31. 17. Martin Gardner y la Papiroflexia (III)

SCIENTIFIC AMERICAN Si el mundo de la papiroflexia estaba empezando a cambiar en 1956 con la publicación del artículo de Robert Harbin "Magia de papel” ("Paper Magic"), también el propio mundo de Martin Gardner estaba cambiando. En el momento no pareció demasiado importante – tan sólo un artículo de revista más entre tantos otros. Sin embargo, visto retrospectivamente motivó un giró decisivo en su vida. Martin Gardner no podía ni siquiera imaginarse las consecuencias que tendría ese primer artículo que escribió para Scientific American en diciembre de 1956, de lo mucho que gustaría a millones de personas de todo el mundo, la fama (y, reconozcámoslo, la recompensa económica) que le aportaría, la ampliación de sus propios intereses ni que le proporcionaría la oportunidad de escribir una columna mensual de tal calidad durante veinticinco años. Es muy tentador especular acerca de cuántos jóvenes se han sentido motivadas por su columna a escoger la carrera universitaria de matemáticas, o los avances que han sido estimulados en las matemáticas formales por su revelación habitual de ideas originales en las matemáticas recreativas. El primero de los artículos que publicó Martin Gardner en “Scientific American” apareció en el número de diciembre de 1956 con el título "Flexágonos". En concreto trataba sobre los hexaflexágonos. En junio de 1957 se publicó un artículo sobre las Bandas de Moebius, y otro sobre los Tetraflexágonos, en mayo de 1958. El artículo sobre "Origami" no apareció hasta julio de 1959. Para entonces, Martin se encontraba tan inmerso en su columna regular de Scientific American, que abandonó su colaboración como editor de “Humpty Dumpty”. Los hexaflexágonos hacían de puente entre los dos reinos de la papiroflexia y las matemáticas. Habían sido descubiertos en 1939 por Arthur J Stone, por aquel entonces investigador matemático británico de veintitrés años de edad de la Princeton University. Había recortado el papel americano más ancho que había comprado, para ajustarlo a los archivadores británicos, que eran mucho más estrechos. Entonces, comenzó a jugar con las tiras de papel sobrantes. Tras plegarlos en ángulos de 60 grados y mezclarlos, descubrió que formaban hexágonos planos que podían “flexarse” ofreciendo a la vista diferentes caras del papel sucesivamente. El departamento de matemáticas de Princeton se volvió loco con los denominados “flexágonos” (obviamente término que procedía de la palabra “hexágonos”) y Arthur Stone se convirtió en el centro de atención de un pequeño grupo de estudiantes que estaban fascinados por las matemáticas de estos nuevos dispositivos. Arthur Stone se juntó con Bryant Tuckerman, John W. Tukey, sin olvidar a Richard P. Feynman, un genio que posteriormente adquiriría mucha fama como gran físico. Juntos analizaron las matemáticas implicadas en los flexágonos y plasmaron sus teorías en un documento global, en lo que constituía una exposición muy completa del tema. Por alguna razón que no ha sido esclarecida, este documento nunca se ha publicado, y sólo sirvió como base para que otras personas publicaran sus propios análisis. La reflexión de Martin Gardner sobre los hexaflexágonos en su primer artículo para Scientific American no trataba en modo alguno de ser global, pero resulta tremendamente informativo y sucinto. Las Bandas de Moebius compartían un artículo con otros curiosos modelos topológicos, pero el artículo tiene poco que ver con la papiroflexia. Las bandas se presentan desde el punto de vista de la topología y como la base de los trucos de magia. Los tetraflexágonos son mucho menos conocidos que sus primos los hexaflexágonos, pero Arthur Stone se mostró también interesado en ellos. En otro artículo, Martin Gardner señala que se consideraron como un “eje de doble acción” durante siglos y que en los años 1890 se comercializaron juguetes basados en ese principio. También menciona un tetraflexágono en forma de rompecabezas que fue registrado en 1946 por Roger Montandon de la Montandon Magic Company de Tulsa (Oklahoma). Se denominó "Cherchez la Femme", y consistía en encontrar la imagen de la joven que se escondía tras la cara de un marinero sonriente. Hasta 1993, con la publicación del libro "Martin Gardner Presents" no se reveló que el creador de este rompecabezas había sido el propio Martin Gardner. Quizás su reticencia en relación con él mismo y con su publicación se explica por el hecho de que cuando por fin se encuentra a la dama, se descubre que está "al natural”… El artículo sobre los Tetraflexágonos también contiene una explicación global y diagramas para una variante del rompecabezas "Flexitubo" en el que se logra dar la vuelta a un tubo cuadrado de papel únicamente mediante sucesivos plegados. Se revela que esto, también, fue descubierto por Arthur Stone mientras trabajaba en los flexágonos. No existe papiroflecta que no se sienta fascinado por este mecanismo mágico de plegado. El artículo de Martin Gardner sobre Origami en “Scientific American” de julio de 1959, ofrece un breve bosquejo del tema, describiéndolo como "el ancestral arte japonés de la papiroflexia". En unas pocas frases breves, llega a mencionar a la señora Oppenheimer, la Exposición del Cooper Union, las dotes de las refinadas damas japonesas, a Lewis Carroll y Miguel de Unamuno, el filósofo español, que escribió un tratado, entre burlesco y serio, sobre la papiroflexia. A continuación aparece el nudo pentagonal en una tira de papel que oculta en su interior un pentagrama místico y el dilema científico, de no fácil solución, de por qué, cuando doblamos una hoja de papel, el pliegue es una línea recta. A pesar de estar menos relacionado con la papiroflexia clásica, Martin también demuestra cómo se puede formar una parábola plegando sucesivamente un borde de un cuadrado de papel hasta un punto seleccionado que se convierte en el centro de una curva formada por los plegados. Martin Gardner no pudo evitar finalizar este artículo con las instrucciones para fabricar la Pajarita. Escrito en 1956, se trataba del antiguo método de predoblar y juntar los puntos, aplastándolos, que ya fue utilizado por Tissandier y Houdini. Aunque en aquel momento el esquema de Yoshizawa de líneas de puntos diferentes para distinguir las montañas y los pliegues de valle todavía no hubiera llegado a Occidente, con todo, los diagramas de Martin Gardner resultaban decididamente claros. Un artículo publicado en Scientific American con fecha de junio de 1960, titulado "La papiroflexia y el recorte de papel" ("Paperfolding and Papercutting") versa principalmente acerca de las disecciones, pero también toca de refilón el tema del recorte de papel o "kirigami" e incluye el famoso rompecabezas de disección conocido generalmente como “Cielo e Infierno”. Después de 1960 se produjo un amplio espacio de tiempo antes de que Martin Gardner volviera a incluir algo relacionado con la papiroflexia en su columna de Scientific American. Su columna también estaba cambiando. Sus primeros artículos tenían que ver con rompecabezas comparativamente simples, trucos y fenómenos que, aunque pudieran esconder misterios matemáticos, entraban dentro del ámbito de comprensión de cualquier persona razonablemente educada. Sin embargo, sus artículos posteriores comenzaron a cavar más hondo, reflejando la apreciación creciente de que la exploración lúdica inspirada por las matemáticas recreativas podía, a veces, abrir nuevas perspectivas en las matemáticas avanzadas, totalmente inesperadas, pero que sin embargo, en ocasiones resultaban ser, sorprendentemente, de gran valor en ramas de la ciencia recientemente descubiertas. En abril de 1968 Martin volvió al juego, y escribió sobre los "Rompecabezas y trucos con un billete de dólar” (“Puzzles and Tricks with a Dollar bill"). Para ello regresó al comienzo de su carrera como mago, e incluyó el truco de invertir un billete de dólar e incluso los dos pliegues que convertían a George Washington en un champiñón. También había muchos trucos matemáticos basados en el número de serie de los billetes de dólar. Todos éstos eran trucos que se sucedían varias veces en diferentes libros de rompecabezas escritos por Martin Gardner. El diciembre siguiente, Martin volvió a retomar de nuevo otro de sus temas preferidos: las Bandas de Moebius. Su artículo reproduce dos obras del artista holandés M C Escher y arroja mucha luz sobre un tema ya antiguo, pero poco hay de interés para los papirofléxicos. Sin embargo, Martin señala que un hexaflexágono es una Banda de Moebius entretejida, algo que no es evidente por sí mismo de manera inmediata. En mayo y septiembre de 1971 Martin Gardner introdujo dos nuevos temas relacionados con la papiroflexia. El artículo de mayo de 1971 trata sobre "la riqueza combinatoria del plegado de un trozo de papel". Revela el imprevisto y complicado problema matemático de la determinación del número de formas en las que se puede plegar un plano, o en realidad, una tira de sellos. Sin embargo, el artículo se transforma de repente en un informe sobre la obra de Robert Neale, un amigo suyo mago, inventor a su vez de numerosos mecanismos de papiroflexia, muchos de los cuales muestran un “giro” inusual. Entre ellos se encuentran el Rompecabezas Belcebú de Robert Neale, muy ingenioso, que se basa en un tetraflexágono, y el famoso rompecabezas papirofléxico "Ovejas y cabras". El truco más conocido de Robert Neale "Bunny Bill” (“Billete-Conejito”) tan solo se menciona, pero se cita la dirección en la que puede obtenerse: Magic Inc. of Chicago. “Poliedros trenzados” (“Plaiting Polyhedrons”), que apareció en septiembre de 1971 describe el apasionante método de plegado de los sólidos platónicos a partir de tiras de papel. Es un tema que ha sido investigado desde varios ángulos por diversos papiroflectas, y el informe de Martin Gardner despierta el apetito. Hasta el momento sigue sin haberse escrito un libro global sobre este tema, en absoluto insignificante. Uno de los nuevos temas matemáticos que han aparecido desde la Segunda Guerra Mundial es el de los Fractales y uno de los últimos artículos que Martin Gardner publicó en Scientific American en relación con la papiroflexia trataba de la Curva del Dragón, es un tipo de fractal. Al parecer, este artículo estaba incluido en una serie de "Nueve problemas lógicos e ilógicos para solucionar" publicada en noviembre de 1967, pero yo no la conozco personalmente. La parte del artículo que trata de la Curva del Dragón se volvió a editar en "Mathematical Magic Show", diez años después, en 1977. Martin Gardner demuestra el método de creación de la curva del dragón mediante el plegado sucesivo de un trozo de papel por la mitad. Existen, por supuesto, limitaciones físicas que, en la práctica, limitan este proceso hasta aproximadamente siete pliegues, pero la teoría general de la Curva del Dragón como fractal no queda invalidada. Prácticamente todos los artículos que Martin Gardner publicó en Scientific American han sido reproducidos en sus volúmenes de recreaciones científicas. Dependiendo de qué libros de Martin se incluyan en el listado, existen quince o dieciséis recopilaciones de los artículos de Scientific American que fueron publicados a lo largo de un periodo de 38 años por una serie de editores de los Estados Unidos e Inglaterra. La primera recopilación fue “The Scientific American Book of Mathematical Recreations” (”El libro de recreaciones matemáticas de Scientific American”) que apareció publicado en 1959. En Inglaterra se editó en el año 1961 con el título “Mathematical Puzzles and Diversions from Scientific American” (“Diversiones y rompecabezas matemáticos de Scientific American"). El último volumen de la serie era “The Last Recreations” (“Las últimas recreaciones”) de 1997. La papiroflexia se incluye en los libros en tan sólo unos pocos capítulos. No obstante, demuestran que al igual que los propios intereses de Martin Gardner se ampliaban, de la misma manera la papiroflexia ha ampliado sus horizontes, algo que se ha visto demostrado inesperadamente por la reciente explosión de interés de las matemáticas por la papiroflexia en libros y artículos, en las universidades y por los tres congresos internacionales dedicados a las matemáticas y la ciencia de la papiroflexia que se han celebrado hasta el momento en Italia, Japón y California." OTROS INTERESES Con todo, los intereses de Martin Gardner han ido siempre más allá del ilusionismo, la papiroflexia y las matemáticas. En ocasiones sus libros sobre los temas más diversos muestran ciertos elementos de la papiroflexia. Ha sido un filósofo durante toda su vida y su libro, "Los Porqués de un escribano filósofo” constituye una apología apasionante de su propia filosofía personal. En él, muestra una apreciación inusitada de Miguel de Unamuno, el gran filósofo español, poeta y papiroflecta, que murió la víspera de Año Nuevo de 1936 a 1937 al inicio de la Guerra Civil Española. Se dice que Martin Gardner fue influido por Unamuno en sus ideas sobre el teísmo, y podemos preguntarnos si Martin Gardner y Unamuno compartieron una forma de pensamiento común. En el muy diferente campo de la crítica literaria, Martin Gardner comentó varios clásicos populares, entre los que se incluyen "The Ancient Mariner" (“El viejo marinero”) y "The Night before Christmas" (“La noche de Navidad"). Tal y como se podría esperar, se mostró muy atraído por la obra de Lewis Carroll y realizó ediciones comentadas de "Alicia en el país de las Maravillas" y "Alicia a través del Espejo", que han sido recopiladas en un único volumen. En ellas, Martin no olvidó hacer referencia al propio interés de Lewis Carroll en la papiroflexia. Sin embargo, aseguraba que había extraído su información de los propios diarios de Lewis Carroll (en los que menciona barquitos y artefactos de papel) y no se dedicó a sobreestimar a Lewis Carroll como si hubiera sido un "gran entusiasta de la papiroflexia”, como algunos críticos -demasiado entusiastas- han hecho. Igualmente, cuando llegamos al punto de tener que evaluar el lugar que Martin Gardner ocupa en la historia de la papiroflexia, debemos tener cuidado de no exagerar. No era un creador de papiroflexia y no escribió ni un solo libro acerca de la misma. No logró la fama a través de su columna en Scientific American; nuestra percepción de su contribución al crecimiento del Origami Occidental parece haber sido mucho menor. Con todo, es cierto que Martin Gardner desempeñó un papel importante en el desarrollo del Origami. En los años 1930 y 1940 fue uno de los magos que contribuyeron a extender la popularidad de los trucos de la papiroflexia. Desempeñó un papel importante en el creciente interés por la papiroflexia en Occidente después de 1957 cuando Gershon Legman, Robert Harbin y Lillian Oppenheimer se unieron para formar una firme base internacional para los avances futuros en la materia. Martin aportó una nota de respetabilidad académica a la papiroflexia a través de su artículo para la Enciclopedia Británica, a pesar del indebido retraso de su publicación. Sobre todo, la serie de artículos que Martin Gardner publicó sobre la papiroflexia en Scientific American que después fueron publicados de nuevo con suplementos en sus obras posteriores fue lo que presentó la papiroflexia como una mezcla de juego, arte y matemáticas a los ojos de un nuevo público y lo que demostró de una vez por todas que la papiroflexia era mucho más que un pasatiempo de niños. El mayor logro de Martin Gardner fue su habilidad para comunicar materias difíciles y a menudo profundas con unas pinceladas de su pluma, escasas pero muy humanas. Fue capaz de ahuyentar el temor a enfrentarnos con las matemáticas y la ciencia. Debemos agradecer que creciera rodeado por el humilde arte de la papiroflexia, y que fuera capaz de mostrar que no sólo se trata de algo divertido, sino que además cuenta con un espacio en el gran mundo de las matemáticas y la ciencia, y que no se puede considerar como una pérdida de tiempo e interés. David Lister 15 de febrero de 1995. Revisado el día 29 de septiembre de 2005. © David Lister 1995, 2005. NOTA: Este artículo apareció publicado por primera vez en 1995 en la tardía revista privada FOLD, que tanto echamos de menos. Me gustaría expresar mi más profunda gratitud a Martin Gardner, a quien he enviado el artículo. Martin me ha dado amablemente su aprobación y me ha sugerido algunas pequeñas aportaciones y correcciones que yo mismo he incorporado en la edición revisada. También me gustaría agradecer a Mick Guy por haber revisado este artículo y por haberme ayudado a corregir varios de los errores tipográficos de los que yo habría sido víctima inevitable. Únicamente yo soy responsable del contenido, así como de cualquier inexactitud. Recibiré encantado todas aquellas correcciones a este artículo, así como cualquier información adicional o anécdotas acerca de la relación de Martin Gardner con la papiroflexia. D.L. Artículo original en inglés: http://www.britishorigami.info/academic/lister/martin_gardner.htm (*) Hemos dividido en tres partes el artículo original.

Miércoles, 01 de Febrero de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

32. 18. Doblando Pentágonos

En el artículo del pasado mes de agosto se analiza el doblado del pentágono de área máxima, describiendo el método exacto desarrollado en Dureisseix (1997). En el artículo original Dureisseix (1997) hace un estudio comparativo de distintos métodos para doblar pentágonos (donde se analizan más de 10 secuencias de doblado distintas). Como se indica en la Figura 1, podemos colocar el pentágono dentro de un cuadrado de muchas formas: Figura 1: Distintas formas de colocar un pentágono en un cuadrado. Se puede demostrar que el pentágono de área máxima corresponde a la solución de la derecha, o sea que el pentágono es simétrico respecto la diagonal. Curiosamente, solo existen dos métodos (Morassi, 1989; Dureisseix, 1997) resuelven el problema del pentágono de área máxima y además los dos lo hacen de forma matemáticamente exacta. Ninguno de los métodos aproximados analizados en Dureisseix (1997) se ocupa del pentágono de área máxima. En este artículo estudiamos secuencias de doblado que sean (1) sencillas de doblar (2) suficientemente aproximadas y (3) que dejen pocas marcas en el papel. La solución matemáticamente exacta es Figura 2: Pentágono de área máxima inscrito en un cuadrado. Solución exacta con r=1/(2cos9cos18) y c=cos9/(cos9+cos27) (no demostrado aquí). Obtener soluciones exactas supone un reto matemático, pero muchas veces estas no son las más adecuadas en la práctica. Por ejemplo, cuando queremos doblar una figura sin dejar marcas en el papel. Figura 3: Método exacto Dureisseix (1997). Rojo: pentágono máximo matemáticamente exacto. El primer método que proponemos permite obtener una aproximación muy buena (error <1%) reduciendo el número de cicatrices que quedan en el papel al final del proceso: En este método, cada paso esta perfectamente definido y da lugar, a efectos prácticos, a un pentágono regular (ver análisis de error en el Apéndice). Para simplificar el proceso, se puede prescindir de los pasos 4 a 7 y así eliminar algunas marcas del papel. El método simplificado es Para completar el paso 5-6, hay que encontrar la posición del pliegue en valle de forma que en el paso 6 las líneas CA, DB y EF dentro del círculo coincidan en un mismo punto. En el paso 5, a modo indicativo, la línea CA queda ligeramente a la izquierda del punto medio indicado en la figura. Si (1) en el paso 6 las líneas CA, DB y EF dentro del círculo coinciden en un mismo punto y (2) el punto C está exactamente en el vértice del paso 7, entonces en el paso 8 se comprueba que el papel queda dividido en 5 ángulos iguales (ver análisis en el Apéndice). Con la práctica, este método es algo más rápido de doblar que el anterior (introduciendo la secuencia iterativa 5-6) y también da lugar a un pentágono prácticamente regular (teóricamente el error es aún menor). Se incluye en el Apéndice el análisis detallado de estos métodos. El análisis en sí puede ser un ejercicio útil para estudiantes con nociones básicas de geometría analítica y trigonometría. No es necesario conocer más que unas pocas definiciones básicas (como “distancia”, “recta”, “círculo”, “tangente”) y saber resolver problemas del tipo “encontrar las intersecciones de un círculo con una recta”. Usando la papiroflexia, se puede desarrollar el análisis matemático (ecuaciones no muy atractivas para muchos) en paralelo con el doblado de un papel (con suerte, algo más entretenido o, al menos, distinto). Observando las marcas de los pliegues en el papel se pueden comprobar resultados en la práctica “visualizando” la geometría y con un poco de suerte ayudando (?) a entender (?) el significado de las ecuaciones. El análisis del primer método en el Apéndice es de nivel preuniversitario y cualquiera que haya leído hasta aquí lo comprenderá sin ninguna dificultad. El segundo método es algo más duro de digerir, ya que requiere resolver ecuaciones no lineales (que, en este caso, necesita la ayuda de un ordenador para obtener el resultado final, a no ser que uno tenga ganas de ponerse a hacer iteraciones con calculadora o hasta “a boli”, que haberlos haylos ;-). Referencias: Morassi (1989) “The elusive pentagon” en: Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology, editor Huzita, Ferrera 1989 Dureisseix, (1997) “Searching for optimal polygon, application to the pentagon Case”. Septiembre 1997, nota no publicada, disponible en: http://origami.kvi.nl/articles/polye.ps

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33. 19. Doblando Pentágonos -Apéndices-

 Apéndice I Posición del centro del pentágono: punto C Tomando como origen de coordenadas el vértice inferior izquierdo, las esquinas del cuadrado tienen coordenadas (x,y)=(0,0) (0,1) (1,1) y (1,0). Todos los puntos de la diagonal tienen coordenadas de la forma x=y, por ejemplo, la esquina inferior izquierda es (0,0) y la superior derecha es (1,1). El centro del pentágono está situado sobre la diagonal y por tanto tiene coordenadas x=c, y=c. El punto (c,c) que buscamos equidista de los puntos (0.5,0) y (0.75,1), por construcción del paso 3. La distancia d entre dos puntos (x1,y1) (x2,y2) es . Así pues, si la distancia de (c,c) a (0.5,0) es igual a la distancia de (c,c) a (0.75,1), tenemos la ecuación de donde podemos obtener c (c-0.5)2 + c2 = (c-0.75)2 + (c-1)2 ; c2 + 0.52 - c + c2 = c2 + 0.752 - 1.5c + c2 + 1 - 2c ; Las coordenadas de C en un cuadrado unidad son (x,y)=(c,c) con c =21/40=0.525. El centro del pentágono exacto se encuentra en c = cos 9 / ( cos 27 + cos 9 ) = 0,525731112…. el error cometido es de 0.00139 (0.139%). En un papel de 20 cm de lado el punto C esta a 0,207 milímetros del centro exacto (inapreciable a la vista). Para completar el pentágono, en el paso 4 doblamos la diagonal en 3/8 y 5/8 partes, obteniendo una distancia de . En los pasos 5-9 usamos esta distancia como aproximación al radio del pentágono r = 1 / ( 2 cos 9 cos 18 ) = 0.53228442. Al trasladar el punto D sobre D´ en el paso 9, obtenemos un vértice del pentágono. El punto D´ , tiene coordenadas (x,1). Para encontrar x imponemos que D´ pertenezca a una circunferencia de centro (c,c) y radio r = . Los puntos de una circunferencia de radio r y centro (xc,yc) satisfacen la ecuación (x-xc)2 + (y-yc)2 = r2. Dado que el centro del círculo está en (c,c) con c = 21/40 podemos obtener x (posición de D´ ) tomando y = 1, xc = yc = c y r =  obteniendo la ecuación (x-c)2 + (1-c)2 = r2 de donde sale De las dos soluciones, la que buscamos es x = 0.289150. La solución matemáticamente exacta se puede obtener resolviendo la misma ecuación con c = cos 9 / ( cos 27 + cos 9 ) y r = 1 / ( 2 cos 9 cos 18 ). En un papel de 20 cm, el punto D´ se encuentra 0.35 mm a la derecha de la posición exacta (casi inapreciable a la vista, se suele tomar 0,2 mm como límite de la precisión visual). En el paso 9 obtenemos un ángulo D´CD, que tal como indica la figura es de 45 + , y podemos calcular a partir de la tangente, ya que el triángulo sombreado es rectángulo y por tanto . Antes hemos encontrado la relación , podemos expresar el ángulo  como , y por tanto el ángulo D´CD que buscamos se obtiene con r =  y c = 21/40 En los pasos 10-11 bisecamos el ángulo D´CD dos veces 11 En el paso 12 obtenemos dos ángulos prácticamente iguales El error, de 0.65º, es aproximadamente 1/10 del ángulo que separa los segundos de un reloj de los de antes. En un papel de 1 m2 la distancia entre los bordes del papel en el paso 12 sería de aproximadamente 6 mm. Para encontrar la posición del otro vértice del pentágono, vamos a los pasos 10, 11 donde bisecamos  dos veces El triángulo sombreado es rectángulo y uno de sus ángulos es  y las longitudes de los catetos adyacente y opuesto son c y c-y respectivamente. A partir de la definición de tangente podemos calcular y (El valor teóricamente exacto es, )     Apéndice II Definiendo la posición de los pliegues con los ángulos  y ß como en la figura podemos expresar a en función de  y ß y obtenemos las ecuaciones a=(1-c)Tan(2-π/4) y a =c-Tan(2ß-π/2)(1-c-c/Tan(3π/4- ß)) Imponiendo que el borde del papel coincida con la posición del pliegue  tenemos que =π-2ß. Suponiendo el punto c = cos 9 / ( cos 27 + cos 9 ) se obtendrían los ángulos exactos =π/10 y ß=π/5 ( =36° y ß=72°) . Con el valor aproximado de c=21/40, obtenemos la ecuación f(ß) f(ß)=0.525-Tan(2ß-π/2)(0.475-0.525/Tan(3π/4- ß))-(0.475)Tan(7π/4-4ß). Para que sea posible completar el paso 3 está claro que la solución f(ß)=0 tiene que encontrarse en valores de 0<<π/4, o sea 3π/8<ß<π/2 el ángulo ß tiene que estar entre 67° y 90°. Dibujando f(ß) podemos ver que tiene una raiz muy cercana a 72°. Resolviendo f(ß)=0 numéricamente se encuentra ß=72,07164° (1,257887 radianes). El ángulo obtenido =π-2ß es de 35,85672°. Ahora, como antes, buscamos x = c - (1-c)tan(2-45) = 0.285960. La solución matemáticamente exacta la hemos obtenido en el Apéndice I con x = 0.287398. Para encontrar y usamos el mismo procedimiento que en el Apéndice I podemos calcular y (El valor teóricamente exacto es, )

Sábado, 01 de Abril de 2006 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

34. 20. Fractales de papel

  ¿Cómo hacer esto? Tomar un rectángulo de papel 2x1 Doblarlo Dibujar el segmento AM y cortarlo Desplegarlo y marcar los dos valles Ah Doblar la montaña MP El papel plegado plano Repetir la misma secuencia sobre cada cuadrado gris: dibujar, cortar, desplegar, y doblar las montañas Obtendrás esto Después de repetir el proceso dos veces más Nota: en la práctica, es imposible dibujar correctamente y cortar después del tercer plegado plano. Luego desafortunadamente, hay que dibujar todas las líneas para cortar y cortarlas antes de realizar el plegado final. Temas relacionados. • Mirando este modelo desde arriba, se puede dar un valor a los pliegues: 0 para los pliegues en montaña y 1 para los valles. Se obtendrá lo siguiente:   Ahora, en casa, puedes comparar el resultado con el triángulo de Pascal.

Jueves, 01 de Febrero de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

35. 21. Recursos de Matemáticas y Papiroflexia

Libros a) Libros de matemáticas y papiroflexia T. Hull, Project Origami, AK Peters, 2006. Se proponen muchos proyectos de papiroflexia y matemáticas, orientados a usar en el aula. Los contenidos son de nivel de secundaria e incluso universitario. R. Lang, Origami Design Secrets, AK Peters, 2003. R. Lang describe sus métodos para la creación de figuras de papiroflexia, que incluye métodos matemáticos de diseño. T. Sundara Row, Geometric Exercises in Paper Folding, Dover, 1966. Curioso libro escrito en 1905 en el que se resuelven ejercicios de geometría plana elemental doblando papel. b) Libros de papiroflexia con algo de matemáticas K. Kasahara, T. Takahama, Origami para Expertos, EDAF, 1993,2000. K. Kasahara, Origami Omnibus, Japan Publications, 1988. c) Libros con modulares y poliedros B. Arnstein, R. Gurkewitz, L. Simon, Modular Origami Polyhedra, Dover 1999. B. Arnstein, R. Gurkewitz, 3D Geometric Origami: Modular Polyhedra, Dover, 1996. T. Fuse, Unit Origami: multidimensional transformations, Japan Publications, 1990. D. Mitchell, Mathematical Origami, Tarquin, 1997. M. Kawamura, Polyhedron Origami for beginners, Japan Publications, 2002. d) Libros de modelos de papiroflexia de todo tipo Grupo Riglos, El libro de las pajaritas de papel, Alianza, 1990. Grupo Riglos, El libro de las máscaras de papel plegado, Alianza, 1997. E. Clemente, Papiroflexia, Plaza & Janés, 1990. D. Brill, Brilliant Origami, Japan Publications, 1996. M. Lafosse, Advanced Origami, Tuttle Publishing, 2005. R. Díaz, Origami para intérpretes, N.Terry Ed., 2006. Recursos en Internet a) Páginas web de matemáticas y papiroflexia Origami Mathematics, Tom Hull. http://kahuna.merrimack.edu/~thull/origamimath.html DivulgaMAT. http://www.divulgamat.net/weborriak/Cultura/papiroflexia/index.asp Belén Garrido. http://geocities.com/micadesa/ Helena Verrill. http://www.math.lsu.edu/~verrill/origami Robert J. Lang. http://www.langorigami.com Origami & Math http://www.paperfolding.com/math/ b) Páginas web con instrucciones para modulares y poliedros Meenakshi Mukerji http://www.origamee.net Roberto Gretter. http://ditelo.itc.it/people/gretter/origami.html Silvana Mamino. http://digilander.libero.it/modulandia/modelli.htm Michael Kolsmulski. http://hektor.umcs.lublin.pl/~mikosmul/origami Página de Tokhi Yenn. http://www.britishorigami.info/academic/thok/origami.html c) Galerías de fotos de modelos de todo tipo Erika Knopper http://bgp.nu/~mak/origami/origami.html Satoshi Kamiya. http://www.folders.jp/ Hideo Komatsu. http://origami.gr.jp/~komatsu/index.html Hojyo Takashi. http://www11.ocn.ne.jp/~origami/index.htm Brian Chan. http://chosotec.darkclan.net/origami/ d) Páginas web de papiroflexia en general Asociación Española de Papiroflexia http://www.pajarita.org Joseph Wu. http://www.origami.vancouver.bc.ca/ Nicolas Terry. http://www.passionorigami.com British Origami Society. http://www.britishorigami.info e) Artículos de matemáticas y papiroflexia Antonio M. Oller Marcén, Origami constructions

Martes, 01 de Mayo de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

36. 22. Identidades matemáticas y papiroflexia

La papiroflexia se puede utilizar para demostrar identidades matemáticas. En este artículo vamos a demostrar geométricamente: b2 - a2 = (b - a)(b + a) Se necesitan dos piezas triangulares que se hacen como se indica en los siguientes diagramas:   Con estas dos piezas triangulares construimos un cuadrado de lado b haciendo contactar las hipotenusas. Ahora cada pieza triangular se transforma en trapezoidal hundiendo una esquina como se indica en la siguiente figura (las dimensiones de la esquina deben ser las mismas en los dos triángulos): Las dos piezas trapezoidales se pueden colocar de dos maneras, A y B. Como se puede observar la figura que se forma en A procede del cuadrado de lado b y, por lo tanto, de superficie b2 al que se le ha quitado un trozo cuadrado de superficie a2. En B se forma un rectángulo. Analizando los valores de los lados de las figuras A y B vemos: Las figuras A y B tienen la misma superficie ya que están hechas con las mismas piezas. Con esto se demuestra gráficamente que: b2 - a2 = (b - a)(b + a)

Domingo, 01 de Julio de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

37. 23. CONCURSO DEL VERANO 2007

Teselado de “El Cairo” (I) La tesela pentagonal del llamado “Teselado de el Cairo”, es uno de los distintos pentágonos no regulares que pavimenta el plano. Esta tesela es un pentágono no regular equilátero (todos sus lados son iguales). Dave Mitchell en (http://www.mizushobai.freeserve.co.uk/cairotile.htm) propone distintos métodos basados en la papiroflexia para construir teselas de “El Cairo”.  Un rápido análisis de estas teselas permite ver que, aunque recubren el plano, estas piezas pentagonales no tienen todos sus lados iguales. El reto que proponemos este verano es conseguir, mediante papiroflexia una tesela pentagonal equilátera que recubra el plano y conseguir así el teselado de El Cairo. Es un problema abierto: Os animamos a que indaguéis, dobléis, experimentéis.... Las soluciones se pueden enviar a papiroflexiamates@gmail.com. El autor de la solución más ingeniosa tendrá como premio un libro de papiroflexia y matemáticas. "El plazo para enviar soluciones finaliza el 21 de Septiembre. Todos los participantes asumen que DivulgaMAT puede publicar las soluciones, con independencia del fallo."

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38. 24. SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2007

¡¡¡Por fin tenemos a un ganador del concurso del verano!!! Martí Bayer es el que ha propuesto el método más “redondo”. Hay que reconocer que el tema de obtener una tesela de El Cairo mediante papiroflexia ha motivado este verano a algunos de nuestros lectores. Parte de los ratos libres del verano han sido dedicados a darle vueltas a la tesela y a idear posibles soluciones. Ya se ve que a Martí (que este año se está dedicando a recorrer el mundo), mientras hacía un curso de submarinismo en El Caribe de Honduras y veía a los caballitos de mar paseando sobre los arrecifes de coral, le vino la inspiración matemática e ideó su tesela ganadora. Te damos la enhorabuena. Por cierto, tenemos una curiosidad. ¿Alguien sabe si existen en realidad este tipo de teselas en pavimentos de El Cairo o han existido en alguna época? COMENTARIOS SOBRE LAS RESPUESTAS RECIBIDAS Los métodos para obtener una tesela de El Cairo equilátera con papiroflexia que se han presentado a concurso constituyen una colección de ideas variada y rica. Tal es así que hemos pensado que merecía la pena no sólo poder disfrutar de la ganadora, sino también de algunas de las demás, por la diversidad de enfoques que ofrecen y por la calidad de los mismos, de modo que os las podéis descargar al final de este artículo, junto con otras soluciones que no entraban a concurso, y que corresponden a los responsables de esta sección. A continuación trataremos de presentar algunas de las ideas geométricas que se utilizan en las distintas soluciones. La mayoría de las soluciones utiliza, de una manera u otra el notable hecho de que dos de los ángulos internos de la tesela equilátera de El Cairo sean rectos. Pero es necesario uno o varios ingredientes más que nos permitan determinar la posición del resto de elementos del pentágono. En una primera aproximación, el teselado de El Cairo nos permite construir, de manera natural, varias cuadrículas que nos revelan propiedades importantes (i.e., aplicables a la papiroflexia). ¡Quizá en ella encuentres inspiración para tu propio método! Por ejemplo, según esta cuadrícula, podemos dibujar en una tesela equilátera de El Cairo un cuadrado que se ubica como en la siguiente figura (esta idea se usa, en cierto modo, en [8]). Equivalentemente, podemos decir que la recta que une el punto medio de la base y un vértice contiguo a la misma forma 45 grados con ella, idea que usa el autor de la solución [7]. Otra idea, utilizada en las soluciones [3], [6], [9] y [10], es descomponer la tesela de El Cairo según la siguiente figura: Los triángulos de los extremos son isósceles y rectángulos, fácilmente realizables en papiroflexia. Otras soluciones se han apoyado en el cálculo de determinados ángulos relacionados con la tesela, como es el señalado con la letra δ en la siguiente figura: Con un poco de trigonometría llegamos a δ = arcsin [(√7 - 1) / 4], tal y como se utiliza en [1], con una exposición detallada de los cálculos realizados. En la solución [8] también se usa este ángulo, pero con una expresión distinta, más concretamente, se utiliza 2δ = arcsin (3/4). De hecho, la proporción 3:4 aparece de forma natural en un análisis de las proporciones entre los elementos de la tesela. En [5] la autora hace uso de esta proporción. En [4], sin embargo, se aprovecha el hecho de que la tesela equilátera de El Cairo de lado 1 tenga altura √7/2 , tal y como se recoge en el siguiente gráfico: Por último, en [2] se utiliza una descomposición en triángulos donde aparecen, de nuevo, los números √7 y √2 en relación con los enteros. Referencias: [1] Martí Bayer [2] Martí Bayer 2 [3] Paz Carbajo 1 [4] Paz Carbajo 2 [5] Paz Carbajo 3 [6] José Ángel Iranzo [7] Elerh Leiva [8] Belén Garrido [9] José Ignacio Royo 1 [10] José Ignacio Royo 2

Lunes, 01 de Octubre de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

39. 25. El nudo pentagonal

Una bonita tradición de los albergues japoneses consiste en preparar los pijamas de algodón para los huéspedes y dejar encima de estos una banda atada en forma de nudo pentagonal. Para hacer este nudo se necesita algo de práctica y maestría. Sin embargo, para hacer dicho nudo con papel no hace falta ningún tipo de cualidad extraordinaria, basta tomar una tira de papel (de longitud al menos 6 veces el ancho) y hacer un nudo con ella como si fuera una cuerda. Después, tirando de los extremos poco a poco, sin dejar holguras en los vértices ni aplastar el papel, va formándose un pentágono regular, como probaremos más adelante. Como es conocido, el pentágono y el famoso número áureo Φ están muy relacionados. Recordemos que Φ = (√5+1)/2 ≈ 1'61803398. En el nudo pentagonal se puede ver esta relación en varios puntos. A/B= Φ YZ/XY= Φ YW/WZ= Φ De hecho, si queremos hacer un nudo en el que no sobre papel, podemos hacerlo partiendo del siguiente rectángulo: Ahora nos quedamos con el rectángulo de abajo, que cumple la siguiente propiedad: a/b = Φ ≈ 1'62 Este rectángulo es el que usaremos para hacer el pentágono que veremos más adelante. Pero si no queremos hacer tantos pliegues, o simplemente no queremos tener cicatrices en el papel, podemos usar una buena aproximación al  rectángulo anterior. Basta tomar un folio y partirlo por la mitad: En este caso, a'/b' = 2/3·√6 ≈ 1'63 Y ahora, a plegar. Pero... ¿por qué un pentágono regular? Veámoslo: Para entender por qué el pentágono es regular debemos pensar primero en qué pasa al doblar una tira de papel. Sucede lo mismo que cuando una bola de billar golpea el borde de la mesa.   En ambos casos el ángulo de incidencia y de reflexión es el mismo. Por tanto, para el siguiente dibujo, podemos decir que α = β Observamos también que, por ser los lados de la tira paralelos, γ = δ. Restando ambas igualdades tenemos α - γ = β - δ, o lo que es lo mismo: el triangulo ABC es isósceles. Y, por tanto, AC=BC. Pensemos ahora en nuestro nudo pentagonal.Teniendo en cuenta lo que acabamos de ver tenemos que: (1) ∠EAB = ∠ABC = ∠BCD      ∠CDE = ∠DEA (2) BD = BE      BE = CE Si nos fijamos en los cuadriláteros ABZE, ABCY y BCDX se observa que los tres son paralelogramos al estar determinados por la superposición de dos tramos de tira de papel. Todo paralelogramo tiene sus lados opuestos iguales y, en este caso, al ser ambas tiras de papel de la misma anchura h, los lados contiguos también son iguales, ya que si S es el área de ABZE  se tiene que: S = h . EZ              y              S = h . AE Es decir EZ = AE. Análogamente para los otros paralelogramos obtenemos que todos ellos son rombos.  Como además comparten entre ellos alguno de sus lados, observamos que EA = AB = BC = CD   (3) Si consideramos los trapecios ABDE y ABCE podemos ver que son iguales: AB = BC por (3) EA = AB por (3) BD = CE por (2) ∠EAB = ∠ABC por (1) Y por tanto ambos trapecios son iguales, luego: AE = ED y ∠DEA = ∠EAB. Sumando este resultado a los resultados (1) y (3) llegamos a que el pentágono tiene los cinco lados y los cinco ángulos iguales. Es decir, el pentágono es regular. Ahora que ya sabemos hacer el pentágono, vamos a jugar. Podemos seguir entrelazando las tiras que salen del pentágono con el propio pentágono, de forma que cada vez salgan por uno de los lados. No es difícil conseguir las cinco posibilidades: De hecho, un solo nudo se puede hacer de dos formas distintas. El resultado son dos nudos simétricos (figuras a y b). Esto es importante a la hora de combinarlos, ya que si juntamos dos nudos de distinto tipo estos se unirán perfectamente lado con lado (figura c). Pero si juntamos nudos del mismo tipo (figura d), entre pentágono y pentágono habrá un hueco con forma de triángulo isósceles, y cuyo ángulo desigual es de 36º (este triángulo que separa los dos pentágonos es el llamado triángulo sublime). Usando las diferentes técnicas de hacer nudos pentagonales y combinándolas podemos hacer figuras geométricas muy diversas. Desde  estrellas, pentágonos y bandas hasta figuras en tres dimensiones e incluso flores. La figura  j) es además el logotipo de la web www.cut-the-knot.com (web muy recomendable sobre matemáticas). Pero no sólo eso, sino que además, si se pegan los extremos sobrantes, la cinta se convierte en una banda con una sola cara (lo mismo que pasa con las bandas de Möbius). Seguiremos hablando de los nudos y de lo que se puede hacer en papiroflexia con ellos en un próximo artículo. Pero hasta entonces podéis pensar en qué hay más allá de los nudos pentagonales. ¿Habrá nudos hexagonales? ¿Habrá nudos heptagonales?... ¿Habrá nudos con forma de cualquier polígono de N lados? Coged una tira de papel y a doblar. Fuentes consultadas: Origami Omnibus (Kunihiko Kasahara) Origami, Science & Art (Heinz Strobl) Matemáticas y papiroflexia (Jesús de la Peña Hernández) http://home.tiscali.nl/gerard.paula/origami/knotologiesphere94.html http://perso.wanadoo.es/candidodgc/ http://cut-the-knot.com/proof http://www.akpeters.com/projectorigami/Worksheets-ProjectOrigami.pdf

Sábado, 01 de Diciembre de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

40. 26. El número π y la flexibilidad del papel

Parece razonable hablar de flexibilidad cuando nos referimos a la papiroflexia. En la práctica, toda la actividad papirofléctica se ha venido desarrollando como acción de plegado del papel. Es obvio que para plegar hay que hacer que el papel flexe antes, pero ello no evita la sospecha de que estemos empleando mal el lenguaje: si lo esencial de la papiroflexia es que plegamos, llamémosla con el neologismo papiroplegia (así, con g de plegar; con j -papiroplejia- parecería un vocablo médico). La papiroflexia pura es la que empleamos, p.e, en las cintas de Moebius [ver www.caprichos-ingenieros.com; QUÉ; PAPIROFLEXIA; Mathematics and Origami (.pdf en inglés); buscar Möbius´bands)], y es la que de manera muy elemental vamos a usar a continuación para introducirnos en el número π. Se trata de enrollar papel sobre un cilindro pre-existente a fin de conseguir una especie de canuto de papel multicapa con forma cilíndrica consistente. Luego se estudian sus distintas secciones circulares. Ha de buscarse un cilindro pre-existente que tenga garantía geométrica (metálico mecanizado, de plástico duro moldeado, etc). Evitar los canutos de rollo de papel higiénico o similares). La idea es poder relacionar la longitud de un papel desarrollado, con el diámetro a que da lugar cuando el papel está enrollado en círculos. En definitiva, esa relación es la que conduce al valor de π. Es lo que vamos a hacer experimentalmente. Es ésta la mejor manera de conseguir cilindros de papel bastante precisos. Pretenderlo con una sola capa cerrando la superficie cilíndrica con una pestaña no conduce sino a una superficie cilíndrica espontáneamente deformada por causa de la discontinuidad de la flexibilidad del papel en las proximidades de la  pestaña. La Fig. 1 muestra lo que se acaba de decir. El papel enrollado es un DIN A4 que determina una generatriz de 210 mm y una longitud enrollada IE = 297 mm. Lo primero que necesitamos es saber el espesor a del papel. Para ello se tomaron 181 hojas con un espesor total de 20 mm. Su peso de 900 gramos aseguraba un buen recalcado del paquete. Así pues, era a = 20/181 = 0,11 mm El proceso a seguir fue éste: Ejercitar el DIN A4 enrollándolo libremente sobre sí mismo antes de acoplarlo al cilindro de partida para evitar arrugas. Pegar con celo el borde del papel I al cilindro de partida, en coincidencia con una generatriz de éste. Asegurar que todas las vueltas del papel están bien asentadas unas sobre otras para que no haya holgura entre ellas. Fijar con celo la última capa a lo largo de E. Medir con la mayor precisión posible el diámetro exterior d del canuto de papel obtenido. Sabedores de la limitación por la resolución de la regla de medir (1 mm o, como mucho, 0,5 mm), y por la imperfección cilíndrica que, a pesar de todo, tendremos, deben tomarse varias medidas y hallar la media. Lo mejor sería disponer de un calibre, naturalmente con nonius, pero esto no es lo habitual. La Fig. 2 muestra el recurso de medición empleado que es típico en metrología industrial. Se inmovilizará el canuto con celo sobre la mesa; también un diedro de cartulina que se situará lo más lejos posible del canuto; el otro diedro se asentará libre sobre la generatriz superior del cilindro dejando que su arista vaya a apoyarse completamente y a todo lo largo, sobre la cara del otro diedro y lo más próxima posible a su arista. Ambos diedros han de haberse recortado perfectamente a escuadra. Así obtenemos el plano horizontal que contiene a la generatriz superior del cilindro. Luego se mide la distancia entre ese plano y el de la mesa (que contiene a la generatriz inferior del cilindro). Esa distancia es precisamente el diámetro del cilindro. Medir el resto EE´: un pequeño trozo de papel asentado sobre él y rectificado luego, da su medida. Tener en cuenta que la longitud EI – EE´ se traduce en n circunferencias completas (4 en nuestro caso) de las que la exterior tiene por diámetro d y los diámetros de las sucesivas son d – 2a, d – 4a, etc. Así pues, se podrá escribir: En el sustraendo del denominador tenemos la suma de los términos de una progresión aritmética que vale: an(n-1) / 2 De forma que: En nuestro caso concreto se ha contado con los siguientes datos: EI = 297; EE´= 13,5; n = 4; d = 23; a = 0,11 resultando:      (1) Comparando el resultado hallado con el que da para π una pequeña calculadora de bolsillo (* 3,1415927) podríamos llegar a una gran frustración; sin embargo, no hay motivo de desánimo. Donde seguramente se da el mayor error es en la medida del diámetro d: si en vez de dar por buena una cantidad tan redonda como 23 mm hubiéramos dado 22,643, hubiésemos obtenido para π el valor *. Pero hay otras varias fuentes de error: La imperfección del cilindro de partida; el hecho de tomar por circunferencias segmentos de espiral; el grueso del papel que impide el cierre perfecto de las circunferencias; la limitación que entraña la cantidad de vueltas, etc. Así pues, sólo se pretende ofrecer el orden de magnitud de π. Obtenerlo con mucha exactitud experimentalmente es muy difícil. En este sentido no podemos dejar de reconocer el error que hemos cometido en la expresión (1) que, en definitiva, puede tomar la forma π ≈ 28350/9068  (2) Esta forma es la de un número racional (lo que no es π), que puede adoptar tres configuraciones: número entero (si la división es exacta, lo que no se da en el presente caso) y fracción periódica pura o mixta. Seguro que una de estas dos últimas es la representada por (2). El hombre lleva 4.000 años persiguiendo a π. Los discípulos de Euclides ya sabían que su  valor debía estar comprendido entre 3 y 4, ya que la relación de perímetro a diámetro en un hexágono inscrito es 3, y en un cuadrado circunscrito es 4. Fue Arquímedes quien lo descubrió. Con los ordenadores más potentes en la actualidad se ha llegado a obtener π con 100.000 cifras significativas. Es cuestión de tiempo y memoria aplicados a desarrollos en serie como el del Arcsen(x) (a su vez obtenido por inversión de la serie del seno), a pesar de su lenta convergencia. O del Arctan(x). En todo caso, el desarrollo en serie lo podemos entender como una forma de añadir cifras significativas a un número irracional mediante la adición de sumandos racionales, cosa que parece un tanto contradictoria, pero en línea con nuestro experimento. Para terminar, y acorde con la horquilla arquimediana de 3 < π < 4, observemos la circunferencia como límite inferior del perímetro de un polígono de n lados circunscrito a ella y como límite superior de otro polígono también de n lados, pero esta vez inscrito en ella, cuando n tiende a infinito.  En la Fig. 3 se ve el lado AB del polígono de n lados inscrito en la circunferencia de radio r = OA = OB y el CD del circunscrito, ambos para el ángulo en el centro 2α, siendo α = 360/2n . Así tendremos: AB = 2r sen(α) ; CD = 2r tg(α) Siendo 2πr la longitud de la circunferencia, será: Veamos los valores de esta desigualdad para distintos polígonos. n = 10 3,0901699 < π < 3,2491970 n = 50 3,1395260 < π < 3,1457334 n = 100 3,1410759 < π < 3,1426266 n = 1.000 3,1415875 < π < 3,1416030 n = 10.000 3,1415926 < π < 3,1415928 n = 50.000 3,1415927 < π < 3,1415927 (para n = 50.000 se produce la saturación de la pantalla de la calculadora) El proceso seguido es el conocido como método de exhausción, de Arquímedes de Siracusa. Mediante él, al avanzar el cálculo, aumenta el grado de precisión de los resultados. Arquímedes usó polígonos de hasta 96 lados, obteniendo la acotación  3 + 10/71 < π < 3 + 1/7, que expresado con decimales es, 3,1408 < π < 3,1428. A la vista de todo lo anterior, ya no parece tan descorazonador el resultado obtenido para π con el experimento del canuto papirofléxico. Para más detalles se pueden consultar los siguientes enlaces: - http://centros5.pntic.mec.es/ies.de.bullas/dp/matema/conocer/arquimedes.htm - http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80 - Jesús de la Peña Hernández www.caprichos-ingenieros.com

Viernes, 01 de Febrero de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico