71. 133. (Diciembre 2015) Magia topológica

La Topología es una especialidad matemática tan importante como difícil. Los historiadores de la matemática coinciden en que su origen se remonta a la solución dada por Euler del famoso problema de los puentes de Königsberg. De hecho, el título del artículo de Euler, "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis" contiene el nombre dado originalmente a esta rama de las matemáticas "geometriam situs" o "geometría de posición". Para conocer la historia, te recomiendo el artículo "Leonard Euler's solution to the Konigsberg bridge problem", de Leo Paoletti para Math DL. También puedes leer una detallada introducción a la Topología en el artículo de Marta Macho titulado ¿Qué es la Topología?, publicado en el número 20 de la revista Sigma (febrero de 2002). Debido a que algunas características de la Topología son muy contrarias a la intuición, no es de extrañar que atraigan la atención de los magos, bien para construir historias pseudomatemáticas con algunos de sus juegos, bien para utilizar propiedades topológicas que contengan resultados sorprendentes para el público. El juego topológico por excelencia es el titulado "bandas afganas", con el que se explotan las propiedades de la banda de Möbius (llamada así por haberla "descubierto" August Möbius aunque fuera también descubierta paralelamente por Johann Listing), esa superficie no orientable que sólo tiene una cara y un lado. La banda de Möbius ha despertado mucha curiosidad y ha inspirado muchas historias de mayor o menor originalidad. Un entretenido, y a la vez erudito, cómic basado en sus propiedades es "El topologicón", escrito por Jean-Pierre Petit, presidente de la asociación "Savoir sans frontières". Esta asociación tiene como objetivo favorecer la difusión del saber, principalmente científico y técnico, para lo cual ofrece de forma gratuita obras de divulgación en multitud de idiomas. De vuelta a nuestros asuntos, es muy significativo el hecho de que uno de los primeros juegos de magia matemática que han sido publicados tiene sabor topológico: se trata del que escribió Luca Pacioli, alrededor del año 1494, en su libro "De viribus quantitatis" (Sobre el poder de los números), una larga colección de problemas recreativos aritméticos y geométricos, proverbios, juegos y adivinanzas de todo tipo y del que se dice que contiene juegos de magia numérica inventados por Leonardo da Vinci. Merece la pena revivir las vicisitudes de este libro, leyendo el artículo aparecido en El País el 11 de abril de 2007. El juego topológico citado es el titulado "De cavare un filo de mano et un anello" y se demuestra que un anillo puede atravesar una cuerda sin soltar, aparentemente, sus extremos. El juego que quiero describir en esta ocasión es un poco más moderno y menos conocido. La idea original es del personaje de la foto, Stewart Judah (1893-1966), un mago americano que fue considerado allá por el año 1938 como uno de los diez mejores cartomagos del momento. El juego se comercializó bajo el nombre "The Judah' penetration trick" y aparece explicado en el libro The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, de Martin Gardner. La idea ha llamado la atención de Michael Close y, en el segundo tomo de su monumental obra Complete Workers, desarrolla una rutina de juegos que incluye una variante del de Stewart Judah. Posteriormente, publicó otra vez el juego en la revista M-U-M (agosto de 2013). Para realizar el juego necesitarás un cordón (como el de los zapatos), un lápiz (o varita), un par de gomas elásticas (o cinta adhesiva) y una tira de cartulina o cartón del tamaño del lápiz. Originalmente se utilizaba una pajita de bebidas pero ya no son de papel y, como comprobarás al final de la descripción, las de plástico no sirven. Para la descripción, nos ayudaremos de las imágenes que aparecen en el libro citado de Martin Gardner. Ata, con uno de los elásticos, la parte inferior del lápiz con una esquina de la tira de cartulina (figura 1). Entrega el lápiz a un espectador para que lo sujete. Deja caer la cartulina hacia adelante y coloca el cordón delante del lápiz (figura 2). Intercambia de lado los extremos del cordón haciéndolos pasar por detrás del lápiz, teniendo la precaución de que la parte izquierda pase por encima de la parte derecha (figura 3). En las etapas sucesivas, la esquina con la letra "a" debe pasar por encima de la esquina que lleva la letra "b". Pasa ahora por delante del lápiz los dos extremos del cordón, intercambiando su posición, el lado de la izquierda por encima del lado de la derecha (figura 4). Coloca la cartulina por delante del lápiz y átala, con el otro elástico, a la parte superior del lápiz (figura 5). Pasa el cordón por delante de la cartulina, intercambiando sus extremos, pero recuerda que el lado de la izquierda debe pasar por encima del lado de la derecha (figura 6). Pasa el cordón por detrás del lápiz, intercambiando de nuevo sus extremos, pasando ahora el lado de la derecha sobre el lado de la izquierda (figura 7). Pasa otra vez los extremos el cordón por delante de la cartulina, haciendo que el lado de la izquierda pase por encima del lado de la derecha (figura 8). Con el espectador sujetando el lápiz por sus extremos, tira fuertemente de ambos extremos del cordón. Verás que la cuerda rompe la cartulina pero atraviesa limpiamente el lápiz. Observaciones. Una gran cantidad de efectos pseudo-topológicos se realizan con cuerdas. Uno de los nudos falsos más sorprendentes recibe el nombre de nudo Chefalo, y puedes aprender a realizarlo siguiendo los pasos de Louis Kauffman en este video. ¿Quién no ha oído hablar del reto que consiste en sujetar cada extremo de una cuerda con una mano y formar un nudo sin soltar la cuerda? Topológicamente es imposible pero, si cruzas primero los brazos y agarras la cuerda, al descruzar los brazos se forma un nudo en la cuerda. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 01 de Diciembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

72. 131. (Octubre 2015) Siempre en medio

A medida que pasa el tiempo, se van agotando los asuntos que podemos tratar en este rincón. Es difícil encontrar juegos originales de magia que puedan explicarse mediante propiedades matemáticas elementales. Lo que no es difícil es encontrar juegos similares basados en los mismos principios. Esto hace que aparezcan regularmente recopilaciones de estos juegos en distintos formatos. Hoy nos dedicaremos a comentar un libro de reciente publicación: se trata del titulado "Maths tricks & number magic", escrito por el mago británico Chris Wardle, y cuya portada puedes ver en la imagen que encabeza la entrega de este mes. Ya en la portada del libro aparece un elemento recurrente en la magia matemática: un cuadrado mágico. Pero este es especial porque es a la vez un ambigrama, es decir que puede leerse dando la vuelta al libro. Lamentablemente, al leerlo del revés ya no es mágico. Sin embargo, Chris es el creador de algunos ambigramas que son cuadrados mágicos en ambos sentidos (puedes ver uno de ellos en su página personal http://www.chriswardle.co.uk/ y más información en la página http://markfarrar.co.uk/chris-wardles-dual-magic-square.htm). Como maestro de enseñanza primaria, Chris Wardle ha diseñado el libro para que los niños exploren la magia de las matemáticas. Con ese fin, el autor presenta una colección de 60 juegos de magia y predicciones numéricas, la mayoría de ellos basados en propiedades aritméticas elementales que ya hemos tratado en este rincón. El acierto del libro es que el autor ha seleccionado aquellos juegos en los que predice exactamente el resultado final. Esto hace que puedan realizarse sin intervención directa del mago, ya sea por teléfono o a través de un medio escrito como este rincón. Como muestra, he seleccionado dos juegos que me han llamado la atención: el primero porque no sé la explicación y el segundo porque la explicación es curiosa. Los dos juegos se realizan con una baraja francesa de 52 cartas. Cuando la tengas a mano, continúa leyendo. ¿Estás seguro que la baraja está completa? Compruébalo y mézclala bien. ¿Seguro que has mezclado bien? Por si acaso, mezcla de nuevo. ¿Ahora ya está bien mezclada? Yo creo que no. ¿Por qué lo creo? Porque si recorres las cartas a lo largo de la baraja, una por una, estoy seguro que hay un as y un tres, o bien un dos y un cuatro, que están juntos. Compruébalo, por favor. Si es cierto lo que digo, mezcla de nuevo. Ahora comprueba que no haya ningún as junto a ningún tres y ningún dos junto a ningún cuatro. Si no los has conseguido, repite la operación una vez más. ¿Ahora ya están separados los doses de los cuatros y los ases de los treses? No importa si no lo consigues. Pasemos al siguiente juego. Como ya estará bien mezclada, no hace falta que la mezcles de nuevo. Sólo reparte sobre la mesa, caras hacia abajo, 26 cartas. Mira y recuerda la carta superior del paquete que está sobre la mesa. Vuelve a colocar la carta en su mismo lugar y deja el paquete que tienes en la mano sobre el de la mesa. Recoge todas las cartas y reparte ahora, dejando sobre la mesa una a una y de izquierda a derecha, cuatro paquetes, como en una partida de cartas. Por si no lo recuerdas: primero cuatro cartas, de izquierda a derecha, la quinta sobre la primera, la sexta sobre la segunda, la séptima sobre la tercera, la octava sobre la cuarta y vuelta a empezar. ¿Has terminado? Pues retira el montón de la izquierda. Ya no lo usaremos más. ¿Te quedan tres montones? Pues retira los de los extremos. Tampoco los usaremos más. Te quedarás sólo con el montón central. Recoge ese montón y repite el procedimiento anterior de repartir cuatro montones sobre la mesa, del mismo modo que has hecho antes. ¿El montón de la izquierda tiene una carta más? Pues lo retiras. ¿Te quedan tres montones? Pues retira los dos extremos y te quedas, como antes, con el montón central. Recoge ese montón y vuelve a repetir el proceso anterior. ¿Que sólo te quedan tres cartas? Pues reparte tres montones. Ya sabes, retira los extremos y te queda el montón central. ¿Sólo tiene una carta? ¡Seguro que es la elegida al principio! Si repasas cada uno de los pasos, comprobarás fácilmente que se trata de una simple propiedad de divisibilidad. Sin embargo, el juego inicial está basado en una propiedad probabilística poco intuitiva, como suele suceder habitualmente. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Lunes, 05 de Octubre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

73. 130. (Septiembre 2015) SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2015: Mix mezclado

A la vuelta del verano y como de costumbre, vamos a explicar el juego que describimos en la entrega anterior, relativo a las propiedades de algunos tipos de mezclas de cartas. Recordemos que el juego consiste en realizar dos mezclas distintas de forma consecutiva a dos grupos de cartas para conseguir que todas las cartas vuelvan a su orden inicial. Una de ellas es la mezcla Klondike, la cual, como cualquier mezcla, consiste en una permutación del conjunto de cartas, es decir, se trata de una aplicación del conjunto de cartas en sí mismo de modo que sólo altera el orden. El resultado de la permutación se describe en las fórmulas siguientes, según que el número de cartas sea par o impar. K(1, 2, ..., 2n-1, 2n) = (n, n+1, n-1, n+2, n-2, ..., 2, 2n-1, 1, 2n); K(1, 2, ..., 2n-1) = (n, n-1, n+1, n-2, n+2, ..., 2, 2n-2, 1, 2n-1). [Con esta forma de escribir, simplemente queremos indicar que, si las cartas están inicialmente en el orden 1, 2, ..., 2n-1, 2n, después de la mezcla Klondike quedan en el orden n, n+1, n-1, n+2, n-2, ..., 2, 2n-1, 1, 2n y de forma similar cuando el número de cartas es impar.] Las siguientes fórmulas son las correspondientes a la mezcla Monge, donde distinguimos también los casos en que el número de cartas es par o impar: M(1, 2, ..., 2n-1, 2n) = (2n, 2n-2, 2n-4, ..., 2, 1, 3, ..., 2n-3, 2n-1); M(1, 2, ..., 2n-1) = (2n-2, 2n-4, ..., 2, 1, 3, ..., 2n-3, 2n-1). Realizar de forma consecutiva una mezcla Klondike y, a continuación, una mezcla Monge consiste en lo que, en Matemáticas, se llama la composición de las dos aplicaciones. Así que el orden final en que han quedado las cartas después de la primera mezcla se convierte en el orden inicial antes de realizar la segunda mezcla. El resultado de la composición obedece a las fórmulas siguientes, otra vez según que el número de cartas sea par o impar: M(K(1, 2, ..., 2n-1, 2n)) = (2n, 2n-1, 2n-2, ..., 2, 1); M(K(1, 2, ..., 2n-1)) = (1, 2, 3, ..., 2n-2, 2n-1). ¡Ya hemos encontrado la propiedad que buscábamos! Con un número par de cartas, la secuencia mezcla Klondike-mezcla Monge invierte el orden inicial de las cartas; con un número impar de cartas, la misma secuencia de mezclas vuelve todas las cartas a su posición inicial. Esta es la propiedad que citábamos en el número 125 de nuestro rincón (marzo de 2015) y la que da origen al juego, de título Teamwork, como aparece en el libro "Ear Marked" de Werner Miller, no sólo gran conocedor de las propiedades de estas mezclas sino experto en crear juegos de magia utilizando estas propiedades como base. Recordemos ahora la descripción que hacíamos del juego en la entrega anterior. Busca en la baraja las trece cartas de un mismo palo y ordénalas de menor a mayor para formar un paquete. Con las cartas en la mano, dorsos hacia arriba, reparte sobre la mesa, de una en una, hasta formar un pequeño montón. No importa el tamaño. Con las cartas que te quedan en la mano, haz una mezcla Klondike y, a continuación, una mezcla Monge. Realiza la misma operación con las cartas de la mesa: primero una mezcla Klondike y luego una mezcla Monge. Seguro que uno de los montones contiene un número par de cartas. ¡A que sí! Coloca ese montón sobre el otro. Adivina lo que ha pasado: ¡las cartas vuelven a estar ordenadas! Los detalles que permiten aplicar las propiedades que hemos descubierto son los siguientes: En primer lugar, la descomposición del número impar 13 en dos sumandos produce inevitablemente un número par y un número impar (claro, la suma de dos números pares es par y la suma de dos números impares también es par). Al repartir sobre la mesa un grupo de cartas, de una en una, se invierte el orden de dicho grupo. La combinación de mezclas Klondike-Monge invierte el orden del paquete que tiene un número par de cartas pero deja inalterado el orden del paquete que tiene un número impar de cartas. Al recomponer el paquete par sobre el impar, se devuelve el orden inicial de todo el paquete. ¡No, espera! A simple vista es así, pero la mitad de las veces las cartas han pasado a estar ordenadas de mayor a menor. Esto ocurrirá cuando se reparte sobre la mesa un número impar de cartas. La solución ya no es matemática sino de percepción: al ver las cartas en orden, casi nadie advierte que ahora el orden es inverso. Siempre esperamos vuestra participación en estos concursos, principalmente para sentir que hay alguien al otro lado de la pantalla del ordenador pero no parece que el verano sea época propicia para ello. Sin embargo, agradecemos a nuestro fiel concursante Roberto Camponovo su dedicación al problema y su respuesta correcta y bien documentada. Observaciones finales. Queríamos buscar también una forma entretenida de presentar el juego ante el público. Lo que propone Werner Miller en su libro me parece lo más adecuado: uno de los paquetes se entrega al mago y el otro al espectador. El mago realiza las mezclas y el espectador imita sus movimientos. Durante el proceso, el mago cuenta sus cartas y, si tiene un número par, entrega su paquete para que el espectador lo coloque sobre el suyo; si tiene un número impar, pide al espectador su paquete y lo coloca sobre el suyo. Al final, todas las cartas, a pesar de ser manejadas por dos personas distintas, han vuelto a su orden inicial. Está claro que el juego funciona exactamente igual con otra cantidad de cartas, siempre que sea impar. ¿Y si fuera par? Pues también funcionará con pequeñas modificaciones. Una de ellas es que no se reparten sobre la mesa un grupo de cartas sino que se corta el paquete en dos montones. Así ambos tendrán un número par de cartas o ambos tendrán un número impar de cartas. La combinación mezcla Klondike-mezcla Monge deja el orden inicial en ambos montones si son impares o invierte el orden en los dos montones si son pares. Sólo hay que recomponer adecuadamente los dos montones para que todas las cartas vuelvan a su orden inicial. Si tenemos un poco de curiosidad matemática, quizá nos preguntamos qué pasa si se realizan las mezclas en el orden inverso, es decir si primero hacemos una mezcla Monge y luego una mezcla Klondike. Las fórmulas que se obtienen son las siguientes: K(M(1, 2, ..., 2n-1, 2n)) = (2, 1, 4, 3, 6, 5, ..., 2n, 2n-1); K(M(1, 2, ..., 2n-1)) = (1, 2, 3, ..., 2n-2, 2n-1). Descubrimos que, con un número impar de cartas, el orden en que se realizan las mezclas es indiferente. En matemáticas se dice que la composición de estas dos aplicaciones es conmutativa. Sin embargo, la propiedad conmutativa no se cumple con un número par de cartas. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 02 de Septiembre de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

74. 129. (Julio 2015) CONCURSO DEL VERANO 2015: Mix mezclado

No abandonamos todavía los juegos relacionados con las mezclas de cartas. A lo largo de las últimas entregas, hemos podido comprobar que existen diferentes mezclas, aparentemente aleatorias, pero cuyo comportamiento está perfectamente determinado de antemano. Ya conocemos la mezcla australiana, la mezcla Monge y la mezcla Klondike, entre otras. Incluso, navegando por la red, podemos encontrar programas de ordenador, en diferentes formatos, que simulan estas mezclas y permiten estudiar las propiedades matemáticas que ofrecen. Por ejemplo, Rob de Graaf ofrece la posibilidad de ver online el resultado de varias mezclas (en la página http://www.rdegraaf.nl/magic/card-deck-shuffle-simulator/), así como Atsushi Yamamoto ha programado la app Playing cards simulator ShuffleSIM con similares prestaciones. Ahora es tu turno de descubrir otras propiedades de estas mezclas. En matemáticas, una mezcla recibe el nombre de permutación, que es una operación en un conjunto que sólo altera el orden de sus elementos. Por tanto, mezclar dos veces una baraja será equivalente a realizar dos permutaciones, una tras otra. A diferencia de lo que ocurre con las operaciones algebraicas usuales, suma y multiplicación, la operación de permutación no es conmutativa lo que significa que, si realizamos dos mezclas A y B a una baraja, se puede llegar a un resultado distinto si hacemos primero la mezcla A y luego la B que si hacemos primero la B y luego la A. Puedes leer un artículo elemental e ilustrativo donde se explica esta propiedad de las permutaciones en este blog. El juego que describiremos a continuación es un ejemplo práctico de esta propiedad. Vamos a mezclar dos mezclas y comprobar si la propiedad conmutativa se cumple. Las dos mezclas involucradas serán la mezcla Monge (descrita en la entrega de octubre de 2007) y la mezcla Klondike (descrita en la entrega de diciembre de 2014). En lugar de dar la explicación del juego, aprovecharemos la llegada del verano para darte la palabra y proponerlo como problema. El proceso es muy simple: Busca en la baraja las trece cartas de un mismo palo y ordénalas de menor a mayor para formar un paquete. Con las cartas en la mano, dorsos hacia arriba, reparte sobre la mesa, de una en una, hasta formar un pequeño montón. No importa el tamaño. Con las cartas que te quedan en la mano, haz una mezcla Klondike y, a continuación, una mezcla Monge. Realiza la misma operación con las cartas de la mesa: primero una mezcla Klondiky y luego una mezcla Monge. Seguro que uno de los montones contiene un número par de cartas. ¡A que sí! Coloca ese montón sobre el otro. Adivina lo que ha pasado: ¡las cartas vuelven a estar ordenadas! Si descubres la explicación, participa en nuestro habitual concurso de verano: envía un correo a la dirección pedro.alegria@ehu.eus explicando las propiedades de las mezclas con las que se consigue este resultado. ¿Tienen que utilizarse 13 cartas? ¿El orden en que se realizan las mezclas es importante? ¿Se te ocurre una presentación ingeniosa para realizar el juego ante el público? Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 01 de Julio de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

75. 128. (Junio 2015) El lápiz octal

Sin duda, uno de los personajes más destacados de la magia del siglo XX ha sido el escocés Alex Elmsley (1929-2006), cuyo nombre es conocido por la gran mayoría de quienes hacen magia con cartas. Sin embargo, casi nadie sabe que Elmsley estudió Física y Matemáticas en la Universidad de Cambridge y que trabajó casi toda su vida como ingeniero en computación. Es muy recomendable leer la nota necrológica que le dedicó John Derris pero también son jugosas las observaciones y anécdotas sobre su persona que relatan Persi Diaconis y Ron Graham en el libro "Magical Mathematics: the mathematical ideas that animate great magic tricks". A este personaje se deben gran parte de las propiedades matemáticas que posee la llamada mezcla faro o mezcla perfecta, la primera de las cuales se publicó en el volumen 11 (año 1957) de la revista The Pentagram, bajo el título "The mathematics of the weave shuffle". ¿Que no hemos hablado de la mezcla faro en este rincón? Habrá que arreglarlo cuanto antes. Como iba diciendo, Alex Elmsley dio consistencia matemática a las propiedades de la mezcla faro que se conocían experimentalmente a partir de tablas construidas por Fred Black y se habían publicado en el libro "Expert card technique", de Jean Hugard y Fred Braue, en 1944. La mayor parte de las aportaciones a la magia de nuestro personaje se encuentran compiladas en los dos tomos del libro "The collected works of Alex Elmsley", escrito por Stephen Minch en 1991 y 1994, y traducido por la editorial Páginas bajo el título "Obras completas de Alex Elmsley", también en dos tomos. A lo largo de sus páginas se intercalan técnicas específicas para multitud de juegos de cartas con estudios detallados de principios matemáticos en los que se basan muchas otras de sus creaciones. En esta ocasión, nos vamos a detener en un juego precioso que ilustra muy bien la relación entre la magia y la computación -las dos disciplinas en las que Alex era experto- pues utiliza el sistema de numeración en base ocho para crear un juego de adivinación bastante sorprendente. El juego aparece en el segundo tomo de sus obras completas bajo el título "El lápiz octal". A pesar de encontrarse en la parte superior de la pila de mis libros de cabecera, he conocido el juego a través del colega y amigo Fernando Blasco, otro apasionado de la magia matemática. Aquí describiré únicamente la primera versión de dicho juego pero te recomiendo el libro si quieres aprender las diversas modificaciones y otras variaciones que allí se desarrollan con todo detalle. Antes de pasar a describir el juego, necesitas preparar un "lápiz octal", es decir uno de esos cuya sección transversal es un octógono (al final daremos algunas alternativas debido a que no es fácil encontrar lápices de este tipo). En cada una de las caras del lápiz debes tener impresos los números que se muestran en la imagen adjunta, teniendo en cuenta que los que están en cursiva deben ser de color rojo y los demás de color negro. En la siguiente tabla se muestran más claramente los números: 56 36 6 12 14 17 16 76 46 52 54 57 62 2 32 26 20 23 25 45 75 61 67 64 51 31 1 15 13 10 11 71 41 55 53 50 65 5 35 21 27 24 22 42 72 66 60 63 Una vez preparado, sigue las siguientes instrucciones. Entregas el lápiz a un espectador para que lo examine. Te apartas del espectador y le pides que seleccione uno cualquiera de los números. Para adivinar el número elegido, pides al espectador que te nombre, por orden, los colores de los números de la fila que contiene al número pensado. Pero, ¡con una dificultad añadida! Cuando llegue al número elegido, debe mentirte. Por ejemplo, si ha pensado el número 61 (que está en la cuarta fila), deberá decir en voz alta la siguiente secuencia: NEGRO, NEGRO, ROJO, ROJO (porque el número 61 está en negro), ROJO, NEGRO. Explica al espectador que debe nombrar los colores a un ritmo uniforme para no dar ninguna pista sobre el momento en que esté mintiendo. Inmediatamente después de escuchar esta secuencia de colores, podrás nombrar el número elegido por el espectador. ¿Adivinas cómo se puede hacer? En efecto, la pista está en el propio título del juego: no se llama lápiz octal porque tiene ocho caras, sino porque necesitas conocer el sistema de numeración en base ocho. En la siguiente tabla, escribimos los primeros números naturales en tres sistemas de numeración: decimal, octal y binario. DECIMAL OCTAL BINARIO 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 00 01 02 03 04 05 06 07 10 11 12 13 14 15 16 17 000 000 000 001 000 010 000 011 000 100 000 101 000 110 000 111 001 000 001 001 001 010 001 011 001 100 001 101 001 110 001 111 Con esta tabla en mente, hay una forma muy sencilla de convertir cualquier número del sistema binario al octal. En primer lugar, se separan las cifras del número en grupos de tres, empezando por el final. Cada grupo de tres cifras equivale a un número decimal comprendido entre cero y siete. Dicho número será la correspondiente cifra en el sistema de numeración octal y el conjunto de todas las cifras será el equivalente en el sistema octal del número en binario. Por ejemplo, dado el número en binario 10110111001, lo descomponemos en cuatro bloques 10 110 111 001 y realizamos la correspondencia de binario a decimal en cada bloque: 10 → 2, 110 → 6, 111 → 7, 001 → 1. Por tanto, la representación octal del número anterior es 2671. Aquí viene la genialidad de Alex Elmsley: la disposición de los números y sus colores en el lápiz, junto con el añadido de la mentira en uno de los colores, representa la codificación en el sistema octal de cada número. La secuencia de negros y rojos indicada por el espectador se traduce en una secuencia de unos y ceros, bajo la clave NEGRO = 1, ROJO = 0. Cada bloque de tres cifras equivale a una cifra en el sistema octal, como hemos indicado un poco más arriba. Así que los dos bloques representan un número de dos cifras, precisamente el número elegido por el espectador. Veamos el mismo ejemplo del número 61: el espectador nombra la secuencia NEGRO, NEGRO, ROJO, ROJO, ROJO, NEGRO. El mago traduce dicha secuencia en el número 110 001. El primer bloque de tres cifras equivale al número 6 y el segundo bloque equivale al número 1. El número pensado es 61. Ahora que conoces el sistema, podrás construir fácilmente tablas similares con otros números, siempre que sus cifras no contengan ochos ni nueves. Ilustraré el método con un ejemplo: Partimos del número 47; convertimos cada cifra al sistema binario para obtener 100 111; construimos la tabla de los seis números que consisten en cambiar una sola de las cifras y tenemos la secuencia 000 111, 110 111, 101 111, 100 011, 100 101, 100 110. Pasamos al sistema octal dichos números y resulta 07, 67, 57, 43, 45, 46. Dibujamos cada número según el color elegido a partir del número inicial 100 111, es decir 07 = 1, 67 = 0, 57 = 0, 43 = 1, 45 = 1, 46 = 1. Si la correspondencia es la anterior NEGRO = 1, ROJO = 0, la fila de números sería 07, 67, 57, 43, 45, 46. Como ya anunciaba, hay varias alternativas al uso de un lápiz en forma de prisma octagonal. La primera de ellas es fabricar el prisma con cartulina, un ejercicio instructivo y entretenido (puedes encontrar un modelo en esta página). Otra opción es la que ofrecieron los responsables de Divermates en la jornada Gathering for Gardner celebrada el pasado año en la Universidad Complutense de Madrid: imprimir la tabla anterior en una pegatina que luego se colocaba en un cilindro hueco. Seguro que se te ocurren otras formas de construir este fantástico juego. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Lunes, 01 de Junio de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

76. 127. (Mayo 2015) Titanic

Una prima hermana de la mezcla Klondike, protagonista de las entregas anteriores, es la mezcla Monge, llamada así en honor al matemático Gaspard Monge, quien fue el primero (que se sepa) en estudiar sus propiedades en un artículo titulado "Réflexions sur un tour de cartes" publicado nada menos que en 1773, y cuya primera descripción realizamos en la entrega de octubre de 2007. Recordamos brevemente la mecánica de esta mezcla: con la baraja en una mano, vamos pasando cartas de una en una a la otra mano empezando por la carta superior, colocando la segunda encima de la primera, la tercera debajo de las dos, la cuarta encima de las tres, la quinta debajo de las cuatro, y así sucesivamente hasta terminar el paquete de cartas. Así, si la posición inicial de las cartas es 1, 2, 3, ..., 2n-1, 2n, entonces la posición final después de una mezcla Monge es 2n, 2n-2, 2n-4, ..., 4, 2, 1, 3, 5, ..., 2n-3, 2n-1. Una curiosa propiedad de esta mezcla es que, después de 12 mezclas Monge, una baraja francesa de 52 cartas vuelve a la posición inicial; sin embargo, con una baraja española de 40 cartas, hacen falta 27 mezclas Monge para reordenar todas las cartas. Algunas propiedades adicionales se describen en el artículo "Entre la matemática y la magia: la leyenda de Josefo y la mezcla australiana", publicado en la revista Eureka sobre enseñanza y divulgación de las ciencias. El libro “Mind blasters!”, presentado por Peter Duffie, contiene una selección de juegos mentales de varios magos ingleses. Uno de ellos, de los magos, es Stephen Jones y uno de ellos, de los juegos, es el titulado Titanic, que tiene algunas características matemáticas bastante interesantes, incluyendo las de la mezcla Monge. La descripción que se hace en el libro está plagada de sutilezas y detalles de presentación que merece la pena estudiar. Aquí me voy a limitar al desarrollo del juego y al estudio del principio matemático en el que está basado. Estoy seguro que vas a desear consultar el libro para disfrutar del resto. Entregas la baraja a dos espectadores para que seleccionen cuatro cartas cada uno. El resto no se utilizará más. Cada espectador mezcla su paquete de cuatro cartas y, a continuación, mira y recuerda la carta superior. Pides a uno de los espectadores que entregue su paquete al otro espectador, quien lo colocará encima o debajo del suyo, como prefiera. Este espectador coloca las cartas en su espalda y pasa, una a una o en grupos, algunas cartas de arriba abajo del paquete. Recoges el paquete de cartas y anuncias que va a mezclar un poco más: primero cortas y completas el corte y luego realizas una mezcla Monge. Separas las cartas en dos grupos de cuatro cartas, uno en cada mano, y pides al espectador que adivine en qué grupo está su carta. Le muestras el grupo elegido abriendo en abanico las cartas con las caras hacia el espectador y, si está su carta, dejas ese montón bajo el otro (si no está su carta, lo dejas sobre el otro). Realizas una segunda mezcla Monge y, si quieres, una mezcla por arrastre que invierta el orden de las cartas. Al final del proceso, las dos cartas elegidas estarán juntas, bien en la parte superior, bien en la inferior del paquete. Colocas el paquete de ocho cartas en tu bolsillo pero, en el proceso, miras disimuladamente y recuerdas la carta que muestra su cara. Juegas ahora con los dos espectadores pidiendo a cada uno que trate de adivinar la carta del otro. Eso te sirve para saber cuáles son sus cartas y, en consecuencia, dónde están. Como has visto la carta inferior del paquete, si coincide con la de un espectador, las dos cartas inferiores son las elegidas. Si no coincide ninguna, las dos cartas elegidas están el parte superior, siendo la carta superior la elegida por el espectador que ha tratado de adivinar el paquete donde estaba su carta. Veamos cuáles son los pasos claves que permiten el control de las cartas elegidas. Al principio, la distancia entre las cartas elegidas es igual a cuatro (hay tres cartas entre ellas). Después de la primera mezcla Monge, la distancia se reduce a dos (hay una sola carta entre ellas), independientemente de los cortes realizados. Después de la segunda mezcla Monge, las cartas estarán juntas. Para que estén en la parte superior o en la inferior, es clave el paso 6, donde se coloca en la parte inferior el montón que contiene la carta del primer espectador. El resto de instrucciones serán las que permitan una buena presentación y refuerzo de la sorpresa final. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Viernes, 01 de Mayo de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

77. 126. (Abril 2015) Fuerza subliminal

Una vez más, seguiremos hablando de la mezcla Klondike, cuya presentación y primera descripción realizábamos en la entrega de diciembre de 2014 y cuyas propiedades matemáticas enunciábamos en la entrega de marzo de 2015. Otro juego que utiliza esta mezcla es el titulado "Fuerza subliminal" y se atribuye a Karl Fulves, mago que ya ha aparecido muchas veces en este rincón, lo cual no es de extrañar pues no se me ocurre ningún nombre de autor más prolífico en el mundo de la magia. Una pequeña biografía y una lista de sus publicaciones aparece en la Magicpedia. El juego que describiremos en esta ocasión aparece en el libro “My best self-working card tricks” y ha suscitado alguna polémica en los foros de magia porque hay algunos errores en la descripción. Las instrucciones que aparecen en el libro no son correctas y algunas correcciones que he leído en los foros tampoco aciertan, de modo que escribo aquí mi versión corregida. Dejo los detalles de la presentación, que justifica el título de Fulves, para los que posean el libro. Se necesitan nueve cartas de dorso azul y una carta de dorso rojo. Además, una de las cartas de dorso azul es roja, digamos el cinco de rombos. La carta de dorso rojo es negra, por ejemplo el tres de picas. El resto son cartas negras de puntos (no figuras). A modo de ejemplo, estas podrían ser las cartas utilizadas: Ordena estas diez cartas, caras abajo, con el 5R en la parte superior, seguido por las ocho cartas negras de dorso azul y debajo el 3P de dorso rojo. En una hoja de papel escribe la predicción: “Elegirás la única carta roja”. A continuación, procede como sigue. Con el paquete caras arriba, deja sobre la mesa, una a una y contando en voz alta, las cinco cartas superiores, formando un montón. Gira caras abajo las cinco cartas restantes y las colocas en la mesa sobre las anteriores, también contando una a una invirtiendo así su orden. Recoge el paquete y realiza una mezcla Klondike. Recuerda: arrastras la carta superior y la inferior juntas y las dejas sobre la mesa, vuelves a repetir la operación con las nuevas cartas superior e inferior y las dejas sobre las anteriores, y así sucesivamente hasta que hayas repartido todas las cartas. De este modo, las dos cartas rojas (la de cara y la de dorso) están en los extremos del paquete. Recoge de nuevo las cartas de la mesa y pide a un espectador que elija un número entre 1 y 10. Supongamos que dice el cuatro: cuenta las tres cartas superiores y las dejas sobre la mesa, sin invertir su orden, formando un montón; coloca un clip en la cuarta carta y la dejas sobre las cartas de la mesa; deja el resto de cartas sobre las anteriores. Recoge otra vez las cartas de la mesa y reparte dos columnas de cinco cartas, alternativamente a la izquierda y a la derecha. Explica que la carta que tiene el clip nos indicará la carta seleccionada: será la que esté en su misma fila de la otra columna. Si dicha carta está cara arriba, vuelve cara abajo todas las demás para comprobar que es la única que tiene dorso rojo; si está cara abajo, vuelve cara arriba todas las demás para comprobar que es la única de valor rojo. Deja leer lo escrito en el papel para mostrar tu predicción. Para descubrir cómo funciona el juego, basta hacer una simulación con las posibles elecciones del número y comprobar dónde queda la carta elegida en relación con alguna de las cartas rojas. El reparto de cartas cara arriba y cara abajo hace pensar que sólo hay una carta diferente de las demás ya que, en ningún momento, se ven dos cartas rojas. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 01 de Abril de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

78. 125. (Marzo 2015) Las gemelas Klondike

En nuestra entrega de diciembre de 2014 presentábamos un nuevo tipo de mezcla con cartas, la mezcla Klondike, también llamada mezcla Alfa (en español) y Milk shuffle (en inglés, seguramente debido al efecto de ordeñar la baraja que simula esta mezcla). Recordamos que la mezcla consiste en tomar juntas la carta superior y la carta inferior y dejarlas sobre la mesa para, a continuación, repetir el proceso con las cartas restantes. No se conoce bien el origen de esta mezcla pero un método para hacer trampas en los juegos de cartas en el que se aplica esta mezcla aparece explicado en el libro de autor anónimo "The Whole Art and Mystery of Modern Gaming Fully Expos'd and Detected", publicado en 1726 y digitalizado en 2009 por Google. Como mezclar una baraja consiste precisamente en realizar una permutación del conjunto cuyos elementos son las cartas de la baraja, describir una mezcla equivale a definir la función correspondiente. Por ejemplo, dado el conjunto de diez cartas en el orden 0 -1 -2 - ... - 9 - 10, después de una mezcla Klondike el orden de las cartas es 4 - 5 - 3 - 6 - 2 - 7 - 1 - 8 - 0 - 9. En general, si tenemos una baraja de 2N cartas, que llamaremos , la mezcla Klondike es la aplicación definida por K(n) = 2n - 2N + 1, si n ≥ N, K(n) = 2N - 2n - 2, si n < N. En el capítulo 6 del libro "Magical mathematics: the mathematical ideas that animate great magic tricks", de Persi Diaconis y Ron Graham, se descubren algunas propiedades interesantes de esta mezcla, en relación con otras mezclas matemáticas. Por ejemplo: La mezcla Klondike y un tipo de mezcla Monge son inversas, es decir, si realizamos una mezcla Klondike y, a continuación, una mezcla Monge, todas las cartas vuelven a su posición inicial. Si se realiza una mezcla Faro, la posición que ocupa la mitad inferior de la baraja es la misma que ocuparían si se realiza una mezcla Klondike. Terminaremos con la descripción de un juego matemático contenido en el libro "The very best of Dai Vernon", traducido al francés por Richard Vollmer, que tiene relación con la mezcla Klondike. El juego original, de Alex Elmsley, se realizaba con la mezcla Faro pero Herb Zarrow mostró que el principio funcionaba con la mezcla Klondike y Dai Vernon construyó esta rutina. La versión que describe Richard Vollmer necesita que la baraja tenga 51 ó 53 cartas, lo que no me gusta demasiado. Así que la cambiaré ligeramente para que se utilice la baraja completa. Entregas la baraja a un espectador para que la mezcle. Cuando te la devuelve, la abres en abanico, caras hacia ti, y cuentas disimuladamente 25 cartas y recuerdas la siguiente. Sigues hojeando las cartas para buscar la carta gemela de la anterior, la cual sacas sin mostrar y la dejas sobre la mesa cara abajo indicando que se trata de una predicción. Si dicha carta está en la mitad inferior del paquete, debes pasar una carta de arriba abajo. Si tienes la habilidad suficiente, cortas por la mitad, miras la carta inferior del paquete superior y vuelves a colocar el paquete superior sobre el inferior. Luego ya puedes extender la baraja y buscar la carta gemela como indico anteriormente. En definitiva, hay una carta sobre la mesa y su carta gemela está exactamente en el centro de la baraja ocupando el lugar 25 tanto desde arriba como desde abajo. Recoges la baraja con el dedo pulgar en el canto estrecho inferior y el dedo medio en el canto estrecho superior y vas sacando cartas desde la parte inferior de la baraja, dejándolas en un montón sobre la mesa. Pides al espectador que te detenga cuando quiera, pero haz que sea un poco antes de la mitad de la baraja (entre 10 y 20 cartas está bien). Ahora formas un nuevo montón sobre la mesa repartiendo cartas de dos en dos, como en una mezcla Klondike, sacando simultáneamente una de arriba y una de abajo. Vuelves a pedir al espectador que te detenga en el momento que desee, pero después de haber repartido casi todas las cartas (pueden quedar hasta 10 cartas sin repartir). A continuación deja el resto de las cartas sobre el montón recién formado. Pide al espectador que cuente el número de cartas del primer montón y que retire del segundo montón, desde la parte superior, el mismo número de cartas. Giras ahora la primera carta del paquete restante y la carta de la predicción inicial. Resulta que las cartas son gemelas. ¿Cuál es el fundamento de este principio? Antes de los repartos, tenemos la baraja dividida en tres partes: la parte superior con 25 cartas, la carta C gemela a la que está oculta sobre la mesa y la parte inferior con 25 cartas. Después de repartir X cartas, la parte inferior tiene ahora 25 – X cartas. El reparto tipo Klondike hace que se repartan 25 – X cartas de la parte superior y 25 – X cartas de la parte inferior, las cuales quedarán bajo la carta C. Así pues, sobre dicha carta habrá exactamente X cartas. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Domingo, 01 de Marzo de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

79. 124. (Enero 2015) SOLUCIÓN CONCURSO NAVIDEÑO: Proeza numérica

Antes de resolver los problemas planteados en nuestro habitual concurso navideño, en la primera entrega de este año vamos a realizar una primera predicción numérica sobre el 2015. Como 2+0+1+5=8, los augurios confirman que la energía proporcionada por el número 8 ayudará a que se cumplan tus objetivos materiales. Lo que no saben los agoreros y pitonisas es que 8 es también el número de divisores de 2015: 1, 5, 13, 31, 65, 155, 403 y el propio 2015. Aunque no es un número primo (sólo faltan dos años para que lo sea), es capicúa por partida triple, ya que 2015=13x5x31=31x5x13 pero, además, 2015=11111011111 (esto último en binario, como podrás suponer). En definitiva, no esperes a 2016 para que la suerte acompañe a tus esfuerzos. De vuelta a la realidad, recordamos el primer juego propuesto en la entrega anterior, "Armchair bowler" de Phil Goldstein: El mago pide a un espectador que cierre los ojos, que imagine que está jugando a los bolos, que lanza una bola, que la bola recorre velozmente los 19.20 metros de la pista, que al final de su recorrido la bola golpea y hace caer algunos bolos y deja en pie los restantes, que diga en voz alta el número de bolos que han caido y, por último, que abra los ojos. El mago entrega al espectador un sobre cerrado para que lo abra. Dentro hay una hoja de papel con un número escrito: precisamente el número que corresponde a la jugada obtenida por el espectador. Sin entrar en detalles técnicos reservados a los que se dedican a la magia escénica, la solución que el propio Phil Goldstein ofrece es tener cuatro sobres, ocultos en diferentes lugares, cada uno de ellos con una tarjeta en la que está impreso uno de los números 2, 3, 5 y 9. La primera sutileza lingüística aplicada en este juego aparece cuando el mago indica que la bola hace caer algunos bolos y deja en pie los restantes. Esto significa que no caen todos los bolos pero tampoco ninguno, lo cual elimina los posibles resultados 0 y 10. Esta expresión, junto con la frase final donde la predicción corresponde a la jugada obtenida por el espectador, permite al mago jugar con dos posibilidades: número de bolos caídos y número de bolos que quedan en pie. Por tanto: Si el espectador indica que han caído 1 ó 9 bolos, el mago muestra el sobre que contiene el número 9 que corresponde a la jugada obtenida o al número de bolos caídos. Si han caído 2 u 8 bolos, el mismo argumento vale para el sobre que contiene el número 2. Si han caído 3 ó 7 bolos, se muestra el sobre con el número 3 y se justifica como antes. Si han caído 5 bolos, no hay ambigüedad al mostrar el sobre con el número 5. ¿Si caen 4 ó 6 bolos? Si la predicción se escribe correctamente, el número 9 se confunde con el 6 al mostrarse al revés, de modo que basta mostrar el sobre con el número 9. El mago debe saber cómo mostrar el sobre para que, al sacar la tarjeta, aparezca el número adecuado. Vamos ahora con el juego "Numeral-oh-gee" de Shigeo Futagawa. El mago enseña cuatro cartulinas blancas en las que están escritos los siguientes números: CARA DORSO TARJETA 1 17 30 TARJETA 2 26 39 TARJETA 3 28 41 TARJETA 4 45 58 Entrega las cartulinas a un espectador para que las mezcle a su gusto, incluso girando las tarjetas las veces que desee. Una vez mezcladas, el espectador coloca las cuatro tarjetas sobre la mesa, formando una fila con cuatro números a la vista. Antes de eso, el mago escribe una predicción en una hoja de papel y la deja sobre la mesa, sin dejar ver el contenido de la predicción. Como ya adelantábamos, hay 16 posibles resultados pues cada cartulina puede mostrar una de sus dos caras. Sin embargo, la distribución de los números en las tarjetas hace que sólo sean posibles cinco sumas: 116, 129, 142, 155 y 168. Esto es así porque la diferencia entre los números que hay en cada tarjeta es siempre igual a 13. Además, las probabilidades de cada suma son distintas; en particular, la probabilidad de que la suma de los valores mostrados en las cuatro tarjetas sea 142 es igual a 3/8, mayor que el resto de posibilidades pues ocurrirá cuando dos cartulinas muestren el número de la cara (que es el menor valor) y las otras dos el número del dorso (que es el mayor valor). Hay varios métodos para conseguir que, después de diferentes mezclas, queden a la vista cuatro números cuya suma es igual a 142. Uno de ellos, básicamente el que explica Martin Gardner en el artículo citado el pasado mes, es el siguiente: Distingue ambos lados de la cartulina de alguna forma, por ejemplo escribiendo los números en un tono diferente de color: los más pequeños de un color y los mayores de otro. Deja que el espectador mezcle las tarjetas y, cuando las coloca sobre la mesa, con un simple vistazo sabrás cuántas tarjetas están de cara y cuántas de dorso. A continuación, de forma casual pero intencionada, le pides al espectador que gire un número determinado de tarjetas: si todas estaban de cara o de dorso, debe girar dos de ellas, las que quiera; si había tres de cara o tres de dorso, giras la del color diferente como muestra de lo que tiene que hacer, y haces que el espectador gire dos tarjetas más, las que quiera; por último, si había dos de cara, las dejará como están. Este simple proceso hará que haya dos tarjetas de cara y dos de dorso, en cuyo cao la suma será igual a 142. La versión de Karl Fulves titulada "Stunumbers", que aparece en el libro "Self-working number magic", contiene algún error. Puedes leer una traducción alternativa en el blog "magia por principios". Varios lectores han tenido la amabilidad de participar en el concurso con suerte dispar. Por ejemplo, Andrés Mateo Piñol da como solución del primer problema los valores 1, 2, 3 y 4 pero olvida el caso en que caigan cinco bolos. Celso de Frutos de Nicolás tampoco considera la posibilidad de aprovechar la simetría de los números 6 y 9 pero, a cambio, juega un poco más con el lenguaje: al sugerir el mago que caen algunos bolos y quedan en pie los restantes, impide que el espectador tire o deje en pie un solo bolo. Por su parte, Roberto Camponovo descubre que son cinco las posibles sumas para el segundo juego y deduce que debe haber dos tarjetas de cara y dos de dorso para llegar a la predicción. Es bien sabido que los magos buscan siempre conseguir "el más difícil todavía". Esto también ocurre con las matemáticas. Aplicado a la magia matemática, lograr el más difícil todavía en este juego sería buscar una combinación de números en las tarjetas para que el mago pueda predecir el producto de los cuatro números, en lugar de la suma. Esto ya lo consiguió Shigeo Futagawa y lo reflejó Martin Gardner en el artículo ya comentado de la revista "El universo matemágico de Martin Gardner". Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Viernes, 30 de Enero de 2015 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

80. 123. (Diciembre 2014) CONCURSO NAVIDEÑO: Proeza numérica

Una de las habilidades que adquieren los magos a través de la experiencia es la de sacar provecho a diversas situaciones posibles. Incluso, con una adecuada dosis de experiencia y psicología, son capaces de provocar de forma aparentemente casual la situación más favorable para sus intereses. A nivel elemental, es bastante común encontrarse un aficionado que te aborda diciendo: - Tengo un as en el bolsillo. Elige un palo. Sea cual sea el palo elegido, nuestro candidato a mago mete la mano en el bolsillo, saca un as de dicho palo y muestra que el bolsillo está ahora vacío. Ya habrás adivinado que el sujeto tiene cuatro ases de distintos palos en cuatro bolsillos diferentes y su única preocupación consiste en recordar en qué bolsillo está cada as. A pesar de su simplicidad, este principio puede -y debe- ocultarse al público y el mago tiene que elaborar sus juegos y la presentación de los mismos de forma que no pueda sospecharse esta situación. La mejor estrategia, al menos la más sencilla, es hacer creer que los resultados de un experimento son más numerosos de los que realmente existen. Por ejemplo, ¿sospecharías que se está usando esta técnica si el mago te pide que nombres una carta y, a continuación, mete la mano al bolsillo, saca la carta nombrada y muestra el bolsillo vacío? No parece factible que tenga 52 bolsillos, ni siquiera que disponga de 52 lugares distintos donde ocultar una carta. Incluso, si fuera posible, sería demasiado complicado recordar dónde ocultó cada carta. Hay muchos juegos en los que se aplica de forma muy ingeniosa esta técnica psicológica. Describiré brevemente el juego titulado "Armchair bowler", de Phil Goldstein, cuyos detalles de presentación aparecen publicados en la revista Apocalypse (abril de 1978), acompañados de la imagen adjunta. El mago pide a un espectador que cierre los ojos, que imagine que está jugando a los bolos, que lanza una bola, que la bola recorre velozmente los 19.20 metros de la pista, que al final de su recorrido la bola golpea y hace caer algunos bolos y deja en pie los restantes, que diga en voz alta el número de bolos que han caído y, por último, que abra los ojos. El mago entrega al espectador un sobre cerrado para que lo abra. Dentro hay una hoja de papel con un número escrito: precisamente el número que corresponde a la jugada obtenida por el espectador. ¿Crees que el mago necesita 10 sobres diferentes? Phil Goldstein asegura que sólo hacen falta 4 sobres. ¿Cómo lo logra? Esta misma idea es la base del juego matemático que describiremos en esta entrega. El inventor del juego es el japonés Shigeo Futagawa (Yokohama, 1943), mago de dilatada trayectoria y profesor de matemáticas hasta su jubilación, creador de varios efectos con sabor matemático, como el de las tres cuerdas que puedes ver en Youtube. El juego de este mes se publicó por primera vez en la citada revista Apocalypse (junio de 1979) bajo el título "Numeral-oh-gee" y más tarde en el libro "Self-working number magic" de Karl Fulves (1984) bajo el título "Stunumbers". Entre ambas publicaciones, el mismo juego está recogido por Martin Gardner para su columna de Scientific American ya que aparece en el artículo "Psychic wonders and probability" de mayo de 1979. Este artículo ha sido, además, uno de los seleccionados por Fernando Blasco para la edición especial de la colección Temas de Investigación y Ciencia titulada "El universo matemágico de Martin Gardner", publicada con motivo del centenario del nacimiento de este gran personaje. Huelga decir que esta revista es imprescindible en la biblioteca de cualquier gardnerófilo. Vamos con el juego. El mago enseña cuatro cartulinas blancas en las que están escritos los siguientes números: CARA DORSO TARJETA 1 17 30 TARJETA 2 26 39 TARJETA 3 28 41 TARJETA 4 45 58 Entrega las cartulinas a un espectador para que las mezcle a su gusto, incluso girando las tarjetas las veces que desee. Una vez mezcladas, el espectador coloca las cuatro tarjetas sobre la mesa, formando una fila con cuatro números a la vista. Antes de eso, el mago escribe una predicción en una hoja de papel y la deja sobre la mesa, sin dejar ver el contenido de la predicción. Dejaré aquí la descripción y pasaré el turno a los lectores de esta sección. ¿Cómo puede saber el mago el resultado de la suma de los cuatro números que han quedado a la vista? Aparentemente, hay 16 posibles resultados, dos por cada tarjeta, pero en realidad son muchos menos. ¿Qué método ingenioso permite al mago escribir como única predicción el número 142? Así, si descubres alguna solución para este problema o para el del juego de los bolos planteado al principio, escríbenos y participarás en el habitual CONCURSO NAVIDEÑO de este rincón. Las mejores soluciones se publicarán el próximo mes y los ganadores del concurso recibirán un obsequio por gentileza de la redacción de Divulgamat. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Lunes, 22 de Diciembre de 2014 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico