11. 12. (Julio 2020) Geometría y arte: El cubo SOMA en las esculturas de David Umemoto

El rompecabezas geométrico SOMA, del que ya hemos hablado en otra ocasión[i], se compone de siete piezas (a las que de ahora en adelante llamaremos somaedros) como las de la figura siguiente. Ilustración de Piet Hein[ii] en el Manual del SOMA[iii] (p. 4) Con ellas, entre otros muchos objetos 3D, se puede construir un cubo 3x3x3 («problema fundamental»). Desde una óptica matemática, la resolución de este problema geométrico y de otros similares, es un reto intelectual que puede mantener ocupada durante un largo tiempo a cualquier persona con la mente despierta. Desde una perspectiva artística, el creador, al margen del «problema fundamental», se dedica a transformar los siete somaedros en estructuras estéticamente atractivas con las cuales (ensamblándolas de forma conveniente) puede generar auténticas obras de arte. En las líneas que siguen, ofrecemos un ejemplo de este enfoque presentando las esculturas SOMÁticas del arquitecto David Umemoto, residente en Montreal (Canadá). Las SOMAesculturas de Diego Umemoto En la página personal de Umemoto (https://davidumemoto.com/info) hemos localizado seis proyectos inspirados en el SOMA. En cada uno de ellos se presentan los siete elementos básicos con algunos resultados obtenidos después de su acoplamiento[iv]. A partir de aquí, dejamos que el lector disfrute de las originales y bellas esculturas del artista canadiense. [1] Soma Cube i (2015) [2] Soma cube ii [3] Soma cube iii [4] Soma cube vi [5] Soma Cube ix [6] Soma Cube xs   Notas: [i] SOMA: antepasados y descendientes (Divulgamat). [ii] Piet Hein (1905 – 1996), poeta, filósofo, matemático y científico danés, creador del SOMA. [iii] Parker Brothers distribuyó el SOMA en Estados Unidos. El manual editado por dicha empresa fue escrito e ilustrado por Piet Hein (Introducing SOMA, 1969). [iv] En algunas esculturas intervienen todos los somaedros y en otras no.

Miércoles, 29 de Julio de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

12. 11. (Julio 2020) SOMA: antepasados y descendientes

Las disecciones del cubo proporcionan una rica fuente de inspiración a los diseñadores de rompecabezas tridimensionales. En este artículo ofrecemos una selección de puzles 3D obtenidos a partir del poliedro regular que, en la cosmología platónica, representaba la tierra. 1. El cubo diabólico Profesor Hoffmann En 1893, el profesor Hoffmann[1] publicó en Londres sus Puzzles Old and New en los que introdujo un rompecabezas, el «cubo diabólico», formado por seis piezas con las que se puede construir un cubo 3x3x3. Puzzles Old and New, p. 108 Dichas piezas están formadas por 2, 3, 4, 5, 6 y 7 cubos unitarios, tal como puede verse en la figura adjunta. Las seis piezas del «cubo diabólico» En la páginas 142 y 143 del mismo libro, Angelo John Lewis propuso la siguiente construcción del cubo. Se colocan las piezas c [= 6], a [= 7] y e [= 4] una al lado de otra tal como se indica en la figura anterior. Acto seguido, la pieza f [= 2] se acopla delante de la e. Después, la pieza d [= 3] se sitúa entre a y f, completando una cara del cubo. Por último, en los espacios vacíos que quedan, se coloca la pieza b [= 5]. Para describir la construcción anterior de forma más precisa, utilizaremos tres cuadrados 3x3 que, escritos de izquierda a derecha, representan el primer, segundo, y tercer piso del hexaedro. Además, en cada cuadrícula escribiremos el número de la pieza que se apoya en él. Hay trece formas diferentes de construir un cubo 3  3  3 con las seis piezas del «cubo diabólico». Las presentamos con la ayuda del código que acabamos de describir. Notemos que la segunda de ellas es la propuesta por Hoffmann.     2. El cubo SOMA 2.1. El puzle El rompecabezas tridimensional SOMA fue ideado por el poeta, filósofo, matemático y científico danés Piet Hein. Piet Hein (1905 – 1996) Al parecer, la idea le surgió durante una conferencia sobre Física Cuántica. En la patente inglesa del SOMA, fechada el 19 de marzo de 1934, leemos: Mi invento se ilustra en los dibujos adjuntos, en los que: Las figuras 1-7 son dibujos en perspectiva de las siete piezas. Las figuras 8-13 son ejemplos de cuerpos o figuras geométricas sólidas que se pueden construir con las siete piezas. Cada una de las piezas de las figuras 1-7 se componen de tres o cuatro cubos yuxtapuestos. La pieza 1 está formada por tres cubos, mientras que cada una de las restantes está compuesta por cuatro cubos dispuestos de diferentes formas. El conjunto de todas las piezas equivale a veintisiete cubos. 2.2. El problema fundamental Con las siete piezas del SOMA, se puede generar un sinfín de objetos 3D. Objetos 3D que se pueden construir con el SOMA. Dibujos de Piet Hein (Manual del SOMA, pp. 20-21)[2] Además, se puede construir un cubo 3x3x3 («problema fundamental»). Ilustración del manual del SOMA (p. 4) En 1961, los matemáticos de la Universidad de Cambridge John Horton Conway y Michael J. T. Guy (1942) obtuvieron manualmente las 240 formas distintas de hacerlo. John Horton Conway (1937) En la figura adjunta reproducimos una posible solución del «problema fundamental» Construcción del cubo con las siete piezas del SOMA[3] Utilizando el código descrito en el parágrafo 1, la construcción anterior se convierte en: 2.3. Jugando con el SOMA Con dos juegos SOMA, dos jugadores pueden poner a prueba su habilidad tridimensional en un torneo intelectual que se ajusta a las siguientes reglas: Se determina por sorteo el jugador que inicia el juego. El jugador que inicia el juego elige una de las siete piezas y la posición que debe ocupar. Los dos jugadores, usando la misma pieza y posición de partida, deben construir un cubo 3x3x3 utilizando las restantes piezas del SOMA. Gana el jugador que alcanza el objetivo en menos tiempo. El jugador que pierde, elige la siguiente pieza y posición de partida. Los siguientes dibujos de Piet Hein muestran algunas posiciones teóricas de partida para la pieza 1. Proponemos algunas construcciones del cubo a partir de dichas posiciones. POSICIÓN A POSICIÓN B POSICIÓN C POSICIÓN D POSICIÓN E 3. El cubo de Mikusinski Jan Geniusz Mikusinski (1913 – 1987) El matemático polaco J. G. Mikusinski  obtuvo la siguiente disección del cubo en seis policubos. Las seis piezas del «cubo de Mikusinski» El «cubo de Mikusinski» también se conoce como «cubo de Steinhaus» dado que apareció por primera vez, que sepamos, en el libro Mathematical Snapshots (1950) del matemático y pedagogo polaco Hugo Steinhaus. Hugo Steinhaus (1887 – 1972) La reconstrucción del cubo con dichas piezas sólo admite las dos soluciones que se muestran en la figura siguiente. 4. Disecciones del cubo en piezas idénticas 4.1. El cubo de O’Berine Atendiendo al testimonio de Martin Gardner (Rosquillas anudadas, p. 33), se debe al escocés Thomas H. O’Berine la disección de un cubo en nueve «tricubos» como el de la figura adjunta. Según el divulgador norteamericano: Los intentos de atinar por tanteo a construir un cubo con los nueve tricubos pueden resultar verdaderamente exasperantes, salvo que, por fortuna se haya acertado en un procedimiento sistemático. ¿Cómo descubrir dicho procedimiento sistemático? En primera instancia, notemos que con dos tricubos se puede construir una estructura [= 2TC] como la del diagrama siguiente. Por consiguiente, con seis tricubos se pueden construir tres. Acto seguido, dispongamos los tres tricubos restantes tal como se detalla a continuación. A partir de aquí, añadiendo sucesivamente las tres estructuras 2TC a la «escalera» anterior, se puede completar un cubo 3x3x3 siguiendo las indicaciones de la figura adjunta. 4.2. Un cubo grande: el Gridlock Puzzle El Gridlock Puzzle es un rompecocos 3D compuesto por cincuenta y cuatro piezas como las de la figura adjunta. El objetivo que se persigue es el de construir un cubo 6x6x6 con todos los tetracubos del rompecabezas. Para conseguirlo, basta con construir (utilizando dieciocho piezas) dos capas del cubo superpuestas [= paralelepípedo 6x6x2], tal como se detalla en los diagramas adjuntos. Repitiendo este proceso dos veces más se consigue materializar el cubo con todas las piezas del puzle. 5. El puzle de Slothouber-Graatsma William Graatsma (1925) y Jan Slothouber (1918 – 2007) Se debe a los arquitectos holandeses Jan Slothouber y William Graatsma un puzle formado por seis bloques 1x2x2 y tres bloques 1x1x1 con los que se puede formar un cubo 3x3x3. La solución es única, salvo simetrías y rotaciones, y se comprende fácilmente a partir del esquema siguiente. 6. El cubo de Conway John Horton Conway, del que ya hemos hablado en el parágrafo 2.2., diseñó un puzle compuesto por las dieciocho piezas siguientes: Trece bloques 1x2x4. Tres bloques 1x1x3. Un bloque 2x2x2. Un bloque 1x2x2. Con ellas se debe formar un cubo 5x5x5. Los cuatro tipos de bloques Designando los trece bloques 1x2x4 por A, B, C, D, E, F, G, H, K, L, M, N  y P, los tres bloques 1x1x3 por a, b y c, el bloque 2x2x2 por α, y el bloque 1x2x2 por β, una posible construcción del cubo requerido es: 7. El cubo de Bedlam Acabamos este catálogo de rompecabezas hexaédricos con un puzle compuesto por trece piezas (doce pentacubos y un tetracubo), cuyos bocetos adjuntamos. Su creador es el británico Bruce Bedlam. Bruce Bedlam Con las trece piezas se puede montar un cubo 4x4x4 de 19186 formas diferentes. El reto de conseguir una no es fácil y se necesita una gran dosis de paciencia, organización y constancia. Una solución al cubo de Bedlam 8. Fábrica de rompecabezas cúbicos En las secciones precedentes hemos presentado varios puzles cúbicos sin prestar atención al procedimiento que pudieron seguir sus inventores a la hora de diseñarlos. Desde una óptica formativa, esta fase de creación resulta particularmente interesante. Por este motivo, en este último parágrafo (a modo de anexo), ofrecemos el alumbramiento de un «nuevo» rompecabezas hexaédrico. Un puzle 3x3x3 con seis piezas [1] Empezamos con un pentacubo A, cuatro de cuyos cubos ocupan el primer piso y uno ocupa el segundo. La apariencia tridimensional de A se ajusta al boceto siguiente. [2] Proseguimos con el tetracubo B, dos de cuyos cubos ocupan el primer piso y los dos restantes ocupan el segundo. En la figura siguiente se ofrece una representación en perspectiva de B. [3] En tercer lugar, concebimos el pentacubo C, tres de cuyos cubos ocupan el primer piso y los dos restantes el segundo. En el boceto adjunto se muestra una representación de C. [4] Acto seguido «creamos» el pentacubo D, tres de cuyos cubos están en el segundo piso y los dos restantes en el tercero. En la figura siguiente ofrecemos una representación de D. [5] Incluimos ahora el tetracubo E que tiene un cubo en el segundo piso y tres en el tercero. La representación 3D de dicho policubo se ofrece en el boceto siguiente. [6] Habiendo llegado a este punto, los huecos que quedan por cubrir sólo se pueden llenar con el tetracubo F. La figura adjunta es una representación plana del policubo F. Con esto, acabamos de «inventar» o «reinventar» un rompecabezas cúbico de seis piezas (tres tetracubos y tres pentacubos).   Referencias bibliográficas GARDNER, M. (1987). Rosquillas anudadas y otras amenidades matemáticas. Barcelona: Editorial Labor, S. A. HOFFMANN, P. (1893). Puzzles Old and New. London: Frederick Warne and Co. MEAVILLA SEGUÍ, V. (2011). El lobo, la cabra y la col. Córdoba: Editorial Almuzara, S. L.   Referencias online Cubic Block Puzzles. The 3x3x3 Cube Cubo de Bedlam Gridlock puzzle Cubo de Conway El puzzle de Slothouber-Graatsma Introducing SOMA (Manual del SOMA)   Notas: [1] Pseudónimo del inglés Angelo John Lewis (1839 – 1919). [2] Parker Brothers distribuyó el SOMA en Estados Unidos. El manual editado por dicha empresa fue escrito e ilustrado por Piet Hein (Introducing SOMA, 1969). [3] Manual del SOMA (Parker Brothers), p. 12.

Miércoles, 15 de Julio de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

13. 9. (Junio 2020) Paseo melancólico, matemático y artístico por un grabado alemán del siglo XVI

1. Introducción Alberto Durero. Melencolia I (1514, 28 x 18,8 cm) Galería Nacional de Arte de Karlsruhe El famoso y popular (entre el público matemático) grabado Melancolía I es obra del artista alemán Alberto Durero. Alberto Durero (1471 – 1528) Firma de A. Durero Junto con los grabados El caballero, la muerte y el diablo y San Jerónimo en su gabinete integra la trilogía Estampas maestras. Contemplada con ojos matemáticos, Melancolía I propone dos ambientes bien diferenciados: el aritmético y el geométrico. En el primero (parte superior derecha del grabado), se representa un cuadrado mágico 4 x 4 con los dieciséis primeros números naturales. En el segundo (parte izquierda) puede verse un poliedro peculiar (el sólido de Durero) y una esfera. Aritmética Geometría Boceto de Durero para el poliedro Melancolía 2. El ambiente aritmético En la parte superior derecha de su Melancolía, debajo de la campana, Durero nos  presenta una distribución numérica, en forma de cuadrado, en la que intervienen los dieciséis primeros números naturales (1, 2, 3, . . ., 14, 15, 16). 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 Notemos que la suma de los cuatro números de cada fila es igual a 34. Lo mismo sucede con la suma de los cuatro números de cada columna y con la suma de los cuatro números de cada diagonal. Además, los números 15 y 14 de la cuarta fila indican el año en que se estampó el grabado. Entre los matemáticos, cualquier distribución numérica similar a la de Durero se llama cuadrado mágico normal de orden 4. En general, se llama cuadrado mágico de orden n a un cuadrado formado por números naturales diferentes tales que los n números de cada fila, columna o diagonal, tienen la misma suma a la que se llama constante mágica [= M] del cuadrado. El cuadrado mágico de orden n se llama normal si los números que lo forman son los primeros números naturales. En el cuadrado mágico de Melancolía I, la suma de los números de las casillas grises en los diagramas siguientes también es igual a 34 [= M]. 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 Estas propiedades se pueden generalizar para cuadrados mágicos 4 x 4 en los siguientes términos: En todo cuadrado mágico de orden 4 la suma de los elementos que ocupan las esquinas es igual a la constante mágica. En todo cuadrado mágico de orden 4 la suma de los elementos que ocupan el cuadrado central de orden 2 es igual a la constante mágica. En todo cuadrado mágico de orden 4 la suma de los elementos que ocupan las esquinas de cualquier rectángulo medio es igual a la constante mágica. 3. El ambiente geométrico Antes de entrar de lleno en el estudio del sólido de Durero vamos a considerar otro poliedro llamado romboedro. El motivo de esta decisión es que, como se verá, aquél se genera a partir de éste. El romboedro es un hexaedro cuyas seis caras son rombos idénticos. Adviértase que el cubo es un caso especial de romboedro en el que las caras son cuadradas. Si se corta el romboedro del diagrama anterior por dos planos π y π´ perpendiculares a una de sus diagonales (por ejemplo, la CE) y tales que sus distancias respectivas a C y E sean iguales, entonces el romboedro se descompone en dos pirámides triangulares idénticas y en un poliedro dos de cuyas caras son triángulos equiláteros iguales y las seis restantes son pentágonos idénticos. Este último cuerpo geométrico es, precisamente, el poliedro Melancolía. Poliedro Melancolía Si el romboedro generador es un cubo, entonces el desarrollo del sólido de Durero toma la apariencia siguiente. 4. El ambiente artístico El poliedro Melancolía y el cuadrado mágico contenido en el grabado Melancolía I están presentes en diversas expresiones artísticas. Sirvan de ejemplo las siguientes. Hans Erni. Panta rhei (1979, detalle)[1]. Auditorio del Museo Hans Erni (Lucerna) Cortesía de la Hans Erni Foundation Giuseppe Modica. Mediterraneo-melanconia (2011). Óleo sobre tela,  20 x 25 cm. Cortesía del autor Giuseppe Modica. Melanconia-frammenti (2011). Óleo sobre tabla, tríptico, 150 x 225 cm. Cortesía del autor John Cornu. Melencolia (2011). 25 x 20 x 16 cm cada escultura. Cortesía del autor John Cornu. Melencolia (2011). 163 x 120 x 120 cm Cortesía del autor Román Jiménez Iranzo y Pedro Soler García. Melancolía (1992)[2] Sello de correos (Angola) Vicente Meavilla. Barcelona[3] (2004) George Widener. Magic Square (2009). 15,5 x 13 x 4 pulgadas Cortesía de la Andrew Edlin Gallery (New York) 5. A modo de epílogo Acabamos de dar un breve paseo por un grabado (Melencolia I) creado por el artista alemán Alberto Durero y estampado en 1514. A lo largo de esta corta excursión hemos pasado revista a los aspectos aritméticos (cuadrado mágico normal de orden cuatro y constante mágica 34), geométricos (poliedro Melancolía)  y artísticos de una obra maestra del arte universal. Con ello, hablando desde una óptica didáctica, hemos pretendido lanzar el siguiente mensaje a los docentes: cuando diseñéis actividades de enseñanza y aprendizaje procurad poner de manifiesto la relación de las Matemáticas con otras facetas de la cultura humana. Que así sea.   Referencias bibliográficas MEAVILLA SEGUÍ, V. (2004). Figuras imposibles. Geometría para heterodoxos. Granada: Proyecto Sur de Ediciones, S. L MEAVILLA SEGUÍ, V. (2016). El arte de las matemáticas. Córdoba: Editorial Guadalmazán. Referencias online Andrew Edlin Gallery (New York) Giuseppe Modica Hans Erni Foundation John Cornu Vicente Meavilla [1] A la izquierda de la imagen aparece Erasmo y a la derecha Lutero [2] La escultura de los arquitectos Jiménez Iranzo y Soler García estaba integrada en una fuente que se ubicó en la Plaza de la Ciudad de Brujas (Valencia). Dicha plaza estuvo en obras y, en la actualidad, desconocemos el paradero del sólido de Durero. [3] La distribución numérica encerrada en la B de Barcelona no es propiamente un cuadrado mágico de orden 4, dado que los números 10 y 14 se repiten dos veces. Este cuadrado cuasi-mágico está presente en la fachada de la Pasión de la Sagrada Familia (Barcelona). Notemos que la constante mágica es igual a 33 (edad de Cristo).

Martes, 23 de Junio de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

14. 10. (Julio 2020) El cuboctaedro, un poliedro arquimediano con catorce caras

1. Unas palabras introductorias Se llama poliedro semirregular o arquimediano1 a todo poliedro convexo en el que las caras son regulares, pero no iguales, y los ángulos poliedros son iguales y no regulares. Notemos que en un poliedro arquimediano todas las aristas son iguales. El primer documento en el que se alude a los poliedros semirrregulares se debe a Pappus de Alejandría (s. IV d. C.) que, en su Colección matemática, se expresa en los siguientes términos: (…) Es posible, en efecto, imaginar muchas figuras sólidas con superficies de cualquier clase; pero vamos a considerar especialmente aquellas que parecen regulares, las cuales no son solamente las cinco de que habla el divino Platón, a saber: el tetraedro, el hexaedro, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, sino también las trece2 descubiertas por Arquímedes formadas por polígonos equiláteros y equiángulos, pero no semejantes. A lo largo de este artículo prestaremos nuestra atención al cuboctaedro, formado por ocho caras triangulares y seis cuadradas, dado que se genera fácilmente a partir de un cubo y está presente en múltiples manifestaciones artísticas y cotidianas. Cuboctaedro3 Estas razones justifican la introducción del antedicho poliedro arquimediano en las aulas no universitarias para poner de manifiesto la relación entre las Matemáticas, el Arte y el mundo en que vivimos. 2. Algunos textos y dibujos clásicos [1] Luca Pacioli describe el cuboctaedro en los siguientes términos. El hexaedro despuntado o absciso plano, igualmente sólido o hueco, tiene veinticuatro líneas que originan en él cuarenta y ocho ángulos superficiales, veinticuatro de los cuales son rectos y los demás agudos; tiene doce ángulos sólidos y está contenido por catorce superficies o bases, seis de las cuales son cuadradas y ocho triangulares (…). Y este cuerpo se origina del cubo mediante el corte uniforme en la mitad de sus lados, como demuestra de modo evidente su propia forma material. [De Divina Proportione (1509), cap. XLIX] Luca Pacioli (ca. 1445 – 1517) Leonardo da Vinci (1452 – 1519) Esta descripción se ilustra con dos dibujos de Leonardo da Vinci. Cuboctaedro Esqueleto4 del cuboctaedro [2] Por su parte, el alemán Alberto Durero, en su Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt (1525), ofrece un dibujo en el que se detalla el desarrollo del exacedron abscisus. Alberto Durero (1471 – 1528) Desarrollo del cuboctaedro [3] El holandés Simon Stevin también muestra el desarrollo del poliedro 5 en sus Problematum geometricorum (1583). Simon Stevin (1548 – 1620) Desarrollo del cuboctaedro [4] Juan de Arfe y Villafañe, natural de León, orfebre y autor de la Custodia de la Catedral de Sevilla, en De varia commensuracion para la Esculptura, y Architectura (1585) dibuja el arquimediano y su desarrollo. Juan de Arfe y Villafañe. Dibujos y desarrollo del cuboctaedro 3. El cuboctaedro: ficha técnica El cuboctaedro se obtiene truncando los vértices de un cubo a una distancia igual a  la mitad de la longitud de su arista. Tiene catorce caras (C = 14), doce vértices (V = 12), y veinticuatro aristas (A = 24). Como cualquier poliedro convexo cumple la fórmula de Euler C + V = A + 2. Si 2a es la longitud de la arista del cubo generador, entonces a√2 es la longitud de la arista del hexaedro despuntado. Su volumen V viene dado por la expresión: V = Vc - 8Vp siendo Vc el volumen del cubo generador y Vp el volumen de cada una de las pirámides cortadas. Entonces: Su área A viene dada por: 4. El exacedron abscisus en el dibujo y la pintura 4.1. Un grabado germano El grabador alemán Wenzel Jamnitzer en su Perspectiva Corporum Regularium (1568), nos ofrece una bellísima reproducción del poliedro . Wenzel Jamnitzer (1508 – 1585) Cuboctaedro 4.2. Los dibujos coloreados de Lorenz Stoer (1537 – 1621) A finales del siglo XX se descubrió una carpeta con dibujos coloreados del  alemán Lorenz Stoer (Geometria et Perspectiva: Corpora regulata et irregulata) que se conserva en la Biblioteca de la Universidad de Múnich. Ofrecemos dos de ellos en los que el arquimediano convive con otros cuerpos geométricos (sólidos platónicos, poliedros arquimedianos, poliedros estrellados   y cuerpos redondos). 4.3. Sueño arquimediano En el siguiente dibujo, hace ya unos años, diseñados una composición imposible en la que intervienen diversos poliedros arquimedianos. Vicente Meavilla. Sueño arquimediano (2005) Dejamos que el lector descubra la presencia del cuboctaedro. 4.4. Un cuadro de David Woodcock El artista y profesor británico David Woodcock (1952) dedica una de sus pinturas al hexaedro despuntado. David Woodcock. Cuboctahedron 11,5'' x 11,5'' 4.5. Pasión por el cuboctaedro El norteamericano John Arden Hiigli (1943 – 2017) consagró buena parte de su producción artística al exacedron abscisus. Hemos seleccionado el siguiente grupo de poliedros . 5. El arquimediano  y la marquetería Fray Giovanni de Verona (1433 – 1515), monje y artista italiano, fue el autor de diversas taraceas repartidas por la península italiana. En la Iglesia de Santa María in Organo (Verona) se encuentra una en la que, mirando desde arriba hacia abajo aparecen el exacedron elevatus vacuus6, el cuboctaedroy el duodecedron abscisus elevatus vacuus7. 6. Esculturas hexaédricas despuntadas El artesano carpintero Miguel Ángel Martín es autor de unas bellas esculturas en madera consagradas a los poliedros. En la figura adjunta reproducimos una dedicada al exacedron abscisus. Miguel Ángel Martín. Cuboctaedro Por otro lado, el escultor norteamericano (nacido en Seúl) Laird Hovland también rinde homenaje al poliedro en algunas de sus obras. Laird Hovland 7. Dados arquimedianos El cuboctaedro también forma parte de la nómina de dados poliédricos. Sirvan como ejemplo los dos siguientes cuyas aristas son curvilíneas. 8. Rompecabezas cuboctaédricos Entre los parientes del cubo de Rubik encontramos un puzle en forma de hexaedro despuntado. 9. Cristales La Madre Tierra también es capaz de producir bellísimos reproducciones cristalinas del exacedron abscisus. Cristal cuboctaédrico de galena. Cortesía de Fabre Minerals 10. Consideraciones didácticas En los parágrafos precedentes hemos contemplado un poliedro arquimediano, el cuboctaedro, desde distintos puntos de vista: el geométrico, el artístico, el cotidiano y el geológico. Así, hemos presentado algunos documentos históricos concernientes al exacedron abscisus; hemos efectuado algunos cálculos matemáticos; hemos ofrecido ejemplos concretos de la presencia del poliedro en grabados, pinturas, taraceas y esculturas; hemos mostrado objetos cotidianos (dados y rompecabezas) con formas cuboctaédricas y, por último, hemos admirado un bello cristal con la apariencia de hexaedro despuntado. Por consiguiente, hablando desde una óptica didáctica, podemos decir que en este artículo hemos propuesto un material que, estructurado de forma conveniente, puede ser útil al profesorado de los niveles no universitarios a la hora de diseñar actividades de enseñanza y aprendizaje que pueden involucrar a los departamentos de Matemáticas, Geografía e Historia y Ciencias Naturales.   Referencias bibliográficas ARFE y VILLAFAÑE, J. (1585). De varia commensuracion para la Esculptura, y Architectura. Sevilla: Andrea Pescioni y Iuan de Leon. DURERO, A. (1538)  Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt. Nürnberg. JAMNITZER, W. (1568). Perspectiva Corporum Regularium. Nuremberg: Gotlicher Hulff. KEPLER, J. (1619). Harmonices Mundi Libri V. Lincii Austriae: Sumptibus Godofredi Tampachii. MEAVILLA SEGUÍ, V. (2007). Las matemáticas del arte. Inspiración ma(r)temática. Córdoba: Editorial Almuzara, S. L. PACIOLI, L. (1991). La divina proporción (Introducción de Antonio M. González. Traducción de Juan Calatrava). Madrid: Ediciones Akal, S. A. STEVIN, S. (1583). Problematum geometricorum. Antwerpen: Johannes Bellerus. VERA, F. (1970). Científicos griegos (dos volúmenes). Madrid: Aguilar, S. A. de Ediciones. Referencias online David Woodcock Fabre Minerals John Arden Hiigli Laird Hovland Miguel Ángel Martín Vicente Meavilla Seguí 1 En honor al científico griego Arquímedes (s. III a. C.). 2 Pappus describe los trece poliedros siguientes: tetraedro truncado, cuboctaedro, octaedro truncado, cubo truncado, rombicuboctaedro, cuboctaedro truncado, icosidodecaedro, icosaedro truncado, dodecaedro truncado, cubo achatado, rombicosidodecaedro, icosidodecaedro truncado, y dodecaedro achatado. En esta lista no aparecen los prismas de Arquímedes, poliedros semirregulares cuyas bases son dos polígonos regulares del mismo tipo y cuyas caras laterales son cuadrados, y los antiprismas de Arquímedes o prismatoides regulares, poliedros arquimedianos cuyas bases son dos polígonos regulares del mismo tipo y cuyas caras laterales son triángulos equiláteros. 3 Ilustración contenida en el libro Harmonices mundi (1619. Lib.II, p. 62) de Johannes Kepler (1571 – 1630). 4 Estructura formada por las aristas de un poliedro. 5 El símbolo significa que de las catorce caras del poliedro, ocho son triángulos equiláteros y seis son cuadrados. 6 Poliedro estrellado formado por seis pirámides de base cuadrada, cuyas caras laterales son triángulos equiláteros, que se acoplan exactamente a las seis caras de un cubo. 7 El duodecedron abscisus elevatus vacuus [= icosidodecaedro estrellado] es un poliedro estrellado obtenido a partir de un icosidodecaedro acoplando a sus veinte caras triangulares y a sus doce caras pentagonales las correspondientes pirámides triangulares (cuyas caras laterales son triángulos equiláteros) y pentagonales (cuyas caras laterales son triángulos equiláteros).

Jueves, 02 de Julio de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

15. 5. (Septiembre 2007) Azulejos que ensinam (geometría)

¡Una grata sorpresa en Coimbra! Azulejos que ensinam (geometría) Exposición y catálogo. Biblioteca Geral da Universidade de Coimbra, Mayo-Septiembre, 2007. La renovación pedagógica puede seguir múltiples vías; la emprendida por los jesuitas portugueses a fines del XVII y hasta su expulsión en el XVIII quizás no sea la más efectiva pero es sin duda una de las más bellas: plasmar en azulejos los hitos de sus enseñanzas de las ciencias. Cierto enigma -solo parcialmente resuelto- envuelve a los diecinueve azulejos de contenido geométrico que se han expuesto en el verano de 2007 en la biblioteca de la Universidad de Coimbra (UC). Los azulejos están perfectamente datados después de que el profesor Antonio Leal Duarte de la facultad de Matemáticas de la UC identificara las figuras reproducidas como provenientes de la edición de Los Elementos realizada en el siglo XVII por el jesuita Andrea Tacquet. La expulsión de la orden por el marques de Pombal tuvo lugar en 1757. Lo que no se conoce con exactitud es si llegaron a colocarse todos y en qué lugar. Parece que la procedencia más probable sea el colegio de Coimbra, si bien la Compañía de Jesús tenía colegios universitarios en Lisboa, Coimbra y Évora. Los azulejos fueron en su gran mayoría adquiridos por el Museo Machado de Castro, pero sin conocer la procedencia original. A nuestros efectos lo que resulta delicioso es encontrarse reproducidas las ilustraciones de 14 proposiciones de Euclides y 5 de Arquímedes. Además en cada una se indica la figura y la proposición correspondiente. Como muestra de interés de la exposición reproducimos aquí dos azulejos. En el primero es fácil reconocer que nos explica como trazar la tangente a una circunferencia desde un punto exterior a ella. El segundo es la figura que sirve de apoyo a la demostración –basada en Arquímedes- de que la superficie de una esfera inscrita en un cono de sección equilátera esta en relación 4:9 con la superficie total del cono. Animamos a los colegas a visitar Coimbra antes del 28 de Septiembre de 2007, además el viajero encontrará una exposición anamórfica en el museo de Física y la siempre agradable (matemáticamente hablando) fachada de la facultad de Matemáticas, totalmente decorada con reproducciones de símbolos y teoremas matemáticos.

Sábado, 01 de Septiembre de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

16. 7. (Marzo 2009) Mi pentágono de la Belleza

0. Introducción Siempre aprendí que una persona es un animal racional, cualidad esta que nos distingue del resto de los seres vivos. Con el tiempo he comprendido que somos más animales emocionales que racionales ya que la mayoría de las decisiones las tomamos desde el corazón y no con el cerebro. Entonces, ¿qué será más importante: educar en la práctica de pensar bien o en el control de las reacciones? Desde la enseñanza de las ciencias y tecnologías se persigue, entre otros, el objetivo de aprender a razonar en situaciones problemáticas; desde las humanidades, el desarrollo de la sensibilidad y equilibrio emocional. Viene de antiguo la exigencia de educar en el trivium y cuadrivium, las 7 artes liberales, para llegar a ser “personas libres”. Mas, en un mundo globalizado, no basta con que la ciudadanía tenga capacidad para utilizar las tecnologías y asumir los avances científicos sino que debe desarrollar valores que caractericen a esa nueva sociedad que estamos forjando entre todos. Paz, democracia y solidaridad deben ser tres puntos obligados para definir este nuevo plano social sin olvidar otros logrados con anterioridad como la libertad, la igualdad y la fraternidad. El desarrollo de la inteligencia emocional, y no sólo la racional, es pieza clave en esa nueva educación necesaria para lograr que otro mundo sea posible. Ahora, con rabiosa actualidad, surgen voces que exigen una mejor formación ciudadana en Matemáticas que garantice el desarrollo científico y tecnológico de un estado, o conjunto de ellos, a fin de evitar la dependencia tecnológica de otros y alcanzar el equilibrio socioeconómico y político al que aspiramos. Está bien, pero llegados a este punto, conviene recordar las palabras de Jacobi en una carta a Legendre en julio de 1830: La finalidad primordial de las Matemáticas no consiste en su utilidad pública y en la explicación de los fenómenos naturales… sino en rendir honor al espíritu humano. Las líneas que siguen están concebidas para mostrar cómo han servido las Matemáticas para crear una belleza que sin ellas hubiera sido imposible conseguir y cómo me explico, a mí mismo, la que puedo percibir a mi alrededor. Un murciano ilustre, Ibn cArabí1, dijo: Dios es Bello y Ama la Belleza, el Altísimo es el Artesano del mundo (…). Todo el mundo alcanza el culmen de la belleza, nada en el mundo es feo. Dios reunió en él toda la hermosura y la belleza. No cabe nada más bello, más maravilloso, ni más hermoso que el mundo. Cómo “recrear” la belleza del mundo ha sido una tarea incesante que se plasma en la Historia del Arte. Para lograrlo, han sido necesarios múltiples análisis, hechos en contextos muy diversos y variados, que han dado lugar a modelos teóricos que han permitido reflejarla en casos singulares. La búsqueda de la belleza ha sido una constante en todas las culturas aparecidas en nuestro mundo. Es posible que esto se deba al hecho de que el ser humano ha sido siempre consciente de que nada feo ha sobrevivido largo tiempo, o quizá porque hemos aprendido que la belleza no es una característica permanente en quien la posee, quizá tal vez, porque, al ser una sensación, un concepto, una percepción, nuestro subconsciente nos incita a que no se escape, a que quede inmortalizada de algún modo y que no se pierda, de forma que podamos recrearnos en ella de forma continuada. Aceptando que la belleza es una percepción, son nuestros sentidos quienes se encargan de recibir información que se convierte en conocimiento asociando formas, clasificándolas con infinitos criterios (color, forma, tamaño, olor, suavidad,…), rectificando imperfecciones y creando algoritmos de reducción a formas básicas, sencillas, que facilitan la comprensión. Cuando se recorre este camino de forma consciente, sentimos el goce de haber descubierto algo, de entenderlo, de haberlo interiorizado y ser capaces de reproducirlo cuando lo consideremos oportuno y que nos habilita para búsquedas o interpretaciones más complejas y, por tanto, más placenteras. Es curioso pensar que desde la búsqueda de la belleza podemos encontrar nuestra dimensión más humana cuando somos capaces de dominar eficazmente la complejidad del mundo ordenando su pluralidad y eliminando el caos. Como sostenía Pitágoras, todo es armonía y número, y como al eliminar el caos surge la armonía, quizá por eso soy matemático, porque he buscado esta forma de pensar que nos caracteriza para la analizar lo que más me interesa: la belleza. Una forma de pensar que es, en si misma, bella y que produce los mayores goces jamás imaginados cuando encuentra las solución de un problema. Por eso me interesa la belleza, porque está unida indisociablemente a lo verdadero y a lo bueno. Y para gozarla plenamente, he elaborado mi algoritmo para analizar la belleza que intuyo en determinadas situaciones. Se basa en la búsqueda de la simplicidad, la composición, la armonía, el orden y la comunicación que provoca. Estos serán los vértices de un pentágono, forma geométrica unida a la belleza de modo profundo, que vengo a llamar mi pentágono de la belleza y que ejemplificaré apoyándome en obras de arte universales. 1. Simplicidad. El lenguaje de la arquitectura islámica La complejidad aparente de una situación no es sino el fruto de la multiplicidad que debe reducirse a la unidad. La principal característica de la belleza debe ser la simplicidad. Un ejemplo paradigmático de un estilo decorativo tremendamente cargado en su decoración lo tenemos sin duda alguna en el Arte Islámico. Mucho se ha escrito acerca del horror vacui –o miedo al vacío- de los artistas musulmanes que les hace redecorar lo ya decorado. Sin embargo, podría estar más próxima a la realidad la interpretación de sus procedimientos decorativos basándolos en una recurrente reproducción de la belleza del mundo, obra de Allah, en sus tres dimensiones -el Universo, la Naturaleza y el ser humano- que al estar representadas sobre superficies planas, sólo es posible hacerlo desde la superposición de formas. FOTO DE PARED CON DECORACIÓN VEGETAL, EPIGRÁFICA Y GEOMÉTRICA. Esta es la razón por la cual surgen, aparentemente entremezcladas, las tres decoraciones de la arquitectura alhambreña: la geométrica, como representación del orden universal, la vegetal, como testimonio de la vida natural, y la epigráfica, como referencia directa al ser humano, único ser vivo sobre de este mundo capaz de hablar y poseer sentimientos. Así, la tierra y el cielo aparecen en forma de cuadrados y círculos, respectivamente; los árboles, con sus tallos, hojas y frutos, surgen en jardines planos, formando la decoración con atauriques, de yeso, plantados sobre las paredes; y, por último, las palabras, esencia y característica de los seres inteligentes, nacen construidas también desde la Geometría, alabando al Creador. Por tanto, nada más lejos de la realidad que la existencia de miedo alguno en los artistas musulmanes; solamente se trata de un enorme ejercicio de abstracción que acerca a sus creadores hacia la Divinidad. Así pues, la multiplicidad se reduce a 3 situaciones independientes, más sencillas, que hay que estudiar por separado. El siguiente reto para los tracistas musulmanes consiste en cómo conseguir que las cosas sean bellas porque Allah está presente en todas ellas. Sin embargo, en el Corán está escrito: No Me verás (Corán, 7:143).  Además, también está escrito: No hay nada que se Le asemeje (Corán, 42:11). No hay, pues, ninguna Forma de Allah, de ahí que el recurso a la imaginación, a un pensamiento abstracto, conduzca a los artistas musulmanes a crear un mundo de formas simbólicas, estéticamente proporcionadas y armoniosas, con las que se crea un lenguaje geométrico, simple. De lo anterior se deduce fácilmente que esta belleza serena de la arquitectura islámica descansa sobre la Geometría. Plantilla para el mosaico de “los aviones” Si se simetriza la poligonal formada por los segmentos dibujados dentro del triángulo sombreado de forma que el centro del cuadrado sea un centro de rotación de orden 4 y, después, los lados de la trama sean ejes de reflexión, se dibuja el diseño básico del mosaico de la Alhambra de Granada: Mosaico de “los aviones” Todo el diseño se reduce a dos segmentos en una poligonal asimétrica. ¿Cabe mayor simplicidad? 2. Composición. Las meninas El ojo humano es capaz de detectar 3 dimensiones, por lo que la técnica islámica de superponer conceptos no puede aplicarse si deseo reproducir la belleza de un paisaje o escena. Además, cada elemento debe ocupar “su sitio”. Así nace la necesidad de encontrar una determinada composición que explique lo que no se ve, lo que no es evidente y, sin embargo, está haciendo de soporte de la obra. En Arte se conoce como composición geométrica. Desde el punto de vista técnico, Las meninas de Velázquez marcan el cenit de la pintura basada en el uso de la perspectiva y en la composición geométrica. Esta última se basa en la creación de espacios según rectángulos áureos, en los que se inscriben tanto personajes como elementos decorativos de la habitación, y en la iluminación de la escena central creando una atmósfera con un aire inigualable que se “mueve” siguiendo una espiral, también áurea o de Durero, que se crea mediante el método de los rectángulos recíprocos internos a partir de un rectángulo áureo 2. Salvador Dalí, al ser preguntado en una entrevista acerca de qué salvaría del Prado en caso de incendio, dijo: Salvaría Las meninas de Velázquez. Concretamente, el aire que hay en ellas que es el mejor aire jamás creado en un cuadro. Espiral de la luz Obsérvese cómo la luz que entra por las ventanas laterales de la habitación sigue el camino marcado por la espiral hasta llegar, prácticamente, a la paleta del pintor. Otro guiño más que Velázquez nos hace, ya que toda la luz del cuadro sale realmente de dicha paleta. ¡Qué importancia han dado los artistas siempre a la luz! Antes de continuar, conviene hacer una breve reflexión. Al estar presente el pintor en la escena es fácil imaginar que utilizó un gran espejo para verla reflejada en él mientras la dibujaba. Pero no resulta tan fácil si se piensa que los espejos invierten la orientación del espacio (recuérdese cómo figura escrito el nombre AMBULANCIA sobre tales vehículos) y para que tal cosa no se produzca hemos de trabajar sobre la imagen reflejada en un segundo espejo para que se deshaga la inversión. Esto nos lleva a pensar que Velázquez trabajó mirando la escena en un doble espejo colocado en el suelo como un libro abierto por unas “páginas” que son espejos; en el de la derecha se refleja la imagen directa de la escena y esta, a su vez, se refleja en el de la izquierda. Las meninas de Velázquez están consideradas como el cuadro en el cual se aplican de forma magistral todas las teorías sobre el uso de la perspectiva descubiertas hasta el s.XVII. Nadie ha conseguido mejorar la representación del espacio físico tridimensional en un cuadro 3. De ahí, que Las meninas de Velázquez marcasen un antes y un después en la Pintura al aplicar, no sólo la perspectiva lineal, sino también la menguante, la del color, la aérea y la alternancia luz-penumbra. Perspectiva lineal La perspectiva lineal. En el siglo XV se produjo el descubrimiento y la aplicación de la perspectiva artificialis, cuya base matemática y geométrica, es decir, científica, elevó a los artistas a una categoría superior. La pintura pasará de arte manual -artesanal- a arte liberal. Se creará así un espacio pictórico, homogéneo, continuo e infinito, en el que, según Nicolás de Cusa, cualquier punto puede tomarse como centro. Generalmente se utiliza una perspectiva central en la que los ejes vertical y horizontal -línea del horizonte-, en su intersección, coinciden con el punto de fuga. Es la perspectiva lineal. Los artistas del Renacimiento reconocieron que la perspectiva, que era una técnica importante para crear la ilusión de la tridimensionalidad en sus pinturas, no estaba completamente desarrollada con la geometría de Euclides. El punto evidente de partida es que mientras las líneas paralelas nunca se cortan en la geometría de Euclides, en la perspectiva lo hacen en el punto de fuga. La perspectiva ha sido descrita como una geometría visual mientras que la de Euclides es una geometría táctil. Si bien Filippo Brunelleschi (1377-1446) es quién tiene reconocida la introducción de la Perspectiva en la pintura, la formalización matemática la hizo en el siglo XVI el francés Girard Desargues. Este siglo fue el de los descubrimientos y exploraciones. Según avanzaban las naciones europeas en su dominio del mundo, así se hacían de necesarios los mapas de todo tipo. El trabajo de transferir la información geográfica del globo esférico a un trozo de papel plano es también un problema de Geometría Proyectiva, razón esta por la cual cobró gran protagonismo y fue desarrollada con interés. Esta rama de las Matemáticas, conocida como Geometría Proyectiva, fue a su vez olvidada durante dos siglos para ser después redescubierta y constituir un campo importante de las Matemáticas puras o, avanzando en sus aplicaciones, desarrollar las técnicas propias de la Descriptiva. En aquel momento se produjo la escisión que llega hasta nuestros días y que hace que los procedimientos propios de la Descriptiva sean sólo algoritmos para la resolución gráfica de problemas geométricos. La siguiente anécdota me permite poner de manifiesto lo inconveniente de tal escisión. Recuerdo que un colega estaba estancado en su investigación para acabar un capítulo de su tesis doctoral y decidió solicitar mi colaboración. Tenía que obtener la verdadera medida de unas longitudes en la facha de un edificio a partir de una fotografía. El problema, matemáticamente hablando, era doble. Primero, había que determinar el punto exacto desde el cual estaba hecha la foto y, segundo, trazar desde él una radiación de rectas que se cortarían con las rectas horizontales de la fachada del edificio de la foto en los puntos que determinaban los extremos de los segmentos cuya longitud se deseaba calcular. El primer paso se reducía a emplear el método de los lugares geométricos para determinar el punto desde el que se hizo la fotografía. El segundo consistía en saber que el único invariante de la Geometría Proyectiva es la razón doble de cuatro puntos alineados. En resumen, de nada sirve conocer procedimientos algorítmicos sin la base necesaria para conocer sus porqués. Sin embargo, lo más lamentable es que los matemáticos están, en general, muy lejos de las técnicas propias de la Descriptiva y los técnicos, también en general, aún más lejos de las Matemáticas. Perspectiva de color Perspectiva de color. En este caso, cuanto más lejos aparece representado un objeto, más tenues son sus colores. Existe también en el mundo real un desvaimiento de los tonos al aumentar la lejanía. El color para el primer plano es el blanco de la luz de la ventana, el segundo plano presenta blancos amarillentos en los vestidos y rostros de las meninas y la infanta, el tercer plano está determinado por los tres personajes que hay tras ellas y los colores se oscurecen considerablemente tanto en rostros como en vestidos y el cuarto, y último, plano lo da la pared del fondo con tonos casi negros con los que se produce la penumbra. Perspectiva menguante Perspectiva menguante. A medida que aumenta la distancia, disminuye la nitidez, los contornos se van haciendo borrosos y desdibujados, al igual que ocurre en la realidad. Alternancia luz-penumbra Alternancia de luz y penumbra. La parte inferior de la escena aparece iluminada, supuestamente, por la luz del día que entra por la ventana; la superior, está oscura, en penumbra. De este modo se enfatizan los personajes del primer plano y se da profundidad al espacio de la habitación. 3. La armonía. La plaza del cardenal Belluga En el Timeo de Platón se dice: Lo que produce la belleza es la armonía de las partes del cuerpo entre sí y con el alma; porque la naturaleza ha dispuesto el cuerpo como un instrumento que debe estar en armonía con todas las necesidades de la vida. Al mismo tiempo es preciso que, mediante un debido acuerdo, el alma posea virtudes análogas a las cualidades del cuerpo, y que en ella la templanza corresponda a la salud, la prudencia a la sensibilidad, el valor al vigor y a la fuerza y la justicia a la belleza. La naturaleza nos suministra gérmenes de estas cualidades, pero es preciso desenvolverlas y perfeccionarlas mediante la cultura; las del cuerpo con la gimnasia y la medicina, las del alma con la educación y la filosofía. Quizá sea esta la razón por la que desde tiempo inmemorial hasta nuestros días se hayan buscado fórmulas con las que medir la belleza del cuerpo humano basadas en las proporciones entre sus partes. EE.UU.: loco por medir la belleza, un científico inventó el "coeficiente de atracción física". Así titulaba el diario Clarín.com, en su edición del lunes 17 de noviembre de 2003, una columna en la que se decía que el Dr. Devendra Singh 4, de la Universidad de Texas, había definido el coeficiente de atracción física mediante el cociente de dividir el perímetro de la cintura entre el de la cadera. ¿Cuál era el ideal? 0.7, que obedece a una cintura de 70 cm y una cadera de 90 cm. No cabe la menor duda de que la muñeca Barbi ha creado un estilo en las féminas estadounidenses.  Las “Barbis” tendrían un coeficiente medio de atracción física igual a 0.54, por lo que para este profesor universitario se trata de personas enfermas. Como no es asumible que la mayoría de las adolescentes tuviesen escaso atractivo, otros científicos dijeron que el mencionado coeficiente no es útil ya que, para ellos, la belleza tiene otro parámetro: la simetría. Charles Feng, de la Universidad de Stanford, tras estudiar a un grupo de bebés que manifestaban predilección por personas cuya simetría bilateral se manifestaba con mayor claridad que en las restantes, trasladó su análisis a personas adultas y manifestó que generalmente, los occidentales se inclinan por las mujeres con mandíbulas no demasiado pronunciadas, narices pequeñas, ojos grandes y pómulos salientes, todos rasgos asemejables a los de los bebés. De hecho, según Feng, las revistas “Playboy” y “Hustler” “eligen a las mujeres que ilustran sus páginas a partir de estos criterios, muy vinculados a la más pura 'intuición masculina'. Para consagrar a una nueva conejita de Playboy, Bill Farley, portavoz de la revista, dice que seleccionamos a una mujer proporcionada y perseguimos la simetría. Según datos recientes, en EE.UU. las operaciones más habituales (liposucción, implantes mamarios y retoques de nariz) han sido remplazadas por las inyecciones de botox. Lo que hasta hace un tiempo sólo estaba al alcance de las estrellas de Hollywood, se ha convertido en algo que muchas mujeres pueden pagar, señaló Alan Matarasso, un prestigioso cirujano plásticos estadounidense. En la sociedad, la gente atractiva tiende a adaptarse mejor al ambiente y, por lo tanto, ser más popular. A este fenómeno se lo conoce como “efecto aureola”, debido a que la perfección se asocia a los ángeles, escribió Feng. ¿Será por eso que los estadounidenses gastan más en belleza que en educación? La situación, además de machista, es ridícula, por lo que me animé a buscar otros estudios sobre medidas de la belleza en la sociedad europea. Sorprendentemente, en marzo del año pasado, otra investigación relacionada con la belleza había genera polémica. El País publicaba el día 19 de marzo de 2007: Los más guapos del mundo. Naomi Campbell y Christian Bale son la pareja más atractiva, según un estudio de la Universidad de Gdansk sobre el índice de belleza. La noticia decía: ¿Se creen ustedes atractivos? A lo mejor deberían preguntárselo al polaco Leszek Pokrywka. Este profesor del Departamento de Histología de la Universidad de Gandsk y su equipo acaban de publicar un estudio acerca de un supuesto índice universal de belleza. Más de cinco siglos después de que Leonardo da Vinci dibujara el Homo Cuadratus de proporciones perfectas (también conocido como Hombre de Vitrubio), esta investigación pretende definir un nuevo canon estético de superbelleza. El atractivo del cuerpo de la mujer es uno de los factores más importantes en materia de selección, pero ¿cuáles son las características físicas que permiten evaluar que el atractivo es fundamental para la psicología evolutiva, dijo Leszek Pokrywka, director del estudio. Tras su investigación, dio a conocer un "índice universal de belleza" para hombres y mujeres, basado en las medidas de la cintura en relación con la altura, el perímetro del busto, el índice de masa corporal, el índice de grasa acumulada en las piernas, la altura, la circunferencia de las pantorrillas en relación con la altura, y hasta el índice de grasa en el omóplato (!). Así fue como encontré al profesor Leszeck Pokrywka, autor de un nuevo índice de belleza mediante el desarrollo de una fórmula matemática. Pensé, menos mal, tal índice es aplicable a mujeres y hombres, por lo que parece que este colega entiende y, al menos, ¡no es machista! El estudio realizado por los investigadores de la Universidad de Gdansk se basaba en los datos físicos de las 24 finalistas en un concurso nacional de belleza, junto con los de otras 115 estudiantes universitarias. They said that while weight, height and hip ratio were normally used to assess female attractiveness, these might not throw up crucial differences between the super-attractive and others. Dijeron que, si bien el peso, altura y cadera se utilizan normalmente para evaluar el atractivo femenino, en este caso, estas medidas no presentan diferencias cruciales entre las mujeres de ambos grupos, por lo que había que referirse a otras. For men, scientists said height, BMI, waist-to-hip and waist-to-chest ratios were key measures. Para los hombres, los científicos eligieron la estatura, IMC, las proporciones cintura-cadera y cintura-pecho como medidas principales. Super-attractive women had a thigh-to-height ratio some 12 per cent lower than other women, giving them a more slender look. La mujer superatractiva tenía un muslo cuya relación con la altura era, aproximadamente, el 12% menor que el de otras mujeres, lo que le da un aspecto más delgado. Skinfold tests on the calf showed 15mm of fat compared with 18mm in other women. La grasa acumulada bajo la piel en las piernas de las mises era de un espesor de 15mm, mientras que en el resto de la muestra era de 18 mm.The study also showed that the average super-attractive height was 5ft 9in, with the waist 76 per cent of the size of the chest, and 70 per cent of the size of the hips. El estudio también mostró que el promedio de mujer superatractiva medía 175 cm, la cintura era el 76% del tamaño del pecho y el 70% del tamaño de las caderas. Models built like Naomi Campbell came closest to the ideal. La modelo Naomi Campbell fue la mujer que se acercaba más al ideal: Índice de masa corporal: 20.85 El perímetro de pecho es el 49.3% de su altura Proporción pecho/cintura: 1.4 Proporción pierna/cuerpo: 1.4 El perímetro de la pantorrilla es el 19.5% de su altura Perímetro del muslo es el 29.7% de la altura Altura: 175cm Resumiendo, en una mujer “10” la cintura es 2/3 de la cadera y 3/4 del perímetro de pecho. Debe tener las piernas largas y los muslos y las pantorrillas delgadas. Pueden hacer cálculos y comprobar que la Campbell debe tener 86.3 cm de pecho, 61.6 cm de cintura, 102 cm de piernas, 73 cm de cuerpo, 52 cm de muslo, 34 cm de pantorrilla,… El hombre perfecto resultó ser el actor británico Christian Bale: Índice de masa corporal: 26,5 Proporción cintura/pecho: 0,6 Proporción cuerpo/piernas: 1 Altura: 188cm What it all means: En resumen, aunque es evidente que para los hombres no se tomaron tantas molestias como para las mujeres, se puede afirmar que The physically ideal man is more than 6ft tall, with legs the same length as his upper body.el hombre “10” mide más de 180 de altura, sus piernas tienen la misma longitud que la parte superior del cuerpo, razón por la queThe leg-to-body ratio of 1 makes him appear more muscular, which is why the ideal BMI for men is higher than for women. parece más musculoso que la mujer, de ahí que el IMC ideal para los hombres sea mayor que el de las mujeres. Hagan cuantos cálculos deseen. Quede claro que, para hombre perfecto, sólo hemos de visitar el Museo del Prado y echarle una mirada al Crucificado de Velázquez. El Crucificado, Velázquez El 24 de marzo de este año, es decir, hace sólo unos días, se ha publicado que un estudiante de  la Universidad de Tel Aviv ha dado respuesta a la vieja pregunta Espejito, espejito, ¿hay alguien más bella que yo? La madrastra de Blancanieves ya no tendría que preguntarle a su espejo mágico quién es la más bella de las mujeres porque ya se puede obtener la respuesta al consultar un programa de computación. El logro es, fundamentalmente, de Amit Kagian 5. Este estudiante diseñó un insólito programa capaz de determinar qué mujeres son bellas a partir de una fotografía de su rostro. Nuestro software permite al ordenador realizar tareas complejas de juicios estéticos, explicó su creador. En el caso del estudio en Israel, Kagian partió de la idea de que los juicios estéticos están unidos a sentimientos, a consideraciones abstractas, pero ahora hemos conseguido que un ordenador los haga, lo que constituye un avance sustancial en el desarrollo de la inteligencia artificial.  Además, el modelo matemático utilizado se basa en la estética del número de oro y en la simetría axial del rostro humano. ¡Cómo no! Si se coge un metro y uno se mide desde la cabeza a los pies y divide el resultado entre la longitud del ombligo al suelo, el cociente se aproximadamente 1,6. La medida de la longitud total del brazo, entre la distancia desde la punta de los dedos al codo, también es 1,6. Pero es que el del lado mayor de una tarjeta de crédito entre el menor, también es 1,6; el de la altura total del Partenón y la distancia hasta el final de las columnas es igual a 1,6. Esa división que determina tantas y tantas formas naturales y artificiales es lo que se conoce como la divina proporción y el fruto de esos cocientes es Φ, un misterioso número que puede encontrarse, incluso, en el crecimiento de los conejos o en el diseño industrial contemporáneo. El descubrimiento de Φ es fruto del trabajo de diferentes matemáticos a lo largo de muchos siglos. Aunque Pitágoras y Platón habían puesto las bases, fue Euclides el que habló de la teoría de las proporciones en su obra Los Elementos. En dicho libro formula por primera vez la definición de sección áurea, es decir, que Euclides describe cómo se divide un segmento en media y extrema razón: el cociente entre la longitud total de un segmento y su lado mayor  es igual al cociente entre el lado mayor y el menor, siempre que se de la proporción áurea. Si el segmento total es el cuerpo humano, la división entre la distancia de los pies al ombligo es igual al cociente entre esta segunda longitud y la medida de los pies a la rodilla. Y esas mismas proporciones se cumplen con en otras partes del cuerpo humano y en otros muchos seres vivos. Siempre que se utilice el mismo sistema de medida, esta regla se cumple para todas las escalas semejantes, desde obras arquitectónicas  hasta cualquier otro objeto creado por las personas. Nacen así obras artificiales a imagen y semejanza del género humano. Lo que subyace bajo la aplicación de la divina proporción en las obras humanas es el concepto de belleza.  Aquello que determina el crecimiento armonioso de una persona, también hace que guste o no una obra de arte, un edificio o un objeto de diseño. El concepto de belleza es realmente cultural. Hay una belleza explícita y luego otra implícita. Aquello que veo en mi entorno, lo que se parezca a mí, me gustará –aunque sea de forma subconsciente–. Lo demás lo encontraremos raro. Además de su aplicación en el arte clásico, con obras tan emblemáticas como El Partenón, la proporción áurea se ha seguido aplicando hasta la actualidad. En el siglo XX, Le Corbusier inventó un modulor basándose en estas teorías que ha tenido un peso trascendental en todo el diseño y, sobre todo, en la arquitectura singular del Siglo XX. En una entrevista, le preguntaron: P- ¿Sigue pensando lo mismo que escribió sobre el Modulor? R- Es una de mis definiciones. Luca Paccioli escribió durante el Renacimiento la "Divina Proporzione", inspirada en cosas del pasado. El número de oro, Pitágoras. Yo aporté algo nuevo al número de oro gracias al sistema métrico de la Revolución. Antes eran el pie y la pulgada, una escala humana. Y con el métrico perdimos eso ya que despersonalizó los instrumentos de medida. El metro, el centímetro, el decímetro no son de la escala, el modulor sí. Tomé las proporciones desde el plexo solar hasta la cabeza y el brazo y encontré la sección de oro allí. Y creé un sistema de dimensionamiento que responde a las dimensiones del cuerpo humano. Lo descubrí sin darme cuenta. No soy pretencioso, pero es importante. Y abre a la industria enormes posibilidades. Es un útil moderno. Es sorprendente ver que una gama de medida, un piano afinado, a la escala humana es una innovación sensacional. El modulor, Le Corbusier El peso de la proporción áurea en las obras creadas por el hombre se entiende mejor si se comprenden bien todas las aplicaciones geométricas que presenta. Los segmentos que pueden dividirse en media y extrema razón de manera indefinida, permiten establecer elementos importantes a la hora de hacer la composición geométrica de un edificio de forma que no se rompa la armonía entre las partes y el todo. Este modo de proceder es una constante a lo largo de los tiempos en la Arquitectura, por lo que podríamos escoger de entre un sin fin de realizaciones arquitectónicas para ponerlo de manifiesto. Sin embargo, he elegido el caso de la plaza del cardenal Belluga, en Murcia, para hacerlo. En dicho espacio urbano, dominado por la impresionante fachada de la catedral, se ha buscado a lo largo de los años la convivencia respetuosa entre estilos arquitectónicos tan diversos como el renacentista, el barroco, el neoclásico o la rabiosa arquitectura minimalista actual. Si se aplica la división áurea al segmento que determina la altura del cuerpo principal de la fachada que hay en la plaza del cardenal Belluga, quedan determinadas las partes que la definen, incluyendo los de la torre-campanario, símbolo indiscutible de la ciudad. Aunque la torre se comenzó a construir en el año 1521, con estilo renacentista,  y se finalizó en 1973, con remates neoclásicos, la estética áurea se ha impuesto en las diferentes épocas. El método de construcción de rectángulos recíprocos internos, dicho anteriormente, ha sido usado para acabar de determinar todas las partes presentes en la fachada. En el año 1991 se iniciaron las obras de ampliación del Ayuntamiento de Murcia bajo el proyecto y dirección de Rafael Moneo. Como no podía ser de otra forma, esta nueva “parte” de la plaza se debía al resto de la arquitectura que hay en ella. Fundamentalmente, a la catedral, alrededor de la cual se ha creado la estética del entorno. Alzados de la catedral y de la ampliación del Ayuntamiento. Plaza del cardenal Belluga. Murcia 4. Orden. Doña María  Agustina de Sarmiento Ya he dicho antes que el desarrollo de la Geometría Proyectiva se vio favorecido durante el siglo XVI por la necesidad de realizar mapas y cartas geográficas con las que poder llevar a acabo viajes y descubrimientos de nuevas partes del mundo. La solución adoptada con más frecuencia consistió en proyectar la esfera sobre un cilindro que toca a la esfera en su ecuador; es conocida como la proyección de Mercator. Desde entonces ya ha llovido mucho. Las fotografías que suministran los satélites dejan atrás a todas las técnicas empleadas hasta nuestros días. Pero si volvemos la mirada al siglo pasado, cabe preguntarse acerca del fundamento teórico en el que se apoyó la elaboración de un atlas que aún hoy usamos. Imagine una esfera, similar al globo terrestre, a la que se pegan pequeños papelitos de forma que quede totalmente recubierta por ellos. Sobre cada papelito se proyecta, ortogonalmente de dentro afuera, el trozo de esfera sobre el cual está pegado. Cada papelito formará una “carta” que, haciendo un libro con ellas, formarán un “atlas”. La formalización de estas ideas es parte de la llamada Geometría Diferencial, una geometría propia del siglo XX, en la que los “papelitos” son planos tangentes en puntos de cartas locales de la esfera, y que estudia localmente curvas y superficies 6: El problema de construir mapas planos de la superficie de la tierra fue uno de los que dio origen a la geometría diferencial, que se puede describir a grandes rasgos como la investigación de las propiedades de curvas y superficies en el entorno de un punto. El término “geometría diferencial” fue usado así por primera vez por Luigi Bianchi (1856 – 1928) en 1894, pues se trata de un marco teórico más general en el cual se integran las geometrías no euclidianas y más que eso: todas las geometrías. La geometría ya no trata de puntos o rectas del espacio, sino de lo que se llama variedades. El punto de partida puede decirse que era el trabajo realizado por Gauss en la construcción de mapas y la llamada Geodesia, que apoyaría un nuevo enfoque sobre la naturaleza del espacio. La Geometría Diferencial trata de las propiedades de las curvas y superficies que varían de un punto a otro, y están sujetas a variaciones (de punto en punto) donde tiene sentido la utilización de las técnicas del Cálculo. Gauss, en su Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas, ofreció la nueva idea que usaría Riemann: una superficie se podía ver como un espacio en sí mismo. En su investigación, Riemann concluyó que, para estudiar el espacio, debía hacerse localmente y no como un todo: el espacio se debía analizar por pedazos. Una variedad diferencial es uno de esos pedazos a estudio. Constituye, de esta forma, la Geometría Diferencial un elemento revolucionario para la concepción del espacio, más aún que las restantes geometrías, dado que éstas mantenían la imagen de un espacio real intocable en el cual se encontraban las figuras, cuyas propiedades “reales” tenían que desvelarse matemáticamente bien con unos métodos sintéticos puros, bien con unos medios de coordenadas no intrínsecas. El cubismo. Por todo lo visto anteriormente, Las meninas de Velázquez están asociadas al concepto clásico del espacio –habitación en la cual se está desarrollando la escena- en el que se encuentran las figuras –los personajes del cuadro-. ¿Cabe pensar en unas meninas desde el nuevo concepto del espacio que da la Geometría Diferencial? La respuesta es afirmativa: Sí. Red de triángulos para definir “un espacio”. Cuadro de la serie de Las meninas de Picasso. Pablo Ruiz Picasso recrea el espacio “a trozos” de Las meninas. El espacio no sólo tiene tres dimensiones que hay que representar fielmente en el lienzo. Se estudia localmente, de ahí la evidente triangulación de este cuadro que forma parte de la serie aludida al comienzo. Si en el cuadro de Velázquez se hace desaparecer un personaje o un elemento decorativo de la habitación, el espacio no se verá modificado, sólo lo hará la escena; si, por el contrario, se elimina un trozo de esta versión de Picasso, el espacio hay que reorganizarlo completamente de nuevo. Es una nueva concepción del espacio como una red de redes en cuyos vértices se encuentran los puntos que definen a cada una de ellas y que se eligen siguiendo un mismo criterio. Por otro lado, como ya ha quedado de manifiesto, Velázquez utiliza todo el conocimiento disponible en su época sobre diferentes perspectivas para que su cuadro fuese perfectamente visto por cualquier persona que lo observe a la distancia adecuada (perpendicularmente a su plano, delante de él, justo en el medio y a una distancia igual a su anchura). A Picasso se le ocurrió cómo se vería el cuadro desde dentro del cuadro; es decir, cómo lo verían los personajes que forman parte de él. ¡Genial!, ¿verdad? Claro, cada uno vería “su trozo”, como si fuese uno de los papelitos a los que me refería antes sobre los que se proyectaba la esfera “localmente” (es decir, por entornos de puntos) que después se “pegarían” juntos para hacer el atlas. Concretamente, de doña María Agustina de Sarmiento verían sus compañeros y compañeras de cuadro los siguientes elementos que, junto al punto de vista externo, son suficientes para representar completamente al personaje 7 (recuérdese que todos los papelitos pegados deben representar la tierra entera): Doña María Agustina de Sarmiento vista por 6 ojos. a) Bandeja, desde arriba y búcaro –vistos por doña María Agustina Sarmiento–, b) palma de la mano –vista desde la posición de Velázquez-, c) contorno de cabeza y pelo –visto por la Velasco y los guardadamas-, d) ojo izquierdo –visto por Nieto Velázquez-, e) ojo derecho y lazo en lado derecho de su cabeza –vistos por cualquier espectador del cuadro- f) y garganta –vista por el mastín, desde abajo-. Pegados los trozos convenientemente, queda: Doña María Agustina de Sarmiento. Picasso, 1957. ¡Qué bien entendió este pintor malagueño la geometría propia de su tiempo! ¿Cómo, si no es que estaba investigando sobre un nuevo lenguaje pictórico, puede entenderse tal dedicación a esta serie? Seis planos de coordenadas, seis proyecciones sobre ellos y no sólo tres como en la Geometría Euclídea, son los propios para representar el espacio de cuatro dimensiones: ¡eso es el cubismo! Esto responde completamente a la pregunta que hacía al comienzo de este epígrafe. No me cansaré de llamar genio entre los genios a ese insigne pintor andaluz, sin lugar a dudas el pintor español más influyente del siglo pasado. 5. Comunicación. La Alhambra, la plaza del cardenal Belluga, Velázquez y Picasso Desde mi formación sé que las Matemáticas juegan un papel importante a la hora de facilitar la comunicación entre personas, aunque sus culturas estén distantes aún en el tiempo. El uso de símbolos, con significado colectivo y universal, es una característica de las Matemáticas que tienen desde el s. IX en el Álgebra el lenguaje que utilizan todas las ciencias. El Arte, en general, se apoya en la reproducción de ciertos códigos con los que cada artista nos hace llegar su mensaje, sin tiempo ni lugar, utilizando como medio de comunicación su obra. Además, ya se ha dicho antes, la creación artística exige el dominio de determinadas técnicas y normas compositivas que, en ocasiones, han ido unidas al conocimiento matemático de la época. El hecho de darme cuenta de que una obra de arte “habla” a quien sabe interrogarla, ha creado en mí la práctica de intentar acercarme a quien la creó estableciendo una “conversación” que gira a su alrededor. Desde los símbolos que veo en ella y su composición estructural, busco las claves que han hecho que sea auténtica, bella y tenga valor actual, características obligadas que ha de tener una producción artística para que sea considerada obra de arte universal. De esta forma puedo profundizar en ellas, ver más allá de lo que puede ser evidente y descubrir toda su belleza para, después, compartirla con los demás ofreciendo un punto de vista, ni mejor ni peor que el de otras personas, que es el mío propio. El lenguaje de los geómetras del Islám Observando los diferentes Nombres de Allah que aparecen en el Corán, los sabios del Islam han señalado la preeminencia de dos tipos de Nombres: Nombres de Majestad y Nombres de Belleza. Los de Majestad son mayoritarios: al-Malik (el Rey), al-‘Azîz (el Poderoso), al-Ÿabbâr (el Dominador), al-Mutakabbir (el Altivo), al-Quddús (el Insondable), al-Qahhâr (el Subyugador), al-‘Alî (el Altísimo), al-Kabir (el Grande), al-Ÿalil (el Majestuoso), etc. Como Nombres de Belleza, señalar al-Rahmân (el Misericordioso o Matricial), al-Rahîm (el Compasivo o Matriciante), al-Halîm (el Manso), as-Salam (la Paz) y al-Wadûd (el Cariñoso), al-Bari (el Innovador), entre otros. Ibn cArabí, citado anteriormente, atribuye una expansión de la creación divina ligada directamente a lo que hoy calificaríamos de creatividad artística e intelectual: «En cuanto al Nombre al-Bari, de él se produce la expansión [divina] hacia los geómetras inteligentes (al-adkiya’ al-muhandisin), hacia los descubridores (ashab al-istinbatat), hacia los inventores de las artes (al-mujtari cun al-sana’i) y hacia aquellos que realizan figuras extraordinarias (al-askal al-gariba). Todos ellos se inspiran a partir de este Nombre, que se expande hacia los que componen bellas formas (al-musawwirin fi husn al-sura) en la balanza 8». Así, “quienes realizan bellas formas”, es decir, geómetras, tracistas, artesanos, arquitectos, ingenieros, artistas plásticos, en general, “creadores de formas insólitas”, actúan reproduciendo el modelo divino, con la diferencia de que sus creaciones no llegan a cobrar vida pero con ellas podrá sentirse interior, profunda e intensamente, la Belleza de Allah. El lenguaje común a todos ellos es el geométrico, razón por la cual la decoración geométrica es parte insustituible del arte islámico. Vuestro Dios es un Dios Uno. No hay más dios que Él. (Corán, 2:163). De todo lo anterior surge una estética del Uno y lo múltiple. La decoración geométrica permite crear un lenguaje simbólico basado en la existencia de “un” diseño básico elemental, que no se puede reducir a otro más sencillo, que será “multiplicado” hasta el infinito bien proyectándolo desde un punto central, extendiéndolo siguiendo una dirección constante o dos independientes. Esta es la base de las rosáceas, frisos y mosaicos periódicos que decoran la arquitectura de La Alhambra. La luz, el color y el brillo como elementos intrínsecamente unidos a ella mediante los alicatados, son manifestaciones continuas de la presencia de Allah. El lenguaje de Moneo La ampliación del Ayuntamiento de Murcia, que hiciera Rafael Moneo, se encuentra en la plaza más importante de la ciudad, la del cardenal Belluga. El proyecto del nuevo edificio tenía que resolver el problema de su coexistencia, principalmente, con la gran fachada barroca de la catedral y con el palacio del cardenal Belluga.. Hay que decir, en primer lugar, que es un proyecto de fachada basada en un plano vertical capaz de cerrar el espacio abierto de la plaza, devolverle el sentido de contención y clausura que tenía y recuperar el carácter celebratorio del barroco de este espacio incorporando al poder civil como espectador privilegiado al espacio urbano de mayor entidad de la ciudad, aclara Moneo 9, ya que el edificio carece de puertas a la plaza. Este plano pétreo se concibió como un retablo abstracto, llevando hasta sus últimos extremos el manejo en clave contemporánea de recursos arquitectónicos tradicionales. Moneo dice al respecto: La fachada-retablo no quiere ni puede competir con los órdenes clásicos y se organiza a modo de partitura musical, numérica, aceptando el sistema de niveles horizontales de los forjados. Sin mostrar simetrías, ofrece como elemento clave el hueco del balcón al que se asoma la galería, dialogando con la planta noble del palacio del cardenal Belluga. No podía ser de otro modo. Los lenguajes de Velázquez y de Picasso Hace ya algún tiempo mantuve una larga conversación con don Diego de Velázquez y Silva y Pablo Ruiz Picasso, simultáneamente. Tuvo lugar en Madrid, el día 23 de Junio de 2006. Eran las 10.40 horas de la mañana cuando llegué a estar entre “dos meninas”. Por un momento me sentí infante ya que a mi izquierda estaban Las meninas que permanentemente se exhiben en el Museo del Prado, y, a la derecha, Las meninas que ocasionalmente se encontraban también allí, enfrentadas a las primeras, procedentes del Museo Picasso de Barcelona. Había ido a visitar la exposición que, con motivo de los 25 años con el Guernica, se organizó en los museos madrileños del Prado y Reina Sofía: Picasso, tradición y vanguardia. En aquel momento tenía enfrentadas formas precisas de un lado y, del otro, otras que no lo eran (algunas incluso estaban reinventadas); a mi izquierda había una sinfonía de colores perfectamente orquestada en contraste con blancos y negros o grises azulados de mi derecha; una luz lateral y otra al fondo, cinco del mismo lado más, también, la del fondo; un lienzo vertical y otro horizontal;… Comenzaron a resonar y, a la vez, a apelotonarse muchas preguntas en mi cabeza, provocadas sin duda por mis rápidas y desordenadas miradas hacia ambos lados en donde se encontraban los cuadros. Nada más parecía existir a mi alrededor. Ya estaba inmerso en la búsqueda de las claves que tanto Velázquez como Picasso habían plasmado en sus obras. ¿Qué estaban diciéndome ambos pintores? Tras el desasosiego inicial (¡siempre sucede igual!) viene la calma y la reflexión serena. Es entonces cuando comienzo a elaborar, ordenadamente, conjeturas. Durante la visita al Prado gocé hasta el punto de emocionarme, como para que se humedeciesen mis ojos en más de una ocasión. Pude ver bastantes aspectos y realizar un sin fin comparaciones, también de anotaciones que me permitieron seguir pensando de vuelta a casa. Velázquez y Picasso me hablaron sobre todo lo que sigue. El lenguaje de Velázquez Diego de Velázquez, con su barroquismo, muestra diferentes cuadros dentro de un mismo cuadro. Es el caso de La familia real, nombre inicial de Las meninas, a pesar de que faltan en la escena el príncipe Baltasar Carlos (fallecido con anterioridad a la realización del cuadro) y la infanta María Teresa. Posible situación de los personajes durante las sesiones de elaboración de Las meninas. La habitación en la que se representa la escena forma parte de los que fueron aposentos del príncipe Baltasar Carlos. Fuera, y de espaldas, se encuentra la infanta María Teresa, razón por la que no se refleja en ningún espejo. Ya, dentro de ella, también de espaldas, podemos ver a los reyes. El pintor barroco nos narra diferentes historias ligadas a personajes, unos de la Mitología (como Minerva y Aracne o Apolo y Marsias, en sendos cuadros colgados en la pared del fondo)y otros de la familia real (como Felipe IV, su esposa doña Mariana de Austria y la infanta Margarita, hija de ambos) junto a su corte: las dos meninas, doña María Agustina de Sarmiento y doña Isabel de Velasco, entretenedores de la infanta, como la enana María Bárbola y Nicolasito Pertusato (que no era ningún niño, a pesar de su apariencia), las personas encargadas de su vigilancia, Mercedes de Ulloa y Diego Ruiz de Azcona, y el aposentador de la reina Nieto Velázquez. Personajes de Las meninas Así mismo, se dibuja a sí mismo en la escena reivindicando la faceta intelectual de su trabajo, considerado hasta el momento como meramente artesanal, lo que le daba carácter caballeresco y no de artesano, y lo hizo sin tener el atrevimiento de figurar junto a los reyes, razón por la cual los hace aparecer reflejados en el espejo de la pared del fondo. Velázquez se encuentra pintando un cuadro. Hay quien sostiene que se trataba, recursiva y barrocamente, de las mismas Meninas. Pero también hay quienes sostienen que se trata de un lienzo sin trazo alguno, cuan tabula rasa, en alusión a la mente de la infanta Margarita que, al igual que el cuadro, hay que desarrollar de forma armoniosa desde la educación en los clásicos (de ahí las escenas mitológicas antes dichas de los cuadros que hay en la habitación). Por último, debo señalar que la escena central refleja una costumbre de la época como es la bucarofagia. Consistía en comer un barro rojo que provocaba la eliminación de glóbulos rojos en la sangre y daba a la piel el tono blanquecino que la moda del momento imponía. Además, servía como anticonceptivo y corrector de desarreglos hormonales. Lope de Vega lo dice en “El acero de Madrid”: Niña de color quebrado/o tienes amores/o comes barro. Ese es el motivo central del cuadro: doña Agustina de Sarmiento entrega un búcaro a la infanta Margarita, no para que beba agua sino para que se coma el barro. El lenguaje de Picasso En 1881 nacía en Málaga Pablo Ruiz Picasso. Todo un referente del vanguardismo artístico del siglo pasado y, sin lugar a duda, el pintor español más influyente de dicho siglo. No voy a entrar en las diferentes etapas de su pintura y analizar los lenguajes que empleó en los períodos azul y rosa, el cubismo, la recuperación del orden clásico en los años 20, su relación con el movimiento surrealista, los difíciles años entre la Guerra Civil española y la II Guerra Mundial hasta las fértiles últimas décadas de su producción. Sólo voy a referirme a la serie que realizó de Las meninas cuando contaba con 76 años de edad, era multimillonario y contaba con el reconocimiento internacional como artista. Entonces, ¿por qué hace 58 cuadros en dicha serie? Es evidente que nunca pretendió copiar a Velázquez. Así mismo, tampoco necesitaba dinero porque ya tenía más que suficiente. Entonces, ¿qué buscaba? Ya ha quedado claro que estaba investigando y que fruto de dicha investigación vio la luz el cubismo. Picasso se va a permitir además de la reinterpretación de la obra, la introducción de algunos elementos nuevos en el cuadro, como palomas, quizá porque cambia el taller palatino de la corte de los Habsburgo al taller-palomar de La Californie, villa de Cannes a donde se fue a vivir e instaló su taller. De las 58 telas, 45 se centraban genéricamente en Las meninas con tamaños que oscilan entre el metro y medio y los 20 centímetros. Y 19 de ellas eran variaciones de la infanta María Margarita, la mayoría cubistas, descomponiendo en planos el retrato de Velázquez. Conforme pasan los días, Las meninas de Picasso se llenan de la luz mediterránea de la Costa Azul. Picasso abre las ventanas de la derecha por que le da importancia capital a la luz. Agiganta la figura de Velázquez y elimina la riqueza cromática que convierte en tonalidades de grises fríos y azulados, blancos y tela sin pintar, como si se tratara de una fotografía en blanco y negro, lo que confiere a la obra del pintor malagueño un ambiente más dramático, como algunos historiadores y críticos interpretan que tuvo que ser la corte de Felipe IV. La Infanta Margarita, que diez años después llegaría a ser como resultado de su matrimonio Emperatriz de Austria, es el eje central de los dos cuadros. Velázquez la pintó vestida de seda amarilla, en proximidad cromática con su infantil y rubia melena, mientras Picasso, debido a la casi total ausencia de color en su reinterpretación de Las meninas, la viste de blanco, color de la inocencia, con lo que le confiere igualmente un protagonismo destacado sobre el entorno más oscuro que la rodea, a diferencia de las dos meninas que están a ambos lados, cuyos personajes Picasso caricaturiza con una cierta acritud haciendo una crítica sobre la enrarecida atmósfera palaciega, llena de intrigas y de falsedades. Los reyes son apenas dos brochazos sobre un supuesto espejo. El cuadro dedicado a la menina doña María Agustina de Sarmiento presenta una mano derecha enorme, desproporcionada, seguramente, para dar mayor énfasis a la entrega del pequeño búcaro a la Infanta Margarita María. A pesar de prescindir de la mayoría de detalles accesorios, curiosamente, ha mantenido el pequeño adorno de su cabello. María Bárbola es retratada por Picasso con una cierta ternura. Su cara grande y redonda como una luna llena, refleja sencillez y bondad. El color blanco de su rostro, así como la posición vertical de sus manos, como en un gesto de aplaudir o de ingenua alegría, ayuda a esta sensación. Velázquez, en cambio, con su extraordinaria facilidad para retratar a los más variados personajes, muestra sus facciones más realistas y grotescas, características del enanismo que padecía. Isabel de Velasco ocupa un espacio destacado dentro del lienzo. Pero Picasso apenas la esboza. Para él es básicamente un rostro. Un rostro extraño que tiene dos "lecturas" que se alternan entre sí. Tras examinarlo durante unos instantes,  se aprecian dos interpretaciones distintas. En una parece que tenga una gigantesca boca abierta, y en otra, se descubre un perfil, de color más claro, con una gran nariz y una diminuta boca cerrada. A los dos guardadamas, D. Diego Ruiz de Ancona y Dña. Marcela de Ulloa, Picasso los ha unificado y representado como dentro de una especie de cajones. Posiblemente por el paralelismo de sus funciones y por estar sometidos a un estricto cumplimiento de las normas palaciegas. Algunos críticos han interpretado que Picasso los "vistió" de ataúdes, como si se tratara de muertos en vida. Estos personajes ni siquiera se aproximan en su aspecto a los de la obra de Velázquez. Picasso hace una total recreación de ellos. Aquí, el artista malagueño dejó volar su imaginación y creó unos símbolos que, tal vez, representaran a unas determinadas funciones grises y anodinas. Pretendiendo reflejar más el espíritu de unos cargos sometidos al protocolo y al servilismo, que no a unas personas concretas. A Nicolás Pertusato, Picasso lo esboza (más que pintarlo) mediante un escueto dibujo de línea, con un tratamiento minimalista parecido al que emplean los niños para representar a las personas. Incluso está dibujado directamente sobre el lienzo blanco, como inacabado. Es la pura representación de la sencillez. Su silueta no corresponde en absoluto con la del personaje velazqueño, Picasso incluye el personaje, pero se lo reinventa a su gusto. Nieto Velásquez aparece nítidamente recortado sobre la escalera del fondo, igual que en el cuadro original de Velázquez, llevando el contraste hasta el extremo máximo al hacer la silueta totalmente negra sobre un recuadro absolutamente blanco.  El personaje aparece invertido en el cuadro de Picasso, tal vez por haber sido realizado de memoria. Como prolongación de su capa "un rayo de luz", que en el cuadro original servía para marcar planos de profundidad, se adentra en el cuatro por delante de una puerta en la que sus cuarterones han sido desalineados de forma anárquica, eliminando su simetría y orden. En la recreación de Picasso, la figura de Velázquez está engrandecida y desproporcionada respecto al resto de los personajes, ocupando una superficie muchísimo mayor y en tonos más claros, como si hubiera querido destacar la importancia del pintor, dentro de la obra. Mantiene sus elementos más simbólicos y recordados, como son: la melena, el bigote y la cruz de la Orden de Santiago. (Debe recordarse que dicha cruz fue agregada, sobre el pecho del artista, posteriormente a su fallecimiento). Obsérvese que tras el lienzo sobre el que pinta Velázquez, Picasso, en su versión, ha añadido un pequeño bastidor, como si quisiera recordar que es "un cuadro dentro de otro cuadro" tal como lo imaginó Velázquez al pintarlo. En la totalidad del lienzo, Picasso sustituyó los cálidos tonos sepias y marrones por una amplia gama de grises. Con ello el pintor malagueño se atreve a recrear, no sólo las figuras, sino hasta el color ambiental. Evidentemente, es la visión del genio republicano. 6. La mayor obra de Arte en honor a la inteligencia humana. Las Matemáticas La palabra Matemáticas, como tantas otras, fue acuñada en Grecia con el nombre maqhma, en trascripción latina mathema, que quiere expresar conocimiento. Utilizada en femenino, es una ciencia deductiva que estudia las propiedades de entes abstractos como los números, las figuras geométricas o los símbolos, y de las relaciones que entre ellos se establecen. Suele utilizarse en plural con el mismo significado que en singular. La palabra Matemático-ca se deriva de la griega maqhmatikoz. Utilizada como adjetivo, tiene el significado de exacto, preciso. También es utilizada para referirse a un elemento perteneciente o relativo a las Matemáticas. Como sustantivo, masculino o femenino, se usa para nombrar a la persona que profesa las Matemáticas o tiene en ellas especiales conocimientos. Esta concepción de las Matemáticas llegó hasta Galileo (1564-1642): ciencia necesaria para conocer el mundo. Descartes (1596-1650) pensaba que: Es la ciencia del orden y la medida. Albert Einstein, por su parte, planteó la siguiente paradoja: ¿Cómo es posible que las Matemáticas, un producto del pensamiento humano que es independiente de la experiencia, se ajuste tan excelentemente a los objetos de la realidad física? ¿Puede la razón humana sin experiencia pensar propiedades de las cosas reales? Pues, por lo que se ve, sí puede. El carácter abstracto de los objetos matemáticos y la teoría que se construye con ellos deductivamente la hacen análoga a un juego, un gran juego. La modelización matemática es la clave de ese juego. Según Sixto Ríos (1995, Modelización, p. 17, Alianza Editorial), es un proceso mental que conduce a convertir un problema opaco de la realidad en un problema clarificado matemático, de modo que resolviendo éste se consiga una solución o, al menos, un buen conocimiento del primero. Este proceso mental pone orden  y rigor en la composición final hasta el punto de haber logrado, con los teoremas de incomplitud de Gödel, llegar a decidir sobre la propia esencia de las Matemáticas: su autenticidad. El conocido matemático inglés G.H. Hardy, en su libro titulado Apología de un matemático, dice que: Un matemático, como un pintor o un poeta, es un fabricante de modelos. Si sus modelos son más duraderos que los de estos últimos, es debido a que están hechos con ideas. Los modelos del matemático, como los del pintor o los del poeta deben ser hermosos. La belleza es la primera prueba; no hay lugar permanente en el mundo para una Matemática fea. La modelización matemática se puede asociar a la composición, hecha a base de hermosas ideas, perfectamente armonizadas, necesaria para determinar el objeto final. El lenguaje matemático, escrito en códigos con significado universal, permite la comunicación entre seres inteligentes. Así, para comprobar si hay vida inteligente en otros lugares del universo, en las misiones espaciales Voyager se incluye en la caja negra, entre otras cosas, el enunciado de un teorema de Matemáticas. ¿Son realmente bellas las Matemáticas? En una ocasión, el catalán Noel Clarasó hizo esta pregunta en una de sus intervenciones públicas: ¿Sabe usted cuál es el ideal de belleza de un sapo? Él mismo dio la respuesta: ¡una sapa! En este mismo sentido, puede argumentarse que, para un matemático, naturalmente que son bellas. Algunos, incluso, persiguen la unión entre dos de los trascendentales filosóficos mediante las Matemáticas: Mi trabajo siempre ha tratado de unir verdad y belleza, y cuando he tenido que elegir entre una y otra normalmente he elegido la belleza. Así se expresaba Hermann Weyl, autor del clásico Simetría. Aunque la más rotunda en este sentido corresponde a Beltrand Rusell: Las matemáticas no solamente poseen la verdad, sino la suprema belleza, una belleza fría y austera, como la de la escultura, sin atractivo para la parte más débil de nuestra naturaleza... Russell encontró en las Matemáticas y en la ciencia, en general, un modelo de conocimiento, concluyendo la frase anterior así: «las matemáticas tienen la ventaja de enseñarle a uno a pensar sin pasión.» En mi condición de matemático, sin apasionamiento de ningún tipo, creo inclinarme por la belleza platónica. Como sostiene Alfred N. Whitehead, hay que admitir que el estudio de las Matemáticas es una locura divina del espíritu humano, un refugio ante la urgencia aguijoneante de los sucesos contingentes. ¿Acaso las Matemáticas no son bellas hasta el punto de poder enamorarse de ellas?, ¿qué cuerpo tienen?, ¿qué rostro?, ¿cuál es su estómago?, ¿y su corazón?, ¿cómo son sus dedos? Aunque hay obras de arte en las que se reflejan las diferentes musas, no busquemos por ahí. Las Matemáticas esencialmente son una forma de pensar, de preguntar y de hacernos preguntas, desde la que analizamos la complejidad de nuestro mundo y, también, de la propia herramienta que hemos inventado para abordarla: las Matemáticas. Aplique a cualquier situación propia de las Matemáticas, o a todas ellas en su conjunto, los cinco vértices del pentágono de la belleza y decida. Yo ya lo hice y siento pasión por ellas.   Notas: 1 En 1165 nació en Murcia Muhyi al-Din Ibn ‘Arabi, filósofo, teólogo, poeta y viajero, honra de la cultura andalusí. Su familia se trasladó a Sevilla cuando su ciudad natal fue tomada por el sultán Yacqub b Yusuf, el vencedor de Alarcos, de donde volvió tras años de exilio en 1198. Sus viajes le llevaron a los Santos Lugares del Islam, Asia Menor y Mesopotamia. Murió en Damasco en 1240. Ibn Arabí fue uno de los grandes pensadores de al-Andalus. 2 Para que un rectángulo sea considerado áureo o de oro, su proporción (cociente entre la longitud del lado mayor y la del menor) tiene que ser el número Φ = (1 + √5)/2. Actualmente, las cartillas de ahorro y tarjetas de crédito pueden ser consideradas como rectángulos áureos. En la imagen han sido colocadas de forma que se visualice la construcción de un rectángulo áureo, la tarjeta Maestro de Caja Granada, recíproco interno al también áureo materializado por la cartilla de ahorro que está debajo en la composición. 3 Vermeer van Delft, fue un pintor barroco como Velázquez. Aunque preocupado por escenas cotidianas de la sociedad holandesa en al que vivió, puede verse en ellas su preocupación por la ciencia. Un buen ejemplo de ello lo tenemos en el cuadro El geógrafo. Sólo se conocen cuatro de sus cuadros en los que representa a hombres, siendo este uno de ellos. El nombre se debe a que un cartulano, mapa del mundo conocido, adorna la pared, y el personaje además se inclina con un compás sobre un extenso pliego que podría ser un mapa, disponiéndose a medir lo que pueden ser unos planos. En realidad no se sabe cuál es el motivo de la escena, excepto que se trata de un científico ya que Vermeer nos presenta a su figura realizando una actividad concreta, de tal manera que no se presentan como figuras alegóricas, sino en el marco de lo cotidiano. Vermeer también recrea magistralmente el espacio tridimensional y es un gran maestro de la luz. Sin embargo, usó una cámara oscura para producir perspectivas realistas en sus pinturas. El geógrafo. Vermeer, 1668-69. 4 El primer índice para la medida estética de un objeto lo encontré en un libro del matemático George David Birkhoff (1884-1944), conocido por sus trabajos en ecuaciones diferenciales, y que también se interesó por la estética. En 1930 comenzó a estudiar arte, música y poesía en diversos países. En 1933 escribió el libro Aesthetic Measure, publicado por Harvard University Press. En él figura la siguiente fórmula para obtener la medida estética, o medida de la belleza, de un polígono: M=O/C; O es una medida del orden del polígono y C de su complejidad. He de confesar que la aplicación a casos concretos de esta fórmula es farragosa y de poca utilidad, razón por la que creo tuvo poco eco. 5 A machine learning predictor of facial attractiveness revealing human-like psychophysical biases. Amit Kagian, Gideon Dror, Tommer Leyvand, Isaac Meilijson, Daniel Cohen-Or and Eytan Ruppin. Vision Research, 48(2), January 2008, Pages 235-243. 6 Bell, E.T., Historia de las matemáticas, p. 365, Ed. Fondo Cultura Económica (2003). 7 Corrales Rodrigáñez, C., Un paseo por el siglo XX de la mano de Fermat y Picasso, Ed. U. Complutense (2001). 8 La “balanza” es un tecnicismo sufí que significa “el intelecto iluminado con luz santa”. 9 Arquitectura Viva, Número 75-76 , I-IV 1999, p. 34

Domingo, 01 de Marzo de 2009 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

17. 8. (Septiembre 2011) Las ciudades geométricas

Las ciudades geométricas son ciudades planificadas desde el poder, que se expresa como tal estableciendo un orden simbólico o funcional a través de las líneas y las formas. En las concentraciones urbanas producidas por movimientos migratorios espontáneos no existe orden geométrico alguno, sino la aglomeración demográfica en una dura lucha por la supervivencia; llámense chabolas, favelas, ranchos, etc. Dos ejemplos extremos de esas dos realidades, ambos sobre las aguas, son: las Islas Palmera de Dubai (Emiratos Árabes), forma figurativa y geométrica a la vez edificada sobre terrenos ganados al mar por acumulación de ingentes cantidades de arena, exhibición del poder de los petrodólares; y la ciudad flotante en Lagos (Nigeria), donde la población pobre vive sobre barcazas, ciudad sin planos, ciudad cambiante por excelencia. La ciudad planificada surge de un hecho o de una idea fundacional. Puede ser una nueva capitalidad, la reconstrucción tras una catástrofe, un tratado de paz, un proyecto comunitario, etc. Se construye según un modelo, lo que supone tomar una opción. Unas veces se quiere evocar la ciudad añorada; otras, late el ideal de empezar una nueva vida, de reinventar el mundo. Pero la ciudad crece y los nuevos agregados pueden respetar el diseño inicial, ampliándolo, como veremos en La Plata o en Chandigarh; o bien pueden engullirlo hasta hacerlo irreconocible, como pasó en la Ciudad Lineal de Madrid y pronto en Brasilia. Las geometrías urbanas resultantes, unidas a la Arquitectura, configuran al fin formas específicas de entender y organizar la vida, formas de convivencia. Dos ejemplos opuestos son los hutongs de Pekín y los rascacielos de Mahattan. El hutong es el barrio tradicional pekinés, con callejas que confluyen en pequeños patios con una toma de agua y baño comunitarios. A su alrededor, cuatro siheyuan, viviendas de una altura que en ocasiones son a la vez talleres. Frente a esa vida en comunidad en una ciudad horizontal, Manhattan es la ciudad vertical de acero y cristal, pensada sólo para el trabajo, que se abandona cada tarde camino de la ciudad-dormitorio, pasando del culto a la productividad al culto a la privacidad. La relación con los vecinos queda muy reducida. Nuestras ciudades son el fruto de un largo camino en la historia. CIUDADES DE LA ANTIGÜEDAD La ciudad más antigua encontrada es Al Rawda (Siria) que data de 2600 a.C. y fue descubierta bajo el desierto en 1996 [1]. En la actualidad se sigue excavando. La foto aérea es una imagen geomagnética que muestra sus restos bajo la arena. Vemos una ciudad circular, con los rasgos principales de la que siglos más tarde se llamará ciudad radioconcéntrica. Este tipo de ciudad se repite en Oriente Próximo y Mesopotamia durante mucho tiempo, hasta el s. VIII. Así, también se encuentra en Irán: Hamadan y Firuzabad. El centro tiene un valor emblemático y está reservado al recinto sagrado. Se sabe que todavía en el año 762 el Califa Al Mansur fundó Bagdad siguiendo ese modelo y reservando una gran plaza central para la mezquita. En ese amplio periodo de tiempo y en la misma zona, el modelo circular coexiste con otro modelo: el damero o cuadrícula. El historiador griego Herodoto (484 a 425 a.C.) describe así la gran Babilonia de 1750 a. C: un cuadrado de 21 km de lado, con sus vértices orientados según los puntos cardinales, rodeado por una muralla de 27,5 m de alto y 9 m de ancho. En su interior, las calles delimitaban manzanas rectangulares. También en las ciudades del Antiguo Egipto se encuentra el damero. Puede apreciarse en los restos de Deir El Medina (foto), cerca de Luxor (antigua Tebas) a la entrada del valle de los Reyes, donde vivían los artesanos de las tumbas faraónicas. GRECIA Y ROMA En la Grecia Clásica se plantearon las grandes cuestiones de la Humanidad, también el urbanismo, con tal profundidad que en muchos casos aquel pensamiento sigue vigente. La ciudad fue pensada según dos modelos ideales: el de Aristóteles y el de Platón. Aristóteles entiende la ciudad como un sistema de relaciones y una entidad cultural, no como un marco físico. Serán el contexto y la voluntad social los que determinarán el tipo de ciudad. No cree en la planificación. Platón piensa que la organización social viene condicionada por el espacio donde se vive. Si el orden espacial y el orden social son un todo, por responsabilidad se impone la planificación. Concibe así la Polis ideal, que llama Magnesia, descrita con detalle en Leyes. Es una ciudad circular donde está presente el idealismo pitagórico. Está delimitada por tres círculos tales que, tomando como unidad el radio menor, la diferencia de éste con el radio intermedio es 2 y la diferencia del radio mayor con él es 3. De esa forma, el radio mayor es 1 + 2 + 3 = 6, número perfecto, igual a la suma de sus divisores propios [2]. Además, con el orden geométrico busca mantener los principios de jerarquía y equidad. Así, en el círculo central se ubican a igual distancia de todos, los espacios de mayor dignidad: la Acrópolis, con los templos; y el Ágora, lugar de la vida pública. La corona intermedia sería para los edificios de viviendas y la exterior sería el territorio rural, las aldeas, para nutrir a aquellas. Platón precisa las dimensiones: el conjunto tendría 533 m de diámetro, albergaría 420 hogares y 5.040 ciudadanos. No es éste un número cualquiera, 5.040 = 7! Incluso prevé migraciones para incrementar o disminuir la población, de modo que se ajuste al número deseado [3]. Cercano al platonismo, Hipodamos de Mileto (498 a 408 a.C.) es el primer urbanista del que se tiene noticia. Para él, la cuadrícula es la máxima expresión de la racionalidad aplicada al urbanismo, llamada en su honor plano hipodámico. Frente al pensamiento especulativo griego, en Roma el motor de las decisiones era la razón práctica al servicio del imperio. Las ciudades se levantaban sobre los emplazamientos de los castros, campamentos de las legiones, como forma de consolidar sus conquistas. Y se hacía con el modelo de la capital, intentando vivir como en Roma. Con una planta aproximadamente rectangular, se rodeaban con la muralla y se trazaban las dos calles principales sobre sus dos ejes de simetría: el decumano máximo, de Norte a Sur, y el cardo, de Este a Oeste. En la intersección de ambas, se erigía el Foro. En los cuatro cuadrantes resultantes, las calles secundarias seguían las direcciones de aquellas dos, formando manzanas cuadradas (de 70 m de lado en Caesarugusta, hoy Zaragoza). En la imagen: Timrad (Argelia). CIUDAD MEDIEVAL En la Edad Media, época de guerras continuas, había desaparecido el orden romano. La población se apiñaba tras las murallas formándose trazados urbanos caóticos, similares a los zocos del Norte de África. Es un laberinto de calles donde no hay orden geométrico, pero sí estructura, al agruparse la población según su religión y oficios. Algunas de nuestras ciudades, como Toledo, lo conservan. CIUDAD RENACENTISTA Tras el Medievo, el ideal del Ranacimiento, inspirado en la armonía de la arquitectura clásica, ambiciona grandiosidad y belleza. Para lograrlas, donde hay un gobernador con poder absoluto (requisito político necesario), se reconstruye parcialmente la caótica ciudad medieval: trazando calles rectas y plazas, buscando simetrías. Antonio Averlino (1400-1469), llamado Filarete, ofrece en 1465 a Francisco I Sforza, duque de Milán, el sueño urbanístico de Sforzinda, que no se llegó a construir. Sforzinda debía ser una estrella de 8 puntas inscrita en un foso circular. En sus vértices convexos tendría 8 torres y en sus vértices cóncavos, 8 puertas. Todas ellas conectarían por 16 calles radiales con la gran plaza central, sede de la catedral y la torre vigía. En 1516, Tomás Moro describía su Utopía con ciudades de planta cuadrada. Las viejas ciudades medievales iban a limitar por mucho tiempo la posibilidad de diseños urbanos geométricos tan innovadores. Sólo España tendrá la oportunidad de hacerlo, a partir del s. XVI, en la colonización del Nuevo Mundo. El modelo que seguirá es el de la cuadrícula, a imagen del campamento militar de Santa Fe, construido en 1483 para el asedio de Granada y luego convertido en núcleo urbano estable. CIUDAD MODERNA La creación de los estados-nación trajo la pérdida de poder político de las ciudades. Menos en zonas fronterizas, las murallas ya no eran necesarias, salvo por su función fiscal (toda mercancía que cruzaba la puerta pagaba un tributo). Se abrió la posibilidad para la ciudad de “saltar la muralla”, expresión que hizo fortuna para describir la expansión extramuros. Antes, hubo que vencer la oposición militar al derribo de las defensas. El plano de Barcelona muestra claramente cómo, más allá del pentágono irregular de la Ciutat Vella, con sus callejas estrechas y edificios apiñados, se expande la cuadrícula de L’ Eixample, también con planta pentagonal irregular. Las razones que llevaban a esa expansión se fueron acumulando, hasta hacerla imprescindible en el s. XIX. Eran fundamentalmente razones económicas (las nuevas industrias necesitaban espacio) y demográficas (la mano de obra venida del campo no cabía en la antigua ciudad). Pero también eran a veces razones políticas: tras las revoluciones de 1830 y 1848, Napoleón III encomendó al Barón Haussmann que levantase el nuevo París de forma que no fuera posible que los insurrectos se hicieran fuertes tras barricadas que bloquearan las viejas callejas. Su orden fue que por las amplias avenidas de la ciudad pudiera “disparar un cañón y avanzar un batallón”. Para lograrlo, Haussmann arrasó un 60% de la vieja ciudad. El nuevo diseño fue efectivo para sofocar la Comuna de París en 1871. Plano de Ildefonso Cerdá para el Ensanche de Barcelona, L’ Eixample. Aunque en otros casos la apertura de espacios en las ciudades respondía a razones ideológicas bien diferentes. Así, el Ensanche barcelonés estaba guiado por la voluntad igualitaria e higienista de su diseñador, Ildefonso Cerdá (1815-1876), quien quería que todas las calles tuvieran la misma importancia y todos los ciudadanos disfrutaran del sol y del aire libre. Pensó para ello en calles de 20 m de ancho y en manzanas cuadradas construidas en dos de sus lados y con sus cuatro vértices orientados según los puntos cardinales para lograr una iluminación equitativa. Era una verdadera transformación social. Así, si en 1860 Barcelona tenía una densidad de población de 825 hab./Ha, en el Ensanche (pese a ser seriamente alterado, como veremos) bajó a 225 hab./Ha. En 2008 la densidad en esa ciudad era de 160 hab./Ha. En estos contextos, se planificaron diseños geométricos urbanos guiados, en cada caso, por una idea motriz. Cabe hablar de tres modelos principales: Radioconcéntrico, Ortogonal y Lineal. Sobre ellos se desarrollarán variantes y superposiciones varias. CIUDAD RADIOCONCÉNTRICA Es una ciudad circular con una plaza central, sede del poder político y religioso, de la que salen calles radiales que la unen con la periferia, atravesando una red de calles concéntricas. En este modelo se hace mínima la distancia del centro a las afueras. La ciudad que mejor conserva una realización integral de ese planteamiento es la italiana Palmanova, debida a Vicenzo Scamozzi (1593). En época más reciente, encontramos el mismo tipo de urbanización en Sun City (EE. UU.). Pero, de forma parcial, otras ciudades han tomado aspectos de este modelo. Así, el centro de Vitoria tiene calles concéntricas con una forma almendrada. En la famosa Place de L’Étoile de Paris confluye una trama radial de 12 grandes avenidas, pero en ese caso sin calles concéntricas. Palmanova Sun City, Vitoria y París en Google Earth En Nahalal (Israel), construida en 1921 por Richard Kaufmann, podemos hablar de Ciudad Elíptica-Radial. Fue el primer “moshaw”, comunidad agraria autosuficiente, erigida sobre terrenos comprados por una organización sionista que comenzaba así la “recuperación de la Tierra Prometida”. El símbolo de una nueva ciudad para una nueva vida adquiere en ese caso tintes mesiánicos. Los servicios comunitarios ocupan la elipse central, de la cual parten radios ocupados por las granjas y sus tierras. Foto: http://www.steady-state.ca/ Pero quizás la variante del Modelo Radioconcéntrico más creativa y a la vez respetuosa con su esencia, sea la Ciudad Hexagonal de Granmichelle (Italia). Sita en la isla de Sicilia, tras un terremoto fue reconstruida en 1693 bajo el mecenazgo del Príncipe di Butera, noble local. Fue construida sin murallas, como símbolo de la armonía civil. Con plaza central hexagonal, tiene calles concéntricas y avenidas radiales, pero se añaden 6 barrios periféricos manteniendo la simetría del conjunto. La ciudad podía haber crecido conservando su diseño, pero la posterior construcción excesiva en uno de esos barrios rompió la simetría. Otra ciudad siciliana, Avola, tiene también planta hexagonal. CIUDAD ORTOGONAL Es el diseño más extendido: las calles siguen dos únicas direcciones, perpendiculares entre sí. Las manzanas son rectangulares, como en Manhattan (1811); o cuadradas, como en Barcelona (1860), en este caso achaflanadas para mejorar la visibilidad en los cruces. Una característica de la trama ortogonal que la hace idónea para el tráfico es que en ella hay varios caminos alternativos de distancia mínima para ir de un punto a otro. En la ciudad ortogonal son posibles códigos y rutinas de localización, así como prever las distancias de cada desplazamiento. Así, en Manhattan las calles y avenidas paralelas siguen una numeración correlativa. En casi toda América, la numeración de las casas comienza centena al empezar una nueva “cuadra” o manzana. De ese modo, si estamos en el nº 200 de la Calle 42 y vamos al nº 823 de la Calle 47, sabemos que debemos buscar la calle paralela 5 manzanas más lejos y, una vez allí, desplazarnos otras 6 manzanas. En Argentina, donde las calles tienen nombre, las dos últimas cifras del número de la casa indican su distancia al comienzo de la cuadra. El Ensanche de Barcelona fue paradigmático por dos aspectos. Porque marcó el camino a seguir: a partir de él se promulgó la Ley del Ensanche (1864) que reguló la expansión de otras ciudades españolas (Madrid, San Sebastián, La Carolina, etc.), estableciendo aspectos hoy tan básicos como las expropiaciones, alcantarillado, proyecto, memoria económica, etc. Pero también el caso barcelonés ejemplifica con claridad cómo las mejores intenciones urbanísticas topan con el muro de los intereses creados. La clase dominante local rechazaba un diseño tan igualitario y ejerció presiones en su contra. El Gobierno Central impuso finalmente el Plan Cerdá, pero los propietarios de los terrenos siguieron presionando y consiguieron que se edificaran los cuatro lados de cada manzana, frente a los dos previstos en el Plan, y que las casas se levantasen hasta una altura de 20 m, frente a los 16 proyectados, a lo que se añadieron luego áticos y sobreáticos. Como resultado, el volumen edificado sobrepasó el triple de lo planificado. L’Eixample de Barcelona en Google Earth Mucho antes, en las colonias de América, no habiendo el impedimento de las murallas, era posible construir el Nuevo Mundo. Bien pronto se legisló su urbanización ortogonal. San Juan de la Frontera (Argentina) en 1542 Ya en 1523, el Emperador Carlos I dictaba esta ordenanza: “Y cuando hagan la planta del lugar, repártanlo por sus plaças, calles y solares a cordel y regla, començando desde la plaça mayor, y sacando desde ella calles a las puertas y caminos principales, y dexando tanto compás abierto que aunque la población vaya en gran crecimiento, se pueda siempre proseguir y dilatar de forma simétrica". Su hijo, Felipe II, en las Leyes de Indias (1573), concretaba que las manzanas debían tener 100 varas de lado (83 m). La simetría aseguraba la centralidad de la Plaza Mayor o Plaza de Armas. Sus dimensiones ideales serían de 600 pies de longitud por 400 de anchura. Esa plaza marca el centro geométrico, vital y simbólico. En la nueva ciudad debe quedar claro dónde reside el poder, cuál es el orden que impera. De acuerdo a esos criterios se edificaron las poblaciones, desde Norteamérica a Tierra del Fuego. Y cuando en el s. XIX las nuevas repúblicas americanas levantan sus ciudades propias, se mantiene el plano ortogonal a ultranza. Curiosamente, el caso de las ciudades norteamericanas, siendo también ortogonales, es distinto. Lo ejemplifica bien la conocida imagen nocturna de Los Ángeles, con su interminable cuadrícula iluminada. Lo que hace diferentes a las ciudades ortogonales de EE.UU. con respecto a las del centro y sur del continente es la ausencia de centro, tanto en un sentido geométrico o geográfico como simbólico. Sólo encontramos una uniformidad sin límites, que es negación de la diferencia y del espacio público. Según el sociólogo Richard Sennett [4]: “El centro define un espacio de reconocimiento”. Así se debe interpretar la Plaza Mayor hispana, ya que “El español llegaba al Nuevo Mundo como un amo; la conversión y la conquista eran una misma cosa; llegaba su condición de católico”. Pero “El puritano venía a un refugio donde… recomenzar en un sitio nuevo y lograr así un mayor dominio de sí”, pero todo ello sin ostentación de la propia virtud expresada en la conquista, sino como un deber moral de quien sólo rinde cuentas ante sí y ante Dios (sin Rey ni Papa). Esos son, según el filósofo Max Webber, los rasgos de la moral puritana protestante: competición, desigualdad e individualismo radicales; que deben desarrollarse en un espacio neutro, indistinguible y anónimo. La obsesión ortogonal va a veces en contra del sentido común dictado por la orografía. Es el caso de San Francisco, donde hay 43 colinas cercanas a los 100 m de altitud, próximas al mar. En ese terreno, la cuadrícula ha provocado esas severas cuestas que tantas veces hemos visto en el cine. En algún caso, como en Lambert Str, es tal la pendiente que, dentro de la propia calle recta, ha habido que crear una senda en zigzag (estrategia que conoce bien cualquier excursionista o montañero). En este caso, en contra de Hipodamos, la cuadrícula no expresa racionalidad. CIUDAD LINEAL Es la ciudad construida a lo largo de una vía de comunicación, como ocurrió en algunas localidades españolas lo largo del Camino de Santiago o, en la rusa Volgogrado (antes Stalingrado), siguiendo el curso del Río Volga. Alcanzó la categoría de modelo teórico con el arquitecto Arturo Soria y Mata (1844-1920), quien lo proponía como solución a dos problemas: de transporte y de bienestar. Por una parte, este modelo hace mínima la suma de las distancias de todos los puntos entre sí; por otra, supera la dicotomía campo-ciudad, permitiendo una vida saludable en contacto con el medio natural. En efecto, Arturo Soria proponía que sólo se edificase a lo largo de una vía principal, cubriendo una anchura total de 500 m, más allá de los cuales estaría el campo. De esa forma se tejería una trama triangular entre las viejas ciudades que, en su ideal, llegaría desde Cádiz a San Petersburgo. La vía principal, de 40 m de anchura, sería recorrida por un tren. Proyecto de Arturo Soria Ese modelo se llevó a la práctica en la madrileña Ciudad Lineal de Arturo Soria, que en 1911 se extendía a lo largo de 5 km, con 700 casas y 4.000 habitantes. Una foto aérea actual permite distinguir el trazado serpenteante de la Ciudad lineal, aunque más allá de la misma no encontramos el campo que quisiera Arturo Soria, sino casas y más casas. La Ciudad Lineal de Madrid en Google Earth Aunque sean esos tres los modelos siempre citados, la realidad ofrece un amplio abanico, a veces con diseños originales y a veces por adaptación o superposición. CIUDAD FRACTAL Si la Ciudad Lineal representa la máxima sencillez en el urbanismo geométrico, encontramos, en el polo opuesto, una expresión de complejidad en poblados que me resisto a llamar “primitivos”. El etnomatemático Ron Eglash [5] ha descubierto en el África Subsahariana poblados cuya planta sigue una pauta iterativa análoga a la generación iterativa de fractales. En Logone-Birni (Camerún), el poblado de la foto aérea corresponde a la segunda iteración del gráfico inferior, a partir del rectángulo inicial: En Ba-ila (Zambia), un poblado con forma de “anillo de anillos”, de 400 m de diámetro, se construye a partir de una choza en miniatura donde residen los espíritus, creando recintos familiares según jerarquías, nuevamente tras dos iteraciones: CIUDAD ESTRELLADA Si en Palmanova cogemos altura (foto: Google Earth), además del trazado radioconcéntrico, se ve que las murallas tienen la forma de una hermosa estrella de nueve puntas. No se hizo así por razones estéticas, sino defensivas. Palmanova es una ciudad fortaleza de la República de Venecia frente al peligro de invasión turca. Bastiones artillados en las puntas de esa estrella cubrían del fuego enemigo a las propias defensas. Es un ejemplo de ciudad para la guerra, como hay otros en zonas fronterizas de los reinos europeos. En 1597 Galileo publicaba la Ley del Tiro Parabólico y era posible preparar la defensa artillera con el concurso de matemáticos. La excelencia en este campo la alcanzó el ingeniero militar Marqués de Vauban (1633– 1707), honrado por Luis XIV, especialista en asedios y fortificaciones (más de 300 en Francia, entre ellas la famosa Neuf-Brisach). Neuf Brisach (Francia) Almeida (Portugal) CIUDAD SIMBÓLICA Washington D.C. fue construida en 1791 para ser capital de EE.UU. y ser toda ella una exaltación de la democracia, idealización de la Polis griega. De ahí que sus edificios oficiales sean en mármol blanco y estilo clásico. Para su diseño pugnaron dos proyectos: el de Thomas Jefferson, que pretendía el trazado ortogonal; y el finalmente triunfador, de Pierre L’Enfant que, sobre la cuadrícula, establecía múltiples puntos focales en intersecciones de avenidas transversales, dibujando estrellas y polígonos. Hay quienes quieren ver en esa complejidad símbolos masónicos ocultos. Se apoyan en el hecho de que 21 de los 23 firmantes de la Declaración de Independencia de los Estados Unidos de Norteamérica eran masones. Dicen, por ejemplo, que el símbolo masónico del billete del dólar (la pirámide de ladrillos coronada por el ojo del Gran Arquitecto), está presente en el plano de la capital: si se unen la Casa Blanca, el Capitolio y el Memorial a Jefferson, se obtiene un triángulo isósceles semejante al que vemos en el billete verde; cruzado por 13 calles aquel, con 13 hileras de ladrillos éste. Cito este caso por ser el más plausible de los que he leído. También los hay premonitorios, apocalípticos, etc. La Numerología, tan alejada de las Matemáticas, como toda obsesión, acaba creyendo encontrar aquello que busca. CIUDAD DE CIUDADES Tras la escisión entre India y Paquistán, la región del Punjab quedó dividida, quedando su capital Lahore en territorio paquistaní. El Primer Ministro de India Nerhu encargó a Le Corbusier en 1952 el diseño de una nueva capital para la región, Chandigarh. Esta joven ciudad fue diseñada bajo el criterio de asegurar la calidad de vida de sus habitantes. Esa calidad de vida se cifraba en que cualquier persona, sin tener que caminar más de 10 minutos, pueda llegar al mercado, a la escuela, al médico, al templo o al parque. Para lograrlo, se diseñó una ciudad compuesta por sectores rectangulares autónomos, supermanzanas de 1.200 m x 800 m, cada uno de los cuales fuera una pequeña ciudad que albergase los servicios citados. Hay una trama ortogonal enriquecida de contenidos. Como se ve en el mapa, los sectores están numerados... saltando el número 13. Este diseño se ha expandido conservando su esencia. Cuando el terreno lo permitía ( ver la zona morada del mapa), con un diseño análogo; cuando no lo permitía (zona rosa), cambiando la forma de los sectores pero no sus atributos de proximidad y servicios. CIUDAD MULTICÉNTRICA En la Exposición Universal de París de 1889, la ciudad argentina de La Plata obtuvo el Premio a la “Ciudad del Futuro”. Había sido diseñada en 1882 por Pedro Benoît, y fue construida como símbolo de reconstrucción nacional tras una guerra civil. La ciudad tiene planta ortogonal con una plaza central, al estilo hispanoamericano, y está inscrita en un rectángulo rodeado por una vía perimetral. Pero sobre la cuadrícula se superponen las dos diagonales del rectángulo y algunas paralelas a ellas, creando varios centros secundarios. Es por ello una ciudad multicéntrica, donde se ha pensando en la rápida comunicación entre extremos. La ciudad creció ampliando y conservando el diseño inicial. Más radical es el multicentrismo de Camberra. Fue diseñada en 1912 por Walter Burley Griffin para ser la nueva capital de Australia, superando la rivalidad entre Sydney y Melbourne. Presenta un triángulo central, dominado por el Parlamento y realzado por un lago artificial dedicado a Griffin. A su alrededor, se distinguen varios centros bien definidos, que concentran sectores específicos: universitario, residencial, comercial, industrial y administrativo. CIUDAD FIGURA Tras el colapso urbano de las anteriores capitales (Río y Salvador de Bahía), en 1956, el urbanista Lucio Costa y el arquitecto Oscar Niemeyer diseñaron la nueva capital de Brasil, que debía ser el escaparte de un país en progreso. Para ello, la ciudad tiene la forma de un avión, cuyo fuselaje es la Avenida Central con los edificios gubernamentales, y cuya cabina de mando es la Plaza de los Tres Poderes. Pero la realidad migratoria amenaza con engullir ese original diseño, salvo por el lago a sus pies que la separa de las ciudades satélite. Éstas han ido surgiendo para alojar a la población que busca trabajo en la nueva capital. De ese modo, un diseño caprichoso, imposible de crecer manteniéndose fiel a sí mismo, reproduce la situación que se quería superar. Esa previsión del crecimiento futuro dentro del esquema originario se consigue desde soluciones geométricas, como se vio en La Plata y Chandigarh y veremos en Auroville. CIUDAD ESPIRAL Auroville es fundada en el Sureste de India en 1968, al calor del boom en Occidente de la espiritualidad oriental. Con gentes venidas de todo el mundo, nace como comunidad internacional que va a ensayar una nueva vida en paz y armonía, basada en la espiritualidad y la ecología. La ciudad tiene la forma de un mándala espiral, como una galaxia. En su centro está el edificio principal con una gran sala ecuménica, lugar de meditación. Al crecer la ciudad, puede hacerlo conservando la forma espiral. SPRAWL En la periferia de las grandes ciudades norteamericanas han crecido zonas residenciales exclusivas que se distinguen por sus diseños geométricos singulares. Estas zonas son conocidas como Sprawl y su modelo ha llegado a otras partes del mundo. Son la plasmación residencial del “American way of life”. No están al alcance de cualquiera y en ellas la geometría es un rasgo distintivo de clase. En las zonas pobres no hay diseño. ¿Supone esto un cambio con respecto de aquella homogeneidad ortogonal tan querida en la moral de los colonos? Corresponde a los sociólogos dar respuesta a esta cuestión, pero me permito adelantar un rasgo: una vez afirmada la pertenencia al grupo, dentro de sus atrevidas formas geométricas advertimos una nueva uniformidad. Sprawl en Arizona. Foto en [6] Srawl en Denver. Fotograma en [7] Terminamos esta mirada sobre las ciudades geométricas reivindicando unas ciudades bellas y funcionales, lo cual seguramente se podrá lograr gracias a un diseño geométrico, que lo sean para toda la población, dando continuidad en la distancia y el tiempo al hilo del urbanismo humanista que une los proyectos de Ildefonso Cerdá, Arturo Soria y Chandigarh.   BIBLIOGRAFÍA Y OTRAS FUENTES [1] URIBE, Mauricio. Blog Laboratorio de Urbanismo del Sur. URL: http://laboratoriodeurbanismo.blogspot.com/. [2] CERVERA Vera, Luis. Sobre las ciudades ideales de Platón. Academia de San Fernando. Madrid, 1976. [3] GOYCOOLEA Pardo, Roberto. Organización Social y Estructura Urbana en las Ciudades Ideales de Platón y Aristóteles. En la revista A Parte Rei [on line]. Núm. 40, Julio 2005. URL: http://serbal.pntic.mec.es/~cmunoz11/page50.html. [4] SENNETT, Richard. Las ciudades norteamericanas: Planta ortogonal y ética protestante. En la revista Bifurcaciones [online]. núm. 1, verano 2004. URL: www.bifurcaciones.cl/001/reserva.htm. [5] EGLASH, Ron. African fractals. [on line]. URL: http://homepages.rpi.edu/~eglash/eglash.htm. [6] GIELEN, Christoph y MANAUGH Geoff. The Geometry of the Sprawl. The New York Times. 17-09-2010. [7] ARTHUS-BERTRAND, Yann. Home. Film disponible en la red. URL: http://www.youtube.com/user/homeprojectES#p/a/u/1/SWRHxh6XepM. [8] SINGH, Patwat. Chandigarh, una visión borrosa en el tiempo [on line]. Portal www.arquitectura.com. URL: http://www.arquitectura.com/historia/textos/chandigarh.asp

Jueves, 08 de Septiembre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

18. 6. (Marzo 2008) Eiffel Icosa

Centro Joxe Mari Korta, UPV-EHU. Ver detalles del documento

Sábado, 01 de Marzo de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

19. 4. (Julio 2007) En busca de la cuarta dimensión

Curso SCTM05, Universidad de La Laguna, 2005. Ver detalles del documento

Domingo, 01 de Julio de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

20. 3. (Junio 2006) Paseo histórico-geométrico por un cuadro italiano del siglo XV

Universidad de Zaragoza. Ver detalles del documento

Jueves, 01 de Junio de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico