81. 122. (Diciembre 2014) Mezcla Klondike

Como es bien sabido, una simple mezcla de cartas no es una operación tan inocente como se podía esperar. Si el origen y la razón fundamental para mezclar una baraja es perder el orden inicial de dicha baraja, varios tipos de mezcla consiguen el efecto contrario: es posible predecir la posición de algunas o todas las cartas después de realizar una mezcla de tipo matemático. Los ejemplos más significativos son la mezcla faro (paradójicamente conocida también como mezcla perfecta) y la mezcla australiana. Las propiedades matemáticas de la mezcla faro se han estudiado profundamente pero la mejor referencia que conozco es el libro de S. Brent Morris titulado Magic tricks, card shuffling and dynamic computer memories. Con respecto a la mezcla australiana, puedes encontrar diversas propiedades en el artículo publicado en la revista Eureka así como en entregas pasadas de este rincón, como en mayo de 2006 y en mayo de 2010 (en los capítulos 2 y 6 del libro "Magia por principios" también se estudian con cierto detalle las propiedades de estas mezclas). Un par de variantes de la mezcla australiana, menos conocidas, son la mezcla Monge, de la que ya hemos hablado en este rincón (octubre de 2007) y la mezcla Klondike. Puedes ver ambas mezclas en acción en estos enlaces de Youtube: mezcla Monge, mezcla Klondike. Básicamente, la mezcla Klondike consiste en lo siguiente: Con las cartas en una mano, agarradas por los lados cortos, se acerca la otra mano y se coloca el dedo pulgar sobre la baraja y el resto de los dedos bajo la misma. Se arrastran juntas las cartas superior e inferior y se dejan sobre la mesa. Se repite el proceso y se dejan las dos cartas siguientes sobre las anteriores y así sucesivamente, hasta que se hayan repartido todas las cartas. Algunos de los magos más prolíficos en la creación de juegos relacionados con la mezcla Klondike son Karl Fulves, Peter Duffie y Werner Miller. En una entrega posterior describiremos algunos de los juegos de Peter Duffie pero en esta ocasión dejemos que Werner Miller nos enseñe un juego donde se explotan por partida doble las características de la mezcla Klondike. En el portal lybrary.com puedes conseguir muchas de las publicaciones de este matemático-mago alemán. Separa de la baraja las 13 cartas de picas y retira el resto. Retira la dama y entrega las 12 cartas restantes a un espectador para que las mezcle y haga tres montones de cuatro cartas caras abajo sobre la mesa. Un segundo espectador elige uno de los montones, mira la carta inferior, la recuerda y coloca el paquete sobre cualquiera de los otros dos. Un tercer espectador elige cualquiera de los dos montones, mira la carta inferior, la recuerda y coloca el montón elegido sobre el otro. Muestra la dama y colócala cara abajo sobre el paquete de doce cartas. Realiza dos mezclas Klondike, una por cada carta elegida. Entonces deletrea "D-A-M-A", repartiendo desde arriba una carta por cada letra, formando un nuevo montón. Deletrea "D-E", repartiendo dos cartas en otro montón. Deletrea "P-I-C-A-S", repartiendo cinco cartas en un tercer montón. Te quedarán dos cartas que las dejas aparte. Gira cara arriba la primera carta del último montón ... es la dama de picas. Gira caras arriba las cartas superiores de los otros dos montones ... son las cartas elegidas (la que estaba originalmente octava es la superior del primer montón y la que estaba originalmente cuarta es la carta superior del segundo montón). Vas a comprobar que los cincos (valen también los sietes y los nueves) tienen el mismo talento para localizar cartas, repitiendo el efecto. Vuelve caras abajo las cartas mostradas y reúne los tres montones en cualquier orden y coloca encima las dos cartas desechadas anteriormente. Busca los tres cincos restantes en la baraja y pide a un espectador que elija uno de ellos. Si elige el cinco de corazones, lo eliminas y dejas que el espectador elimine cualquier otro. El caso es que la carta elegida sea el cinco de rombos o de trébol (pues cualquiera de estos palos puede deletrearse con seis letras). Añade al montón de 13 cartas los dos cincos no elegidos. Pide a un espectador que mezcle el paquete de 15 cartas y reparta tres manos de cinco cartas cada una. Repite lo anterior, con una diferencia: después de deletrear el palo del cinco elegido, coloca el resto de las cartas en bloque sobre el último paquete repartido. Ahora las cartas superiores de cada paquete son las elegidas y el cinco deletreado. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Lunes, 01 de Diciembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

82. 121. (Noviembre 2014) Magia bizarra

Uno de los caprichos más comunes entre los profesionales de las matemáticas es la clasificación: hay matemática pura y matemática aplicada; hay matemática discreta y matemática continua; hay diferentes disciplinas como el álgebra, el análisis, la geometría, etc.; en álgebra un conjunto puede llamarse grupo, anillo, cuerpo y muchas lindezas más; en análisis hay funciones inyectivas, continuas, derivables, integrables y un sinfín de apelativos cariñosos; en geometría los objetos se clasifican según su dimensión, por no hablar de su forma, tamaño, composición y vete a saber qué más. En realidad esta obsesión no es privativa de las matemáticas: mantener un orden o establecer prioridades requiere una clasificación. En magia sucede lo mismo y, atendiendo al público al que se dirige, podemos hablar de dos clases de magia, la magia de cerca y la magia de escena. Pero también, de acuerdo al contenido o material utilizado, se suele distinguir entre cartomagia (magia con cartas), micromagia (magia con objetos pequeños), grandes ilusiones (magia con grandes aparatos), numismagia (magia con monedas), matemagia (ya sabes de qué se trata), prestidigitación (demostración de habilidad manual), mentalismo (demostración de habilidad mental) y otras especialidades. En el blog JokerGil Magia se explican con más detalle los diferentes tipos de magia (no confundir con esta clasificación, que trata sobre otro tipo de magia). En casi ninguna clasificación de la magia aparece la especialidad "Magia bizarra", sobre la cual hablaré en esta ocasión. Y quiero hacerlo aprovechando la reciente aparición del libro "19 relatos fantásticos de magia bizarra", escrito por el veterano mago, miembro de la elitista Escuela Mágica de Madrid, pero ante todo amigo Javier Tejerina. En la introducción, Javier trata de definir el concepto de magia bizarra mediante la superposición de la magia y el cuentacuentos. Si un juego de magia viene adornado, de forma coherente, con una historia a través de la cual se consigue una atmósfera onírica o fantástica, podemos decir que hemos entrado en la magia bizarra. Esta característica es muy común en la magia mental, pues un mentalista necesita crear este ambiente irreal para reforzar el efecto que producen sus supuestos poderes mentales. Sin embargo, se trata de una especialidad más amplia que el mentalismo pues también incluye espectáculos "gore", con grandes dosis de sangre y terror, siendo Merpin y Dr. Gore dos de sus representantes más significativos. ¿Qué tiene que ver todo esto con el tema de nuestro rincón? Resulta que, por lo general, un juego de magia matemática debe ir acompañado de una historia que oculte o disimule el principio matemático en el que descansa. Pero, además, muchos juegos de magia matemática consisten en una sucesión encadenada de pasos muy precisos pero tediosos, así que una buena historia que discurra de forma paralela le dará un sentido a estos pasos y hará más entretenido el juego. En resumen, los principios matemáticos constituyen una fuente de inspiración para los magos bizarros que sólo han de concentrarse en la narración de su historia y no en el perfeccionamiento de las técnicas de prestidigitación cuando presentan sus juegos de magia. A lo largo del libro "19 relatos fantásticos de magia bizarra", el autor utiliza muy oportunamente diversos principios matemáticos para incluirlos en sus historias. Esto quiere decir que el libro de Javier Tejerina será muy bien acogido por los aficionados a la magia matemática. Sin ir más lejos, el primero de sus 19 relatos, titulado "El asesinato del señor Kant", incluye un juego matemático bastante sorprendente. En su origen, el juego se titulaba Bonnie and Clyde, y su autor es el mago francés Richard Vollmer (personaje de la fotografía adjunta), otro gran conocedor de la magia matemática. Tradicionalmente, en este rincón nos hemos limitado a describir los fundamentos matemáticos de los juegos y hemos dejado volar la imaginación del lector para revestir de contenido dichos juegos. Como homenaje al primer libro en castellano dedicado a la magia bizarra, y sin que sirva de precedente, contaremos una historia con la que acompañar el juego. Seguramente, es la misma historia que narra el juego de Richard Vollmer pues el argumento está inspirado en su título. Aunque la narración de la historia y la descripción del juego estén separadas, indicamos entre paréntesis y de forma aproximada los pasos que corresponden a cada párrafo. Confiamos en tu ingenio para mejorar el cuento o, incluso, inventar otra historia más elaborada, dramática y divertida. A lo largo de la historia, muchas parejas sentimentales se han hecho famosas por sus hazañas delictivas: Ian Brady y Myra Hindley, Caril Ann Fugate y Charles Starkweather, Karla Homolka y Paul Bernardo, pero los más conocidos han sido siempre Bonnie Parker y Clyde Barrow (1). La policía tardó mucho tiempo en apresarlos. La razón principal es que no disponía de muchos efectivos que se pudieran dedicar a la tarea (2). Después de mucho tiempo, descubrieron una táctica que todas las parejas utilizaban para despistar a la policía: algunos asaltos eran cometidos por todos ellos y los cuatro hombres escapaban juntos por un lado y las cuatro mujeres también escapaban juntas por otro lado. De este modo, al no estar junto a sus parejas habituales, la policía no lograba reconocerlos (3). Un buen día, después de cometer un asalto y perderse por la ciudad (4), la policía realizó una redada que acorraló al grupo pero dejó escapar a uno de los delincuentes aunque nadie sabe de quién se trataba (5). Cayeron sobre el resto de la banda (6) y los interrogaron en grupos para descubrir quién era la pareja del bandido (o bandida) que había escapado (7). En un primer intento no consiguieron su objetivo (8), así que realizaron una segunda ronda de interrogatorios (9). Al final atraparon a uno de ellos (10) y vieron que, en efecto, se trataba de la pareja que buscaban. Incluso consiguieron reunir por parejas al resto de personajes (11). El mago separa de la baraja las 8 figuras que forman pareja: K ♠, Q ♠, K ♣, Q ♣, K ♥, Q ♥, K♦, Q ♦. A continuación, busca también los dos comodines, o los dos ases rojos, y retira el resto de la baraja. Sólo se usarán estas diez cartas. El mago coloca los cuatro reyes sobre la mesa, en un montón. Por ejemplo, K ♠, K ♥, K♦, K ♣. Sobre estas cartas coloca las cuatro damas, en el mismo orden (cualquier disposición realizada con los reyes debe repetirse con las damas). Luego gira el paquete para dejarlo con las caras hacia abajo. El espectador corta el paquete de cartas por cualquier lugar y completa el corte, tantas veces como desee. El espectador retira la carta superior del paquete y, sin verla, la deja apartada a un lado de la mesa (o en el estuche de cartas). El mago coloca los dos comodines caras arriba sobre el paquete de siete cartas y pide al espectador que corte y complete el corte. El espectador recoge el paquete de cartas y forma sobre la mesa dos montones, repartiendo alternativamente las cartas, una sobre cada montón (primera carta a la izquierda, segunda a la derecha, tercera a la izquierda y así sucesivamente). Por último, coloca una de los montones sobre el otro. El mago extiende en abanico el paquete de cartas y observa que ahora hay tres o cuatro cartas entre los comodines. Vuelve a cerrar el abanico y pide al espectador que corte y complete el corte una vez más. El espectador vuelve a repartir cartas sobre la mesa, alternativamente a izquierda y derecha, para formar dos montones. Por último coloca uno de los montones sobre el otro. El mago vuelve a extender el paquete de cartas y observa que ahora sólo hay una carta atrapada entre los comodines. Vuelve cara arriba dicha carta y se comprueba que coincide con la carta que está al otro lado de la mesa (o en el estuche). Más aún, se vuelven por parejas las cartas del paquete y se comprueba que se han juntado todos los reyes con las damas de su mismo palo. Si quieres profundizar en el mundo de la magia bizarra, te recomiendo que estudies los trabajos de Eugene Poinc, Christian Chelman y Robert Neale. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Sábado, 01 de Noviembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

83. 120. (Octubre 2014) Pares contra impares

El principio de paridad, en sus diferentes versiones y adaptaciones, ha sido ampliamente tratado a lo largo y ancho de este rincón, empezando ni más ni menos que con la primera entrega, allá por el mes de marzo de 2004 utilizando una simple hoja de papel. Más tarde, en febrero de 2007, utilizando monedas, y en mayo de 2007, así como en febrero de 2011, utilizando cartas. Sin olvidar el juego más significativo de todos, conocido en el mundo de la magia como el truco del pianista, descrito en febrero de 2012. Si has llegado hasta aquí después de visitar algunos de los enlaces anteriores, te propongo esta tarea: ¿cuál sería para ti la forma más clara y simple de enunciar el principio de paridad? Te agradezco que me envíes tu propuesta y en una entrega posterior publicaré las más convincentes. No hay que dejarse engañar por la simplicidad de este principio. Su multitud de variantes, aplicaciones y generalizaciones pueden llegar a sorprendernos. A modo de ejemplo, el programa Estalmat de Castilla y León, presenta una colección de problemas relacionados con este principio. También, el artículo titulado Cartomagia del 1 al 9, de José Muñoz, publicado en la revista Números, contiene algunos juegos basados en este principio. En el libro "Magia por principios" dedico un capítulo a desarrollar este principio. Combinando este principio con algunas técnicas menos matemáticas se pueden conseguir juegos que sorprendan a todo tipo de públicos. Como muestra, este mes describiremos un juego de apariencia numérica pero cuyo resultado final permite ocultar el principio de paridad aplicado. Este juego es original de Martin Gardner (cuyo par de siluetas encabeza esta entrega y el centenario de cuyo nacimiento se conmemora este mes) y está inspirado en el primer problema que aparece en el libro "Mathematical Puzzles" de Peter Winkler. El problema se enuncia como sigue: En una mesa se forma una fila con cincuenta monedas, de diferentes valores. Alicia retira una moneda de una de las esquinas y la guarda en su bolsillo; a continuación, Bartolo retira una moneda de una de las esquinas restantes y la guarda en su bolsillo; el proceso se repite hasta que Bartolo retira la última moneda. Probar que Alicia es capaz de jugar para tener al menos la misma cantidad de dinero que Bartolo. El juego que propone Martin Gardner es el siguiente: El mago entrega la baraja a un espectador para que mezcle y retire ocho cartas. El mago recoge las cartas, las extiende con las caras hacia él y, secretamente, suma los valores de las cartas que ocupan una posición par, suma también los valores de las cartas que ocupan una posición impar y, por último,calcula la resta ambos valores (teniendo en cuenta que todas las figuras valen diez). Por ejemplo, si las cartas elegidas son: la suma de los valores de las cartas de posición impar es 8 + 10 + 4 + 9 = 31, y la de las cartas de posición par es 6 + 6 + 5 + 10 = 27. La resta de ambos valores es 4. El mago entonces saca un lápiz y una hoja de papel mientras anuncia que va a realizar una predicción numérica. Explica que sólo se tendrán en cuenta los valores numéricos de las cartas y, para simplificar, todas las figuras tendrán el mismo valor igual a diez. El mago escribe ahora en la hoja de papel la frase "ganarás por x" (en nuestro ejemplo, x = 4, es decir la resta obtenida anteriormente) y lo deja a la vista, ocultando lo escrito. Coloca a continuación las ocho cartas sobre la mesa caras abajo formando una fila. El mago saca una carta de una esquina, pide al espectador que saque también una carta de la esquina que prefiera, el mago hace lo mismo y así sucesivamente hasta que ambos tienen cuatro cartas. Cada uno suma los valores de las cartas que tiene en la mano. Por último se deja ver la predicción en la que está escrita la diferencia entre ambos valores e, incluso, quién de los dos ha ganado. La cuestión que se plantea es pues: ya que la predicción dice que ganará el espectador, ¿cómo hacer para que elija "libremente" las cuatro cartas que ocupan las posiciones impares (según nuestro ejemplo) en la fila de cartas? La solución es sencilla: el mago retira la única carta posible de posición par, la octava (jota de picas en nuestro ejemplo). Ahora las cartas de los dos extremos tienen posición impar, con lo que no importa cuál de ellas retira el espectador. El mago vuelve a retirar la carta de posición par que ha quedado libre, y siempre será la que estaba junto a la retirada por el espectador, para dejar sólo cartas de posición impar en los extremos de la fila. El proceso se repite hasta acabar las cartas y comprobar que la predicción es correcta. Algunas modificaciones y variantes de este juego son estudiadas por Colm Mulcahy en la edición de junio de 2006 de su "Card Colm", columna de visita obligada para los filomatemagos. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 01 de Octubre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

84. 119. (Septiembre 2014) SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2014: Más apuestas ganadoras

A la vuelta del verano, y como es habitual, vamos a ofrecer las respuestas a los juegos que planteamos en la entrega anterior. Recordarás que se trataba de juegos de apuestas suficientemente intrigantes como para conseguir alguna bebida gratis en el bar de tu lugar de veraneo. Algunos de estos problemas, y otros similares, se pueden encontrar en la página Puzzles.com y en el libro, ya citado en otras ocasiones, Scam School de Brian Brushwood. Vamos con la solución del primer problema: PROBLEMA 1 - Se colocan seis monedas iguales formando un paralelogramo y se quiere conseguir, con tres movimientos, que las seis monedas formen una circunferencia. Recordemos que los únicos movimientos válidos consisten en mover una moneda a una posición en la que toque exactamente a otras dos monedas. Posición inicial Primer movimiento Segundo movimiento Tercer movimiento Como muy bien apuntan Alejandro Apezteguía y Andrés Mateo, podría resolverse con dos movimientos ya que no hemos añadido la limitación de que las monedas no pueden levantarse, sólo deslizarse. Es bien sabido que las instrucciones deben ser precisas y no dar lugar a equívocos. Esta es la solución de Alejandro: En el primer paso, la moneda de color verde pasa a ocupar la posición naranja. En el segundo paso, la moneda central de color verde se "levanta" sin tocar a las demás y ocupa la posición de color naranja. PROBLEMA 2 - Se colocan cuatro monedas en una distribución con forma de rombo y se pide colocar las cuatro monedas en una fila de modo que, en cada movimiento se desliza una sola moneda la cual debe tocar a otras dos monedas. Posición inicial Primer movimiento Segundo movimiento Tercer movimiento Cuarto movimiento Curiosamente, si numeramos las cuatro monedas, de izquierda a derecha y de arriba abajo, al final del proceso las monedas siguen en orden. PROBLEMA 3 - Se colocan tres monedas de un euro y dos monedas de cincuenta céntimos en una fila con los valores intercalados. El problema consiste en dejar las monedas en una fila de manera que queden las tres monedas de euro juntas a un lado y las dos monedas de cincuenta céntimos al otro lado. Para ello, en cada movimiento sólo se pueden mover dos monedas, una de cada valor, que estén juntas y deberán colocarse en la misma fila, aunque en otra posición. Para la solución, vamos a numerar, no las monedas sino las posiciones que dichas monedas ocupan sobre la mesa. Inicialmente, están colocadas en las posiciones 1 al 5 y, como se observa en las imágenes, al final ocuparán las posiciones 7 al 11. Posición inicial   Primer movimiento   Segundo movimiento   Tercer movimiento   Cuarto movimiento   Quinto movimiento   Puedes encontrar una solución con cuatro movimientos en la página Puzzles.com aunque uno de los pasos no permite que las monedas se coloquen en una posición exacta ya que debe dejarse un espacio entre las monedas. Felicitaciones a quienes se han entretenido pensando en estos problemas y enhorabuena a los ganadores del concurso: Alejandro Apezteguía y Andrés Mateo. Terminaremos con otro problema del que no daremos la solución. Si eres capaz de encontrarla, tienes un nuevo juego de magia a tu disposición. Coloca 20 monedas sobre la mesa, de modo que se muestren diez caras y diez cruces. Te vuelves de espaldas y un espectador mezcla las monedas de la mesa, como si fueran fichas de dominó, es decir sin girar ninguna de ellas. A continuación, te vuelves frente a las monedas con los ojos cerrados o vendados y, en pocos momentos y girando únicamente algunas monedas, eres capaz de formar dos grupos de monedas, de modo que el segundo grupo contenga el mismo número de caras y de cruces que el primero. No está permitido palpar las monedas para distinguir si están de cara o de cruz. ¿Sabrías cómo hacerlo? Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Lunes, 01 de Septiembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

85. 118. (Julio 2014) CONCURSO DEL VERANO 2014: Más apuestas ganadoras

Si has logrado ganar varias apuestas con el juego descrito en la entrega anterior, estarás deseando conocer algún otro truco similar. Por cierto, ¿conseguiste resolver el problema planteado al principio? ¿Lograste descubrir que bastaba coger el tercer vaso de la izquierda, verter su contenido en el último vaso de la derecha y volver a dejar el vaso en su lugar? Si no lo has resuelto, sigue pensando. En esta ocasión vamos a plantear problemas similares que podrás realizar en este tipo de situaciones. Pero ahora utilizaremos monedas y aprenderemos algunos juegos, posiblemente conocidos por la mayoría. Además, aprovechando esta época vacacional, no vamos a dar la solución de los problemas y así convocar un nuevo CONCURSO DE VERANO: si logras resolver alguno de estos problemas, envíanos tu solución. Como de costumbre, el portal DIVULGAMAT regalará un libro de divulgación matemática a las mejores/más completas/más originales soluciones recibidas. El primero de los problemas es clásico (en esta otra sección de Divulgamat podrás encontrar diferentes versiones y variantes): PROBLEMA 1 - Coloca seis monedas iguales formando un paralelogramo, como en la figura. P1: Posición inicial El objetivo es conseguir que las seis monedas formen una circunferencia. Para ello, los únicos movimientos válidos consisten en mover una moneda a una posición en la que toque exactamente a otras dos monedas. ¿Podrás hacerlo con sólo tres movimientos? P1: Posición final El segundo problema es similar pero mucho menos conocido y mucho más difícil. Consiste en lo siguiente: PROBLEMA 2 - Coloca cuatro monedas en una distribución con forma de rombo, como en la figura. P2: Posición inicial El objetivo es colocar las cuatro monedas en una fila, pero obedeciendo las siguientes reglas: En cada movimiento se puede deslizar (sólo deslizar, no levantar) sobre la mesa una sola moneda. Al finalizar cada movimiento, la moneda deslizada debe tocar otras dos monedas. P2: Posición final El tercer problema con monedas creo que también te tendrá ocupado un buen rato: PROBLEMA 3 - Coloca tres monedas de un euro y dos monedas de cincuenta céntimos en una fila con los valores intercalados, como se muestra en la figura. P3: Posición inicial El objetivo es dejar las monedas en una fila quedando las tres monedas de euro juntas a un lado y las dos monedas de cincuenta céntimos al otro lado. Para ello, en cada movimiento sólo se pueden mover dos monedas, una de cada valor, que estén juntas y deberán colocarse en la misma fila, aunque en otra posición. P3: Posición final Hay una gran variedad de problemas similares. Si tienes interés en el tema, puedes encontrar algunos ejemplos más en la página UniPuzzle y algunas consideraciones teóricas en el artículo Recreational Computing de Erik Demaine publicado en el número 98 (año 2010) de la revista American Scientist. Hasta ahora, los juegos mostrados requieren solamente un poco de ingenio y algo de paciencia. Añadiremos a continuación un ingrediente mágico porque lo que voy a conseguir será a distancia. Coloca tres monedas en una fila sobre la mesa, con la combinación de caras o cruces que prefieras. Con tanta diversidad de monedas que tenemos en la actualidad, para ponernos de acuerdo, digamos que las cruces son las que muestran el valor de la moneda. Tienes por tanto ocho posibles elecciones, una de las cuales es la mostrada aquí. Te aseguro que, en un máximo de tres movimientos, voy a conseguir que todas las monedas estén de cara o todas de cruz. ¿Estás listo? Empezamos: Voltea la moneda de la izquierda. Si ya están todas las monedas de cara o todas de cruz, hemos acabado. Si no, sigue leyendo. Voltea la moneda del centro. Ahora, es posible que todas las monedas estén de cara o todas estén de cruz. ¿Aún no? Entonces falta un paso más. Voltea la moneda de la izquierda. ¡Ya está! Las tres monedas muestran la misma imagen: hay tres caras o tres cruces. El juego anterior fue inventado por Martin Gardner y Karl Fulves, personajes que ya debes conocer si eres asiduo visitante a este rincón. Probablemente ellos no imaginaban que la explicación del juego tiene relación con los llamados códigos de Gray, utilizados para corregir errores en la transmisión de señales digitales. Todas las configuraciones posibles, ¿ya sabes que son ocho?, se pueden disponer en los vértices de un cubo de modo que dos vértices adyacentes se diferencian en sólo uno de los valores -C=cara, X=cruz-. Desde cualquier posición se puede llegar, recorriendo vértices adyacentes, a uno de los objetivos -CCC ó XXX- en un máximo de tres pasos. Se puede demostrar que, con n monedas, el número máximo de pasos necesarios para que todas estén de cara o todas de cruz es 2n-1 - 1. Código de Gray con tres monedas Una versión más elaborada del juego anterior fue propuesta por Martin Gardner en el capítulo 11 del libro "Fractal Music, hypercards and more" (1992), bajo el título "The rotating table". Coloca cuatro monedas formando un círculo con la disposición de caras y cruces que prefieras. Un ejemplo es el mostrado en la figura: A continuación te daré una serie de instrucciones para conseguir, en un máximo de siete pasos, que todas las monedas estén de cara o todas estén de cruz. Entre cada una de estas instrucciones, podrás girar libremente el círculo de monedas: 90º, 180º ó 270º. Puedes también no girar las monedas entre alguno de los pasos. El proceso terminará cuando todas las monedas están bien colocadas, y eso ocurrirá seguro, hagas lo que hagas entre cada una de estas instrucciones. Gira las monedas superior e inferior. Gira las monedas superior y derecha. Gira las monedas izquierda y derecha. Gira la moneda inferior. Gira las monedas izquierda y derecha. Gira las monedas inferior y derecha. Gira las monedas superior e inferior. Sorprendente, ¿verdad? Puedes consultar más detalles de este juego en el artículo de Erik Demaine citado anteriormente. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 02 de Julio de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

86. 117. (Junio 2014) A tu salud

Está muy extendida la opinión de que la magia es un excelente vehículo para fomentar las relaciones sociales. Más aún, es un hecho probado que un buen juego de magia constituye una forma eficaz de romper el hielo entre personas de carácter tímido. Pero también se ha utilizado para sacar algún provecho material, en forma de invitación o como resultado de una apuesta en la que el mago tiene la ventaja de su habilidad técnica o, simplemente, de su ingenio. En este sentido quiero recomendar el libro Scam School: Your Guide to Scoring Free Drinks, Doing Magic & Becoming the Life of the Party, de Brian Brushwood (publicado en 2013), donde se detallan multitud de juegos de magia, problemas de ingenio y retos sencillos que pueden realizarse en alguna reunión con el fin de salir de ella sin haber pagado ninguna bebida. El libro recoge algunos de los episodios del canal de Youtube con el mismo nombre y que protagoniza el propio autor. Te voy a proponer un ejemplo sencillo con el siguiente problema: En la imagen siguiente verás seis vasos en una fila, tres de ellos vacíos y otros tres llenos de agua. Tocando o moviendo uno y sólo uno de los vasos, ¿serías capaz de conseguir que quede una fila de vasos de modo que estén alternados en cuanto a su contenido: vacío-lleno-vacío-lleno-...? ¿Por qué no intentamos algo similar uniendo las fuerzas de la magia y la matemática? Empezaremos con el siguiente juego, conocido como el problema de las tres copas: El mago coloca sobre la mesa tres vasos, dispuestos como se muestra en la imagen: A continuación realiza los siguientes movimientos: Voltear a la vez los dos vasos de la izquierda (uno con cada mano). Voltear a la vez los dos vasos de los extremos (uno con cada mano). Voltear a la vez los dos vasos de la izquierda (uno con cada mano). El resultado final es que los tres vasos están boca arriba. Ahora coloca de nuevo los vasos en la posición inicial, como se muestra en la imagen: y apuesta que nadie podrá colocar los tres vasos boca arriba en menos de seis movimientos de modo que, en cada movimiento, se giren a la vez dos de los vasos. ¿Por qué el mago ganará siempre la apuesta? Basta observar que las posiciones iniciales son "un poco" diferentes. No es fácil para un espectador notar la diferencia pero la posición resoluble tiene inicialmente dos vasos boca abajo y un vaso boca arriba. Por el contrario, la posición no resoluble empieza con dos vasos boca arriba y un vaso boca abajo. Como cada movimiento consiste en girar dos vasos a la vez, la paridad del número de vasos boca arriba nunca cambia. Como la posición final debe mostrar los tres vasos boca arriba y este número es impar, sólo hay solución cuando se empieza con un vaso boca arriba. Un pequeño detalle técnico: ¿por qué el mago no ha volteado desde el principio los dos vasos de las esquinas? En un solo movimiento consigue que los tres vasos estén boca arriba pero sería más sospechoso para el espectador, ya que no podría realizar la misma operación. Si quieres profundizar en las matemáticas del juego, consulta el artículo de Ian Stewart titulado "Cups and downs", publicado en el volumen 43 de la revista "The College Mathematics Journal" (enero de 2012), donde estudia el problema más general: Si sobre la mesa hay n vasos, todos boca arriba, y por cada movimiento se gira un número m de vasos, ¿cuál es el menor número de movimientos necesarios para que queden todos los vasos boca abajo? Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Domingo, 01 de Junio de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

87. 116. (Mayo 2014) La carta cazada

¿Será una moda pasajera? ¿Habrá venido para quedarse? ¿No está tan de moda pero sólo nos fijamos en ello? Nos referimos, como habrás adivinado, al mundo de la magia matemática. Puede que no sean demasiados los magos que aprecian la magia matemática pero sí es seguro que, entre ellos, podemos encontrar a los profesionales de mayor prestigio en la comunidad mágica. Ya hemos citado en este rincón a muchos de ellos, tanto del pasado como del presente. En esta ocasión hablaremos de Lennart Green, original y sorprendente mago sueco que ha sido campeón mundial de magia con cartas en 1991, médico de formación y gran aficionado a la matemática recreativa (en una ocasión, casi no deja cenar al abajo firmante pues le tuvo constantemente ocupado con su interminable colección de problemas de ingenio). La palabra que mejor define su concepción de la magia es el caos, con el que disimula su impecable habilidad técnica. Lo comprenderás mejor al verlo en persona así que te dejo el enlace a su participación en las conferencias interactivas TED (acrónimo de "Technology, Entertainment and Design") el año 2005. Como puedes suponer, Lennart Green es un gran aficionado a los llamados juegos automáticos, basados en diferentes principios matemáticos, a los que imprime su toque personal. Vamos a tratar de realizar uno de ellos y estudiar su funcionamiento. Reparte sobre la mesa dos montones de 16 cartas cada uno. Del primer montón, que llamaremos A, busca y extrae una carta que ejercerá de cazador (una buena elección sería una figura o un as, ya que son las cartas con personalidad propia). A partir de este momento, esta carta será la única que esté cara arriba. Inserta la "carta cazadora" en algún lugar del segundo montón, que llamaremos B. Evidentemente, la carta estará "viendo" una única carta, la que está en contacto, cara contra cara, con ella. Levanta todas las cartas que están por encima de la "carta cazadora" y mira cuál es esta carta pues será la "carta objetivo" que pretendemos cazar. Vamos a dejar escapar esta carta para tratar de cazarla después. Coloca este pequeño paquete sobre el montón A para que la "carta objetivo" quede perdida en ese montón. Coloca por último el montón B, que tiene la "carta cazadora" encima, sobre el montón A. Queda así un solo paquete de 32 cartas con una carta cara arriba encima. Corta por cualquier lugar y completa el corte. Ahora reparte dos manos de cartas, alternativamente a izquierda y derecha. Lógicamente, uno de los montones contiene la "carta cazadora" y sabrás cuál es porque está cara arriba. Retira el otro montón pues creo que allí no está nuestro objetivo. Repite nuevamente las operaciones anteriores, es decir corta por cualquier lugar y completa el corte; reparte dos manos de cartas, alternativamente a izquierda y derecha y retira el montón que no contiene la "carta cazadora" pues creo que allí tampoco está nuestro objetivo. Sigue repitiendo el proceso hasta que el montón que contiene la "carta cazadora" tenga sólo dos cartas. ¿Adivinas cuál es la segunda? Efectivamente, hemos cazado nuestro objetivo. ¿Queremos encontrar una explicación? Vamos a seguir la pista de las cartas "importantes", que supondremos por comodidad que son la Jota de Corazones (cazadora) y el As de Picas (objetivo): Una vez extraida la "carta cazadora" del montón A e insertada en el montón B, la situación es la mostrada en la figura. Al colocar sobre el montón A el paquete de 15 - x cartas con el as de picas debajo y poner encima el resto del montón B, la situación queda como se ilustra: ¡Vaya!, aunque hagamos un corte, nuestras dos cartas están a una distancia de 16, tanto en una dirección como en otra. El proceso de eliminar una de cada dos cartas hace que la distancia entre nuestras dos cartas será de 8, luego de 4, luego de 2 y, por último, sean las únicas que queden. Ahora que entendemos el proceso, nos damos cuenta que el número inicial de cartas no es esencial: debe funcionar con cualquier potencia de dos. Si hubiéramos repartido inicialmente dos montones de 8 cartas, la situación sería similar: primero se eliminan cuatro y luego dos más para que queden sólo nuestras dos cartas. En realidad, el número de cartas que se eliminan en cada reparto es un divisor del número inicial de cartas. Esto sugiere que, si el número inicial de cartas es 2N y su descomposición en factores primos es 2N = 2 x p1 x p2 x ... x pk, la distancia inicial entre nuestras dos cartas será igual a N. Luego repartimos p1 montones y eliminamos aquellos en los que no está la carta arriba; a continuación repartimos p2 montones y volvemos a eliminar aquellos en los que no está la carta cara arriba; repetimos el proceso con los diferentes factores primos de N hasta que queden sólo dos cartas, que serán las que buscamos. En definitiva, si queremos disimular la rigidez del proceso, pedimos al espectador que elija inicialmente el número de cartas que tiene cada montón. Mentalmente calculamos la descomposición en factores primos y, cuando vamos a realizar el proceso de eliminación, pedimos que se reparta un número de montones igual a uno de los factores primos en la descomposición. No sé, a lo mejor se puede utilizar este juego para introducir en clase los conceptos de múltiplo y divisor, así como la descomposición de un número en factores primos. Seguro que un docente avezado encuentra ideas que pueden aplicarse en el aula. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Viernes, 02 de Mayo de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

88. 115. (Abril 2014) Miniatura de Fibonacci

El 21 de octubre de 2010, día en que Martin Gardner cumpliría 96 años, se celebró en todo el mundo (bueno, en algunos lugares del mundo) el primer "Martin Gardner Global Celebration of Mind Gathering", conjunto de actividades mágico-matemático-recreativas con las que se pretendía homenajear al recientemente fallecido personaje tan representativo en muchos campos de la ciencia y la cultura. Las actividades incluían algunas de las grandes aficiones de Martin Gardner, como los juegos y problemas de ingenio, magia, matemática recreativa, ajedrez, origami, crítica literaria, escepticismo y racionalismo. En años sucesivos se ha repetido el homenaje, ampliándose cada vez más el número de lugares de celebración (en 2010 se contabilizaron 66 encuentros, que crecieron a 70 el año 2011 y a 156 celebraciones el año 2012). Por cierto, la edición de este año, la quinta de la serie, coincidirá con el centenario de su nacimiento. Si tienes oportunidad, te animamos a sumarte a la fiesta organizando algunas actividades en tu entorno de trabajo, estudio o vecindario. Puedes apuntarte, compartir ideas y recibir soporte técnico en la página oficial http://celebrationofmind.org/about/. Casualmente, una de las ideas que allí ofrecen es el juego de magia titulado "The little pack of fibs", creado por Colm Mulcahy, autor del libro de reciente aparición "Mathematical Card Magic: fifty-two new effects". El juego está estrechamente ligado a nuestra entrega anterior pues también se basa en la representación de Zeckendorf. Este es el juego: Separa de la baraja las seis cartas que se muestran en la imagen, as de tréboles, dos de corazones, tres de picas, 5 de diamantes, 8 de tréboles y rey de corazones: Déjalas sobre la mesa, caras abajo, y mézclalas como si se tratara de fichas de dominó. Pide a dos espectadores que retiren una carta cada uno. Ambos espectadores deben ver ahora sus cartas y sumar sus valores, teniendo en cuenta que el as equivale al 1, la jota equivale al 11, la dama al 12 y el rey al 13. Pide que te nombren dicha suma. Inmediatamente adivinas las dos cartas elegidas. Antes de hacerlo, puedes dar énfasis a la dificultad de saber dos sumandos cuando se conoce la suma, salvo el caso trivial de 3 = 1 + 2. Con seis cartas hay 15 posibles sumas. Si, además, das al impresión de sacar las seis cartas de forma aleatoria, crearás la ilusión de mayor dificultad en la adivinación final. Ya habrás observado que los valores de las seis cartas escogidas para el juego son los primeros términos de la sucesión de Fibonacci y que la representación de Zeckendorf asegura que todo número se puede escribir de forma única como suma de elementos de dicha sucesión. Con estas ideas, es fácil saber los valores de las dos cartas elegidas. ¿Qué pasa con los palos? Una ordenación bastante común de las barajas consiste en repetir cíclicamente los cuatro palos, alternando también los colores. La ordenación más popular sigue la secuencia tréboles-corazones-picas-diamantes, la cual es fácil de memorizar recordando la palabra mágica TRECOPIDIA, formada con las iniciales de los palos en dicho orden. Como hay seis cartas, sus palos son TRE - CO - PI - DIA - TRE - CO. Por ejemplo, si los espectadores anuncian la suma 18, buscamos el número de la sucesión de Fibonacci más próximo a 18, que es 13, y calculamos la resta 18 - 13 = 5. Las dos cartas elegidas son el rey ... de COrazones, y el 5 ... de DIAmantes. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 01 de Abril de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

89. 114. (Marzo 2014) Tarjetas de Fibonacci

Pulsa en la imagen para ir al juego.

Sábado, 01 de Marzo de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

90. 113. (Febrero 2014) Lectura mental

Ya hemos hablado en alguna otra ocasión del libro "Math miracles", escrito en 1950 por Wallace Lee (1892-1969), una de las primeras referencias modernas de la magia matemática y aquel donde aparece por primera vez el juego de Fitch Cheney "Las cinco cartas", como indicábamos en la entrega de febrero de 2013. Pero además el libro está plagado de ideas para magos con gusto por las matemáticas, o quizá para matemáticos con gusto por la magia. Muchos de los juegos son ya clásicos en el mundo de la magia matemática, como el de la construcción de cuadrados mágicos (del que puedes ver una traducción en el blog magiaporprincipios), así como los basados en aritmética recreativa (como los explicados en la entrega de noviembre de 2013). Pues bien, resulta que esa joya ya se puede leer online gracias a la Universidad de Michigan. Entra en la página http://catalog.hathitrust.org/Record/000419797 para acceder a su contenido. Aquí va otro juego descrito en el libro que podrás añadir a la amplia colección de juegos que pueden realizarse por teléfono o con el mago de espaldas al público. En este caso, lo realizaremos a través de internet. Busca una caja de cerillas o una baraja de cartas o cualquier conjunto de objetos iguales. Yo me referiré a cerillas así que haz la traducción correspondiente al objeto que utilices. Deja sobre la mesa, formando una fila, tres grupos con el mismo número de cerillas en cada grupo. Hará falta que haya más de tres cerillas en cada grupo. Retira tres cerillas de cada uno de los montones de ambos extremos y colócalas en el montón central. Elimina todas las cerillas del montón de la izquierda. Ya no las usaremos más. Cuenta el número de cerillas que tiene el montón de la derecha y elimina del otro montón esa cantidad de cerillas. Elimina por último todas las cerillas del montón de la derecha. Sorprendentemente, ahora hay exactamente nueve cerillas en el montón que queda. Como la mayor parte de los juegos de este tipo, para encontrar la explicación, basta seguir los pasos realizados en el caso general y plantear las ecuaciones correspondientes. Una consecuencia de este estudio te permitirá sorprender aún más a tus espectadores ya que podrás repetir el juego con un resultado final diferente al anterior. ¿Sabrías descubrir cómo? Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Sábado, 01 de Febrero de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico