1. 44. CONCURSO DE VERANO 2020

Arthur Stone propuso esta disección del cuadrado en 1940. Un cuadrado se puede diseccionar en siete piezas triángulos rectángulos isósceles de distinto tamaño cumpliéndose que: cateto de G=1; cateto de E=2 y cateto de C=4. (http://www.squaring.net/tritri/twt.html) Existen varias maneras de obtener piezas triángulos rectángulos isósceles doblando un papel cuadrado o doblando un papel rectangular. Dos ejemplos se pueden ver en estos diagramas: RETO: Conseguir las 7 piezas de esta disección doblando los correspondientes papeles cuadrados o rectangulares sin utilizar regla para calcular el tamaño de los papeles utilizados. Para obtener las piezas triangulares se puede usar alguno de los dos métodos propuestos u otro. Podéis enviarnos vuestras soluciones (diagramas y foto del modelo terminado) a la dirección papiroflexiamates@gmail.com hasta el 31 de agosto. Los participantes aceptan que DivulgaMAT pueda publicar las soluciones, independientemente del fallo del concurso. El premio del concurso consiste en un libro de divulgación relacionado con las matemáticas. ¡Feliz verano!

Miércoles, 01 de Julio de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

2. 43. SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2012

ENUNCIADO Es posible diseccionar un hexágono regular y con las piezas formar un rectángulo áureo (Capo Dolz, M. 2011) El reto de este verano es conseguir marcar las líneas de disección del hexágono mediante papiroflexia.   La solución ganadora este año ha sido la de Paz Carbajo, ¡Felicidades, Paz! Os la podéis descargar abajo. La presentación es fabulosa y las explicaciones detalladas. Queremos hacer unas aclaraciones que pueden ayudar a comprender la naturaleza del problema planteado. En primer lugar, no todo es lo que parece, y la vista puede hacernos pensar que en la partición del hexágono del dibujo se utiliza el punto medio del hexágono. Si así se hiciera, el rectángulo que se formaría no sería áureo. Algunas soluciones que hemos recibido han señalado este hecho, y proporcionado una manera de construir esa partición con papiroflexia. Como todas esas construcciones nos parecían interesantes aunque el rectángulo no fuera áureo, hemos optado por publicarlas. Pero si no nos dejamos traicionar por los sentidos y nos fiamos de que el rectángulo resultante es áureo (como hace Paz en su solución), se puede encontrar la partición deseada. La siguiente construcción puede ayudar a comprender el problema: partimos de un hexágono regular y fijamos, sobre la diagonal que se muestra, el punto P (que está, como vemos, determinado) y el punto O (que es un punto arbitrario, cercano al centro). A partir de estos dos puntos, quedan determinadas las líneas rojas de la construcción, y el ángulo que hemos llamado A. En la última ilustración se traza una nueva línea, de color verde, perpendicular a la línea roja, obteniendo una partición del hexágono similar a la de la figura del enunciado. Lo hermoso del asunto es que, independientemente del punto O escogido, las piezas que obtenemos van a poder reordenarse para configurar un rectángulo, como en el dibujo del enunciado. No es un hecho evidente a simple vista, pero se puede comprobar fácilmente, dado que los ángulos son compatibles (los hemos detallado en la última figura) y las longitudes, también. El caso es que el rectángulo obtenido no tiene por qué ser áureo. De hecho, como hemos comentado, si O es el punto medio del hexágono, el rectángulo no será áureo. En la solución de Paz se calcula cuál tiene que ser ese punto para que el rectángulo resultante sea áureo. Más aún: se proporciona un método de plegado para obtener esas marcas. Una vez más, muchas gracias a todos los que habéis participado, por enviarnos vuestras soluciones. Solución ganadora: Paz Carbajo Gibaja carbajo.pdf Soluciones con rectángulo no áureo: Jesús de la Peña Hernández delapena.pdf María Jesús Arcos arcos.pdf Francesc Forcada Galvany forcada.pdf Luis Matías matias.pdf

Viernes, 07 de Septiembre de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

3. 42. CONCURSO DEL VERANO 2012

Es posible diseccionar un hexágono regular y con las piezas formar un rectángulo áureo (Capo Dolz, M. 2011) El reto de este verano es conseguir marcar las líneas de disección del hexágono mediante papiroflexia. Podéis enviarnos vuestras soluciones (diagramas y foto del modelo terminado) a la dirección  papiroflexiamates@gmail.com hasta el 31 de agosto. Los participantes aceptan que DivulgaMAT pueda publicar las soluciones, independientemente del fallo del concurso. El premio del concurso consiste en un libro de divulgación relacionado con las matemáticas. ¡Feliz verano! Referencias bibliográficas: Miquel Capo Dolz. “Puzzles y matemáticas”. Editorial C.C.S. Madrid. 2011

Lunes, 09 de Julio de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

4. 41. Esfera, guasa y geometría (Un poco de todo: Arte, papiroflexia, humor y geometría)

Por fin he dado cima a la ilusión de mi vida: fabricar una esfera de papel. No me gustaban esas hechas de cuñas esféricas como las que inspiran los meridianos de los globos terráqueos. Mi esfera tiene infinitos puntos, pero ese infinito es de orden inferior porque sus puntos resultan agrupados en conjuntos planarios (circunferencias). Es de cartulina reforzada, por exigencias del guión. En fin, dejemos aparte las cuestiones personales y vayamos al grano. Como todo el mundo sabe, las cosas existen desde el Big Bang: las cosas y los animales; la esfera y el hombre, por poner un ejemplo. Naturalmente, ni la esfera ni el hombre estaban allí como se nos presentan hoy. De ello se dio cuenta enseguida Darwin que se apresuró a decir que tanto la esfera como el hombre habían llegado a su estado actual a fuerza de evolución. Tomemos el caso del hombre. Nadie sabe cómo era éste en el instante primigenio, pero parece cierto, según los hallazgos paleontológicos, que su primitivo asentamiento estuvo en el centro de África y no en el Paraíso Terrenal de la Mesopotamia como se nos ha contado para nuestro entretenimiento, a niños y mayores que se hacen como niños. La manzana, como recordamos todos los que estudiamos Historia Sagrada, es la protagonista del Paraíso Terrenal. He visto en Divulgamat una manzana preciosa, debidamente coloreada, que era mezcla de toro y esfera. Las manzanas han sido siempre muy dadas al protagonismo. No hay más que recordar la manzana de la discordia  desencadenando la guerra de Troya (Paris y Helena), aquélla cuya caída inspiró a Newton la Ley de la Gravitación Universal o las famosas de Annie Manzanas (Bette Davis en Un gánster para un milagro) que sirvieron para que Dandy, el gánster neoyorquino (Glenn Ford), redimiera a la mendiga de su estado de ciudadana del hampa. Redención y manzana, también en el Paraíso Terrenal. Luego llegó Milton que adornó el paraíso con luchas de ángeles y otros efectos especiales y así, evolucionando sin parar, la especie humana ha alcanzado ese grado de perfección que culmina en el recibo de la luz, difícilmente superable. Con la esfera ha ocurrido algo parecido. No sé cómo Plutarco no incluyó en su colección de vidas paralelas la del hombre y la esfera. A lo mejor lo hizo, pero como los antiguos eran tan descuidados y lo perdían todo, quien sabe qué ha podido suceder. Sin entrar en muchos detalles, ya hemos dado un vistazo a la evolución del hombre, pero no se pierdan la de la esfera. La esfera del Big Bang no era como la que conocemos: tenía forma de tetraedro. Pronto se dio cuenta de ello Platón que, con su concepto de la idea y un poco de cut and try, engendró otros cuatro poliedros regulares mediante evolución. Platón fue el pionero de la esfera a la que se aproximó tanto como permite un icosaedro. Sabía muy bien lo que había escrito Jorge Manrique: … que la esfera no es esfera si no rueda Como todos los seres tienen nombre, la esfera y el hombre, también. Quiero decir nombre científico además de nombre vulgar. Los nombres son variados según las circunstancias y las épocas. Así, antes, había homo erectus, pero de esos ya no quedan porque los hombres se inclinaron a inclinarse tanto ante el poder que, como decía un hampón de la película de Frank Capra antes referida, se les había hecho callo en el ombligo; eso era de tantas reverencias como tenían que hacer en el entrenamiento a que el Dandy los sometía para ensayar que eran personas respetables. Así pues, el hombre se ha quedado en homo sapiens, que no sé a quien se le ha ocurrido semejante nombre, vistas las cosas que hace. Y menos  mal, porque antes el hombre era poco inferior a los ángeles (Salmo 8). El Padre Feijoo explicaba esto en una de sus Paradojas Matemáticas afirmando que el hombre y el ángel eran asintóticos. Fig. 1 Volviendo a la esfera, la cosa no queda en Platón, porque después vino Arquímedes que se dedicó a truncar todo lo que había hecho su antecesor y, truncando, truncando, consiguió el icosaedro truncado que es el antecedente directo del balón de fútbol (Fig. 1): de cada una de sus pirámides pentagonales cortó un pentágono y, de paso, cada triángulo equilátero quedó rebanado como hexágono. Arquímedes murió sin saberlo, pero había descubierto la Liga de Campeones. Su esfera no tenía infinitos puntos, sino solamente los 60 de sus vértices, suficientes, sin embargo, incluso para meter goles de cabeza sin riesgo de herirse con las puntas del balón. Espero que dentro de nada en todos los estadios de fútbol se erija un monumento al del ¡Eureka! Como muy bien matizan los ingleses, el fútbol es un deporte en que unos bestias juegan a lo señorito, mientras que el rugby es un juego de señoritos que juegan a lo bestia. Así pues, el balón de Arquímedes hubo de ser mejorado por el homo sapiens mediante el inflado que era desconocido en la Magna Grecia. (Ver http://www.caprichos-ingenieros.com/papirabstracta3.html). El perspicaz lector ya se ha dado cuenta de que se me ha olvidado citar los nombres vulgares que se asignan a hombres y esferas; helos aquí en versión sumaria: menda, tío, para el homo sapiens; bola, pelota, para la esfera. Aunque sabido es que, algunos plumillas, tanto de la palabra escrita como de la que se lleva el viento, dicen esférico. Pero eso es sólo para darse importancia delante de sus colegas. Fig. 2 Se me olvidaba también lo del fullereno (Fig. 2). Como en Siracusa no existía ni Sociedad General de Autores ni Registro de la Propiedad, Arquímedes no pudo patentar su invento aunque, vaya usted a saber si Platón le hubiera dejado … El caso es que el homo sapiens que siempre se olvida de la antigüedad, patentó en 1985 el fullereno a nombre de Fuller, el arquitecto Buckminster Fuller que empleó la estructura del icosaedro truncado en la construcción de sus cúpulas geodésicas. El fullereno es una forma alotrópica estable del  carbono, que se añade a las ya conocidas del diamante y el grafito (C60 -un átomo de C en cada vértice; recordar que hay en juego 60 vértices-). Podría afirmarse, en rigor, que el fullereno es también una forma alotrópica del balón de futbol porque está hecho de exágonos y pentágonos rellenando una superficie esférica. Fig. 3 Hablemos ya de mis esferas, que tienen cosas muy particulares. En primer lugar debo aclarar que lo que a mí me interesaba era teselar una esfera con círculos y con sus consecuencias pero, infeliz de mí, la cosa no es tan fácil como pensaba. Pretendía que los círculos fueran todos idénticos al igual que sus interespacios, pero al avanzar el montaje ví que para estos se imponía una mezcla de triángulos, cuadriláteros y hasta pentágonos esféricos, y aún así quedaba algún que otro hueco anómalo. Lo que conseguí al final fue lo que llamo un teselado aleatorio (Fig. 3). Curiosamente, hacía poco que había necesitado hurgar en los teselados planos (para los teselados curvo-espaciales está Gaudí) y recordaba uno en que se combinaban arcos de círculo de radios en proporción áurea que ofrecía un vistoso resultado. Sin dudarlo, acudí a la ayuda de don Fibonacci y, milagrosamente, comprobé que los pequeños círculos áureos encajaban divinamente en los huecos raros, y aparecían bien acomodados entre sus hermanos mayores. Vengo hablando de círculos sobre una esfera sin explicar la relación entre ambas cosas. La relación es, simplemente, un cono: la generatriz de éste es el radio de la esfera, su vértice, el centro, y la circunferencia de su base queda asentada en la superficie esférica a modo de tesela. Los numerosos conos tangentes entre sí confluyen en el centro de la esfera de forma muy natural y dándole una gran consistencia. Se trata, pues, de una esfera conoidea y, además, virtual. O sea, una gavilla de cuádricas degeneradas hermanadas para formar una cuádrica perfectamente virtuosa. No hay que decir que la esfera rueda muy bien, y es notable apreciar cómo su centro se ve des-plazándose a la altura constante de su radio, mientras la bola gira. Ésta es la primera vez que he visto el centro de una esfera. Para confirmar el fenómeno he consultado a todas las videntes que conozco, por si ellas, que ven más que nadie, habían visto alguna vez el centro de sus bolas de cristal. Ninguna tiene experiencia de haberlo visto jamás. Quién sabe si lo verán en el futuro, pues el futuro es su especialidad. Fue esta construcción la que me condujo a esferificar los cinco sólidos platónicos. Yo los había visto antes inscritos o circunscritos a esferas y, excepcionalmente, he encontrado un pentagonododecaedro alámbrico (que sólo tiene aristas) envolviendo una esfera-globo, es decir con sus aristas tangentes a la esfera. Yo he hecho algo parecido, pero distinto, con los cinco poliedros platónicos: he conseguido las circunferencias inscritas en sus caras para que de por sí constituyan la esfera virtual; y ello por medio de conos como expliqué más arriba. Mis esferas tienen un tamaño intermedio entre las inscritas y las circunscritas a los poliedros regulares (Fig. 4). Fig. 4 Voy a mostrar ahora, brevemente y a título de ejemplo, el andamiaje que me ha permitido edificar la esfera icosaédrica. Sea l el lado del triángulo de un icosaedro. En las págs. 193 / 194 de mi libro Matemáticas y Papiroflexia (Extraordinario 2000.pdf o http://www.caprichos-ingenieros.com/papiromat.html -ver enlace al final de la página-) se ha calculado que el radio R del icosaedro es R = 0,9510565 x l. R es algo mayor que la generatriz g del cono. Ya lo dije antes: g es el radio de mi esfera y R es el de la esfera circunscrita al poliedro. En la pág. 193 se calcula el ángulo entre dos caras adyacentes del poliedro, que me permite dibujar en Autocad la fig. 3 de la pág. 193. Añadiendo a esa figura la posición del centro del poliedro ya determinada, puedo medir directamente la distancia del centro del poliedro al punto medio de un lado que resulta ser la generatriz del cono g = 0,809017 x l. Esto mismo se puede calcular siguiendo el texto y las figuras de las páginas referidas pero, al ser engorroso, yo he optado por la medida directa en Autocad que se obtiene con rapidez, precisión y seguridad. Fig. 5 El radio r del círculo base del cono es el de una circunferencia inscrita en un triángulo icosaédrico (Fig. 5). Que vale 1/3 de la altura de éste. Será: r = (1/3) √(l2 – (l2 / 4)) = (√3 / 6) x l El ángulo completo α del cono valdrá: α = 2 arc sen (√3 / (6 x 0,809017)) = 41,81º En las páginas 234 / 235 del mismo libro se indica cómo construir un cono a partir de su desarrollo obtenido mediante el radio de su base y la generatriz. Recordando lo de la evolución, ya se ve que las esferas basadas en el tetraedro y el hexaedro (Figs. 6 y 7) son de rodadura prácticamente imposible; la del octaedro empieza a resultar precaria (Fig. 8 destacando sólo una mitad); la del dodecaedro (Fig. 9 mostrando un solo pentágono), medianamente aceptable, y la del icosaedro (ver Fig. 5), buena. Las otras dos esferas que he construido (de teselado aleatorio y teselado fractálico) al estar hechas de muchos más conos, resultan de excelente rodadura. Fig. 6 Fig. 7 Fig. 8 Fig. 9 Me faltaba reseñar otra particularidad platónica. Los interespacios entre circunferencias resultan de la siguiente manera en forma de polígonos regulares esféricos: triángulos en el caso del tetraedro, hexaedro y dodecaedro; cuadrados en el octaedro y pentágonos en el icosaedro. Fig. 10 Hasta aquí, lo platónico y el teselado aleatorio (Fig. 3). Pero yo no quería rendirme y seguí buscando otras formas de teselación. Así es como di con la que represento en la Fig. 10, que me recuerda la esfera de Riemann. En esa figura represento una esfera teselada con círculos que de-crecen en diámetro a medida que se alejan del ecuador; naturalmente, en los polos se encuentran los más pequeños. La esfera de Riemann es una trasposición del plano complejo, al del espacio. En el ecuador, y en cuadratura, aparecen las unidades positiva y negativa, tanto real como imaginaria. En el polo norte está el infinito, y en el sur el cero. Lo que yo he pretendido en mi esfera es un teselado fractálico, de esos cuyas teselas tienden a cero cuando se acercan al infinito, el infinito horizonte al que nunca se llega. En mi caso el cero y el infinito son una misma cosa. Quiero decir que en mi construcción, en el límite, ambos polos estarían poblados de una cantidad infinita de círculos de radio cero. Claro que, para ello, los círculos del ecuador también se habrían hecho más pequeños, aunque siempre mayores que cero. Cabría preguntar qué tienen que ver mis esferas conoideas con las del tipo fullereno. La Fig. 11 es un icosaedro en el que se muestran: un pentágono (rojo) rodeado de hexágonos (azules), como en el fullereno; una circunferencia (verde) inscrita en una de las caras triangulares del poliedro, y que son las bases de los conos de mi esfera; las circunferencias concéntricas con los pentágonos (amarillas),  todas tangentes entre sí y que, cuando el balón se infle, quedarán asentadas en su superficie esférica. Fig. 11 EL SUBPRODUCTO Fig. 12 Lo que viene ahora no es en realidad un subproducto, sino todo lo contrario: es un preproducto. Lo que yo quería hacer desde el principio era un montaje de conos como el de la Fig. 12, pero mientras trabajaba en él se me apareció la relación intercónica que me arrastró a la esfera y, ya en ésta, a la posibilidad de esferificar  los poliedros platónicos. Terminado todo ello ya me pude dedicar con tranquilidad a la construcción de lo que ahora llamo inmerecidamente el subpro-ducto. Al construirlo me beneficié de la experiencia que acumulé fabricando conos y que me resultó de gran utilidad. Fig. 13 Empecé por dibujar en Autocad la Fig. 13 en la que se exigían ciertas condiciones: el tamaño, proporciones y cantidad de conos, además de la condición fundamental de que cada vértice debía apoyarse en un punto de la generatriz del precedente de manera que el cono entrante quedara impedido de resbalar hacia fuera. Y, por supuesto, había que conseguir que el conjunto completo de los conos se cerrara en círculo, con precisión de simetría. Así conseguí la Fig. 12, pero luego no sabía qué hacer con ella por tratarse de un conjunto frágil. Lo primero que hice fue reforzar las uniones entreconos para diseñar a continuación un asentamiento adecuado. El de la Fig. 14, que me proporcionaba estas ventajas: era un conjunto sencillo y vistoso que se logra con relativa facilidad plegando sucesivamente en monte y valle curvados; entre las dos figuras del conjunto había el necesario contraste de color y, sobre todo, se daba la facilidad de producir el ajuste fino en el desarrollo del cono negro al girar éste el ángulo preciso que requiere el encunado de una figura en la otra. Fig.14 Fig. 15 El conjunto final resultó ser el de la Fig. 15 que, para esos que siempre preguntan, ¿y eso qué es? hay varias respuestas: una tarta cónica, una noria, una turbina Pelton, o una anguila de mazapán de Toledo. Usted elija; que el cliente siempre tiene razón. Pero mi amigo José Ignacio Royo Prieto, que es mucho más serio que yo, me dice que él está investigando en el Departamento de Matemática aplicada en la Universidad del País Vasco, sobre la foliación de Reeb, que es algo muy semejante a esta pintoresca cosa mía. Vean cómo la Fig. 16 le da la razón. Yo le deseo a José Ignacio todo el éxito que se merece: Los fabricantes de turbinas Pelton se lo agradecerán. Fig. 16 Esfera, guasa y geometría (Un poco de todo: Arte, papiroflexia, humor y geometría)

Miércoles, 01 de Febrero de 2012 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

5. 40. Puzzle Locura instantánea (Instant Insanity) de papiroflexia

Locura instantánea (Instant Insanity) es un juego clásico que durante más de cien años ha ido apareciendo en distintas versiones formando un grupo de puzzles llamado Instant Insanity Family. Algunos juegos de esta familia: Katzenjamme (el primero de ellos en 1900), Fourace, Great Tantalize, Instant Insanity, Crazy Cube, Devil's Dice, Locura instantánea, Cubos diabólicos, Cubos locos entre muchos otros. En el 2005, el Grupo Alquerque en la sección de juegos matemáticos de DivulgaMAT publicó un artículo titulado “El puzzle de los cubos de colores” sobre uno de estos puzzles. El juego consta de cuatro cubos en cuyas caras aparecen cuatro colores. Cada cubo tiene con un determinado patrón de colores en sus caras. El reto es apilarlos uno encima de otro formando una columna de manera que en los cuatro lados de la columna aparezcan los cuatro colores. En el presente artículo se propone la construcción de uno de estos puzzles utilizando una técnica de papiroflexia modular basada en el  “Business Card Origami” que consiste en la creación de figuras usando tarjetas de visita o naipes. Esta técnica se utiliza desde hace más de un siglo para hacer cubos de papel. Por ejemplo en el libro “Recreaciones científicas” de Gaston Tissandier (1887) aparece el cubo hecho con naipes que reproducimos a continuación. En la siguiente imagen, conseguida a través de Juan Gimeno, creador español de múltiples figuras de papiroflexia e investigador de la historia de la papiroflexia, se muestra el fragmento de un cuadro antiguo del que no conocemos ni el nombre ni el autor donde aparecen dos niños construyendo una estructura con esta técnica. Para construir nuestro puzzle, en primer lugar se muestra cómo crear un cubo con doce rectángulos de cartulina (por ejemplo de tamaño 5x9 cm). En los diagramas se van a usar distintos colores para facilitar la explicación. Como se puede observar, la construcción de los módulos es muy sencilla. Es importante doblarlos con exactitud. Una vez que se tienen los 12 módulos se ensamblan. La estructura cúbica formada con los seis primeros módulos va a ser el armazón del cubo sobre el que se van a ensamblar los seis módulos restantes. Una vez aprendido cómo hacer un cubo ya se está en disposición de acometer la construcción de uno de los puzzles de la familia Instant Insanity. Lo primero, es hacer cuatro estructuras cúbicas con seis módulos cada una todos del mismo color (por ejemplo negro); así se tienen cuatro armazones iguales. Sobre cada uno de estos armazones se ensamblan seis módulos de colores siguiendo el patrón que se indica a continuación; hay que tener en cuenta que la cara marcada con el asterisco debe ser la superior cuando se construya el cubo correspondiente. Y ya sólo queda resolver el puzzle que es un es un buen rompecabezas. Como existen miles de formas diferentes de apilar los cubos, lo mejor es utilizar un método que no implique probar con todas las posibilidades. Mediante los grafos se puede encontrar la solución de un modo más rápido. En Internet se pueden encontrar muchas referencias a este modo de resolver el puzzle. Si quieres saber la solución puedes mandarme un mensaje y te la enviare (belengarrido@gmail.com) Una buena idea es hacer puzzles para regalar como detalle rompedor de cocos (un regalo barato pero muy interesante). Por ultimo indicar que los cubos construidos con esta técnica, además de servir para hacer puzzles Instant Insanity se pueden usar para hacer otros tipos de puzzles como el cubo soma o los pentominós ya que los armazones de seis módulos se pueden ensamblar entre sí.   REFERENCIAS: Rob's Puzzle Page - Pattern Puzzles: The Instant Insanity Family http://home.comcast.net/~stegmann/pattern.htm#insanity Instant Insanity Family http://pages.cs.brandeis.edu/~storer/JimPuzzles/ZPAGES/zzzInstantInsanity.html Grupo Alquerque (2005). El puzzle de los cubos de colores. http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=10115&directory=67 Business Card Origami http://www.origami-resource-center.com/business-card-origami.html Guzmán, M. de, Juegos matemáticos en la enseñanza, Actas de las IV Jornadas sobre Aprendizaje y Enseñanza de las Matemáticas, IV JAEM 1984, Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas "Isaac Newton", 49-85 http://www.sectormatematica.cl/articulos/juegosmaten.pdf

Martes, 13 de Diciembre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

6. 39. SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2011

Los responsables de esta sección queremos dar gracias a todos los participantes del concurso. Es una satisfacción seguir recibiendo respuestas a los problemas, sobre todo cuando son presentadas (tanto el desarrollo como los diagramas) con el mimo que podéis apreciar en las soluciones. Sabemos que es un duro trabajo, ¡gracias por vuestro esfuerzo! Una de las soluciones (la de Francesc Forcada) no es papirofléxica, pero hemos decidido incluirlas por su interés pedagógico. De hecho, su autor las ha diseñado para utilizarlas en el aula con sus alumnos. Es una enorme satisfacción que los contenidos de esta sección estimulen este tipo de trabajos, pues es precisamente uno de sus objetivos más importantes. La solución ganadora es la de Rodrigo Salazar Jeldres. ¡Enhorabuena! Esperemos que disfrutéis plegando las soluciones inspiradas en el viejo balón de piezas en forma de T.   Descargas: Autor Solución Rodrigo Salazar Jeldres María Jesús Arcos Francesc Forcada Galvany

Viernes, 16 de Septiembre de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

7. 38. CONCURSO DEL VERANO 2011

Este año el problema de verano será un reto de diseño futbolístico con un toque “vintage”. En esta fotografía vemos un balón de fútbol antiguo que presenta un curioso patrón poliédrico: Como podéis apreciar, las piezas de cuero que conforman el balón tienen forma de “T”. Balones como estos fueron utilizados ya en los años 30. En esta imagen se puede apreciar un poco mejor la estructura: Pues bien, tal y como habéis adivinado, el reto consiste en diseñar un poliedro de papiroflexia que muestre esta configuración. Podéis enviarnos vuestras soluciones (diagramas y foto del modelo terminado) a la dirección papiroflexiamates@gmail.com hasta el 31 de agosto. Los participantes aceptan que DivulgaMAT pueda publicar las soluciones, independientemente del fallo del concurso. El premio del concurso consiste en un libro de divulgación relacionado con las matemáticas. ¡Feliz verano!

Miércoles, 22 de Junio de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

8. 37. Problemas Orisangaku: Papiroflexia y matemáticas

Aprovechando el concepto del reto matemático planteado en los problemas sangaku (problemas geométricos japoneses), he diseñado  un conjunto de actividades basadas en la papiroflexia (origami en japonés) dirigidas al estudio de la geometría en la educación secundaria (1). En cada una de estas actividades, que he llamado orisangaku, se propone la construcción de una figura de papiroflexia y la resolución de un problema geométrico basado en ella. Se trata de que los alumnos sean capaces de interpretar geométricamente los dobleces que hacen siguiendo unas instrucciones dadas, exploren e investiguen las propiedades geométricas de las figuras que construyen y generen demostraciones utilizando un lenguaje matemático básico adecuado. Un ejemplo de este tipo de actividades es el siguiente: Partir de un rectángulo de papel ABCD, por ejemplo de proporción DIN­-A (√2). Doblar por la mitad a lo largo y a lo ancho para obtener el centro de la figura O. Llevar los vértices A y B al centro y doblar. Llevar los vértices D y C al centro y doblar. Se obtiene el hexágono FEJHGI DESAFÍO: Determinar la relación entre el lado mayor y el menor que ha de tener el rectángulo de partida para que el hexágono construido sea regular. SOLUCIÓN: Para que la figura final sea un hexágono regular se debe cumplir  que los triángulos FEO y GHO sean equiláteros; por lo que el lado menor del rectángulo inicial debe valer dos veces la altura de uno de estos triángulos equiláteros. También se observa, por construcción, que el lado mayor del rectángulo de partida debe medir el perímetro de uno de estos triángulos equiláteros. La relación entre el lado mayor y el menor del rectángulo de partida es la misma que la relación que hay entre el perímetro de un triángulo equilátero y dos veces la altura del mismo. Si llamamos “a” al lado de un triángulo equilátero y “h” a su altura, aplicando el teorema de Pitágoras se cumple a2 = h2+a2/22 y de aquí se obtiene a = (2h√3)/3. El valor de la relación entre los lados del rectángulo de papel AB/BC será igual a 3a/2h = 3·(2h√3)/3·2h cuyo resultado  es √3. Nota: (1) GARRIDO, M. BELEN. (2010) “Orisangakus": problemas “sangaku" con papiroflexia como recurso para el estudio de la geometria”. Monografía: Papiroflexia y matemáticas, UNO, n.53, pp. 71-79.

Lunes, 09 de Mayo de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

9. 36. SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2010

Fallo del concurso del Problema de Verano 2010 En primer lugar, los responsables de esta sección queremos dar las gracias a todos los que habéis participado en el concurso. Hemos recibido muchas soluciones, y los autores no han escatimado en esfuerzos y en mimo a la hora de presentarlas, como podréis apreciar al descargaros las mismas (ver [1]). Este año nos ha costado más que ningún otro decidirnos. Varios participantes dieron con la solución correcta, pero hay dos presentaciones que nos han gustado más que las demás, de modo que el premio de este año lo hemos otorgado ex-aequo a Paz Carbajo Gibaja y Ángel Fernando Ruiz González. La solución de Ángel Fernando incluye una sección de diagramas con los tres casos que se pedían en el enunciado. En la presentación de la solución de Paz, se indica que el caso n=13  sería realizable utilizando proporciones enteras, lo cual nos ha dado pie a elaborar un nuevo orisangaku (ver [2]), que ofrecemos junto con las soluciones y que esperamos que disfrutéis. Los campeones se llevan como premio los libros “Todo por demostrar. Relatos matemáticos” y “Ensoñaciones desde mi pupitre. Ficciones matemáticas” (ANAYA-RSME, 2009). El primero de ellos recoge los relatos cortos, y el segundo las narraciones escolares, que han resultado ganadores y finalistas de los Concursos Literarios (de Relatos Cortos y Narraciones Escolares, respectivamente) RSME-ANAYA de 2010. ¡Enhorabuena a Paz y a Ángel Fernando!   [1] Descargas: Soluciones ganadoras: Otras soluciones: Paz Carbajo Gibaja Francisco J. López H. Ángel Fernando Ruiz González Jorge Concha Carballido Martí Bayer Raich Miguel Herraiz Hidalgo   [2] Orisangaku para n=13 (Los sangakus son acertijos geométricos formulados en tablillas de arcilla y que se pueden encontrar colgados en los templos japoneses. Un orisangaku es un sangaku de origami. El término “orisangaku” lo ha acuñado Belén Garrido en “Orisangakus: problemas “sangaku” con papiroflexia como recurso para el estudio de la geometría”, Monografía: Papiroflexia y matemáticas, UNO, n.53, pp. 71-79.)

Lunes, 18 de Octubre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

10. 35. CONCURSO DEL VERANO 2010

DOBLANDO CUADRADOS Si en un cuadrado de papel, mediante doblado, se marcan los puntos medios de los lados (x) y se hacen las dobleces indicadas en la figura se obtiene un cuadrado central cuya superficie es una quinta parte de la superficie del cuadrado de partida. Esto se demuestra muy fácil geométricamente, recortando el cuadrado por las líneas discontinuas con lo que se consiguen nueve piezas: un cuadrado, cuatro triángulos y cuatro trapecios. Reordenando los triángulos y trapecios dos a dos se forman cuatro cuadrados de las mismas dimensiones que la pieza cuadrada central. El reto de este verano: ¿Será posible conseguir mediante papiroflexia los puntos x', x'' y x'''? Estos puntos deben cumplir: a) un punto x' en los lados de un cuadrado de tal manera que doblando como se indica en la figura se consiga un cuadrado central cuya superficie sea la mitad de la superficie del cuadrado de partida. b) un punto x'' en los lados de un cuadrado de tal manera que doblando como se indica en la figura se consiga un cuadrado central cuya superficie sea la tercera parte de la superficie del cuadrado de partida. c) un punto x''' en los lados de un cuadrado de tal manera que doblando como se indica en la figura se consiga un cuadrado central cuya superficie sea la cuarta parte de la superficie del cuadrado de partida. No es necesario que la demostración sea geométrica como en el caso del cuadrado cuya superficie es la quinta parte del cuadrado inicial. Si es necesario que los diagramas vayan acompañados de una demostración analítica. Podéis enviarnos vuestras soluciones a la dirección papiroflexiamates@gmail.com hasta el final del verano (21 de septiembre). Los participantes aceptan que DivulgaMAT pueda publicar las soluciones, independientemente del fallo del concurso. El premio del concurso consiste en un libro de divulgación relacionado con las matemáticas. ¡Mucha suerte! ¡Esperamos vuestras propuestas!

Jueves, 08 de Julio de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico