61. 143. (Noviembre 2016) La magia de Pacioli

El abajo firmante lleva algún tiempo empeñado en averiguar si el primer juego de magia con cartas publicado por escrito tiene origen matemático. La sospecha empezó a tomar cuerpo al leer el artículo Mathematical magic and society de Fernando Blasco, donde afirma que la primera referencia a un truco de cartas aparece en el libro "De viribus quantitatis" de Luca Pacioli (~1445-1517) y que la primera descripción de un método con el que realizar un truco de cartas está escrita en el libro "De subtilitate rerum" de Girolamo Cardano (1501-1576). Ambos personajes atesoraban, entre otras virtudes, grandes conocimientos matemáticos y fueron capaces, con sus obras, de ejercer gran influencia en su época. Así que surgen varias preguntas: ¿cuáles son esos juegos?; ¿se trata verdaderamente de juegos matemáticos?; ¿cómo reconocerlos si están escritos en latín?; ¿han quedado en el olvido para el mundo de la magia? La historia del manuscrito "De viribus quantitatis" (Sobre el poder de los números), elaborado entre los años 1496 y 1508, es apasionante, así que recomiendo la lectura de la reseña sobre su historia y el anuncio de su traducción al inglés que apareció bajo el título "El texto de magia más antiguo del mundo" en el suplemento cultural de El País hace algunos años. El manuscrito original en italiano corresponde al códice 250 de la biblioteca universitaria de Bolonia y la edición fantasma en inglés está anunciada en el portal Conjuring Arts. Al final doy unas referencias con valiosa información adicional. Por su parte, sin ser el libro más afamado de Cardano, "De subtilitate rerum" (Sobre las sutilezas de las cosas), publicado el año 1550, también ha sido objeto de atención y estudio. Se pueden encontrar digitalizadas varias ediciones del original en latín como la del portal archive.org. Con motivo de su traducción al inglés en 2013, Angelo Paratico narra la historia de sus andanzas en el blog Beyond thirty-nine. A título anecdótico, cabe reseñar que, en el capítulo XVIII, Cardano cita al mago español Damautum (o Dalmau), como señala Mariano Tomatis en su blog. En estas líneas nos vamos a centrar en el trabajo de Luca Pacioli y rebuscar entre la multitud de juegos que presenta alguno que se realice con cartas. Como bien apunta Vanni Bossi en un capítulo del libro A lifetime of puzzles (AK Peters, 2008), ninguno de sus juegos se describe inicialmente con cartas pero el propio autor indica en algunos casos que el mismo truco es más sorprendente si se utilizan cartas en lugar de monedas u otros objetos. Parece que no era muy apropiado para un monje juguetear con cartas, pues se asociaban a otras actividades más mundanas y no siempre lícitas. Entre todos esos juegos, vamos a describir aquí uno que cumple las premisas de este rincón: a partir de un conjunto de instrucciones, realizarás una serie de operaciones que permitirán realizar una adivinación. Así que busca una baraja y cuenta 16 cartas. El resto ya no se utilizará. Distribuye las cartas en dos montones sobre la mesa, 8 cartas a la izquierda y 8 cartas a la derecha. Repártelas caras arriba para que, mientras haces el reparto, pienses en una de las cartas y recuerdes en qué montón se encuentra. Ahora vas a reagrupar de nuevo las cartas, recogiendo alternativamente una carta de cada montón, empezando por el montón que NO contiene la carta elegida. Es decir, si tu carta está en el montón de la derecha, recoges la carta superior del montón de la izquierda, colocas encima de ella la carta superior del montón de la derecha, sobre ellas colocas la carta superior del montón de la izquierda, encima de estas colocas la carta superior del montón de la derecha, y así sucesivamente, hasta que tengas en la mano todas las cartas. Separas nuevamente el paquete en dos montones iguales, sin invertir el orden de las cartas, y los dejas sobre la mesa. Es importante que no inviertas el orden de las cartas. Ahora mira en qué montón está la carta que habías pensado y repite el procedimiento anterior de recogida: empezando por el montón que no contiene la carta elegida, recoge las cartas superiores de cada paquete, alternando los montones. Repite otra vez el proceso: separas las ocho primeras cartas, sin invertirlas, y las dejas en un montón sobre la mesa. Dejas las otras ocho cartas en un segundo montón. Reagrupas el paquete, recogiendo alternativamente una carta de cada montón, empezando por el montón que no contiene la carta elegida. Por última vez, reparte dos montones sobre la mesa, sin invertir el orden de las cartas. Quédate con el montón que contiene tu carta. Retira la primera: esta no es. Retira la segunda: esta tampoco. ¿La siguiente? ¡Sí! Esta es tu carta. Por si no ha quedado suficientemente claro, vamos a hacer una simulación gráfica. Utilizaremos para ello las ocho primeras cartas de los palos de picas y diamantes, y supondremos que la carta elegida es el seis de diamantes. Sobre la mesa están las cartas como se observa en la figura: Como la carta pensada está en el montón inferior, recogemos primero el as de picas, colocamos encima de él el as de diamantes, y así sucesivamente, una carta de cada montón, hasta que tengamos todas las cartas en la mano. Contamos las ocho primeras (recuerda que no se invierte su orden) y las colocamos formando un montón sobre la mesa. Las otras ocho cartas también se colocan sobre la mesa formando un segundo montón. La figura siguiente muestra el resultado: En este momento, la carta elegida está en el montón superior. Repetimos el proceso anterior, recogiendo primero el 4 de diamantes, seguido del 8 de diamantes y así sucesivamente. Contamos las ocho primeras cartas y las dejamos sobre la mesa, en su mismo orden. También dejamos sobre la mesa las otras ocho cartas formando un segundo montón. Esta es la situación: Una última vez: la carta elegida está en el montón superior de modo que recogemos todas las cartas empezando por el 7 de picas y alternando los montones. Contamos las ocho primeras, formamos con ellas un montón sobre la mesa y dejamos el resto formando otro montón. Queda así: La carta elegida ya está ocupando la tercera posición en su montón. Al saber en qué montón está la carta elegida, ya sabremos de qué carta se trata (siempre la tercera contando desde arriba). En este momento nos hacemos la pregunta: ¿la carta elegida queda en esta posición independientemente de la posición que ocupaba al principio? Para responderla, probamos todas las posibilidades y encontramos las siguientes secuencias de números (cada número representa la posición de la carta elegida después de cada reparto): 8 - 1 - 7 - 3 7 - 3 - 3 - 3 6 - 5 - 7 - 3 5 - 7 - 3 - 3 4 - 1 - 7 - 3 3 - 3 - 3 - 3 2 - 5 - 7 - 3 1 - 7 - 3 - 3 ¡Una vez que la carta ocupa la tercera posición, ya no se mueve de su sitio! Además, la mitad de las veces no hace falta el tercer reparto pues la carta ya está en la posición deseada. De hecho, si no es la tercera, es la séptima. Comprenderás que existe una estrecha relación entre la aritmética binaria y estas secuencias. También, que el juego puede realizarse con otras cantidades de cartas, siempre potencias de dos. Por ejemplo, con ocho cartas, sólo serán necesarios dos repartos, aparte del inicial, y las secuencias que indican la posición de la carta elegida, son: 4 - 1 - 3 3 - 3 - 3 2 - 1 - 3 1 - 3 - 3 El juego puede realizarse también recogiendo en cada paso las cartas empezando por el montón que contiene la elegida. ¿Puedes deducir cuál será la posición final de la carta? Para terminar, quiero responder a una de las cuestiones que planteaba al principio: ¿ha trascendido este juego a nuestros días? La respuesta es sí: una versión teatralizada, usando ocho cartas, ha sido en cierta época uno de los juegos estrella en los espectáculos del mago estadounidense David Copperfield. Precisamente, el juego fue uno de los primeros que describimos en este rincón, allá por mayo de 2004. Ahora bien, ¿el equipo creativo de David Copperfield se inspiró en el juego de Pacioli? Chi lo sa. ¿Quieres saber más? Pues te recomiendo las siguientes lecturas: Libro de Dario Bressanini y Silvia Toniato, I giochi matematici di fra' Luca Pacioli, Dedalo (2011). Transcriben, traducen y desarrollan los juegos, enigmas y pasatiempos que aparecen en el códice Vaticano Latino 3129, manuscrito firmado por Luca Pacioli en 1478 y que ya contiene el juego que hemos comentado. Agradezco a Nelo Maestre la referencia a este libro y aprovecho también para felicitarle por su labor al frente de Divermates. Libro de Vanni Bossi, Antonietta Mira y Francesco Arlati, Mate-magica, I giochi di prestigio di Luca Pacioli, Aboca (2012). Artículo de Amedeo Agostini, sobre De viribus quantitatis, para el Periodico di Matematiche, en 1924. Describe y explica los 81 juegos aritméticos contenidos en la primera parte del manuscrito de Pacioli. Tesis de maestría de Tiago Hirth, titulada Luca Pacioli and his 1500 book De viribus quantitatis, Universidad de Lisboa (2015). Presenta un completísimo recorrido biográfico de Pacioli y una detallada explicación de los juegos contenidos en el libro. Encontramos en la página 52 el juego que hemos presentado aquí. Blog de Jane Gleeson-White, con interesantes comentarios sobre Luca Pacioli y su manuscrito. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Jueves, 03 de Noviembre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

62. 142. (Octubre 2016) 52 amantes

Cualquier mago que quiera hacer alarde de su afición siempre llevará una baraja entre sus objetos cotidianos. Es posible que se le olviden las llaves o la cartera pero no saldrá de casa tranquilo si no mete la baraja en el bolsillo. ¿Quién sabe si se le presenta la oportunidad de realizar una actuación informal o de protagonizar un espectáculo improvisado ante quién sabe qué cantidad de público? Siempre hay algo de lo que está seguro: una simple baraja, un conjunto de cartones impresos con imágenes fácilmente reconocibles por cualquiera, le bastan para ofrecer horas y horas de entretenimiento mágico. Pero hay una característica de la baraja que la mayoría de los magos desconoce: esos cartones de colores contienen una inmensa cantidad de propiedades matemáticas, muchas de ellas todavía sin explorar. En este rincón tenemos una prueba tangible de esta afirmación, pues hemos encontrado numerosas referencias a juegos de magia basados en principios matemáticos pero nunca nos hemos detenido a analizar las características más simples de una baraja. Lo primero que salta a la vista es que la baraja (eliminando por supuesto los posibles comodines) es un conjunto de N elementos, donde N = 36 en el caso de la baraja alemana, N = 40 (a veces N = 48) si la baraja es española, N = 52 si se trata de la baraja francesa o inglesa y N = 78 en la baraja del tarot. Como la versión más extendida en el mundo de la magia es la baraja inglesa, muchos autores han reflejado este número en los títulos de sus obras. Por ejemplo, podemos citar los libros 52 amantes de Pepe Carroll y Aventuras de 51 magos y un fakir de Cuenca de Ángel Idígoras, así como el curso 52 pasos para 52 amantes diseñado por Miguel Gómez y Pepe Monfort. Por cierto, ¿sabrías distinguir entre una baraja francesa y una inglesa? No basta contar el número de cartas, sale 52 en ambos casos. Una frase chistosa repetida hasta la saciedad por los magos pretende ser una definición: una baraja francesa es la que usan los ingleses para jugar al póquer americano. En realidad, la diferencia está en los valores de las figuras, el criado, la dama y el rey: en la baraja inglesa aparecen los símbolos J, Q y K, iniciales de los llamados jack, queen and king, mientras que en la baraja francesa vemos los símbolos V, D y R, iniciales de los llamados valet, dame et roy. Además, los ases de la baraja francesa están representados con el uno y los de la baraja inglesa con la letra A. Una bonita historia de las barajas, sea o no del todo cierta, está publicada en el blog "todo llega, todo pasa y todo cambia". baraja española baraja francesa baraja inglesa baraja alemana A la vista de la figura anterior, estaremos de acuerdo en que las más conocidas en nuestro entorno son la baraja española y la baraja inglesa, aunque la primera de ellas le saca mucha ventaja a la segunda. Así que es natural la pregunta que la mayoría de los magos deben afrontar en algún momento de su trayectoria: ¿por qué nos empeñamos en hacer juegos de magia con barajas extranjeras y no con barajas españolas, a las que estamos más acostumbrados y las reconocemos con mayor facilidad? Una posible respuesta, de dudoso gusto, tiene relación con las propiedades "cabalísticas" de una baraja inglesa: contiene 4 palos, correspondientes a las cuatro estaciones del año; 13 cartas en cada palo, que son las trece constelaciones zodiacales (sí, son trece y no doce, aunque la Astrología se limita a 12 signos zodiacales), y 52 cartas que corresponden al número de semanas de un año; la suma de los valores de las 52 cartas (si hacemos A = 1, J = 11, Q = 12 y K = 13) es igual a 364: al añadir un comodín sale el número de días de un año y al añadir el otro comodín sale el número de días de un año bisiesto. Puedes encontrar algunos detalles adicionales en este enlace del blog mundo esotérico. Voy a proponer aquí una respuesta numérica, no numerológica, definitiva en el contexto de la magia matemática: cada palo de la baraja inglesa tiene 13 cartas -y 13 es un número primo- mientras que cada palo de la baraja española tiene 10 cartas -pero 10 no es un número primo-. Para explicar esta respuesta tan enigmática, necesitaremos estas otras propiedades de la baraja, muy parecidas entre sí: Si nos fijamos en los colores de las cartas, el conjunto de 52 cartas se descompone en 2 grupos de 26 cartas cada uno: 26 rojas y 26 negras. Si nos fijamos en los palos de las cartas, el conjunto de 52 cartas se descompone en 4 grupos de 13 cartas cada uno: 13 rombos, 13 tréboles, 13 corazones y 13 picas. Si nos fijamos en los valores de las cartas, el conjunto de 52 cartas se descompone en 13 grupos de 4 cartas cada uno: 4 ases, 4 doses, 4 treses, ..., 4 damas y 4 reyes. ¡Sí! Es lo que estás pensando: son tres posibles relaciones de equivalencia, a partir de las cuales podemos realizar sendas particiones del conjunto. Bromas aparte, imaginemos que queremos ordenar todas las cartas de la baraja para que cada una de esas tres características -color, palo, valor- aparezca igualmente espaciada en la baraja. Es decir, que haya una roja y una negra cada dos cartas, que haya una de cada palo cada cuatro cartas y que haya una de cada valor cada 13 cartas. ¿Quieres intentarlo? El método más sencillo es colocar las cartas de la baraja en orden sucesivo de colores, palos y valores, por ejemplo de la forma ilustrada en la figura: incremento = 1 Observarás que falta la otra mitad de la baraja pero seguro que puedes completarla a partir de la secuencia dada. Habrás observado también que el orden es cíclico, es decir, después del rey, que tiene valor 13, viene el as, cuyo valor es uno. Pero no es la única manera: se pueden colocar las cartas aumentando su valor de dos en dos, o de tres en tres, etc., siempre manteniendo la secuencia alternativa de colores y palos. Las siguientes figuras muestran los primeros ejemplos: incremento = 2 incremento = 3 incremento = 4 Todas estas ordenaciones, y las que se pueden formar con cualquier otro incremento, tienen muchas propiedades en común. Las que ya conocemos son: cada dos cartas hay una roja y una negra, cada cuatro cartas hay una de cada palo y cada 13 cartas hay una de cada valor. Y todo es consecuencia de que el número 13 es primo. Pero, además, las propiedades se mantienen incluso si se realiza un corte a toda la baraja, gracias al carácter cíclico de estas ordenaciones. Pues esto no es posible en una baraja de 40 cartas (ni siquiera eliminando la condición sobre los colores, que no se perciben en esta baraja). Si lo intentamos aumentando el valor de las cartas de uno en uno (as de oros, dos de copas, tres de espadas, cuatro de bastos, cinco de oros, seis de copas, ...), la secuencia queda como en la siguiente figura: Ya no podemos seguir porque la siguiente carta de la secuencia debería ser el as de oros, que ya está colocada. ¿Podríamos lograrlo si utilizamos como incremento del valor de las cartas otro número mayor que uno? La respuesta es no: si un valor concreto se repite cada diez cartas y un palo concreto se repite cada cuatro cartas, una carta concreta se repetirá cada 20 cartas porque 20 es el mínimo común múltiplo de 4 y 10. Conclusión: una baraja española no puede ordenarse mediante el sistema anterior y una baraja inglesa puede ordenarse con este sistema utilizando cualquier valor como incremento. El juego que vamos a describir a continuación es una pequeña muestra de las ventajas que tiene el disponer de una baraja ordenada. Si quieres comprobarlo, busca una baraja, de 52 cartas, y ordénala según se ha indicado arriba; no importa el incremento que elijas. Realiza un corte completo a la baraja para que no sepas cuál es la primera carta. Vas a hacer tres montones sobre la mesa, con las cartas caras abajo, a partir de los cuadrados de los primeros números. Como el cuadrado de uno es uno, deja la primera carta sobre la mesa, cara abajo. Será la carta que vas a adivinar. Como el cuadrado de dos es cuatro, deja cuatro cartas sobre la mesa, de una en una y caras abajo, formando un segundo montón. Como el cuadrado de tres es nueve, deja nueve cartas sobre la mesa, igual que antes, formando un tercer montón. Gira cara arriba la primera carta del segundo montón y recuerda su palo. Digamos que es de corazones. Gira cara arriba la primera carta del tercer montón y recuerda su valor. Digamos que es un siete. Sólo hay una carta en la baraja con este valor y aquel palo. Pues se trata precisamente de la única carta del primer montón. En nuestro ejemplo, el siete de corazones. La idea de este juego aparece en el baratísimo libro "Card tricks anyone can do", de Temple C. Patton, publicado por primera vez en 1968. El libro contiene multitud de juegos con base matemática y en un futuro comentaremos otros juegos destacados de él. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Lunes, 03 de Octubre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

63. 141. (Septiembre 2016) SOLUCIÓN CONCURSO DEL VERANO 2016: Un mago siempre gana al NIM

A la vuelta del periodo veraniego, volvemos a nuestro rincón y retomamos el juego que describíamos en la entrega anterior. No hemos recibido noticias de que el juego haya hecho millonario a ninguno de nuestros lectores pero esperamos que, al menos, haya servido para dedicar algún rato a pensar en su estrategia. Lo recordamos:. Separas de la baraja los cuatro ases, doses, treses, cuatros, cincos y seises. Colocas dichas cartas sobre la mesa, formando seis montones, de modo que cada montón contiene las cuatro cartas del mismo valor. Propones a un espectador el siguiente juego: El primer jugador recoge una carta y anuncia su valor. El segundo jugador recoge otra carta y anuncia la suma del valor de su carta con el resultado anterior. Alternativamente, cada jugador recoge una carta y anuncia la suma de los valores de todas las cartas elegidas. Ganará el juego quien pueda escoger una carta que le permita llegar exactamente a 31 o bien consiga obligar a su oponente a que su suma sea mayor que 31. Veamos un ejemplo: el primer jugador saca un tres, el segundo saca un cinco y nombra en voz alta la suma 8; el primer jugador saca un cuatro y anuncia la suma 12; el segundo jugador saca un dos y anuncia la suma 14; el primer jugador saca un seis y anuncia la suma 20; el segundo jugador saca un cuatro y nombra 24; el primer jugador saca ahora un as y nombra 25; por último el segundo jugador saca un seis y nombra 31, de modo que es el ganador. 3 8 12 14 20 24 25 31 Si te has detenido a pensar en las diferentes estrategias ganadoras, habrás observado en primer lugar que no hay una respuesta directa a nuestra primera pregunta: - ¿Es mejor ser el primero en jugar o dejar que juegue primero nuestro oponente? Aparentemente, es cierto que se puede ganar alcanzando alguno de los valores 10, 17 ó 24. Pero el número de cartas de cada valor está limitado a cuatro, tantas como palos tiene la baraja. ¿Qué pasa si hemos alcanzado el valor 24, nuestro oponente juega el cinco y no queda ningún dos para llegar a 31? De modo que, cuando el espectador trata de llegar al 10, empieza sacando un 3, pues sabe que el mago no puede llegar a 10 pero él sí; entonces el mago saca un 4 y el espectador un 3. De momento, la suma es 10 y el próximo reto del espectador es llegar a 17 (y sabe que el mago no puede llegar pues lo máximo que puede sumar es seis). Ahora el mago saca otro 4 y el espectador otro 3. Ahora, la suma es 17 pero el mago vuelve a sacar un 4 y el espectador otro 3. La suma es 24 pero el espectador ha sacado las cuatro treses. El mago saca entonces el último 4, la suma es 28 pero el espectador no puede llegar a 31. ¡El mago vuelve a ganar! Ahora que el espectador conoce las nuevas características del juego, sabe que no puede ganar empezando por 3 pero tampoco empezando por otro número, ya que el mago sí tratará de llegar a 10, 17 y 24 sin agotar todas las cartas del mismo valor. Así pues, el espectador pide que el mago empiece. El juego se desarrolla entonces así: El mago saca un cinco y el espectador saca otro cinco para llegar rápidamente a 10. Entonces el mago saca un 2 y el espectador saca otro 5. La suma es ahora 17 y el espectador observa con cierto temor que ya se han usado tres cincos. El mago vuelve a sacar un 2 y el espectador no tiene más remedio que sacar un cinco sabiendo que ha vuelto a perder el juego. En efecto, la suma es ahora 24 y el mago saca el último 2. La suma es 26 y no hay ninguna carta con la que el espectador pueda ganar. Al espectador le queda una duda: ¿qué pasaría si no sacara un cinco en su primera jugada? Entonces la iniciativa volvería a manos del mago que sí puede adoptar la estrategia inicial de llegar a las sumas clave 10-17-24. Además, nunca se agotará ningún valor. En definitiva, siempre ganará quien juegue en primer lugar si empieza con un cinco y no con un tres, como parecía en un principio. Dos de nuestros más asiduos seguidores, Javier Serrano y Roberto Camponovo, han enviado unas respuestas muy detalladas. Hay un error en la respuesta de Javier porque la jugada correcta del segundo jugador cuando el primero empieza con 3 no es otro 3 sino un 4. Se trata de obligar al adversario a que agote todas las cartas del mismo valor, no agotarlas uno mismo. Por otra parte, la respuesta de Roberto supone que el espectador no conoce el juego para improvisar sobre la marcha una estrategia alternativa. Por ejemplo, como indica Javier, todavía puede ganar el primer jugador si empieza con 3 y su oponente sigue con otro 3. La secuencia ganadora sería: 3 - 3 (suma 6) 4 - 3 (suma 13) 4 - 3 (suma 20) 1 - ? Ahora el segundo jugador no puede llegar a 24 porque se han acabado los treses. Ya no tiene ninguna posibilidad de ganar. Agradecemos el esfuerzo de nuestros colaboradores por transcribir sus conclusiones y animamos al resto a dedicar la próxima vez un momento para enviar sus reflexiones. Observaciones finales: Como ya indicamos, el juego se propone como acertijo en el libro "The Canterbury Puzzles", de Henry Dudeney. Se trata del problema 79 y, en las soluciones, Dudeney afirma que el primer jugador también puede ganar si empieza con el uno. ¿Sabrías cómo hacerlo? El juego también ha aparecido en uno de los episodios de ScamSchool. Si ves el video, comprobarás que el juego puede proporcionar buenos ratos de entretenimiento. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 06 de Septiembre de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

64. 140. (Julio 2016) CONCURSO DEL VERANO 2016: Un mago siempre gana al NIM

En varias ocasiones, dentro de nuestro rincón matemágico, hemos desvelado trucos con los que ganar apuestas en juegos aparentemente equitativos. Y la llegada del verano es propicia para intentarlo una vez más. Suele ser un problema el hecho de que la gente te considere mago porque tiende a sospechar que tratas de engañarle y quieras aprovechar que conoces algunos secretos de los que puedas beneficiarte, si sólo tú conoces la estrategia ganadora. Así que, esta vez, iremos un paso más allá pues lograremos ganar el juego incluso después de haber desvelado y permitido a nuestro oponente utilizar la estrategia ganadora. El juego que propondremos es una adaptación del conocido juego de NIM. Para quienes el juego no sea tan conocido, daremos unas referencias: En la guía titulada "Juegos didácticos" elaborada para el programa "Las matemáticas en las bibliotecas escolares" puedes conocer el origen y las características del juego y sus variantes, así como aprender sus reglas. El juego se hizo muy popular gracias a la película "El año pasado en Marienbad" dirigida por Alain Resnais en 1961, reseñada en el rincón de al lado por nuestro colega y amigo Alfonso Población. Para familiarizarse con el juego, hay una versión online en el portal juegosdelogica.net. Pero también hay multitud de "apps" para dispositivos móviles y tabletas que encontrarás fácilmente. La versión de la que nos ocuparemos aquí recibe el nombre de "El juego del 31", como aparece en el libro del matemático británico Henry Dudeney "Los acertijos de Canterbury", publicado por primera vez en 1907 como The Canterbury puzzles. No sólo el título del libro está inspirado en el clásico de la literatura medieval "The Canterbury tales", de Geoffrey Chaucer, escrito a finales del siglo XIV, sino que su contenido también se desarrolla mediante una sucesión de cuentos y relatos en los que se plantean diferentes retos, juegos de lógica y rompecabezas ingeniosos. De la labor matemática de Henry Dudeney, destacaremos su resolución del célebre "Haberdasher puzzle", problema de disección que plantea cómo recortar un cuadrado en piezas para formar con ellas un triángulo equilátero. Una breve biografía de Henry Dudeney, así como una completa relación de su bibliografía, se puede encontrar en el blog "divulgadores" de Antonio Varela. En la introducción del juego que nos ocupa, Dudeney afirma: Durante una época, este juego fue el método favorito de estafa utilizado por los tahúres en los hipódromos y los trenes. Veamos, en primer lugar, en qué consiste el juego y, posteriormente, estudiaremos las estrategias ganadoras. Separas de la baraja los cuatro ases, doses, treses, cuatros, cincos y seises. Colocas dichas cartas sobre la mesa, formando seis montones, de modo que cada montón contiene las cuatro cartas del mismo valor. Propones a un espectador el siguiente juego: El primer jugador recoge una carta y anuncia su valor. El segundo jugador recoge otra carta y anuncia la suma del valor de su carta con el resultado anterior. Alternativamente, cada jugador recoge una carta y anuncia la suma de los valores de todas las cartas elegidas. Ganará el juego quien pueda escoger una carta que le permita llegar exactamente a 31 o bien consiga obligar a su oponente a que su suma sea mayor que 31. Veamos un ejemplo: el primer jugador saca un tres, el segundo saca un cinco y nombra en voz alta la suma 8; el primer jugador saca un cuatro y anuncia la suma 12; el segundo jugador saca un dos y anuncia la suma 14; el primer jugador saca un seis y anuncia la suma 20; el segundo jugador saca un cuatro y nombra 24; el primer jugador saca ahora un as y nombra 25; por último el segundo jugador saca un seis y nombra 31, de modo que es el ganador. 3 8 12 14 20 24 25 31 Como ocurre con la mayoría de estos juegos, la primera pregunta que debemos hacer es la siguiente: - ¿Es mejor ser el primero en jugar o dejar que juegue primero nuestro oponente? Un sencillo análisis del juego nos lleva a concluir que, si el jugador A alcanza el número 24, ganará el juego: el jugador B no podrá llegar a 31 en la siguiente jugada pero el jugador A llegará a 31 si juega una carta cuyo valor sea la diferencia entre 7 y el valor de la carta jugada por B. El mismo razonamiento indica que el jugador A ganará si alcanza el número 17, pero también si alcanza el número 10 (porque la siguiente jugada será otra vez la diferencia entre 7 y el valor jugado por B). En definitiva, el jugador A ganará el juego si empieza con una carta de valor 3. Si empieza su oponente pero no conoce el secreto, todavía podrá ganar si alcanza alguno de los valores 10, 17, 24 ó 31. Ahora viene la segunda parte del juego. Pero no lo vamos a explicar aquí sino que será nuestra propuesta para un nuevo concurso de verano. Te propongo una serie de cuestiones y, si logras resolverlas, envía tus soluciones a pedro.alegria@ehu.eus . Como es tradicional, entre las respuestas más completas e ingeniosas, seleccionaremos los ganadores del concurso, a quienes el portal DivulgaMat les obsequiará con un libro de divulgación matemática. - Primera cuestión: el mago explica al espectador la estrategia ganadora y, como muestra de cortesía, le deja jugar otra partida. Si ha entendido el juego, el espectador será quien juegue primero. ¿Qué tiene que hacer el mago para ganar la partida? - Segunda cuestión: el mago vuelve a explicar al espectador porqué ha perdido de nuevo. Así que, haciendo gala de gran generosidad, le propone una nueva revancha. El espectador ahora elegirá ser segundo jugador. ¿Cuál es la nueva estrategia que utilizará el mago para volver a ganar? - Tercera cuestión: ¿pueden plantearse otras versiones del juego, con las mismas características que tiene el juego del 31, con distintos valores de la suma final y otros conjuntos diferentes de cartas? Si eres capaz de resolver la primera cuestión, no dejes pasar la oportunidad de jugar con tus allegados. Es tan ingenioso que nadie se molestará por haber perdido las apuestas. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Viernes, 01 de Julio de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

