas resultó atractiva a varios teóricos y analistas de la música, los cuales incluso la llevaron incluso más lejos. En particular, ha encontrado fervientes partidarios en el análisis transformacional de David Lewin. Thomas Noll y sus coautores [NAA06] aplican la teoría de cribas al análisis del estudio para piano opus 63, número 5, de Scriabin. El análisis es exitoso pues ese estudio de Scriabin usa escalas de tonos enteros y octotónicos, que se describen con facilidad con cribas. Varios autores importantes han dedicado artículos a la teoría de cribas, bien desde un punto de vista filosófico o desde un punto de vista puramente analítico. Jones [Jon01] sistematiza las cribas y formaliza ciertos aspectos algorítmicos de la formulación inicial de Xenakis. Exarchos [Exa07] aborda la generalización de las cribas a otros paramétros musicales. Harley, en su libro Xenakis: His Life in Music, dedica un capítulo a las cribas y sus implicaciones musicales en la obra de Xenakis. Como no podía ser de otro modo, Xenakis empleó las cribas en sus composiciones musicales. Una de las primeras obras en que las probó fue Nomos Alpha, para violonchelo solo. Aparte de las cribas usa otras ideas matemáticas, como grupos de simetrías y lógica proposicional. Para un análisis exhaustivo y clarificador, véase el excelente artículo de Jan Vriend [Vri81]. En el vídeo de más abajo se puede oír esta pieza por el excelente percusionista Steve Schick. 5. Para saber más Se recomienda al lector interesado en la teoría de escalas el libro de Sloniminsky [Slo75]. Este autor estudia la construcción de escalas a partir de la subdivisión des una octava a once octavas; también hace un examen exhaustivo de otros criterios de construcción de escalas. También recomendamos el libro de Yamaguchi [Yam06]. Para profundizar en el apasionante tema de las afinaciones y temperamentos, véase el libro de Javier Goldaraz [Gol92] y las referencias en él contenidas. La escala mayor tiene una interesante estructura. Se escribe como , y se observa que tiene una primera parte que va por tonos enteros, del do al mi, después hay un semitono, y de nuevo progresa por tonos. Pressing [Pre83] interpretó esta secuencia en el dominio del ritmo y halló que corresponde a un ritmo de clave, escrito en notación de caja como [x . x . x x . x . x . x], llamado el ritmo estándar por los musicológos, tan frecuente e importante es. Pressing lo ve como el análogo rítmico a nuestra escala mayor. Referencias [DB84] Diana Deutsch and Richard Boulanger. Octave equivalence and the immediate recall of pitch sequences. Music Perception, 2(1):41-53, 1984. [Deu98] Diana Deutsch. The Psychology of Music. Academic Press, second edition edition, 1998. [Exa07] Dimitri Exarchos. Injecting periodicities: Sieves as timbres. In Proceedings SMC'07, 4th Sound and Music Computing Conference, 2007. [Gol92] Javier Goldaraz. Afinacion y temperamento en la musica occidental. Alianza, 1992. [Har01] Jonathan Harnum. Basic Music Theory: How to Read, Write, and Understand Written Music. Questions Ink. Publishing, 2001. [Har07] Glyn Harmann. Prime-Detecting Sieves. (London Mathematical Society Monographs). Princeton University Press, 2007. [Jon01] Eva Jones. Residue-class sets in the music of iannis xenakis: an analitical algorithm and a general intervalic expression. Perspectives of New Music, 39(2):229-261, 2001. [Mol09] Richard Mollin. Advanced Number Theory with Applications. Chapman and Hall/CRC, 2009. [NAA06] Thomas Noll, Moreno Andreatta, and Carlos Agon. Computer-aided transformational analysis with tone sieves. In SMC 06, 2006. [Pre83] Jeff Pressing. Cognitive isomorphisms between pitch and rhythm in world musics: West Africa, the Balkans and Western tonality. Studies in Music, 17:38-61, 1983. [Slo75] Nicolas Slonimsky. Thesaurus Of Scales And Melodic Patterns. Music Sales America, 1975. [Vri81] Jan Vriend. Nomos Alpha for violoncello solo (xenakis 1966) analysis and comments. Journal of New Music Research, 10:15-82, 1981. [Xen01] Iannis Xenakis. Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition. Number 6 in Harmonologia. Pendragon Press, Hillsdale, NY, 2001. [Yam06] Masaya Yamaguchi. The Complete Thesaurus of Musical Scales. Masaya Music, 2006.
Jueves, 09 de Diciembre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
Estrategias musicales 1. El conflicto En esencia, la música es conflicto. El discurso musical progresa a través de la dialéctica entre sus partes. En cualquier pieza de música se observan episodios de tensión combinados con otros de equilibrio. Esa dialéctica generadora del conflicto aparece en varios niveles musicales: en la melodía, en la armonía, en el ritmo, en la conducción de las voces, en la instrumentación y, por supuesto, en la forma. En distintas épocas los estilos musicales predominantes han marcado preferencias sobre la forma de usar el conflicto como motor de la música. Sabemos, por ejemplo, que los conceptos de disonancia y consonancia han ido ensanchándose a lo largo de la historia de la música. En el Barroco un acorde de séptima de dominante, considerado disonante, tenía que resolverse; eso no es tan evidente en la música de principios del siglo XX, donde se aceptan esos acordes con total naturalidad, y aún menos en el jazz. Analicemos la presencia del conflicto con un breve ejemplo tomado de la Pequeña serenata nocturna KV 525, de Mozart. El primer movimiento de esta serenata tiene forma sonata con dos temas que contrastan entre sí. El pasaje que examinamos en la figura 1 en una reducción para piano es el paso del primer tema, en sol mayor, al segundo tema, en re mayor. Figura 1: Pasaje de la Pequeña serenata nocturna KV 525, de Mozart Para dar interés musical a ese paso entre los dos temas, Mozart introduce varios elementos de tensión: Dinámica (volumen). Obsérvensen los compases 1 y 2, en que hay un sforzando (cambio súbito de volumen), un sf seguido de un piano (p). Al final de compás 3 hay una escala ascendente que tocan los violines en vibrato; esta escala comienza un crescendo (aumento progresivo de volumen) que culmina en el re final del compás 5 tocado en forte (fuerte). Armonía. En los tres primeros compases hay un pedal de tónica. Un pedal es una nota o armonía que se mantiene fija mientras se producen otros cambios armónicos. En este caso es la nota sol sobre la que se alternan los acordes de sol mayor y re mayor. En los compases 3 y 4 aparece la cadencia IV-VII6-I para afirma la tonalidad de sol, con el acorde de séptima de dominante incompleto. En el compás 4 se produce la secuencia de acordes V-I en sol, que, sin embargo, es reinterpretada como la secuencia I-V en la nueva tonalidad de re mayor. Esta técnica de cambio de tonalidad (llamada modulación en el lenguaje musical) se llama del acorde pivote y consiste en usar acordes comunes a dos tonalidades para modular. Al entrar en la nueva tonalidad Mozart usa de nuevo la cadencia IV-VII6-I (compases 4 y 5) y un pedal de tónica V7/I (compases 5 y 6). En los compases 8 y 9 se oye la secuencia II56-V56 del V-V, que no es sino una afirmación del quinto grado de re (el la) por medio de dominantes secundarias. La secuencia desemboca en una cadencia rota con un pedal de dominante. En los compases 1 y 2 el ritmo es relativamente sencillo, con las notas sobre las partes fuertes de la métrica. En los compases 5 y 6 el ritmo se agita más al aparecer combinaciones de negras y corcheas ambas con puntillo. Finalmente, en los compases 7 y 8 las voces superiores hacen una síncopa (contradicción momentánea de la métrica establecida), que es además un pedal de la nueva tónica. En el compás 8 Mozart añade sutilmente un mi, que forma un intervalo disonante de segunda mayor con el re del pedal, y que sirve de apoyo a la progresión II56-V56 del V. En el compás 9 la síncopa se resuelve así como la disonancia y la melodía vuelve a una figuración de corcheas sobre las partes fuertes. Con este pequeño ejemplo se ve cómo opera el conflicto en varios niveles musicales. Las ideas musicales del compositor se plasman en la partitura, de la cual director e instrumentistas extraen la información necesaria para mostrar la música y sus conflictos internos. Xenakis reflexionó sobre el conflicto interno en la música, sobre todo a finales de los 50 y a principios de los 60. También reparó en que durante la ejecución de la obra musical emerge otro tipo de conflicto: el de la propia ejecución. En efecto, existe también una dialéctica entre partitura e intérprete. En ambos tipos de conflicto -indagaba Xenakis- no hay margen para la improvisación. Por un lado, el compositor ha fijado, hasta donde le permite la notación musical, sus ideas musicales, reveladas a través de la dialéctica de los elementos musicales; y éstos, por otro lado, determinan el conflicto partitura versus interpretación. En todo caso, es siempre un conflicto interno. Xenakis llamó a la música caracterizada por estos conflictos internos música autónoma. Incluso en la música estocástica, aunque goce de más margen de maniobra, las tensiones siguen confinadas a la partitura. Xenakis quería superar la música autónoma y experimentar con música que no solo poseyera ese carácter interno. Introduce, pues, el concepto de conflicto externo [Xen01], página 111): "Sería interesante y probablemente fructífero imaginar otra clase de discurso musical, el cual introdujese el concepto de conflicto exterior entre, por ejemplo, dos orquestas o instrumentistas contrarios". Su formación matemática y su creatividad musical le señalaron el camino una vez más. Imaginó la superación de la premisa del conflicto interno vía la teoría de juegos. En teoría de juegos tenemos dos jugadores que juegan por turnos y que siguen ciertas estrategias para ganar el juego. Xenakis pensó en dos orquestas compitiendo entre sí en un juego finito de suma cero. Cada orquesta dispondría de ciertas tácticas sonoras y los directores de las orquestas jugarían en función de lo que escuchan. En la siguiente sección explicamos algunos conceptos sencillos de teoría de juegos que nos ayudarán a entender la música de Xenakis que analizamos en el artículo de hoy. 2. Teoría de juegos La Teoría de Juegos es una disciplina matemática de pleno derecho (clasificación AMS: 90D). Su objetivo es el estudio de la estrategia para ganar en juegos modelizados matemáticamente. Esta definición, si bien general, se adapta con versatilidad a varios y dispares campos de aplicación. Con particular éxito, la teoría de juegos se ha usado en Economía para estudiar desde la competitividad en el mercado hasta la distribución de la riqueza. Podemos encontrar aplicaciones de la teoría de juegos en la Biología (problemas de equilibrio ecológico), en el diseño de acciones militares, en Sociología o en Ciencias Políticas (sistemas de votación), en Filosofía (para estudiar el concepto de convención) y, por supuesto, en Informática. Aquí nos contentaremos con introducir unas cuantas definiciones básicas para entender las ideas musicales de Xenakis. Para profundizar más en este fascinante tema se remite al lector a [Pet08] y a sus referencias bibliográficas. Empezaremos con un ejemplo. Dos equipos de exploradores, llamémosles A y B, tienen que someterse a una prueba. El equipo A tiene que ir desde el campamento este al campamento oeste y para ello tienen dos rutas disponibles, por el norte que se tarda 2 días, y por el sur que se tarda 3 días. El equipo A sale primero y unas horas más tarde, el equipo B, cuya misión es rastrear y dar alcance al equipo A. El equipo B desconoce qué ruta tomará el equipo A. Si el equipo B toma la ruta equivocada, puede regresar al campamento este y desde allí tomar la otra ruta. Ese error, no obstante, le cuesta al equipo B un día de retraso en la persecución del equipo A. La prueba se puede modelizar como un juego de dos personas, los equipos A y B, que compiten entre sí. La siguiente matriz modeliza matemáticamente el juego (figura 2): Figura 2: Matriz de un juego. La matriz se interpreta como sigue: Las elecciones de la ruta del equipo B se leen por filas. Las elecciones de la ruta del equipo A se leen por columnas. Las elecciones que hace cada equipo son independientes entre sí y se hacen simultáneamente. Los números de la matriz se leen como el pago que el equipo A hace al equipo B. Esta es una convención habitual en teoría de juegos. ¿Cuál es la estrategia ganadora para este juego? Si el equipo A elige la ruta norte, tendrá 1 o 2 días de persecución; en cambio, yendo por el sur dicho número de días sube a 2 o 3. En cuanto al equipo B, si elige la ruta por el norte siempre dispondrá de 2 días de persecución independientemente de la elección del equipo A. Por tanto, ambos equipos eligen la ruta norte. El lector quizás se haya dado cuenta de que la combinación norte-norte es máxima en su columna (2 1) y mínima en la fila (2 2). Una posición en la matriz para la que ocurre esto se llama punto de silla (equilibrio de Nash). También se observa que en el punto de silla el equipo B maximiza el pago mínimo recibido y el equipo A minimiza el pago máximo entregado. Este tipo de juegos se llama juego de suma cero porque la cantidad que recibe un jugador es igual a la que pierde el otro jugador para cualquier estrategia. 3. La Teoría de Juegos en la música de Xenakis Las obras más emblemáticas en las que Xenakis usó la teoría de juegos son Duel(1959) y Stratégie (1962). Analizaremos esta última para ilustrar la materialización de las ideas de Xenakis. Stratégie (1962) es una obra para dos orquestas, cada una con su propio director. Las orquestas se colocan una enfrenta de la otra, con los directores dándose la espalda. Los directores disponen de seis construcciones sonoras, como las llama Xenakis, de naturaleza estocástica (véase el artículo anterior de esta serie), numeradas del I al VI. Estas construcciones estocásticas se calcularon con la ayuda de un ordenador IBM 7090. Las construcciones sonoras son las partes constitutivas de las tácticas del juego, que son las siguientes: I.- Instrumentos de viento (madera y metal).II.- Instrumentos de percusión.III.- Toques con la mano en la caja de resonancia de los instrumentos de cuerda.IV.- Efectos puntillistas con los instrumentos de cuerda.V.- Glissandi con los instrumentos de cuerda.VI.- Armonías continuas tocadas por los instrumentos de cuerda A cada director se le permite ejecutar dos o tres tácticas simultáneamente, pero Xenakis determina la compatibilidad entre ellas en la siguiente tabla: En total, hay 19 tácticas: 6 tácticas formadas por una única construcción sonora (I a VI), 9 formadas por dos construcciones (VII a XV) y 4 formadas por tres construcciones (XVI a XIX). Por tanto, en cada turno los directores pueden tocar una de las 192=361 posibles combinaciones de tácticas. La pieza Stratégie se concibe como la ejecución de un juego finito de suma cero para dos personas. Las reglas son las siguientes: Elección de las tácticas. Aunque Xenakis ofrece varios sistemas para elegir las tácticas (véase la página 23 de [Xen01]), aquí describiremos solo uno de ellos, el sistema de elección arbitraria. Consiste en que cada director elige su táctica en función de su propio gusto musical y de la táctica que ha elegido el otro director. Matriz del juego. Hay una matriz que contiene los pagos para cada posible táctica. Esta matriz está delante de los directores durante la ejecución de la pieza. En la figura 3 tenemos dicha matriz (la matriz está tomada del libro de Xenakis [Xen01], página 128). Figura 3: Matriz del juego de la obra Stratégie. Los símbolos que aparecen a los lados de la matriz son iconos para ayudar al director a reconocer las cualidades sonoras de cada táctica. Xenakis introdujo dos matrices auxiliares para simplificar la lectura de la matriz principal durante la ejecución de la pieza. Duración de los turnos. Los turnos tendrán una duración mínima de 10 segundos. No habrá duración máxima. Duración del juego. Los directores acordarán jugar un número fijo de turnos. Obtención de los puntos. De nuevo, Xenakis ofrece varias posibilidades. Una de ellas es tener un árbitro que cuente los puntos obtenidos en cada turno. Lectura de las tácticas. Las orquestas tocan las tácticas de manera cíclica hasta que reciban la señal de parar por parte del director. El director puede empezar una táctica en ciertos puntos que se encuentran marcados en la partitura con letras. El director indica el número de táctica y la letra con unas tarjetas que muestra a la orquesta. Resultado. Al cabo de los turnos establecidos se termina la pieza y se hace el recuento de los puntos de cada director. Gana quien más puntos haya obtenido. En la figura 4 vemos un gráfico de Xenakis durante la concepción de Xenakis. Figura 4: Disposición de la orquesta en Stratégie ([Xen01]). Para terminar gozosamente esta sección, dejamos aquí dos vídeos con la música de Stratégie: Parte 1. Parte 2. 4. Conclusiones Xenakis transcendió el concepto de conflicto interno forzando a que el conflicto alcanzara al director de orquesta. Tomó dos orquestas y las puso a competir musicalmente sobre la base de un juego finito de suma cero para dos personas. Así, Xenakis expande los fundamentos matemáticos de la música en todas sus dimensiones: alturas y escalas, ritmo, timbre, forma y en esta ocasión también la naturaleza de la propia dialéctica musical. Al contrario de la mayoría de los músicos, Xenakis estaba al tanto de los nuevos avances en ciencia y tecnología. Este conocimiento alimentaba su imaginación y sus teorías musicales. 5. Para saber más El capítulo 2 del libro de Curtis Roads [Roa04] es un análisis del concepto de microsonido. Examina la obra de varios compositores que han usado este concepto, entre ellos, Xenakis. Ton de Leeuw analiza en su libro Music of the Twentieth Century: a Study of its Elements and Structure [dL06] la música del siglo XX desde un punto de vista estructural e incluye a Xenakis en dicho análisis. El libro de Dutta [Dut99], profesor del MIT, es un texto clásico que explica la teoría de juegos para estudiantes de ciencias económicas. Para una referencia de teoría de juegos desde un punto de vista algorítmico pero todavía abstracto, véase [NRÉTV10]. Para ver una cronología de la teoría de juegos, que se remonta a los babilonios y que en nuestros días cuenta con premios Nobel, véase la página web de Paul Walker [Wal10]. La página Les amis de Xenakis [Xen10] contiene información completa sobre su vida, su obra, así como la posibilidad de escuchar fragmentos de su obra. Bibliografía [dL06] Ton de Leeuw. Music of the Twentieth Century. Amsterdam University Press, 2006. [Dut99] Prajit K. Dutta. Strategies and games: theory and practice. The MIT Press, 1999. [NRÉTV10] Noam Nisan, Tim Roughgarden, Éva Tardos, and Vijay Vaziraini. Algorithmic game theory. http://www.cambridge.org/journals/nisan/downloads/Nisan_Non-printable.pdf Accedido en octubre de 2010. [Pet08] Hans Peters. Game Theory. Springer, 2008. [Roa04] Curtis Roads. Microsound. The MIT Press, 2004. [Wal10] Paul Walker. A chronology of game theory. http://www.econ.canterbury.ac.nz/personal_pages/paul_walker/gt/hist.htm Accedido en octubre de 2010. [Xen01] Iannis Xenakis. Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition. Number 6 in Harmonologia. Pendragon Press, Hillsdale, NY, 2001. [Xen10] Xenakis.org. Les amis de Xenakis. http://www.iannis-xenakis.org/ Accedido en 2010.
Miércoles, 03 de Noviembre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Recién acabada la carrera de Matemáticas y con ocho años de estudio de piano tuve la gran suerte de conocer a Andrew Melvin, a la sazón miembro del grupo de música contemporánea Secuencia. Andrew Melvin fue mi profesor de piano y composición durante un tiempo. Al poco de conocernos -yo creo que cuando estuvo seguro de mi sensibilidad musical- me mostró la música de Iannis Xenakis. Su música me fascinó desde el primer momento, me cayó como un chorro de luz corpórea y sin darme tiempo a reaccionar me llevo a hermosos mundos de emociones. Muchos días a última hora de la tarde, aún sin tener clase con él, iba a buscarlo con unos bocadillos, nuestra humilde cena, y nos quedábamos escuchando a Xenakis, sin mediar palabra, absortos en nuestro misticismo musical, solo sonriéndonos mutuamente al terminar alguna pieza. Escuchábamos con fruición sus primeras obras (Metastasis, Pithoprakta, Achorripsis), la música estocástica (la serie de los ST), las obras para solista (Mika, Evryali), las obras con percusión (Pleiades, Aïs, los dos Idmen), todo lo que caía en nuestras manos. En aquel tiempo yo no era consciente de la importancia conceptual de Xenakis como habilitador de la formalización matemática en la composición musical. Estaba sencillamente deslumbrado por su estética, tan original y revolucionaria. La música de Xenakis, obviamente, superaba el tonalismo, pero también la música de la segunda escuela de Viena (el atonalismo y el dodecafonismo) y también constituía una reacción reflexiva y genuina contra el indeterminismo de Cage. Su música, al contrario que otras músicas modernas, siempre me emocionaba. Años más tarde leí Formalized Music [Xen01] (figura 1) y adquirí consciencia de la importancia teórica de la obra de Xenakis. La gran cantidad de libros, artículos y conferencias que nos dejó revelan su preocupación por aclarar su pensamiento musical. Figura 1: Portada del libro Formalized Music: Thought and Mathematics in Music. 2. Breve biografía de Xenakis Xenakis nació en 1922 en Rumania, aunque su familia era griega. Su madre era pianista y es la que le introduce en la música desde temprana edad. La madre de Xenakis muere cuando él tiene cinco años de edad, hecho que le traumatiza -"su muerte me dejó profundamente asustado", diría años más tarde. A la edad de 10 años Xenakis vuelve a Grecia y su padre lo envía a un internado. Allí estudia filosofía, literatura europea, matemáticas, ciencias y música. Xenakis canta en un coro de música polifónica del Renacimiento y de música litúrgica bizantina. Por esa época empieza a estudiar piano. Mientras, estalla la Segunda Guerra Mundial y las tropas italianas, y más tarde las alemanas, invaden Grecia. Esto fuerza a Xenakis a interrumpir sus estudios de ingeniería que hace poco ha empezado. Se une a la resistencia de izquierdas, unión que le cuesta la cárcel en varias ocasiones. En 1944 una bomba de mortero lo alcanza y lo pone al borde de la muerte. La explosión le provoca la pérdida de un ojo y le desfigura la parte izquierda del rostro. En 1946 acaba sus estudios de ingeniería. A causa de su activismo político tiene que pasar a la clandestinidad. Su padre arregla los papeles para que pueda emigrar y en 1947 llega a París. En aquella época Xenakis siente un profundo desencanto hacia la política y las instituciones sociales en general. Siente que su vida debe cambiar de rumbo. Poco después de su llegada a París entra a trabajar como ingeniero en el estudio del famoso arquitecto Le Corbusier. En esa etapa Xenakis participa en varios proyectos importantes tales como el convento de La Tourette o el Pabellón Philips de la Exposición Universal de Bruselas (1956). Le Corbusier y Xenakis comparten un gusto por los sistemas de proporciones. Xenakis no deja en ningún momento su carrera musical. Empieza a estudiar con Honegger y Milhaud, pero los ejercicios de armonía y contrapunto que le proponen no satisface sus necesidades musicales y pronto deja sus clases. A sugerencia de Le Corbusier se presenta ante Messian para que le dé clases de composición. Messian lo anima a que aplique sus ideas matemáticas a la composición musical. Xenakis adquiere un buen conocimiento de los modos de Messian, no solo en la altura, sino también en la duración, la dinámica y la articulación. El contacto con Messian le hace consciente del poder de la abstracción en la composición. En aquellos convulsos años 50 hay una gran polémica sobre la aceptación o rechazo del serialismo. Xenakis rechaza tanto el serialismo europeo como el indeterminismo americano y, como Messian, toma un camino diferente. A partir de finales de los años 50 Xenakis empieza a aplicar sistemáticamente las matemáticas en la composición a través de una formalización de los parámetros y procesos musicales. En su obra podemos encontrar obras cuyos principios compositivos se basan en la teoría de probabilidades, en las cadenas de Markov, en la teoría de juegos, en principios geométricos y en otras ramas de las matemáticas. En 1953 se casa con la periodista y escritora Françoise Xenakis, con quien tiene una hija, Mâkhi. Más tarde, Xenakis entra en contacto con los fundadores de la música concreta, Pierre Schaeffer y Pierre Henry. También colabora con Edgar Varèse. En 1963 publica la primera versión de Formalized Music (en francés), que luego amplía, reescribe en inglés y revisa en sucesivas ediciones (1971, 1990, con posteriores reediciones). Xenakis es también un pionero de la música electrónica. Funda un laboratorio, el CEMAMu, en que estudia la aplicación de la informática a la música. A principios de los años Xenakis es una figura reconocida de la música contemporánea del siglo XX. Tiene una carrera exitosa como compositor, pedagogo y teórico de la música que dura hasta 1997, año en que su salud le impide componer. Muere en 2001 tras una larga enfermedad. 3. Matematización de los parámetros musicales Las primeras frases del capítulo de su libro Formalized Music [Xen01] son en sí mismas una declaración de principios: "El arte, y por encima de todo la música, tienen una función fundamental, y ésta es la de catalizar la sublimación que tiene lugar a través de cualquier medio de expresión". Xenakis fue, ante todo, un verdadero artista. En el análisis de su obra se ve que la decisión artística, la voluntad de expresividad a ultranza, está por encima de las consideraciones matemáticas y sus posibles constricciones. Las matemáticas, con proporcionar una nueva manera de concebir la composición, siempre estuvieron para Xenakis al servicio del concepto artístico. Xenakis se sentía ajeno tanto a la estética del serialismo, con su música sobreestructurada, aperiódica, compleja, así como del postserialismo encarnado por Cage, con su música basada en la indeterminación y el azar. De los serialistas rechazaba Xenakis su extraordinaria complejidad y arguía: "La polifonía lineal se destruye a sí misma a causa de su propia complejidad; lo que se oye no es en realidad más que una masa de notas en diversos registros. Su enorme complejidad impide al oyente seguir el entramado de las líneas, y tiene como efecto macroscópico una dispersión irracional y fortuita de sonidos a lo largo de toda la extensión del espectro. Hay, por tanto, una contradicción entre el sistema polifónico lineal y el resultado percibido, que es de una superficie o masa. Esta contradicción inherente a la polifonía desaparece cuando la independencia del sonido es total". Xenakis llama polifonía lineal al contrapunto serialista. Aunque consta de varias voces, todas han de percibirse como un todo, como una única voz; y de ahí, el adjetivo lineal. Aquí aparece uno de los principios más importantes en la música de Xenakis, el cual le permite superar la susodicha contradicción: la independencia total del sonido. Respecto al indeterminismo, Xenakis objeta la falta de un principio causal en la concepción musical. Si las alturas de una pieza se eligen en base a las imperfecciones de un papel (como es el caso de Music for piano, de Cage, por ejemplo), Xenakis duda seriamente de que esa elección transmita algún tipo de significado estético-musical al oyente. Sobre este problema del indeterminismo el crítico Pousseur [Pou66] ya había señalado que "donde se usan las más abstractas construcciones, uno tiene la impresión de encontrarse ante la presencia de las consecuencias de sonidos tocados libre y aleatoriamente". La respuesta de Xenakis a los problemas estéticos de ambas tendencias proviene de las matemáticas. Por un lado, el sonido ha de tener total independencia y, por otro lado, la música ha de poseer un significado global, derivado éste de la acumulación de los efectos individuales de las partes. Xenakis identificó estas dos condiciones con el enunciado de la ley de los grandes números de Bernouilli (véase [RS00]). Para otras versiones más generales del teorema así como para su demostración, véase [RS00] y sus referencias. El significado musical resultante está aquí representado por la media μ común a todas las variables independientes. Es el significado global, macroscópico, que surge de las causas independientes. Xenakis emprendería un camino de exploración de esas ideas matemáticas en la composición musical. La primera obra en que puso en práctica estas ideas fue Metastasis (1953-54), donde formalizó ciertos parámetros musicales de modo matemático, sobre todo usando geometría y matemática discreta. Fue aún más lejos en otra obra posterior, Pithoprakta (1955-56), donde, siguiendo con su razonamiento, se inspiró en la mecánica estadística para su composición, en particular, en la teoría cinética de los gases de Boltzmann [MF71]. Esta teoría se basa también en la ley de los grandes números. Boltzmann explica el efecto macroscópico de la presión como el efecto de los choques de las moléculas, choques que son independientes, cada uno de ellos de efecto muy pequeño y que ocurren en número muy alto. Xenakis propone en Pithoprakta una representación sonora (una sonificación [vaaat10]) de ese fenómeno. 4. Formalización matemática de los parámetros musicales Xenakis, como hemos dicho, usó una amplia gama de técnicas matemáticas para formalizar la música. Las que exponemos en esta sección pertenecen a su llamada música estocástica, que debe su nombre al hecho de que la formalización descansa en la teoría de probabilidades. Para su música estocástica Xenakis formalizó los siguientes parámetros musicales: la duración de las notas, la densidad de la nube de alturas, la velocidad del glissando, las dinámicas y la instrumentación. Duración de las notas. Xenakis usó la distribución exponencial para determinar la longitud de las notas. La función de densidad es: f(x) = δ · e-δx (1) donde δ es la densidad (en lo que sigue usaremos la notación del propio Xenakis). Como se sabe la esperanza o media de esta distribución es E(X) = 1/δ,de modo que la densidad es la inversa de la duración media de la nota. Una densidad alta produce notas cortas y en cambio una densidad baja, notas largas. En la figura 2 se muestra la gráfica de la función de densidad con los parámetros δ = 1y δ = 2. Figura 2: Función de densidad que rige la duración de las notas. La probabilidad P de que la duración de una nota esté entre dos valores l1, l2 está dado por: Densidad de la nube de notas. Este parámetro está gobernado por otros dos a su vez, la densidad y la altura. La densidad se refiere propiamente al número de notas que suenan en un determinado intervalo de tiempo. La densidad de la nube sigue una distribución de Poisson. Para la composición se establecerá una densidad media de notas μ0 > 0. La función de masa queda como sigue: (2) La distribución de Poisson es la versión discreta de la distribución exponencial como se puede apreciar en la figura 3 (aparecen dos curvas con valores k=2 y k=5). Figura 3: Función de masa que rige la densidad de la nube de notas. En cuanto a las alturas de la nube, se empieza por una altura generada aleatoriamente también y a partir de ella se generan sucesivamente los intervalos aleatorios con la siguiente función de densidad: (3) donde a es el máximo intervalo especificado por el compositor. Para decidir la dirección del intervalo se usa una variable discreta de dos valores (intervalo ascendente o descendente), cada uno con probabilidad 1/2. En la figura 4 tenemos la gráfica de Θ(γ) con los valores γ = 5 y γ = 10. Se observa que los intervalos tienden a ser pequeños, aunque no tanto como los generados por la distribución exponencial. El papel del parámetro a es limitar los intervalos poco habituales o que resulten imposibles de tocar en el instrumento. Figura 4: Función de densidad que rige la altura de las notas. Velocidad del glissando. El glissando es el paso de una nota a otra de manera continua. En la orquesta solo lo pueden ejecutar los instrumentos de cuerda y el trombón de vara. Ya que Xenakis quería recrear ciertos fenómenos físicos de carácter continuo, necesitaba formalizar este parámetro también. Para ello, utilizó la distribución normal de función de densidad: (4) donde b es un parámetro que Xenakis, inspirándose en la teoría cinética de gases, llamó la temperatura resultante (aggregate temperature); véase la figura 5 (las dos gráficas corresponden a los valores b=5 y b=10). Figura 5: Función de densidad que rige la velocidad del glissando. Las dinámicas. Xenakis divide el rango dinámico en cuatro zonas, representadas por ppp, p, f y ff, que corresponden respectivamente a muy suave, suave, fuerte y muy fuerte. Suele usar sucesiones de tamaño 3, de modo que hay 64 posibles (43=64). Sin embargo, descarta algunas por motivos musicales y el número total se reduce a 44. Las dinámicas se obtienen mediante una distribución uniforme discreta de probabilidad (cada sucesión 1/44). La instrumentación. En primer lugar, se separan los instrumentos que poseen un timbre similar. A continuación, según distribución lineal, se determina un porcentaje para cada clase de instrumentos. Este porcentaje marca la proporción de notas totales de la composición que el grupo instrumental tocará. 5. Pithokrapta En Pithokrapta Xenakis explora las relaciones entre la ley de los grandes números (el sentido global) y la teoría cinética de los gases de Boltzmann (la independencia total del sonido). Para esta obra Xenakis imagina un gas ideal a temperatura constante e identifica las moléculas y sus choques con una orquesta de cuerda. Veamos los compases 53 a 60, uno de los pasajes donde son más evidentes las intenciones del compositor. Para las velocidades de las moléculas Xenakis usa la distribución normal similar a la ecuación (4): donde a es aquí la temperatura del gas y v la velocidad de las moléculas. Para este pasaje la velocidad de cada molécula se traduce en un glissando tocado en pizzicato (pulsando la cuerda, sin el arco). La pendiente de cada glissando es proporcional a la velocidad de cada partícula. Estos sucesos sonoros, los glissandi, representan la distribución molecular del gas. Xenakis fija 58 intervalos distintos para las velocidades y usando la distribución normal genera 1.148 velocidades distintas de moléculas de un gas a temperatura constante. Como la orquesta no dispone de un número tan alto de voces, Xenakis redujo el número de voces independientes a 46. Cada una de estas voces toca una media de 25 notas en los 18,5 segundos que dura este pasaje. La manera de trabajar de Xenakis era muy meticulosa, como correspondía a su formación científica. Para esta obra, dibujó en papel milimetrado los glissandi. El eje de abscisas representa el tiempo. Cada marca son 26 MM del metrónomo Mälzel (0,433 segundos por marca). El eje de ordenadas representa la altura del sonido. El intervalo entre dos marcas consecutivas es de medio tono. Xenakis dividió el eje de ordenadas en 15 rangos de una tercer mayor (cuatro semitonos) cada uno. A cada tesitura (rango) se le asignó un cierto número de instrumentistas. En la figura 6 tenemos la gráfica que dibujó Xenakis para este pasaje. Figura 6: Grafo de Pithoprakta (imagen tomada de [Zog10]). En la realidad los choques de las moléculas del gas no son simultáneos. Xenakis refuerza la idea del caos imponiendo divisiones métricas con números de partes que son primos relativos entre sí. Así, por ejemplo, encontramos quintillos, tresillos, negras, pero también subdivisiones de 15 o de 20. La figura 7 muestra la escritura en notación musical convencional del mismo pasaje. Figura 7: Partitura final de Pithoprakta. En la figura 8 se puede apreciar con más detalle los glissandi así como las articulaciones métricas tan peculiares de esta obra. Figura 8: Detalle de Pithoprakta. Resumiendo, en este pasaje tenemos las siguientes características ([Xen01], página 15): Las duraciones de las notas no varían. Las alturas varían de acuerdo a sus distribuciones de probabilidad. La densidad de sonidos se mantiene constante en todo momento. La dinámica es constante e igual a ff (muy fuerte). El timbre es constante; solo hay instrumentos de cuerda. Las velocidades determinan una "temperatura" sujeta a fluctuaciones locales y que sigue una distribución normal. Por último, dejo aquí un vídeo con la música de Pithoprakta. 6. Conclusiones Tal y como había hecho Heisenberg con la mecánica cuántica, Xenakis introduce la probabilidad en el mundo de la composición musical. A pesar de la aparente excesiva formalización del proceso compositivo, Xenakis dota a su obra de expresividad. La influencia que ejerció en los compositores de las generaciones posteriores fue formidable, no solo por el gran salto conceptual que había dado con su música, sino también por su ejemplo incansable de creatividad. 7. Para saber más Edward Childs disecciona la obra Achorripsis en su artículo [Chi02], que también se basa en teoría de las probabilidades. Tako Oda tiene un artículo en que compara las teorías estéticas de Xenakis y Cage. Se llama Iannis Xenakis and John Cage:Two Sides of a Tossed Coin y se puede encontrar en [Oda10]. Para un estudio músico-matemático de las últimas obras de Xenakis, véase la tesis de Ronald Squibbs [Squ96]. Robert Strizich [Str10] en un interesante artículo analiza el papel de la textura en varios compositores de la posguerra, incluyendo Xenakis. La textura fue uno de los aspectos que más investigó y experimentó Xenakis. Sin duda, está considerado como un gran inventor de texturas. Recordemos la incorporación de la percusión africana a la orquesta sinfónica, por poner un ejemplo. La página Les amis de Xenakis [Xen10] contiene información completa sobre su vida, su obra, así como la posibilidad de escuchar fragmentos de su obra. Para profundizar más en la estética de las primeras obras de Xenakis, véase el artículo de Markos Zografos [Zog10]. Referencias [Chi02] Edward Childs. Achorripsis: a Sonification of Probability Distributions. In International Conference on Auditory Display, Kyoto, julio 2002. [MF71] A. Marcelo and E. Finn. Física III. Fundamentos cuánticos y estadísticos. Addison Wesley, 1971. [Oda10] Tako Oda. Iannis xenakis and john cage: Two sides of a tossed coin. http://people.mills.edu/toda/chance/frames.html, accedido en septiembre de 2010. [Pou66] Henry Pousseur. The question of order in the new music. Perspectives in New Music, 1:93-111, 1966. [RS00] V. K. Rohatgi and E. Saleh. An Introduction to Probability and Statistics. Wiley-Interscience, 2000. [Squ96] Ronald Squibbs. An Analytical Approach to the Music of Iannis Xenakis: Studies of Recent Works. Yale University. PhD thesis, Universidad de Yale, New Haven, Connecticut, 1996. [Str10] Robert Strizich. Texture in post-world war ii music. http://www.ex-tempore.org/strizich91/strizich.htm, accedido en septiembre de 2010. [vaaat10] Varios autores asociados a International Community for Auditory Display. Sonification report: Status of the field and research agenda. http://www.icad.org/websiteV2.0/References/nsf.html, accedido en septiembre de 2010. [Xen01] Iannis Xenakis. Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition. Number 6 in Harmonologia. Pendragon Press, Hillsdale, NY, 2001. [Xen10] Xenakis.org. Les amis de xenakis. http://www.iannis-xenakis.org/, accedido en septiembre de 2010. [Zog10] Markos Zografos. Iannis xenakis: the aesthetics of his early works. http://www.furious.com/perfect/xenakis.html, accedido en septiembre de 2010.
Martes, 05 de Octubre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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