65. 139. (Junio 2016) Corta libremente

Creo que el ingenio es una de las características más notables de las personas de éxito: un novelista capaz de desarrollar una idea original, un artista plástico que sorprende con una creación innovadora, un músico que combina con maestría la letra y la melodía de una canción son algunos ejemplos que muestran la aplicación del ingenio como parte fundamental de una obra exitosa. En matemáticas, y en las ciencias en general, el ingenio es también fundamental: la resolución de un problema requiere en muchos casos una buena dosis de ingenio, creatividad y, por supuesto, constancia. Pero no hace falta ser matemático profesional, algunos magos han desarrollado el ingenio para resolver problemas que surgen durante la creación y desarrollo de un truco. Precisamente, el apelativo más adecuado para el principio que vamos hoy a descubrir es el de ingenioso. Así que, en primer lugar, desarrollamos un juego en el que se descubren las ideas básicas y, a continuación, haremos un recorrido por su historia. Busca una baraja y reparte sobre la mesa dos montones de 10 cartas cada uno, de modo que el montón de la izquierda esté caras abajo y el montón de la derecha caras arriba. Observarás mejor el efecto final si cada paquete contiene las cartas del as al diez, en orden creciente. Retira un pequeño paquete de cartas del montón de la izquierda y mira y recuerda la carta que ha quedado en la parte superior del montón que queda en la mesa. Corta un pequeño paquete del montón de la derecha y colócalo, todavías caras arriba, sobre el montón de la izquierda. Ahora, la carta que has pensado está debajo de un número indeterminado de cartas. Mira ahora y recuerda la carta superior del paquete de la derecha (como está de cara, la ves directamente) y coloca el paquete que habías retirado al principio sobre este montón, ocultando así la segunda carta pensada. Coloca el montón de la derecha sobre el montón de la izquierda. Si extiendes las cartas, observarás que están agrupadas en montones de cartas caras abajo y caras arriba. Pasa de arriba abajo el primer paquete de cartas que están caras abajo. ¡Vaya, la carta que queda arriba es la segunda carta pensada! Pasa de arriba abajo todo el paquete de cartas que están caras arriba. ¡Nueva sorpresa!, la carta que queda arriba es la segunda carta pensada. ¿Qué ha pasado en realidad? Que hemos dado un corte completo a cada paquete de cartas y luego otro corte al conjunto total, a pesar de la libertad que hemos gozado al cortar e intercambiar ambos paquetes. En esto consiste el llamado "principio del corte libre", el cual, según apunta su supuesto inventor Gene Finnell (1929-2002), aparece por primera vez en el juego que él mismo comercializó poco tiempo antes de 1967 bajo el título “Spelling the aces”. Un poco después publicó el folleto titulado precisamente "Free cut principle", del cual hemos traducido el juego anterior. Algunas de las aportaciones a la magia de Gene Finnell se recogen en el libro de Karl Fulves titulado “Gene Finnell’s card magic”, publicado en 1973 y también en la antología de Arthur McTier titulada “Card concepts” (2000), donde el principio del corte libre se llama ahora "principio del reemplazamiento inverso". También en el libro “Magia por principios” dedico un capítulo a este principio. ¿Por qué he llamado a Gene Finnell el "supuesto inventor"? Resulta que el principio había sido aplicado ya en 1948 por John Hamilton en el juego titulado “Eyes of the God”, como aclara Karl Fulves en la revista de magia "Pallbearer’s Review" de agosto de 1970. Basados en este mismo principio, puedes encontrar en internet algunos juegos. Podrás seguir fácilmente el proceso de uno de ellos en este video de Youtube, creado por el mago japonés Shanla. Y, si tienes ganas y paciencia, puedes traducir y aprender este juego de Peter Duffie. En el blog magiaporprincipios he publicado un juego muy interesante de Gene Finnell, también traducido del folleto antes citado. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Miércoles, 01 de Junio de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

66. 138. (Mayo 2016) Las cartas adjuntas

En más de una ocasión hemos puesto de manifiesto el paralelismo entre la magia y las matemáticas en relación al desarrollo de nuevas ideas: mientras el lema "¿se puede hacer más difícil todavía?" está en la mente de todo creador de efectos mágicos, la pregunta "¿se puede generalizar de alguna forma?" es una constante en la tarea de cualquier investigador en matemáticas. El juego del cuadrado de cartas que describimos en la entrega anterior (las cartas transpuestas) es un buen ejemplo para ilustrar esta situación. El principio básico en el que se sustenta es muy simple, lo cual dificulta que pueda sorprender al público. De modo que apelamos al comodín de la pregunta: ¿se puede modificar el juego o la presentación para que produzca mayor sensación de dificultad? O, incluso, ¿podemos convertir en magia este principio matemático? La historia vuelve a rescatarnos en la búsqueda de respuestas. Tenemos que remontarnos al año 1624 cuando salió a la luz la obra titulada "Récréation mathématique, composée de plusieurs problèmes plaisants et facétieux en faict d'Arithmetique, Geometrie, Mechanique, Optique & autres parties de ces belles sciences" y escrita por el jesuita y matemático francés Jean Leurechon. Ya la historia del libro es apasionante, en primer lugar porque, como afirma el historiador Albrecht Heeffer, es una de las primeras veces que aparece la frase "matemática recreativa" en el título de un libro. Por otra parte, durante algún tiempo se atribuyó su autoría a Hendrick van Etten, uno de sus alumnos. Pero, además, porque no parece que sea original: en la versión inglesa de 1633, que contiene un apéndice firmado por William Oughtred, titulada "Mathematicall recreations. Or, A collection of many problemes, extracted out of the ancient and modern philosophers as secrets and experiments in arithmetick, geometry, cosmographie, horologiographie, astronomie, navigation, musick, opticks, architecture, statick, mechanicks, chemistry, water-works, fire-works, &c.", el autor afirma: «Not vulgarly manifest till now. Written first in Greeke and Latin, lately compi'ld in French, by Henry Van Etten, and now in English, with the examinations and augmentations of divers modern mathematicians whereunto is added the description and use of the generall horologicall ring: and the double horizontall diall.» De hecho, muchos de los problemas planteados por Leurechon ya aparecen en el libro "Problèmes plaisants ..." (1612), de Claude-Gaspar Bachet, ya citado en varias ocasiones en este rincón. Dejamos a un lado la polémica y nos centramos en el problema 64 del libro de Leurechon, titulado "Plusieurs cartes estans proposées à plusieurs personnes, deviner quelle carte chaque personne aura pensé". No nos limitaremos a traducirlo sino que lo describiremos con algo más de detalle. Para este juego necesitarás una baraja de cartas y cinco espectadores. Entregas la baraja a uno de los espectadores para que la mezcle a conciencia y te la devuelva. Repartes sobre la mesa, caras hacia abajo, cinco cartas a cada uno de los cinco jugadores simulando una partida de póquer. Por ejemplo, si llamamos A, B, C, D y E a los cinco espectadores, un posible reparto sería el que se ilustra en el cuadro siguiente. A B C D E 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Pides a cada espectador que recoja sus cinco cartas, las mire y piense una de ellas. Después vuelve a dejar sus cartas formando un montón sobre la mesa. Seguimos con el ejemplo: supongamos que el espectador A elige el 2 de corazones, el espectador B la jota de corazones, el espectador C el as de corazones, el espectador D el cuatro de rombos y el espectador E el 6 de corazones. Una vez que todos los espectadores han seguido tus instrucciones, recoges todas las cartas: colocas el montón del primer espectador sobre el montón del segundo espectador, luego estas diez cartas sobre el montón del tercer espectador y así hasta que tengas un solo montón con las 25 cartas. Repartes nuevamente cinco manos de póquer a los cinco espectadores pero esta vez dejando las cartas cara arriba. De este modo, las cartas que tiene cada espectador son las indicadas en el cuadro: A B C D E 1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25 Una vez repartidas las 25 cartas, pides a los cinco espectadores que se fijen en la primera mano, es decir en las cinco cartas del primer espectador y preguntas si alguien ve la carta que ha pensado. Repites la operación con el resto de montones y terminas adivinando todas las cartas pensadas y qué espectador pensó cada una de ellas. ¿Cómo tienes tanta información? Basta observar que el todo el proceso equivale al que seguimos en el juego descrito el pasado mes: el segundo reparto hace que se hayan intercambiado las filas y las columnas. Por tanto, si el espectador X dice que ha visto su carta en el montón Y, su carta será la que ocupa la posición X de dicho montón. En el ejemplo propuesto, el espectador A verá su carta en el montón A, de modo que se trata del 2 de corazones; nadie verá su carta en el montón B; los espectadores B y D verán su carta en el montón C, de modo que son la jota de corazones y el cuatro de rombos, segunda y cuarta cartas; los espectadores C y E verán su carta en el montón D, por lo que se trata del as de corazones y el seis de corazones, tercera y quinta cartas. Como podrás apreciar, esta presentación disimula la obviedad del principio utilizado ya que la excusa del juego de póquer hace que esta forma de repartir sea muy natural. Entenderás también que el juego funciona igual si simulas una partida de mus y repartes 16 cartas entre cuatro jugadores. Este juego ha sido ampliamente estudiado y, a lo largo del tiempo, se han escrito multitud de variaciones, unas destacando el aspecto matemático y otras profundizando los detalles técnicos. Aparece explicado, cómo no, en la obra "Modern magic", ya citada en la entrega anterior. En el mundillo mágico es conocido con el nombre "póquer mental", debido a la forma usual de presentarlo como una demostración de adivinación de cartas en una partida de póquer (no confundirlo con el juego de estrategia, también llamado póquer mental, en cuyo desarrollo se aplican técnicas criptográficas). Te recomiendo la lectura del artículo titulado "A brief analysis of the twenty-one card trick and related effects", de Justin Higham, donde el autor realiza un completo recorrido por todos los juegos que hemos descrito a lo largo de estos últimos meses. También puedes ver la ejecución del juego en uno de los videos del canal ScamSchool. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 03 de Mayo de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

67. 137. (Abril 2016) Las cartas transpuestas

Para completar el círculo que iniciamos con el juego de los tres montones y el de las diez parejas, desarrollados en las entregas anteriores, esta vez nos detendremos en otro clásico de la magia, el juego de las 16 caras o el de las 25 cartas o, en general, el del cuadrado con cartas. Una referencia básica del juego es la del profesor Hoffmann (a quien Houdini describió como la estrella más brillante en el firmamento de la literatura mágica) y su libro Modern Magic, publicado por primera vez en 1876. Como se indica en la publicidad del libro electrónico comercializado por lybrary.com, «... el profesor Hoffmann ha sido el primero de la historia moderna en recopilar la magia de forma enciclopédica, a través de la trilogía "Modern Magic", "More Magic" y "Later Magic". Ninguno de los libros publicados antes que estos, la mayoría copias unos de otros, alcanza la profundidad y aroma del trabajo del profesor Hoffmann. El material incluido en esta enciclopedia representa el estado del arte de la magia a finales del siglo XIX. Hoy en día sabemos más trucos y hemos refinado nuestras técnicas y métodos, pero es inimaginable lo que ya se conocía en esa época. Una lectura cuidadosa de esta enciclopedia permitirá descubrir algunos métodos ingeniosos que han sido olvidados o han caído en desuso en la magia de hoy. Si realmente quieres sorprender a tus amigos magos, lee este libro y realiza alguno de sus muchos -no tan bien conocidos- secretos.» [Hubo una secuela a la trilogía citada, el libro "Latest magic", publicado en 1918, convirtiendo su enciclopedia en una tetralogía.] Del profesor Hoffmann apuntaremos que se trataba del nombre artístico de Angelo John Lewis (1839-1919), abogado de profesión y aficionado a los juegos de ingenio. En 1893 publicó el clásico "Puzzles old and new", un completo catálogo que incluye la mayoría de los puzles mecánicos conocidos en el Londres victoriano de la época. Volviendo al juego que nos ocupa y al capítulo III del libro "Modern magic", una página después de la descripción del juego que explicamos el mes pasado aparece el juego titulado "Another mode of discovering a card thought of". Así funciona: Reparte sobre la mesa las 25 cartas, caras arriba, formando un cuadrado con cinco filas y cinco columnas. Invita a una persona que piense una de las cartas y te indique en qué fila se encuentra. Digamos que te dice la fila X. Recoge ahora todas las cartas del modo siguiente: coloca la última carta de la última fila sobre la última carta de la cuarta fila; colocas estas dos cartas sobre la última carta de la tercera fila, y así sucesivamente; al terminar de recoger la última columna, colocas las cinco cartas sobre la última carta de la quinta fila, el grupo de cartas sobre la última carta de la cuarta fila, siempre de la misma forma, hasta recoger todas las cartas. Si imaginamos que las cartas están dispuestas según el siguiente esquema, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 el orden de recogida es 25-20-15-10-5-24-19-14-9-4-23-...-2-21-16-11-6-1. Reparte nuevamente todas las cartas en cinco filas de cinco cartas cada una, en el orden "habitual": las cinco primeras cartas formarán la primera fila, las cinco siguientes se colocarán bajo las anteriores, y así sucesivamente. Según el esquema anterior, las cartas quedarán colocadas en el orden siguiente: 1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25 Preguntas de nuevo al espectador en qué fila se encuentra ahora su carta. Supongamos que te dice la fila Y. Un rápido vistazo a la mesa te indicará la carta pensada por el espectador: basta que localices la carta que ocupa la fila Y y la columna X. Por ejemplo, si la carta estaba primero en la fila 4 y luego en la fila 2, se trata del cuatro de picas, pues es la cuarta carta de la segunda fila. La explicación es muy sencilla: la forma de recoger y repartir hace que todas las cartas hayan intercambiado la fila con la columna. Si una carta estaba en la fila A y columna B, ahora está en la fila B y columna A. En matemáticas se dice que la nueva matriz es la transpuesta de la matriz inicial. Ahora entenderás también la afirmación que hicimos al principio: el juego puede realizarse con 9, 16, 25, 36 o, en general, con cualquier número cuadrado de cartas. Sin embargo, no hay ninguna limitación matemática que impida realizar el juego con n x m cartas, siendo n y m distintos. Bastará que, en el primer reparto, se formen n filas y m columnas y, en el segundo reparto, se formen m filas y n columnas. En la práctica, esta distribución asimétrica no es natural y hace sospechoso el proceso. La explicación de este juego, con algunos interesantes comentarios, también aparece en el libro "Mathematical recreations and essays" (originalmente titulado "Mathematical recreations and problems of past and present times"), un cofre lleno de tesoros del historiador de las matemáticas Walter William Rouse Ball, publicado por primera vez en 1892 y que va por la decimotercera edición. Te recomiendo la lectura de una divertida biografía de Rouse Ball, titulada "Mathematics and Hocus Pocus", escrita por Philip Davis. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Lunes, 04 de Abril de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

68. 136. (Marzo 2016) El juego de las diez parejas

La historia del juego de los tres montones, analizado en las dos entregas anteriores, está íntimamente ligada a la de otro juego no tan antiguo pero no por ello menos clásico. Los magos de cierta edad, más bien los de edad incierta, asociamos las palabras mágicas MUTUS-DEDIT-NOMEN-COCIS a uno de los primeros juegos que aprendimos en nuestros inicios. De manera similar al juego de los tres montones, este juego era uno de los que todo aficionado utilizaba para impresionar al primer mago que se encontraba. Sin embargo, a diferencia del juego de los tres montones, esta tradición se ha perdido en la actualidad y el juego es menos conocido que antaño. Al tratarse de uno de los clásicos de la magia, y esconder un principio matemático sencillo, haremos un recorrido histórico por el juego, a partir de la información que nos proporciona la MAGICPEDIA. Pero antes, veamos cómo se realiza el juego y qué papel desempeñan nuestras palabras mágicas. Para este juego sólo necesitaremos 20 cartas -no importa cuáles-, un mago que serás tú y un espectador que elegirás a tu gusto. Reparte sobre la mesa las 20 cartas, caras arriba, en diez parejas y pide al espectador que mire y recuerde las dos cartas de cualquier pareja que desee. Recoge ahora todas las cartas, en cualquier orden pero sin deshacer las parejas, y vuelve a colocarlas sobre la mesa, caras hacia arriba, formando un rectángulo de cuatro filas por cinco columnas. Explica que harás el reparto de forma aleatoria, colocando descuidadamente las cartas. Por el contrario, lo que vas a hacer es colocar las cartas siguiendo la regla mnemotécnica de las palabras mágicas MUTUS-DEDIT-NOMEN-COCIS. Así pues, coloca las dos primeras cartas en los lugares que ocuparían las dos letras "M" en la disposición de la figura inicial. Quedarían dispuestas según la imagen siguiente: Reparte las dos siguientes cartas colocándolas en la posición que ocuparían las letras "U" de la frase mnemotécnica. Tendrás ahora cuatro cartas sobre la mesa, en las posiciones de la imagen: Repite el reparto con las siguientes dos cartas, colocándolas en las posiciones de las letras "T", como en la imagen: Continúa repartiendo así todas las cartas, dando la impresión de que quedan completamente desordenadas y que las parejas iniciales se han deshecho. Pide al espectador que te indique solamente en qué filas están sus cartas. Basta esa información para que adivines sus dos cartas elegidas. Como habrás comprobado, las cuatro palabras que hemos memorizado tienen dos propiedades fundamentales: En total tienen diez letras distintas y cada una aparece exactamente dos veces. Cada pareja de cartas corresponde a una única combinación de filas. Esto permite saber cuáles son las cartas del espectador conocidas las filas que las contienen. Por ejemplo, si el espectador nombra la segunda y cuarta filas, las cartas deben ocupar los lugares de la letra "I", es decir corresponderán a la tercera carta de cada fila. Si las dos cartas están en la tercera fila, ocuparán los lugares de la letra "N" y serán la primera y última carta de dicha fila. Te puedes considerar un experto en este "rincón matemágico" si has sido capaz de asociar este juego con el que describíamos allá por el año 2004 bajo el título "Un problema divertido y deleitable" parafraseando el título de la obra del señor de Méziriac, Claude-Gaspard Bachet, publicada en 1612, libro que citábamos también como parte del recorrido histórico por el juego de los tres montones. Adoptaremos pues ese año para marcar el punto de partida de la historia de este juego y bautizar el juego como el truco de Bachet. Más de un siglo y medio después vuelve a aparecer el juego en su versión más conocida, donde se usa la frase mnemotécnica que hemos utilizado aquí, en el libro "Nouvelles récréations physiques et mathématiques", de Edmé-Gilles Guyot, publicado por primera vez en 1769 (recreación número catorce del apartado "juegos de cartas en los que se emplea la habilidad de manos"). Unos años después, concretamente en 1774, aparece la ¿traducción? ¿adaptación? ¿plagio? en el libro "Rational recreations, in which the principles of numbers and natural philosophy are clearly and copiously elucidated, by a series of easy, entertaining, interesting experiments among which are all those commonly performed with the cards", escrito por William Hooper, bajo el título "The ten duplicates". Como era de esperar, el juego ha sido objeto de diversas modificaciones y variantes a lo largo de los tiempos. Una de las primeras modificaciones es la de realizar el juego a varios espectadores simultáneamente, debido a la correspondencia que existe entre parejas de filas y parejas de letras repetidas. Esto producirá un mayor efecto entre el público a pesar de que no requiere mayor esfuerzo en el mago. Utilizando otras frases mnemotécnicas, es posible realizar el juego con más cartas -pero siempre que la cantidad sea producto de dos números consecutivos-, como las ideadas por David Silverman, LIVELY-RHYTHM-MUFFIN-SUPPER-SAVANT, donde se utilizan 30 cartas, o las descubiertas por Albert Ross Eckler, MEACOCK-RODDING-GUFFAWS-TWIZZLE-RHYTHMS-KNUBBLY, con 42 cartas. ¿Te atreves a buscar otras secuencias de palabras que sean más sencillas de memorizar? Más lejos ha llegado el propio Albert Ross Eckler en el artículo titulado "A card trick mnemonic revisited" al proponer una lista de 26 palabras que permiten realizar el juego con las 52 cartas de una baraja francesa. Es fácil comprender que el juego puede realizarse también con otros objetos, como tarjetas con palabras o números que el propio espectador elige. Esta idea ha sido puesta en práctica por Tom Sellers con el juego "Double date" que aparece en su libro "Magical Pleasantries", de 1931. En el portal AUTOMAGIA hemos incluido un programa, llamado juego de Bachet, que puedes descargar para realizar el juego de forma interactiva. Este programa, elaborado por Juan Carlos Ruiz de Arcaute, tiene también la opción de utilizar distintas cantidades. Para terminar, quiero plantear una cuestión y resolver otra. La cuestión es: ¿en qué momento se sustituyó la frase original MUTUS-DEDIT-NOMEN-COCIS por la actual MUTUS-NOMEN-DEDIT-COCIS? Y lo que quiero contestar es la pregunta: ¿por qué el juego sólo se puede realizar con una cantidad de cartas igual al producto de dos números consecutivos? Teniendo en cuenta que la única información que tiene el mago es una combinación de dos números, que son las dos filas que contienen las cartas elegidas, para que esa información sea suficiente, el número de cartas debe ser igual al número de dichas combinaciones. Si formamos n filas de cartas, el número de parejas de filas, comprendidas entre 1 y n, es igual al número de las llamadas combinaciones con repetición de n (números) en dos (filas). La fórmula para contarlas es CR(n,2) = C(n+1,2) = n(n+1)/2. Se necesitan n(n+1)/2 parejas de cartas, es decir n(n+1) cartas. Así pues, el juego clásico se realiza con n = 4 filas, por tanto se necesitan 4 x 5 = 20 cartas. Podría hacerse también con 3 x 4 = 12 cartas y 3 filas de cuatro cartas cada una. No parece complicado inventar una regla mnemotécnica para este caso más simple. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 01 de Marzo de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

69. 135. (Febrero 2016) El juego de los "m" montones

Como anunciábamos en la entrega anterior, vamos a continuar la historia del truco de las 21 cartas aportando algunos aspectos matemáticos del juego. Tenemos varias preguntas pendientes de contestar y las respuestas nos sugerirán nuevas cuestiones pero también darán lugar a interesantes variantes del juego original. La primera pregunta que planteábamos era: ¿por qué la carta elegida pasa a ocupar la posición central del paquete? Para averiguar la respuesta, vamos a examinar un ejemplo que nos permitirá deducir la situación general. Apreciaremos de forma más visual todo el proceso eligiendo adecuadamente las cartas a utilizar. Así pues, buscamos las siete primeras cartas de picas, de tréboles y de corazones y las repartimos en tres montones sobre la mesa, donde el montón superior contiene las cartas de tréboles, el central las cartas de corazones y el inferior las cartas de picas. Ilustramos esta situación en la figura siguiente: Primer reparto Supongamos que el espectador nos dice que ha pensado una carta que está en el montón central. Recogemos el montón superior, giramos las cartas y las colocamos en la mano; recogemos a continuación el montón central, lo giramos también y lo colocamos en la mano sobre las cartas que ya tenemos; recogemos por último el montón inferior y repetimos las acciones anteriores. Realizamos ahora el segundo reparto: tomamos la primera carta, la giramos y la dejamos sobre la mesa formando el montón superior, tomamos la segunda, la giramos y la dejamos bajo la anterior formando el montón central, tomamos la tercera, la giramos y la dejamos bajo las anteriores formando el montón inferior. Seguimos repartiendo de este modo el resto de las cartas, colocándolas sucesivamente en el montón superior, central e inferior, hasta terminar las 21 cartas. La figura siguiente muestra el resultado. Segundo reparto Lo primero que se observa es que las cartas rojas están en el centro de los montones: al menos hay dos cartas negras en los extremos de cada montón. Supongamos ahora que el espectador indica que su carta está en el montón inferior. Por tanto, recogemos el montón superior, luego el inferior y, por último, el central (del mismo modo como hicimos en la recogida anterior). Volvemos a repartir las cartas, también de la misma forma que en el reparto anterior, quedando las cartas como se ilustra en la figura. Tercer reparto En este momento, la carta pensada por el espectador estará ocupando la posición central en su paquete. Por ejemplo, si se encuentra en el montón central, sabemos que se trata del cinco de corazones. Por tanto, al recoger los montones como se ha indicado -primero el montón superior, luego el montón central y por último el montón inferior- la carta elegida ocupará la undécima posición, tanto desde arriba como desde abajo. Si queremos encontrar una fórmula general que sirva para cualquier número de cartas, vamos a sustituir los valores de las cartas por sus posiciones, empezando por cero para que los cálculos sean más simples, y vamos a observar cómo cambian dichas posiciones después de cada proceso de reparto y recogida indicados en el ejemplo anterior. De este modo, en el juego de las 21 cartas, la posición inicial de las cartas sigue el orden natural: 0, 1, 2, 3, ..., 19, 20. Después del primer reparto y la primera recogida, recordando que el montón que contiene la carta elegida debe recogerse en segundo lugar, esta carta ocupará alguna de las posiciones 7, 8, 9, 10, 11, 12 o 13. Es evidente que, durante el segundo reparto, la carta elegida no puede ser ninguna de las siete primeras ni de las siete últimas. Al recoger por segunda vez los montones, la carta elegida debe tener al menos nueve cartas encima y nueve cartas debajo. Es decir, debe ocupar alguna de las posiciones 9, 10 u 11. En el tercer reparto, la carta elegida no será ninguna de las nueve primeras ni de las nueve últimas, así que tiene tres cartas por encima y tres cartas por debajo, dentro de su montón. Al recoger este montón en segundo lugar, la carta elegida tendrá diez cartas por encima y diez cartas por debajo, de modo que está en el centro de la baraja, ocupando la posición 10. La tabla siguiente resume este proceso. p0 p1 p2 p3 0 3 6 9 12 15 18 1 4 7 10 13 16 19 2 5 8 11 14 17 20 7 8 9 10 11 12 13 9 10 11 10 Puedes encontrar otra explicación del mismo juego en el blog "The math mom". ¿Nos atrevemos a repetir este argumento en el caso general? Vamos a intentarlo. Para ello, llamamos "m" al número de montones repartidos y "c" al número de cartas en cada montón. Necesitamos que ambos números sean impares para que tengan sentido dos pasos clave: en cada recogida, el montón que contiene la carta elegida debe quedar en medio de los demás y, al final, la carta elegida debe quedar en medio de la baraja. Cada iteración del proceso consiste en repartir las cartas en "m" montones y recogerlos de modo que la carta elegida quede en el montón central. Si pk es la posición de la carta elegida (empezando a contar en cero) después de la k-ésima iteración, se puede comprobar que pk = [pk-1/m]+ (m-1)·c/2, donde el símbolo [x] representa la parte entera del número x, es decir el mayor entero que es menor o igual que el número x. Es evidente entonces que el truco funcionará siempre que después de n iteraciones se llegue a pn = [m·c/2], lo que significa que la carta elegida ocupa la posición central del paquete de cartas. El ejemplo que hemos desarrollado corresponde al caso m = 3 y c = 7, y hemos comprobado que, después de tres iteraciones, la carta elegida ocupa la posición p3 = [m·c/2] = [10,5] = 10. Otros ejemplos sencillos son los mostrados en las siguientes tablas: m = 5, c = 5: p0 p1 p2 0 5 10 15 20 1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 10 11 12 13 14 12 m = 3, c = 5: p0 p1 p2 p3 0 3 6 9 12 1 4 7 10 13 2 5 8 11 14 5 6 7 8 9 6 7 8 7 Curiosamente, si utilizamos 25 cartas y repartimos cinco montones, basta repetir el proceso dos veces para que la carta elegida quede en la posición central. Observamos también que, haciendo m = 3 (tres montones), hacen falta tres iteraciones tanto en el caso c = 5 como c = 7. El mes pasado nos preguntábamos cuál era el número máximo de cartas con las que funciona el juego si se realizan tres repartos. Dicho número no es 21, como cabía esperarse por ser más popular el juego de las 21 cartas. Con 27 cartas, es decir m = 3 y c = 9, también son suficientes tres iteraciones para que la carta elegida ocupe la posición central. De hecho, matemáticamente es más natural porque 27 = 3 x 3 x 3. Ahora te estarás preguntando si 81 cartas serán suficientes para que el juego funcione haciendo cuatro iteraciones con tres montones cada vez. Efectivamente, así es. Se cree que la popularidad del juego de las 21 cartas reside en que el número de cartas no es tan elevado para que el proceso repetitivo de repartir y recoger montones resulte aburrido para el espectador. Como adelantábamos en la entrega anterior, quienes saben del asunto cuentan que el primero en analizar y generalizar el juego de los tres montones fue el gran matemático francés Joseph Diaz Gergonne (personaje de la imagen adjunta) en el artículo "Récréations mathématiques. Recherches sur un tour de cartes" publicado en la revista que él mismo fundó Annales de mathématiques pures et appliquées, 4 (1813-1814), p. 276-283 (su intensa dedicación a la revista hizo que fuera conocida popularmente con el nombre de Annales de Gergonne). No sé si por desconocimiento de la historia (como ha sido mi caso) o de forma deliberada, en el entorno científico el truco y sus variantes se conoce como el "truco de Gergonne" en lugar de llamarse el "truco de Galasso". Compruébalo tú mismo escribiendo las palabras Gergonne trick en cualquier buscador de internet. En su artículo, Gergonne analiza el juego titulado "Une personne ayant secrètement pensé una carte, la faire trouver dans le jeu au nombre qu'ell aura demandé" (Hacer aparecer una carta pensada por una persona en la posición indicada por ella), que corresponde a la trigésima recreación (en el apartado de juegos de cartas que requieren destreza manual) del tercer tomo del libro "Nouvelles récréations physiques et mathématiques", de Edmé-Gilles Guyot, publicado por primera vez en 1769. No nos detendremos ahora en glosar la figura de Guyot pero el libro causó un gran impacto en la época por revelar los secretos de muchos juegos clásicos de magia. Esto nos lleva a la última pregunta planteada el mes pasado: ¿por qué la carta elegida pasa a ocupar la posición central del paquete? Una interesante interpretación del sistema de numeración en base tres permite realizar una interesante variante del juego mediante el cual la carta elegida va a parar a una posición previamente escogida por el público. Esta variante es la que describe Guyot y analiza Gergonne. Terminaremos esta "bilogía" dedicada al juego de los tres montones con la explicación de esta versión. Supongamos que nos piden que la carta elegida aparezca en la posición número 15. Mentalmente, o con ayuda de algún dispositivo electrónico, realizaremos el siguiente cálculo: Se resta una unidad al número elegido. En nuestro ejemplo, 15 - 1 = 14. Se escribe el resultado en el sistema de numeración de base tres. Así pues, 14 = 112(3). Se recuerdan las cifras del resultado de derecha a izquierda. En nuestro ejemplo se trata de la secuencia 2 - 1 - 1. Se aplican a dichas cifras la clave: 0 = arriba, 1 = centro, 2 = abajo. En nuestro ejemplo, debemos recordar la secuencia abajo-centro-centro pues equivale a los números 2-1-1. Ya podemos realizar el juego en su forma clásica, es decir, repartimos las 27 cartas formando tres montones sobre la mesa y pedimos a un espectador que piense una de las cartas y nos indique el montón donde se encuentra. Recogemos los tres montones teniendo en cuenta que el montón que contiene la carta elegida se recoge en la posición indicada por la clave que hemos aplicado. Como la primera palabra clave es "abajo", recogemos el montón de la carta elegida en primer lugar para que quede debajo de los otros dos. Repetimos el reparto una segunda vez y pedimos al espectador que nos indique el montón que contiene la carta elegida. Como la segunda palabra clave es "centro", recogemos ese montón en segundo lugar para que quede en el centro de los otros dos. Repetimos el reparto por tercera y última vez, volvemos a preguntar por el montón que contiene la carta elegida y recogemos este montón en segundo lugar, ya que la tercera palabra clave es "centro". Sólo queda repartir las cartas una por una hasta llegar a la décimoquinta. Muéstrala con suspense y comprueba que se trata de la carta elegida. Observaciones finales. En el libro "Mathematics, magic and mystery", Martin Gardner describe otra versión del juego donde el mago se encuentra de espaldas, el espectador realiza los repartos y recoge los montones en el orden que le apetece y, sin embargo, el mago adivina la carta elegida. También puedes encontrar la explicación en el libro "Magia por principios". Para profundizar en otros aspectos matemáticos del juego, pueden consultarse los siguientes trabajos: Roy Quintero, El truco de las 21 cartas a través de permutaciones, EDUCERE, 2006. Ethan Bolker, Gergonne's card trick, positional notation and radix sort, Mathematics Magazine, 2010. Carlos Vinuesa, Matemagia básica, La Gaceta de la RSME, 2011. h2g2, Why the 21 card trick works. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Martes, 02 de Febrero de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

70. 134. (Enero 2016) El juego de los tres montones

¿Quién no ha oído hablar del juego de los tres montones, también conocido como el juego de las 21 cartas? No sería muy aventurado asegurar que se trata de uno de los primeros juegos de magia que aprenden los niños desde hace varios siglos. De hecho, este juego aparece descrito en el libro del italiano Horatio Galasso titulado "Giochi di carte bellissimi di regola e di memoria", publicado en 1593. El libro contiene varios juegos de cartas basados en principios aritméticos y otros juegos diversos, algunos de los cuales aparecen también en el libro "De viribus quantitatis" de Luca Pacioli, escrito casi un siglo antes. Se puede encontrar una traducción del manuscrito en el segundo número del segundo volumen de la publicación bianual Gibecière, correspondiente al año 2007. El juego vuelve a aparecer el año 1612 en el problema XVIII del libro "Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres", de Claude-Gaspard Bachet (1581-1638), señor de Méziriac, incluyendo una primera explicación del método (allá por el año 2004 -rincón matemágico número 3- describíamos un juego contenido en este libro). Aparentemente, el primero en analizar y generalizar el juego de los tres montones fue el gran matemático francés Joseph Diaz Gergonne (1771-1859) en el artículo "Récréations mathématiques. Recherches sur un tour de cartes" publicado en la revista que él mismo fundó Annales de mathématiques pures et appliquées, 4 (1813-1814), p. 276-283. Hablaremos con detalle de este artículo en la próxima entrega de este rincón. Quizá sea el momento de entrar en detalles y pasar a la descripción del juego, por si queda alguien que lo ha olvidado o pertenece a esa minoría que no lo conoce. Busca una baraja y cuenta 21 cartas cualesquiera. Aparta el resto. Con las 21 cartas, reparte sobre la mesa tres montones de 7 cartas cada uno, con las cartas caras arriba, de la siguiente forma: la primera a la izquierda, la segunda en el centro, la tercera a la derecha, la cuarta sobre la primera, la quinta sobre la segunda, y así sucesivamente hasta repartir las 21 cartas. Durante el reparto elige una de las cartas y fíjate en qué fila se encuentra. Recoge los tres montones de la mesa, de modo que el montón que contiene la carta elegida quede entre los otros dos. Repite el proceso: reparte tres montones sobre la mesa, en el mismo orden anterior y recordando el montón donde queda la carta elegida. Recoge otra vez las cartas colocando siempre el montón que contiene la carta elegida entre los otros dos. Repite por tercera y última vez el proceso: tres montones sobre la mesa, izquierda, centro, derecha, izquierda, centro, derecha,  etc., recordando el montón donde queda la carta elegida. Recoge por última vez las cartas colocando el montón que contiene la carta elegida entre los otros dos. Sólo queda recitar la palabra mágica más mágica de todos los tiempos: ABRACADABRA. Mientras deletreas dicha palabra, por cada letra vas dejando una carta sobre la mesa. Al deletrear la última letra, estarás dejando sobre la mesa una carta. ¡Precisamente la carta elegida! Todo parece indicar que la carta elegida siempre queda en la misma posición. Como la palabra ABRACADABRA tiene 11 letras, resulta que la carta elegida ocupa la undécima posición. Como había un total de 21 cartas, la carta ocupa la posición central. Podíamos haber deletreado la palabra mágica con las cartas caras arriba o con las cartas caras abajo. Hasta aquí llega el saber popular. Cuando se te acerca un aficionado, descubre que eres mago y quiere demostrar su propia habilidad, es muy probable que te haga este juego. Al terminar, casi siempre se repite esta conversación. - ¿Qué te ha parecido?- pregunta buscando tu aprobación. - Muy bien, te ha salido perfectamente -respondes con amabilidad. -¿Cómo lo has hecho? -le preguntas por cortesía. - No sé, me lo contaron así. - ¡Ah! ¿Y sólo funciona con 21 cartas, tres montones y esa palabra mágica?- replicas con una pizca de mala intención. - Tampoco lo sé. ¿Tú lo sabes? Pues sí, y tú también lo vas a saber enseguida debido a la simplicidad del proceso. Si retomamos el origen de la historia, encontramos algunas respuestas. En 2007, Jon Racherbaumer ha publicado el libro titulado "7-7-7. The 21 card trick book" con multitud de versiones del juego y, cómo no, empieza traduciendo el juego original de Galasso. Incluyo aquí la traducción al castellano a partir de la traducción al francés de Philippe Billot y Pierre Guedin (como aparece en su libro "Prestidigitation, mille et une sources") de la traducción al inglés de Jon Racherbaumer del original en italiano de Horatio Galasso (con tanta traducción, cualquier parecido con la realidad debe ser pura coincidencia): En primer lugar tome su señoría quince cartas, entrégueselas a la persona que desee, y que ella piense una de las cartas o bien láncelas caras arriba sobre la mesa indicándole que piense una de ellas. A continuación, recójalas y reparta tres montones, caras arriba, comenzando por su izquierda, dejándolas superpuestas y colocando cinco cartas en cada montón. Pregúntele en qué montón se encuentra la carta pensada y recoja los tres montones colocando ese montón entre los otros dos. Siga este procedimiento dos veces más, preguntando cada vez en qué montón se encuentra la carta y colocando cada vez este montón entre los otros dos. Habiendo seguido esta regla tres veces, se dará cuenta que la octava carta será la pensada y esta será la carta central de las quince. Y que podrá utilizar esta regla sin importar el número de cartas siempre que sea impar. Ya tenemos la primera respuesta: el juego funciona con 15 cartas y tres montones. La carta pensada sigue quedando en la posición central: con quince cartas será la octava y con 21 cartas será la undécima. ¿Será cierto que el juego funciona con cualquier número impar como asegura Galasso? En primer lugar, habrá que interpretar la última frase del juego suponiendo que el número impar es múltiplo de tres para que sea posible repartir tres montones con el mismo número de cartas en cada uno (de hecho, esta suposición ya está reflejada en el problema XVI del libro "Récréations mathématiques et physiques" del matemático francés Jacques Ozanam, publicado en 1694). En segundo lugar, no parece probable que sean suficientes tres repartos si el número de cartas es más elevado. ¿Podrías calcular el número máximo de cartas con las que funciona el juego si se realizan tres repartos? Dejaremos para el próximo mes la respuesta a la pregunta anterior y a esta otra: ¿por qué la carta elegida pasa a ocupar la posición central del paquete? Como aperitivo, terminaremos aquí con la descripción de una versión del juego donde se utilizan ¡las 52 cartas de una baraja francesa! Esta versión aparece publicada en el libro "Charles Jordan's best card tricks" de Karl Fulves, publicado en 1992. Un espectador nombra un número entre 1 y 52 y piensa una carta de la baraja francesa (de 52 cartas), sin nombrarla. Con las cartas caras abajo en la mano, el mago reparte caras hacia arriba todas las cartas de la baraja, una a una, formando cuatro filas sobre la mesa y el espectador indica en qué montón se encuentra la carta pensada. Se juntan los cuatro montones y se realiza el proceso anterior tres veces más. En cada reparto, el espectador sólo indica en qué montón está la carta pensada. Se agrupan por última vez los cuatro montones y el espectador busca la carta que ocupa el lugar indicado por el número elegido al principio del juego. Dicha carta es precisamente la pensada por el espectador. Explicación. El número elegido por el espectador es toda la información que el mago necesita para recomponer adecuadamente las cartas después de cada reparto. La clave para cada número está contenida en la siguiente tabla: CLAVE ORDEN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1-1-1 2-2-1 3-3-1 4-4-1 2-2-2 3-3-2 4-4-2 2-2-3 3-3-3 4-4-3 2-2-4 3-3-4 4-4-4 La primera columna indica el número elegido por el espectador al principio del juego. Si dicho número es mayor que 13, se busca en la tabla el resto de la división por 13. La segunda columna indica la forma de agrupar los montones después de los tres primeros repartos. Por ejemplo, si el número elegido por el espectador es 6, la clave 3-3-2 indica que el montón donde se encuentra la carta del espectador debe recogerse en tercer lugar después del primer reparto, en tercer lugar después del segundo reparto y en segundo lugar después del primer reparto. La forma de recoger los paquetes es la siguiente: se recoge un paquete y se deja en la mano, con las caras hacia arriba; se recoge el segundo paquete y se coloca sobre el primero; se recoge el tercer paquete y se coloca sobre los otros dos, y de la misma forma se recoge el último paquete. A continuación, se gira toda la baraja para realizar el siguiente reparto. Si el número elegido está entre 1 y 13, después del último reparto el montón que contiene la carta elegida se recoge en primer lugar; si el número está entre 14 y 26, el montón que contiene la carta elegida se recogerá después del último reparto en segundo lugar, y así sucesivamente. Con estas indicaciones, la carta elegida pasa automáticamente al lugar deseado. Es un buen ejercicio estudiar la secuencia que produce la tabla anterior y su relación con el sistema de numeración en base cuatro. Si utilizáramos todas las permutaciones con repetición de los números 1, 2, 3 y 4 en la tabla anterior, comprenderemos que el mismo experimento puede realizarse con un número mayor de cartas. Comentario final. Para no alargar esta apasionante historia, en realidad mucho más compleja y con muchos más personajes destacados, diremos que el nombre actual "The Twenty-One Card Trick" fue adoptado en 1891 por Frank Desmond en el libro "Everybody’s Guide to Conjuring". Sólo como ilustración de que la historia no tiene final, te dejo un video del genial Dani DaOrtiz con su versión más personal del juego. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)

Jueves, 07 de Enero de 2016 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico